傅里叶(Fourier )级数的指数形式与傅里叶变换 专题摘要：根据欧拉（Euler ）公式，将傅里叶级数三角表示转化为指数表示，进而得到傅里叶积分定理，在此基础上给出傅里叶变换的定义和数学表达式。 在通信与信息系统、交通信息与控制工程、信号与信息处理等学科中，都需要对各种信号与系统进行分析。通过对描述实际对象数学模型的数学分析、求解，对所得结果给以物理解释、赋予其物理意义，是解决实际问题的关键。这种数学分析方法主要针对确定性信号的时域和频域分析，线性时不变系统的描述以及信号通过线性时不变系统的时域分析与变换域分析。所有这些分析方法都离不开傅里叶变换、拉普拉斯变换和离散时间系统的z 变换。而傅里叶变换的理论基础是傅里叶积分定理。傅里叶积分定理的数学表达式就是傅里叶级数的指数形式。 不但傅里叶变换依赖于傅里叶级数，就是纯数学分支的调和分析也来源于函数的傅里叶级数。因此，傅里叶级数无论在理论研究还是在实际应用中都占有非常重要的地位。我们承认满足狄里克莱（Dirichlet ）条件下傅里叶级数的收敛性结果，不去讨论和深究傅里叶展式的唯一性问题。 傅里叶级数的指数形式 一个以T 为周期的函数)(t f ，在]2 ,2[T T 上满足狄里克莱条件：1o
)(t f 连续或只有有限个第一类间断点；2o 只有有限个极值点。那么)(t f 在]2 ,2[T T - 上就可以展成傅里叶级数。在连续点处 ∑∞ =++=1 )sin cos (2)(n n n t n b t n a a t f ωω， （1） 其中 T πω2= ， ),2,1,0(,cos )(2 22Λ==?-n dt t n t f T a T T n ω， （2） ),3,2,1(,sin )(2 22 Λ==?-n dt t n t f T b T T n ω， （3） 根据欧拉（Euler ）公式：θθθsin cos j e j +=，（1）式化为 ∑∞=--?? ????-+++=10222)(n t jn t jn n t jn t jn n j e e b e e a a t f ωωωω ∑∞=-?? ? ???++-+=10222n t jn n n t jn n n e jb a e jb a a ωω， （4） 若令 dt t f T c T T ?-=22 0)(1 Λ,3,2,1,)(1 ]sin )[cos (1 sin )(1cos )(1222 2222 22==-=-=-=????-----n dt e t f T dt t n j t n t f T dt t n t f T j dt t n t f T jb a c T T t jn T T T T T T n n n ωωωωω Λ,3,2,1,)(1 22 ==?--n dt e t f T c T T t jn n ω 综合n n c c c -,,0，可合并成一个式子 Λ,2,1,0,)(1 22 ±±==?--n dt e t f T c T T t jn n ω， （5）
傅里叶变换光学系统 组号 4 09光信 王宏磊 （合作人： 刘浩明 杨纯川） 一、实验目的和内容 1、了解透镜对入射波前的相位调制原理。 2、加深对透镜复振幅、传递函数、透过率等参量的物理意义的认识。 3、观察透镜的傅氏变换（FT ）图像，观察4f 系统的反傅氏变换（IFT ）图像，并进行比较。 4、在4f 系统的变换平面（T ）插入各种空间滤波器，观察各种试件相应的频谱处理图像。 二、实验原理 1、透镜的FT 性质及常用函数与图形的关学频谱分析 力。图1 在该点的厚度。设原复振幅分布为(,)L U x y 其复振幅分布受到透镜的位相调制，附加了一个位相因(,)x y ?后变为(,)L U x y '： 图1 (,)(,)exp[(,)]L L U x y U x y j x y ?'= （1） 若对于任意一点（x ，y ）透镜的厚度为(,)D x y ，透镜的中心厚度为0D 。光线由该点通过透镜时在透镜中的距离为(,)D x y ，空气空的距离为0D －(,)D x y ，透镜折射率为n ，则该点的总的位相差为： 00(,)[(,)](,)(1)(,)x y k D D x y knD x y kD k n D x y ?=-+=+- （2） （2）中的k ＝2π/λ，为入射光波波数。 用位相延迟因子(,)t x y 来表示即为： 0(,)exp()exp[(1)(,)]t x y jkD jk n D x y =- （3） 由此可见只要知道透镜的厚度函数(,)D x y 就可得出其相位调制。在球面镜傍轴区域，用抛物面近似球面，可以得到球面透镜的厚度函数为：
22012 111(,)()()2D x y D x y R R =-+- （4） 其中1R 、2R 是构成透镜的两个球面的曲率半径。公式（4）对双凹、双凸、或凹凸透镜都成立。引入焦距f ，其定义为： 12 111(1)()n f R R =-- （5） 代入（3）得： 220(,)exp()exp[()]2k t x y jknD j x y f =-+ （6） 式（6）即是透镜位相调制的表达式，它表明复振幅(,)L U x y 通过透镜时，透镜各点都发生位相延迟。 从式（6）容易看出第一项位相因子0exp()jknD 仅表示入射光波的常量位相延迟，不影响位相的空间分布，即波面形状，所以在运算过程中可以略去。第二项22exp[()]2k j x y f -+是具有调制作用的因子，它表明光波通过透镜的位相延迟与该点到透镜中心的距离的平方成正比。而且与透镜的焦距有关。当考虑透镜孔径后，有： 22(,)exp[()](,)2k t x y j x y p x y f =-+ （7） 其中的(,)p x y 为透镜的光瞳函数，表达式为： 1(,)0p x y ?=?? 孔径内 其 它 （8） 2、透镜的傅里叶变换性质 在单色平面波垂直照射下，夫琅和斐衍射光场的复振幅分布正比于衍射屏透射系数的傅里叶变换。衍射图像的强度分布正比于衍射屏的功率谱分布。一般情况下，我们是将夫朗和斐衍射图像成像到透镜的像方焦平面出，这就是说，作为成像元件的透镜，就相当于傅里叶变换器。 如图2所示，设单位振幅的单色平面光垂直照射一透射系数为(,)t x y 的衍射屏，与衍射屏相距Z 处放置一焦距为f 的薄透镜L ，先观察其像方平面L 的光场分布。为了讨论方便，这里我们忽略透镜材料的吸收、散射、透镜表面的反射以及透镜孔径大小等因素的影响。
在数学与信号处理的领域中，一个实数值函数的希尔伯特转换(Hilbert transform)——在此标示为——是将信号与做卷积，以得到。因此，希尔伯特转换结果可以被解读为输入是的线性非时变系统(linear time invariant system)的输出，而此一系统的脉冲响应为。这是一项有用的数学， 用在描述一个以实数值载波做调制的信号之复数包络(complex envelope)，出现在通讯理论（应用方面的详述请见下文。） 希尔伯特转换是以著名数学家大卫·希尔伯特(David Hilbert)来命名。 希尔伯特转换定义如下： 其中 并考虑此积分为柯西主值(Cauchy principal value)，其避免掉在以及 等处的奇点。 另外要指出的是： 若，则可被定义，且属于；其中。频率响应 希尔伯特转换之频率响应由傅立叶变换给出： , 其中 ?是傅立叶变换， ?i (有时写作j )是虚数单位， ?是角频率，以及
? 即为符号函数。 既然： , 希尔伯特转换会将负频率成分偏移+90°，而正频率成分偏移?90°。 反（逆）希尔伯特转换 我们也注意到：。因此将上面方程式乘上，可得到： 从中，可以看出反（逆）希尔伯特转换 傅里叶变换（Fourier变换）是一种线性的积分变换。因其基本思想首先由法国学者约瑟夫·傅里叶系统地提出，所以以其名字来命名以示纪念。 傅里叶变换在物理学、声学、光学、结构动力学、量子力学、数论、组合数学、概率论、统计学、信号处理、密码学、海洋学、通讯、金融等领域都有着广泛的应用。例如在信号处理中，傅里叶变换的典型用途是将信号分解成振幅分量和频率分量。 ?傅里叶变换能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数（正弦和/或余弦函数）或者它们的积分的线性组合。在不同的研究领域，傅里叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅里叶变换和离散傅里叶变换。最初傅里叶分析是作为热过程的解析分析的工具被提出的[1]。 ?傅里叶变换属于谐波分析。 ?傅里叶变换的逆变换容易求出，而且形式与正变换非常类似。 ?正弦基函数是微分运算的本征函数，从而使得线性微分方程的求解可以转化为常系数的代数方程的求解。在线性时不变的物理系统内，频率是个不变的性质，从而系统对于复杂激励的响应可以通过组合其对不同频率正弦信号的响应来获取。
第2章信号分析 本章提要 信号分类 周期信号分析--傅里叶级数 非周期信号分析--傅里叶变换 脉冲函数及其性质 信号：反映研究对象状态和运动特征的物理量信号分析：从信号中提取有用信息的方法 和手段 §2－1 信号的分类 两大类：确定性信号，非确定性信号 确定性信号：给定条件下取值是确定的。 进一步分为：周期信号， 非周期信号。
质量M 弹簧 刚度K t x (t ) o x 0 质量－弹簧系统的力学模型 x (t ) ? ?? ? ??+=0cos )(?t m k A t x 非确定性信号（随机信号）：给定条件下取值是不确定的 按取值情况分类：模拟信号，离散信号 数字信号：属于离散信号，幅值离散，并用二进制表示。 信号描述方法 时域描述 如简谐信号
频域描述 以信号的频率结构来描述信号的方法:将信号看成许多谐波（简谐信号）之和，每一个谐波称作该信号的一个频率成分，考察信号含有那些频率的谐波，以及各谐波的幅值和相角。
?- = 2 2 0)(1T T dt t x T a ?- = 2 2 0cos )(2T T n tdt n t x T a ω ? - = 2 2 0sin )(2T T n tdt n t x T b ω 式中 Ｔ--周期；0--基频, 0=2 /T 。 三角函数展开式的另一种形式： ) cos()(1 00∑∞ =++=n n n t n A a t x ?ωN 次谐波 N 次谐波的相角 N 次谐波的频率 N 次谐波的幅值 信号的均值，直流分量
傅立叶变换的原理、意义和应用 1概念：编辑 傅里叶变换是一种分析信号的方法，它可分析信号的成分，也可用这些成分合成信号。许多波形可作为信号的成分，比如正弦波、方波、锯齿波等，傅里叶变换用正弦波作为信号的成分。 参考《数字信号处理》杨毅明著，机械工业出版社2012年发行。 定义 f(t）是t的周期函数，如果t满足狄里赫莱条件：在一个周期内具有有限个间断点，且在这些间断点上，函数是有限值；在一个周期内具有有限个极值点；绝对可积。则有下图①式成立。称为积分运算f(t）的傅里叶变换， ②式的积分运算叫做F（ω）的傅里叶逆变换。F（ω）叫做f(t）的像函数，f(t）叫做 F（ω）的像原函数。F（ω）是f(t）的像。f(t）是F（ω）原像。 ①傅里叶变换 ②傅里叶逆变换 中文译名 Fourier transform或Transformée de Fourier有多个中文译
名，常见的有“傅里叶变换”、“付立叶变换”、“傅立叶转换”、“傅氏转换”、“傅氏变换”、等等。为方便起见，本文统一写作“傅里叶变换”。 应用 傅里叶变换在物理学、电子类学科、数论、组合数学、信号处理、概率论、统计学、密码学、声学、光学、海洋学、结构动力学等领域都有着广泛的应用（例如在信号处理中，傅里叶变换的典型用途是将信号分解成幅值谱——显示与频率对应的幅值大小）。 相关 * 傅里叶变换属于谐波分析。 * 傅里叶变换的逆变换容易求出，而且形式与正变换非常类似; * 正弦基函数是微分运算的本征函数，从而使得线性微分方程的求解可以转化为常系数的代数方程的求解.在线性时不变的物理系统内，频率是个不变的性质，从而系统对于复杂激励的响应可以通过组合其对不同频率正弦信号的响应来获取； *卷积定理指出：傅里叶变换可以化复杂的卷积运算为简单的乘积运算，从而提供了计算卷积的一种简单手段； * 离散形式的傅立叶变换可以利用数字计算机快速地算出（其算法称为快速傅里叶变换算法（FFT)).[1] 2性质编辑 线性性质 傅里叶变换的线性，是指两函数的线性组合的傅里叶变换，等于
龙岩学院学年论文（设计） 论文题目用傅里叶变换计算衍射的光强分布 学院物理与机电工程学院 专业物理学（光电子技术方向） 年级 2011级 姓名徐武童 学号 2011042526 指导教师兑自强 二0一三年四月十二日
用傅里叶变换计算衍射的光强分布 物理与机电工程学院 11物本 2011042526徐武童指导老师：兑自强 【摘要】：利用傅里叶变换式计算光的单缝和圆孔衍射的光强分布，根据计算结果利用MATLAB软件仿真模拟单缝和圆孔衍射及光强分布，分析计算和模拟结果得知衍射图样取决于缝宽或孔径的大小 【关键词】：傅里叶变换；单缝；圆孔；衍射；光强分布
目录 前言1 1.傅里叶变换式 1 1.1一维变换式 2 1.2二维变换式 3 1.3三维傅里叶变换式 3 2. 用傅里叶变换计算衍射的光强分布 4 2.1计算圆孔衍射的光强分布 6 2.2计算单缝衍射的光强分布 7 3.光强分布曲线 8 3.1单缝衍射的光强分布曲线 8 3.2圆孔衍射的光强分布曲线 9 4.讨论10 4.1单缝衍射 10 4.2圆孔衍射 10 总结11 致谢11
0 前言 衍射现象是波动光学中的重要知识，光的衍射的定义从广义上说是光在传播过程中，遇到障碍物时产生的偏离几何光学规律从而引起光强重新分布的现象，也称为绕射。该定义指出光的衍射是一种区别于几何光学规律的光的传播现象。当所选光学元件的尺度与波长相当时，光的传播现象明显不同于几何光学所描述的。它也明确给出了产生衍射现象的条件“光波遇到障碍物”，对于任何一束光都会因在空间传播过程中遇到障碍物而使自由波面受损，从而改变波前后振幅，使光表现出衍射行为。 而傅里叶变换是一种特殊的积分变换，它能将满足一定条件的某个函数表示成正弦基函数的线性组合或者积分。在不同的研究领域，傅里叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅里叶变换和离散傅里叶变换。在数学领域，尽管最初傅立叶分析是作为热过程的解析分析的工具，但是其思想方法仍然具有典型的还原论和分析主义的特征。从纯粹的数学意义上看，傅立叶变换是将一个函数转换为一系列周期函数来处理的。从物理效果看，傅立叶变换是将图像从空间域转换到频率域，其逆变换是将图像从频率域转换到空间域。 在现代光学发展的今天，如何运用傅里叶方法解决干涉、衍射和成像等问题成了至关重要的部分。
研究生课程论文（作业）封面 （ 2014 至 2015 学年度第 1 学期） 课程名称：__________________ 课程编号：__________________ 学生姓名：__________________ 学号：__________________ 年级：__________________ 提交日期：年月日 成绩：__________________ 教师签字：__________________ 开课---结课：第周---第周 评阅日期：年月日 东北农业大学研究生部制
积分变换在工程上的应用 摘要：在现代数学中，傅里叶变换是一种非常重要的积分变换，且在数字信号处理中有着广泛的应用。本文首先介绍了傅里叶变换的基本概念、性质及发展情况；其次，详细介绍了分离变数法及积分变换法在解数学物理方程中的应用，并在分离变数法中对齐次方程及非齐次方程进行了区分。傅里叶变换在不同的领域有不同的形式，诸如现代声学，语音通讯，声纳，地震，核科学，乃至生物医学工程等信号的研究发挥着重要的作用。 关键词：傅里叶变换；偏微分方程；数字信号处理 1 概要介绍 积分变换无论在数学理论或其应用中都是一种非常有用的工具。最重要的积分变换有傅里叶变换、拉普拉斯变换。由于不同应用的需要，还有其他一些积分变换，其中应用较为广泛的有梅林变换和汉克尔变换，它们都可通过傅里叶变换或拉普拉斯变换转化而来。傅里叶变换的典型用途是将信号分解成幅值分量和频率分量。傅里叶变换将原来难以处理的时域信号转换成了易于分析的频域信号（信号的频谱），可以利用一些工具对这些频域信号进行处理、加工。最后还可以利用傅里叶反变换将这些频域信号转换成时域信号。要知道傅立叶变换算法的意义，首先要了解傅立叶原理的意义。傅立叶原理表明：任何连续测量的时序或信号，都可以表示为不同频率的正弦波信号的无限叠加。而根据该原理创立的傅立叶变换算法利用直接测量到的原始信号，以累加方式来计算该信号中不同正弦波信号的频率、振幅和相位。傅里叶变换能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数（正弦和/或余弦函数）或者它们的积分的线性组合。在不同的研究领域，傅里叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅里叶变换和离散傅里叶变换。最初傅里叶分析是作为热过程的解析分析的工具被提出的。 1.傅里叶变换能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数（正弦和/或余弦函数）或者它们的积分的线性组合。在不同的研究领域，傅里叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅里叶变换和离散傅里叶变换。最初傅里叶分析是作为热过程的解析分析的工具被提出的。——（1） 2.傅里叶变换的逆变换容易求出，而且形式与正变换非常类似。 3.正弦基函数是微分运算的本征函数，从而使得线性微分方程的求解可以转化为常系数的代数方程的求解。在线性时不变的物理系统内，频率是个不变的性质，从而系统对于复杂激励的响应可以通过组合其对不同频率正弦信号的响应来获取。 ()()()()()()?? ? ??-++=-? ? ∞ +∞ +∞ -.,200,]cos [1 其它连续点处， 在t f t f t f t f d d t f ωττωτπ 当()t f 满足一定条件时，在()t f 的连续点处有：
中山大学光信息专业实验报告：傅里叶光学变换系统 一、实验目的和内容 1、了解透镜对入射波前的相位调制原理。 2、加深对透镜复振幅、传递函数、透过率等参量的物理意义的认识。 3、观察透镜的傅氏变换（FT ）图像，观察4f 系统的反傅氏变换（IFT ）图像，并进行比较。 4、在4f 系统的变换平面（T ）插入各种空间滤波器，观察各种试件相应的频谱处理图像。 二、实验原理 1、透镜的FT 性质及常用函数与图形的关学频谱分析 透镜由于本身厚度的不同，使得入射光在通过透镜时， 图1 点的厚度。设原复振幅分布为(,)L U x y 的光通过透镜后，幅分布受到透镜的位相调制，附加了一个位相因子(,)x y ?为(,)L U x y '： 图1 (,)(,)exp[(,)]L L U x y U x y j x y ?'= （1） 若对于任意一点（x ，y ）透镜的厚度为(,)D x y ，透镜的中心厚度为0D 。光线由该点通过透镜时在透镜中的距离为(,)D x y ，空气空的距离为0D －(,)D x y ，透镜折射率为n ，则该点的总的位相差为： 00(,)[(,)](,)(1)(,)x y k D D x y knD x y kD k n D x y ?=-+=+- （2） （2）中的k ＝2π/λ，为入射光波波数。 用位相延迟因子(,)t x y 来表示即为： 0(,)exp()exp[(1)(,)]t x y jkD jk n D x y =- （3） 由此可见只要知道透镜的厚度函数(,)D x y 就可得出其相位调制。在球面镜傍轴区域，用抛物面近似球面，可以得到球面透镜的厚度函数为：
毕业设计(论文)外文资料翻译 系别：电子信息系 专业：通信工程 班级：B090310 姓名：孙春甫 学号：B09031015 外文出处：知网 附件： 1. 原文； 2. 译文 2013年05月
Research Progress of the Fractional Fourier Transform in Signal Processing ABSTRACT The fractional Fourier transform is a generalization of the classical Fourier transform, which is introduced from the mathematic aspect by Namias at first and has many applications in optics quickly. Whereas its potential appears to have remained largely unknown to the signal processing community until 1990s. The fractional Fourier transform can be viewed as the chirp-basis expansion directly from its definition, but essentially it can be interpreted as a rotation in the time-frequency plane, i.e. the unified time-frequency transform. With the order from 0 increasing to 1, the fractional Fourier transform can show the characteristics of the signal changing from the time domain to the frequency domain. In this research paper, the fractional Fourier transform has been comprehensively and systematically treated from the signal processing point of view. Our aim is to provide a course from the definition to the applications of the fractional Fourier transform, especially as a reference and an introduction for researchers and interested readers. While solving a heat conduction problem in 1807, a French scientist Jean Baptiste Joseph Fourier, suggested the usage of the Fourier theorem. Thereafter, the Fourier transform (FT) has been applied widely in many scientific disciplines, and has played important role in almost all the science and technology domains. However, with the extension of research objects and scope, the FT has been discovered to have shortcomings. Since the FT is a kind of holistic transform, i.e., through which the whole spectrum is obtained, it cannot obtain the local time-frequency character that is essential and pivotal for processing nonstationary signals. So a series of novel signal analysis theories have been put forward to process nonstationary signals, such as: the fractional Fourier transform, the short-time Fourier transform, Wigner-Ville distribution, Gabor transform, wavelet transform, cyclic statistics, AM/FM signal analysis and so on. Hereinto the fractional Fourier transform (FRFT), as a generalization of the classical FT, has caught more and more attention for its inherent
时域信号 弧频率表示的 傅里叶变换 注释 1 线性 2 时域平移 3 频域平移, 变换2的频域对应4 如果值较大，则会收缩 到原点附近，而会扩 散并变得扁平. 当 | a | 趋向 无穷时，成为 Delta函数。 5 傅里叶变换的二元性性质。通过 交换时域变量和频域变量 得到. 6 傅里叶变换的微分性质 7 变换6的频域对应 8 表示和的卷积—这
9 矩形脉冲和归一化的sinc 函数 10 变换10的频域对应。矩形函数是理想的低通滤波器，sinc 函数是这类滤波器对反因果冲击的响应。 11 tri 是三角形函数 12 变换12的频域对应 13 高斯函数 exp( ? αt 2) 的傅里叶变换是他本身. 只有当 Re(α) > 0时，这是可积的。 14 15 16 a>0 17 变换本身就是一个公式
18 δ(ω) 代表狄拉克δ函数分布. 这 个变换展示了狄拉克δ函数的重要 性：该函数是常函数的傅立叶变换 19 变换23的频域对应 20 由变换3和24得到. 21 由变换1和25得到，应用了欧拉公 式: cos(at) = (e iat + e?iat) / 2. 22 由变换1和25得到 23 这里, n是一个自然数. δ(n)(ω) 是狄拉克δ函数分布的n阶微分。这 个变换是根据变换7和24得到的。 将此变换与1结合使用，我们可以变 换所有多项式。 24 此处sgn(ω)为符号函数；注意此变 换与变换7和24是一致的. 25 变换29的推广. 26 变换29的频域对应. 27 此处u(t)是单位阶跃函数; 此变换 根据变换1和31得到.
傅里叶变换在MATLZB里的应用 摘要：在现代数学中，傅里叶变换是一种非常重要的变换，且在数字信号处理中有着广泛的应用。本文首先介绍了傅里叶变换的基本概念、性质及发展情况；其次，详细介绍了分离变数法及积分变换法在解数学物理方程中的应用。傅立叶变换将原来难以处理的时域信号转换成了易于分析的频域信号，再利用傅立叶反变换将这些频域信号转换成时域信号。应用MATLAB实现信号的谱分析和对信号消噪。 关键词：傅里叶变换；MA TLAB软件；信号消噪 Abstract: In modern mathematics,Fourier transform is a transform is very important ,And has been widely used in digital signal processing.This paper first introduces the basic concepts, properties and development situation of Fourier transform ;Secondly, introduces in detail the method of separation of variables and integral transform method in solving equations in Mathematical Physics.Fourier transformation makes the original time domain signal whose analysis is difficult easy, by transforming it into frequency domain signal that can be transformed into time domain signal by inverse transformation of Fourier. Using Mat lab realizes signal spectral analysis and signal denoising. Key word: Fourier transformation, software of mat lab ,signal denoising 1、傅里叶变换的提出及发展 在自然科学和工程技术中为了把较复杂的运算转化为较简单的运算，人们常常采用所谓变换的方法来达到目的"例如在初等数学中，数量的乘积和商可以通过对数变换化为较简单的加法和减法运算。在工程数学里积分变换能够将分析运算（如微分，积分）转化为代数运算，正是积分变换这一特性，使得它在微分方程和其它方程的求解中成为重要方法之一。 1804年，法国科学家J-.B.-J.傅里叶由于当时工业上处理金属的需要，开始从事热流动的研究"他在题为<<热的解析理论>>一文中，发展了热流动方程，并且指出如何求解"在求解过程中，他提出了任意周期函数都可以用三角级数来表示的想法。他的这种
实验3 傅里叶变换及其性质 1. 实验目的 学会运用MATLAB 求连续时间信号的傅里叶（Fourier ）变换；学会运用MATLAB 求连续时间信号的频谱图；学会运用MATLAB 分析连续时间信号的傅里叶变换的性质。 2. 实验原理及实例分析 傅里叶变换的实现 信号()f t 的傅里叶变换定义为： ()[()]()j t F F f t f t e dt ωω∞ --∞==?， 傅里叶反变换定义为：11()[()]()2j t f t F F f e d ωωωωπ ∞--∞==?。 信号的傅里叶变换主要包括MATLAB 符号运算和MATLAB 数值分析两种方 法，下面分别加以探讨。同时，学习连续时间信号的频谱图。 MATLAB 符号运算求解法 MATLAB 符号数学工具箱提供了直接求解傅里叶变换与傅里叶反变换的函 数fourier( )和ifourier( )。Fourier 变换的语句格式分为三种。 （1） F=fourier(f)：它是符号函数f 的Fourier 变换，默认返回是关于ω的函数。 （2） F=fourier(f,v)：它返回函数F 是关于符号对象v 的函数，而不是默认的ω， 即()()jvt F v f t e dt ∞ --∞=?。 （3） F=fourier(f,u,v)：是对关于u 的函数f 进行变换，返回函数F 是关于v 的 函数，即()()jvu F v f t e du ∞ --∞=?。 傅里叶反变换的语句格式也分为三种。 （1） f=ifourier(F)：它是符号函数F 的Fourier 反变换，独立变量默认为ω，默 认返回是关于x 的函数。 （2） f=ifourier(F,u)：它返回函数f 是u 的函数，而不是默认的x 。 （3） f=ifourier(F,u,v)：是对关于v 的函数F 进行反变换，返回关于u 的函数f 。 值得注意的是，函数fourier( )和ifourier( )都是接受由sym 函数所定义的符号 变量或者符号表达式。
第一章 信号与系统的基本概念 1．信号、信息与消息的差别？ 信号：随时间变化的物理量； 消息：待传送的一种以收发双方事先约定的方式组成的符号，如语言、文字、图像、数据等 信息：所接收到的未知内容的消息，即传输的信号是带有信息的。 2．什么是奇异信号？ 函数本身有不连续点或其导数或积分有不连续点的这类函数统称为奇异信号或奇异函数。例如： 单边指数信号 （在t =0点时，不连续）， 单边正弦信号 （在t =0时的一阶导函数不连续）。 较为重要的两种奇异信号是单位冲激信号δ(t )和单位阶跃信号u(t )。 3．单位冲激信号的物理意义及其取样性质？ 冲激信号：它是一种奇异函数，可以由一些常规函数的广义极限而得到。 它表达的是一类幅度很强，但作用时间很短的物理现象。其重要特性是筛选性，即： ()()()(0)(0)t x t dt t x dt x δδ∞ ∞ -∞ -∞ ==? ? 4．什么是单位阶跃信号？ 单位阶跃信号也是一类奇异信号，定义为： 10()00t u t t >?=?
12()()()x t ax t bx t =+，其中a 和b 是任意常数时， 输出信号()y t 是1()y t 和2()y t 的线性叠加，即：12()()()y t ay t by t =+； 且当输入信号()x t 出现延时，即输入信号是0()x t t -时， 输出信号也产生同样的延时，即输出信号是0()y t t -。 其中，如果当12()()()x t x t x t =+时，12()()()y t y t y t =+，则称系统具有叠加性； 如果当1()()x t ax t =时，1()()y t ay t =则称系统具有均匀性。 线性时不变系统是最基本的一类系统，是研究复杂系统，如非线性、时变系统的基础。 6．线性时不变系统的意义与应用？ 线性时不变系统是我们本课程分析和研究的主要对象，对线性时不变性进行推广，可以得到线性时不变系统具有微分与积分性质，假设系统的输入与输出信号分别为()x t 和()y t ，则 当输入信号为 ()dx t dt 时，输出信号则为() dy t dt ； 或者当输入信号为()t x d ττ-∞ ?时，输出信号则为()t y d ττ-∞ ?。 另外，线性时不变系统对信号的处理作用可以用冲激响应（或单位脉冲响应）、系统函数或频率响应进行描述。而且多个系统可以以不同的方式进行连接，基本的连接方式为：级联和并联。 假设两个线性时不变系统的冲激响应分别为：1()h t 和2()h t ， 当两个系统级联后，整个系统的冲激响应为：12()()*()h t h t h t =； 当两个系统并联后，整个系统的冲激响应为：12()()()h t h t h t =+； 当0t <时，若()0h t =， 则此系统为因果系统； 若|()|h t dt ∞ -∞<∞?， 则此系统为稳定系统。 第二章 连续时间系统的时域分析 1．如何获得系统的数学模型？ 数学模型是实际系统分析的一种重要手段，广泛应用于各种类型系统的分析和控制之中。 不同的系统，其数学模型可能具有不同的形式和特点。对于线性时不变系统，其数学模型
第2 章信号分析 本章提要 ?信号分类 ?周期信号分析--傅里叶级数 ?非周期信号分析--傅里叶变换 ?脉冲函数及其性质信号：反映研究对象状态和运动特征的物理量信号分析：从信号中提取有用信息的方法和手段 §2 －1 信号的分类 ?两大类：确定性信号，非确定性信号确定性信号：给定条件下取值是确定的。 进一步分为：周期信号，非周期信号。
质量－弹簧系 统的力学模型x(t) = A cos k t +0 非确定性信号(随机信号：给定条件下取值是不确定的 ?按取值情况分类：模拟信号，离散信号数字信号：属于离散信号，幅值离散，并用二进制表示。 ?信号描述方法 时域描述如简谐信号
简谐信号及其三个要素 频域描述 以信号的频率结构来描述信号的方法: 将信号看成许多谐波（简谐信号）之和，每一个谐波称作该信号的一个频率成分，考察信号含有那些频率的谐波，以及各谐波的幅值和相角。
T ：周期。注意n 的取值：周期信号“无始无 终” # ? 傅里叶级数的三角函数展开式 x (t ) = a + (a cos n t + b sin n t ) n =1 （n =1, 2, 3 ，…） 傅立叶系数： T a 0 = 1 x (t )dt - 2 T x (t )cos n tdt 2 T 2 x (t ) sin n tdt 2 式中 Ｔ--周 期；0--基频, 0=2/T 。 ? 三角函数展开式的另一种形式： 2 a n = b n =2
快速傅里叶变换的应用发展浅述 摘要：快速傅里叶变换是数字信号处理的常用数学工具， 以运算速度快和信噪 比阈值低为特点。随着时代的进步与科技的日新月异，FFT(快速傅里叶变换)已 经广泛应用于现代数字信号处理的各个领域，如雷达信号处理、卫星通信、无线 通信，故障诊断等，本文将对FFT 在各行业的应用进行综合总述。 一 快速傅里叶变换的产生及定义 1.快速傅里叶变换的产生 快速傅里叶变换的产生来源于离散傅里叶变换。有限长序列可以通过离散傅里叶 变换(DFT)将其频域也离散化成有限长序列.但其计算量太大,很难实时地处理问 题,因此引出了快速傅里叶变换(FFT). 1965年，Cooley 和Tukey 提出了计算离散 傅里叶变换（DFT ）的快速算法，将DFT 的运算量减少了几个数量级。从此， 对快速傅里叶变换（FFT ）算法的研究便不断深入，数字信号处理这门新兴学科 也随FFT 的出现和发展而迅速发展。 2.根据对序列分解与选取方法的不同而产生了FFT 的多种算法，基本算法是基２ DIT 和基２DIF 。FFT 在离散傅里叶反变换、线性卷积和线性相关等方面也有重 要应用。快速傅里叶变换（FFT ）是计算离散傅里叶变换（DFT ）的快速算法。DFT 的定义式为 )(k X =)()(1 0k R W n x N N n kn N ∑-= 在所有复指数值kn N W 的值全部已算好的情况下，要计算一个)(k X 需要N 次复数 乘法和N －1次复数加法。算出全部N 点)(k X 共需2N 次复数乘法和)1(-N N 次 复数加法。即计算量是与2N 成正比的。 FFT 的基本思想：将大点数的DFT 分解为若干个小点数DFT 的组合，从而 减少运算量。 3. 快速傅里叶变换原理 快速傅里叶变换并不象模拟信号或离散信号的傅里叶变换那样的积分变换，它仅 是离散傅里叶变换的快速算法，它是在196年由美国的库里( C o o l e y ，J ．W ．) 和图基( J ．W ．Tu k e y ) [ 二人提 出来的，它的出现使博里叶变换的数字实现 大为提高．使信号分析的面貌 为之改观，具有极大的科学价值。
中山大学光信息专业实验报告：傅里叶光学变换系统 一、实验目的和内容 1、了解透镜对入射波前的相位调制原理。 2、加深对透镜复振幅、传递函数、透过率等参量的物理意义的认识。 3、观察透镜的傅氏变换（FT ）图像，观察4f 系统的反傅氏变换（IFT ）图像，并进行比较。 4、在4f 系统的变换平面（T ）插入各种空间滤波器，观察各种试件相应的频谱处理图像。 二、实验原理 1、透镜的FT 性质及常用函数与图形的关学频谱分析 力。图1 在该点的厚度。设原复振幅分布为(,)L U x y 其复振幅分布受到透镜的位相调制，附加了一个位相因(,)x y ?后变为(,)L U x y '： 图1 (,)(,)exp[(,)]L L U x y U x y j x y ?'= （1） 若对于任意一点（x ，y ）透镜的厚度为(,)D x y ，透镜的中心厚度为0D 。光线由该点通过透镜时在透镜中的距离为(,)D x y ，空气空的距离为0D －(,)D x y ，透镜折射率为n ，则该点的总的位相差为： 00(,)[(,)](,)(1)(,)x y k D D x y knD x y kD k n D x y ?=-+=+- （2） （2）中的k ＝2π/λ，为入射光波波数。 用位相延迟因子(,)t x y 来表示即为： 0(,)exp()exp[(1)(,)]t x y jkD jk n D x y =- （3） 由此可见只要知道透镜的厚度函数(,)D x y 就可得出其相位调制。在球面镜傍轴区域，用抛物面近似球面，可以得到球面透镜的厚度函数为：
22012 111(,)()()2D x y D x y R R =-+- （4） 其中1R 、2R 是构成透镜的两个球面的曲率半径。公式（4）对双凹、双凸、或凹凸透镜都成立。引入焦距f ，其定义为： 12 111(1)()n f R R =-- （5） 代入（3）得： 220(,)exp()exp[()]2k t x y jknD j x y f =-+ （6） 式（6）即是透镜位相调制的表达式，它表明复振幅(,)L U x y 通过透镜时，透镜各点都发生位相延迟。 从式（6）容易看出第一项位相因子0exp()jknD 仅表示入射光波的常量位相延迟，不影响位相的空间分布，即波面形状，所以在运算过程中可以略去。第二项22exp[()]2k j x y f -+是具有调制作用的因子，它表明光波通过透镜的位相延迟与该点到透镜中心的距离的平方成正比。而且与透镜的焦距有关。当考虑透镜孔径后，有： 22(,)exp[()](,)2k t x y j x y p x y f =-+ （7） 其中的(,)p x y 为透镜的光瞳函数，表达式为： 1(,)0p x y ?=?? 孔径内 其 它 （8） 2、透镜的傅里叶变换性质 在单色平面波垂直照射下，夫琅和斐衍射光场的复振幅分布正比于衍射屏透射系数的傅里叶变换。衍射图像的强度分布正比于衍射屏的功率谱分布。一般情况下，我们是将夫朗和斐衍射图像成像到透镜的像方焦平面出，这就是说，作为成像元件的透镜，就相当于傅里叶变换器。 如图2所示，设单位振幅的单色平面光垂直照射一透射系数为(,)t x y 的衍射屏，与衍射屏相距Z 处放置一焦距为f 的薄透镜L ，先观察其像方平面L 的光场分布。为了讨论方便，这里我们忽略透镜材料的吸收、散射、透镜表面的反射以及透镜孔径大小等因素的影响。