河北工业大学
硕士学位论文
基于元胞自动机方法的再结晶过程数值模拟
姓名：穆治宏
申请学位级别：硕士
专业：材料学
指导教师：许长庆;武建军
20100301
河北工业大学硕士学位论文
基于元胞自动机方法的再结晶过程
数值模拟
摘要
再结晶和晶粒长大是加工金属材料的物理冶金过程的重要过程。利用实验研究方法研究再结晶和晶粒长大过程不仅费时费力，而且许多影响因素难以精确控制。计算机仿真技术为模拟金属材料再结晶和晶粒长大过程用来对其组织动态演变和图像模拟提供了一种很有效的手段。
本文应用元胞自动机方法对金属再结晶和晶粒长大过程进行数值模拟。基于元胞自动机法、材料再结晶理论和仿真理论，通过计算机模拟和图像分析技术相结合，分别建立了晶粒长大和再结晶模型，完成再结晶和晶粒长大过程的模拟实验，以及显微组织变化规律的研究和总体晶粒形态变化的模拟研究。
应用CA模型和MC模型所模拟的晶粒长大行为基本符合材料的理论基础和实际规律。本文还将CA法和MC法耦合起来进行晶粒长大模拟，得到了更好的模拟结果。所建立的模拟再结晶动力学的模型，其模拟统计结果和其微观组织模拟结果与现有再结晶理论和规律以及相关文献的实验结果基本一致，验证了所建再结晶模型的合理性。
关键字：元胞自动机，蒙特卡洛，晶粒长大，再结晶，织构
基于元胞自动机法的再结晶织构的演变过程
NUMERICAL SIMULATION OF
RECRYSTALLIZATION BASED ON CELLULAR
AUTOMATA METHOD
ABSTRACT
Recrystallization and grain growth are the important phenomena of physical metallurgical processes. Experiments for studying recrystallization and grain growth are time-consuming, hard to be controlled accurately. Computer simulation technology is a very effective means to simulate structural evolution and image simulation of recrystallization and growth of grain.
In this paper, recrystallization and growth of grain are simulated by cellular automata method. Models of recrystallization and growth of grain are established based on cellular automata method, recrystallization theory of materials and simulation theory. Computer simulation and image analysis technology are combined to investigate simulation experiments of recrystallization and grain growth, structural evolution and morphological changes.
Behaviors of recrystallization and growth of grain that used CA model and MC model respectively are in accord with the theoretical basis and practical rules. A new method is coupled together by CA and MC. This method gets a better simulation results about recrystallization kinetics which are keeping with existing theories and rules of recrystallization.
KEY WORDS: Cellular Automata, Monte Carlo, grain growth, recrystallization, texture
原创性声明
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第一章绪论
1.1 研究背景及意义
再结晶过程是冷变形金属在加热条件下生成的一种全新组织的过程，从再结晶形核开始，生成一种低缺陷、低能态的全新晶粒。通常包括再结晶晶核形成及晶粒生长两个阶段。形核后的新晶粒开始生长，直至互相接触，最后，完全或基本上取代了高缺陷密度的变形基体，完成再结晶[1-3]。
在每个国家的国民经济中，金属材料都起着很重要的支柱作用。金属材料的再结晶过程是在材料经过冷加工或者热加工后在继续加热的情况下出现的一系列的过程，所有的金属在加热过程中都会伴随着晶粒长大的过程。再结晶和晶粒长大过程都是金属材料加工过程中最重要的冶金过程之一，因为这两个过程对金属的各种性能的变化有很大的影响。所以在世界各国都对材料的再结晶和晶粒长大过程的研究做出了很多的贡献，对相关的规律和形成机理也都非常的重视，对材料的应用奠定了非常好的基础。所以金属材料的再结晶和晶粒长大的研究过程是必要的且是重要的[4,5]。
对于金属材料的再结晶过程和晶粒长大过程的研究虽然已经是一个很漫长的阶段，但是早期的研究都是局限在了金像观察或者传统的试验方法，这些传统的方法所得到的结果在一定程度上不能很直观的表述和解释再结晶现象和晶粒长大的现象，只能达到定性或者半定量化的要求，虽然也取得了很多的理论成果，但是对于微观组织的演化过程和机理还是不能给与详细的、可视化的解释，据此还存在着很多的问题，并且在塑性变形过程的微观结构的影响的解释也么有达到一个合理的解释[6]。故此，引入了计算机模拟方法，结合传统的试验方法，得到更好的试验结果更好的揭示了材料的再结晶和晶粒长大过程的现象。
基于元胞自动机法的再结晶织构的演变过程
1.2再结晶过程的物理机制
1.2.1 冷变形组织
金属材料经冷加工形变后，组织和性能在一定程度上都会发生一系列的变化，原先的等轴晶组织，晶粒沿形变方向会逐渐伸长。形变度愈大，那么它的伸长现象也愈显著，其组织是纤维状。图1-1是一个典型的冷轧板材组织[27]。冷变形在某种程度上也会引起晶粒取向的改变，从而在多晶体内形成一定量的织构。
另外，晶体结构内的缺陷也会增加，如空位、位错密度及间隙原子密度都会很大程度的升高，层错、亚晶界和孪晶界大量出现，还会形成胞状结构。冷变形组织在热力学理论上是非常不稳定的。在退火过程时，随着退火温度的升高，保
温时间的延长，储存能逐渐释放，材料的组织和性能都会发生一系列的变化[7-9]。
一般来说，冷变形金属退火过程分为回复、再结晶和晶粒长大三个阶段。
1.2.2 再结晶理论
初次再结晶是在多
边形化过程之后的一个阶段，通常是通过再结晶晶核的生长和相应大角度晶界的移动来实现的。在形变基体中先形成无畸变的晶核，晶核不断长大形成新的晶粒，新晶粒在吞并形变基体长大，直到形变组织全部消失为止，初次再结晶过程结束。
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1.2.2.1 再结晶基本规律
实验研究表明，初次再结晶有以下规律[11-13]。
多晶体变形必须大于临界变形量ξcrit 才能发生再结晶；材料的变形变量愈小，那么再结晶过程时所需要的温度愈高；随着退火时间的延长，再结晶过程所需要的温度会有所降低；再结晶完成时，晶粒尺寸的变化主要取决于形变量，而对不取决于再结晶温度；形变量越大，那么最后的晶粒尺寸就会越小；原始晶粒愈大，则对应于相同再结晶温度和时间所需要的临界变形量愈大；形变量相同时，变形温度愈高，则再结晶过程所需要的温度愈高，再结晶长大的晶粒就愈粗；新晶粒不能向取向完全相同或仅轻微偏移的形变晶粒内生长；初次再结晶完成后继续加热，导致晶粒尺寸长大。
1.2.2.2再结晶形核过程
因为在早期阶段再结晶结晶核，体积小，光镜分辨率是有限的，不能观察再结晶形核的具体过程。因此，再结晶形核实验研究仍然不足，从而总结再结晶形核理论和模型的缺陷。由此总结的再结晶形核理论和模型不完善。以下是现有的理论模型简介。
(1)自发形核模型[14]
在变形的结构中，通过点阵结构能量的起伏，可以形成一个具有长大能力的核心，在这个过程中，一方面，由于低的位错密度结构组织的形成，使自由能减少。另一方面，生成新的晶核，使基体之间的界面自由能有所增加。因此，由变化引起的形核半径为R ，则所产生的自由能△G 为
(1-1)
式中，△G v —自由能差（J/m 3），γ—相应的晶界能差（J/m 2）。由式（1-1）可计算出形核的临界半径R c (1-2)
此模型与试验不符的地方：1)根据实际金属的γ和△G ，计算出的R c 值约为10-7m 数量级，生成该尺寸晶核的形核功△G e 约为10-13J 数量级。基于形核率与exp(-△G e /RT)的比例关系所计算的形核率太低；2)自发形核理论不能解释实际观察到的变形基体与再结晶晶核之间的取向关系。因此，自发形核不是再结晶的主要形核机制。
2c v R G γ=?224G=-43v R G R ππγ??+
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(2)亚晶形核模型
在金属分冷变形晶体结构，晶体结构内亚晶不连续兼并亚晶与之相邻晶体的生长方式，与此同时，相邻之间的晶粒取向的差异变大。当亚晶尺寸达到临界尺寸而且亚晶界达到大角度晶界时，则这个亚晶就形成再结晶晶核。Chan[31]最先提出再结晶核的形成与多边形化有关，认为形核是亚晶吞并的过程。图1-2是亚晶吞并长大过程。
图1-2 亚晶长大过程[15]
Fig.1-2 Sketch of sub-grain growth [15]
Burgers[16]认为，多晶体再结晶成核饿条件是亚晶晶粒达到一定的尺寸及晶粒的取向相对周围集基体晶粒的取向差能够达到一定的角度。Bollman[17]观察到，变形基体中大角度晶界是与基体分开的，以及一些小部分基体以小角度晶界与基体分开。因此，不是所有的晶界都要是大角度晶界，尤其对于靠消耗变形基体而长大的亚晶。
(3)位错塞积区形核
当变形足以让再结晶核心开始形核时，新的再结晶晶核并没有均匀的分布在整个变形系统中，而是在某些地方优先生长。主要是3晶界相交点和晶界处，不容易在孪晶界面上形成。析出物界面附近也会有较高的位错密度可以形成一部分的晶核[18]。
(4)晶界形核
由于取向或其他因素的影响，大角度晶界两侧的晶粒在回复过程中进行了不同的结构调整从而造成了位错密度的差异，导致晶界单向移动有了驱动力，进一步形成了再结晶晶核[19]。
1.2.2.3 再结晶动力学
再结晶动力学就是再结晶体积分数的变化与形核率、长大速度以及时间之间的关系。初始再结晶过程的一个最重要的实验特征就是体积分数与再结晶时间表现为S线形关系。Johnson、Mehl、Avrami和Kolmogorov等[20,21]提出了再结晶退
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火过程经典理论模型，即JMAK 公式
(1-3)
式中，A 、n 为常数，n 为Avrami 常数。
将式(1-3)进行对数变换得到下式
(1-4) 式中，ln(ln(l/(l-X)))与lnt 呈线性关系。
国内外众多学者对再结晶动力学进行了大量的实验研究，一般来说，实验得到的Avrami 指数小于JMAK 预测值，且随变形量的增大而降低，与再结晶温度关系不大[22,23]。
1.2.3 再结晶织构的形成过程
在再结晶过程中各个多晶体晶粒的取向会发生很大变化。长期以来人们在一直研究变形晶粒和再结晶晶粒两种取向之间的关系以及它们对再结晶过程的相互影响，而且还提出了许多关于再结晶的理论，这其中对它影响较大的就是定向形核理论和选择生长理论[24]。
1.2.3.1定向形核理论
就在20世纪30年代初，Burgers [25]率先提出了定向形核的概念，到了20世纪70年代就逐渐的形成了完整的定向形核理论。
这个理论的基本思想为：(1)不管在任何塑性变形的过程中晶体取向总要发生变化，而这个变化的趋势总是从一些不稳定的离散区流向一些稳定的聚集区。(2)当在变形金属重新结晶的开始阶段，经回复形成的聚集区附近的亚结构的取向就不容易作为再结晶晶核而长大。而就在离散区附近的亚结构取向由于取向梯度的较大且与变形基体取向差大，而形成了可动性比较高的大角度晶界并转变成再结晶晶核。换句话就是说，再结晶晶核与形变织构在晶体学上有密切的联系且相关的特殊性取向，这些取向的晶核依靠消耗其自身的形变基体长大而产生再结晶织构[26-28]。
某些面心立方金属，如纯度非常高的铝板和铜板的织构，实验己经证实了这个定向形核理论的正确性。在面心立方金属冷轧过程中，{001}<100>取向位于离散区内，{011}<211>位于聚集区内，同时{011}<100>相对于{001}<100>是聚集区内取向，相比较{011}<211>则是离散区内取向。。但是该理论相对于他们材料的再结晶织构，如面心立方金属这种材料再结晶织构中有一部分的形成和单晶体再结晶过程等还无法给出合理的解释[29]。
n X=l-exp(-At )ln(ln(l/(l- X)))=lnA+nlnt
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1.2.3.2选择生长理论
就是在定向形核理论刚提出不久，在大量统计实验研究的基础上又提出了晶粒的选择生长性概念，并且20世纪60～70年代在各种系统的冷变形单晶体再结晶过程的实验得到了进一步完善。这个理论的基本思想就是让再结晶晶核的生长速率与它们的取向有很大的关系。假如在变形基体和生长的这个晶体之间有某种特定的取向关系时，那么这一生长速率达到最大的值。在面心立方金属材料中这一取向关系表现为晶体绕<111>轴转约40°而达到另一晶体的取向位置，又称为40°<111>关系。在体心立方金属中它的这一取向关系就表现为晶体绕其<110>轴转大约27°或84°，来达到另一个晶体的这个取向位置。换句话就是说这个变形金属中存在与其他很不一样的晶核，只有它们相对于变形的基体所具有有利取向的晶核长大并形成再结晶织构[30-33]。
冷轧中纯铝和高纯铝的再结晶可以简单的观察到这种选择性生长现象。由于它的复杂性，在好多的情况下还不能直接观察和证实选择生长现象，这就使它有了限制。
1.3显微组织的计算机模拟
随着科学技术的进步，人们对仿真模拟技术的广泛深入研究，只要通过少量的实验就能建立起准确数值模型，对材料演变进行计算机模拟研究就可以定量地观察、检测在实验室中所观察不到的现象，并能得到相应的特征参数，迅速、准确地判断出结果及规律，最终达到预报材料性能的目的。计算机模拟方法还可以减少环境污染、降低试验成本和提高效率。因此，显微组织的模型化及材料微观结构的设计对于进一步控制材料显微组织及演变过程，以及科学地控制和预测材料的性能，具有非常重要的意义[34-36]。
1.3.1有限元模拟方法
已经有大量研究在如何将各向异性参数引入到有限元方法模型的模拟过程之中。Nakamachi等人在模拟过程中建立了多晶体有限元模型，并应用于金属板材的成形分析[37,38]。
一般的采用的多晶体塑性模型有Sachs模型、Taylor模型和自洽模型。Sachs 模型在假定多晶体变形时，其每个晶粒所受到的外应力是相等的。宏观应力与
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Sachs模型相反，Taylor模型假定内部的多晶体应变处处相等。多晶体只满足形变协调条件。自洽模型能同时满足协调性条件和平衡型条件，但计算复杂。
近几十年来，人们广泛应用晶体塑性模型来分析变形多晶体的各向异性。Bachu[39]和Kalidindi[40]研究了用有限元方法预测面心立方多晶织构演化的精确性。Choi[41]等对面心立方板料金属深冲过程中理想取向的稳定性和织构演化进行了研究。Takahashi[42]应用有限单元晶体塑性模型模拟了铝板轧制变形中各向异性的演化。Kowalczyk[43]等应用晶体塑性模型分析了大变形中弹塑性各向异性及多晶板材中与织构相关的屈服面的演化过程，Anand[44]等应用晶体塑性有限元模型对织构进行分析并研究了钢板成型过程中的制耳现象。尽管人们已认识到轴对称变形织构材料具有横观各向同性和纵向各向异性，但对纵向各向异性具体情况并不清楚。
1.3.2蒙特卡洛方法
蒙特卡洛方法(Monte Carlo Method, MC)是一种几率的计算法，各个领域提出了许多数学模型，MC法将连续体离散成平面或空间规则分布的点阵，各个点都给了它一个取向值，代表一定量的材料组织。晶粒再由一样取向的一组节点表示，晶界存在各个不同取向的相附近节点之间。再结晶形核与晶核生长由节点的状态所描述。晶粒生长就是是晶界处节点取向值转变为其邻近晶粒节点取向状态的过程，再结晶形核是节点取向转变为与其附近节点全异的取向[45]。
MC方法广泛应用于原子尺度和显微尺度的模拟。1989年，Spittle[47]采用蒙特卡罗方法处理晶粒形核与生长过程。刘云腾[48]等模拟不同温度和变形量对再结晶过程和织构变化的影响。
MC方法具有以下优点：1)它不受边界条件和几何条件的制约，尤其是对于于计算的复杂几何系统问题；2)自身反应和误差与维数没有关系，尤其适用于计算多维问题；3)灵活应用，与解析方法配合更能发挥各种方法的优点。
1.3.3元胞自动机方法
元胞自动机(Cellular Automaton, CA)是并行计算机的一种计算机理论模型。元胞自动机可以看作是由许多小单元组成的动态的点阵，其中每个小单元都有有限个状态；在每一步的演变过程中，每个小单元都是按照一定转变规则而转变，由原来单元的状态及相邻单元的状态来决定下一步的状态。元胞自动机可以处理总体上具有高度复杂的离散过程和现象[49]。
基于元胞自动机法的再结晶织构的演变过程
孙景宏[50]等对0.02%C钢深冲板St15再结晶退火织构演变进行了模拟。刘六法[51]等根据元胞自动机的模拟结果研究了AZ91合金热压缩过程中的再结晶动力学。结果表明，随着应变量增加，再结晶分数增加，随着变形温度升高，再结晶速率加快。肖宏[52]等结合金属塑性成形过程的冶金学原理，给出了一种优化了的扩展Moore型邻居，用来模拟塑性变形过程中动态再结晶过程。王同敏[53]等以CA方法为基础，考虑凝固过程中温度场的分布、凝固前沿溶质再分配及液相中的对流等因素，实现了对金属凝固组织形成过程的计算机模拟。
元胞自动机方法的元胞形式多种多样，在不同的模拟实验中元胞所代表的含义也不尽相同，它可以是分子、分子团、原子、原子团或相单元。CA可以整合几乎所有相关的元素和规则，可以利用简单的局部规则和离散的方法描述复杂的、连续的系统。
1.3.4 相场法
相场法是以金兹堡-朗道理论为基础的，尖锐的界面由相场变量代替，由微分方程来反映热力学驱动力、有序化势和扩散的影响。相场法描述了金属系统中固-液界面的形状、曲率及其运动变化。相场法与外部热量、质量和速度方程相耦合，真实地模拟了合金凝固过程显微组织的演化规律[54-56]。
1983年，Fix[57]首次提出了相场模型的数值求解方法，用Langer模型模拟了纯金属的结晶。1990年以后，人们开始研究各向异性问题，并把它结合到相场模型中。1999年，Gurtin[58]等推导了用于再结晶过程的相场模型。于艳梅[59]等利用相场法模拟了过冷纯物质熔体中枝晶的生长过程，研究了界面动力学、各向异性、热扩散和界面能对枝晶生长的影响。2002年，Krill[60]等模拟了三维晶粒的正常长大过程，模拟结果在许多方面都与其他三维模拟方法所得结果相近似。
1.4 主要研究内容和方法
利用实验研究方法研究再结晶和晶粒长大过程不仅费时费力，而且许多影响因素难以精确控制。现代计算机仿真技术所应用的虚拟试验方法，为模拟金属材料再结晶和晶粒长大过程以实现对其组织动态演变模拟和图像模拟提供了有效的手段，使得完成其微观结构设计和最终通过相关数学模型来预测产品的性能成为可能。
本论文工作的完成不仅可探究元胞自动机方法应用的可能性，为国内基于元
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胞自动机方法的金属材料再结晶和晶粒长大模拟研究提供了依据，而且通过虚拟实验可研究模型及其模拟条件对该过程仿真的影响，加深对该过程微观机理的认识。可见，本论文研究既有一定的学术价值和理论指导意义，又有很好的实际指导意义。
本文的研究内容主要有：
(1)建立基于元胞自动机方法的晶粒长大和再结晶模拟的物理机制，建立相应模型；
(2)理由计算机语言编制相关程序，对晶粒长大及再结晶过程进行模拟；
(3)对照有关文献及其试验结果，分析模型及其模拟结果的正确性；
(4)完善模型和仿真程序，研究不同模拟准则或工艺的条件下再结晶规律。
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第二章CA方法的基本理论及模型
元胞自动机最早作为生物机体的一种可能的理想模型而提出，因此元胞自动机最初应用在生物系统中，随后它们被逐渐引入到数学、物理和材料科学等更为广泛的领域，如应用到计算机理论、湍流和组织形成模拟研究中。
2.1 CA的基本概念
2.1.1 CA的定义
元胞自动机方法最早由V on Neumann提出的，并将其应用于自我繁殖的图灵自动机和人口进化的模拟。对于元胞自动机的很多学者概念有着不同的见解，元胞自动机实际上是一种算法，是将确定性的或者不确定性的影响因素用于规则的点阵元胞，用来描述模拟区域在时间和空间上的离散系统。
CA可以看作为一种时间与空间都离散的动力系统。散布在规则网格中的每一元胞取有限的离散状态，有相同的作用规则，它的同步更新是依据确定的局部规则且通过简单的相互作用而构成动态系统的演化。其特点是时间、空间、状态都离散，且其状态改变的规则在时间和空间上都是局部的，每个变量只取有限多个状态。
2.1.2 CA的基本组成
如图2-1所示，元胞自动机由元胞，元胞空间，邻居和转变规则四个基本要素构成。元胞是构成元胞自动机方法的基本单元，它具有有限个状态，位于元胞空间内。每个元胞都有自己的“邻居”，也就是与它相邻的元胞。元胞空间是元胞所在网格的集合。它可以是一维，二维，三维乃至多维，一般以二维和三维居多。根据其几何特点，二维元胞空间常常分为三角网格，四方网格和六方网格。如图2-2所示。
邻居是元胞的相邻单元，不同学者所采用的邻居不尽相同。主要有冯-诺依曼(V on Neumann)型、摩尔(Mooer)型和扩展的摩尔(Mooer)型三种，如图2-3所示。
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图2-1 CA的结构
Fig.2-1 Structure of CA
(a) 三角形网格(b) 正方形网格(c) 六边形网格
图2-2 二维元胞空间
Fig.2-2 Cellular Automata tow dimensions
(a) V on Neumann (b) Mooer (c) 扩展的摩尔Mooer
图2-3 CA的邻居类型
Fig.2-3 Neighborhood definition of Cellular Automata
CA的转变规则是元胞自动机方法的核心部分，不同的邻居定义和不同的转变规则都会导致不同的转变结果，下面是不同邻居定义所对应的转变规则。
V on Neumann型邻居定义所对应的转变规则如下。
(1)如果某个元胞i与它周边的四个近邻的状态值都相同，则下一步其状态值不变；
(2)如果某个元胞i与它周边的三个近邻的状态值相同且为Q，则下一步其状
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态值变为Q
(3)如果以上条件都不满足，则元胞i的状态值随即转变。
Moore型邻居定义如图2-4所示，所对应的转变规则如下。
(1)如果某个元胞i的状态值为QS且与周围八个邻居状态都相同，则其状态值保持不变；
(2) a)如果Q2、Q4、Q6、Q8中有三个状态值是相同，那么元胞i的状态值QS在下一步转变为相同状态值；b)如果Q1、Q3、Q7、Q9中有三个状态值相同，那么元胞i的状态值QS也转变为其相同状态值；
(3)如果元胞i的八个邻居的状态值都与QS不相同，那么QS随机向任一状态改变。
当判定一个元胞状态转变时，顺序应为(1)-(2a)-(2b)-(3)。
图2-4 Moore型邻居模型
Fig.2-4 Neighborhood model of Moore
2.2 微观组织元胞自动机的建模过程
2.2.1元胞取向数的设定
元胞的取向数是模拟模型中一个重要的参数，用来区分和表征不同的晶粒。目前文献中使用的取向数Q大都小于系统总的格点数N，有人认为太大的Q会影响到模拟的速度以及生长系数，但经过分析和模拟实验发现它的大小不会对生长速度产生影响，但它的取值过小，会使得具有相同取向数的晶粒发生碰撞[49]。
从图2-5中可以看到，由于取向数Q的取值小于系统中的晶粒数，使得两个不同的晶粒具有相同的取向数3。如果中间取向数为2的晶粒被这这两个晶粒通过吞并而长大，就会发生晶粒碰撞现象。本来在取向数为2的晶粒消失之后，两个不同的晶粒3之间应该存在一个晶界，但是由于取向数相同，使得系统不能识
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别晶界。
这样的模样是不可取的，原因是它并不是由于晶界的移动而长大，而是由于具有相同的取向数而造成的伪长大，有很大的迷惑性，这样就会使模拟结果发生偏离和错误的结果，就会导致生长系数的计算结果偏大，统计晶粒大小分布和晶粒形状分布时也会产生误差。因此，在模拟过程中，Q 值的选取在是避免这种现象的前提下就具体情况而定。
2.2.2离散化
元胞自动机方法是的时间和空间上都离散的动力学演化算法。将要模拟的空间进行网格划分，也就是将模拟空间离散化。离散化是元胞自动机模拟方法较为重要的一步。离散主要有两个方面的问题需要考虑，一是它的形状，二是它边界条件的类型。一般说来，在二维空间上，离散网格主要有三边形、四边形和六边形三种形状。
由于所选计算机当前的计算能力和模拟结构可视化的方便，本文中选用四边形的网格进行空间的划分。为了使它能从不同的方向都能重复延伸，本文所有模型中都选择周期性边界条件。
模拟空间网格的大小也是需要考虑的一个问题，就是说所模拟的空间进行多大网格的划分，每个网格的单位面积对应现实空间中多大面积。如果网格划分越细越多，模拟结果数据越丰富，与实际也越接近。
2.2.3初始化
初始化的目的是为了给划分的每个网格元胞赋值。一般说来，赋初值
的方式
碰撞前 碰撞后 图2-5 晶粒碰撞示意图
Fig.2-5 Schematic view of grains collision
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有两种，一种是通过计算机按照一定需要来随机赋给；另外一种方式就是将实验数据进行数字化处理，再将所得的数据分配给所对应的元胞，后面将结合具体模型进行详细的阐述。
2.2.4元胞的选取与参数的设定
元胞自动机模型的模拟单元是模拟空间中既独立又相互联系的元胞。所以在每个模拟过程时都需要选择当前的元胞，一般是按照从左到右、从上到下逐行扫描的方式进行的。不过根据模拟的物理过程的不同，也可以有其他的选取方式。例如，再结晶模拟过程，由于再结晶晶核最先在晶界处形成，因此，这个阶段元胞的选取只需要跟踪上一模拟步的晶界迁移情况就行了。
在模拟晶粒的长大过程时，就至少需要两个参数，取向参数和元胞编号。随着模拟过程的复杂，单个元胞控制变量就会增多。所以本文使用元胞数组和矩阵转化的形式来定义，这样便于元胞参数的引入，从而使模型具有较好的扩展性。所以说一个元胞一般具有多个参数来描述和限制它。
2.3 模拟结果的分析方法
2.3.1 晶粒数的统计
多晶体材料演变的过程都是晶粒数的变化过程，所以在研究过程中必须考虑它的数量的变化，进行分统计和分析模拟结果也是一个重要环节。在模拟过程中。元胞空间中的每个单个元胞在输入初始值的时候都被随机赋予了一个随机的取向编号，用来区别和表征不同的晶粒。按照转变规则，元胞发生转变之后，元胞的编号就会发生变化。所以晶粒数的统计实际上就是通过扫描元胞空间中的每个取向数的变化状况，来统计和跟踪元胞的晶粒数量。
2.3.2晶粒尺寸的统计
由于晶界原子的迁移，晶粒的尺寸将不断的发生变化。每个晶粒元胞的边长为1个单位，假如某颗晶粒i 在某个方向上所包含的元胞数量为N i ，则此晶粒长度S i 为
(2-1) 式中S 0为1个单元长度，则晶粒直径D i 为
i i 0S =N S
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(2-2) 式中m 2为总的元胞数，s 1为同一行的晶粒数，s 2为同一列的晶粒数。
2.3.3 微观组织的可视化
为了便于模拟程序的调用，所以在模拟前，首先要离散化组织结构，转化为一个数值矩阵。这样模拟结果就是一组数值矩阵，为了更好地给出模拟结果，就要再把模拟得到的数据转化为图形，也就是说模拟结果的可视化。
网状拓扑结构表达主要分三个步骤。首先，在模拟结果的矩阵中横向扫描，当扫描到相邻的两个元胞有不同的取向值时，证明存在着晶界。然后再在矩阵中列上扫描，当相邻的两个元胞具有不同的取向值时，证明存在着晶界。然后进行画线标记。最后，抽出所有标记，将其组合成维数相同的数组，画出图像即可。这样，识别出纵向的晶界并标记，识别出横向的晶界并标记，将两项的结果合并得到最后结果。
2i 12
D =m ((1/s )+ (1/s ))/2
基于元胞自动机法的再结晶织构的演变过程
第三章 晶粒长大过程的计算机模拟
随着人们对材料的组织、结构与性能之间相互关系认识的深入，越来越显示出晶粒长大研究对控制和改善材料性能的重要性。对于材料再结晶过程模拟而言，初始组织的获得以及再结晶完成后的晶粒组织变化也与晶粒长大息息相关，因此，首先进行晶粒长大过程的模拟研究是必要的，不仅可以揭示该过程组织变化的规律，而且可为再结晶过程模拟奠定基础。
3.1 晶粒长大过程
3.1.1 晶粒长大过程驱动力
晶粒长大过程中，晶粒平均尺寸的上升对应着总的晶界面积的下降，从而使系统总的晶界能下降，这为晶粒长大提供了驱动力。晶界移动的驱动力p 可以表示为 (3-1)
式中，ρ1、ρ2-晶界的两个主曲率半径；γ-界面张力。
在二维系统中因ρ2=∞，公式(3-l)可简化为
(3-2)
3.1.2晶粒长大动力学方程
基于相关实验研究，Burke 给出以下晶粒长大动力学方程[16]
(3-3) 式中，R m 为晶粒平均直径；R m0为初始晶粒平均直径；k 为常数；n 为Burke 晶粒长大指数；t 为晶粒长大时间。
如果R m >> R m0，忽略R m0则得到Beck 公式[20]
(3-4)式中k 为常数；n 为Beck 晶粒长大指数，且n=0.5。
1211p=(γρρ+p=/γρn n m
m0R -R =kt n m R =kt