泄露天机——2013年金太阳高考押题精粹
(数学文课标版)
（30道选择题+20道非选择题）
温馨提示：本套试题答案将单独与贵校联系，请注意查收短信通知。如有疑问，请致电：0791-********
一．选择题（30道）
1.设集合{}2,ln A x =，{},B x y =，若{}0A B ?=，则y 的值为（ ） A ．0 B ．1 C ．e D ．1e
2. 已知R 是实数集，集合
3|1M x x ??
=
，{}
|3N y y t t ==-≥，则
R N C M ?=( )
A. []0,2
B. [2,)+∞
C.(,2]-∞
D. []2,3
3.已知i 为虚数单位，则复数3
21i i
+等于（ ）
A ．-1-i
B ．-1+i
C ．1+i
D ．1—i
4.复数
41
(,)22
m m i m R i -+-?∈其中为虚数单位在复平面上对应的点不可能位于（ ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
5. “0m n >>”是“方程2
2
1mx ny +=表示焦点在y 轴上的椭圆”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
6.若命题“x ?∈0R ，使得x mx m ++-<2
00230”
为假命题，则实数m 的取值范围是（ ） （A ）[,]26
（B ）[,]--62
（C ）(,)26 （D ）(,)--62
7.一个算法的程序框图如右，则其输出结果是（ ）
A.0
1
1
8.下面的程序框图中，若输出S 的值为126，则图中应填上的条件为（ ）
A ．5n ≤
B ．6n ≤
C ．7n ≤
D ．8n ≤
9.右图是函数sin()()y A x x R ω?=+∈在区间5[,]
66ππ-
上的图象．为了得到这个函数的图象，只需将
sin ()y x x R =∈的图象上所有的点（ ）
A ．向左平移
3
π个单位长度，再把所得各点的横坐标
缩短到原来的
1
2
倍，纵坐标不变
B ．向左平移
3
π
个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
C ．向左平移
6
π
个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的
1
2
倍，纵坐标不变 D ．向左平移
6
π
个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
10.已知
,4
0,tan 12sin sin 22π
θθθθ<<=++k 则)4sin(πθ-的值（ ） A ．随着k 的增大而增大
B ．有时随着k 的增大而增大,有时随着k 的增大而减小
C ．随着k 的增大而减小
D ．是一个与k 无关的常数
11.关于函数x x x x f cos )cos (sin 2)(-=的四个结论:
P 1:最大值为2; P 2:最小正周期为π; P 3:单调递增区间为∈??
?
??
?+-
k k k ,83,8πππ
πZ ; P 4:图象的对称中心为∈-+k k ),1,8
2(π
πZ .其中正确的有（ ） A ．1 个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
12. ,a b 是两个向量，||a =1 ，||b =2 ，且()a b a +⊥
，则a 与b 的夹角为（ ）
（A ）?30
（B ）?60
（C ）?120
（D ）?150
13.已知a ,b 是两个互相垂直的单位向量,且c ·a =c ·b =1,,则对任意正实数t ,1c ta b
t
++
的最小值是（ ）
A ．2
B ．
C ．4
D ．
14.一个几何体的三视图如右图所示，则它的体积为（ ）
A ．
20
3
B ．403
C ．20
D ．40
15．正方形ABCD 的边长为4,中心为M ,球O 与正方形ABCD 所在平面相切于M 点,过
点M 的球的直径的另一端点为N ,线段NA 与球O 的球面的交点为E ,且E 恰为线段NA 的中点,则球O 的体积为（ ）
A ．83
π
B
C ．43
π
D
16.不等式组1,
40,0x x y kx y ≥??
+-≤??-≤?
表示面积为1的直角三角形区域，则k 的值为（ ）
Ａ.2- B. 1- C. 0 D.1 17.设函数3
()f x x x =+，x R ∈. 若当02
π
θ<<
时，不等式0)1()sin (>-+m f m f θ恒
成立，则实数m 的取值范围是 （ ）. A.(,1]-∞ B.[1,)+∞ C.1
(,1)2
D.1(,1]2
18.如图，在边长为2的正方形内随机取一个点，则此点在正方形的内切圆内部的概率为（ ） A ．
4π
B ．44π-
C ．14
π- D ．
4π
π
-
19、将一骰子抛掷两次，所得向上的点数分别为m 和n ，则函数2
21
3y mx nx =-+在[1,)+∞上为增函数的概率是（ ）
A ．12 B. 23 C. 34 D. 5
6
20、某单位为了解用电量y 度与气温C x
之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表：
由表中数据得线性回归方程
a b y x ∧
∧
+=中2-=∧
b ，预测当气温为C
4-时，用电量的度
数约为（ ）
A.68
B.79
C.65
D.80
21、某校从参加高二年级学业水平测试的学生中抽出100 名学生，其数学成绩的频率分布直方图如图所示．其中 成绩分组区间是[40，50），[50,60），[60,70），[70,80）， [80,90) ,[90,100]．则成绩在[80 ,100]上的人数为（ ） A70 B 60 C 35 D 30
22、已知等差数列{}n a 的公差和首项都不等于0，且
248,,a a a 成等比数列，则
159
23
a a a a a ++=+（ ）
A. 2
B. 3
C. 5
D. 7
23、设等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，且10a >．若232S a >，则q 的取值范围是（ ）
（A ）1(1,0)(0,)
2- （B ）1
(,0)(0,1)2-
（C ）1(,1)(,)2-∞-+∞
（D ）1
(,)(1,)2-∞-+∞
24. 已知21,F F 分别是双曲线122
22=-b
y a x 的左、右焦点,过1F 且垂直于x 轴的直线与双曲
线交于B A ,两点,若2ABF ?是锐角三角形,则该双曲线离心率的取值范围是 （ ）
A ．???
? ??
+
221,1 B ．???
? ??
+∞+
,22
1 C ．()
21,1+ D ．(
)
+∞+
,21
25．圆2x 2
＋y －2x ＋my －2＝0关于抛物线2
x ＝4y 的准线对称，则m 的值为（ ）
A.1
B. 2
C. 3
D. 4 26．已知抛物线)0(:2
>=a ax y C 的焦点到准线的距离为
4
1
, 且C 上的两点()()2211,,,y x B y x A 关于直线m x y +=对称, 并且2
1
21-=x x , 那么m =
（ ）
A ．23
B ．2
5 C ．2 D ．3
27．如果函数()y f x =图像上任意一点的坐标(,)x y 都满足方程 lg()lg lg x y x y +=+
，
那么正确的选项是（ ）
(A)()y f x =是区间（0，+∞）上的减函数，且4x y +≤ (B)()y f x =是区间（1，+∞）上的增函数，且4x y +≥ (C)()y f x =是区间（1，+∞）上的减函数，且4x y +≥ (D)()y f x =是区间（1，+∞）上的减函数，且4x y +≤
28．定义在R 上的奇函数()f x ，当x ≥0时， ))12
log (1),0,1,()1|3|,1,,x x f x x x ?+∈???=??--∈+∞???
则关于x 的
函数()()F x f x a =-（0＜a ＜1）的所有零点之和为（ ）
（A ）1-2a
（B ）21a
-
（C ）12
a
--
（D ）2
1a
--
29．已知ln ()ln ,()1x
f x x f x x
=
-+在0x x =处取最大值，以下各式正确的序号为 （ ）①00()f x x <②00()f x x =③00()f x x >④01()2f x <⑤01
()2
f x >
A ．①④
B ．②④
C ．②⑤
D ．③⑤
30．已知函数?????≥-+<--=0
,120
,12)(22
x x x x x x x f ，则对任意R ∈21,x x ，若120x x <<，下列不
等式成立的是( )
（A ）12()()0f x f x +< （B ）12()()0f x f x +> （C ）12()()0f x f x -> （D ）12()()0f x f x -<
二．填空题（8道）
31.已知
A ,B(0,1)),坐标原点O 在直线A
B 上的射影为点C,则?= . 32.若直线错误！未找到引用源。是曲线错误！未找到引用源。的切线，则实数错误！未找到引用源。的值为 .
33.若实数x 、y 满足??
?
??+-≥≥≥-b x y x y y x 02，且2z x y =+的最小值为3，则实数b 的值为__
34.已知四面体ABC P -的外接球的球心O 在AB 上,且⊥PO 平面ABC , AB AC 32=
,
若四面体ABC P -的体积为
2
3
,则该球的体积为_____________ 35.在区间[]0,4内随机取两个数a 、b ， 则使得函数22()f x x ax b =++有零点的概率 为 。 36.公比为4的等比数列
{}n b 中,若n T 是数列{}n b 的前n 项积,则有30
4020301020,,T T T T T T 也成等比
数列,且公比为100
4
；类比上述结论，相应的在公差为3的等差数列
{}n a 中，若n S 是
{}n a 的前n 项和，则有一相应的等差数列，该等差数列的公差为_____________.
37．在ABC ?中,角C B A 、、所对的边分别为c b a 、、,且c A b B a 2
1
cos cos =
-,当)tan(B A -取最大值时,角C 的值为_______________
38.已知抛物线)0(2:2
>=p px y C 的准线为l ,过点)0,1(M 且斜率为3的直线与l 相交
于点A ,与C 的一个交点为B ,若MB AM =,则p 等于____________
三．解答题（12道）
39、ABC ?中，a ，b ，c 分别是角,,A B C 的对边，向量m (2sin ,2cos2)B B =-
，
2(2sin (),1)42
B
n π=+- ,⊥．
（1）求角B 的大小；
（2
）若a =1b =，求c 的值．
40、已知等差数列{}n a 的首项11a =，公差0d >．且1452a a a ，，分别是等比数列}{n b 的
432b b b ，，．
（Ⅰ）求数列}{n a 与}{n b 的通项公式； （Ⅱ）设数列{}n c 对任意自然数n 均有
1212c c b b ++…1n n n
c
a b ++=成立，求12c c ++ (2013)
c + 的值.
41、（本小题满分12分）
为了了解甲、乙两名同学的数学学习情况,对他们的7次数学测试成绩（满分100分）进行统计，作出如下的茎叶图，其中,x y 处的数字模糊不清．已知甲同学成绩的中位数
是83，乙同学成绩的平均分是86分. （Ⅰ）求x 和y 的值；
（Ⅱ）现从成绩在［90，100］之间的试卷中随机抽取两份进行分析，求恰抽到一份甲同
学试卷的概率．
42、十一黄金周，记者通过随机询问某景区110名游客对景区的服务是否满意，得到如下的列联表：性别与对景区的服务是否满意 单位：名
(1)从这50名女游客中按对景区的服务是否满意采取分层抽样，抽取一个容量为5的样本，问样本中满意与不满意的女游客各有多少名？
(2)从(1)中的5名女游客样本中随机选取两名作深度访谈，求选到满意与不满意的女游客各一名的概率；
(3)根据以上列联表，问有多大把握认为“游客性别与对景区的服务满意”有关 附：
()()()()()
2
n ad bc K a b c d a c b d -=++++
43、如图在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 是边长为a 的正方形,侧面PAD ⊥底面A B C D ，且
甲 乙
6 3
7
8 7 x 1 8 3 3 y 2 3
9 0 1 6
B
2
PA PD AD ==
,设E 、F 分别为PC 、BD 的中点． (Ⅰ) 求证：EF //平面PAD ； (Ⅱ) 求证：面PAB ⊥平面PDC ；
44、已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>
的长轴长是短轴长的两倍，焦距为.
(1)求椭圆C 的标准方程;
(2)设不过原点O 的直线l 与椭圆C 交于两点M 、N ，且直线OM 、MN 、ON 的斜率依次成等比数列，求△OMN 面积的取值范围.
45. 已知抛物线2:2C y px =的焦点坐标为(1,0)F ，过F 的直线交抛物线C 于A B ,两点，直线AO BO ,分别与直线m ：2x =-相交于M N ,两点. （Ⅰ）求抛物线C 的方程；
（Ⅱ）证明△ABO 与△MNO 的面积之比为定值.
46.已知函数f (x )＝x 3＋
3
2
(1－a )x 2－3ax ＋1，a ＞0． (Ⅰ) 证明：对于正数a ，存在正数p ，使得当x ∈[0，p ]时，有－1≤f (x )≤1； (Ⅱ) 设(Ⅰ)中的p 的最大值为g (a )，求g (a )的最大值． 47.已知函数 1
()ln ().
f x x a x a R x =--∈ (I)讨论()f x 的单调性;
(II)若()f x 有两个极值点1x 和2x ,记过点1122(,()),(,())A x f x B x f x 的直线的斜率为k ,问:是否存在a ,使得2?k a =-若存在,求出a 的值,若不存在,请说明理由. 48.选修4-1:几何证明选讲.
如图，过圆E 外一点A 作一条直线与圆E 交B,C 两点，
作直线AF 与圆E 相切于点F ，连接EF 交BC 于点D ,己知圆E 的半径为2，EBC ∠ =30.
(1)求
AF 的长.
(2)求证：AD =3E D.
49. 在直角坐标系中,以原点为极点,错误！未找到引用源。轴的正半轴为极轴建坐标系.已知曲线错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。,已知过点错误！未找到引用源。的直线错误！未找到引用源。的参数方程为：错误！未找到引用源。，直线l 与曲线C 分别交于N M ,两点.
（1）写出曲线C 和直线l 的普通方程；
（2）若错误！未找到引用源。成等比数列,求错误！未找到引用源。的值． 50. 选修4-5：不等式选讲
设.,)(R a a x x f ∈-=
（1）当13,()3x f x -≤≤≤时，求错误！未找到引用源。的取值范围； （2）若对任意x ∈R ，()()12f x a f x a a -++≥-恒成立，求实数a 的最小值．