《立体几何初步》学案
一、基础知识（理解去记）
（一）空间几何体的结构特征
（1）多面体——由若干个平面多边形围成的几何体.
围成多面体的各个多边形叫叫做多面体的面，相邻两个面的公共边叫做多面体的棱，棱与棱的公共点叫做顶点。
旋转体——把一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转形成的封闭几何体。其中，这条定直线称为旋转体的轴。 （2）柱，锥，台，球的结构特征 1.棱柱
1.1棱柱——有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。
1.2相关棱柱几何体系列（棱柱、斜棱柱、直棱柱、正棱柱）的关系：
①
??
??????→???????
→?????
底面是正多形
棱垂直于底面
斜棱柱棱柱正棱柱直棱柱其他棱柱
②四棱柱 底面为平行四边形 平行六面体 侧棱垂直于底面 直平行六面体 底面为矩形
长方体 底面为正方形 正四棱柱 侧棱与底面边长相等 正方体 1.3棱柱的性质：
①侧棱都相等，侧面是平行四边形；
②两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形； ③过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形； ④直棱柱的侧棱长与高相等，侧面与对角面是矩形。 补充知识点 长方体的性质：
①长方体一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱的平方和；【如图】
2
2
2
2
11
AC AB AD AA =++
②（了解）长方体的一条对角线1
AC 与过顶点A 的三条棱所
成
的
角分
别是
αβ
，，，那
么2
2
2
c
o s
c o s c o s 1αβγ++=，
2
2
2
sin
sin sin 2
αβγ++=；
③（了解）长方体的一条对角线
1
AC 与过顶点A 的相邻三个面所成的角分别是αβγ，，，则
2
2
2
c o s c o s c o s 2
αβγ++=，
2
2
2
sin sin sin 1
αβγ++=.
1.4侧面展开图：正n 棱柱的侧面展开图是由n 个全等矩形组成的以底面周长和侧棱长为邻边的矩形.
1.5面积、体积公式：
2S c h
S c h S S h
=?=?+=?直棱柱侧直棱柱全底棱柱底，V （其中c 为底面周长，h 为棱柱的
A
B
高）
注意:大多数省市在高考试卷会给出面积体积公式，因此考生可以不用刻意地去记 2.圆柱
2.1圆柱——以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆柱.
2.2圆柱的性质：上、下底及平行于底面的截面都是等圆；过轴的截面（轴截面）是全等的矩形.
2.3侧面展开图：圆柱的侧面展开图是以底面周长和母线长为邻边的矩形.
2.4面积、体积公式：
S 圆柱侧=2rh π；S 圆柱全=222rh r ππ+，V 圆柱=S 底h=2
r h π（其中r 为底面半径，h 为圆柱高） 3.棱锥
3.1棱锥——有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥。 正棱锥——如果有一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的射影是底面的中心，这样的棱锥叫做正棱锥。
3.2棱锥的性质：
①平行于底面的截面是与底面相似的正多边形，相似比等于顶点到截面的距离与顶点到底面的距离之比；
②正棱锥各侧棱相等，各侧面是全等的等腰三角形；
③正棱锥中六个元素，即侧棱、高、斜高、侧棱在底面内的射影、斜高在底面的射影、底面边长一半，构成四个直角三角形。）（如上图：,,,SO B SO H SBH O BH 为直角三角形） 3.3侧面展开图：正n 棱锥的侧面展开图是有n 个全等的等腰三角形组成的。
3.4面积、体积公式：S 正棱锥侧=12ch '
，S 正棱锥全=1
2ch S '+底
，V 棱锥=13
S h
?底.（其中c 为底面
周长，h '侧面斜高，h 棱锥的高）
4.圆锥
4.1圆锥——以直角三角形的一直角边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆锥。
4.2圆锥的性质：
①平行于底面的截面都是圆，截面直径与底面直径之比等于顶点到截面的距离与顶点到底面的距离之比； ②轴截面是等腰三角形；如右图：SA B ③如右图：2
2
2
l h r =+.
4.3圆锥的侧面展开图：圆锥的侧面展开图是以顶点为圆心，以母线长为半径的扇形。 4.4面积、体积公式：
S 圆锥侧=rl π，S 圆锥全=()r r l π+，V 圆锥=2
1
3r h
π（其中
r 为底面半径，h 为圆锥的高，l 为母线长） 5.棱台
侧面
母线
A
B
B
5.1棱台——用一个平行于底面的平面去截棱锥，我们把截面与底面之间的部分称为棱台. 5.2正棱台的性质：
①各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰梯形；
②正棱台的两个底面以及平行于底面的截面是正多边形； ③ 如右图：四边形`,``O M N O O B B O 都是直角梯形
④棱台经常补成棱锥研究.如右图：`SO M 与SO N ,
S`O `B `与SO B 相似，注意考虑相似比. 5.3棱台的表面积、体积公式：
S S
S 全上底下底＝S ＋＋侧
，
1
S `)3
V S h
棱台＝（，（其中,`S S 是上，下底面面积，h 为棱台的高）
6.圆台
6.1圆台——用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台.
6.2圆台的性质：
①圆台的上下底面，与底面平行的截面都是圆； ②圆台的轴截面是等腰梯形；
③圆台经常补成圆锥来研究。如右图：
`SO A SOB 与相似，注意相似比的应用.
6.3圆台的侧面展开图是一个扇环； 6.4圆台的表面积、体积公式：
2
2
()S r R R r l
πππ+++全＝，
V
圆台2211S `))33S h r rR R h
πππ+++＝（＝（，（其中r ，R 为上下底面半径，h 为高）
7.球
7.1球——以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称球. 或空间中，与定点距离等于定长的点的集合叫做球面，球面所围成的几何体叫做球体，简称球；
7.2球的性质：
①球心与截面圆心的连线垂直于截面；
②r =
d 、球的半径为R 、截面
的半径为r ）
7.3球与多面体的组合体：球与正四面体，球与长方体，球与正方体等的内接与外切.
注：球的有关问题转化为圆的问题解决.
7.4球面积、体积公式：2
3
44,3
S R V R
ππ==
球球（其
中R 为球的半径）
（二）空间几何体的三视图与直观图
根据最近几年高考形式上看，三视图的考察已经淡化，所以同学只需了解即可 1.投影：区分中心投影与平行投影。平行投影分为正投影和斜投影。
2.三视图——是观察者从三个不同位置观察同一个空间几何体而画出的图形； 正视图——光线从几何体的前面向后面正投影，得到的投影图； 侧视图——光线从几何体的左面向右面正投影，得到的投影图；
正视图——光线从几何体的上面向下面正投影，得到的投影图； 注：（1）俯视图画在正视图的下方，“长度”与正视图相等；侧视图画在正视图的右边，“高度”与正视图相等，“宽度”与俯视图。（简记为“正、侧一样高，正、俯一样长，俯、侧一样宽”. （2）正视图，侧视图，俯视图都是平面图形，而不是直观图。
3.直观图：
3.1直观图——是观察着站在某一点观察一个空间几何体而画出的图形。直观图通常是在平行投影下画出的空间图形。 3.2斜二测法：
step1：在已知图形中取互相垂直的轴Ox 、Oy ，（即取90xoy ∠=? ）；
step2：画直观图时，把它画成对应的轴'',''o x o y ，取'''45(135)x o y or ∠=??，它们确定的平面表示水平平面；
step3：在坐标系'''x o y 中画直观图时，已知图形中平行于数轴的线段保持平行性不变，平行于x 轴（或在x 轴上）的线段保持长度不变，平行于y 轴（或在y 轴上）的线段长度减半。
结论：一般地，采用斜二测法作出的直观图面积是原平面图形面积的4倍. 解决两种常见的题型时应注意：
（1）由几何体的三视图画直观图时，一般先考虑“俯视图”.
（2）由几何体的直观图画三视图时，能看见的轮廓线和棱画成实线，不能看见的轮廓线和棱画成虚线。
二 点、直线、平面之间的位置关系 平面的基本性质
1.平面——无限延展，无边界 1.1三个定理与三个推论
公理1：如果一条直线上有两点在一个平面内，那么直线在平面内。 用途：常用于证明直线在平面内.
图形语言： 符号语言： 公理2：不共线的三点确定一个平面. 图形语言： 推论1：直线与直线外的一点确定一个平面. 图形语言： 推论2：两条相交直线确定一个平面. 图形语言： 推论3：两条平行直线确定一个平面. 图形语言：
用途：用于确定平面。
公理3：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有公共点，这些公共点的集合是一条直线（两个平面的交线）.
用途：常用于证明线在面内，证明点在线上.
图形语言： 符号语言： 形语言，文字语言，符号语言的转化：
（二）空间图形的位置关系
1.空间直线的位置关系：??
? 共面:a b=A,a//b 异面:a与b异面
平行线的传递公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行。符号表述：//,////a b b c a c ? 等角定理：如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补。 异面直线：（1）定义：不同在任何一个平面内的两条直线——异面直线；
（2）判定定理：连平面内的一点与平面外一点的直线与这个平面内不过此点的直线是异面直线。
图形语言：
符号语言：
PA a P A a A a ααα??
?∈?
???????
与异面
异面直线所成的角：（1）范围：
(]
0,90θ∈??；（2）作异面直线所成的角：平移法.
如右图，在空间任取一点O ，过O 作'//,'//a a b b ，则','a b 所成的θ角为异面直线,a b 所成的角。特别地，找异面直线所成的角时，经常把一条异面直线平移到另一条异面直线的特殊点（如线段中点，端点等）上，形成异面直线所成的角.
2.直线与平面的位置关系： //l l A l l αααα???
=?????
??
图形语言：
3.平面与平面的位置关系：αβ
αβαβ??
????
⊥?? 平行：//斜交：=a 相交垂直：
（三）平行关系（包括线面平行，面面平行）
1.线面平行：
①定义：直线与平面无公共点.
②判定定理：////a b a a b ααα?
?
??????（线线平行?线面平行）【如图】 ③性质定理：////a a a b b α
βαβ?
?
????=? （线面平行?线线平行）【如图】
④判定或证明线面平行的依据：（i ）定义法（反证）：//l l αα=?? （用于判断）；（ii ）判定定理：////a b a a b ααα??
??????“线线平行?面面平行”（用于证明）；（iii ）////a a αββα?
????
“面面平行?线面平行”（用于证明）；（4）//b a b a a ααα⊥?
?
⊥?????（用于判断）；
2.线面斜交：l A α=
①直线与平面所成的角（简称线面角）：若直线与平面斜交，则平面的斜线与该斜线在平面内射影的夹角。【如图】 P O α⊥于O ，则AO 是PA 在平面α内的射影， 则P A O ∠就是直线PA 与平面α所成的角。
范围：[]
0,90θ∈??，注：若//l l αα?或，则直线l 与平面α所成的角为0?；若l α⊥，则直线l 与
平面α所成的角为90?。 3.面面平行：
①定义：//αβαβ=?? ；
②判定定理：如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么两个平面互相平行； 符号表述：,,,//,////a b a b O a b ααααβ?=? 【如下图①】
O b a
β
αa'
b'
O O b a
β
α
图① 图②
推论：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面的两条直线，那么这两个平面互相平行 符号表述：,,,',',//',//'//a b a b O a b a a b b αβαβ?=?? 【如上图②】 判定2：垂直于同一条直线的两个平面互相平行.符号表述：
,//a a αβαβ⊥⊥?.【如右图】
③判定与证明面面平行的依据：（1）定义法；（2）判定定理及推论（常用）（3）判定2
④面面平行的性质：（1）////a a αββ
α?
????
（面面平行?线面平行）；（2）
////a a b b αβ
αγβγ?
?
=???=? ；（面面平行?线线平行）（3）夹在两个平行平面间的平行线段相等。【如图】
（四）垂直关系（包括线面垂直，面面垂直） 1.线面垂直
①定义：若一条直线垂直于平面内的任意一条直线，则这条直线垂直于平面。 符号表述：若任意,a α?都有l a ⊥，且l α?，则l α⊥. ②判定定理：,a b a b O
l l l a
l b ααα
??
?
=??
??⊥??⊥?
⊥?? （线线垂直?线面垂直）
③性质：（1）,l a l a αα⊥??⊥（线面垂直?线线垂直）；（2）,//a b a b αα⊥⊥?；
④证明或判定线面垂直的依据：（1）定义（反证）；（2）判定定理（常用）；（3）//a b b a αα?
?⊥?⊥?
（较
常用）；（4）//a a αββα?
?⊥?⊥?
；（5）
a b a a a b αβ
ββ
α⊥?
?
=?
?⊥???
?⊥?
（面面垂直?线面垂直）常用；
⑤三垂线定理及逆定理：
（I ）斜线定理：从平面外一点向这个平面所引的垂线段与斜线段中，P O α⊥（1）斜线相等?射影相等；（2）斜线越长?射影越长；（3）垂线段最短。【如图】
PB PC O B O C =?=；PA PB O A O B >?>
（II ）三垂线定理及逆定理：已知P O α⊥，斜线PA 在平面α内的射影为OA ，a α?，
①若a O A ⊥，则a P A ⊥——垂直射影?垂直斜线，此为三垂线定理；
②若a P A ⊥，则a O
A ⊥——垂直斜线?垂直射影，此为三垂线定理的逆定理；
三垂线定理及逆定理的主要应用：（1）证明异面直线垂直；（2）作、证二面角的平面角；（3）作点到线的垂线段；【如图】
3.2面面斜交
①二面角：（1）定义：【如图】
,OB l OA l AOB l αβ⊥⊥?∠-是二面角－的平面角
范围：[0,180]AOB ∠∈??
②作二面角的平面角的方法：（1）定义法；（2）三垂线法（常用）；（3）垂面法. 3.3面面垂直
（1）定义：若二面角l αβ--的平面角为90?，则αβ⊥；
（2）判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直.
a a ααββ??
?⊥?⊥?
（线面垂直?面面垂直）
（3）性质：①若αβ⊥，二面角的一个平面角为M O N ∠，则
90M O N ∠=?；
②
a AB a a a AB αβ
ββ
α⊥??
=?
?⊥???
?⊥?
（面面垂直?线面垂直）；
③
A a A a a αβααβ⊥?
?∈?
???∈??⊥?
. ④
A
A
//a a a αβαα
β⊥?
???⊥?
或
二、基础题型（必懂）
1、概念辨析题：
（1）此题型一般出现在填空题，选择题中，解题方法可采用排除法，筛选法等。
（2）对于判断线线关系，线面关系，面面关系等方面的问题，必须在熟练掌握有关的定理和性质的前提下，利用长方体，正方体，实物等为模型来进行判断。你认为正确的命题需要证明它，你认为错误的命题必须找出反例。
（3）相关例题：课本和辅导书上出现很多这样的题型，举例说明如下：
例：（09年北京卷）设m ，n 是两条不同的直线，,,αβγ是三个不同的平面，给出下列四个说法：①
,//m n m n αα⊥?⊥；②//,//,m m αββγαγ⊥?⊥；③//,////m n m n αα?
④,//αγβγαβ⊥⊥?，说法正确的序号是：_________________ 2、证明题。证明平行关系，垂直关系等方面的问题。 （1）基础知识网络：
三、趋近高考（必懂）
1.（2010全国卷2理）已知正四棱锥S A B C D -
中，SA =的高为
（A ）1 （B
（C ）2 （D ）3 【答案】C
【解析】设底面边长为a ，则
高所以体
积
，
设，则，当y 取最值时，，解得a=0或a=4时，体
积最大，此时，故选C.
2.（2010陕西文）若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 [B]
（A ）2
（B ）1
（C ）2
3
（D ）1
3
【答案】 B
【解析】 如图，该立体图形为直三棱柱，所以其体积为1
22121
=???
3.（2010辽宁文）已知,,,S A B C 是球O 表面上的点，SA ABC ⊥平面，A B B C ⊥，
1SA A B ==
，BC =
O 的表面积等于
（A ）4π （B ）3π （C ）2π （D ）π 【答案】A
【解析】选A.由已知，球O 的直径为22R SC ==，∴表面积为2
44.R ππ=
4.（2010安徽文）一个几何体的三视图如图，该几何体的表面积是 （A ）372 （B ）360 （C ）292 （D ）280
【答案】B
【解析】该几何体由两个长方体组合而成，其表面积等于下面长方体的全面积加上面长方体的4个侧面积之和。
2(10810282)2(6882)360S =?+?+?+?+?=.
【方法技巧】把三视图转化为直观图是解决问题的关键.又三视图很容易知道是两个长方体的组合体，画出直观图，得出各个棱的长度.把几何体的表面积转化为下面长方体的全面积加上面长方体的4个侧面积之和。
5.（2010重庆文）到两互相垂直的异面直线的距离相等的点 （A ）只有1个 （B ）恰有3个 （C ）恰有4个 （D ）有无穷多个 【答案】 D
【解析】放在正方体中研究,显然，线段
1
OO 、EF 、FG 、GH 、
HE 的中点到两垂直异面直线AB 、CD 的距离都相等， 所以排除A 、B 、C ，选D
亦可在四条侧棱上找到四个点到两垂直异面直线AB 、CD 的距离相等 6.（2010浙江文）
若某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则此几
何体的体积是
（A ）352
3cm3
2
2
1
（B ）3203cm3 （C ）2243cm3 （D ）160
3cm3
【答案】B
【解析】选B ，本题主要考察了对三视图所表达示的空间几何体的识别以及几何体体积的计算，属容易题
7.（2010福建文）若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示,则其侧面积等于 ( )
A ．
B ．2
C ．
D ．6
【答案】D
【解析】由正视图知：三棱柱是以底面边长为2，高为1的正三棱柱，所以底面积为
244
?
?=3216??=，选D ．
8.（2010全国卷1文）已知在半径为2的球面上有A 、B 、C 、D 四点，若AB=CD=2,则四面体ABCD 的体积的最大值为
(A)
3
(B)3
(C) (D)
3
【答案】B
【解析】过CD 作平面PCD ，使AB ⊥平面PCD,交AB 与P ,设点P 到CD 的距离为h ,则有
A B C D 1122232
3V h h
=
??
??=
四面体,当直径通过AB 与CD 的中点时,
max h =,故
max 3
V =
l立体几何知识点整理（文科）l // m l //m m 直线和平面的三种位置关系：一．αl 1. 线面平行 方法二：用面面平行实现。l//l //αl符号表示： 2. 线面相交βl lαAα方法三：用平面法向量实现。符号表示：
n 为平若面线在面内3. 的一个法向量，ln n l ll //且。,则l αα符号表示： 二．平行关系：线线平行：1.方法一：用线面平行实现。3. 面面平行：l mβl //l方法一：用线线平行实现。l'l // ml m'αl // l 'm m // m'm//且相交l , m且相交l ' , m'方法二：用面面平行实现。//l βl // mlγm m α方法二：用线面平行实现。 方法三：用线面垂直实现。 l // l, m l // m //m //若。，则l l , m且相交mβ方法四：用向量方法：m l l // m。若向量和向量共线且l、m不重合，则α 2.线面平行： 方法一：用线线平行实现。1/11
l C A方法三：用向量方法： Bα l m l m ，则的数量积为和向量若向量0。三．垂直关系：
夹角问题。三．线面垂直：1.异面直线所成的角：一)(方法一：用线线垂直实现。(0 ,90 ]范围：(1) ACl ABl 求法：(2)P n l ABAC A方法一：定义法。AθO AC, ABα：平移，使它们相交，找到夹角。步骤1 方法二：用面面垂直实现。)常用到余弦定理步骤2：解三角形求出角。( 余弦定理：βl lm a c222c ab l m, l m cosθ2ab bα )计算结果可能是其补角( 面面垂直：2.方法二：向量法。转化为向量 方法一：用线面垂直实现。 C的夹角βl lθl：)(计算结果可能是其补角 BA AB ACαcos AB AC方法二：计算所成二面角为直角。 线面角)(二线线垂直：3. 上任取一点(1) 定义：直线l ，作（交点除外）P方法一：用线面垂直实现。 内，则连结AO AO 为斜线PA 在面于O,PO l l m PAO 图中(与面)为直线l l所成的角。的射影，m
空间向量与立体几何复习学案 教学目标：复习空间向量解立体几何 教学重点：空间角的求法 教学难点：空间角和距离 教学过程 选定空间不共面的三个向量作基向量，并用它们表示出指定的向量，是用向量解决立体几何问题的基本要求． 空间向量的运算主要包括空间向量的线性运算、数量积运算以及空间向量的坐标运算．空间向量的运算法则、运算律与平面向量基本一致． 例1 如图，在四棱锥S-ABCD 中，底面ABCD 是边长为1的正方形，S 到A 、B 、C 、D 的距离都等于2.给出以下结论： ①SA →＋SB →＋SC →＋SD →＝0； ②SA →＋SB →－SC →－SD →＝0； ③SA →－SB →＋SC →－SD →＝0； ④SA →·SB →＝SC →·SD →； ⑤SA →·SC →＝0，其中正确结论的序号是________． 利用空间向量主要研究空间中的平行或垂直问题． (1)证明线面平行问题可以有以下三种方法： ①利用线线平行证明线面平行． ②向量p 与两个不共线的向量a ，b 共面的充要条件是存在实数对x ，y ，使p ＝xa ＋yb .利用共面向量定理可以证明线面平行问题． ③设n 为平面α的法向量，a 为直线l 的方向向量，要证明l ∥α，只需证明 a·n ＝0. (2)证明线面垂直的常用方法有： ①设a 为直线l 的方向向量，n 为平面α的法向量，则a ＝λn (λ为非零实数)?a 与n 共线?l ⊥α. ②l 是交线a ，b 所在平面α外的直线，a ，b 不共线，l ，a ，b 分别为直线l ，a ，b 的方向向量，则有l·a ＝0且l·b ＝0?l ⊥a 且l ⊥b ?l ⊥α. 例2 如图，在矩形ABCD 中AB ＝2BC ，P 、Q 分别为线段AB 、CD 的中点，EP ⊥平面ABCD . (1)求证：AQ ∥平面CEP ； (2)求证：平面AEQ ⊥平面DEP . 1．求异面直线所成的角． 设两异面直线的方向向量分别为n 1、n 2，那么这两条异面直线所成的角为θ＝〈n 1，n 2〉或θ＝π－〈n 1，n 2〉，∴cos θ＝|cos 〈n 1，n 2〉|. 2．求二面角的大小． 如图，设平面α、β的法向量分别为n 1、n 2.因为两平面的法向量所成的角(或其补角)就等于平面α、β所成的锐二面角θ，所以cos θ＝|cos 〈n 1，n 2〉|. 3．求斜线与平面所成的角． 如图，设平面α的法向量为n 1，斜线OA 的方向向量为n 2，斜线OA 与平面所成的角为θ，则sin θ＝|cos 〈n 1，n 2〉|. 例3. 四棱锥PABCD 的底面是正方形，PA ⊥底面ABCD ，PA ＝AD ＝2，点M ，N 分别在棱PD ，PC 上，且PC ⊥平面AMN .
高中数学《立体几何》练习题 1．用斜二测画法画出长为6，宽为4的矩形水平放置的直观图，则该直观图面积为 ( ) A.12 B.24 C.62 D.122 2．设,m n 是不同的直线，,αβ是不同的平面，下列命题中正确的是 ( ) A ．若//,,m n m n αβ⊥⊥，则αβ⊥ B ．若//,,m n m n αβ⊥⊥，则//αβ C ．若//,,//m n m n αβ⊥，则α⊥β D ．若//,,//m n m n αβ⊥，则//αβ 3．如图，棱长为1的正方体1111D C B A ABCD -中，P 为线段B A 1上的动点，则下列结论错误．． 的是 A ．P D DC 11⊥ B ．平面⊥P A D 11平面AP A 1 C ．1AP D ∠的最大值为090 D ．1PD AP +的最小值为22+ 4．一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为______m 3. 5．若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积等于 . 6．如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积是____________
7．如图，一个盛满水的三棱锥容器，不久发现三条侧棱上各有一个小洞F E D ,,，且知 1:2:::===FS CF EB SE DA SD ，若仍用这个容器盛水，则最多可盛水的体积是原来的 . 8．如图，四边形ABCD 为正方形，QA ⊥平面ABCD ，PD ∥QA ，QA ＝AB ＝ 12 PD. (1)证明：PQ ⊥平面DCQ ； (2)求棱锥Q -ABCD 的体积与棱锥P -DCQ 的体积的比值．[来 9．如图所示的多面体中，ABCD 是菱形，BDEF 是矩形，ED ⊥面ABCD ,3 BAD π ∠=． （1）求证://BCF AED 平面平面. （2）若,BF BD a A BDEF ==-求四棱锥的体积。 10．在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 为矩形，ABCD PD 底面⊥，1=AB ，2=BC ，3=PD ，F G 、分别为CD AP 、的中点． (1) 求证：PC AD ⊥； (2) 求证：//FG 平面BCP ； S F C B A D E
第六讲 空间几何的体积 【考点分析】 1. 掌握求空间几何的体积和表面积的各种方法。 2. 利用线面垂直的性质求空间几何的高 【知识运用】 题型一 直接法求体积 【例1】（2018惠州模拟）如图，直角ABC ?中， 90ACB ∠=， 24BC AC ==， D E ，分别是,AB BC 边的中点，沿DE 将BDE ?折起至FDE ?，且60CEF ∠=. （1）求四棱锥F ACED -的体积；（2）求证：平面ADF ⊥平面ACF ． 试题解析：（1）∵,D E 分别是,AB BC 边的中点，∴DE 平行且等于AC 的一半， ,1DE BC DE ⊥= 依题意， ,2DE EF BE EF ⊥==. 于是有,DE BC DE EF DE EF EC E EF EC CEF ⊥? ?⊥? ?⊥ ??=? ? ??平面平面CEF . ∵DE ⊥平面CEF ∴平面ACED CEF ⊥平面 过F 点作FM EC ⊥于M ，则,ACED CEF CE FM EC FM ACED FM CEF ⊥? ? ⊥?⊥???? 平面平面且交线为平面平面， ∵60CEF ∠= ∴FM = ∴梯形ACED 的面积 ()()11 122322S AC ED EC = +?=?+?= ∴四棱锥F ACED - 的体积 11 333V Sh = =?=
（2）（法一）如图．设线段,AF CF 的中点分别为,N Q ，连接,,DN NQ EQ ，则 1 // 2NQ AC ， 于是1// 2 ////1 //2DE AC DE NQ DEQN DN EQ NQ AC ???????? ??是平行四边形. 又60EC EF CEF CEF =? ???∠=?是等边三角形. ∴EQ⊥FC 由（1）知,DE CEF EQ CEF ⊥?平面平面. ∴DE EQ ⊥ ∴AC EQ ⊥ 于是,AC EQ FC EQ EQ ACF AC FC C AC FC ACF ⊥? ?⊥? ?⊥??=? ? ??平面平面. ∴DN ACF ⊥平面 又∵DN ADF ?平面 ∴平面ADF ⊥平面ACF . （法二）连接BF ，∵,60EC EF CEF =∠= ∴△CEF 是边长为2等边三角形 ∵BE EF = ∴ 1 302EBF CEF ∠= ∠ =∴90BFC ∠=， BF FC ⊥
2018年高考备考+立体几何的逆问题、截面 问题学案 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
1.在长方体中，作图作平面ABC与平面DEF的交线。 2. 3. 4. B A C D E
7. 如图2，有一圆锥形粮堆，其主视图是边长为6 m的正三角形ABC，母线AC 的中点P处有一老鼠正在偷吃粮食，小猫从B处沿圆锥表面去偷袭老鼠，则小猫 经过的最短路程是 m.(结果不取近似数) 10米，母线PB长40米，节日期间，计划从A处开始 8.一个圆锥形建筑物高15 绕侧面一周到母线PA上的点C处都挂上彩带．已知PC=10米，问需要彩带多少 米（ 结果不取近似值。） 1.（2013昆明市市二统）如图，四棱锥P- ABCD的底面ABCD是矩形，侧面PAB是正三角形，AB=2，BC=2， PC=6， （I）求证：PD⊥AC；
1 A （II）已知棱PA上有一点E，若二面角E—BD—A 的大小为45°，试求BP与平面EBD所成角的正弦值。 2. （2012昆明市市二统）如图长方体 1111 ABCD A B C D -中，P 上任意一点． （Ⅰ）判断直线 1 B P与平面 11 AC D的位置关系并证明； 值（Ⅱ）若AB BC =，E是AB 的中点，二面角 111 A DC D --的余弦 ，求直线 1 B E与平面 11 AC D所成角的正弦值． 3. （2013昆明市市二统）如图，四边形ABCD是正方形， PD MA ∥，MA AD ⊥，PM CDM ⊥平面， 1 2 MA PD =． （Ⅰ）求证：平面ABCD⊥平面AMPD； B C D P
立体几何知识点整理（文科） 一． 直线和平面的三种位置关系： 1. 线面平行 l 符号表示： 2. 线面相交 符号表示： 3. 线在面内 符号表示： 二．平行关系： 1.线线平行： 方法一：用线面平行实现。 m l m l l // // ? ? ? ? ? ? = ? ? β α β α 方法二：用面面平行实现。 m l m l// // ? ? ? ? ? ? = ? = ? β γ α γ β α 方法三：用线面垂直实现。 若α α⊥ ⊥m l,，则m l//。 方法四：用向量方法： 若向量l和向量m共线且l、 m不重合，则m l//。 2.线面平行： 方法一：用线线平行实现。 α α α// // l l m m l ? ? ? ? ? ? ? ? 方法二：用面面平行实现。 α β β α // // l l ? ? ? ? ? 方法三：用平面法向量实现。 若n为平面α的一个法向量，l n⊥且α ? l,则 α // l。 3.面面平行： 方法一：用线线平行实现。 β α α β // ' ,' , ' // ' // ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 且相交 且相交 m l m l m m l l l
方法二：用线面平行实现。 βαβαα //,////??? ? ???且相交m l m l 三．垂直关系： 1. 线面垂直： 方法一：用线线垂直实现。 αα⊥???? ? ??? ?=?⊥⊥l AB AC A AB AC AB l AC l , 方法二：用面面垂直实现。 αββαβα⊥??? ? ?? ?⊥=?⊥l l m l m , 2. 面面垂直： 方法一：用线面垂直实现。 βαβα⊥?? ?? ?⊥l l 方法二：计算所成二面角为直角。 3. 线线垂直： 方法一：用线面垂直实现。 m l m l ⊥?? ?? ?⊥αα 方法二：三垂线定理及其逆定理。 PO l OA l PA l αα⊥? ? ⊥?⊥???? 方法三：用向量方法： 若向量l 和向量m 的数量积为0，则m l ⊥。 三． 夹角问题。 (一) 异面直线所成的角： (1) 范围：]90,0(?? (2)求法： 方法一：定义法。 步骤1：平移，使它们相交，找到夹角。
（2019全国1文）16.已知90ACB ∠=?，P 为平面ABC 外一点，2PC =，点P 到ACB ∠两边,AC BC 的距离均为3，那么P 到平面ABC 的距离为 . 答案： 2 解答： 如图，过P 点做平面ABC 的垂线段，垂足为O ，则PO 的长度即为所求，再做,PE CB PF CA ⊥⊥，由线面的垂直判定及性质定理可得出,OE CB OF CA ⊥⊥，在Rt PCF ?中，由2,3PC PF ==，可得出1CF =，同理在Rt PCE ?中可得出1CE =，结合90ACB ∠=?，,OE CB OF CA ⊥⊥可得出1OE OF ==，2OC =，222PO PC OC =-= （2019全国1文）19.如图直四棱柱1111ABCD A B C D -的底面是菱形，14,2AA AB ==，60BAD ∠=o ， ,,E M N 分别是11,,BC BB A D 的中点. （1）证明：//MN 平面1C DE （2）求点C 到平面1C DE 的距离. 答案： 见解析 解答： （1）连结1111,AC B D 相交于点G ，再过点M 作1//MH C E 交11B C 于点H ，再连结GH ，NG . Q ,,E M N 分别是11,,BC BB A D 的中点. 于是可得到1//NG C D ，//GH DE ， 于是得到平面//NGHM 平面1C DE ， 由MN ?Q 平面NGHM ，于是得到//MN 平面1C DE
（2）E Q 为BC 中点，ABCD 为菱形且60BAD ∠=o DE BC ∴⊥，又1111ABCD A B C D -Q 为直四棱柱，1DE CC ∴⊥ 1DE C E ∴⊥，又12,4AB AA ==Q ， 1DE C E ∴=，设点C 到平面1C DE 的距离为h 由11C C DE C DCE V V --=得 1111 143232 h ?=?? 解得h = 所以点C 到平面1C DE （2019全国2文）7. 设,αβ为两个平面，则//αβ的充要条件是( ) A. α内有无数条直线与β平行 B. α内有两条相交直线与β平行 C. ,αβ平行于同一条直线 D. ,αβ垂直于同一平面 答案：B 解析: 根据面面平行的判定定理易得答案. （2019全国2文）16.中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美.图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1.则该半正多面体共有 个面，其棱长为 .(本题第一空2分，第二空3分.)
2011年高考第二轮专题复习（教学案）：立体几何 第1课时 直线、平面、空间几何体 考纲指要： 立体几何在高考中占据重要的地位，考察的重点及难点是直线与直线、直线与平面、平面与平面平行的性质和判定，而查空间线面的位置关系问题，又常以空间几何体为依托，因而要熟练掌握多面体与旋转体的概念、性质以及它们的求积公式。 考点扫描： 1．空间两条直线的位置关系：（1）相交直线；（2）平行直线；（3）异面直线。 2．直线和平面的位置关系：（1）直线在平面内；（2）直线和平面相交；（3）直线和平面平行。 3．两个平面的位置关系有两种：（1）两平面相交；（2）两平面平行。 4．多面体的面积和体积公式，旋转体的面积和体积公式。 考题先知： 例1．在平面几何中，我们学习了这样一个命题：过三角形的内心作一直线，将三角形分成的两部分的周长比等于其面积比。请你类比写出在立体几何中，有关四面体的相似性质，并证之。 解：通过类比，得命题：过四面体的内切球的球心作一截面，将四 面体分成的两部分的表面积比等于其体积比。 证明：如图，设四面体P-ABC 的内切球的球心为O ，过O 作截面DEF 交三条棱于点E 、D 、F ，记内切圆半径为r,则r 也表示点O 到各面的距 离，利用体积的“割补法”知： PDF O PEF O PDE O DEF P V V V V ----++== r S r S r S PDF PEF PDE ?+?+?3 1 3131 BCFD O DEF O ACFE O ABC O ABDE O ABC DEF V V V V V V ------++++= =r S r S r S r S r S BCFD DEF ACFE ABC ABDE ?+?+?+?+?31 31313131，从而2 1表表S S V V ABC DEF DEF P =--。 例2．（1）当你手握直角三角板，其斜边保持不动，将其直角顶点提起一点，则直角在平面内的正投影是锐角、直角 还是钝角？ （2）根据第（1）题，你能猜想某个角在一个平面内的正投影一定大于这个角吗？如果正确，请证明；如果错误，则利用下列三角形举出反例：△ABC 中，2,6== AC AB ， 13-=BC ，以∠BAC 为例。 解：（1）记Rt △ABC ，∠BAC=900 ，,,b AC c AB ==记直角顶点A 在平面上的正投影为A 1，，且AA 1=h ，则因为0)()()(2 2 2 2 2 2 2 2 12 1<+--+-=-+b c h b h c BC C A B A ，所以∠
05 立体几何 （三）立体几何初步 1.空间几何体 (1)认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征,并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构. (2)能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图,能识别上述三视图所表示的立体模型,会用斜二侧法画出它们的直观图. (3)会用平行投影与中心投影两种方法画出简单空间图形的三视图与直观图,了解空间图形的不同表示形式. (4)会画某些建筑物的视图与直观图(在不影响图形特征的基础上,尺寸、线条等不作严格要求). (5)了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式. 2.点、直线、平面之间的位置关系 (1)理解空间直线、平面位置关系的定义,并了解如下可以作为推理依据的公理和定理. ? 公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在此平面内. 公理2：过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面. 格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为 A．90πB．63π C．42πD．36π 【答案】B 【名师点睛】在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要从三个视图综合考虑，根据三视图的规
则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线．在还原空间几何体实际形状时，一般是以正视图和俯视图为主，结合侧视图进行综合考虑．求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解． 考向二 球的组合体 样题4 （2017新课标全国Ⅲ理科）已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为 A ．π B ． 3π4 C ． π2 D ． π4 【答案】B 【解析】绘制圆柱的轴截面如图所示： 由题意可得：， 结合勾股定理，底面半径， 由圆柱的体积公式，可得圆柱的体积是，故选B. 【名师点睛】（1）求解空间几何体体积的关键是确定几何体的元素以及线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；（2）若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解. 样题5 （2017江苏）如图，在圆柱12O O 内有一个球O ，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切．记圆柱12 O O 的体积为1V ，球O 的体积为2V ，则 1 2 V V 的值是 .
第一章：空间几何体 教材分析 几何学是研究现实世界中物体的形状、大小与位置关系的数学学科。空间几何体是几何学的重要组成部分，它在土木建筑、机械设计、航海测绘等大量实际问题中都有广泛的应用。 本章我们从对空间几何体的整体观察入手，研究空间几何体的结构特征、三视图和直观图，了解一些简单几何体的表面积与体积的计算方法。 1.1空间几何体的结构（2课时） 第一课时（多面体、旋转体） 一、【学习目标】 1.了解棱柱、棱锥、棱台的定义，掌握棱柱、棱锥、棱台的结构特征及其关系； 2.能够运用几何体的特征判断几何体的名称。 二、【课前自主学习】 （一）、下面请同学们观察课本P2图1.1-1的物体，然后回答以下问题:
1、这些图片中的物体具有什么样的几何结构特征？你能对它们进行分类吗？ (2),(5),(7),(9),(13),(14),(15),(16) 具有什么样的特点？ 像这样的几何体称为______________ (3),(4),(6),(8),(10),(11),(12) 具有什么样的特点: 像这样的几何体称为______________ 2、定义 （1）、多面体：____________________________________。 ①、__________________________________面; ②、__________________________________棱； ③、_________________________________顶点； ④、按围成多面体的面数分为：__________________________ （2）、旋转体： _______________________________________________________________________________ _____________________________________. (二)、问题1：（1）、与其他多面体相比，图片中的多面体（5）、（7）、（9）具有什么样的共同特征？ （2）、请同学们仔细观察下列几何体，说说他们的共同特点． 讨论结果： 特点：________________________________________________________________________。 1. 棱柱的结构特征： （1）定义：_________________________________________________________________. （2）棱柱的有关概念： _________________________________________底面（简称底），___________________________侧面，____________________________________顶点。
2019-2020年高考数学大题专题练习——立体几何（一） 1.如图所示，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，⊥PD 平面ABCD ， 2PD AB ==，点,,E F G 分别为,,PC PD BC 的中点. (1)求证：EF PA ⊥； (2)求二面角D FG E --的余弦值. 2.如图所示，该几何体是由一个直角三棱柱ADE BCF -和一个正四棱锥P ABCD -组合而成，AF AD ⊥，2AE AD ==. (1)证明：平面⊥PAD 平面ABFE ； (2)求正四棱锥P ABCD -的高h ，使得二面角C AF P --的余弦值是 22 .
3.四棱锥P ABCD -中，侧面PDC是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面ABCD是 面积为ADC ∠为锐角，M为PB的中点． （Ⅰ）求证：PD∥面ACM． （Ⅱ）求证：PA⊥CD． （Ⅲ）求三棱锥P ABCD -的体积． 4.如图，四棱锥S ABCD -满足SA⊥面ABCD，90 DAB ABC ∠=∠=?．SA AB BC a ===，2 AD a =． （Ⅰ）求证：面SAB⊥面SAD． （Ⅱ）求证：CD⊥面SAC． S B A D M C B A P D
5.在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，测棱PD ⊥底面ABCD ，PD DC =，点E 是 BC 的中点，作EF PB ⊥交PB 于F ． （Ⅰ）求证：平面PCD ⊥平面PBC ． （Ⅱ）求证：PB ⊥平面EFD ． 6.在直棱柱111ABC A B C -中，已知AB AC ⊥，设1AB 中点为D ，1A C 中点为E ． （Ⅰ）求证：DE ∥平面11BCC B ． （Ⅱ）求证：平面11ABB A ⊥平面11ACC A ． E D A B C C 1 B 1 A 1 D A B C E F P
导学案（五）学习目标 1、理解平面的描述性概念。 2、掌握平面的基本性质与推论。 使用说明 1 导学案40分钟独立，规范完成 2 积极探究，合作交流，大胆质疑 知识梳理 一、平面的基本性质与推论 基本性质1 如果一条直线上的在一个平面内，那么这条直线上的都在这个平面内. 基本性质2， 有且只有一个平面，这也可以简单地说成，不共线的三点确定一个平面. 基本性质3 如果不重合的两个平面，那么它们有且只有. 推论1， 有且只有一个平面. 推论2， 有且只有一个平面. 推论3， 有且只有一个平面. 二.符号语言与数学语言的关系 1.空间两条直线的位置关系有三种：相交、平行、异面 (1)相交直线: ; (2)平行直线: ; (3)异面直线: ; 2.判定异面直线的方法 (1)利用定理：过平面外一点与平面内一点的直线和平面内不经过该点的直线是异面直线. (2)利用反证法：假设两条直线不是异面直线，推导出矛盾. 3.基本性质4 ——空间平行线的传递性. 4.等角定理 空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角. 5.异面直线所成的角 设a,b是异面直线，经过空间任一点O，分别作直线a′∥a,b′∥b，把直线a′与b′所成的 叫做异面直线a与b所成的角(或夹角). 典型例题 例1 证明共点问题 如图所示，空间四边形ABCD中，E，F，G 分别在AB，BC，CD上，且满足AE:EB=CF:FB=2:1，CG:GD=3:1，过E，F，G 的平面交AD于H，连接EH. （1）求AH:HD； （2）求证：EH，FG，BD三线共点. 小结：所谓线共点问题就是证明三条或三条以上的直线交于一点. （1）证明三线共点的依据是公理3. （2）证明三线共点的思路是：先证两条直线交于一点，再证明第三条直线经过该点，把问题转化为证明点在直线上的问题.实际上，点共线、线共点的问题都可以转化为点在直线上的问题来处理. 例2 点共线问题 在正方体 1111 ABCD A B C D 中,对角线 1 A C与平面 数学符号语言数学表达语言 点A在直线a上 点A在直线a外 点A在平面α内 点A在平面α外 直线a在平面α内 直线a,b相交于点A 平面α,β相交于直线a
高考立体几何中直线、平面之间的位置关系知识点总结（文科） 一．平行问题 （一） 线线平行： 方法一：常用初中方法（1中位线定理；2平行四边形定理；3三角形中对应边成比例；4同位角、内错角、同旁内角） 方法二：1线面平行?线线平行 m l m l l ////??? ???=??βαβα 方法三：2面面平行?线线平行 m l m l ////??????=?=?βγαγβα 方法四：3线面垂直 ?线线平行 若αα⊥⊥m l ,，则m l //。 （二） 线面平行： 方法一：4线线平行?线面平行 ααα////l l m m l ??? ????? 方法二：5面面平行?线面平行 αββα////l l ????? （三） 面面平行：6方法一：线线平行?面面平行 βααβ//',','//' //??? ???????且相交且相交m l m l m m l l 方法二：7线面平行?面面平行 βαβαα//,////??? ???=?A m l m l m l ， 方法三：8线面垂直?面面平行 βαβα面面面面//?? ??⊥⊥l l l
二．垂直问题：（一）线线垂直 方法一：常用初中的方法（1勾股定理的逆定理；2三线合一 ；3直径所对的圆周角为直角；4菱形的对角线互相垂直。） 方法二：9线面垂直?线线垂直 m l m l ⊥?? ???⊥αα （二）线面垂直：10方法一：线线垂直?线面垂直 αα⊥??? ? ?????=?⊥⊥l AB AC A AB AC AB l AC l , 方法二：11面面垂直?线面垂直 αββαβα⊥??? ????⊥=?⊥l l m l m , （面） 面面垂直： 方法一：12线面垂直?面面垂直 βαβα⊥?? ???⊥l l 三、夹角问题：异面直线所成的角： (一) 范围：]90,0(?? (二)求法：方法一：定义法。 步骤1：平移，使它们相交，找到夹角。 步骤2：解三角形求出角。(计算结果可能是其补角) 线面角：直线PA 与平面α所成角为θ,如下图 求法：就是放到三角形中解三角形 四、距离问题：点到面的距离求法 1、直接求， 2、等体积法（换顶点）
空间立体几何——表面积、体积 编写： 审核： 考情解读 (1)考查空间几何体表面积、体积的计算．(2)考查空间几何体的侧面展开图及简单的组合体问题． 1．四棱柱、直四棱柱、正四棱柱、正方体、平行六面体、直平行六面体、长方体之间的关系 2．球 半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周所形成的曲面叫做球面，球面成的几何体叫做球体． 同一个平面截一个球，截面是圆面． 3．空间几何体的两组常用公式 (1)柱体、锥体、台体的侧面积公式： ①S 柱侧＝ch (c 为底面周长，h 为高)； ②S 锥侧＝12 ch ′(c 为底面周长，h ′为斜高)； ③S 台侧＝12 (c ＋c ′)h ′(c ′，c 分别为上，下底面的周长，h ′为斜高)； ④S 球表＝4πR 2 (R 为球的半径)． (2)柱体、锥体和球的体积公式： ①V 柱体＝Sh (S 为底面面积，h 为高)； ②V 锥体＝13 Sh (S 为底面面积，h 为高)；
③V 台＝13 (S ＋SS ′＋S ′)h (不要求记忆)； ④V 球＝43 πR 3(R 为球的半径). 热点一 几何体的表面积和体积 例1 (1)如右图，已知正四棱锥S －ABCD 所有棱长都为1，点E 是侧棱SC 上一动点，过 点E 垂直于SC 的截面将正四棱锥分成上、下两部分．记SE ＝ x (0 立体几何大题练习（文科）： 1．如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是梯形，AB∥DC，∠ABC=90°，AD=SD，BC=CD=，侧面SAD⊥底面ABCD． （1）求证：平面SBD⊥平面SAD； （2）若∠SDA=120°，且三棱锥S﹣BCD的体积为，求侧面△SAB的面积． 【分析】（1）由梯形ABCD，设BC=a，则CD=a，AB=2a，运用勾股定理和余弦定理，可得AD，由线面垂直的判定定理可得BD⊥平面SAD，运用面面垂直的判定定理即可得证； （2）运用面面垂直的性质定理，以及三棱锥的体积公式，求得BC=1，运用勾股定理和余弦定理，可得SA，SB，运用三角形的面积公式，即可得到所求值．【解答】（1）证明：在梯形ABCD中，AB∥DC，∠ABC=90°，BC=CD=， 设BC=a，则CD=a，AB=2a，在直角三角形BCD中，∠BCD=90°， 可得BD=a，∠CBD=45°，∠ABD=45°， 由余弦定理可得AD==a， 则BD⊥AD， 由面SAD⊥底面ABCD．可得BD⊥平面SAD， 又BD?平面SBD，可得平面SBD⊥平面SAD； （2）解：∠SDA=120°，且三棱锥S﹣BCD的体积为， 由AD=SD=a， 在△SAD中，可得SA=2SDsin60°=a， △SAD的边AD上的高SH=SDsin60°=a， 由SH⊥平面BCD，可得 ×a××a2=， 解得a=1， 由BD⊥平面SAD，可得BD⊥SD， SB===2a， 又AB=2a， 在等腰三角形SBA中， 边SA上的高为=a， 则△SAB的面积为×SA×a=a=． 【点评】本题考查面面垂直的判定定理的运用，注意运用转化思想，考查三棱锥的体积公式的运用，以及推理能力和空间想象能力，属于中档题． 2．如图，在三棱锥A﹣BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E、F（E与A、D不重合）分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD． 求证：（1）EF∥平面ABC； （2）AD⊥AC． 【分析】（1）利用AB∥EF及线面平行判定定理可得结论； （2）通过取线段CD上点G，连结FG、EG使得FG∥BC，则EG∥AC，利用线面垂直的性质定理可知FG⊥AD，结合线面垂直的判定定理可知AD⊥平面EFG，从而可得结论． 【解答】证明：（1）因为AB⊥AD，EF⊥AD，且A、B、E、F四点共面， 专题04 立体几何 1．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是 A．α内有无数条直线与β平行 B．α内有两条相交直线与β平行 C．α，β平行于同一条直线 D．α，β垂直于同一平面 2．【2019年高考全国Ⅲ卷文数】如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是线段ED的中点，则 A．BM=EN，且直线BM，EN是相交直线 B．BM≠EN，且直线BM，EN是相交直线 C．BM=EN，且直线BM，EN是异面直线 D．BM≠EN，且直线BM，EN是异面直线 3．【2019年高考浙江卷】祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家，他提出的“幂势既同，则积不容异”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体的体积公式V柱体=Sh，其中S是柱体的底面积，h是柱体的高．若某柱体的三视图如图所示（单位：cm），则该柱体的体积（单位：cm3）是 A．158 B．162 C．182 D．324 4．【2019年高考浙江卷】设三棱锥V –ABC 的底面是正三角形，侧棱长均相等，P 是棱VA 上的点（不含端点）．记直线PB 与直线AC 所成的角为α，直线PB 与平面ABC 所成的角为β，二面角P –AC –B 的平面角为γ，则 A ．β<γ，α<γ B ．β<α，β<γ C ．β<α，γ<α D ．α<β，γ<β 5．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】已知∠ACB=90°，P 为平面ABC 外一点，PC =2，点P 到∠ACB 两边AC ， BC P 到平面ABC 的距离为___________． 6．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长 方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1．则该半正多面体共有________个面，其棱长为_________．（本题第一空2分，第二空3分．） 7．【2019年高考全国Ⅲ卷文数】学生到工厂劳动实践，利用3D 打印技术制作模型．如图，该模型为长方 体1111ABCD A B C D 挖去四棱锥O ?EFGH 后所得的几何体，其中O 为长方体的中心，E ，F ，G ，H 分别为所在棱的中点，16cm 4cm AB =BC =AA =，，3D 打印所用原料密度为0.9 g/cm 3 ，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为___________g. 8．【2019年高考北京卷文数】某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示．如果网 格纸上小正方形的边长为1，那么该几何体的体积为__________． 高中文科数学立体几何部分整理 第一章 空间几何体 （一）空间几何体的三视图与直观图 1.投影：区分中心投影与平行投影。平行投影分为正投影和斜投影。 2.三视图——是观察者从三个不同位置观察同一个空间几何体而画出的图形； 正视图——光线从几何体的前面向后面正投影，得到的投影图； 侧视图——光线从几何体的左面向右面正投影，得到的投影图； 正视图——光线从几何体的上面向下面正投影，得到的投影图； 注：（1）俯视图画在正视图的下方，“长度”与正视图相等；侧视图画在正视图的右边，“高 度”与正视图相等，“宽度”与俯视图。（简记为“正、侧一样高，正、俯一样长，俯、侧一样宽”. （2）正视图，侧视图，俯视图都是平面图形，而不是直观图。 3.直观图： 3.1直观图——是观察着站在某一点观察一个空间几何体而画出的图形。直观图通常是在平行投影下画出的空间图形。 3.2斜二测法： step1：在已知图形中取互相垂直的轴Ox 、Oy ，（即取90xoy ∠=? ）； step2：画直观图时，把它画成对应的轴'',''o x o y ，取'''45(135)x o y or ∠=??，它们确定的平面表示水平平面； step3：在坐标系'''x o y 中画直观图时，已知图形中平行于数轴的线段保持平行性不变，平行于x 轴（或在x 轴上）的线段保持长度不变，平行于y 轴（或在y 轴上）的线段长度减半。 结论：一般地，采用斜二测法作出的直观图面积是原平面图形面积的 4 倍. 解决两种常见的题型时应注意：（1）由几何体的三视图画直观图时，一般先考虑“俯视图”. （2）由几何体的直观图画三视图时，能看见的轮廓线和棱画成实线，不能看见的轮廓线和棱画成虚线。 【例题点击】将正三棱柱截去三个角（如图1所示A B C ，，分别是GHI △三边的中点）得到几何体如图2，则该几何体按图2所示方向的侧视图（或称左视图）为（ ） E F D I A H G B C E F D A B C 侧视 B E A ． B E B ． B E C ． B E D ． 2019真题汇编--立体几何 1．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知三棱锥P ?ABC 的四个顶点在球O 的球面上，PA =PB =PC ， △ABC 是边长为2的正三角形，E ，F 分别是PA ，AB 的中点，∠CEF =90°，则球O 的体积为 A ．68π B ．64π C ．62π D ．6π 2．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是 A ．α内有无数条直线与β平行 B ．α内有两条相交直线与β平行 C ．α，β平行于同一条直线 D ．α，β垂直于同一平面 3．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】如图，点N 为正方形ABCD 的中心，△ECD 为正三角形，平面ECD ⊥平面ABCD ，M 是线段ED 的中点，则 A ．BM =EN ，且直线BM ，EN 是相交直线 B ．BM ≠EN ，且直线BM ，EN 是相交直线 C ．BM =EN ，且直线BM ，EN 是异面直线 D ．BM ≠EN ，且直线BM ，EN 是异面直线 4．【2019年高考浙江卷】祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家，他提出的“幂势既同，则积不容异”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体的体积公式V 柱体=Sh ，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高．若某 柱体的三视图如图所示（单位：cm ），则该柱体的体积（单位：cm 3）是 A ．158 B ．162 C ．182 D ．324 5．【2019年高考浙江卷】设三棱锥V –ABC 的底面是正三角形，侧棱长均相等，P 是棱VA 上的点（不含端点）．记直线PB 与直线AC 所成的角为α，直线PB 与平面ABC 所成的角为β，二面角P –AC –B 的平面角为γ，则 A ．β<γ，α<γ B ．β<α，β<γ C ．β<α，γ<α D ．α<β，γ<β 6．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】学生到工厂劳动实践，利用3D 打印技术制作模型.如图， 该模型为长方体1111ABCD A B C D -挖去四棱锥O —EFGH 后所得的几何体，其中O 为长方体的中心，E ，F ，G ，H 分别为所在棱的中点，16cm 4cm AB =BC =, AA =，3D 3. 2.1立体几何中的向量方法（线线角） 教学目标： 1. 掌握好向量的相关知识：概念、基本运算、建系方法、坐标求法（不定点的坐标）、平行与垂直、法向量求法 2. 掌握向量作为工具解决立几问题的方法 3. 向量解题后建议多思考传统的方法，不仅可以锻炼思维能力，还可以深刻认识空间几何的本质 重点难点：向量作为工具解决立几问题的方法 教学过程： 设疑自探： 两条异面直线所成的角：设l 1与l 2两条异面直线，n ∥l 1 ， m ∥l 2，则l 1与l 2所成的角 α= 解疑合探： 1、在正方体1111D C B A ABCD -中，如图E 、F 分别是BB 1，CD 的中点， （1）求证：⊥F D 1平面ADE ； （2）),cos(1CB EF 2.如图，长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB=BC=2， AA 1=1，E 、H 分别是A 1B 1和BB 1的中点.求： (1)EH 与AD 1所成的角； (2)AC 1与B 1C 所成的角. 3. 如图所示，ABCD 是一个正四面体，E 、F 分别为BC 和AD 的中点.求：AE 与CF 所成的角 质疑再探：请同学们踊跃发言提问，解除心中的疑问。 课堂练习： 1.正方体的12条棱和12条 面对角线中，互相异面的两条线成的角大小 构成的集合是 。 2.正方体1AC 中，O 是底面ABCD 的中心，则OA 1和BD 1所成角的大小为 。 3.已知l 为异面直线a 与b 的公垂线，点a p ∈，若a 、b 间距离为2，点P 到l 的距离为2，P 到b 的距离为5 ，则异面直线a 与b 所成的角为 。 4.如图正三棱柱ABC-A 1B 1C 1中AB=2AA 1，M 、N 分别是 A 1 B 1，A 1 C 1的中点， 则AM 与CN 所成角为 。 A B D C B 1 D 1 C 1 B 1 E H A C D B F E A'A B C M N高中数学立体几何大题练习(文科)
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