2004-2013年浙江11市中考数学选择填空解答压轴题分类解析汇编
专题13：几何三大变换问题之对称
一、选择题
1.（2004年浙江绍兴4分）如图，一张长方形纸沿AB 对折，以AB 中点O 为顶点将平角五等分，并沿五等分的折线折叠，再沿CD 剪开，使展开后为正五角星（正五边形对角线所构成的图形）.则∠OCD 等于【 】
A ．108°
B ．144°
C ．126°
D ．129°
【答案】C 。
【考点】矩形的性质，折叠对称的性质。
【分析】展开如图：五角星的每个角的度数是：00180365
。
∵∠COD=3600÷10=360，∠ODC=360÷2=180， ∴∠OCD=1800－360－180=1260。故选C 。
2.（2004年浙江湖州3分）小强拿了一张正方形的纸如图（1），沿虚线对折一次得图（2），再对折一次得图（3），然后用剪刀沿图（3）中的虚线（虚线与底边平行）剪去一个角，再打开后的形状应是【 】
A. B. C. D.
【答案】D 。
【考点】剪纸问题，折叠对称的性质，正方形的性质。
【分析】按照图中的顺序向右下对折，向左下对折，从上方角剪去一个等腰直角三角形，展开得：剪去的为一正方形，且顶点在原正方形的对角线上。故选D 。
3.（2007年浙江绍兴4分）如图的方格纸中，左边图形到右边图形的变换是【 】
A．向右平移7格
B．以AB的垂直平分线为对称轴作轴对称，再以AB为对称轴作轴对称
C．绕AB的中点旋转1800，再以AB为对称轴作轴对称
D．以AB为对称轴作轴对称，再向右平移7格
【答案】D。
【考点】轴对称和平移变换。
【分析】观察可得：要使左边图形变化到右边图形，首先以AB为对称轴作轴对称，再向右平移7格。故选D。
4.（2008年浙江台州4分）把一个图形先沿着一条直线进行轴对称变换，再沿着与这条直线平行的方向平移，
我们把这样的图形变换叫做滑动对称变换
．．．．．．．在自然界和日常生活中，大量地存在这种图形变换（如图1）．结
合轴对称变换和平移变换的有关性质，你认为在滑动对称变换
．．．．．．过程中，两个对应三角形（如图2）的对应点所具有的性质是【】
A．对应点连线与对称轴垂直B．对应点连线被对称轴平分
C．对应点连线被对称轴垂直平分D．对应点连线互相平行
【答案】B。
【考点】新定义，轴对称变换和平移变换的性质。
【分析】观察图形，因为进行了平移，所以有垂直的一定不正确，A、C是错误的；
对应点连线是不可能平行的，D是错误的；
由对应点的位置关系可得：对应点连线被对称轴平分。故选B。
5.（2011年浙江温州4分）如图，O是正方形ABCD的对角线BD上一点，⊙O与边AB，BC都相切，点E，F分别在AD，DC上，现将△DEF沿着EF对折，折痕EF与⊙O相切，此时点D恰好落在圆心O处．若DE=2，
则正方形ABCD的边长是【】
A、3
B、4
C、2
D、
【答案】C。
【考点】翻折变换（折叠问题），正方形的性质，切线的性质，勾股定理。
【分析】如图，延长FO交AB于点G，
∵根据折叠对称可以知道OF⊥CD，
∴OG⊥AB，即点G是切点，OD交EF于点H，点H是切点。
结合图形可知OG=OH=HD=EH，等于⊙O的半径。
先求出半径，然后求出正方形的边长：在等腰直角三角形DEH中，
DE=2，=AE，所以AD=AE+DE=2C。
【答案】A。
【考点】等边三角形的性质，轴对称的性质，锐角三角函数的定义，平移的性质，相似三角形的判定和性质，实数与数轴。
【分析】根据已知条件得出△PDE的边长PD=PE=DE=1，再根据对称的性质可得出PF⊥DE，DF=EF，由锐
角三角函数的定义求出，由m=3
2
。又OP=2，根据相似三角形的判定定理判断出
△PFM∽△PON，利用相似三角形对应边成比例的性质得：PF FM
OP ON
=，即
3
22
2ON
=，解之得
ON=4－2。故选A。
7.（2012年浙江绍兴4分）如图，直角三角形纸片ABC中，AB=3，AC=4，D为斜边BC中点，第1次将纸片折叠，使点A与点D重合，折痕与AD交与点P1；设P1D的中点为D1，第2次将纸片折叠，使点A与点D1重合，折痕与AD交于点P2；设P2D1的中点为D2，第3次将纸片折叠，使点A与点D2重合，折痕与AD 交于点P3；…；设P n﹣1D n﹣2的中点为D n﹣1，第n次将纸片折叠，使点A与点D n﹣1重合，折痕与AD交于点P n（n＞2），则AP6的长为【】
A．
5
12
53
2
?
B．
6
9
3
52
?
C．
6
14
53
2
?
D．
7
11
3
52
?
【答案】A。
【考点】分类归纳（图形的变化类），翻折变换（折叠问题）。
【分析】由题意得，AD=1
2
BC=
5
2
，AD1=AD﹣DD1=
15
8
，AD2=
2
5
53
2
?
，AD3=
3
7
53
2
?
，…∴AD n=
21
53
2
n
n+
?
。
故AP1=5
4
，AP2=
15
16
，AP3=
2
6
53
2
?
…APn=
1
2
53
2
n
n
-
?
。
∴当n=14时，AP6=
5
12
53
2
?
。故选A。
二、填空题
1.（2004年浙江衢州5分）如图，已知正方形纸片ABCD，M，N分别是AD、BC的中点，把BC边向上翻折，使点C恰好落在MN上的P点处，BQ为折痕，则∠PBQ= ▲ 度。
【答案】30。
【考点】折叠的性质，正方形的性质，全等三角形的性质，含30度角直角三角形的判定，三角形内角和定理。【分析】根据折叠的性质知：△BPQ≌△BCQ，
∴BP=BC，∠PBQ=∠CBQ。∴BN=1
2
BC=
1
2
BP。
∵∠BNP=90°，∴∠BPN=30°。∴∠PBN=60°=30°。∴∠PBQ=1
2
×60°=30°。
2.（2005年浙江衢州5分）如图，沿大正三角形的对称轴对折，则互相重合的两个小正三角形内的单项式的乘积为▲ ．
【答案】a或2a3b或2a2b。
【考点】对称的性质，等边三角形的性质，单项式乘单项式，分类思想的应用。
【分析】根据等边三角形的轴对称性，沿大正三角形的对称轴对折，则互相重合的两个小正三角形内的单项式分别是a与1对应，a与2a2b对应，1与2a2b对应。因此，
（1）当a与1对应时，则a与1乘积为a；
（2）当a 与2a 2
b 对应，则a 与2a 2
b 的乘积为2a 3
b ； （3）当1与2a 2b 对应时，则1与2a 2
b 的乘积为2a 2
b 。
3.（2009年浙江温州5分）如图，已知正方形纸片ABCD 的边长为8，⊙O 的半径为2，圆心在正方形的中心上，将纸片按图示方式折叠，使EA 恰好与⊙O 相切于点A ′(△EFA′与⊙0除切点外无重叠部分)，延长FA′交CD 边于点G ，则A′G 的长是 ▲
【答案】
193
。 【考点】折叠的性质，正方形的性质，勾股定理。 【分析】如图，过点O 作OH ⊥AB 与H ，
设AF 为x ，则根据折叠的性质，A’F 也为x 。 ∵半径是2，即O A′=2， ∴FO=2+x ，FH=
8
x=4x 2
--，HO=8÷
2=4。 ∴在Rt △FHO 中，由勾股定理，得222FH HO FO +=。
∴()()2
2
24x 42x -+=+,解得7x 3=
。∴O A’= 713233
+=. ∴根据正方形的对称性，得OG= O A’= 13
3
。
∴A′G=1319
233
+=。
4.（2011年浙江金华、丽水4分）如图，将一块直角三角板OAB 放在平面直角坐标系中，B （2，0），∠AOB=60°，点A 在第一象限，过点A 的双曲线为k
y x
=
．在x 轴上取一点P ，过点P 作直线OA 的垂线l ，以直线l 为对称轴，线段OB 经轴对称变换后的像是O′B′． （1）当点O′与点A 重合时，点P 的坐标是 ▲ ；
（2）设P （t ，0），当O′B′与双曲线有交点时，t 的取值范围是 ▲ ．
【答案】（4，0），
。
【考点】反比例函数综合题，解二元一次方程组，一元二次方程根的判别式，解一元一次不等式，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，三角形内角和定理，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理。 【分析】（1）当点O′与点A 重合时，即点O 与点A 重合，
∵∠AOB=60°，过点P 作直线OA 的垂线l ，以直线l 为对称轴，
线段OB 经轴对称变换后的像是O′B′。AP′=OP′，∴△AOP′是等边三角形。 ∵B （2，0），∴BO=BP′=2。∴点P 的坐标是（4，0）。
（2）∵∠AOB=60°，∠P′MO=90°，∴∠MP′O=30°。 ∴OM=
1
2
t ，OO′=t 。 过O′作O′N ⊥x 轴于N ，∠OO′N=30°，∴ON=12t ，
t 。∴O′（1
2
t
t ）。
同法可求B′
的坐标是（
t 2
, 2
+-， 设直线O′B′的解析式是y kx b =+，将O′、B′的坐标代入，得
1tk 2t 2k 2?+???
+?+-??
，解得：2k b ?-????=??
∴2y x =--?。 ∵∠ABO=90°，∠AOB=60°，OB=2，∴OA=4，
∴A （2，
，代入反比例函数的解析式得：k
，
∴y
（﹣x 2+2）x ﹣，
△ =t 2t ）2﹣4（t ﹣?（﹣≥0，
解得：t≥﹣
∵当点O′与点A 重合时，点P 的坐标是（4，0）。
∴。
５．（2013年浙江嘉兴4分）如图，正方形ABCD 的边长为3，点E ，F 分别在边AB 、BC 上，AE=BF=1，小球P 从点E 出发沿直线向点F 运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角．当小球P 第一次碰到点E 时，小球P 所经过的路程为 ▲ ．
【答案】
【考点】跨学科问题，正方形的性质，轴对称的性质， 相似三角形的判定和性质，勾股定理。
【分析】根据已知中的点E ，F 的位置，可知入射角的正切值为
1
2
，第一次碰撞点为F ，在反射的过程中，根据入射角等于反射角及平行关系的三角形的相似可得第
二次碰撞点为G ，在DA 上，且DG=
16DA=1
2
，第三次碰撞点为H ，在DC 上，且DH=13DC=1，第四次碰撞点为M ，在CB 上，且CM=1
3
BC=1，第五次碰撞点为N ，
在DA 上，且AN=16AD=12，第六次回到E 点，AE=1
3
AB=1。
由勾股定理可以得出，，
6.（2013年浙江绍兴5分）矩形ABCD 中，AB=4，AD=3，P ，Q 是对角线BD 上不重合的两点，点P 关于直线AD ，AB 的对称点分别是点E 、F ，点Q 关于直线BC 、CD 的对称点分别是点G 、H ．若由点E 、F 、G 、H 构成的四边形恰好为菱形，则PQ 的长为 ▲ ．
【答案】2.8。
【考点】矩形和菱形的性质，轴对称的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理。 【分析】由矩形ABCD 中，AB=4，AD=3，可得对角线AC=BD=5。
依题意画出图形，如图所示。 由轴对称性质可知，
∠PAF+∠PAE=2∠PAB+2∠PAD=2（∠PAB+∠PAD ）=180°。
∴点A 在菱形EFGH 的边EF 上．同理可知，点B 、C 、D 均在菱形EFGH 的边上。 ∵AP=AE=AF ，∴点A 为EF 中点．同理可知，点C 为GH 中点。 连接AC ，交BD 于点O ，则有AF=CG ，且AF ∥CG ，
∴四边形ACGF 为平行四边形。
∴FG=AC=5，即菱形EFGH 的边长等于矩形ABCD 的对角线长。 ∴EF=FG=5。 ∵AP=AE=AF ，∴AP=1
2
EF=2.5。 ∵OA=
1
2
AC=2.5， ∴AP=AO ，即△APO 为等腰三角形。 过点A 作AN ⊥BD 交BD 于点N ，则点N 为OP 的中点。 由S △ABD =
12AB?AD=1
2
AC?AN ，可求得：AN=2.4。 在Rt △AON 中，由勾股定理得：
ON 0.7=，∴OP=2ON=1.4。
同理可求得：OQ=1.4。 ∴PQ=OP+OQ=1.4+1.4=2.8。
三、解答题
1.（2004年浙江丽水14分）如图，在平面直角坐标系中，已知OA=12厘米，OB=6厘米．点P 从点O 开始沿OA 边向点A 以1厘米/秒的速度移动；点Q 从点B 开始沿BO 边向点O 以1厘米/秒的速度移动．如果P 、Q 同时出发，用t （秒）表示移动的时间（0≤t≤6），那么 （1）设△POQ 的面积为y ，求y 关于t 的函数解析式；
（2）当△POQ 的面积最大时，将△POQ 沿直线PQ 翻折后得到△PCQ ，试判断点C 是否落在直线AB 上，并说明理由；
（3）当t 为何值时，△POQ 与△AOB 相似．
【答案】解：（1）∵OA=12，OB=6，由题意，得BQ=1×t=t ，OP=1×t=t ，
∴OQ=6－t 。
∴()2111
y OP OQ t 6t t 3t 0t 6222=
??=??-=-+≤≤（）
。 （2）∵()2
2119y t 3t t 3222
=-+=--+，
∴当y 有最大值时，t=3。
∴OQ=3，OP=3，即△POQ 是等腰直角三角形。
把△POQ 沿直线PQ 翻折后，可得四边形OPCQ 是正方形。 ∴点C 的坐标为（3，3）。 设直线AB 的解析式为y=kx+b ，
将A （12，0），B （0，6）代入得，12k+b=0b=6???，解得1k=2b=6
?
-?
???。
∴直线AB 的解析式为1
y x 62
=-+。
∵当x=3时，9
y 32
=≠，
∴点C 不落在直线AB 上。 （3）①若△POQ ∽△AOB ， 则
OQ OP OB OA
=
，即6t t
612-=，解得t=4。 ②若△POQ ∽△BOA ， 则OQ OP OA OB =，即6t t
126
-=，解得t=2。
∵0＜t ＜6，∴t=4和t=2均符合题意。 ∴当t=4或t=2时，△POQ 与△AOB 相似。
【考点】双动点问题，由实际问题开函数关系式，二次函数的性质，等腰直角三角形的性质，翻折的对称性质，相似三角形的性质，分类思想的应用。
【分析】（1）根据P 、Q 的速度，用时间t 表示出OQ 和OP 的长，即可通过三角形的面积公式得出y ，t 的函数关系式。
（2）根据（1）的函数式求出y 最大时，x 的值，即可得出OQ 和OP 的长，然后求出C 点的坐标和直线AB 的解析式，将C 点坐标代入直线AB 的解析式中即可判断出C 是否在AB 上。
（3）分△OPQ ∽△OAB 和△OPQ ∽△OBA 两种情况进行求解，可根据各自得出的对应成比例相等求
出t 的值。
2.（2005年浙江绍兴14分）一张矩形纸片OABC 平放在平面直角坐标系内，O 为原点，点A 在x 的正半轴上，点C 在y 轴的正半轴上，OA ＝5，OC ＝4。
① 如图，将纸片沿CE 对折，点B 落在x 轴上的点D 处，求点D 的坐标；
② 在①中，设BD 与CE 的交点为P ，若点P ，B 在抛物线2y x bx c =++上，求b ，c 的值；
③ 若将纸片沿直线l 对折，点B 落在坐标轴上的点F 处，l 与BF 的交点为Q ，若点Q 在②的抛物线上，求l 的解析式。
【答案】解：（1）①根据题意知，CD=CB=OA=5。
∵∠COD=90°，∴OD 3==。 ∴D 点坐标为（3，0）。
②过P 作PG ⊥x 轴于G 据题知，PG=
12AB=2，DG=1
2
AD=1。 ∴P 点坐标（4，2）。 又B 点坐标（5，4），
∵点P ，B 在抛物线2y x bx c =++上，
∴164b c 2255b c 4++=??++=?，解得：b 7
c 14=-??=?
。
∴b=－7，c=14。
③当点F 在x 轴上时，过Q 作QM ⊥x 轴于M ，
同②可知QM=
1
2
AB=2，则Q 点的纵坐标为2。 得2x 7x 142-+=。∴x=3或x=4。 ∴Q 点的坐标为（3，2）或（4，2）。 当Q 点坐标为（3，2）时，
如图，OM=3，MA=2，FA=4，AB=4，FA=AB ， 而l 为BF 的中垂线，∴点A 在l 上。
∴由A ，Q 的坐标可得l 的解析式为y x 5=-+。
当Q 点坐标为（4，2）时，如图，OM=4，MA=1，OF=3，CF=5，而CB=5，∴CF=CB 。 ∵l 为BF 的中垂线。∴点C 在l 上。
∴由C ，Q 的坐标可得l 的解析式为1
y x 42
=-+。
当点F 在y 轴上时，可求得Q 51124??
???
，，l 与y 轴的交点为（0，314 ）
。 ∴l 的解析式为31
y 2x 4
=-+
。 综上所述，l 的解析式为y x 5=-+或1y x 42=-+或31
y 2x 4
=-+。
【考点】二次函数综合题，折叠问题，折叠对称的性质，矩形的性质，勾股定理，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，分类思想的应用。
【分析】①求D 点坐标，关键是求OD 的长，根据折叠的性质可知：CD=BC=OA ，在直角三角形OCD 中，根据OC 、CD 的长，即可用勾股定理求出OD 的值．也就求出了D 点的坐标。
②还是根据折叠的性质求解，根据折叠的性质不难得出CE 垂直平分BD ，即P 为BD 中点，因此P
点横坐标为OD 的长加上AD 的一半，而P 点纵坐标为B 点纵坐标的一半，据此可求出P 点坐标．然后将P 、B 的坐标代入抛物线的解析式中即可求出待定系数的值。
③由于F 点的位置不确定，可分两种情况：
i 当F 在x 轴上时，Q 点纵坐标为B 点纵坐标的一半，由此可求出Q 点纵坐标，将其代入抛物线的
解析式中，可求得Q 点的坐标，然后根据Q 点坐标，然后根据Q 点坐标去求直线l 与坐标轴其他交点的坐标。
ii 当F 在y 轴上时，Q 点横坐标为B 点横坐标的一半，可将其代入抛物线的解析式中求出Q 点坐标，
后同①．（本题也可先求出直线BQ 的解析式，由于直线l 垂直BQ ，那么直线l 的斜率和直线BQ 的斜率的积为－1，又知直线l 过Q 点可求出直线l 的解析式）。
3.（2005年浙江绍兴10分）一张矩形纸片OABC 平放在平面直角坐标系内，O 为原点，点A 在x 的正半轴上，点C 在y 轴的正半轴上，OA ＝5，OC ＝4。
①求直线AC 的解析式；
②若M 为AC 与BO 的交点，点M 在抛物线28
y x kx 5
=-+上，求k 的值；
③将纸片沿CE 对折，点B 落在x 轴上的点D 处，试判断点D 是否在②的抛物线上，并说明理由。
【答案】解：①∵OA=5，OC=4，∴A （5，0），C （0，4）。
∴直线AC 的解析式为4
y x 45
=-+。
②∵B 点坐标为（5，4），∴直线OB 的解析式为4
y x 5
=
。 联立4y x 5
4y x 45?
=????=-+??
，得5x 2y 2?=???=?。
∴M 点坐标为（
5
2
，2）。 ∵点M 在抛物线28y x kx 5=-+上，∴2
8552k 522??=-?+? ???，解得：24
k 5
=。
③∵CD=BC=OA=5，OC=4，∠COD=90°， ∴OD=3，即D （3，0）。
又由②抛物线的解析式为2824
y x x 55
=-+，
∵当x=3时，2824
y 33=055
=-?+?，
∴点D 在抛物线上。
【考点】二次函数综合题，折叠问题，折叠对称的性质，矩形的性质，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系。
【分析】①已知OA=5，OC=4故A （5，0），C （0，4）用待定系数法求出直线AC 的解析式为4
y x 45
=-+。
②求出OB 的解析式与AC 的解析式联立，可得M 点坐标为（52，2），代入28
y x kx 5
=-+即可求
得k 的值。
③已知CD=BC=OA=5，OC=4，∠COD=90°推出D （3，0）。将D （3，0）代入2824
y x x 55
=-+验
证即可。
4.（2006年浙江宁波大纲卷10分）如图，抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点B （1，0），C （－3，0），且过点A （3，6）． （1）求a 、b 、c 的值；
（2）设此抛物线的顶点为P ，对称轴与线段AC 相交于点Q ，连接CP 、PB 、BQ ，试求四边形PBQC 的面积．
【答案】解：（1）∵抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点B （1，0），C （－3，0），
∴可设抛物线为()()y a x 1x 3=-+。
将点A （3，6）代入，得a=1
2
。 ∴抛物线为()()1y x 1x 32=
-+，即213y x x 22
=+-。 ∴a=12，b=1，c= 32-。
（2）∵()2
2131y x x x 12222
=+-=+-。
∴抛物线的顶点P （－1，－2）。
设直线AC 的解析式为y=kx+m ，由题意得：
3k m 03k m 6+=??
+=?，解得：k 1
m 3=??=?
。 ∴直线AC 的解析式为y=x+3。
∵抛物线对称轴为直线x=－1：交x 轴于点D ， ∴点Q （－1，2）。 ∴DC=DB=DQ=DP=2。 ∴PBC QBC PBQC 11
S S +S 4242=822
??==
??+??四形边。 【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质。 【分析】（1）已知二次函数与x 轴的两个交点坐标，所以设交点式解析式，用待定系数法求解。
（2）根据抛物线的解析式即可求得顶点P 的坐标，求得直线AC 的解析式，即可求得点Q 的坐标，
然后将四边形PBQC 分成两个三角形△BCQ 与△PBC ，分别求解这两个三角形的面积即可。
5.（2006年浙江湖州12分）已知如图，矩形OABC 的长宽OC=1，将△AOC 沿AC 翻折得△APC 。 （1）填空：∠PCB=____度，P 点坐标为（ ， ）；
（2）若P ，A 两点在抛物线24
y x bx c 3
=-++上，求b ，c 的值，并说明点C 在此抛物线上；
（3）在（2）中的抛物线CP 段（不包括C ，P 点）上，是否存在一点M ，使得四边形MCAP 的面积最大？ 若存在，求出这个最大值及此时M 点的坐标；若不存在，请说明理由。
【答案】解：（1）303
，。
（2）∵点P 3
2
， ）
，A （ 0）在抛物线24
y x bx c 3
=-++上，
∴
2
243
c 324
c 03
??-++=?????-
++=??
，解得：b c 1?=??
=??
∴抛物线的解析式为24
y x 13
=-++。
∵OC=1，∴C 点坐标为（0，1）。
∵当x=0
时，24
y 00113
=-?+=，∴C 点在此抛物线上。
（3）假设存在这样的点M ，使得四边形MCAP 的面积最大。
∵△ACP 面积为定值，∴要使四边形MCAP 的面积最大，只需使△PCM 的面积最大。 过点M 作MF ⊥x 轴分别交CP 、CB 和x 轴于E 、N 和F ，过点P 作PG ⊥x 轴交CB 于G 。
则CMP CME PME 1S S S ME CG 2???=+=?=。 设M （x 0，y 0），
∵∠ECN=30°，CN=x 0，∴
EN=
03
。
∴20004ME MF EF x 113=-=-++-
2004x 3=-。
∴2CMP CME PME 001
S S S x 2
???=+=+
2
0x =-+??
∵a 0
=，∴CMP S ?有最大值。
当0x =S 的最大值是
。
∵ACP ABC 1S S 122
??===，MCAP CPM ACP
S S S ??=+，
∴四边形MCAP
M 点的坐标为 32?
????
。 ∴存在这样的点M 32?
????
，使得四边形MCAP 【考点】翻折问题，二次函数的综合题，矩形的性质，翻折对称的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角
函数值，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的最值。
【分析】（1）在直角△OAC 中，， OC=1，
∴tan OAC=
3
∠。∴00OAC=30,OCA=60∠∠ 。 ∴根据翻折对称的性质，∠PCA=∠OCA 0=60。 ∵CB ∥OA ，∴0DCA=OAC=30∠∠。 ∴∠PCB=∠PCA －0DCA=30∠。 过点P 作PG ⊥x 轴交CB 于G ，
∵CP=OB=1，∴在直角△PCG 中，根据三角函数可
以求得，PG=12
。 ∴点P 3
2
，）
。 （2）由P 、A 两点的坐标，根据待定系数法即可求出b ，c 的值和抛物线的解析式； C 点的坐标已
知，代入函数的解析式，就可以判断是否在函数的图象上。
（3）过点M 作MF ⊥x 轴分别交CP 、CB 和x 轴于E 、N 和F ，过点P 作PG ⊥x 轴交CB 于G ，根
据MCAP CPM ACP S S S ??=+和CMP CME PME S S S ???=+，四边形MCAP 的面积就可以表示成OF 的函数，利用二次函数的性质，就可以求出最值。
6.（2006年浙江湖州10分）如图，已知平面直角坐标系，A 、B 两点的坐标分别为A （2，－3），B （4，－1）。 （1）若P （p ，0）是x 轴上的一个动点，则当p=____时，△PAB 的周长最短；
（2）若C （a ，0），D （a+3，0）是x 轴上的两个动点，则当a=____时，四边形ABDC 的周长最短； （3）设M ，N 分别为x 轴和y 轴上的动点，请问：是否存在这样的点M （m ，0）、N （0，n ），使四边形ABMN 的周长最短？若存在，请求出m=____,n=___（不必写解答过程）；若不存在，请说明理由。
【答案】解：（1）
7
2
。
（2）
54
。 （3）存在。55
23
-，。
【考点】单动点和双动点问题，轴对称的应用（最短线段问题），待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系。 【分析】（1）根据题意，设出并找到B （4，－1）关于x 轴的对称点是E ，其坐标为（4，1），进而可得直线AE 的解析式，进而可得答案：
设点B （4，－1）关于x 轴的对称点是E ，其坐标为（4，1）， 设直线AE 的解析式为y=kx b +，
把A （2，－3），E （4，1）代入得：
2k b 34k b 1+=-??
+=?，解得k 2
b 7=??=-?
。 ∴直线AE 的解析式为y=2x 7-。 令y=0得x=7
2
。 ∴p=
72
。 （2）B 向左平移3个单位得F(1,－1)，FBDC 是平行四边形，AB+BD+DC+CA=AB+FC+3+AC ，AB 是定长，所以FC+AC 最短。
过A 点作AG ⊥x 轴于点G ，且延长AG ，取EG=AG ， 那么E （2，3），取点F （1，－1），连接EF ， 设直线EF 的解析式为y=kx b +，
则k b=12k b=3+-??+?，解得：k=4
b=5??-?
。
∴直线EF 的解析式为y=4x 5-。
∵C 点的坐标为（a ，0），且在直线EF 上，∴a=5
4
。 （3）存在使四边形ABMN 周长最短的点M 、N 。
作A 关于y 轴的对称点E ，作B 关于x 轴的对称点
F ，连接EF ，与x 轴、y 轴的交点即为点M 、N 。
∴E （－2，－3），F （4，1）。
∴同上可求直线EF 的解析式为：25y x 33
=
-。 ∴M （
52，0），N （0，5
3-）。 ∴m=52，n=53
-。
7.（2007年浙江衢州12分）如图，顶点为D 的抛物线2y x bx 3=+-与x 轴相交于A 、B 两点，与y 轴相交于点C ，连结BC ，已知tan ∠ABC=1。
（1）求点B 的坐标及抛物线2y x bx 3=+-的解析式；
（2）在x 轴上找一点P,使△CDP 的周长最小，并求出点P 的坐标；
（3）若点E （x ，y ）是抛物线上不同于A,B,C 的任意一点，设以A,B,C,E 为顶点的四边形的面积为S,求S 与x 之间的函数关系式。
【答案】解：（1）在2y x bx 3=+-中，令x=0，得y=－3。∴C （0，－3），OB=3。
∵tan ∠ABC=1，∴OC ：OB=1，∴OB=OC=3。∴B （3，0）。 把B （3，0）代入2y x bx 3=+-，得2033b 3=+-，解得：b=－2。 ∴抛物线的解析式为2y x 2x 3=--。
（2）作点C 关于x 轴的对称点C 1，连接C 1D 与x 轴交于点P ，
则点P 即为所求。
∵()2
2y x 2x 3x 14=--=--，∴D （1，－4）。 ∵C （0，－3），∴C 1（0， 3）。 设C 1D 的解析式为y=kx+b ，
则k+b=4b=3-???，解得k=7b=3-???
。
∴C 1D 的解析式为y=7x+3-。
令y=0，解得3x=7。∴P （3
7，0）。
∴在x 轴上的点P （3
7
，0），使△CDP 的周长最小。
（3）在2y x 2x 3=--中，令y=0，得x=－1或x=3。∴A （－1，0），AB=4。
当x 3>时，点E 在第一象限，如图1，此时x 0y 0>>，
()22ABE ABC 1
S S S 4x 2x 332x 4x 2
??=+=
??--+=-。 当0x 3<<时，点E 在第四象限，如图2，此时x 0y 0><，
()()()AOC OCEF BEF
22
2S S S S 11139133x 2x 3x 3x x 2x 3x x 6
22222??=++????=??+?---?+?-?---=-++????。 当1x 0<<-时，点E 在第三象限，如图3，此时x 0y 0<<，
()()()()AEF OCEF OBC
22
2S S S S 11111x 1x 2x 3x 3x 2x 333x x 622222
??=++????=
?-?---+?-+?---+??=--+????。 当x 1<-时，点E 在第二象限，如图4，此时x 0y 0<>，
()22ABE ABC 1
S S S 4x 2x 332x 4x 2
??=+=
??--+=-。 综上所述，S 与x 之间的函数关系式为：
()()()2
222x 4x x 3x 13
9S x x 60x 32
211
x x 6x 12
2><<<
?=-++???--+-??或。