第十三讲 三重积分、曲线、曲面积分及场论初步（数一）
一、考试要求
1、理解三重积分的概念，了解三重积分的基本性质。
2、会计算三重积分（直角坐标、柱面坐标、球面坐标）。
3、理解两类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关
系。
4、掌握计算两类曲线积分的方法。
5、掌握格林公式并会运用平面曲线积分与路径元关的条件，会求全微分的原函数。
6、了解两类曲面积分的概念、性质及两类曲面积分的关系，掌握计算两类曲面积分的方法，了解高斯公式、斯托克斯公式，掌握用高斯公式计算曲面积分，会用斯托克斯公式计算曲线积分。
7、了解散度与旋度的概念，并会计算。
8、 会用三重积分、曲线积分及曲面积分，求一些几何量与物理量（平面图形的面积、体积、曲面面积、弧长、质量、重心、转动惯量、引力、功及流量等）。
9、理解方向导数与梯度的概念并掌握其计算方法。
二、内容提要
1、 三重积分的概念 ???Ω
dV z y x f ),,(
2、两类曲线积分
1）、对弧长的曲线积分(第一类曲线积分) (1) 定义：f x y ds f s L
i i i i n
(,)lim (,)=→=?∑λξη0
1
?
(2) 性质：1) 与积分路径的方向无关，即f x y ds f x y ds BA
AB
(,)(,)=??
2) 可加性
f x y ds f x y ds f x y ds L L L L (,)(,)(,)=+???
+2
1
12
2）、对坐标的曲线积分(第二类曲线积分)
(1) 定义：P x y dx Q x y dy P x Q y L
i i i i i i i n
(,)(,)lim [(,)(,)]+=+→=?∑λξηξη0
1
??
(2) 性质：1) 与积分路径的方向有关，即 P x y dx Q x y dy P x y dx Q x y dy L
L
(,)(,)(,)(,)+=-+??
-
2) 可加性
P x y dx Q x y dy P x y dx Q x y dy P x y dx Q x y dy L L L L (,)(,)(,)(,)(,)(,)+=+++??
?+1
12
2
注：以上两种曲线积分可分别推广到空间中去。 3）、 两类曲线积分之间的联系
(1)
Pdx Qdy P
dx ds Q dy ds
ds P Q ds L L L +=+=+???[](cos cos )αβ cos ,cos αβ是有向曲线弧L 的切线向量的方向余弦，
这切线向量的指向与L 的方向一致。 (2)
P d x Q d y R d z P
dx ds Q dy ds R dz
ds
ds P Q R ds L L
L
++=++=++???
[](cos cos cos )αβγ
3、两类曲面积分
1）、对面积的曲面积分(第一类曲面积分) (1) 定义：f x y z dS f S i i i i i n
(,,)lim (,,)=→∑
=??∑λξηζ0
1
?
(2) 性质：1) 与曲面∑的侧面选择无关，即
f x y z dS f x y z dS (,,)(,,)=-∑
∑
????，其中－∑为曲面∑的另一侧
2)可加性
f x y z dS f x y z dS f x y z dS (,,)(,,)(,,)=+∑∑∑
??????2
1
,
其中 ∑=∑+∑12
2）对坐标的曲面积分(第二类曲面积分) (1) 定义：Pdydz Qdzdx Rdxdy ++∑
??
(2) 性质：1) 与积分曲面的侧有关，即
P d y d zQ d z d xR d x d y P d y d zQ d z d xR d x d y ++=
-++∑
-∑
???? 2) 可加性
P d y d zQ d z d xR d x d y P d y d zQ d z d xR d x d y ++=
+++∑∑
????1
P d y d zQ d z d xR d x d y ++∑??2
，
其中∑=∑+∑1
2
3）、 两类曲面积分之间的联系
P d y d zQ d z d xR d x d y P d y d z dS Q dzdx dS R dxdy
dS
dS ++=
++∑∑
????[] =[cos cos cos ]P Q R dS αβγ++∑
?? 其中cos ,cos cos αβγ，为曲面∑在点(x,y,z)处的法线的方向余弦。
4、场论初步 1）、方向导数
设三元函数u f x y z =(,,)在P(x,y,z)处可微，过P(x,y,z)点的有向线段L 的
方向余弦为cos ,cos cos αβγ，，则
????α??β??γu L u x u y u
z p P
=++(
c o s c o s c o s )
2 ）梯度(grad u )
设数量场u(x,y,z)具有连续的偏导数,则grad u u x i u y j u z
k =
++??????
注：沿梯度方向的方向导数为
????????u
gradu u x u y u z =?? ???+?? ??
?+?? ?
??2
2
2
3）、 散度(div
A )
设
A P x y z i Q x y z j R x y z k =++(,,)(,,)(,,), 则 div A P x Q y R z
=++
?????? 4）、 旋度(rot
A )
设
A P x y z i Q x y z j R x y z k =++(,,)(,,)(,,), 则
rot
A i j k x y z P Q R
=?????
?
5）、 流量
设有向量场k R j Q i P F
++=，F 沿定向曲面S 的流通量为
????++=?S
S
dS R Q P dS n F ]cos cos cos [γβα
=??++S
Rdxdy Qdzdx Pdydz 。
5、重积分的应用**
1） 曲面的面积 ),(y x f z =，S=dxdy f f D
y x ??'+'+221
2） 质量 ???Ω
=dV z y x m ),,(μ（其中),,(z y x μ为密度函数，下同）
3） 重心 ??????Ω
Ω
=
dV
z y x dV
z y x x x ),,(),,(μμ，??????Ω
Ω
=
dV
z y x dV
z y x y y ),,(),,(μμ，??????Ω
Ω
=
dV
z y x dV
z y x z z ),,(),,(μμ
4） 转动惯量 dV z y x z y I x ),,()(22μ?+=???Ω
dV z y x z x I y ),,()(22μ?+=???Ω
dV z y x y x I z ),,()(22μ?+=???Ω
dV z y x z y x I ),,()(2220μ?++=???Ω
5） 引力：空间立体Ω对位于点),,(000z y x 处的单位质点引力
dV r x x G F x ???Ω
-?
=30μ，dV r y y G F y ???Ω
-?=30
μ，dV r z z G F z ???Ω-?=30μ 其中.)()()(202020z z y y x x r -+-+-=
三、重要公式与结论
1、三重积分的对称性质
1）对称性 若Ω关于xoy(z=0)平面对称，而1Ω是Ω中对应于0≥z 的部分，则
),,(),,()
,,(),,(,0,),,(2
),,(1z y x f z y x f z y x f z y x f dv z y x f dv z y x f -=-=-?????=???
???Ω
Ω
Ω 关于xoz 或yoz 平面对称时，也有类似的结果.
2） 轮换对称性
若Ω为：2222R z y x ≤++，（或)0,0,0≥≥≥z y x 则 ?????????Ω
Ω
Ω
==dv x y z f dv z x y f dv z y x f ),,(),,(),,(
2、格林公式
设函数P(x,y),Q(x,y)及其一阶偏导数在闭区域D 上连续，则
P d x Q d y Q x P
y d x d y D L +=-???()????
其中L 是D 的边界曲线且取正向。
注：① P,Q 及其一阶偏导数要求连续，
② L 封闭且取正向(沿L 前进时域D 总在左手边)。 3、高斯公式
设P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z)在闭区域Ω上具有一阶连续偏导数，
则 P d y d zQ d z d xR d x d y P x Q y R
z d x d y d
z ++=++?????∑()??????Ω 其中∑是闭域Ω的边界曲面的外侧。 注：① P,Q,R 及其一阶偏导数要求连续，
② ∑应取外侧。
4、斯托克斯公式
设P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z)在曲面∑所张成的空间域Ω内有一阶连续的偏导数，L 为曲面∑的边界曲线，则
P d x Q d y R d z d y d z d z d x d x d y
x y z P Q R L ++=∑????????
?=??∑
?dS n F rot 其中曲线L 的方向与曲面∑所取侧的法线方向满足右手法则。 5、平面曲线积分与路径无关的四个等价条件
设函数P(x,y),Q(x,y)在单连通区域D 上具有一阶连续偏导数，则 1)
Pdx Qdy L
+??与路径无关
2) ????Q x P
y
x y D =?∈?,(,) 3)
Pdx Qdy L
+=?
0, L 为任一简单分段光滑封闭曲线?
4) 存在函数u(x,y)，(x,y)∈D, 使du(x,y)=Pdx+Qdy, 且 u x y P d x Q d y
x y x y (,)(,)
(,)
=+?
00 6、第一类积分的对称性
（1）第一类曲线积分具有对称性：
1） 设L 关于x=0对称，则f x y ds f x y ds f x f x L L (,),(,),=???
????021
关于奇关于偶
L 1是L 的右半部分
2） 设L 关于y=0对称，则f x y ds f x y ds f y f y L L (,),(,),=???
????021
关于奇关于偶
L 1是L 的上半部分
3） 轮换对称性：若x 与y 互换，L 不变，则
f x y ds f y x ds L
L
(,)(,)=??
（2）第一类曲面积分具有对称性：
设Σ关于x=0对称，则f x y z dS f x y z dS f x f x (,,),(,,)=???
??∑∑????021
关于奇关于偶
Σ1是Σ的x ≥0部分
类似地有关于y=0,z=0的对称性情形
轮换对称性：若x ，y ，z 互换，Σ不变，则
f x y z dS f y x z dS f z y x dS (,,)(,,)(,,)==∑
∑
∑
??????
四、典型题型与例题
题型一、三重积分的计算
例1、化??Ω
=d x d y d z
z y x f I ),,(为三次积分，其中Ω为222y x z +=及22x z -=
所围成的闭区域
例2、计算 ???Ω
zdxdydz ，其中Ω为三个坐标面及平面1=++z y x 所围成的闭区域.
例3*、计算???+=Ω
dV y x I )(2
2
, 其中Ω为平面曲线???==022x z
y 绕z 轴旋转一周
形成的曲面与平面z=8所围成的区域。
例4 计算I x y dV =+???22Ω
, 其中Ω是由圆柱面x y 2211+-=(),旋转抛物面
8022z x y z =+=,以及平面所围成的区域。
例5、计算 ???
Ω
+=d x d y d z y x I )(22，其中 Ω 是222z y x =+ 与 a z = )0(>a 所围的立体.
例6、计算
???Ω
++d x d y d z z y x 2)( ，其中Ω 是由 22
y x
z += 和
2222=++z y x 所围空间闭区域。
例7*、 设密度为1的立体Ω由不等式122≤≤+z y x 表示，试求Ω绕直线x=y=z 的转动惯量.
[分析] 点),,(0000z y x M 到直线n
z z m y y l x x l 1
11:
-=-=-的距离为 2
2
2
1
01
01
0n
m l z z y y x x n m l k
j i d ++---=
[解] 质点m 对直线L 的转动惯量为2md ，d 是质点到L 的距离. Ω上任意点(x,y,z)到直线L 的距离的平方
])()()[(3
1
3
1112222x y z x y z z
y
x
k j i d -+-+-==
所求转动惯量为
dv x y x z z y I ])()()[(31
222-+-+-=???Ω
=
??????Ω
Ω++-++dv xy zx yz dv z y x )(32)(322
22 =2222210)
(22
22:)(,)(32)(32z y x z D dxdy z y x dz dv z y x z D ≤+++=++??????Ω =
???=+z rdr z r d dz 02
21020.5
1)(32πθπ 例8、 设f(u)具有连续的导数，f(0)=0,求
题型二、 对弧长的曲线积分的计算方法
重要提示：计算线面积分之前，应尽可能把曲线、曲面方程先代入被积函数进行化简，但转化为格林公式或高斯公式后，却不能再代入计算！
例9、计算x y x y ds L x y y L
2222
2212++++=-?(),其中：
.
:,)(1lim 22222224
???
Ω
→≤++Ω+++
t z y x dV z y x f t t π
例10*、 设曲线Γ是球面x y z 2221++=与平面x+y+z=1的交线，试求积分
()x y
dS +?2
Γ
.
解 ()()x y dS x y z x y z dS dS +=+++++==????2
222
132323223
Γ
ΓΓπ
例11、 计算x dS C x y z R x y z C
2
2222
0,:++=++=????
例12、已知连续函数?
+
+-=L
ds z y x f z y x z y x f ),,(832),,(22π
，求
?
L
ds z y x f ),,(，其中L 为1222=++z y x 与0=++z y x 的交线。
题型三、对坐标的曲线积分的计算方法
例13、 计算(),xy dx x y x y dy L x y L
-+
++=?1244422
2其中是曲线
上从到的一段弧。A B (,)(,)1002
例14、计算xdy ydx
x y L -+?
422
,其中L 是以(1,0)为中心，
半径为R(>0,R ≠1)的正向圆周。
比较*（07-1）：设曲线1),(:=y x f L 过第二象限点M 和第四象限N ，Γ是L 上从M 到N 的一段弧，则下列积分小于0的是[ B ] A ?Γ
dx y x f ),(， B ?Γ
dy y x f ),(， C ?Γ
ds y x f ),(， D
?Γ
),(y x df
例15、（04数1）计算?-L
ydx xdy ,2其中L 为正向圆周222=+y x 在第一象限的
部分。
例16、 计算-+++?y x y dx x x y
dy L 2222,其中L 为自点A(-1,0)沿y x =-2
1至B(2,3)的弧段。
例17、 (格林公式)计算I=ydx x dy
x y C ---+?
()(),1122
其中:
1) C 为圆周x y y 2220+-= ,且取正向
2) C 为椭周48022x y x +-= ,且取正向
例18、 （逆问题) 已知曲线积分1
2
?()()()x y xdy ydx A L +-≡?常数，
其中?()x 是非负可导函数且?()11=, L 是绕原点(0,0)一周的任意正向闭曲线，试求出?()x 及
A.
例19*、(逆问题)设x>0时f(x)连续可微，且f(1)=2,对右半平面(x>0)内任意闭曲线C 有403x ydx xf x dy C
+=?(). 1）求f(x);
2)计算I x ydx xf x dy L
=+?43(), 其中L 是由A(1,0)到B(2,3)的一段弧
[解] 1）由题设，得????(())()
()()xf x x x y y
xf x f x x =?'+=4433
'=-
+f x x
f x x ()()1
42 由f (1).=2 解得f x x x
()=+31
2）因积分与路径无关， 选取沿A C B →→路径
I dy AC CB
==+=??+()215140
3
例20*、 已知0)1(,0)1(='=??，试确定)(x ?使方程
0]sin )([)](23[22=+'--dy y x x ydx x x ?? 成为全微分方程，并求上述方程满足初始条件2
)1(π
=
y 的特解.
[解] y x x P )](23[2?-=， ]sin )([2y x x Q +'-=?， 由
)()(2)(2322x x x x x x y
P
x Q ???''-'-=-???=??， 即 323)(2)(2)(x x x x x x -=-'+''???. 令t e x =，则
t e dt
d dt d dt d 3322)1(-=-+-????，即 t
e 332-=-+???
对应齐次方程组的通解为 .221t t e C e C -+
设特解为 t t t t e e C e C A Ae 3221310
3
103*-+=?-=?=-??， 即有 3
22110
31)(x x C x C x -+=? 由 0)1(,0)1(='=??，得 .51,2121-==C C 故 .10
315121)(32x x x x --=?
例21*、(空间曲线积分)计算空间曲线积分
I y z dx z x dy x y dz L
=-+-+-?()()()
其中L 为x y a 222+=与平面
x a z
h
a h +=>>100(,)的交线，从z 轴正向往z 轴负向看去，曲线L 是逆时针方向。
题型四、对面积的曲面积分的计算
例22
所截得的部分。被柱面为平面，计算 25 5 Σ )( 22=+=+++??y x z y dS z y x ∑
例23 计算曲面积分I ax by cz d dS =+++∑
??()2，其中∑为球面：
x y z R 2222++=.
例24*、 设有曲面x z y x 2:222=++∑,它的面密度为222),(z y x y x ++=μ,求它的质量.
[解] 1)1(:222=++-∑z y x ,1∑为∑在第一卦限部分，则
????∑∑
++=++=1
)(4)(222222dS z y x dS z y x m
.0,1)1(,)1(1:22221≥≤+----=∑y y x y x z
2221)()(1,,1z
y z x z z y y z z x x z =??+??+-=??--=?? 于是
dxdy y z x z x xdS m D ????∑??+??+==1
1
22)()(
12424=dxdy y x x
D ??---1
22)1(18
}1)1(,0),{(221≤+-≥=y x y y x D ,令θθsin ,cos 1r y r x ==- 得
]1c o s 1[81c o s 180
1
2
21
2
1
2??
?
??
-+-?=-+=ππθθπθθr
dr r d dr r
r rdr r
r d m
=.8)1(810
2ππ=--?r
注: 注意θ的取值!
题型五、对坐标的曲面积分的计算方法
例25、计算axdydz z a dxdy x y z ++++∑
??
()()
222212
，其中∑为下半球面z a x y =---222的上
侧，a 为大于0的常数。
例26、计算I ydydz xdzdx z dxdy =-+∑
??2，其中∑是锥面z x y =
+22被平面z=1
和z=2所截出部分的外侧。
例27 计算I xdydz ydzdx zdxdy x y z =++++∑
??
()
22232
，其中
1) ∑是球面：x y z R 2222++=外侧，
2) ∑是不含原点在其内部的光滑闭曲:()()()x y z -+-+-=1231222外侧， 3) ∑是含原点在其内部的光滑闭曲面: 2341222x y z ++=外侧
例28* 设对于半空间x>0内任意的光滑有向封闭曲面S ,都有
??=--S
x zdxdy e dzdx x xyf dydz x xf ,0)()(2
其中函数f(x)在(0,+∞)内具有连续的一阶导数，且.1)(lim 0
=+
→x f x 求f(x). [解] 由题设和高斯公式得
??--=S
x zdxdy e dzdx x xyf dydz x xf 2)()(0
???Ω
--+'±=dV e x xf x f x f x x ))()()((2，
其中Ω为S 围成的有界闭区域，±号对应曲面取外侧或内侧。由S 的任意性，
知 ,0)()()(2=--+'x e x xf x f x f x 0>x . 即x e x
x f x x f 21
)()11()(=-+'，0>x
这是一阶线性非齐次微分方程，其通解为
?+???=--]1[)()11
(2)11(C dx e e x
e x
f dx
x x dx x ).(C e x e x x +=
由于 ,1][l i m )(l i m 200=+=++→→x
Ce e x f x x x x 故必有0)(lim 20=++→x
x x Ce e ，即C+1=0，从而C= -1. 因此有 ).1()(-=x
x e x
e x f
例29、计算 ydz xdy zdx ++?Γ
, Γ:1=++z y x 被三坐标面所截成的三角形的整
个边界,其正向与三角形上侧符合右手规则.
题型六、场论初步
例30 过曲面236222x y z ++=上点P 0111
(,,)处的指向外侧的法向量为
n ,求函数u z
x y =+16822在点P 0处沿方向 n 的方向导数.
[解] F(x,y,z)= 236222x y z ++-, '='='=F F F x p y P y P 000462,,
外法线方向余为cos ,cos ,cos αβγ=''+'+'=
==F F F F x x y z 222
214314114
又
??????u x
u y u
z
P P P 00061481414=
==-,, ?=?+?-?=-=??u n P 0214614314814114
141871117
例31* 确定常数λ，使在右半平面x>0上的向量j y x x i y x xy y x A λ
λ)()(2),(24224+-+=为某具有连续二阶偏导二元函数u(x,y)的梯度，并求u(x,y).
【分析】 平面单连通区域内向量场j y x Q i y x P y x A
),(),(),(+=为某二元函
数u(x,y)的梯度，相当于有 ),(),,(y x Q y
u y x P x u =??=??，从而y
P
y x u x y u x Q ??=
???=???=??22，由此可定出.λ在此基础上，根据积分与路径无关可得??++=y
y x x C dy y x Q dx y x P y x u 0
.),(),(),(0
[解] 令λ)(2),(24y x xy y x P +=，λ)(),(242y x x y x Q +-=，由题设，有 y
P
x Q ??=??，即 .0)1()(424=++λλy x x 可见，当且仅当1-=λ时，所给向量场是梯度场. 在x>0的半平面内任取一点，比如(1,0)作为积分路径的起点，则根据积分与路径无关，有
C dy y x x dx x x y x u y x ++-+?=??02
42
14002),(
=.arctan 2C x
y
+- 其中C 为任意常数.
【评注】 向量场j y x Q i y x P y x A
),(),(),(+=是梯度场
),,(y x u ??dy y
u
dx x u y x du ??+??=),(=j y x Q i y x P ),(),(+
? y
P
x Q ??=??? 0),(),(=+dy y x Q dx y x P 是全微分方程 ? 积分?+L dy y x Q dx y x p ),(),(与路径无关
定积分典型例题20例答案 例1 求2 1lim n n →∞L ． 分析 将这类问题转化为定积分主要是确定被积函数和积分上下限．若对题目中被积函数难以想到，可采取如下方法：先对区间[0,1]n 等分写出积分和，再与所求极限相比较来找出被积函数与积分上下限． 解 将区间[0,1]n 等分，则每个小区间长为1i x n ?=，然后把2111 n n n =?的一个因子1n 乘 入和式中各项．于是将所求极限转化为求定积分．即 21lim n n →∞+L =1lim n n →∞+L =34 = ?． 例2 0 ? =_________． 解法1 由定积分的几何意义知，0 ?等于上半圆周22(1)1x y -+= (0y ≥) 与x 轴所围成的图形的面积．故0 ? = 2 π ． 解法2 本题也可直接用换元法求解．令1x -=sin t （2 2 t π π - ≤≤ ），则 ? =2 2 tdt ππ- ? =2tdt =220 2cos tdt π ?= 2 π 例3 （1）若2 2 ()x t x f x e dt -=?，则()f x '=___；（2）若0 ()()x f x xf t dt =?，求()f x '=___． 分析 这是求变限函数导数的问题，利用下面的公式即可 () () ()[()]()[()]()v x u x d f t dt f v x v x f u x u x dx ''=-?． 解 （1）()f x '=42 2x x xe e ---； （2） 由于在被积函数中x 不是积分变量，故可提到积分号外即0()()x f x x f t dt =?，则 可得 ()f x '=0()()x f t dt xf x +?． 例4 设()f x 连续，且31 ()x f t dt x -=?，则(26)f =_________． 解 对等式310 ()x f t dt x -=? 两边关于x 求导得 32(1)31f x x -?=， 故321(1)3f x x -= ，令3126x -=得3x =，所以1(26)27 f =．
第十章 曲线曲面积分 §10．1对弧长的曲线积分 一、选择题 1. 设曲线弧段AB 为，则曲线积分有关系( ). (A)(,)d (,)d AB BA f x y s f x y s =-? ? ； (B)(,)d (,)d AB BA f x y s f x y s =? ? ； (C) (,)d (,)d 0AB BA f x y s f x y s +=?? ； (D) (,)d (,)d AB BA f x y s f x y s =--? ? ． 答(B). 2. 设有物质曲线23 :,,(01),23 t t C x t y z t ===≤≤其线密度为 ρ它的质量M =( ). (A) 10 t ? ; (B) 10 t t ? ; (C) t ? ; (D) t ? . 答(A). 3.设OM 是从(0,0)O 到(1,1)M 的直线段,则与曲线积分 OM I s =?不相等的积分是( ). (A) 10 x ?; (B) 10 y ? ; (C) d r r ? ; (D) 10 e r ? 答(D). 4 .设L 是从 (0,0) A 到 (4,3) B 的直线段,则曲线积分
()d L x y s -=? ( ). (A) 403d 4x x x ??- ??? ?; (B)3 03d 4y y y ?? - ??? ?; (C)3 034y y y ?- ??; (D) 4 034x x x ? - ? ?. 答(D). 5. 设L 为抛物线2y x =上从点(0,0)到点(1,1)的一段弧,则 曲线积分 s =?( ). (A) x ?; (B) y ? ; (C) 10 x ? ; (D) y ? . 答(C). 6. 设L 是从(1,0)A 到(1,2) B -的直线段,则曲线积分 ()d L x y s +=?( ). (A) ; (B)2; (C) ; (D) . 答(D). 二、填空题 1. 设L 是圆周221x y +=,则31d L I x s =?与52d L I x s =?的大小关系是 . 答:12.I I =
第十一章 曲线积分与曲面积分 内容要点 一、引例 设有一曲线形构件所占的位置是xOy 面内的一段曲线L （图10-1-1），它的质量分布不均匀，其线密度为),(y x ρ，试求该构件的质量. 二、第一类曲线积分的定义与性质 性质1 设α，β为常数，则 ???+=+L L L ds y x g ds y x f ds y x g y x f ),(),()],(),([βαβα； 性质2设L 由1L 和2L 两段光滑曲线组成(记为=L 21L L +)，则 .),(),(),(2 1 2 1 ???+=+L L L L ds y x f ds y x f ds y x f 注： 若曲线L 可分成有限段，而且每一段都是光滑的，我们就称L 是分段光滑的，在以后的讨论中总假定L 是光滑的或分段光滑的. 性质3 设在L 有),(),(y x g y x f ≤，则 ds y x g ds y x f L L ??≤),(),( 性质4（中值定理）设函数),(y x f 在光滑曲线L 上连续，则在L 上必存在一点),(ηξ，使 s f ds y x f L ?=?),(),(ηξ 其中s 是曲线L 的长度. 三、第一类曲线积分的计算：)(), (),(βα≤≤?? ?==t t y y t x x dt t y t x t y t x f ds y x f L )()(])(),([),(22'+'=??β α 如果曲线L 的方程为 b x a x y y ≤≤=),(，则 dx x y x y x f ds y x f b a L )(1])(,[),(2'+=?? 如果曲线L 的方程为 d y c y x x ≤≤=),(，则 dy y x y y x f ds y x f d c L )(1]),([),(2'+=?? 如果曲线L 的方程为 βθαθ≤≤=),(r r ，则 θθθθθβ α d r r r r f ds y x f L )()()sin ,cos (),(22'+=??
线面垂直与面面垂直 基础要点 1、若直线αβ所成的角相等，则平面αβ B ） A 、//αβ B 、α不一定平行于β C 、α不平行于β D 、以上结论都不正确 2、在斜三棱柱111ABC A B C -,90BAC ∠=,又1BC AC ⊥,过1C 作1C H ⊥底面ABC ，垂足为H ，则H 一定在（ B ） A 、直线AC 上 B 、直线AB 上 C 、直线BC 上 D 、△ABC 的内部 3、如图示，平面α⊥平面β，,,A B AB αβ∈∈与两平面,αβ所成的角分别为4π和6 π ，过A 、B 分别作两平面交线的垂线，垂足为,A B ''，则:AB A B ''=（ A ） A 、2:1 B 、3:1 C 、3:2 D 、4:3 4、如图示，直三棱柱11ABB DCC -中，190,4ABB AB ∠==, 12,1BC CC ==DC 上有一动点P ，则△1APC 周长的最小值是 5.已知长方体1111D C B A ABCD -中，21==AB A A , 若棱AB 上存在点P ，使得PC P D ⊥1,则棱AD 长 的取值范围是 。 题型一：直线、平面垂直的应用 1.（2014，江苏卷）如图，在三棱锥P-ABC 中，D ，E ，F 分别为 PC ，AC ，AB 的中点. 已知,685PA AC PA BC DF ⊥===，，. 求证：(1) PA DEF 平面；(2) BDE ABC ⊥平面平面 . 证明： (1) 因为D ，E 分别为棱PC ，AC 的中点， 所以DE ∥PA. 又因为PA ? 平面DEF ，DE ?平面DEF ， 所以直线PA ∥平面DEF. (2) 因为D ，E ，F 分别为棱PC ，AC ，AB 的中点，PA ＝6，BC ＝8，所以DE ∥PA ，DE ＝ 12PA ＝3，EF ＝1 2 BC ＝4. 又因 DF ＝5，故DF 2＝DE 2＋EF 2， 所以∠DEF ＝90°，即DE 丄EF. 又PA ⊥AC ，DE ∥PA ，所以DE ⊥AC. 因为AC∩EF ＝E ，AC ?平面ABC ，EF ?平面ABC ，所以DE ⊥平面ABC. 线面垂直 线线垂直 面面垂直 B` A` B A α β A B C D 1 B 1 C B 1 1 D A D B A
第9章 线面积分习题课 一. 内容提要 1.第一类曲线积分和曲面积分—Riemann 积分的一种 (1) ①当Riemann 积分 ? Ω Ω d )(M f 中2R ?=ΩL (平面曲线段) 或 ?Γ=Ω3R (空间曲线段),f 是定义在L 或Γ上的函数时,就是对 弧长的曲线积分,也称为第一类曲线积分,记为 ? L s x,y f )d (或 ? Γ )d ,(s z x,y f ,其中s d 是L 或Γ的弧微分. ②当Riemann 积分? Ω Ω d )(M f 中3R ?∑=Ω(曲面块), f 是定义 在∑上的函数时,就是对面积的曲面积分,也称为第一类曲面积分,记 为 ??∑ S z y x f d ),,(,其中S d 是曲面(∑的)面积元素. (2) 存在条件及性质--------与重积分相同. (3) 计算方法 ①基本方法 由于线面积分的被积函数f 是定义在曲线段Γ或曲面块∑上的,其自变量z y x ,,必然要满足Γ或∑的方程,故有下面的基本计算方法: 对于?Γ )d ,(s z x,y f ,将曲线段Γ的参量方程?? ? ??===),(),(),(t z z t y y t x x βα≤≤t ,代 入被积式,化为对参量t 的定积分(注意:上限必须大于等于下限): ? Γ )d ,(s z x,y f ?'+'+'=β α 222d )()()()](),(),([t t z t y t x t z t y t x f ; 对于 ??∑ S z y x f d ),,(,将曲面块∑的显式方程),,(y x z z =xy D y x ∈),( (或),,(z x y y =zx D z x ∈),(,或),,(z y x x =yz D z y ∈),()代入被积式,化为投影域xy D (或zx D ,或yz D )上的二重积分: ??∑ S z y x f d ),,(??'+'+=xy D y x y x z z y x z y x f d d 1)] ,(,,[22 , 或 ?? ∑ S z y x f d ),,(??'+'+=zx D z x z x y y z z x y x f d d 1)]),,(,[22 , 或 ?? ∑ S z y x f d ),,(?? '+'+= yz D z y z y x x z y z y x f d d 1],),,([22 . ②利用对称性或几何意义进行计算 ③当曲线段Γ以一般式方程?? ?==0 ),,(0 ),,(z y x G z y x F 给出时,原则上要将其化为参
立体几何 1．P 点在则ABC ?所在的平面外，O 点是P 点在平面ABC 内的射影 ，PA 、PB 、PC 两 两垂直，则D 点是则ABC ? （ B ） (A)重心 (B) 垂心 (C)内心 (D)外心 2．与两个相交平面的交线平行的直线和这两个平面的位置关系是 （ A ） (A)都平行 (B) 都相交 (C) 在两个平面内 (D)至少与其中一个平行 3．若两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相平行，那么这两平面的位置关系是（ A ） (A)平行 (B) 相交 (C)平行或相交 (D)垂直 4．在空间，下述命题正确的是 （ B ） (A)若直线//a 平面M ，直线b a ⊥，则直线⊥b 平面M (B)若平面M //平面N ，则平面M 内任意直线a //平面N (C)若平面M 与N 的交线为a ，平面M 内的直线a b ⊥，则N b ⊥ (D)若平面N 的两条直线都平行平面M ，则平面N //平面M 5．a 、b 表示两条直线，α、β、γ表示三个平面，下列命题中错误的是 （A ） (A),,αα??b a 且ββ//,//b a ，则βα// (B)a 、b 是异面直线，则存在唯一的平面与a 、 b 等距 (C) ,,,b a b a ⊥?⊥βα则βα// (D),,,//,βαβγγα⊥⊥⊥b a 则b a ⊥ 6.直线l //平面α，αβ⊥，则l 与平面β的位置关系是 （ D ） (A) l β? (B) //l β (C) l β与相交 (D ) 以上三种情况均有可能 7．已知直线l ⊥平面α，直线m ?平面β，有以下四个命题：①//l m αβ?⊥② //l m αβ⊥?③//l m αβ?⊥④//l m αβ⊥?，其中正确的是（D ） (A) ①② (B) ②④ (C) ③④ (D) ①③ 8．αβγδ，，，是四个不同的平面，且αγβγαδβδ⊥⊥⊥⊥，，，，则（ B ） (A) ////αβγδ或 (B) ////αβγδ且 (C) 四个平面中可能任意两个都不平行 (D) 四个平面中至多有一对平面平行 9．已知平面α和平面β相交，a 是α内的一条直线，则（ D ） (A) 在β内一定存在与a 平行的直线 (B) 在β内一定存在与a 垂直的直线 (C) 在β内一定不存在与a 平行的直线 (D) 在β内一定不存在与a 垂直的直线 10．已知PA ⊥正方形ABCD 所在平面，垂足为A ，连PB PC PD AC BD ，，、，，则互 相垂直的平面有（ C ） (A) 5对 (B) 6对 (C) 7对 (D) 8对
第十章 曲线积分与曲面积分 10.1 对弧长的曲线积分 一、求曲线cos ,sin ,t t t x e t y e t z e ===从0t =到任意点间的那段弧的质量，设 它各点的密度与该点到原点的距离的平方成反比，且在点(1,0,1)处的密度为 1。 1)t e - ） 二、计算下列曲线积分： 1. L ，其中L 为旋轮线：(sin )(1cos )x a t t y a t =-?? =-?（0t π≤≤2）。 （32 4a π） 2. ()L x y ds +?，其中L 是顶点为(0,0),(1,0),(0,1)O A B 的三角形边界。 （1 3. L ?，其中L 是由极坐标曲线 ,0,r a π θθ=== 4所围成的区域的 边界 曲线。 （ 2(1)a a e ae π -+ 4 ） 4. ()L x y z ds ++?，其中L 由直线AB ：(1,1,0),(1,0,0)A B 及螺线 cos ,sin ,(02)x t y t z t t π===≤≤组成。 （3 22 +） 三、 计算 L ?，其中L 是由,0y x y y ===所围成的 第 一象限 部 分 的 边 界 。 （ 2sin cos R R R π + 4 ） 四、 计算 L ，其中L 是圆：2222x y z a x y ?++=? =?。 （2a π2 ）
五、 计算 L xds ? ，其中L 由直线0,x y x ==及曲线2 2y x -=所围成的第一象 限部分的整个边界 。 （12 12+ ） 10.2 对坐标的曲线积分 一、设一质点处于弹性力场中，弹力方向指向原点，弹力大小与质点到原点的距离 成正比，比例系数为k 。若质点从点(0,)a 沿椭圆22 221x y a b +=在第一象限部 分 移 动 到 点 (0,b ， 求弹力所做的功。 （221 ()2k a b -） 二、计算曲线积分 22 (2)(2)L x xy dx y xy dy ++-?，其中L 是抛物线2(11) y x x =-≤≤沿 x 增加的 方 向 。 （14 15- ） 三、 计算 2 y L xe dy +?，其中L 是曲线y 从点(0,0)O 到点(1,1)的一 段 弧 。 （2322） 四、 计算 2222 ()()L x y dx x y dy ++-?，其中L 是曲线11y x =--从点(0,0)到 点 (2,0) 的一 段 。 （43） 五、 计算 ABC xdy ydx -? ，其中(1,0),(0,1),(1,0)A B C -， AB 为圆 22 1x y +=的上半部分， BC 为L 是一段抛物线2 1y x =-。 （ 4 3π - - 2 ）
1、常用的电线、电缆按用途分有哪些种类？ 答：按用途可分为裸导线、绝缘电线、耐热电线、屏蔽电线、电力电缆、控制电缆、通信电缆、射频电缆等。 2、绝缘电线有哪几种？ 答：常有的绝缘电线有以下几种：聚氯乙烯绝缘电线、聚氯乙烯绝缘软线、丁腈聚氯乙烯混合物绝缘软线、橡皮绝缘电线、农用地下直埋铝芯塑料绝缘电线、橡皮绝缘棉纱纺织软线、聚氯乙烯绝缘尼龙护套电线、电力和照明用聚氯乙烯绝缘软线等。 3、电缆桥架适合于何种场合？ 答：电缆桥架适用于一般工矿企业室内外架空敷设电力电缆、控制电缆，亦可用于电信、广播电视等部门在室内外架设。 4、电缆附件有哪些？ 答：常用的电附件有电缆终端接线盒、电缆中间接线盒、连接管及接线端子、钢板接线槽、电缆桥架等。 5、什么叫电缆中间接头？ 答：连接电缆与电缆的导体、绝缘屏蔽层和保护层，以使电缆线路连接的装置，称为电缆中间接头。
6、什么叫电气主接线？ 答：电气主接线是发电厂、变电所中主要电气设备和母线的连接方式，包括主母线和厂用电系统按一定的功能要求的连接方式。 7、在选择电力电缆的截面时，应遵照哪些规定？ 答：电力电缆的选择应遵照以下原则： （1）电缆的额定电压要大于或等于安装点供电系统的额定电压；（2）电缆持续容许电流应等于或大于供电负载的最大持续电流；（3）线芯截面要满足供电系统短路时的稳定性的要求； （4）根据电缆长度验算电压降是否符合要求； （5）线路末端的最小短路电流应能使保护装置可靠的动作。 8、交联聚乙烯电缆和油纸电缆比较有哪些优点？ 答：（1）易安装，因为它允许最小弯曲半径小、且重量轻； （2）不受线路落差限制； （3）热性能好，允许工作温度高、传输容量大； （4）电缆附件简单，均为干式结构； （5）运行维护简单，无漏油问题； （6）价格较低； （7）可靠性高、故障率低； （8）制造工序少、工艺简单，经济效益显着。
第十三讲 三重积分、曲线、曲面积分及场论初步（数一） 一、考试要求 1、理解三重积分的概念，了解三重积分的基本性质。 2、会计算三重积分（直角坐标、柱面坐标、球面坐标）。 3、理解两类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关 系。 4、掌握计算两类曲线积分的方法。 5、掌握格林公式并会运用平面曲线积分与路径元关的条件，会求全微分的原函数。 6、了解两类曲面积分的概念、性质及两类曲面积分的关系，掌握计算两类曲面积分的方法，了解高斯公式、斯托克斯公式，掌握用高斯公式计算曲面积分，会用斯托克斯公式计算曲线积分。 7、了解散度与旋度的概念，并会计算。 8、 会用三重积分、曲线积分及曲面积分，求一些几何量与物理量（平面图形的面积、体积、曲面面积、弧长、质量、重心、转动惯量、引力、功及流量等）。 9、理解方向导数与梯度的概念并掌握其计算方法。 二、内容提要 1、 三重积分的概念 ???Ω dV z y x f ),,( 2、两类曲线积分 1）、对弧长的曲线积分(第一类曲线积分) (1) 定义：f x y ds f s L i i i i n (,)lim (,)=→=?∑λξη0 1 ? (2) 性质：1) 与积分路径的方向无关，即f x y ds f x y ds BA AB (,)(,)=?? 2) 可加性 f x y ds f x y ds f x y ds L L L L (,)(,)(,)=+??? +2 1 12 2）、对坐标的曲线积分(第二类曲线积分) (1) 定义：P x y dx Q x y dy P x Q y L i i i i i i i n (,)(,)lim [(,)(,)]+=+→=?∑λξηξη0 1 ?? (2) 性质：1) 与积分路径的方向有关，即 P x y dx Q x y dy P x y dx Q x y dy L L (,)(,)(,)(,)+=-+?? - 2) 可加性 P x y dx Q x y dy P x y dx Q x y dy P x y dx Q x y dy L L L L (,)(,)(,)(,)(,)(,)+=+++?? ?+1 12 2 注：以上两种曲线积分可分别推广到空间中去。 3）、 两类曲线积分之间的联系
(二) 线面积分的计算方法 1．曲线积分的计算 ⑴ 基本方法：曲线积分???→转化 定积分 第一类线积分：设),(y x f 在曲线弧L 上有定义且连续，L 的参数方程为 (),(),x t y t ?ψ=??=? ，()t αβ≤≤,（要解决1、积分限，2、被积函数，3、弧微分） 其中(),()t t ?ψ在[,]αβ上具有一阶连续导数，且'2'2 ()()0t t ?ψ+≠，则 (,)[(),(,()L f x y ds f t t βα ?ψαβ=?=?所表示的曲线上相应于233t ππ≤≤的一段弧. 解 （法一）ds adt = =, 故 原式=22sin sin 333 3cos |0a t a t a t e adt ae ππππ??==?. （法二）容易看出积分弧段关于y 轴对称，而被积函数是关于变量x 的奇函数，故 0y L xe ds =? 【例2】 求 ()L x y ds +?，其中L 是以(0,0),(1,0),(0,1)O A B 为顶点的三角形(图10.1)边界. 解 ()()()()L OA AB BO x y ds x y ds x y ds x y ds +=+++++??? ?11 0001xdx ydy =++=???【例3 】求?,式中L 为圆周22(0)x y ax a +=> 解 L 的极坐标方程为 cos (),22r a ds ad ππθθθθ=- ≤≤== 则222cos 2a ad a ππθθ-=?=?? 【例4】求22()L x y ds +?，其中L 是曲线(cos sin ),x a t t t =+ (sin cos ),(02,0)y a t t t t a π=-≤≤≥
定积分典型例题20例答案 例1 求33322 32 1lim (2)n n n n n →∞+++． 分析 将这类问题转化为定积分主要是确定被积函数和积分上下限．若对题目中被积函数难以想到，可采取如下方法：先对区间[0,1]n 等分写出积分和，再与所求极限相比较来找出被积函数与积分上下限． 解 将区间[0,1]n 等分，则每个小区间长为1i x n ?=，然后把2111n n n =?的一个因子1 n 乘 入和式中各项．于是将所求极限转化为求定积分．即 33322 32 1lim (2)n n n n n →∞+++=333 112 lim ()n n n n n n →∞++ +=1303 4 xdx =?． 例2 2 20 2x x dx -? =_________． 解法1 由定积分的几何意义知，2 20 2x x dx -?等于上半圆周22(1)1x y -+= (0y ≥) 与x 轴所围成的图形的面积．故220 2x x dx -? = 2 π ． 解法2 本题也可直接用换元法求解．令1x -=sin t （2 2 t π π - ≤≤ ），则 2 2 2x x dx -? =2 2 2 1sin cos t tdt ππ- -? =2 2 21sin cos t tdt π -? =220 2cos tdt π ?= 2 π 例3 （1）若2 2 ()x t x f x e dt -=?，则()f x '=___；（2）若0 ()()x f x xf t dt =?，求()f x '=___． 分析 这是求变限函数导数的问题，利用下面的公式即可 () () ()[()]()[()]()v x u x d f t dt f v x v x f u x u x dx ''=-?． 解 （1）()f x '=42 2x x xe e ---； （2） 由于在被积函数中x 不是积分变量，故可提到积分号外即0()()x f x x f t dt =?，则 可得 ()f x '=0()()x f t dt xf x +?． 例4 设()f x 连续，且31 ()x f t dt x -=?，则(26)f =_________． 解 对等式310 ()x f t dt x -=? 两边关于x 求导得 32(1)31f x x -?=，
导线截面积与载流量的计算 2008年03月04日星期二11:00 一、一般铜导线载流量导线的安全载流量是根据所允许的线芯最高温度、冷却条件、敷设条件来确定的。一般铜导线的安全载流量为5~8A/mm2，铝导线的安全载流量为3~5A/mm2。<关键点> 一般铜导线的安全载流量为5~8A/mm2，铝导线的安全载流量为3~5A/mm2。如：2.5 mm2 BVV铜导线安全载流量的推荐值2.5×8A/mm2=20A 4 mm2 BVV铜导线安全载流量的推荐值 4×8A/mm2=32A 二、计算铜导线截面积利用铜导线的安全载流量的推荐值5~8A/mm2，计算出所选取铜导线截面积S的上下范围：S=< I /（5~8）>=0.125 I ~0.2 I（mm2）S-----铜导线截面积（mm2）I-----负载电流（A） 三、功率计算一般负载（也可以成为用电器，如点灯、冰箱等等）分为两种，一种式电阻性负载，一种是电感性负载。对于电阻性负载的计算公式：P=UI 对于日光灯负载的计算公式：P=UIcosф，其中日光灯负载的功率因数cosф=0.5。不同电感性负载功率因数不同，统一计算家庭用电器时可以将功率因数cosф取0.8。也就是说如果一个家庭所有用电器加上总功率为6000瓦，则最大电流是I=P/Ucosф=6000/220*0.8=34(A) 但是，一般情况下，家里的电器不可能同时使用，所以加上一个公用系数，公用系数一般0.5。所以，上面的计算应该改写成I=P*公用系数/Ucosф=6000*0.5/220*0.8=17(A) 也就是说，这个家庭总的电流值
为17A。则总闸空气开关不能使用16A，应该用大于17A的。绝缘导线载流量估算 铝芯绝缘导线载流量与截面的倍数关系如下，铜导线见文中所说比例 估算口诀： 二点五下乘以九，往上减一顺号走。 三十五乘三点五，双双成组减点五。 条件有变加折算，高温九折铜升级。 穿管根数二三四，八七六折满载流。 说明： (1)本节口诀对各种绝缘线(橡皮和塑料绝缘线)的载流量(安全电流)不是直接指出，而是“截面乘上一定的倍数”来表示，通过心算而得。由表5 3可以看出：倍数随截面的增大而减小。 “二点五下乘以九，往上减一顺号走”说的是2．5mm’及以下的各种截面铝芯绝缘线，其载流量约为截面数的9倍。如2．5mm’导线，载流量为2．5×9＝22．5(A)。从4mm’及以上导线的载流量和截面数的倍数关系是顺着线号往上排，倍数逐次减l，即4×8、6×7、10×6、16×5、25×4。 “三十五乘三点五，双双成组减点五”，说的是35mm”的导线载流量为截面数的3．5
直线与平面垂直的典型例题 例1 判断题：正确的在括号内打“√”号，不正确的打“×”号． (1)一条直线和一个平面平行，它就和这个平面内的任何直线平行．（ ） (2)如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，那么这条直线和这个平面垂直．（ ） (3)垂直于三角形两边的直线必垂直于第三边．（ ） (4)过点A 垂直于直线a 的所有直线都在过点A 垂直于α的平面内．（ ） (5)如果三条共点直线两两垂直，那么其中一条直线垂直于另两条直线确定的平面．（ ） 例2 在正方体1111D C B A ABCD -中，E 是1BB 的中点，O 是底面正方形ABCD 的中心，求证：⊥OE 平面1ACD 例3 如图，在△ABC 中， 90=∠B ，⊥SA 平面ABC ，点A 在SB 和SC 上的射影分别为N M 、，求证：SC MN ⊥
例4如图，AB 为平面α的斜线，B 为斜足，AH 垂直平面α于H 点，BC 为平面α内的直线，θ=∠ABH ，α=∠HBC ，β=∠ABC ，求证：θαβcos cos cos ?= 例5如图，已知正方形ABCD 边长为4，⊥CG 平面ABCD ，2=CG ，F E 、分别是AD AB 、中点，求点B 到平面GEF 的距离 例6 如图所示，直角ABC ?所在平面外一点S ，且SC SB SA ==． (1)求证：点S 与斜边AC 中点D 的连线SD ⊥面ABC ； (2)若直角边BC BA =，求证：BD ⊥面SAC ．
例7如图所示，?=∠90BAC ．在平面α内，PA 是α的斜线，?=∠=∠60PAC PAB ．求PA 与平面α所成的角． 例8如图，ABCD 是正方形，SA 垂直于平面ABCD ，过A 且垂直于SC 的平面交SB 、SC 、SD 分别于点E 、F 、G ，求证：SB AE ⊥，SD AG ⊥． 例9 如图，求证：如果一个角所在平面外一点到角的两边距离相等，那么这一点在平面内的射影在这个角的平分线上．
（一）对弧长的曲线积分（第一类） （1）对光滑曲线弧() :,()() x t L t y t =?≤≤? =??αβψ (,)d [(),(L f x y s f t t t βα ?ψ=? ?； （2）对光滑曲线弧:()(),L y x a x b ?=≤≤ (,)d (,()) b L a f x y s f x x x ?=? ?； （3）对光滑曲线弧:()(),L r r θαθβ=≤≤ （二）对坐标的曲线积分（第二类） （1）对有向光滑弧() :() x t L y t φψ=??=?，:t αβ→， {}(,)d (,)d [(),()]'()[(),()]'()d L P x y x Q x y y P t t t Q t t t t βα φψφφψψ+=+? ? ； （2）对有向光滑弧:(),:L y x x a b ?=→， {}(,)d (,)d [,()][,()]'()d b L a P x y x Q x y y P x x Q x x x x ???+=+? ? ； （格林公式） d d L D Q P Pdx Qdy x y x y ?? ??+=- ???? ?????； (斯托克斯公式) R Q P R Q P Pdx Qdy Rdz dydz dzdx dxdy y z z x x y Γ∑????????????++=-+-+- ? ? ????????????????? L dydz dzdx dxdy Pdx Qdy Rdz x y z P Q R ∑ ? ??++=?????? ?
（一）对面积的曲面积分（第一型） 计算口诀：一投二代三换，曲积化为重积算. （1）对光滑曲面:(,),(,)x y z z x y x y D ∑=∈， (,,)d (,,(,d x y D f x y z S f x y z x y x y ∑ =?? ?? ； （2）对光滑曲面:(,),(,)y z x x y z y z D ∑=∈， (,,)d [(,),,yz D f x y z S f x y z y z ∑ =?? ??； （3）对光滑曲面:(,),(,)x z y y x z x z D ∑=∈， (,,)d [,(,),xz D f x y z S f x y x z z ∑ =?? ?? （二）对坐标的曲面积分（第二型） 计算口诀：一投二代三定，曲积化为重积算. 1、对光滑曲面:(,),(,)x y z z x y x y D ∑=∈，则 (,,)d d (,, (,))d d x y D R x y z x y R x y z x y x y ∑ =±???? (上侧正，下侧负) 2、对光滑曲面:(,),(,)y z x x y z y z D ∑=∈， (,,)d d ((,), ,)d d y z D P x y z y z P x y z y z y z ∑ =±???? ； (前侧正，后侧负) 3、对光滑曲面:(,),(,)x z y y x z x z D ∑=∈， (,,)d d (,(,),z )d d z x D Q x y z z x Q x y x z z x ∑ =±?? ?? (右侧正，左侧负) 合一投影公式：(,)z z x y = ()()xy D z z Pdydz Qdzdx Rdxdy P Q R dxdy x y ∑????++=?-+?-+????? ????? （高斯公式） ()d d d d d d d d d P Q R P y z Q z x R x y x y z x y z ∑ Ω ???++=++????? ??? ò； ()( )cos cos cos d =d d d P Q R P Q R S x y z x y z ∑Ω???α+β+γ++????????。
1.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是直角梯形，90BCD ∠=?，AB CD ∥，又1AB BC PC ===，2PB =，2CD =，AB PC ⊥． (Ⅰ)求证：PC ⊥平面ABCD ； (Ⅱ)求PA 与平面ABCD 所成角的大小； (Ⅲ)求二面角B PD C --的大小． 2.如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为直角梯形，且AB CD ∥，90BAD ∠=?，2PA AD DC ===，4AB =． (Ⅰ)求证：BC PC ⊥； (Ⅱ)求PB 与平面PAC 所成角的正弦值； (Ⅲ)求点A 到平面PBC 的距离． 3.在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，AB CD ∥，1AB AD ==，12D D CD ==，AB AD ⊥． （Ⅰ）求证：BC ⊥平面1D DB ； （Ⅱ）求1D B 与平面11D DCC 所成角的大小．
9.如图，在三棱锥P －ABC 中，△PAC 和△PBC 是边长为2的等边三角形，AB ＝2，O 是AB 中点． (1)在棱PA 上求一点M ，使得OM ∥平面PBC ； (2)求证：平面PAB ⊥平面ABC . 10.如图所示,三棱锥V -ABC 中,AH ⊥侧面VBC ,且H 是△VBC 的垂心，BE 是VC 边上的高. 求证:VC ⊥AB ; 11.如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，1AB BB =，1AC ⊥平面D BD A ,1为AC 的中点． （1）求证：//1C B 平面BD A 1； （2）求证：⊥11C B 平面11A ABB ； 提示：11A C 中点和1B A 连 D A C B S E F G A 1 B 1 C 1 A B C D
良好的开端是成功的一半 1. “平面区域”型考题 1．不等式组?? ? ??-≥≤+<31y y x x y ，表示的区域为D ，点P 1（0，-2），P 2（0，0），则 （ ） A ．D P D P ??21且 B ．D P D P ∈?21且 C ． D P D P ?∈21且D ．D P D P ∈∈21且 2．已知点P （x 0，y 0）和点A （1，2）在直线0823:=-+y x l 的异侧，则 （ ） A ．02300>+y x B ．<+0023y x 0 C ．82300<+y x D ．82300>+y x 3．已知点P （1，-2）及其关于原点的对称点均在不等式012>+-by x 表示的平面区域内，则b 的取值范围是 ． 2. “平面区域的面积”型考题 1.设平面点集{} 221 (,)()()0,(,)(1)(1)1A x y y x y B x y x y x ??=--≥=-+-≤??? ? ，则A B 所表示的平 面图形的面积为 A 34π B 35π C 47π D 2 π 2.在平面直角坐标系xOy ，已知平面区域{(,)|1,A x y x y =+≤且0,0}x y ≥≥，则平面区域 {(,)|(,)}B x y x y x y A =+-∈的面积为 （ ）A ．2 B ．1 C ．12 D ．1 4 3、若A 为不等式组002x y y x ≤?? ≥??-≤? 表示的平面区域，则当a 从－2连续变化到1时，动直线x y a +=扫 过A 中的那部分区域的面积为 . 4、 若不等式组0 3434 x x y x y ≥?? +≥??+≤? 所表示的平面区域被直线43y kx =+分为面积相等的两部分，则k 的值是 （A ） 73 （B ） 37 （C ）43 （D ） 34 高 5、若0,0≥≥b a ，且当?? ? ??≤+≥≥1,0, 0y x y x 时，恒有1≤+by ax ，则以a ,b 为坐标点(,)P a b 所形成的平面 区域的面积等于__________. 3. “求约束条件中的参数”型考题 1.在平面直角坐标系中，若不等式组10 1010x y x ax y +-≥?? -≤??-+≥? （α为常数）所表示的平面区域内的面积等于2， 则a 的值为 A. －5 B. 1 C. 2 D. 3 2、若直线x y 2=上存在点),(y x 满足约束条件?? ???≥≤--≤-+m x y x y x 03203，则实数m 的最大值为（ ） A ． 21 B ．1 C ．2 3 D ．2 3、设二元一次不等式组2190802140x y x y x y ?+-? -+??+-? ，，≥≥≤所表示的平面区域为M ，使函数(01)x y a a a =>≠，的图 象过区域M 的a 的取值范围是（ ）A ．[1，3] B ．[2，10] C ．[2，9] D ．[10，9] 4.设m 为实数，若{250 (,)300x y x y x mx y -+≥??-≥??+≥? }22 {(,)|25}x y x y ?+≤，则m 的取值范围是___________. 4. “截距”型考题 1. ,x y 满足约束条件241y x y x y ≤?? +≥??-≤? ，则3z x y =+的最大值为( ) ()A 12()B 11 ()C 3()D -1 2.设变量,x y 满足-100+20015x y x y y ≤?? ≤≤??≤≤? ，则2+3x y 的最大值为A ．20 B ．35 C ．45 D ．55 3.若,x y 满足约束条件1030330 x y x y x y -+≥??? +-≤??+-≥??，则3z x y =-的最小值为 。 4.设函数ln ,0 ()21,0 x x f x x x >?=?--≤?，D 是由x 轴和曲线()y f x =及该曲线在点(1,0)处的切线所围成
（1）导线截面积与载流量的计算 （导体的）（连续）截流量(continuous) current-carrying capacity (of a conductor)是指:（导体的）（连续）截流量在规定条件下，导体能够连续承载而不致使其稳定温度超过规定值的最大电流。 导线截面积与载流量的计算 一、一般铜导线载流量导线的安全载流量是根据所允许的线芯最高温度、冷却条件、敷设条件来确定的。一般铜导线的安全载流量为5~8A/mm2，铝导线的安全载流量为3~5A/mm2。如：2.5 mm2 BVV铜导线安全载流量的推荐值2.5×8A/mm2=20A 4 mm2 BVV铜导线安全载流量的推荐值4×8A/mm2=32A 二、计算铜导线截面积利用铜导线的安全载流量的推荐值5~8A/mm2，计算出所选取铜导线截面积S的上下范围： 导线截面积与载流量的计算 S=< I /（5~8）>=0.125 I ~0.2 I（mm2） S-----铜导线截面积（mm2）；I-----负载电流 三、功率计算一般负载（也可以成为用电器，如点灯、冰箱等等）分为两种，一种式电阻性负载，一种是电感性负载。对于电阻性负载的计算公式：P=UI 对于日光灯负载的计算公式：P=UIcos ф，其中日光灯负载的功率因数cosф=0.5。不同电感性负载功率因数不同，统一计算家庭用电器时可以将功率因数cosф取0.8。也就是说如果一个家庭所有用电器加上总功率为6000瓦，则最大电流是I=P/Ucosф=6000/220*0.8=34(A) 但是，一般情况下，家里的电器不可能同时使用，所以加上一个公用系数，公用系数一般0.5。所以，上面的计算应该改写成I=P*公用系数/Ucosф=6000*0.5/220*0.8=17(A)也就是说，这个家庭总的电流值为17A。则总闸空气开关不能使用16A，应该用大于17A的。 四、估算口诀 二点五下乘以九，往上减一顺号走。 三十五乘三点五，双双成组减点五。 条件有变加折算，高温九折铜升级。 穿管根数二三四，八七六折满载流。 说明： 本节口诀对各种绝缘线(橡皮和塑料绝缘线)的载流量(安全电流)不是直接指出，而是“截面乘上一定的倍数”来表示，通过心算而得。倍数随截面的增大而减小。 “二点五下乘以九，往上减一顺号走”，说的是2．5mm’及以下的各种截面铝芯绝缘线，其载流量约为截面数的9倍。如2．5mm’导线，载流量为2．5×9＝22．5(A)。从4mm’及以上导线的载流量和截面数的倍数关系是顺着线号往上排，倍数逐次减l，即4×8、6×7、10×6、16×5、25×4。
定积分典型例题 例1 求21lim n n →∞ ． 分析 将这类问题转化为定积分主要是确定被积函数和积分上下限．若对题目中被积函数难以想到，可采取如下方法：先对区间[0,1]n 等分写出积分和，再与所求极限相比较来找出被积函数与积分上下限． 解 将区间[0,1]n 等分，则每个小区间长为1i x n ?=，然后把2111n n n =?的一个因子1 n 乘 入和式中各项．于是将所求极限转化为求定积分．即 21lim n n →∞+ =1lim n n →∞+ =34=?． 例2 0 ? =_________． 解法1 由定积分的几何意义知，0 ?等于上半圆周22(1)1x y -+= (0y ≥) 与x 轴所围成的图形的面积．故0 ? = 2 π ． 解法2 本题也可直接用换元法求解．令1x -=sin t （2 2 t π π - ≤≤ ），则 ? =2 2 tdt ππ- ? =2tdt =220 2cos tdt π ?= 2 π 例3 比较1 2 x e dx ?，2 1 2 x e dx ?，1 2 (1)x dx +?． 分析 对于定积分的大小比较，可以先算出定积分的值再比较大小，而在无法求出积分值时则只能利用定积分的性质通过比较被积函数之间的大小来确定积分值的大小． 解法1 在[1,2]上，有2 x x e e ≤．而令()(1)x f x e x =-+，则()1x f x e '=-．当0x >时，()0f x '>，()f x 在(0,)+∞上单调递增，从而()(0)f x f >，可知在[1,2]上，有1x e x >+．又 1 22 1 ()()f x dx f x dx =-? ?，从而有2 111 2 2 2 (1)x x x dx e dx e dx +>>???． 解法2 在[1,2]上，有2 x x e e ≤．由泰勒中值定理2 12! x e e x x ξ=++得1x e x >+．注意到 1 2 2 1 ()()f x dx f x dx =-? ?．因此 2 1 11 2 2 2 (1)x x x dx e dx e dx +>>? ??． 例4 估计定积分2 2x x e dx -?的值． 分析 要估计定积分的值, 关键在于确定被积函数在积分区间上的最大值与最小值．