本科生毕业论文（设计）题目：行列式计算及其应用研究
系部数学系
学科门类理学
专业数学与应用数学
学号0707140157
姓名张大儒
指导教师王吟
2011年 5 月15 日
行列式计算及其应用研究
摘要
行列式是高等代数课程里基本而重要的内容之一，在数学和现实生活中有着广泛的应用，懂得如何计算行列式显得尤为重要.本文阐述行列式的定义及基本性质，介绍了利用行列式的性质计算、化三角形法、代数余子式法、加边法（升阶法）、范德蒙得行列式法等5种基本计算方法和数学归纳法、递推法、利用矩阵特征值计算、拆项法、因式分解法等5种特殊计算方法.本文也介绍了行列式在解析几何、代数中的理论应用和在工程建设、经济管理中的实践应用.这些行列式的计算方法及其应用可以提高我们对行列式的认识，有利于把行列式的研究推向深入.
关键词：行列式；因式分解；化三角形法；解析几何
ABSTRACT
Determinant of higher algebra curriculum content of basic and important one in mathematics and real life has a wide range of applications, know how to calculate the determinant is very important. This paper describes the definition and basic properties of determinant, the determinant of the nature described by calculation of the triangle method, algebraic method, adding edge method (Ascending Order), Vandermonde determinant method of 5 basic calculation methods and mathematical induction, recursion, the use of eigenvalue calculation, the dissolution of entry method, such as the factorization method of 5 special calculation methods. This article also describes the determinant in analytic geometry, algebra theory is applied and engineering construction, the practical application of economic management. The determinant of the calculation method and its applications can improve our understanding of the determinant, to facilitate the determinant of research depth.
Key words: determinant; factorization; triangle method; analytic geometry.
目录
1 行列式的定义及性质 (1)
1.1 行列式的定义 (1)
1.1.1排列 (1)
1.1.2定义 (1)
1.2 行列式的相关性质 (2)
2 行列式的计算方法 (4)
2.1 行列式计算的基本方法 (4)
2.1.1 利用行列式的性质计算 (4)
2.1.2 化三角形法 (5)
2.1.3 代数余子式法 (5)
2.1.4 加边法（升阶法） (7)
2.1.5 范德蒙得行列式法 (9)
2.2 行列式计算特殊方法 (12)
2.2.1 数学归纳法 (12)
2.2.2 递推法 (13)
2.2.3 利用矩阵特征值计算 (16)
2.2.4拆项法 (17)
2.2.5 因式分解法 (18)
3 行列式的应用 (19)
3.1 行列式的理论应用 (19)
3.1.1在解析几何中的应用 (19)
3.1.2在代数中的应用 (21)
3.2 行列式在实践中的应用 (24)
参考文献 (1)
1 行列式的定义及性质
行列式的定义及性质是计算行列式的基础有必要进行介绍.
1.1 行列式的定义 1.1.1排列]4[
在一个排列中，如果一对数的前后位置与大小顺序相反，即前面的数大于后面的数，那么它们就称为一个逆序.一个排列中逆序的总数就称为这个排列的逆序数.逆序数为偶数的排列称为偶排列；逆序数为奇数的排列称为奇排列.如2431中，21，43，41，31是逆序，逆序数是4，为偶排列.
1.1.2定义]6[
n 阶行列式
11
121212221
2n
n n n nn
a a a a a a D a a a =
等于所有取自不同行不同列的n 个元素的乘积
1212n j j nj a a a (1-1)
的代数和，这里n j j j j 321是n 2,1的一个排列，每一项（1-1）都按下列规则带有符号：当n j j j j 321是偶排列时，（1-1）带有正号，当n j j j j 321是奇排列时，（1-1）带有负号.这一定义可以写成
12121211
121()
21222121
2(1)
n n n
n
j j j n j j nj j j j n n nn
a a a a a a a a a a a a τ=
-∑
(1-2)
这里表示对所有n 级排列求和.
1.2 行列式的相关性质]2[
记
11
1212122212n
n n n nn a a a a a a D a a a =
，
112111222212n n n
n nn
a a a a a a D a a a '=
，
行列式D '称为行列式D 的转置行列式. 性质1 行列式与它的转置行列式相等.
证: 记
11
1212122212n n n n nn
b b b b b b D b b b '=
，
即ij ij b a = ),2,1,(n j i =，按行列式定义
121212()12(1)n n n
j j j j j nj j j j D b b b τ'=
-∑ 121212()12(1)n n n
j j j j j j n j j j b b b D τ=
-=∑
.
性质2:互换行列式的两行(列)，行列式反号.
证:
11111212221p q n p q n n np nq
nn
a a a a a a a a D a a a a =
，
交换第q p ,两列得行列式
11
1112122211
q p n q p n n nq
np
nn
a a a a a a a a D a a a a =
.
将D 与1D 按(1.6)式计算，对于D 中任一项
1212(1)p q n I i i i p i q i n a a a a a -
其中I 为排列1p q n i i i i 的逆序数，在1D 中必有对应一项
11212(1)q p n I i i i q i p i n a a a a a -
（当q p j ,≠时，第j 列元素取ij a ，第p 列元素取q i q a ，第q 列元素取p i p a )，其中1I 为排列
1q p n i i i i 的逆序数，而
1p q n i i i i
与
1q p n i i i i
只经过一次对换，由定理1知，(1)I -与1(1)I -相差一个符号，又因
12121212(1)q p n p q n I i i i q i p i n i i i p i q i n a a a a a a a a a a =- ,
所以对于D 中任一项，1D 中必定有一项与它的符号相反而绝对值相等，又D 与1D 的项数相同，所以1D D -=.
交换行列式j i ,两行记作),(j i r ，交换行列式j i ,两列，记作),(j i c .
推论 若行列式有两行(列)元素对应相等，则行列式为零.
性质3:行列式的某一行(列)中所有元素都乘以同一个数k ，等于用数k 乘以此行列式. 第i 行(列)乘以数k ，记作.))((k i r ))](([k i c .
性质4:行列式中若有两行元素对应成比例，则此行列式为零. 性质5:若行列式的某行(列)的元素都是两个数之和，例如
1112121
22211
22
1
2
n n i i i i in in n n nn
a a a a a a D a a a a a a a a a =
'''+++
，
则行列式D 等于下列两个行列式之和：
111211112121
2222122212121
2
1
2
n n n n i i in i i in n n nn
n n nn
a a a a a a a a a a a a D a a a a a a a a a a a a =
+'''
. 性质6:把行列式某一行(列)的元素乘以数k ，加到另一行(列)对应的元素上去，行列式
的值不变.
例如，以数k 乘以第i 行上的元素加到第j 行对应元素上记作)]([k i j r +，有
111211112112121211
22
12
1
1
[()]()n n i i in
i i in j j jn j j j j jn jn
n n nn
n n nn
a a a a a a a a a a a a r j i k i j a a a a ka a ka a ka a a a a a a +≠+++
2 行列式的计算方法
这一部分阐述两个方面内容:2.1行列式计算的基本方法，2.2 行列式计算特殊方法.
2.1 行列式计算的基本方法
基本的行列式解法包括：性质法、化三角形法、代数余子式法、升阶法、范德蒙的行列式法.
2.1.1 利用行列式的性质计算
例1： 一个n 阶行列式n ij D a =的元素满足,,1,2,,,ij ji a a i j n =-= 则称n D 为反对称行列式,证明：奇数阶反对称行列式为零.
证：由ij ji a a =-知ii ii a a =-，即0,1,2,,ii a i n ==
故行列式n D 可表示为
1213112
23213
2331230000
n n
n n n
n
n a a a a a a D a a a a a a -=-----
， 由行列式的性质A A '=，1213112
23213
2331230000n n n n n
n
n
a a a a a a D a a a a a a -----=- 1213112
2321323312300(1)00
n n n n n
n
n a a a a a a a a a a a a -=------
=n n D )1(-
当n 为奇数时，得n D =n D ，因而得n D = 0.
2.1.2 化三角形法
此种方法是利用行列式的性质把给定的行列式表为一个非零数与一个三角形行列式
之积，所谓三角形行列式是位于对角线一侧的所有元素全部等于零的行列式.三角形行列式的值容易求得，涉及主对角线的三角形行列式等于主对角线上元素之积，涉及次对角线的n 阶三角形行列式等于次对角线上元素之积且带符号
例2 计算n 阶行列式n a b b b a b
D b b a =
解：
()[]
a b b a
b b b n a D n 1111-+=()[]b
a b
a b
b b n a ---+= 000
011
()[])1()(1---+=n b a b n a
2.1.3 代数余子式法
在一个n 级行列式D 中,把元素ij a 所在的行与列划去后，剩下的2)1(-n 个元素按
照原来的次序组成的一个)1(-n 阶行列式ij M ,称为元ij a 的余子式，ij M 带上符号
)()1(j i +-称为的ij a 代数余子式,记作ij j i ij M A )()1(+-=
定理1: 行列式等于其第 i 行诸元素与各自代数余子式的乘积之和 , 即
ij n
j ij nn nn ij ij A a A a A a A a A a A a D ∑==+++++=1
131312121111
证：先证特殊情况元素11a 位于第一行、第一列，而该行其余元素均为零;
11
212221
20
n n n nn
a a a a D a a a =
1212121211()()12121
1
(1)(1)n n n n j j j j j j j j nj j j nj j j a a a a a a ττ=≠=-+-∑∑
2223()11
2()
(1)n n n j j j nj j j j a a a τ=-∑ 1111a M =
而11111111(1)A M M +=-=,故1111D a A =;
（2）1111100j n ij n nj nn
a a a a D a a a =
将D 中第i 行依次与前1i -行对调，调换1i -次后位于第一行; 将D 中第j 列依次与前1j -列对调，调换1j -次后位于第一列; 经(1)(1)2i j i j -+-=+-次对调后，ij a 就位于第一行、第一列，即
2(1)(1)i j i j ij ij ij ij ij ij D a M a M a A +-+=-=-=.
(3) 一般地
1112112120000
00n i i in n n nn
a a a D a a a a a a =+++++++++
1112111121111211
2
1
21
21
20
0000
n n n
i i in n n nn
n n nn
n n nn
a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a =+++ 1122i i i i in in a A a A a A =++
同理有:
nj nj j j j j A a A a A a D +++= 2211.
例3 计算四阶行列式 40000
0000a b a b a b a b D a b a b a b a b +-+-=-+-+.
证: 按第1行展开，有
111440
()(1)0()(1)00000
a b a b
a b a b
D a b a b a b a b a b a b a b a b +++-+-=+--++---++-,
对等式右端的两个3阶行列式都按第3行展开，得
22[()()]
a b a b
D a b a b a b a b
+-=+---+4222a b =.
2.1.4 加边法（升阶法）
加边法（又称升阶法）是在原行列式中增加一行一列，且保持原行列式不变的方法. 它要求：1 保持原行列式的值不变； 2 新行列式的值容易计算.根据需要和原行列式的特点选取所加的行和列.加边法适用于某一行（列）有一个相同的字母外，
例4计算n 阶行列式n
n n
n n a x a a a a a x a a a a a x a a a a a x D ++++= 321321
321321. 解：
1100
n
n n
a a D D =
121
1
002,,11
010
n i a a a x i n x x
-=+--
第行减第1行
1211000000
n
j n j a a a a x
x x x
=+=∑
11n
j n j a x x =?
?=+ ???∑
例5]3[ 计算)2(≥n n 阶行列n
n a a a a D ++++=
11
1
1
11111
11111
1
1321
，其中
120n a a a ≠ .
解： 先将n D 添上一行一列，变成下面的1+n 阶行列式：
n
n a a a D +++=+11
1
11101110
11
1
1
211
显然，n n D D =+1.
将1+n D 的第一行乘以1-后加到其余各行，得
n
n a a a D
1
0010011
1
1
1
21
1
---=+
因0≠i a ，将上面这个行列式第一列加第)1,,2(+=n i i 列的
1
1
-i a 倍，得：
11
112211111111110000010
00
1000
00n
i i
n n n
n
a a a D D a a a a =++-==-=-∑
1
2121100
0011 1 100n
n
n i i i
i n
a a a a a a a a ==????
=+=+ ? ?????
∑∑ .
2.1.5 范德蒙得行列式法
根据行列式的特点，适当变形（利用行列式的性质——如：提取公因式；互换两行（列）；一行乘以适当的数加到另一行（列）去;把所求行列式化成已知的或简单的形式.其中范德蒙行列式就是一种.这种变形法是计算行列式最常用的方法.
例1 计算行列式12222
11
22
12
1212
11221111
1
1
n n n
n n n n n n n n
x x x D x x x x x x x x x x x x ------+++=
++++++
解 把第1行的－1倍加到第2行，把新的第2行的－1倍加到第3行，以此类推
直到把新的第1-n 行的－1倍加到第n 行，便得范德蒙行列式
1
2
2
2212
1
1
11
12111()n
n i j n i j n n n n
x x x D x x x x x x x x ≥>≥---==
-∏
例2 计算1n +阶行列式
122
1111
1111112212
2222222122111111111
n
n n n n
n n n n n
n n n n n n n n n n n n n a a b a b a b b a a b a b a b b D a a b a b a b b ---------++++++++=
．其中1210n a a a +≠ ．
解 这个行列式的每一行元素的形状都是k i k n i b a -，k =0，1，2，…，n ．即i a 按降幂排列，i b 按升幂排列，且次数之和都是n ，又因0i a ≠，若在第i 行（i =1，2，…，n ）提出公因子n i a ，则D 可化为一个转置的范德蒙得行列式
∏∏+≤≤≤+=+++++++???? ??-=???
? ?????
? ?????? ?????? ?????
? ?????
? ??=1111112
1111222
222
2112
111
11
2
1
1
1
1
n i j j j i i n i n i n
n n n n n n n
n
n n n n a b a b a a b a b a b a b a b a b a b a b a b a
a a D
()∏+≤≤≤-=
1
1n i j j i j
i
b a a
b
例3 计算行列式
xy
xz
yz
z y x z y x
D 222
=. 解：
)
)()()((2
222
22)
1()3(222
22)
1)(()3(y z x z x y xz yz xy xz
yz xy z xz yz xy y xz yz xy x z y x z
y x xy
z yz xz yz y yz xz xy z y x z y x D x z y ---++=+++++++++=++++++=
+++
例4 计算行列式n n
n n n n n n n
n
n x x x x x x x x x x x x D
2
1
22221222
21
2
1111---=
解：作如下行列式,使之配成范德蒙行列式
n
n n
n n n n n n n n n n n n n
n
y x x x y x x x y x x x y x x x y x x x y P
2
1
11121122222
122222
1
21
1111)(--------= = ∏∏≤<≤=--n
i j j i
n
i i x x
x y 11)()
(
易知n D 等于)(y P 中1-n y 的系数的相反数,而)(y P 中1-n y 的系数为
∏∑≤<≤=--n
i j j i n
k k
x x x 11)( ,因此,∑∏==≤<≤-=
n
k n
i j j i
k
n x x
x D 1
1)(
例5 计算n 阶行列式
11112
22
2(1)(2)(1)(1)(2)(1)1211
1
1
1
n n n n n n n n n a n a n a a a n a n a a D a n a n a a ---------+-+--+-+-=
-+-+-
解：显然该题与范德蒙行列式很相似，但还是有所不同，所以先利用行列式的性质把它化为范德蒙行列式的类型.
先将的第n 行依次与第1-n 行，2-n 行，…,2行，1行对换，再将得到到的新的行列式的第n 行与第1-n 行，2-n 行，…, 2行对换，继续仿此作法，直到最后将第n 行与第
1-n 行对换，这样，共经过2)1(12)2()1(-=+++-+-n n n n 次行对换后，得到
(1)2
22221
11
1
1
111121(1)
(1)(2)(1)(1)(2)(1)n n n n n n n n n n n a n a n a a D a n a n a a a n a n a a ----------+-+-=--+-+--+-+-
上式右端的行列式已是范德蒙行列式，故利用范德蒙行列式的结果得：
∏∏≤<≤≤<≤----=+--+--=n
i j n
i j n n n n n j i j n a i n a D 112
)!(2
)1()()
1()]()[()
1(
2.2 行列式计算特殊方法
在2.1中介绍了一些行列式基本计算方法，但基本方法只能处理一些较为简单的行列式，不能满足实际应用的需要.下面将在基本方法的基础上介绍一些较为复杂的方法.
2.2.1 数学归纳法
当n D 与 1+n D 是同型的行列式时，可考虑用数学归纳法求之. 一般是利用不完全归纳法寻找出行列式的猜想值，再用数学归纳法给出猜想的证明.因此，数学归纳法一般是用来证明行列式等式.
例6 计算行列式 x
a a a a a x
x x
D n n n
+---=--12
32
10
000
0100001
. 解：结合行列式的性质与次行列式本身的规律，可以采用数学归纳法对此行列式进行求解
当2=n 时，
212212
2
2)(1a x a x a a x x a x a x D ++=++=+-=
假设k n =时，有
k k k k k k a x a x a x a x D +++++=---12211
则当1+=k n 时，把1+k D 按第一列展开，得
11221111)(+---++++++++=+=k k k k k k k k k a a x a x a x a x x a xD D
12
111k k k k k x a x a x a x a +-+=+++++ 由此，对任意的正整数n ，有
n n n n n n a x a x a x a x D +++++=---12211 .
2.2.2 递推法 2.2.2.1基本概念
定义1]7[： 形为
02211=++++---r n r n n n d k d k d k d (2-1) 的关系式称为r 阶齐次线性递推关系式，其中n k k k k 321,,，均为常数，并且r k ≠0，对应的方程
02211=++++--n r r r k x k x k x (2-2)
称为(2-1)的特征方程. 定义2：
对于序列 ,,,210a a a 定义 +++=2210)(x a x a a x G ,为序列 ,,,210a a a 的母函数.
2.2.2.2 二阶常系数齐次递推表达式的解]8[
已知递推表达式
021=++--n n n qd pd d (p ，q 为常数且q 不为零) (2-3)
对应的特征方程为
02=++q px x (2-4)
10,d d 的值已知.
下面来解递推表达式(2-3)满足初始条件的特解： 对于序列 3210,,,d d d d
令 332210)(t d t d t d d t G +++= 为序列 3210,,,d d d d 的母函数
则 t pd d d t G qt pt )()()21(010++=++ 从而 21)()(010qt
pt t
pd d d t G ++++=
再令 2
11)(qt pt t H ++=
以下分三种情况来讨论：
a) 特征方程02=++q px x 有两个相异实根:21,r r 时
t
r B
t r A t r t r t H 212111)1)(1(1)(-+
-=--=
n n n n n
n n n
t Br Ar t r B t r A
)()()
(20
10
20
1+=+=∑∑∑∞
=∞=∞
=
其中2
12
211,r r r B r r r A --=
-= 所以
)
(])([)(010t H t pd d d t G ++=n
n n n n n n n n n n n
n n n t r r pd d t r r d r r d t r r r r pd d t r r r r d )])(()([1
)()(21011211002
101121102
10112110210-++--+=--++--=++∞
=+++∞
=++∞
=∑
∑∑
故
=
n d 2
11
r r -)])(()(210112110n n n n n r r pd d t r r d -++-++ )2(≥n 特征方程02=++q px x 有两个共轭复根:21,r r 时
这种情况下(5)式也正确，但其中含有复数形式，以下来消除复数形式)sin (cos 2,1θθi r r ±=，其中
p
p q b a
q b a r --===+=2
224arctan
arctan ,θ 根据欧拉公式得 θ)1sin(2211211+=-+++n iq
r r n n n （2-5）
θn iq r r n n n
sin 2)(2
2
1
=-
（2-6）
把（2-6）、（2-7）代入（2-5）得
]sin )()1sin([sin 1
21
0120θθθ
n q pd d n q d d n n n -+++= （2-7）
特征方程02=++q px x 有两个相等实根:2
21p
r r -==时
)()11()1(1)1(1)(02121∑∞==-=-=-=n n
u du d u
du d u t r u t r t H
11
1111
-∞
=-∞
=-∑∑==n n n n n t nr nu
)(])([)(010t H t pd d d t G ++=
n
n n n n
n n n n n t r pd d n r d n d t r pd d n t
nr d ])()1[()(11011
10011011
1
1
110-∞
=-∞
=∞
=--++++=++=∑∑∑
故 110110)()1(-+++=n n n r pd d n r d n d （2-8）
2.2.2.3 举例
例7求n 阶行列式5
000005100015100015100015
的值
解：利用行列式的性质，按第一行展开得递推关系式
0521=+---n n n d d d )2(>n (2-9)
对应的1,5=-=q p .计算21,d d 得24,521==d d 对于（2-10）令2=n ,得0d =1,( 0d 无实际意义) 递推关系（2-10）对应的特征方程为
0152=+-x x (2-10)
得两个不同实特征解为2
21
5,221521-=+=r r 代入（2-5）得
21
2
)215()215(1
1
1+++--+=
n n n n d
行列式的计算方法综述 目录 1.定义法（线性代数释疑解难参考） 2.化三角形法（线性代数释疑解难参考） 3.逐行（列）相减法（线性代数释疑解难参考） 4.升降法（加边法）（线性代数释疑解难参考） 5.利用范德蒙德行列式（线性代数释疑解难参考） 6.递推法（线性代数释疑解难参考） 7.数学归纳法（线性代数释疑解难参考） 8.拆项法（课外辅导书上参考） 9.换元方法（课外辅导书上参考） 10.拆因法（课外辅导书上参考） 线性代数主要内容就是求解多元线性方程组，行列式的计算其中起重要作用。下面由我介绍几种常见的计算行列式的方法： 1.定义法 由定义看出，n级行列式有!n个项。n较大时，!n是一个很大的数字。直接用定义来计算行列式是几乎不可能的事。但在n级行列式中的等于零的项的个数较多时，它展开式中的不等于零的项就会少一些，这时利用行列式的定义来计算行列式较方便。 例1.算上三角行列式 解：展开式的一般项为 同样，可以计算下三角行列式的值。 2.化三角形法 画三角形法是先利用行列式的性质将原行列式作某种保值变形，化为上
第 １ 页 （下）三角形行列式，再利用上（下）三角形行列式的特点（主对角线上元素的乘积）求出值。 例2.计算 解：各行加到第一行中 把第二列到第n 列都分别加上第一列的()1-倍，有 3.逐行（列）相减法 有这样一类行列式，每相邻两行（列）之间有许多元素相同，且这些相同元素都集中在某个角上。因此可以逐行（列）相减的方法化出许多零元素来。 例3.计算n 级行列式 解：从第二行起，每一行的()1-倍都加上上一行，有 上式还不是特殊三角形，但每相邻两行之间有许多相同元素()10或，且最后一行有()1n -元素都是x 。因此可再用两列逐列相减的方法：第()1n -列起，每一列的()1-倍加到后一列上 4.升降法（加边法） 升降法是在原行列式中再添加一列一行，是原来的n 阶成为()1n +阶，且往往让()1n +阶行列式的值与原n 阶行列式的值相等。一般说，阶数高的比阶数低的计算更复杂些。但是如果合理的选择所添加的行，列元素，是新的行列式更便于“消零”的话，则升降后有利于计算行列式的值。 例4.计算n 级行列式
行列式的几种常见计算技巧和方法 2.1 定义法 适用于任何类型行列式的计算，但当阶数较多、数字较大时，计算量大，有一定的局限性． 例1 计算行列式 004003002001 000. 解析：这是一个四级行列式，在展开式中应该有244=！项，但由于出现很多的零，所以不等于零的项数就大大减少．具体的说，展开式中的项的一般形式是43214321j j j j a a a a ．显然，如果41≠j ，那么011=j a ，从而这个项就等于零．因此只须考虑41=j 的项，同理只须考虑 1,2,3432===j j j 的这些项，这就是说，行列式中不为零的项只有 41322314a a a a ，而()64321=τ，所以此项取正号．故 004003002001000=() () 241413223144321=-a a a a τ. 2.2 利用行列式的性质 即把已知行列式通过行列式的性质化为上三角形或下三角形.该
方法适用于低阶行列式． 2.2.1 化三角形法 上、下三角形行列式的形式及其值分别如下： nn n n n a a a a a a a a a a a a a K ΛM O M M M K K K 2211nn 333223221131211000000=，nn nn n n n a a a a a a a a a a a a a K Λ M O M M M K K K 22113 2133323122211100 0000=. 例2 计算行列式n n n n b a a a a a b a a a a ++= +K M O M M M K K 21 211211n 1 11 D . 解析：观察行列式的特点，主对角线下方的元素与第一行元素对应相同，故用第一行的()1-倍加到下面各行便可使主对角线下方的元素全部变为零．即：化为上三角形． 解：将该行列式第一行的()1-倍分别加到第2,3…（1n +）行上去，可得
n 阶行列式的计算方法 徐亮 （西北师大学数信学院数学系 ， 730070 ） 摘 要：本文归纳总结了n 阶行列式的几种常用的行之有效的计算方法，并举列说明了它们的应运． 关键词：行列式，三角行列式，递推法，升降阶法，得蒙行列式 The Calculating Method of the N-order Determinant Xu Liang (College o f M athematics and Information Scien ce ，North west Normal Uni versit y ， Lanzhou 730070，Gansu ，Chin a ) Abstract:This paper introduces some common and effective calculating methods of the n-order determinant by means of examples. Key words: determinant; triangulaire determinant; up and down order; vandermonde determinant 行列式是讨论线形方程组理论的一个有力工具，在数学的许多分支中都有这极为广泛的应用，是一种不可缺少的运算工具，它是研究线性方程组，矩阵，特征多项式等问题的基础，熟练掌握行列式的计算是非常必要的．行列式的计算问题多种多样，灵活多变，需要有较强的技巧．现介绍总结的计算n 阶行列式的几种常用方法． 1． 定义法 应用n 阶行列式的定义计算其值的方法，称为定义法． 根据定义，我们知道n 阶行列式 12121211 12121222() 1212(1)n n n n n j j j j j nj j j j n n nn a a a a a a a a a a a a π= -∑ L L L L L M M L M L ．
计算n 阶行列式的若干方法举例 1．利用行列式的性质计算 例： 一个n 阶行列式n ij D a =的元素满足,,1,2,,,ij ji a a i j n =-= 则称D n 为反对称 行列式， 证明：奇数阶反对称行列式为零. 证明：由ij ji a a =-知ii ii a a =-，即0,1,2, ,ii a i n == 故行列式D n 可表示为1213112 23213 233123000 n n n n n n n a a a a a a D a a a a a a -=-----，由行列式的性质A A '=，1213112 23213 23312300 00 n n n n n n n a a a a a a D a a a a a a -----=-12131122321323312300( 1)0 n n n n n n n a a a a a a a a a a a a -=------(1)n n D =- 当n 为奇数时，得D n =－D n ，因而得D n = 0. 2．化为三角形行列式 例2 计算n 阶行列式123123 1 23 1 2 3 1111n n n n a a a a a a a a D a a a a a a a a ++=++． 解 这个行列式每一列的元素，除了主对角线上的外，都是相同的，且各列的结构相似，因此n 列之和全同．将第2，3，…，n 列都加到第一列上，就可以提出公因子且使第一列的元素全是1． [][]()()()()()()122323122 3231223231122 3 2 3 211 12, ,2,,11 111 1 1111 1111 11 1n n n n n n n n n i n i n n n n i i i i i n i n a a a a a a a a a a a a a a a a a a D a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ==+-==+++ +++++++??+++++=++ ??? +++ +++?? + ??? ∑∑3110100 111 . 00100 1 n n n i i i i a a a ==?? =+=+ ??? ∑∑
浅 一、 特殊行列式法 1．定义法 当行列式中含零元较多时，定义法可行． 例1 计算n 级行列式 α β βαβαβα000000 0000 00 =D . 解：按定义，易见121,2,,,n j j j n === 或 1212,3,,,1n n j j j n j -==== . 得 11(1)n n n D αβ-+=+- 2．三角形行列式法 利用行列式性质，把行列式化成三角形行列式． nn a a a a a a 000n 222n 11211＝nn n n a a a a a a 212212110 0112233nn a a a a = 例2 计算n 级行列式1231 131 211 2 3 1 n n x n D x n x +=++ 解： 将n D 的第(2,3,,)i i n = 行减去第一行化为三角形行列式，则 1230 1000 0200 1 (1)(2)(1) n n x D x x n x x x n -=--+=---+
3．爪形行列式法 例3 计算行列式 0121 1 220 0000n n n a b b b c a D c a c a = ()0,1,2,,i a i n ≠= 解: 将D 的第i +1列乘以（i i a c - ）都加到第1列()n i ,2,1=，得 10 12 120000000 00n i i n i i n bc a b b b a a D a a - =∑= ＝011()n n i i i i i i b c a a a ==-∑∏ 4． 范德蒙行列式法 1 2 3 2 2221 2 3 11111 2 3 1111n n n n n n n a a a a D a a a a a a a a ----= 1()i j j i n a a ≤<≤= -∏ 例4 计算n 级行列式 2 2221233 333 1 2 3 12 3 11 1 1 n n n n n n n x x x x D x x x x x x x x = 解：利用D 构造一个1n +阶范德蒙行列式 12222 212121111()n n n n n n n x x x x g x x x x x x x x x = 多项式()g x 中x 的系数为3(1)n D +-，而()g x 又是一个范德蒙行列式，即 1 ()() n i i g x x x ==-∏∏≤<≤-n i j j i x x 1)(
计算n 阶行列式的若干方法举例 n 阶行列式的计算方法很多，除非零元素较少时可利用定义计算（①按照某一列或某一行展开②完全展开式）外，更多的是利用行列式的性质计算，特别要注意观察所求题目的特点，灵活选用方法，值得注意的是，同一个行列式，有时会有不同的求解方法。下面介绍几种常用的方法，并举例说明。 1．利用行列式定义直接计算 例 计算行列式 0 0100200 1000000n D n n =-L L M M M M L L 解 D n 中不为零的项用一般形式表示为 112211!n n n nn a a a a n ---=L . 该项列标排列的逆序数t （n －1 n －2…1n ）等于(1)(2) 2 n n --， 故(1)(2) 2 (1) !.n n n D n --=- 2．利用行列式的性质计算 例： 一个n 阶行列式n ij D a =的元素满足,,1,2,,,ij ji a a i j n =-=L 则称D n 为反对称 行列式， 证明：奇数阶反对称行列式为零. 证明：由ij ji a a =-知ii ii a a =-，即0,1,2,,ii a i n ==L 故行列式D n 可表示为1213112 23213 2331230000 n n n n n n n a a a a a a D a a a a a a -=-----L L L L L L L L L ，由行列式的性质A A '=，1213112 23213 2331230000 n n n n n n n a a a a a a D a a a a a a -----=-L L L L L L L L L 12131122321323312300(1)00 n n n n n n n a a a a a a a a a a a a -=------L L L L L L L L L (1)n n D =- 当n 为奇数时，得D n =－D n ，因而得D n = 0.
计算技巧及方法总结 一、 一般来说，对于二阶、三阶行列式，可以根据定义来做 1、二阶行列式 2112221122 2112 11a a a a a a a a -= 2、三阶行列式 33 32 31 23222113 1211a a a a a a a a a =.332112322311312213322113312312332211a a a a a a a a a a a a a a a a a a ---++ 例1计算三阶行列式6 01504 321 - 解 =-6 015043 21601??)1(52-?+043??+)1(03-??-051??-624??- 4810--=.58-= 但是对于四阶或者以上的行列式，不建议采用定义，最常采用的是行列式的性质以及降价法来做。但在此之前需要记忆一些常见行列式形式。以便计算。 计算上三角形行列式 nn nn n n a a a a a a a a a ΛΛ ΛΛΛΛΛΛ2211222112110 0= 下三角形行列式 nn n n a a a a a a Λ ΛΛΛΛΛΛ2122 21 110 00.2211nn a a a Λ= 对角行列式 nn nn n n a a a a a a a a a ΛΛ ΛΛΛΛΛΛ221121 222111000= 二、用行列式的性质计算 1、记住性质，这是计算行列式的前提 将行列式D 的行与列互换后得到的行列式,称为D 的转置行列式,记为T D 或'D ,即若
,21 2222111211nn n n n n a a a a a a a a a D Λ Λ ΛΛΛΛΛ= 则 nn n n n n T a a a a a a a a a D Λ ΛΛΛΛΛΛ 212 22 12 12111=. 性质1 行列式与它的转置行列式相等, 即.T D D = 注 由性质1知道，行列式中的行与列具有相同的地位，行列式的行具有的性质,它的列也同样具有. 性质2 交换行列式的两行(列),行列式变号. 推论 若行列式中有两行(列)的对应元素相同,则此行列式为零. 性质3 用数k 乘行列式的某一行(列), 等于用数k 乘此行列式, 即 .21 21 112112 1 21 112111kD a a a a a a a a a k a a a ka ka ka a a a D nn n n in i i n nn n n in i i n ===Λ ΛΛ Λ ΛΛΛΛΛΛΛΛ ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ 第i 行(列)乘以k ,记为k i ?γ(或k C i ?). 推论1 行列式的某一行(列)中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面. 推论2 行列式中若有两行(列)元素成比例,则此行列式为零. 性质4 若行列式的某一行(列)的元素都是两数之和, 例如, nn n n in in i i i i n a a a c b c b c b a a a D Λ ΛΛΛΛΛ ΛΛΛΛΛ2 1 221111211+++=. 则 2121 21 11211212111211D D a a a c c c a a a a a a b b b a a a D nn n n in i i n nn n n in i i n +=+=Λ ΛΛ Λ ΛΛΛ ΛΛΛΛΛ ΛΛΛΛΛ ΛΛ Λ Λ Λ. 性质5 将行列式的某一行(列)的所有元素都乘以数k 后加到另一行(列)对应位置的元素上, 行列式不变. 注: 以数k 乘第j 行加到第i 行上,记作j i kr r +; 以数k 乘第j 列加到第i 列上，记作j i kc c +. 2、利用“三角化”计算行列式 计算行列式时，常用行列式的性质，把它化为三角形行列式来计算. 例如化为上三角形行列式的步骤是:
计算n 阶行列式的若干方法举例 n 阶行列式的计算方法很多，除非零元素较少时可利用定义计算（①按照某一列或某一行展开②完全展开式）外，更多的是利用行列式的性质计算，特别要注意观察所求题目的特点，灵活选用方法，值得注意的是，同一个行列式，有时会有不同的求解方法。下面介绍几种常用的方法，并举例说明。 1．利用行列式定义直接计算 例 计算行列式 00100 200 1 0000 00n D n n = - 解 D n 中不为零的项用一般形式表示为 112211!n n n nn a a a a n ---=. 该项列标排列的逆序数t （n －1 n －2…1n ）等于(1)(2) 2 n n --， 故(1)(2) 2 (1) !.n n n D n --=- 2．利用行列式的性质计算 例： 一个n 阶行列式n ij D a =的元素满足,,1,2, ,,ij ji a a i j n =-= 则称D n 为反对称 行列式， 证明：奇数阶反对称行列式为零. 证明：由ij ji a a =-知ii ii a a =-，即0,1,2, ,ii a i n == 故行列式D n 可表示为1213112 23213 233123000 n n n n n n n a a a a a a D a a a a a a -=-----，由行列式的性质A A '=，1213112 23213 233123000 n n n n n n n a a a a a a D a a a a a a -----=-12131122321323312300(1)0 n n n n n n n a a a a a a a a a a a a -=------(1)n n D =- 当n 为奇数时，得D n =－D n ，因而得D n = 0. 3．化为三角形行列式
行列式的若干计算技巧与方法 内容摘要 1. 行列式的性质 2.行列式计算的几种常见技巧和方法 定义法 利用行列式的性质 降阶法 升阶法（加边法） 数学归纳法 递推法 3. 行列式计算的几种特殊技巧和方法 拆行（列）法 构造法 特征值法 4. 几类特殊行列式的计算技巧和方法 三角形行列式 “爪”字型行列式 “么”字型行列式 “两线”型行列式 “三对角”型行列式 范德蒙德行列式 5. 行列式的计算方法的综合运用 降阶法和递推法 逐行相加减和套用范德蒙德行列式 构造法和套用范德蒙德行列式
行列式的性质 性质1 行列互换，行列式不变．即 nn a a a a a a a a a a a a a a a a a a n 2n 1n2 2212n12111nn n2n12n 2221 1n 1211 . 性质2 一个数乘行列式的一行（或列），等于用这个数乘此行列式．即 nn n2 n1in i2i1n 11211 k k k a a a a a a a a a k nn a a a a a a a a a n2n1in i2i1n 11211. 性质3 如果行列式的某一行（或列）是两组数的和，那么该行列式就等于两个行列式的和，且这两个行列式除去该行（或列）以外的各行（或列）全与原来行列式的对应的行（或列）一样．即 111211112111121112212121 2 1212.n n n n n n n n n nn n n nn n n nn a a a a a a a a a b c b c b c b b b c c c a a a a a a a a a K K K M M M M M M M M M M M M K K K M M M M M M M M M M M M K K K 性质4 如果行列式中有两行（或列）对应元素相同或成比例，那么行列式为零．即 k a a a ka ka ka a a a a a a nn n n in i i in i i n 21 2121112 11nn n n in i i in i i n a a a a a a a a a a a a 212121112 11 =0. 性质5 把一行的倍数加到另一行，行列式不变．即
行列式化简计算技巧和实题操练 ——Zachary 一.技巧: 技巧1:行列式与它的转置行列式的值相等,即D=D T 111211121121222122221 212n n n n n n nn n n nn a a a a a a a a a a a a a a a a a a = 技巧2:互换行列式的任意两行(列),行列式的值将改变正负号 111212122221222111211 21 2n n n n n n nn n n nn a a a a a a a a a a a a a a a a a a =- 技巧3:行列式中某一行(列)的所有元素的公因子可以提到行列式记号的外面 111112111112122122222212221 121 2n n n n n n i n n n n n nn n n nn b a b a b a a a a b a b a b a a a a b b a b a b a a a a == ∏ 技巧4:行列式具有分行(列)相加性 11121111211112111221 21 21 2 1 21 2n n n t t t t tn tn t t tn t t tn n n nn n n nn n n nn a a a a a a a a a b c b c b c b b b c c c a a a a a a a a a +++=+ 技巧5:将行列式的某一行(列)的各元素乘以同一数k 后加到另一行(列)对应的元素上,行列式的值不变
1112111 12112112212121 21 2 n n s s sn s t s t sn tn t t tn t t tn n n nn n n nn a a a a a a a a a a ka a ka a ka a a a a a a a a a a a a +++= 技巧6:分块行列式的值等于其主对角线上两个子块行列式的值的乘积 111111111111111111 11000 m m n m mm m n m mm n nn n nm n nn a a a a b b a a c c b b a a b b c c b b = 技巧7:[拉普拉斯按一行(列)展开定理] 行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和 1 1 (1,2,,)(1,2,,)n n ik ik kj kj k k D a A i n a A j n ======∑∑ 二.解题方法: 方法1:对于2阶行列式和3阶行列式,可以直接使用对角线法则进行计算 1112 112212212122 a a a a a a a a =-, 111213 21222311223312233113213211233212213313223131 32 33 a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a =++---
行列式的计算方法总结: 1. 利用行列式性质把行列式化为上、下三角形行列式. 2. 行列式按一行(一列)展开,或按多行(多列)展开(Laplace 定理). 几个特别的行列式: B A B C A B C A == 0021 , B A B A D D B A mn )1(0 021 -== ,其中B A ,分别是n m ,阶的方阵. 例子: n n a b a b a b b a b a b a D 22O N N O = , 利用Laplace 定理,按第1,+n n 行展开,除2级子式 a b b a 外其余由第1,+n n 行所得的2级子式均为零. 故222222112)()1(--+++++-=-= n n n n n n n D b a D a b b a D ,此为递推公式,应用可得 n n n n b a D b a D b a D )()()(224222222222-==-=-=--Λ. 3. 箭头形行列式或者可以化为箭头形的行列式. 例:n n n n n n n a x x a a x x a a x x a a a a x x a a a a x a a a a x a a a a x ------=Λ ΛΛΛΛΛΛΛΛΛ ΛΛΛΛΛΛΛΛ00 000 01 133112 2113213 21321 321321 -----(倍加到其余各行第一行的1-) 100 101010 011)(3 332 221 111 Λ ΛΛΛΛΛΛΛΛ-------? -=∏=n n n n i i i a x a a x a a x a a x x a x --------(每一列提出相应的公因子i i a x -) 1 001000 010)(3 332 222111 1 Λ ΛΛΛΛΛΛΛΛn n n n i i i i n i i i a x a a x a a x a a x a a x x a x ----+-? -=∑∏== --------(将第n ,,3,2Λ列加到第一列)
1 行列式的定义及性质 1.1 定义[3] n 级行列式 1112121 22 212 n n n n nn a a a a a a a a a 等于所有取自不同行不同列的个n 元素的乘积12 12n j j nj a a a (1)的代数和,这里12 n j j j 是 1,2, ,n 的一个排列,每一项(1)都按下列规则带有符号:当12n j j j 是偶排列时,(1)带正号，当 12n j j j 是奇排列时,(1)带有负号.这一定义可写成 () () 121212 1112121 22 21212 1n n n n j j j n j j nj j j j n n nn a a a a a a a a a a a a τ= -∑ 这里 12 n j j j ∑ 表示对所有n 级排列求和. 1.2 性质[4] 性质1.2.1 行列互换,行列式的值不变. 性质1.2.2 某行(列)的公因子可以提到行列式的符号外. 性质1.2.3 如果某行(列)的所有元素都可以写成两项的和,则该行列式可以写成两行列式的和;这两个行列式的这一行(列)的元素分别为对应的两个加数之一,其余各行(列)与原行列式相同. 性质1.2.4 两行(列)对应元素相同,行列式的值为零. 性质1.2.5 两行(列)对应元素成比例,行列式的值为零. 性质1.2.6 某行(列)的倍数加到另一行(列)对应的元素上,行列式的值不变. 性质1.2.7 交换两行(列)的位置,行列式的值变号.
2 行列式的分类及其计算方法 2.1 箭形（爪形）行列式 这类行列式的特征是除了第1行(列)或第n 行(列)及主(次)对角线上元素外的其他元素均为零，对这类行列式可以直接利用行列式性质将其化为上(下)三角形行列式来计算.即利用对角元素或次对角元素将一条边消为零. 例1 计算n 阶行列式 ()1 2323111100 1 0001 n n n a a D a a a a a =≠. 解 将第一列减去第二列的 21a 倍，第三列的3 1a 倍第n 列的 1 n a 倍，得 1 223 111110 000 000 n n n a a a a D a a ?? -- - ?? ? = 1221n n i i i i a a a ==?? =- ?? ? ∑ ∏. 2.2 两三角型行列式 这类行列式的特征是对角线上方的元素都是c ,对角线下方的元素都是b 的行列式，初看，这一类型似乎并不具普遍性，但很多行列式均是由这类行列式变换而来，对这类行列式，当 b c =时可以化为上面列举的爪形来计算，当b c ≠时则用拆行(列)法[9]来计算. 例2 计算行列式
浅论行列式及其计算方法 摘要：本文主要介绍了行列式的概念——行列式是n 阶矩阵的一个特征量。行列式的性质——行列式和它的转置行列式相等等一系列性质。行列式的计算方法——化三角法，定义法等。克莱姆法则。以及和矩阵相关的一些问题。 关键词：行列式的概念 行列式的性质 行列式的计算 矩阵 克莱姆法则 正文 1行列式的概念 1.1 二阶、三阶行列式 行列式是代数式的简要记号，如 1112112212212122a a a a a a a a =- （1.1） 111213 21222311223312233113213231 32 33 a a a a a a a a a a a a a a a a a a =++ 322311332112312213a a a a a a a a a --- （1.2） 分别是二阶、三阶行列式，两式的左端表示行列式的记号，右端是行列式的全面展开式。行列式的元素有两个下标，分别称为行标和列标。如32a 表示该元素位于第3行、第2列。 二阶、三阶行列式的全面展开可以用对角线法。 【例】5152(1)3133 2 -=?--?=； 2 2 2 2 ()a b a b a b b a =--=+-； 250 1334 1 6 ---2361(1)0(5)(3)4=??+?-?+-?-?034-?? (1)(3)21(5)6--?-?-?-?(36)(0)(60)(0)(6)(30)120=++----=。 1.2 n 阶行列式的全面展开 用2 n 个元素可以构成n 阶行列式 nn n n n n a a a a a a a a a 2 1 2222111211 。 行列式有时简记为j i a 。一阶行列式a 就是a 。高于4阶的行列式不能用对角线法展开。参照二阶、三阶行列式的展开式（1.1）、（1.2），规定n 阶行列式的全面展开按如下方式进行： （1）展开式的每一项都是不同行、不同列的n 个元素的乘积。 （2）取自不同行、不同列的n 个元素要出现所有不同的搭配。若将行标顺序安排，则每一项对应列标的一个排列。如332112a a a 对应的排列是2 1 3。所有不同的搭配，对应所有不同的列标排列，n 个自然数共有!n 种排列，因而全面展开式共有!n 项。 （3）各项的前置符号，偶排列取正，奇排列取负。所谓偶（奇）排列是指该排列的逆序数
特殊行列式及行列式计算方法总结 一、 几类特殊行列式 1. 上（下）三角行列式、对角行列式（教材P7例5、例6） 2. 以副对角线为标准的行列式 11112112,1 221222,11,21,1 1,11 2 ,1 (1)2 12,11 000000 0000 0000 (1) n n n n n n n n n n n nn n n n n n nn n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ---------===-L L L L L L M M M M M M M M M N L L L L 3. 分块行列式（教材P14例10） 一般化结果： 00n n m n n m n m m n m m n m A C A A B B C B ????= =? 0(1)0n m n n m n mn n m m m n m m n A C A A B B C B ????= =-? 4. 范德蒙行列式（教材P18例12） 注：4种特殊行列式的结果需牢记！ 以下几种行列式的特殊解法必须熟练掌握！！！ 二、 低阶行列式计算 二阶、三阶行列式——对角线法则 （教材P2、P3） 三、 高阶行列式的计算 【五种解题方法】 1) 利用行列式定义直接计算特殊行列式； 2) 利用行列式的性质将高阶行列式化成已知结果的特殊行列式； 3) 利用行列式的行（列）扩展定理以及行列式的性质，将行列式降阶进行计算 ——适用于行列式的某一行或某一列中有很多零元素，并且非零元素的代数余子式很容易计算； 4) 递推法或数学归纳法； 5) 升阶法（又称加边法）
中南民族大学 毕业论文(设计) 学院: 数学与统计学学院 专业: 统计学年级:2008 题目: 行列式计算的若干方法 学生姓名: 曹金金学号:08067005
指导教师姓名: 汪宝彬职称:讲师 2012年4月30日
中南民族大学本科毕业论文（设计）原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取得的研究成果.除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写的成果作品.本人完全意识到本声明的法律后果由本人承担. 作者签名： 年月日
目录 摘要 (1) 关键词 (1) Abstract (1) Key words (1) 1 引言 (2) 2.1排列 (2) 2.2行列式的定义 (2) 2.2.1 二阶、三阶行列式 (2) 2.2.2 n阶行列式的定义 (3) 2.2.3 几种特殊的行列式的定义 (3) 2.3 行列式的基本性质 (5) 3几种常见的行列式的计算方法 (6) 3.1利用行列式定义直接计算 (6) 3.2 利用行列式的性质计算 (6) 3.3 三角化法 (7) 3.4 降阶法 (8) 3.5利用范德蒙德行列式求解 (10) 3.6 数学归纳法 (11) 3.7 拆项法 (12) 3.8析因子法 (13) 3.9 加边法(升阶法) (13) 3.10递推公式法 (14) 3.11超范德蒙行列式法 (15) 3.12利用分块计算行列式 (16) 4 结论 (16) 致谢 (17) 参考文献 (17)
行列式计算的若干方法 摘要：在线性代数中,行列式的求解是非常重要的. 本文首先介绍行列式的定义与性质；然后通 过实例给出了计算行列式的几种方法.从文中可以看出，选择合适的计算方法可有效的计算行列式. 关键词：行列式；性质；计算方法 Some Methods of Determinant Calculation Abstract: Determinant plays an important role in the linear algebra. In this paper we first introduce the definition and properties of determinant. Then several methods of the calculation are given by some examples. It can be seen from the paper that choose the appropriate calculation method can efficiently compute the determinant. Key words: determinant; property; the calculation methods
行列式计算7种技巧7种手段 编者:Castelu 韩【编写说明】行列式是线性代数的一个重要研究对象,是线性代数中的一个最基本,最常用的工具,记为det(A).本质上,行列式描述的是在n 维空间中,一个线性变换所形成的平行多面体的体积,它被广泛应用于解线性方程组,矩阵运算,计算微积分等.鉴于行列式在数学各领域的重要性,其计算的重要性也不言而喻,因此,本人结合自己的学习心得,将几种常见的行列式计算技巧和手段归纳于此,供已具有行列式学习基础的读者阅读 一.7种技巧: 【技巧】所谓行列式计算的技巧,即在计算行列式时,对已给出的原始行列式进行化简,使之转化成能够直接计算的行列式,由此可知,运用技巧只能化简行列式,而不能直接计算出行列式 技巧1:行列式与它的转置行列式的值相等,即D=D T 111211121121222122221 212n n n n n n nn n n nn a a a a a a a a a a a a a a a a a a
技巧2:互换行列式的任意两行(列),行列式的值将改变正负号 111212122221222111211 21 2n n n n n n nn n n nn a a a a a a a a a a a a a a a a a a =- 技巧3:行列式中某一行(列)的所有元素的公因子可以提到行列式记号的外面 111112111112122122222212221 121 2n n n n n n i n n n n n nn n n nn b a b a b a a a a b a b a b a a a a b b a b a b a a a a ==∏ 技巧4:行列式具有分行(列)相加性 1112111121111211122121 21 2 1 21 2n n n t t t t tn tn t t tn t t tn n n nn n n nn n n nn a a a a a a a a a b c b c b c b b b c c c a a a a a a a a a +++=+ 技巧5:将行列式的某一行(列)的各元素乘以同一数k 后加到另一行(列)对应的元素上,行列式的值不变 1112111 12112112212121 21 2 n n s s sn s t s t sn tn t t tn t t tn n n nn n n nn a a a a a a a a a a ka a ka a ka a a a a a a a a a a a a +++= 技巧6:分块行列式的值等于其主对角线上两个子块行列式的值
关于行列式的一般定义和计算方法 n 阶行列式的定义 n 阶行列式 nn n n n n a a a a a a a a a 2 122221112 11= n n n j j j nj j j j j j a a a 21212121) ()1( 2 N 阶行列式是 N ! 项的代数和; 3、N 阶行列式的每项都是位于不同行、不同列N 个元素的乘积; 特点:(1)(项数)它是3!项的代数和; (2)(项的构成)展开式中的每一项都是取自行列式不同行不同列的三个元素之积. 其一般项为: (3)(符号规律)三个正项的列标构成的排列为123,231,312. 它们都是偶排列; 三个负项的列标构成的排列为321,213,132, 它们都是奇排列. § 行列式的性质 性质1：行列式和它的转置行列式的值相同。 32 2311332112312213a a a a a a a a a 32 21133123123322113332 31 232221 13 1211 a a a a a a a a a a a a a a a a a a D （1
即 nn n n n n a a a a a a a a a 2 122221112 11= nn n n n n a a a a a a a a a 212221212111； 行列式对行满足的性质对列也同样满足。 性质2 互换行列式的两行（列），行列式的值变号. 如: D=d c b a =ad-bc , b a d c =bc-ad= -D 以r i 表第i 行，C j 表第j 列。交换 i ,j 两行记为r j i r ,交换i,j 两列记作C i C j 。 性质3：如果一个行列式的两行（或两列）完全相同，那么这个行列式的值 等于零。 性质4：把一个行列式的某一行（或某一列）的所有元素同乘以某一个常数k 的结果等于用这个常数k 乘这个行列式。（第i 行乘以k ，记作r i k ） 推论1：一个行列式的某一行（或某一列）的所有元素的公因式可以提到行 列式符号的前面。 推论2：如果一个行列式的某一行（或某一列）的所有元素都为零，那么行 列式值等于零。 推论3：如果一个行列式的某二行（或某二列）的对应元素成比例，那么行列 式值等于零。 性质5：如果行列式D 的某一行（或某一列）的所有元素都可以表成两项的和，那么行 列 式 D 等 于 两 个 行 列 式 D 1 和 D 2 的 和 。
行列式的计算方法 摘要：线性代数主要内容就是求解多元线性方程组，行列式产生于解线性方程组,行列式的计算是一个重要的问题。本文依据行列式的繁杂程度，以及行列式中字母和数字的特征，给出了计算行列式的几种常用方法：利用行列式的定义直接计算、化为三角形法、降阶法、镶边法、递推法，并总结了几种较为简便的特殊方法：矩阵法、分离线性因子法、借用“第三者”法、利用范德蒙德行列式法、利用拉普拉斯定理法，而且对这些方法进行了详细的分析，并辅以例题。 关键词：行列式矩阵降阶 The Methods of Determinant Calculation Abstract：Solving multiple linear equations is the main content of the linear algebra, determinants produced in solving linear equations, determinant calculation is an important issue.This article is based on the complexity degree of the determinant, and the characteristics of letters and numbers of the determinant ,and then gives several commonly used methods to calculate the determinant: direct calculation using the definition of determinant, into the triangle, reduction method, edging method , recursion, and summarizes several relatively simple and specific methods: matrix, linear separation factor method, to borrow "the third party" method, using Vandermonde determinant method, using Laplace theorem,also analyze these methods in detail,and supported by examples. Keywords:determinant matrix reduction. 1．引言 线性代数主要内容就是求解多元线性方程组，行列式产生于解线性方程组,