2012年高考数学二轮精品复习资料 专题03 数列（教师版）
【考纲解读】
1.理解数列的概念，了解数列通项公式的意义，了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项.
2.理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式，并能运用公式解答简单的问题.
3.理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n 项和公式，并能运用公式解决简单的问题. 【考点预测】
1.等差（比）数列的基本知识是必考内容，这类问题既有选择题、填空题，也有解答题；难度易、中、难三类皆有.
2.数列中a n 与S n 之间的互化关系也是高考的一个热点.
3.函数思想、方程思想、分类讨论思想等数学思想方法在解决问题中常常用到，解答试题时要注意灵活应用.
4.解答题的难度有逐年增大的趋势,还有一些新颖题型,如与导数和极限相结合等. 因此复习中应注意：
1.数列是一种特殊的函数，学习时要善于利用函数的思想来解决.如通项公式、前n 项和公式等.
2.运用方程的思想解等差（比）数列，是常见题型，解决此类问题需要抓住基本量a 1、d （或q ），掌握好设未知数、列出方程、解方程三个环节，常通过“设而不求，整体代入”来简化运算.
3.分类讨论的思想在本章尤为突出.学习时考虑问题要全面，如等比数列求和要注意q =1和q ≠1两种情况等等.
4.等价转化是数学复习中常常运用的，数列也不例外.如a n 与S n 的转化；将一些数列转化成等差（比）数列来解决等.复习时，要及时总结归纳.
5.深刻理解等差（比）数列的定义，能正确使用定义和等差（比）数列的性质是学好本章的关键.
6.解题要善于总结基本数学方法.如观察法、类比法、错位相减法、待定系数法、归纳法、数形结合法，养成良好的学习习惯，定能达到事半功倍的效果.
7．数列应用题将是命题的热点，这类题关键在于建模及数列的一些相关知识的应用. 【要点梳理】
1.证明数列{}n a 是等差数列的两种基本方法：（1）定义法：1n n a a d +-=为常数；（2）等差中项法：
112(2)n n n a a a n +-=+≥.
2.证明数列{}n a 是等比数列的两种基本方法：（1）定义法：
1
n n
a q a +=(非零常数)；
（2）等差中项法：211(2)n n n a a a n +-=?≥.
3.常用性质:(1)等差数列{}n a 中,若m n p q +=+,则m n p q a a a a +=+;
(2)等比数列{}n a 中,若m n p q +=+,则m n p q a a a a ?=?. 4.求和:
(1)等差等比数列,用其前n 项和求出;
(2)掌握几种常见的求和方法:错位相减法、裂项相消法、分组求和法、倒序相加法; (3)掌握等差等比数列前n 项和的常用性质. 【考点在现】
考点1 等差等比数列的概念及性质
在等差、等比数列中，已知五个元素1n a ,a ,n,d 或q ，n S 中的任意三个，运用方程的思想，便可求出其余两个，即“知三求二”。本着化多为少的原则，解题时需抓住首项1a 和公差（或公比q ）。另外注意等差、等比数列的性质的运用.例如
（1）等差数列{}n a 中，若m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+；等比数列{}n a 中，若m n p q +=+，则
m n p q a a a a = .
（2）等差数列{}n a 中，()n 2n n 3n 2n kn k n 1S ,S S ,S S ,S S ,---- 成等差数列。其中n S 是等差数列的前n 项和；等比数列{}n a 中（q 1≠-），()
n 2n n
3n 2n k n k n 1S,S S,S S ,S S ,-
--- 成等比数列。其中n S 是等比数列的前n 项和；
（3）在等差数列{}n a 中，项数n 成等差的项n a 也称等差数列. （4）在等差数列{}n a 中，()2n 1n S 2n 1a -=-；()2n n n 1S n a a +=+ .
在复习时，要注意深刻理解等差数列与等比数列的定义及其等价形式.注意方程思想、整体思想、分类讨论思想、数形结合思想的运用.
例1. (2011年高考重庆卷理科11)在等差数列{}n a 中，3737a a +=，则2468a a a a +++= . 【答案】74
【解析】28463737a a a a a a +=+=+=，故246823774a a a a +++=?= 【名师点睛】本题考查等差数列的性质.
【备考提示】：熟练掌握等差等比数列的概念与性质是解答好本类题的关键.
考点 2 数列的递
推关系式的理解与应用
在解答给出的递推关系式的数列问题时，要对其关系式进行适当的变形 ，转化为常见的类型进行解题。如“逐差法”若n n 1a a n,--=且1a 1=；我们可把各个差列出来进行求和，可得到数列{}n a 的通项.
()()()n n n 1n 1n 2211a a a a a a a a ---=-+-++-+ ()()
n n 1n n 121.2
+=+-+++=
再看“逐商法”即n 1n
a n 1a +=+且1a 1=，可把各个商列出来求积。
()()n n 12n 1n 1n 21
a a a a a n n 1n 221n!a a a ---=
=--= 另外可以变形转化为等差数列与等比数列，利用等差数列与等比数列的性质解决问题.
例2.（2011年高考四川卷文科9)数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1=1, a n+1 =3S n (n ≥1),则a 6=( ) （A ）3 ×44
（B ）3 × 44
+1 (C) 44
（D ）44
+1 【答案】A
【解析】由题意，得a 2=3a 1=3.当n ≥1时，a n+1 =3S n (n ≥1) ①，所以a n+2 =3S n+1 ②， ②-①得a n+2 = 4a n+1 ，故从第二项起数列等比数列，则a 6=3 ×44.
【名师点睛】本小题主要考查n a 与n S 的关系：1n n n 1S n=1a S S n 2
-?=?
-≥?，数列前n 项和n S 和通项n a 是数列中两个重要的量，在运用它们的关系式n n n 1a S S -=-时，一定要注意条件n 2≥，求通项时一定要验证1a 是否适合。解决含
n a 与n S 的式子问题时，通常转化为只含n a 或者转化为只n S 的式子.
【备考提示】：递推数列也是高考的内容之一,要熟练此类题的解法,这是高考的热点. 练习2.（2011年高考辽宁卷文科5)若等比数列{a n }满足a n a n+1=16n
，则公比为（ ）
（A ）2 （B ）4 （C ）8 （D ）16 【答案】B
【解析】设公比是q ，根据题意a 1a 2=16 ①，a 2a 3=162 ②，②÷①，得q 2=16 .因为a 12q=16>0, a 12
>0，则q>0，q=4.
考点3 数列的通项公式n a 与前n 项和公式的应用
等差、等比数列的前n 项和公式要深刻理解，等差数列的前n 项和公式是关于n 的二次函数.等比数列的前n 项和公式()n 1n 11n a 1q a a S q 1q
1q 1q
-=
=
----（q 1≠），因此可以改写为n n S aq b (a b 0)=++=是关于n 的指数函数，当q 1
=时，n 1S na =.
例3.(2011年高考江苏卷13)设7211a a a ≤≤≤≤ ，其中7531,,,a a a a 成公比为q 的等比数列，642,,a a a 成公差为1的等差数列，则q 的最小值是 .
【解析】由题意：231212121112a a a q a a q a a q =≤≤≤+≤≤+≤，
222221,12a q a a q a ∴≤≤++≤≤+
【答案】A
【解析】通过2580a a +=，设公比为q ，将该式转化为083
22=+q a a ，解得q =-2，带入所求式可知答案选A ，本题主要考察了本题主要考察了等比数列的通项公式与前n 项和公式. 考点4. 数列求和
例4. (山东省济南市2011年2月高三教学质量调研理科20题)
已知}{n a 为等比数列，256,151==a a ；n S 为等差数列}{n b 的前n 项和，,21=b 8525S S =. （1） 求}{n a 和}{n b 的通项公式； （2） 设n T n n b a b a b a ++=2211，求n T .
【解析】（1） 设}{n a 的公比为q ,由451a a q =,得 4.q =所以14.n n a -=
设}{n b 的公差为d ，由8525S S =得322
3
231=?==a d , 所以()113 1.n b b n d n =-=- （2）
n T ()1124548431n n -=?+?+?+- ①
()244245431n n T n =
?+?++- ②
②-①得：()
()()21
32344 (4)
4312324.n n n n T n n -=--++++-=+-? 所以224.33
n n T n ?
?=-
?+ ??? 【名师点睛】本小题主要考查等比等差数列的通项公式及前n 项和公式、数列求和等基础知识，考查运算能力、综合分析和解决问题的能力.
【备考提示】：熟练数列的求和方法等基础知识是解答好本类题目的关键. 练习4. （2010年高考山东卷文科18）
已知等差数列{}n a 满足：37a =，5726a a +=.{}n a 的前n 项和为n S . （Ⅰ）求n a 及n S ；（Ⅱ）令2
1
1
n n b a =
-（n N +∈）,求数列{}n b 的前n 项和n T . 【解析】（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，因为37a =，5726a a +=，所以有
考点5 等差、等比数列的综合应用
解综合题要总揽全局，尤其要注意上一问的结论可作为下面论证的已知条件，在后面求解的过程中适时应用． 例5．(2011年高考浙江卷理科19)已知公差不为0的等差数列{}n a 的首项1a a = (a R ∈),设数列的前n 项和为n S ，且
11a ，21a ，4
1
a 成等比数列（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式及n S （Ⅱ）记1231111...n n A S S S S =++++，
212221111
...n
n B a a a a =
++++
，当2n ≥时，试比较n A 与n B 的大小
.
当2n ≥时，
201221n
n n n n C C C C n =++++>+ 即111112
n n -
<-+； 所以当0a >时，n n A B <；当0a <时，n n A B > .
【名师点睛】本小题主要考查等差等比数列的通项与前n 项和等基本知识，考查逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力．
【备考提示】：熟练掌握等差等比数列的基础知识是解决本类问题的关键. 练习5.(2011年高考天津卷文科20)
已知数列{}n a 与{}n b 满足11(2)1n
n n n n b a b a +++=-+,1
3(1),2
n n b n N -+-=
∈*,且12a =. （Ⅰ）求23,a a 的值;
(Ⅱ)设2121n n n c a a +-=-,n N ∈*,证明{}n c 是等比数列; (Ⅲ)设n S 为{}n a 的前n 项和,证明
21212122121
()3
n n n n S S S S n n N a a a a *--++++≤-∈ . 【解析】（Ⅰ）由13(1),2n n b n N -+-=∈*,可得2,1,n n b n ?=??是奇数是偶数
,11(2)1n n n n n b a b a +++=-+, 当n=1时,1221,a a +=-由12a =,得23
2
a =-; 当n=2时,2325,a a +=可得38a =.
(Ⅱ)证明:对任意n N ∈*,21212221n n n a a --+=-+--------①
2221221n n n a a ++=+---------------②
②-①得: 21212132n n n a a -+--=?,即2132n n c -=?,于是
1
4n n
c c +=,所以{}n c 是等比数列. (Ⅲ)证明:12a =,由(Ⅱ)知,当k N *
∈且2k ≥时,21131532123()()()k k k a a a a a a a a ---=+-+-++-
=2+3(2+3523
222
k -+++ )=2+1212(14)
3214
k k ---?
=-,故对任意k N *∈, , 由①得212122221,k k k a --+=-+所以2121
22
k k a -=-,k N *∈, 因此,21234212()()()2k k k k S a a a a a a -=++++++= ,于是2122k k k S S a -=-=
21
122
k k --+, 故212212k k k k S S a a --+=21
211222k k k ---++212122
k k --=22212221k
k k k k -+-=-1144(41)k k k
k ---, 所以
21212122121
()3
n n n n S S S S n n N a a a a *--++++≤-∈ . 【易错专区】问题：已知n S ,求n a 时,易忽视1n =的情况 例. （2010年高考上海卷文科21）
已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且585n n S n a =--，*
n N ∈
(1)证明：{}1n a -是等比数列；
(2)求数列{}n S 的通项公式，并求出使得1n n S S +>成立的最小正整数n .
【考题回放】
1.(2011年高考安徽卷文科7)若数列}{
n a 的通项公式是()()n a n =-13-2g ,则a a a 1210++=L （ ） （A ） 15 (B) 12 (C ) -12 (D) -15 【答案】A
【解析】法一：分别求出前10项相加即可得出结论；
法二：12349103a a a a a a +=+==+= ，故a a a 1210++=3?5=15L .故选A.
2. （2011年高考江西卷文科5)设{n a }为等差数列，公差d = -2，n S 为其前n 项和.若1011S S =，则1a =（ ） A.18 B.20 C.22 D.24 【答案】B 【解析】
20
,100,1111111110=∴+==∴=a d a a a S S .
3. (2011年高考江西卷理科5)已知数列{n a }的前n 项和n S 满足：n m n m S S S ++=，且1a =1．那么10a =（ ） A ．1 B ．9 C.10 D ．55 【答案】A
【解析】因为n m n m S S S ++=,所以令1n m ==,可得2122S S ==;令1,2n m ==,可得3123S S S =+=;同理可得4224S S ==,5235S S S =+=,9459S S S =+=,
105210S S ==,所以10a =1091S S -=,故选A.
4. (2011年高考四川卷理科8)数列{}n a 的首项为3，{}n b 为等差数列且1(*)n n n b a a n N +=-∈ .若则
32b =-，1012b =，则8a =( )
（A ）0 （B ）3 （C ）8 （D ）11 【答案】B
【解析】由已知知128,28,n n n b n a a n +=--=-由叠加法
21328781()()()642024603a a a a a a a a -+-++-=-+-+-++++=?== .
5．（ 2010年高考全国Ⅰ卷文科4）已知各项均为正数的等比数列{n a }，123a a a =5，789a a a =10，则456a a a =
（ ）
(A) 【答案】A
【解析】由等比数列的性质知31231322()5a a a a a a a === ，37897988
()a a a a a a a === 10,所以13
2850a a =,所
以13
3
3
64564655
()(50)a a a a a a a ===== 6．（2010年高考全国卷Ⅱ文科6）如果等差数列{}n a 中，3a +4a +5a =12，那么1a +2a +?…+7a =（ ） （A ）14 (B) 21 (C) 28 (D) 35 【答案】C
【解析】∵ 34512a a a ++=，∴ 44a =1271741
7()728
2a a a a a a +++=??+==
7.（2009年高考安徽卷理科第5题）已知{}n a 为等差数列，1a +3a +5a =105，246a a a ++=99，以n S 表示{}
n a 的前
n 项和，则使得n S 达到最大值的n 是 （ ）
【解析】设公比为q ,由已知得()
284
1112a q a q a q ?=,即22q =,因为等比数列}{n a 的公比为正数，
所以q =
故212a a q =
==
,选B 9．（2009年高考湖南卷文科第3题）设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，已知23a =，611a =，则7S 等于( ) A ．13 B ．35 C ．49 D ． 63【答案】C 【解析】172677()7()7(311)
49.222
a a a a S +++=
===故选C. 或由2116
131
5112a a d a a a d d =+==????
?=+==??, 716213.a =+?=
所以1777()7(113)
49.22
a a S ++===故选C. 10. （2009年高考福建卷理科第3题）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且3S =6，1a =4，
则公差d 等于( ) A ．1 B 5
3
C.- 2 D 3 【答案】C
【解析】∵3133
6()2
S a a ==+且3112 =4 d=2a a d a =+∴.故选C 11．（2009年高考江西卷理科第8题）数列{}n a 的通项222(cos
sin )33
n n n a n ππ=-，其前n 项和为n S ，则30S 为( )
A ．470
B ．490
C ．495
D ．510 【答案】A 【解析】由于2
2{cos
sin }33
n n ππ
-以3 为周期,故 22222222
23012452829(3)(6)(30)222
S +++=-++-+++-+
2210
102
11
(32)(31)591011[(3)][9]25470222k k k k k k ==-+-??=-+=-=-=∑∑故选A
12.（2011年高考湖北卷文科9)《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自下而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为（ ）
A. 1升
B.
67
66
升 C.
4744
升 D.
3733
升 【答案】D
【解析】设9节竹子的容积从上往下依次为a 1,a 2,……a 9，公差为d ，则有a 1+a 2+a 3+a 4=3, a 7+a 8+a 9=4,即
4a 5-10d =3,3a 5+9d =4,联立解得：567
66
a =
，所以选B.
13. (2011年高考湖南卷理科12)设
n S 是等差数列{}()
*∈N n a n 的前n 项和，且11=a ，74=a ，则
=5S .
【答案】25 【解析】 因为11
=a ，74=a ，所以2=d ，则252
4
5515=??+
=d a S .故填25 14. (2011年高考广东卷理科11)等差数列{}n a 前9项的和等于前4项的和.若141,0k a a a =+=，则
k = .
【答案】10
【解析】由题得1061031)1(12
34428
99=-=∴??
???=++-+?+=?+
k d d d k d d
.
【解析】
2(4)()3n n a n n =+则1
12
(1)(5)()2(1)(5)323(4)(4)()3
n n n n n n a n n a n n n n ++++++==
++ 于是2
2(1)(5)3(4)10n n n n n ++-+=-+令2
100n -+>
得n <<1
1n n
a a +>， 4n <时递增，令2
100n -+<
得n >1
1n n
a a +<，4n ≥时递减，故4n =是最大项，即4k =. 17. （2011年高考江西卷文科21) (本小题满分14分）
（1）已知两个等比数列{}{}n n b a ,，满足()3,2,1,03322111=-=-=->=a b a b a b a a a ，
若数列{}n a 唯一，求a 的值；
（2）是否存在两个等比数列{}{}n n b a ,，使得44332211,,,a b a b a b a b ----成公差?
不为0
的等差数列？若存在，求 {}{}n n b a , 的通项公式；若?
不存在，说明理由．
【解析】（1）{}n a 要唯一，∴当公比01≠q 时，由332213,2,21a b a b a b +=+==+=且
?=312
2b b b ()()()
013431212
12
12
1=-+-?++=+a aq aq aq a aq ，
0>a ，0134121=-+-∴a aq aq 最少有一个根（有两个根时，保证仅有一个正根）
()()()014013442
≥+?≥--∴a a a a a ，此时满足条件的a 有无数多个，不符合。
∴当公比01=q 时，等比数列{}n a 首项为a ，其余各项均为常数0，唯一，此时由
()()()01343121212121=-+-?++=+a aq aq aq a aq ，可推得3
1,013==-a a 符合
综上：3
1
=
a 。 （2）假设存在这样的等比数列{}{}21q q ,,，公比分别为n n
b a ，则由等差数列的性质可得：
()()()()44113322a b a b a b a b -+-=-+-，整理得：()()()()11131231--=--q a a q b b
要使该式成立，则12-q =101211==?=-q q q 或03131====a a b b 此时数列22a b -，33a b -公差为0与题意不符，所以不存在这样的等比数列{}{}n n b a ,. 18. （2011年高考福建卷文科17)（本小题满分12分）
已知等差数列{a n }中，a 1=1，a 3=-3. （I ）求数列{a n }的通项公式；
（II ）若数列{a n }的前k 项和S k =-35，求k 的值.
【解析】（I ）设等差数列{a n }的公差为d ,则1(1)n a a n d =+-,由11a =，33a =-可得123d +=-，解得
2d =-,从而1(1)(2)32n a n n =+-?-=-.
（II ）由（I ）可知32n a n =-,所以2[1(32)]
22
n n n S n n +-=
=-,由S k =-35，可得2235k k -=-,
即22350k k --=,解得7k =或5k =-,又k N *
∈,故7k =.
19．（2011年高考湖南卷文科20)（本题满分13分）
某企业在第1年初购买一台价值为120万元的设备M ，M 的价值在使用过程中逐年减少，从第2年到第6年，每年初M 的价值比上年初减少10万元；从第7年开始，每年初M 的价值为上年初的75%． （I ）求第n 年初M 的价值n a 的表达式；
（II ）设12,n
n a a a A n
+++=
若n A 大于80万元，则M 继续使用，否则须在第n 年初对M 更新，证明：须在
第9年初对M 更新．
【解析】（I ）当6n ≤时，数列{}n a 是首项为120，公差为10-的等差数列．
66
6786
333()570704[1()]780210()444
3780210()
4.n n n n n n S S a a a A n
---=++++=+???-=-?-?= 因为{}n a 是递减数列，所以{}n A 是递减数列，又
8696
8933
780210()780210()4779448280,7680,864996
A A ---?-?==>==<
所以须在第9年初对M 更新．
20. （2011年高考四川卷文科20)（本小题共12分）
已知﹛n a ﹜是以a 为首项，q 为公比的等比数列，n S 为它的前n 项和. （Ⅰ）当134,,S S S 成等差数列时，求q 的值；
(Ⅱ)当m S ，n S ，i S 成等差数列时，求证：对任意自然数,,,m k n k i k k a a a +++也成等差数列.
【解析】（Ⅰ）当1q =时，134,3,4S a S a S a ===，因为134,,S S S 成等差数列，所以234a a a ?=+，解得0a =，因为0a ≠，故1q ≠；
当1q ≠时，34134(1)(1),,11a q a q S a S S q q --===--，由134,,S S S 成等差数列得342(1)(1)
11a q a q a q q
--=+
--，得
32210q q --=，即()()2110q q q ---=
，q ∴=
21．（2010年高考天
津卷文科22）（本小题满分14分）
在数列{}n a 中，1a =0，且对任意k *
N ∈，2k 12k 2k+1a ,a ,a -成等差数列，其公差为2k.
（Ⅰ）证明456a ,a ,a 成等比数列；（Ⅱ）求数列{}n a 的通项公式；
（Ⅲ）记222
2323n n
n T a a a =+++ ，证明n 32n T 2n 2<-≤≥（
2）. 【解析】（I ）证明：由题设可知，2122a a =+=，3224a a =+=，4348a a =+=，54412a a =+=，
65618a a =+=.从而
65543
2
a a a a ==，所以4a ，5a ，6a 成等比数列. （II ）解：由题设可得21214,*k k a a k k N +--=∈
所以()()()2112121212331...k k k k k a a a a a a a a ++----=-+-+- ()441...41k k =+-++? ()21,*k k k N =+∈.
由10a =，得()2121k a k k +=+ ，从而222122k k a a k k +=-=.
所以数列{}n a 的通项公式为22
1
,2
,2
n n n a n n ?-??=????为奇数为偶数
或写为()21124n n n a --=+，*n N ∈。
（III ）证明：由（II ）可知()2121k a k k +=+，222k a k =， 以下分两种情况进行讨论：
（1） 当n 为偶数时，设n=2m ()*m N ∈
若1m =，则2
222n
k k
k n a =-=∑，
若2m ≥，则
()()()2
2
222112211112212214441221n
m m m
m k k k k k k k k k k k k k k a a a k k k --=====++++=+=++∑∑∑∑∑ ()()21111441111222212121m m k k k k m m k k k k k k --==??+??
??=++=++-?? ???++-???
???∑∑ ()11312211222m m n m n
??=+-+
-=-- ???. 所以223122n
k k k n a n =-=+∑，从而2
2322,4,6,8,....2n
k k
k n n a =<-<=∑
（2） 当n 为奇数时，设()21*n m m N =+∈。
()()()22
2222221
212131
42221n
m k k k k m m m k k m a a a m m m ==+++=+=--++∑∑ ()1131
4222121
m n m n =+-=--
-+ 所以2231221n
k k k n a n =-=++∑，从而2
2322,3,5,7,....2n k k
k n n a =<-<=∑
综合（1）和（2）可知，对任意2,*,n n N ≥∈有
3
2 2.2
n n T <-≤ 22．(2010年高考北京卷文科16)（本小题共13分）
已知||n a 为等差数列，且36a =-，60a =。 （Ⅰ）求||n a 的通项公式；
（Ⅱ）若等差数列||n b 满足18b =-，2123b a a a =++，求||n b 的前n 项和公式 【解析】（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差d 。
23．(2010年高考江西卷文科22)（本小题满分14分）
正实数数列{}n a 中，11a =，25a =，且{}
2
n a 成等差数列．
（1）证明数列{}n a 中有无穷多项为无理数；
（2）当n 为何值时，n a 为整数，并求出使200n a ＜的所有整数项的和．
【解析】证明：（1）由已知有：2
124(1)n a n =+-，从而n a
方法一：取21
124
k n --=，则*
)n a k N =∈．
用反证法证明这些n a 都是无理数．
假设n a =n a 必为正整数，且24k n a >，
故241k n a -≥．241k n a +>，与(24)(24)1k k n n a a -+=矛盾，
所以*
)n a k N =∈都是无理数，即数列{}n a 中有无穷多项为无理数；
方法二：因为2
1124()n a n n N +=+∈，当n 得末位数字是3,4,8,9时，124n +的末位数字是3和7，它不是整
数的平方，也不是既约分数的平方，故此时1n a +=因这种n 有无穷多，故这种无理项1n a +也有无穷多．
（2）要使n a 为整数，由(1)(1)24(1)n n a a n -+=-可知：1,1n n a a -+同为偶数，且其中一个必为3的倍数，所以有16n a m -=或16n a m +=当61n a m =+时，有2
2
36121112(31)()n a m m m m m N =++=++∈又
(31)m m +必为偶数，所以61()n a m m N =+∈满足
2124(1)n a n =+-即(31)
1()2
m m n m N +=
+∈时，n a 为整数；同理*61()n a m m N =-∈有 22*36121112(31)()n a m m m m m N =-+=+-∈也满足 2124(1)n a n =+-即*(31)
1()2
m m n m N -=
+∈时，n a 为整数；显然*61()n a m m N =-∈和61()n a m m N =+∈是数列中的不同项；所以当(31)1()2m m n m N +=
+∈和*(31)
1()2
m m n m N -=+∈时，n a 为整数；由61200()n a m m N =+<∈有033m ≤≤，
由*61200()n a m m N =-<∈有133m ≤≤． 设n a 中满足200n a <的所有整数项的和为S ，则
(511197)(1713199)S =++???+++++???+ 519711993334673322
++=
?+?=． 24. (2010年高考浙江卷文科19)（本题满分14分）设a 1，d 为实数，首项为a 1，公差为d 的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，满足56S S +15=0.
（Ⅰ）若5S =5，求6S 及a 1；（Ⅱ）求d 的取值范围. 【解析】(Ⅰ)解：由题意知S 6=
5
-15
S =-3, A 6=S 6-S 5=-8所以11
5105,
58.a d a d +=??
+=-?解得a 1=7,所以S 6= -3,a 1=7
(Ⅱ)解：因为S 5S 6+15=0,所以(5a 1+10d )(6a 1+15d )+15=0,即2a 12
+9da 1+10d 2
+1=0.
【解析】通过2580a a +=，设公比为q ，将该式转化为083
22=+q a a ，解得q =-2，带入所求式可知答案选A ，本题主要考察了本题主要考察了等比数列的通项公式与前n 项和公式
2．(2010年高考安徽卷文科5)设数列{}n a 的前n 项和2n S n =，则8a 的值为( )
（A ） 15 (B) 16 (C) 49 （D ）64 【答案】A
【解析】887644915a S S =-=-=.
3．（2010年高考山东卷文科7）设{}n a 是首项大于零的等比数列，则“12a a <”是“数列{}n a 是递增数列”的( )
（A ）充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件 【答案】C
【解析】若已知12a 1,又1a >0，所以数列{}n a 是递增数列；反之，若数列{}n a 是递增数列，则公比q>1且1a >0，所以11a 4．(2010年高考江西卷文科7)等比数列{}n a 中，11a =，528a a =-，52a a ＞，则n a = A ．1(2)n -- B ．1(2)n --- C ．(2)n - D ．(2)n -- 5．（2010年高考辽宁卷文科3）设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，已知3432S a =-，2332S a =-，则公比 q =( ) （A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）6 【答案】B 【解析】两式相减得， 3433a a a =-，4 433 4,4a a a q a =∴= =. 6．（2010年高考广东卷文科4）已知数列{n a }为等比数列，n S 是它的前n 项和，若2·a a ３１＝2a ， 且4a 与72a 的等差中项为 5 4 ，则S 5=( ) A ．35 B ．33 C ．31 D ．29 7．（2010年高考重庆卷文科2）在等差数列{}n a 中，1910a a +=，则5a 的值为( ) （A ）5 （B ）6 （C ）8 （D ）10 【答案】A 【解析】由角标性质得1952a a a +=，所以5a =5. 8．（2010年高考湖北卷文科7）已知等比数列{m a }中，各项都是正数，且1a ， 321 ,22 a a 成等差数列，则910 78 a a a a +=+( ) A.1 B. 1 C. 3+ D 3- 【答案】 C 二．填空题： 13．（2009年高考北京卷文科第10题）若数列{}n a 满足：111,2()n n a a a n N *+==∈，则 5a = ；前8项的和8S = .（用数字作答） 【答案】255 【解析】1213243541,22,24,28,216a a a a a a a a a ========， 易知8821 25521 S -= =-. 14．（2010年高考辽宁卷文科14）设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若36324S S ==，，则9a = 。 【答案】15 【解析】由31613233265624 2S a d S a d ?? =+=?????=+=?? ,解得112a d =-??=?，91815.a a d ∴=+= 15．(浙江省温州市2011年高三第一次适应性测试理科)已知数列{}n a 是公比为q 的等比数列，集合 1210{,,,}A a a a = ，从A 中选出4个不同的数，使这4个数成等比数列，这样得到4个数的不同的等比数列 共有 ． 【答案】24 【解析】以公比为q 的等比数列有1234,,,,a a a a …78910,,,a a a a 共7组； 以公比为2q 的等比数列有1357,,,,a a a a …46810,,,a a a a 共4组； 以公比为3q 的等比数列有14710,,,a a a a 共1组. 再考虑公比分别为 23 111 ,,q q q 的情形，可得得到4个数的不同的等比数列共有24个 . 三．解答题： 17.（2009年高考山东卷理科第20题）（本小题满分12分） 等比数列{n a }的前n 项和为n S ，已知对任意的n N + ∈，点(,) n n S ，均在函数(01,,)x y b r b b b r =+>≠且均为常数的图像上. （Ⅰ）求r 的值； 第1讲 三角函数与平面向量 A 组 基础达标 1.若点? ????sin 5π 6，cos 5π6在角α的终边上，则sin α的值为________． 2.已知α∈? ????0，π2，2sin2α＝cos2α＋1，那么sin α＝________. 3.(2019·榆林模拟)若sin ? ????A ＋π4＝7210，A ∈? ?? ??π4，π，则sin A ＝________． 4.若函数f (x )＝2sin ? ????2x ＋φ－π6(0<φ<π)是偶函数，则φ＝________． 5.已知函数y ＝A sin (ωx ＋φ)＋B (A ＞0，ω＞0，|φ|＜π 2)的部分图象如图所示，那 么φ＝________． (第5题) 6.已知sin ? ????α＋π3＝1213，那么cos ? ?? ??π6－α＝________． 7.在距离塔底分别为80m ，160m ，240m 的同一水平面上的A ，B ，C 处，依次测得塔顶的仰角分别为α，β，γ.若α＋β＋γ＝90°，则塔高为________m. 8.(2019·湖北百校联考)设α∈? ????0，π3，且6sin α＋2cos α＝ 3. (1) 求cos ? ????α＋π6的值； (2) 求cos ? ????2α＋π12的值． B 组 能力提升 1.计算：3cos10°－1 sin170°＝________． 2.(2019·衡水模拟改编)设函数f (x )＝2cos (ωx ＋φ)对任意的x ∈R ，都有f ? ????π3－x ＝f ? ????π3＋x ，若函数g (x )＝3sin (ωx ＋φ)＋cos (ωx ＋φ)＋2，则g ? ?? ??π3的值是________． 3.已知函数f (x )＝sin (ωx ＋φ)(ω＞0)的图象的一个对称中心为? ????π2，0，且f ? ?? ? ?π4＝1 2 ，那么ω的最小值为________． 4.已知函数f (x )＝sin ? ????ωx ＋π5(ω>0)，f (x )在[0，2π]上有且仅有5个零点，给出以下四个结论： ①f (x )在(0，2π)上有且仅有3个极大值点； ②f (x )在(0，2π)上有且仅有2个极小值点； ③f (x )在? ????0，π10上单调递增； ④ω的取值范围是???? ??125，2910. 其中正确的结论是________．(填序号) 5.(2019·浙江卷)已知函数f (x )＝sin x ，x ∈R . (1) 当θ∈[0，2π)时，函数f (x ＋θ)是偶函数，求θ的值； (2) 求函数y ＝??????f ? ????x ＋π122＋??????f ? ????x ＋π42 的值域． 6.(2019·临川一中)已知函数f (x )＝M sin (ωx ＋π 6)(M >0，ω>0)的大致图象如图所示， 其中A (0，1)，B ，C 为函数f (x )的图象与x 轴的交点，且BC ＝π. (1) 求M ，ω的值； 上海市2017届高三数学理一轮复习专题突破训练 数列 一、填空、选择题 1、（2016年上海高考）无穷数列{}n a 由k 个不同的数组成，n S 为{}n a 的前n 项和.若对任意*∈N n ，{}3,2∈n S ，则k 的最大值为________. 2、（2015年上海高考）记方程①：x 2+a 1x+1=0，方程②：x 2+a 2x+2=0，方程③：x 2+a 3x+4=0，其中a 1，a 2，a 3是正实数．当a 1，a 2，a 3成等比数列时，下列选项中，能推出方程③无实根的是（ ） A ．方程①有实根，且②有实根 B ． 方程①有实根，且②无实根 C ．方程①无实根，且②有实根 D ． 方程①无实根，且②无实根 3、（2014年上海高考）设无穷等比数列{}n a 的公比为q ，若()134lim n n a a a a →∞ =++ +，则q = . 4、（虹口区2016届高三三模）若等比数列{}n a 的公比1q q <满足，且24 344,3,a a a a =+=则12lim()n n a a a →∞ ++ +=___________. 5、（浦东新区2016届高三三模）已知公差为d 的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若 533S S =，则53 a a = 6、（杨浦区2016届高三三模）若两整数a 、 b 除以同一个整数m ，所得余数相同，即 a b k m -=()k Z ∈，则称a 、b 对模m 同余，用符号(mod )a b m ≡表示，若10(mod 6)a ≡(10)a >，满足条件的a 由小到大依 次记为12,,,,n a a a ??????，则数列{}n a 的前16项和为 7、（黄浦区2016届高三二模） 已知数列{}n a 中，若10a =，2i a k =*1 (,22,1,2,3, )k k i N i k +∈≤<=，则满足2100i i a a +≥的i 的最小值 为 8、（静安区2016届高三二模）已知数列{}n a 满足181a =，1 311log ,2, (*)3, 21n n n a a n k a k N n k ---+=?=∈?=+?，则数列{}n a 的前n 项和n S 的最大值为 . 9、（闵行区2016届高三二模）设数列{}n a 的前n 项和为n S ， 2 2|2016|n S n a n （0a >），则使得1 n n a a +≤（n ∈* N ）恒成立的a 的最大值为 . 10、（浦东新区2016届高三二模）已知数列{}n a 的通项公式为(1)2n n n a n =-?+，* n N ∈，则这个数列的前 n 项和n S =___________． 11、（徐汇、金山、松江区2016届高三二模）在等差数列{}n a 中，首项13,a =公差2,d =若某学生对其中连 高考数学第二轮复习 压轴题 高考坚持“有利于高校选拔人才，有利于中学实施素质教育，有利于高校扩大办学自主权”的命题原则，坚持“考查基础知识的同时,注重考查能力”，这决定了每套高考试卷都有一道或几道把关的题目，我们称之为压轴题. 这类题目的分值稳定在14分左右，多以传统的综合题或常用题型，与高等数学有关知识或方法联系比较紧密.如结合函数、不等式、导数研究无理型、分式型、指对数型以及多项式函数等初等函数的图像与性质，或数列兼考查数学归纳法，或以解析几何为主的向量与解析几何交汇，或以上三类题互相交汇形成新的综合问题，这类题目综合性强，解法多，有利于高校选拔. 第一讲 函数、不等式与导数型压轴题 【调研1】设2 1()log 1x f x x +=-,1 ()()2F x f x x =+- (1)试判断函数()y F x =的单调性，并给出证明； (2)若()f x 的反函数为1()f x -,证明 对任意的自然数(3)n n ≥,都有1 ()1 n f n n -> +； (3)若()F x 的反函数1()F x -,证明 方程1()0F x -=有惟一解. 分析：第（1）问先具体化函数()y F x =后，再判断单调性，而判断单调性有定义法和导数法两条途径；第（2）问先具体化1()f n -，再逐步逆向分析，寻找不等式的等价条件，最后转化为不等式212n n >+的证明问题；第（3）问应分“存在有解”和“唯一性”两个方面证明. 解析：（1）∵2 1()log 1x f x x +=-，1()()2F x f x x =+- ∴211 ()log 12x F x x x +=+-- ∴函数()y F x =的定义域为(1,1)-. 解法一：利用定义求解 设任意1x ，2x (1,1)∈-，且12x x <，则 21()()F x F x -＝21222211 1111( log )(log )2121x x x x x x +++-+---- ＝212221211111 ( )(log log )2211x x x x x x ++-+-----＝21122 1212(1)(1)log (2)(2)(1)(1) x x x x x x x x --++--+- ∵210x x ->，120x ->，220x -> ∴ 1212(1)(1) 0(1)(1) x x x x -+>+- ∴ 211221212(1)(1) log 0(2)(2)(1)(1) x x x x x x x x --++>--+- ∴函数()y F x =在(1,1)-上是增函数 解法二：利用导数求解∵211 ()log 12x F x x x +=+-- ∴()F x '＝ 22121(1)ln 2(1)(2)x x x x -?++--＝22 21 ln 2(1)(2)x x +?-- 2019年高考数学第二轮备考指导及复习建 议 首先，我们应当明确为什么要进行高考第二轮复习？也就是高考数学复习通常要分三轮（有的还是分四轮）完成，对于第二轮的目的和意义是什么呢？第一轮复习的目的是 将我们学过的基础知识梳理和归纳，在这个过程当中主要以两个方面作为参考。第一个是以教材为基本内容，第二个以教学大纲以及当年的考试说明，作为我们参考的依据，然后做到尽量不遗漏知识，因为这也是作为我们二轮三轮复习的基础。 对于高三数学第二轮复习来说，要达到三个目的：一是从全面基础复习转入重点复习，对各重点、难点进行提炼和把握；二是将第一轮复习过的基础知识运用到实战考题中去，将已经把握的知识转化为实际解题能力；三是要把握各题型的特点和规律，把握解题方法，初步形成应试技巧。 高三数学第二轮的复习，是在第一轮复习的基础上，对高考知识点进行巩固和强化，是考生数学能力和学习成绩大幅度提高的关键阶段，我们学校此阶段的复习指导思想是：巩固、完善、综合、提高。就大多数同学而言，巩固，即巩固第一轮单元复习的成果，把巩固三基(基础知识、基本方法、基本技能)放在首位，强化知识的系统与记忆；完善，就是通过此轮复习，查漏补缺，进一步建立数学思想、知识规律、方法 运用等体系并不断总结完善；综合，就是在课堂做题与课外训练上，减少单一知识点的试题，增强知识点之间的衔接，增强试题的综合性和灵活性；提高，就是进一步培养和提高对数学问题的阅读与概括能力、分析问题和解决问题的能力。因此，高三数学第二轮的复习，对于课堂听讲并适当作笔记，课外训练、自主领悟并总结等都有较高要求，有“二轮看水平”的说法！是最“实际”的一个阶段。 要求学生就是“四个看与四个度”：一看对近几年高考常考题型的作答是否熟练，是否准确把握了考试要求的“度”--《考试说明》中“了解、理解、掌握”三个递进的层次，明确“考什么”“怎么考”；二看在课堂上是否紧跟老师的思维并适当作笔记，把握好听、记、练的“度”；三看知识的串连、练习的针对性是否强，能否使模糊的知识清晰起来，缺漏的板块填补起来，杂乱的方法梳理起来，孤立的知识联系起来，形成系统化、条理化的知识框架，控制好试题难易的“度”；四看练习或检测与高考是否对路，哪些内容应稍微拔高，哪些内容只需不降低，主次适宜，重在基础知识的灵活运用和常用数学思想方法的掌握，注重适时反馈的“度”。在高考一轮复习即将结束、二轮复习即将开始这样一个承上启下的阶段，时间紧，任务重，往往是有40天左右时间（我们学校是3月中旬到4月底）。如何做到有条不紊地复习呢？现结合我最近的学习及多年的做法谈下面几点意见，供同行们参考。 2019年高考数学二轮复习五大技巧 对于高考数学二轮复习，有哪些问题需要注意呢?小编为大家整理了2019年高考数学二轮复习策略，帮助考生制定高考二轮复习计划，提高高考数学成绩。 1、重点知识，落实到位 函数、导数、数列、向量、不等式、直线与平面的位置关系、直线与圆锥曲线、概率、数学思想方法等，这些既是高中数学教学的重要内容，又是高考的重点，而且常考常新，经久不衰。因此，在复习备考中，一定要围绕上述重点内容作重点复习，保证复习时间、狠下功夫、下足力气、练习到位、反思到位、效果到位。并将这些板块知识有机结合，形成知识链、方法群。如聚集立体几何与其他知识的整合，就包括它与方程、函数、三角、向量、排列组合、概率、解析几何等的整合，善于将已经完成过的题目做一次清理，整理出的解题通法和一般的策略，“在知识网络交汇点设计试题”是近几年高考命题改革反复强调的重要理念之一，在复习备考的过程中，要打破数学章节界限，把握好知识间的纵横联系与融合，形成有序的网络化知识体系。 2、新增内容，注重辐射 新增内容是新课程的活力和精髓，是近、现代数学在高中的渗透，且占整个高中教学内容的40%左右，而高考这部分内容的分值，远远超出其在教学中所占的比例。试题加大了对新教材中增加的线性规划、向量、概率、导数等知识的考查力度，对新增内容一一作了考查，分值达50多分，并保持了将概率内容作为应用题的格局。因此，复习 中要强化新增知识的学习，特别是新增数学知识与其它知识的结合。向量在解题中的作用明显加强，用导数做工具研究函数的单调性和证明不等式问题，导数亦成为高考解答题目的必考内容之一。 3、思想方法，重在体验 数学思想方法作为数学的精髓，历来是高考数学考查的重中之重。“突出方法永远是高考试题的特点”，这就要求我们在复习备考中应重视“通法”，重点抓方法渗透。 首先，我们应充分地重视数学思想方法的总结提炼，尽管数学思想方法的掌握是一个潜移默化的过程，但是我们认为，遵循“揭示—渗透”的原则，在复习备考中采取一些措施，对于数学思想方法以及数学基本方法的掌握是可以起到促进作用的，例如，在复习一些重点知识时，可以通过重新揭示其发生过程，适时渗透数学思想方法。 其次，要真正地重视“通法”，切实淡化“特技”，我们不应过分地追求特殊方法和特殊技巧，不必将力气花在钻偏题、怪题和过于繁琐、运算量太大的题目上，而应将主要精力放在基本方法的灵活运用和提高学生的思维层次上，另外，在复习中，还应充分重视解题回顾，借助于解题之后的反思、总结、引申和提炼来深化知识的理解和方法的领悟。 4、综合能力，强化训练 近年来高考数学试题，在加强基础知识考查的同时，突出能力立意。以能力立意，就是从问题入手，把握学科的整体意义，用统一的数学观点组织材料，对知识的考查倾向于理解和应用，特别是知识的综合 第2讲 数列求和及综合应用 数列求和问题(综合型) [典型例题] 命题角度一 公式法求和 等差、等比数列的前n 项和 (1)等差数列：S n ＝na 1＋ n （n －1）2 d (d 为公差)或S n ＝n （a 1＋a n ） 2 . (2)等比数列：S n ＝???? ?na 1，q ＝1，a 1（1－q n ）1－q ＝a 1－a n q 1－q ，q ≠1其中(q 为公比)． 4类特殊数列的前n 项和 (1)1＋2＋3＋…＋n ＝1 2n (n ＋1)． (2)1＋3＋5＋…＋(2n －1)＝n 2 . (3)12＋22＋32＋…＋n 2 ＝16n (n ＋1)(2n ＋1)． (4)13＋23＋33＋…＋n 3＝14 n 2(n ＋1)2 . 已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝3a n 2a n ＋3 ，n ∈N * . (1)求证：数列???? ?? 1a n 为等差数列； (2)设T 2n ＝ 1 a 1a 2－ 1 a 2a 3＋ 1 a 3a 4－ 1 a 4a 5 ＋…＋ 1 a 2n －1a 2n － 1 a 2n a 2n ＋1 ，求T 2n . 【解】 (1)证明：由a n ＋1＝3a n 2a n ＋3，得1a n ＋1＝2a n ＋33a n ＝1a n ＋2 3 ， 所以 1 a n ＋1－1a n ＝23. 又a 1＝1，则1a 1＝1，所以数列???? ??1a n 是首项为1，公差为2 3的等差数列． (2)设b n ＝ 1 a 2n －1a 2n － 1 a 2n a 2n ＋1 ＝? ??? ?1a 2n －1－1a 2n ＋11a 2n ， 由(1)得，数列???? ??1a n 是公差为2 3的等差数列， 所以 1 a 2n －1 － 1 a 2n ＋1＝－43，即 b n ＝? ????1a 2n －1－1a 2n ＋11a 2n ＝－43×1a 2n ， 所以b n ＋1－b n ＝－43? ????1a 2n ＋2－1a 2n ＝－43×43＝－16 9. 又b 1＝－43×1a 2＝－43×? ????1a 1＋23＝－20 9 ， 所以数列{b n }是首项为－209，公差为－16 9的等差数列， 所以T 2n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝－ 209n ＋n （n －1）2×? ?? ??－169＝－49(2n 2 ＋3n )． 求解此类题需过“三关”：第一关，定义关，即会利用等差数列或等比数列的定义，判断所给的数列是等差数列还是等比数列；第二关，应用关，即会应用等差(比)数列的前n 项和公式来求解，需掌握等差数列{a n }的前n 项和公式：S n ＝ n （a 1＋a n ） 2 或S n ＝na 1＋ n （n －1） 2d ；等比数列{a n }的前n 项和公式：S n ＝?????na 1，q ＝1，a 1（1－q n ）1－q ，q ≠1；第三关，运算关，认真运算，此类题将迎刃而解． 命题角度二 分组转化法求和 将一个数列分成若干个简单数列(如等差数列、等比数列、常数列等)，然后分别求和．也可先根据通项公式的特征，将其分解为可以直接求和的一些数列的和，再分组求和，即把一个通项拆成几个通项求和的形式，方便求和． 已知等差数列{a n }的首项为a ，公差为d ，n ∈N * ，且不等式ax 2 －3x ＋2<0的解集为(1， 高考数学第二轮复习计划参考 高考数学第二轮复习计划范例参考 (一).明确主体，突出重点。 第二轮复习，教师必须明确重点，对高考考什么，怎样考，应了若指掌. 第二轮复习的形式和内容 1.形式及内容：分专题的形式，具体而言有以下八个专题。 (1)集合、函数与导数。此专题函数和导数、应用导数知识解决函数问题是重点，特别要注重交汇问题的训练。 (2)三角函数、平面向量和解三角形。此专题中平面向量和三角函数的图像与性质，恒等变换是重点。 (3)数列。此专题中数列是重点，同时也要注意数列与其他知识交汇问题的训练。 (4)立体几何。此专题注重点线面的关系，用空间向量解决点线面的问题是重点。 (5)解析几何。此专题中解析几何是重点，以基本性质、基本运算为目标。突出直线和圆锥曲线的交点、弦长、轨迹等。 (6)不等式、推理与证明。此专题中不等式是重点，注重不等式与其他知识的整合。 (7)排列与组合，二项式定理，概率与统计、复数。此专题中概率统计是重点，以摸球问题为背景理解概率问题。 (9)高考数学思想方法专题。此专题中函数与方程、数形结合、化归与转化、分类讨论思想方法是重点。 (二)、做到四个转变。 1.变介绍方法为选择方法，突出解法的发现和运用. 2.变全面覆盖为重点讲练，突出高考热点问题. 3.变以量为主为以质取胜，突出讲练落实. 4.变以补弱为主为扬长补弱并举，突出因材施教 5.做好六个重在。重在解题思想的分析，即在复习中要及时将四种常见的数学思想渗透到解题中去;重在知识要点的梳理，即第二轮复习不像第一轮复习，没有必要将每一个知识点都讲到，但是要将重要的知识点用较多的时间重点讲评，及时梳理;重在解题方法的总结，即在讲评试题中关联的解题方法要给学生归类、总结，以达触类旁通的`效果;重在学科特点的提炼，数学以概念性强，充满思辨性，量化突出，解法多样，应用广泛为特点，在复习中要展现提炼这些特点;重在规范解法，考生在平时的解题那怕是考试中很少注意书写规范，而高考是分步给分，书写不规范，逻辑不连贯会让考生把本应该得的分丢了。 (三)、克服六种偏向。 1.克服难题过多，起点过高.复习集中几个难点，讲练耗时过多，不但基础没夯实，而且能力也上不去. 2.克服速度过快.内容多，时间短，未做先讲或讲而不做，一知半解，题目虽熟悉，却仍不会做. 高三数学二轮复习计划 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 高三理科数学二轮复习计划 高三数学一轮复习一般以知识，技能方法的逐点扫描和梳理为主，通过一轮复习，学生大都掌握基本概念、性质、定理及一般应用，但知识较为零散，综合应用存在较大的问题。二轮复习承上启下，是促进知识灵活运用的关键时期，是发展学生思维水平提高学生综合能力的关键时期，对讲练检测要求较高。所以制订高三数学二轮复习计划如下。 根据本学期的复习任务，将本学期的备考工作划分为以下四个阶段： 第一阶段(专题复习)：从2018年2月22日～2018年4月30日完成以主干知识为主的专题复习 第二阶段(选择填空演练)：从2018年3月1日～2018年5月20日完成以选择填空为主的专项训练 第三阶段(综合训练)：从2018年5月～2018年5月26完成以训练能力为主的综合训练 第四阶段(自由复习和强化训练)：从2018年5月27日～2018年6月6日。 高三数学二轮复习计划 第一阶段：专题复习 (一)目标与任务： 强化高中数学主干知识的复习，形成良好的知识网络。强化考点，突出重点，归纳题型，培养能力。 根据高考试卷中解答题的设置规律，本阶段的复习任务主要包括以下七个知识专题： 专题一：集合、函数、导数与不等式。此专题函数和导数以及应用导数知识解决函数问题是重点，特别要注重交汇问题的训练。每年高考中导数所占的比重都非常大，一般情况是在客观题中考查导数的几何意义和导数的计算，属于容易题;二是在解答题中进行综合考查，主要考查用导数研究函数的性质，用函数的单调性证明不等式等，此题具有很高的综合性，并且与思想方法紧密结合。 专题二：数列、推理与证明。数列由旧高考中的压轴题变成了新高考中的中档题，主要考查等差等比数列的通项与求和，与不等式的简单综合问题是近年来的热门问题。 专题三：三角函数、平面向量和解三角形。平面向量和三角函数的图像与性质、恒等变换是重点。近几年高考中三角函数内容的难度和比重有所降低，但仍保留一个选择题、一个填空题和一个解答题的题量，难度都不大，但是解三角形的内容应用性较强，将解三角形的知识与实际问题结合起来将是今后命题的一个热点。平面向量具有几何与代数形式的双重性，是一个重要的知识交汇点，它与三角函数、解析几何都可以整合。 专题四：立体几何。注重几何体的三视图、空间点线面的关系及空间角的计算，用空间向量解决点线面的问题是重点。 专题五：解析几何。直线与圆锥曲线的位置关系、轨迹方程的探求以及最值范围、定点定值、对称问题是命题的主旋律。近几年高考中圆锥曲线问题具有两大特色：一是融综合性、开放性、探索性为一体;二是向量关系的引入、三 1. 高考数学数列题型专题汇总 1 一、选择题 2 1、已知无穷等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，且S S n n =∞ →lim .下列 3 条件中，使得()*∈ 2. 4、如图，点列{A n }，{B n }分别在某锐角的两边上，且 19 1122,,n n n n n n A A A A A A n ++++=≠∈*N ， 20 1122,,n n n n n n B B B B B B n ++++=≠∈*N ，（P Q P Q ≠表示点与不重合）. 21 若1n n n n n n n d A B S A B B +=，为△的面积，则 22 23 A ．{}n S 是等差数列 B ．2{}n S 是等差数列 24 C ．{}n d 是等差数列 D ．2{}n d 是等差数列 25 【答案】A 26 27 28 29 30 二、填空题 31 1、已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，若16a =，350a a +=，则 32 6=S _______.. 33 【答案】6 34 35 2、无穷数列{}n a 由k 个不同的数组成，n S 为{}n a 的前n 项和.若对任意 36 高考数学第二轮复习计划安排 高考数学第二轮复习计划安排 高考数学第二轮复习计划安排 1、研究高考大纲与试题，明确高考方向，有的放矢 对照《考试大纲》理清考点，每个考点的要求属于哪个层次；如何运用这些考点解题，为了理清联系，可以画出知识网络图。 2.、仍旧注重基础 解题思路是建立在扎实的基础知识条件上的，再难的题目也无非是基础知识的综合或变式。复习过程中，一定要吃透每一个基本概念，对于课本上给出的定理的证明，公式的推导，重点掌握。 3.、针对典型问题进行小专题复习 小专题复习要依据高考方向，研究近几年出题考点和题型，针对实际练习考试中出现的某一类问题，可在老师或者课外辅导的帮助下，总结类型并针对练习，这种方法一般时间短、效率高、针对性好、实用性强。 4、注意方法总结、强化数学思想，强化通法通解 我们可以把数学思想方法分类，更好的指导我们的学习。一是具体操作方法，解题直接用的，比如说常见的换元法，数列求和的裂项、错位相减法，特殊值法等；二是逻辑推理法，比如证明题所用的.综合法、分析法、反证法等；三是宏观指导意义的数学思想方法，比如数形结合、分类讨论、化归转化等。我们把这些思想方法不断的渗透 到平时的学习中和做题中，能力会在无形中得到提高的。 5、针对实际情况，有效学习 对于基础不太好的，可以重点抓选择前8个、填空前2个、解答题前3个以及后面题的第一问；基础不错的，可以适当关注与高等数学相关的中学数学问题。 6、培养应试技巧，提高得分能力 考试时要学会认真审题，把握好做题速度，碰到不会的题要学会舍弃，有失才有得，回过头来再看之前的题，许多时候会有豁然开朗的感觉。 第2讲圆锥曲线的方程与性质(小题) 热点一圆锥曲线的定义与标准方程 1．圆锥曲线的定义 (1)椭圆：|PF1|＋|PF2|＝2a(2a>|F1F2|)． (2)双曲线：||PF1|－|PF2||＝2a(0<2a<|F1F2|)． (3)抛物线：|PF|＝|PM|，点F不在定直线l上，PM⊥l于点M. 2．求圆锥曲线标准方程“先定型，后计算” 所谓“定型”，就是确定曲线焦点所在的坐标轴的位置；所谓“计算”，就是指利用待定系数法求出方程中的a2，b2，p的值． 例1(1)(2019·梅州质检)已知双曲线C：x2 a2－y2 b2＝1(a>0，b>0)一个焦点为F(2,0)，且F到双曲线C的渐近线的距离为1，则双曲线C的方程为________． 答案x2 3－y 2＝1 解析根据题意，双曲线C的中心为原点，点F(2,0)是双曲线C的一个焦点，即双曲线的焦点在x轴上，且c＝2， 双曲线C：x2 a2－y2 b2 ＝1(a>0，b>0)， 其渐近线方程为y＝±b a x，即ay±bx＝0， 又点F 到渐近线的距离为1，则有|－b ×2|a 2 ＋b 2 ＝1， 解得b ＝1，则a 2＝c 2－b 2＝3， 所以双曲线的方程为x 23 －y 2 ＝1. (2)(2019·南充模拟)P 是双曲线x 23－y 2 4＝1的右支上一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点， 则△PF 1F 2的内切圆的圆心横坐标为( ) A. 3 B ．2 C.7 D ．3 答案 A 解析 如图所示F 1(－7，0)，F 2(7，0)， 设内切圆与x 轴的切点是点H ，与PF 1，PF 2的切点分别为M ，N ， 由双曲线的定义可得|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝23， 由圆的切线长定理知，|PM |＝|PN |，|F 1M |＝|F 1H |，|F 2N |＝|F 2H |， 故|MF 1|－|NF 2|＝23， 即|HF 1|－|HF 2|＝23， 设内切圆的圆心横坐标为x ，即点H 的横坐标为x ， 故(x ＋7)－(7－x )＝23， ∴x ＝ 3. 跟踪演练1 (1)(2019·银川质检)已知P 是抛物线y 2＝4x 上一动点，定点A (0,22)，过点P 作 2019年高考数学第二轮复习策略与重点 ?数学第二轮复习阶段是考生综合能力与应试技巧提高的阶段。在这一阶段，老师将以“数学思想方法”、解题策略和应试技巧为主线。老师的讲解，不再重视知识结构的先后次序。首先，着重提高考生采用“配方法、待定系数法、换元法、数形结合、分类讨论、数学模型”等方法解决数学问题的能力。其次，考生要注意用一些解题的特殊方法，特殊技巧，以提高解题速度和应对策略。要在这一阶段得到提高，应做到以下几点： 首先，要加强基础知识的回顾与内化。由于第一轮复习时间比较长，范围也比较广，前面复习过的内容容易遗忘，而临考前的强化训练，对遗忘的基本概念，基本思维方法又不能全部覆盖，加上一模的试题起点不会很高，这就要求同学们课后要抽出时间多看课本，回顾基本概念、性质、法则、公式、公理、定理；回顾基本的数学方法与数学思想；回顾疑点，查漏补缺；回顾老师教学时或自己学习时总结出来的正确结论，联想结论的生成过程与用法；回顾已往做错的题目的正确解法以及典型题目，以达到内化基础知识和基本联系的目的。 其次，要紧跟老师的复习思路与步骤。课堂上要认真听讲，力图当堂课内容当堂课消化；认真完成老师布置的习题，同时要重视课本中的典型习题。做练习时，遇到不会的或拿不准的题目要打上记号。不管对错都要留下自己的思路，等老师讲评时心中就有数了，起码能够知道当时解题时的思维偏差在何处，对偶尔做对的题目也不会轻易放过，还能够检测出在哪些地方复习不到位，哪些地方有疏忽或漏洞。 另外，在做题过程中，还要注意几点：1、不片面追求解题技巧，如果基础不好，则不要过多做难题，而要把常用的解法掌握熟练。2、提高准确率，优化解题方法，提高解题质量，这关系考试的成败。 第一轮复习重在基础，指导思想是全面、系统、灵活，在抓好单元知识、夯实“三基”的基础上，注意知识的完整性，系统性，初步建立明晰的知识网络。 第二轮复习则是在第一轮的基础上，对高考知识进行巩固和强化，数学能力及学习成绩大幅度提高的阶段。指导思想是巩固、完善、综合、提高。巩固，即巩固第一轮学习成果，强化知识系统的记忆；完善是通过专题复习，查漏补缺，进一步完善强化知识体系；综合，是减少单一知识的训练，增强知识的连接点，增强题目的综合性和灵活性；提高是培养、提高思维能力，概括能力以及分析问题解决问题的能力。针对第二轮复习的特点，同学们需注意以下几个方面： 1.加强复习的计划性。由于第二轮复习的前后跨越性比较大，这就要求同学们要事先回顾基础知识，回顾第一轮中的相关内容，抓住复习的主动权，以适应大跨度带来的不适应。 2.提高听课的效率。深刻体会老师对问题的分析过程，密切注意老师解决问题时的“突破口，切入点”，及时修正自己的不到之处，在纠正中强化提高。 3.加强基础知识的灵活运用。要做到这一点，至关重要的是加强理论的内化，通过第二轮的复习，进一步有意识地强化对书本上定义、定理、公式、法则的理解，对这些东西理解水平的高低决定了你能否灵 突破点5 数列求和及其综合应用 (对应学生用书第19页) [核心知识提炼] 提炼1 a n 和S n 的关系 若a n 为数列{a n }的通项，S n 为其前n 项和，则有a n ＝??? ? ? S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2. 在使用这个关系 式时，一定要注意区分n ＝1，n ≥2两种情况，求出结果后，判断这两种情况能否整合在一起. 提炼2求数列通项常用的方法 (1)定义法：①形如a n ＋1＝a n ＋c (c 为常数)，直接利用定义判断其为等差数列．②形如 a n ＋1＝ka n (k 为非零常数)且首项不为零，直接利用定义判断其为等比数列． (2)叠加法：形如a n ＋1＝a n ＋f (n )，利用a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)，求其通项公式． (3)叠乘法：形如 a n ＋1a n ＝f (n )≠0，利用a n ＝a 1·a 2a 1·a 3a 2·…·a n a n －1 ，求其通项公式． (4)待定系数法：形如a n ＋1＝pa n ＋q (其中p ，q 均为常数，pq (p －1)≠0)，先用待定系数法把原递推公式转化为a n ＋1－t ＝p (a n －t )，其中t ＝q 1－p ，再转化为等比数列求解． (5)构造法：形如a n ＋1＝pa n ＋q n (其中p ，q 均为常数，pq (p －1)≠0)，先在原递推公式两边同除以q n ＋1 ，得 a n ＋1q n ＋1＝p q ·a n q n ＋1q ，构造新数列{ b n }? ? ???其中b n ＝a n q n ，得b n ＋1＝p q ·b n ＋1q ，接下来用待定系数法求解． (6)取对数法：形如a n ＋1＝pa m n (p >0，a n >0)，先在原递推公式两边同时取对数，再利用待定系数法求解. 提炼3数列求和 数列求和的关键是分析其通项，数列的基本求和方法有公式法、裂(拆)项相消法、错位相减法、分组法、倒序相加法和并项法等，而裂项相消法，错位相减法是常用的两种方法. 提炼4数列的综合问题 数列综合问题的考查方式主要有三种： (1)判断数列问题中的一些不等关系，可以利用数列的单调性比较大小，或者是借助数列对应函数的单调性比较大小． (2)以数列为载体，考查不等式的恒成立问题，此类问题可转化为函数的最值问题． 高考数学二轮复习专题选讲 数列 一.考试内容与要求 1．考试内容 数列、等差（比）数列的定义、性质的应用及其通项公式、前n项和公式. 2．考试要求 知识要求：（1）理解数列的概念，了解数列的通项公式的意义；了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据数列的递推公式写出数列的前几项. （2）理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n项和公式，并能运用公式解决简单的问题.（3）理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n项和公式，并能运用公式解决简单的问题. 能力要求：培养观察能力、化归能力和解决实际问题的能力. 二．热点透视 1．命题热点 纵观近几年的全国数学高考试题，数列约占总分的10%—15%，考查的重点是等差、等比数列的通项公式和前n项和公式的灵活运用，主要考察学生的运算能力、逻辑思维能力以及分析问题和解决问题的能力，在选择、填空题中，突出了“小、巧、活”的特点； 解答题以中等难度以上的综合题为主，涉及函数、方程、不等式等重要内容。试题体现了函数与方程、等价转化、分类讨论等重要的数学思想以及待定系数法、配方法、换元法、消元法等基本数学方法。 2．考查热点 回顾过去，展望未来，数列在今后高考中，仍将以等差、等比数列的基本问题为主，突出数列与函数、数列与方程、数列与不等式的综合应用，更要特别重视数列的应用性问题。 三、本专题计划四课时 课时一等差数列与等比数列 一、 教学目标、重点、难点： 1、掌握等差数列与等比数列的通项公式、前n 项和公式、中项、性质，并能在解题中灵活运用。 2、注重等差数列与等比数列的区别和联系，类比与转化。 3、重视数列的相关运算经验与技巧的总结并练好运算基本功。 二、 训练反馈： 1．给定正数p,q,a,b,c ，其中p ≠q ，若p,a,q 成等比数列，p,b,c,q 成等差数列, 则一元二次 方程bx 2－2ax+c=0（ ） A ．无实数根 B ．有两个相等的实数根 C ．有两个同号的相异的实数根 D ．有两个异号的相异的实数根 2．某人为了观看20XX 年奥运会，从20XX 年起，每年5月10日到银行存入a 元定期储 蓄，若年利率为p 且保持不变，并约定每年到期存款均自动转为新的一年定期，到20XX 年将所有的存款及利息全部取回，则可取回的钱的总数（元）为 （ ） A ．7 )1(p a + B ．8 )1(p a + C ． )]1()1[(7p p p a +-+ D ． ()()[] p p p a +-+118 3．已知等差数列{}n a 的前n 项和为S n ，若m>1，且38,0122 11==-+-+-m m m m S a a a ，则 m 等于（ ） A ．38 B ．20 C ．10 D ．9 4．数学拓展课上，老师定义了一种运算“*”，对于n ∈N*满足以下运算性质：（1）2*2=1，（2）（2n+2）*2=3（2n*2）.则2n*2用含n 的代数式表示为 . 5．设数列｛n a ｝，｛n b ｝分别为正项等比数列，T n ，R n 分别为数列｛lg n a ｝与｛lg n b ｝ 的前n 项和，且1 2+=n n R T n n ，则log 5b 5a 的数值为 ． 绝密★启用前 2019年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 本试卷共23题，共150分，共5页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。 2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。 3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。 5．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．设集合A ＝{x |x 2－5x ＋6>0}，B ＝{ x |x －1<0}，则A ∩B ＝ A ．(－∞，1） B ．(－2，1） C ．(－3，－1） D ．(3，＋∞） 2．设z ＝－3＋2i ，则在复平面内z 对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3．已知AB ＝(2,3），AC ＝(3，t ），BC ＝1，则AB BC ?＝ A ．－3 B ．－2 C ．2 D ．3 4．2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就，实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日L 2点的轨道运行．L 2点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为M １，月球质量为M ２，地月距离为R ，L 2点到月球的距离为r ，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r 满足方程： 121 223 ()()M M M R r R r r R +=++． 设r R α=，由于α的值很小，因此在近似计算中3453 2 333(1)ααααα++≈+，则r 的近似值为 A B 2 1 2M R M C 2 3 1 3M R M D 2 3 1 3M R M 5．演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分．7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是 A ．中位数 B ．平均数 C ．方差 D ．极差 6．若a >b ，则 A ．ln(a ?b ）>0 B ．3a <3b C ．a 3?b 3>0 D ．│a │>│b │ 7．设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是 A ．α内有无数条直线与β平行 B ．α内有两条相交直线与β平行 专题达标检测 一、选择题 1．在等差数列{a n }中，若a 2＋2a 6＋a 10＝120，则a 3＋a 9等于 ( ) A ．30 B ．40 C ．60 D ．80 解析：由等差数列性质：若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q ，故a 2＋2a 6＋a 10＝4a 6 ＝120，故a 6＝30，a 3＋a 9＝2a 6＝2×30＝60. 答案：C 2．(2009·宁夏、海南理)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且4a 1,2a 2，a 3成等差数列，若 a 1＝1，则S 4等于 ( ) A ．7 B ．8 C ．15 D ．16 解析：设等比数列的公比为q ，则由4a 1,2a 2，a 3成等差数列．得4a 2＝4a 1＋a 3.∴4a 1q ＝4a 1＋a 1q 2.∴q 2－4q ＋4＝0 ∴q ＝2，∴S 4＝a 1(1－q 4)1－q ＝15. 答案：C 3．等比数列{a n }中，a 1＝512，公比q ＝－1 2，用Πn 表示它的前n 项之积：Πn ＝a 1·a 2·…·a n ， 则Πn 中最大的是 ( ) A ．Π11 B ．Π10 C ．Π9 D ．Π8 解析：Πn ＝a 1a 2…a n ＝a n 1· q 1＋2＋… ＋n －1＝29n ????－12(n －1)n 2＝(－1)n (n －1)22－n 2 ＋19n 2 ，∴ 当 n ＝9时，Πn 最大．故选C 答案：C 4．设函数f (x )＝x m ＋ax 的导函数f ′(x )＝2x ＋1，则数列?? ?? ?? 1f (n )(n ∈N *)的前n 项和是( ) A.n n ＋1 B.n ＋2n ＋1 C.n n －1 D.n ＋1n 解析：∵f ′(x )＝m x m －1＋a ＝2x ＋1， ∴m ＝2，a ＝1， ∴f (x )＝x 2＋x ＝x (x ＋1)， 2019高考数学第二轮复习计划 (一).明确主体，突出重点。 第二轮复习，教师必须明确重点，对高考考什么，怎样考，应了若指掌. 第二轮复习的形式和内容 1.形式及内容：分专题的形式，具体而言有以下八个专题。 (1)集合、函数与导数。此专题函数和导数、应用导数知识解决函数问题是重点，特别要注重交汇问题的训练。 (2)三角函数、平面向量和解三角形。此专题中平面向量和三角函数的图像与性质，恒等变换是重点。 (3)数列。此专题中数列是重点，同时也要注意数列与其他知识交汇问题的训练。 (4)立体几何。此专题注重点线面的关系，用空间向量解决点线面的问题是重点。 (5)解析几何。此专题中解析几何是重点，以基本性质、基本运算为目标。突出直线和圆锥曲线的交点、弦长、轨迹等。 (6)不等式、推理与证明。此专题中不等式是重点，注重不等式与其他知识的整合。 (7)排列与组合，二项式定理，概率与统计、复数。此专题中概率统计是重点，以摸球问题为背景理解概率问题。 (9)高考数学思想方法专题。此专题中函数与方程、数 形结合、化归与转化、分类讨论思想方法是重点。 (二)、做到四个转变。 1.变介绍方法为选择方法，突出解法的发现和运用. 2.变全面覆盖为重点讲练，突出高考热点问题. 3.变以量为主为以质取胜，突出讲练落实. 4.变以补弱为主为扬长补弱并举，突出因材施教 5.做好六个重在。重在解题思想的分析，即在复习中要及时将四种常见的数学思想渗透到解题中去；重在知识要点的梳理，即第二轮复习不像第一轮复习，没有必要将每一个知识点都讲到，但是要将重要的知识点用较多的时间重点讲评，及时梳理；重在解题方法的总结，即在讲评试题中关联的解题方法要给学生归类、总结，以达触类旁通的效果；重在学科特点的提炼，数学以概念性强，充满思辨性，量化突出，解法多样，应用广泛为特点，在复习中要展现提炼这些特点；重在规范解法，考生在平时的解题那怕是考试中很少注意书写规范，而高考是分步给分，书写不规范，逻辑不连贯会让考生把本应该得的分丢了。 (三)、克服六种偏向。 1.克服难题过多，起点过高.复习集中几个难点，讲练耗时过多，不但基础没夯实，而且能力也上不去. 2.克服速度过快.内容多，时间短，未做先讲或讲而不做，一知半解，题目虽熟悉，却仍不会做.2020版高考数学二轮复习专题汇编全集
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