OpenGL图形管线和坐标变换
Zhulin
引言
学习计算机图形学首先要搞清楚计算机图形渲染管线。当今两大图形API，OpenGL和Direct3D都有自己的渲染管线。但是对于刚刚接触计算机图形学的同学来说，“图形管线”这个抽象的概念很是不好理解。在CSDN论坛中也看到很多同学问到有关于管线的问题。比如：屏幕坐标是怎么转换成世界坐标的等等。似乎这个问题是刚接触计算机图形学必问的问题。国内OpenGL的教科书很少，国外这类书虽然多，但是也许是我们和老外思维方式的不同，有的内容不好理解。所以我特别写了这篇教学来为大家解释在OpenGL中，它的渲染管线是什么样的，以及渲染管线是如何在程序中反映出来的，最后再详细讲一下屏幕坐标是怎样转换成世界坐标的。希望这篇教学对大家在今后的学习中有所帮助。如果发现该教程中有什么错误或有什么好的建议，请发送到我的邮箱zhulinpptor@https://www.doczj.com/doc/265358201.html,.
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1. OpenGL 渲染管线
OpenGL渲染管线分为两大部分，模型观测变换(ModelView Transformation)和投影变换(Pr ojection Transformation)。做个比喻，计算机图形开发就像我们照相一样，目的就是把真实的场景在一张照相纸上表现出来。那么观测变换的过程就像是我们摆设相机的位置，选择好要照的物体，摆好物体的造型。而投影变换就像相机把真实的三维场景显示在相纸上一样。下面就分别详细的讲一下这两个过程。
1.1模型观测变换
让我们先来弄清楚OpenGL中的渲染管线。管线是一个抽象的概念，之所以称之为管线是因为显卡在处理数据的时候是按照一个固定的顺序来的，而且严格按照这个顺序。就像水从一根管子的一端流到另一端，这个顺序是不能打破的。先来看看下面的图1：
图1 OPENGL渲染管线
图中显示了OpenGL图形管线的主要部分，也是我们在进行图形编程的时候常常要用到的部分。一个顶点数据从图的左上角(MC)进入管线，最后从图的右下角(DC)输出。MC是Model Coordinate的简写，表示模型坐标。DC是Device Coordinate的简写，表示设备坐标。当然DC有很多了，什么显示器，打印机等等。这里DC我们就理解成常说的屏幕坐标好了。MC当然就是3D坐标了(注意：我说的3D坐标，而不是世界坐标)，这个3D坐标就是模型坐标，也说成本地坐标(相对于世界坐标)。MC要经过模型变换(Modeling Transformation)才变换到世界坐标，图2：
图2 世界坐标系和模型坐标系
变换到世界坐标WC(World Coordinate)说简单点就是如何用世界坐标系来表示本地坐标系中的坐标。为了讲得更清楚一些，这里举个2D的例子。如图3：
图3 世界坐标系和模型坐标系的计算
图中红色坐标系是世界坐标系WC，绿色的是模型坐标系MC。现在有一个顶点，在模型坐标系中的坐标为(1,1)，现在要把这个模型坐标转换到世界坐标中来表示。从图中可以看出，点(1,1)在世界坐标系中的坐标为(3,4)，现在我们来通过计算得到我们希望的结果。首先我们要把模型坐标系MC在世界坐标系中表示出来，使用齐次坐标(Homogeneous Coordinate )可以表示为矩阵(注意，本教程中使用的矩阵都是以列向量组成)：
其中，矩阵的第一列为MC中x轴在WC中的向量表示，第二列为MC中y轴WC中的向量表示，第三列为MC中的原点在WC中的坐标。对齐次坐标系不了解的同学，请先学习游戏数学方面的知识。有了这个模型变换矩阵后，用这个矩阵乘以在MC中表示的坐标就可以得到该坐标在世界坐标系中的坐标。所以该矩阵和MC中的坐标(1,1)相乘有:
这也正是我们需要的结果。现在让我们把相机坐标也加进去，相机坐标也称为观测坐标(View Coordinat e)，如图4和图5。
图4 ModelView变换的三个坐标系
图5 ModelView变换计算
来看看MC坐标中的点(1,1)如何在相机坐标中表示。从图5中可以直接看出MC中的点(1,1)在相机坐标系VC中为(-2,-2)。和上面同样的道理，我们可以写出相机坐标系VC在世界标系WC中可以表示为：
那么世界坐标系中的点转换为相机坐标系中的点我们就需求VC的逆矩阵：
那么世界坐标系WC中的点(3,4)在相机坐标系VC中坐标为：
上面的变换过程，就是可以把模型坐标变换为相机坐标。在OpenGL中，当我们申明顶点的时候，有时候说的是世界坐标，这是因为初始化的时候世界坐标系、模型坐标系和相机坐标系是一样的，重合在一起的。所以OpenGL中提供了模型观测变换，它是把模型坐标系直接转换为相机坐标系，如图4。现在我们已经计算得到了VC-1和MC，如果把VC-1和MC相乘，就可以得到模型坐标在相机坐标中的表示。为了得到模型坐标系中的坐标在相机坐标系中的表示，这就是OpenGL中的ModelView变换矩阵。这也是Mode lView变换的名字的由来，它是通过了上面两个步骤得到的。那么这里，ModelView变换矩阵M为：
现在只要用上面的模型观测矩阵M乘以模型坐标系MC中的坐标就可以得到相机坐标系中的坐标了。模型观测变换的关键就是要得到相机坐标系中的坐标，因为光照等计算都是在这个这个坐标系中完成的。下面我们实际OpenGL程序中检查一下。在程序中，为了计算方便，我们使用图6中的模型。
图6 ModelView变换计算模型
根据图中的数据，我们分别可以写出对应MC和VC-1，从而求得观测变换矩阵M。
现在程序中用glGetFloatv()这个函数来获得当前矩阵数据来检查一下。
float m[16] = {0}; //用来保存当前矩阵数据
glMatrixMode(GL_MODELVIEW);
glLoadIdentity();
glGetFloatv(GL_MODELVIEW_MATRIX, m);
//相机设置，View 变换
gluLookAt(0.0, 0.0, 5.0,
0.0, 0.0, 0.0,
0.0, 1.0, 0.0);
glGetFloatv(GL_MODELVIEW_MATRIX, m);
//投影设置
glMatrixMode(GL_PROJECTION);
glLoadIdentity();
glOrtho(-10,10,-10,10,-10,10);
glMatrixMode(GL_MODELVIEW);
//Modeling变换
glTranslatef(0, 0, -3);
glGetFloatv(GL_MODELVIEW_MATRIX, m);
glBegin(GL_POINTS);
glVertex3f(1,1,0);
glEnd();
如果在上面程序段中最后一个glGetFloatv(GL_MODELVIEW_MATRIX, m)处设定断点的话，就可以看到图7所显示的数据。
图7 ModelView变换矩阵数据
到这里，整个ModelView变换就完成了。通过ModelView变换后得到是相机坐标系内的坐标。在这个坐标系内典型的计算就是法线了。现在再来看看后面一个阶段。
1.2投影变换
先还是复习一下OpenGL的渲染管线。图1中可以看到，在投影变换(Projection Transformation)中也分为两个部分，第一个部分是将上个阶段得到的坐标转换为平面坐标，第二个部分是将转换后的平面坐标在进行归一化并进行剪裁。一般地，将三维坐标转换为平面坐标有两种投影方式：正交投影(Ortho gonal Projection)和透视投影(Perspective Projection)。
1.2.1 正交投影
正交投影很简单，如图8，对于三维空间中的坐标点和一个二维平面，要在对应的平面上投影，只需将非该平面上的点的坐标分量改为该平面上的坐标值，其余坐标不变。
图8 正交投影
比如将点(1,1,5)正交投影到z=0的平面上，那么投影后的坐标为(1,1,0)。在openGL中，设置正交投影可以使用函数:
glOrtho (GLdouble left, GLdouble right, GLdouble bottom, GLdouble top, GLdouble zNear, GLdouble zFar)
该函数可以设置正交投影的投影空间，在该空间以外的坐标点就不会被投影到投影平面上。函数中的六个参数分是投影空间六个平面，如图9:
图9 OpenGL正交投影空间和投影变换
在图9中，大的投影空间是根据这六个参数设置的投影空间，OpenGL会自动将该空间归一化，也就是将该空间或立方体转化为变长为1的正六面体投影空间，并且该证六面体的中心在相机坐标系的原点。一旦设置使用glortho函数设置投影空间，OpenGL会生成投影矩阵。这个矩阵的作用就是将坐标进行正交投影并且将投影后的坐标正规化(转换到-1到1之间)。要注意的是，生成该矩阵的时候，OpenGL会把右手坐标系转换为左手坐标系。原因很简单，右手坐标系的Z轴向平面外的，这样不符合我们的习惯。该矩阵的矩阵推导这里就不详细说明了，不了解的同学可以参考游戏数学方面资料，这里只给出正交投影矩阵。
这个矩阵看来很复杂，其实计算很简单。举个例子，现在设置了这样的正交投影空间glOrtho(-10,10,-1 0,10,-10,10)，这是个正六面体空间，变长为10。把这些参数带入上面的矩阵可以得到
现在还是在OpenGL程序中来检查一下。在OpenGL程序中添加下面代码段:
//投影设置
glMatrixMode(GL_PROJECTION);
glLoadIdentity();
glOrtho(-10,10,-10,10,-10,10);
glMatrixMode(GL_MODELVIEW);
glGetFloatv(GL_PROJECTION_MATRIX,m)
在glGetFloatv(GL_PROJECTION_MATRIX,m)处设定断点就可以看到图10中所显示的信息。
图10 正交变换矩阵数据
1.2.2透视投影
透视投影和正交投影最大的区别就是透视投影具有远近感。
图11 透视投影
透视投影采用了图11中的模型，这样的模型就是保证远的物体看起来小，近的物体看起来大。在Open GL中设置透视投影可以使用函数:
void APIENTRY gluPerspective (GLdouble fovy, GLdouble aspect, GLdoubl e zNear, GLdouble zFar);
该函数也会根据给定的参数生成一个投影空间。如图11中，该投影空间是一个截头体。同样地，OpenG L会自动生成透视投影矩阵，该矩阵也会让3D坐标投影在投影平面上，并且将投影后的坐标也进行正规化。下面也直接给出OpenGL中使用的透视投影矩阵。
下面在OpenGL中添加下面代码段:
//投影设置
glMatrixMode(GL_PROJECTION);
glLoadIdentity();
gluPerspective(45, 1.0, 1.0, 100);
glMatrixMode(GL_MODELVIEW);
glGetFloatv(GL_PROJECTION_MATRIX,m)
设置断点后，我们可以看到图12中显示的数据。
图12 透视变换矩阵数据
到此为止，整个投影变换就完成了。透过投影变换后得到的是正规化的投影平面坐标。这为下一个阶段的视口变换(View port Transformation)做好了准备。
1.3视口变换
现在到了最后一个阶段了。这个阶段叫做视口变换，它把上个阶段得到的正规化的投影坐标转化为windo ws 窗口坐标。视口变换会将投影平面上的画面映射到窗口上。在OpenGL中可以使用函数
GLAPI void GLAPIENTRY glViewport (GLint x, GLint y, GLsizei width, GL sizei height);
来进行对窗口的映射，如图13。
图13 视口变换glViewport(width/2, 0, width/2, height/2)
举个例子说明，比如上个阶段中得到了一个顶点的坐标为(0,0,0.5,1)，根据这个坐标，该顶点位于投影平面的正中间。如果将该点映射到大小为50*50的窗口上时，那么它应该位于屏幕的中间，坐标为(25,25, 0.5,1)。当然这里深度值0.5是不会改变的。有的同学肯定有疑问了，既然投影到了窗口上，那么还要深度值0.5干什么？这里要注意的是，虽然在窗口上显示时只需要x，y坐标就够了，但是要在2D窗口上显示3D图形时深度值是不可少的。这里的深度值不是用于显示，而是用于在光栅化的时候进行深度测试。
OpenGL也会根据glViewport函数提供的参数值生成一个视口变换矩阵
该矩阵把上个阶段得到的正规化坐标映射到窗口上，并且将正规化坐标中的深度值在转换到0到1之间。所以在深度缓冲中最大值为1，最小值为0。视口变换结束后，OpenGL中主要的图形管线阶段就算完成了，后面就是光栅化等等操作。再来回顾一下图1，现在相信大家对这个渲染管线有了一定的认识了，也明白了每一个阶段对应的变换矩阵以及如何进行坐标之间的转换的。
2. 屏幕坐标转换为世界坐标
通过前面的教程，以及现在大家对OpenGL整个渲染管线理解后，现在要将屏幕上一点坐标转换为世界坐标就比较容易了。从图形管线的开始到结束，一个模型坐标系中的坐标被转化为了屏幕坐标，那么现在把整个过程倒过来的话，屏幕上一点坐标也可以转为为世界坐标。只要在对应的阶段求得对应变换矩阵的逆矩阵，就可以得到前一个阶段的坐标。这整个过程可以用图14表示。
图14屏幕坐标转换为世界坐标
图中显示的过程完全就是OpenGL渲染管线的逆过程，通过这个过程，屏幕上的点就可以转化为世界坐标系中的点了。可能又有的同学要问，当鼠标点击屏幕上一点的时候并没有深度信息，转换的时候要怎么办呢？这个时候可以使用OpenGL函数
void glReadPixels (GLint x, GLint y, GLsizei width, GLsizei height, G Lenum format, GLenum type, GLvoid *pixels);
该函数能够获得屏幕上一点对应像素的深度信息。有了这个深度信息，就可以利用上面过程把屏幕上一点转换为世界坐标了。在OpenGL中，上面的过程其实已经有现成的函数可以使用，那就是
int APIENTRY gluUnProject (
GLdouble winx, GLdouble winy,
GLdouble winz,
const GLdouble modelMatrix[16],
const GLdouble projMatrix[16],
const GLint viewport[4],
GLdouble *objx, GLdouble *objy,
GLdouble *objz);
该函数直接将屏幕上一点转换对应的世界坐标，该函数的内部实现其实还是上面的那么逆过程。下面给出利用该函数获取世界坐标的代码段。
GVector screen2world(int x, int y)
{
GLint viewport[4];
GLdouble modelview[16];
GLdouble projection[16];
GLfloat winX, winY, winZ;
GLdouble posX, posY, posZ;
glGetDoublev(GL_MODELVIEW_MATRIX, modelview);
glGetDoublev(GL_PROJECTION_MATRIX, projection);
glGetIntegerv(GL_VIEWPORT, viewport);
winX = (float)x;
winY = (float)viewport[3] - (float)y;
glReadPixels(x, int(winY), 1, 1, GL_DEPTH_COMPONENT, GL_FLOAT, &winZ);
gluUnProject(winX, winY, winZ, modelview, projection, viewport, &posX, &posY, &posZ);
GVector v(4, posX, posY, posZ, 1.0);
return v;
}
代码中函数返回类型GVector是用户定义的向量类，返回的是齐次坐标。
教学内容分析： 本节开头是让学生动手画图，通过列表比较，，找出关于点平移时的坐标变化的规律，学会求已知点左右，上下平移后所得像的坐标，并能根据平移后对应点之间的坐标关系，分析已知点的平移关系。在此基础之上，研究线段经平移后所得的像，最后上升到一个图形的多种平移的组合。 教学目标： 1、 感受坐标平面内图形变换时的坐标变换； 2、 了解坐标平面内图形左、右或上、下平移时的对应点之间的坐标关系； 3、会求与已知点左、右或上、下平移后的像的坐标； 4、利用平移（左、右或上、下）后对应点之间的坐标关系，分析已知图形的平移关系； 5、进一步培养坐标意识与数形结合的数学思想及空间想象能力。 教学重点与难点： 教学重点：坐标平面内图形左、右或上、下平移时的对应点之间的坐标关系。 教学难点：利用平移（左、右或上、下）后对应点之间的坐标关系，分析已知图形的平移关 系。 教学准备：刻度尺、方格纸 教学过程： 教学设计 设计说明 一、合作交流，寻找规律 让每人任选一点，赋予学生充分的自主性，通过观察、填表、比较，小组内各成员的合作交流，共同发现规律。 O 1 2 3 4 1 2 3 4 -1 -2 -3 -4 -1 -2 -3 -4 x y A
（1）如图，在方格纸上任画点A，写出它的坐标；（2）分别把A点向左、向右平移5个单位，并写出它们的坐标。 （3）分别把A点向上、向下平移3个单位，并写出它们的坐标。 （4）与同伴交流，比较点A与它的像坐标，你发现什么规律？ 二、总结规律，灵活运用 a)从上面的合作学习中得到：坐标平面内的点与平移 h(h 0)个单位后所得的像的坐标的关系如下： （a,b+h） 向上 向左向右 （a+h ,b）（a,b）用字母表示有一定的难度，这里特别指出这个规律的记忆方法：左右对应加减，上下对应加减。
直角坐标系中图形的两次平移与坐标的变化导学案 【学习目标】［ 1.在学习一次平移坐标的变化特点的基础上，继续探究依次沿两个坐标轴方向平移 后坐标的变化特点及根据坐标的变化探究图形变化特点? 2.经历探究依次沿两个坐标轴方向平移后所得到的图形与原来图形之间的关系，提高学生的探究能力和方法，发展空间观念? 【学习过程】 一、复习导入 1、平移的定义：在平面内，将一个图形沿着____________ 移动 _________ 的距离，这样 的图形运动称为平移。平移不改变图形的_________ 和________ ，改变的是位置。 原图形上点的坐标平移方向平移距离对应点的坐标 (x,y) 沿x轴方向 向右平移 a个单位长度 (a > 0) x a, y 沿y轴方向 向上平移 x,y a 内容1：将图中鱼F”先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到新 “鱼F'”，请在平面直角坐标系中画出平移后的图形解：(1)在平面直角坐标系中画出“鱼F'”。 (2)能否将“鱼F'”看成是“鱼F”经过一次平移得到的？如果 能，请指出平移的方向和平移的距离。 (3)在“鱼F”和“鱼F'”中，对应点的坐标之间有什 么关系？
内容2:如果将“鱼” F向右平移4个单位长度，再向下平移3 个单位长度，得到“鱼” N, 上面问题的探究结果又是什么情 况呢？ 内容3、议一议： 一个图形依次沿x轴方向、y轴方向平移后所得图形与原来的图形相比，位置有什 么变化？ 规律归纳：设(x,y)是原图形上的一点，当它沿x轴方向平移a(a > 0)个单位长度、沿y轴方 原图形上的点平移方向和平移距离对应点 的坐标 坐标的变化 (x, y) 向右平移a个单位长度，向上平移b个单位长度 向右平移a个单位长度，向下平移b个单位长度 向左平移a个单位长度，向上平移b个单位长度 向左平移a个单位长度，向下平移b个单位长度 归纳如下: 在平面直角坐标系中，一个图形先沿X轴方向平移a( a >0)个单位长度, 再沿丫轴方向平移b( b>0)个单位长度，可以看成是由原来的图形经过一次平移 得到的，则图形沿对应点连线方向平移______________ 单一位长度。
初中数学导学案 年级七年级学生姓名班级使用日期 课型新授课主备人胡大巍执教人课时课题7.1.2用坐标表示平移1课时 学习目标1、能写出点平移后的对应点的坐标； 2、能写出图形平移后的对应图形中各个点的坐标； 3、运用平移坐标的变化规律解决问题。 学习重点利用坐标变化与图形平移的关系解决问题。 学习难点平面直角坐标系中，点的平移与图形平移的关系。 达成 目标 导学流程设计二次备课 复习巩固旧知，为学新知作准备教材范围：P75---P77页 【课堂新知探究】 【环节1】学前准备 1、什么叫做平移？ 把一个图形整体沿移动一定的距离，图形的这种移动， 叫做平移。 2、平移后得到的新图形与原图形有什么关系？ 平移后图形的改变，不变。 3、把鱼往左平移6cm。(假设每小格是1cm) 从实践作 图的探究 出发，发 现问题， 概括新知 学会平 移后用 点表示 坐标，用 坐标表 示点 【环节1】探究、整理：横坐标表示平移 问题1：如图点A（-2， -3） 1、向右平移3个单位长度 后点B点的坐标是 2、向右平移5个单位长度 后点C 点的坐标是 请你观察A、B、C三点 的坐标的变化，你能发 现什么规律吗？ 【环节2】探究、整理：纵坐标表示平移 在上图中，点A（-2，-3） 1、向上平移5个单位长度后点B点的坐标是 2、向上平移7个单位长度后点C 点的坐标是 请你观察A、B、C三点的坐标的变化，你能发现什么规律吗？ 总结规律： (1)左、右平移： 原图形上的点(x，y) ( ) 原图形上的点(x，y) ( ) (2)上、下平移： 原图形上的点(x，y) ( ) 原图形上的点(x，y) ( ) 【环节3】学以致用 1.例题探索 如图，△ ABC三个顶点的坐标 A(4,3),B(3,1),C(1,2) （1）将三角形ABC三个顶点的 横坐标都减去6，纵坐标不变 （2）依次连接A1，B1，C1，各 点，得到三角形A1B1C1 向左平移a个单位 向右平移a个单位 向上平移b个单位 向下平移b个单位
高中数学平面直角坐标系下的图形变换及常用方法 摘要：高中数学新教材中介绍了基本函数图像，如指数函数，对数函数等图像等。而在更多的数学问题中，需要将这些基本图像通过适当的图形变换方式转化成其他的图像，要让学生理解并掌握图形变换方法。 高中数学研究的对象可分为两大部分，一部分是数，一部分是形，高中生是最需要培养的能力之一就是作图解图能力，就是根据给定图形能否提炼出更多有用信息；反之，根据已知条件能否画出准确图形。图是数学的生命线，能不能用图支撑思维活动是学好初等数学的关键之一；函数图像也是研究函数性质、方程、不等式的重要工具。 提高学生在数学知识的学习中对图形、图像的认知水平，是中学数学教学的主要任务之一，教师在教学过程中应该确立以下教学目标：一方面，要求学生通过对数学教材中基本的图形和图象的学习，建立起关于图形、图象较为系统的知识结构；培养和提高学生认识、研究和解决有关图形和图像问题的能力。为达到这一目标，教师应在教学中让学生理解并掌握图形变换的思想及其常用变换方法。 函数图形的变换，其实质是用图像形式表示的一个函数变化到另一个函数。与之对应的两个函数的解析式之间有何关系？这就是函数图像变换与解析式变换之间的一种动态的对应关系。在更多的数学问题中，需要将这些基本图像通过适当的图形变换方式转化成其它图像，要让学生理解并掌握图像变换方法。 常用的图形变换方法包括以下三种：缩放法、对称性法、平移法。 1.图形变换中的缩放法 缩放法也是图形变换中的基本方法，是蒋某基本图形进行放大或缩小，从而产生新图形的过程。若某曲线的方程F （x ，y ）=0可化为f （ax ，by ）=0（a ，b 不同时为0）的形式，那么F （x ，y ）=0的曲线可由f （x ，y ）=0的曲线上所有点的横坐标变为原来的1/a 倍，同时将纵坐标变为原来的1/b 倍后而得。 （1）函数()y af x =(0)a >的图像可以将函数()y f x =的图像中的每一点横坐标不变纵坐标伸长(1)a >或压缩（01a <<）为原来的a 倍得到； （2）函数()y f ax =(0)a >的图像可以将函数()y f x =的图像中的每一点纵 坐标不变横坐标伸长(1)a >或压缩（01a <<）为原来的1a 倍得到． ①y=f(x)ω?→x y=f(ω x );② y=f(x)ω?→y y=ωf(x). 缩放法的典型应用是在高中数学课本（三角函数部分）介绍函数)s i n (?ω+=x A y 的图像的相关知识时，课本重点分析了由函数y=sinx 的图像通
求图形变换后点的坐标 江苏 刘海涛 在平面直角坐标系中，图形经过平移、伸长（压缩）、拉伸等变换后，点的坐标相应发生变化． 一、平移变换 例1 如图1，已知ABC △在平面直角坐标系中的位置． （1）写出它的三个顶点的坐标； （2）若把这个三角形向右平移5个单位后得到三角形 A B C '''，试画出三角形A B C '''，并写出它的三个顶点的坐标． 分析：（1）横坐标是过这点向x 轴作垂线，垂足所表示的数； 纵坐标是过这点向y 轴作垂线，垂足所表示的数． （2）一点向左或向右平移正数k 个单位，其纵坐标不变，横坐标相应减或加k ；一点向上或向下平移正数k 个单位，其横坐标不变，纵坐标相应加或减k ． 解：（1）(14)(21)(32)A B C ---，，，，，；（2）(44)(31)(22)A B C '''， ，，，，． 思考：（1）若把三角形ABC 向下平移5个单位后得到三角形A B C ''''''，试写出它的三个顶点的坐标． 二、伸长（压缩）变换 例2 如图2，已知三角形ABC 在平面直角坐标系中的位置． （1）写出它的三个顶点的坐标； （2）把这个三角形的顶点C 向下压缩2个单位得到三角形A B C '''，试画出三角形A B C '''，并写出它的三个顶点的坐标． 分析：（2）顶点C 向下压缩2个单位得C ',表示C '的横坐标不变，纵坐标减少2.其余顶点坐标不变． 解：（1）(41) (11)(15)A B C --，，，，，； （2）(41) (11)(13)A B C '''--，，，，，． 思考：（1）若把三角形ABC 的顶点C 向上拉2个单位得到三角形A B C ''''''，试写出它的三个顶点的坐标．
平面直角坐标系下的图形变换 王建华 图形变换是近几年来中考热点，除了选择题、解答题外，创新探索题往往以“图形变换”为载体，将试题设计成探索性问题、开放性问题综合考察学生的逻辑推理能力，一般难度较大。 在平面直角坐标系中，探索图形坐标的的变化和平移、对称、旋转和伸缩间的 关系，是中考考查平面直角坐标系的命题热点和趋势，这类试题设计灵活 平移: 上下平移横坐标不变,纵坐标改变 左右平移横坐标改变,纵坐标不变 对称: 关于x轴对称横坐标不变,纵坐标改变 关于y轴对称横坐标不变,纵坐标不变 关于中心对称横坐标、纵坐标都互为相反数 旋转：改变图形的位置，不改变图形的大小和形状 旋转角旋转半径弧长公式L=nπR／180 一、平移 例1，如图1，已知△ABC的位置，画出将ABC向右平移5个单位长度后所得的ABC，并写出三角形各顶点的坐标，平移后与平移前对应点的坐标有什么变化？ 解析：△ABC的三个顶点的坐标是：A(-2，5)、B(-4，3)、C(-1，2)． 向右平移5个单位长度后，得到的△A′B′C′对应的顶点的坐标是：A′(3，5，、B′(1，3）、C′(4，2）． 比较对应顶点的坐标可以得到：沿x轴向右平移之后，三个顶点的纵坐标都没有变化，而横坐标都增加了5个单位长度． 友情提示：如果将△ABC沿y轴向下平移5个单位，三角形各顶点的横坐标都不变，而纵坐标都减少5个单位．(请你画画看)．例2. 如图，要把线段AB平移，使得点A到达点A'(4，2)，点B到达点B'，那么点B'的坐标是_______。 析解：由图可知点A移动到A/可以认为先向右平移4个单位，再向上平移1个单位，∴)3,3(B经过相同的平移后可得)4,7(/B 反思：①根据平移的坐标变化规律： ★左右平移时：向左平移h个单位) , ( ) , (b h a b a- → 向右平移h个单位) , ( ) , (b h a b a+ → ★上下平移时：向上平移h个单位) , ( ) , (h b a b a+ → 向下平移h个单位) , ( ) , (h b a b a- → 二、旋转 例3.如图2，已知△ABC，画出△ABC关于坐标原点 0旋转180°后所得△A′B′C′，并写出三角形各顶点的 坐标，旋转后与旋转前对应点的坐标有什么变化？ 解析：△ABC三个顶点的坐标分别是： A(-2，4)，B(-4，2)，C(-1，1)． △A′B′C′三个顶点的坐标分别是： 图2 图1 B/ 图 2 图1
23.6.2图形的变换与坐标 【学习目标】 1.掌握图形的平移、轴对称（关于坐标轴）、位似（以原点为位似中心）变换中坐标的变化规律。 2.让学生经历探究坐标变换的过程，掌握探究数学的方法； 3、让学生在探究过程中体验数学的美，数学的奇妙，从动手实践到得出规律，体验成功的乐趣。 学习过程： 一、预备练习 1、点A（3，－2）关于x轴对称的点是。 2、点A（3，4）关于y轴对称的点是。 3、P（2，3）关于原点对称的点是。 4、 P（－2，3）到x轴的距离是。 5、如图2矩形ABOC的长OB＝3，宽AB＝2，则点A的坐标为。 6、如果点P（a-3,a+4)在第二象限，则a的取值范围是。 7、点A（a,-4）到两坐标轴的距离相等，则a=_______. 二、导学新课，落实目标 （一）平移与坐标变化 1、沿x轴平移 （1）、如果是△AOB 向右移动3个单位长度，得到△A ′O′ B′，各顶点的坐标又有什么变化？你能用自已的语言归纳这个规律吗？ （2）你能画图说明△AOB向左移动时，对应点的坐标 又有什么变化规律？ 沿x轴平移时对应点坐标变化规律是：
2、沿y轴平移 沿y轴平移时对应点坐标变化规律是： （二）对称与坐标变化 1、关于x轴对称 将△AOB沿着x轴对折，得到△A ’ OB，画图并说明对应顶点有什么变化？ 规律： 2、关于y轴对称 画出△ABC，A（2，1），B（4，0），C（5，2）沿y 轴对折后的△A ’ B’ C ’，并观察对应顶点又有什么样的变化？ A ’（，）、 B’（，） C ’（，） 规律： 3、关于原点对称 画△AOB关于原点对称的△A ’O B ’你有什么发现？ 规律：
中考数学二轮综合训练35 用坐标表示图形变换 一、选择题 1．(2011·广州)将点A (2,1)向左平移2个单位长度得到点A ′，则点A ′的坐标是( ) A. (0,1) B ．(2，－1) C ．(4,1) D ．(2,3) 答案 A 解析 点A ′的横坐标为2－2＝0，纵坐标仍为1，∴A ′的坐标为(0,1)． 2．(2011·泰安)若点A 的坐标为(6,3)，O 为坐标原点，将OA 绕点O 按顺时针方向旋转90°得到OA ′，则点A ′的坐标是( ) A ．(3，－6) B ．(－3,6) C ．(－3，－6) D ．(3,6) 答案 A 解析 画图，根据旋转中心O ，旋转方向顺时针，旋转角度90°， 可得A ′的坐标为(3，－6)． 3．以方程组??? ?? y ＝－x ＋2， y ＝x －1 的解为坐标的点(x ，y )在平面直角坐标系中的位置是 ( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 答案 A 解析 方程组的解是????? x ＝32 ，y ＝1 2， 所以点??? ?32，1 2在第一象限． 4．在平面直角坐标系xOy 中，已知点P (2,2)，点Q 在y 轴上，△PQO 是等腰三角形，则满足条件的点Q 共有( ) A ．5个 B ．4个 C ．3个 D ．2个 答案 B 解析 分类讨论，当以点O 为顶点时，有2个；当以点P 为顶点时，有1个；当以Q 以顶点时，有1个． 5．(2010·本溪)已知在坐标平面上的机器人接受指令“[a ，A ]”(a ≥0,0°＜A ＜180°)后行动结果为：在原地顺时针旋转A 后，再向面对方向沿直线前行a .若机器人的位置是在原点，面对方向是y 轴的负半轴，则它完成一次指令[2,30°]后所在位置的坐标是( ) A ．(－1，－3) B ．(－1，3) C ．(－3，－1) D ．(－3，－1) 答案 A
坐标平面内图形变换教 案 TPMK standardization office【 TPMK5AB- TPMK08- TPMK2C- TPMK18】
6.3坐标平面内的图形变换 背景介绍及教学资料 七年级下册第2章图形和变换中已从几何的角度了解了轴对称变换与几何变换，本章从坐标的角度来研究这两种变换,并利用图形变换与坐标之间的关系来作图。虽然但就作图而言，可能不如几何画法方便，但这种画法在计算机制图等方面有着广泛的实际应用。此外对这两种变换的学习，为下一章函数当中的相关应用奠定了基础。 第1课时 教学内容分析： 本节开头是让学生通过动手画图，自己探索，找出关于坐标轴对称的两个点之间的坐标关系，得出一般规律，再依据这种关系，求作已知点关于坐标轴的对称点。因为两个端点可以确定一条线段，所以只要作出各个转折点关于对称轴的对称点，依此连接就得到一个多边形关于对称轴的对称图形。最后，与同伴合作学习，在方格纸上，按自己认为合适的比例，建立适当的坐标系，利用轴对称特点画出一个零件的主视图。 教学目标： 1、感受坐标平面内图形变换的坐标变换； 2、了解关于坐标轴对称的两个点的坐标变换； 3、会求与已知点关于坐标轴对称点的坐标； 4、利用图形变换与坐标之间的关系来作图； 5、进一步培养坐标意识与数形结合的数学思想。 教学重点与难点： 教学重点：关于坐标轴对称的两个点之间的坐标关系。 教学难点：利用关于坐标轴对称的两个点之间的坐标关系，在平面直角坐标系内作轴对称图形。 教学准备：刻度尺、方格纸
1．教学改革主要是学习方式的改革，过去习惯于用灌输法，整堂课都由老师告诉学生该怎么做，学生只是被动接受，老师讲得累死，学生学习效果却不好。这节课安排了两处的合作学习，充分调动学生的积极性，让学生主动探索，经历思维的发生过程。 2．本课给出一些非常美丽的图案以及在生活中能碰到的实物的图案，在数学课中实施美育，在数学课上融入生活。 3．图形变换是培养数形结合思想发展空间观念的有效载体，很多题目可以让学生发挥想象力，而不一定借助于图形。
图形在坐标系中的平移 【知识要点】 1.点的平移变换与坐标的变化规律是：点（x ，y ）右（左）移m 个单位，得对应点（x ±m ，y ），点（x ，y ）上（下）移n 个单位，得对应点（x ，y ±n ）. 2.图形的平移变换与坐标的变化规律一般是通过从图形中特殊点,转化为点的平移变换解决. 【温馨提示】 1.平移只改变物体的位置,不改变的物体的形状和大小,因此,平移前后图形的面积不变. 2.一个图形进行平移,这个图形上所有的点的坐标都要发生相应的变化;反之,如果图形上的点的坐标发生变化,那么这个图形进行了平移. 【方法技巧】 1.点的平移与其坐标的变化规律是解决平移问题的关键,平移的方向决定了坐标是加还是减,平移的距离决定了加（或减）的数值. 2.作平移后的图形时,可先作出平移后图形中某些特殊点,然后再连结即可得到所需要的图形. 专题一 图形平移中的规律探究题 1.在平面直角坐标系中，一蚂蚁从原点O 出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动，每次移动1个单位．其行走路线如下图所示． （1）填写下列各点的坐标：A 4（ ， ），A 8（ ， ），A 12（ ， ）； （2）写出点A 4n 的坐标（n 是正整数）； （3）指出蚂蚁从点A 100到点A 101的移动方向． O 1 A 1 A 2 A 3 A 4 A 5 A 6 A 7 A 8 A 9 A 10 A 11 A 12 x y
2.如图所示，矩形ABCD 的顶点坐标分别为A （1,1）,B （2,1）,C （2,3）,D （1,3）. （1）将矩形ABCD 向上平移2个单位，画出相应的图形，并写出各点的坐标； （2）将矩形ABCD 各个顶点的横坐标都减去3，纵坐标不变，画出相应的图形； （3）观察（1）、（2）中的到的矩形，你发现了什么？ 3.在直角坐标系中，△ABC 的三个顶点的位置如图所示，现将△ABC 平移使得点A 移至图中的点A ′的位置． （1）在直角坐标系中，画出平移后所得△A′B′C′（其 中B ′、C ′分别是B 、C 的对应点）． （2）计算： 对应点的横坐标的差：=-A A x x ' ， =-B B x x ' ，=-C C x x ' ； 对应点的纵坐标的差：=-A A y y ' ，=-B B y y ' ，=-C C y y ' . （3）从（2）的计算中，你发现了什么规律？请你把发现的规律用文字表述出来． （4）根据上述规律，若将△ABC 平移使得点A 移至A ″（2，-2），那么相应的点B ″、C ″（其中B ″、C ″分别是B 、C 的对应点）的坐标分别是 、 ． 专题二 图形平移中的规律探究题 4.初三年级某班有54名学生，所在教室有6行9列座位，用（m ，n ）表示第m 行第n 列的座位，新学期准备调整座位，设某个学生原来的座位为（m ，n ），如果调整后的座位为（i ，j ）,则称该生作了平移[a ,b ]=[m - i ，n - j ]，并称a+b 为该生的位置数.若某生的位置数为10，则当m +n 取最小值时，m ?n 的最大值为 .
路漫漫其修远兮，吾将上下而求索- 百度文库 1 孟津县朝阳初中九年级数学教案 章名称图形的相似年级九年级主备教师姓名赵晓利节名称图形与坐标 教学目标知识与能力目标 在同一直角坐标系中，感受到图形经过平移、旋 转、轴对称放大或缩小的变换之后，点的坐标相 应发生变化。 过程与方法目标 探索图形平移、轴对称、放大或缩小的变换中， 它们点的坐标变化规律 情感态度价值观 让学生体会图形经过平移、旋转、对称、相似等 变换的变化情况，达到对图形变换有更深的认识， 初步渗透数形结合的思想。 教学重点、难点教学重点:图形运动与坐标变换的关系。 教学难点:图形运动与坐标变换的具体应用，通过比较放大或缩小后的图形与原图形，归纳位似放大或缩小图形的规律． 教具白板 教学过程 教学环节教学内容媒体内容与 使用 创设情境引入新课复习 1．△ABC中，AB＝AC，BC＝6，AC＝5，建立直角坐标系，写出各顶点的坐标。 2．你能画与△ABC成轴对称的三角形吗?请画一个以直线BG为对称轴的三角形。 自主学习如果以C为坐标原点，CB所在直线为x轴，建立直角坐标系，上述(1)的各顶点坐标为多少?(画成与厚纸片相符) 1．把厚纸片的三角形向右边移动3个单位，问： (1)这时三角形的位置发生了什么变化? 向右平移3个单位。 (2)这时三角形三个顶点的坐标有什么变化，写出它们这个位置时三个顶点坐标。 (3)比较相应顶点的坐标，它们之间存在什么相同之处? 相应顶点的横坐标都增加了3个单位，而纵坐标都不变。 2．把纸片三角形向左平移4个单位，后以同样的问题回答。 发现相应顶点横坐标有变化，减少了4个单位，纵坐标不变。
11.2图形在坐标系中的平移 ◇教学目标◇ 【知识与技能】 1.能在平面直角坐标系中用坐标的方法研究图形的变换,掌握图形在平移过程中各点坐标的变化规律,理解图形在平面直角坐标系上的平移实质上就是点坐标的对应变换; 2.运用图形在平面直角坐标系中平移的点坐标的变化规律进行简单的平移作图. 【过程与方法】 经历观察、分析、抽象、归纳等过程,经历与他人合作交流的过程. 【情感、态度与价值观】 让学生发现数学与图形的平移、物体的运动等有实际意义的事情之间的关系,体会数学在现实生活中的用途. ◇教学重难点◇ 【教学重点】 掌握用坐标系的变化规律来描述平移的过程. 【教学难点】 根据图形的平移过程,探索、归纳出坐标的变化规律. ◇教学过程◇ 一、情境导入 (1)平移的概念是什么? (2)下象棋时,棋子的移动,什么在变,什么不变?在棋盘上推动棋子是否可以看成图形在平面上的平移? 二、合作探究 1. 2.探究图形的平移与其坐标变化的关系: (1)左、右平移: 原图形上的点(x,y)(x a,y);
原图形上的点(x,y)(x a,y). (2)上、下平移: 原图形上的点(x,y)(x,y b); 原图形上的点(x,y)(x,y b). 3.归纳出平移规律: (1)三角形的平移,是通过三角形任意一点坐标的变化而得到的. (2)在平面直角坐标系中,沿横轴平移,图形上每一点的纵坐标不变,而横坐标增减,简记为“左减右加”;沿纵轴平移,横坐标不变,纵坐标增减,简记为“上加下减”. (3)“左减右加,上加下减”也可这样理解:按x轴(y轴)正方向平移,则横(纵)坐标加上平移的单位数量,按x轴(y轴)负方向平移,则横(纵)坐标减去平移的单位数量. 典例1如图,将三角形ABC先向右平移6个单位,再向下平移2个单位得到三角形A1B1C1,写出各顶点变动前后的坐标. [解析]用箭头代表平移,有 →A1(4,4),B(-4,4)→(2,4)→B1(2,2),C(1,1)→(7,1)→C1(7,-1). 将三角形ABC先向左移动3个单位,再向上移动2个单位,得到三角形A2B2C2,写出三角形A2B2C2的各顶点坐标. [解析]点A2(-5,8),点B2(-7,6),点C(-2,3). 典例2说一说,下列由点A到点B是怎样平移的? (1)A(x,y)→B(x-1,y+2); (2)A(x,y)→B(x+3,y-2); (3)A(x+3,y-2)→B(x,y). [解析](1)将点A先向左平移1个单位,再向上平移2个单位,即可得到点B. (2)将点A先向右平移3个单位,再向下平移2个单位,即可得到点B. (3)将点A先向左平移3个单位,再向上平移2个单位,即可得到点B. 三、板书设计 图形在坐标系中的平移 1.点的平移与坐标的变化. 2.图形的平移与其坐标变化的关系. 3.平移规律. ◇教学反思◇ 本节课的主要内容是平移的变化规律“左减右加”“上加下减”,让学生在理解的基础上加以消化掌握,不能死记硬背,只要正确作出图形即可知道变化情况.方位角和距离的讲解要补充并强化.教学时注重与中考知识点链接,训练学生的逆向思维能力.
坐标与图形变换练习题 一、特殊位置的点的坐标特点： 1、第一象限的点的坐标：（+，+）；第二象限的点的坐标：（－，+）； 第三象限的点的坐标：（－，－）；第四象限的点的坐标：（+，－）； 2、x 轴上的点纵坐标为0：(x,0)；y 轴上的点横坐标为0：（0，y ） 3、一、三象限夹角平分线上的点，横纵坐标相等：（k,k ） 二、四象限夹角平分线上的点，纵横坐标互为相反数: （－k,k ）或（k,－k ） 4、与x 轴平行（或与y 轴垂直）的直线上的点纵坐标都相同：（x,k ） 与y 轴平行（或与x 轴垂直）的直线上的点横坐标都相同:（k,y ） 5、关于x 轴对称的点横坐标相同、纵坐标互为相反数：（x,y ）与（x,-y ）； 关于y 轴对称的点纵坐标相同、横坐标互为相反数：（x,y ）与（-x, y ）； 关于原点对称的点横纵坐标都互为相反数: （x,y ）与（-x, -y ）； 6、一点到x 轴的距离是纵坐标的绝对值:|y|; 一点到y 轴的距离是横坐标的绝对值:|x| 二、强化练习： (一)选择题 1．下列说法中正确的是（ ） A ．是一个无理数 B ．函数的自变量x 的取值范围是x ＞1 C ．8的立方根是±2 D ．若点P （﹣2，a ）和点Q （b ，﹣3）关于x 轴对称，则a+b 的值为5 2．如图，将三角形向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，则平移后 三个顶点的坐标是（ ） A ．（1，7），（﹣2，2），（3，4） B ．（1，7），（﹣2，2），（4，3） C ．（1，7），（2，2），（3，4） D ．（1，7），（2，﹣2），（3，3） 3．如图，已知△ABC 的顶点B 的坐标是（2，1），将△ABC 向左平移两个单位后， 点B 平移到B 1，则B 1的坐标是（ ） A ．（4，1） B ．（0，1） C ．（﹣1，1） D ．（1，0） 4．如图，把矩形OABC 放在直角坐标系中，OC 在x 轴上，OA 在y 轴上，且OC=2， OA=4，把矩形OABC 绕着原点顺时针旋转90°得到矩形OA′B′C′，则点B′的
平面直角坐标系内的图形变换 一．教学目标： 知识与技能目标1．了解当坐标平面内图形左、右或上、下平移时对应点之间的坐标关系。 2．会求已知点左、右或上、下平移后所得的像的坐标。 3．已知会利用平移后对应点之间的坐标关系，分析已知图形的平移变换。 过程与方法目标1、感受坐标平面内图形变换的坐标变化，发展学生的数形结合思想，培养学生的合作交流能力。 情感与态度目标通过生动有趣的教学活动，发展学生的合情推理能力和丰富的情感、态度，提高学生学习数学的兴趣。 二．教学难点与重点 重点：本节教学的重点坐标平面内图形左、右或上、下平移后对应点的坐标关系。 难点：利用平移后对应点间的坐标关系，分析已知图形的平移变换，需要较强的空间想象能力，是本节课的难点。 三．教学过程 1．温故知新 如图，将点A（－3，3）关于x轴、y轴作轴对称变换，像的坐标分别为________. 设问：在这一图形变换中，除了用轴对称变换外，可以用其他的图形变换吗？ 生：可以用平移变换。 2．师生互动，合作学习 师：将变化的坐标填在表格中。
师：观察各点平移时的坐标变化，你能发现它们变化的规律吗？ 平移时的坐标变化 左右平移时： 向右平移h个单位 （a,b）（a+h, b） 向左平移h个单位 （a,b）（a－h, b） 上下平移时： 向上平移h个单位 （a,b）（a, b+h） 向下平移h个单位 （a,b）（a, b －h ） 做一做： 1.已知点A的坐标为（－2，－3），分别求点经下列平移变换后所得的像的坐标。 (1)向上平移3个单位（2）向下平移3个单位 (3)向左平移2个单位（4）向右平移4个单位 (5)先向右平移3个单位，再向下平移3个单位 2.已知点A的坐标为（a,b), 点A经怎样变换得到下列点？ (1) (a-2,b) (2) (a,b+2) 例2：如图,在直角坐标系中，平行于x轴的线段AB上所有点的纵坐标都是－1，横坐标x的取值范围是1≤x ≤5 ，则线段AB上任意一点的坐标可以用“(x,-1) (1≤x ≤5)”表示，按照这样的规定，回答下面的问题： 1 按照以上的规定怎样表示线段CD上任 意一点的坐标？ （2, y）(-1≤y ≤3) 2 把线段AB向上平移2.5个单位，线段的 两个端点的横坐标、纵坐标发生了什么变 化？ 由此可知线段上任意一点的坐标变化
图形在坐标中的平移（提高）知识讲解 【学习目标】 1. 能在直角坐标系中用坐标的方法研究图形的平移变换，掌握图形在平移过程中各点的变化规律，理解图形在平面直角坐标系上的平移实质是点坐标的对应变换. 2. 运用点的坐标的变化规律来进行简单的平移作图. 【要点梳理】 要点一、点在用坐标中的平移 在平面直角坐标系中，将点(x，y)向右或向左平移a个单位长度，可以得到对应点(x＋a，y)或(x－a，y)；将点(x，y)向上或向下平移b个单位长度，可以得到对应点(x，y＋b)或(x，y－b)． 要点诠释： （1）在坐标系内，左右平移的点的坐标规律：右加左减； （2）在坐标系内，上下平移的点的坐标规律：上加下减； （3）在坐标系内，平移点的坐标规律：沿x轴方向平移纵坐标不变,沿y轴方向平移横坐标不变． 要点二、图形在坐标中的平移 在平面直角坐标系内，如果把一个图形各个点的横坐标都加上(或减去)一个正数a，相应的新图形就是把原图形向右(或向左)平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加上(或减去)一个正数a，相应的新图形就是把原图形向上(或向下)平移a个单位长度． 要点诠释： （1）平移是图形的整体位置的移动，图形上各点都发生相同性质的变化，因此图形的平移问题可以转化为点的平移问题来解决． （2）平移只改变图形的位置，图形的大小和形状不发生变化. 【典型例题】 类型一、点在用坐标中的平移 1．（2016?藁城区校级模拟）在平面直角坐标系中，将点A（m﹣1，n+2）先向右平移3个单位，再向上平移2个单位，得到点A′，若点A′位于第二象限，则m、n的取值范围分别是（） A．m＜0，n＞0 B．m＜1，n＞﹣2 C．m＜0，n＜﹣2 D．m＜﹣2，m＞﹣4 【思路点拨】根据点的平移规律可得向右平移3个单位，再向上平移2个单位得到（m﹣1+3，n+2+2），再根据第二象限内点的坐标符号可得． 【答案与解析】 解：点A（m﹣1，n+2）先向右平移3个单位，再向上平移2个单位得到点A′（m+2，n+4），∵点A′位于第二象限， ∴，解得：m＜﹣2，n＞﹣4，故选D． 【总结升华】此题主要考查了点的坐标平移规律，关键是横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减． 2. 如果将点P（3，4）沿x轴方向平移2个单位，再沿y轴方向向下平移3个单位后的坐标是_______．
《在平面直角坐标系中对图形进行旋转变换》教案 教学目标 知识与技能 1?理解圆是轴对称图形，由圆的折叠猜想垂径定理，并进行推理验证. 2.理解垂径定理，灵活运用定理进行证明及计算. 过程与方法 在探索圆的对称性以及直径垂直于弦的性质的过程中，培养我们观察，比较，归纳，概括的能力. 情感态度 通过对圆的进一步认识，加深我们对圆的完美性的体会，陶冶美育情操，激发学习热情. 教学重点 垂径定理及运用. 教学难点 用垂径泄理解决实际问题. 教学过程 一、情境导入，初步认识 教师出示一张图形纸片，同学们猜想一下： ①圆是轴对称图形吗？如果是，对称轴是什么？ ②如图，是OO的一条弦，直径CD丄43于点M,能发现图中有哪些等量关系? （在纸片上对折操作） 【教学说明】 （1）是轴对称图形，对称轴是直线CD. ⑵也二BM, AC = BC f AD = BD- 二、思考探究，获取新知 1.垂径定理： 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.还可以得出结论（垂径定理推论）：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. 2.由上面学生折纸操作的结论，教师再引导学生用逻辑思维证明这些结论，学生们说出已知、求证，再由小组讨论推理过程. 3.例题解析： 例1已知:直径CD弦AB, HCD丄AB,垂足为点M.
求证：AM二BM, AC = BC,AD = BD 【教学说明】连接OA=OB,又CD丄AB于点M,由等腰三角形三线合一可知AM二BM,再由O0关于直线CD对称，可得= BC,AD = BD ? 例2已知:如图，A、B、C、D为上的四个点，AB//CD.判断屆与品是否相等，并说明理由. 探究垂径定理在计算方面的应用. 例3银川市某居民区一处圆形下水管道破裂，修理人员准备更换一段新管道.如图所示, 污水水血宽度为60cm,水面至管道顶部距离为10cm,问修理人员应准备内径多大的管道？ < 8 ci ? I 10a ［过程］:让学生在探究过程中，进一步把实际问题转化为数学问题，掌握通过作辅助线构造垂径定理基本结构图，进而发展学牛的思维. 如下图示，连结04,过O作OE丄AB,垂足为E,交圆于F,则AE二丄AB二30cm.令2 OO 的半径为则OA二R, OE=OF-EF=R-W?在RtZ\AEO 中，B|J 7?2=302+(7?-10)2.解得/?二50cm.修理人员应准备内径为100cm的管道. 4.课堂小结 圆是轴对称图形，对称轴是过圆心的任一条直线；垂径定理及推论中注意“平分弦(不是直径)的直径，垂直于弦，并且平分眩所对的两条弧”屮的限制；垂径定理的计算及证明, 常作眩心距为辅助线，用勾股定理列方程；注意计算中的两种情况.
32 用坐标表示图形变换 一、选择题 1．点A(0，－4)与点B(0，4)是( B ) A．关于y轴对称B．关于x轴对称 C．关于坐标轴对称 D．不能确定 2．如图，在平面直角坐标系中，将点A(－2，3)向右平移3个单位长度后，那么平移后对应的点A′的坐标是( C ) A．(－2，－3) B．(－2，6) C．(1，3) D．(－2，1) 3．在平面直角坐标系中，点P(－20，a)与点Q(b，13)关于原点对称，则a＋b的值为( D) A．33 B．－33 C．－7 D．7 【解析】(－20，a)与(b，13)关于原点对称，则b＝20，a＝－13，a＋b＝20－13＝7. 4．如图，把图①中的⊙A经过平移得到⊙O(如图②)，如果图①中⊙A上一点P的坐标为(m，n)，那么平移后在图②中的对应点P′的坐标为( D ) A．(m＋2，n＋1) B．(m－2，n－1) C．(m－2，n＋1) D．(m＋2，n－1) 【解析】由⊙A到⊙O需将A向右移2个单位，再向下移1个单位，P(m，n)平移后则为P′(m＋2，n－1)． 5．如图，把△ABC经过一定的变换得到△A′B′C′，如果△ABC上点P的坐标为(x，y)，那么这个点在△A′B′C′中的对应点P′的坐标为( B ) A．(－x，y－2) B．(－x，y＋2) C．(－x＋2，－y) D．(－x＋2，y＋2) 【解析】在横坐标上A与A′，B与B′，C与C′均关于y轴对称，而纵坐标上移了2个单位，则由此知△A′B′C′是由△ABC沿y轴对折后上移2个单位得到．而P(x，y)对折后为(－x，y)，再上移2个单位则变为(－x，y＋2)． 6．把以 (－1，3)，(－1，1)为端点的线段向右平移6个单位，所得图象上任意一点的坐标可表示为( D ) A．(－1, y)(1≤y≤3) B．(x, －1)(1≤x≤3) C．(x, 5)(1≤x≤3) D．(5, y)(1≤y≤3) 【解析】以(－1，3)，(－1，1)为端点的线段与y轴平行，向右平移6个单位后为(5， 3)，(5，1)则其上的点可以表示为(5，y)(1≤y≤3)． 二、填空题 7．在平面直角坐标系中，点M(－3，2)关于原点的对称点的坐标是__(3，－2)__．【解析】以原点为中心对称点的两点坐标符号相反． 8．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A(3，4)，将OA绕坐标原点O逆时针旋转90°至OA′，则点A′的坐标是__(－4，3)__． 【解析】过A′，A分别作x轴的垂线，垂足为M，N.易知△OA′M≌△AON，有OM＝AN ＝4，A′M＝ON＝3，∴A′坐标为(－4，3)． 9．将点A(－1，2)沿x轴向右平移3个单位长度，再沿y轴向下平移4个单位长度后得到点A′的坐标为__(2，－2)__． 【解析】A(－1，2)向右平移3个单位长度为(2，2)，再向下平移4个单位长度则变成
坐标系的变化与图形变换 private void Form1_Paint(object sender, PaintEventArgs e) { Graphics g = e.Graphics; g.FillRectangle(Brushes.White, this.ClientRectangle); g.DrawRectangle(Pens.Black, 10, 10, 50, 50); g.DrawEllipse(Pens.Black,10,10,10,10); g.ScaleTransform(2.0f, 3.0f); g.DrawRectangle(Pens.Black, 10, 10, 50, 50); g.DrawEllipse(Pens.Black, 10, 10, 10, 10); g.ScaleTransform(0.5f, 0.3333333f); g.DrawRectangle(Pens.Red, 20, 30, 100, 150); g.DrawEllipse(Pens.Red, 20, 30, 20, 30); } private void button1_Click(object sender, EventArgs e) { Graphics g = this.CreateGraphics(); g.FillRectangle(Brushes.White, this.ClientRectangle); Font f = new Font("Times New Roman", 24); g.DrawString("Traslation",f,Brushes.Black,0,0); g.TranslateTransform(150, 75); g.DrawString("Traslation", f, Brushes.Black, 0, 0); } private void button2_Click(object sender, EventArgs e) { Graphics g = this.CreateGraphics(); g.FillRectangle(Brushes.White, this.ClientRectangle); for (int i = 1; i <= 5; ++i) { g.DrawRectangle(Pens.Black, 10, 10, 30, 50); g.TranslateTransform(2, 10); } }
第五章图形变换 重 点：掌握二维几何变换、二维观察变换、三维几何变换以及三维观察变换。 难 点：理解常用的平移、比例、旋转变换，特别是复合变换。 课时安排：授课4学时。 图形变换包括二维几何变换，二维观察变换，三维几何变换和三维观察变换。为了能使各种几何变换（平移、旋转、比例等）以相同的矩阵形式表示，从而统一使用矩阵乘法运算来实现变换的组合，现都采用齐次坐标系来表示各种变换。 齐次坐标系 齐次坐标系：n维空间中的物体可用n+1维齐次坐标空间来表示。例如二维空间直线 ax+by+c=0，在齐次空间成为aX+bY+cW=0，以X、Y和W为三维变量，构成没有常数项的三维平面(因此得名齐次空间)。点P(x、y)在齐次坐标系中用P(wx,wy,w)表示，其中W是不为零的比例系数。所以从n维的通常空间到n+1维的齐次空间变换是一到多的变换，而其反变换是多到一的变换。例如齐次空间点P(X、Y、W)对应的笛卡尔坐标是x=X/W和y=Y/W。将通常笛卡尔坐标用齐次坐标表示时，W的值取1。 采用齐次坐标系可以将平移、比例、旋转这三种基本变换都以相同的矩阵形式来表示，并统一地用矩阵乘法来实现变换的组合。 齐次坐标系在三维透视变换中有更重要的作用，它使非线形变换也能采用线形变换的矩阵表示形式。
5.1 二维几何变换 二维几何变换就是在平面上对二维点的坐标进行变换，从而形成新的坐标。 二维几何变换主要包括：平移、比例、旋转、对称、错切、仿射和复合变换。 5.1.1 二维平移变换 如图所示，它使图形移动位置。新图p'的每一图元点是原图形p中每个图元点在x和y方向分别移动Tx和Ty产生，所以对应点之间的坐标值满足关系式 x'=x+Tx y'=y+Ty 可利用矩阵形式表示成： ［x' y'］=［x y］+［Tx Ty］ 简记为：P'=P+T，T=［Tx Ty］是平移变换矩阵(行向量)。