应用组合数学
第3讲排列与组合
张坤龙
zhangkl@https://www.doczj.com/doc/2c4941354.html,
目录?排列与组合
?二项式系数
?格路
?应用举例
排列与组合
?排列
–排列，可重复排列，圆排列
?组合
–组合，可重复组合
可重复排列
[定理2] 从n个不同的元素中取r个允许重复的元素按次序排成一列，排列的个数为n r
[例2]具有4位数字的三进制数的个数是多少？
圆排列
[定理3] 从n个不同的元素中，取r个不重复的元素沿一圆周排列，排列的个数为P(n,r)/r个
[例3] 5对夫妇出席一宴会，围一桌坐下，试问有几种不同的方案？若要求每对夫妻相邻又有多少种不同的方案？
组合（续）
[解法1] 进站方案可表示为12300450607089，其中1-9表示人，0表示入口，注意6个入口只用5个0。任意进站方案可表示成上面14个元素的一个排列。对0标号，可产生5!个14个元素的全排列。若设x为所求方案，则x·5!=14!，因此可得：x=14!/5!=726485760
[解法2] 在14个元素的排列中先确定入口的位置，有C(14,5)种选择，再确定人的位置，有9！种选择。故得C(14,5)·9!
[解法3] 把全部选择分解成若干步，使每步宜于计算。1有6种选择；2除可有1的所有选择外，还可（也必须）选择当与1同一入口时在1的前面还是后面，故2有7种选择；3的选择方法同2，故共有8种。以此类推，9有14种选择。故所求方案数为6X7X8X9X11X12X13X14
可重复组合
[定理5] 从n个不同的元素中取r个进行组合，若允许重复，则组合数为C(n+r-1,r)
[证明一] 一一对应，假设a1<=a2 [证明二]n个不同的元素用不同的符号表示，例如3 个元素x 1x2x3中取4个的组合x1x1x1x3。如用n-1个| 分割，该组合可表示为x 1x1x1||x3。这样元素间的 区分可以略去，进一步表示为xxx||x。问题转换成为n-1+r个位置中取r个的组合数。 可重复组合（续） [例5] 试问(x+y+z)4有多少项？ 解：结果是一个4次齐次多项式，每项相当于从3个元素中取4个的可重复组合，例如x2yz中选择2次x，y和z各选一次。可以列出所有的项如下： x4y0z0,x3y1z0,x3y0z1,x2y2z0,x2y1z1,x2y0z2,… +x2+…+x n)r有多少项? 推广到一般情况：(x 1 目录?排列与组合 ?二项式系数 ?格路 ?应用举例 ?二项式定理与二项式系数?恒等式 ?牛顿二项式定理 ?多项式定理与多项式系数 [定理6] 设n 为正整数，则对所有x,y ， k k -n n 0k n y x )y x (∑=????????=+k n [证明] 组合方法，x n-k y k 的系数是在n 个因子(x+y)中选取k 个y 部分。 C (n ,r ) 也称为二项式系数 [证明一] 从n 个元素中取走r 个，余下的元素个数为n -r 个。 [证明二] 展开 C (n ,n -r )?????????=????????r n n r n [证明一] 设n 个元素为a 1,a 2,..,a n,。从n 个元素中取走r 个，就其中元素a 1来看可以分为两类：1）组合中不含有元素a 1; 2）组合中含有元素a 1。 [证明二] 展开等式右边 Pascal 递推关系： C (n ,r )= C (n -1,r ) + C (n -1,r -1)，C (n ,0)=1，C (n ,n )=1 ??? ???????+?????????=????????111r n r n r n [证明一] 设n 个元素中的r 个为a 1,a 2,..,a r,。从n 个元素中取走r 个的组合，或者不含有元素a 1，或者含有元素a 1。对于含有元素a 1的组合，或者不含有元素a 2，或者含有元素a 2，··· [证明二] 反复应用恒等式2 ??? ?????+????????+++??????????++????????+=????????++011111n n r r n r r n r r n L ??? ???????????????=????????????????r k r n r n r k k n [证明一] 注意到等式左边每一个r -集合计算的次数，和包含它的k -集合的次数一样多，而一个k -集合可以以等式右边的方式构造。 [证明二] 展开等式两边 [证明一] 右边是n 个元素的集合的子集的个数。左边则将子集按照其基数划分为n 类。[ 证明二] 利用二项式定理n n n n n n 2210=???? ????++???? ????+???? ????+???? ????L [证明一] n 个元素的集合的子集按基数的奇偶性分为两类。给定元素x ，若包含x 的集合基数为偶数，则从中去掉x ，否则将x 加入其中。 [证明二] 利用二项式定理 0210=??? ?????±?????????+?????????????????n n n n n L 2014年《并行计算系统》复习题 （15分）给出五种并行计算机体系结构的名称，并分别画出其典型结构。 ①并行向量处理机（PVP） ②对称多机系统（SMP） ③大规模并行处理机（MPP） ④分布式共享存储器多机系统（DSM） ⑤工作站机群（COW） （10分）给出五种典型的访存模型，并分别简要描述其特点。 ①均匀访存模型（UMA）： 物理存储器被所有处理机均匀共享 所有处理机访存时间相同 适于通用的或分时的应用程序类型 ②非均匀访存模型（NUMA）： 是所有处理机的本地存储器的集合 访问本地LM的访存时间较短 访问远程LM的访存时间较长 ③Cache一致性非均匀访存模型（CC-NUMA）： DSM结构 ④全局Cache访存模型（COMA）： 是NUMA的一种特例，是采用各处理机的Cache组成的全局地址空间 远程Cache的访问是由Cache目录支持的 ⑤非远程访存模型（NORMA）： 在分布式存储器多机系统中，如果所有存储器都是专用的，而且只能被本地存储机访问，则这种访问模型称为NORAM 绝大多数的NUMA支持NORAM 在DSM中，NORAM的特性被隐匿的 3. （15分）对于如下的静态互连网络，给出其网络直径、节点的度数、对剖宽度，说明该网络是否是一个对称网络。 网络直径：8 节点的度数：2 对剖宽度：2 该网络是一个对称网络 4. （15分）设一个计算任务，在一个处理机上执行需10个小时完成，其中可并行化的部分为9个小时，不可并行化的部分为1个小时。问： （1）该程序的串行比例因子是多少，并行比例因子是多少？ 串行比例因子：1/10 并行比例因子:9/10 如果有10个处理机并行执行该程序，可达到的加速比是多少？ 10/(9/10 + 1) = 5.263 （3）如果有20个处理机并行执行该程序，可达到的加速比是多少？ 10/(9/20 + 1)= 6.897 （15分）什么是并行计算系统的可扩放性？可放性包括哪些方面？可扩放性研究的目的是什么？ 一个计算机系统（硬件、软件、算法、程序等）被称为可扩放的，是指其性能随处理机数目的增加而按比例提高。例如，工作负载能力和加速比都可随处理机的数目的增加而增加。可扩放性包括: 1.机器规模的可扩放性 系统性能是如何随着处理机数目的增加而改善的 2.问题规模的可扩放性 系统的性能是如何随着数据规模和负载规模的增加而改善 3.技术的可扩放性 系统的性能上如何随着技术的改变而改善 可扩放性研究的目的: 确定解决某类问题时何种并行算法与何种并行体系结构的组合，可以有效的利用大量的处理器； 对于运用于某种并行机上的某种算法，根据在小规模处理机的运行性能预测移植到大规模处理机上的运行性能; 对固定问题规模，确定最优处理机数和可获得的最大的加速比 （15分）给出五个基本的并行计算模型，并说明其各自的优缺点。 ①PRAM：SIMD-SM 优点： 适于表示和分析并行计算的复杂性； 隐匿了并行计算机的大部底层细节（如通信、同步），从而易于使用。 缺点： 不适于MIMD计算机，存在存储器竞争和通信延迟问题。 ②APRAM:MIMD-SM 优点： 保存了PRAM的简单性； 可编程性和可调试性（correctness）好； 易于进行程序复杂性分析。 缺点： 不适于具有分布式存储器的MIMD计算机。 ③BSP：MIMD-DM 优点: 把计算和通信分割开来； 使用hashing自动进行存储器和通信管理； 提供了一个编程环境。 缺点： 显式的同步机制限制并行计算机数据的增加； 在一个Superstep中最多只能传递h各报文。 高性能并行计算系统检查点技术与应用 孙国忠 李艳红 樊建平 （中国科学院计算技术研究所 中国科学院研究生院 北京 １０００８０） (sgz@https://www.doczj.com/doc/2c4941354.html,,lyh@https://www.doczj.com/doc/2c4941354.html,,fan@https://www.doczj.com/doc/2c4941354.html,) 摘 要 随着高性能并行计算系统规模越来越大，软件和硬件发生故障的概率随之增大，系统的容错性和可靠性已经成为应用可扩展性的主要限制因素。并行检查点技术可以使系统从故障中恢复并减少计算损失，是高性能计算系统重要的容错手段。本文将介绍检查点技术的背景和定义，研究并行检查点协议的分类，检查点存储技术，以及利用这些协议和技术实现的ＭＰＩ并行检查点系统，最后给出对各个关键技术的详细评价及结论。 关键词 高性能计算；消息传递系统；并行检查点；回滚恢复 中图法分类号 ＴＰ３１ A Survey of Checkpointing Technology and It’s Application for High Performance Parallel Systems Sun Guo-Zhong Li Yan-Hong Fan Jian-Ping (Institute of Computing Technology,Chinese Academy of Sciences/Graduate School of the Chinese Academy of Sciences, Beijing 100080) (sgz@https://www.doczj.com/doc/2c4941354.html, lyh@https://www.doczj.com/doc/2c4941354.html, ｆａｎ＠ｉｃｔ．ａｃ．ｃｎ) Abstract With the scale of high performance parallel computing systems becoming larger,the fault probability of software and hardware in these systems is increased.As a result, issues of fault tolerance and reliability are becoming limiting factors on application scalability.Parallel checkpointing can help fault system recover from fault and reduce the computing losing,and is an important method for tolerating fault of high performance computing system.This paper will discuss the background and definitions of checkpointing,classify of parallel checkpointing protocols, checkpoint storage technology, and several MPI systems adopting these parallel checkpointing protocols.At last we give appraisement of these key technologies and list our conclusions. Key words High Performance Computing; Message Passing System; Parallel Checkpointing ; Rollback Recovery １ 引 言 高性能并行计算领域的容错技术由于以下几种情况而越发受到重视。1）在一台高性能计算机系统中，总的处理器数快速增长。如BlueGene/L 总的处理器有130,000个，有证据表明这样的一台机器几个小时就要有一个处理器失效。虽然处理器总数的提高带来了性能提高，但是也提高了故障点的数目。2）大多数并行计算机系统正在从采用昂贵的硬件系统向低成本、由处理器和光纤网络定制组装的cluster转变，以及采用Internet范围内网格技术来执行程序导致硬件发生故障的概率较高。3）很多科学计算任务被设计成一次运行几天或者几个月，例如ASCI的stockpile certification 程序以及BlueGene当中的ab initio 蛋白质折叠程序将运行几个月。由于应用的运行时间比硬件的平均故障间隔时间(MTBF)长，科学计算程序必须 本课题得到国家高科技发展计划(863)基金支持(2003AA1Z2070)和中国科学院知识创新工程支持(20036040) 具有对硬件故障的容错技术。采用检查点技术恢复应用运行是一种有效的容错方法。 检查点技术除了实现系统容错，还能协助实现灵活的作业调度。例如，拥有高性能计算系统的气象局要在每天的固定时段加载资源独占作业进行气象预报或者运行紧急作业，需要暂停原来运行的其它作业。因此必须记录原来作业的检查点并在完成紧急作业后恢复运行。 可见，采用检查点技术可以实现系统容错，实现灵活的作业调度以及提高资源利用率。本文将通过对各种并行检查点技术的分析比较，呈现出高性能并行计算系统检查点机制的发展状况，存在的问题和研究前景。 ２背景和定义 检查点技术在各个领域都进行了广泛研究，如硬件级指令重试、分布式共享内存系统、系统调试、实时系统等。本文侧重于高性能并行计算系统，主要包括ＭＰＰ、Ｃｌｕｓｔｅｒ。这些系统的进程之间通过消息传递实现通信，本文中也称为消息传 1在并行机系统中，主流操作系统有UNIX/Linux，AIX(IBM)，HPUX(HP)，Solaris(SUN)，IRIX(SGI)等。 2 常用的并行算法设计的基本技术有划分，分治，倍增，流水域，破对称，平衡 树等设计技术。 3 Matlab并行程序编写过程分为创建对象，创建工作，指定工作任务，提交工作，等待和返回计算任务结果六步。 1. 云计算是对（ D ）技术的发展与运用 A. 并行计算 B网格计算 C分布式计算 D三个选项都是 2. IBM在2007年11月退出了“改进游戏规则”的（ A ）计算平台，为客户带来即买即用的云计算平台。 A. 蓝云 B. 蓝天 C. ARUZE D. EC2 3. 微软于2008年10月推出云计算操作系统是（ C ） A. Google App Engine B. 蓝云 C. Azure D. EC2 4. 2008年，（ A ）先后在无锡和北京建立了两个云计算中心 A. IBM B. Google C. Amazon D. 微软 5. 将平台作为服务的云计算服务类型是（ B ） A. IaaS B.PaaS C.SaaS D.三个选项都不是 6. 将基础设施作为服务的云计算服务类型是（ A ） A. IaaS B.PaaS C.SaaS D.三个选项都不是 7. IaaS计算实现机制中，系统管理模块的核心功能是（ A ） A. 负载均衡 B 监视节点的运行状态 C应用API D. 节点环境配置 8. 云计算体系结构的（ C ）负责资源管理、任务管理用户管理和安全管理等工作 A.物理资源层 B. 资源池层 C. 管理中间件层 D. SOA构建层 9. 下列不属于Google云计算平台技术架构的是（ D ） A. 并行数据处理MapReduce B.分布式锁Chubby C. 结构化数据表BigTable D.弹性云计算EC2 10. 在目前GFS集群中，每个集群包含（ B ）个存储节点 A.几百个 B. 几千个 C.几十个 D.几十万个 11. 下列选项中，哪条不是GFS选择在用户态下实现的原因（ D ） A.调试简单 B.不影响数据块服务器的稳定性 C. 降低实现难度，提高通用性 D. 容易扩展 12. GFS中主服务器节点存储的元数据包含这些信息（ BCD ） A.文件副本的位置信息 B.命名空间 C. Chunk与文件名的映射 D. Chunk副本的位置信息 13. 单一主服务器（Master）解决性能瓶颈的方法是（ ABCD ） A.减少其在数据存储中的参与程度 B. 不适用Master读取数据 C.客户端缓存元数据 D. 采用大尺寸的数据块 14. （ B ）是Google提出的用于处理海量数据的并行编程模式和大规模数据集的并行运算的软件 架构。 A. GFS B.MapReduce C.Chubby D.BitTable 15. Mapreduce适用于（ D ） A. 任意应用程序 B. 任意可在windows servet2008上运行的程序 C.可以串行处理的应用程序 D. 可以并行处理的应用程序 第１题（1）什么是并行计算（2）它的优点有哪些（3）可以通过哪些结构完成并行计算 1．并行计算就是在并行计算或分布式计算机等高性能计算系统上所做的超级计算。（P3） 2．计算极大地增强了人们从事科学研究的能力，大大地加速了把科技转化为生产力的过程，深刻地改变着人类认识世界和改造世界的方法和途径。计算科学的理论和方法，作为新的研究手段和新的设计与创造技术的理论基础，正推动着当代科学与技术向纵深发展。（P4） 3．单指令多数据流SIMD、对称多处理机SMP、大规模并行处理机MPP、工作站机群COW、分布共享存储DSM多处理机。（P22） 第2题什么是网络计算它的特点它与分布式计算、集群计算的关系（P104） 网络计算：在工作站机群COW环境下进行的计算称为网络计算。 特点：网络计算结合了客户机/服务器结构的健壮性、Internet面向全球的简易通用的数据访问方式和分布式对象的灵活性，提供了统一的跨平台开发环境，基于开放的和事实上的标准，把应用和数据的复杂性从桌面转移到智能化的网络和基于网络的服务器，给用户提供了对应用和信息的通用、快速的访问方式。 与分布式计算、集群计算的关系： 分布式计算是一门计算机科学，它研究如何把一个需要非常巨大的计算能力才能解决的问题分成许多小的部分，然后把这些部分分配给许多计算机进行处理，最后把这些计算结果综合起来得到最终的结果。 集群计算是使用多个计算机，如典型的个人计算机或UNIX工作站；多个存储设备；冗余互联，来组成一个对用户来说单一的高可用性的系统。 因此，网络计算与分布式计算和集群计算都是属于计算密集型，数据密集型和网络密集型应用。 第3题表征并行系统的性能指标有哪些并行系统的加速比如何定义它能否完全确定系统的性能为什么 a.表征并行系统的性能指标主要有：CPU和存储器的基本性能指标，通信开销以及系统机器的成本、价格与性价比， 还有系统加速比和系统可扩放性（p88页）；其中CPU和存储器的基本性能指标包括：工作负载，并行执行时间，存储器的层次结构和存储器的带宽。 b.并行系统的加速比，是指对于一个给定的应用，并行算法的执行速度相对于串行算法的执行速度另快了多少倍。 c.加速比并不能完全确定系统的性能；因为评价并行计算性能的指标，除了加速比外，并行计算的可扩放性也是主要 性能指标之一即并行系统性能随处理器数的增加而按比例提高的能力。（个人理解的，大家参考第三章吧~） 第4题节点度的定义它在并行计算中的作用。（第9页）作用：百度也没找到答案。 定义：射入或射出一个节点的边数称为节点度。在单向网络中，入射和出射边之各称为节点度。 第5题等效率函数的定义、作用及应用。（P89）并行计算-练习题
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