对公平的席位分配问题解法的一点补充
222008314011010 刘欢
08数统一班
为叙述简单，仍然采用书中的例子如下
一．提出问题：
某学校有3个系共200名学生,其中甲系100名,乙系60名,丙系40名。若学生代表会议设20个席位,公平而又简单的席位分配办法是按学生人数的比例分配,显然甲、乙、丙三系分别应占有10，6，4个席位。现在丙系有3名学生转入甲系， 3名学生转入乙系，仍按比例分配席位出现了小数，三系同意，在将取得整数的19席位分配完毕后，剩下的1席位参照所谓惯例分给比例中小数最大的丙系，于是三系仍分别占有10，6，4个席位。按比例并参照惯例的席位分配。
由于20个席位的代表会议在表决时可能出现10∶10的局面，会议决定下一届增加1席，按照上述方法重新分配席位，计算结果是甲、乙、丙三系分别应占有11，7，3个席位。显然这个结果对丙系太不公平了，因总席位增加1席，而丙系却由4席减为3席。
请问：如何分配才算是公平？
二．书中模型 用Q 值法求解如下
设A ，B 两方，人数分别为1p 和2p ，占有席位分别是1n 和2n ，当1122=p n p n 时席位的分配公平。但人数为整数，通常1122≠p n p n 。这时席位分配不公平，且
/p n 较大的一方吃亏。
当1122>p n p n 时，定义
1122
1222
-=
(,)A p n p n r n n p n （1）
为对A 的相对不公平值。
当1122
2211
1211
-=
(,)B p n p n r n n p n （2）
为对B 的相对不公平值。
要使分配方案尽可能公平，制定席位分配方案的原则是使12(,)A r n n 和12(,)B r n n 都尽可能小. 假设，A B 两方分别占有1n 和2n 席，利用相对不公平值A r 和B r 讨论，当总席位增加1席时，应该分配给A 还是B 。不妨设1122>p n p n ，即对A 不公平，当再分配一个席位时，有以下三种情况：
(1) 当
22
1>+11p p
n n 时，说明即使给A 增加1席，仍然对A 不公平，所以这一席显然应给A 方. (2)当
22
1<+11p p
n n 时，说明给A 增加1席后，变为对B 不公平，此时对B 的相对不公平值为 211212
11-1 ++=
()
(,)B p n r n n p n （3）
(3)当
221
>+11p p
n n 时，这说明给B 增加1席，将对A 不公平，此时对A 的相对不公平值为
121221
11-1 ++=
()
(,)A p n r n n p n （4）
因为公平分配席位的原则是使相对不公平值尽可能小，所以如果
121211 +<+(,)(,)B A r n n r n n （5）
则这1席给A 方，反之这1席给B 方.
由(3)(4)可知，(5)等价于
2
1222211<
11++()
()
p p n n n n （6）
不难证明上述的第(1)种情况
22
1>+11p p
n n 也与(6)式等价,于是我们的结论是当(6)式成立时,增加的1席应给A 方,反之给B 方。
若记
2, =1,2
1=
+()
i i i i p Q i n n
则增加的1席给Q 值大的一方.
上述方法可以推广到有m 方分配席位的情况.设第i 方人数为i p ，已占有i n 个席位。当总席位增加1席时，计算
2, =1,2
1=
+()
i i i i p Q i m n n ，，
则增加的1席应分配给Q 值大的一方.这种席位分配的方法称为Q 值法。
下面用Q 值法讨论甲乙丙三系分配21个席位的问题.先按照比例将整数部分的19席分配完毕,有1231063===n n n ，，。再用Q 值法分配第20席和第21席。
分配第20席，计算得
21103=96.41011=?Q ，2263=94.567=?Q ，2
334=96.334
=?Q
1Q 最大，于是这1席应分给甲系.
分配第21席，计算得
21103=80.41112=?Q ，2263=94.567=?Q ，2
334=96.334
=?Q
3Q 最大，于是这1席应分给丙系. 三．解法补充
1.S 值法
将
/p n 看做平均数，要求使
1
n
i i i p p S n n
==
-∑
的值最小。这种方法类似于求
方差最小的方法，计算起来也相对简单。下面来用这个方法解决上述问题。
现设三系分别得到了10,6,3个席位，先来分配第20个席位：
2001020
p n == 1110310.310p n ==；226310.56
p n ==；333411.333p n ==
(1)
若将第20个席位分给甲系，则
111039.3611
p n ==，S=0.64+0.5+1.33=2.47 (2)
若将第20个席位分给乙系，则
226397
p n ==，S=0.3+1+1.33=2.63 (3)
若将第20个席位分给丙系，则
33348.54
p n ==，S=0.3+0.5+1.5=2.3 所以第20席应分给丙系，这与前面的Q 值法是不同的。
下面分配第21个席位，方法同上
2009.5221
p n == 1110310.310p n ==；226310.56p n ==；33348.54
p n == （1） 若将第21个席位分给甲系，则
11103
9.3611
p n ==，S=0.16+0.98+1.02=2.16 （2） 若将第21个席位分给乙系，则
2263
97
p n ==，S=0.78+0.52+1.02=2.32 （3） 若将第21个席位分给丙系，则
3334 6.85
p n ==，S=0.78+0.98+2.72=4.48 所以第21席应该分给甲系，各系分别获得11,6,4席位，与之前的结果相同。
这种解法的优点是能够保证总体的上的一种平衡。
2.根据i
i
p n 的大小来分配
即将增加的一席分给
i i
p n 最大的一方，根据上面的计算，第20席应分给丙系，第21席则应分
给乙系，因此得到的最终结果为甲乙丙分别获得10,7,4个席位。这与上面两种的结果虽然不同，但没有损害到任何一系的既得利益，因此也是可以的。
四．总结
虽然绝对公平的分配方法是不存在的，但上面几种解法都可以保证不出现总席位增加而某一方的席位数却减少的情况，因此都是可行的。对于席位分配模型还有需对其他解法，如最大概率论等，都比较复杂，在这里只是讨论了一些相对简单的解法。
题目：公平的席位分配问题 摘要 数学问题中离不开分配问题，下面我就以公平的席位分配问题进行分析。在以下的分析中，我会先按照比例的分配方法分配，再按照比例家惯例的方法进行分配，表示不公平的席位分配，最后我们利用Q值法对题目进行重新分配，以Q 值的特性使得对其席位的分配更加公平。比例法是我们生活中必不可少的分配方法，但是在有的时候使用Q值法会得到更加的公平分配。 关键词：席位分配比例法比例加惯例 Q值法 一、问题的重述与分析 1.1 问题的重述 某学校有3个系学生共200名，其中甲系100名，乙系60名，丙系40名，若学生代表会议设20个席位，公平而又简单的席位分配办法是按学生人数的比例分配，三个系分别为10，6，4个席位。现因学生转系，三系人数分别为103，63,34名，问20席如何分配。若增加为21席，又如何分配。 1.2 问题的分析 本题讲将有200名学生，甲103、乙63、丙34，现有20个或21个席位，那我们应该怎么来分配呢？看到这个题，首先想到的是用比例加惯例法，得出：20个席位，三系仍分别占有10,6,4个席位；21个席位，三系分别占有11,7,3个席位。显然这个结果对丙不太公平，因为总席位增加1席，而丙系却由4席减为3席，最后通过比较，还是Q值法分配相对公平。 二、符号设定
1、各系的人数：p i（i=1,2,3……） 2、各系分配到的席位数：n i（i=1,2,3……） 3、各系不公平程度的指标：r i（i=1,2,3……） 4、各系Q值：Q i （1,2,3……） 三、模型的建立与求解 3.1 比例加惯例分配 如下表 分配的席位取整数， 20席位时，甲、乙、丙系分到的席位数分别为10,6,4；可 是总席位增加1个席位时，丙系却由4席减为3席，这显然对丙席不公平。所以按照各系人数所占比例大小分配，有的时候是不公平的。 不妨设A、B方人数分别为p 1、p 2 ，席位分别为n1、n2 当p 1 /n1=p2/n2时，分配公平 当p 1 /n1>p2/n2时，对A不公平 p 1 /n1-p2/n2～对A的绝对不公平度 如：p 1 =150，n1=10，p1/n1=15 p1=1050，n1=10，p1/n1=105 p 2 =100，n2=10，p2/n2=10 p2=1000，n2=10，p2/n2=100
公平的席位分配 姓名：仇嘉程 班级：数学与应用数学（2）班 学号：0907022010 摘要：席位分配是日常生活中经常遇到的问题，对于企业、公司、、学校政府部 门都能解决实际的问题。席位可以是代表大会、股东会议、公司企业员工大会、 等的具体座位。本文讨论了席位公平分配问题以使席位分配方案达到最公平状 态。我主要根据各系人数因素对席位获得的影响，首先定义了公平的定义及相对 不公平度的定义，采用了最大剩余法模型和Q 值法模型，通过检验2种模型的 相对不公平度来制定比较合理的分配方案。 关键词：不公平度指标、Q 值法、最大剩余法 一、问题的提出： 某学校有3个系共200名学生，其中甲系100名，乙系60名，丙系40名。 问题一：若学生代表会议设20个席位，如何公平席位分配？ 问题二：丙系有6名学生转入甲乙两系，其中甲系转入3人，乙系转入3人， 又将如何公平的分配20个学生代表会议席位？ 三、模型的建立： 模型1——比例分配法，若使得公平席位分配，最公平简单且常用的席位分配办 法是按学生人数比例分配： 某单位席位分配数 = 某单位总人数比例′总席位 即： (1,2,3...)i i p P i n N N ==，其中1n i i N N ==∑ 1n i i P P ==∑ 但是在实际生活中，若按模型1来计算，由于席位数不同，很难使得到的结果为 整数，因此模型1难以成立，即绝对公平难以成立，我们需要寻求可能相对公平 的分配方案。
模型2——最大剩余法，如果按上述公式参与分配的一些单位席位分配数出现小数,则先按席位分配数的整数分配席位,余下席位按所有参与席位分配单位中小数的大小依次分配之。这种分配方法公平吗？由书上给出的案例，我们可以很清楚的知道该方法是有缺陷的，是不公平的。 某学院按有甲乙丙三个系并设20个学生代表席位。它的最初学生人数及学生代表席位为 系名甲乙丙总数学生数100 60 40 200学生人数比例100/200 60/200 40/200 席位分配10 6 4 20 后来由于一些原因，出现学生转系情况，各系学生人数及学生代表席位变为 系名甲乙丙总数学生数103 63 34 200学生人数比例103/200 63/200 34/200 按比例分配席位10.3 6.3 3.4 20按惯例席位分配10 6 4 20 由于总代表席位为偶数，使得在解决问题的表决中有时出现表决平局现象而达不成一致意见。为改变这一情况，学院决定再增加一个代表席位，总代表席位变为21个。重新按惯例分配席位,有 系名甲乙丙总数 学生数103 63 34 200学生人数比例103/200 63/200 34/200 按比例分配席位10.815 6.615 3.57 21 按惯例席位分配11 7 3 21 这个分配结果出现增加一席后，丙系比增加席位前少一席的情况，这使人觉得席位分配明显不公平。这个结果也说明按惯例分配席位的方法有缺陷，我们需要建立更合理的分配席位方法解决上面代表席位分配中出现的不公平问题。 模型3——Q值法
名额公平分配问题 问题的提出 名额分配问题是西方所谓的民主政治问题，美国宪法在第一条第二条款指出：‘众议院议员名额……将根据各州的人口比例分配。。。。。’美国宪法从1788年生效以来200多年间，关于公平和人力的实现宪法中所规定的分配原则，美国的政治家和科学家们展开了激烈的讨论。并提出了多种方法，但没有一种方法能够得到普遍的认可。下面就日常生活中的实际问题，考虑合理的分配方案问题。 设某高校有5个系共2500名学生，各系学生人数见表格。现有25个学生代表名额， 赢如何分配较为合理。 5个系的学生人数 系别一二三四五总和人数11056483622481372500模型假设 1、要将名额尽可能的公平的分配，首先考虑的是公平量化，所谓公平，就是学生 代表的名额占有率都相等，这样，基于名额占有率相等的分配的方案就是最公平的，在 名额占有率不相等时，应要求差距尽可能的小，才能使分配方案更加公平。 2、在计算各个系别的名额分配占有量，这样就确定了公平的分配方案。 3、通常计算的名额占有量是小数，而名额只能整数的分配，这就需要将小数变成 整数，解决小数变整数的问题通常采用四舍五入法。 名额占有率=总名额数÷总人数 名额占有量=名额占有率×学生数 模型建立 模型一名额占有率分配 =1%，即每一百人才有一个名额。根据名额占有率可以算出全校名额占有率=25 2500 分配： 系别一二三四五总和 人数11056483622481372500名额数11.05 6.48 3.62 2.48 1.3725取整11642124 显然看出，这种方法出现了缺陷，分的总名额数多出一个，而这一个又无法可分， 无论是四舍五入法，还是直接取整，分给二，四其中一个必定对另一个不公平。所以需
河北大学《数学模型》实验 实验报告 班级专业 15计科2班 姓名 张宇轩 学号 20151101006 实验地点 C1-229 指导老师 司建辉 成绩 实验项目 1. 实验11-1 公平的席位分配（参照惯例的席位分配方法） 2. 实验11-2 公平的席位分配（Q 值方法） 一、实验目的 了解参照惯例的席位分配方法和Q 值方法的区别，明确Q 值的意义，学会使用这两种方法解决问题。掌握在MATLAB 下，席位分配问题的调用，熟悉循环的使用，floor 、sort 等函数的使用，学会使用最佳定点或浮点格式（5位数字）控制命令format short g 。 二、实验要求 1. 公平的席位分配（参照惯例的席位分配方法） 参照惯例的席位分配方法：(参考P278-279) n 为席位总数，p1,p2,…,pm为各单位人数。 步骤： a. 按比例各单位所得席位为n*pi/(p1+p2+,…,pm)，i=1,2,…,m（结果可能含有小数）。 b. 对各单位所得席位取整。 c. 若对各单位所得席位取整数之和 数 学 建 模 论 文 系部——— 班级—— 组员—— —— ——2010年1月7日 摘要：席位分配是日常生活中经常遇到的问题，对于企业、公司、、学校政府部门都能解决实际的问题。席位可以是代表大会、股东会议、公司企业员工大会、等的具体座位。假设说，有一个学校要召集开一个代表会议，席位只有20个，三个系总共200人，分别是甲系100，乙系60,丙系40.如果你是会议的策划人，你要合理的分配会议厅的20个座位，既要保证每个系部都有人参加，最关键的就是要对个公平都公平，保证三个系部对你所安排的位置没有异议。那么这个问题就要靠数学建模的方法来解决。 关键词： Q值法公平席位 问题的重述：三个系部学生共200名，（甲系100.乙系60，丙系40）代表会议共20席，按比例分配三个系分别为10、6、4席。老情况变为下列情况怎样分配才是最公平的，现因学生转系三系人数为103.63.34. （1）问20席该如何分配。 （2）若增加21席又如何分配。 问题的分析： 一、通常分配结果的公平与否以每个代表席位所代表的人数相等或接近来衡量。目前沿用的惯例分配方法为按比例分配方法，即： 某单位席位分配数= 某单位总人数比例 总席位 如果按上述公式参与分配的一些单位席位分配数出现小数,则先按席位分配数的整数分配席位,余下席位按所有参与席位分配单位中小数的大小依次分配之。这样最初学生人数及学生代表席位为 系名甲乙丙总数学生数100 60 40 200 学生人数比例100/200 60/200 40/200 席位分配10 6 4 20 学生转系情况，各系学生人数及学生代表席位变为 系名甲乙丙总数学生数103 63 34 200 学生人数比例103/200 63/200 34/200 按比例分配席位10.3 6.3 3.4 20 按惯例席位分配10 6 4 20 （1）20席应该甲系10席、乙系6席,丙系4席这样分配 公平的席位分配问题 席位分配在社会活动中经常遇到，如：人大代表或职工学生代表的名额分配和其他物质资料的分配等。通常分配结果的公平与否以每个代表席位所代表的人数相等或接近来衡量。目前沿用的惯例分配方法为按比例分配方法，即： 某单位席位分配数= 某单位总人数比例总席位 如果按上述公式参与分配的一些单位席位分配数出现小数,则先按席位分配数的整数分配席位,余下席位按所有参与席位分配单位中小数的大小依次分配之。这种分配方法公平吗下面来看一个学院在分配学生代表席位中遇到的问题： 某学院按有甲乙丙三个系并设20个学生代表席位。它的最初学生人数及学生代表席位为 系名甲乙丙总数 学生数100 60 40 200 学生人数比例100/200 60/200 40/200 席位分配10 6 4 20 " 后来由于一些原因，出现学生转系情况，各系学生人数及学生代表席位变为 系名甲乙丙总数 学生数103 63 34 200 学生人数比例 103/200 63/200 34/200 按比例分配席位 20 按惯例席位分配 10 6 4 20 由于总代表席位为偶数，使得在解决问题的表决中有时出现表决平局现象而达不成一致意见。为改变这一情况，学院决定再增加一个代表席位，总代表席位变为21个。重新按惯例分配席位,有 系名 甲 乙 丙 总数 （ 学生数 103 63 34 200 学生人数比例 103/200 63/200 34/200 按比例分配席位 21 按惯例席位分配 11 7 3 21 这个分配结果出现增加一席后，丙系比增加席位前少一席的情况，这使人觉得席位分配明显不公平。这个结果也说明按惯例分配席位的方法有缺陷，请尝试建立更合理的分配席位方法解决上面代表席位分配中出现的不公平问题。 模型构成 先讨论由两个单位公平分配席位的情况，设 单位 人数 席位数 每席代表人数 单位A p 1 n 1 11n p 单位B p 2 n 2 22n p 对公平的席位分配问题解法的一点补充 222008314011010 刘欢 08数统一班 为叙述简单，仍然采用书中的例子如下 一．提出问题： 某学校有3个系共200名学生,其中甲系100名,乙系60名,丙系40名。若学生代表会议设20个席位,公平而又简单的席位分配办法是按学生人数的比例分配,显然甲、乙、丙三系分别应占有10，6，4个席位。现在丙系有3名学生转入甲系， 3名学生转入乙系，仍按比例分配席位出现了小数，三系同意，在将取得整数的19席位分配完毕后，剩下的1席位参照所谓惯例分给比例中小数最大的丙系，于是三系仍分别占有10，6，4个席位。按比例并参照惯例的席位分配。 由于20个席位的代表会议在表决时可能出现10∶10的局面，会议决定下一届增加1席，按照上述方法重新分配席位，计算结果是甲、乙、丙三系分别应占有11，7，3个席位。显然这个结果对丙系太不公平了，因总席位增加1席，而丙系却由4席减为3席。 请问：如何分配才算是公平？ 二．书中模型 用Q 值法求解如下 设A ，B 两方，人数分别为1p 和2p ，占有席位分别是1n 和2n ，当1122=p n p n 时席位的分配公平。但人数为整数，通常1122≠p n p n 。这时席位分配不公平，且 /p n 较大的一方吃亏。 当1122>p n p n 时，定义 1122 1222 -= (,)A p n p n r n n p n （1） 为对A 的相对不公平值。 当1122 p n p n ，即对A 不公平，当再分配一个席位时，有以下三种情况： (1) 当 22 1>+11p p n n 时，说明即使给A 增加1席，仍然对A 不公平，所以这一席显然应给A 方. (2)当 22 1<+11p p n n 时，说明给A 增加1席后，变为对B 不公平，此时对B 的相对不公平值为 211212 11-1 ++= () (,)B p n r n n p n （3） (3)当 221 >+11p p n n 时，这说明给B 增加1席，将对A 不公平，此时对A 的相对不公平值为 121221 11-1 ++= () (,)A p n r n n p n （4） 因为公平分配席位的原则是使相对不公平值尽可能小，所以如果 121211 +<+(,)(,)B A r n n r n n （5） 则这1席给A 方，反之这1席给B 方. 由(3)(4)可知，(5)等价于 2 1222211< 11++() () p p n n n n （6） 不难证明上述的第(1)种情况 22 1>+11p p n n 也与(6)式等价,于是我们的结论是当(6)式成立时,增加的1席应给A 方,反之给B 方。 若记 2, =1,2 1= +() i i i i p Q i n n 席位公平分配模型 09数学与应用数学（1） 0907021006 王秀秀 摘要：本文主要研究席位的公平分配问题。通过对绝对不公平度和相对不公平度的构造，从而建立了Q 值分配法模型。在公平标准下，用Q 值分配法模型，我们可得到相对公平的席位分配方案。 关键词：席位分配 公平性 相对不公平度 Q 值分配法模型 正 文 1 问题的提出 某校三个系有 200名学生，其中1系有学生103名，2系有学生63名，3系有学生34名。现在要从三个系中选取20名学生成立一个委员会。问题：如何合理的将这20个席位分配给这3个系，才能使分配相对公平？ 2 合理假设与变量说明 2.1合理假设 2.1.1席位是以整数计量的，并且为有限个，设为N ； 2.1.2每个系别的每个人被选举的概率相等。 2.2变量限定： P ：为总人数 i P ：为i 系人数 N ：为总席位数 i n ：为i 系席位数 其中，,,,,1,2...i i P N P n N i n +∈=，且1n i i P P ==∑，1n i i n N ==∑ 公平标准：i i P P N n = 3 模型建立 3.1 若公平标准满足时，即i i P P N n =（1,2...i n =）时，我们知道此时分配是公平的，则最有分配方案为i 系分得席位i n 个。 3.2 Q 值分配法模型 若公平标准不满足满足时，即存在i N +∈，使得 j i i j P P n n ≠成立时，我们用绝对不公平度的算法给出相对不公平度。 以1，2两方作为考察构造，先给出绝对不公平度： 设1，2系的总人数分别为1P ，2P ，分得席位数分别为1n ，2n ，令(1,2)i i i P R i n = =，i R 表示i 系每个席位代表的人数 令||,(,,)j i ij i j P P i j i j N n n λ+=-≠∈，ij λ表示i ，j 系分配方案的绝对不公平度，且ij ji λλ=。 例如，当121210120 100n n P P ====，，时，ij λ=2， 当1212101020 1000n n P P ====，，时，ij λ=2， 由此可知，绝对不公平度的对问题的检验不灵敏。 以下给出相对不公平度的分配方案： 记122211222//(,)/P n P n r n n P n -=（1212 1P P n n >+），称为对1系的相对不公平度 如果1，2两系分别占有席位1n ，2n 个，利用相对不公平对的讨论， 当增加一个席位时，新加席位是分该1系还是2系。不妨设1212P P n n >，即对1系相对不公平时，则再增加一个席位时，有三种分配方案： （1）12121P P n n >+时，112211212322 /1/(1,)10,6,3/P n P n r n n n n n P n +-+====（） 公平的席位分配论文 This manuscript was revised on November 28, 2020 题目：公平的席位分配问题 摘要 数学问题中离不开分配问题，下面我就以公平的席位分配问题进行分析。在以下的分析中，我会先按照比例的分配方法分配，再按照比例家惯例的方法进行分配，表示不公平的席位分配，最后我们利用Q值法对题目进行重新分配，以Q值的特性使得对其席位的分配更加公平。比例法是我们生活中必不可少的分配方法，但是在有的时候使用Q值法会得到更加的公平分配。 关键词：席位分配比例法比例加惯例 Q值法 一、问题的重述与分析 问题的重述 某学校有3个系学生共200名，其中甲系100名，乙系60名，丙系40名，若学生代表会议设20个席位，公平而又简单的席位分配办法是按学生人数的比例分配，三个系分别为10，6，4个席位。现因学生转系，三系人数分别为103，63,34名，问20席如何分配。若增加为21席，又如何分配。 问题的分析 本题讲将有200名学生，甲103、乙63、丙34，现有20个或21个席位，那我们应该怎么来分配呢看到这个题，首先想到的是用比例加惯例法，得出：20个席位，三系仍分别占有10,6,4个席位；21个席位，三系分别占有11,7,3个席位。显然这个结果对丙不太公平，因为总席位增加1席，而丙系却由4席减为3席，最后通过比较，还是Q值法分配相对公平。 二、符号设定 1、各系的人数： p i （i=1,2,3……） 2、各系分配到的席位数： n i （i=1,2,3……） 3、各系不公平程度的指标：r i （i=1,2,3……） 4、各系Q 值：Q i （1,2,3……） 三、模型的建立与求解 比例加惯例分配 如下表 分配的席位取整数，20席位时，甲、乙、丙系分到的席位数分别为10,6,4；可是总席位增加1个席位时，丙系却由4席减为3席，这显然对丙席不公平。所以按照各系人数所占比例大小分配，有的时候是不公平的。 不妨设A 、B 方人数分别为 p 1、p 2，席位分别为 n 1、n 2 当p 1/n 1=p 2/n 2时，分配公平 当p 1/n 1>p 2/n 2时，对A 不公平 p 1 /n 1-p 2 /n 2～对A 的绝对不公平度 如：p 1=150，n 1=10，p 1/n 1=15 p 1=1050，n 1=10，p 1/n 1=105 p 2 =100，n 2=10，p 2/n 2=10 p 2=1000，n 2=10，p 2/n 2=100 公平席位的分配 数学(2)班学号 0907022029 郭子龙 摘要：讨论公平席位分配的模型已有很多。本文首先用比例加惯例法、Q值法、D’hondt法对问题中名额进行了分配，再对D’hondt法的合理性进行了分析，并在Q值法对绝对尾数（绝对不公平度）的处理方式基础上，提出了相对尾数模型，并讨论了其满足Young公理的1，3，4条 关键词：分配相对尾数 Balinsky & Young不可能定理 正文 1 问题复述 公平的席位分配问题是一个非常有趣而重要的问题，它在政治学、管理学和对策论等领域具有广泛的应用价值。处理这个问题的最早的方法是Hamilton法，即比例加惯例法；后来出现了Q值法；1974年M.L.Balinski和H.P.Young引入了席位分配问题的公理体系研究方法，并于1982年证明了同时满足五个公理的席位分配方法是不存在的；因此，我们只能根据实际建立在一定公平准则下成立并尽量多的满足Young公理的算法。这里，我们需要理解并运用比例加惯例法、Q 值法、D’hondt法对宿舍委员会名额进行分配，继而提出更优的公平分配席位的方法。 2 模型假设 2.1 合理假设 1.比例加惯例法、Q值法等分配模型均为已知； 2.各个宿舍相互独立互不影响，人数保持不变； 3.委员分配以各宿舍人数为唯一权重。 2.2 符号约定 3 模型的建立与求解 3.1按比例加惯例模型分配 根据比例加惯例分配模型的原理表 3.2按Q 值法模型分配 首先用比例分配法对名额进行初步分配，再根据表达式 )1(2 += i i i i m m n Q C B A i ,,=对剩下的名额进行分配 3.3 D ’hondt 模型 3.3.1 模型建立 设n ，m 分别表示宿舍总人数和总分配席位数，i n (1,2,3i =)表示各宿舍人数， 席位公平分配问题 —Q值法的改进 摘要：本文为建立席位分配问题的公平合理方案．对经典Q 值法进行了研究并提出改进，构造了衡量相对不公平程度的新标准量。通过对书本中的经典席位分配问题实例的计算，比较分析了多种席位分配方法的求解结果，并与经典的Q值法进行了公平性的比较。结果表明改进的标准量更为合理，从而验证了该方法的有效性和合理性。 一、问题背景 席位分配问题是人类社会生活中相当普遍的一类资源分配问题，是数学在政治领域中应用的典型实例，其目标是在一个大集体对小集体进行某种资源分配时试图尽可能做到公平合理。席位分配问题最关键之处是它的悖论观，无论选择怎样的分配方案，总会产生这样或那样的矛盾，著名的有以下几种悖论：亚拉巴马悖论、人口悖论和新州悖论。同时，席位公平分配的关键是提出衡量公平度的一个量，即满足下述5条公理： 公理1(人口单调性)：一方的人口增加不会导致它失去一个名额。 公理2(无偏性)：在整个时间平均，每一方应接受到它自己应分摊的份额。 公理3(名额单调性)：总名额的增加不会使某一方的名额减少。 公理4(公平分摊性)：任何一方的名额都不会偏离其比例份额数。 公理5(接近份额性)：没有从一方到另一方的名额转让会使得这两方都接近于它们应得的份额。 然而，1982年M ．L ．Balinski 和H ．P ．Young 证明了一个B —Y 不可能定理，即绝对公平的分配(满足公理1～公理5)方案是不存在的，既然绝对公平的分配方案不存在，人们便致力于席位分配问题的相对公平的研究。著名的Q 值法是1982年由 D ．N ．Burghes 和I ．Hunttey 等人提出的一种相对不公平衡量标准，该方法简单易行，且克服了其他方法的一些矛盾，被广泛的应用于资源公平分配问题中。但不足之处是未考虑名额分配后的整体状况，而首先给每一方分配一个名额也是没有道理的。基于此考虑，这里提出了一种新的衡量相对不公平的标准，不需要事先给每一方分配一个名额，其计算量与Q 值法相当，但比Q 值法更趋于公平。通过实例比较了该方法与Q 值法及其它方法的求解结果，从而验证该方法的合理性和有效性。 二公平标准的构造 1.1席位分配问题描述 席位分配问题是指：假设有m 方参加N 个可供分配的席位， 其中第i 方的人数为i p (i=1，2，…，m)，m 方的总人数为1m i i p p ==∑， 第i 方所分配的席位为n i ，（i=1，2，…，m)，如何寻找一组整数 公平的席位分配问题 ——数学建模报告 20094865，陈天送 20094862，陈铁忠 20094854，朱海 公平的席位分配问题 席位分配在社会活动中经常遇到，如：人大代表或职工学生代表的名额分配和其他物质资料的分配等。通常分配结果的公平与否以每个代表席位所代表的人数相等或接近来衡量。 符号设定： N ：总席位数 i n ：分配给第i 系席位数 （1,2,3i =分别为甲，乙，丙系） P ：总人数 i P ：第i 系数 （1,2,3i =分别为甲，乙，丙系） i Q ：第i 系Q 值 （1,2,3i =分别为甲，乙，丙系） Z ：目标函数 方法一，比例分配法：即： 某单位席位分配数 = 某单位总人数比例?总席位 如果按上述公式参与分配的一些单位席位分配数出现小数,则先按席位分配数的整数分配席位,余下席位按所有参与席位分配单位中小数的大小依次分配之。这种分配方法公平吗？由书上给出的案例，我们可以很清楚的知道该方法是有缺陷的，是不公平的。 方法二，Q 值法： 采用相对标准，定义席位分配的相对不公平标准公式：若 2211n p n p > 则称 1122122221 1-=-n p n p n p n p n p 为对A 的相对不公平值， 记为 ),(21n n r A ，若 2211n p n p < 则称 121121 1 11 22-=-n p n p n p n p n p 为对B 的相对不公平值 ，记为 ),(21n n r B 由定义有对某方的不公平值越小，某方在席位分配中越有利，因此可以用使不公平值尽量小的分配方案来减少分配中的不公平。 确定分配方案： 使用不公平值的大小来确定分配方案，不妨设1 1 n p > 2 2n p ，即对单位A 不公平，再分配一个席 位时，关于11n p ,22n p 的关系可能有 1. 111+n p >22 n p ,说明此一席给A 后,对A 还不公平; 2. 111+n p <22n p ,说明此一席给A 后,对B 还不公平,不公平值为 1)1(11),1(21211111 222 1-?+=++-=+n p p n n p n p n p n n r B 3. 1 1 n p > 1 22+n p ,说明此一席给B 后,对A 不公平,不公平值为 【最新整理，下载后即可编辑】 公平席位的分配 系别：机电工程系模具班学号：1号 摘要： 分配问题是日常生活中经常遇到的问题，它涉及到如何将有限的人力或其他资源以“完整的部分”分配到下属部门或各项不同任务中。分配问题涉及的内容十分广泛，例如：大到召开全国人民代表大会，小到某学校召开学生代表大会，均涉及到将代表名额分配到各个下属部门的问题。代表名额的分配（亦称为席位分配问题）是数学在人类政治生活中的一个重要应用，应归属于政治模型。而当代表的人数在总和没有发生变化的情况下，所占比例却发生了变化时，一个如何分配才能使分配公平的问题就摆在了我们的面前。因此，我们要通过建立数学模型来确定一种能够使分配公平的方法来分配 关键字：理想化原则; 整数规划; 席位公平分配 问题的提出： 某学院有3个系共200名学生，其中甲系100人，乙系60人，丙系40人，现要选出20名学生代表组成学生会。 如果按学生人数的比例分配席位，那么甲乙丙系分别占10、6、4个席位，这当然没有什么问题（即公平）。 但是若按学生人数的比例分配的席位数不是整数，就会带来一些麻烦。比如甲系103人，乙系63人，丙系34人，怎么分？ 问题重述 学院的最初人数见下表，此系设20个席位代表。 甲乙丙 总人数 １００６０４０ ２００ 学生人数比例：100/200 60/200 40/200 按比例分配方法：分配人数=学生人数比例初 按比例分配席位：甲乙丙共 10 6 4 20 若出现学生转系情况： 甲乙丙总人数 103 63 34 200 学生人数比例：103/200 63/200 34/200 按例分配方法：比例分配出现最小数时，先按整数分配席位，余下的按小数的大小分配席位 按比例分配席位：甲乙丙 10.815 6.615 3.57 按比例分配席位,丙系却缺少一席的情况,按比例分配席位的方法有缺陷,试建立更合理的分配方法. 席位分配问题的MATLAB程序 说明： 1.本程序用三种方法，分别是惯例法、d’honht分配法和Q值法。 2.可以模拟出任意一种分配情况，即可以推广到N种情形。 3.三种分配方案供你选择，相互比较。 4.请务必阅读注意事项。 注意： 1.以下包含两个程序，下载完后把程序拷贝到matlab的M文件中， 2.第一个程序可以任意命名，只要符合规范就可以（本人以”xiweifenpei”命名， 这样便于查看），第二个程序一定要命名为“xiwei”，因为程序中要用到函数。 3.下载完后先把程序拷贝到txt文件中，再从txt拷贝到M文件中，这样可以避免乱 码。 程序一： clear all clc disp('席位分配：') P=1000 p=[235 333 432] N=10 [x,y]=size(p); zu=x*y; disp('惯例分配方法:') for i = 1:zu n(i) =p(i)*N/P; end n; m=n-fix(n); for i=1:zu if n(i)==max(m)+fix(n(i)) n(i)=fix(n(i))+1; else n(i)=fix(n(i)); end end disp('惯例分配人数：') n disp('d’honht方法:') pp=[]; for i=1:N pi=p/i; pp=[pp; pi]; end pp m=zeros(1,zu); for i=1:N [x,y]=find(pp==max(pp(:))); pp(x,y)=0; m(y)=m(y)+1; end pp disp('d’honht分配人数:') m disp('Q值法分配方法:') 各宿舍分配委员模型 （参考阿） 摘要：学校共1000名学生，235人住在A 宿舍，333人住在B 宿舍，432人住 在C 宿舍.学生们要组织一个10人的委员会 （1）. 按比例分配取整数的名额后,剩下的名额按惯例分给小数部分较大者; （2）. §1中的Q 值方法； （3）.d ’Hondt 方法 试用上述办法分配各宿舍的委员数 关键词：比例加惯例 Q 值 d ’Hondt 法 一、问题的重述 学校有1000名学生，235人住在A 宿舍，333人住在B 宿舍，432人住在C 宿舍。学生们要组织一个10人的委员会，怎样公平合理的分配各宿舍的委员数。再进一步讨论：如果人数增至15人，依照10个的过程检验一下。 二、问题分析 模型1中，先建立一个简单的“比例加惯例模型”简单分析。 在模型2中，再用Q 值法进一步讨论。然后，在模型3中，用书中给出的d ’Hondt 计算后进行比较 三、模型假设 （1）各个宿舍之间是独立的，且人数始终保持不变； （2）几个委员是平等的。 四、模型的建立与求解 先考虑N=10的分配方案， , 432 ,333 ,235321===p p p ∑ ==3 1 . 1000i i p 方法一（按比例分配） , 35.23 1 11== ∑ =i i p N p q , 33.33 1 22== ∑ =i i p N p q 32 .43 1 33== ∑ =i i p N p q 分配结果为： 4 ,3 ,3321===n n n 方法二（Q 值方法） 9个席位的分配结果（可用按比例分配）为： 4 ,3 ,2321===n n n 第10个席位：计算Q 值为 , 17.92043 2235 2 1=?= Q ,75.92404 3333 2 2=?= Q 2 .93315 4432 2 3=?= Q 3 Q 最大，第10个席位应给C.分配结果为 5 ,3 ,2321===n n n 方法三（d ’Hondt 方法） 此方法的分配结果为：5 ,3 ,2321===n n n 此方法的原理是：记i p 和i n 为各宿舍的人数和席位（i=1,2,3代表A 、B 、C 宿舍）.i i n p 是每席位代表的人数，取,,2,1 =i n 从而得到的i i n p 中选较大者，可 使对所有的,i i i n p 尽量接近. 再考虑15=N 的分配方案，类似地可得名额分配结果.现将3种方法两次分配的结果列表如下： 五，模型的检验、评价与推广 现在当人数为15人时，依照10人时的情况，来检验各个模型的公平性： 第2章初等数学建模方法示例 公平的席位分配问题 席位分配在社会活动中经常遇到，如：人大代表或职工学生代表的名额分配和其他物质资料的分配等。通常分配结果的公平与否以每个代表席位所代表的人数相等或接近来衡量。目前沿用的惯例分配方法为按比例分配方法，即：某单位席位分配数 = 某单位总人数比例总席位如果按上述公式参与分配的一些单位席位分配数出现小数,则先按席位分配数的整数分配席位,余下席位按所有参与席位分配单位中小数的大小依次分配之。这种分配方法公平吗下面来看一个学院在分配学生代表席位中遇到的问题： 某学院按有甲乙丙三个系并设20个学生代表席位。它的最初学生人数及学生代表席位为 系名甲乙丙总数 学生数 100 60 40 200 学生人数比例 100/200 60/200 40/200 席位分配 10 6 4 20 后来由于一些原因，出现学生转系情况，各系学生人数及学生代表席位变为： 系名甲乙丙总数 学生数 103 63 34 200 学生人数比例 103/200 63/200 34/200 按比例分配席位 20 按惯例席位分配 10 6 4 20 由于总代表席位为偶数，使得在解决问题的表决中有时出现表决平局现象而达不成一致意见。为改变这一情况，学院决定再增加一个代表席位，总代表席位变为21个。重新按惯例分配席位,有 系名 甲 乙 丙 总数 学生数 103 63 34 200 学生人数比例 103/200 63/200 34/200 按比例分配席位 21 按惯例席位分配 11 7 3 21 这个分配结果出现增加一席后，丙系比增加席位前少一席的情况，这使人觉得席位分配明显不公平。这个结果也说明按惯例分配席位的方法有缺陷，请尝试建立更合理的分配席位方法解决上面代表席位分配中出现的不公平问题。 模型构成 先讨论由两个单位公平分配席位的情况，设 单位 人数 席位数 每席代表人数 单位A 1p 1n 1n 单位B 2p 2n 2n 要公平，应该有=1n 2n ， 但这一般不成立。注意到等式不成立时有 若21n n >，则说明单位A 吃亏(即对单位A 不公平 ) 若21n n <，则说明单位B 吃亏 (即对单位B 不公平 ) 因此可以考虑用算式2 211n p n p p -= 来作为衡量分配不公平程度，不过此公式 数学建模论文（席位公平分配问题） 席位公平分配问题 摘要 本文讨论了席位公平分配问题以使席位分配方案达到最公平状态。我主要根据了各系人数因素对席位获得的影响，首先定义了公平的定义及相对不公平的定义，采用了比例模型、汉丁顿模型和Q值模型制定了一个比较合理的分配方案。 首先，我根据相关资料的查阅，定义了公平的定义和不公平的定义以及不公平程度的定义和相对不公平数的定义以便来检验模型的公平性程度。 其次，我建立了一个比例模型，采用了比例相等的方法，列出一个关于所获席位与总席位数和各系人数与各系总人数的等式，进而求得所获席位数。同时我建立了一D+Q值模型，通过汉丁顿模型和Q 值模型的结合，最终得出一个比较合理的分配方案。 最后，我用相对不公平数来检验两个模型的公平性程度。 关键词：数学建模公平定义 Q值模型 d'Hondt（汉丁顿）模型 目录 一、问题重述与分析： (3) 1.1问题重述： (3) 1.2问题分析： (3) 二、模型假设 (4) 三、符号说明 (4) 四、模型建立： (5) 4.1公平的定义： (5) 4.2不公平程度的表示： (5) 4.3相对不公平数的定义： (5) 4.4模型一的建立：（比例分配模型） (6) 4.5模型二的建立：（d'hondt模型和Q值模型） (6) 五、模型求解 (8) 5.1模型一求解： (8) 5.2模型二的求解： (8) 六、模型分析与检验 (9) 七、模型的评价： (11) 7.1、优点： (11) 7.2、缺点： (11) 7.3、改进方向： (11) 八、模型优化 (11) 九、参考文献 (12) 公平席位的分配 系别：机电工程系模具班学号：1号 摘要： 分配问题是日常生活中经常遇到的问题，它涉及到如何将有限的人力或其他资源以“完整的部分”分配到下属部门或各项不同任务中。分配问题涉及的内容十分广泛，例如：大到召开全国人民代表大会，小到某学校召开学生代表大会，均涉及到将代表名额分配到各个下属部门的问题。代表名额的分配（亦称为席位分配问题）是数学在人类政治生活中的一个重要应用，应归属于政治模型。而当代表的人数在总和没有发生变化的情况下，所占比例却发生了变化时，一个如何分配才能使分配公平的问题就摆在了我们的面前。因此，我们要通过建立数学模型来确定一种能够使分配公平的方法来分配 关键字：理想化原则; 整数规划; 席位公平分配 问题的提出： 某学院有3个系共200名学生，其中甲系100人，乙系60人，丙系40人，现要选出20名学生代表组成学生会。 如果按学生人数的比例分配席位，那么甲乙丙系分别占10、6、4个席位，这当然没有什么问题（即公平）。 但是若按学生人数的比例分配的席位数不是整数，就会带来一些麻烦。比如甲系103人，乙系63人，丙系34人，怎么分？ 问题重述 学院的最初人数见下表，此系设20个席位代表。 甲乙丙总人数 １００６０４０２００学生人数比例：100/200 60/200 40/200 按比例分配方法：分配人数=学生人数比例初 按比例分配席位：甲乙丙共 10 6 4 20 若出现学生转系情况： 甲乙丙总人数 103 63 34 200 学生人数比例：103/200 63/200 34/200 按例分配方法：比例分配出现最小数时，先按整数分配席位，余下的按小数的大小分配席位 按比例分配席位：甲乙丙 10.815 6.615 3.57 按比例分配席位,丙系却缺少一席的情况,按比例分配席位的方法有缺陷,试建立更合理的分配方法. 模型假设 分配席位的情况 单位人数席位数 A单位X n m B单位Y n。m。 若公平分配，则会出现的情况应当是m=m1，即X/n=Y/m1 公平席位分配模型 摘要本文按照题目要求，首先，基于相对公平分配的原则，阐述“d’Hondt 方法”原理，并建立数学模型。其次，对“比例加惯例法”、“Q值法”及“d’Hondt 方法”这三个模型，根据分配结果进行对比分析。可以得到，当待分配席位数较少时，采用Q值法与d’Hondt法分配席位相对比较公平，当待分配席位数较多时，采用比例加惯例法既简单又公平。 关键词：比例加惯例模型 Q值模型 d’Hondt模型公平分配 正文 1 问题复述 为了讨论重大问题，特别是有关集体利益的问题，召开代表会议正变得越来越普遍。当会议涉及不同集体的利益时，公平的席位分配就显得尤为重要。常用的席位分配办法是“比例加惯例法”以及“Q值法”等。 某学校有三个宿舍共1000名学生，其中A宿舍有235人，B宿舍有333人，C宿舍有432人。现学生们要组织一个十人委员会，已知采用d’Hondt席位分配办法分配各宿舍的委员数如下： 表1 d’Hondt法 宿舍 1 2 3 4 5 …分配结果 A 235 117.5 78.3 58.75 (2) B 333 166.5 111 83.25 (3) C 432 216 144 108 86.4 (5) 比例加惯例法：按比例分配取整数的名额后，剩下的若干名额依次分给小数部分较大者。 Q值法：按照相对不公平度最小原则，每增加一席位，分给Q值较大的一方。d’Hondt法:将A，B，C各宿舍的人数用正整数n=1，2，3，…相除，将所得商数从大到小取前10个（10为席位数）。如表1所示，表中A，B，C行有横线的数分别为 2，3，5，即为3个宿舍分配的席位。 需要解决的问题是： （1）试建立模型，解释d’Hondt方法的道理； （2）若委员人数从10人增至15人，此时用比例加惯例法、Q值法和 d’Hondt 法3种方法再分配名额，试比较3种方法两次分配的结果。 2 模型假设与符号说明 2.1 模型的假设 假设各个宿舍之间没有人员的调动。 2.2 符号的说明 () 1,2,3 p i=分别表示宿舍A、B、C的人数； i P表示总人数； N表示待分配席位数；数学建模论文
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席位分配模型
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