在射影几何学中，把无穷远点看作是“理想点”。通常的直线再加上一个无穷点就是无穷远直线，如果一个平面内两条直线平行，那么这两条直线就交于这两条直线共有的无穷远点。通过同一无穷远点的所有直线平行。
德国数学家克莱因（图）在爱尔朗根大学提出著名的《爱尔朗根计
划书》中提出用变换群对几何学进行分类
在引入无穷远点和无穷远直线后，原来普通点和普通直线的结合关系依然成立，而过去只有两条直线不平行的时候才能求交点的限制就消失了。
由于经过同一个无穷远点的直线都平行，因此中心射影和平行射影两者就可以统一了。平行射影可以看作是经过无穷远点的中心投影了。这样凡是利用中心投影或者平行投影把一个图形映成另一个图形的映射，就都可以叫做射影变换了。
射影变换有两个重要的性质：首先，射影变换使点列变点列，直线变直线，线束变线束，点和直线的结合性是射影变换的不变性；其次，射影变换下，交比不变。交比是射影几何中重要的概念，用它可以说明两个平面点之间的射影对应。
在射影几何里，把点和直线叫做对偶元素，把“过一点作一直线”和“在一直线上取一点”叫做对偶运算。在两个图形中，它们如果都是由点和直线组成，把其中一图形里的各元素改为它的对偶元素，各运算改为它的对偶运算，结果就得到另一个图形。这两个图形叫做对偶图形。在一个命题中叙述的内容只是关于点、直线和平面的位置，可把各元素改为它的对偶元素，各运算改为它的对偶运算的时候，结果就得到另一个命题。这两个命题叫做对偶命题。这就是射影几何学所特有的对偶原则。在射影平面上，如果一个命题成立，那么它的对偶命题也成立，这叫做平面对偶原则。同样，在射影空间里，如果一个命题成立，那么它的对偶命题也成立，叫做空间对偶原则。研究在射影变换下二次曲线的不变性质，也是射影几何学的一项重要内容。如果就几何学内容的多少来说，射影几何学；仿射几何学；欧氏几何学，这就是说欧氏几何学的内容最丰富，而射影几何学的内容最贫乏。比如在欧氏几何学里可以讨论仿射几何学的对象(如简比、平行性等)和射影几何学的对象(如四点的交比等)，反过来，在射影几何学里不能讨论图形的仿射性质，而在仿射几何学里也不能讨论图形的度量性质。
1872年，德国数学家克莱因在爱尔朗根大学提出著名的《爱尔朗根计划书》中提出用变换群对几何学进行分类，就是凡是一种变换，它的全体能组成“群”，就有相应的几何学，而
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扩大空间和射影空间，在一个欧氏（或仿射）平面上，两条直线一般相交于一点，但有例外，平行线不相交。这种例外，使某些定理显得复杂。为了排除这种例外，在每条直线上添上一个理想点，叫做无穷远点，并假定平行直线相交于无穷远点。添上无穷远点的直线叫做扩大直线，它是闭的，象圆周那样，去掉它上面一点，不会使它分成两截。再假定不平行的直线有不同的无穷远点，这样，平面上一切无穷远点的集合就叫做无穷远（直）线，而添上无穷远线之后的平面就叫做扩大平面。扩大平面也是闭的，去掉它上面一条直线，不会使它分成两块。
同样，三维欧氏（或仿射）空间中一切无穷远点的集合叫做无穷远（平）面。添上无穷远面后的空间叫做扩d大空间，它也是闭的。在扩大空间，不但平行直线交于一个无穷远点，而且平行平面交于一条无穷远直线，一条非无穷远直线和一个与它平行的平面交于一个无穷远点。如果再进一步，把无穷远元素（点、线、面）和非无穷远元素平等看待，不加区别，扩大空间就叫做射影空间。同样，从扩大直线和扩大平面可以得到射影直线和射影平面。在射影空间里，平行的概念消失了：两条共面直线或一个平面和一条直线总相交于一点，两个平面总相交于一条直线；此外，每两点总决定一条直线，每三个不共线点总决定一个平面，
为了能用代数方法来处理射影(或扩大)空间的几何问题，需要引进齐次坐标（有时还引进射影坐标）。仍从欧氏（或仿射）平面开始。设在平面上已经建立了以O为原点的直角（或仿射）坐标系，(x，y)为一点p的坐标。令则比值x0:x1:x2
完全确定p的位置，(x0，x1，x2)就叫做p的齐次（笛氏）坐标。原点的齐次坐标显然可以写成(1，0，0)。设p不是原点O，则x1，x2不同时等于零；再令x1，x2固定，而令x0向0接近，则p点沿一条经过O而斜率为x2:x1的直线l向远方移动。设表示扩大直线l上的无穷远点，则可以认为，当x0趋于O时，p趋于。因此，可以把(0，x1，x2)作为的齐次坐标，特殊地，(0，1，0)和(0，0，1)依次是x轴和y轴上无穷远点的齐次坐标。这样，每一组不同时为零的三个数x0，x1，x2都是扩大平面上一点的齐次坐标，而若ρ为不等于零的数，则(ρx0，ρx1，ρx2)和(x0，x1，x2)代表同一点，下面引进记号(x)=(x0，x1，x2)，ρ(x)=(ρx0，ρx1，ρx2)。
设 (u1，u2不都是0)是欧氏（或仿射）平面上一条直线的方程。在用齐次坐标表示时，它可以写成
， (1)
这也就是扩大直线的齐次方程，这直线上的无穷远点是(0，u2，-u1)。扩大平面上的无穷远直线方程显然可以写成x0=0。这样，每一个齐次线性方程都代表扩大平面上一条直线。由于比值u0:u1:u2完全确定直线，(u)=(u0，u1，u2)就叫做（齐次）线坐标。为了区别两种齐次坐标，上面引进的(x)＝(x0，x1，x2)就叫做（齐次）点坐标。方程(1)叫做点(x)和线(u)的关联条件或接合（即(x)在(u)上，或(u)经过(x)）条件。当不区别无穷远元素和非无穷远元素，使扩大平面成为射影平面时，(x)和(u)就依次成为射影平面上的齐次点坐标和线坐标，它们都可以看作射影坐标的特款。与此类似，可以得到扩大或射影直线上的点坐标(x)=(x0，x1)以及扩大或射影空间的点坐标(x)=(x0，x1，x2，x3)和面坐标(u)＝(u0，u1，u2，u3)。在扩
大或射影空间中，点(x)和面(u)的关联条件是下面，除非特别指明，所讨论的空间，就是三维射影空间，所讨论的点、线、面都是射影空间里的点，射影直线和射影平面。在射影空间，指定一个平面x0=0作为无穷远面，就得到扩大空间（见射影坐标）。
关联关系是射影平面和射影空间的基本关系。在关联条件(1)中，(x)和(u)有完全的对称性，这就使得直线和点可以在逻辑上取得平等的地位。它们叫做平面上的对偶元素。设方程(1)里的u j是固定的，它就代表一条直线；令满足(1)的x j变动，就可以得到在该线上的一切点，这些点的集合叫做以(u)为底的点列，而(1)也就是点列的方程。根据线性方程理论，可以看出，点列中每三点线性相关。即：若(y)，(z)是点列中任意两个不同的点，则它的每一点(x)都可以写成(y)和(z)的线性组合(x)=λ(y)+μ(z，)，其中λ，μ是齐次参数。在一定意义上，λ，μ也可以作为点列中的射影坐标。另一方面，若令(1)中的x j固定，而令u j变动，就得到一切经过点(x)的直线(u)，它们的集合叫做以(x)为中心的线束，而(1)就是线束的方程，同时也是点(x)的方程。若(υ)，(ω)是线束中任意两条直线，则线束的每一条直线(u)都可以写成
。
由于点列和线束中的元素都只依赖于两个齐次参数的比值，即依赖于一个独立参数，它们就都叫做一维基本形。已给平面上一个以点和直线构成的图形，把其中的点和直线对换，就得到另一个图形，叫做所给图形的对偶。例如，点列（和一条直线关联的点的集合）和线束（和一点关联的直线的集合）是对偶形。三角形是自对偶形。
图1
对于平面上一个只涉及点与直线的关联关系的定理，如果把其中的点和直线及其关联关系对换，就得到一个新定理，叫做原定理的对偶。“如果原定理成立，则它的对偶定理也成立。”称它为对偶定理。这是因为，从代数观点看，这两个定理的证明步骤是完全相同的。射影几何中，一个最早而又重要的定理是德扎格定理（图1）：两个三角形A B C和的对应顶点的联线经过同一点的充要条件是它们的对应边B C和；CA和；
A B和的交点共线。这是个自对偶定理。如果不是在射影（或扩大）平面上而是在欧氏（或仿射）平面上，证明这个定理就需要区别并分别处理其中有某些直线平行的各种特款。三维空间也有对偶定理。在空间，点和面是对偶元素，直线是自对偶元素。线束是自对偶形。空间还有一个一维基本形是面束，这是经过同一条直线的平面的集合。面束是点列的对偶。在同一个平面上的点的集合叫做点场，经过同一点的平面的集合叫做面把；点场和面把互为对偶。在同一个平面上的直线的集合叫做线场，经过同一点的直线的集合叫做线把；线场和线把互为对偶。点场，线场，面把，线把都是二维基本形。空间的点的集合和空间的平面的集合依次叫做点空间和面空间，它们是互为对偶的三维基本形。在空间，三角形的对偶是三棱形。三棱形由经过同一点的三条不共面的直线所构成，这三条直线两两确定三个不共线的平面。对于不共面的两个三角形，德扎格定理仍然成立，但在空间，它不是自对偶定理。通过代数来说明对偶原理是简捷了当的，但不是必须的。空间的直线构成一个四维集合（见直线几何）。
射影对应与射影变换；在一维基本形之间，可以通过投影和截影互相转化。用{p}表示直线l上的点列，其中p表示点列中的任意点。设S为不在l上的一点，作直线p=SP，则当p
在l上变动时，就得到以S为中心的线束{p}，叫做点列{p}的投影，而{p}就叫做线束{p}
再设S1为空间不在{p}的平面上的点，作经过S1和p的平面π，就得到以SS1为轴的面束{π}，它是{p}的投影，{p}是{π}的截影，p和π是对应元素（图3）。若经过一系列的投影和截影，从一个一维基本形到另一个，这两个基本形就叫做射影相关，它们元素间的对应关系就叫做射影对应。一个射影对应所包含的两个变换叫做射影变换，它们互为逆变换。
在空间，通过投影和截影，点场和线把之间，线场和面把之间都可以互相转化，因而点场之间，线把之间，线场之间，面把之间也可以互相转化。至于二维基本形之间的其他转化，例如点场和线场之间的转化，则可以通过下面将要叙述的代数方法来确定。同样，三维基本形之间的转化也要通过代数方法。总之，两个二维基本形之间或两个三维基本形之间，也都可以有射影对应和射影变换。
已经指出，如何在点列，点场，点空间，以及线场和面空间里建立齐次坐标系。事实上，在任何一个一、二、三维的基本形里，都可以建立齐次（或叫射影）坐标（见射影坐标）。这样，射影对应或射影变换就可以通过齐次坐标间的满秩齐次线性变换来表示。例如，设(x)，()为两个点场的齐次坐标，则射影变换(x)→()可以用三个变数的齐次线性变换
(2)
表示，式中det表示行列式；ρ是非零比例常数。解这个方程组，就得到逆变换()→(x)的方程。
射影变换的一个基本性质是保持关联关系，这等于说，它把线性相关的元素变成线性相关的元素。例如，点场之间的变换(2)就把点列变成点列，即直线变成直线，因而，它还把线束
变成线束。由此又可以看出，只涉及关联关系的每个定理（如德扎格定理）一定代表一种射影性质，即经过射影变换不变的性质。换句话说，这种定理是一个射影定理。
关于射影对应，有一个基本定理。如果把一、二、三维的情况概括在一起，那就是：若在两个n维 (n=1，2，3)基本形中，分别指定一组n+2个元素，式中各组里的每n+1个元素线性无关，则两个基本形间，有惟一的射影对应，使两组元素按给定次序相对应。事实上，对于任意维射影对应，这个定理都成立。所谓“线性无关”，可以举例来说明：两个线性无关的点不重合，三个线性无关的点不共线，四个线性无关的点不共面。射影变换也可以作用于扩大空间，但经过射影变换，无穷远元素可以变为非无穷远，非无穷远元素可以变为无穷远（例如平行平面可以变得不平行，不平行平面可以变得平行），因此，在未经扩大的欧氏或仿射空间里，射影变换不完全是一对一的。交比；交比是一项基本的射影不变量。
根据关于射影对应的基本定理，一维基本形（例如，点列）间的一个射影对应是由三对对应元素惟一地确定的。由此可以推知，若在一个射影对应中，一个一维基本形中的四个元素
E1，E2，E3，E4依次对应于另一个一维基本形中的则四元素组E1，E2，E3，E4和必有某种共性。交比就是这样的共性。
设在一个一维基本形中，元素E j(i=1，2，3，4)的齐次坐标是，而用(E j，E j)表示行列式
则交比
(3)
交比经过射影变换（例如投影或截影）不变。
若在一个一维基本形中，随意选取三个不同的固定元素E1，E2，E3，而对于任意元素p，设
则p的位置和x的一切值（包括∞）一一对应。特殊地，当p=E1时，x=∞；p=E2时，x=0；p=E3时，x=1。因此，x可以作为基本形中的非齐次坐标。若再令x=x1/x0，则(x0，x1)是基本形中的齐次坐标，称为射影坐标。特殊地，E1，E2，E3的坐标依次是(0，1)，(1，0)和(1，1)。这三个元素叫做射影坐标系的基元素。
在欧氏空间，若p1，p2，p3，p4是四个共线点，而用p j p j表示由p j到p j的有向线段长，则
在欧氏平面，若p1，p2，p3，p4是经过同一点的四条直线，而用(p j p j)表示由p j到p j的有向角，则
四个元素有24种排列法，但对于一般位置的四个元素只有 6个不同的交比值，对于某种特殊位置的四个元素，则六个交比值中至少有两个相等。例如，当交比(E1，E2，E3，E4)=-1时，这四个元素称为构成调和组。这时E1和E2，E3和E4都可以对调，元素偶E1，E2和E3，E4也可以对调，而交比不变；而且元素的其他次序所对应的交比值都是2或1/2。这表明，对于构成调和组的四个元素，变动其排列次序，只有3个不同的交比值，即－1， 2， 1/2。当然，在射影相关的基本形中，调和组对应于调和组。
图4
在调和组E1，E2，E3，E4里，E4也叫做E3对于E1，E2的共轭；已给E1，E2和E3，可以用直尺作图求E4。图4表示，已给点列中任意三点p1，p2和p3，求p3对于p1，p2的调和共轭p4的作图法。注意K，L可以是经过p3的任意直线上的任意两点。还可以看出，当p3趋于p2（或p1）时，p4也趋于p2（或p1）。因此，调和组中可以有三点重合。
直射变换与对射变换，射影群；考虑一个平面上的二维射影变换。平面既是点场的底，又是线场的底，因此，它上面的一个射影变换可以把点变成点（或线变成线），也可以把点变成线（或线变成点），前一种叫做直射变换，后一种叫做对射变换。
直射变换的逆变换和它们的积（即两个直射变换接连作用所形成的变换）都是直射变换。因此，平面上一切直射变换构成群，叫做平面直射群。直射变换的特征是，它把共线的点变成共线的点，因而可以说，也把直线变成直线。一个直射变换可以用关于点坐标的线性变换(2)代表。如果它把直线(u)变成()，则通过关联条件可得
(4)
式中C ij是сij在方阵(сij)中的余因子，σ是比例常数。可以认为，(2)和(4)代表着同一个直射变换，它们的区别只是在于：一个用了点坐标，一个用了线坐标。
与此类似，对射变换把共点的直线变成共线的点，把共线的点变成共点的直线，即把线变成点，把点变成线。两个对射变换之积是一个直射变换。对射变换不构成群，但是平面上一切直射变换和对射变换在一起构成群，叫做射影群。直射群是射影群的子群。但有时射影群这个名词也用来指直射群。由于平面对射变换把点变成线，把线变成点，而又保持关联关系，它就体现了平面上的对偶原理。同样，空间也有直射变换和对射变换，前者把点变成点，面变成面，后者把点变成面，面变成点；它们都把直线变成直线。空间一切直射变换构成直射群，一切直射变换和对射变换构成射影群。空间对射变换体现空间对偶原理。
直线上的一切点变点的射影变换构成直线上的射影群。其他基本形里都有各自的射影群。二次曲线与二次曲面；扩大平面上的二次曲线
的齐次方程是
(5)
式中αij=αjj表明(αij)是对称方阵。
在射影平面上，方程(5)所确定的点的轨迹就叫做一条二次曲线。与此相对偶，含线坐标的齐二次方程
(6)
代表一个直线的集合，也叫做二次曲线。为了区别(5)和(6)，它们所代表的点集和线集依次就叫做点（素）二次曲线和线（素）二次曲线。
用Г表示点二次曲线（5），并假定它是满秩的，即det(αij)≠0。在它上面的一点(y)，Г的切线方程是
这些切线构成线二次曲线，式中A ij是αij 在方阵(αij)里的余因子。按照对偶原理，点曲线的切线的对偶是线曲线的切点（两条“相邻”直线交点的极限位置），因而满秩线二次曲线的切点构成一个点二次曲线。
设p为不在满秩点二次曲线Γ上的任意点，经过p作直线l交Г于p1，p2两点（图5
图5
）。设在l上，p点对于p1，p2的调和共轭是，即(p1，p2；p，)=-1。这样的两点p，叫做对于Г的共轭点。当p固定而令l转动时，p的共轭总是在一条直线p上，叫做p 点对于Г的极线，而p就叫做直线p对于Г的极点。特殊地，若p为Г上的点，它的极线p 就是Г在p的切线。显然，若p的极线经过，则的极线经过p。若p和p的齐次坐标依次为(x)和(u)，则
(7)
这是一种特殊的对射对应，其特殊性在于(αij)是对称方阵，它叫做对于Γ的配极对应。配极变换的平方，即它和自己的乘积是幺变换（或叫恒等变换）。配极对应也可以体现对偶原理。
二次曲线可以通过射影产生法产生。若在平面上有两个射影相关的线束（即线束间建立了一宗射影对应），它们有不同的中心，而且它们的公共直线不对应于自己，则两线束中对应直线交点的轨迹是一条满秩点二次曲线。用对偶方法可以产生线二次曲线。
图6
射影几何中，关于二次曲线一个最早的著名定理是帕斯卡定理（图6）满秩二次曲线的一个内接六边形A B CDEF的三对对边A B和DE，B C和EF，CD和FA交于一条直线上。倒转来，若一个六边形的三对对边交点在一条直线上，则六边形顶点在一个二次曲线上，但这个二次曲线可能退化成直线偶。帕斯卡定理在平面上的对偶叫做布里昂雄定理。
帕斯卡定理的一个特款是帕普斯定理：若A，B，C和A┡，B┡，C┡分别是两条直线上的三点，它们都不重合，则B C┡和B┡C，CA┡和C┡A，A B┡和A┡B交于共线的三点。在三维
射影空间，设(x)，(u)依次为齐次点坐标和面坐标，则含x j的一个齐二次方程
代表一个点（素）二次曲面，而含u j的一个齐二次方程代表一个面（素）二次曲面。满秩点二次曲面的切面构成一个满秩面二次曲面，而满秩面二次曲面的切点构成一个满秩点二次曲面。
关于满秩二次曲面也有配极对应，它使极点和极面互相对应，是空间的特殊对射对应。直纹二次曲面也可以通过射影产生法产生。若两个射影相关的面束的轴是相错（即不共面）直线，则它们对应平面的交线构成一个直纹二次曲面的一族母线。射影几何的子几何；射影群中有许多重要子群，对应于每一个这样的子群有一种几何，叫做射影几何的子几何。为了简单明确起见，下面所说的射影群就是直射群，所说的射影变换是指直射变换，而且主要分析平面上的情况。在扩大仿射平面上，令无穷远线x0=0不变的射影变换是仿射变换，用非齐次坐标表示，仿射变换的方程可以写成
(8)
一切仿射变换所构成的仿射群，是射影群的一个子群。仿射变换保持平行性。在扩大仿射平面的无穷远线x0=0上，取两个共轭虚点I1(0，1，i)，I2(0，1，-i)，式中i2=-1。令点偶I1，I2（即，x0＝0）不变的仿射变换叫做相似变换；它们的方程可以写成 (8)的
形状，但其中(сij)是正交方阵乘以一个常数:一切相似变换构成相似群（也叫欧氏群或度量群），它是仿射群的子群，也是射影群的子群。有了I1，I2
两点后，就可以通过射影方法在平面上引进距离和角的概念（见绝对形），相似变换把每个图形变成一个和它相似的图形，即一切长度按比例变化而角不变。这时扩大平面就可以叫做扩大欧氏平面，它上面的一切圆都经过I1，I2。这两点就叫做无穷远圆点。
在相似变换中，系数сij构成正交方阵 (即λ＝±1)的，叫做全等变换（或运动）；式中det(с
ij)＝1的叫做正常运动，det(сij)=-1的叫做反常运动。后者是一个正常运动和一个对直线反射之积。全等变换把每个图形变成一个和原图全等的图形。全等变换群（或运动群）是射
影群、仿射群和相似群的子群。
已给一个空间S以及作用于它上面的变换所构成的一个群G，就可以判断，在S里，哪些图形性质经过G中的变换不变，研究这些性质的几何就叫做属于G的几何。若G1是G的子群，属于G1的几何就叫做属于G的几何的子几何。射影几何和仿射几何依次属于射影群和仿射群，而欧氏几何则可以认为属于相似群，但又部分地属于全等群；因为它既研究相似图形，又研究全等图形。欧氏几何是仿射几何的子几何，它和仿射几何又都是射影几何的子几何；由于它研究图形的度量性质(长度、角度、面积、……)，它也叫做度量几何。
群越大，不变性质越少而越带普遍性；群越小，不变性质越多而越丰富具体。这样，就可以通过不同的群之间的关系来理解不同的几何之间的关系。
空间S的图形还可以通过变换群G分类：把一切可以经过G的变换互相转化的图形归入同一个等价类。例如，一切满秩实迹（即有实点的）二次曲线都互相射影等价，即属于同一个射影类，它们却分为三个仿射类：和无穷远线不相交（于实点）的是椭圆，相切的是抛物线，相交于两（个实）点的是双曲线。每一个仿射类里的二次曲线又可以分为无数度量类；例如同是椭圆，两个半轴长比值不同的就不相似，半轴长不分别相等的就不全等。
两种非欧几何，即椭圆几何和双曲几何都是射影几何的子几何。在射影平面上，把虚迹二次曲线变为自己的一切射影变换构成射影群的一个子群，叫做椭圆（运动）群；属于它的几何就是椭圆几何，附有那个不变二次曲线的射影平面叫做椭圆平面。另一方面，把实迹二次曲线变为自己，并把它的内部（即的点的集合）变为内部的射影变换也构成射影群的一个子群，叫做双曲（运
动）群；属于它的几何就是双曲几何；那个二次曲线内部就是双曲平面。非欧平面上的长度和角度概念也可以通过射影方法来引进。
射影几何另外一个重要子几何是闵科夫斯基几何。把点偶(0，1，1)和(0，1，-1)（即
）变为自己的一切射影变换构成洛伦兹群，属于它的几何就是闵科夫斯基几何。闵科夫斯基几何为狭义相对论提供了天然的几何说明；四维闵科夫斯基几何就是四维时空(见闵科夫斯基空间)。上面所论的射影群的每个子群都有一个不变的图形（其中有些是虚迹图形），如对于仿射群的x0=0，对于相似群的，对于椭圆群的等。这种不变图形就叫做相应子几何的绝对形。
以上理论都可以推广到三维以至任意维空间。在三维空间，欧氏几何的绝对形是
，它叫做无穷远虚圆；因为扩大欧氏平面的一切球面都经过它。空间椭圆几何，双曲几何和闵科夫斯基几何的绝对形依次是
。
射影几何建立在欧氏空间的基础上，这不是必要的。它可以建立在不涉及度量概念的公理系统上。以三维射影几何为例，在那里，基本元素是点，直线和平面。射影几何公理的表达形式是多种多样的，一般可以分为三组。第一组叫做关联公理：例如，两点确定一条经过它们的直线，三个不共线点确定一个经过它们的平面，两个平面交于一条直线等等。第二组叫做次序公理：例如，已给直线上三点A，B，C，直线上必有一点D，使A，B和C，D互相隔离等等。第三组只含一个公理，即连续公理。射影直线上的连续公理实质上就是规定：去掉直线上一点以后，直线上剩下来的部分满足实数轴上的戴德金连续公理。
根据这些公理，便可以通过纯演绎方法建立起一个完整的实射影几何体系，包括射影坐标。所谓实射影几何，就是上面所讨论的射影几何，其中点的坐标是实数。不同维的射影空间，可以在关联公理里加以区别。只满足关联公理的空间可以称为一般射影空间；在那里面，仍然有射影变换，其相应的几何可以称为一般射影几何。如果把关联公理要求降低，也可以得到更一般的射影空间和射影几何。当然，在一个一般射影空间里，实射影几何的定理不完全成立。也可以一开始就通过代数方法来建立射影几何。仍以实三维空间为例，设想每一个非零四实数组(x0，x1，x2，x3)为一点，成比例的四数组代表同一点；再假定线性相关的三点属于同一条直线，线性相关的四点属于同一个平面。这样就把实射影几何完全建立在实数域的基础上了。
用n+1数组代替四数组来表示点，就得到n维射影空间及其射影几何。若令n+1数组(x0，x1，…，x n)里的x j属于某一个数域F，所得到的是一个一般射影几何。例如当F是复数域时，次序公理和连续公理都不能满足，得到的是很重要的复射影几何。上面从（实）仿射空间得到（实）欧氏空间时，就曾经利用了虚点I1，I2。若F是一个有限域，所得到的一般射影
空间只有有尽多个点，叫做有尽射影空间。例如，若F是特征等于3的模域，则射影平面上有13个点和13条线，每条线上有4个点，经过每点有4条线。如果要通过公理系统来建立
画法几何的创始人G.蒙日
射影几何的某些内容，公元前就发现了，但到19世纪上半叶才有短暂的突破。到19世纪，它才形成独立体系，最后臻于完备。基于绘图学和建筑学的需要，古希腊几何学家就开始研究透视法，也就是投影和截影。早在公元前200年左右，阿波罗尼奥斯就曾把二次曲线作为正圆锥面的截线来研究。在4世纪帕普斯的著作中，出现了帕普斯定理。
在17世纪初期，J.开普勒最早引进了无穷远点概念(1604)。稍后，G.德扎格引进了无穷远点，除证明了上面提到的他的著名定理(1639)外，还引进了交比，调和比，以及对于二次曲线的极点和极线等概念，证明了交比经过透视不变。在他的影响下，B.帕斯卡也研究了有关射影几何的问题，并发表了他的著名定理（1640）。这些定理的特点是概括性强，只涉及关联性质而不涉及度量性质（长度、角度、面积）。但他们在证明中却用到了长度概念，而不是用严格的射影方法，他们也没有意识到，自己的研究方向会导致产生一个新的几何体系射影几何。他们所用的是综合法，随着解析几何和微积分的创立，综合法让位于解析法，射影几何的探讨也中断了。
射影几何的主要奠基人是 19世纪的J.-V.彭赛列。他是画法几何的创始人G.蒙日的学生。蒙日带动了他的许多学生（C.－J.布里昂雄是其中之一）用综合法研究几何。由于德扎格和帕斯卡等的工作被长期忽视了，前人的许多工作他们不了解，不得不重新再做。1822年，彭赛列发表了射影几何的第一部系统著作。他是认识到射影几何是一个新的数学分支的第一个数学家。他通过几何方法引进无穷远虚圆点，研究了配极对应并用它来确立对偶原理。稍后，J.施泰纳研究了利用简单图形产生较复杂图形（例如二次曲线和二次曲面）的方法，线素二次曲线概念也是他引进的(1832)。为了摆脱坐标系对度量概念的依赖，K.G.C.von施陶
特通过几何作图来建立直线上的点坐标系(1847)，进而使交比也不依赖于长度概念。由于忽视了连续公理的必要性，他建立坐标系的做法还不完善，但却迈出了决定性的一步。
另一方面，运用解析法来研究射影几何也有长足进展。首先是A.F.麦比乌斯创建一种齐次坐标系，把变换分为全等，相似，仿射，直射等类型，给出线束中四条线交比的度量公式等(1827)。接着，J.普吕克引进了另一种齐次坐标系，得到了平面上无穷远线的方程，无穷远圆点的坐标。他还引进了线坐标概念，于是从代数观点就自然得到了对偶原理，并得到了关于一般线素曲线的一些概念。
在19世纪前半叶的几何研究中，综合法和解析法的争论异常激烈；有些数学家完全否定综合法，认为它没有前途，而一些几何学家，如M.沙勒，E.施图迪和施泰纳等，则坚持用综合法而排斥解析法。还有一些人，如彭赛列，虽然承认综合法有其局限性，在研究过程中也难免借助于代数，但在著作中总是用综合法来论证。他们的努力使综合射影几何形成一个优美的体系，而且用综合法也确实形象鲜明，有些问题论证直接而简洁。1882年，M.帕施建成第一个严格的射影几何演绎体系。
把各种几何和变换群相联系的是F.克莱因，他在埃尔朗根纲领(1872)中提出了这个观点，并把几种经典几何看作射影几何的子几何，使这些几何之间的关系变得十分明朗。这个纲领产生了巨大影响。但有些几何，如黎曼几何，不能纳入这个分类法。后来é嘉当等在拓广几何分类的方法中作出了新的贡献。
南京师范大学 毕业设计（论文） （2009 届） 题目：漫谈射影几何的几种子几何及其关系 学院：数学科学学院 专业：数学与应用数学 姓名：刘峰 学号：0 6 0 5 0 2 1 0 指导教师：杨明升 南京师范大学教务处制
漫谈射影几何的几种子几何及其关系 刘峰 数学与应用数学（师范）06050210 一．摘要 射影几何学是研究图形的射影性质，即它们经过射影变换不变的性质. 射影几何集中表现了投影和截影的思想,论述了同一射影下，一个物体的不同截景所形成的几何图形的共同性质，以及同一物体在不同射影下的几何图形的共同性质，一度也叫做投影几何学，在经典几何学中，射影几何处于一种特殊地位，通过它可以把其他一些几何联系起来. 概括的说，射影几何学是几何学的一个重要分支学科，它是专门研究图形的位置关系的，也是专门用来讨论在把点投影到直线或者平面上的时候，图形的不变性质的科学. 这门”诞生于艺术的科学”,今天成了最美的数学分支之一. 二．关键词 射影几何，摄影仿射几何，摄影欧氏几何，仿射几何，欧氏几何，射影变换，仿射变换，正交变换，射影变换群，仿射变换群，正交变换群，克莱因变换群. 三．射影几何（projective geometry）的发展简况 十七世纪，当笛卡儿和费尔马创立的解析几何问世的时候，还有一门几何学同时出现在人们的面前. 这门几何学和画图有很密切的关系，它的某些概念早在古希腊时期就曾经引起一些学者的注意，欧洲文艺复兴时期透视学的兴起，给这门几何学的产生和成长准备了充分的条件. 这门几何学就是射影几何学. 基于绘图学和建筑学的需要，古希腊几何学家就开始研究透视法，也就是投影和截影. 在文艺复兴时期，人们在绘画和建筑艺术方面非常注意和大力研究如何在平面上表现实物的图形. 那时候，人们发现，一个画家要把一个事物画在一块画布上就好比是用自己的眼睛当作投影中心，把实物的影子影射到画布上去，然后再描绘出来. 在这个过程中，被描绘下来
浅谈解析几何的学习方法 ????高中数学中的解析几何内容学生之所以会觉得难是因为对几个常用公式、定理的含义并没有真正弄清楚，实际上如果能花时间把每个公式的推导过程研究一遍消化掉，那么学好它将不是什么疑难问题了。 ????我们知道，“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.”——我国着名数学家华罗庚。 ????作为学习解析几何的开始，我们引入了我国着名的数学家华罗庚的一句话，他告诉了我们“数”和“形”各自的特点和不足，从而强调了数形结合的重要性，尤其是在解析几何的学习过程中，我们始终都要注意运用数形结合的思想和方法。 ????当然，学习这一部分内容，只是了解这种思想也是不够的为此，就为大家介绍一下学习解析几何的方法和需要注意的几点。 一、夯实基础 1、正确理解定义 ??? 有些同学可能现在就会去翻书，去查定义，会说，回答这些问题还不容易嘛，我背一下不就可以了吗。可是，我要告诉大家——定义不是用来背的。????可能大家还没有理解这句话的意思，定义不是要你去死记硬背，而是要你去自己理解，去自己总结。
????教材上引入椭圆定义的时候花费了很大的篇幅，可它的本质是什么？与双曲线的定义又有怎样的相同点、不同点？椭圆、双曲线和抛物线这三个重要的圆锥曲线的统一定义我们又该如何去理解？这些，只有靠你自己总结出来，才能真正成为你自己的东西，在做题的时候，你才能应用自如。看一遍书上的定义，合上课本，想一想，如果让你来描述，你会怎么说。当你能够给别人将这些定义解释清楚的时候，你就已经很好的理解了这些定义，做题时，你就不会因为忽略了定义中隐含的条件而一筹莫展了。 2、比一比，学会总结 ????这一章我们介绍了三种圆锥曲线，它们有很多的相似之处，当然也有很多的不同，它们之间也有着千丝万缕的联系。学习完之后，自己比较一下，它们的定义、性质都有什么异同，哪些量是它们共有的，哪些量是某个圆锥曲线所特有的。当你比较完之后，再回过头来看这一章，你会发现，原来这一章的内容竟然如此的简单和清晰。 ????记住，一定要自己去总结哦！！别人给你的东西永远都是别人的，不是你自己的，只有自己总结过，才能清晰的把握问题的重点。 二、“数”与“形”要紧密联系 ????我们掌握了圆锥曲线的基础之后，就好比为我们的大厦打下了一个坚实的基础，现在，我们就可以正式建造我们的摩天大楼了！ 1、让“数”直观
D C 1 A 1 B 1 C 1 D B C A D 立体几何专题----空间角 知识点归纳 1、异面直线所成的角 异面直线所成角的定义: 如图,已知两条异面直线 a , b , 经过空间任一点O作直线 a′∥a , b ′∥b 则把 a ′ 与 b ′所成的锐角(或直角)叫做异面直线所成的角(或夹角). a b 注1：异面直线所成的角的范围( 0O , 90O ] 注2：如果两条异面直线 a , b 所成的角为直角，我们就称这两条直线互相垂直 , 记为a ⊥ b 注3：在求作异面直线所成的角时,O点常选在其中的一条直线上(如线段的端点,线段的中点等) 2 、直线与平面所成的角 平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角 （1）一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角 （2）一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是0 ?的角 （3）直线和平面所成角的范围是[0?，90?] 3、二面角: 如右图在二面角的棱l取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则 叫做二面角的平面角. 注：①二面角的平面角的大小与O点位置_____ _。 ②二面角的平面角的范围是_______ 。 ③平面角为______的二面角叫做直二面角。 试题探究： 1、如图：表示正方体 1 1 1 1 D C B A ABCD-， 求异面直线 1 1 CC BA和所成的角。 2、空间四边形ABCD中，2 AD BC ==，,E F分别是, AB CD的中点，3 EF=， 求异面直线, AD BC所成的角。 3、在单位正方体 1111 ABCD A B C D -中，试求直线 1 BD与平面ABCD所成的角. 4、在单位正方体 1111 ABCD A B C D -中，求直线 11 A C与截面 11 ABC D所成的角. 5、将一副三角板如图拼接,∠BAC=∠BCD=90°,AB=AC,∠BDC=60°,且平面ABC⊥平面BCD, (1)求证:平面ABD⊥平面ACD;(2)求二面角A-BD-C的正切值;(3)求异面直线AD与BC所成角的余弦值. a′O b′ a P α O A O A B D C A 1 B 1 C 1 D A F E D B A B D B 1 A 1 C 1 D 1
射影几何的诞生与发展 一从透视学到射影几何 1．在文艺复兴时期，描绘现实世界成为绘画的重要目标，这就使画家们在将三维现实世界绘制到二维的画布上时，面临这样的问题： （1）一个物体的同一投影的两个截影有什么共同的性质？ （2）从两个光源分别对两个物体投影到同一个物影上，那么两个物体间具有什么关系？ 2．由于绘画、制图的刺激而导致了富有文艺复兴特色的学科---透视学的兴起(文艺复兴时期：普遍认为发端于14世纪的意大利，以后扩展到西欧，16世纪大道鼎盛)，从而诞生了射影几何学。意大利人布努雷契（1377-1446）是第一个认真研究透视法并试图运用几何方法进行绘画的艺术家。 3．数学透视法的天才阿尔贝蒂（1401-1472）的《论绘画》一书（1511）则是早期数学透视法的代表作，成为射影几何学发展的起点。 4．对于透视法产生的问题给予数学上解答的第一人是德沙格（1591-1661）法国陆军军官，后来成为工程师和建筑师，都是靠自学的。1639年发表《试论锥面截一平面所得结果的初稿》，这部著作充满了创造性的思想，引入了无穷远点、无穷远直线、德沙格定理、交比不变性定理、对合调和点组关系的不变性、极点极带理论等。 5．数学家帕斯卡（1623-1662）16岁就开始研究投射与取景法，1640年完成著作《圆锥曲线论》，不久失传，1779年被重新发现，他最突出的成就是所谓的帕斯卡定理，即圆锥曲线的内接六边形的对边交点共线 6．画家拉伊尔（1640-1718）在《圆锥曲线》（1685）这本射影几何专著中最突出的地方在于极点理论方面的创新。 7．德沙格等人把这种投影分析法和所获得的结果视为欧几里得几何的一部分，从而在17世纪人们对二者不加区别，但这一方法诱发了一些新的思想和观点： 1）一个数学对象从一个形状连续变化到另一形状 2）变换与变换不变性 3）几何新方法------仅关心几何图形的相交与结构关系，不涉及度量 二射影几何的繁荣 1．在19世纪以前，射影几何一直是在欧氏几何的框架下被研究的，并且由于18世纪解析几何、微积分的发展洪流而被人遗忘，到
大学解析几何
收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 空间解析几何 基本知识 一、向量 1、已知空间中任意两点),,(1111z y x M 和),,(2222z y x M ，则向量 12212121(,,)M M x x y y z z =---u u u u u u r 2、已知向量),,(321a a a a =→、),,(321b b b b =→，则 （1）向量→a 的模为232221||a a a a ++=→ （2）),,(332211b a b a b a b a ±±±=±→→ （3）),,(321a a a a λλλλ=→ 3、向量的内积→→?b a （1）><→→b a ,为向量→→b a ,的夹角，且π>≤≤<→→b a ,0 注意：利用向量的内积可求直线与直线的夹角、直线与平面的夹角、平面与平 面的夹角。 4、向量的外积→→?b a （遵循右手原则，且→→→⊥?a b a 、→→→⊥?b b a ） 321321 b b b a a a k j i b a → →→→→=?
收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 5、（1）332211//b a b a b a b a b a ==? =?→→→→λ （2）00332211=++?=??⊥→→→→b a b a b a b a b a 二、平面 1、平面的点法式方程 已知平面过点),,(000z y x P ，且法向量为),,(C B A n =→ ，则平面方程为 0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A 注意：法向量为),,(C B A n =→ 垂直于平面 2、平面的一般方程0=+++D Cz By Ax ，其中法向量为),,(C B A n =→ 3、（1）平面过原点)0,0,0(? 0=++Cz By Ax （2）平面与x 轴平行（与yoz 面垂直）?法向量→n 垂直于x 轴 0=++?D Cz By （如果0=D ，则平面过x 轴） 平面与y 轴平行（与xoz 面垂直）?法向量→ n 垂直于y 轴0=++?D Cz Ax （如果0=D ，则平面过y 轴） 平面与z 轴平行（与xoy 面垂直）?法向量→ n 垂直于z 轴 0=++?D By Ax （如果0=D ，则平面过z 轴） （3）平面与xoy 面平行?法向量→ n 垂直于xoy 面0=+?D Cz
文科立体几何线面角二面角专题 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、解答题 1．如图，在三棱锥中，，，为的中点．（1）证明：平面； （2）若点在棱上，且二面角为，求与平面所成角的正弦值． 2．如图，在三棱锥中，，，为的中点．（1）证明：平面； （2）若点在棱上，且，求点到平面的距离． 3．（2018年浙江卷）如图，已知多面体ABCA1B1C1，A1A，B1B，C1C均垂直于平面ABC，∠ABC=120°，A1A=4，C1C=1，AB=BC=B1B=2．
（Ⅰ）证明：AB1⊥平面A1B1C1； （Ⅱ）求直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值． 4．如图，在三棱柱中，点P，G分别是，的中点，已知⊥平面 ABC，==3，==2. （I）求异面直线与AB所成角的余弦值； （II）求证：⊥平面； （III）求直线与平面所成角的正弦值. 5．如图，四棱锥，底面是正方形，，，，分别是，的中点.
（1）求证； （2）求二面角的余弦值. 6．如图，三棱柱中，侧棱底面，且各棱长均相等.，，分别为棱，，的中点. （1）证明：平面； （2）证明：平面平面； （3）求直线与直线所成角的正弦值. 7．如图，在四边形ABCD中，AB//CD，∠AB D=30°，AB＝2CD＝2AD＝2，DE⊥平面ABCD，EF//BD，且BD＝2EF． （Ⅰ）求证：平面ADE⊥平面BDEF； （Ⅱ）若二面角C BF D的大小为60°，求CF与平面ABCD所成角的正弦值． 8．如图，在四棱锥中，平面，，，
，点是与的交点，点在线段上，且. （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 9．在多面体中，底面是梯形，四边形是正方形，，，，， （1）求证：平面平面； （2）设为线段上一点，，求二面角的平面角的余弦值. 10．如图，在多面体中，四边形为等腰梯形，，已知，，，四边形为直角梯形，，. （1）证明：平面，平面平面；
圆锥曲线与射影几何 射影几何是几何学的重要内容，射影几何中的一些重要定理与结论往往能运用在欧式几何中，有利于我们的解题。在这里，我们将对解析几何中一些常见的圆锥曲线问题进行总结，并给中一些较为方便的解法。 例1：设点C(2,0)B(1,0),A(-1,0),, D 在双曲线12 2=-y x 的左支上，A D ≠,直线 CD 交双曲线122=-y x 的右支于点E 。求证：直线AD 与直线BE 的交点P 在直 线2 1= x 上。 如果是用解析几何的做法，这将是非常麻烦的。但是如果用射影几何的知识求解，将会有意想不到的效果。 我们知道，圆与圆锥曲线在摄影变换下是可以互相转换的。我们先不考虑题目中的数据与特殊的关系，仅仅考虑点线之间的位置关系，那么题设变成： 有一点 A 在一条双曲线内部，过A 引两条直线与双曲线分别交于 B , C , D , E 。连 BD ，CE 交于点P ，且P 点在四边形BCDE 外部。 又因为双曲线与圆在射影几何中属同一个变换群，所以可以将双曲线变为圆。如图1 连 BE ，CD 交于点Q ，连PQ ，先证明：直线PQ 是A 点的极线。 D
证明： 对 C 于'C 重合，B 于'B 重合的六边形''EBB DCC 用帕斯卡定理得： DC 于EB 的交点Q ,'CC 于'BB 的交点M ,E C '于'DB 的交点P 三点共线, 同理P ，Q ，N 三点共线 所以 P ，Q ，M ，N 四点共线。 又因为 BC 是M 的极线，DE 是N 的极线，所以MN 是BC 与DE 的交点A 的极线，即 PQ 是A 的极线。 回到原图，由极线的定义与性质得 PQ OA ，且FAGH 为调与点列。
一、直线与方程基础： 1、直线的倾斜角α： [0,)απ∈ 2 、直线的斜率k ： 21 21 tan y y k x x α-== -； 注意：倾斜角为90°的直线的斜率不存在。 3、直线方程的五种形式： ①点斜式：00()y y k x x -=-； ②斜截式：y kx b =+； ③一般式：0Ax By C ++=； ④截距式：1x y a b +=； ⑤两点式： 121 121 y y y y x x x x --=-- 注意：各种形式的直线方程所能表示和不能表示的直线。 4、两直线平行与垂直的充要条件： 1111:0l A x B y C ++=，2222:0l A x B y C ++=， 1l ∥2l 1221 1221 A B A B C B C B =???≠?； 1212120l l A A B B ⊥?+= . 5、相关公式： ①两点距离公式：11(,)M x y ，22(,)N x y ，
MN = ②中点坐标公式：11(,)M x y ，22(,)N x y ， 则线段MN 的中点1122 ( ,)22 x y x y P ++； ③点到直线距离公式： 00(,)P x y ，:0l Ax By C ++=， 则点P 到直线l 的距离d = ； ④两平行直线间的距离公式：11:0l Ax By C ++=，22:0l Ax By C ++=， 则平行直线1l 与2l 之间的距离d = ⑤到角公式：（补充）直线1111:0l A x B y C ++=到直线2222:0l A x B y C ++=的角为 θ，(0,)(,)22 ππ θπ∈U ，则2112 tan 1k k k k θ-=+? .（两倾斜角差的正切） 二、直线与圆，圆与圆基础： 1、圆的标准方程：222()()x a y b r -+-=； 确定圆的两个要素：圆心(,)C a b ，半径r ； 2、圆的一般方程：220x y Dx Ey F ++++=，（22 40D E F +->）； 3、点00(,)P x y 与圆222:()()C x a y b r -+-=的位置关系： 点00(,)P x y 在圆内? 22200()()x a y b r -+-<； 点00(,)P x y 在圆上? 22200()()x a y b r -+-=； 点00(,)P x y 在圆外? 222 00()()x a y b r -+->； 4、直线:0l Ax By C ++=与圆222:()()C x a y b r -+-=的位置关系： 从几何角度看： 令圆心(,)C a b 到直线:0l Ax By C ++=的距离为d ， 相离?d r >；
一维优化方法 最优化设计数学模型中的基本概念： 1、设计变量 在机械设计中，区别不同的设计方案，通常是以一组取值不同的参数来表示。这些参 数可以是表示构件形状、大小、位置等的几何量，也可以是表示构件质量、速度、加速度、力、力矩等的物理量。在构成一项设计方案的全部参数中，可能有一部分参数根据实际情 况预先确定了数值，它们在优化设计过程中始终保持不变，这样的参数称为给定参数(或 叫预定参数)或设计常数。另一部分参数则是需要优选的参数，它们的数值在优化设计过 程中则是需要优选的参数，它们的数值在优化计算过程中是变化的，这类参数称为设计变量，它相当于数学上的独立自变量。一个优化问题如果有n个设计变量，而每个设计变量 用xi(i=1,2, ,n)表示，则可以把n个设计变量按一定的次序排列起来组成一个列阵或行 阵的转置，即写成 ??x1? x=?x? 2?=[x1,x2, ,xT ?? ?n] ?x? n? 我们把x定义为n维欧式空间的一个列向量，设计变量x1,x2, ,xn为向量x的n个 分量。以设计变量x1,x2, ,xn为坐标轴展成的空间称为n维欧式空间，用Rn表示。该空 间包含了该项设计所有可能的设计方案，且每一个设计方案就对应着设计空间上的一个设 计向量或者说一个设计点x。 2、目标函数 优化设计是在多种因素下欲寻求使设计者员满意、且适宜的一组参数。“最满意”、“最适宜”是针对某具体的设计问题，人们所追求的某一特定目标而言。在机械设计中， 人们总希望所设计的产品具有最好的使用性能、体积小、结构紧凑、重量最轻和最少的制 造成本以及最多的经济效益，即有关性能指标和经济指标方面最好。 在优化设计中，一般将所追求的目标(最优指标)用设计变量的函数形式表达，称该函 数为优化设计的目标函数。目标函数的值是评价设计方案优劣程度的标准，也可称为准则 函数。建立这个函数的过程称为建立目标函数。一般的表达式为
中小学1对1课外辅导专家 武汉龙文教育学科辅导讲义 授课对象 冯芷茜 授课教师 徐江鸣 授课时间 2013-9-19 授课题目 立体几何中的空间角 课 型 复习课 使用教具 讲义、纸、笔 教学目标 熟悉高考中立体几何题型的一般解法 教学重点和难点 重点：运用空间直角坐标系的方法解决立体几何问题 难点：二面角,线面角的空间想象能力 参考教材 人教版高中教材 高考考纲 历年高考真题 教学流程及授课详案 【知识讲解】 空间角的求法：（所有角的问题最后都要转化为解三角形的问题，尤其是直角三角形） （1）异面直线所成的角：通过直线的平移，把异面直线所成的角转化为平面内相交直线所成的角。异面直线所成角的范围：o o 900≤<α； 注意：若异面直线中一条直线是三角形的一边，则平移时可找三角形的中位线。有的还可以 通过补形，如：将三棱柱补成四棱柱；将正方体再加上三个同样的正方体，补成一个底面是正方形的长方体。 （2）线面所成的角：①线面平行或直线在平面内：线面所成的角为o 0； ②线面垂直：线面所成的角为o 90； ③斜线与平面所成的角：范围o o 900<<α；即也就是斜线与它在平面内的射影所成的角。 （3）二面角：关键是找出二面角的平面角。方法有：①定义法；②三垂线定理法；③垂面法； 注意：还可以用射影法：S S ' cos =θ；其中θ为二面角βα--l 的大小，S 为α内的一个封 闭几何图形的面积；'S 为α内的一个封闭几何图形在β内射影图形的面积。一般用于解选择、填空题。 时 间 分 配 及 备 注
【题海拾贝】 例1在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱PA垂直于底面，E、F分别是AB、PC的中点． EF平面P AD； （1）求证：// （2）当平面PCD与平面ABCD成多大二面角时， EF平面PCD？ 直线 例2已知多面体ABCDE中，AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，AC = AD = CD = DE = 2a，AB = a， F为CD的中点. （Ⅰ）求证：AF⊥平面CDE； （Ⅱ）求异面直线AC，BE所成角余弦值； （Ⅲ）求面ACD和面BCE所成二面角的大小.
在射影几何学中，把无穷远点看作是“理想点”。通常的直线再加上一个无穷点就是无穷远直线，如果一个平面内两条直线平行，那么这两条直线就交于这两条直线共有的无穷远点。通过同一无穷远点的所有直线平行。 德国数学家克莱因（图）在爱尔朗根大学提出著名的《爱尔朗根计 划书》中提出用变换群对几何学进行分类 在引入无穷远点和无穷远直线后，原来普通点和普通直线的结合关系依然成立，而过去只有两条直线不平行的时候才能求交点的限制就消失了。 由于经过同一个无穷远点的直线都平行，因此中心射影和平行射影两者就可以统一了。平行射影可以看作是经过无穷远点的中心投影了。这样凡是利用中心投影或者平行投影把一个图形映成另一个图形的映射，就都可以叫做射影变换了。 射影变换有两个重要的性质：首先，射影变换使点列变点列，直线变直线，线束变线束，点和直线的结合性是射影变换的不变性；其次，射影变换下，交比不变。交比是射影几何中重要的概念，用它可以说明两个平面点之间的射影对应。 在射影几何里，把点和直线叫做对偶元素，把“过一点作一直线”和“在一直线上取一点”叫做对偶运算。在两个图形中，它们如果都是由点和直线组成，把其中一图形里的各元素改为它的对偶元素，各运算改为它的对偶运算，结果就得到另一个图形。这两个图形叫做对偶图形。在一个命题中叙述的内容只是关于点、直线和平面的位置，可把各元素改为它的对偶元素，各运算改为它的对偶运算的时候，结果就得到另一个命题。这两个命题叫做对偶命题。这就是射影几何学所特有的对偶原则。在射影平面上，如果一个命题成立，那么它的对偶命题也成立，这叫做平面对偶原则。同样，在射影空间里，如果一个命题成立，那么它的对偶命题也成立，叫做空间对偶原则。研究在射影变换下二次曲线的不变性质，也是射影几何学的一项重要内容。如果就几何学内容的多少来说，射影几何学；仿射几何学；欧氏几何学，这就是说欧氏几何学的内容最丰富，而射影几何学的内容最贫乏。比如在欧氏几何学里可以讨论仿射几何学的对象(如简比、平行性等)和射影几何学的对象(如四点的交比等)，反过来，在射影几何学里不能讨论图形的仿射性质，而在仿射几何学里也不能讨论图形的度量性质。
浅析射影几何及其应用 湖北省黄冈中学 一、概述 射影几何是欧几里得几何学的一个重要分支，研究的是在射影变换中图形所具有的性质。在高等数学中，射影几何的定义是根据克莱因的变换群理论与奥古斯特·费迪南德·莫比乌斯（1970-1868）的齐次坐标理论，这一部分已经涉及了群论和解析几何，但是这两位数学家对于射影几何的发展作出的巨大贡献是令人钦佩的。在本次综合性学习中小组成员对于射影几何的纯几何内容进行了探究，对以下专题进行了研究： 1、射影几何的基本概念及交比不变性 2、笛沙格定理（早期射影几何中最重要的定理之一） 3、对偶原理 4、二次曲线在射影几何上的应用 5、布列安桑定理和帕斯卡定理 6、二次曲线蝴蝶定理
二、研究过程 1、射影几何的基本概念及交比不变性 射影几何虽然不属于高考内容，射影几何与较为容易的中学几何具有更加抽象、难以理解的特点，但是射影几何所研究的图形的性质是极具有吸引力的，可以说是中学几何的一个延伸。 射影几何所研究的对象是图形的位置关系，和在射影变换下图形的性质。射影，顾名思义，就是在光源（可以是平行光源或者是点光源），图形保持的性质。在生活中，路灯下人的影子会被拉长，矩形和圆在光源照射下会出现平行四边形和椭圆的影子，图形的形状和大小发生了变化。然而，在这种变换中图形之间的有些位置关系没有变，比如，相切的椭圆和直线在变换之后仍相切。此外，射影几何最重要的概念之一——交比也不会发生改变。 在中学的几何中，我们认为两条平行的直线是不相交的。但是在射影几何中，我们可以规定一簇平行直线相交于平面上一个无穷远点，而通过这个点的所有直线是一簇有确定方向的平行直线。一条直线有且只有一个无穷远点，平面上方向不同的直线经过不同的无穷远点。所有这样的无穷远点构成了一条无穷远直线，同样在三维空间中可类似地定义出无穷远平面，这样就扩充了两个公理： 1、过两点有且只有一条直线 2、两条直线有且只有一个交点 这两条公理对普通点（即非无穷远点）和无穷远点均成立。这两条公
立体几何——二面角 1、在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，PD ⊥底面,ABCD PD DC =点E 是PC 的中点，点F 在PB 上，且EF PB ⊥. （1）求证：PB ⊥平面DEF ； （2）求二面角C PB D --的大小. 2、在如图所示的多面体中，已知正方形ABCD 和直角梯形ACEF 所在的平面互相垂直， ,//,2,1EC AC EF AC AB EF EC ⊥=== （1）求证：平面BEF ⊥平面DEF ；（2）求二面角A BF E --的大小。 3、在直角梯形PBCD 中，,2,4,2D C BC CD PD A π ∠=∠====为PD 的中点，如下左图。将PAB ?沿AB 折到SAB ?的位置，使SB BC ⊥， 点E 在SD 上，且13 SE SD =，如下右图。 （1）求证：SA ⊥平面ABCD ； （2）求二面角E AC D --的正切值； （3）在线段BC 上是否存在点F ,使//SF 平面EAC ？若存在，确定F
的位置， 若不存在，请说明理由。 4、如图，四边形ABCD 是圆柱OQ 的轴截面，点P 在圆柱OQ 的底面圆周上，G 是DP 的中点，圆柱OQ 的底面圆的半径2OA =，侧面积为83π，120AOP ∠=o ． （1）求证：AG BD ⊥； （2）求二面角P AG B --的平面角的余弦值． 5、在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，,E F 分别是1111,C D C B 的中点，G 为1CC 上任一点，EC 与底面ABCD 所成角的正切值是4. （Ⅰ）求证AG EF ⊥；
《空间解析几何》课程教学大纲 一课程说明 1.课程基本情况 课程名称：空间解析几何 英文名称：Analytic geometry 课程编号：2411207 开课专业：数学与应用数学 开课学期：第1学期 学分/周学时：3/3 课程类型：专业基础课 2．课程性质（本课程在该专业的地位作用） 本课程是数学与应用数学及信息与计算机科学专业的一门专业基础课，是初等数学通向高等数学的桥梁，是高等数学的基石，线性代数，数学分析，微分方程，微分几何，高等几何等课程的学习都离不开空间解析几何的基本知识及研究方法。空间解析几何是用代数的方法研究几何图形的一门学科，是从初等数学进入高等数学的转折点，是沟通几何形式与数学关系的一座桥梁。 3．本课程的教学目的和任务 通过本课程的学习，学生在掌握解析几何的基本概念的基础上，树立起空间观念。使学生受到几何直观及逻辑推理等方面的训练，扩大知识领域，培养空间想象能力以及运用向量法与坐标法计算几何问题和证明几何问题的能力，并且能用解析方法研究几何问题和对解析表达式给予几何解释，为进一步学习其它课程打下基础；另一方面加深对中学几何理论与方法的理解，从而获得在比较高的观点下处理几何问题的能力，借助解析几何所具有的较强的直观效果提高学生认识事物的能力。 4．本课程与相关课程的关系、教材体系特点及具体要求
本课程的教学，要求学生熟练掌握用代数的方法在空间直角坐标系下，研究平面、空间直线、柱面、锥面、旋转曲面和二次曲面等几何图形的性质，能对坐标化方法运用自如，从而达到数与形的统一。了解二次曲线的一般理论和二次曲面的一般理论。以培养学生掌握解析几何的基础知识为主，着力培养学生运用解析几何的思想和方法解决实际问题的能力，以及娴熟的矢量代数的计算能力和推理、演绎的逻辑思维能力，为后续课程的学习打下良好的基础。 5．教学时数及课时分配 二教材及主要参考书 1.李养成，《空间解析几何》，科学出版社。 2.吴光磊、田畴编，《解析几何简明教程》，高等教育出版社。 3.丘维声，《解析几何》，北京大学出版社。 4.南开大学《空间解析几何引论》编写组编，《空间解析几何引论》，高教出版社。 5.吕林根许子道等编《解析几何》（第三版）,高等教育出版社出版 三教学方法和教学手段说明 1．启发式教学，课堂教学与课后练习相结合。 2．可考虑运用多媒体教学软件辅助教学。
立体几何 一、角度问题。 1. 如图,四棱锥P ABCD -中,PA ABCD ⊥底面, 2,4,3 BC CD AC ACB ACD π ===∠=∠=,F 为PC 的中点,AF PB ⊥. (1)求PA 的长; (2)求二面角B AF D --的正弦值. 【答案】
2. 如图,圆锥顶点为p .底面圆心为o ,其母线与底面所成的角为22.5°.AB 和CD 是底 面圆O 上的两条平行的弦,轴OP 与平面PCD 所成的角为60°. (Ⅰ)证明:平面PAB 与平面PCD 的交线平行于底面; (Ⅱ)求cos COD ∠. 【答案】解: (Ⅰ) PAB P D ,////C m AB CD CD PCD AB PCD ?=??设面面直线且面面 //AB m ?直线 ABCD m ABCD AB 面直线面//?? . 所以,ABCD D P PAB 的公共交线平行底面与面面C . (Ⅱ)
r PO OPF F CD r =??=∠5.22tan .60,由题知，则的中点为线段设底面半径为. ? -?=?∠==????=?5.22tan 15.22tan 245tan ,2cos 5.22tan 60tan 60tan ,2COD r OF PO OF . )223(3)],1-2(3[2 1cos ,1-25.22tan 12cos 2cos 22-==+∠=??-∠=∠COD COD COD 212-17cos .212-17cos =∠=∠COD COD 所以. 3. 如图,在四面体BCD A -中,⊥AD 平面BCD ,22,2,==⊥BD AD CD BC .M 是 AD 的中点,P 是BM 的中点,点Q 在线段AC 上,且QC AQ 3=. (1)证明://PQ 平面BCD ;(2)若二面角D BM C --的大小为060,求BDC ∠的大 小. 【答案】解:证明(Ⅰ)方法一:如图6,取MD 的中点F ,且M 是AD 中点,所以3AF FD =.因为P 是BM 中点,所以//PF BD ;又因为(Ⅰ)3AQ QC =且 3AF FD =,所以//QF BD ,所以面//PQF 面BDC ,且PQ ?面BDC ,所以 //PQ 面BDC ; 方法二:如图7所示,取BD 中点O ,且P 是BM 中点,所以1// 2 PO MD ;取CD 的三等分点H ,使3DH CH =,且3AQ QC =,所以11////42QH AD MD ,所以A B C D P Q M （第20题图）
空间角和距离的计算(1) 一 线线角 1．直三棱柱A 1B 1C 1-ABC ，∠BCA=900，点D 1，F 1分别是A 1B 1和A 1C 1的中点，若BC=CA=CC 1，求BD 1与AF 1所成角的余弦值． 2．在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是直角梯形，∠BAD=900，AD ∥BC ，AB=BC=a ，AD=2a ，且PA ⊥面ABCD ，PD 与底面成300角． （1）若AE ⊥PD ，E 为垂足，求证：BE ⊥PD ； （2）若AE ⊥PD ，求异面直线AE 与CD 所成角的大小． 二．线面角 1．正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为BB 1、CD 的中点，且正方体的棱长为2． （1）求直线D 1F 和AB 和所成的角； （2）求D 1F 与平面AED 所成的角． F 1D 1B 1 C 1A 1 B A C A B C D P E C D E F D 1 C 1 B 1 A 1 A B
2．在三棱柱A 1B 1C 1-ABC 中，四边形AA 1B 1B 是菱形，四边形BCC 1B 1是矩形，C 1B 1⊥AB ，AB=4，C 1B 1=3，∠ABB 1=600，求AC 1与平面BCC 1B 1所成角的大小． 三．二面角 1．已知A 1B 1C 1-ABC 是正三棱柱，D 是AC 中点． （1）证明AB 1∥平面DBC 1； （2）设AB 1⊥BC 1，求以BC 1为棱，DBC 1与CBC 1为面的二面角的大小． 2．ABCD 是直角梯形，∠ABC=900，SA ⊥面ABCD ，SA=AB=BC=1，AD=0.5． （1）求面SCD 与面SBA 所成的二面角的大小； （2）求SC 与面ABCD 所成的角． 3．已知A 1B 1C 1-ABC 是三棱柱，底面是正三角形，∠A 1AC=600，∠A 1AB=450，求二面角B —AA 1—C 的大小． B 1 C 1 A 1 B A C D B 1 C 1 A 1B A C B A D C S B 1 C 1 B C A 1
射影几何学 射影几何是研究图形的射影性质，即它们经过射影变换后，依然保持不变的图形性质的几何学分支学科。一度也叫做投影几何学，在经典几何学中，射影几何处于一种特殊的地位，通过它可以把其他一些几何学联系起来。 发展简况 十七世纪，当笛卡儿和费尔马创立的解析几何问世的时候，还有一门几何学同时出现在人们的面前。这门几何学和画图有很密切的关系，它的某些概念早在古希腊时期就曾经引起一些学者的注意，欧洲文艺复兴时期透视学的兴起，给这门几何学的产生和成长准备了充分的条件。这门几何学就是射影几何学。 基于绘图学和建筑学的需要，古希腊几何学家就开始研究透视法，也就是投影和截影。早在公元前200年左右，阿波罗尼奥斯就曾把二次曲线作为正圆锥面的截线来研究。在4世纪帕普斯的著作中，出现了帕普斯定理。 在文艺复兴时期，人们在绘画和建筑艺术方面非常注意和大力研究如何在平面上表现实物的图形。那时候，人们发现，一个画家要把一个事物画在一块画布上就好比是用自己的眼睛当作投影中心，把实物的影子影射到画布上去，然后再描绘出来。在这个过程中，被描绘下来的像中的各个元素的相对大小和位置关系，有的变化了，有的却保持不变。这样就促使了数学家对图形在中心投影下的性质进行研究，因而就逐渐产生了许多过去没有的新的概念和理论，形成了射影几何这门学科。 射影几何真正成为独立的学科、成为几何学的一个重要分支，主要是在十七世纪。在17世纪初期，开普勒最早引进了无穷远点概念。稍后，为这门学科建立而做出了重要贡献的是两位法国数学家——笛沙格和帕斯卡。
笛沙格是一个自学成才的数学家，他年轻的时候当过陆军军官，后来钻研工程技术，成了一名工程师和建筑师，他很不赞成为理论而搞理论，决心用新的方法来证明圆锥曲线的定理。1639年，他出版了主要著作《试论圆锥曲线和平面的相交所得结果的初稿》，书中他引入了许多几何学的新概念。他的朋友笛卡尔、帕斯卡、费尔马都很推崇他的著作，费尔马甚至认为他是圆锥曲线理论的真正奠基人。 迪沙格在他的著作中，把直线看作是具有无穷大半径的圆，而曲线的切线被看作是割线的极限，这些概念都是射影几何学的基础。用他的名字命名的迪沙格定理：“如果两个三角形对应顶点连线共点，那么对应边的交点共线，反之也成立”，就是射影几何的基本定理。 帕斯卡也为射影几何学的早期工作做出了重要的贡献，1641年，他发现了一条定理：“内接于二次曲线的六边形的三双对边的交点共线。”这条定理叫做帕斯卡六边形定理，也是射影几何学中的一条重要定理。1658年，他写了《圆锥曲线论》一书，书中很多定理都是射影几何方面的内容。迪沙格和他是朋友，曾经敦促他搞透视学方面的研究，并且建议他要把圆锥曲线的许多性质简化成少数几个基本命题作为目标。帕斯卡接受了这些建议。后来他写了许多有关射影几何方面的小册子。 不过迪沙格和帕斯卡的这些定理，只涉及关联性质而不涉及度量性质(长度、角度、面积)。但他们在证明中却用到了长度概念，而不是用严格的射影方法，他们也没有意识到，自己的研究方向会导致产生一个新的几何体系射影几何。他们所用的是综合法，随着解析几何和微积分的创立，综合法让位于解析法，射影几何的探讨也中断了。 射影几何的主要奠基人是19世纪的彭赛列。他是画法几何的创始人蒙日的学生。蒙日带动了他的许多学生用综合法研究几何。由于迪沙格和帕斯卡等的工作被长期忽视了，前人的许多工作他们不了解，不得不重新再做。 1822年，彭赛列发表了射影几何的第一部系统著作。他是认识到射影几何是一个新的数学分支的第一个数学家。他通过几何方法引进无穷远虚圆点，研究了配极对应并用它来确立对偶原理。稍后，施泰纳研究了利用简单图形产生较复杂图形的方法，线素二次曲线概念也是他引进的。为了摆脱坐标系对度量概念的依赖，施陶特通过几何作图来建立直线上的点坐标系，进而使交比也不依赖于长度概念。由于忽视了连续公理的必要性，他建立坐标系的做法还不完善，但却迈出了决定性的一步。 另—方面，运用解析法来研究射影几何也有长足进展。首先是莫比乌斯创建一种齐次坐标系，把变换分为全等，相似，仿射，直射等类型，给出线束中四条线交比的度量公式等。接着，普吕克引进丁另一种齐次坐标系，得到了平面上无穷远线的方程，无穷远圆点的坐标。他还引进了线坐
《空间解析几何》教学指南 说明： 1．课程性质 空间解析几何是高等师范院校数学专业的一门重要基础课。是初等数学通向高等数学的桥梁。是高等数学的基石。线性代数，数学分析，微分方程，微分几何，高等几何等课程的学习都离不开空间解析几何的基本知识以及研究方法。空间解析几何是用坐标法，把数学的基本对象与数量关系密切联系起来，它对整个数学的发展起了很大作用。 2．教学目的 本课程的教学目的是培养学生的空间想象能力以及解决问题的能力，并为以后学习其他数学课程作准备，也为日后的中学几何教学打下良好的基础。 （1）对空间的直线和平面，对曲面特别是二次曲面有明晰的空间位置、形状的概念，对于坐标化方法能应用自如，从而达到数与形的统一； （2）能具备空间想象能力，娴熟的矢量代数的计算能力和推理、演绎的逻辑思维能力，科学地处理中学数学的有关教学内容。 3．教学内容与学时安排： 第一章矢量与坐标 20学时 第二章轨迹与方程 6学时 第三章平面于空间直线 18学时 第四章柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面 20学时 第五章二次曲线的一般理论 22学时 第六章二次曲面的一般理论 4学时 4．课程教学重点与难点： 重点：基本概念；矢量计算；做图能力； 难点：一般二次曲线、曲面理论，知识的综合应用。 5．教学方法 本课程以课堂讲授为主，结合课堂提问课堂讨论进行教学，同时对适合的内容以多媒体辅助教学。 6. 课程考核方法与要求： 本课程考核以笔试为主，主要考核学生对基本理论、基本概念、运算技巧的掌握程度，以及学生综合应用知识的能力。 内容： 第一章矢量与坐标（20学时） 1. 主要内容 （1）矢量概念单位矢量零矢量相等矢量反矢量共线矢量共面矢量。 （2）矢量的加法及其运算法则。 （3）数量乘矢量及其运算法则。 （4）矢量的线形运算及矢量的分解。
第26练“空间角”攻略 ［题型分析·高考展望]空间角包括异面直线所成得角,线面角以及二面角,在高考中频繁出现,也就是高考立体几何题目中得难点所在.掌握好本节内容，首先要理解这些角得概念,其次要弄清这些角得范围,最后再求解这些角.在未来得高考中，空间角将就是高考考查得重点,借助向量求空间角,将就是解决这类题目得主要方法． 体验高考 1.(2015·浙江)如图,已知△ABC，D就是AB得中点，沿直线CD将△ACD翻折成△Ａ′CＤ,所成二面角A′—ＣD—B得平面角为α,则（） A.∠A′DB≤α B.∠A′DＢ≥α C.∠A′CB≤α D.∠A′ＣB≥α ２.（２016·课标全国乙)平面α过正方体ABCD—A１B1C1D1得顶点A,α∥平面ＣB1D1，α∩平面ABＣD=m,α∩平面ＡBB１A１=n，则m,n所成角得正弦值为() A、B、＼f(２） 2 C、 3 3D、 3.（20１6·课标全国丙)如图，四棱锥P-ABＣD中，ＰA⊥底面ABCＤ,AD∥BC，AＢ＝AD＝AC＝3，ＰA=BC=4,M为线段ＡＤ上一点，AＭ＝2MD，N为PＣ得中点. (1）证明MN∥平面ＰAB; (2)求直线AN与平面ＰMＮ所成角得正弦值． 高考必会题型 题型一异面直线所成得角 例1在棱长为a得正方体AＢCＤ－Ａ1B1Ｃ1D1中,求异面直线ＢA1与AＣ所成得角． 变式训练1(２０15·浙江)如图,三棱锥A—BCD中,ＡB＝AC=BD=ＣD＝3,AＤ=BC=2,点Ｍ,N 分别就是ＡD，ＢＣ得中点,则异面直线ＡN,CM所成得角得余弦值就是__＿__＿__. 题型二直线与平面所成得角 例2 如图,已知四棱锥P-AＢCＤ得底面为等腰梯形,AＢ∥ＣＤ,ＡＣ⊥BD,垂足为H，PH就是四棱锥得高，E为AD得中点．(1)证明:PＥ⊥BＣ; （2）若∠APB＝∠ＡDB＝60°,求直线P A与平面PEＨ所成角得正弦值. 变式训练2 如图,平面ABＤE⊥平面ABC,△AＢC就是等腰直角三角形，ＡB=BC=4,四边形ABDE就是直角梯形，BＤ∥AE,BD⊥BA,BＤ＝错误!AE＝２,点O、Ｍ分别为ＣE、AＢ得中点. (１)求证:OD∥平面ＡBC;(2）求直线CD与平面ODＭ所成角得正弦值;