高中数学总复习(一) 复习内容:高中数学第一章-集合
1. 集合中元素具有确定性、无序性、互异性.
2. 集合的性质:
①任何一个集合是它本身的子集,记为A A ?; ②空集是任何集合的子集,记为A ?φ; ③空集是任何非空集合的真子集; 如果B A ?,同时A B ?,那么A = B. 如果C A C B B A ???,那么,.
[注]:①空集的补集是全集. ④若集合A =集合B ,则C B A = ?, C A B = ? C S (C A B )= D ( 注 :C A B = ?). 3. ①{(x ,y )|xy =0,x ∈R ,y ∈R }坐标轴上的点集. ②{(x ,y )|xy <0,x ∈R ,y ∈R
}二、四象限的点集.
③{(x ,y )|xy >0,x ∈R ,y ∈R } 一、三象限的点集.
4. ①n 个元素的子集有2n 个. ②n 个元素的真子集有2n -1个. ③n 个元素的非空真子集有2n -2个.
5. ?①一个命题的否命题为真,它的逆命题一定为真. 否命题?逆命题. ②一个命题为真,则它的逆否命题一定为真. 原命题?逆否命题. 高中数学总复习(二) 复习内容:高中数学第二章-函数
1. 函数的三要素:定义域,值域,对应法则.
2. 函数的单调区间可以是整个定义域,也可以是定义域的一部分. 对于具体的函数来说可能有单调区间,也可能没有单调区间,如果函数在区间(0,1)上为减函数,在区间(1,2)上为减函数,就不能说函数在),(),(2110?上为减函数. 5. 指数函数:x a y =(1,0≠a a ),定义域R ,值域为(+∞,0). ?①当1 a ,指数函数:x a y =在定义域上为增函数; ②当10 a ,指数函数:x a y =在定义域上为减函数.
?当1 a 时,x a y =的a 值越大,越靠近y 轴;当10 a 时,则相反. 6. 对数函数:如果a (1,0≠a a )的b 次幂等于N ,就是N a b
=,数b 就叫做以a 为底的
N 的对数,记作b N a =log (1,0≠a a ,负数和零没有对数);其中a 叫底数,N 叫真数. ?对数运算:
()n
a n a a a c
b a b b a N
a n a a n a a a a
a a a a a a a a c
b a
N N N
a M n
M M n M N M N
M
N M N M n a
1121log log ...log log 1
log log log log log log log 1
log log log log log log log log )(log 32log )12)1(=????=??=
==±=-=+=?-推论:换底公式:
(以上10且...a a ,a 1,c 0,c 1,b 0,b 1,a 0,a 0,N 0,M n 21≠≠≠≠ ) ?x a y =(1,0≠a a )与x y a log =互为反函数.
当1 a 时,x y a log =的a 值越大,越靠近x 轴;当10 a 时,则相反. 7. 奇函数,偶函数: ?偶函数:)()(x f x f =-
设(b a ,)为偶函数上一点,则(b a ,-)也是图象上一点. 偶函数的判定:两个条件同时满足
①定义域一定要关于y 轴对称,例如:12+=x y 在)1,1[-上不是偶函数.
②满足)()(x f x f =-,或0)()(=--x f x f ,若0)(≠x f 时,
1)
()
(=-x f x f . ?奇函数:)()(x f x f -=-
设(b a ,)为奇函数上一点,则(b a --,)也是图象上一点. 奇函数的判定:两个条件同时满足
▲
y
x
O
1
y=a x a >1
y=a x a 1
<<0
①定义域一定要关于原点对称,例如:3x y =在)1,1[-上不是奇函数. ②满足)()(x f x f -=-,或0)()(=+-x f x f ,若0)(≠x f 时,
1)
()
(-=-x f x f . 8. 对称变换:①y = f (x ))(轴对称x f y y -=???→?
②y =f (x ))(轴对称
x f y x -=???→?
③y =f (x ))(原点对称
x f y --=???→?
9. 判断函数单调性(定义)作差法:对带根号的一定要分子有理化,例如:
在进行讨论.
10. 外层函数的定义域是内层函数的值域.
例如:已知函数f (x )= 1+x
x
-1的定义域为A ,函数f [f (x )]的定义域是B ,则集合
A 与集合
B 之间的关系是 . 解:)(x f 的值域是))((x f f 的定义域B ,)(x f 的值域R ∈,故R B ∈,而A {}1|≠=x x ,故A B ?. 11. 常用变换:
①)
()()()()()(y f x f y x f y f x f y x f =-?=+.
证:)()(])[()()
()
()(y f y x f y y x f x f x f y f y x f -=+-=?=
- ②)()()()()()(y f x f y x f y f x f y
x f +=??-= 证:)()()()(y f y
x f y y x f x f +=?= 12. ?熟悉常用函数图象:
例:||2x y =→||x 关于y 轴对称. |
2|21+?
?
?
??=x y →||21x y ??
? ??=→|
2|21+?
?
?
??=x y
▲
x
y
▲
x
y
(0,1)
▲
x
y
(-2,1)
|122|2-+=x x y →||y 关于x 轴对称.
▲
x
y
?熟悉分式图象: 例:3
7
2312-+
=-+=
x x x y ?定义域},3|{R x x x ∈≠, 值域},2|{R y y y ∈≠→值域≠x 前的系数之比.
§3. 数 列 知识要点
1. ?等差、等比数列:
?看数列是不是等差数列有以下三种方法: ①),2(1为常数d n d a a n n ≥=--
等差数列
等比数列
定义 d a a n n =-+1
)0(1
≠=+q q a a n
n 递推公式 d a a n n +=-1;md a a n m n +=- q a a n n 1-=;m n m n q a a -= 通项公式 d n a a n )1(1-+=
11-=n n q a a (0,1≠q a )
中项
2
k
n k n a a A +-+=
(0,,* k n N k n ∈)
)0( k n k n k n k n a a a a G +-+-±=(0,,* k n N k n ∈)
前n 项和
)(2
1n n a a n
S +=
d n n na S n 2
)
1(1-+
= ()
?
??
??≥--=--==)2(111)
1(111q q q
a a q
q a q na S n n n 重要性质
2
21222121222
22121)()()(b x b x x x x x b x b x x f x f x ++++-=+-+=-)
(A B ?▲
x y
2
3
)
,
,,,(*
q p n m N q p n m a a a a q p n m +=+∈+=+),,,,(*q p n m N q p n m a a a a q p n m +=+∈?=?
②211-++=n n n a a a (2≥n ) ③b kn a n +=(k n ,为常数).
?看数列是不是等比数列有以下四种方法: ①)0,,2(1≠≥=-且为常数q n q a a n n
②112
-+?=n n n a a a (2≥n ,011≠-+n n n a a a )
① 注①:i. ac b =,是a 、b 、c 成等比的双非条件,即ac b =a 、b 、c 等比数列.
ii. ac b =(ac >0)→为a 、b 、c 等比数列的充分不必要. iii. ac b ±=→为a 、b 、c 等比数列的必要不充分. iv. ac b ±=且0 ac →为a 、b 、c 等比数列的充要.
注意:任意两数a 、c 不一定有等比中项,除非有ac >0,则等比中项一定有两个. ③n n cq a =(q c ,为非零常数).
④正数列{n a }成等比的充要条件是数列{n x a log }(1 x )成等比数列. ?数列{n a }的前n 项和n S 与通项n a 的关系:?
?
?≥-===-)2()
1(111n s s n a s a n n n
[注]: ①()()d a nd d n a a n -+=-+=111(d 可为零也可不为零→为等差数列充要条件(即常数列也是等差数列)→若d 不为0,则是等差数列充分条件).
②等差{n a }前n 项和n d a n d Bn An S n ??
? ?
?-+??
? ??=+=22122 →2
d
可以为零也可不为零→为等差
的充要条件→若d 为零,则是等差数列的充分条件;若d 不为零,则是等差数列的充分条件. ③非零..常数列既可为等比数列,也可为等差数列.(不是非零,即不可能有等比数列) 2. ①等差数列依次每k 项的和仍成等差数列,其公差为原公差的k 2
倍
...,,232k k k k k S S S S S --;
②若等差数列的项数为2()+∈N n n ,则,奇偶nd S S =-1
+=
n n
a a S S 偶
奇
;
③若等差数列的项数为()+∈-N n n 12,则()n n a n S 1212-=-,且n a S S =-偶奇,1
-=
n n S S 偶
奇 得到所求项数到代入12-?n n . 3. 常用公式:①1+2+3 …+n =()2
1+n n ②()()6
1213212222++=
+++n n n n
③()2
213213333?
?
?
???+=++n n n
[注]:熟悉常用通项:9,99,999,…110-=?n n a ; 5,55,555,…()1109
5
-=?n n a . 4. 等比数列的前n 项和公式的常见应用题:
?生产部门中有增长率的总产量问题. 例如,第一年产量为a ,年增长率为r ,则每年的产量成等比数列,公比为r +1. 其中第n 年产量为1)1(-+n r a ,且过n 年后总产量为:
.)
1(1]
)1([)
1(...)1()1(1
2
r r a a r a r a r a a n n +-+-=+++++++- ?银行部门中按复利计算问题. 例如:一年中每月初到银行存a 元,利息为r ,每月利息按复利计算,则每月的a 元过n 个月后便成为n r a )1(+元. 因此,第二年年初可存款:
)1(...)
1()1()
1(10
1112
r a r a r a r a ++++++++=)
1(1]
)1(1)[1(12r r r a +-+-+.
?分期付款应用题:a 为分期付款方式贷款为a 元;m 为m 个月将款全部付清;r 为年
利率.
()()
()
()()
()()()1
111111 (1112)
1
-++=?-+=+?++++++=+--m m
m m
m m m
r r ar x r r x r a x r x r x r x r a
5. 数列常见的几种形式:
?n n n qa pa a +=++12(p 、q 为二阶常数)→用特证根方法求解.
具体步骤:①写出特征方程q Px x +=2(2x 对应2+n a ,x 对应1+n a ),并设二根21,x x ②若
21x x ≠可设n
n n x c x c a 2
211.+=,若21x x =可设n n x n c c a 121)(+=;③由初始值21,a a 确定21,c c .
?r Pa a n n +=-1(P 、r 为常数)→用①转化等差,等比数列;②逐项选代;③消去常数
n 转化为n n n qa Pa a +=++12的形式,再用特征根方法求n a ;④121-+=n n P c c a (公式法),21,c c 由21,a a 确定.
①转化等差,等比:1
)(11-=?-+=?+=+++P r
x x Px Pa a x a P x a n n n n . ②选代法:=++=+=--r r Pa P r Pa a n n n )(21x P x a P r
P P r a a n n n -+=---+
=?--1111)(1
)1( r r P a P n n +++?+=--Pr 211 .
③用特征方程求解:??
??+=+=-+相减,
r Pa a r Pa a n n n n 111+n a 1111-+--+=?-=-n n n n n n Pa a P a Pa Pa a )(. ④由选代法推导结果:P
r
P P r a c P c a P r a c P r c n n n -+
-+=+=-+=-=
--111111112121)(,,. 6. 几种常见的数列的思想方法:
?等差数列的前n 项和为n S ,在0 d 时,有最大值. 如何确定使n S 取最大值时的n 值,有两种方法:
一是求使0,01 +≥n n a a ,成立的n 值;二是由n d a n d S n )2
(212-+=利用二次函数的性质求n 的值.
?如果数列可以看作是一个等差数列与一个等比数列的对应项乘积,求此数列前n 项和可依照等比数列前n 项和的推倒导方法:错位相减求和. 例如:, (2)
1)
12,...(4
13,2
1
1n
n -?
?两个等差数列的相同项亦组成一个新的等差数列,此等差数列的首项就是原两个数列的第一个相同项,公差是两个数列公差21d d ,的最小公倍数. 高考复习科目:数学 高中数学总复习(四) 复习内容:高中数学第四章-三角函数 复习范围:第四章
I. 基础知识要点
1. ①与α(0°≤α<360°)终边相同的角的集合(角α与角β的终边重合):
{}Z k k ∈+?=,360|αββ
②终边在x 轴上的角的集合: {}Z k k ∈?=,180| ββ ③终边在y 轴上的角的集合:{}Z k k ∈+?=,90180| ββ ④终边在坐标轴上的角的集合:{}Z k k ∈?=,90| ββ
⑤终边在y =x 轴上的角的集合:{}Z k k ∈+?=,45180| ββ ⑥终边在x y -=轴上的角的集合:{}Z k k ∈-?=,45180| ββ
⑦若角α与角β的终边关于x 轴对称,则角α与角β的关系:βα-=k 360 ⑧若角α与角β的终边关于y 轴对称,则角α与角β的关系:βα-+= 180360k ⑨若角α与角β的终边在一条直线上,则角α与角β的关系:βα+=k 180 ⑩角α与角β的终边互相垂直,则角α与角β的关系: 90360±+=βαk
2. 角度与弧度的互换关系:360°=2π 180°=π 1°=0.01745 1=57.30°=57°18′ 注意:正角的弧度数为正数,负角的弧度数为负数,零角的弧度数为零.
3. 三角函数的定义域:
三角函数 定义域
=
)(x f sin x {}R x x ∈|
=)(x f cos x {}R x x ∈|
=)(x f tan x ?
??
???∈+≠∈Z k k x R x x ,21|ππ且
=)(x f cot x {}Z k k x R x x ∈≠∈,|π且
=)(x f sec x ?
??
???∈+≠∈Z k k x R x x ,21|ππ且
=)(x f csc x
{}Z k k x R x x ∈≠∈,|π且
4. 三角函数的公式: (一)基本关系
公式组二 公式组三
y
▲
sinx
1234
sinx
x
x k x x k x x k x x k cot )2cot(tan )2tan(cos )2cos(sin )2sin(=+=+=+=+ππππ x
x x x x x x x cot )cot(tan )tan(cos )cos(sin )sin(-=--=-=--=-
公式组四 公式组五 公式组六
x
x x x x x x x cot )cot(tan )tan(cos )cos(sin )sin(=+=+-=+-=+ππππ
x
x x x x x x
x cot )2cot(tan )2tan(cos )2cos(sin )2sin(-=--=-=--=-ππππ
x
x x x x x x
x cot )cot(tan )tan(cos )cos(sin )sin(-=--=--=-=-ππππ (二)角与角之间的互换
公式组一 公式组二 βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+ αααcos sin 22sin =
βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=- ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-= β
αβαβαsin cos cos sin )sin(+=+ α
αα2
tan 1tan 22tan -=
βαβαβαsin cos cos sin )sin(-=- 2
cos 12
sin
αα
-±
= βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(-+=
+ 2
cos 12
cos α
α
+±
=
β
αβαβαtan tan 1tan tan )tan(+-=
- 公式组三 公式组四 公式组五 2
tan 12
tan
2sin 2α
α
α+=
2
tan 12
tan 1cos 2
2
α
α
α+-=
2
tan 12tan
2tan 2
α
α
α-=
4
2
675cos 15sin -=
= ,4
2615cos 75sin +=
= ,3275cot 15tan -== ,3215cot 75tan +== .
5. 正弦、余弦、正切、余切函数的图象的性质:
()?ω+=x A y sin
(A 、ω>0)
定义域 R
R
R
值域
]1,1[+-
]1,1[+-
R
R
[]A A ,-
周期性 π2 π2
π
π
ω
π
2
奇偶性
奇函数
偶函数 奇函数 奇函数
当,0≠?非奇非偶 当,0=?奇函数
单调性
]
22
,
22
[ππ
ππ
k k ++-
上为增函数;]223,
22
[ππππ
k k ++上为减函数
(Z k ∈)
()]
2,12[ππk k -;上为增函数()]
12,
2[ππ+k k
上为减函数 (Z k ∈) ?
?
?
??++-ππππk k 2
,2
上为增函数(Z k ∈)
()()ππ1,+k k 上为减
函数(Z k ∈)
????
?
???????????--+--
)(21
2),(22A k A k ω?ππω?
π
π上为增函数;
????
?
??????????
?--+-+
)(23
2),(22A k A k ω?ππω?
π
π上为减函数(Z k ∈)
注意:①x y sin -=与x y sin =的单调性正好相反;x y cos -=与x y cos =的单调性也同样相
反.一般地,若)(x f y =在],[b a 上递增(减),则)(x f y -=在],[b a 上递减(增). ②x y sin =与x y cos =的周期是π.
公式组一sin x ·csc x =1tan x =x x cos sin sin 2x +cos 2x =1cos x ·sec x x =
x
x sin cos 1+tan 2x =sec 2
x
tan x ·cot x =1
1+cot 2x =csc 2x
=1()()[]
()()[]()()[]
()()[]βαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβα--+-=-++=--+=-++=
cos cos 2
1
sin sin cos cos 21
cos cos sin sin 21sin cos sin sin 21
cos sin 2cos
2sin 2sin sin β
αβαβα-+=+2
sin
2cos 2sin sin β
αβαβα-+=-2
cos
2
cos 2cos cos βαβαβα-+=+2
sin
2
sin
2cos cos β
αβ
αβα-+-=-α
αα
αα
ααsin cos 1cos 1sin cos 1cos 12
tan -=
+=+-±=?
?
?
???∈+≠∈Z k k x R x x ,21|ππ且{}
Z k k x R x x ∈≠∈,|π且x
y cot =x y tan =x y cos =x y sin =α
απsin )2
1
cos(-=+α
απcos )2
1
sin(=+α
απcot )21
tan(-=+α
απsin )21
cos(=-α
απcos )21
sin(=-α
απcot )21
tan(=-▲
y
x
③)sin(?ω+=x y 或)cos(?ω+=x y (0≠ω)的周期ω
π
2=
T .
2
tan
x y =的周期为2π(πω
π
2=?=
T T ,如图,翻折无效).
④)sin(?ω+=x y 的对称轴方程是2
π
π+=k x (Z k ∈),对称中心(0,πk );)c o s (?ω+=x y 的对
称轴方程是πk x =(Z k ∈),对称中心(0,2
1ππ+k );)t
a n (?ω+=x y 的对称中心(
0,2
π
k ). x x y x y 2cos )2cos(2cos -=--=???→?=原点对称
⑤当αtan ·,1tan =β)(2
Z k k ∈+=+π
πβα;αtan ·,1tan -=β)(2
Z k k ∈+=-π
πβα.
⑥x y cos =与??
? ??++=ππk x y 22sin 是同一函数,而)(?ω+=x y 是偶函数,则
)cos()2
1
sin()(x k x x y ωππω?ω±=++=+=.
⑦函数x y tan =在R 上为增函数.(×) [只能在某个单调区间单调递增. 若在整个定义域,x y tan =为增函数,同样也是错误的].
⑧定义域关于原点对称是)(x f 具有奇偶性的必要不充分条件.(奇偶性的两个条件:一
是定义域关于原点对称(奇偶都要),二是满足奇偶性条件,偶函数:)()(x f x f =-,奇
函数:)()(x f x f -=-)
奇偶性的单调性:奇同偶反. 例如:x y tan =是奇函数,)31tan(π+=x y 是非奇非偶.(定
义域不关于原点对称)
奇函数特有性质:若x ∈0的定义域,则)(x f 一定有0)0(=f .(x ?0的定义域,则无此性质)
⑨x y sin =不是周期函数;x y sin =为周期函数(π=T );
x
y cos =是周期函数(如图);x y cos =为周期函数(π=T );
2
1
2cos +
=x y 的周期为π(如图),并非所有周期函数都有最小正周期,例如:
R k k x f x f y ∈+===),(5)(.
⑩a
b
b a b a y =+++=+=??αβαcos )sin(sin cos 22 有y b a ≥+22.
II. 竞赛知识要点
一、反三角函数.
1. 反三角函数:?反正弦函数x y arcsin =是奇函数,故x x arcsin )arcsin(-=-,[]1,1-∈x (一定要注明定义域,若()+∞∞-∈,x ,没有x 与y 一一对应,故x y sin =无反函数) 注:x x =)sin(arcsin ,[]1,1-∈x ,?
?
????-∈2,2arcsin ππx .
?反余弦函数x y arccos =非奇非偶,但有ππk x x 2)arccos()arccos(+=+-,[]1,1-∈x . 注:①x x =)cos(arccos ,[]1,1-∈x ,[]π,0arccos ∈x .
②x y cos =是偶函数,x y arccos =非奇非偶,而x y sin =和x y arcsin =为奇函数. ?反正切函数:x y arctan =,定义域),(+∞-∞,值域(2
,2π
π-
),x y a r c t a n =是奇函数,
x x arctan )arctan(-=-,∈x ),(+∞-∞.
注:x x =)tan(arctan ,∈x ),(+∞-∞.
?反余切函数:x arc y cot =,定义域),(+∞-∞,值域(2
,2π
π-
),x a r c y c o t =是非奇非偶. ππk x arc x arc 2)cot()cot(+=+-,∈x ),(+∞-∞.
注:①x x arc =)cot cot(,∈x ),(+∞-∞.
②x y arcsin =与)1arcsin(
x y -=互为奇函数,x y arctan =同理为奇而x y arccos =与x arc y cot =非奇非偶但满足]1,1[,2)cot(cot ]1,1[,2arccos )arccos(-∈+=-+-∈+=+-x k x arc x arc x k x x ππππ. ? 正弦、余弦、正切、余切函数的解集:
a 的取值范围 解集 a 的取值范围 解集 ①a x =sin 的解集 ②a x =cos 的解集
a
>1 ? a >1 ? a
=1 {}Z k a k x x ∈+=,arcsin 2|π a =1 {}Z k a k x x ∈+=,arccos 2|π
▲
y
x
y=cos |x|图象
▲
1/2
y
x
y=|cos2x +1/2|图象
a <1 (){}Z k a k x x k ∈-+=,arcsin 1|π a <1 {}Z k a k x x ∈±=,arccos |π ③a x =tan 的解集:{}Z k a k x x ∈+=,arctan |π ③a x =cot 的解集:{}Z k a k x x ∈+=,cot arc |π 二、三角恒等式.
组一
组二
∏==
=n
k n
n n
k
1
2sin
2sin 2
cos
8
cos
4
cos
2
cos
2
cos α
αα
α
α
α
α
∑=++=
+++++=+n
k d nd x d n nd x d x x kd x 0
sin )
cos())1sin(()cos()cos(cos )cos( ∑
=++=
+++++=+n
k d nd x d n nd x d x x kd x 0
sin )
sin())1sin(()sin()sin(sin )sin(
α
γγββαγ
βαγβαγβαtan tan tan tan tan tan 1tan tan tan tan tan tan )tan(----++=
++
组三 三角函数不等式
x sin <x <)2
,0(,tan π
∈x x x
x
x f sin )(=
在),0(π上是减函数 若π=++C B A ,则C xy B xz A yz z y x cos 2cos 2cos 2222++≥++
高考复习科目:数学 高中数学总复习(五) 复习内容:高中数学第五章-平面向量 复习范围:第五章
1. 长度相等且方向相同的两个向量是相等的量.
注意:①若b a ,为单位向量,则b a
=. (?) 单位向量只表示向量的模为
1,并未指明
向量的方向.
②若b a =,则a
∥b . (√)
2. ①()a
μλ=()a λμ ②()a a a μλμλ+=+ ③()
b a b a λλλ+=+
④设()()R y x b y x a ∈==λ,,,,2211 ()2121,y y x x b a ++=+
()2121,y y x x b a --=-
()21,y x a λλλ= 2121y y x x b a +=? 2
121
y x a += (向量的模,针对向量坐标求模)
⑤平面向量的数量积:θcos b a b a ?=? ⑥a b b a ?=? ⑦()()()b a b a b a
λλλ?=?=?
⑧()c b c a c b a
?+?=?+
注意:①(
)()
c
b a
c b a ??=??不一定成立;c
b b a
?=?c a =.
②向量无大小(“大于”、“小于”对向量无意义),向量的模有大小.
③长度为0的向量叫零向量,记0 ,0 与任意向量平行,0
的方向是任意的,零向量与
零向量相等,且00
=-. ④若有一个三角形ABC
,则
0;此结论可推广到n 边形.
⑤若a n a m
=(R n m ∈,),则有n m =. (?) 当a
等于0
时,0
==a n a m ,而n m ,不一定相等.
⑥a ·a =2
||a ,||a =2a (针对向量非坐标求模),||b a ?≤||||b a ?.
⑦当0 ≠a 时,由0=?b a 不能推出0 ≠b ,这是因为任一与a
垂直的非零向量b ,都有
a
·b =0.
⑧若a ∥b ,b ∥c ,则a ∥c (×)当b 等于0时,不成立.
3. ①向量b 与非零向量....
a
共线的充要条件是有且只有一个实数λ,使得a b λ=(平行向量或共线向量).
当a ,0 λ与b 共线同向:当,0 λa 与b 共线反向;当b 则为0,0与任何向量共
线.
注意:若b a ,共线,则b a λ= (×)
若c 是a 的投影,夹角为θ,则c a =?θcos ,c a =?θcos (√)
②设a
=()11,y x ,()22,y x b =
a
∥b ?
=-?01221y x y x b a b a b a ?=??=λ
a
⊥b 001221=+?=??y y x x b a
③设()()()332211,,,,,y x C y x B y x A ,则A 、B 、C 三点共线
?∥
?
=
λ(0≠λ)
?(1212,y y x x --)=λ(1313,y y x x --)
(0≠λ) α
αααααcos 3cos 43cos sin 4sin 33sin 33-=-=()()α
ββαβαβα2222cos cos sin sin sin sin -=-+=-ααααααsin 22sin 2cos ...4cos 2cos cos 1
1++=n n n
?(12x x -)
·(13y y -)=(13x x -)·(12y y -) ④两个向量a
、b 的夹角公式:
22
2221212
121cos y x y x y y x x +?++=
θ
⑤线段的定比分点公式:(0≠λ和1-)
设 P 1P =λPP 2 (或P 2P =λ
1P 1P ),且21,,P P P 的坐标分别是),(),,(,,2211y x y x y x )(,则
推广1:当1=λ时,得线段21P P 的中点公式:
推广2:λ=MB
AM
则λ
λ++=
1PB PA PM (λ
对应终点向量).
三角形重心坐标公式:△ABC 的顶点
()()()332211,,,,,y x C y x B y x A ,重心坐标()y x G ,: 注意:在△ABC 中,若0为重心,则0=++OC OB OA ,这是充要条件.
⑥平移公式:若点P ()y x ,按向量a =()k h ,平移到P ‘()
'
',y x ,则?????+=+=k
y y h x x ''
4. ?正弦定理:设△ABC 的三边为a 、b 、c ,所对的角为A 、B 、C ,则
R C
c
B b
A a
2s i n s
i n s
i n ===
. ?余弦定理:???
????-+=-+=-+=C ab a b c B
ac c a b A
bc c b a cos 2cos 2cos 2222
2
22
222
?正切定理:2
tan
2tan
B A B
A b
a b a -+=
-+
?三角形面积计算公式:
设△ABC 的三边为a ,b ,c ,其高分别为h a ,h b ,h c ,半周长为P ,外接圆、内切圆的半径为R ,r .
①S △=1/2ah a =1/2bh b =1/2ch c ②S △=Pr ③S △=abc/4R
④S △=1/2sin C ·ab=1/2ac ·sin B=1/2cb ·sin A ⑤S △=()()()c P b P a P P --- [海伦公式] ⑥S △=1/2(b+c-a )r a [如下图]=1/2(b+a-c )r c =1/2(a+c-b )r b
[注]:到三角形三边的距离相等的点有4个,一个是内心,其余3个是旁心.
如图: 图1中的I 为S △ABC 的内心, S
△
=Pr
图2中的I 为S △ABC 的一个旁心,S △=1/2(b+c-a )r a
图1 图2 图3 图4
附:三角形的五个“心”;
重心:三角形三条中线交点.
外心:三角形三边垂直平分线相交于一点. 内心:三角形三内角的平分线相交于一点. 垂心:三角形三边上的高相交于一点.
旁心:三角形一内角的平分线与另两条内角的外角平分线相交一点. ?已知⊙O 是△ABC 的内切圆,若BC =a ,AC =b ,AB =c [注:s 为△ABC 的半周长,即
2
c
b a ++] 则:①AE=a s -=1/2(b+c-a )
②BN=b s -=1/2(a+c-b ) ③FC=c s -=1/2(a+b-c )
综合上述:由已知得,一个角的邻边的切线长,等于半周长减去对边(如图4). 特例:已知在Rt △ABC ,c 为斜边,则内切圆半径r =
c b a ab
c b a ++=
-+2(如图3). ?在△ABC 中,有下列等式成立C B A C B A tan tan tan tan tan tan =++. 证明:因为,C B A -=+π所以()()C B A -=+πtan tan ,所以C B
A B
A tan tan tan 1tan tan -=-+,∴结论!
?在△ABC 中,D 是BC
上任意一点,则DC BD BC
BC
AB BD AC AD ?-+=222
.
证明:在△ABCD 中,由余弦定理,有 B BD AB BD AB AD cos 2222??-+=① 在△ABC
中,由余弦定理有 BC
AB AC BC AB B ?-+=2cos 2
22②,②代入①,化简
可得,DC BD BC
BC AB BD AC AD ?-+=222
(斯德瓦定理)
①若AD 是BC 上的中线,222222
1
a c
b m a -+=; ②若AD 是∠A 的平分线,()a p p b
c c
b t a -?+=
2
,其中p 为半周长; A B
C O
a b c I A
B C D E F I
A
B C D
E
F r a
r a
r a
b
c
a a
b
c A C
B
N
E F
???
???
?
++=++=33321321y y y
y x x x x ???
???
?
+=+=222121x x x y y y ???
????
++=++=λ
λλ
λ11212
1x x x y y y D
A
C
B
图5
A
B
P
M
③若AD 是BC 上的高,()()()c p b p a p p a
h a ---=2,其中p 为半周长. ?△ABC 的判定:
?+=222b a c △ABC 为直角△?∠A + ∠B =2
π
2c <?+22b a △ABC 为钝角△?∠A + ∠B <2π
2c >?+22b a △ABC
为锐角△?∠A + ∠B >
2
π 附:证明:ab
c b a C 2cos 2
22-+=
,得在钝角△ABC 中,222222,00cos c b a c b a C +?-+?
?平行四边形对角线定理:对角线的平方和等于四边的平方和.
)(22222b a b a b a +=-++
§6. 不 等 式 知识要点
1. ?平方平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均(a 、b 为正数):
222
1122a b a b ab a b
++≥≥≥
+(当a = b 时取等)
特别地,222()22a b a b ab ++≤≤(当a = b 时,22
2
()22
a b a b ab ++==)
),,,(332
222时取等c b a R c b a c b a c b a ==∈??
? ??+++≥++ ?幂平均不等式:221222
21)...(1
...n n a a a n
a a a +++≥+++ ?含立方的几个重要不等式(a 、
b 、
c 为正数): ①3322a b a b ab +≥+
②3332223()()a b c abc a b c a b c ab ac bc ++-=++++---
?3333a b c abc ++≥(等式即可成立0 c b a ++,时取等或0=++==c b a c b a )
; 3
3a b c abc ++≤?33a b c abc ++??≤ ???
333
3a b c ++≤ 2)(3
1
c b a ac ba ab +++≤++(时取等c b a ==)
?绝对值不等式:
123123
(0)
a a a a a a a
b a b a b ab ++≤++-≤-≤+≥时,取等
?算术平均≥几何平均(a 1、a 2…a n 为正数):1212n n
n a a a a a a n
+++≥ (a 1=a 2…=a n
时取等)
?柯西不等式:设),,,2,1(,n i R b a i i =∈则
))(()(2
22212222122211n n n n b b b a a a b a b a b a ++++++≤+++
等号成立当且仅当
n
n b a b a b a === 22
11时成立.(约定0=i a 时,0=i b ) 例如:22222()()()ac bd a b c d +≤++. ?常用不等式的放缩法:①21111111
(2)1
(1)(1)1n n
n n n n n n n n
-=
=-≥++-- ②11111(1)1
21
n n n n n n n n
n n +-=
=--≥+++-
2. 常用不等式的解法举例(x 为正数): ①231
124
(1)2(1)(1)()22327
x x x x x -=?--≤=
②2222
2
32(1)(1)12423
(1)()223279
x x x y x x y y --=-?=≤=?≤
类似于22sin cos sin (1sin )y x x x x ==- ③111||||||()2x x x x
x
x
+=+≥与同号,故取等
§7. 直线和圆的方程 知识要点
一、直线方程. 1. 直线的倾斜角:一条直线向上的方向与x 轴正方向所成的最小正角叫做这条直线的倾斜角,其中直线与x 轴平行或重合时,其倾斜角为0,故直线倾斜角的范围是
)0(1800παα ≤≤.
注:①当 90=α或12x x =时,直线l 垂直于x 轴,它的斜率不存在.
②每一条直线都存在惟一的倾斜角,除与x 轴垂直的直线不存在斜率外,其余每一条直
线都有惟一的斜率,并且当直线的斜率一定时,其倾斜角也对应确定. 2. 直线方程的几种形式:点斜式、截距式、两点式、斜切式.
特别地,当直线经过两点),0(),0,(b a ,即直线在x 轴,y 轴上的截距分别为)
0,0(,≠≠b a b a 时,直线方程是:1=+b
y
a x .
注:若232--=x y 是一直线的方程,则这条直线的方程是232
--=x y ,但若
)0(23
2
≥--
=x x y 则不是这条线. 附:直线系:对于直线的斜截式方程b kx y +=,当b k ,均为确定的数值时,它表示一条
确定的直线,如果b k ,变化时,对应的直线也会变化.①当b 为定植,k 变化时,它们表示过定点(0,b )的直线束.②当k 为定值,b 变化时,它们表示一组平行直线.
3. ?两条直线平行:
1l ∥212k k l =?两条直线平行的条件是:①1l 和2l 是两条不重合的直线. ②在1l 和2l 的斜
率都存在的前提下得到的. 因此,应特别注意,抽掉或忽视其中任一个“前提”都会导致结论的错误.
(一般的结论是:对于两条直线21,l l ,它们在y 轴上的纵截距是21,b b ,则1l ∥212k k l =?,且21b b ≠或21,l l 的斜率均不存在,即2121A B B A =是平行的必要不充分条件,且21C C ≠) 推论:如果两条直线21,l l 的倾斜角为21,αα则1l ∥212αα=?l . ?两条直线垂直:
两条直线垂直的条件:①设两条直线1l 和2l 的斜率分别为1k 和2k ,则有12121-=?⊥k k l l 这里的前提是21,l l 的斜率都存在. ②0121=?⊥k l l ,且2l 的斜率不存在或02=k ,且1l 的斜率不存在. (即01221=+B A B A 是垂直的充要条件) 4. 直线的交角:
?直线1l 到2l 的角(方向角);直线1l 到2l 的角,是指直线1l 绕交点依逆时针方向旋转到与2l 重合时所转动的角θ,它的范围是),0(π,当 90≠θ时2
11
21tan k k k k +-=
θ.
?两条相交直线1l 与2l 的夹角:两条相交直线1l 与2l 的夹角,是指由1l 与2l 相交所成的
四个角中最小的正角θ,又称为1l 和2l 所成的角,它的取值范围是 ?
???
?2,0π,当
90≠θ,则
有2
11
21tan k k k k +-=
θ.
5. 过两直线???=++=++0:0
:222
21111
C y B x A l C y B x A l 的交点的直线系方程λ
λ(0)(222111=+++++C y B x A C y B x A 为参数,0222=++C y B x A 不包括在内)
6. 点到直线的距离:
?点到直线的距离公式:设点),(00y x P ,直线P C By Ax l ,0:=++到l 的距离为d ,则有
2
2
00B
A C By Ax d +++=
.
?两条平行线间的距离公式:设两条平行直线)(0:,0:212211C C C By Ax l C By Ax l ≠=++=++,它们之间的距离为d ,则有2
2
21B
A C C d +-=
.
7. 关于点对称和关于某直线对称:
?关于点对称的两条直线一定是平行直线,且这个点到两直线的距离相等.
?关于某直线对称的两条直线性质:若两条直线平行,则对称直线也平行,且两直线到对称直线距离相等.
若两条直线不平行,则对称直线必过两条直线的交点,且对称直线为两直线夹角的角平分线.
?点关于某一条直线对称,用中点表示两对称点,则中点在对称直线上(方程①),过两对称点的直线方程与对称直线方程垂直(方程②)①②可解得所求对称点. 注:①曲线、直线关于一直线(b x y +±=)对称的解法:y 换x ,x 换y. 例:曲线f (x ,y )=0关于直线y =x –2对称曲线方程是f (y +2 ,x –2)=0.
②曲线C: f (x ,y )=0关于点(a ,b)的对称曲线方程是f (a – x , 2b – y )=0. 二、圆的方程.
1. ?曲线与方程:在直角坐标系中,如果某曲线C 上的 与一个二元方程0),(=y x f 的
实数建立了如下关系:
①曲线上的点的坐标都是这个方程的解.
②以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.
那么这个方程叫做曲线方程;这条曲线叫做方程的曲线(图形).
?曲线和方程的关系,实质上是曲线上任一点),(y x M 其坐标与方程0),(=y x f 的一种关系,曲线上任一点),(y x 是方程0),(=y x f 的解;反过来,满足方程0),(=y x f 的解所对应的点是曲线上的点.
注:如果曲线C 的方程是f(x ,y)=0,那么点P 0(x 0 ,y)线C 上的充要条件是f(x 0 ,y 0)=0 2. 圆的标准方程:以点),(b a C 为圆心,r 为半径的圆的标准方程是222)()(r b y a x =-+-. 特例:圆心在坐标原点,半径为r 的圆的方程是:222r y x =+.
注:特殊圆的方程:①与x 轴相切的圆方程222)()(b b y a x =±+- )],(),(,[b a b a b r -=或圆心 ②与y 轴相切的圆方程222)()(a b y a x =-+± )],(),(,[b a b a a r -=或圆心 ③与x 轴y 轴都相切的圆方程222)()(a a y a x =±+± )],(,[a a a r ±±=圆心 3. 圆的一般方程:022=++++F Ey Dx y x .
当042
2
F E D -+时,方程表示一个圆,其中圆心??? ??--2,2
E D C ,半径2
422F
E D r -+=
.
当0422=-+F E D 时,方程表示一个点??? ?
?--
2,2E D . 当0422 F E D -+时,方程无图形(称虚圆). 注:①圆的参数方程:??
?+=+=θ
θ
sin cos r b y r a x (θ为参数).
②方程022=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax 表示圆的充要条件是:0=B 且0≠=C A 且
0422 AF E D -+.
③圆的直径或方程:已知0))(())((),(),(21212211=--+--?y y y y x x x x y x B y x A (用向量可征). 4. 点和圆的位置关系:给定点),(00y x M 及圆222)()(:r b y a x C =-+-. ①M 在圆C 内2
2
02
0)()(r b y a x -+-?
②M 在圆C 上22020)()r b y a x =-+-?( ③M 在圆C 外22020)()(r b y a x -+-? 5. 直线和圆的位置关系:
设圆圆C :)0()()(222 r r b y a x =-+-; 直线l :)0(022≠+=++B A C By Ax ; 圆心),(b a C 到直线l 的距离2
2
B
A C Bb Aa d +++=.
①r d =时,l 与C 相切;
附:若两圆相切,则??????=++++=++++0
2222
211122F y E x D y x F y E x D y x 相减为公切线方程. ②r d 时,l 与C 相交; 附:公共弦方程:设
有两个交点,则其公共弦方程为0)()()(212121=-+-+-F F y E E x D D . ③r d 时,l 与C 相离.
附:若两圆相离,则??????=++++=++++0
2222
211122F y E x D y x F y E x D y x 相减为圆心21O O 的连线的中与线方程. 由代数特征判断:方程组????
?=++=-+-0
)()(222C Bx Ax r
b y a x 用代入法,得关于x (或y )的一元二次
方程,其判别式为?,则:
l ?=?0与C 相切; l ??0 与C 相交; l ??0 与C 相离.
注:若两圆为同心圆则011122=++++F y E x D y x ,022222=++++F y E x D y x 相减,不表示直线. 6. 圆的切线方程:圆222r y x =+的斜率为k 的切线方程是r k kx y 21+±=过圆
022=++++F Ey Dx y x
上一点),(00y x P 的切线方程为:02
20
000=++++++F y y E x x D
y y x x . ①一般方程若点(x 0 ,y 0)在圆上,则(x – a)(x 0 – a)+(y – b)(y 0 – b)=R 2
. 特别地,
:0:222222111221=++++=++++F y E x D y x C F y E x D y x C
▲asin αacos α,()bsin αbcos α()
,N y
x
N 的轨迹是椭圆
过圆222r y x =+上一点),(00y x P 的切线方程为2
00r y y x x =+.
②若点(x 0 ,y 0)不在圆上,圆心为(a,b)则?
?
?
??+---=-=-1)()(2110101R x a k y b R x x k y y ,联立求出?k 切线方程.
7. 求切点弦方程:方法是构造图,则切点弦方程即转化为公共弦方程. 如图:ABCD 四类共圆. 已知O Θ的方程022=++++F Ey Dx y x …① 又以ABCD 为圆为方程为
2))(())((k b x y y a x x x A A =--+--…②
4
)
()(2
22b y a x R A A -+-=
…③,所以BC 的方程即③代②,①②相切即为所求.
高考复习科目:数学 高中数学总复习(八) 复习内容:高中数学第八章-圆锥曲线方程 复习范围:第八章
I. 基础知识要点
一、椭圆方程.
1. 椭圆方程的第一定义:
为端点的线段
以无轨迹方程为椭圆21212121212121,2,
2,2F F F F a PF PF F F a PF PF F F a PF PF ==+=+=+
?①椭圆的标准方程:
i. 中心在原点,焦点在x 轴上:)0(12
2
22 b a b
y a
x =+. ii. 中心在原点,焦点在
y 轴上:
)0(12
22
2 b a b
x a
y =+
.
②一般方程:)0,0(122 B A By Ax =+.③椭圆的标准参数方程:
12
22
2=+
b
y a
x 的参数方程为
??
?==θ
θsin cos b y a x (一象限θ应是属于2
0πθ
). ?①顶点:),0)(0,(b a ±±或)0,)(,0(b a ±±.②轴:对称轴:x 轴,y 轴;长轴长a 2,短轴长b 2.③焦点:)0,)(0,(c c -或),0)(,0(c c -.④焦距:2
2
21,2b a c c F F -==.⑤准线:
c
a x 2
±
=或
c
a y 2±
=.⑥离心率:)10( e a
c e =.⑦焦点半径:
i. 设),(00y x P 为椭圆
)0(12
22
2 b a b
y a
x =+
上的一点,21,F F 为左、右焦点,则
由椭圆方程的第二定义可以推出.
ii.设),(00y x P 为椭圆
)0(12
22
2 b a a
y b
x =+
上的一点,21,F F 为上、下焦点,则
由椭圆方程的第二定义可以推出.
由椭圆第二定
义可知:
)0()(),0()(0002
200201 x a ex x c
a e pF x ex a c a x e pF -=-=+=+
=归结起来为“左
加右减”.
注意:椭圆参数方程的推导:得→)sin ,cos (θθb a N 方程的轨迹为椭圆.
⑧通径:垂直于x 轴且过焦点的弦叫做通经.坐标:),(222
2a b c a b d -=和),(2a
b c
?共离心率的椭圆系的方程:椭圆)0(12
22
2 b a b y a x =+的离心率是)(22b a c a
c
e -==
,方程
t t b y a x (2
22
2=+是大于
0的参数,)0 b a 的离心率也是a
c e = 我们称此方程为共离心率
的椭圆系方程. ?若P 是椭圆:
12
22
2=+
b
y a
x 上的点.21,F F 为焦点,若θ=∠21PF F ,则21F PF ?的面积为
2
tan
2θb (用余弦定理与a PF PF 221=+可得). 若是双曲线,则面积为2
cot 2θ?b .
二、双曲线方程.
1. 双曲线的第一定义:
的一个端点的一条射线
以无轨迹
方程为双曲线21212121212121,222F F F F a PF PF F F a PF PF F F a PF PF ==-=-=-
?①双曲线标准方程:
)
0,(1),
0,(12
22
22
22
2 b a b x a y b a b y a x =-
=-
. 一般方程:
)0(122 AC Cy Ax =+.
?①i. 焦点在x 轴上:
顶点:)0,(),0,(a a - 焦点:)0,(),0,(c c - 准线方程
c
a x 2
±
= 渐近线方程:0=±b
y a x 或
02
22
2=-
b y a x
?-=+=0201,ex a PF ex a PF ?-=+=0201,ey a PF ey a PF
▲
y x
M'
M
F 1
F 2
▲
y
x
M'
M
F 1
F 2
ii. 焦点在y 轴上:顶点:),0(),,0(a a -. 焦点:),0(),,0(c c -. 准线方程:c a y 2
±
=. 渐
近线方程:0=±b x
a y 或02222=-
b x a y ,参数方程:???==θθtan se
c b y a x 或?
??==θθsec tan a y b x .
②轴y x ,为对称轴,实轴长为2a , 虚轴长为2b ,焦距2c. ③离心率a
c e =. ④准线
距
c
a 2
2(两准线的距离);通径
a
b 2
2. ⑤参数关系a
c e b a c =+=,222. ⑥焦点半径公式:
对于双曲线方程
12
22
2=-
b
y a
x (21,F F 分别为双曲线的
左、右焦点或分别为双曲线的上下焦点) “长加短减”原则:
a ex MF a ex MF -=+=0201 构成满足
a MF MF 221=-
a
ex F M a ex F M +-='--='0201(与椭圆焦半径不同,椭圆焦半径要带符号计算,而双曲线不带符号)
a
ey F M a
ey F M a
ey MF a ey MF -'
-='+'
-='+=-=02010201 ?等轴双曲线:双曲线222a y x ±=-称为等轴双曲线,其渐近线方程为x y ±=,离心率
2=e .
?共轭双曲线:以已知双曲线的虚轴为实轴,实轴为虚轴的双曲线,叫做已知双曲线
的共轭双曲线.λ=-22
22b y a x 与λ-=-2222b
y a x 互为共轭双曲线,它们具有共同的渐近线:
02
22
2=-b y a x .
?共渐近线的双曲线系方程:
)0(2
22
2
≠=-
λλb
y a
x 的渐近线方程为
02
22
2=-
b
y a
x 如果双曲线的
渐近线为0=±b y
a x 时,它的双曲线方程可设为)0(2222≠=-λλb
y a x .
例如:若双曲线一条渐近线为x y 21=且过)2
1,3(-p ,求双曲线的方程?
解:令双曲线的方程为:)0(42
2≠=-λλy x ,代入)2
1,3(-得12822=-y x .
?直线与双曲线的位置关系:
区域①:无切线,2条与渐近线平行的直线,合计2条;
区域②:即定点在双曲线上,1条切线,2条与渐近线平行的直线,合计3条; 区域③:2条切线,2条与渐近线平行的直线,合计4条;
区域④:即定点在渐近线上且非原点,1条切线,1条与渐近线平行的直线,合计2条; 区域⑤:即过原点,无切线,无与渐近线平行的直线. 小结:过定点作直线与双曲线有且仅有一个交点,可以作出的直线数目可能有0、2、3、4条.
(2)若直线与双曲线一支有交点,交点为二个时,求确定直线的斜率可用代入”“?法与渐近线求交和两根之和与两根之积同号.
?若P 在双曲线
12
22
2=-
b y a x ,则常用结论1:P 到焦点的距离为m = n ,则P 到两准线的
距离比为m ︰n.
简证:
e
PF e PF d d 2
1
21= = n m . 常用结论2:从双曲线一个焦点到另一条渐近线的距离等于b.
三、抛物线方程.
3. 设0 p ,抛物线的标准方程、类型及其几何性质: px y 22=
px y 22-=
py x 22=
py x 22-=
图形
▲
y
x
O
▲
y
x
O
▲
y x
O
▲
y
x
O
焦点 )0,2(p
F )0,2
(p
F - )2,0(p F
)2
,0(p F - 准线
2
p x -= 2
p x =
2
p y -
= 2
p y =
范围
R y x ∈≥,0
R y x ∈≤,0 0,≥∈y R x 0,≤∈y R x
对称轴
x 轴
y 轴
顶点
(0,0)
▲
y
离心率 1=e
焦点
12
x p
PF +=
12
x p
PF +=
12
y p
PF +=
12
y p
PF +=
注:①x c by ay =++2
顶点)244(2a
b
a b ac --.
②)0(22≠=p px y 则焦点半径2
P
x PF
+
=;)0(22≠=p py x 则焦点半径为2
P y PF
+
=.
③通径为2p ,这是过焦点的所有弦中最短的.
④px y 22
=(或py x 22
=)的参数方程为??
?==pt
y pt x 222
(或???==2
22pt
y pt x )(t 为参数).
四、圆锥曲线的统一定义..
4. 圆锥曲线的统一定义:平面内到定点F 和定直线l 的距离之比为常数e 的点的轨迹. 当10 e 时,轨迹为椭圆; 当1=e 时,轨迹为抛物线; 当1 e 时,轨迹为双曲线;
当0=e 时,轨迹为圆(a
c e =,当b a c ==,0时).
5. 圆锥曲线方程具有对称性. 例如:椭圆的标准方程对原点的一条直线与双曲线的交点是关于原点对称的.
因为具有对称性,所以欲证AB=CD, 即证AD 与BC 的中点重合即可. 高考复习科目:数学 高中数学总复习(九) 复习内容:高中数学第九章-立体几何 复习范围:第九章
I. 基础知识要点 一、 平面.
1. 经过不在同一条直线上的三点确定一个面.
注:两两相交且不过同一点的四条直线必在同一平面内.
2. 两个平面可将平面分成3或4部分.(①两个平面平行,②两个平面相交)
3. 过三条互相平行的直线可以确定1或3个平面.(①三条直线在一个平面内平行,②三条直线不在一个平面内平行)
[注]:三条直线可以确定三个平面,三条直线的公共点有0或1个. 4. 三个平面最多可把空间分成 8 部分.(X 、Y 、Z 三个方向) 二、 空间直线.
1. 空间直线位置分三种:相交、平行、异面. 相交直线—共面有反且有一个公共点;平行直线—共面没有公共点;异面直线—不同在任一平面内
[注]:①两条异面直线在同一平面内射影一定是相交的两条直线.(×)(可能两条直线平行,也可能是点和直线等)
②直线在平面外,指的位置关系:平行或相交
③若直线a 、b 异面,a 平行于平面α,b 与α的关系是相交、平行、在平面α内.
④两条平行线在同一平面内的射影图形是一条直线或两条平行线或两点. ⑤在平面内射影是直线的图形一定是直线.(×)(射影不一定只有直线,也可以是其他图形)
⑥在同一平面内的射影长相等,则斜线长相等.(×)(并非是从平面外一点..向这个平面所引的垂线段和斜线段)
⑦b a ,是夹在两平行平面间的线段,若b a =,则b a ,的位置关系为相交或平行或异面.
2. 异面直线判定定理:过平面外一点与平面内一点的直线和平面内不经过该点的直线是异面直线.(不在任何一个平面内的两条直线)
3. 平行公理:平行于同一条直线的两条直线互相平行.
4. 等角定理:如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同,那么这两个角相等(如下图).
(二面角的取值范围
[) 180,0∈θ)
(直线与直线所成角(] 90,0∈θ)
(斜线与平面成角() 90,0∈θ) (直线与平面所成角
[] 90,0∈θ)
(向量与向量所成角
])180,0[ ∈θ
推论:如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两组直线所成锐角(或直角)相等.
5. 两异面直线的距离:公垂线的长度.
空间两条直线垂直的情况:相交(共面)垂直和异面垂直. 21,l l 是异面直线,
则过21,l l 外一点P ,过点P 且与21,l l 都平行平面有一个或没有,但与2
1,l l 距离相等的点在同一平面内. (1L 或2L 在这个做出的平面内不能叫1L 与2L 平行的平面)
三、 直线与平面平行、直线与平面垂直.
1. 空间直线与平面位置分三种:相交、平行、在平面内.
2. 直线与平面平行判定定理:如果平面外一条直线和这个平面内一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行.(“线线平行,线面平行”)
1
2
方向相同
1
2
方向不相同
P
αβθ
M A
B O
[注]:①直线a 与平面α内一条直线平行,则a ∥α. (×)(平面外一条直线) ②直线a 与平面α内一条直线相交,则a 与平面α相交. (×)(平面外一条直线) ③若直线a 与平面α平行,则α内必存在无数条直线与a 平行. (√)(不是任意一条直线,可利用平行的传递性证之)
④两条平行线中一条平行于一个平面,那么另一条也平行于这个平面. (×)(可能在此平面内)
⑤平行于同一直线的两个平面平行.(×)(两个平面可能相交) ⑥平行于同一个平面的两直线平行.(×)(两直线可能相交或者异面) ⑦直线l 与平面α、β所成角相等,则α∥β.(×)(α、β可能相交)
3. 直线和平面平行性质定理:如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行.(“线面平行,线线平行”)
4. 直线与平面垂直是指直线与平面任何一条直线垂直,过一点有且只有一条直线和一个平面垂直,过一点有且只有一个平面和一条直线垂直. ● 若PA
⊥α,a ⊥AO ,得a ⊥PO (三垂线定理), 得不出α⊥PO . 因为a ⊥PO ,但PO 不垂直OA . ● 三垂线定理的逆定理亦成立.
直线与平面垂直的判定定理一:如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这两条直线垂直于这个平面.(“线线垂直,线面垂直”)
直线与平面垂直的判定定理二:如果平行线中一条直线垂直于一个平面,那么另一条也垂直于这个平面.
推论:如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行. [注]:①垂直于同一平面....的两个平面平行.(×)(可能相交,垂直于同一条直线.....
的两个平面平行)
②垂直于同一直线的两个平面平行.(√)(一条直线垂直于平行的一个平面,必垂直于另一个平面)
③垂直于同一平面的两条直线平行.(√) 5. ?垂线段和斜线段长定理:从平面外一点..向这个平面所引的垂线段和斜线段中,①射影相等的两条斜线段相等,射影较长的斜线段较长;②相等的斜线段的射影相等,较长的斜线段射影较长;③垂线段比任何一条斜线段短.
[注]:垂线在平面的射影为一个点. [一条直线在平面内的射影是一条直线.(×)] ?射影定理推论:如果一个角所在平面外一点到角的两边的距离相等,那么这点在平面内的射影在这个角的平分线上 四、 平面平行与平面垂直.
1. 空间两个平面的位置关系:相交、平行.
2. 平面平行判定定理:如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,哪么这两个平面平行.(“线面平行,面面平行”)
推论:垂直于同一条直线的两个平面互相平行;平行于同一平面的两个平面平行.
[注]:一平面间的任一直线平行于另一平面.
3. 两个平面平行的性质定理:如果两个平面平行同时和第三个平面相交,那么它们交线平行.(“面面平行,线线平行”)
4. 两个平面垂直性质判定一:两个平面所成的二面角是直二面角,则两个平面垂直. 两个平面垂直性质判定二:如果一个平面与一条直线垂直,那么经过这条直线的平面垂直于这个平面.(“线面垂直,面面垂直”)
注:如果两个二面角的平面对应平面互相垂直,则两个二面角没有什么关系. 5. 两个平面垂直性质定理:如果两个平面垂直,那么在一个平面内垂
直于它们交线的直线也垂直于另一个平面.
推论:如果两个相交平面都垂直于第三平面,则它们交线垂直于第三
平面.
证明:如图,找O 作OA 、OB 分别垂直于21,l l , 因为ααββ⊥?⊥?OB PM OA PM ,,,则OB PM OA PM ⊥⊥,.
6. 两异面直线任意两点间的距离公式:θcos 2222mn d n m l +++=(θ为锐角取加,θ为
钝取减,综上,都取加则必有??
?
?
?∈2,0πθ)
7. ?最小角定理:21cos cos cos θθθ=(1θ为最小角,如图)
?最小角定理的应用(∠PBN 为最小角)
简记为:成角比交线夹角一半大,且又比交线夹角补角一半长,一定有4条.
成角比交线夹角一半大,又比交线夹角补角小,一定有2条.
成角比交线夹角一半大,又与交线夹角相等,一定有3条或者2条. 成角比交线夹角一半小,又与交线夹角一半小,一定有1条或者没有. 五、 棱锥、棱柱. 1. 棱柱.
?①直棱柱侧面积:Ch S =(C 为底面周长,h 是高)该公式是利用直棱柱的侧面展开图为矩形得出的.
②斜棱住侧面积:l C S 1=(1C 是斜棱柱直截面周长,l 是斜棱柱的侧棱长)该公式是利用斜棱柱的侧面展开图为平行四边形得出的.
?{四棱柱}?{平行六面体}?{直平行六面体}?{长方体}?{正四棱柱}?{正方体}.
{直四棱柱}?{平行六面体}={直平行六面体}.
四棱柱
平行六面体
直平行六面体
长方体
正四棱柱
正方体
底面是平行四边形
侧棱垂直底面
底面是矩形
底面是正方形
侧面与
底面边长相等
?棱柱具有的性质:
P
O
A
a
图1
θ
θ
1θ2
图2
①棱柱的各个侧面都是平行四边形,所有的侧棱都相等;直棱柱的各个侧面都是矩形........;正棱柱的各个侧面都是全等的矩形...... ②棱柱的两个底面与平行于底面的截面是对应边互相平行的全等..多边形. ③过棱柱不相邻的两条侧棱的截面都是平行四边形.
注:①棱柱有一个侧面和底面的一条边垂直可推测是直棱柱. (×) (直棱柱不能保证底面是钜形可如图)
②(直棱柱定义)棱柱有一条侧棱和底面垂直. ?平行六面体:
定理一:平行六面体的对角线交于一点.............,并且在交点处互相平分. [注]:四棱柱的对角线不一定相交于一点.
定理二:长方体的一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱长的平方和.
推论一:长方体一条对角线与同一个顶点的三条棱所成的角为γβα,,,则
1c o s c o s c o s 222=++γβα.
推论二:长方体一条对角线与同一个顶点的三各侧面所成的角为γβα,,,则
2c o s c o s c o s 222=++γβα.
[注]:①有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱.(×)(斜四面体的两个平行的平面可以为矩形)
②各侧面都是正方形的棱柱一定是正棱柱.(×)(应是各侧面都是正方形的直.棱柱才行)
③对角面都是全等的矩形的直四棱柱一定是长方体.(×)(只能推出对角线相等,推不出底面为矩形)
④棱柱成为直棱柱的一个必要不充分条件是棱柱有一条侧棱与底面的两条边垂直. (两条边可能相交,可能不相交,若两条边相交,则应是充要条件) 2. 棱锥:棱锥是一个面为多边形,其余各面是有一个公共顶点的三角形. [注]:①一个棱锥可以四各面都为直角三角形.
②一个棱柱可以分成等体积的三个三棱锥;所以棱柱棱柱3V Sh V ==.
?①正棱锥定义:底面是正多边形;顶点在底面的射影为底面的中心.
[注]:i. 正四棱锥的各个侧面都是全等的等腰三角形.(不是等边三角形) ii. 正四面体是各棱相等,而正三棱锥是底面为正△侧棱与底棱不一定相等
iii. 正棱锥定义的推论:若一个棱锥的各个侧面都是全等的等腰三角形(即侧棱相等);底面为正多边形.
②正棱锥的侧面积:'Ch 2
1
S =(底面周长为C ,斜高为'h )
③棱锥的侧面积与底面积的射影公式:α
cos 底侧S S =
(侧面与底面成的二面角为α)
附: 以知c ⊥l ,b a =?αcos ,α为二面角b l a --. 则l a S ?=2
1
1①,b l S ?=2
1
2②,b a =?αcos ③ ?①②③得
α
cos 底侧S S =
.
注:S 为任意多边形的面积(可分别多个三角形的方法). ?棱锥具有的性质:
①正棱锥各侧棱相等,各侧面都是全等的等腰三角形,各等腰三角形底边上的高相等(它叫做正棱锥的斜高).
②正棱锥的高、斜高和斜高在底面内的射影组成一个直角三角形,正棱锥的高、侧棱、侧棱在底面内的射影也组成一个直角三角形. ?特殊棱锥的顶点在底面的射影位置:
①棱锥的侧棱长均相等,则顶点在底面上的射影为底面多边形的外心.
②棱锥的侧棱与底面所成的角均相等,则顶点在底面上的射影为底面多边形的外心. ③棱锥的各侧面与底面所成角均相等,则顶点在底面上的射影为底面多边形内心. ④棱锥的顶点到底面各边距离相等,则顶点在底面上的射影为底面多边形内心. ⑤三棱锥有两组对棱垂直,则顶点在底面的射影为三角形垂心.
⑥三棱锥的三条侧棱两两垂直,则顶点在底面上的射影为三角形的垂心.
⑦每个四面体都有外接球,球心0是各条棱的中垂面的交点,此点到各顶点的距离等于球半径;
⑧每个四面体都有内切球,球心I 是四面体各个二面角的平分面的交点,到各面的距离等于半径.
[注]:i. 各个侧面都是等腰三角形,且底面是正方形的棱锥是正四棱锥.(×)(各个侧面的等腰三角形不知是否全等)
ii. 若一个三角锥,两条对角线互相垂直,则第三对角线必然垂直.
简证:AB ⊥CD ,AC ⊥BD ? BC ⊥AD. 令b AC c AD a AB ===,,
得c a c b AD BC c AD a b AB AC BC -=??=-=-=,,已知()()0,0=-?=-?c a b b c a
0=-?c b c a 则0=?AD BC .
iii. 空间四边形OABC 且四边长相等,则顺次连结各边的中点的四边形一定是矩形.
iv. 若是四边长与对角线分别相等,则顺次连结各边的中点的四边是一定是正方形.
简证:取AC 中点'O ,则⊥?⊥'⊥'AC AC O B AC o o ,平面=∠?⊥?'FGH BO AC B O O 90°易知EFGH 为平行四边形?EFGH 为长方形.若对角线等,则EFGH FG EF ?=为正方形. 3. 球:?球的截面是一个圆面.
l a
b c
B
C
D
A a
b
c
F
E
H G
B
C
D
A
O'
①球的表面积公式:24R S π=.
②球的体积公式:33
4
R V π=.
?纬度、经度:
①纬度:地球上一点P 的纬度是指经过P 点的球半径与赤道面所成的角的度数. ②经度:地球上B A ,两点的经度差,是指分别经过这两点的经线与地轴所确定的二个半平面的二面角的度数,特别地,当经过点A 的经线是本初子午线时,这个二面角的度数就是B 点的经度.
附:①圆柱体积:h r V 2π=(r 为半径,h 为高) ②圆锥体积:h r V 23
1
π=(r 为半径,h 为高) ③锥形体积:Sh V 3
1=(S 为底面积,h 为高) 4. ①内切球:当四面体为正四面体时,设边长为a ,a h 36
=,243a S =
底,24
3a S =侧 得
a a a R R a R a a a 4
6
342334/424331433643222=?==???+?=?. 注:球内切于四面体:h S R S 3
13R S 31
V 底底侧A CD B ?=?+???=-
②外接球:球外接于正四面体,可如图建立关系式. 六. 空间向量.
1. (1)共线向量:共线向量亦称平行向量,指空间向量的有向线段所在直线互相平行或重合.
注:①若a 与b 共线,b 与c 共线,则a 与c 共线.(×) [当0=b 时,不成立] ②向量c b a ,,共面即它们所在直线共面.(×) [可能异面]
③若a ∥b ,则存在小任一实数λ,使b a λ=.(×)[与0=b 不成立]
④若a 为非零向量,则00=?a .(√)[这里用到)0(≠b b λ之积仍为向量]
(2)共线向量定理:对空间任意两个向量)0(,≠b b a ,a ∥b 的充要条件是存在实数λ(具
有唯一性),使b a λ=.
(3)共面向量:若向量a 使之平行于平面α或a 在α内,则a 与α的关系是平行,记作
a ∥α.
(4)①共面向量定理:如果两个向量b a ,不共线,则向量P 与向量b a ,共面的充要条件是存在实数对x 、y 使b y a x P +=.
②空间任一点...O .和不共线三点......A .、.B .、.C .,则)1(=++++=z y x OC z OB y OA x OP 是PABC 四点共面的充要条件.(简证:→+==++--=AC z AB y AP OC z OB y OA z y OP )1(P 、A 、B 、C 四点共面)
注:①②是证明四点共面的常用方法.
2. 空间向量基本定理:如果三个向量....c b a ,,不共面...,那么对空间任一向量P ,存在一个唯一的有序实数组x 、y 、z ,使c z b y a x p ++=.
推论:设O 、A 、B 、C 是不共面的四点,则对空间任一点P , 都存在唯一的有序实数组
x 、y 、z 使 OC z OB y OA x OP ++=(这里隐含x+y+z≠1).
注:设四面体ABCD 的三条棱,,,,d AD c AC b AB ===其
中Q 是△BCD 的重心,则向量)(3
1c b a AQ ++=用MQ AM AQ +=即证.
3. (1)空间向量的坐标:空间直角坐标系的x 轴是横轴(对应为横坐标),y 轴是纵轴(对应为纵轴),z 轴是竖轴(对应为竖坐标). ①令a =(a 1,a 2,a 3),),,(321b b b b =,则
)
,,(332211b a b a b a b a ±±±=+)
)(,,(321R a a a a ∈=λλλλλ3
32211b a b a b a b a ++=?
a ∥)(,,332211R
b a b a b a b ∈===?λλλλ3
3
2211b a b a b a ==?
0332211=++?⊥b a b a b a b a
2
223
21a a a a a a ++=?=(用到常用的向量模与向量之间的转化:a a a a a a ?=??=2)
23
222123
222
13
32211|
|||,cos b b b a a a b a b a b a b a b
a b a ++?
++++=
??>=<
②空间两点的距离公式:212212212)()()(z z y y x x d -+-+-=.
A
D
C
M
B
G
O
r
O
R
(2)法向量:若向量a 所在直线垂直于平面α,则称这个向量垂直于平面α,记作α⊥a ,如果α⊥a 那么向量a 叫做平面α的法向量.
(3)用向量的常用方法:
①利用法向量求点到面的距离定理:如图,设n 是平面α的法向量,AB 是平面α的一条射线,其中α∈A ,则点B 到平面α的距离为
|
|||n n AB ?.
②利用法向量求二面角的平面角定理:设21,n n 分别是二面角βα--l 中平面βα,的法向量,则21,n n 所成的角就是所求二面角的平面角或其补角大小(21,n n 方向相同,则为补角,21,n n 反方,则为其夹角).
③证直线和平面平行定理:已知直线≠?a 平面α,α∈?∈?D C a B A ,,且CDE 三点不共线,则a ∥α的充要条件是存在有序实数对μλ?使CE CD AB μλ+=.(常设CE CD AB μλ+=求解
μλ,若μλ,存在即证毕,若μλ,不存在,则直线AB 与平面相交).
α
▲
n
B
C
A
α
β
▲
n 2
n 1
α
C
E
D A
B
II. 竞赛知识要点
一、四面体.
1. 对照平面几何中的三角形,我们不难得到立体几何中的四面体的类似性质: ①四面体的六条棱的垂直平分面交于一点,这一点叫做此四面体的外接球的球心; ②四面体的四个面组成六个二面角的角平分面交于一点,这一点叫做此四面体的内接球的球心;
③四面体的四个面的重心与相对顶点的连接交于一点,这一点叫做此四面体的重心,且重心将每条连线分为3︰1;
④12个面角之和为720°,每个三面角中任两个之和大于另一个面角,且三个面角之和为180°.
2. 直角四面体:有一个三面角的三个面角均为直角的四面体称为直角四面体,相当于平面几何的直角三角形. (在直角四面体中,记V 、l 、S 、R 、r 、h 分别表示其体积、六条棱长之和、表面积、外接球半径、内切球半径及侧面上的高),则有空间勾股定理:
S 2△ABC +S 2△BCD +S 2△ABD =S 2△ACD. 3. 等腰四面体:对棱都相等的四面体称为等腰四面体,好象平面几何中的等腰三角形.根据定义不难证明以长方体的一个顶点的三条面对角线的端点为顶点的四面体是等腰四面体,反之也可以将一个等腰四面体拼补成一个长方体.
(在等腰四面体ABCD 中,记BC = AD =a ,AC = BD = b ,AB = CD = c ,体积为V ,外接球半径为R ,内接球半径为r ,高为h ),则有 ①等腰四面体的体积可表示为2
2231
2
22222222c b a b a c a c b V -+?
-+?-+=;
②等腰四面体的外接球半径可表示为2
2
2
4
2
c b a R ++=
;
③等腰四面体的四条顶点和对面重心的连线段的长相等,且可表示为
2223
2c b a m ++=
;
④h = 4r.
二、空间正余弦定理. 空间正弦定理:
sin∠ABD/sin∠A -BC-D=sin∠ABC/sin∠A -BD-C=sin∠CBD/sin∠C -BA-D
空间余弦定理:cos∠ABD=cos∠ABCcos∠CBD+sin∠ABCsin∠CBDcos∠A -BC-D
高考复习科目:数学 高中数学总复习(九) 复习内容:高中数学第十章-排列组合 复习范围:第十章 一、两个原理.
1. 乘法原理、加法原理.
2. 可.以有..重复..元素..
的排列. 从m 个不同元素中,每次取出n 个元素,元素可以重复出现,按照一定的顺序排成一
排,那么第一、第二……第n 位上选取元素的方法都是m 个,所以从m 个不同元素中,每次取出n 个元素可重复排列数m·m·… m = m n .. 例如:n 件物品放入m 个抽屉中,不限放法,共有多少种不同放法? (解:n m 种)
二、排列.
1. ?对排列定义的理解.
定义:从n 个不同的元素中任取m(m ≤n )个元素,按照一定顺序......排成一列,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列. ?相同排列.
如果;两个排列相同,不仅这两个排列的元素必须完全相同,而且排列的顺序也必须完全相同. ?排列数.
O
A
B C
D
从n 个不同元素中取出m (m≤n )个元素排成一列,称为从n 个不同元素中取出m 个元
素的一个排列. 从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列数,用符号m
n A 表示.
?排列数公式:
),,()!
(!
)1()1(N m n n m m n n m n n n A m ∈≤-=
+--= 注意:!)!1(!n n n n -+=? 规定0! = 1
111--++=?+=m n m n m n m m m n m n mA A C A A A 11
--=m n m n nA A 规定10
==n n n C C 2. 含有可重元素......
的排列问题. 对含有相同元素求排列个数的方法是:设重集S 有k 个不同元素a 1,a 2,…...a n 其中限重复数为n 1、n 2……n k ,且n = n 1+n 2+……n k , 则S 的排列个数等于!
!...!!
21k n n n n n =
. 例如:已知数字3、2、2,求其排列个数3!
2!1)!21(=+=n 又例如:数字5、5、5、求其排列
个数?其排列个数1!
3!3==n .
三、组合.
1. ?组合:从n 个不同的元素中任取m (m≤n )个元素并成一组,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合.
?组合数公式:)!
(!!!)1()1(m n m n C m m n n n A A C m n
m
m
m
n
m
n -=
+--==
?两个公式:①;m n n m n C C -= ②m
n m n m n C C C 11+-=+
①从n 个不同元素中取出m 个元素后就剩下n-m 个元素,因此从n 个不同元素中取出 n-m 个元素的方法是一一对应的,因此是一样多的就是说从n 个不同元素中取出n-m 个元素的唯一的一个组合.
(或者从n+1个编号不同的小球中,n 个白球一个红球,任取m 个不同小球其不同选法,
分二类,一类是含红球选法有1m n 111m n C C C --=?一类是不含红球的选法有m n C )
②根据组合定义与加法原理得;在确定n+1个不同元素中取m 个元素方法时,对于某
一元素,只存在取与不取两种可能,如果取这一元素,则需从剩下的n 个元素中再取
m-1个元素,所以有C 1
-m n ,如果不取这一元素,则需从剩余n 个元素中取出m 个元素,
所以共有C m n 种,依分类原理有m
n m n m n C C C 11+-=+.
?排列与组合的联系与区别.
联系:都是从n 个不同元素中取出m 个元素.
区别:前者是“排成一排”,后者是“并成一组”,前者有顺序关系,后者无顺序关系.
?①几个常用组合数公式 n n n n n n C C C 2
210=+++ 1
1
11
11
2115314201
1112++--++++++-+=+==++=+++=+++k n k n k n k
n m n m m n m m m m m m n n n n n n n n C n C k nC
kC C C C C C C C C C C C
②常用的证明组合等式方法例. i. 裂项求和法. 如:
)!1(11)!1(!43!32!21+-=++++n n n (利用!
1
)!1(1!1n n n n --=-)
ii. 导数法. iii. 数学归纳法. iv. 倒序求和法.
v. 递推法(即用m n m n m n C C C 11+-=+递推)如:4
13353433+=+++n n C C C C C .
vi. 构造二项式. 如:n n
n n n n C C C C 222120)()()(=+++ 证明:这里构造二项式n n n x x x 2)1()1()1(+=++其中n x 的系数,左边为
2
2120022110)
()()(n n n n n n n n n n n n n n n n C C C C C C C C C C C +++=?++?+?+?-- ,而右边n
n C 2= 四、排列、组合综合.
1. I. 排列、组合问题几大解题方法及题型: ①直接法. ②排除法.
③捆绑法:在特定要求的条件下,将几个相关元素当作一个元素来考虑,待整体排好之后再考虑它们“局部”的排列.它主要用于解决“元素相邻问题”,例如,一般地,
n 个不同元素排成一列,要求其中某)(n m m ≤个元素必相邻的排列有m
m m n m n A A ?+-+-11个.其中11+-+-m n m n A 是一个“整体排列”,而m m A 则是“局部排列”.
又例如①有n 个不同座位,A 、B 两个不能相邻,则有排列法种数为-
2n A 2
2
11A A n ?-. ②有n 件不同商品,若其中A 、B 排在一起有22
11A A n
n ?--. ③有n 件不同商品,若其中有二件要排在一起有1
1
2--?n n n A A . 注:①③区别在于①是确定的座位,有22A 种;而③的商品地位相同,是从n 件不同商
品任取的2个,有不确定性.
④插空法:先把一般元素排列好,然后把待定元素插排在它们之间或两端的空档中,此法主要解决“元素不相邻问题”.
例如:n 个元素全排列,其中m 个元素互不相邻,不同的排法种数为多少?m
m n m n m n A A 1
+---?(插空法),当n – m+1≥m, 即m≤2
1+n 时有意义.
⑤占位法:从元素的特殊性上讲,对问题中的特殊元素应优先排列,然后再排其他一
般元素;从位置的特殊性上讲,对问题中的特殊位置应优先考虑,然后再排其他剩余位置.即采用“先特殊后一般”的解题原则.
⑥调序法:当某些元素次序一定时,可用此法.解题方法是:先将n 个元素进行全排列
有n n A 种,)(n m m 个元素的全排列有m
m A 种,由于要求m 个元素次序一定,因此只能取
其中的某一种排法,可以利用除法起到去调序的作用,即若n 个元素排成一列,其中m 个元素次序一定,共有
m m
n n A A 种排列方法.
例如:n 个元素全排列,其中m 个元素顺序不变,共有多少种不同的排法?
解法一:(逐步插空法)(m+1)(m+2)…n = n!/ m !;解法二:(比例分配法)m
m n n A A /.
⑦平均法:若把kn 个不同元素平均分成k 组,每组n 个,共有
k k
n
n
n n k n kn A C C C )1(-?.
例如:从1,2,3,4中任取2个元素将其平均分成2组有几种分法?有3!
22
4=C (平均
分组就用不着管组与组之间的顺序问题了)又例如将200名运动员平均分成两组,其
中两名种子选手必在一组的概率是多少? (!
2/10
20
22
818C
C C P =
)
注意:分组与插空综合. 例如:n 个元素全排列,其中某m 个元素互不相邻且顺序不变,
共有多少种排法?有m m
m m n m n m n A A A /1+---?,当n – m+1 ≥m, 即m≤2
1+n 时有意义. ⑧隔板法:常用于解正整数解组数的问题.
例如:124321=+++x x x x 的正整数解的组数就可建立组合模型将12个完全相同的球排成一列,在它们之间形成11个空隙中任选三个插入3块摸板,把球分成4个组.每一种方法所得球的数目依次为4321,,,x x x x 显然124321=+++x x x x ,故(4321,,,x x x x )是方程的一组
解.反之,方程的任何一组解),,,(4321y y y y ,对应着惟一的一种在12个球之间插入隔板的方式(如图所示)故方程的解和插板的方法一一对应. 即方程的解的组数等于插隔
板的方法数3
11C .
注意:若为非负数解的x 个数,即用
n
a a a ,...,21中i a 等于
1
+i x ,有
A a a a A x x x x n n =-+-+-?=+++1...11...21321,进而转化为求
a 的正整数解的个数为1
-+n n A C .
⑨定位问题:从n 个不同元素中每次取出k 个不同元素作排列规定某r 个元素都包含
在内,并且都排在某r 个指定位置则有r
k r n r r A A --.
例如:从n 个不同元素中,每次取出m 个元素的排列,其中某个元素必须固定在(或不固定在)某一位置上,共有多少种排法?
固定在某一位置上:11
--m n A ;不在某一位置上:11---m n m n A A 或11111----?+m n m m n A A A (一类是不取出特殊元素a ,有m n A 1-,一类是取特殊元素a ,有从m-1个位置取一个位置,然后再从n-1个元素中取m-1,这与用插空法解决是一样的)
⑩指定元素排列组合问题.
i. 从n 个不同元素中每次取出k 个不同的元素作排列(或组合),规定某r 个元素都
包含在内 。先C 后A 策略,排列k k r k r n r r A C C --;组合r k r n r r C C --.
ii. 从n 个不同元素中每次取出k 个不同元素作排列(或组合),规定某r 个元素都不
包含在内。先C 后A 策略,排列k k k r n A C -;组合k r n C -.
iii 从n 个不同元素中每次取出k 个不同元素作排列(或组合),规定每个排列(或组
合)都只包含某r 个元素中的s 个元素。先C 后A 策略,排列k k s k r n s r A C C --;组合s
k r n s r C C --.
II. 排列组合常见解题策略:
①特殊元素优先安排策略;②合理分类与准确分步策略;③排列、组合混合问题先选后排的策略(处理排列组合综合性问题一般是先选元素,后排列);④正难则反,等价转化策略;⑤相邻问题插空处理策略;
⑥不相邻问题插空处理策略;⑦定序问题除法处理策略;⑧分排问题直排处理的策略;⑨“小集团”排列问题中先整体后局部的策略;⑩构造模型的策略. 2. 组合问题中分组问题和分配问题.
①均匀不编号分组:将n 个不同元素分成不编号的m 组,假定其中r 组元素个数相等,不管是否分尽,其分法种数为r r
A A /(其中A 为非均匀不编号分组中分法数).
如果再有x x x x
整理全面《高中数学知识点归纳总结》
教师版高中数学必修+选修知识点归纳 引言 1.课程内容: 必修课程由5个模块组成: 必修1:集合、函数概念与基本初等函数(指、对、幂函数) 必修2:立体几何初步、平面解析几何初步。必修3:算法初步、统计、概率。 必修4:基本初等函数(三角函数)、平面向量、三角恒等变换。 必修5:解三角形、数列、不等式。 以上是每一个高中学生所必须学习的。 上述内容覆盖了高中阶段传统的数学基础知识和基本技能的主要部分,其中包括集合、函数、数列、不等式、解三角形、立体几何初步、平面解析几何初步等。不同的是在保证打好基础的同时,进一步强调了这些知识的发生、发展过程和实际应用,而不在技巧与难度上做过高的要求。 此外,基础内容还增加了向量、算法、概率、统计等内容。 选修课程有4个系列: 系列1:由2个模块组成。 选修1—1:常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、 导数及其应用。 选修1—2:统计案例、推理与证明、数系的扩 充与复数、框图 系列2:由3个模块组成。 选修2—1:常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、 空间向量与立体几何。 选修2—2:导数及其应用,推理与证明、数系 的扩充与复数 选修2—3:计数原理、随机变量及其分布列, 统计案例。 系列3:由6个专题组成。 选修3—1:数学史选讲。 选修3—2:信息安全与密码。 选修3—3:球面上的几何。 选修3—4:对称与群。 选修3—5:欧拉公式与闭曲面分类。 选修3—6:三等分角与数域扩充。系列4:由10个专题组成。 选修4—1:几何证明选讲。 选修4—2:矩阵与变换。 选修4—3:数列与差分。 选修4—4:坐标系与参数方程。 选修4—5:不等式选讲。 选修4—6:初等数论初步。 选修4—7:优选法与试验设计初步。 选修4—8:统筹法与图论初步。 选修4—9:风险与决策。 选修4—10:开关电路与布尔代数。 2.重难点及考点: 重点:函数,数列,三角函数,平面向 量,圆锥曲线,立体几何,导数难点:函数、圆锥曲线 高考相关考点: ⑴集合与简易逻辑:集合的概念与运算、简易逻 辑、充要条件 ⑵函数:映射与函数、函数解析式与定义域、 值域与最值、反函数、三大性质、函 数图象、指数与指数函数、对数与对 数函数、函数的应用 ⑶数列:数列的有关概念、等差数列、等比数 列、数列求和、数列的应用 ⑷三角函数:有关概念、同角关系与诱导公式、 和、差、倍、半公式、求值、化 简、证明、三角函数的图象与性 质、三角函数的应用 ⑸平面向量:有关概念与初等运算、坐标运算、 数量积及其应用 ⑹不等式:概念与性质、均值不等式、不等式 的证明、不等式的解法、绝对值不 等式、不等式的应用 ⑺直线和圆的方程:直线的方程、两直线的位 置关系、线性规划、圆、 直线与圆的位置关系 ⑻圆锥曲线方程:椭圆、双曲线、抛物线、直 线与圆锥曲线的位置关系、 轨迹问题、圆锥曲线的应用
高中数学复习必背知识点 第一章 集合与简易逻辑 含n 个元素的集合的所有子集有n 2个 第二章 函数 1、求)(x f y =的反函数:①解出)(1y f x -=②y x ,互换③写出)(1x f y -=的定义域; 2、对数:①负数和零没有对数 ②1的对数等于0:01log =a ③底的对数等于1:1log =a a , ④积的对数:N M MN a a a log log )(log +=, 商的对数:N M N M a a a log log log -=, 幂的对数:M n M a n a log log =;b m n b a n a m log log = , 第三章 数列 1、数列的前n 项和:n n a a a a S ++++= 321; 数列前n 项和与通项的关系:???≥-===-)2() 1(111n S S n S a a n n n 2、等差数列 : ①定义:等差数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数; ②通项公式:d n a a n )1(1-+= (其中首项是1a ,公差是d ;) ③前n 项和:2)(1n n a a n S += d n n na 2 ) 1(1-+= ④等差中项: A 是a 与b 的等差中项:2 b a A +=或b a A +=2, 三个数成等差常设:a-d ,a ,a+d 3、等比数列:
①定义:等比数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,(0≠q )。 ②通项公式:11-=n n q a a (其中:首项是1a ,公比是q ) ③前n 项和:??? ?? ≠--=--==) 1(,1)1(1)1(,111q q q a q q a a q na S n n n ④等比中项: G 是a 与b 的等比中项:G b a G = ,即ab G =2(或ab G ±=,等比中项有两个) 第四章 三角函数 1、弧度制:①π= 180弧度,1弧度'1857)180 ( ≈=π ; ②弧长公式:r l ||α= (α是角的弧度数) 2、三角函数定义: y r x r y x x y r x r y ====== ααααααcsc sec cot tan cos sin 3、特殊角的三角函数值 4、同角三角函数基本关系式: 1cos sin 22=+αα α α αcos sin tan = 1cot tan =αα
高中数学必修+选修知识点归纳新课标人教A版 一、集合 1、把研究的对象统称为元素,把一些元素组成的总体叫做集合。集合三要素:确定性、互异性、无序性。 2、只要构成两个集合的元素是一样的,就称这两个集合相等。 3、常见集合:正整数集合: 或 ,整数集合: ,有理数集合: ,实数集合: . 4、集合的表示方法:列举法、描述法. §1.1.2、集合间的基本关系 1、一般地,对于两个集合A、B,如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素,则称集合A是集合B的子集。记作 .
2、如果集合 ,但存在元素 ,且 ,则称集合A是集合B的真子集.记作:A B. 3、把不含任何元素的集合叫做空集.记作: .并规定:空集合是任何集合的子集. 4、如果集合A中含有n个元素,则集合A有 个子集, 个真子集. §1.1.3、集合间的基本运算 1、一般地,由所有属于集合A或集合B的元素组成的集合,称为集合A与B的并集.记作: . 2、一般地,由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合,称为A与B的交集.记作: . 3、全集、补集? §1.2.1、函数的概念
1、设A、B是非空的数集,如果按照某种确定的对应关系 ,使对于集合A中的任意一个数 ,在集合B中都有惟一确定的数 和它对应,那么就称 为集合A到集合B的一个函数,记作: . 2、一个函数的构成要素为:定义域、对应关系、值域.如果两个函数的定义域相同,并且对应关系完全一致,则称这两个函数相等. §1.2.2、函数的表示法 1、函数的三种表示方法:解析法、图象法、列表法. §1.3.1、单调性与最大(小)值 1、注意函数单调性的证明方法: (1)定义法:设 那么 上是增函数; 上是减函数. 步骤:取值—作差—变形—定号—判断 格式:解:设
2020高一数学知识点总结归纳精选5 篇 高一数学是很多同学的噩梦,知识点众多而且杂,对于高一的同学们很不友好,建议同学们通过总结知识点的方法来学习数学,这样可以提高学习效率。下面就是给大家带来的高一数学知识点总结,希望能帮助到大家! 高一数学知识点总结(一) (1)指数函数的定义域为所有实数的集合,这里的前提是a 大于0,对于a不大于0的情况,则必然使得函数的定义域不存在连续的区间,因此我们不予考虑。 (2)指数函数的值域为大于0的实数集合。 (3)函数图形都是下凹的。 (4)a大于1,则指数函数单调递增;a小于1大于0,则为单调递减的。 (5)可以看到一个显然的规律,就是当a从0趋向于无穷大的过程中(当然不能等于0),函数的曲线从分别接近于Y轴与X轴
的正半轴的单调递减函数的位置,趋向分别接近于Y轴的正半轴与X轴的负半轴的单调递增函数的位置。其中水平直线y=1是从递减到递增的一个过渡位置。 (6)函数总是在某一个方向上无限趋向于X轴,永不相交。 (7)函数总是通过(0,1)这点。 (8)显然指数函数无界。 奇偶性 定义 一般地,对于函数f(x) (1)如果对于函数定义域内的任意一个x,都有f(-x)=-f(x),那么函数f(x)就叫做奇函数。 (2)如果对于函数定义域内的任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么函数f(x)就叫做偶函数。 (3)如果对于函数定义域内的任意一个x,f(-x)=-f(x)与f(-x)=f(x)同时成立,那么函数f(x)既是奇函数又是偶函数,称为既奇又偶函数。
(4)如果对于函数定义域内的任意一个x,f(-x)=-f(x)与f(-x)=f(x)都不能成立,那么函数f(x)既不是奇函数又不是偶函数,称为非奇非偶函数。 高一数学知识点总结(二) 对于a的取值为非零有理数,有必要分成几种情况来讨论各自的特性: 首先我们知道如果a=p/q,q和p都是整数,则x^(p/q)=q次根号(x的p次方),如果q是奇数,函数的定义域是R,如果q 是偶数,函数的定义域是[0,+)。当指数n是负整数时,设a=-k,则x=1/(x^k),显然x0,函数的定义域是(-,0)(0,+).因此可以看到x所受到的限制****于两点,一是有可能作为分母而不能是0,一是有可能在偶数次的根号下而不能为负数,那么我们就可以知道: 排除了为0与负数两种可能,即对于x0,则a可以是任意实数; 排除了为0这种可能,即对于x0和x0的所有实数,q不能是偶数; 排除了为负数这种可能,即对于x为大于且等于0的所有实数,a就不能是负数。
教师版高中数学必修+选修知识点归纳
安徽·合肥郭建德老师整理 引言 1.课程内容: 必修课程由5个模块组成: 必修1:集合、函数概念与基本初等函数(指、对、幂函数) 必修2:立体几何初步、平面解析几何初步。必修3:算法初步、统计、概率。 必修4:基本初等函数(三角函数)、平面向量、三角恒等变换。 必修5:解三角形、数列、不等式。 以上是每一个高中学生所必须学习的。 上述内容覆盖了高中阶段传统的数学基础知识和基本技能的主要部分,其中包括集合、函数、数列、不等式、解三角形、立体几何初步、平面解析几何初步等。不同的是在保证打好基础的同时,进一步强调了这些知识的发生、发展过程和实际应用,而不在技巧与难度上做过高的要求。 此外,基础内容还增加了向量、算法、概率、统计等内容。 选修课程有4个系列: 系列1:由2个模块组成。 选修1—1:常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、 导数及其应用。 选修1—2:统计案例、推理与证明、数系的扩 充与复数、框图 系列2:由3个模块组成。 选修2—1:常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、 空间向量与立体几何。 选修2—2:导数及其应用,推理与证明、数系 的扩充与复数 选修2—3:计数原理、随机变量及其分布列, 统计案例。 系列3:由6个专题组成。 选修3—1:数学史选讲。 选修3—2:信息安全与密码。 选修3—3:球面上的几何。 选修3—4:对称与群。 选修3—5:欧拉公式与闭曲面分类。 选修3—6:三等分角与数域扩充。 系列4:由10个专题组成。 选修4—1:几何证明选讲。 选修4—2:矩阵与变换。 选修4—3:数列与差分。 选修4—4:坐标系与参数方程。 选修4—5:不等式选讲。选修4—6:初等数论初步。 选修4—7:优选法与试验设计初步。 选修4—8:统筹法与图论初步。 选修4—9:风险与决策。 选修4—10:开关电路与布尔代数。 2.重难点及考点: 重点:函数,数列,三角函数,平面向量,圆锥曲线,立体几何,导数 难点:函数、圆锥曲线 高考相关考点: ⑴集合与简易逻辑:集合的概念与运算、简易逻 辑、充要条件 ⑵函数:映射与函数、函数解析式与定义域、 值域与最值、反函数、三大性质、函 数图象、指数与指数函数、对数与对 数函数、函数的应用 ⑶数列:数列的有关概念、等差数列、等比数 列、数列求和、数列的应用 ⑷三角函数:有关概念、同角关系与诱导公式、 和、差、倍、半公式、求值、化 简、证明、三角函数的图象与性 质、三角函数的应用 ⑸平面向量:有关概念与初等运算、坐标运算、 数量积及其应用 ⑹不等式:概念与性质、均值不等式、不等式 的证明、不等式的解法、绝对值不 等式、不等式的应用 ⑺直线和圆的方程:直线的方程、两直线的位 置关系、线性规划、圆、 直线与圆的位置关系 ⑻圆锥曲线方程:椭圆、双曲线、抛物线、直 线与圆锥曲线的位置关系、 轨迹问题、圆锥曲线的应用⑼直线、平面、简单几何体:空间直线、直线 与平面、平面与平面、棱柱、 棱锥、球、空间向量 ⑽排列、组合和概率:排列、组合应用题、二 项式定理及其应用 ⑾概率与统计:概率、分布列、期望、方差、 抽样、正态分布 ⑿导数:导数的概念、求导、导数的应用 ⒀复数:复数的概念与运算 必修1数学知识点 第一章:集合与函数概念 §
高中数学知识点总结 引言 1.课程内容: 必修课程由5个模块组成: 必修1:集合、函数概念与基本初等函数(指、对、幂函数) 必修2:立体几何初步、平面解析几何初步。 必修3:算法初步、统计、概率。 必修4:基本初等函数(三角函数)、平面向量、三角恒等变换。 必修5:解三角形、数列、不等式。 以上是每一个高中学生所必须学习的。 上述内容覆盖了高中阶段传统的数学基础知识和基本技能的主要部分,其中包括集合、函数、数列、不等式、解三角形、立体几何初步、平面解析几何初步等。不同的是在保证打好基础的同时,进一步强调了这些知识的发生、发展过程和实际应用,而不在技巧与难度上做过高的要求。 此外,基础内容还增加了向量、算法、概率、统计等内容。 选修课程有4个系列: 系列1:由2个模块组成。 选修1—1:常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、导数及其应用。 选修1—2:统计案例、推理与证明、数系的扩充与复数、框图 系列2:由3个模块组成。 选修2—1:常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、 空间向量与立体几何。 选修2—2:导数及其应用,推理与证明、数系的扩充与复数 选修2—3:计数原理、随机变量及其分布列,统计案例。 系列3:由6个专题组成。 选修3—1:数学史选讲。 选修3—2:信息安全与密码。 选修3—3:球面上的几何。 选修3—4:对称与群。 选修3—5:欧拉公式与闭曲面分类。 选修3—6:三等分角与数域扩充。 系列4:由10个专题组成。 选修4—1:几何证明选讲。 选修4—2:矩阵与变换。 选修4—3:数列与差分。 选修4—4:坐标系与参数方程。 选修4—5:不等式选讲。 选修4—6:初等数论初步。 选修4—7:优选法与试验设计初步。 选修4—8:统筹法与图论初步。 选修4—9:风险与决策。 选修4—10:开关电路与布尔代数。 2.重难点及考点: 重点:函数,数列,三角函数,平面向量,圆锥曲线,立体几何,导数 难点:函数、圆锥曲线 高考相关考点: ⑴集合与简易逻辑:集合的概念与运算、简易逻辑、充要条件 ⑵函数:映射与函数、函数解析式与定义域、值域与最值、反函数、三大性质、函数图象、指数与
高中数学 必修1知识点 第一章 集合与函数概念 【1.1.1】集合的含义与表示 (1)集合的概念 集合中的元素具有确定性、互异性和无序性. (2)常用数集及其记法 N 表示自然数集,N *或N +表示正整数集,Z 表示整数集,Q 表示有理数集,R 表示实数集. (3)集合与元素间的关系 对象a 与集合M 的关系是a M ∈,或者a M ?,两者必居其一. (4)集合的表示法 ①自然语言法:用文字叙述的形式来描述集合. ②列举法:把集合中的元素一一列举出来,写在大括号表示集合. ③描述法:{x |x 具有的性质},其中x 为集合的代表元素. ④图示法:用数轴或韦恩图来表示集合. (5)集合的分类 ①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集(?). 【1.1.2】集合间的基本关系 (6)子集、真子集、集合相等 (7)已知集合A 有(1)n n ≥个元素,则它有2n 个子集,它有21n -个真子集,它有21n -个非空子集, 它有2 2n -非空真子集.
【1.1.3】集合的基本运算 (8)交集、并集、补集 名称记号意义性质示意图 交集A B {|, x x A ∈且 } x B ∈ (1)A A A = (2)A?=? (3)A B A ? A B B ? B A 并集A B {|, x x A ∈或 } x B ∈ (1)A A A = (2)A A ?= (3)A B A ? A B B ? B A 补集 U A{|,} x x U x A ∈? 且 1() U A A=?2() U A A U = 【补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法 (1)含绝对值的不等式的解法 不等式解集 ||(0) x a a <>{|} x a x a -<< ||(0) x a a >>|x x a <-或} x a > ||,||(0) ax b c ax b c c +<+>> 把ax b+看成一个整体,化成||x a<, ||(0) x a a >>型不等式来求解 判别式 24 b ac ?=- ?>0 ?=0 ?<二次函数 2(0) y ax bx c a =++> 的图象O 一元二次方程 20(0) ax bx c a ++=> 的根 2 1,2 4 2 b b ac x a -±- = (其中 12 ) x x < 122 b x x a ==-无实根 ()()() U U U A B A B = ()()() U U U A B A B =
高中数学必修+选修知识点归纳 新课标人教A版
一、集合 1、 把研究的对象统称为元素,把一些元素组成的总 体叫做集合。集合三要素:确定性、互异性、无 序性。 2、 只要构成两个集合的元素是一样的,就称这两个 集合相等。 3、 常见集合:正整数集合:*N 或+N ,整数集合: Z ,有理数集合:Q ,实数集合:R . 4、集合的表示方法:列举法、描述法. §1.1.2、集合间的基本关系 1、 一般地,对于两个集合A 、B ,如果集合A 中任 意一个元素都是集合B 中的元素,则称集合A 是 集合B 的子集。记作B A ?. 2、 如果集合B A ?,但存在元素B x ∈,且A x ?, 则称集合A 是集合B 的真子集.记作:A B. 3、 把不含任何元素的集合叫做空集.记作:?.并规定: 空集合是任何集合的子集. 4、 如果集合A 中含有n 个元素,则集合A 有n 2个子 集,21n -个真子集. §1.1.3、集合间的基本运算 1、 一般地,由所有属于集合A 或集合B 的元素组成 的集合,称为集合A 与B 的并集.记作:B A Y . 2、 一般地,由属于集合A 且属于集合B 的所有元素 组成的集合,称为A 与B 的交集.记作:B A I . 3、全集、补集?{|,}U C A x x U x U =∈?且 §1.2.1、函数的概念 1、 设A 、B 是非空的数集,如果按照某种确定的对应 关系f ,使对于集合A 中的任意一个数x ,在集合B 中都有惟一确定的数()x f 和它对应,那么就称B A f →:为集合A 到集合B 的一个函数,记作:()A x x f y ∈=,. 2、 一个函数的构成要素为:定义域、对应关系、值 域.如果两个函数的定义域相同,并且对应关系完 全一致,则称这两个函数相等. §1.2.2、函数的表示法 1、 函数的三种表示方法:解析法、图象法、列表法. §1.3.1、单调性与最大(小)值 1、注意函数单调性的证明方法: (1)定义法:设2121],,[x x b a x x <∈、那么 ],[)(0)()(21b a x f x f x f 在?<-上是增函数; ],[)(0)()(21b a x f x f x f 在?>-上是减函数. 步骤:取值—作差—变形—定号—判断 格式:解:设[]b a x x ,,21∈且21x x <,则: ()()21x f x f -=… (2)导数法:设函数)(x f y =在某个区间内可导,若0)(>'x f ,则)(x f 为增函数; 若0)(<'x f ,则)(x f 为减函数. §1.3.2、奇偶性 1、 一般地,如果对于函数()x f 的定义域内任意一个 x ,都有()()x f x f =-,那么就称函数()x f 为 偶函数.偶函数图象关于y 轴对称. 2、 一般地,如果对于函数()x f 的定义域内任意一个 x ,都有()()x f x f -=-,那么就称函数()x f 为 奇函数.奇函数图象关于原点对称. 知识链接:函数与导数 1、函数)(x f y =在点0x 处的导数的几何意义: 函数)(x f y =在点0x 处的导数是曲线)(x f y =在 ))(,(00x f x P 处的切线的斜率)(0x f ',相应的切线方 程是))((000x x x f y y -'=-. 2、几种常见函数的导数 ①' C 0=;②1 ' )(-=n n nx x ;
高中数学会考复习必背知识点 第一章 集合与简易逻辑 1、含n个元素得集合得所有子集有个 第二章 函数 1、求得反函数:解出,互换,写出得定义域; 2、对数:①:负数与零没有对数,②、1得对数等于0:,③、底得对数等于1:, ④、积得对数:, 商得对数:, 幂得对数:;, 第三章 数列 1、数列得前n 项与:; 数列前n项与与通项得关系: 2、等差数列 :(1)、定义:等差数列从第2项起,每一项与它得前一项得差等于同一个常数; (2)、通项公式: (其中首项就是,公差就是;) (3)、前n项与:1、(整理后就是关于n 得没有常数项得二次函数) (4)、等差中项: 就是与得等差中项:或,三个数成等差常设:a-d ,a ,a+d 3、等比数列:(1)、定义:等比数列从第2项起,每一项与它得前一项得比等于同一个常数,()、 (2)、通项公式:(其中:首项就是,公比就是) (3)、前n项与: (4)、等比中项: 就是与得等比中项:,即(或,等比中项有两个) 第四章 三角函数 1、弧度制:(1)、弧度,1弧度;弧长公式: (就是角得弧度数) 2、三角函数 (1)、定义: y r x r y x x y r x r y ======ααααααcsc sec cot tan cos sin 4、同角三角函数基本关系式: 5、诱导公式:(奇变偶不变,符号瞧象限) 正弦上为正;余弦右为正;正切一三为正 公式二: 公式三: 公式四: 公式五: 6、两角与与差得正弦、余弦、正切 : : : : : : 7、辅助角公式:??? ? ?? ++++=+x b a b x b a a b a x b x a cos sin cos sin 2 22222
高中数学知识点总结 1. 元素与集合的关系 U x A x C A ∈??,U x C A x A ∈??. 2.德摩根公式 ();()U U U U U U C A B C A C B C A B C A C B ==. 3.包含关系 A B A A B B =?=U U A B C B C A ???? U A C B ?=ΦU C A B R ?= 4.容斥原理 ()()card A B cardA cardB card A B =+- ()()card A B C cardA cardB cardC card A B =++- ()()()()card A B card B C card C A card A B C ---+. 5.集合12{,,,}n a a a 的子集个数共有2n 个;真子集有2n –1个;非空子集有2n –1 个;非空的真子集有2n –2个. 6.二次函数的解析式的三种形式 (1)一般式2 ()(0)f x ax bx c a =++≠; (2)顶点式2 ()()(0)f x a x h k a =-+≠; (3)零点式12()()()(0)f x a x x x x a =--≠. 7.解连不等式()N f x M <<常有以下转化形式 ()N f x M <[()][()]0f x M f x N --< ?|()|22 M N M N f x +-- ()0()f x N M f x ->- ? 11 ()f x N M N >--. 8.方程0)(=x f 在),(21k k 上有且只有一个实根,与0)()(21
2020最新高二数学知识点归纳总结5篇精选高中学生要根据自己的条件,以及高中阶段学科知识交叉多、综合性强,以及考查的知识和思维触点广的特点,找寻一套行之有效的学习方法。下面就是我给大家带来的高二数学知识点总结,希望能帮助到大家! 高二数学知识点(一) 第一章:集合和函数的基本概念,错误基本都集中在空集这一概念上,而每次考试基本都会在选填题上涉及这一概念,一个不小心就是五分没了。次一级的知识点就是集合的韦恩图,会画图,集合的“并、补、交、非”也就解决了,还有函数的定义域和函数的单调性、增减性的概念,这些都是函数的基础而且不难理解。在第一轮复习中一定要反复去记这些概念,的方法是写在笔记本上,每天至少看上一遍。 第二章:基本初等函数:指数、对数、幂函数三大函数的运算性质及图像。函数的几大要素和相关考点基本都在函数图像上有所体现,单调性、增减性、极值、零点等等。关于这三大函数的运算公式,多记多用,多做一点练习基本就没多大问题。函数图像是这一章的重难点,而且图像问题是不能靠记忆的,必须要理解,要会熟练的画出函数图像,定义域、值域、零点等等。对于幂函数还要搞清楚当指数幂大于一和小于一时图像的不同及函数值的大小关系,这也是常考常错点。另外指数函数和对数函数的对立关系及其相互之间要怎样转化问题也要了解清楚。 第三章:函数的应用。主要就是函数与方程的结合。其实就是的实根,即函
数的零点,也就是函数图像与X轴的交点。这三者之间的转化关系是这一章的重点,要学会在这三者之间的灵活转化,以求能最简单的解决问题。关于证明零点的方法,直接计算加得必有零点,连续函数在x轴上方下方有定义则有零点等等,这是这一章的难点,这几种证明方法都要记得,多练习强化。这二次函数的零点的Δ判别法,这个倒不算难。 高二数学知识点(二) 第一章:三角函数。考试必考题。诱导公式和基本三角函数图像的一些性质只要记住会画图就行,难度在于三角函数形函数的振幅、频率、周期、相位、初相,及根据最值计算A、B的值和周期,及等变化时图像及性质的变化,这一知识点内容较多,需要多花时间,首先要记忆,其次要多做题强化练习,只要能踏踏实实去做,也不难掌握,毕竟不存在理解上的难度。 第二章:平面向量。个人觉得这一章难度较大,这也是我掌握最差的一章。向量的运算性质及三角形法则平行四边形法则难度都不大,只要在计算的时候记住要同起点的向量。向量共线和垂直的数学表达,这是计算当中经常要用的公式。向量的共线定理、基本定理、数量积公式。难点在于分点坐标公式,首先要准确记忆。向量在考试过程一般不会单独出现,常常是作为解题要用的工具出现,用向量时要首先找出合适的向量,个人认为这个比较难,常常找不对。有同样情况的同学建议多看有关题的图形。 第三章:三角恒等变换。这一章公式特别多。和差倍半角公式都是会用到的公式,所以必须要记牢。由于量比较大,记忆难度大,所以建议用纸写之后贴在桌子上,天天都要看。而且的三角函数变换都有一定的规律,记忆的时候可以结合起来去记。除此之外,就是多练习。要从多练习中找到变换的规律,比如一般
让我 再看你一眼 高中数学知识点回顾 姓名:
答题技巧 一、技术矫正: 考试中时间分配及处理技巧非常重要,有几点需要必须提醒同学们注意: ⑴、按序答题,先易后难:一定要选择熟题先做、有把握的题目先做; ⑵、不能纠缠在某一题、某一细节上,该跳过去就先跳过去,千万不能感觉自己被卡住,这样会心慌,影响下面做题的情绪; ⑶、避免“回头想”现象。一定要争取一步到位,不要先做一下,等回过头来再想再检查,高考时间较紧张,也许待会儿根本顾不上再来思考; ⑷、做某一选择题时如果没有十足的把握,初步答案或猜估的答案必须先在卷子上做好标记,有时间再推敲,不要空答案,否则要是时间来不及瞎写答案只能增加错误的概率。 二、规范化提醒: 这是取得高分的基本保证,规范化包括:①解题过程有必要的文字说明或叙述;②注意解完后再看一下题目,看你的解答是否符合题意,谨防因解题不全或失误,答题或书写不规范而失分,总之,要吃透题“情”;③合理分配时间,做到一准、二快、三规范,特别是要注意解题结果的规范化。 例如: ⑴、解与解集:方程的结果一般用解表示(除非强调求解集);不
3 等式、三角方程的结果一般用解集(集合或区间)表示.三角方程的通解中必须加k Z ∈.在写区间或集合时,要正确地书写圆括号、方括号或大括号,区间的两端点之间、集合的元素之间用逗号隔开; ⑵、解题结束后一定要写上符合题意的“答”,如利用法向量求出的空间角的余弦,应用题等都要作答; ⑶、分类讨论题,最后一定要写综合性结论; ⑷、任何结果要最简.如2 , 2 211 4 22 == 等. ⑸、排列组合题,无特别声明,要求出数值. ⑹、函数解析式后面一般要注明定义域; ⑺、参数方程化普通方程,要考虑消参数过程中最后的限制范围; ⑻、注意轨迹与轨迹方程的区别:轨迹方程一般用普通方程表示,轨迹则需要说明图形形状,且有条件限制的轨迹方程必须注明x 或y 的范围. 三、考前寄语: ①、先易后难,先熟后生; ②、一慢一快:审题要慢,做题要快; ③、不能小题难做,小题大做,而要小题小做,小题巧做; ④、我易人易我不大意,我难人难我不畏难; ⑤、考试不怕题不会,就怕会题做不对; ⑥、基础题拿满分,中档题拿足分,难题力争多得分,似曾相识题力争不失分; ⑦、对数学解题有困难的考生的建议:立足中下题目,力争高上水平,有时“放弃”是一种策略。
高一数学必修一知识点必考难点总结5篇分享高一是高中学习生涯中打好基础的一年,而高中数学也是比较难的一门学科。那么,如何学好高一数学呢?下面就是我给大家带来的高一数学必修一知识点,希望对大家有所帮助! 高一数学必修一知识点1 集合有以下性质 若A包含于B,则A∩B=A,A∪B=B 集合的表示方法 集合常用大写拉丁字母来表示,如:A,B,C…而对于集合中的元素则用小写的拉丁字母来表示,如:a,b,c…拉丁字母只是相当于集合的名字,没有任何实际的意义。将拉丁字母赋给集合的方法是用一个等式来表示的,例如:A={…}的形式。等号左边是大写的拉丁字母,右边花括号括起来的,括号内部是具有某种共同性质的数学元素。 常用的有列举法和描述法。1.列举法﹕常用于表示有限集合,把集合中的所有元素一一列举出来﹐写在大括号内﹐这种表示集合的方法叫做列举法。{1,2,3,……}2.描述法﹕常用于表示无限集合,把集合中元素的公共属性用文字﹐符号或式子等描述出来﹐写在大括号内﹐这种表示集合的方法叫做描述法。{x|P}(x为该集合的元素的一般形式,P为这个集合的元素的共同属性)如:小于π的正实数组成的集合表示为:{x|0 4.自然语言常用数集的符号:(1)全体非负整数的集合通常简称非负整数集(或自然数集),记作N;不包括0的自然数集合,记作N_(2)非负整数集内排除0
的集,也称正整数集,记作Z+;负整数集内也排除0的集,称负整数集,记作Z-(3)全体整数的集合通常称作整数集,记作Z(4)全体有理数的集合通常简称有理数集,记作Q。Q={p/q|p∈Z,q∈N,且p,q互质}(正负有理数集合分别记作Q+Q-)(5)全体实数的集合通常简称实数集,记作R(正实数集合记作R+;负实数记作R-)(6)复数集合计作C集合的运算:集合交换律A∩B=B∩AA∪B=B∪A集合结合律(A∩B)∩C=A∩(B∩C)(A∪B)∪C=A∪(B∪C)集合分配律A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)集合德.摩根律集合Cu(A∩B)=CuA∪CuBCu(A∪B)=CuA∩CuB集合“容斥原理”在研究集合时,会遇到有关集合中的元素个数问题,我们把有限集合A的元素个数记为card(A)。例如A={a,b,c},则card(A)=3card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B)card(A∪B∪C)=card(A)+c ard(B)+card(C)-card(A∩B)-card(B∩C)-card(C∩A)+card(A∩B∩C)1885年德国数学家,集合论创始人康托尔谈到集合一词,列举法和描述法是表示集合的常用方式。集合吸收律A∪(A∩B)=AA∩(A∪B)=A集合求补律A∪CuA=UA∩CuA=Φ设A为集合,把A的全部子集构成的集合叫做A的幂集德摩根律A-(BUC)=(A-B)∩(A-C)A-(B∩C)=(A-B)U(A-C)~(BUC)=~B∩~C~(B∩C)=~BU~C~Φ=E~E=Φ特殊集合的表示复数集C实数集R正实数集R+负实数集R-整数集Z正整数集Z+负整数集Z-有理数集Q正有理数集Q+负有理数集Q-不含0的有理数集Q 高一数学必修一知识点2 对数函数 对数函数的一般形式为,它实际上就是指数函数的反函数。因此指数函数里
第1章 空间几何体1 1 .1柱、锥、台、球的结构特征 1. 2空间几何体的三视图和直观图 11 三视图: 正视图:从前往后 侧视图:从左往右 俯视图:从上往下 22 画三视图的原则: 长对齐、高对齐、宽相等 33直观图:斜二测画法 44斜二测画法的步骤: (1).平行于坐标轴的线依然平行于坐标轴; (2).平行于y 轴的线长度变半,平行于x ,z 轴的线长度不变; (3).画法要写好。 5 用斜二测画法画出长方体的步骤:(1)画轴(2)画底面(3)画侧棱(4)成图 1.3 空间几何体的表面积与体积 (一 )空间几何体的表面积 1棱柱、棱锥的表面积: 各个面面积之和 2 圆柱的表面积 3 圆锥的表面积2 r rl S ππ+= 4 圆台的表面积22R Rl r rl S ππππ+++= 5 球的表面积2 4R S π= (二)空间几何体的体积 1柱体的体积 h S V ?=底 2锥体的体积 h S V ?=底31 3台体的体积 h S S S S V ?++=)31 下下上上( 4球体的体积 33 4 R V π= 第二章 直线与平面的位置关系 2.1空间点、直线、平面之间的位置关系 222r rl S ππ+=
2.1.1 1 平面含义:平面是无限延展的 2 平面的画法及表示 (1)平面的画法:水平放置的平面通常画成一个平行四边形, 锐角画成450,且横边画成邻边的2倍长(如图) (2)平面通常用希腊字母α、β、γ等表示,如平面α、平面β等,也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示,如平面AC 、平面ABCD 等。 3 三个公理: (1)公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内 符号表示为 A ∈L B ∈L => L α A ∈α B ∈α 公理1作用:判断直线是否在平面内 (2)公理2:过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面。 符号表示为:A 、B 、C 三点不共线 => 有且只有一个平面α, 使A ∈α、B ∈α、C ∈α。 公理2 作用:确定一个平面的依据。 (3)公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线。 符号表示为:P ∈α∩β =>α∩β=L ,且P ∈L 公理3作用:判定两个平面是否相交的依据 2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系 1 空间的两条直线有如下三种关系: 相交直线:同一平面内,有且只有一个公共点; 平行直线:同一平面内,没有公共点; 异面直线: 不同在任何一个平面内,没有公共点。 2 公理4:平行于同一条直线的两条直线互相平行。 符号表示为:设a 、b 、c 是三条直线 a ∥ b c ∥b 强调:公理4实质上是说平行具有传递性,在平面、空间这个性质都适用。 公理4作用:判断空间两条直线平行的依据。 3 等角定理:空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补 4 注意点: ① a'与b'所成的角的大小只由a 、b 的相互位置来确定,与O 的选择无关,为了简便,点O 一般取在两直线中的一条上; ② 两条异面直线所成的角θ∈(0, ); ③ 当两条异面直线所成的角是直角时,我们就说这两条异面直线互相垂直,记作a ⊥b ; ④ 两条直线互相垂直,有共面垂直与异面垂直两种情形; ⑤ 计算中,通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。 2.1.3 — 2.1.4 空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系 1、直线与平面有三种位置关系: D C B A α L A · α C · B · A · α P · α L β 共面直线 =>a ∥c 2
高中数学知识点总结 1. 对于集合,一定要抓住集合的代表元素,及元素的“确定性、互异性、无序性”。 {}{}{}如:集合,,,、、A x y x B y y x C x y y x A B C ======|lg |lg (,)|lg 中元素各表示什么? 2. 进行集合的交、并、补运算时,不要忘记集合本身和空集的特殊情况。? 注重借助于数轴和文氏图解集合问题。 空集是一切集合的子集,是一切非空集合的真子集。 {} {}如:集合,A x x x B x ax =--===||22301 若,则实数的值构成的集合为B A a ? (答:,,)-??? ??? 1013 3. 注意下列性质: {} ()集合,,……,的所有子集的个数是;1212a a a n n ()若,;2A B A B A A B B ??==I Y (3)德摩根定律: ()()()()()()C C C C C C U U U U U U A B A B A B A B Y I I Y ==, 4. 你会用补集思想解决问题吗?(排除法、间接法) 如:已知关于的不等式的解集为,若且,求实数x ax x a M M M a --<∈?5 0352 的取值范围。 ()(∵,∴ ·∵,∴ ·,,)335 30555 50 1539252 2∈----≥?∈? ? ????M a a M a a a Y 5. 可以判断真假的语句叫做命题,逻辑连接词有“或”,“且”和()()∨∧ “非”().? 若为真,当且仅当、均为真p q p q ∧ 若为真,当且仅当、至少有一个为真p q p q ∨
若为真,当且仅当为假?p p 6. 命题的四种形式及其相互关系是什么? (互为逆否关系的命题是等价命题。) 原命题与逆否命题同真、同假;逆命题与否命题同真同假。 7. 对映射的概念了解吗?映射f :A →B ,是否注意到A 中元素的任意性和B 中与之对应元素的唯一性,哪几种对应能构成映射? (一对一,多对一,允许B 中有元素无原象。) 8. 函数的三要素是什么?如何比较两个函数是否相同? (定义域、对应法则、值域) 9. 求函数的定义域有哪些常见类型? ()() 例:函数的定义域是 y x x x = --432 lg ()()() (答:,,,)022334Y Y 10. 如何求复合函数的定义域? [] 如:函数的定义域是,,,则函数的定f x a b b a F(x f x f x ())()()>->=+-0 义域是_____________。 [] (答:,)a a - 11. 求一个函数的解析式或一个函数的反函数时,注明函数的定义域了吗? ( ) 如:,求f x e x f x x +=+1(). 令,则t x t = +≥10 ∴x t =-2 1 ∴f t e t t ()=+--21 21 ()∴f x e x x x ()=+-≥-2 1 210 12. 反函数存在的条件是什么? (一一对应函数) 求反函数的步骤掌握了吗? (①反解x ;②互换x 、y ;③注明定义域) () () 如:求函数的反函数f x x x x x ()=+≥-????1002 ()() (答:)f x x x x x -=->--????1 110()
高中必考数学知识点归纳整理 1高中数学重难点知识点 高中数学(文)包含5本必修、2本选修,(理)包含5本必修、3本选修,每学期学习两本书。 必修一:1、集合与函数的概念(这部分知识抽象,较难理解)2、基本的初等函数(指数函数、对数函数)3、函数的性质及应用(比较抽象,较难理解) 必修二:1、立体几何(1)、证明:垂直(多考查面面垂直)、平行(2)、求解:主要是夹角问题,包括线面角和面面角 这部分知识是高一学生的难点,比如:一个角实际上是一个锐角,但是在图中显示的钝角等等一些问题,需要学生的立体意识较强。这部分知识高考占22---27分 2、直线方程:高考时不单独命题,易和圆锥曲线结合命题 3、圆方程:
必修三:1、算法初步:高考必考内容,5分(选择或填空)2、统计:3、概率:高考必考内容,09年理科占到15分,文科数学占到5分 必修四:1、三角函数:(图像、性质、高中重难点,)必考大题:15---20分,并且经常和其他函数混合起来考查 2、平面向量:高考不单独命题,易和三角函数、圆锥曲线结合命题。09年理科占到5分,文科占到13分 必修五:1、解三角形:(正、余弦定理、三角恒等变换)高考中理科占到22分左右,文科数学占到13分左右2、数列:高考必考,17---22分3、不等式:(线性规划,听课时易理解,但做题较复杂,应掌握技巧。高考必考5分)不等式不单独命题,一般和函数结合求最值、解集。 文科:选修1—1、1—2 选修1--1:重点:高考占30分 1、逻辑用语:一般不考,若考也是和集合放一块考 2、圆锥曲线: 3、导数、导数的应用(高考必考) 选修1--2:1、统计:2、推理证明:一般不考,若考会是填空题3、复数:(新课标比老课本难的多,高考必考内容)