当前位置:文档之家› 3.1数乘向量(说课稿)

3.1数乘向量(说课稿)

3.1数乘向量(说课稿)
3.1数乘向量(说课稿)

§2.3 从速度的倍数到数乘向量( 第一课时)

2.3.1 数乘向量(说课稿)

说课内容:普通高中课程标准实验教科书(北师大版)《数学必修4》第二章第三节“从速度的倍数到数乘向量”的第一课时---数乘向量。

下面,我从背景分析、教学目标设计、学情分析、教学过程设计、教学媒体设计及教学评价设计等方面对本节课的思考进行说明。

一、教材分析

1、教材所处的地位和作用

教材通过现实世界中存在着的在同一方向上光速与音速的倍数关系;自由下落物体在两个不同时刻的速度的方向相同,而大小呈倍数关系;逆水中航行的轮船与水流方向相反,其大小也呈倍数关系等大量的向量的倍数关系为实际背景建立数乘向量的数学模型,得出数乘向量的定义及运算律,给出其几何意义,并用非严格推理的方法推出向量共线的判定定理、性质定理,由之得到向量共线的充要条件.在此基础之上通过把一个向量在其它两个共面非零向量上的分解,揭示了平面向量基本定理的本质.该节内容既完成了向量的加法,减法和数乘向量的线性运算,也完成了一种重要的数形结合法——向量法的基础理论的建立.

2、学情分析

学生在学习本节内容之前,已熟知了向量的概念,掌握了向量的加、减运算,具备了位移等物理知识,并且初步体会了研究向量运算的一般方法:即先由特殊模型(主要是物理模型)抽象出概念,然后再从概念出发,在与实数运算类比的基础上研究运算律。这为学生学习向量数乘运算做了很好的铺垫,使学生倍感亲切。

3、教学目标分析

知识与技能:(1)要求学生掌握实数与向量积的定义及几何意义.(2)了解数乘运算的运算律,理解向量共线的充要条件。(3)通过练习使学生对实数与积,两个向量共线的充要条件有更深刻的理解,并能用来解决一些简单的几何问题。

过程与方法:教材利用同学们熟悉的物理知识引出实数与向量的积(强调:1.“模”与“方向”两点) 2.三个运算定律(结合律,第一分配律,第二分配律)),在此基础上得到数乘运算的几何意义。为了帮助学生消化和巩固相应的知识,教材设置了几个例题;通过讲解例题,指导发现知识结论,培养学生抽象概括能力和逻辑思维能力.

情感态度价值观:通过本节内容的学习,使同学们对实数与向量积有了较深的认识,让学生理解和领悟知识将各学科有机的联系起来了,这样有助于激发学生学习数学的兴趣和积极性,有助于培养学生的发散思维和勇于创新的精神.

4、重点难点

实数与向量积即数乘向量是向量的四种运算之一,而共线向量又是特殊向量运算的基础,平面向量基本定理是整个平面向量理论的基础,

重点:是实数与向量积的定义、向量共线的判定和性质、平面向量基本定理以及它们的应用.

难点:是对向量共线的判定定理和性质定理以及平面向量基本性质的理解和应用,可采用数形结合、启发引导,使学生理解共线向量的充要条件和平面向量基本性质.

二、学法与教法:

(1)自主性学习+探究式学习法:

(2)反馈练习法:以练习来检验知识的应用情况,找出未掌握的内容及其存在的差距.

实数与向量积的概念可看作是数与数积的概念推广;实数与向量积的运算律可看作是实数积的运算律的推广;所以注意用类比方法.

向量法是一种数形结合法,教学中充分利用数形结合的方法,帮助学生准确地理解数乘向量的运算法则、运算律、平面向量共线的充要条件以及平面向量基本性质,并熟练它们的应用.

教学环境:多媒体教室、课件。

空间向量的加减数乘运算练习题集

课时作业(十四) [学业水平层次] 一、选择题 1.对于空间中任意三个向量a ,b,2a -b ,它们一定是( ) A .共面向量 B .共线向量 C .不共面向量 D .既不共线也不共面向量 【解析】 由共面向量定理易得答案A. 【答案】 A 2.已知向量a 、b ,且AB →=a +2b ,BC →=-5a +6b ,CD → =7a -2b ,则一定共线的三点是( ) A .A 、 B 、D B .A 、B 、 C C .B 、C 、D D .A 、C 、D 【解析】 BD →=BC →+CD →=-5a +6b +7a -2b =2a +4b ,BA → =-AB →=-a -2b ,∴BD →=-2BA →, ∴BD →与BA → 共线, 又它们经过同一点B , ∴A 、B 、D 三点共线. 【答案】 A 3.A 、B 、C 不共线,对空间任意一点O ,若OP →=34OA →+18OB →+18OC → ,则P 、A 、B 、C 四点( ) A .不共面 B .共面

C .不一定共面 D .无法判断 【解析】 ∵34+18+1 8=1, ∴点P 、A 、B 、C 四点共面. 【答案】 B 4. (2014·莱州高二期末)在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,用向量AB →,AD →,AA 1→表示向量BD 1→ 的结果为( ) 图3-1-9 =AB →-AD →+AA 1→ =AD →+AA 1→-AB → =AB →+AD →-AA 1→ =AB →+AD →+AA 1→ 【解析】 BD 1→=BA →+AA 1→+A 1D 1→=-AB →+AA 1→+AD → .故选B. 【答案】 B 二、填空题 5.如图3-1-10,已知空间四边形ABCD 中,AB →=a -2c ,CD → =5a +6b -8c ,对角线AC ,BD 的中点分别为E 、F ,则EF → =________(用向量a ,b ,c 表示).

空间向量及其运算

§8.5 空间向量及其运算 1. 空间向量的概念 (1)定义:空间中既有大小又有方向的量叫作空间向量. (2)向量的夹角:过空间任意一点O 作向量a ,b 的相等向量OA →和OB → ,则∠AOB 叫作向量a ,b 的夹角,记作〈a ,b 〉,0≤〈a ,b 〉≤π. 2. 共线向量定理和空间向量基本定理 (1)共线向量定理 对空间任意两个向量a ,b (b ≠0),a ∥b 的充要条件是存在实数λ,使得a =λb . (2)空间向量基本定理 如果向量e 1,e 2,e 3是空间三个不共面的向量,a 是空间任一向量,那么存在唯一一组实数λ1,λ2,λ3使得a =λ1e 1+λ2e 2+λ3e 3,其中e 1,e 2,e 3叫作空间的一个基底. 3. 空间向量的数量积及运算律 (1)定义 空间两个向量a 和b 的数量积是一个数,等于|a ||b |cos 〈a ,b 〉,记作a ·b . (2)空间向量数量积的运算律 ①结合律:(λa )·b =λ(a·b ); ②交换律:a·b =b·a ; ③分配律:a·(b +c )=a·b +a·c . 4. 空间向量的坐标表示及应用 (1)数量积的坐标运算 设a =(a 1,a 2,a 3),b =(b 1,b 2,b 3), 则a·b =a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3. (2)共线与垂直的坐标表示 设a =(a 1,a 2,a 3),b =(b 1,b 2,b 3), 则a ∥b ?a =λb ?a 1=λb 1,a 2=λb 2,a 3=λb 3 (λ∈R ), a ⊥b ?a·b =0?a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3=0(a ,b 均为非零向量). (3)模、夹角公式 设a =(a 1,a 2,a 3),b =(b 1,b 2,b 3), 则|a |=a·a =a 21+a 22+a 23,

向量数乘运算及其几何意义(教学设计)

2.2.3向量数乘运算及其几何意义(教学设计) 一、知识与能力: 1、理解掌握向量数乘运算及其几何意义,数乘运算的运算律,并能熟练运用定义、运算律进行有关计算。 2、理解掌握向量共线定理及其证明过程,会根据向量共线定理判断两个向量是否共线。 3、通过向量数乘运算的学习和探究,培养学生的观察、分析、归纳、抽象思维能力,以及运算能力和逻辑推理能力。 二、过程与方法: 1. 经历向量加法三角形法则和平行四边形法则的归纳过程; 2.体会数形结合的数学思想方法. 三、情感、态度与价值观: 培养对现实世界中的数学现象的好奇心,学习从数学角度发现和提出问题. 教学重点:实数与向量的积的定义、运算律,向量共线的充要条件. 教学难点:向量共线的充要条件. 一、复习回顾,新课导入 探究:已知非零向量a ,作出a+a+a 和(-a)+(-a)+(-a),并说明 它们的几何意义. 类似数的乘法,把a+a+a 记作3a ,显然3a 的方向与a 的方向 相同,3a 的长度是a 的3倍,即|3a|=3|a|. 同样,(-a )+(-a )+(-a )=3(-a ),显然3(-a )的方向与a 的方向相反,3(-a )的长度是a 的3倍,这样3(-a )=-3a . 由学生作图,归纳几何意义,教师补充完善,引出本节课所学的内容。 二、师生互动,新课讲解 1.定义:实数λ与向量a 的积是一个向量,称为向量的数乘,记作λa ,它的长度与方向规定如下: (1)|λa |=|λ||a |; (2)当λ>0时,λa 的方向与向量a 的方向相同;当λ<0时,λa 的方向与a 的方向相反. 2. 特别地,当λ=0或a=0时,λa=0;当λ=-1时,(-1)?a=-a ,就是a 的相反向量. 3. 实数与向量的积的运算律 设λ、μ为实数,那么 (1)λ(μa )=( λμ)a ;(结合律) (2)(λ+μ)a=λa+μa ;(第一分配律) (3)λ(a+b )= λa+λb .(第二分配律) 结合律证明: 如果λ=0,μ=0,a =0至少有一个成立,则①式成立 如果λ≠0,μ≠0,a ≠0有:|λ(μa )|=|λ||μa |=|λ||μ||a | |(λμ)a |=|λμ|| a |=|λ||μ||a |

7.5平面向量的数乘运算-教学设计公开课

【课题】7.1.5平面向量的数乘运算 江夏职业技术学校吴婷 【教学目标】 (1)理解向量的数乘运算的定义 (2)掌握共线向量的基本定理 【教学重点】数乘运算的定义 【教学难点】对向量线性表示的理解和运用 【课时安排】2课时 【教学过程】 一、创设情境兴趣导入 观察图7-15可以看出,向量OC 与向量a 共线,并且 OC =3a . 图7?15 二、新授知识 1.数乘运算的定义:实数λ与向量a 的积是一个向量,记作λa 大小:||||||a a λ=λ(7.3) a a a a O A B C

方向:若||λ≠a 0,则 当λ>0时,λa 的方向与a 的方向相同, 当λ<0时,λa 的方向与a 的方向相反. 一般地,有0a =0,λ0=0. 2.共线向量的基本定理:对于非零向量a 、b ,当0λ≠时,有 λ?=a b a b ∥(7.4) 3.向量的数乘运算法则: ()()111a a a a , ;=-=-()()()()2a a a ; λμλμμλ== ()()3a a a λμλμ+=+ ;()a b a b (4).λλλ+=+ 4.向量的线性表示:一般地,λa +μb 叫做a ,b 的一个线性组合(其中λ,μ均为系数).如 果l =λa +μb ,则称l 可以用a ,b 线性表示. 5.向量的线性运算:向量的加法、减法、数乘运算都叫做向量的线性运算. 三、注意:向量加法及数乘运算在形式上与实数的有关运算规律相类似,因此,实数运算中的去括号、移项、合并同类项等变形,可直接应用于向量的运算中.但是,要注意向量的运算与数的运算的意义是不同的. 四、巩固知识典型例题 例6在平行四边形ABCD 中,O 为两对角线交点如图7-16,AB =a ,AD =b ,试用a ,b 表示向量AO 、OD . 分析因为12AO AC =,12 OD BD =,所以需要首先分别求出向量AC 与BD .

平面向量数乘运算及其意义试题

…………………………装…………………………订…………………………线………………………… 向量数乘运算及其几何意义 班级 姓名 学号 年级 学科 一、概念回顾(认真阅读课本第63,64,65页,回答下面问题) 1.设实数 与量a 的积记为 ,它仍表示向量,它的长度是 ;它的方向

是 . 2.根据向量数乘的定义,可以证明向量数乘有如下运算律: (1) ;(2) ;(3) . 3.向量数乘与实数乘法有哪些相同点和不同点: 相同 点 ; 不同 点 . 二、理解与应用 1.已知R λ∈,则下列命题正确的是 ( ) A .a a λλ= B .a a λλ= C .a a λλ= D .0a λ> 2.已知E 、F 分别为四边形ABCD 的边CD 、BC 边上的中点,设AD a =u u u r ,BA b =u u u r ,则 EF u u u r = ( ) A .1()2 a b + B .1()2 a b -+ C .1()2 a b -- D .1()2 b a - 3 . 若 a b c =+化简3(2)2(3)2()a b b c a b +-+-+ ( ) A .a B .b C .c D . 以上都不对 4.已知四边形ABCD 是菱形,点P 在对角线AC 上(不包括端点A 、C ),

则AP u u u r = ( ) A .().(0,1)A B AD λλ+∈u u u r u u u r B .().AB B C λλ+∈u u u r u u u r C . ().(0,1)AB AD λλ-∈u u u r u u u r D . ().(0,2 AB BC λλ-∈u u u r u u u r 5.已知m 、n 是实数,a 、b 是向量,对于命题: ①()m a b ma mb -=- ②()m n a ma na -=- ③若ma mb =,则a b = ④若ma na =,则m n = 其中正确命题为_____________________. 6.计算: (1)3(53)2(6)--+a b a b =__________; (2)4(35)2(368)-+---+a b c a b c =__________. 7.已知向量a ,b ,且3()2(2)4()++---+=0x a x a x a b ,则 x =__________. 8.若向量x 、y 满足+=-=23,32x y a x y b ,a 、b 为已知向量,则 x =__________; y =___________.

《空间向量的数乘运算》教学设计

教学设计 3.1.2空间向量的数乘运算 整体设计 教材分析 本节课是在学习了空间向量的相关概念和空间向量加减法法则的基础上学习的,是空间向量加减法法则的进一步应用和补充.本节课在介绍实数与向量乘积的意义的基础上引入空间向量共线定理,类比平面向量基本定理得到空间向量共面定理,为后面将要学习的空间向量基本定理打下基础,具有承上启下的重要作用. 因为空间向量的数乘运算以及空间向量共线定理与平面向量数乘运算以及共线定理完全一样,空间向量共面定理其实就是平面向量基本定理的逆定理,所以在教学中仍应采用类比、比较的教学方法,通过问题驱动、启发式、自主探究式的教学方法引导学生自主地完成本节课的学习. 课时分配 1课时 教学目标 知识与技能 1.掌握空间向量的数乘运算及其运算律. 2.理解共线向量定理和向量共面定理. 过程与方法 1.运用类比方法,经历向量的数乘运算和向量共线定理由平面向空间推广的过程; 2.引导学生借助空间几何体理解空间向量数乘运算及其运算律的意义. 情感、态度与价值观 1.培养学生的类比思想、转化思想,培养探究、研讨、综合自学应用能力; 2.培养学生的空间想象能力,能借助图形理解空间向量数乘运算及其运算律的意义; 3.培养学生空间向量的应用意识. 重点难点 教学重点: 1.空间向量的数乘运算及其运算律、几何意义;

2.空间向量的加减运算在空间几何体中的应用; 3.空间向量共线定理和共面定理. 教学难点: 1.空间想象能力的培养,思想方法的理解和应用; 2.空间向量的数乘运算及其几何的应用和理解; 3.空间向量共线定理和共面定理的理解. 教学过程 引入新课 提出问题:请同学们回忆“平面向量的数乘运算”的意义是什么,有什么性质,满足什么运算律. 活动设计:首先同学之间相互交流,教师适时介入,并一一板书出来. 活动结果:(板书) 1.实数λ和向量a的乘积λa是一个向量. 2.||λa=||λ||a. 3.λa的方向 ①当λ>0时,λa的方向和a方向相同; ②当λ<0时,λa的方向和a方向相反. 4.数乘运算的运算律: ①λ(μ a)=(λμ)a; ②λ(a+b)=λa+λb. 设计意图:这既复习了“平面向量的数乘运算”的意义、性质和运算律,又为类比得出“空间向量的数乘运算”的意义、性质和运算律作好了准备,而且在下面得出“空间向量的数乘运算”的意义、性质和运算律时,只需将“平面向量的数乘运算”中的“平面”换成“空间”即可.何乐而不为呢! 探究新知 提出问题1:上节课我们已经学习了空间向量的加减法运算,请同学们类比“平面向量的数乘运算”的意义、性质和运算律,猜想(给出)“空间向量的数乘运算”的意义、性质和运算律.即实数λ和向量a的乘积(λa)的意义是什么?有什么性质?满足什么运算律? 活动设计:教师从2a,-2a的意义中发现并类比平面中数乘的意义对学生进行引导,学生自己画出2a,-2a并总结λa的意义和运算律,然后自由发言,教师进行补充.师生发

高中数学——平面向量数量积的教学设计

《2.4.1平面向量数量积的 物理背景及其含义》 教学设计 2.4.1《平面向量数量积的物理背景及其含义》教学设计 一、教材分析 1.地位与作用 本节课是人教版普通高中课程标准实验教科书A版必修4第二章《平面向量》的第4节内容。本节内容教材共分为两课时,其中第一课时主要研究数量积的概念,第二课时主要研究数量积的坐标运算,本节课是第一课时。向量数量积运算是继向量的线性运算后的一种新的重要的运算,它有明显的物理意义、几何意义。向量数量积是代数、几何与三角的结合点,应用广泛,很好地体现了数形结合的数学思想。

2.学情分析 学生在学习本节内容之前,已经学习了平面向量的线性运算,理解并掌握了向量数乘运算及其几何意义。学生会产生这样的疑问——平面向量之间可以进行向量与向量的乘法运算吗?而学生此时已学习了功等物理知识,能够解决简单的物理问题,并熟知了实数的运算体系,这为学生学习数量积做了很好的铺垫。所以本节课我从学生所熟悉的“功”引入“数量积”,通过学生的自主探究,小组合作探究,教师点评等环节完成本节知识的学习。 二、教学目标 1.知识与技能 ⑴理解平面向量数量积和投影的概念及数量积的几何意义; ⑵掌握平面向量数量积的性质与运算律; ⑶会用平面向量数量积表示向量的模与向量的夹角,会用数量积判断两个平面向量的垂直关系; ⑷以数学知识的教学为载体,为学生创造学习数学英语知识的环境,进而了解数学专业术语的英语表示,能用英语进行数学方面的交流,培养学生的跨文化意识与双思维,提高英语理解能力。 2.过程与方法 本节课以物体受力做功为背景引入向量数量积的概念,让学生明白数量积的物理背景,学习“投影”后,通过设置例1让学生练习计算数量积与投影,并引导学生观察完成的表格发现数量积与投影的关系,从而得出数量积的几何意义,随后通过学生的自主学习与小组活动,探究数量积的性质与运算律。设置分层例题与分层练习,夯实基础,提升能力。采用双语教学,不仅达到学习数学知识的目的,同时还提高了学生的英语理解能力,激发了学生学习的兴趣。 3.情感态度与价值观 通过平面向量数量积的学习,加深学生对数学知识之间联系的认识,体会数形结合思想、类比思想,体会数学知识抽象性、概括性和应用性,促使学生形成学数学、用数学的思维和意识。课堂中不断培养学生自主学习、主动探索,勤于观察、思考,善于总结的态度,并提高参与意识和合作精神。 三、教学重难点 重点:平面向量数量积的概念,用平面向量数量积表示向量的模及向量的夹角,判断向量的

平面向量的数乘运算

平面向量的数乘运算 知识点一:向量数乘运算: ⑴实数λ与向量a r 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘,记作a λr . ① a a λλ=r r ; ②当0λ>时,a λr 的方向与a r 的方向相同;当0λ<时,a λr 的方向与a r 的方向相反;当 0λ=时,0a λ=r r . ⑵运算律:①()()a a λμλμ=r r ;②()a a a λμλμ+=+r r r ;③() a b a b λλλ+=+r r r r . ⑶坐标运算:设(),a x y =r ,则()(),,a x y x y λλλλ==r . 知识点二:向量共线定理:向量 ( )0 a a ≠r r r 与b r 共线,当且仅当有唯一一个实数λ,使b a λ=r r . 设()11,a x y =r ,()22,b x y =r , 其中0b ≠r r ,则当且仅当12210x y x y -=时,向量a r 、() 0b b ≠r r r 共线. 知识点三:平面向量基本定理:如果1e u r 、2e u u r 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量a r ,有且只有一对实数1λ、2λ,使1122a e e λλ=+u r u u r r .(不共线的向量1e u r 、 2e u u r 作为这一平面内所有向量的一组基底) 知识点四:分点坐标公式:设点P 是线段12P P 上的一点,1P 、2P 的坐标分别是()11,x y , () 22,x y ,当12λP P =PP u u u r u u u r 时,点P 的坐标是1212,11x x y y λλλλ++?? ?++?? .(当 时,就为中点公式。)1=λ 知识点五:平面向量的数量积: ⑴() cos 0,0,0180a b a b a b θθ?=≠≠≤≤o o r r r r r r r r .零向量与任一向量的数量积为0. ⑵性质:设a r 和b r 都是非零向量,则①0a b a b ⊥??=r r r r .②当a r 与b r 同向时, a b a b ?=r r r r ; 当a r 与b r 反向时,a b a b ?=-r r r r ;22a a a a ?==r r r r 或a =r .③ a b a b ?≤r r r r . ⑶运算律:①a b b a ?=?r r r r ;②()()()a b a b a b λλλ?=?=?r r r r r r ;③() a b c a c b c +?=?+?r r r r r r r .

《3.1.2 空间向量的数乘运算(1)》导学案(新部编)3

教师学科教案[ 20 – 20 学年度第__学期] 任教学科:_____________ 任教年级:_____________ 任教老师:_____________ xx市实验学校

《3.1.2 空间向量的数乘运算(1)》导学案3 学习目标 1. 掌握空间向量的数乘运算律,能进行简单的代数式化简; 2. 理解共线向量定理和共面向量定理及它们的推论; 3. 能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题. 学习过程 一、课前准备 (预习教材P 86~ P 87,找出疑惑之处) 复习1:化简: ⑴ 5(32a b -r r )+4(23b a -r r ); ⑵ ()() 63a b c a b c -+--+-r r r r r r . 复习2:在平面上,什么叫做两个向量平行? 在平面上有两个向量,a b r r , 若b r 是非零向量,则a r 与b r 平行的充要条件是 二、新课导学 ※ 学习探究 探究任务一:空间向量的共线 问题:空间任意两个向量有几种位置关系?如何判定它们的位置关系? 新知:空间向量的共线: 1. 如果表示空间向量的 所在的直线互相 或 ,则这些向量叫共线向量,也叫平行向量. 2. 空间向量共线:

定理:对空间任意两个向量,a b r r (0b ≠r r ), //a b r r 的充要条件是存在唯一实数λ,使得 推论:如图,l 为经过已知点A 且平行于已知非零向量的直线,对空间的任意一点O ,点P 在直线l 上的充要条件是 试试:已知5,28,AB a b BC a b =+=-+u u u r r r u u u r r r () 3CD a b =-u u u r r r ,求证: A,B,C 三点共线. 反思:充分理解两个向量,a b r r 共线向量的充要条件中的0b ≠r r ,注意零向量与任何向量共线. ※ 典型例题 例1 已知直线AB ,点O 是直线AB 外一点,若OP xOA yOB =+u u u r u u u r u u u r ,且x +y =1,试判断 A,B,P 三点是否共线? 变式:已知A,B,P 三点共线,点O 是直线AB 外一点,若12OP OA tOB =+u u u r u u u r u u u r ,那么t = 例2 已知平行六面体''''ABCD A B C D -,点M 是棱AA '的中点,点G 在对角线A 'C 上,且CG:GA ' =2:1,设CD u u u r =a r ,',CB b CC c ==u u u u r u u u r r r ,试用向量,,a b c r r r 表示向量',,,CA CA CM CG u u u r u u u r u u u u r u u u r .

向量数乘运算及其几何意义 说课稿 教案 教学设计

数乘运算及其几何意义 整体设计 教学分析 向量的数乘运算,其实是加法运算的推广及简化,与加法、减法统称为向量的三大线性运算.教学时从加法入手,引入数乘运算,充分展现了数学知识之间的内在联系.实数与向量的乘积,仍然是一个向量,既有大小,也有方向.特别是方向与已知向量是共线向量,进而引出共线向量定理.共线向量定理是本章节中重要的内容,应用相当广泛,且容易出错.尤其是定理的前提条件:向量a是非零向量.共线向量定理的应用主要用于证明点共线或平行等几何性质,且与后续的知识有着紧密的联系. 三维目标 1.通过经历探究数乘运算法则及几何意义的过程,掌握实数与向量积的定义,理解实数与向量积的几何意义,掌握实数与向量的积的运算律. 2.理解两个向量共线的等价条件,能够运用两向量共线条件判定两向量是否平行.3.通过探究,体会类比迁移的思想方法,渗透研究新问题的思想和方法,培养创新能力和积极进取精神.通过解决具体问题,体会数学在生活中的重要作用. 重点难点 教学重点:1.实数与向量积的意义.2.实数与向量积的运算律.3.两个向量共线的等价条件及其运用. 教学难点:对向量共线的等价条件的理解运用. 课时安排 1课时 教学过程 导入新课 思路1.前面两节课,我们一起学习了向量加减法运算,这一节,我们将在加法运算基础上研究相同向量和的简便计算及推广.在代数运算中,a+a+a=3a,故实数乘法可以看成是相同实数加法的简便计算方法,那么相同向量的求和运算是否也有类似的简便计算.思路2.一物体做匀速直线运动,一秒钟的位移对应的向量为a,那么在同一方向上3秒钟的位移对应的向量怎样表示?是3a吗?怎样用图形表示?由此展开新课. 推进新课 新知探究 提出问题 ①已知非零向量a,试一试作出a+a+a和(-a)+(-a)+(-a).

北师大版高中数学必修4第三章数乘向量教学设计

数乘向量 教学目标 一、知识与技能 1、掌握向量数乘运算概念及运算定律,理解向量共线定理。 2、会运用定义、运算律进行有关计算。 二、过程与方法 深入对定理的理解,会运用定理解决向量共线、三点共线、直线平行等问题。 三、情感态度与价值观 由情景引入,由抽象到具体,由难到易,激发学生的数学兴趣,培养学生独立自主,自我发现,自我概括的能力,使得学生在以后的数学学习上能够自由,自主去探索去发现。 教学重点与难点 1.重点:向量数乘运算概念及运算定律,向量共线定理的运用。 2.难点:向量共线、三点共线、直线平行,以及数乘计算的问题。教学准备 多媒体课件、电脑画板 教学过程 一、情景引入 活动一:体会实际,感受新知 在疾风骤雨,雷电交加的晚上,我们都是先看到闪电,后来听到雷声?(展示所找到的关于雷电的影像进行播放)这是因为在同一方

向上光速远远大于声速。经测量,光速大小约为声速的5107.8?倍。 活动二:自我实验,学会新知 教师让学生准备小皮筋,自己进行拽拉,固定一边,朝同一方向,两边同时,朝不同方向,看看会发生什么有趣的现象(可以选号码为1-5的同学拍小视频进行讨论)。 组织学生在电脑面板上展示自己所做实验的答案,进行互相讨论以上两个活动有什么异同点。(学生自由在电脑面板进行发言,老师进行总结。) 由以上两个案例分析说明实际中存在这样的向量,他们是共线,而且大小之间存在倍数关系。因此,有必要定义实数与向量积的运算。 二、讲述新知,感悟理解 例如,对于向量3a ,我们都知道3个a 相加(可进行画图讲解), 即3a =a +a +a .由向量的加法的意义可知,3a 仍是一个向量,它的长度为a 的三倍,方向与a 相同; 向量-3a 是3a 的相反向量,他的长度与3a 相同,也是a 的3 倍,它的方向与a 的方向相反。 三、新知概括,深入探究 1、a 请大家画出非零向量a ,并且做出3a 与0a ,-2a ,. a 。 (按照学生的编号,让5-10号码的同学进行回答。) 一般的,实数λ与向量a 的积是一个向量,记作a λ。它的长度为a a λλ=。 它的方向:当0>λ时,a λ与a 的方向相同; 21

数乘向量优秀教案

2.1.4数乘向量 教学目标: 1.掌握实数与向量积地定义,理解实数与向量积地几何意义; 2.掌握实数与向量地积地运算律 教学重点:掌握实数与向量积地定义,理解实数与向量积地几何意义 教学过程 一、复习引入: 1.向量地概念 2.向量地表示方法 3.向量地加法,减法及运算律 二、讲解新课: 1.实例引入:已知非零向量a ,作出a +a +a 和( a )+( a )+( a ) OC =BC AB OA =a +a +a =3a PN =MN QM PQ =( a )+( a )+( a )= 3a (1)3a 与a 方向相同且|3a |=3|a |;(2) 3a 与a 方向相反且| 3a |=3|a | 2.实数与向量地积地定义:实数λ与向量a 地积是一个向量,记作:λa ,λa 地长定义为|λa |=|λ||a |,λa 地方向定义为:λ>0时λa 与a 方向相同;λ<0时λa 与a 方向相反.λ=0或a =0时规定:λa =0 3.数乘地几何意义就是把向量a 沿向量a 地方向或反方向放大或缩小. 4.运算定律 结合律:λ(μa )=(λμ)a ① 第一分配律:(λ+μ)a =λa +μa ② 第二分配律:λ(a +b )=λa +λb ③ 例1 (1);2 1)4(a (2));(3)(2b a b a (3));)(())((b a b a

变式训练:计算 8(2-+)-6(-2+)-2(2+)= 例2设是未知向量,解方程)(3)(5 例3凸四边形ABCD 地边AD 、BC 地中点分别为E 、F ,求证EF = 2 1(AB +). 变式训练:已知任意两非零向量、,试作 , 2 ,3 .作图判断A 、B 、C 三点之间地位置关系? 小结:实数与向量积地定义,理解实数与向量积地几何意义;实数与向量地积地运算律 课堂练习:第89页练习A 、B

空间向量数乘运

高二数学导学案

⑴当 时,a λ与向量a 的方向相同; ⑵当 时,a λ与向量a 的方向相反; ⑶当 时,a λ是零向量. 3、空间向量的数乘运算满足分配律及结合律 分配律 结合律 4、如果l 为经过已知点A 且平行于已知非零向量a 的直线,那么对 于任意一点O ,点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t 满足等式 或 5;如果两个向量a 、b 不共线,则向量p 与向量a 、b 共面的充要条 件是 。 6. 共面向量定理的推论是:空间一点P 在平面MAB 内的充要条件是 存在有序实数对x ,y ,使得MP xMA yMB =+,① 或对于空间 任意一定点O ,有 OP OM xMA yMB =++可推出 ∴(1)OP x y OM xOA yOB =--++是P 、M 、A 、B 四点共面的充要条件. ■ 合作探究: 例1如图,已知平行四边形ABCD,从平 面AC 外一点O 引向量 OE=kOA , OF=kOB , OG=kOC , OH=kOD ,求证:四点E 、F 、G 、H 共面. (1)OP t OA tOB =-+

【达标测评】 1.下列命题中正确的是( ) A .若a 与共线b ,b 与c 共线,则a 与c 共线 B .向量c 、b 、a 共面即它们所在的直线共面 C .相反向量共线 D .若b a //,则存在唯一的实数,使b a λ= 2、非零向量21,e e 不共线,若21e e k +与21e k e +共线,则k =______. 3、已知A 、B 、C 三点不共线,对平面ABC 外任一点O ,有 OC OB OA OM 3 1 3131++=,则A 、B 、C 、M ______(共面、不共面) 4、空间四边形ABCD 中,,,,c AD b BC a AB ===则=CD ( ) A .c b a -+ B.c b a -- C .c b a +-- D .c b a ++- 5、平行六面体OABC -O ′A ′B ′C ′中,设,,,c O O b OC a OA ='==G 为BC ′的中点,用a ,b ,c 表示向量OG ,则OG =( ) A .c b a 21 21++ B . c b a ++21 21 C .c b a 2 121++ D .c b a 2 121-+ 6、已知平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1,若,3211C C z BC y AB x AC ++= 则x +y +z =( )

平面向量线性运算教案

适用
高中数学
适用年级
高一
学科
适用区域 苏教版区域
课时时长(分钟)
2 课时
知识点 向量的加法;向量的减法;向量的数乘.
教学目标
通过经历向量加法的探究,掌握向量加法概念,结合物理学实际理解向量加法的意义。能 熟练地掌握向量加法的平行四边形法则和三角形法则,并能作出已知两向量的和向量。通 过探究活动,掌握向量减法概念,理解两个向量的减法就是转化为加法来进行,掌握相反 向量。
教学重点 向量的加减法的运算。
教学难点 向量的加减法的几何意义。
【知识导图】
教学过程
一、导入
高考对本内容的考查主要以选择题或者是填空题的形式来出题,一般难度不 大,属于简单题。
二、知识讲解
(考1)点向1量向加量法加的法三法角则形法则 在定义中所给出的求象量和的方法就是向量加法的三角形法则。运用这一法则时 要特别注意“首尾相接”,即第二个向量要以第一个向量的终点为起点,则由第一 个向量的起点指向第二个向量的终点的向量即为和向量。0 位移的合成可以看作 向量加法三角形法则的物理模型。
第1页/共9页

(2)平行四边形法则 以同一点 O 为起点的两个已知向量 A.B 为邻边作平行四边形,则以 O 为起点的 对角线 OC 就是 a 与 b 的和。我们把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平 行四边形法则。
由考于点方2向反向转量两的次减仍法回法到则原来的方向,因此 a 和 a 互为相反向量。 于是 (a) a 。 我们规定,零向量的相反向量仍是零向量. 任一向量与其相反向量的和是零向量,即 a (a) (a) a 0 。 所以,如果 a, b 是互为相反的向量,那么 a= b,b= a, a b 0 。
考点 3 实数与向量的积的运算律 设 , 为实数,那么 (1) ( a) ()a ; (2) ( )a a a ; (3) (a b) a b . 特别地,我们有 ()a (a) (a) , (a b) a b 。 向量共线的等价条件是:如果 a(a 0) 与 b 共线,那么有且只有一个实数 ,使 b a。
三 、例题精析 类型一 平面向量的坐标表示
例题 1
已知边长为 1 的正方形 ABCD 中,AB 与 x 轴正半轴成 30°角.求点 B 和点 D 的坐标和 AB 与 AD 的坐标.
第2页/共9页

空间向量的数乘运算(一)

3.1.2空间向量的数乘运算(一) ------共线向量和共面向量 雷店高中 佘佳 【教学目标】 知识目标:理解共线向量定理和共面向量定理及它们的推论; 掌握空间直线、空间平面的向量方程和线段中点的向量公式. 能力目标:培养学生的空间想象能力; 培养学生的类比思想、转化思想; 培养学生探讨、研讨、综合自学应用能力; 培养学生空间向量的应用意识。 【教学重点】:共线、共面定理及其应用. 【教学难点】:共面定理的证明及应用 【教学方法】:问题探究式,启发引导式。 【课时安排】:一课时 【教学过程】: 一、引入新课 提出问题:平面向量的数乘运算的意义、性质、满足什么条件。由同学们互相交流,讨论,教师引导,并得出结果。 二 、新课讲解 思考:能否直接推广到空间向量,?空间向量的数乘运算的定义,方向,大小,运算律是怎样的? 利用道具和动画演示向量的平移,指出空间中任何两个向量都可以平移到同一个平面当中来,并指出任何两个空间向量的问题都可以用平面向量的结论来完成。并引出空间向量的数乘运算以及它的运算律。 思考:1.空间中任意两个向量共面吗? 2.两个向量贡献的充要条件是什么?能否推广到空间向量呢? 3.空间中三点共线上的充要条件是什么? (1).共线(平行)向量: 如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合,则这些向量叫做共线向量或平行向 量。读作:a 平行于b ,记作://a b . 2.共线向量定理: 对空间任意两个向量,(0),//a b b a b ≠ 的充要条件是存在实数λ,使a b λ= (λ唯一). 由此可判断空间中两直线平行或三点共线问题 推论:如果l 为经过已知点A ,且平行于已知向量a 的直线,那么对空间任一点O , 点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t ,满足等式a t OA OP += ①, 其中向量a 叫做直线l 的方向向量。 在l 上取A B a = ,则①式可化为O P O A t A B =+ 或(1)O P t O A t O B =-+ ② a l P B A

第二章平面向量数乘及基本定理习题

平面向量的数乘、共线向量作业 姓名: 班级: 1、1 2(4a +b )-3(b -a )=________. 2、13(4a +3b )-12(3a -b )-3 2b =________. 3、2(3a -4b +c )-3(2a +b -3c ) =________. 4、在四边形ABCD 中,若AB →=-12 CD → ,则此四边形是____. 5、已知e 1,e 2是两个不共线的向量,而a =k 2e 1+????1-5 2k e 2与b =2e 1+3e 2是两个共线向量,则实数k =________. 6、设a ,b 是不共线的两个向量,已知AB →=2a +k b ,BC →=a +b ,CD → =a -2b ,若A 、B 、D 三点共线,则k 的值为________. 7、若2????y -13a -1 2(c +b -3y )+b =0,其中a 、b 、c 为已知向量,则未知向量y =________. 8、如右图,已知O 是△ABC 所在平面内一点,D 为BC 边的中点,且2OA →+OB →+OC → =0, 则OA →=________OD →. 9、已知平面内O ,A ,B ,C 四点,其中A ,B ,C 三点共线,且OC →=xOA → +yOB → ,则x +y =________. 10、已知向量a ,b 不共线.实数x ,y 满足等式3x a +(10-y )b =(4y +7)a +2x b ,则x =________,y =________. 11、已知两个非零向量a ,b 不共线,OA →=a +b ,OB →=a +2b ,OC →=a +3b .则实数k =________时,k a +b 与a +k b 共线. 12、已知两个非零向量a ,b 不共线,OA →=a +b ,OB →=a +2b ,OC → =a +3b . (1)证明A ,B ,C 三点共线;(2)试确定实数k ,使k a +b 与a +k b 共线. 13.已知角α的终边上有一点()1,2p , (1)求tan 4πα?? + ?? ? 的值; (2)求5sin 26 πα? ? + ?? ? 的值. 平面向量的基本定理作业

数学选修2-1 3.1空间向量及其运算教案

第三章空间向量与立体几何 §3.1空间向量及其运算 3.1.1 空间向量及其加减运算 师:这节课我们学习空间向量及其加减运算,请看学习目标。 学习目标:⒈理解空间向量的概念,掌握其表示方法; ⒉会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律; ⒊能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题. 师:在必修四第二章《平面向量》中,我们学习了平面向量的一些知识,现在我们一起来复习。(不要翻书) (在黑板或背投上呈现或边说边写) 1、在平面中,我们把具有__________________的量叫做平面向量; 2、平面向量的表示方法:

① 几何表示法:_________________________ ② 字母表示法:_________________________ (注意:向量手写体一定要带箭头) 3、平面向量的模表示_________________,记作____________ 4、一些特殊的平面向量: ① 零向量:__________________________,记作___(零向量的方向具有任意性) ② 单位向量:______________________________ (强调:都只限制了大小,不确定方向) ③ 相等向量:____________________________ ④ 相反向量:____________________________ 5、平面向量的加法: 6、平面向量的减法: 7、平面向量的数乘:实数λ与向量a 的积是一个向量,记作λa ,其长度和方向规定如下: (1)|λa |=|λ||a | (2)当λ>0时,λa 与a 同向; 当λ<0时,λa 与a 反向; 当λ=0时,λa =0. 8、向量加法和数乘向量满足以下运算律 加法交换律:a +b =b +a 加法结合律:(a +b )+c =a +(b +c ) 数乘分配律:λ(a +b )=λa +λb 数乘结合律:λ(a μ)=a )(λμ [师]:刚才我们复习了平面向量,那空间向量会是怎样,与平面向量有怎样的区别和联系呢?请同学们阅读书P84-P86.(5分钟) [师]:对比平面向量,我们得到空间向量的相关概念。(在刚复习的黑板或幻灯片上,只需将平面改成空间) [师]:空间向量与平面向量有什么联系? [生]:向量在空间中是可以平移的.空间任意两个向量都可以用同一平面内的两条有向线段表示.因此我们说空间任意两个向量是共面的.所以凡涉及 空间两个向量的问题,平面向量中有关结论仍适用于它们。

《空间向量的数乘运算》教案

第二课时3.1.2空间向量的数乘运算(二) 教学要求:了解共线或平行向量的概念,掌握表示方法;理解共线向量定理及其推论;掌握空间直线的向量参数方程;会运用上述知识解决立体几何中有关的简单问题. 教学重点:空间直线、平面的向量参数方程及线段中点的向量公式. 教学过程: 一、复习引入 1. 回顾平面向量向量知识:平行向量或共线向量?怎样判定向量b 与非零向量a 是否共线? 方向相同或者相反的非零向量叫做平行向量.由于任何一组平行向量都可以平移到同一条直线上,所以平行向量也叫做共线向量. 向量b 与非零向量a 共线的充要条件是有且只有一个实数λ,使b =λa .称平面向量共线定理, 二、新课讲授 1.定义:与平面向量一样,如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合,则这些 向量叫做共线向量或平行向量.a 平行于b 记作a //b . 2.关于空间共线向量的结论有共线向量定理及其推论: 共线向量定理:空间任意两个向量a 、b (b ≠0),a //b 的充要条件是存在实数λ,使a =λb . 理解:⑴上述定理包含两个方面: ①性质定理:若a ∥b (a ≠0),则有b =λa ,其中λ是唯一确定的实数。 ②判断定理:若存在唯一实数λ,使b =λa (a ≠0),则有a ∥b (若用此结论判断a 、b 所在直线平行,还需a (或b )上有一点不在b (或a )上). ⑵对于确定的λ和a ,b =λa 表示空间与a 平行或共线,长度为 |λa |,当λ>0时与a 同向, 当λ<0时与a 反向的所有向量. 3. 推论:如果l 为经过已知点A 且平行于已知非零向量a 的直线,那么对于任意一点O ,点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t 满足等式 OP OA t =+a . 其中向量a 叫做直线l 的方向向量. 推论证明如下: ∵ l //a , ∴ 对于l 上任意一点P ,存在唯一的实数t ,使得AP t =a .(*) 又∵ 对于空间任意一点O ,有AP OP OA =-, ∴ OP OA t -=a , OP OA t =+a . ①

向量的数乘运算及其几何意义教学设计

2.2.3 《向量的数乘运算及几何意义》教学设计 温江二中何汝兵 一、教材分析: 向量具有丰富的实际背景和几何背景,向量既有大小,又有方向. 但是引进向量,而不研究它的运算,则向量只是起到一个路标的作用;向量只有引进运算后才显得威力无穷. 本章从第二节开始学习向量的加法、减法运算及其几何意义;本节接着学习向量的数乘运算及其几何意义. 向量数乘运算以及加法、减法统称为向量的三大线性运算,向量的数乘运算其实是加法运算的推广及简化. 教学时从加法入手,引入数乘运算,充分体现了数学知识之间的内在联系. 实数与向量的乘积仍然是一个向量,既有大小,又有方向. 特别是方向与已知向量是共线向量,进而引出共线向量定理. 这样平面内任意一条直线l 就可以用点A 和某个向量a 表示了. 共线向量定理是本章节的重要的内容,应用相当广泛,且容易出错,尤其是定理的前提条件:向量a是非零向量?共线向量的应用主要用于证明点共线或线平行等,且与后学的知识有着密切的联系. 二、学情分析: 学生在已经学习了近一学期的高中课程内容后,在思想和思维模式上已经适应了高中的 课程和高中的教学方式。学生能适应自主探究、师生互动的学习方式,动手操作能力强,勇于创新,敢于发表自己的见解。只要教师创设情境合理,精心设计问题串,循序渐进层层深入,学生能很快地构建起新的数学知识,教师只要作必要的归纳,就会帮助学生上升到理性认识的层面。同时为了更熟练地掌握知识和应用知识,需加强学生的课堂练习。 三、教学目标: 1、知识与技能通过经历探究数乘运算法则及其几何意义的过程,掌握实数与向量积的定义;理解实数与向量积的几何意义;掌握实数与向量积的运算律。 2、过程与方法 通过师生互动理解两个向量共线的等价条件,能够运用两向量共线条件判断两向量是否平行,进而判定点共线或直线平行。 3、情感态度与价值观 通过探究,体会类比迁移的思想方法,渗透研究新问题的思想和方法(从特殊到一般、分类讨论、转化化归、观察、猜想、归纳、类比、总结等);培养创新能力和积极进取精神;通过具体问题,体会数学在实际生活中的重要作用。 四、教学重难点 教学重点: 1.理解并掌握向量数乘的定义及几何意义; 2.熟练地掌握和运用实数与向量积的运算律;3.掌握向量共线定理,会判定或证明两向量共线。教学难点:对向量共线的等价条件的理解以及运用。 五、教具选取 三角板、投影仪、多媒体辅助教学。

相关主题
相关文档 最新文档