初等几何研究试题答案（I）
一、线段与角的相等
1. ⊙O1、⊙O2相交于A、B,⊙O1的弦BC交⊙O2于E,⊙O2的弦BD交⊙O1于F,
求证: （1）若∠DBA=∠CBA,则DF=CE;
(2) 若DF=CE,则∠DBA=∠CBA.
证明:(1)连接AC、AE、AF、AD
在⊙O1中,由∠CBA=∠DBA得AC=AF
在⊙O2中,由∠CBA=∠DBA得AE=AD
由A、C、B、E四点共圆得∠1=∠2
由A、D、B、E四点共圆得∠3=∠4
所以△ACE≌△AFD
∴DF=CE
(2)由（1）得∠1=∠2,∠3=∠4
∵DF=CE
∴△ACE≌△AFD
∴AD=AE
在⊙O 2中,由AD=AE 可得∠DBA=∠CBA
2. 在△ABC 中,AC=BC,∠ACB=90O ,D 是AC 上的一点,AE ⊥BD 的延长线于E,又AE=1
2
BD, 求证:BD 平分∠ABC.
证明:延长AE,BC 交于点F
AED BCA 90 ADE BDC CBD CAF
ACF BCA 90 AC BC ACF BCD AF BD
11AE BD AE AF 22
ABEE BE BE ABF BD ABC
∠=∠=?∠=∠∴∠=∠∠=∠=?=∴???∴==∴=⊥∴∠∠ 又又又平分即平分
3. 已知在凸五边形ABCDE 中,∠BAE=3α,BC=CD=DE,且∠BCD=∠CDE=180o－2α,
求证:∠BAC=∠CAD=∠DAE.
证明:连接BD,得ΔCBD是等腰三角形
且底角是∠CDB=[180o－(180o－2α)]÷2=α.
∴∠BDE=(180°－2α)-α=180o－3α
∴A、B、D、E共圆
同理A、C、D、E共圆
∴∠BAC=∠CAD=∠DAE
4. 设H为锐角△ABC的垂心,若AH等于外接圆的半径. 求证:∠BAC=60o
证明:过点B作BD⊥BC,交圆周于点D,连结CD、AD
C
∵∠DBC=90o, ∴CD是直径,则∠CAD=90o
由题,可得AH⊥BC, BH⊥AC
∴BD∥AH, AD∥BH ∴四边形ADBH是□
∴AH=BD
又∵AH等于外接圆的半径(R) ∴BD=R,而CD=2R
∴在Rt△BCD中,CD=2BD,即∠BCD=30o
∴∠BDC=60o
又∵∠BAC=∠BDC ∴∠BAC=∠BDC=60o
5. 在△ABC中,∠C=90o,BE是∠B的平分线,CD是斜边上的高,过BE、CD之交点O且平行于AB的直线分别交AC、BC于F、G,求证AF=CE.
证明:如图∵∠1＝∠3,∠1=∠2.∴∠2=∠3,∴GB = GO,
∵∠5=∠4=∠6,∴CO =CE,
∵ FG∥AB,∴AF／CF=BG／CG=GO／CG,
又∵△FCO∽△COG,∴CO／CF=GO／CG=AF／CF,
∴CO=AF,∵CO=CE,∴AF=CE.
6. 在△ABC中,先作角A、B的平分线,再从点C作上二角的平分线值平行线,并连结它们的交点D、E,若DE∥BA,求证:△ABC等腰.
证:如图所示
设AC、ED的交点为F
∵AD是∠A的平分线∴∠1=∠2
∵DE∥AB ∴∠1=∠3
∵CE∥AD ∴∠3=∠5, ∠4=∠2
∴∠1=∠2=∠3=∠4=∠5
则△FAD和△FCE是等腰三角形
∴AF=DF,EF=CF
∴AC=DE
同理可证BC=DE
∴AC=BC
∴△ABC是等腰三角形
7. 三条中线把△ABC 分成6个三角形,若这六个三角形的内切圆中有4个相等.
求证:△ABC 是正三角形．
r r
O
F E D
B
C
A
H
I
G L
K J
证明:∵△AOF 、△AOE 、△COD 、△COE 、△BOF 、△BOD 面积都相等
∴S △OFB =S △OEC
即:
21BF ×r+2
1
FO ×r+21BO ×r=21CE ×r+21OE ×r+21OC ×r 21 (BF+FO+BO)×r=21
(CE+OE+OC)×r ∴BF+FO+BO=CCE+OE+OC
∴CE+OE+OC-OG-OI=CE+OE+OC-OL-OJ ∴2DH+2BH=2FK+2CK ∴2BF=2CE
又F 、E 分别为AB 、AC 之中点 ∴AB=AC 同理:AB=BC
故△ABC 是正三角形.
8. 平行四边形被对角线分成四个三角形中,若有三个的内切圆相等 证明:该四边形为菱形.
A
B
D
C
E
F
I
H
G
O
证明:又∵△AO B 、△BOC 、△COD 、△DOA 四个三角形的面积相等
()()1122OD DC OC r OB BC OC r ∴
++?=++? CD OC OD BC OB OC ∴++=++ OD OC DC OE OG OB OC BC OI OG ++--=++-- 2222DF CF BH CH ?+=+
22DC BC
DC BC
?=?=
∴四边形为菱形
9. 凸四边形被对角线分成4个三角形,皆有相等的内切圆,求证:该四
边形是菱形 .
证明:连结O 1 、O 2,分别作O 1 、O 2到AC 的垂线,垂足分别为P 、M ∵在△ABC 中,BO 是☉O 1 、☉O 2的公切线 ∴BO ⊥O 1 O 2
又∵☉O 1 、☉O 2半径相同,且都与AC 相切 ∴O 1 O 2‖AC ∴BO ⊥AC BD ⊥AC
∵两个相等的内切圆☉O 1 、☉O 3在对顶三角形 △AOB 与△COD 中 ∴周长C △AOB =C △COD
∴AO+BO+AB=CO+DO+CD 又∵OP=OQ=OM=ON
∴（AO+BO+AB)-(OP+OQ)=(CO+DO+CD)-(OM+ON) ∴2AB=2CD ∴AB=CD 同理AD=BC
∴四边形ABCD 是平行四边形
A
B
D
C
P N O 1
O 2
O O 3
O 4 M Q
又∵AC ⊥BD
∴四边形ABCD 是菱形
10. 在锐角△ABC 中,BD,CE 是两高,并自B 作BF ⊥DE 于F,自C 作CG ⊥DE 于G ,证明:EF=DG .
证明:设O,M 分别是BC,FG 的中点, 所以OM ∥BF,
因为BF ⊥FG , 所以OM ⊥FG , 又因为∠BEC=∠BDC= 90 所以BCDE 四点在以BC 为 直径的圆上, 因为OM ⊥DE, 所以OM 平分ED, 所以FM-EM=MG-MD 即EF=DG.
11. △ABC 中,M 是BC 的中点,I 是内心,BC 与内切圆相切与K.
M
G
O
F
E
D
C
B A
求证:直线IM 平分线段AK.
I O
M
L K
H
G F
E
D
C
B A
证明:作出∠A 的旁切圆O,设它与BC 边和AB,BC 的延长线分别切于D,E,F,（如图）
连接AD 交内接圆于L,则因内接圆和旁切圆以A 为中点成位似,则:
IL ⊥BC,即K,I,L 共线
于是原题借中位线可如下转化MI 平分AK, ∴M 平分DK ∴BD=KC
后者利用圆I 与圆O 两条外公切线相等 ∴EG=FH
∴BD+BK=CD+CK
则反推过去,得到IM 平分线段AK.
12．在△ABC 中,M 是BC 的中点,I 是内心,A H ⊥BC 于H,AH 交MI
于E,求证:AE 与内切圆半径相等.
E L
K M H
G F
I
B
C
A
证明:如图所示
作△ABC 的内切圆,
∴切点分别交于BC 于点K 、AB 于点F 、AC 于点G ,连接
KL 与AC
∴ KL 是直径,
又∵M 为BC 的中点,I 为内心,则A L ∥ＭＩ 又∵A H ⊥BC ∴A H ∥LK
又∵点E 点I 分别都在AH 、LK 上 ∴A E ∥LI
∴四边形AEIL 为平行四边形 ∴A E ＝LI 命题得证.
13. 在矩形ABCD中,M是AD的中点,N是BC的中点,在CD的延长线取P点,记Q为PM与AC的交点,求证:∠QNM＝∠MNP
证明:利用矩形的中心
设O是矩形ABCD的中心,则O也是MN的中点,
延长QN交OC的延长线于R,如图,则O 又是PR的
中点,故NC平分∠PNR.,而NM⊥NG.
∴NM平分∠PNQ
14. 给定以O为顶点的角,以及与此角两边相切于A、B的圆周,过A 作OB的平行线交圆于C,连结OC交圆于E,直线AE交OB于K,求证:OK=KB.
证明:如图所示,过C 作圆的切线交OB 延长线于D. ∵OD,OA,CD 都是圆的切线,且A C ∥CD ∴四边形ACDO 是等腰梯形,∠DOA=∠D ∵∠BOC=∠ACO,∠ACO=∠OAK ∴∠BOC=∠OAK ∵∠DOA=∠D ∴△AOK ～△ODC ∵
21=OD CD ∴2
1
=AO KO ∵OA=OB ∴OB=OA=2KO,即OK=KB
15. 在等腰直角?ABC 的两直角边CA,CB 上取点D 、E 使CD=CE,从C 、D 引AE 得垂线,并延长它们分别交AB 于K 、L,求证:KL=KB.
A
L
K
E H
E
D
C B
证明:延长AC至E'使CE'=CE,再连BE'交AE的延长线于H.
∵?ABC是等腰直角三角形
∴AC=BC ,∠ACB=∠BCE'=90°
又∵CE=CE' ∴?BCE'≌?ACE
∴∠CAE=∠CBE'
∵∠AEC=∠BEH ∴?BHE∽?ACE
∴∠BHE=∠ACB=90°
∵DL∥CK∥E'B及DC=CE'
∴KL=LB.
16. 点M在四边形ABCD内,使得ABMD为平行四边形,试证:若∠CBM=∠CDM,则∠ACD=∠BCM.
证:作AN∥BC且AN=BC,连接DN、NC
∵ABMD为平行四边形,AN∥BC且AN=BC
∴ABCN、DMCN为平行四边形,AD=BM
∴DN=CM、AN=BC
∴△ADN≌△BMC
∴∠1=∠3,∠2=∠4,∠6=∠7
∵∠1=∠2
∴∠3=∠4
∴A、C、N、D共圆（视角相等）
∴∠5=∠7（同弧AD）
∴∠5=∠6即∠ACD=∠BCM
1∠BDC,求证:△ABC是等17.已知∠ABC=∠ACD=60°,且∠ADB=90°-
2
腰的.
证明:延长CD使得BD＝DE,并连结AE
1∠BDC
∵∠ADB＝90°－
2
∴2∠ADB＋∠BDC＝180°
又∠BDC＋∠ADB＋∠ADE＝180°
∴∠ADB＝∠ADE
又∵BD＝DE,AD＝AD
∴△ADB≌△ADE
∴∠ABD＝∠AED＝60°,AB＝AE
又∵∠ACD ＝60° ∴△ACE 为正三角形 ∴AC ＝AE ∴AB ＝AC
∴△ABC 为等腰三角形
18.⊙O 1、⊙O 2半径皆为r,⊙O 1平行四边形`过的二顶A 、B,⊙O 2过顶点B 、C,M 是⊙O 1、⊙O 2的另一交点,求证△AMD 的外接圆半径也是r.
2
1
O
E
M
D
B
O
O
C
A
证明: 设O 为MB 的终点 连接CO 并延长⊙O 1于E 则由对称知O 为CE 的中点 ∵O 平分MB
O 平分CE
∴MEBC 是平行四边形∴ ∴ME ∥BC ∥AD
∴MEAD 亦是平行四边形 ∴△MAE ≌△AMD
∴△AMD 的外接圆半径也为r
19. 在凸五边形ABCDE 中,有∠ABC =∠ADE ,∠AEC =∠ADB, 求证:∠BAC =∠DAE.
证明:连接BD,CE,设它们相交于F,如图,
∵∠AEC=∠ADB. ∴A,E,D,F 四点共圆. ∴∠DAE=∠DFE. 又∠ABC=∠ADE=∠AFE. ∴A,B,C,F 四点共圆. ∴∠BAC=∠BFC. 又∠DFE=∠BFC. ∴∠BAC=∠DAE.
20. 在锐角△ABC 中,过各顶点作其外接圆的切线,A 、C 处的两切线分
D
C
B
E
A
F
别交B处的切线于M、N,设BD是△ABC的高（D为垂足）,求证:BD 平分∠MDN.
证明:如上图,m、n分别表示过M、N的切线长,再自M作MM’⊥AC 于M’, 作NN’⊥AC于N’,则有
∵∠N＝∠B＝∠NCN’
∴△MAM’∽△NCN’
∴AM’/’CN’=AM/CN=m/n
又∵MM’∥BD∥NN’
∴M’D/DN’=MB/BN=m/n
由等比性质知
m/n=(M’D－AM’)/(DN’-CN’)=AD/DC
∴△ADM∽△CDN
∴DM/DN=m/n即DM/m=DN/n
∴BD平分∠MDN
21.已知:AD、BE、CF是△ABC的三条高.求证:DA、EB、FC是△DEF 的三条角平分线.
证明:连结DF、FE、DE
∵C F⊥AB AD⊥BC
∴B、D、H、F共圆
∴∠1＝∠3
∵AD⊥BC BE⊥AC
∴B、D、E、A共圆
∴∠2=∠3
∴∠2=∠1
∴AD平分∠EDF
同理,CF平分∠EFD
BE平分∠FED
即证:DA、EB、FC是△DEF的三条角平分线
22.已知AD是△ABC的高,P是AD上任意一点,连结BP-CP,延长交
AC 、AB 于E 、F,证DA 平分∠EDF.
证:过E 、F 两点分别作EH 、FG ,使EH ⊥BC,FG ⊥BC,且交CF 、BE 于I 、J
∵EH ⊥BC,AD ⊥BC,FG ⊥BC ∴EH ∥AD ∥FG
∴
EI EH =AP AD =FJ FG ∴FJ EI
FG EH =
又∵GD
HD
PJ EP = ∴△EIP ∽△JFP ∴
PJ
EP FJ EI = ∴△EHD ∽FGD
∴∠DFJ =∠DEI ∴∠FDB=∠EDC 即∠ADF=∠ADE 即DA 平分∠EDF
23.圆内三条弦PP 1、QQ 1、RR 1、两两相交,PP 1与QQ 1交于B,QQ 1与RR 1交于C,RR 1与PP 1交于A,已知:AP=BQ=CR,AR 1=BP 1=CQ 1,求
B
C
A
D
E
F
I
J
P
错位相减法求和专项．}{a分别是等差数列和等比数列，在应用过{ab}型数列，其中错位相减法求和适用于nn`nn 程中要注意： 项的对应需正确； 相减后应用等比数列求和部分的项数为（n-1）项； 若等比数列部分的公比为常数，要讨论是否为1 数列的前项已知二次函数的图象经过坐标原点，其导函数，1. 均在函数，点的图象上．和为 ）求数列Ⅰ（的通项公式； 是数列的前项和，求．（Ⅱ）设， [解析]考察专题：，，，；难度：一般 [答案] （Ⅰ）由于二次函数的图象经过坐标原点，
，，则设 ∴，∴， 又点均在函数的图象上， ∴． 时，，当∴ 又，适合上式，∴．．．．．．．．．．．．（7分） ，）知，Ⅰ）由（Ⅱ （． ∴， ∴， 上面两式相减得：
． 整理得．．．．．．．．．．．．．．（14分） 是数列的前n2.项和，且已知数列的各项均为正数， ． ）求数列的通项公式；1 （ ）的值.（2][答案查看解析 时，解出an = 1 = 3,] [解析（1）当12－①34S又= a + 2a nnn = + 2a－4s3 ②当时n-1n1－ 即，, －①② , ∴． （），
是以3为首项，2为公差的等差数列，6分 ． ）2③ （ 又④ ③④－ = 12分 设函数，19,12分）（2013年四川成都市高新区高三4月月考，3. ，数列前数列.项和，满足， ）求数列的通项公式；（Ⅰ
，证明：的前，数列.项和为（Ⅱ）设数列的前项和为 ，得由Ⅰ[答案] () 为公比的等比数列，故.是以 ）由（Ⅱ得， …， …+，记
用错位相减法可求得： （注：此题用到了不等式：进行放大. . ） 与的等比中项．4.已知等差数列是中，； ）求数列的通项公式：（Ⅰ 项和Ⅱ）若的前．求数列 （ 的等比中项．所以，是（[解析]Ⅰ）因为数列与是等差数列，
师大学考试试卷(1) 答案 机械系机电一体化专业画法几何及机械制图课程 班级学号得分 题号一二三四五六七八九总分 得分 阅卷人 一、已知点A距H面为12，距V面为15，距W面为10，点B在点A的左方5，后方 10，上方8，试作A、B两点的三面投影。 X Z Y Y W O a a a b b b 二、作平面四边形ABCD的投影。 三、完成下列各形体的投影。 1．2．
四、根据给出的视图，补画第三视图（或视图所缺的图线）。1．
2． 五、在指定位置将主视图画成全剖视图。 六、在指定位置将主视图画成剖视图。
八、已知两平板齿轮啮合，m1=m2=4mm，z1=20，z2=35，分别计算其齿顶圆、分度圆、齿根圆直径，并画出其啮合图（比例1：2）。
九、读零件图，并回答问题。 1．该零件采用了哪些视图、剖视图和剖面图？ 2．指出该零件在长、宽、高三个方向的主要尺寸基准。 ，是螺纹（、外）， 又是，H是，
答案： 1． 该零件采用了哪些视图、剖视图和剖面图？说明数量和名称。 该零件采用主视图、俯视图和左视图三个视图，其中，主视图是全剖视图，左视图是局部剖视图，俯视图为半剖视图。 2． 指出该零件在长、宽、高三个方向的主要尺寸基准。 高方向基准是零件的底面，长度方向基准是零件上Φ42孔的左端面，宽度基准是宽度方向的对称线。 3．图中G1/2"表示： 非螺纹密封的管 螺纹，1/2" 表示 公称直径 ，是 螺纹（、是 基本尺寸 ，是 公差带代号 ，其中，H 是 基本偏差 代号 ，是 公差等级 。 5．说明符号 的含义。前者表示用去除材料的方法获得的表面粗糙度， 6.3
试题： 01．填空题： 0102A01.一个完整的尺寸包括、、和。 0102A02.可见轮廓线用线绘制；不可见轮廓线用线绘制。 0102A03.轴线(中心线)用线绘制；断裂边界线用线绘制。 0102A04.比例是指之比。 0102A05.机件的真实大小应以依据，与图形的大小及绘图的准确度无关。0102A06.绘制圆的对称中心线时，圆心应是相交。 0102A07.整圆或大于半圆的圆弧标注尺寸，并在数字前面加注符号。0102A08.圆弧半径尺寸应标注在投影上。 0102A09.等于半圆的圆弧标注尺寸，符号是。 0102A10.平面图形的尺寸有、、。 0102A11.假想轮廓线用线绘用。 0102A12.放大比例是指。 0102A13.缩小比例是指。 0102A14.原值比例是指。 0102A15.斜度是指。 0102A16.锥度是指。 0102A17.丁字尺工作面是用来画线。 0102A18.斜度符号是，锥度符号是。 0102A19.圆弧连接是把和另一线段(直线或圆弧) 。 0102A20.平面图形的线段分为、、。 0102A21.具有定形尺寸而无定位尺寸的线段叫。 0102A22.图样中书写的文字、数字、字母都必须做到、、 、。 0102A23.汉字应采用，并写成。 0102A24.在同一图样中，同类相应线的宽度。 0102A25.尺寸线终端形式有和。 0102A26.尺寸界线表示尺寸的、位置。 0102A27.EQA的含义是。 0102A28.C2的含义是。 0102A29.尺寸线用绘制，不能用代替。 0102A30.标注尺寸数字时，垂直尺寸数字字头，水平尺寸数字字头。
— 1. 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且244S S =,122+=n n a a (Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式 (Ⅱ)设数列{}n b 满足 *12 12 1 1,2 n n n b b b n N a a a +++ =-∈ ，求{}n b 的前n 项和n T 2. （2012年天津市文13分） 已知{n a }是等差数列，其前n 项和为n S ，{n b }是等比数列,且1a =1=2b ，44+=27a b ，44=10S b -. (Ⅰ)求数列{n a }与{n b }的通项公式； (Ⅱ)记1122=++ +n n n T a b a b a b ，+n N ∈，证明1+18=n n n T a b --+(2)n N n >∈，。 … 【答案】解：（1）设等差数列的公差为d ，等比数列的公比为q ， 由1a =1=2b ，得3 44423286a d b q s d =+==+，，。
由条件44+=27a b ，44=10S b -得方程组 3 3 23227 86210 d q d q ?++=??+-=??，解得 3 2d q =??=?。 ∴+ 312n n n a n b n N =-=∈，，。 (Ⅱ)证明：由（1）得，()23225282132n n T n =?+?+?+-?+ ①； ∴()234+12225282132n n T n =?+?+?+?+- ②； 由②－①得， ： ()()234+1122232323+2332n n n T n =-?-?+?+?-+??+ ()()()()()()+12341+1+1+1+11=4+323222+2412111=4+323=4+32+1232142 =8+3=+8 n n n n n n n n n n n n a b ----?+++??---? --?----- ∴1+18=n n n T a b --+ (2)n N n >∈，。 3.（2012年天津市理13分）已知{n a }是等差数列，其前n 项和为n S ，{n b }是等比数列,且1a =1=2b ，44+=27a b ，44=10S b -. (Ⅰ)求数列{n a }与{n b }的通项公式； (Ⅱ)记1121=++ +n n n n T a b a b a b -，+n N ∈，证明:+12=2+10n n n T a b -+()n N ∈. 【答案】解：（1）设等差数列的公差为d ，等比数列的公比为q ， 由1a =1=2b ，得3 44423286a d b q s d =+==+，，。 & 由条件44+=27a b ，44=10S b -得方程组 3 3 23227 86210 d q d q ?++=??+-=??，解得 3 2d q =??=?。 ∴+ 312n n n a n b n N =-=∈，，。 (Ⅱ)证明：由（1）得，231212222n n n n n T a a a a --=+++?+ ①；[
初等几何研究试题答案（II ） 二、关于和、差、倍、分线段（角） 1、 等腰ABC 中，0100,A B ∠=∠的平分线交AC 于D ，证明： BD+AD=BC 。 D ' B C A 43 2 1 证：在BC 上取点D , ,使BD , =BD,连结DD , 0100A ∠=且 BD 平分∠ABC 00120,40C ∴∠=∠= 又BD=BD ,,0380∴∠=,23C ∠+∠=∠ 0240∴∠= 即2C ∠=∠ ,,CD DD ∴= 又03180A ∠+∠= ∴点A 、D 、D ， 、B 四点共圆且14∠=∠ ∴DD , =AD
BC=BD , +CD , =BD+AD 已知，ABCD 是矩形，BC=3AB,P 、Q 位于BC 上，且BP=PQ=QC, 求证：∠DBC +∠DPC=∠DQC 解：作矩形BCEF 与矩形ABCD 相等，在EF 上选取点O 使得 FO=2EO.连结BO 、DO 。 由图可知，由BO=DO ，且有△BF O ≌△OED, ∵∠FBO+∠BOF=90o ∠BOF=∠DOE ∴∠BOF+∠DOE=90o ∴∠BOD=90o △BOD 为等腰直角三角形 有∠DBO=45o ∴∠DBP+∠QBO=45o ∵∠DPC=∠QBO ∴∠DBP+∠DPC=45o ∵△DQC 为等腰直角三角形 ∴有∠DQC=45o 因此，有∠DBP+∠DPC=∠DQC P Q A B C F E O P D
3、圆内接四边形ABCD 的对角线AC 、BD 交于X ，由X 向AB 、BC 、CD 和DA 作垂线,垂足分别为A ′、B ′、C ′和D ′. 求证：A ′B ′+C ′D ′=B ′C ′+D ′A ′ 证明：（方法一） ∵X 、A ′、A 、D ′四点共圆(对角和180°) ∴∠XA ′D ′=∠XAD ′ 又∵∠XAD ′=∠XBC(圆周角） 同理∠XA ′B ′=∠XBC,即∠XA ′D ′=∠XA ′B ′ 同理可得∠XB ′A ′=∠XB ′C ′,∠XC ′B ′=∠XC ′D ′, ∠XD ′C ′=∠XD ′A ′ ∴X 是四边形A ′B ′C ′D ′的内心。 ∴A ′B ′+C ′D ′=B ′C ′+A ′D ′ (方法二)利用正弦定理. 设r 是四边形ABCD 的外接圆 C A B A ′ C ′ D B ′ D ′ X
一、填空题（28 分，每小题4分） 1．投影法分和两大类。 2．在点的三面投影图中，aa x反映点A到面的距离，a’a z反映点A到面的距离。 3．绘制机械图样时采用的比例，为机件要素的线性尺寸与机件相应要素的线性之比。 4．正垂面上的圆在V面上的投影为，在H面上的投影形状为。5．正等轴测图的伸缩系数是，简化伸缩系数是。 6.同一机件如采用不同的比例画出图样，则其图形大小___ ___（相同，不同），但图上所标注的尺寸数值是___ ___（一样的，不一样的）。 7.图形是圆、大于半圆注______尺寸；图形是半圆、小于半圆注______尺寸。 二、判断与选择题（24分，每小题3分） 1.已知一立体的轴测图，按箭头所指的方向的视图是。 2．已知物体的主俯视图，正确的左视图是（）。 3.已知圆柱被截取切后的主、俯视图，正确的左视图是（）
4．已知主视图和俯视图，正确的左视图是（）。 5. 已知平面与V面的倾角为30°，正确的投影图为。6．图示断面的正确画法是（）。 7.判断下列各图是否表示平面。
8．正确的左视图是（）。 三、判断立体表面上指定线段、平面相对于投影面的位置，将结果填写在右下表中。（20 分） 四、已知三角形ABC的AC边是侧垂线，完成三角形的水平投影。（28 分） 线段AB 线段BC 线段CD 平面P 平面Q 平面R 线 线 线 面 面 面
二、判断与选择题（24分，每小题3分） 1.C 2.B 3.C 4.C 5.(2) 6.C 7. 否，否，是，否； 8.D 三、判断立体表面上指定线段、平面相对于投影面的位置，将结果填写在右下表中。（20 分） 四、已知三角形ABC的AC边是侧垂线，完成三角形的水平投影。（28 分）
错位相减法求和专项 错位相减法求和适用于{a n'b n}型数列，其中{a n},{b n}分别是等差数列和等比数列，在应用过程中要注意： 项的对应需正确； 相减后应用等比数列求和部分的项数为(n-1)项； 若等比数列部分的公比为常数，要讨论是否为1 1.已知二次函数的图象经过坐标原点，其导函数/■］■:I “亠］,数列?的前 项和为，点均在函数：=y：/.：：的图象上? (I)求数列的通项公式; (n)设，,■是数列的前」项和，求?’? ［解析］考察专题：2.1 , 2.2 , 3.1 , 6.1 ;难度：一般 ［答案］(I)由于二次函数-的图象经过坐标原点， 则设, 又点「均在函数的图象上， 二当心时,?、、= J ；：? ；?■■■ L］ 5 T
又忙：=.：「=乜，适合上式,
I ............................................... （7 分） （n）由（i）知 - 2 - :' 2 - ：......................................... |；■：■: 2 ? ? ：' - 'I+（2?+ l）^"kl,上面两式相减得 =3 21 +2 （21 +23十…4『r）-（2打+ 】 卜2* 4屮一才丨, , : ■ . 1=2 整理得：，?................. 2.已知数列’的各项均为正数，是数列’ （14 分）的前n项和，且 （1）求数列’的通项公式； （2）二知二一- ［答案］查看解析 解出a i = 3, ［解 析］ 又4S n = a n? + 2a n —3 ①
初等几何研究试题答案（I） 、线段与角的相等 1. O O、O Q相交于A B, O O的弦BC交O Q于E, O 02的弦BD交O 0于F, 求证：(1)若2 DBA2 CBA贝卩 若DF二CE则 / DBA M CBA. 证明:⑴连接AC AE AF、AD 在O 0 中，由/ CBA W DBA得AC=AF 在O O 中，由/ CBA W DBA得AE=AD 由A C、B、E四点共圆得/仁/2 由A D B、E四点共圆得/ 3二/4 所以△ ACE^A AFD ??? DF=CE (2) 由(1)得/ 仁/ 2, / 3=2 4 v DF=CE ? △ACE^A AFD
??? AD=AE 在O Q 中，由AD=AE^得/ DBA M CBA 2. 在厶ABC中,AC=BC,Z ACB=90,D是AC上的一点,AE丄BD的延长线于E,又AE=1BD, 2 求证:BD平分/ ABC. 证明：延长AE,BC交于点F 7 AED "BCA =90 ADE "BDC ?CBD =/CAF 又7 ACF BCA = 90 AC 二BC ?ACF 三BCD . AF = BD 1 1 又、:AE BD . AE AF 2 2 又ABEE _ BE ■ BE平分ABF 即BD平分.ABC 3. 已知在凸五边形ABCDE中, / BAE=3 ,BC=CD=DE M/ BCD玄CDE=180-
求证：/ BAC 2 CAD h DAE. 证明：过点B 作BDL BC,交圆周于点D,连结CD ?D ???/ DBC=90, ? CD 是直径，则/ CAD=90 证明：连接BD,得△ CBD 是等腰三角形 且底角是/ CDB=[18(0-(180o — 2 - )] -2=. :丄 BDE=(180° — 2G )-O (=180O — 3? ??? A B 、D E 共圆 同理A C D E 共圆 ? h BAC h CAD h DAE 4. 设H 为锐角△ ABC 的垂心，若AH 等于外接圆的半 径
1、单项选择题(30) 1．图纸的会签栏一般在（ B） A．图纸右上角及图框线内 B．图纸左上角及图框线外 C．图纸右上角及图框线外 D．图纸左上角及图框线内 @！．一物体图上长度标注为2000，其比例为1﹕5，则其实际大小为（ B）A．400 B．2000 C．10000 D．200 3．下列仪器或工具中，不能用来画直线的是（ D ） A．三角板 B．丁字尺 C．比例尺 D．曲线板 4. 在土木工程制图中，除了遵守建筑工程制图标准和某些行业标准外，还必须遵守的国家标准为：( A ) A.总图制图标准 B.水利水电工程制图标准 C.技术制图标准 D.铁路工程制图标准 5. 由国家职能部门制定、颁布的制图标准，是国家级的标准，简称国标。国标的代号为：( B ) A. ISO B. GB C. Standard D. ANSI 6. 图纸上的各种文字如汉字、字母、数字等，必须按规定字号书写，字体的号数为：( A ) A. 字体的高度 B. 字体的宽度 C. 标准中的编号 D. 序号 7. 绘制工程图应使用制图标准中规定的幅面尺寸，其中A2幅面的尺寸为：( C) A. 594 841（A1） B. 210 297(A4) C. 420 594(A2) D. 297 420(A3) 1189*841(A0) 8. 绘制工程图应使用制图标准中规定的幅面尺寸，其中A4幅面的尺寸为：(B ) A. 594 841 B. 210 297 C. 420 594 D. 297 420 9. 绘图比例是：( A ) A. 图形与实物相应要素的线性尺寸之比 B. 实物与图形相应要素的线性尺寸之比 C. 比例尺上的比例刻度 D. 图形上尺寸数字的换算系数 10. 如果物体的长度为1000mm，绘图比例是1:20，则在绘图时其长度应取：( C ) A. 100 B. 1000 C. 50 D. 20
工程制图复习试题 一、填空题 1.当棱柱的上、下底面与棱线垂直时，称之为；若棱柱的上、下底面与棱线倾斜 时称之为。正棱柱、斜棱柱 2.平面与立体相交，所得的交线称为：，交线所围成的平面图形称为：。截 交线、断面 3.正垂面上的圆在V面上的投影为，在H面上的投影形状为。直线、椭 圆 4.曲线根据其上面点所属平面不同分为：平面曲线和两大类。空间曲线 5.侧平线的_________投影反映直线的实长。侧面 6.求圆锥面上的点的投影常用法和法。纬圆、素线 7.在轴测图中，根据投射方向与轴测投影面P的位置关系可分为轴测图和轴测 图。正、斜 8.组合体尺寸分为，和尺寸三种。定形、定位、总体 9.绘制机械图样时采用的比例，为机件相应要素的线性尺寸与相应要素的线性尺 寸之比。图样、实物 10.图形是圆或大于半圆的圆弧标注_____尺寸；图形是小于半圆的圆弧标注_____尺寸。直径、半 径 11.正等轴测图的伸缩系数是，简化伸缩系数是。0.82、1 12.同一机件如采用不同的比例画出图样，则其图形大小______（相同，不同），但图上所标注的 尺寸数值是______（一样的，不一样的）。不同、一样的 13.投影法分和两大类。中心投影法、平行投影法 14.用平行于正圆柱体轴线的平面截该立体，所截得的图形为_________。矩形 15.用垂直于圆椎轴线的平面截该立体，所截得的图形为。圆 二、判断题 1棱锥的一个面在W面的投影积聚成一条线，面上的一点A在W面的投影也在这条线上。（√）2求棱锥面上点的投影，可以利用素线法来做。（╳）3平面立体相贯，相贯线可能是一组也可能是两组。（√）4曲线的投影只能是曲线。（╳）5直线的投影只能是直线。（╳）6平面截割圆柱，截交线有可能是矩形。（√）7正等测的三个轴间角均为120°，轴向伸缩系数为：p＝r≠q。（╳）8三面正投影图的规律“长对正、高平齐、宽相等”仍然适用于组合体的投影图。（√）9立体的投影图中，正面投影反映形体的上下前后关系和正面形状。（╳） 三、选择题 下列不是曲面立体术语的是（）。 A 素线 B 纬圆 C 椭圆 D 轴线 平面截割圆柱时，当截平面平行于圆柱的轴线时，截交线为（）。 A 矩形 B 圆 C 椭圆 D 都有可能 平面截割圆锥时，当截平面通过锥顶于圆锥体相交时，截交线为（） A 圆或椭圆 B 等腰三角形 C 抛物线 D 双曲线
《初等几何研究》作业 一、填空题 1、对直线a 上任意两点A 、B ，把B 以及a 上与B 在A 同侧的点的集合称作 射线（或半直线），； ，并记作 AB 。 2、在绝对几何中，外角定理的内容是： 三角形的外角大于任一不相邻的内角 。 3、第四组公理由 两 条公理组成，它们的名称分别是 度量公理（或阿基米德公理）和康托儿公理 。 4、欧氏平行公理是：对任意直线a 及其外一点A ，在a 和A 决定的平面上，至多有一条过A 与a 不相交的直线 。 5、罗氏几何公理系统与欧氏几何公理系统的共同之处是 前4组公理（或绝对几何） ，不同之处是 平行公理 。 6、几何证明的基本方法，从推理形式上分为 演绎 法与归纳法；从思维方向上分为 综合 法与分析法；从命题结构上分为 直接 证法与间接证法，其中间接证法包括 反证 法与 同一 法。 7、过反演中心的圆，其反演图形是 不过 （过或不过）反演中心的 直线 。 8、锐角三角形的所有内接三角形中，周长最短的是 垂足三角形。 9、锡瓦定理：设⊿ABC 的三边（所在直线）BC 、CA 、AB 上分别有点X 、Y 、Z ，则AX 、BY 、CZ 三线共点（包括平行）的充要条件是 1=??ZB AZ YA CY XC BX 。 10、解作图问题的常用方法有： 交轨法 、三角奠基法、 代数法 、 变换法 等。 11、数学公理系统的三个基本问题是 相容性、 独立性和 完备 性. 33．①答案不惟一. 34．①（0，+∞），②，（0，π/2），③连续，④单调递减. 35．①平移，②旋转，③轴对称. 36． ①1 =??ZB AZ YA CY XC BX （或－1） 37．①写出已知与求作，②分析，③作法，④证明，⑤讨论.
数列练习题 一、单选题 1．设数列{}n a 的前n 项和2n S n =，则8a 的值为（ ） A ．15 B ．16 C ．49 D ．64 二、填空题 2．已知公差不为0的等差数列{}n a ，其前n 项和为n S ，首项12a =，且1a ，2a ，4a 成等比数列，则7S 的值为___________. 三、解答题 3．正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且12461,4a S S S =+=． （1）求{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n a n +的前n 项和n T ． 4．已知公差不为零的等差数列{}n a 满足132a a =，是1a 与7a 的等比中项． （1）求{}n a 的通项公式； （2）是否存在n 值，使得{}n a 的前n 项和27n S =？
本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。 5．已知在递增等差数列{a n }中，a 1＝1，a 3是a 1和a 9的等比中项． （1）求数列{a n }的通项公式； （2）若112 n a n n n b a a +=+?，求数列{b n }的前n 项和S n ． 6．已知n S 为{}n a 的前n 项和，{}n b 是等比数列且各项均为正数，且23122n S n n =+，12b =，2332 b b +=. （1）求{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）记()41n n n a c b += ，求数列{}n c 的前n 项和n T .
7．已知数列{}n a 的前n 项和243n S n n =-+，求： （1）数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n a 的前n 项和n S 的最小值. 8．已知等差数列{}n a 满足23a =，4822a a +=． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设1 1n n n b a a += ，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 9．已知数列{}n a 的前n 项的和235n S n n =+． （1）求{}n a 的通项公式； （2）设1 3n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和．
《初等几何研究》作业参考答案 一.填空题 1.①射线(或半直线),②。 2、 ①两,②度量公理(或阿基米德公理)与康托儿公理。 3.①前4组公理(或绝对几何),②平行公理。 4.①平移,②旋转,③轴对称、 5. 1=??ZB AZ YA CY XC BX 。 6.①交轨法,②三角奠基法,③代数法,④变换法。 7.①反身性、②对称性、③传递性、④可加性、 8.外角、 9.答案不惟一、 10.①演绎,②综合,③直接,④反证,⑤同一; 11. 1=??ZB AZ YA CY XC BX 、(答－1也对) 12. ①过两点可作一条直线(或其部分),②已知圆心与半径可作一圆(或其部分)、 13.①不共线的三点A 、B 、C 及(AB)、(BC)、(CA)构成的点的集合。 14.连续、 15.答案不惟一、 16.①不过,②圆、 17.1 =??ZB AZ YA CY XC BX (或－1)、 18.①写出已知与求作,②分析,③作法,④证明,⑤讨论、 19.①相容,②独立,③完备、 20.合同变换、相似变换、射影变换、反演变换等 21.对任意直线a 及其外一点A,在a 与A 决定的平面上,至少有两条过A 与a 不相交的直线、 22.①代数,②解析,③三角,④面积,⑤复数,⑥向量、 23.相等。 24.所求的量可用已知量的有理式或只含平方根的无理式表出. 二.问答题 1.对于公理系统∑,若有一组具体事物M,其性质就是已知的,在规定∑中每一个基本概念指M 中某一具体事物后,可验证∑中每个公理在M 中都成立,则称M 为公理系统∑的一个模型; 2.①若AB ≡B A '',则d(AB)=d(B A ''); ②当C B A ?时,有d(AB)+d(BC)=d(AC)、
初等几何研究试题答案()(李长明版)
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初等几何研究试题答案（I） 一、线段与角的相等 1. ⊙O1、⊙O2相交于A、B,⊙O1的弦BC交⊙O2于E,⊙O2的弦BD交⊙O1于F, 求证: （1）若∠DBA=∠CBA,则DF=CE; (2) 若DF=CE,则∠DBA=∠CBA. 证明:(1)连接AC、AE、AF、AD 在⊙O1中,由∠CBA=∠DBA得AC=AF 在⊙O2中,由∠CBA=∠DBA得AE=AD 由A、C、B、E四点共圆得∠1=∠2 由A、D、B、E四点共圆得∠3=∠4 所以△ACE≌△AFD ∴DF=CE (2)由（1）得∠1=∠2,∠3=∠4 ∵DF=CE ∴△ACE≌△AFD
∴AD=AE 在⊙O 2中,由AD=AE 可得∠DBA=∠CBA 2. 在△ABC 中,AC=BC,∠ACB=90O ,D 是AC 上的一点,AE ⊥BD 的延长线于E,又AE=1 2 BD, 求证:BD 平分∠ABC. 证明:延长AE,BC 交于点F AED BCA 90 ADE BDC CBD CAF ACF BCA 90 AC BC ACF BCD AF BD 11 AE BD AE AF 22 ABEE BE BE ABF BD ABC ∠=∠=?∠=∠∴∠=∠∠=∠=?=∴???∴==∴=⊥∴∠∠Q Q Q Q 又又又平分即平分 3. 已知在凸五边形ABCDE 中,∠BAE=3α,BC=CD=DE,且∠BCD=∠CDE=180o－2α,
特定数列求和法—错位相减法 在高中所学的数列求合的方法有很多，比如倒序相加法、公式法、数学归纳法、裂项相消法、错位相减法等等，在此处我们就只着重讲解一种特定数列求和的方法——错位相减法。那到底什么是错位相减法呢？现在咱们来回忆当初学习等比数列时老师是怎么一步步推导出等比数列的求和公式的，下面是推导过程： 数列{}n a 是由第一项为1a ，且公比为q 的等比数列，它的前n 项和是 111121...n n a a q a q a q s -=++++ ，求 n s 的通项公式。 解 由已知有 111121...n n a a q a q a q s -=++++， ○ 1 两端同乘以q ，有 ○ 1-○2得 当1q =时，由○ 1可得 当1q ≠时，由○ 3可得 于是 1(1)n s na q == 或者 11(1)1n n a a q s q q -=≠- 通过上述推导过程老师运用了一种特殊的推导方法将本来很复杂的运算简化了，从而得到等比数列的求和公式，这种方法叫错位相减法，那我们是不是遇到复杂的运算就都可以用这种方法呢？答案当然不是，我们仔细观察这推导过程，就会发现其实错位相减法是用来计算一个等比数列乘以一个等差数列而成的复杂数列的。可以归纳数学模型如下： 已知数列{}n a 是以1a 为首项，d 为公差的等差数列，数列{}n b 是以1b 为首项，(1)q q ≠为公比的等比数列，数列n n n c a b =，求数列{}n c 的前n 项和. 解 由已知可知 两端同乘以q 可得 = 11223311...n n n n n qc a b q a b q a b q a b q a b q --=+++++
专项训练:错位相减法 目录 1.(2003北京理16) (2) 2.(2005全国卷Ⅰ) (2) 4.(2005湖北卷) (2) 5.(2006安徽卷) (2) 6.(2007山东理17) (2) 7.2007全国1文21) (2) 8.(2007江西文21) (2) 9.(2007福建文21) (2) 10.(2007安徽理21) (3) 11.(2008全国Ⅰ19) (3) 12.(2008陕西20) (3) 13.(2009全国卷Ⅰ理) (3) 14.(2009山东卷文) (3) 15.(2009江西卷文) (3) 16.(2010年全国宁夏卷17) (3) 17.(2011辽宁理17) (4) 18.(2012天津理) (4) 19.2012年江西省理 (4) 20.2012年江西省文 (4) 21.2012年浙江省文 (4) 22.(2013山东数学理) (4) 23.(2014四川) (4) 24.(2014江西理17) (5) 25.(2014安徽卷文18) (5) 26.(2014全国1文17) (5) 27.(2014四川文19) (5) 28.(2015山东理18) (5) 29.(2015天津理18) (5) 30.(2015湖北,理18) (5) 31.(2015山东文19) (5) 32.(2015天津文18) (6) 33.(2015浙江文17) (6) 专项训练错位相减法答案 (7)
已知数列{}n a 是等差数列且12a =,12312a a a ++= (1)求数列{}n a 的通项公式; (2)令()n b a x x R =?∈ 数列{}b 的前n 项和的公式 在等差数列{}n a 中,11a =,前n 项和n S 满足条件 242 ,1,2,1 n n S n n S n +==+L , (1)求数列{}n a 的通项公式; (2)记(0)n a n n b a p p =>,求数列 b 的前n 项和n T ? 设{}n a 为等比数列,11a =,23a =. (1)求最小的自然数n ,使2007n a ≥; (2)求和:212321232n n n T a a a a = -+--L . 9.(2007福建文21) 数列{}n a 的前n 项和为n S ,11a =,* 12()n n a S n +=∈N . (1)求数列{}n a 的通项n a ; (2)求数列{}n na 的前n 项和n T .
数列专练（裂项相消法） 1. 已知数列{}n a 的前项和2 2n S n n =+； （1）求数列的通项公式n a ；（2）设1234 1 23111 1 n n n T a a a a a a a a +=++++ ，求n T ． 2. 已知数列{}n a 的前项和为n S ，且满足213 (1,) 22n S n n n n N *=+≥∈ （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设n T 为数列? ?? ??? +11n n a a 的前n 项和，求使不等式20121005>n T 成立的n 的最小值. 2. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，()11 1,2,3, 2 n n a S n +==． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）当()312 log 3n n b a +=时，求证：数列11n n b b +??? ??? 的前n 项和1n n T n = +. 3. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，点), (n s n n 在直线2 1121+=x y 上，数列{}n b 满足0212=+-++n n n b b b ，() *N n ∈，113=b ，且其前9项和为153. （1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）设) 12)(112(3 --=n n n b a c ，求数列{}n c 前n 项的和n T . 4. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22n n S a =-，(1,2,3)n =???；数列{}n b 中，11,b = 点 1(,)n n P b b +在直线20x y -+=上．
《初等几何研究》综合测试题（二十） 适用专业：数学教育专业考试时间：120分钟 一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 1.两个三角形有两边和一角对应相等，则两个三角形__________。 A.一定全等； B.一定不全等； C.可能全等，可能不全等； D.以上都不是。 2.在在正三角形、等腰梯形、矩形和圆这四种图形中是轴对称图形，又是中心对称图形的有__________。 A.1种； B.2种； C.3种； D.4种。 3.如图，在等腰梯形ABCD中，AD//BC，AC与BD相交于点O， 则图中面积相等的三角形共有___________。 A.1对； B.2对； C.3对； D.4对。 4. 在正三角形、等腰梯形、矩形和圆这四种图形中是轴对称图形，又是中心对称图形的有__________。 A.1种； B.2种； C.3种； D.4种。 5.如图，在 ABC中，DE//BC，如果AE:EC=3:2, 那么DE:BC等于________。 A．3:5；B．3:2; C．2:3；D．2:5。 6.⊙O中，AB、CD是两条平行弦，位于圆心的两侧，AB=40cm，CD=48cm，AB、CD的距离为22cm，则⊙O的半径是__________。 A.15cm； B.20cm； C.25cm； D.30cm。 7.在平移过程中，对应线段 A.互相平行且相等； B.互相垂直且相等； C.互相平行（或在同一条直线上）且相等； D.以上都不对。 8.下列关于平移的说法中正确的是___________。 A.原图形中两个顶点连成的线段长是平移的距离； B.平移后的两个图形中两个顶点连成的线段长是平移的距离； C.以对应点中的一点为端点的射线是平移的方向。 D.以原图形中的一点为端点，且经过它的对应点的射线的方向是平移的方向； 二、判断题（本题共5小题，每小题2分，共10分） 1.正方形形既是中心对称图形又是轴对称图形。（√） 2.位似中心一定在两个图形之间。（×） 3.位似中心在连接两个对应点的线段之外的位似图形叫做外位似。（√） 4.两个位似图形对应点连线的交点个数为1或2。（×） 5.设点A与B关于x轴对称，点A与点C关于y轴对称，则点B与点C关于x对称。（×） 三、填空题（本题共4小题，每小题4分，共16分） 1.一个角的补角和它的余角的3倍的和等于它的周角的11 12 ，则这个角的度数是________. 2. 如图，铁路上A、B两站（视为直线上两点）相距25km，C、D为两村庄（视为两个点），
四、读零件图（每题7~10分） 1.看懂阀盖零件图，答下列问题：（每空1分，共10分） (1).该零件在四类典型零件中属于__盘盖__类零件。(2).零件上4个通孔的直径是___Φ14___。(3).零件左边的外螺纹标注的内容为___M36×2-6g____。(4).零件左边的外螺纹是粗牙螺纹还是细牙螺纹：___细牙螺纹___。(5).有公差要求的尺寸有___6___个。(6).未注圆角的尺寸是：___R2～3____。(7).阀盖的径向尺寸基准是：____回转轴线_____。(也可以在图中注出，但需注明“见图”)(8).右端面的表面粗糙度代号中的Ra值是：____25_____。 (9).?50h11尺寸的上偏差是：___0_____。(10).?50h11尺寸的下偏差是：___-0.16mm____。 2．阅读轴套零件图，回答下列问题：（每空1分，共31分） （1）.该零件名称为轴套，图号为JDLXYD03，材料为45。（2）.该零件共用了5个图形来表达，其中主视图作了全剖，并采用了折断(断开)画法；A-A是移出断面图，B-B是移出断面， D-D是局部放大图，还有一个图是局部放大图。（3）.在主视图中，左边两条虚线表示槽，其距离是14，与其右边相连的圆的直径是Φ40。中间正方形的边长为36，中部40长的圆柱孔的直径是Φ78。（4）.该零件长度方向的尺寸基准是右端面，宽度和高度方向的尺寸基准是回转轴线。（5）.主视图中，67和142±0.1属于定位尺寸，40和49属于定形尺寸；①所指的曲线是Φ40的孔与Φ60的孔的相贯线，②所指的曲线是Φ40的孔与Φ95的轴的相贯线。（6）.尺寸Φ132±0.2的上偏差是0.2mm ，下偏差是-0.2mm，最大极限尺寸是132.2mm，最小极限尺寸是131.8mm，公差是0.4mm。
两铅垂面的交线是 收藏 A. 正垂线 B. 水平线 C. 铅垂线 D. 侧平线 回答错误!正确答案： C 用正垂面截切圆球，其交线的水平投影为收藏 A. 矩形 B. 圆 C. 抛物线 D. 椭圆 回答错误!正确答案： D 连接时，被连接件需要作出螺纹孔的有收藏 A. 销连接 B. 螺钉连接 C. 键连接 D. 螺栓连接 回答错误!正确答案： B 下面装配图中，零件序号编写不正确的是
收藏 A. 序号2 B. 序号3 C. 序号1 D. 序号4 回答错误!正确答案： D 水平线 收藏 A. 平行于V面 B. 平行于W面 C. 平行于H面 D. 倾斜于H面 回答错误!正确答案： C 下面四组视图中，主视图中的交线投影，画的正确的是
收藏 A. C B. B C. D D. A 回答错误!正确答案： A 画尺寸线规定是 收藏 A. 用细虚线 B. 用细实线 C. 用细点画线 D. 用粗实线 回答错误!正确答案： B 空间两直线相交，其 收藏 A. 只有两投影相交 B. 三投影可能同时相交 C.
三个投影不一定相交 D. 三投影同时相交，且交点为同一个点的三投影 回答错误!正确答案： D 移出断面的轮廓线用 收藏 A. 粗实线 B. 细点画线 C. 波浪线 D. 细实线 回答错误!正确答案： A 主视图是向哪个投影面投射得到的视图 收藏 A. 后面 B. W C. V D. H 回答错误!正确答案： C 已知圆锥被切后的主、俯视图，正确的左视图是 收藏 A. B.
C. D. 回答错误!正确答案： A 俯视图是向哪个投影面投射得到的视图收藏 A. H B. 后面 C. V D. W 回答错误!正确答案： A 下图中水平面P与圆锥表面的交线为 收藏 A. 抛物线 B. 椭圆 C. 圆 D. 双曲线 回答错误!正确答案： C 已知主、俯视图，正确的左视图是
错位相减法求和专题训练 1．已知数列{}n a 满足22,{ 2,n n n a n a a n ++=为奇数为偶数 ，且*12,1,2n N a a ∈==. (1)求 {}n a 的通项公式； (2)设* 1,n n n b a a n N +=?∈，求数列{}n b 的前2n 项和2n S ； (3)设()2121n n n n c a a -=?+-，证明： 123 111154 n c c c c ++++ < 2．设正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足37a =， 2 1691n n a S n +=++， *n N ∈. (1)求数列{}n a 的通项公式； (2)若正项等比数列{}n b 满足1132,b a b a ==，且n n n c a b =?，数列{}n c 的前n 项和为n T . ①求n T ； ②若对任意2n ≥， *n N ∈，均有()2 563135n T m n n -≥-+恒成立，求实数m 的取值范 围. 3．已知*n N ∈，设n S 是单调递减的等比数列{}n a 的前n 项和， 112 a = 且224433,,S a S a S a +++成等差数列． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）记数列{}n na 的前n 项和为n T ，求证：对于任意正整数n ， 1 22 n T ≤<. 4．递增的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且26S =， 430S =. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若12 log n n n b a a =，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求1 250n n T n ++?>成立的正整数n 的 最小值. 5．已知数列{}n a 及()2 12n n n f x a x a x a x =++ +，且()()11?n n f n -=-, 1,2,3, n =. （1）求123a a a ，，的值； （2）求数列{}n a 的通项公式；
五、关于平行与垂直 1、I 是△ABC 的内心,AI 、BI 和CI 的延长线分别交△ABC 的外接圆于 D 、 E 和F. 求证:E F ⊥AD. 证明:已知I 是△ABC 的内心, ∴AD 、BE 和CF 是∠BAC 、∠ABC 和∠ACB 的角平分线 ∴⌒BD =⌒CD ，⌒BF =⌒AF ，⌒AE =⌒CE ∴⌒BD +⌒BF +⌒AE =⌒CD +⌒AF +⌒CE ∴⌒DF +⌒AE =⌒DE +⌒AF ∴∠AIF=∠AIE=∠DIF=∠DIE ∴EF ⊥AD 2. A 、B 、C 、D 是圆周上“相继的”四点，P 、Q 、R 、S 分别是弧AB 、BC 、CD 、DA 的中点，求证：PR ⊥QS.
Q 证明：∵P 、Q 、R 、S 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点 ∴⌒ AP =⌒ PB ,⌒BQ =⌒ QC ,⌒CR =⌒ RD ,⌒ DS =⌒ SA ∴⌒ AP +⌒QC +⌒CR +⌒SA =⌒PB +⌒BQ +⌒ RD +⌒ DS 又∵⌒ PQ +⌒RS =⌒PB +⌒BQ +⌒RD +⌒ DS , ⌒SP +⌒ RQ =⌒AP +⌒QC +⌒ CR +⌒ SA ∴⌒ PQ +⌒RS =⌒SP +⌒RQ ∴SQ ⊥PR 3、凸四边形ABCD 的每条对角线皆平分它的面积，求证:ABCD 是平行四边形。 证明：设AC 和BD 相交于点O ， 作AE ⊥ BD 于E ，CF ⊥BD 于F ，
连接AF，CE ∵对角线BD平分四边形ABCD的面积 ∴S△ABD＝S△CBD ∴AE=CF 又∵AE⊥BD，CF⊥BD ∴AE∥CF ∴四边形AECF为平行四边形 ∴AO=CO 同理可得 BO=DO ∴四边形ABCD是平行四边形 4、已知△BCX和△DAY是□ABCD外的等边三角形，E、F、G和H是YA、AB、XC和CD的中点。求证：EFGH是平行四边形。 G C H D Y E A F B X 证：∵ABCD是平行四边形，且F、H是AB、CD的中点∴CH=AF,∠BCD=∠BAD,且AD=BC ∵△BCX、△DAY是分别以BC、AD为边的等边三角形且E、G分别是AY、XC的中点 ∴∠XCB=∠DAY,CG=AE ∴∠GCH=∠EAF ∴△GCH≌△AEF ∴EF=GH 且∠GHC=∠AFE ∵AB∥CD ∴∠AFH=∠AEF,∠GHF=∠EFH ∴EF∥HG,∴四边形EFGH是平行四边形