2011年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）
文科数学
本试卷分第I 卷和第II 卷两部分，共4页，满分150分。考试用时120分钟，考试结束后，
将本试卷和答题卡一并交回。 注意事项：
1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、准考证证、县区和科类填
写在答题卡和试卷规定的位置上。 2．第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案不能答在试卷上。 3．第II 卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位
置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂
改液、胶带纸、修正带。不按能上能下要求作答的答案无效。
4．填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 参考公式：
柱体的体积公式：V Sh =，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高。 圆柱的侧面积公式：S cl =，其中c 是圆柱的底面周长，l 是圆柱的母线长。 球的体积公式：3
43
V R π=
，其中R 是球的半径。
球的表面积公式：24S R π=，其中R 是球的半径。
用最小二乘法求线性回归方程系数公式：1
2
2
4
1
??,n
i
i
i n
i x y
n x y
b
a
y b x x
n x
==-==--∑∑， 如果事件A 、B 互斥，那么P （A+B ）=P （A ）+P （B ）
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共l0小题．每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是
满足题目要求的． 1．设集合 M ={x|（x+3）（x-2）<0}，N ={x|1≤x ≤3},则M ∩N = A ．[1,2） B ．[1,2] C ．（ 2,3] D ．[2,3]
2．复数z=22i i
-+（i 为虚数单位）在复平面内对应的点所在象限为
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
3．若点（a,9）在函数3x
y =的图象上，则tan=6
a π的值为
A ．0
B ．
33
C ．1
D ．3
4．曲线211y x =+在点P （1，12）处的切线与y 轴交点的纵坐标是
A ．-9
B ．-3
C ．9
D ．15
5．已知a ，b ，c ∈R ，命题“若a b c ++=3，则222a b c ++≥3”，的否命题是 A ．若a +b+c≠3，则222a b c ++<3 B ．若a+b+c=3，则222a b c ++<3 C ．若a +b+c≠3，则222a b c ++≥3
D ．若222a b c ++≥3，则a+b+c=3
6．若函数()sin f x x ω= （ω>0）在区间0,
3π??
???
?
上单调递增，在区间
,32ππ??
????
上单调递减，则ω=
A ．
23
B ．
32
C ．2
D ．3
7．设变量x ，y 满足约束条件250
200x y x y x +-≤??
--≤??≥?
，则目标函数231z x y =++的最大值为
A ．11
B ．10
C ．9
D ．8．5 8．某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表
广告费用x （万元） 4 2 3 5 销售额y （万元）
49
26
39
54
根据上表可得回归方程???y
bx a =+中的?b 为9．4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为
A ．63．6万元
B ．65．5万元
C ．67．7万元
D ．72．0万元
9．设M （0x ，0y ）为抛物线C ：2
8x y =上一点，F 为抛物线C 的焦点，以F 为圆心、FM 为
半径的圆和抛物线C 的准线相交，则0y 的取值范围是
A ．（0，2）
B ．[0，2]
C ．（2，+∞）
D ．[2，+∞）
10．函数2sin 2
x y x =-的图象大致是
11．下图是长和宽分别相等的两个矩形．给定下列三个命题：①存在三棱柱，
其正（主）视图、俯视图如下图；②存在四棱柱，其正（主）视图、俯
视图如下图；③存在圆柱，其正（主）视图、俯视图如下图．其中真命 题的个数是 A ．3 B ．2
C ．1
D ．0
12．设1A ，2A ，3A ，4A 是平面直角坐标系中两两不同的四点，若1312A A A A λ=
（λ∈R ），
1412
AA AA μ=
（μ∈R ），且
1
1
2λ
μ
+
=,则称3A ，4A 调和分割1A ，2A ,已知点C （c ，o ）,D
（d ，O ） （c ，d ∈R ）调和分割点A （0，0），B （1，0），则下面说法正确的是 A ．C 可能是线段AB 的中点 B ．D 可能是线段AB 的中点
C ．C ，
D 可能同时在线段AB 上
D ．C ，D 不可能同时在线段AB 的延长线上
第II 卷（共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．
13．某高校甲、乙、丙、丁四个专业分别有150、150、400、300名学生，
为了解学生的就业倾向，用分层抽样的方法从该校这四个专业共抽 取40名学生进行调查，应在丙专业抽取的学生人数为 ． 14．执行右图所示的程序框图，输入l =2，m=3，n=5，则输出的y 的值
是 15．已知双曲线
222
2
1(0b 0)x y a a
b
-
=＞，＞和椭圆
2
2
x
y
=116
9
+
有相同的
焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程 为 ．
16．已知函数f x （）=log (0a 1).a x x b a +-≠＞，且当2＜a ＜3＜b ＜4时，函数f x （）的零点
*
0(,1),,n=x n n n N ∈+∈则 ．
三、解答题：本大题共6小题，共74分． 17．（本小题满分12分）
在?ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知cos A -2cos C
2c-a =cos B
b
．
（I ）求
sin sin C A
的值；
（II ）若cosB=14
，5b ABC 的周长为，求的长.
18．（本小题满分12分）
甲、乙两校各有3名教师报名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女．
（I ）若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师性别相同的概率；
（II ）若从报名的6名教师中任选2名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师来自同一
学校的概率．
19．（本小题满分12分）
如图，在四棱台1111ABC D A B C D -中，1D D ⊥平面A B C D ，底面A B C D 是平行四边形，AB=2AD ，11A D =A B ，B A D =∠60° （Ⅰ）证明：1AA BD ⊥；
（Ⅱ）证明：11C C A BD ∥平面．
20．（本小题满分12分）
等比数列{}n a 中，123,,a a a 分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且123,,a a a 中的
任何两个数不在下表的同一列．
第一列 第二列 第三列 第一行 3 2 10 第二行 6 4 14 第三行
9
8
18
（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）若数列{}n b 满足：(1)ln n n n n b a a =+-，求数列{}n b 的前2n 项和2n S ．
21．（本小题满分12分）
某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：米），其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的体积为
803
π立方米，且2l r ≥．假设该容器的建
造费用仅与其表面积有关．已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为(3)c c ＞．设该容器的建造费用为y 千元． （Ⅰ）写出y 关于r 的函数表达式，并求该函数的定义域； （Ⅱ）求该容器的建造费用最小时的r ．
22．（本小题满分14分）
在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆2
2
:
13
x
C y +=．如图所示，斜率为(0)k k ＞且不
过原点的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，线段AB 的中点为E ，射线O E 交椭圆C 于点G ，交直线3x =-于点(3,)D m -． （Ⅰ）求22
m k +的最小值； （Ⅱ）若2
OG
OD =?O E ，
（i ）求证：直线l 过定点；
（ii ）试问点B ，G 能否关于x 轴对称？若能，求出此时A B G 的外接圆方程；若不能， 请说明理由．
参考答案
一、选择题
ADDCABBBCCAD 二、填空题
13．16 14．68 15．2
2
14
3
x
y
-
= 16．2
三、解答题 17．解：
（I ）由正弦定理，设
,sin sin sin a b c k A
B C =
=
=
则
22sin sin 2sin sin ,sin sin c a k C k A
C A
b
k B
B ---=
=
所以
cos 2cos 2sin sin .cos sin A C
C A
B
B
--=
即(cos 2cos )sin (2sin sin )cos A C B C A B -=-， 化简可得sin()2sin().A B B C +=+ 又A B C π++=， 所以sin 2sin C A = 因此
sin 2.sin C A
= （II ）由
sin 2sin C A
=得
2.c a =
由余弦定得及1cos 4
B =
得
2
2
2
2
2
2
22cos 1444
4.
b a
c ac B a a a a =+-=+-?=
所以2.b a = 又5,a b c ++= 从而1,a =
因此b=2。 18．解：（I ）甲校两男教师分别用A 、B 表示，女教师用C 表示；
乙校男教师用D 表示，两女教师分别用E 、F 表示
从甲校和乙校报名的教师中各任选1名的所有可能的结果为： （A ，D ）（A ，E ），（A ，F ），（B ，D ），（B ，E ），（B ，F ），（C ，D ），（C ，E ），（C ，F ）共9种。
从中选出两名教师性别相同的结果有：（A ，D ），（B ，D ），（C ，E ），（C ，F ）共4种，
选出的两名教师性别相同的概率为4.9P =
（II ）从甲校和乙校报名的教师中任选2名的所有可能的结果为：
（A ，B ），（A ，C ），（A ，D ），（A ，E ），（A ，F ），（B ，C ），（B ，D ），（B ，E ），（B ，F ）， （C ，D ），（C ，E ），（C ，F ），（D ，E ），（D ，F ），（E ，F ）共15种， 从中选出两名教师来自同一学校的结果有： （A ，B ），（A ，C ），（B ，C ），（D ，E ），（D ，F ），（E ，F ）共6种， 选出的两名教师来自同一学校的概率为62.15
5
P ==
19．（I ）证法一：
因为1D D ⊥平面ABCD ，且BD ?平面ABCD ， 所以1D D BD ⊥，
又因为AB=2AD ，60B A D ∠=?， 在ABD ?中，由余弦定理得
2
2
2
2
2cos 603BD AD AB AD AB AD =+-??=，
所以222AD BD AB +=， 因此AD BD ⊥， 又1,AD D D D = 所以11.BD AD
D A ⊥平面
又1A A ?平面ADD 1A 1， 故1.AA BD ⊥ 证法二：
因为1D D ⊥平面ABCD ，且BD ?平面ABCD ， 所以1.BD D D ⊥
取AB 的中点G ，连接DG ，
在ABD ?中，由AB=2AD 得AG=AD ， 又60B A D ∠=?，所以A D G ?为等边三角形。 因此GD=GB ， 故D BG G D B ∠=∠， 又60A G D ∠=? 1,
D D ∠?∠∠∠???⊥= 所以GDB=30,
故ADB=ADG+GDB=60+30=90,所以BD AD.又AD D
所以B D ⊥平面ADD 1A 1， 又1A A ?平面ADD 1A 1， 故1.AA BD ⊥
（II ）连接AC ，A 1C 1，
设AC BD E = ，连接EA 1
因为四边形ABCD 为平行四边形， 所以1.2E C A C =
由棱台定义及AB=2AD=2A 1B 1知 A 1C 1//EC 且A 1C 1=EC ，
所以边四形A 1ECC 1为平行四边形， 因此CC 1//EA 1，
又因为EA 1?平面A 1BD ，1C C ?平面A 1BD ， 所以CC 1//平面A 1BD 。
20．解：（I ）当13a =时，不合题意；
当12a =时，当且仅当236,18a a ==时，符合题意； 当
1
10a =时，不合题意。
因此1232,6,18,a a a === 所以公式q=3， 故123.n n a -=?
（II ）因为(1)ln n n n n b a a =+-
11
11
23(1)(23
)
23(1)[ln 2(1)ln 3]23
(1)(ln 2ln 3)(1)ln 3,
n n n n n
n n
n
n n ----=?+-?=?+-+-=?+--+-
所以
212221
22(133
)[111(1)
](ln 2ln 3)
n n n n
S b b b -=+++=++++-+-++--
2|[123(1)2]ln 3n
n -+-++-
2213
2ln 3
13
3
ln 3 1.
n
n
n n -=?+-=+-
21．解：（I ）设容器的容积为V ，
由题意知2
3
480,,3
3
V r l r V πππ=+
=
又
故3
22
24
804420
3
()33
3V r
l r r r
r
r
ππ-
==
-
=
- 由于2l r ≥
因此0 2.r <≤
所以建造费用2
2
24202342()34,3y rl r c r r r c r
ππππ=?+=?-?+ 因此2
1604(2),0 2.y c r r r
ππ=-+
<≤ （II ）由（I ）得3
2
2
1608(2)
20'8(2)(),0 2.2
c y c r r r r
r
c πππ-=--
=
-
<<-
由于3,20,c c >->所以
当3
3
20200,.2
2
r r c c -
==
--时
令3
20,2
m c =-则
所以22
2
8(2)
'()().c y r m r rm m r
π-=
-++ （1）当9022
m c <<>
即时，
∈∈当r=m 时,y'=0;
当r (0,m)时,y'<0;当r (m,2)时,y'>0.
所以r m =是函数y 的极小值点，也是最小值点。 （2）当2m ≥即932
c <≤
时，
当(0,2),'0,r y ∈<时函数单调递减， 所以r=2是函数y 的最小值点， 综上所述，当932
c <≤
时，建造费用最小时2;r =
当92
c >时，建造费用最小时3
20.2
r c =
-
22．（I ）解：设直线(0)l y kx t k =+>的方程为，
由题意，0.t >
由方程组22
,
1,3y kx t x y =+??
?+=??得 2
2
2
(31)6330k x ktx t +++-=，
由题意0?>， 所以22
31.k t +> 设1122(,),(,)A x y B x y ， 由韦达定理得122
6,31
kt x x k +=-+
所以122
2.31
t y y k +=
+
由于E 为线段AB 的中点， 因此2
2
3,,31
31
E E kt t x y k k =
=
++
此时1.3E O E E
y k x k
=
=-
所以OE 所在直线方程为1,3y x k
=-
又由题设知D （-3，m ）， 令x=-3，得1m k
=，
即mk=1，
所以2222,m k m k +≥=
当且仅当m=k=1时上式等号成立， 此时 由0?>得02,t << 因此 当102m k t ==<<且时，
2
2
m k +取最小值2。
（II ）（i ）由（I ）知OD 所在直线的方程为1,3y x k
=-
将其代入椭圆C 的方程，并由0,k >
解得2
2
31(,)31
31
k G k k -
++ 又2
2
31(,),(3,)3131
k
t
E D k k k
-
-++，
由距离公式及0t >得
2
2
2
2
2
2
2
2
22
2
2
2
2
2
23191||()(),
31
31
31
1
91||(3)(),
391||()(
),
31
31
31
k k O G k k k k O D k k kt t t k O E k k k +=-
+=
++++=
-+=
+=-
+=+++
由2
||||||,OG OD OE t k =?=得 因此，直线l 的方程为(1).y k x =+ 所以，直线(1,0).l -恒过定点
（ii ）由（i ）得2
2
31(,
)31
31
k G k k -++
若B ，G 关于x 轴对称，
则2
2
31(,).31
31
k B k k -
-
++
代入22(1)3131,y k x k k k =+-=+整理得 即426710k k -+=， 解得216k =
（舍去）或21,k =
所以k=1， 此时3131
(,),(,)2
222
B G -
--
关于x 轴对称。 又由（I ）得110,1,x y ==所以A （0，1）。
由于A B G ?的外接圆的圆心在x 轴上，可设A B G ?的外接圆的圆心为（d ，0）， 因此2
2
3111(),,2
4
2
d d d +=+
+
=-
解得
故A B G ?的外接圆的半径为2
512
r d =+=
，
所以A B G ?的外接圆方程为2
2
15().2
4
x y +
+=