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高中数学复习学(教)案(第26讲)向量及向量的基本运算

高中数学复习学(教)案(第26讲)向量及向量的基本运算
高中数学复习学(教)案(第26讲)向量及向量的基本运算

题目第五章平面向量平面向量的基本运算

高考要求

1理解向量的概念,掌握向量的几何表示,了解共线向量的概念 2掌握向量的加法和减法 3掌握实数与向量的积理解两个向量共线的充要条件

知识点归纳

1向量的概念: ①向量:既有大小又有方向的量向量一般用c b a ,,……来表示,或用有向线段的起点与终点的大写字母表示,如:AB 几何表示法 AB ,a ;坐标

表示法,(y x yj xi a =+= 向量的大小即向量的模(长度),记作|AB |即

向量的大小,记作|a |

向量不能比较大小,但向量的模可以比较大小.

②零向量:长度为0的向量,记为0 ,其方向是任意的,0 与任意向量平行

零向量a =0 ?|a |=0 由于0 的方向是任意的,且规定0 平行于任何向量,故在有关向量平行(共线)的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件.(注意与0的区别)

③单位向量:模为1个单位长度的向量

向量0a 为单位向量?|0a

|=1 ④平行向量(共线向量):方向相同或相反的非零向量任意一组平行向量都

可以移到同一直线上方向相同或相反的向量,称为平行向量记作a ∥b 由

于向量可以进行任意的平移(即自由向量),平行向量总可以平移到同一直线上,故平行向量也称为共线向量 数学中研究的向量是自由向量,只有大小、方向两个要素,起点可以任意选取,现在必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、的含义,要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的. ⑤相等向量:长度相等且方向相同的向量相等向量经过平移后总可以重合,记为b a =大小相等,方向相同 ),(),(2211y x y x =???==?2

121y y x x 2向量加法

求两个向量和的运算叫做向量的加法

设,AB a BC b == ,则a +b =AB BC + =AC

(1)a a a =+=+00;(2)向量加法满足交换律与结合律;

向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”:

(1)用平行四边形法则时,两个已知向量是要共始点的,和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线,而差向量是另一条对角线,方向是从减向量指向被减向量

(2) 三角形法则的特点是“首尾相接”,由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和;差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点

当两个向量的起点公共时,用平行四边形法则;当两向量是首尾连接时,用三角形法则.向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加: AB BC CD PQ QR AR +++++= ,但这时必须“首尾相连”. 3向量的减法 ① 相反向量:与a 长度相等、方向相反的向量,叫做a 的相反向量 记作a -,零向量的相反向量仍是零向量

关于相反向量有: (i ))(a --=a ; (ii) a +(a -)=(a -)+a =0 ;

(iii)若a 、b 是互为相反向量,则a =b -,b =a -,a +b =0

②向量减法:向量a 加上b 的相反向量叫做a 与b 的差,

记作:)(b a b a -+=-求两个向量差的运算,叫做向量的减法 ③作图法:b a -可以表示为从b 的终点指向a 的终点的向量(a 、b 有共同起点) 4实数与向量的积: ①实数λ与向量a 的积是一个向量,记作λa ,它的长度与方向规定如下: (Ⅰ)a a ?=λλ;

(Ⅱ)当0>λ时,λa 的方向与a 的方向相同;当0<λ时,λa

的方向与a 的方向相反;当0=λ时,0 =a λ,方向是任意的 ②数乘向量满足交换律、结合律与分配律 5两个向量共线定理:

向量b 与非零向量a 共线?有且只有一个实数λ,使得b =a λ 6平面向量的基本定理:

如果21,e e 是一个平面内的两个不共线向量,那么对这一平面内的任一向量a ,有且只有一对实数21,λλ使:2211e e a λλ+=其中不共线的向量21,e e

叫做表示这一平面内所有向量的一组基底 7 特别注意:

(1)向量的加法与减法是互逆运算

(2)相等向量与平行向量有区别,向量平行是向量相等的必要条件

(3)向量平行与直线平行有区别,直线平行不包括共线(即重合),而向量平行则包括共线(重合)的情况

(4)向量的坐标与表示该向量的有向线条的始点、终点的具体位置无关,只与其相对位置有关

学习本章主要树立数形转化和结合的观点,以数代形,以形观数,用代数的运算处理几何问题,特别是处理向量的相关位置关系,正确运用共线向量和平面向量的基本定理,计算向量的模、两点的距离、向量的夹角,判断两向量是否垂直等由于向量是一新的工具,它往往会与三角函数、数列、不等式、解几等结合起来进行综合考查,是知识的交汇点 题型讲解

例1 给出下列命题: ① 若|a |=|b |,则a =b ;

② 若A ,B ,C ,D 是不共线的四点,则AB DC = 是四边形ABCD 为

平行四边形的充要条件;

③ 若a =b ,b =c ,则a =c ,

④a =b 的充要条件是|a |=|b |且a //b ;

⑤ 若a //b ,b //c ,则a //c , 其中正确的序号是

解:①不正确.两个向量的长度相等,但它们的方向不一定相同.

② 正确.∵ AB DC = ,∴ ||||AB DC = 且//AB DC ,

又 A ,B ,C ,D 是不共线的四点,∴ 四边形 ABCD 为平行四边形;

反之,若四边形ABCD 为平行四边形,则,//AB DC 且||||AB DC = ,

因此,AB DC = .

③ 正确.∵ a =b ,∴ a ,b 的长度相等且方向相同;

又b =c ,∴ b ,c 的长度相等且方向相同,

∴ a ,c 的长度相等且方向相同,故a =c .

④ 不正确.当a //b 且方向相反时,即使|a |=|b |,也不能得到a =b ,

故|a |=|b |且a //b 不是a =b 的充要条件,而是必要不充分条件.

⑤ 不正确.考虑b =0 这种特殊情况.

综上所述,正确命题的序号是②③.

点评:本例主要复习向量的基本概念.向量的基本概念较多,因而容易遗忘.为此,复习时一方面要构建良好的知识结构,另一方面要善于与物理中、生活中的模型进行类比和联想.

例2 如图所示,已知正六边形ABCDEF ,O 是它的中心,若BA =a ,

BC =b ,试用a ,b 将向量OE ,BF ,BD , FD 表示出来.

解:根据向量加法的平行四边形法则和减法的三角形法则,用向量a ,b 来

表示其他向量,只要考虑它们是哪些平行四边形或三角形的边即可.

解:因为六边形ABCDEF 是正六边形,所以它的中心O 及顶点A ,B ,C 四点构成平行四边形ABCO ,

所以BA BC BA AO BO +=+= , 所以BO =a +b ,所以OE = BO =a +b , 由于A ,B ,O ,F 四点也构成平行四边形ABOF ,

所以BF =BO +OF =BO +BA =a +b +a =2a +b ,

同样在平行四边形 BCDO 中,BD =BC CD + =BC BO + =b +(a +b )

=a +2b ,FD =BC BA - =b -a

点评:其实在以A ,B ,C ,D ,E ,F 及O 七点中,任两点为起点和终

点,均可用 a ,b 表示,且可用规定其中任两个向量为a ,b ,另外任取

两点为起点和终点,也可用a ,b 表示.

例3 设A 、B 、C 、D 、O 是平面上的任意五点,试化简:

①AB BC CD ++ ,②DB AC BD ++ ③OA OC OB CO --+-

解:①原式= ()AB BC CD AC CD AD ++=+=

②原式= ()0DB BD AC AC AC ++=+=

③原式= ()()()0OB OA OC CO AB OC CO AB AB -+--=-+=+=

例4 设x 为未知向量,a 、b 为已知向量,解方程2x -(5a +3x -4b )+2

1 a -3b =0

解:原方程可化为:(2x - 3x ) + (-5a +2

1a ) + (4b -3b ) = 0 ∴x =2

9-a + b 例5设非零向量a 、b 不共线,c =k a +b ,d =a +k b (k ∈R),若c ∥

d ,试求k

解:∵c ∥d

∴由向量共线的充要条件得:c =λd (λ∈R)

即 k a +b =λ(a +k b ) ∴(k -λ) a + (1-λk ) b = 0

又∵a 、b 不共线

∴由平面向量的基本定理 10

10±=????=-=-k k k λλ 例6 如图:已知在平行四边形ABCD 中,AH =HD ,BF =MC =4

1BC ,设AB =a ,AD =b ,试用a 、b 分别表示AM 、MH 、AF

解:∵ 中,BF =MC =21BC , ∴FM =21BC =21AD =AH ∴FM AH ∴四边形AHMF 也是平行四边形,∴AF =HM

又 333444BM BC AD === a , 而1144FB BC =-

=- b ∴AM AB BM =+ = a +43b , MH FA FB BA ==+ = -41b - a AF FA =-= -(-41b - a ) = 4

1b + a 例7 求证:起点相同的三个非零向量a ,b ,3a -2b 的终点在同一

条直线上.

证明:设起点为O ,OA =a ,OB =b ,OC =3a -2b ,

则AC OC OA =- =2(a -b ),AB OB OA =- =b -a ,2AC AB =- , ∵ ,AC AB 共线且有公共点A ,因此,A ,B ,C 三点共线,

即向量a ,b ,3a -2b 的终点在同一直线上.

点评:⑴利用向量平行证明三点共线,需分两步完成:

① 证明向量平行;② 说明两个向量有公共点;

⑵用向量平行证明两线段平行也需分两步完成:

①证明向量平行;②说明两向量无公共点.

学生练习

1在ABC ?中,设,,BC a CA b == 则AB = ( )

(.A ) b a + (B) b a -- (C) b a - (D) a b -

D

2化简:AB BC CD ++= ( )

(A) CB (B) DA (C) AD (D) BC 3在平行四边形ABCD 中,BC CD AB ++= ( )

(.A ) CB (B) AD (C) AB (D) AC

4给出下列3个向量等式,其中正确的个数为( )

(1)0AB CA BC ++= (2)0AB AC BC --=

(3)0AC AB BC --=

(.A ) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 5若向量a 与 b 互为相反向量,则下列等式中成立的是( ) (A)a b a b -=- (B)a b a b +=+ (C) a b a b -=+ (D)a b a b +=- 6下列命题中,正确的命题是( ) (A)a b a +≥ 且.a b b +≥ (B)a b a +≥ 或.a b b +≥

(C)若,a b c >> 则c b b a +>+

(D)若a 与 b 不平行,则a b a b +>+ 7已知A B C D 是平行四边形,O 为平面上任意一点,设

,,,OA a OB b OC c OD d ==== ,则有( )

(A)0 =+++d c b a (B)0 =-+-d c b a

(C)0 =--+d c b a (D)0 =+--d c b a 8向量a 与 b 都不是零向量,则下列说法中不正确的是( )

(A)向量a 与 b 同向,则向量a + b 与a 的方向相同;

(B)向量a 与 b 同向,则向量a + b 与b 的方向相同;

(C)向量a 与 b 反向,且,b a >则向量a + b 与a 同向;

(D)向量a 与 b 反向,且,b a <则向量a + b 与a 同向 9下列说法中错误的是( )

(A)零向量没有方向 (B)零向量与任何向量平行

(C)零向量的长度为零 (D)零向量的方向是任意的 10下列命题正确的是( )

(A)向量AB 与BA 是两平行向量

(B)若AB =DC ,则A 、B 、C 、D 四点构成平行四边形

(C)若a 、b 都是单位向量则a =b

(D)两向量相等的充要条件是它们的始点、终点相同 11在平行四边形ABCD 中, BC +DC +BA 等于( )

(A) BC (B ) DA (C) AB (D) AC 12下列命题正确的是( )

(A)向量AB 的长度与向量BA 的长度相等

(B)两个有共同起点且相等的向量,其终点可能不同

(C)非零向量AB 与CD 是共线向量,则A 、B 、C 、D 四点共线

(D)若a 平行→b 且→b 平行→c ,则a 平行→c 13在平行四边形ABCD 中,若||||AB AD AB AD +=- ,则平行四边形

ABCD 的形状是

14化简:AB DF CD BC FA ++++

15化简:()()AB CD AC BD ---

16若向量a 、b 满足条件8=a ,12=b ,则b a +的最大值是 ;最小值是 17等腰Rt △ABC 中,∠C=90°,M 为AB 的中点,设CM a = ,CA b = ,试用a 、b 表示AM 、MB 、CB 、AB 18、一架飞机从A 地按北偏西300

的方向飞行300km 后到达B 地,然后向C 地飞行已知C 地在A 地北偏东600的方向处,且A 、C

两地相距300km ,求飞机从B 地向C 地飞行的方向及B 、C 两地的距离(要求画出向量图形)(12分)

13矩形 140 150 16,4 17 AM a b =- 、MB AM a b ==-

2CB a b =- 、2()2()AB AM a b ==-

18

距离为km 2300;方向是东偏南015(或南偏东0

75) 课前后备注

高中数学平面向量知识点总结

高中数学必修4之平面向量 知识点归纳 一.向量的基本概念与基本运算 1向量的概念: ①向量:既有大小又有方向的量向量一般用c b a ,,……来表示,或用有向线段的起点与终 点的大写字母表示,如:AB u u u r 几何表示法 AB u u u r ,a ;坐标表示法),(y x yj xi a 向 量的大小即向量的模(长度),记作|AB u u u r |即向量的大小,记作|a | 向量不能比较大小,但向量的模可以比较大小. ②零向量:长度为0的向量,记为0 ,其方向是任意的, 0 与任意向量平行零向量a =0 |a |=0 由于0r 的方向是任意的,且规定0r 平行于任何向量,故在有关向量平行(共线) 的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件.(注意与0的区别) ③单位向量:模为1个单位长度的向量 向量0a 为单位向量 |0a |=1 ④平行向量(共线向量):方向相同或相反的非零向量任意一组平行向量都可以移到同一直 线上方向相同或相反的向量,称为平行向量记作a ∥b 由于向量可以进行任意的平移(即自 由向量),平行向量总可以平移到同一直线上,故平行向量也称为共线向量 数学中研究的向量是自由向量,只有大小、方向两个要素,起点可以任意选取,现在必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、的含义,要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的. ⑤相等向量:长度相等且方向相同的向量相等向量经过平移后总可以重合,记为b a 大 小相等,方向相同 ),(),(2211y x y x 2 12 1y y x x 2向量加法 求两个向量和的运算叫做向量的加法 设,AB a BC b u u u r u u u r r r ,则a +b r =AB BC u u u r u u u r =AC u u u r (1)a a a 00;(2)向量加法满足交换律与结合律; 向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”: (1)用平行四边形法则时,两个已知向量是要共始点的,和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线,而差向量是另一条对角线,方向是从减向量指向被减向量 (2) 三角形法则的特点是“首尾相接”,由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和;差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点 当两个向量的起点公共时,用平行四边形法则;当两向量是首尾连接时,用三角形法

高中数学第二章平面向量章末小结导学案无答案新人教A版必修

第二章平面向量章末小结 【本章知识体系】 - 1 -

2 【题型归纳】 专题一、平面向量的概念及运算 包含向量的有关概念、加法、减法、数乘。向量的加法遵循三角形法则和平行四边形法则,减法可以转化为加法进行运算。利用向量证明三点共线时,应注意向量共线与三点共线的区别与联系,当两向量共线且有公共点时,才能得出三点共线. 1、1.AB →+AC →-BC →+BA →化简后等于( ) A .3A B → B.AB → C.BA → D.CA → 2、在平行四边形ABCD 中,OA →=a ,OB →=b ,OC →=c ,OD →=d ,则下列运算正确的是( ) A .a +b +c +d =0 B .a -b +c -d =0 C .a +b -c -d =0 D .a -b -c +d =0 3、已知圆O 的半径为3,直径AB 上一点D 使AB →=3AD →,E 、F 为另一直径的两个端点, 则DE →·DF →=( ) A .-3 B .-4 C .-8 D .-6 4、如图,在正方形ABCD 中,设AB →=a ,AD →=b ,BD →=c ,则在以a , b 为基底时,AC →可表示为________,在以a , c 为基底时,AC →可表示为 ________. 5、下列说法正确的是( ) A .两个单位向量的数量积为1 B .若a ·b =a ·c ,且a ≠0,则b =c C .AB →=OA →-OB → D .若b⊥c ,则(a +c )·b =a ·b 专题二、平面向量的坐标表示及坐标运算 向量的坐标表示及运算强化了向量的代数意义。若已知有向线段两端点的坐标,则应先求向量的坐标,解题过程中,常利用向量相等,则其坐标相同这一原则。 6、已知向量a =(1,n ),b =(-1,n ),若2a -b 与b 垂直,则|a |等于( ) A .1 B. 2 C .2 D .4 7、设向量a =(1,-3),b =(-2,4),c =(-1,-2),若表示向量4a,4b -2c,2(a -c ),d 的有向线段首尾相接能构成四边形,则d =( ) A .(2,6) B .(-2,6) C .(2,-6) D .(-2,-6) 8、已知a =(1,1),b =(1,0),c 满足a ·c =0,且|a |=|c |,b ·c >0,则c =________. 专题三、平面向量的基本定理 平面向量的基本定理解决了所有向量之间的相互关系,为我们研究向量提供了依据。 9、已知AD 、BE 分别为△ABC 的边BC 、AC 上的中线,设AD →=a ,BE →=b ,则BC →等于( ) A.43a +23b B.23a +43 b C.23a -43b D .-23a +43 b

高中数学向量专项练习(含答案)

高中数学向量专项练习 一、选择题 1.已知向量(1,),(1,),a x b x ==-r r 若(2).a b b -⊥r r r 则a =r ( ) A .2 B .3 C .2 D .4 2.化简+ + + 的结果是( ) A . B . C . D . 3.已知向量(1,2),(4,)a b m ==-v v ,若2a b +v v 与a v 垂直,则m =( ) A .-3 B .3 C .-8 D .8 4.已知向量(1,1)a =-r ,(1,)b m =r ,若(2)4a b a -?=r r r ,则m =() A .1- B .0 C .1 D .2 5.设向量(12)a =-r , ,(1)b m =r ,,若向量a r 与b r 平行,则a b ?=r r A .27- B .21- C .23 D .2 5 6.在菱形ABCD 中,对角线4AC =,E 为CD 的中点,则AE AC ?=u u u r u u u r ( ) A .8 B .10 C .12 D .14 7.在△ABC 中,若点D 满足2BD DC =u u u v u u u v ,则AD =u u u v ( ) A .1233AC A B +u u u v u u u v B .5233AB A C -u u u v u u u v C .2133AC AB -u u u v u u u v D .2133 AC AB +u u u v u u u v 8.在ABC ?中,已知90BAC ∠=o ,6AB =,若D 点在斜边BC 上,2CD DB =,则AB AD ?u u u r u u u r 的值为 ( ). A .6 B .12 C .24 D .48 9.已知向量(1,1),(2,2),m n λλ→ → =+=+若()()m n m n → → → → +⊥-,则=λ( ) A .4- B .3- C .2- D .1- 10.已知向量(12)=,a ,(4)x =,b ,若向量//a b ,则实数的x 值为 A .2 B .2- C .8 D .8- 11.已知向量()()2,1,3,4==-a b ,则2+=a b A .()1,5- B .()1,5 C .()1,6- D .()1,6 12.已知向量()()2,1,3,4==-a b ,则+=a b A .()1,5- B .()1,5 C .()1,3-- D .()1,3

高中数学平面向量doc

专题讲座 高中数学“平面向量” 一、整体把握“平面向量”教学内容 (一)平面向量知识结构图 (二)重点难点分析

本专题内容包括:平面向量的概念、运算及应用. 课标要求: 平面向量(约12课时) (1)平面向量的实际背景及基本概念 通过力和力的分析等实例,了解向量的实际背景,理解平面向量和向量相等的含义,理解向量的几何表示。(2)向量的线性运算 ①通过实例,掌握向量加、减法的运算,并理解其几何意义。 ②通过实例,掌握向量数乘的运算,并理解其几何意义,以及两个向量共线的含义。 ③了解向量的线性运算性质及其几何意义。 (3)平面向量的基本定理及坐标表示 ①了解平面向量的基本定理及其意义。 ②掌握平面向量的正交分解及其坐标表示。 ③会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算。 ④理解用坐标表示的平面向量共线的条件。 (4)平面向量的数量积

①通过物理中“功”等实例,理解平面向量数量积的含义及其物理意义。 ②体会平面向量的数量积与向量投影的关系。 ③掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算。 ④能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。 (5)向量的应用 经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其他一些实际问题的过程,体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具,发展运算能力和解决实际问题的能力。 依据课标要求,并结合前面的分析可知:新概念、新运算的定义,向量运算和向量运算的几何意义是本专题的重点,平面向量基本定理是坐标表示(几何代数化)的关键,也是本专题教学的难点。 二、“平面向量”教与学的策略 (一)在概念教学中,依据概念教学的方法,建构概念知识体系 本专题的教学中,向量、向量的运算等都是新定义的概念,如何让这些概念的出现自然轻松,还能让学生迅速把握住本质,达成理解?不妨遵循概念教学的方法。 比如说:“向量的概念”教学中,可从力、位移等实例引入,进行抽象概括,形成向量的概念。之后,提出“温度、功是不是向量?”这样的问题,通过比较,对向量的概念进行辨析,在此基础上,抓住向量的两个要点:大小、方向进行拓展,按如下表格整理,将向量概念精致化。 概念辨析:

高中数学-空间向量及向量的应用

高中数学 - 空间向量及向量的应用 空间直角坐标系的原则: 规定:一切空间向量的起点都是坐标系原点,于是,空间任意一个向量与它的终点坐标一一对应 一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。 设 , , 空间向量的直角坐标运算: 空间两点间距离: ; 1:利用空间向量证明空间位置关系(同平面向量) 2:利用空间向量求线线角、线面角 1 )异面直线所成角 设 分别为异面直线 的方向向量,则 则: 空间线段 的中点 M (x ,y ,z )的坐标:

2 )线面角 设 是直线 l 的方向向量, n 是平面的法向量,则 3 :利用空间向量求二面角 其计算公式为:设 分别为平面 的法向量,则 与 互补或相等, 操作方法: 1.空间中各种角包括:异面直线所成的角、直线与平面所成的角以及二面角。 ①棱上一点双垂线法:②面上一点三垂线法:③空间一点垂面法: 斜面面积和射影面积的关系公式: S S cos ( S 为原斜面面积 , S 为射影面积 , 为斜面与射影所成二面 角的平面角 )这个公式对于斜面为三角 形 , 任意多边形都成立 . 是求二面角的好方法 .当作二面角的平面角有困难时 如果能找得斜面面积的射影面积 ,可直接应用公式 ,求出二面角的大小。 2.空间的距离 点线距,点面距,线线距,线面距,面面距都是对应图形上两点间的最短距离 3.空间向量的应用 (1)用法向量求异面直线间的距离 2)直线与平面所成的角的范围是 [0, ] 。射影转化法 2 方法 3)二面角的范围一般是指 (0, ],解题时要注意图形的位置和题目的要求。作二面角的平面角常有三种 1)异面直线所成的角的范围 是 b F

【人教A版】2020高中数学必修四导学案:第二章平面向量_含答案

第二章 平面向量 1 向量和差作图全攻略 两个非零向量的和差作图,对同学们是一个难点,这里对其作图方法作出细致分析,以求尽快掌握. 一、向量a 、b 共线 例1 如图,已知共线向量a 、b ,求作a +b . (1)a 、b 同向; (2)a 、b 反向,且|a |>|b |; (3)a 、b 反向,且|a |<|b |. 作法 在与a 平行的同一条直线上作出三个向量OA →=a ,AB →=b ,OB → =a +b ,具体作法是:当 a 与 b 方向相同时,a +b 与a 、b 的方向相同,长度为|a |+|b |;当a 与b 方向相反时,a +b 与a 、b 中长度长的向量方向相同,长度为||a |-|b ||.为了直观,将三个向量中绝对值最 大的向量沿与a 垂直的方向稍加平移,然后分别标上a ,b ,a +b .作图如下: 例2 如图,已知共线向量a 、b ,求作a -b . (1)a 、b 同向,且|a |>|b |; (2)a 、b 同向,且|a |<|b |; (3)a 、b 反向. 作法 在平面上任取一点O ,作OA →=a ,OB →=b ,则BA → =a -b .事实上a -b 可看作是a +(- b ),按照这个理解和a +b 的作图方法不难作出a -b ,作图如下: 二、向量a 、b 不共线 如果向量不共线,可以应用三角形法则或平行四边形法则作图.

例3 如图,已知向量a 、b . 求作:(1)a +b ;(2)a -b . 作法1 (应用三角形法则) (1)一般情况下,应在两已知向量所在的位置之外任取一点O . 第一步:作OA → =a ,方法是将一个三角板的直角边与a 重合,再将直尺一边与三角板的另一直角边重合,最后将三角板拿开,放到一直角边过点O ,一直角边与直尺的一边重合的位置,在此基础上取|OA →|=|a |,并使OA → 与a 同向. 第二步:同第一步方法作出AB →=b ,一定要保证方向相同且长度相等.(此处最易错的是把AB → 作成与b 的方向相反.) 第三步:作OB →,即连接OB ,在B 处打上箭头,OB → 即为a +b . 作图如下: (2)第一步:在平面上a ,b 位置之外任取一点O ; 第二步:依照前面方法过O 作OA →=a ,OB → =b ; 第三步:连接AB ,在A 处加上箭头,向量BA → 即为a -b . 作图如下: 点评 向量加法作图的特点是“首尾相接,首尾连”;向量减法作图的特点是“共起点,连终点,箭头指被减”. 作法2 (应用平行四边形法则) 在平面上任取一点A ,以点A 为起点作AB → =a , AD → =b ,以AB ,AD 为邻边作?ABCD ,则AC →=a +b ,DB → =a -b .作图如下:

2020年高考数学平面向量专题复习(含答案)

2020年高考数学平面向量专题练习 一、选择题 1、P是双曲线上一点,过P作两条渐近线的垂线,垂足分别为A,B 求的值() A. B. C. D. 2、向量,,若,且,则x+y的值为() A.-3 B.1 C.-3或1 D.3或1 3、已知向量满足,若,则向量在方向上的投影为A. B. C.2 D.4 4、.如图,为等腰直角三角形,,为斜边的高,为线段的中点,则 () A.B. C.D. 5、在平行四边形中,,若是的中点,则() A. B. C. D. 6、已知向量,且,则()

A. B. C. D. 7、已知是边长为2的等边三角形,D为的中点,且,则( ) A. B.1 C. D. 3 8、在平行四边形ABCD中,,则该四边形的面积为 A. B. C.5 D.10 9、下列命题中正确的个数是() ⑴若为单位向量,且,=1,则=;⑵若=0,则=0 ⑶若,则;⑷若,则必有;⑸若,则 A.0 B.1 C.2 D.3 10、如图,在扇形中,,为弧上且与不重合的一个动点,且,若存在最大值,则的取值范围为() 二、填空题 11、已知向量与的夹角为120°,且,则____. 12、若三点满足,且对任意都有,则的最小值为________. 13、已知,,则向量在方向上的投影等于___________. 14、.已知,是夹角为的两个单位向量,,,若,则实数的值为 __________.

15、已知向量与的夹角为120°,,,则________. 16、已知中,为边上靠近点的三等分点,连接为线段的中点,若 , 则__________. 17、已知向量为单位向量,向量,且,则向量的夹角为. 18、在矩形ABCD中,已知E,F分别是BC,CD上的点,且满足,。若 (λ,μ∈R),则λ+μ的值为。 三、简答题 19、已知平面直角坐标系中,向量,,且. (1)求的值;(2)设,求的值. 20、已知向量=(sin,cos﹣2sin),=(1,2). (1)若∥,求的值; (2)若,0<<,求的值. 21、已知向量,.(1)若在集合中取值,求满足的概率;(2)若 在区间[1,6]内取值,求满足的概率. 22、在平面直角坐标系xOy中,已知向量, (1)求证:且; (2)设向量,,且,求实数t的值.

高中数学平面向量习题及答案

第二章 平面向量 一、选择题 1.在△ABC 中,AB =AC ,D ,E 分别是AB ,AC 的中点,则( ). A .AB 与AC 共线 B .DE 与CB 共线 C .与相等 D .与相等 2.下列命题正确的是( ). A .向量与是两平行向量 B .若a ,b 都是单位向量,则a =b C .若=,则A ,B ,C , D 四点构成平行四边形 D .两向量相等的充要条件是它们的始点、终点相同 3.平面直角坐标系中,O 为坐标原点,已知两点A (3,1),B (-1,3),若点C 满足=α OA +β OB ,其中 α,β∈R ,且α+β=1,则点C 的轨迹方程为( ). A .3x +2y -11=0 B .(x -1)2+(y -1)2=5 C .2x -y =0 D .x +2y -5=0 4.已知a 、b 是非零向量且满足(a -2b )⊥a ,(b -2a )⊥b ,则a 与b 的夹角是( ). A . 6 π B . 3 π C . 23 π D . 56 π 5.已知四边形ABCD 是菱形,点P 在对角线AC 上(不包括端点A ,C ),则=( ). A .λ(+),λ∈(0,1) B .λ(+),λ∈(0,22 ) C .λ(-),λ∈(0,1) D .λ(-),λ∈(0, 2 2) 6.△ABC 中,D ,E ,F 分别是AB ,BC ,AC 的中点,则=( ). A .+ B .- C .+ D .+ 7.若平面向量a 与b 的夹角为60°,|b |=4,(a +2b )·(a -3b )=-72,则向量a 的模为( ). (第1题)

高中数学的空间向量知识

高中数学的空间向量知识 基本内容 空间向量作为新加入的内容,在处理空间问题中具有相当的优越性,比原来处理空间问题的方法更有灵活性。 如把立体几何中的线面关系问题及求角求距离问题转化为用向量解决,如何取向量或建立空间坐标系,找到所论证的平行垂直等关系,所求的角和距离用向量怎样来表达是问题的关键.立体几何的计算和证明常常涉及到二大问题:一是位置关系,它主要包括线线垂直,线面垂直,线线平行,线面平行;二是度量问题,它主要包括点到线、点到面的距离,线线、线面所成角,面面所成角等。这里比较多的主要是用向量证明线线、线面垂直及计算线线角,而如何用向量证明线面平行,计算点到平面的距离、线面角及面面角的例题不多,起到一个抛砖引玉的作用。 以下用向量法求解的简单常识: 1、空间一点P位于平面MAB的充要条件是存在唯一的有序实数对x、y,使得PM=xPA+yPB(其中PM等为向量,由于图不方便做就如此代替,下同) 2、对空间任一点O和不共线的三点A,B,C,若:OP=xOA+yOB+zOC (其中x+y+z=1),则四点P、A、B、C共面. 3、利用向量证a‖b,就是分别在a,b上取向量(k∈R). 4、利用向量证在线a⊥b,就是分别在a,b上取向量. 5、利用向量求两直线a与b的夹角,就是分别在a,b上取,求:的问题. 6、利用向量求距离就是转化成求向量的模问题:. 7、利用坐标法研究线面关系或求角和距离,关键是建立正确的空间直角坐标系,正确表达已知点的坐标. 首先该图形能建坐标系 如果能建 则先要会求面的法向量 求面的法向量的方法是 1。尽量在空中找到与面垂直的向量 2。如果找不到,那么就设n=(x,y,z) 然后因为法向量垂直于面 所以n垂直于面内两相交直线

(新课程)高中数学 第18课时(向量的加法)导学案 苏教版必修4

总 课 题 平面向量 总课时 第18课时 分 课 题 向量的加法 分课时 第 1 课时 教学目标 理解向量加法的含义,会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和,掌握加法的交换律和结合律,并会用它们进行向量的运算。 重点难点 向量加法的三角形法则和平行四边形法则。向量加法的交换律和结合律。 引入新课 问题1、利用向量的表示,从景点O 到景点A 的位移为OA ,从景点A 到景点B 的位移为AB ,那么经过这两次位移后游艇的合位移是OB (如图) 这里,向量OA ,AB ,OB 三者之间有什么关系? 1、向量加法的定义________________________________________________________ 2、向量加法的三角形法则___________________________________________________ 具体步骤: (1)把两个向量平移后,使两个向量的一个起点与另一个起点相连。 (2)将剩下的起点与终点相连,并指向终点,则该向量为两个向量的和。 简记为“首尾相连,首是首,尾是尾” 3、向量加法的平行四边形法则_______________________________________ 4、对于零向量和任一向量a 有 a a a =+=+00,对于相反向量有()()0 =+-=-+a a a a 5、向量加法的运算律 交换律____________________________ 结合律______________________________ 6、如果平面内有n 个向量依次首尾连接组成一条封闭折线,那么这n 个向量的和是什么? 例题剖析 例1、作出下列向量的和: O B A a b b b a a (1) (2) (3)

高中数学(理)空间向量知识点归纳总结及综合练习

空间向量知识点归纳总结 知识要点。 1. 空间向量的概念:在空间,我们把具有大小和方向的量叫做向量。 注:(1)向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。 (2)空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示。 2. 空间向量的运算。 3. 共线向量。 (1)如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合,那么这些向量也叫做共线向量或平行向量, a 平行于 b ,记作b a //。 》 (2)共线向量定理:空间任意两个向量a 、b (b ≠0 ),a b a b 共面向量 (1)定义:一般地,能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。 说明:空间任意的两向量都是共面的。 (2)共面向量定理:如果两个向量,a b 不共线,p 与向量,a b 共面的条件是存在实数,x y 使 p xa yb =+。 5. 空间向量基本定理:如果三个向量,,a b c 不共面,那么对空间任一向量p ,存在一个唯一的有序实数组 ,,x y z ,使p xa yb zc =++。 若三向量,,a b c 不共面,我们把{,,}a b c 叫做空间的一个基底,,,a b c 叫做基向量,空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。 推论:设,,,O A B C 是不共面的四点,则对空间任一点P ,都存在唯一的三个有序实数,,x y z ,使 OP xOA yOB zOC =++。 6. 空间向量的直角坐标系: ~ (1)空间直角坐标系中的坐标: (2)空间向量的直角坐标运算律: ①若123(,,)a a a a =,123(,,)b b b b =,则112233(,,)a b a b a b a b +=+++, 112233(,,)a b a b a b a b -=---,123(,,)()a a a a R λλλλλ=∈, 112233a b a b a b a b ?=++, 112233//,,()a b a b a b a b R λλλλ?===∈, 1122330a b a b a b a b ⊥?++=。 ②若111(,,)A x y z ,222(,,)B x y z ,则212121(,,)AB x x y y z z =---。 一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。 》

(完整版)高中数学空间向量训练题

高中数学空间向量训练题(含解析) 一.选择题 1.已知M、N分别是四面体OABC的棱OA,BC的中点,点P在线MN上,且MP=2PN,设向量=,=,=,则=() A.++B.++C.++D.++ 2.已知=(2,﹣1,2),=(﹣1,3,﹣3),=(13,6,λ),若向量,,共面,则λ=() A.2 B.3 C.4 D.6 3.空间中,与向量同向共线的单位向量为() A.B.或 C. D.或 4.已知向量,且,则x的值为() A.12 B.10 C.﹣14 D.14 5.若A,B,C不共线,对于空间任意一点O都有=++,则P,A,B,C四点() A.不共面B.共面C.共线D.不共线 6.已知平面α的法向量是(2,3,﹣1),平面β的法向量是(4,λ,﹣2),若α∥β,则λ的值是()

A.B.﹣6 C.6 D. 7.已知,则的最小值是()A.B.C.D. 8.有四个命题:①若=x+y,则与、共面;②若与、共面,则=x+y;③若=x+y,则P,M,A,B共面;④若P,M,A,B共面,则=x+y.其中真命题的个数是() A.1 B.2 C.3 D.4 9.已知向量=(2,﹣1,1),=(1,2,1),则以,为邻边的平行四边形的面积为()A.B.C.4 D.8 10.如图所示,在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中,AD=AA1=1,AB=2,点E是棱AB的中点,则点E到平面ACD1的距离为() A.B. C.D. 11.正方体ABCDA1B1C1D1中,直线DD1与平面A1BC1所成角的正弦值为() A. B. C.D. 二.填空题(共5小题) 12.已知向量=(k,12,1),=(4,5,1),=(﹣k,10,1),且A、B、C三点共线,则k= . 13.正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1,MN是正方体内切球的直径,P为正方体表面上的动点,则?的最大值为. 14.已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点,如果=(2,﹣1,﹣4),=(4,

高中数学导学案

§3.1.2 空间向量的数乘运算(一) 班级:二年级 组名:数学 设计人: 审核人: 领导审批: 学习目标 1. 掌握空间向量的数乘运算律,能进行简单的代数式化简; 2. 理解共线向量定理和共面向量定理及它们的推论; 3. 能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题. P 86~ P 87,找出疑惑之处) 复习1:化简:⑴ 5(32a b - )+4(23b a - ); ⑵ ()()63a b c a b c -+--+- . 2:在平面上,什么叫做两个向量平行? 在平面上有两个向量,a b ,若b 是非零向量,则a 与b 平行的充要条件 学习探究(由学生完成) 问题:空间任意两个向量有几种位置关系?如何判定它们的位置关 系? 新知:空间向量的共线: 1. 如果表示空间向量的 所在的直线互相 或 ,则这些向量叫共线向量,也叫平行向量. 2. 空间向量共线: 定理:对空间任意两个向量,a b (0b ≠ ), //a b 的充要条件是存在唯一 实数λ,使得 推论:如图,l 为经过已知点A 且平行于已知非零向量的直线,对空间的任意一点O ,点P 在直线l 上的充要条件是 反思:充分理解两个向量,a b 共线向量的充要条件中的0b ≠ ,注意零向 量与任何向量共线. 知识应用:已知5,28,AB a b BC a b =+=-+ ()3CD a b =- ,求证: A,B,C 三点共线. 精讲例题 例1 已知直线AB ,点O 是直线AB 外一点,若O P xO A yO B =+ ,且x +y =1, 试判断A,B,P 三点是否共线?

变式:已知A,B,P 三点共线,点O 是直线AB 外一点,若12 O P O A tO B =+ , 那么t = 例2 已知平行六面体''''ABC D A B C D -,点M 是棱AA ' 的中点,点G 在 对角线A ' C 上,且CG:GA ' =2:1,设CD =a ,' ,CB b CC c == ,试用向量,,a b c 表示向量' ,,,C A C A C M C G . 变式1:已知长方体''''ABC D A B C D -,M 是对角线AC ' 中点,化简下列 表达式:⑴ ' AA CB - ;⑵ '''''AB B C C D ++ ⑶ ' 111222 AD AB A A +- 变式2:如图,已知,,A B C 不共线,从平面ABC 外任一点O ,作出点,,,P Q R S ,使得: ⑴22OP OA AB AC =++ ⑵32O Q O A AB AC =-- ⑶32OR OA AB AC =+- ⑷ 23OS OA AB AC =+- . 小结(由学生完成)空间向量的化简与平面向量的化简一样,加法注意向量的首尾相接,减法注意向量要共起点,并且要注意向量的方向. ※ 动手试试(由学生完成) 练1. 下列说法正确的是( ) A. 向量a 与非零向量b 共线,b 与c 共线,则a 与c 共线; B. 任意两个共线向量不一定是共线向量; C. 任意两个共线向量相等; D. 若向量a 与b 共线,则a b λ= . 2. 已知32,(1)8a m n b x m n =-=++ ,0a ≠ ,若//a b ,求实数.x 三、总结提升 ※ 学习小结 1. 空间向量的数乘运算法则及它们的运算律; 2. 空间两个向量共线的充要条件及推论. 知识拓展 平面向量仅限于研究平面图形在它所在的平面内的平移,而空间向量研究的是空间的平移,它们的共同点都是指“将图形上所有点沿相同的方向移动相同的长度”,空间的平移包含平面的平移.

届高三文科数学平面向量专题复习

2014届高三数学四步复习法—平面向量专题(311B ) 第一步:知识梳理——固本源,基础知识要牢记 1.基本概念:(1)向量:既有大小又有方向的量. (2)向量的模:有向线段的长度,a r . (3)单位向量:长度为1 的向量 .(4)零向量0r ,00=r ,方向任意. (5)相等向量:长度相等,方向相同.(6)共线向量(平行向量):方向相同或相反的向量。 规定零向量与任意向量平行。 (7)向量的加减法 ①共起点的向量的加法:平行四边形法则 ②首尾相连的向量的加法:口诀:首尾连,起点到终点. 如:AB BC CD AD ++=u u u r u u u r u u u r u u u r ③共起点的向量的减法:共起点,连终点,指向被减向量 ④化减为加:AB AC AB CA CA AB CB -=+=+=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r (8)平面向量基本定理(向量的分解定理)1e u r ,2e u u r 是平面内两个不共线的 向量,a r 为该平面内任一向量,则存在唯一的实数对12,λλ,使得 1122a e e λλ=+u r u u r r ,12,e e u r u u r 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.

2. 平面向量的坐标运算?? ①设()()1122,,,a x y b x y ==r r ,则()()()11221212,,,a b x y x y x x y y ±=±=±±r r ; ()()1111,,a x y x y λλλλ==r , ②(),B A B A AB x x y y =--u u u r ,AB = u u u r ③(),a x y =r ,则a =r 3. 平面向量的数量积 ①向量a r 与b r 的数量积:cos a b a b θ?=r r r r (θ为向量a r 与b r 的夹角,[]0,θπ∈) ; ②若()()1122,,,a x y b x y ==r r ,则1212a b x x y y ?=+r r ; ③22a a a a =?=r r r r ;④a r 在b r 方向上的投影:cos a θr (θ为向量a r 与b r 的夹角); ⑤θ为锐角?0a b ?r r f ,且a r 与b r 不同向;θ为钝角?0a b ?r r p ,且a r 与b r 不 反向; θ为直角?0a b ?=r r (θ为向量a r 与b r 的夹角). 4.向量的平行: ① a r ∥b r a b λ?=r r (0b ≠r r ,λ唯一确定); ②a r ∥b r 1221x y x y ?= 5.向量的垂直: 121200a b a b x x y y ⊥??=?+=r r r r 第二步:典例精析——讲方法,究技巧,悟解题规律.

高一数学平面向量知识点及典型例题解析

高一数学 第八章 平面向量 第一讲 向量的概念与线性运算 一.【要点精讲】 1.向量的概念 ①向量:既有大小又有方向的量。几何表示法AB u u u r ,a ;坐标表示法),(y x j y i x a 。 向量的模(长度),记作|AB u u u r |.即向量的大小,记作|a |。向量不能比较大小,但向量的模可以比较大小. ②零向量:长度为0的向量,记为0 ,其方向是任意的,规定0r 平行于任何向量。(与0的区别) ③单位向量| a |=1。④平行向量(共线向量)方向相同或相反的非零向量,记作a ∥b ⑤相等向量记为b a 。大小相等,方向相同 ),(),(2211y x y x 2121y y x x 2.向量的运算(1)向量加法:求两个向量和的运算叫做向量的加法.如图,已知向量a ,b ,在平面内任 取一点A ,作AB u u u r a ,BC u u u r b ,则向量AC 叫做a 与b 的和,记作a+b ,即 a+b AB BC AC u u u r u u u r u u u r 特殊情况: a b a b a+b b a a+b (1) 平行四边形法则三角形法则C B D C B A A 向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加: AB BC CD PQ QR AR u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r L ,但这时必须“首尾相连”。②向量减法: 同一个图中画出 a b a b r r r r 、 要点:向量加法的“三角形法则”与“平行四边形法则”(1)用平行四边形法则时,两个已知向量是要共始点的,和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线,而差向量是另一条对角线,方向是从减向量指向被减向量。(2) 三角形法则的特点是“首尾相接”,由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和;差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点.(3)实数与向量的积 3.两个向量共线定理:向量b 与非零向量a 共线 有且只有一个实数 ,使得b =a 。 二.【典例解 析】 题型一: 向量及与向量相关的基本概念概念 例1判断下列各命题是否正确 (1)零向量没有方向 (2)b a 则, (3)单位向量都相等 (4) 向量就是有向线段

高中数学-空间向量及向量的应用

高中数学-空间向量及向量的应用 一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。 设血勺乃召),氓叫?乃w ), AB = OB-OA=(^y 2l 切—(吊丹 丑)=(乃—咛乃—丹 勺一匂) 空间向量的直角坐标运算: 设Q = 2],砌,色3 $ =1鹉毎妇则; ① 口+ b= P],曲,电 宀|俎,给禺 ?=I 角十知鬥 +為、屯 +鸟I ? ② a-b = \ a^a 2,a 21■ 诲.场岛i =(业一% 气-如 码一為 帀 ③ 加=兄I 曲卫2,? ' = I 現珂"久卷 '(/i e 7?); ④ 总■&= |气命4 片妇任 | = &占 + 逐血 +&並: ⑤ 口0Fe 鱼二 空三生=左或。『舌寻口[三碣‘ - 冊节 处二赵; 对? $ ⑥ 7丄匸q 口血十口曲十m 禺=0 ; 空间两点间距离:丄“ 「 1 :利用空间向量证明空间位置关系(同平面向量) 2:利用空间向量求线线角、线面角 (1)异面直线所成角Z ? gw 设Q”分别为异面直线讥的方向向量,则 则: 空间线段 的中点M (x ,y ,z )的坐标: 空间直角坐标系的原则: 规定:一切空间向量的起点都是坐标系原点,于是,空间任意一个向量与它的终点坐标一一对应

(2) 线面角凰打殳《是直线l 的方向向量,n 是平面的法向量,则 3 :利用空间向量求二面角 其计算公式为:设 加“分别为平面G 8的法向量,则 与,剤7 互补或相等, - ? ? . m * n |( csfl i = | A>| = I 忘I * I 云I 操作方法: 1 ?空间中各种角包括:异面直线所成的角、直线与平面所成的角以及二面角。 ①棱上一点双垂线法:②面上一点三垂线法:③空间一点垂面法: 斜面面积和射影面积的关系公式: S S cos (S 为原斜面面积,S 为射影面积,为斜面与射影所成二面 角的平面角)这个公式对于斜面为三角形 ,任意多边形都成立.是求二面角的好方法.当作二面角的平面角有困难时 如果能找得斜面面积的射影面积 ,可直接应用公式,求岀二面角的大小。 2 ?空间的距离 点线距,点面距,线线距,线面距,面面距都是对应图形上两点间的最短距离 3 ?空间向量的应用 (1 )用法向量求异面直线间的距离 CQS P rris-:欧 * b (1)异面直线所成的角的范围是 (2 )直线与平面所成的角的范围是 [0,—]。射影转 化法 2 方法 (3 )二面角的范围一般是指 (0,],解题时要注意图形的位置和题目的要求。作二面角的平面角常有三种 b F

人教版-高一数学必修4全套导学案

第二章平面向量 2.1 向量的概念及表示 【学习目标】 1.了解向量的实际背景,理解平面向量的概念和向量的几何表示;掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量的概念;并会区分平行向量、相等向量和共线向量; 2.通过对向量的学习,使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别; 3.通过学生对向量与数量的识别能力的训练,培养学生认识客观事物的数学本质的能力。【学习重难点】 重点:平行向量的概念和向量的几何表示; 难点:区分平行向量、相等向量和共线向量; 【自主学习】 1.向量的定义:__________________________________________________________; 2.向量的表示: (1)图形表示: (2)字母表示: 3.向量的相关概念: (1)向量的长度(向量的模):_______________________记作:______________ (2)零向量:___________________,记作:_____________________ (3)单位向量:________________________________ (4)平行向量:________________________________ (5)共线向量:________________________________ (6)相等向量与相反向量:_________________________ 思考: (1)平面直角坐标系中,起点是原点的单位向量,它们的终点的轨迹是什么图形?____ (2)平行向量与共线向量的关系:____________________________________________ (3)向量“共线”与几何中“共线”有何区别:__________________________________ 【典型例题】 例1.判断下例说法是否正确,若不正确请改正: (1)零向量是唯一没有方向的向量; (2)平面内的向量单位只有一个; (3)方向相反的向量是共线向量,共线向量不一定是相反向量; b c,则a和c是方向相同的向量; (4)向量a和b是共线向量,//

高三数学平面向量专题复习

高三数学平面向量专题复习 一、选择题: 1.若r r |a -b|=r r |a|=4, |b|=5,则r r a与b 的数量积为 ( ) A .10 3 B .-10 3 C .10 2 D .10 2.若点P 分 AB 所成的比为 4 3 ,则A 分BP 所成的比是( ) A.73 B. 37 C.- 37 D.-7 3 3.若将向量r a =(2, 1)围绕原点按逆时针方向旋转π 4 得到向量b r ,则向量b r 的坐标为( ) A .) 2 23,22(-- B .)223,22( C .)22,223(- D .)2 2,223(- 4.在矩形ABCD 中,u u r u u r u u r u u r u u r u u r 设11AE =AB,BF =BC, AB =(a,0),AD =(0,b)22,当u u r u u r EF ⊥DE 时, |a| |b| 的值为 ( ) A .2 B .3 C .2 D .3 5.已知A (5,7),B (2,3),将u u r r AB a 按=(4,1)平移后的坐标为 ( ) A .(-3,-4) B .(-4,-3) C .(1,-3) D .(-3,1) 6.将函数 )(x f y =图象上的点P (1,0)平移至P ′(2,0),则经过这种平移后得到的新 函数的解析式为 ( ) A .y =f(x -1) B .y =f(x)-1 C .y =f(x +1) D .y =f(x)+1 7.设点P 分有向线段21P P 的比是λ,且点P 在有向线段21P P 的延长线上,则λ的取值范围是( ) A.(-∞,-1) B.(-1,0) C.(-∞,0) D.(-∞,-2 1 ) 8.已知02 =+?AB BC AB ,则△ABC 一定是 ( ) A .锐角三角形 B .直角三角形 C .钝角三角形 D .等腰直角三角形 9.若非零向量r r a,b 互相垂直,则下列各式中一定成立的是 ( ) A .r r r r a + b =a -b B .r r r r |a +b|=|a -b| C .r r r r (a +b)(a -b)=0 D .r r 2 (a -b)=0 10.设四边形ABCD 中,有DC =2 1 ,且||=|BC |,则这个四边形是( ) A.平行四边形 B.矩形 C.等腰梯形 D.菱形 11.已知平行四边形的3个顶点为A(a,b),B(-b,a),C(0,0),则它的第4个顶点D 的坐标是 A.(2a,b) B.(a-b,a+b) C.(a+b,b-a) D.(a-b,b-a) 12.将椭圆0716******* 2 =---+y x y x 按向量r a 平移,使中心与原点重合,则r a 的坐标为 ( ) A .(2,1) B .(-1,-2) C .(-1,2) D .(1,-2)

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