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最新全国各地中考数学常考试题及答案
一、函数与几何综合的压轴题
1.(2018安徽芜湖)如图①,在平面直角坐标系中,AB、CD 都垂直于x轴,垂足分别为B、D且AD与B相交于E点.已知:A(-2,-6),C(1,-3)
(1)求证:E点在y轴上;
(2)如果有一抛物线经过A,E,C三点,求此抛物线方程.
(3)如果AB位置不变,再将DC水平向右移动k(k>0)个单位,此时AD与BC相交于E′点,如图②,求△AE′C的面积S关于k的函数解析式.
[解] (1)(本小题介绍二种方法,供参考) 方法一:过E 作EO ′⊥x 轴,垂足O ′∴AB ∥EO ′∥DC ∴
,EO DO EO BO AB DB CD DB
''''
==
又∵DO ′+BO ′=DB
∴1EO EO AB DC
''+= ∵AB =6,DC =3,∴EO ′=2 又∵
DO EO DB AB ''=,∴2
316
EO DO DB AB ''=?=?=
∴DO ′=DO ,即O ′与O 重合,E 在y 轴上
方法二:由D (1,0),A (-2,-6),得DA 直线方程:y =2x -2① 再由B (-2,0),C (1,-3),得BC 直线方程:y =-x -2 ②
图①
联立①②得0
2x y =??=-?
∴E 点坐标(0,-2),即E 点在y 轴上
(2)设抛物线的方程y =ax 2+bx +c (a ≠0)过A (-2,-6),C (1,-3)
E (0,-2)三点,得方程组426
3
2a b c a b c c -+=-??++=-??=-?
解得a =-1,b =0,c =-2 ∴抛物线方程y =-x 2-2
(3)(本小题给出三种方法,供参考)
由(1)当DC 水平向右平移k 后,过AD 与BC 的交点E ′作E ′F ⊥x 轴垂足为F 。
同(1)可得:
1E F E F
AB DC
''+= 得:E ′F =2 方法一:又∵E ′F ∥AB E F DF AB DB '?=
,∴1
3DF DB = S △AE ′C = S △ADC - S △E ′DC =1112
2223
DC DB DC DF DC DB ?-?=?
=1
3
DC DB ?=DB=3+k S=3+k 为所求函数解析式
方法二:∵ BA ∥DC ,∴S △BCA =S △BDA
∴S △AE ′C = S △BDE ′()113232
2
BD E F k k '=?=+?=+
∴S =3+k 为所求函数解析式.
证法三:S △DE ′C ∶S △AE ′C =DE ′∶AE ′=DC ∶AB =1∶2
同理:S △DE ′C ∶S △DE ′B =1∶2,又∵S △DE ′C ∶S △ABE ′=DC 2∶AB 2=1∶4 ∴()2213992
AE C ABCD S S AB CD BD k '?==?+?=+梯形 ∴S =3+k 为所求函数解析式.
2. (2018广东茂名)已知:如图,在直线坐标系中,以点M (1,0)为圆心、直径AC 为22的圆与y 轴交于A 、D 两点. (1)求点A 的坐标;
(2)设过点A 的直线y =x +b 与x 轴交于点B.探究:直线AB 是否⊙M 的切线?并对你的结论加以证明;
(3)连接BC ,记△ABC 的外接圆面积为S 1、⊙M 面积为S 2,若
4
21h
S S =,抛物线 y =ax 2+bx +c 经过B 、M 两点,且它的顶点到x 轴的距离为h .求这条抛物线的解析式.
[解](1)解:由已知AM =2,OM =1, 在Rt△AOM 中,AO =122=-OM AM ,
∴点A 的坐标为A (0,1)
(2)证:∵直线y =x +b 过点A (0,1)∴1=0+b 即b =1
∴y=x +1
令y =0则x =-1 ∴B(—1,0),
AB =2112
222=+=+AO BO
在△ABM 中,AB =2,AM =2,BM =2
222224)2()2(BM AM AB ==+=+
∴△ABM 是直角三角形,∠BAM=90° ∴直线AB 是⊙M 的切线
(3)解法一:由⑵得∠BAC=90°,AB =2,AC =22, ∴BC= 10)22()2(2222=+=+AC AB ∵∠BAC=90° ∴△ABC 的外接圆的直径为BC ,
∴πππ25)210(
)2(221=?=?=BC S
而πππ2)222(
)2(2
22=?=?=AC S
421h S S =Θ,5,4225
=∴=h h 即 ππ 设经过点B (—1,0)、M (1,0
y =a (+1)(x -1),(a≠0)即y =ax 2-a ,∴-a =±5,