一元三次方程求根问题
一元三次方程求根问题是一个曾经困扰了人们许多年的问题，后来数学家们在经过非常多的计算后，用巧妙的方法将其解决了。目前，我还不知道一元三次方程求根公式和其推导过程，下面，我就尝试将这个问题解决。
显然，所有的一元三次方程都可以转化为
x 3+bx 2+cx +d =0的形式，
先从一些三次多项式的公式入手，其中有这样一个公式
()()()B A AB B A AB B A B A B A +-+=--+=+3333
22333 在这里令x =A+B ，m =-3AB ，n =-(A 3+B 3)，则上述公式转为
x 3+mx+n=0
这便是一个特殊的一元三次方程。
而 ?????-=+-=n
B A m B A 333
3327
所以由一元二次方程的韦达定理得A 3与B 3是方程
0273
2
=-+m ny y 的两根， 不考虑A 与B 之间的顺序，得
????
?????+--=++-=22742274223223m n n B m n n A
故3323
3
227422742m n n m n n B A x +--+++-=+= 在解二次方程时，可以通过配方的方法
将 ax 2+bx +c =0
转化为
04422=-+??? ??+a b ac 2a b x a 再将a
b x 2+换元，以达到消去一次项的目的。 那么，在解x 3+bx 2+cx +d =0的过程中，是否也有类似的方法呢？ 我们可以尝试对其进行“配立方”来消去二次项， 得???? ??-+???? ??-+??? ??+=+++2733323
23b d x b c b x d cx bx x ???? ??+-+??? ??+???? ??-+??? ??+=2723333323
b b
c
d b x b c b x 这就转为x 3+mx+n=0的形式，带入刚才得到的其求根公式，得
3
2233b t n t n x ---++-= 其中108
441827274,3,27233
32223223c d b bcd c b d m n t b c m b bc d n ++--=+=-=+-= 以上只得出了一元三次方程一个根的求根公式，还不一定是实根，而一元三次方程一般有一或三个实根，原因可能是在上述求解过程中只在实数的范围内运算，并没有考虑到虚数。如果考虑虚数，在复数的范围内运算，一元三次方程应当有三个根。在上述方法中，另两个根可能要应用到虚数的一些概念和性质，若只考虑实数，无法将其解出。
接下来尝试一下在复数范围内，能否将另两个根解出。
设刚才求出的根为x 1=A +B,先考虑x 3+mx+n=0形式的方程，
方程可化为 x 3-3ABx -(A 3+B 3)=0
由韦达定理可得 ??
???+=-=++=++3332113322132130B A x x x AB x x x x x x x x x 代入x 1=A +B ，得 ???+-=+-=+223
232)(B AB A x x B A x x 再由二次方程韦达定理逆定理可得，x 2、x 3为方程
0)()(222=+-+++B AB A z B A z 的两根 解得2
)(3)(2)(3)(2B A B A B A B A z --±+-=--±+-= 不考虑x 2与x 3的顺序，得???
?????-+-+?---=?---+?-+-=B A x B A x 23123123123132 故方程x 3+mx+n=0的解为
?????
??????+--?+-+++-?--=+--?--+++-?+-=+--+++-=332332333233223323321274223127422312742231274223127422742m n n i m n n i x m n n i m n n i x m n n m n n x 再代入108
441827274,3,27233
32223223c d b bcd c b d m n b c m b bc d n ++--=+-=+-=， 并将三个结果分别减去3
b ，便可得一般一元三次方程x 3+bx 2+cx +d =0的三个根的求根公式，由于公式太长，就不列出来了，实际应用的时候可以分步先求出m 、n ，再求解。
以上方法通过多次换元得到公式，求得的公式非常繁琐，可能不太常用，但我想这种换元的思路还是很重要的
一元三次方程求根公式的解法 一元三次方程的求根公式用通常的演绎思维是作不出来的，用类似解一元二次方程的求根公式的配方法只能将型如ax^3+bx^2+cx+d+0的标准型一元三次方程形式化为x^3+px+q=0的特殊型。 一元三次方程的求解公式的解法只能用归纳思维得到，即根据一元一次方程、一元二次方程及特殊的高次方程的求根公式的形式归纳出一元三次方程的求根公式的形式。归纳出来的形如 x^3+px+q=0的一元三次方程的求根公式的形式应该为x=A^(1/3)+B^(1/3)型，即为两个开立方之和。归纳出了一元三次方程求根公式的形式，下一步的工作就是求出开立方里面的内容，也就是用p和q表示A和B。方法如下： （1）将x=A^(1/3)+B^(1/3)两边同时立方可以得到 （2）x^3=(A+B)+3(AB)^(1/3)(A^(1/3)+B^(1/3)) （3）由于x=A^(1/3)+B^(1/3)，所以（2）可化为 x^3=(A+B)+3(AB)^(1/3)x，移项可得 （4）x^3－3(AB)^(1/3)x－(A+B)＝0，和一元三次方程和特殊型x^3+px+q=0作比较，可知 (5)－3(AB）^（1/3）＝p,－(A+B)=q，化简得 （6）A+B＝－q，AB＝-（p/3）^3 （7）这样其实就将一元三次方程的求根公式化为了一元二次方程的求根公式问题，因为A 和B可以看作是一元二次方程的两个根，而(6)则是关于形如ay^2+by+c=0的一元二次方程两个根的韦达定理，即 （8）y1＋y2＝－（b/a）,y1*y2=c/a (9)对比（6）和（8），可令A＝y1，B＝y2，q＝b/a，-（p/3）^3＝c/a (10)由于型为ay^2+by+c=0的一元二次方程求根公式为 y1＝－（b＋（b^2－4ac）^(1/2)）/(2a) y2＝－（b－（b^2－4ac）^(1/2)）/(2a) 可化为 (11)y1＝－(b/2a)-((b/2a)^2-(c/a))^(1/2) y2＝－(b/2a)+((b/2a)^2-(c/a))^(1/2) 将(9)中的A＝y1，B＝y2，q＝b/a，-（p/3）^3＝c/a代入（11）可得 (12)A＝－(q/2)-((q/2)^2＋（p/3）^3）^(1/2) B＝－(q/2)+((q/2)^2＋（p/3）^3）^(1/2) (13)将A，B代入x=A^(1/3)+B^(1/3)得 (14)x=（－(q/2)-((q/2)^2＋（p/3）^3）^(1/2)）^(1/3)+（－(q/2)+((q/2)^2＋（p/3）^3）^(1/2)）^(1/3) 一、(14)只是一元三方程的一个实根解，按韦达定理一元三次方程应该有三个根，不过按韦达定理一元三次方程只要求出了其中一个根，另两个根就容易求出了。由于计算太复杂及这个问题历史上已经解决，我不愿花过多的力气在上面，我做这项工作只是想考验自己的智力，所以只要关键的问题解决了另两个根我就没有花力气去求解。 二、我也曾用类似的方法去求解过一元四次方程的解，具体就是假设一元四次方程的根的形式为x=A^(1/4)+B^(1/4)+C^(1/4),有一次我好象解出过，不过后来多次求解好象说明这种方法求解一元四次方程解不出。不过我认为如果能进一步归纳出A、B、C的形式，应该能求出一元四次方程的求根公式的。由于计算实在太复杂及这个问题古人已经解决了，我后来一直没能完成这项工作。 三、通过求解一元三次方程的求根公式，我获得了一个经验，用演绎法（就是直接推
求实系数一元三次方程根的实用公式 在数学书籍或数学手册中，对一元三次方程求根公式的叙述都是沿用“卡丹公式”，即：对于一元三次方程： 设， 则它的三个根的表达式如下： 其中， 我们先用该公式解一个一元三次方程：。 解： p=- 9，q=6，∴T=- 3，D=- 18， ?? ∴原方程的三个根为
这样求出的三个根的表达式有两个不妥之处： 其一、当时，方程有三个实根（下文给出证明），但这里的、 、表达式不明确。 其二、当时，以及（如此例中的）违背了现行中等数学的表示规范，也不能具体地求出其值。 因此，用“卡丹公式”解出的一元三次方程的根，往往是不实用、不直观、不严密的。 下面我们推导一个实用的改进型求根公式。 实系数一元三次方程可写为（1） 令，代入（1）得（2） 其中， 不失一般性，我们只要讨论实系数一元三次方程的求根公式即可。 不妨设p、q均不为零，令y=u+v（3） 代入（2）得，（4） 选择u、v，使得，即（5） 代入（4）得，（6）
将（5）式两边立方得，（7） 联立（6）、（7）两式，得关于的方程组： ，且 问题归结于上述方程组的求解。 即求关于t的一元二次方程的两根、， 设，，， 又记的一个立方根为，则另两个立方根为，， 其中，为1的两个立方虚根。 以下分三种情形讨论： 1）若，即D>0，则、均为实数， 可求得，， 取，， 在，组成的九个数中， 有且只有下面三组满足，
即、；、；、， 也就是满足， ∴方程（2）的根为，，，这是方程（2）有一个实根，两个共轭虚根，， 其表达式就是前面给出的“卡丹公式”的形式， 这里的根式及都是在实数意义下的。 2）若，即时， 可求得，取 同理，可求得 ∴方程（2）有三个实根，其中至少有两个相等的实根。3）若，即D<0时， ，∴p<0，， 则、均为虚数，求出、并用三角式表示， 就有，，
一元三次方程的求根公式称为“卡尔丹诺公式” 一元三次方程的一般形式是 x3+sx2+tx+u=0 如果作一个横坐标平移y=x+s/3，那么我们就可以把方程的二次项消 去。所以我们只要考虑形如 x3=px+q 的三次方程。 假设方程的解x可以写成x=a-b的形式，这里a和b是待定的参数。 代入方程，我们就有 a3-3a2b+3ab2-b3=p(a-b)+q 整理得到 a3-b3 =(a-b)(p+3ab)+q 由二次方程理论可知，一定可以适当选取a和b，使得在x=a-b的同时， 3ab+p=0。这样上式就成为 a3-b3=q 两边各乘以27a3，就得到 27a6-27a3b3=27qa3 由p=-3ab可知 27a6 + p = 27qa3 这是一个关于a3的二次方程，所以可以解得a。进而可解出b和根x. 除了求根公式和因式分解外还可以用图象法解，中值定理。很多高次方程是无法求得精确解的，对于这类方程，可以使用二分法，切线法，求得任意精度的近似解。参见同济四版的高等数学。 一元三次方程的求根公式用通常的演绎思维是作不出来的，用类似解一元二次方程的求根公式的配方法只能将型如ax^3+bx^2+cx+d+0的标准型一元三次方程形式化为x^3+px+q=0的特殊型。 一元三次方程的求解公式的解法只能用归纳思维得到，即根据一元一次方程、一元二次方程及特殊的高次方程的求根公式的形式归纳出一元三次方程的求根公式的形式。我归纳出来的形如x^3+px+q=0的一元三次方程的求根公式的形式应该为x=A^(1/3)+B^(1/3)型，即为两个开立方之和。归纳出了一元三次方程求根公式的形式，下一步的工作就是求出开立方里面的内容，也就是用p和q表示A和B。方法如下： （1）将x=A^(1/3)+B^(1/3)两边同时立方可以得到 （2）x^3=(A+B)+3(AB)^(1/3)(A^(1/3)+B^(1/3)) （3）由于x=A^(1/3)+B^(1/3)，所以（2）可化为 x^3=(A+B)+3(AB)^(1/3)x，移项可得 （4）x^3－3(AB)^(1/3)x－(A+B)＝0，和一元三次方程和特殊型x^3+px+q=0作比较，可知(5)－3(AB）^（1/3）＝p,－(A+B)=q，化简得 （6）A+B＝－q，AB＝-（p/3）^3
一元三次方程 一元三次方程的标准型为02 3=+++d cx bx ax )0,,,(≠∈a R d c b a 且。一元三次方程的公式解法有卡尔丹公式法与盛金公式法。两种公式法都可以解标准型的一元三次方程。由于卡尔丹公式解题存在复杂性，对比之下，盛金公式解题更为直观，效率更高。 在一个等式中，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是3次的整式方程叫做一元三次方程。 【盛金公式】 一元三次方程02 3=+++d cx bx ax )0,,,(≠∈a R d c b a 且 重根判别式：bd c C ad bc B ac b A 3:9;322-=-=-=，总判别式：Δ=AC B 22 -。 当A=B=0时，盛金公式①： c d b c a b x x x 33321-=-=- ===，当Δ=AC B 22 ->0时，盛金公式②：a y y b x 33 123 111---= ； i a y y a y y b x 63623 12 3 113 223 1 13,2-±++-= ；其中2 )4(322 ,1AC B B a Ab y -±-+ =,12-=i .当Δ=AC B 22 -=0时，盛金公式③：K a b x +- =1；232K x x -==，其中)0(≠=A A B K .当Δ= AC B 22-<0时，盛金公式④：a Cos a b x 3321θ --= ，a Sin Cos A b x 3) 333(3 ,2θ θ±+-= ； 其中arcCosT =θ，)11,0(),232( <<->-=T A A aB Ab T . 【盛金判别法】 ①：当A=B=0时，方程有一个三重实根； ②：当Δ=AC B 22 ->0时，方程有一个实根和一对共轭虚根； ③：当Δ=AC B 22 -=0时，方程有三个实根，其中有一个两重根； ④：当Δ=AC B 22 -<0时，方程有三个不相等的实根。 【盛金定理】 当0,0==c b 时，盛金公式①无意义；当A=0时，盛金公式③无意义；当A ≤0时，盛金公式④无意义；当T ＜-1或T ＞1时，盛金公式④无意义。当0,0==c b 时，盛金公式①是否成立？盛金公式③与盛金公式④是否存在A ≤0的值？盛金公式④是否存在T ＜-1或T ＞1的值？盛金定理给出如下回答： 盛金定理1：当A=B=0时，若b=0，则必定有c=d=0（此时，方程有一个三重实根0，盛金公式①仍成立）。 盛金定理2：当A=B=0时，若b ≠0，则必定有c ≠0（此时,适用盛金公式①解题）。 盛金定理3：当A=B=0时，则必定有C=0（此时,适用盛金公式①解题）。
解二元一次方程：“十字交叉法” 十字相乘就是把二次项拆成两个数的积 常数项拆成两个数的积 拆成的那些数经过十字相乘后再相加正好等于一次项 看一下这个简单的例子m2+4m-12 m -2 ╳ M 6 把二次项拆成m与m的积(看左边,注意竖着写) -12拆成-2与6的积(也是竖着写) 经过十字相乘(也就是6m与-2m的和正好是4m) 所以十字相乘成功了 m2+4m-12=(m-2)(m+6) 重点：只要把2次项和常数项拆开来（拆成乘积的形式），可以检验是否拆的对，只要相加等于1次项就成了，十字相乘法实际就是分解因式。 解释说明：
十字相乘法虽然比较难学,但是一旦学会了它,用它来解题,会给我们带来很多方便,以下是我对十字相乘法提出的一些个人见解。 1、十字相乘法的方法：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数。 2、十字相乘法的用处：（1）用十字相乘法来分解因式。（2）用十字相乘法来解一元二次方程。 3、十字相乘法的优点：用十字相乘法来解题的速度比较快，能够节约时间，而且运用算量不大，不容易出错。 4、十字相乘法的缺陷：1、有些题目用十字相乘法来解比较简单，但并不是每一道题用十字相乘法来解都简单。2、十字相乘法只适用于二次三项式类型的题目。3、十字相乘法比较难学。 十字相乘法解题实例 常规题例1：把m2+4m-12分解因式 分析：本题中常数项-12可以分为-1×12，-2×6，-3×4，-4×3，-6×2，-12×1当-12分成-2×6时，才符合本题解：因为 1 -2 ╳ 1 6 所以m2+4m-12=（m-2）（m+6）
例2：把5x2+6x-8分解因式 分析：本题中的5可分为1×5,-8可分为-1×8，-2×4， -4×2，-8×1。当二次项系数分为1×5，常数项分为-4×2时，才符合本题 解：因为 1 2 ╳ 5 -4 所以5x2+6x-8=（x+2）（5x-4） 例3：解方程x2-8x+15=0 分析：把x2-8x+15看成关于x的一个二次三项式，则15可分成1×15，3×5。 解：因为 1 -3 ╳ 1 -5 所以原方程可变形（x-3）（x-5）=0 所以x1=3 x2=5 例4：解方程6x2-5x-25=0 分析：把6x2-5x-25看成一个关于x的二次三项式，则6可以分为1×6，2×3，-25可以分成-1×25，-5×5，-25×1。解：因为 2 -5 ╳ 3 5
高次方程求根公式的故事 1545年意大利学者卡丹将一元三次方程ax3 +bx2+cx+d=0的求根公式公开发表，后来人们就把它叫做“卡丹公式（也有人译作“卡尔丹公式”）。事实上，发现公式的人并不是卡丹本人，而是塔尔塔利亚。 塔尔塔利亚是意大利人，出生于1500年。他12岁那年，被入侵的法国兵砍伤了头部和舌头，从此说话结结巴巴，人们就给他一个绰号“塔尔塔利亚”(在意大利语中，这是口吃的意思)，真名反倒少有人叫了。他自学成才，成了数学家，宣布自己找到了三次方程的的解法。有人听了不服气，来找他较量，每人各出30道题，由对方去解。结果，塔尔塔利亚30道三次方程的解全做了出来，对方却一道题也没做出来。塔尔塔利亚大获全胜。 后来，意大利医生兼数学家卡丹请求塔尔塔利亚把解方程的方法告诉他，但遭到了拒绝。尽管卡丹千方百计地想探听塔尔塔利亚的秘密，但是在很长时间中塔尔塔利亚都守口如瓶。可是后来，由于卡丹一再恳切要求，而且说要推荐他去当西班牙炮兵顾问，还发誓对此保守秘密，于是塔尔塔利亚在1539年把他的发现写成了一首语句晦涩的诗告诉了卡丹，但是并没有给出详细的证明。 六年后，卡丹不顾原来的信约，在他的著作中将经过改进的三次方程的解法公开发表。他在书中写道：“这一解法来自于一位最值得尊敬的朋友——布里西亚的塔尔塔利亚。塔尔塔利亚在我的恳求之下把这一方法告诉了我，但是他没有给出证明。我找到了几种证法。证法很难，我把它叙述如下。”从此，人们就把一元三次方程的求根公式称为“卡丹公式”，而塔尔塔利亚的名字反而被湮没了，正如他的真名在口吃以后被埋没了一样。 卡丹没有遵守誓言，因而受到塔尔塔利亚及许多文献资料的指责。但是卡丹在公布这一解法时并没有把发现这一方法的功劳归于自己，而是如实地说明了这是塔尔塔利亚的发现，所以算不上剽窃；而且证明过程是卡丹自己给出的，说明卡丹也做了工作。卡丹用自己的工作对塔尔塔利亚泄露给他的秘密加以补充，违背誓言，把秘密公之于世，加速了一元三次方程求根公式的普及和人类探索一元n次方程根式解法的进程。 一元三次方程应有三个根。塔尔塔利亚公式给出的只是一个实根。又过了大
一元三次方程快速解法有、因式分解法、一种换元法、卡尔丹公式法等多种方法，本篇我们将详细介绍其内容。 因式分解法 因式分解法不是对所有的三次方程都适用，只对一些简单的三次方程适用．对于大多数的三次方程，只有先求出它的根，才能作因式分解。当然，对一些简单的三次方程能用因式分解求解的，当然用因式分解法求解很方便，直接把三次方程降次。 例如：解方程x^3-x=0 对左边作因式分解，得x(x+1)(x-1)=0，得方程的三个根：x1=0；x2=1；x3=-1。 一种换元法 对于一般形式的三次方程，先将方程化为x^3+px+q=0的特殊型。 令x=z-p/3z，代入并化简，得：z^3-p/27z+q=0。再令z^3=w，代入，得： w^2-p/27w+q=0．这实际上是关于w的二次方程。解出w，再顺次解出z，x。 卡尔丹公式法 特殊型一元三次方程X^3+pX+q=0 (p、q∈R)。 判别式Δ=(q/2)^2+(p/3)^3。 卡尔丹公式 X1=(Y1)^(1/3)+(Y2)^(1/3)； X2= (Y1)^(1/3)ω+(Y2)^(1/3)ω^2； X3=(Y1)^(1/3)ω^2+(Y2)^(1/3)ω， 其中ω=(－1+i3^(1/2))/2； Y(1,2)=－(q/2)±((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)。 标准型一元三次方程aX ^3+bX ^2+cX+d=0，（a，b，c，d∈R，且a≠0）。
令X=Y—b/(3a)代入上式。 可化为适合卡尔丹公式直接求解的特殊型一元三次方程Y^3+pY+q=0。 通用求根公式 当一元三次方程ax3+bx2+cx+d=0的系数是负数时，使用卡丹公式求解，会出现问题。可以用一下公式：
二元一次方程解法大全 1、直接开平方法： 直接开平方法就是用直接开平方求解二元一次方程的方法。用直接开平方法解形如(x-m)2=n(n≥0)的方程，其解为x=±根号下n+m. 例1．解方程（1）(3x+1)2=7（2）9x2-24x+16=11 分析：（1）此方程显然用直接开平方法好做，（2）方程左边是完全平方式(3x-4)2，右边=11>0，所以此方程也可用直接开平方法解。 （1）解：(3x+1)2=7× ∴(3x+1)2=5 ∴3x+1=±(注意不要丢解) ∴x= ∴原方程的解为x1=,x2= （2）解：9x2-24x+16=11 ∴(3x-4)2=11 ∴3x-4=± ∴x= ∴原方程的解为x1=,x2= 2．配方法：用配方法解方程ax2+bx+c=0(a≠0) 先将常数c移到方程右边：ax2+bx=-c 将二次项系数化为1：x2+x=- 方程两边分别加上一次项系数的一半的平方：x2+x+()2=-+()2 方程左边成为一个完全平方式：(x+)2=
当b^2-4ac≥0时，x+=± ∴x=(这就是求根公式) 例2．用配方法解方程3x^2-4x-2=0(注：X^2是X的平方） 解：将常数项移到方程右边3x^2-4x=2 将二次项系数化为1：x2-x= 方程两边都加上一次项系数一半的平方：x2-x+()2=+()2 配方：(x-)2= 直接开平方得：x-=± ∴x= ∴原方程的解为x1=,x2=. 3．公式法：把一元二次方程化成一般形式，然后计算判别式△=b2-4ac的值，当b2-4ac ≥0时，把各项系数a,b,c的值代入求根公式x=[-b±(b^2-4ac)^(1/2)]/(2a),(b^2-4ac≥0)就可得到方程的根。 例3．用公式法解方程2x2-8x=-5 解：将方程化为一般形式：2x2-8x+5=0 ∴a=2,b=-8,c=5 b^2-4ac=(-8)2-4×2×5=64-40=24>0 ∴x=[(-b±(b^2-4ac)^(1/2)]/(2a) ∴原方程的解为x1=,x2=. 4．因式分解法：把方程变形为一边是零，把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式，让两个一次因式分别等于零，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程所得到的根，就是原方程的两个根。这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。 例4．用因式分解法解下列方程：
解一元三次方程的方法 解一元三次方程问题是世界数学史上较著名且较为复杂而又有趣味的问题，虚数概念的引进、复数理论的建立，就是起源于解三次方程问题。一元三次方程应用广泛，如电力工程、水利工程、建筑工程、机械工程、动力工程、数学教学及其他领域等。那么，以下是我分享给大家的关于解一元三次方程的方法，欢迎大家的参考学习! 解一元三次方程的方法 解法一是意大利学者卡尔丹发表的卡尔丹公式法。 解法二是中国学者范盛金发表的盛金公式法。 这两种方法都可以解答标准型的一元三次方程，但是卡尔丹公式解题方便。 相关内容： 一元三次方程的解法的历史 人类很早就掌握了一元二次方程的解法，但是对一元三次方程的研究，则是进展缓慢。古代中国、希腊和印度等地的数学家，都曾努力研究过一元三次方程，但是他们所发明的几种解法，都仅仅能够解决特殊形式的三次方程，对一般形式的三次方程就不适用了。 在十六世纪的欧洲，随着数学的发展，一元三次方程也有了固定的求解方法。在很多数学文献上，把三次方程的求根公式称为“卡尔丹诺公式”，这显然是为了纪念世界上第一位发表一元三次方程求根公式的意大利数学家卡尔丹诺。那么，一元三次方程的通式解，是不是卡尔丹诺首先发现的呢?历史事实并不是这样。
数学史上最早发现一元三次方程通式解的人，是十六世纪意大利的另一位数学家尼柯洛?冯塔纳(Niccolo Fontana)。 冯塔纳出身贫寒，少年丧父，家中也没有条件供他念书，但是他通过艰苦的努力，终于自学成才，成为十六世纪意大利最有成就的学者之一。由于冯塔纳患有“口吃”症，所以当时的人们昵称他为“塔尔塔里亚”(Tartaglia)，也就是意大利语中“结巴”的意思。后来的很多数学书中，都直接用“塔尔塔里亚”来称呼冯塔纳。 经过多年的探索和研究，冯塔纳利用十分巧妙的方法，找到了一元三次方程一般形式的求根方法。这个成就，使他在几次公开的数学较量中大获全胜，从此名扬欧洲。但是冯塔纳不愿意将他的这个重要发现公之于世。 当时的另一位意大利数学家兼医生卡尔丹诺，对冯塔纳的发现非常感兴趣。他几次诚恳地登门请教，希望获得冯塔纳的求根公式。可是冯塔纳始终守口如瓶，滴水不漏。虽然卡尔丹诺屡次受挫，但他极为执着，软磨硬泡地向冯塔纳“挖秘诀”。后来，冯塔纳终于用一种隐晦得如同咒语般的语言，把三次方程的解法“透露”给了卡尔丹诺。冯塔纳认为卡尔丹诺很难破解他的“咒语”，可是卡尔丹诺的悟性太棒了，他通过解三次方程的对比实践，很快就彻底破译了冯塔纳的秘密。 卡尔丹诺把冯塔纳的三次方程求根公式，写进了自己的学术著作《大法》中，但并未提到冯塔纳的名字。随着《大法》在欧洲的出版发行，人们才了解到三次方程的一般求解方法。由于第一个发表三次方程求根公式的人确实是卡尔丹诺，因此后人就把这种求解方法称为“卡尔丹诺公式”。 卡尔丹诺剽窃他人的学术成果，并且据为已有，这一行为在人类数学史上留下了不甚光彩的一页。这个结果，对于付出
一元三次方程的一般形式是 x3+sx2+tx+u=0 如果作一个横坐标平移y=x+s/3，那么我们就可以把方程的二次项消 去。所以我们只要考虑形如 x3=px+q 的三次方程。 假设方程的解x可以写成x=a-b的形式，这里a和b是待定的参数。 代入方程，我们就有 a3-3a2b+3ab2-b3=p(a-b)+q 整理得到 a3-b3 =(a-b)(p+3ab)+q 由二次方程理论可知，一定可以适当选取a和b，使得在x=a-b的同时， 3ab+p=0。这样上式就成为 a3-b3=q 两边各乘以27a3，就得到 27a6-27a3b3=27qa3 由p=-3ab可知 27a6 + p3 = 27qa3 这是一个关于a3的二次方程，所以可以解得a。进而可解出b和根x。 费拉里发现的一元四次方程的解法和三次方程中的做法一样，可以用一个坐标平移来消去四次方程一般形式中的三次项。所以只要考虑下面形式的一元四次方程：x4=px2+qx+r 关键在于要利用参数把等式的两边配成完全平方形式。考虑一个参数 a，我们有(x2+a)2 = (p+2a)x2+qx+r+a2 等式右边是完全平方式当且仅当它的判别式为0，即 q2 = 4(p+2a)(r+a2) 这是一个关于a的三次方程，利用上面一元三次方程的解法，我们可以 解出参数a。这样原方程两边都是完全平方式，开方后就是一个关于x 的一元二次方程，于是就可以解出原方程的根x。最后，对于5次及以上的一元高次方程没有通用的代数 解法(即通过各项系数经过有限次四则运算和乘方和开 方运算)，这称为阿贝耳定理 一元四次求根公式 对于一般一元四次方程： ax4+bx3+cx2+dx+e=0 设方程的四根分别为： x1=(-b+A+B+K)/(4a) x2=(-b-A+B-K)/(4a) x3=(-b+A-B-K)/(4a) x4=(-b-A-B+K)/(4a) (A,B,K三个字母足以表示任意三个复数，根据韦达定理： 方程四根之和为-b/a,所以当x1，x2，x3的代数式为原 方程的三根时，那么x4形式的代数式必是方程的第四个 根。) 将这四个代数式代入到韦达定理中可整理得： x1+ x2+ x3+ x4= -b/a x1x2 +x1x3+ x1x4+ x 2 x3 + x2x4+ x3 x4=(1/8a2)(3b2-A2-B2-K2)=c/a x1x2x3 +x1x2x4+ x1 x3 x4+ x2 x3 x4= (1/16a3)(-b3+bA2+bB2+Bk2+2ABK)= -d/a x1x2 x3 x4=(1/256a4)(b4+ A4+B4+K4-2b2A2-2b2B2-2b2K2-2A2B2-2A2K2-2B2K2-8bA BK)=e/a 整理后为： A2+B2+K2=3b2-8ac———————————————— 记为p A2B2+A2K2+B2K2=3b4+16a2c2-16ab2c+16a2bd-64a3e— —记为q A2B2K2=(b3-4abc+8a2d)2————————————— —记为r 由此可知：A2，B2，K2是关于一元三次方程 y3-py2+qy-r=0的三根 从而可解得±y11/2,±y21/2,±y31/2是A，B，K的解。 若y11/2, y21/2, y31/2是A，B，K的一组解（A，B，K 具有轮换性，所以在代入时无须按照顺序） 那么另外三组为 （ y11/2,- y21/2,- y31/2 （- y11/2, y21/2, -y31/2 （-y11/2,- y21/2, y31/2 从而将以上任意一组解代入到所设代数式中，均可解得 原四次方程的四根。 由这种方法来解一元四次方程，只需求界一个一元三次 方程即可，而费拉里的公式则需先解一个三次方程，再 转化成两个复杂的一元二次方程，并且若要以其系数来 表示它的求根公式的话，其形式也是相当复杂的。我的 求解方法尽管在推导公式的过程中有一定的计算量，但 如果要运用于实际求根，尽用结论在计算上绝对要比费 拉里公式简便。那么我下面再介绍一下有关一元三次方 程的改进公式： 对于一般三次方程： ax3+bx2+cx+d=0 设方程的三根分别为： x1=(-b+A+B)/(3a) x2=(-b+wA+w2B)/(3a) x3=(-b+w2A+wB)/(3a) 则 A3+B3=-2b3+9abc-27a2d————记为p A3B3=(b2-3ac)2————— ———记为q 则A3，B3是关于一元二次方程： y2-py+q=0的两根
一元三次方程的解法 邵美悦 2018年3月23日 修改:2018年4月25日 众所周知,一元二次方程的求根公式是中学代数课程必修知识,通常在初中阶段的数学教材中会进行介绍.一元三次方程和一元四次方程同样有求根公式,1而且其推导过程也是初等的.由于一元三次和四次方程的求解比起一元二次方程要困难得多,并且求根公式的具体形式也不是很实用,所以尽管在一些初等数学的书籍中有相关介绍,但大多数中学生对这些解法并不了解.本文将简要介绍一下一元三次方程的求解方法. 1配方法 一元二次方程 ax 2+bx +c =0,(a =0) 的解法一般会在在初中教材中进行介绍,通用的解法是配方法(配平方法),即利用 a (x + b 2a )2=b 2?4a c 4a 解出x =?b 2a ±√b 2?4ac 2a .当然,在初中教材中会要求a ,b ,c 都是实数,并且判别式b 2?4ac 必须非负.在高中教材引进复数之后,上述求根公式对复系数一元二次方程依然有效,开平方运算√b 2?4ac 也不再受到判别式符号的限制,只需要按照复数开方来理解.2 1值得注意的是,在代数学中可以证明,如果只用系数的有限次加,减,乘,除,以及开k 次方运算(其中k 是正整数),复系数一元五次(或更高次)方程没有求根公式.换句话说,不可能存在仅由系数的有限次加,减,乘,除,以及开k 次方运算构成的公式,使得每一个复系数一元五次方程都可以按该公式求解.这一结论通常称为Abel–Ruffini 定理.不少业余数学爱好者在没有修习过大学近世代数课程的情况下致力于推导高次方程的初等求根公式,这样的努力难免徒劳无功.2这里约定开方运算k √·只需要算出任意一个k 次方根即可. 1
各类方程解法一一元一次方程 1 一般形式 ax+b=0 (a≠0) 2 求根公式 x=? b 二二元一次方程 1 一般形式 ax+by=m cx+dy=n 2 求根公式 x=b ? d ÷ a ? m y=a m ? c n ÷ a b ? m n
1 一般形式 ax2+bx+c=0 (a≠0) 2 判别式 △=b2?4ac △>0,方程有两个不等实数根 x=?b±b2?4ac 2a △=0,方程有两个相等实数根 x1=x2=? b △<0,方程无实数根。
1 一般形式 ax 3+bx 2+cx +d =0 (a ≠0) 2 求根公式 x 1= ?27a 2d ?9abc +2b 327a 3+ 27a 2d ?9abc +2b 327a 3 + 3ac ?b 23a 2 3+ ?27a 2d ?9abc +2b 327a 32+ 27a 2d ?9abc +2b 327a 32 2+ 3ac ?b 23a 23 33?b 3a x 2=(?1+ 3i )? ?27a 2d ?9abc +2b 327a 3+ 27a 2d ?9abc +2b 327a 3 + 3ac ?b 23a 2 3+(?1+ 3i )2? ?27a 2d ?9abc +2b 327a 32+ 27a 2d ?9abc +2b 327a 32 2+ 3ac ?b 23a 23 33?b 3a x 3=(?1+ 3i 2)2? ?27a 2d ?9abc +2b 327a 32+ 27a 2d ?9abc +2b 327a 32 2+ 3ac ?b 23a 23 33+(?1+ 3i 2)? ?27a 2d ?9abc +2b 327a 3+ 27a 2d ?9abc +2b 327a 3 + 3ac ?b 23a 2 3?b
一元三次方程的解法 数教091班王超逸 48号 一元三次方程的标准形式为aX^3＋bX^2＋cX＋d=0，将方程两边同时除以最高项系数a,三次方程变为x^3+(b/a)x^2+(c/a)x+d/a=0,所以三次方程又可简写为 X^3＋bX^2＋cX＋d=0． 一元三次方程的韦达定理 设方程为 ax^3+b^2x+cx+d=0 则有 x1*x2*x3=-d/a；x1*x2+x2*x3+x3*x1=c/a；x1+x2+x3=-b/a； 一元三次方程解法思想 一元三次方程解法思想是：通过配方和换元，使三次方程降次为二次方程求解． 一元三次方程解法的发现 三次方程解法的发现是在16世纪的意大利，那时，数学家常常把自己的发现秘而不宣，而是向同伴提出挑战，让他们解决同样的问题．想必这是一项很砥砺智力，又吸引人的竞赛，三次方程的解法就是这样发现的． 最初，有一个叫菲奥尔的人，从别人的秘传中学会了解一些三次方程，便去向另一个大家称为塔尔塔利亚的人挑战．塔尔塔利亚原名丰塔纳，小时因脸部受伤引起口吃，所以被人称为塔尔塔利亚（意为＂口吃者＂）。他很聪明，又很勤奋，靠自学掌握了拉丁文，希腊文和数学．这次他成功解出了菲奥尔提出的所有三次方程，菲奥尔却不能解答他提出的问题．当时很有名的卡尔丹于是恳求他传授解三次方程的办法，并发誓保守秘密，塔尔塔利亚才把他的方法写成一句晦涩的诗交给卡尔丹．后来卡尔丹却背信弃义，把这个方法发表在1545年出版的书里．在书中他写道：＂波伦亚的费罗差不多在三十年前就发现了这个方法，并把它传给了菲奥尔．菲奥尔在与塔尔塔利亚的竞赛中使后者有机会发现了它．塔尔塔利亚在我的恳求下把方法告诉了我，但保留了证明．我在获得帮助的情况下找出了它各种形式的证明．这是很难做到的．＂卡尔丹的背信弃义使塔尔塔利亚很愤怒，他马上写了一本书，争夺这种方法的优先权．他与卡尔丹的学生费拉里发生了公开冲突．最后，这场争论是以双方的肆意谩骂而告终的．三次方程解法发现的过程虽不愉快，但三次方程的解法被保留了下来，并被错误的命名为＂卡尔丹公式＂沿用至今．以下介绍的解法，就是上文中提到的解法． 一元三次方程的解法 一元三次方程的求根公式用通常的演绎思维是作不出来的，用类似解一元二次方程的求根公式的配方法只能将型如ax+bx+cx+d=0的标准型一元三次方程形式化为x+px+q=0的特殊型。 一元三次方程的求解公式的解法只能用归纳思维得到，即根据一元一次方程、一元二次方程及特殊的高次方程的求根公式的形式归纳出一元三次方程的求根公式的形式。归纳出来的形如 x+px+q=0的一元三次方程的求根公式的形式应该为x=A^(1/3)+B^(1/3)型，即为两个开立方之和。归纳出了一元三次方程求根公式的形式，下一步的工作就是求出开立方里面的内容，也就是用p和q表示A 和B。方法如下：
一般三次方程的简明新求根公式和根的判别法则 —— 谢国芳 Email: roixie@https://www.doczj.com/doc/273363614.html, 【摘要】 本文利用复三角函数推导出了远比卡丹公式简明快捷的可直接用来求解 一般三次方程（包括复系数情形）320ax bx cx d +++=的新求根公式，进而又针对实系数的情形讨论了根的情况，得到了方便的根的判别法则。 【关键词】 三次方程 复三角函数 欧拉公式 求根公式 判别法 1 一般三次方程的简化 对于一个一般形式的三次方程320ax bx cx d +++= (0)a ≠, 两边同除以a ，即可化为首项系数为1的三次方程 320b c d x x x a a a + ++=, 然后作变量代换 3b x y a =- , （1） 可消去二次项，将它化为下面的形式： 30y py q ++=, （2） 其中 2233b ac p a -=-, 323922727abc b a d q a --=-. （3） 下面我们把形如式（2）的三次方程称为简约三次方程. 并约定其一次项系数0p ≠.[1] 2 简约三次方程的三角函数解法和求根公式 在方程（2）中作变量代换[2] y z =, （4） 利用三倍角公式 3cos34cos 3cos z z z =-,
方程（2）即化为 cos3z = , （5） 定义参数 χ= , （6） 称之为三次方程3 0y py q ++=的关键比(key ratio)，于是式（5）即 cos3z χ=. （7） 当χ为实数且1χ≤时，令1 cos θχ-=，可得其一般解为 32z n θπ=±+, 即 23 3n z θ π =± + ()n ∈ 取0,1,1n =-，即可得到z 在一个周期内的六个值： 22, , 33333z θθπθπ =±±+±- 但cos z 只取下面这三个值： 22cos cos , cos(), cos() 33333z θθπθπ =+- 代入式（4），即得方程3 0y py q ++=的三个根： 1 2 332cos()332)33y y y θθπθπ ?=?? ?? =+?? ?=-??? （8） 其中1 cos θχ-= , χ= (, 1) c c 危. 当关键比χ为绝对值大于1的实数或虚数时，方程（7）在实数域内无解，但如果我们 把三角函数的定义域扩大到复数域，即考虑复变量的三角函数，则对于任意复数χ都可求得其解. 根据复三角余弦函数的定义（欧拉公式）： cos 2 iz iz e e z -+=, （9） 方程（7）等价于
一般实系数四次方程的谢国芳求根公式 作者：谢国芳（Roy Xie ） Email: roixie@https://www.doczj.com/doc/273363614.html, 【摘要】本文给出了一个绝对准确可靠又最简明快捷的一般实系数四次方程的求根公式，其中涉及的运算全部为实数运算，可以在普通的科学计算器上进行。 以下把一般四次方程的形式设为 432 4640ax bx cx dx e ++++= 在系数中引入数字因子4, 6, 4是为了使后面各参数的表达式尽可能地简洁，注意五个系数的数字因子1, 4, 6, 4, 1恰好是二项式系数（ 4432(1)4641x x x x x +=++++ ）. 一般实系数四次方程的谢国芳求根公式 对于实系数四次方程 432 4640a x b x c x d x e ++++= (0)a > , 定义参数 2 H b ac =-, 2 43I ae bd c =-+, 23 32G a d abc b =-+, 3 2 2 3 4H a H I G J a --= , 3 2 27I J ?=-, 称0G ≠,220I J +≠（即, I J 不同时为0）的情形为一般情形，又可以分为下面这两种情况[1]：
（一）一般情形的求根公式Ⅰ 当32 270 I J ?=-<时，方程的四个根为 1,2 3,4 (sgn(/ (sgn(/ x b G a x b G a ?=-- ? ? ?=-+ ? 其中sgn() G为G的符号（sign）, 1 (0) sgn() 1 (0) G G G > ? =? -< ? 2 a t H =+. （二）一般情形的求根公式Ⅱ 当32 270 I J ?=-≥时，方程的四个根为 1 2 3 4 (/ (/ (/ (/ x b a x b a x b a x b a ?=-+++ ? ?=-+ ? ? =--+- ? ? =---+ ?? 其中 1 ) 3 y H θ =+ , 2,3 2 ) 33 y H θπ =±+, 1 cos J θ- - =. s是一个符号因子（sign factor），等于1或1-，视实数 123 ,, y y y的符号 而定：当 123 ,, y y y全为正数时sgn() G s=-，否则sgn() G s=. （三）特殊情形的求根公式
一元三次方程：只含有一个未知数，且未知数的最高次数为3的整式方程叫做一元三次方程，一元三次方程的一般形式是ax 3+bx 2+cx+d=0（a ，b ，c ，d∈R 且a ≠0），下面来讨论一下一元三次方程求解的问题。 已知一元三次方程ax 3+bx 2+cx+d=0，求方程的根。 解：令3b x y a =-，得2323 23 329270327ac b b abc a d y y a a --+++=① 令23223 329273,2327ac b b abc a d m n a a --+==，得3 320y my n ++=② 经过换元，将原方程化为一元三次方程的特殊形式（3 0x px q ++=），现在求方程② 的根， 令y=u+v ，两边立方得=+=+++=++333333 y (u v)u v 3uv (u v)u v 3uvy 333y 3uvy (u )③v 0∴--+= 由②③式可得，?=-?+=-?33333 u v m u v 2n ④ ⑤ 由④⑤式可知u 3和v 3为方程μ+μ-=232n m 0的两根， 3 32n 2n u ,v 22 -+--∴== y u v ∴=+= + 令a = = 则12223y a b y a b y a b ?=+??=α+α??=α+α??，2,αα为1 的立方根，221cos i sin i 3322ππα=+=-+ ，ππα=+=--2441cos i sin i 3322 则2323 23 329270327ac b b abc a d y y a a --+++=的根表示为
? =+?? +-? =++=+?? ?+-=++=-??12 3y a b 11a b a b y （-i ）a （--i ）b -22222211a b a b y （--i ）a （-i ）b -222222 ⑥ 由⑥可知， ① 当+>23n m 0时，方程有1个实根和2个共轭复根； ② 当+=23n m 0时，a ，b 是相等的两个实数，方程有3个实根，其中有1个二重实根； ③ 当+<23n m 0时，方程有3个不相等实根。 以上解法为在卡尔丹公式基础上进一步研究得出，常用的一元三次方程解法除卡尔丹公式法外，还有盛金公式法。 下面通过几个例题具体的使用卡尔丹公式进行解题。 例题1：解方程x 3-6x 2+10x-8=0 解：令3b x y a =- =y+2，得y 3-2y-4=0 23100 027 n m +=>Q a b ∴= = ?=+=?? ∴=α+α=-+??=α+α=--??12223y a b 2y a b 1i y a b 1i ∴原方程的解为?=+=? =+=+?? =+=-?112233x y 24 x y 21i x y 21i 例题2：解方程x 3-12x+16=0 解：23=6464=0n m +-Q 22 ∴=-=-a b ?=+=-?? ∴=α+α=??=α+α=??12223 y a b 4y a b 2y a b 2 ∴原方程的解为?==-? ==?? ==?112233x y 4 x y 2 x y 2 例题3：解方程x 3-6x-4=0
育英学校九年级自学能力测试题 21.2.2公式法 一、读懂文本，捕捉重要的知识信息，为记住知识和应用知识奠定基础。（30分）。 读懂材料第 页: 1.知识点1： 一般地，式子ac b 42-叫做方程02=++c bx ax （0≠a ） .通常用希腊字母?表示它，即 2.知识点2： 当△≥0时，方程0c b a 2=++x x （a ≠0）的实数根可写为 的形式，这个式子叫作一元二次方程的求根公式。 3.知识点3： [方法归纳] 用公法解下列一元二次方程的步骤： (1)把方程化为一般形式，确定a,b,c,的值。 (2)求出b 2－4ac 的值。 （3）若b 2－4ac ≥0，则将a,b,c,的值代入求根公式求出方程的根。 4.读完文本后，你有哪些疑惑？ 5.本文和以前学过的知识有什么联系？ 二、加强记忆，巩固知识，解决问题，提升能力。（60分） 1.方程0132=+-x x 的根的情况是（ ） A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根 C ．没有实数根 D ．只有一个实数根 解下列一元二次方程 (1)x 2-3x-1=0 (2) x 2+x-6=0 (3)3x 2-6x-2=0 (4)4x 2-6x=0
(5)x2+4x+8=4x+11 (6)x(2 x-4)=5 -8x 三、选做题（20分） 1．用公式法解方程4x2-12x=3，得到（）． A．x= 36 2 -± B．x= 36 2 ± C．x= 323 2 -± D．x= 323 2 ± 2．代数式x2-8x+12的值是-4,求x的值 四、思想提升（学用结合，让本文与学习者自身的学习、记忆、巩固、再现和应用紧密挂钩，站在学的角度思考文本对于自己有什么用处，达到培养学习者学科思想的目的。）（10分） 1、本节知识的重点内容是什么？学习这些知识后有什么用处？（5分） 2、学习本节内容你有什么好的方法，写下来与大家分享。（5分）