本科生毕业论文
（申请学士学位）
论文题目傅里叶级数与傅里叶变换的关系与应用
学生：（签字）
学号：2012220146
论文答辩日期：2014年x月xx日
指导教师：（签字）
目录
摘要： (1)
关键词 (1)
Abstract (1)
1绪论 (1)
2傅里叶级数的概念 (2)
2.1周期函数 (2)
2.2傅里叶级数的定义 (3)
3 傅里叶变换的概念及性质 (11)
3.1傅里叶变换的概念 (11)
3.2傅立叶变换的性质 (12)
4傅里叶变换与傅里叶级数之间的区别与联系 (12)
5傅里叶级数和傅里叶变换的应用 (13)
5.1傅里叶级数的应用 (13)
5.2傅里叶变换的应用 (14)
参考文献 (16)
傅里叶级数与傅里叶变换的关系与应用
摘要：傅里叶级数是对周期性现象做数学上的分析，而傅里叶变换则可以看作傅里叶级数的极限形式，它也可以看作是对周期现象进行数学上的分析。除此之外，傅里叶变换还是处理信号领域的一种很重要的算法。
傅里叶变换是一种分析信号的方法，它可分析信号的成分，也可用这些成分合成信号。很多波形可以作为信号的成分，例如余弦波，方波，锯齿波等等，傅里叶变换作为信号的成分。在电子类学科，物理学科，信号处理学科等众多领域都有着广泛的应用。
傅里叶级数针对的是周期性函数，傅里叶变换针对的是非周期性函数，它们在本质上都是一种把信号表示成复正选信号的叠加，存在相似的特性。
关键词：傅里叶级数；傅里叶变换；周期性
Fourier series And Fourier Transforms
Abstract: Fourier series is made mathematical analysis to cyclical phenomenon, and Fourier transform can be seen as the limit form of Fourier series, it also can be regarded as a mathematical analysis of cycle phenomenon. In addition, the Fourier transform is a kind of very important in the field of signal processing algorithms.
Fourier transform is a method of signal analysis, it can analyze signal component, also can use these ingredients synthetic signal. Many waveform can be used as a signal of ingredients, such as cosine wave, square wave, sawtooth wave, etc., the Fourier transform as a signal of composition. In electronics disciplines, physics, signal processing disciplines etc many fields have a wide range of applications.
Fourier series is for periodic function, Fourier transform for is a periodic function, they are in essence a kind of papers said the signal into a complex signal superposition, similar features.
Key words: Fourier series; Fourier Transform; Periodic
1绪论
傅里叶级数是法国数学家J.-B.-J.傅里叶在研究偏微分方程的边值问题时提出来的，从而极大的推动了偏微分方程理论的发展，在数学物理以及工程中都具有重要的应用。积分变换起源于19世纪的运算危机，英国著名的无线电工程师海维赛德（O .Heaviside）在用它求解电工学、物理学领域中的线性微分方程的过程中逐步形成一种所谓的符号法，后来符号法又演变成今天的积分变化法。
所谓积分变换，就是把某函数类A 中的函数()f x 乘上一个确定的二元函数(,)k x s ，然后计算积分，即
()()(,)b
a
F s f x k x s dx =?
这样变成了另一个函数类B 中的函数()F s ，这里的二元函数(,)k x s 是一个确定的二元函数，通常称为该积分变换的核，()f x 称为象原函数，()F s 称为()f x 的象函数，当选取不同的积分域和核函数，就得到不同名称的积分变换。
傅里叶级数对周期性现象做数学上的分析，而傅里叶变换则可以看作傅里叶级数的极限形式，它也可以看作是对周期现象进行数学上的分析。除此之外，傅里叶变换还是处理信号领域的一种很重要的算法。要想了解傅里叶变换算法的内涵，首先要了解傅里叶原理的内涵。傅里叶原理表明：对于任何连续测量的数字信号，都可以用不同频率的正弦波信号的无限叠加来表示。
傅里叶变换是一种分析信号的方法，它可分析信号的成分，也可用这些成分合成信号。很多波形可以作为信号的成分，例如余弦波，方波，锯齿波等等，傅里叶变换作为信号的成分。在电子类学科，物理学科，信号处理学科等众多领域都有着广泛的应用。
傅里叶级数针对的是周期性函数，傅里叶变换针对的是非周期性函数，它们在本质上都是一种把信号表示成复正选信号的叠加，存在相似的特性。
2傅里叶级数的概念
2.1周期函数
我们把凡是满足以下关系式：
)()(x f T x f =+ （T 为常数） （2.1.1）
的函数，都称为周期函数。
周期定义：
（1） 满足式（1.1.1）的T 值中的最小正数，即为该函数的周期； （2） 一个常数以任何正数为周期。
基本三角函数系：按某一规律确定的函数序列称为函数系。如下形式的函数系： 1，x l
π
cos
，x l πsin
，x l π2cos ，x l π2sin ，…，x l k πcos ，x l
k πsin ，… （2.1.2）
称为基本三角函数系。所有这些函数具有各自的周期，例如x l k πcos
和x l k πsin 的周期为k
l 2，但它们的共有周期为l 2（即所有周期的最小公倍数）。通常这个周期命名为函数系的周期。所以式
（1.1.2）的三角函数系的周期为l 2。
2.2傅里叶级数的定义
傅里叶级数是一类特殊的函数项级数，对周期性现象进行数学上的分析，其在理论和应用上都有重要价值。
2.2.1 三角级数、三角函数及其正交性
在物理学中，我们知道，简谐振动是一种简单的周期运动，而在简谐振动中，一种标准而简单的简谐振动可由下面函数描述
sin()n n n y A nx =+?， （1）
我们不难看出，更一般的简谐振动
sin(wx )y A =+?，
可通过适当的变换为（1），将无穷多个如（1）式那样的简谐振动叠加，便得到函数项级数
01
sin()n n
n A A nx ∞
=++?
∑ （2）
如果（2）式收敛到函数,即
01
()sin()n n
n f x A A nx ∞
==+
+?
∑
（3）
则易见()f x 是周期为2T
t x π
=
的函数，从()f x 的角度看，如果（3）式成立((,)x ∈-∞+∞)，则我们便将更一般或更复杂的周期为2π的函数()f x 分解为简单标准的简谐振动的叠加，这对研究
()f x 的各种性质带来了很大的方便。于是，我们自然提出以下问题：什么条件下我们可以将一个
周期为2π的函数()f x 表示成如(1)式那样简单，标准的简谐振动的叠加?即什么条件下(3)式成立?更一般地，什么条件下可以将一个周期为T 的函数表示成简谐振动的叠加？设g(t)周期为T ，则只要令2T
t x π
=
,就有
()(
)()2T
g t g x f x π
== 则()f x 周期为2π，所以我们只要讨论前一个问题就行了。 为了数学推导和理论研究方便，我们将级数(2)作如下变形
01
sin()n n n A A nx ∞
=++?∑
=01
sin cos cos sin n n
n n n A A nx A nx ∞
=+
?
+?∑
令 0
0,s i n ,c o s ,1,2,...
2
n n n n n n a A A a A b n =?=?== 则
01
sin()n n
n A A nx ∞
=+
+?
∑
=01
(cos sin )2n n n a a nx b nx ∞
=++∑
称级数
01
(cos sin )2n n n a a nx b nx ∞
=++∑ (4)
为三角级数，称级数(4)的部分和
01
(cosk sink )2k k k a a x b x ∞
=++∑ (5)
为三角多项式，后面我们将看到，将常数项记为0
2
a 的形式，是为了使(0,1,2,)n a n =???有统一的表达式。
我们通过简单的计算可知，三角函数系
1,cosx,sinx,cos 2x,sin 2x,,cosnx,sinnx,?????? (6)
具有以下性质
cos sin 0nxdx nxdx π
π
π
π
-
-==?? (7)
cos cos 0()mx nxdx m n π
π-
=≠? (8)
sin sin 0()mx nxdx m n π
π-
=≠? (9)
cos sin 0mx nxdx π-
=? (10)
即三角函数系（6）中任何两个不同函数的乘积在[],ππ-上积分为0，我们称这一性质为三角函数系(1)的正交性。也称(6)为正三角函数系。从后面的推导我们也看到，三角函数系(6)的正交性在三角级数研究中扮演了重要的角色。
另外，我们还有
222c o s s i n (1,2,
),12n x d x n x d x
n d x π
π
π
π
π
π
ππ-
--===???=??
? (11)
2.2.2周期为2π的函数的傅里叶级数
设函数()f x 能够表示成三角级数(4)，即
(
)f x =01
(cos sin )2n n n a a nx b nx ∞
=++∑ (12) 并且(12)式右边级数在(,)-∞+∞上一致收敛，则有如下关系式：
1
()cos n a f x nxdx π
ππ
-
=? , n=0,1,2,… (13a)
1
()sin n b f x nxdx π
ππ
-
=
? , n=0,1,2,… (13b) 证明：由定理条件，对（12）式逐项积分可得：
()f x dx π
π-
?
= 0
1
(cos sin ).2
n n n a
dx a nxdx b nxdx π
ππ
π
π
π
∞
-
--=++∑???
由关系式
cos sin 0n nxdx b nxdx π
π
π
π
-
-==??知，上式右边括号内的积分都等于零，所以
0()22
a f x dx a π
π
ππ-
=?=? 即得
01
()a f x dx π
ππ
-
=
? 现以cos tx 乘（12）式两边（t 为正整数），得
1
()cos cos (cos cos sin cos )2n n n a f x tx tx a nx tx b nx tx ∞===++∑ （14）
由级数（12）一致收敛，可以推出级数（14）也一致收敛。现在对级数（14）逐项求积，有
()cos f x txdx π-
?
=0
1
cos (cos cos sin cos )2
n n n a
txdx a nx txdx b nx txdx πππ
πππ∞
-
-
-
=++∑???
由三角函数的正交性，右边除了以t a 为系数的那一项积分2cos txdx π
π
π-
=?外，其他各项积分
都等于零，于是得出
()cos (1,2,)t
f x txdx a t π
ππ-
==????
即
1
()cos (1,2,)t a f x txdx t π
ππ
-
=
=????
同理，（12）式两边乘以sin tx ，并逐项求积，可得
1
()sin (1,2,)t b f x txdx t π
ππ
-
=
=???? 一般的说，若f 是以2π为周期且在[,]ππ-上可积分的函数，则按公式（13）计算出的n a 和n
b 叫做函数f 的傅里叶级数，记作
01
()~cos sin )2n n n a f x a nx b nx ∞
=++∑
这里的“~”表示上式右边是左边函数的傅里叶级数。
2.2.3周期为l 的函数的傅里叶级数
设f 是以2l 为周期的函数，通过变量置换
x
t l π=
可以把f 变成以2π为周期的t 的函数()()lt
F t f π
=.若f 在[],l l -上可积，则F 在[],ππ-上也可
积，这时函数F 的傅里叶级数展开式是
()01
()~cos sin 2n n n a F t a nt b nt ∞
=++∑ (1)
其中
1
()cosntdt n a F t π
ππ
-
=
? n=0,1,2…
(2) 1
()sinntdt n b F t π
ππ
-
=
? n=1,2…
因为x
t l
π=
，所以()()()lt
F t f f x π
==。于是由（1）与（2）式分别得
01()~cos sin 2n n n a n x n x f x a b l l ππ∞=??
++ ???
∑ (3）
与
1()cos l n l n x
a f x dx l l π-=
? , n=0,1,2… (4) 1()sin l n l n x b f x dx l l
π-=
? , n=1,2… 这里（4）式是以2l 为周期的函数f 的傅里叶级数，（3）式是f 的傅里叶级数.
2.2.4傅里叶级数的性质
1、 收敛性
定理 傅里叶级数的收敛准则——狄利克雷（Dirichlet ）定理
若 （1）)(x f 在[]l l ,-[]l l ,-上或者连续，或者只有有限个间断点，在间断处函数的左、右极限都存在；
（2）)(x f 在[]l l ,-上只有有限个极大值点与极小值点； （3）)(x f 在[]l l ,-外是周期函数，其周期为2l ，则级数
[]在连续处
在间断处);()0()0(2
1
10{)sin cos (2x f x f x f k k k x l k b x l k a a -++∞==++∑ππ （1） 证明
=)(x S n )sin cos (210x l
k b x l k a a k n
k k π
π++∑=
=ξπ
ξππξπξd x l k l k x l k l k f l l l n k ?∑-=??
??????? ??++1sin sin cos cos 21)(1 =ξξπξd x l k f l l l n k ?∑-=??????-+1)(cos 21)(1 =
ξπξπξξd l
x l x n f l l l
?---+2)(sin
2)()
21sin()(1
因为
)(2
sin )21
sin(21lim x x
x n n δπ=+∞→ 及
)(1
)(x a
ax δδ=
所以
[]?∑--++∞→∞=???=-==++l l x f x f x f n n k k k d x f x S x l k b x l k a a )()0()0(2
1
10)()()(lim )sin cos (2ξξδξπ
π 证毕 例：试将锯齿波x x f =)(在区间[]l l ,-上[]l l ,-展开为傅里叶级数。
解：我们要将)(x f 在[]l l ,-之外视作是2l 的周期函数，由傅里叶级数公式可得：
0c o s 1≡=?-ξξπ
ξd l
k l a l l k （k =0,1,2,…）
及
??==
-π
πξξπξk l l k ydy y k l l d l k l b 0
2sin )(2sin 1 =[]102
)1(2cos sin )
(2+-=-k k k l y y y k l πππ （k =1,2,3，…） 因此，所求级数为
x l
k k l
x f k k π
πsin )1(2)(11∑∞
=+-= （2）
由于x =0是)(x f 的连续点，所以上式两边可划等号。事实上，也正是如此，可代入数字验证。 而x =l 是)(x f 间断点，由定义可知
l l f l l f =--=+)0(,)0(
按收敛准则，)(x f 傅里叶级数在间断点处应收敛到
[]0)0()0(2
1
=-++l f l f 事实上，以x =l 代入级数（2），得级数和为零。
必须注意，狄利克雷定理中加在)(x f 上的条件（1）和（2）是充分的，但不是必要的。在实际中这些条件通常是满足的，目前还不知道傅里叶级数收敛的必要且充分的条件是什么。值得注意
的是，单从)(x f 的连续性考虑还不能保证傅里叶级数收敛。 2、 积分
定理2 如果)(x f 在区间[]l l ,-上分段连续，其傅里叶级数为
)sin cos
()(1
x l
k b x l k a x f k k k ππ+=∑∞
= 则
F )cos sin ()(21)()(1
x l k b x l k a k l dx x xf l dt t f x k k l l k x
l
π
ππ-+-==
?∑?
-∞=- （3）
证明
k k k k k x
l
k b k l
x l k b x l k a k l dt t f ππππ∑?
∑∞=-∞
=-+-=1
1)1()cos sin ()( （4）
利用公式（2），得
k l l k k b k l dx x xf l π2)1()(11
1?∑-∞
=+-= （5） 上式代入式（4），即得所证。 如果原级数中00≠a ，只要用??
?
???-
2)(0a x f 代替公式（4）中的)(x f 即可。
3微分
定理3 若)(x f 在[]l l ,-上连续，又)('x f 绝对可积，则有
)sin cos (2)(10'
x l
k B x l k A A x f k k k π
π++=∑∞=
}sin cos )1({21x l k a l k x l k c b l k c k k k k ππππ-??
????-++=∑∞= （6） 其中[])()(1
l f l f l
c --=
。 利用求系数公式及分部积分，可以证明
c b l k A k k k )1(-+=
π
（k =0,1,2，…） k k a l
k B π
-= （k =1,2,3，…） 如果)1()(-=f l f ，则)('
x f 的傅里叶级数可通过对)(x f 的傅里叶级数进行逐项求导而得，即
)sin cos (
)(1
x l
k a l k x l k b l k x f k k k ππππ-=∑∞
= （7） 微分与积分大不相同，例如考虑下列函数（锯齿波）：
x x f =)( )(l x l <<-
的傅里叶级数为
x l
k k x k k ππsin 1)
1(21
1+∞
=∑-= （9.3.7） 对上式逐项微分得
x l
k k k π
cos
)1(211
1∑∞
=+-= 于是得到不收敛的级数
其次，再考虑三角波
x x f =)( )(l x l <<-
它的傅里叶级数
x l k k l
l x k π
π)12(cos )
12(14202
2
++-=∑∞
= 是一个收敛得相当快的级数，且在[]l l ,-上一致收敛。对上式逐项微分得
x l k k x f k ππ)12(s i n )12(14
)(0'
++=
∑∞
= 上式正是方波
{
)0(,1)
0(,1')(l x x l x f <<<<--=
的傅里叶级数。事实上，三角波得导数正数方波。
从上面的例子可知，与积分相反，微分之后每一个系数前却添加了一个增长因子k ，这就降低了收敛程度。所以上面第一个例子微分后得一发散级数。事实上，第一个例子中的级数在[]l l ,-区间上一致收敛。一般来说，微分使级数的收敛 程度降低。
有时将可以逐项微分的条件表示成如下形式：
（8）
此外，函数的光滑程度可以从该函数的傅里叶级数的系数上反映出来。一般而言，一个满足狄利克雷条件的周期函数。其傅里叶级数中的系数k a 和k b 随着k 趋向于无穷大时，他们至少应与
k
c
（其中c 为与k 无关的常数）一样快的趋向于零。如果函数包含一个或几个间断点，那么不是k a 就是k b ，
lim lim ==∞
→∞
→k k k k kb ka
一般情况是二者都不能比
k
c
更快的趋向于零。如果函数以及它的前（n -1）阶导数满足狄利克雷条件，而且处处连续，那么随着k 趋向于无穷大，)(x f 的傅里叶级数的系数k a 和k b 至少应与1+n k
c
一
样快趋向于零。如果)(x f 的n 阶导数不处处连续，那么不是k a 就是k b ，一般情况是二者都不能比
1
+n k c 更快地趋向于零。
因此，函数愈光滑，其傅里叶级数的系数收敛得越快，反之，只要考虑某函数的傅里叶级数的系数的收敛快慢程度，就可以判断该函数的光滑程度。
3 傅里叶变换的概念及性质
傅里叶变换是一种对连续时间函数的积分变换，它通过特定形式的积分建立了函数之间的对应关系。它既能简化计算，又具有明确的物理意义，因而在许多领域被广泛的应用，如电力工程、通信和控制领域以及其他许多数学、物理和工程技术领域。
3.1傅里叶变换的概念
傅里叶（Fourier ）变换，简称傅式变换，像拉普拉斯变换一样，它也是一种化繁为简，变难为易的重要数学运算工具，它的理论与方法在数学的许多分支以及其他自然科学和工程技术领域中，都有着广泛的应用。
若F(t)在(),-∞+∞上满足以下条件：
(1)()F t 在任一有限区间上满足Dirchlet 条件（即在任意有限区间上满足：a 连续或只有有限个第一类间断点；b 只有有限个极值点）；
(2) ()F t 在无限区间(),-∞+∞上绝对可积，那么在()F t 的连续点t 处有 1
()()e 2i i F t F d e d ωτωτττωπ
+∞
+∞--∞
-∞??=????
?
? 由此定义
()()i G F t e
dt ωτ
ω+∞
--∞
=
? （3.1）
称为函数F 的傅里叶变换，记作为()F F ，即
G()()()()i t F F t e dt ωωω+∞
--∞
==
?
F
1
()()2i t
F t
G e d ωωωπ
+∞
-∞
=
?
（3.2） 其中G()ω由(2.1)式定义，公式（2.2）称为G()ω的傅里叶逆变换。记为1
()G -F
，即
1
1
()()()2i t
F t
G G e
d ωωωπ
+∞
--∞
==
?F
3.2傅立叶变换的性质
1、共轭性质 设[]()()f t F x =F
，()F x 是()F x 的共轭函数，则()F x =()F x -
2、线性性质 设[][]121122,()(),()()a a f t f x f t f x ==为常数，F
F
则[]11221122(t)(t)()a ()a f a f a F x F x +=+F
3、位移性质 []00,()(),t f t F ωω=设为实常数，则F
[]0
0(()i t
f t t F e ωω±±=F
[]0
1
0(()i t
f t t F e ωω-±= F
4傅里叶变换与傅里叶级数之间的区别与联系
1、 傅里叶级数是周期变换，傅里叶变换是一种非周期变换
2、 傅里叶级数是以三角函数为基对周期信号的无穷级数展开，如果把周期函数的周期取作无穷大，
对傅里叶级数取极限即得到傅里叶变换。
3、 傅里叶变换是从傅里叶级数推演而来的，傅里叶级数是所有周期函数都可以分解成一系列的正
交三角函数，这样，周期函数对应的傅里叶级数即是它的频谱函数
4、 傅里叶级数是周期信号的另一种时域的表达方式，也就是正交级数，它不同频率的波形的叠加，
而傅里叶变换就是完全的频域分析
5傅里叶级数和傅里叶变换的应用
5.1傅里叶级数的应用
1、 在数学方面计算无穷级数的和
例如，设周期为2π的某函数)(x f ，其在一个周期上的表达式为
2)(x x f = （)ππ<<-x
由于)(x f 是偶函数，所以它的傅里叶级数只有余弦项
3
21
2
2
0πππ
π==?-dx x a
2
20
24)1(2)1(2
cos 2
k
k kxdx x a k k
k -=-=
=
?
ππ
π
π
（k =1,2,3，…） 因此，)(x f 的傅里叶级数为
kx k
x k k
cos 1
)1(43
21
2
2
∑∞
=-+=
π （)ππ<<-x 令x =π,且利用k
k )1(cos -=π，所以
∑
∞
=+=
12
2
2
143
k k
ππ 因此得 612
12π=∑∞
=k k
2、 在物理方面为设计放大器提供依据
例如电路中常常使用矩形波及锯齿波，对于矩形波
?
??=<<<<--)2
0(;)
02(;00)(T t E t T
E t f 其傅里叶展开式为
??
?
??+++=
...5sin 513sin 311sin 4)(0t t t E t f ωωωπ 其中系数和
k
1
成正比，因此，随着简谐次数的增高，幅度迅速减小。一般来说，在10次谐波以后，就认为幅度已经相当小，可以略去不计。因此在设计矩形波放大器时，要求它的通频带宽带约为矩形脉冲的10倍。若扫描矩形波频率为60Hz ，则要求放大器的通频带度为600Hz 就可以了。电视机
及示波器常用扫描锯齿波，也可作与上述相同的分析。
5.2傅里叶变换的应用
傅里叶变换在物理学、数论、组合数学、信号处理、概率论、统计学、密码学、声结构力学、海洋学等领域都有着广泛的应用（例如在信号处理中，傅里叶变换的典型用途是将信号分解成幅值分量和频率分量
1、 傅里叶变换在求解微分方程中的应用
我们在研究研究线性常系数偏微分方程中，傅里叶变换法是一种特别重要的方法，它的应用范围包括求解无界区域的定解问题，用傅里叶变换法求解定解问题的思想与步骤： （1） 对定解问题作傅里叶变换，化偏微分方程为常微分方程 （2）求解像函数
（3）对像函数作傅里叶逆变换，得所求问题的解 例：对于任意x R n
∈，求下面方程的定解问题
()()()u x u x f x -?+= （1）
其中2()n f L R ∈
解：对方程（1）两边作傅里叶变换，可得：^^
2
(1)()()y u y f y += （2） 显然偏微分方程（1）已经被转换成代数方程（3.2）。求解方程（2），可得：^
^
2
()()1f y u y y
=
+
经过傅里叶逆变换，可得：^^2()(x)1f y u y ∨
?? ?= ?+??
为了使()u x 的表达式比较简单明了，下面来化简上式可得：2
()()
()(2)n f x B x u x π*=
其中2
1()1B y y
∧
=
+
下面来求解()B x
1
at e dt a
∞
-=
? （其中a.>0） 2
(1)2
11y t
e
dt y
∞
-+∴
=+?
2
1()(())()1B x B y y
∧
∨∨
∴==+ 2
2
11(2)1n
tx y n R
e dy y
π?=
+?
2
2
1
()(2)n tx y y
t n R
e e
dt dt π∞
?--=
?
?
假设,a b R ∈且b>0,令22
1
12a
Z b x i b
=-
，则有 2
2
2214a iax bx
z e b
e dx e dz b
-+∞
---∞
Γ=?
?
其中Γ表示在复平面的等直线，把Γ转化成实轴，则可计算2
2
21z x e dz e
dx π+∞
--Γ
-∞
==?
?，所以
有
2
2
214()iax bx a
e dx e b b π
+∞
---∞
=? 所以2
2
2
40
1
()2x
t t
n
n e
B x dt t --
+∞
=?
()n x R ∈
根据卷积原理，则偏微分方程（1）的解为
2
2
2
40
1
()()(4)n
x y t t
n n R e
u x f y dydt t π---
+∞
=
??
()n x R ∈
注：上面求解偏微分方程中用到的化归思想，实际上就是开始时使用傅里叶变换，将偏微分方程的问题转化为常微分方程的问题，解出这个常微分方程的问题的解，然后利用傅里叶逆变换求原问题的解。
2、 周期函数与离散频谱
众所周知，一个谐波函数0()cos()f t A t ω?=+，是由振幅A ，相位?和频率0ω三个参数唯一的确定了。
对于周期为T 的周期函数()f t ，它可展成指数形式的傅里叶级数：0()()jn t
f t F n e
ω+∞
-∞
=∑
对上式取傅里叶变换，并考虑()F n 不是时间t 的函数，由此可得：
000()()2()()jn t jn t
n n F F n e e
dt F n n ωωωπδωω+∞+∞
+∞
--∞
=-∞=-∞??==-????
∑∑?
()F ω是周期函数的傅里叶变换谱，上式表明，周期函数的频谱由无穷多个脉冲组成，这些脉冲位
于频率0n ω处，每个脉冲的脉冲强度为2()F n π
需指出的是，虽然从频谱的图形上，这里的()F ω与()F n 是及其相似的，但两者含义不同。当对周期函数进行傅立叶变换时，所得到的是频谱密度；而将该函数展成傅里叶级数时，所得到的傅立叶系数，是复指数分量的幅值。
可见，引入了脉冲函数之后，对周期函数和非周期函数可以用相同的观点和方法进行分析运算，这将给信号分析带来了很大的方便。
。
2
参考文献
[1] 刘元骏. 大学数学基础教程（下册）. 北京：科学出版社2009. [2] 王涛，方刚. 数学分析（下册）. 北京：科学出版社2006.
[3] 林益，刘国钧. 复变函数与积分变换. 武汉：华中科技大学出版社2008. [4] 刘向丽. 复变函数与积分变换.北京：机械工业出版社 2009
致 谢
首先我要衷心的感谢我的导师张玲老师。张老师拥有渊博的，开阔的思路，她不仅是我的论文指导老师而且还是我的代课老师，课堂上她直至不倦的传授我们新的知识，在她的引导下，我认识了傅里叶级数与傅里叶变换的相关理论，并了解了怎样去写一篇论文，为本篇论文打下了理论基础。老师不抛弃不放弃每一个学生的教学态度，吃苦耐劳的工作作风，以及乐观开朗的生活态度是我们在以后的工作中值得我们去学习，并激励着我们不断进步。
其次，感谢身边的同学，朋友，老师，相聚是缘，泪痕与汗水，辛酸与甜蜜，浅薄与深沉，都融入这方寸土之地，散落于每个角落，不分彼此，直至永远，感谢一路有你们的陪伴。
最后，感谢母校滁州学院，对于您，我们有过骄傲与自豪，有过苛责与失望，有过颓废和奋进，时间流逝，转眼之间我们就站在了具有选择性的岔路口做出人生中重要的选择，或工作、或考研、或靠编。。。就要各奔前程，每个人收获的果实不一样，但母校潜移默化的影响，对母校深深的眷恋，却将同样长久地伴随我们。
傅里叶(Fourier )级数的指数形式与傅里叶变换 专题摘要：根据欧拉（Euler ）公式，将傅里叶级数三角表示转化为指数表示，进而得到傅里叶积分定理，在此基础上给出傅里叶变换的定义和数学表达式。 在通信与信息系统、交通信息与控制工程、信号与信息处理等学科中，都需要对各种信号与系统进行分析。通过对描述实际对象数学模型的数学分析、求解，对所得结果给以物理解释、赋予其物理意义，是解决实际问题的关键。这种数学分析方法主要针对确定性信号的时域和频域分析，线性时不变系统的描述以及信号通过线性时不变系统的时域分析与变换域分析。所有这些分析方法都离不开傅里叶变换、拉普拉斯变换和离散时间系统的z 变换。而傅里叶变换的理论基础是傅里叶积分定理。傅里叶积分定理的数学表达式就是傅里叶级数的指数形式。 不但傅里叶变换依赖于傅里叶级数，就是纯数学分支的调和分析也来源于函数的傅里叶级数。因此，傅里叶级数无论在理论研究还是在实际应用中都占有非常重要的地位。我们承认满足狄里克莱（Dirichlet ）条件下傅里叶级数的收敛性结果，不去讨论和深究傅里叶展式的唯一性问题。 傅里叶级数的指数形式 一个以T 为周期的函数)(t f ，在]2 ,2[T T 上满足狄里克莱条件：1o
)(t f 连续或只有有限个第一类间断点；2o 只有有限个极值点。那么)(t f 在]2 ,2[T T - 上就可以展成傅里叶级数。在连续点处 ∑∞ =++=1 )sin cos (2)(n n n t n b t n a a t f ωω， （1） 其中 T πω2= ， ),2,1,0(,cos )(2 22Λ==?-n dt t n t f T a T T n ω， （2） ),3,2,1(,sin )(2 22 Λ==?-n dt t n t f T b T T n ω， （3） 根据欧拉（Euler ）公式：θθθsin cos j e j +=，（1）式化为 ∑∞=--?? ????-+++=10222)(n t jn t jn n t jn t jn n j e e b e e a a t f ωωωω ∑∞=-?? ? ???++-+=10222n t jn n n t jn n n e jb a e jb a a ωω， （4） 若令 dt t f T c T T ?-=22 0)(1 Λ,3,2,1,)(1 ]sin )[cos (1 sin )(1cos )(1222 2222 22==-=-=-=????-----n dt e t f T dt t n j t n t f T dt t n t f T j dt t n t f T jb a c T T t jn T T T T T T n n n ωωωωω Λ,3,2,1,)(1 22 ==?--n dt e t f T c T T t jn n ω 综合n n c c c -,,0，可合并成一个式子 Λ,2,1,0,)(1 22 ±±==?--n dt e t f T c T T t jn n ω， （5）
傅里叶变换到计算机实现 2013/8/16 Guan Jun 就拿我自身的例子来说，开始接触FFT （快速傅里叶变换）的时候并不是很熟悉，但是这种计算方法的确实很好用。那么，这个doc 我想说的就是，如何从三角变换到FFT 。 01 11 ()(c o s ()s i n ()) n n n f x a a n t b n t ωω+∞ ==++∑,这是说一个周期性函数(T 1)可以分解为不同频率的三角函数的叠加，1 1 1 1 11cos()(e e )/2,sin()(e e )/2jn t jn t jn t jn t n t n t j ωωωωωω--=+=-，带到原函数中，经过整理，令1()()/2n n F n a jb ω=-，1 1()()e jn t f x F n ωω+∞-∞ =∑，再把,n n a b 的表达式（高数书或者 信号与系统说的很清楚）带入1()F n ω中，我们就可以得到11 111 ()()e jn t T F n f x dt T ωω-= ?。以上是周期性函数的傅里叶变换，注意的是1()F n ω画出来的图是：在x 轴上频率ω的坐标为 11111...2,1,0,1,2... n ωωωωωω==--,即一系列间隔为1ω的点，另外也就是说，周期函数的傅里叶变换为频域之后，是分立的频谱，不是连续的。举个栗子，cos(2)x π函数是周期性函数吧，其频率（角频率）为2π，也可写成1，也就是在11f ω±±或者会有值，其余地方就没有。其实到这里，真的不难，因为求1()F n ω也就是带入公式的事么，不借助软件我们都能算好。但是，偏偏有那么一些人没事干非要去研究非周期性函数的傅里叶函数，然后搞出一大堆理论，让我们去学… 废话不多说，如果是非周期性，是不是可以理解为周期无限大？这里的非周期函数也可由周期函数组成，例如在-1x ≤≤1上，()cos(2)f x x π=，其余等0.这是不是非周期性函数？答案很显然.如果非周期性，那么公式不再适用，为什么？这得问数学系的人了。怎么办，把公式变变，1T 移到左边，1n ωω写成(此时频谱是连续的了，为什么，我也不晓得…)那么我 们就将看到最为熟悉的函数：+-()()e j t F f x dt ωω∞ -∞ = ? ，+-1 ()()e 2j t f x F d ωωωπ ∞ ∞ = ?(也有书本写成： +2-()()e j ft F f f x dt π∞ -∞ = ? ，+2-()()e j ft f x F f d f π∞ ∞ = ?).就是把f ωπ写成2，而()() F F f ω中的坐标换成 自此，我们就开始学习一大堆公式，性质啊,我觉得这些性质不是不重要，而是没有实际的 应用！为什么我这么说，因为我们用傅里叶变换，是为了什么？服务于我们的数据，没错，是数据！一堆数据给你，你能看出这函数包含的频率？你能提炼出原函数吗？Okay ，你什么都没有，怎么办，望洋兴叹。 最近写的论文中，我就用到了FFT ，我有图像的曲线，有曲线的数据，而且曲线明显是正余弦函数(只相差/2π相位).大概的频率我也能看出来，但是！这个曲线并不完美，有瑕疵，但是我束手无策，这时计算机粉墨登场了，经过分析我也看出原来还是有很小的其他频率成分包含在里面。也许对傅里叶变换感兴趣的童鞋看过不少人的介绍，说时间连续，时间不连续，频谱连续，频谱不连续。2?2=4，这4种绕来绕去足以崩溃你（这里崩溃作动词).其实，时间连续，就是我上面讲的两种，但一个是周期性函数，一个是非周期，对应的频谱就是分立，连续。那么时间（有时候不一定是时间，也可能是位置）不连续怎么办，其实大多数应用的就是这种方法，就是我们说的采谱，说简单点就是每隔一段时间（距离）采一个点，采点间隔相同，一个点一个值.
傅里叶变换在信号处理中的应用 傅里叶变换在物理学、电子类学科、数论、组合数学、信号处理、
概率论、统计学、密码学、声学、光学、海洋学、结构动力学等领域都有着广泛的应用（例如在信号处理中，傅里叶变换的典型用途是将信号分解成幅值谱——显示与频率对应的幅值大小）。 尽管最初傅立叶分析是作为热过程的解析分析的工具，但是其思想方法仍然具有典型的还原论和分析主义的特征。"任意"的函数通过一定的分解，都能够表示为正弦函数的线性组合的形式，而正弦函数在物理上是被充分研究而相对简单的函数类，这一想法跟化学上的原子论想法何其相似！奇妙的是，现代数学发现傅立叶变换具有非常好的性质，使得它如此的好用和有用，让人不得不感叹造物的神奇： 1.傅立叶变换是线性算子，若赋予适当的范数，它还是酉算子； 2.傅立叶变换的逆变换容易求出，而且形式与正变换非常类似； 3.正弦基函数是微分运算的本征函数，从而使得线性微分方程的求解可以转化为常系数的代数方程的求解.在线性时不变的物理系统内，频率是个不变的性质，从而系统对于复杂激励的响应可以通过组合其对不同频率正弦信号的响应来获取； 4.著名的卷积定理指出：傅立叶变换可以化复杂的卷积运算为简单的乘积运算，从而提供了计算卷积的一种简单手段； 5.离散形式的傅立叶变换可以利用数字计算机快速的算出（其算法称为快速傅立叶变换算法（FFT)). 正是由于上述的良好性质，傅里叶变换在物理学、数论、组合数学、信号处理、概率、统计、密码学、声学、光学等领域都有着广泛的应用。
有関傅立叶变换的FPGA实现 傅立叶变换是数字信号处理中的基本操作，广泛应用于表述及分析离散时域信号领域。但由于其运算量与变换点数N的平方成正比关系，因此，在N较大时，直接应用DFT算法进行谱变换是不切合实际的。然而，快速傅立叶变换技术的出现使情况发生了根本性的变化。本文主要描述了采用FPGA来实现2k/4k/8k点FFT的设计方法。 离散傅里叶变换的应用 DFT在诸多多领域中有着重要应用，下面仅是颉取的几个例子。需要指出的是，所有DFT的实际应用都依赖于计算离散傅里叶变换及其逆变换的快速算法，即快速傅里叶变换（快速傅里叶变换（即FFT）是计算离散傅里叶变换及其逆变换的快速算法。）。 1.频谱分析 DFT是连续傅里叶变换的近似。因此可以对连续信号x(t)均匀采样并截断以得到有限长的离散序列，对这一序列作离散傅里叶变换，可以分析连续信号x(t)频谱的性质。前面还提到DFT应用于频谱分析需要注意的两个问题：即采样可能导致信号混叠和截断信号引起的频谱泄漏。可以通过选择适当的采样频率（见奈奎斯特频率）消减混叠。选择适当的序列长度并加窗可以抑制频谱泄漏。 2.数据压缩 由于人类感官的分辨能力存在极限，因此很多有损压缩算法利用
重温傅里叶—笔记篇 本文记录的大多是基础的公式，还有一些我认为比较重要的有参考价值的说明。（如果对这些公式已经很熟悉，可以直接看第三部分：总结性说明） 重温傅里叶—笔记篇 一、傅里叶级数 $关于三角函数系的正交性： 三角函数系包括： 1,cos x,sinx,cos2x,sin 2x,……cos nx,sinnx,…… “正交性”是说，三角函数系中的任何一项与另一项的乘积，在(-π, π) 区间内的积分为0。（任何两相的积总可以展成两个频率为整数倍基频的正余弦函数之和或差，而这两个展开后的正余弦在(-π, π)上积分都为0）。 不同频率（但都是整数倍基频）的两个正弦函数之积，在(-π, π)上积分恒为0。 同频率的两个正弦函数之积，只有在这两个正弦的相位正交时，其在(-π, π)上积分才是0。 三角函数系中除“1”以外的任何一项的平方，在(-π, π)上的积分恒为π，“1”在这个区间上的积分为2π。
$ 上公式! ①当周期为2π时： 式（1）： 上式成立的条件是f(x)满足狄立克雷充分条件： 1.在任意有限区间内连续，或只有有限多个第一类间断点； 2.任意的有限区间，都可被分成有限多个单调区间（另一种说法是：任意有限区间内只有有限多个极值点，其实是一样的）
式（1）第一行中的a0/2 就是f(x)的周期平均值，而且第一行的式子只对f(x)是连续函数的情况成立；如果f(x)不连续，则应表示成“(1/2) ×[f(x-0)+f(x+0)]”，即f(x)左右极限的算术平均。下面的类似情况都是这样，之后就不再专门说明，这些大家应该都懂。 第三、四行中，n的取值都是：1，2，3，4，……n，……（都为正，且不包含0）。 ②当周期为2L时（这也是最一般的情形）： 式（2）： 第一行中的a0/2 就是f(x)的周期平均值； 第三、四行中，n的取值都是：1，2，3，4，……n，……（都为正，且不包含0）。
傅里叶级数及变换的本质解释和形象阐述 ——老师不会这么讲，书上也不会讲很多人学信号与系统、数字信号处理学了几年，关于傅里叶级数和傅里叶变换可能还是一知半解，只能套用公式，根本不理解为什么要这么算，也就是有什么实际含义——可以说，几乎所有信号与系统里面的数学公式都是有实实在在的物理含义的！那么，什么是傅里叶变换，它是怎样一种变换，具体有怎么变换，有没有确切一点或者形象一点的物理解释呢？下面笔者将尝试将自己的理解比较本质和形象地讲出来，形式是思考探讨渐进的模式，也就是我自己的思考过程，希望对大家有所帮助。 首先，要知道傅里叶变换是一种变换，准确点说是投影。傅里叶变换的投影问题，一直想不明白那一系列的正交函数集，到底是什么样一个函数集合，或者说是怎么样的一个空间。所谓三角傅里叶级数当成谐波分析的时候很好理解——同一个时间轴，也就是说同一个维度的分解和叠加，肯定没错，也很实用。但是要是从投影（或者说变换）的角度来说，怎么解释呢？这一系列正弦余弦的函数，在一个区间内，是一个完备的正交函数集，每一个函数所带的系数（或者叫权重），就是原函数在这个函数的方向上的一个投影（说方向不准确，但找不到其他的词）。那么，原函数到底是一个什么样的函数，和各正交基函数又是怎样的一种关系呢？这个投影又是怎么投的呢？三维或者二维空间，一个矢量在各正交基的投影很好理解，那么，傅里
叶变换的正交基函数，也是这样一种相互垂直的关系么？？？投影也是取余弦值么？ 这可以很容易地想清，我们只用余弦或者只用正弦就可以，如cos(2pi*nf0)系列，显然每两个函数图像之间不可能是垂直关系，相反可以看出这是在同一个维度里面的！所以上面两个答案是否定的。 那么，到底是怎么正交、怎么投影的呢。出现这个问题，是因为开始看书的时候我看得太粗心太浅显，没有认真透彻地理解函数正交的含义，没想到那才是最重要最根本的，从那里面再深刻理解一下，问题就迎刃而解。 函数正交和矢量正交完全不一样，是两个概念。函数正交是两个函数，一个不变另一个取共轭值然后逐点相乘再求积分的结果，积分就涉及到一个区间，这也很重要。如果满足：当这两个函数不同时，积分值为0；当两函数相同，积分值不为0。那么这两个函数在这个区间上正交。现在再回过头去看正弦或者余弦函数序列，在各个周期内，都满足上述条件，在正弦和余弦函数之间同样满足，所以这些函数是正交的。至于完备，很明显看出，不去证明了。 第一个问题解决了，现在看怎么去投影了。为更易于理解，我们取指数傅里叶变换为例。众所周知exp(jwt)表示的是一个圆周，我们用来作傅里叶变换的因子，正是这个形式（exp(-jwt)），这里我们还要理解一下傅里叶变换和傅里叶级数的区别，前者求的是复指数傅里叶级数的系数，即每个正交函数的系数（权重），复指数傅里叶级数的正交函数集正是exp(jwt)，所以求系数刚好乘以一个共轭
1、傅里叶变换和傅里叶级数的收敛问题 由于傅里叶级数是一个无穷级数，因而存在收敛问题。这包含两方面的意思：是否任何周期信号都可以表示为傅里叶级数；如果一个信号能够表示为傅里叶级数，是否对任何t 值级数都收敛于原来的信号。关于傅里叶级数的收敛，有两组稍有不同的条件。 第一组条件：如果周期信号()t x 在一个周期内平方可积，即 ()∞
吉布斯现象： 当简单地把信号频谱截断时，相当于给信号频谱加上了一个矩形窗口函数，正是由于矩形窗口函数的时域特性导致了在间断点处的吉布斯现象的产生。 2、周期序列的傅里叶级数展开和傅里叶变换之间的问题 假定()t x 是一个长度为N 的有限长序列，将()t x 以N 为周期延拓而成的周期序列为()n x ~，则有 ()()∑∞-∞=-= r rN n x n x ~ 或表示为()()()N n x n x =~。于是()n x ~ 与()n x 的关系表示为： ()()()N n x n x =~ ()()()n R n x n x N ~= 将()n x ~表示为离散时间傅里叶级数有： ()()kn N N n W k X N n x --=?=∑10~~ 1 ()()kn N N n W n x k X ?=∑-=10~ ~ 其中()k X ~是傅里叶级数的系数，这样做的目的是使其表达形式与离散时间傅里叶变换的形式相类似。如果将()k X ~的主值周期记为()k X ，10-≤≤N k ，由于以上两式中的求和范围均取为区间0~N-1，在次区间内()n x ~ =()n x ，因此可以得到： ()()kn N N n W n x k X ∑-==10~， 10-≤≤N k ()()kn N N n W k X N n x --=∑=10~1， 10-≤≤N n 表明时域N 点有限长序列()n x 可以变换成频域N 点有限长序列()k X 。显然，DFT 与DFS 之间存在以下关系： ()()()N k X k X =~
傅里叶变换在信号处理中的应用 姓名董柱班级电气工程及其自动化学号1109141013 摘要： 傅里叶变换是一种特殊的积分变换。通过傅里叶变换把信号的从时域变换到频域研究，采用频域法较之经典时域的方法有很多突出的优点，虽然傅里叶分析不是信息科学与技术领域中唯一的变换域方法，但是不得不承认，在此领域中，傅里叶变换分析始终有着广泛的应用，通过傅里叶变换实现信号的滤波，调制，抽样是傅里叶变换在信号处理中最主要的作用。通过对信号的调制可以将信号的低频成分调制到高频，实现频谱搬移，减少马间串扰，提高抗噪声新能，有利于信号的远距离传输，另外，对信号采样可以使连续信号离散化，有利于用计算机对信号进行处理，总之，傅里叶变换在信号处理中有着非常重要的作用。傅里叶变换是学习其他频域变换的基础。 关键词： 傅里叶变换，时域，频域，信号处理，信息科学与技术，滤波，调制，抽样。 一傅里叶变换 1.定义 f(t）是t的函数，如果t满足狄里赫莱条件：具有有限个间断点；具有有限个极值点；绝对可积。则有下图①式成立。称为积分运算f(t）的傅立叶变换， ②式的积分运算叫做F（ω）的傅立叶逆变换。F（ω）叫做f(t）的像函数，f(t）叫做 F（ω）的像原函数。F（ω）是f(t）的像。f(t）是F（ω）原像。 ① 傅里叶变换 傅里叶逆变换 2.分类 连续傅立叶变换：一般情况下，若“傅立叶变换”一词的前面未加任何限定语，则指的是“连续傅立叶变换”。“连续傅立叶变换”将平方可积的函数f(t) 表示成复指数函数的积分或级数形式。 f(t) = \mathcal^[F（ω）] = \frac{\sqrt{2π}} \int\limits_{-\infty}^\infty F（ω）e^{iωt}\,dω.
毕业论文 题目：傅里叶级数及其应用作者：姜广辉 指导教师：李博 职称：讲师 院系：理学院数学系 专业：数学与应用数学 班级：10级1班 日期： 2014年5月
傅里叶级数及其应用 摘要：傅里叶级数是数学分析中的一个重要概念，具有较好的几何和代数性质，伴随着科技的进步与发展，涉及了许多数学命题的讨论和应用，傅里叶级数的相关知识已经成为从事科学研究和工程设计等科技人员必备的数学基础.通过对傅里叶、拉格朗日、狄利克雷、黎曼等人在傅里叶级数方面的贡献，介绍了傅里叶级数起源和发展历程.同时文章以在图案设计和铁路客运量预测上的应用说明了傅里叶级数的价值.在图案设计设计方面，运用MATLAB软件，编写傅里叶级数的程序语言，通过自定义函数、编写画图函数程序、对图形多余部分处理、图形线条加粗等步骤，进而得到傅里叶级数的图形.通过对最基本的傅里叶级数的图形的组合、排列可以构成丰富的图案.在铁路客运量预测方面，基于傅里叶级数预测模型，以我国2004—2009年铁路客运量为数据基础，通过将时间序列划分为趋势性和季节性部分，分别采用最小二乘法和傅里叶级数预测法对两者进行拟合，应用MATLAB软件，求出预测模型，并进行预测.通过对预测结果的误差分析，表明：采用傅里叶级数预测法预测我国铁路客运量的效果较好.因此傅里叶级数在一定程度上受到了很多数学家的欢迎. 关键词：傅里叶级数；收敛性；MATLAB软件；图案设计；预测模型
Fourier series and its applications Abstract：Fourier series is a mathematical analysis of an important concept，and has good geometry and algebraic properties，along with the progress and development of technology，involving a lot of discussion and application of mathematical propositions，Fourier series of relevant knowledge has become a mathematical foundation for scientific research and engineering design and other technical personnel necessary. Through Fourier，Lagrange，Dirichlet, Riemann，who contribute in terms of Fourier series，Fourier series introduces the origin and development process，while the article in the graphic design and rail application passenger traffic forecast illustrates the value of the Fourier series. In the design of graphic design，the use of MATLAB software program written in the language of Fourier series，via a custom function，the preparation process of drawing functions，the excess part of the graphics processing，graphics，bold lines and other steps，then get the Fourier series pattern by the combination of the basic pattern of the Fourier series，the arrangement may constitute a rich patterns. Railway passenger traffic forecast，prediction model based on Fourier series to the railway passenger traffic volume of 2004-2009 data base，by the time series into trend and seasonal part，respectively，using the least squares method and fourier Fourier series prediction method for both fitting using MATLAB software，find the prediction model and predict the outcome of the prediction error by analysis showed that：Fourier series prediction method to predict the effect of China's railway passenger volume better. So to some extent，the Fourier series has been welcomed by many mathematicians. Keywords：Fourier series；convergence；MATLAB software；graphic design；prediction model
傅里叶级数及其应用 专业：数学与应用数学 班级： 姓名：
目录 引言 (3) 1 傅立叶级数的计算 (5) 1.1 傅立叶级数的几何意义 (5) 1.2 傅里叶级数的敛散性问题 (10) 1.3 傅里叶级数的展开 (11) 1.4 关于傅里叶级数展开的个别简便算法 (16) 1.5 利用二元函数微分中值定理研究函数性质 (19) 2 傅里叶级数的相关定理及其应用 (21) 2.1 n元函数中值定理及其几何意义 (21) 2.2 利用n元函数微分中值定理研究函数的性质 (28) 3 微分中值定理在复数域上的推广 (32) 3.1 复数域上的中值定理 (32) 3.2 利用复数域内中值定理研究函数性质 (36) 结论 (39) 致谢 (40) 参考文献 (41)
为了更好地认识和应用微分中值定理，使微分中值定理能够最大的发挥其重要作用，在深刻理解和掌握教材内微分中值定理的基础上，将微分中值定理在n元函数以及复数域内推广及应用加以探讨．首先根据一元函数微分中值定理的内容，给出了罗尔定理、拉格朗日定理、柯西中值定理、泰勒中值定理公式的统一形式．而后又仿照一元函数微分中值定理的形式对教材中二元函数微分中值定理进行补充，给出了二元函数罗尔定理、柯西中值定理和二元函数泰勒中值定理的表述，并且构造“辅助函数”给出了证明过程，然后讨论了二元函数罗尔定理与拉格朗日定理的几何意义．接着通过对比一元函数与二元函数微分中值定理，给出了n元函数罗尔定理、拉格朗日定理、柯西中值定理和泰勒中值定理的表述形式，而后同样借助构造的“辅助函数”把n元函数转化为一元函数，进而给出了四个定理的证明，并通过几个典型例题验证了n元函数微分中值定理的可用性．最后从二元函数微分中值定理着手，给出了复数域上的罗尔定理、拉格朗日定理、柯西中值定理的表述形式，同时通过几个例题验证了复数域上微分中值定理的可用性． 关键词： n元函数；微分中值定理；几何意义；复数域
傅里叶变换在MATLZB里的应用 摘要：在现代数学中，傅里叶变换是一种非常重要的变换，且在数字信号处理中有着广泛的应用。本文首先介绍了傅里叶变换的基本概念、性质及发展情况；其次，详细介绍了分离变数法及积分变换法在解数学物理方程中的应用。傅立叶变换将原来难以处理的时域信号转换成了易于分析的频域信号，再利用傅立叶反变换将这些频域信号转换成时域信号。应用MATLAB实现信号的谱分析和对信号消噪。 关键词：傅里叶变换；MA TLAB软件；信号消噪 Abstract: In modern mathematics,Fourier transform is a transform is very important ,And has been widely used in digital signal processing.This paper first introduces the basic concepts, properties and development situation of Fourier transform ;Secondly, introduces in detail the method of separation of variables and integral transform method in solving equations in Mathematical Physics.Fourier transformation makes the original time domain signal whose analysis is difficult easy, by transforming it into frequency domain signal that can be transformed into time domain signal by inverse transformation of Fourier. Using Mat lab realizes signal spectral analysis and signal denoising. Key word: Fourier transformation, software of mat lab ,signal denoising 1、傅里叶变换的提出及发展 在自然科学和工程技术中为了把较复杂的运算转化为较简单的运算，人们常常采用所谓变换的方法来达到目的"例如在初等数学中，数量的乘积和商可以通过对数变换化为较简单的加法和减法运算。在工程数学里积分变换能够将分析运算（如微分，积分）转化为代数运算，正是积分变换这一特性，使得它在微分方程和其它方程的求解中成为重要方法之一。 1804年，法国科学家J-.B.-J.傅里叶由于当时工业上处理金属的需要，开始从事热流动的研究"他在题为<<热的解析理论>>一文中，发展了热流动方程，并且指出如何求解"在求解过程中，他提出了任意周期函数都可以用三角级数来表示的想法。他的这种
论文题目傅里叶级数与傅里叶变换的关系与应用 目录 摘要： 0 关键词 0 Abstract 0 1绪论 (1) 2傅里叶级数的概念 (1) 2.1周期函数 (2) 2.2傅里叶级数的定义 (2) 3 傅里叶变换的概念及性质 (10) 3.1傅里叶变换的概念 (10) 3.2傅立叶变换的性质 (11) 4傅里叶变换与傅里叶级数之间的区别与联系 (12) 5傅里叶级数和傅里叶变换的应用 (12) 5.1傅里叶级数的应用 (12) 5.2傅里叶变换的应用 (13) 参考文献 (15)
傅里叶级数与傅里叶变换的关系与应用 摘要：傅里叶级数是对周期性现象做数学上的分析，而傅里叶变换则可以看作傅里叶级数的极限形式，它也可以看作是对周期现象进行数学上的分析。除此之外，傅里叶变换还是处理信号领域的一种很重要的算法。 傅里叶变换是一种分析信号的方法，它可分析信号的成分，也可用这些成分合成信号。很多波形可以作为信号的成分，例如余弦波，方波，锯齿波等等，傅里叶变换作为信号的成分。在电子类学科，物理学科，信号处理学科等众多领域都有着广泛的应用。 傅里叶级数针对的是周期性函数，傅里叶变换针对的是非周期性函数，它们在本质上都是一种把信号表示成复正选信号的叠加，存在相似的特性。 关键词：傅里叶级数；傅里叶变换；周期性 Fourier series And Fourier Transforms Abstract: Fourier series is made mathematical analysis to cyclical phenomenon, and Fourier transform can be seen as the limit form of Fourier series, it also can be regarded as a mathematical analysis of cycle phenomenon. In addition, the Fourier transform is a kind of very important in the field of signal processing algorithms. Fourier transform is a method of signal analysis, it can analyze signal component, also can use these ingredients synthetic signal. Many waveform can be used as a signal of ingredients, such as cosine wave, square wave, sawtooth wave, etc., the Fourier transform as a signal of composition. In electronics disciplines, physics, signal processing disciplines etc many fields have a wide range of applications. Fourier series is for periodic function, Fourier transform for is a periodic function, they are in essence a kind of papers said the signal into a complex signal superposition, similar features. Key words: Fourier series; Fourier Transform; Periodic
河北联合大学 本科毕业设计（论文） 题目傅里叶变换在信号与系统中的应用 院系理学院 专业班级07数学一班 学生姓名刘帅 学生学号200710050113 指导教师佟玉霞 2011年5月24日
题目傅里叶变换在信号与系统中的应用 专业数学与应用数学姓名刘帅学号200710050113 主要内容、基本要求、主要参考资料等 主要内容 傅里叶变换是一种重要的变换，且在与通信相关的信号与系统中有着广泛的应用。本文主要研究傅里叶变换的基本原理；其次，掌握其在滤波，调制、解调，抽样等方面中的应用。分析了信号在通信系统中的处理方法，通过傅里叶变换推导出信号调制解调的原理，由此引出对频分复用通信系统的组成原理的介绍。 基本要求 通过傅里叶变换实现一个高通滤波，低通滤波，带通滤波。用傅里叶变换推导出信号调制解调的原理。通过抽样实现连续信号离散化，简化计算。另外利用调制的原理推导出通信系统中的时分复用和频分复用。 参考资料 [1]《信号与系统理论、方法和应用》徐守时著中国科技大学出版社 2006年3月修订二版 [2]《信号与系统》第二版上、下册郑君里、应启珩、杨为理著高等教育出版社 [3]《通信系统》第四版 Simon Haykin 著宋铁成、徐平平、徐智勇等译沈 连丰审校电子工业出版社 [4]《信号与系统—连续与离散》第四版 Rodger E.Ziemer 等著肖志涛等译 腾建辅审校电子工业出版社 [5]《现代通信原理》陶亚雄主编电子工业出版社 [6]《信号与系统》乐正友著清华大学出版社 [7]《信号与线性系统》阎鸿森、王新风、田惠生编西安交通大学出版社 [8]《信号与线性系统》张卫钢主编郑晶、徐琨、徐建民副主编西安电 子科技大学出版社 [9] https://www.doczj.com/doc/254851066.html,/view/191871.htm//百度百科傅里叶变换 [10]《通信原理》第六版樊昌信曹丽娜编著国防工业出版社 [11]A．V．Oppenheim,A.S.Willsky with S.H.Nawab.Siganals and systems(Second edition).Prentice-Hall,1997.中译：刘树棠。信号与系统。西安交通工业大学出版社 完成期限 指导教师 专业负责人
傅里叶级数及变换的本质解释和形象阐述（更正版） ——老师不会这么讲，书上也不会讲 注：原来上传到百度文库的文档有较多问题，或者阐述不清楚，因原文档无法删除，只能重新上传一次了。此为更正版。 很多人学信号与系统、数字信号处理学了几年，关于傅里叶级数和傅里叶变换可能还是一知半解，只能套用公式，根本不理解为什么要这么算，也就是有什么实际含义——可以说，几乎所有信号与系统里面的数学公式都是有实实在在的物理含义的！那么，傅里叶变换到底是怎样一种变换？具体又怎么变换？有没有确切一点，或者形象一点的物理解释呢？下面笔者将尝试从以一种可理解的、物理的方式来解释，并尽量形象地讲出来，形式是探究、渐进的模式，也就是我自己的思考过程，希望对大家有所帮助。 首先，要知道傅里叶变换是一种变换，准确点说是投影。傅里叶变换的投影问题，一直想不明白那一系列的正交函数集，到底是什么样一个函数集合，或者说是怎么样的一个空间。所谓三角傅里叶级数当成谐波分析的时候很好理解——同一个时间轴，也就是说同一个维度的分解和叠加，肯定没错，也很实用。但是要是从投影（或者说变换）的角度来说，怎么解释呢？书上说：这一系列正弦余弦的函数，在一个区间内，是一个完备的正交函数集，每一个函数所带的系数（或者叫权重），就是原函数在这个函数的方向上的一个投影（说方向不准确，但找不到其他的词）。那么，原函数到底是一个什么样的函数，和各正交基函数又是怎样的一种关系呢？这个投影又是怎么投的呢？三维或者二维空间，一个矢量在各正交基上的投影很好理解，因为各矢量正交基在空间是垂直关系，原矢量在各正交基上的投影就是其模值乘以与各正交基夹角余弦值。那么，傅里叶变换的正交基函数，也是这样一种相互垂直的关系么？投影也是取余弦值么？
傅立叶变换在图像处理中有非常非常的作用。因为不仅傅立叶分析涉及图像处理的很多方面，傅立叶的改进算法， 比如离散余弦变换，gabor与小波在图像处理中也有重要的分量。 印象中，傅立叶变换在图像处理以下几个话题都有重要作用： 1.图像增强与图像去噪 绝大部分噪音都是图像的高频分量，通过低通滤波器来滤除高频——噪声; 边缘也是图像的高频分量，可以通过添加高频分量来增强原始图像的边缘； 2.图像分割之边缘检测 提取图像高频分量 3.图像特征提取： 形状特征：傅里叶描述子 纹理特征：直接通过傅里叶系数来计算纹理特征 其他特征：将提取的特征值进行傅里叶变换来使特征具有平移、伸缩、旋转不变性 4.图像压缩 可以直接通过傅里叶系数来压缩数据；常用的离散余弦变换是傅立叶变换的实变换； 傅立叶变换 傅里叶变换是将时域信号分解为不同频率的正弦信号或余弦函数叠加之和。连续情况下要求原始信号在一个周期内满足绝对可积条件。离散情况下，傅里叶变换一定存在。冈萨雷斯版<图像处理>里面的解释非常形象：一个恰当的比喻是将傅里叶变换比作一个玻璃棱镜。棱镜是可以将光分解为不同颜色的物理仪器，每个成分的颜色由波长（或频率）来决定。傅里叶变换可以看作是数学上的棱镜，将函数基于频率分解为不同的成分。当我们考虑光时,讨论它的光谱或频率谱。同样,傅立叶变换使我们能通过频率成分来分析一个函数。 傅立叶变换有很多优良的性质。比如线性，对称性（可以用在计算信号的傅里叶变换里面）; 时移性：函数在时域中的时移，对应于其在频率域中附加产生的相移，而幅度频谱则保持不变； 频移性：函数在时域中乘以e^jwt，可以使整个频谱搬移w。这个也叫调制定理，通讯里面信号的频分复用需要用到这个特性（将不同的信号调制到不同的频段上同时传输）； 卷积定理：时域卷积等于频域乘积；时域乘积等于频域卷积（附加一个系数）。（图像处理里面这个是个重点） 信号在频率域的表现 在频域中，频率越大说明原始信号变化速度越快；频率越小说明原始信号越平缓。当频率为0时，表示直流信号，没有变化。因此，频率的大小反应了信号的变化
图像傅里叶变换 冈萨雷斯版<图像处理>里面的解释非常形象：一个恰当的比喻是将傅里叶变换比作一个玻璃棱镜。棱镜是可以将光分解为不同颜色的物理仪器，每个成分的颜色由波长（或频率）来决定。傅里叶变换可以看作是数学上的棱镜，将函数基于频率分解为不同的成分。当我们考虑光时,讨论它的光谱或频率谱。同样, 傅立叶变换使我们能通过频率成分来分析一个函数。 Fourier theory讲的就是：任何信号（如图像信号）都可以表示成一系列正弦信号的叠加，在图像领域就是将图像brightness variation 作为正弦变量。比如下图的正弦模式可在单傅里叶中由三个分量编码：频率f、幅值A、相位γ这 三个value可以描述正弦图像中的所有信息。1.frequency frequency在空间域上可由亮度调节，例如左图的frequency比右图的frequency 低…… 2.幅值magnitude（amplitude）sin函数的幅值用于描述对比度，或者说是图像中最明和最暗的峰值之间的差。（一个负幅值表示一个对比逆转，即明暗交换。） 3.相位表示相对于原始波形，这个波形的偏移量（左or右）。=================================================================一个傅里叶变换编码是一系列正弦曲线的编码，他们的频率从0开始（即没有调整，相位为0，平均亮度处），到尼奎斯特频率（即数字图像中可被编码的最高频率，它和像素大小、resolution有关）。傅里叶变换同时将图像中所有频率进行编码：一个只包含一个频率f1的信号在频谱上横坐标f为f1的点处绘制一个单峰值，峰值高度等于对应的振幅amplitude，或者正弦曲线信号的高度。如下图所示。
傅里叶级数的收敛性及其应用 摘要 傅里叶级数是数学分析的一个重要组成部分.本文首先介绍了傅里叶级数的相关知识、以2π为周期函数的傅里叶级数展开式、以2l为周期函数的傅里叶级数展开形式.其次，通过狄利克雷积分和黎曼—勒贝格引理及局部化定理傅里叶 f t展开成傅里叶级数的收敛定理及其证明.级数的收敛定理分析了周期函数() 最后，给出了傅里叶级数一些简单应用，其原理主要是利用傅里叶级数均方误差证明了傅里叶级数部分和趋于无穷大时吉伯斯现象不存在以及利用傅里叶级数展开法研究了平顶高斯光束通过有光阑限制的近轴ABCD光学系统的传输特性问题. 关键词：傅里叶级数；收敛性；积分；周期函数
CONVERGENCE OF FOURIER SERIES AND ITS APPLICATION ABSTRACT Fourier series is an important part in Mathematical Analysis. The first introduced the knowledge of Fourier series, toπ2for the periodic function of the Fourier series expansion, to l2for the periodic function of the Fourier series expansion. Second, analyzed periodic function()x f expand into Fourier series convergence theorem and its proof by Dirichlet integral and Riemann-Lebesgue Lemma and local theorem of Fourier series convergence theorem . Finally, some simple application of Fourier series, and its main principle is to use the mean square error of the Fourier series is proved, and tends to infinity, some of Gibbs phenomenon does not exist and the use of fourier Fourier series expansion of the flattened Gaussian beams through apertured paraxial optical system ABCD, the transmission characteristics of the problem. Key words:Fourier series; Convergence; Integral; Periodic function ----