广义逆矩阵
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浅谈广义逆矩阵 摘要：文章介绍莫尔-潘鲁斯(moore-penrose)广义逆矩阵的概念及其与实际背景的联系。文章中定理1和定理2说明条件i与相容线性方程组的基本解的广义逆矩阵的联系，定理3说明条件i和iv与相容线性方程组的最小模解的广义逆矩阵的联系。abstract: the article introduces the concept of moore-penrose’s generalized inverse matrix and its relation with the actual background. theorem 1 and theorem 2 in this article illustrate the relation between conditions 1 and generalized inverse matrix of the fundamental solution of compatible linear equation.theorem 3 illustrates condition i and condition iv’s relation with generalized inverse matrix of the minimal model solution of compatible linear equation. 关键词：广义逆矩阵；相容线性方程组；最小模解 key words: generalized inverse matrix；compatible linear equation；minimal model solution 0 引言 在科技、工程、医学、经济、以及气象学的不同领域，经常会遇到求线性方程组 a■ξ■+a■ξ■+……+a■ξ■=β■a■ξ■+a■ξ■+…… +a■ξ■=β■……………………………a■ξ■+a■ξ■+……
逆矩阵的几种常见求法 潘风岭 摘 要 本文给出了在矩阵可逆的条件下求逆矩阵的几种常见方法，并对每种方法做了具体的分析和评价,最后对几种方法进行了综合分析和比较. 关键词 初等矩阵； 可逆矩阵 ； 矩阵的秩； 伴随矩阵； 初等变换． 1． 相关知识 1.1 定义1 设A 是数域P 上的一个n 级方阵，如果存在P 上的一个n 级方阵B ，使得AB=BA=E,则称A 是可逆的，又称A 是B 的逆矩阵．当矩阵A 可逆时，逆矩阵由A 唯一确定，记为1-A ． 定义2 设()ij n n A a ?=,由元素ij a 的代数余子式ij A 构成的矩阵 11 2111222212n n n n nn A A A A A A A A A ?? ? ? ? ??? 称为A 的伴随矩阵，记为A *. 伴随矩阵有以下重要性质 AA *= A *A=A E. 注:注意伴随矩阵中的元素ij A 的排列顺序. 1．2 哈密尔顿-凯莱定理
设A 是数域P 上的一个n n ?矩阵，f A λλ=E-（）是A 的特征多项式， 则 11122()10n n n nn f A A a a a A A E -=-++ ++ +-=（）（） (证明参见[1]） ． 1.3 矩阵A 可逆的充要条件 1.3.1 n 级矩阵A 可逆的充分必要条件是A 0≠（也即()rank A n =）; 1.3.2 n 级矩阵A 可逆的充分必要条件是A 可写成一些初等矩阵的乘积（证明参见[1]）； 1.3.3 n 级矩阵A 可逆的充分必要条件是A 可以通过初等变换（特别只通过初等行或列变换）化为n 级单位阵（证明参见[1]）； 1.3.4 n 级矩阵A 可逆的充分必要条件是存在一个n 级方阵B ，使得AB=E （或BA=E ）； 1.3.5 n 级矩阵A 可逆的充分必要条件是A 的n 个特征值全不为0；（证明参见[2]）； 1.3.6 定理 对一个s n ?矩阵A 作一初等行变换就相当于在A 的左边乘上相应的s s ?初等矩阵；对A 作一初等列变换就相当于在A 的右边乘上相应的n n ?初等矩阵.（证明参见[1]） 2．矩阵的求逆 2.1 利用定义求逆矩阵 对于n 级方阵A ，若存在n 级方阵B ，使AB=BA=E ，则1B A -=.
第六章 广义逆 广义逆矩阵的概念是方阵逆矩阵概念的推广，广义逆矩阵的基本知识是矩阵理论的重要组成部分，其在数理统计、数值分析、博弈论、控制论、计量经济、电网理论等中有重要的应用。本章首先给出各种广义逆矩阵的概念，重点介绍矩阵{}1-逆及矩阵Moore-Penrose 逆的性质、计算方法及这两种广义逆矩阵在线性方程组求解中的应用，最后给出方阵的群逆与Drazin 逆的基本性质。 §6.1 广义逆矩阵的概述 广义逆矩阵的概念渊源于线性方程组的求解问题。设n C 为复n 维向量空间， m n C ?为复m n ?矩阵全体。设矩阵m n A C ?∈，考虑线性方程组 Ax b = （6-1） 其中，m b C ∈为给定的m 维向量，n x C ∈为待定的n 维向量。 定义1 若存在向量n x C ∈满足线性方程组（6-1），则称线性方程组（6-1）是相容的；否则称线性方程组（6-1）是不相容的。 众所周知，当A 为可逆矩阵时，线性方程组（6-1）有唯一解1x A b -=，其中 1A -是A 的逆矩阵。当A 为不可逆矩阵或长方矩阵时，相容线性方程组（6-1）有 无数解；不相容线性方程组（6-1）无解，但它有最小二乘解，即求n x C ∈，使得 () min y R A Ax b y b ∈-=- （6-2） 成立，其中 代表任意一种向量范数，{} (),m n R A y C y Ax x C =∈=?∈。上述两 种情况的解是否也能表示成一种紧凑的形式x Gb =，其中， G 是某个n m ?矩阵？ 这个矩阵G 是通常逆矩阵的推广。 1920年，E.H. Moore 首先提出广义逆矩阵的概念，由于Moore 的方程过于抽象，并未引起人们的重视。1955年，R. Penrose 给出如下比较直观和实用的广义逆矩阵的概念。 定义2 设矩阵m n A C ?∈，若存在矩阵n m X C ?∈满足下列Penrose 方程 （1）AXA A =； （2）XAX X =； （3）()H AX AX =；
§2 矩阵的广义逆 一、广义逆矩阵的概念 定义1 设任意一个矩阵n m R A ?∈，若存在矩阵m n R X ?∈，满足 AXA =A （1） XAX =X （2） (AX )T =AX （3） (XA )T =XA （4） 这四个方程中的一个、两个、三个或全部，则称X 为A 的广义逆矩阵。 由上面的定义可知，广义逆矩阵有15C C C C 44342414=+++中 之多。本节介绍应用广泛的减号广义逆和加号广义逆。 定义2 对矩阵n m R A ?∈，一切满足方程组 A AXA = 的矩阵X ，称为矩阵A 的减号逆或g-逆。记为-A 。 例如，??? ??=010001B ，??? ??=100001C 都是??? ? ??=010101A 的减号逆。 下面的定理解决了-A 的存在性和构造性问题。 定理1(秩分解) 设A 为n m ?矩阵，()rank A r =，若 Q O O O I P A r ??? ? ?=， 或??? ? ??=--O O O I AQ P r 11
这里P ,Q 分别为n n m m ??,的可逆阵，则 12221 121---??? ??=P G G G I Q A r (5) 其中222112,,G G G 是相应阶数的任意矩阵。 证明 设X 为A 的广义逆，则有 Q O O O I P Q O O O I QXP O O O I P A AXA r r r ??? ? ??=???? ?????? ???= ??? ? ??=???? ?????? ???O O O I O O O I QXP O O O I r r r 若记 ???? ??=2221 1211G G G G QXP 则上式， ??? ? ??=???? ???00 000011r I G r I G =?11 于是， 12221121--??? ? ??=?=P G G G I Q X A AXA r 其中222112,,G G G 任意. 证毕. 定理1不但表明矩阵的减号逆总是存在的，通常也是不唯一的，而且还给出了计算减号逆的方法。
题目广义逆矩阵及其应用学院 专业通信与信息系统学生 学号
目录 第一章前言 (1) 第二章广义逆矩阵 (2) §2.1 广义逆矩阵的定义 (2) §2.2 广义逆矩阵的性质 (3) 第三章广义逆矩阵的计算 (12) §3.1 一般广义逆求解 (12) §3.2 Moore-Penrose 广义逆 (16) 结论 (19)
第一章前言 线性方程组的逆矩阵求解方法只适用于系数矩阵为可逆方阵,但是对于一般线性方程组，其系数矩阵可能不是方阵或是不可逆的方阵，这种利用逆矩阵求解线性方程组的方法将不适用。为解决这种系数矩阵不是可逆矩阵或不是方阵的线性方程组，我们对逆矩阵进行推广，研究广义逆矩阵，利用广义逆矩阵求解线性方程组。 广义逆矩阵在数据分析、多元分析、信号处理、系统理论、现代控制理论、网络理论等许多领域中有着重要的应用，本文针对广义逆矩阵的定义、性质、计算及其在线性方程组中的应用进行研究，利用广义逆矩阵求解线性方程组的通解及极小数解。 逆矩阵的概念只对非奇异矩阵才有意义，但在实际问题中，遇到的矩阵不一定是方阵，即使是方阵也不一定非奇异，这就需要将逆矩阵的概念进行推广。为此，人们提出了下述关于逆矩阵的推广： （1）该矩阵对于奇异矩阵甚至长方矩阵都存在； （2）它具有通常逆矩阵的一些性质； （3）当矩阵非奇异时，它即为原来的逆矩阵。 满足上面三点的矩阵称之为广义逆矩阵。 1903年，瑞典数学家弗雷德霍姆开始了对广义逆矩阵的研究，他讨论了关于积分算子的一种广义逆。1904年，德国数学家希尔伯特在广义格林函数的讨论中，含蓄地提出了微分算子的广义逆。美国芝加哥的穆尔(Moore)教授在1920年提出了任意矩阵广义逆的定义，他以抽象的形式发表在美国数学会会刊上。我国数学家曾远荣和美籍匈牙利数学家·诺伊曼及其弟子默里分别在1933年和1936年对希尔伯特空间中线性算子的广义逆也作过讨论和研究。1951年瑞典人布耶尔哈梅尔重新给出了穆尔(Moore)广义逆矩阵的定义，并注意到广义逆矩阵与线性方程组的关系。1955年，英国数学物理学家罗斯(Penrose)以更明确的形式给出了与穆尔(Moore)等价的广义逆矩阵定义，因此通称为Moore-Penrose广义逆矩阵，从此广义逆矩阵的研究进入了一个新阶段。现如今，Moore-Penrose广义逆矩阵在数据分析、多元分析、信号处理、系统理论、现代控制理论、网络理论等许多领域中有着重要的应用，使这一学科得到迅速发展，并成为矩阵论的一个重要分支。 第二章广义逆矩阵
一、解释概念： 1、多重共线性：是指在多元线性回归模型中，解释变量之间存在的线性关系。 2、SRF：就是样本回归函数。即是将样本应变量的条件均值表示为解释变量的某种函数。 3、解释变量的边际贡献：在回归模型中新加入一个解释变量所引起的回归平方和或者拟合优度的增加值。 4、一阶偏相关系数：反映一个经济变量与某个经济变量的线性相关程度时，剔除另一个变量对它们的影响的真实相关程度的指标。 5、最小方差准则：在模型参数估计时，应当选择其抽样分布具有最小方差的估计式，该原则就是最佳性准则，或者称为最小方差准则。 6、OLS：普通最小二乘估计。是利用残差平方和为最小来求解回归模型参数的参数估计方法。 7、偏相关系数：反映一个经济变量与某个经济变量的线性相关程度时，剔除其它变量（部分或者全部变量）对它们的影响的真实相关程度的指标。 8、WLS：加权最小二乘法。是指估计回归方程参数时，按照残差平方加权求和最小的原则进行的估计方法。 9、U t自相关：即回归模型中随机误差项逐项值之间的相关。即Cov（U t，U s）≠0 t ≠s。 10、二阶偏相关系数：反映一个经济变量与某个经济变量的线性相关程度时，剔除另两个变量对它们的影响的真实相关程度的指标。 11、技术方程式：根据生产技术关系建立的计量经济模型。。 13、零阶偏相关系数：反映一个经济变量与某个经济变量的线性相关程度时，不剔除任何变量对它们的影响的相关程度的指标。也就是简单相关系数。 14、经验加权法：是根据实际经济问题的特点及经验判断，对滞后经济变量赋予一定的权数，利用这些权数构成各滞后变量的线性组合，以形成新的变量，再用最小二乘法进行参数估计的有限分布滞后模型的修正估计方法。
求逆矩阵的方法与矩阵的秩 一、矩阵的初等行变换 （由定理2.4给出的求逆矩阵的伴随矩阵法，要求计算矩阵A 的行列式A 值和它的伴随矩阵*A .当A 的阶数较高时，它的计算量是很大的，因此用伴随矩阵法求逆矩阵是不方便的.下面介绍利用矩阵初等行变换求逆矩阵的方法.在介绍这种方法之前，先给出矩阵初等行变换的定义.） 定义2.13 矩阵的初等行变换是指对矩阵进行下列三种变换： (1) 将矩阵中某两行对换位置； (2) 将某一行遍乘一个非零常数k ； (3) 将矩阵的某一行遍乘一个常数k 加至另一行. 并称(1)为对换变换，称(2)为倍乘变换，称(3)为倍加变换. 矩阵A 经过初等行变换后变为B ，用 A →B 表示，并称矩阵B 与A 是等价的. （下面我们把）第i 行和第j ， ”；把第i 行遍乘k k ”；第j 行的k 倍加至第i 为“ + k ”. 例如，矩阵 A = ????? ?????321321321c c c b b b a a a ???? ? ?????321 3 21321 c c c a a a b b b ???? ??????32 1 321321c c c b b b a a a ???? ? ?????32 1321321 kc kc kc b b b a a a ???? ? ?????32 1 321321 c c c b b b a a a ??? ? ? ??? ??+++32 1 332 2113 21 c c c ka b ka b ka b a a a （关于初等矩阵内容请大家自己阅读教材） 二、运用初等行变换求逆矩阵 由定理2.7的推论“任何非奇异矩阵均能经过初等行变换化为单位阵”可知，对于任意一个n 阶可逆矩阵A ，经过一系列的初等行变换可以化为单位阵I ，那么用一系列同样的初等行变换作用到单位阵I 上，就可以把I 化成A -1.因此，我们得到用初等行变换求逆矩阵的方法：在矩阵A 的右边写上一个同阶的单位矩阵I ，构成一个n ?2n 矩阵 ( A , I )，用初等行变换将左半部分的A 化成单位矩阵I ，与此同时，右半部分的I 就被化成了1-A .即 ( A , I )初等行变换 ?→???( I , A -1 ) 例1 设矩阵 A = ???? ? ?????--23 2 311111 ③k ①，② ②+①k
逆矩阵的几种求法与解析 矩阵是线性代数的主要内容,很多实际问题用矩阵的思想去解既简单又快捷.逆矩阵又是矩阵理论的很重要的内容, 逆矩阵的求法自然也就成为线性代数研究的主要内容之一.本文将给出几种求逆矩阵的方法. 1.利用定义求逆矩阵 定义: 设A 、B 都是n 阶方阵, 如果存在n 阶方阵B 使得AB= BA = E, 则称A 为可逆矩阵, 而称B 为A 的逆矩阵.下面举例说明这种方法的应用. 例1 求证: 如果方阵A 满足A k= 0, 那么EA 是可逆矩阵, 且 （E-A ）1-= E + A + A 2+…+A 1-K 证明 因为E 与A 可以交换, 所以 (E- A )(E+A + A 2+…+ A 1-K )= E-A K , 因A K = 0 ,于是得 (E-A)（E+A+A 2+…+A 1-K ）=E ， 同理可得（E + A + A 2+…+A 1-K ）(E-A)=E ， 因此E-A 是可逆矩阵,且 (E-A)1-= E + A + A 2+…+A 1-K . 同理可以证明(E+ A)也可逆,且 (E+ A)1-= E -A + A 2+…+（-1）1-K A 1-K . 由此可知, 只要满足A K =0，就可以利用此题求出一类矩阵E ±A 的逆矩阵. 例2 设 A =? ? ?? ? ???? ???0000 30000020 0010,求 E-A 的逆矩阵. 分析 由于A 中有许多元素为零, 考虑A K 是否为零矩阵, 若为零矩阵, 则可以采用例2 的方法求E-A 的逆矩阵. 解 容易验证
A 2 =????????? ???0000000060000200， A 3=? ? ?? ? ? ? ?? ???00000000 00006000 ， A 4=0 而 (E-A)(E+A+ A 2+ A 3)=E,所以 (E-A)1-= E+A+ A 2+ A 3= ? ? ?? ? ???????1000 31006210 6211. 2.初等变换法 求元素为具体数字的矩阵的逆矩阵，常用初等变换法.如果A 可逆，则A 可通过初等变换，化为单位矩阵I ，即存在初等矩阵S P P P ,,21Λ使 （1）s p p p Λ21A=I ，用A 1-右乘上式两端，得： （2） s p p p Λ21I= A 1- 比较（1）（2）两式，可以看到当A 通过初等变换化为单位矩阵的同时，对单位矩阵I 作同样的初等变换，就化为A 的逆矩阵A 1-. 用矩阵表示（A I ）??? →?初等行变换 为（I A 1-），就是求逆矩阵的初等行变换法，它是实际应用中比较简单的一种方法.需要注意的是，在作初等变换时只允许作行初等变换.同样，只用列初等变换也可以求逆矩阵. 例1 求矩阵A 的逆矩阵.已知A=???? ? ?????521310132. 解 [A I]→??????????100521010310001132→???? ? ?????001132010310100521 → ??????????--3/16/16/1100010310100521→???? ??????-----3/16/16/110012/32/10103/46/136/1001
第五章 广义逆矩阵 广义逆矩阵是E. H. More 于1920年首次提出的，1995年R. Penrose 利用矩阵方程组给出它更为明确简便的定义。其后，广义逆矩阵在理论和应用方面都得到了迅速发展。它在微分积分方程、数理统计、最优化、测量学等应用科学中发挥了重要作用，更是研究最小二乘等问题不可缺少的工具。广义逆矩阵是矩阵论的一个重要分支。 第一节 广义逆矩阵的概念 对于线性方程组Ax =b ，当方阵A 可逆时，其有唯一解x =A -1b 。但是，在许多实际应用中更多涉及到的是系数矩阵A 是奇异方阵或长方阵的情形。这就从客观上要求人们去探索把通常逆矩阵进行推广的问题。 若A 是可逆的，即有逆矩阵A －1，则A －1必满足下面四个等式 AA －1A =A A －1AA －1=A －1 (AA －1)H =AA －1 (A －1A )H =A －1A 若A 是一个一般的矩阵，是否有矩阵X 存在，满足 AXA =A （1） XAX =X （2） (AX )H =AX （3） (XA )H =XA （4） 这四个方程中的一个、二个、三个或全部呢？这就引出了广义逆矩阵的定义。 定义1 设A ∈C m ×n ，如果X ∈C n ×m 满足（1）—（4）式中的一个、二个、三个或全部，则称X 为A 的广义逆阵。 由上定义可知，广义逆阵有154 4342414=+++C C C C 种之多。为了方便，引进一些记 号：A (i )为满足第i 个方程的广义逆矩阵，即第i 个方程的解矩阵，A {i }为第i 个方程的解集，即A （i ）的全体。同样有记号A (i ，j )，A (i ，j ，k )，A (1，2，3)，A {i ，j }，A {i ，j ，k }，A {1，2，3，4}。 如，A (1，3)为满足第1、第3个方程的广义逆矩阵，A {1，3}为所有A (1，3)的全体构成的集合。 在这15种广义逆矩阵中，常用的有A {1}，A {1，3}，A {1，4}，A {1，2，3，4}。我们将结合线性方程组的解的不同情况，在本章后面各节中进行讨论。为此先了解一下线性方程组的解的问题。
求逆矩阵的若干方法和举例 苏红杏 广西民院计信学院00数本（二）班 [摘 要] 本文详细给出了求逆矩阵的若干方法并给出相应的例子，以供学习有关矩阵方面 的读者参考。 [关键词] 逆矩阵 初等矩阵 伴随矩阵 对角矩阵 矩阵分块 多项式等 引 言 在我们学习《高等代数》时，求一个矩阵的逆矩阵是一个令人十分头痛的问题。但是，在研究矩阵及在以后学习有关数学知识时，求逆矩阵又是一个必不可缺少的知识点。为此，我介绍下面几种求逆矩阵的方法，供大家参考。 定义: n 阶矩阵A 为可逆，如果存在n 阶矩阵B ，使得E BA AB ==，这里E 是n 阶单位矩阵，此时，B 就称为A 的逆矩阵，记为1-A ，即：1-=A B 方法 一. 初等变换法（加边法） 我们知道，n 阶矩阵A 为可逆的充分必要条件是它能表示成一系列初等矩阵的乘积A=m Q Q Q 21， 从而推出可逆矩阵可以经过一系列初等行变换化成单位矩阵。即，必有一系列初等矩阵 m Q Q Q 21使 E A Q Q Q m m =-11 （1） 则1-A =E A Q Q Q m m =-11 （2） 把A ，E 这两个n 阶矩阵凑在一起，做成一个n*2n 阶矩阵（A ，E ），按矩阵的分块乘法，（1）（2）可以合并写成 11Q Q Q m m -（A ，E ）=（11Q Q Q m m -，A ，E Q Q Q m m 11 -）=（E ，1-A ） （3） 这样就可以求出矩阵A 的逆矩阵1-A 。 例 1 . 设A= ???? ? ??-012411210 求1-A 。 解：由（3）式初等行变换逐步得到： ????? ??-100012010411001210→ ????? ??-100012001210010411 →???? ? ??----123200124010112001→
上机操作步骤： 1、样本回归模型：data y x ls y c x 2、Goldfeld-Quandt 法： Sort x （假设有60 个样本，去掉中间16个，则样本应是以下） Smpl 1 22 Ls y c x Rss1= Smpl 39 60 Ls y c x Rss2= F=rss2/rss1= >F 0.05(22,22) ≈2.05 模型存在异方差。 3、White 方法检验模型：（解释变量只有x,就用no cross ,若是有x2 x3 x4等多个解释变量，就用cross ） Smpl 1 60 Ls y c x 在方程窗口点View/residual/white ……… nR 2 = ,> 205.0χ（2）=5.99,或P=0.0044 (n 是样本个数，R^2是可决系数) 4、加权最小二乘法（WLS ）法： ls y c x genr w1=1/resid^2（建议采用此权重变量，也可以使用其他权重变量） ls(w=w1) y c x 5、使用互相关分析命令，初步判断滞后期的长度：cross y x 6、阿尔蒙法建立分布滞后模型：ls y c pdl(x,s,m) （s 代表滞后期长度，m 一般取2或者 3.） 7、模型的短期乘数就是x 的系数。 8、DW 检验法：DW=2，ρ=0，DW=0，一阶高度正相关，DW=4，一阶高度负相关。dl DW ≤≤0，一阶正相关，44≤≤-DW dl ，一阶负相关。 9、BG 检验法：在方程窗口点击VIEW/RESIDUIAL TEST/ SERIAL CORRELATION LM TEST 10、广义差分法： ident resid ls y c x ar(1) 11、虚拟变量模型：（从1985-1998,1996为分界线） smpl 1985 1995 genr d1 = 0 smpl 1996 1998 genr d1 = 1 data d1 genr xd = x*d1 smpl 1985 1998 ls y c x d1 xd
第一套 一、单项选择题 1、双对数模型 μββ++=X Y ln ln ln 10中，参数1β的含义是 （ C ） A. Y 关于X 的增长率 B .Y 关于X 的发展速度 C. Y 关于X 的弹性 D. Y 关于X 的边际变化 2、设k 为回归模型中的参数个数，n 为样本容量。则对多元线性回归方 程进行显著性检验时，所用的F 统计量可表示为（ B ） A. )1() (--k RSS k n ESS B ．)()1()1(2 2k n R k R --- C ．) 1()1()(2 2---k R k n R D ．)()1/(k n TSS k ESS -- 3、回归分析中使用的距离是点到直线的垂直坐标距离。最小二乘准则 是指（ D ） A. 使() ∑=-n t t t Y Y 1?达到最小值 B. 使?min i i Y Y -达到最小值 C. 使t t Y Y ?max -达到最小值 D. 使() 2 1 ?∑=-n t t t Y Y 达到最小值 4、 对于一个含有截距项的计量经济模型，若某定性因素有m 个互斥的类型， 为将其引入模型中，则需要引入虚拟变量个数为（ B ） A. m B. m-1 C. m+1 D. m-k 5、 回归模型中具有异方差性时，仍用OLS 估计模型，则以下说法正确的是（ A ） A. 参数估计值是无偏非有效的 B. 参数估计量仍具有最小方差性 C. 常用F 检验失效 D. 参数估计量是有偏的 6、 在一元线性回归模型中，样本回归方程可表示为（ C ） A. t t t u X Y ++=10ββ B. i t t X Y E Y μ+=)/( C. t t X Y 10???ββ+= D. ()t t t X X Y E 10/ββ+= 7、 在经济发展发生转折时期，可以通过引入虚拟变量方法来表示这种变化。 例如，研究中国城镇居民消费函数时。1991年前后，城镇居民商品性实际支出Y 对实际可支配收入X 的回归关系明显不同。现以1991年为转折时期，设虚拟变 量?? ?=年以前 ， 年以后， 1991019911t D ，数据散点图显示消费函数发生了结构性变化：基本
陕西科技大学 教育实习教案 课题：逆矩阵 学院：职业技术学院 学号： 8070614118 班级：信工 071 姓名：赵进彪
逆矩阵 Ⅱ.教学目的与要求 熟练掌握逆矩阵存在的条件与矩阵求逆的方法 Ⅲ.重点与难点 重点：矩阵的逆 难点：矩阵的逆的概念 Ⅳ.教学内容 定义 1 对于n 阶矩阵A ，如果有一个n 阶矩阵B ，使 E BA AB ==，则说矩阵A 是可逆的，并把B 称为A 的逆矩阵。 A 的逆矩阵记为1-A .,, 的逆阵也一定是的逆阵时为当由定义知B A A B . ,, 212211B B I A B AB I A B AB =====?则设唯一性
.. 111I A A AA A A ==---有的唯一的逆阵记为可逆阵 定理1 若矩阵A 可逆，则0≠A 证 A 可逆，即有1-A ，使E AA =-1 ，故11 ==-E A A 所以 0≠A 定理2 若0≠A ，则矩阵A 可逆，且* 1 1A A A =- 其中*A 为矩阵A 的伴随矩阵 证 由例1知： E A A A AA ==* * 因0≠A ，故有E A A A A A A ==**11 所以有逆矩阵的定义，既有* 1 1A A A =- 当A =0时，，A 称为奇异矩阵，否则称为非奇异矩阵，由上面两定理可知：A 是可逆矩阵的充分必要条件是0≠A ，即可逆矩 阵就是非奇异矩阵。 推论：若E AB =（或E BA =），则1 -=A B 证 1==E B A ，故0≠A ，因而1-A 存在，于是
111*)()(---=====A E A AB A B A A EB B 方程的逆 矩阵满足下述运算规律 ①若A 可逆，则1 -A 也可逆，且 A A =--11)( ②若A 可逆，数0≠λ，则A λ可逆，且11 1 ) (--= A A λ λ ③若B A .为同阶矩阵且均可逆，则B A .也可逆，且111)(---A B AB 证明 ()()() 1111----=A BB A A B AB 1 -=AEA ,1E AA ==- ().111 ---=∴A B AB 例2 求方程 ??? ? ? ??=343122321.A 的逆矩阵 解 023********≠=?+?+?=A A A A ，知1-A 存在 2.11=A 6.21 =A 4.31-=A 3.12-=A 6.22-=A 532 =A 2.13=A 2.23=A 2.33-=A 于是.A 的伴随矩阵为 ?? ??? ? ?----=222563462 .* A
第六章 广义逆矩阵 当A 是n 阶方阵，且det A ≠0时，A 的逆矩阵1A -才存在，此时线性方程组Ax =b 的解可以简洁地表示为x =1 A b -．近几十年来，由于解决各种问题的需要，人们把逆矩阵的概念推广到不可逆方阵或长方矩阵上，从而产生了所谓的广义逆矩阵．这种广义逆矩阵具有通常逆矩阵的部分性质，并且在方阵可逆时，它与通常的逆矩阵相一致；而且这种广义逆矩阵可以给出线性方程组(包括相容的和矛盾的方程组)各种“解”的统一描述． 1920年，，由于不知道它的应用，所以一直未受到重视．直到1955年R.Penrose 利用四个矩阵方程给出广义逆矩阵的更简便实用的定义后，它才引起普遍关注，并得到迅速发展．目前，广义逆矩阵已形成了一套既系统又完整的理论，并在许多学科得到广泛的应用．§6.1 广义逆矩阵的概念 定义6.1 设A ∈C m n ?，如果X ∈C n m ?满足下列四个Penrose 方程 (1)AXA =A ； (2)XAX =X ； (3)()AX AX =H ； (4)H ()=XA XA 的某几个或全部，则称X 为A 的广义逆矩阵，满足全部四个方程的广义逆矩阵X 称为A 的Moore-Penrose 逆． 显然，如果A 是可逆矩阵，则1 X A -=满足四个Penrose 方程． 按照这一定义，可以分为满足一个、二个、三个或四个Penrose 方程的广义逆矩阵，一 共有1234 4444C C C C 15+++=类． 以下定理表明，Moore-Penrose 逆是存在并且惟一的，从而上述的15类广义逆矩阵都是存在的． 定理6.1 设C m n A ?∈，则A 的Moore-Penrose 逆存在且惟一． 证 设rank A ＝r ．若r ＝0，则A 是m ×n 零矩阵，可以验证n ×m 零矩阵满足四个Penrose 方程．若r >0，由定理4．19知，存在m 阶酉矩阵U 和n 阶酉矩阵V 使得其中∑=diag ()12r σ，σ，…，σ，而()12r i i =σ，，…，是A 的非零奇异值．记 则易验证X 满足四个Penrose 方程，故A 的Moore-Penrose 逆存在． 再证惟一性．设X ，Y 都满足四个Penrose 方程，则(为了叙述简明，在等号上注明了推演时所依据的方程号)从而A 的Moore-Penrose 逆是惟一的． 证毕 需要指出的是只要A 不不可逆矩阵，则除Moore-Penrose 逆以外的其他14类广义逆矩阵都不是惟一的．
逆矩阵的几种求法与解析 矩阵是线性代数的主要内容,很多实际问题用矩阵的思想去解既简单又快捷.逆矩阵又是矩阵理论的很重要的内容, 逆矩阵的求法自然也就成为线性代数研究的主要内容之一.本文将给出几种求逆矩阵的方法. 1.利用定义求逆矩阵 定义: 设A、B 都是n 阶方阵, 如果存在n 阶方阵B 使得AB= BA = E, 则称A 为可逆矩阵, 而称B为A 的逆矩阵.下面举例说明这种方法的应用. 例1 求证: 如果方阵A 满足A k= 0, 那么EA是可逆矩阵, 且 （E-A）1-= E + A + A2+…+A1-K 证明因为E 与A 可以交换, 所以 (E- A )(E+A + A2+…+ A1-K)= E-A K, 因A K= 0 ,于是得 (E-A)（E+A+A2+…+A1-K）=E， 同理可得（E + A + A2+…+A1-K）(E-A)=E， 因此E-A是可逆矩阵,且 (E-A)1-= E + A + A2+…+A1-K. 同理可以证明(E+ A)也可逆,且 (E+ A)1-= E -A + A2+…+（-1）1-K A1-K. 由此可知, 只要满足A K=0，就可以利用此题求出一类矩阵E±A的逆矩阵.
例2 设 A =? ? ?? ? ???? ???000030000020 0010,求 E-A 的逆矩阵. 分析 由于A 中有许多元素为零, 考虑A K 是否为零矩阵, 若为零矩阵, 则可以采用例2 的方法求E-A 的逆矩阵. 解 容易验证 A 2=???? ????? ???0000 000060000200， A 3=? ? ?? ? ? ? ?? ???0000 0000 00006000 ， A 4=0 而 (E-A)(E+A+ A 2+ A 3)=E,所以 (E-A)1-= E+A+ A 2+ A 3 =? ? ?? ? ???? ???1000 31006210 6211. 2.初等变换法 求元素为具体数字的矩阵的逆矩阵，常用初等变换法.如果A 可逆，则A 可通过初等变换，化为单位矩阵I ，即存在初等矩阵S P P P ,,21Λ使 （1）s p p p Λ21A=I ，用A 1-右乘上式两端，得： （2） s p p p Λ21I= A 1- 比较（1）（2）两式，可以看到当A 通过初等变换化为单位矩阵的同时，对单位矩阵I 作同样的初等变换，就化为A 的逆矩阵A 1-. 用矩阵表示（A I ）??? →?初等行变换 为（I A 1-），就是求逆矩阵的初等行变换法，它是实际应用中比较简单的一种方法.需要注意的是，在作初等变换时只允许作行初等变换.同样，只用列初等变换也可以求逆矩阵.
第五章 异方差性 思考题 5.1 简述什么是异方差？为什么异方差的出现总是与模型中某个解释变量的变化有关？ 答 ：设模型为),....,,(....n 21i X X Y i i 33i 221i =μ+β++β+β=，如果其他假定均不变，但模型中随机误差项的方差为),...,,()(n 21i Var 2i i =σ=μ，则称i μ具有异方差性。由于异方差性指的是被解释变量观测值的分散程度是随解释变量的变化而变化的，所以异方差的出现总是与模型中某个解释变量的变化有关。 5.2 试归纳检验异方差方法的基本思想，并指出这些方法的异同。 答：各种异方差检验的共同思想是，基于不同的假定，分析随机误差项的方差与解释变量之间的相关性，以判断随机误差项的方差是否随解释变量变化而变化。其中，戈德菲尔德-跨特检验、怀特检验、ARCH 检验和Glejser 检验都要求大样本，其中戈德菲尔德-跨特检验、怀特检验和Glejser 检验对时间序列和截面数据模型都可以检验，ARCH 检验只适用于时间序列数据模型中。戈德菲尔德-跨特检验和ARCH 检验只能判断是否存在异方差，怀特检验在判断基础上还可以判断出是哪一个变量引起的异方差。Glejser 检验不仅能对异方差的存在进行判断，而且还能对异方差随某个解释变量变化的函数形式进行诊断。 5.3 什么是加权最小二乘法？它的基本思想是什么？ 答：以一元线性回归模型为例： 12i i i Y X u ββ=++经检验i μ存在异方差，公式可以表示为22var()()i i i u f X σσ==。选取权数 i w ，当2i σ 越小 时，权数i w 越大。当 2i σ越大时，权数i w 越小。将权数与 残差平方相乘以后再求和，得到加权的残差平方和：2i 21i 2i i X Y w e w )(**β-β-=∑∑，求使加权残差平方和最小的参数估计值**??21ββ和。这种求解参数估计式的方法为加权最小二乘法。 加权最小二乘的基本思想是通过权数Wi 使异方差经受了“压缩”和“扩张”变为同方差。区别对待不同的 2i σ 。对较小的2i e ,给予较大的权数，对较大的2i e 给予较小的权数，从而使∑2i e 更 好地反映2i σ 对残差平方和的影响。 5.4 产生异方差的原因是什么？试举例说明经济现象中的异方差性。 答：原因包括模型设定误差，模型中略去重要解释变量或者模型数学形式不正确都可能
计量经济学第二部分计量专题学习总结 一、分布滞后模型与自回归模型 1.1滞后效应与滞后变量模型 滞后效应，滞后变量，滞后效应产生的原因 滞后变量模型：有限滞后变量模型，无限滞后变量模型 分布滞后模型（各个回归系数的经济含义），自回归模型 滞后变量模型的作用 1.2 分布滞后模型的估计 1.2.1分布滞后模型估计的困难：损失自由度，多重共线性，滞后长度难于确定 处理方法： 对于有限分布滞后模型：通过对各滞后变量加权,组成线性组合变量作为新解释变量引入方程, 有目的地减少需要直接估计的模型参数个数，以缓解多重共线性，保证自由度。 经验加权估计法,阿尔蒙法 对于无限分布滞后模型：主要是通过适当的模型变换，使其转化为只需估计有限个参数的自回归模型。 库伊克模型,自适应预期模型,局部调整模型 1.2.2经验加权估计法：根据实际经济问题的特点及经验判断，对滞后变量赋予一定的权数，利用这些权数构成各滞后变量的线性组合，以形成新的变量，再应用最小二乘法进行估计。（优缺点） 1.2.3阿尔蒙法：设置滞后项系数的取值结构，把它看成是相应滞后期的函数， 进行阿尔蒙多项式变换。整理以后进行变量代换，可用最小二乘法对新模型进行估计。将估计的参数代入阿尔蒙多项式，就可求出原分布滞后模型参数的估计值。 1.2.4滞后长度S的确定：相关系数，调整的判定系数,施瓦茨准则 1.3自回归模型 1.3.1库伊克模型：对于如下无限分布滞后模型，假定假定滞后解释变量对被解释变量的影响随着滞后期的增加而按几何级数衰减。即滞后系数的衰减服从某种公比（分布滞后衰减率）小于1的几何级数。进行库伊克变换最终形式为一阶自回归模型。 库伊克变换的优缺点：新模型的随机扰动项存在一阶自相关 1.3.2自适应预期模型：某些经济变量的变化会或多或少地受到另一些经济变量预期值的影响。可以将解释变量预期值引入模型建立“期望模型”。实际应用中需要对预期的形成机理作出某种假定。自适应预期假定就是其中之一，经济活动主体会根据自己过去在作预期时所犯错误的程度，来修正他们以后每一时期的预期，即按照过去预测偏差的某一比例（调节系数）对当前期望进行修正，使其适应新的经济环境。根据自适应预期假定，自适应预期模型可转化为一阶自回归形式。新模型的随机扰动项存在一阶自相关。 1.3.3局部调整模型：在经济活动中，会遇到为了适应解释变量的变化，被解释变量有一个预期的最佳值与之对应的现象。解释变量的现值影响着被解释变量的预期值，局部调整假设认为，被解释变量的实际变化仅仅是预期变化的一部分（由调整系数来体现）。在局部调整
E-A) 1= E + A + 2 K1 + … +A (E- A )(E+A + A 2+…+ A K 1)= E-A K (E-A) (E+A+A 2 + …+A K 1)=E， 逆矩阵的几种求法与解析 矩阵是线性代数的主要内容 ,很多实际问题用矩阵的思想去解既简单又快捷 .逆矩阵又是矩阵理论的很重要的内容 , 逆矩阵的求法自然也就成为线性代数研究的主要内容之一 .本文将给出几种求逆矩阵的方法 . 1. 利用定义求逆矩阵 定义：设A、B都是n阶方阵,如果存在n阶方阵B使得AB= BA = E,则称A 为可逆矩阵，而称B为A的逆矩阵.下面举例说明这种方法的应用. 例1 求证：如果方阵A满足A k= 0,那么EA是可逆矩阵,且 证明因为E与A可以交换，所以 因A K= 0 ,于是得 同理可得( E + A + A 2 + … +A K 1 )(E-A)=E ， 因此E-A是可逆矩阵，且 (E-A) 1 = E + A + A 2 +…+A K 1 同理可以证明 (E+ A) 也可逆,且
E-A 的逆矩阵. (E+ A) 1 = E -A + A 2+…+ (-1 ) K1A K1 . 由此可知，只要满足A K =0，就可以利用此题求出一类矩阵E A 的逆矩阵. 例2 设 A = 00 20 00 03 ,求 0003 0000 分析 由于A 中有许多元素为零，考虑A K 是否为零矩阵，若为零矩阵，则可以 采用例2的方法求E-A 的逆矩阵. 解 容易验证 00 2 0 0 0 0 6 2 00 0 6 3 0 0 0 0 4 A 2 = ■ A 3= ， A 4 =0 00 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 而 (E-A)(E+A+ A 2 + A 3 )=E , 所以 1 1 2 6 1 2 3 0 1 2 6 (E-A) E+A+ A 2 + A . 0 0 1 3 0 0 0 1 2. 初等变换法 求元素为具体数字的矩阵的逆矩阵，常用初等变换法 ?如果A 可逆，则A 可通过 初等变换，化为单位矩阵I ，即存在初等矩阵R,P 2 , P S 使 （1） p 1 p 2 p s A=I ，用 A 1 右乘上式两端，得： （2） p 1 p 2 p s I= A 1 比较（1）（2）两式，可以看到当A 通过初等变换化为单位矩阵的同时，对单 位矩阵I 作同样的初等变换，就化为A 的逆矩阵A 1. 用矩阵表示（ A I ） 为（ I A 1 ），就是求逆矩阵的初等行变换法， 它是实际应用中比较简单的一种方法 .需要注意的是，在作初等变换时只允许作行初 等
上 海 金 融 学 院 《__计量经济学_______》课程 非集中考试 考试形式： 闭卷 考试用时: __90_ 分钟 考试时只能使用简单计算器(无存储功能) 试 题 纸 一、名词解释（每个3分，共12分） 单积；多重共线性；伪回归；格兰杰因果性检验 二、单项选择题（每题2分，共20分） 1?已知含有截距项的三元线性回归模型估计的残差平方和为8002=∑t e ，估计 用样本容量为24=n ，则随机误差项t u 的方差估计量为( )。 A.33.33 B.40 C.38.09 D.36.36 2、如果模型中出现随机解释变量并且与随机误差项相关时，最常用的估计方法是（）。 A.普通最小二乘法 B.加权最小二乘法 C.差分法 D.工具变量法 3?下列检验中用来检验线性回归结构稳定性的是（ ） A ．邹检验 B ．戈德-匡特检验 C ．格兰杰检验 D ．DW 检验 4、某商品需求函数为u x b b y i i i ++=10，其中y 为需求量，x 为价格。为了考虑“地区”（农村、城市）和“季节”（春、夏、秋、冬）两个因素的影响，拟引入虚拟变量，则应引入虚拟变量的个数为（ ）。 A.2 B.4 C.5 D.6 5?已知模型的形式为u x y 21+β+β=,在用实际数据对模型的参数进行估计的时候,测得DW 统计量为0.6453,则广义差分变量是( )
A. 1t t ,1t t x 6453.0x y 6453.0y ---- B. 1t t 1t t x 6774.0x ,y 6774.0y ---- C. 1t t 1t t x x ,y y ---- D. 1t t 1t t x 05.0x ,y 05.0y ---- 6、对模型Yi=β0+β1X1i+β2X2i+μi 进行总体显著性检验，如果检验结果总体线性关系显著，则不可能( ) A.β1=β2=0 B.β1≠0,β2=0 C.β1=0,β2≠0 D.β1≠0,β2≠0 7?某一时间序列经两次差分变换成平稳时间序列，此时间序列为（ ）。 A ．1阶单整 B ． 3阶单整 C ．2阶单整 D ．以上答案均不正确 8.反映由模型中解释变量所解释的那部分离差大小的是( )。 A.总体平方和 B.回归平方和 C.残差平方和 9.设k 为回归模型中的参数个数（包括截距项），n 为样本容量，ESS 为残差平方和，RSS 为回归平方和。则对总体回归模型进行显著性检验时构造的F 统计量为（）。 A.)/()1/(k n ESS k RSS F --= B.)/()1/(1k n ESS k RSS F ---= C.ESS RSS F = D.RSS ESS F = 10.根据样本资料已估计得出人均消费支出Y 对人均收入X 的回归方程为 X Y ln 75.000.2ln += ，这表明人均收入每增加１％，人均消费支出将增加（）。 A.2% B.0.2% C.0.75% D.7.5% 三、多选题（每题2分，共10分） 1.下列哪些形式是正确的（）。 A.X Y 10ββ+= B. μββ++=X Y 10 C.μββ++=X Y 10?? D.μββ++=X Y 10??? E.X Y 10???ββ+= F.X Y E 10)(ββ+= G. X Y 10??ββ+= H.e X Y ++=10??ββ