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(教师)直线与圆锥曲线综合题

(教师)直线与圆锥曲线综合题
(教师)直线与圆锥曲线综合题

A 级 直线与圆锥曲线综合训练

1、椭圆C : 的两个焦点为12,F F , 点P 在椭圆C 上,且112PF F F ⊥,12414=,=,33

PF PF

(1)求椭圆C 的方程;

(2)若直线l 过圆 的圆心M ,交椭圆C 于A ,B 两点,且A ,B

关于点M 对称,求直线l 的方程.

1、解 (1)因为点P 在椭圆C 上,所以122=PF +PF =6a ,a=3.

在Rt △12FF P 中,故椭圆的半焦距

c 222b =a -c =4.

从而所以椭圆C 的方程为 (2)设点A,B 的坐标分别为1122(,y ),(,y ).x x

已知圆的方程为22(+2)+(1)=5.x y -所以圆心M 的坐标为(-2,1), 从而可设直线l 的方程为:y=k(x+2)+1, 代入椭圆C 的方程得:

2222(4+9k )x +(36k +18k)x+36k +36k-27=0. 因为A ,B 关于点M 对称, 所以所以直线l 的方程为y=8

9

(x+2)+1,

即8x-9y+25=0.(经检验,所求直线方程符合题意)

2、若12,F F 分别是椭圆 (a >b >0) 的左、右焦点,P 是该椭圆上的一个

动点,且12+=4PF PF

, 12F F . (O 为坐标原点) (1)求出这个椭圆的方程;

(2)是否存在过定点N (0,2)的直线l 与椭圆交于不同的两点A 、B ,使 ?

若存在,求出直线l 的斜率k ;若不存在,说明理由.

2、解 (1)依题意,得2a=4,2c=2 ,所以a=2,

,∴b=1, ∴椭圆的方程为

22

221(

0)x y a b a b

+=>>22

+y +4x-2y=0x 22

1.

94

x y +=22

221x y a b

+=OA OB ⊥

c 2

2 1.4

x y +=2122

1898

2,,2499x x k k k k ++=-=-=+解得

(2)显然当直线的斜率不存在,即x=0时,不满足条件. 设l 的方程为y=kx+2,

由A 、B 是直线l 与椭圆的两个不同的交点,设1122(,),(,)A x y B x y

由 消去y 并整理,得22(1+4k )+16k +12=0x x , 223

=16(4k 3)0,k .4

?->>

由韦达定理

∵ , ∴ =0, ∴ = ∴ ②

由①②可知k=±2,

所以,存在斜率k=±2的直线l 符合题意.

3、如图所示,设抛物线方程为2=2py x (p >0),M 为直线y= - 2p 上任意一点,过M 引抛物线的切线, 切点分别为A,B.

(1)求证:A,M,B 三点的横坐标成等差数列;

(2)已知当M 点的坐标为 (2,-2p) 时,|AB|=

求此时抛物线的方程.

3、证明 由题意设

由 ,则 ,

所以

因此,直线MA 的方程为

直线MB 的方程为 22

1,4

2x y y kx ?+=???=+?

22222

12164(4)(1)240,141414k k k k k k k -??=+?+-+== ?+++??

22

1212,,,,22x x A x B x p p ???? ? ?????

1212

22

1612

=-

,=1414k x x x x k k +++OA OB ⊥ OA OB ?

OA OB ? 21212(1+k )+2k(x +x )+4

x x 2

=4k 12x x <0(,2)

M x P -22=2py =2p x x y ?'=p x

y 1=p AM x k 2

=p

BM

x k 1

0y+2p=()p

x x x -2

0y+2p=

()p

x x x -

所以, ①

由①、②得 因此,

所以A 、M 、B 三点的横坐标成等差数列.

(2)解 由(1)知,当 时,将其代入①、②,并整理得:

所以, 是方程 的两根, 因此, ,

所以p=1或p=2,因此所求抛物线方程为

4、如图,过点F (1,0)的直线l 与抛物线C :y2=4x 交于A 、B 两点. (1)若|AB|=8,求直线AB 的方程;

(2)记抛物线C 的准线为l ′, 设直线OA 、OB 分别交l ′于点N 、M ,求

4、解 (1)设,1122A(x ,y ) ,B(x ,y ), |AB|=8, 即

∵|AB|>2p,∴直线l 的斜率存在,设其方程为y=k(x-1).

由方程组

消去y,得 ∴ 即 得k=±1.

∴直线AB 的方程是x-y-1=0或x+y-1=0.

(2)①当直线l 的斜率不存在时,

②当直线l 的斜率存在时,由(1)知, 设3(1,)M y -, 4(1,)N y - ,B,O ,M 三点共线,

OM ON ?

211

10x +2p=()2p p x x x -22

220x +2p=()

2p p x

x x -12120

=x +x -x 2

x x +120x =2x x +012

2x =x x +0x =22

11x -4x -4p =0

222x -4x -4p =0

12,x x 2x -4x -4p =012 = 4x x +12 = - 4p x x ?012x x +x 2

=

==2P P P

AB

k 2

=2y

x 2=4y

x 2

4,

(1),y x y k x ?=?

=-?2222k x -(2k +4)x+k =0,

2

2

246,k k

+=1212 = x x +y y = 1 - 4= - 3.OM ON OA OB

?=?

1212x x =1,y y 4,=-y y y 2122246,k x x k ++==128,x x P ++=126,x x +=

∴ 同理可得 ∴

综上,

5、已知椭圆x 2

2+y 2=1的左焦点为F,O 为坐标原点.

(1)求过点O 、F,且与直线l: x=-2相切的圆的方程;

(2)设过点F 且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A ,B 两点,线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点G ,求点G 横坐标的取值范围.

5解:(1)∵a 2=2,b 2=1,∴c =1,F(-1,0), ∵圆过点O ,F ,∴圆心M 在直线x =-1

2上. 设M(-12,t),则圆半径r =|(-12)-(-2)|=3

2, 由|OM|=r ,得

(-12)2+t 2=32,

解得t =±2,∴所求圆的方程为(x +12)2+(y ±2)2=9

4.

(2)设直线AB 的方程为y =k(x +1)(k ≠0).代入x 22+y 2

=1, 整理得(1+2k 2)x 2+4k 2x +2k 2-2=0.

∵直线AB 过椭圆的左焦点F 且不垂直于x 轴,∴方程有两个不等根. 记A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),AB 中点N(x 0,y 0), 则x 1+x 2=-4k 22k 2+1,x 0=12(x 1+x 2)=-2k 2

2k 2+1,

y 0=k(x 0+1)=

k

2k 2+1

, ∴AB 的垂直平分线NG 的方程为y -y 0=-1

k (x -x 0)

令y =0,得x G =x 0+ky 0=-2k 22k 2+1+k 22k 2+1=-k 22k 2+1=-12+1

4k 2+2,

∵k ≠0,∴-12

2

,0).

123412

=1+y y =1+ 3.

y y

OM ON x x ?=- = - 3.OM ON ?

6、设椭圆ax 2+by 2=1与直线x +y -1=0相交于A 、B 两点,点C 是AB 的中点,若|AB|=22,OC 的斜率为2

2

,求椭圆的方程.

6解: 设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),那么A 、B 的坐标是方程组???

ax 2+by 2

=1,

x +y -1=0的解.

由ax 21+by 21=1,ax 22+by 2

2=1,两式相减,得a(x 1+x 2)(x 1-x 2)+b(y 1+y 2)(y 1-y 2)=0,

因为y 1-y 2x 1-x 2=-1,所以y 1+y 2x 1+x 2=a b ,即2y c 2x c =a b ,y c x c =a b =22,所以b =2a. ①

再由方程组消去y 得(a +b)x 2-2bx +b -1=0,

由|AB|=(x 1-x 2)2+(y 1-y 2)2=2(x 1-x 2)2=2[(x 1+x 2)2-4x 1x 2]=2 2. 得(x 1+x 2)2-4x 1x 2=4,得(2b a +b )2-4·b -1a +b

=4. ②

由①、②解得a =13,b =2

3,故所求的椭圆方程为x 23+2y 23=1.

7、已知椭圆x 24+y 22=1上的两个动点P ,Q 及定点M(1,6

2),F 是椭圆的左焦点,且|PF|,

|MF|,|QF|成等差数列.

(1)求证:线段PQ 的垂直平分线经过一个定点A ;

(2)设点A 关于原点O 的对称点是B ,求|PB|的最小值及相应的P 点坐标.

7:(1)证明 设P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2),由已知得a =2,b =2,c =2,e =2

2. 由椭圆的焦半径公式得|PF|=2+22x 1,|QF|=2+22x 2,|MF|=2+2

2.

∵2|MF|=|PF|+|QF|, ∴2(2+22)=4+2

2(x 1+x 2) ∴x 1+x 2=2.

当x 1≠x 2时,由???

x 21+2y 2

1=4

x 2

2+2y 2

2=4

,得

y 1-y 2x 1-x 2=-12·x 1+x 2

y 1+y 2. 设线段PQ 的中点N(1,n),∴k PQ =

y 1-y 2x 1-x 2

=-1

2n , ∴线段PQ 的垂直平分线方程为y -n =2n(x -1),

∴(2x -1)n -y =0,该直线恒过一个定点A(1

2,0). 当x 1=x 2时,线段PQ 的中垂线也过定点A(1

2,0).

(2)解 由于点B 与点A 关于原点O 对称,故点B(-1

2,0)∵-2≤x 1≤2,-2≤x 2≤2, ∴x 1=2-x 2∈[0,2],|PB|2=(x 1+12)2+y 21=12(x 1+1)2+74≥94, ∴当点P 的坐标为(0,±2)时,|PB|min =3

2.

8、已知椭圆C 的中心在原点,焦点在x 轴上,它的一个顶点恰好是抛物线y =1

4x 2的焦

点,离心率等于

25

5

. (1)求椭圆C 的方程;

,,(2)点轴于交两点于交椭圆作直线的右焦点椭圆过M y B A 、C l F C .,21BF MB AF MA λλ==

求证:λ1+λ2为定值.

8解:设A 、B 、M 点的坐标分别为A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),M(0,y 0),F 点的坐标为(2,0).显然直线l 存在斜率,设直线l 的斜率为k ,则直线l 的方程是y =k(x -2). 将直线l 的方程代入到椭圆C 的方程中, 消去y 并整理得(1+5k 2)x 2-20k 2x +20k 2-5=0. ∴x 1+x 2=20k 21+5k 2,x 1x 2=20k 2-51+5k 2

.

因为.,21BF MB AF MA λλ==所以λ1=x 12-x 1,λ2=x 2

2-x 2,

∴λ1+λ2=x 12-x 1+x 2

2-x 2=2(x 1+x 2)-2x 1x 24-2(x 1+x 2)+x 1x 2

=-10

9、在平面直角坐标系xOy 中,已知点A (-1,0)、B (1,0),动点C 满足条件: △ABC 的周长为2+ 22.记动点C 的轨迹为曲线W. (1)求W 的方程;

(2)经过点(0,2)且斜率为k 的直线l 与曲线W 有两个不同的交点P 和Q ,求k 的取值范围;

(3)已知点M (2,0),N (0,1),在(2)的条件下,是否存在常数k ,使得向量→

→+OQ OP 与→

MN 共线?如果存在,求出k 的值;如果不存在,请说明理由.

9、解(1)设C (x ,y ),∵|AC|+|BC|+|AB|=2+22,|AB|=2,∴|AC|+|BC|=22>2 ∴动点C 的轨迹是以A 、B 为焦点,长轴长为22的椭圆除去与x 轴的两个交点.

∴a=2,c=1.∴12

2

2

=-=c a b .∴W 的方程为2

2

x +2y =1(y ≠0).

(2)设直线l 的方程为y=kx+2,代入椭圆方程,整理得(2

1

+2k )2x +22kx+1=0.① 因为直线l 与椭圆有两个不同的交点P 和Q 等价于 Δ=82k -4(

2

1

+2k )=42k -2>0,解得k<-22或k>22 .

(3)设P (x 1 y 1,),Q (x 2,y 2),则→

+OQ OP =(x 1+ x 2,y 1+ y 2), 由①得x 1+ x 2=-

2

2124k

k

+, ② 又y 1+y 2=k(x 1+ x 2)+ 22, ③ 因为M (2,0),N (0,1),所以→

MN =(-2,1).

所以→

+OQ OP 与→

MN 共线等价于x 1+x 2=-2( y 1+y 2).将②③代入上式,解得k=2

2

.所以不存在常数k ,使得向量→

+OQ OP 与→

MN 共线.

10、设抛物线y 2=2px (p>0)的焦点为F ,经过点F 的直线交抛物线于A 、B 两点, 点C 在抛物线的准线上,且BC ∥x 轴. 证明:直线AC 经过原点O.

10、证明 因为抛物线y 2=2px (p>0)的焦点为F ??

? ??0,2P ,由于直线AB 不可能与x 轴平行,

所以经过点F 的直线AB 的方程可设为x =my +

2

P

.代入抛物线方程得y 2-2pmy -p 2=0.若记A (x 1,y 1)、B (x 2,y 2),则y 1、y 2是该方程的两个根,所以y 1y 2=-p 2.因为BC ∥x 轴,且点

C 在准线x =-

2P 上,所以点C 的坐标为??

? ??-2,2y P 。 故直线CO 的斜率为11

1222

x y y P P y k =

=-=

,即k 也是直线OA 的斜率, 所以直线AC 经过原点O .

11、双曲线C 与椭圆 有相同的焦点,直线y= x 为C 的一条渐近线.

(1)求双曲线C 的方程;

(2)过点P (0,4)的直线l ,交双曲线C 于A 、B 两 点,交x 轴于Q 点(Q 点与C 的

顶点不重合). 当

时,求Q 点的坐标.

11、解 (1)设双曲线方程为 由椭圆 求得两焦点为(-2,0),(2,0), ∴对于双曲线C :c=2.

又 为双曲线C 的一条渐近线,∴ ,解得,

∴双曲线C 的方程为

(2)由题意知直线l 的斜率k 存在且不等于零. 设l 的方程:y=kx+4, 则 ∵ ,∴

即 (*)

又 消去y 得

14

82

2=+y x 33

8,2

121-=+==λλλλ且22

22 1.

x y a b

-=22

1,

84

x y +=y =b a =2

2x - 1.3

y =22a =1,b =3

4,0.Q k ??- ???

1

=PQ QA λ 11144,4,.x y k k λ????--=+ ? ?????11144.44k kx x k

λ-∴=

=-++224.4kx λ=-+同理1122A(x ,y ),B(x ,y ),

1212448

.443

kx kx λλ+=-

-=-++224

.13y kx y x =+??

?-=??

2

12122k x x +5k(x +x )+8=0.22(3-k )x -8kx-19=0.

当 时,则直线l 与双曲线的渐近线平行,不合题意,∴

由根与系数的关系有 代入(*)式得 ,k=±2,

∴所求Q 点的坐标为(±2,0).

12、已知中心在原点的双曲线C 的一个焦点是F 1(-3,0),一条渐近线的方程是 x-2y=0. (1)求双曲线C 的方程;

(2)若以k(k ≠0)为斜率的直线l 与双曲线C 相交于两个不同的点M ,N ,且线段MN 的垂直平分线与 两坐标轴围成的三角形的面积为 ,求k 的取值范围.

12、解(1)设双曲线C 的方程为

所以双曲线C 的方程为 (2)设直线l 的方程为y=kx+m (k ≠0),则点 的坐标满足方程组

① ②

将①式代入②式,得 整理得

此方程是两个不等实根,

整理得 ③ 由根与系数的关系可知线段MN 的中点坐标(x0,y0)满足

从而线段MN 的垂直平分线的方程为

此直线与x 轴,y 轴的交点坐标分别为 2

81122

1228,319,

3k x x k x x k ?

+=??-?

?=-?-?

23-k =0

23-k 0≠2k =422

221(0,0),

x y a b a b

-=>

>2222

9,

4,5.a b a b

b a

?+=?=????==????由题设得解得22

1.45

x y -

=2

2

,

1.45

y kx m x y

=+???-=??1122M(x ,y ),N(x ,y ),()2

21,45

kx m x +-=222(5-4k )x -8kmx-4m -20=0.22225-4k 0=(-8km)+4(5-4k )(4m +20)0

?≠??>?? 22

m + 5-4k >0

12000

2245x =,,25454x x km m y kx m k k +==+=--00(x ,)y 22514.

5454m

km y x k k k ??-=-- ?--??

2299,0,0,,km m ???

? ? ?

将上式代入③式得 整理得 解得

或 .

所以k 的取值范围是

222

2219981(54),,0.254542km m k m k k k k -?==≠--由题设可得整理得222

(54)540,k k k

-+->22(4k -5)(4k -|k|-5) >0,k 0≠0<|k|<2|k|>

4

55,,.44

???????-∞-+∞ ? ? ? ? ????????

1、椭圆C : 的两个焦点为12,F F , 点P 在椭圆C 上,且112PF F F ⊥,

12414=,=,33

PF PF

(1)求椭圆C 的方程;

(2)若直线l 过圆 的圆心M ,交椭圆C 于A ,B 两点,且A ,B

关于点M 对称,求直线l 的方程.

22

+y +4x-2y=0x 22

221(0)x y a b a b +=>>

2、若12,F F 分别是椭圆 (a >b >0) 的左、右焦点,P 是该椭圆上的一个动点, 且12+=4PF PF

, 12F F . (1)求出这个椭圆的方程;

(2)是否存在过定点N (0,2)的直线l 与椭圆交于不同的两点A 、B ,使

(其中O 为坐标原点)?若存在,求出直线l 的斜率k ;若不存在,说明理由.

OA OB ⊥

22

2

21x y a b

+=

3、如图所示,设抛物线方程为2=2py

x(p>0),M为直线y= - 2p上任意一点,过M引抛物线的切线, 切点分别为A,B.

(1)求证:A,M,B三点的横坐标成等差数列;

(2)已知当M点的坐标为(2,-2p) 时,|AB|=

. 求此时抛物线的方程.

4、如图,过点F (1,0)的直线l 与抛物线C :y2=4x 交于A 、B 两点. (1)若|AB|=8,求直线AB 的方程;

(2)记抛物线C 的准线为l ′,设直线OA 、OB 分别交l ′于点N 、M ,求 的值.

OM ON

5、已知椭圆x 22+y 2

=1的左焦点为F,O 为坐标原点. (1)求过点O 、F,且与直线l: x=-2相切的圆的方程;

(2)设过点F 且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A ,B 两点,线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点G ,求点G 横坐标的取值范围.

6、设椭圆ax2+by2=1与直线x+y-1=0相交于A、B两点,点C是AB的中点,

若|AB|=22,OC的斜率为

2

2,求椭圆的方程.

|MF|,|QF|成等差数列.

(1)求证:线段PQ的垂直平分线经过一个定点A;

(2)设点A关于原点O的对称点是B,求|PB|的最小值及相应的P点坐标.

8、已知椭圆C 的中心在原点,焦点在x 轴上,它的一个顶点恰好是抛物线y =1

4x 2的焦点,离心率等于25

5. (1)求椭圆C 的方程;

,,(2)点轴于交两点于交椭圆作直线的右焦点椭圆过M y B A 、C l F C .,21λλ==

求证:λ1+λ2为定值.

9、在平面直角坐标系xOy中,已知点A(-1,0)、B(1,0),动点C满足条件:

△ABC的周长为2+ 2

2.记动点C的轨迹为曲线W.

(1)求W的方程;

(2)经过点(0,2)且斜率为k的直线l与曲线W有两个不同交点P和Q,求k取值范围

(3)已知点M(2,0),N(0,1),在(2)的条件下,是否存在常数k,使得向量

→→

+OQ OP

MN共线?如果存在,求出k的值;如果不存在,请说明理由.

10、设抛物线y2=2px (p>0)的焦点为F,经过点F的直线交抛物线于A、B两点,点C 在抛物线的准线上,且BC∥x轴.

证明:直线AC经过原点O.

基础_巩固练习_直线与圆锥曲线

【巩固练习】 一、选择题 1.双曲线22 134 x y -=上一点P 到左焦点的距离与到左准线的距离之比为( ) 2.椭圆22214x y m +=与双曲线22 212x y m -=有相同的焦点,则m 的值是( ) A .±1 B .1 C .-1 D .不存在 3.已知动点P (,)x y 24x =-,则动点P 的轨迹是( ) A. 椭圆 B. 双曲线 C. 抛物线 D. 直线 4.设抛物线y 2=8x 的焦点为F ,准线为l ,P 为抛物线上一点,P A ⊥l ,A 为垂足.如果直线AF 的斜 率为|PF |=( ) A ..8 C .D .16 5. 已知抛物线y 2=2px (p >0),过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A 、B 两点,若线段AB 的中点的纵坐标为2,则该抛物线的准线方程为( ) A .x =1 B .x =-1 C .x =2 D .x =-2 6. 已知双曲线的左、右焦点分别为F 1、F 2,在左支上过F 1的弦AB 的长为5,若2a =8,那么△ABF 2的周长是( ) A .16 B .18 C .21 D .26 二、填空题 7. 双曲线2224mx my -=的一条准线是1y =,则实数m 为________. 8.已知双曲线22 1124 x y -=的右焦点为F ,若过点F 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点,则此直线斜率的取值范围是________. 9.过点P (3,0)的直线l 与双曲线4x 2-9y 2=36只有一个公共点,则这样的直线l 共有________条. 10.如果直线l 过定点M (1,2),且与抛物线y =2x 2有且仅有一个公共点,那么l 的方程为________. 11.过抛物线y 2=2px (p >0)的焦点F 作倾斜角为45°的直线交抛物线于A ,B 两点,若线段AB 的长为8,则p =________. 三、解答题 12.过抛物线y 2=4x 的焦点作一条直线与抛物线相交于A 、B 两点,它们的横坐标之和等于5,则这样的直线有几条. 13.设双曲线C :2 221(0)x y a a -=>与直线:1l x y +=相交于两个不同的点A 、B ,求双曲线C 的离心率e 的取值范围: 14.设双曲线22 22x y a b -=1(0

(完整word版)圆锥曲线经典练习题及答案

一、选择题 1. 圆锥曲线经典练习题及解答 大足二中 欧国绪 直线I 经过椭圆的一个顶点和一个焦点,若椭圆中心到 1 l 的距离为其短轴长的丄,则该椭圆 4 的离心率为 1 (A ) ( B ) 3 (C ) I (D ) 2. 设F 为抛物线 c : y 2=4x 的焦点, 曲线 k y= ( k>0)与C 交于点P , PF 丄x 轴,则k= x (B )1 3 (C)— 2 (D )2 3?双曲线 2 x C : T a 2 y_ 1(a 0,b 0)的离心率为2,焦点到渐近线的距离为 '、3,贝U C 的 焦距等于 A. 2 B. 2、2 C.4 D. 4?已知椭圆 C : 0)的左右焦点为 F i ,F 2,离心率为 丄3,过F 2的直线l 3 交C 与A 、 B 两点, 若厶AF i B 的周长为4、、3,则 C 的方程为() 2 A. x_ 3 B. 2 x 2彳 xr y 1 C. 2 x 12 D. 2 x 12 5. y 2 b 2 线的一个焦点在直线 2 A.— 5 6.已知 已知双曲线 2 x ~2 a 1( a 0, b 0)的一条渐近线平行于直线 I : y 2x 10,双曲 2 B — 20 2 为抛物线y 2 ' 1 20 F l 上, 2 y 5 则双曲线的方程为( 也 1 100 A , B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧, c 3x 2 1 C.— 25 占 八、、 的焦点, uu uuu OA OB A 、2 (其中O 为坐标原点),则 - 1^/2 8 7.抛物线 =X 2的准线方程是 4 (A) y (B) 2 (C) ) D M 辽 .100 25 ABO 与 AFO 面积之和的最小值是( ) x 1 (D)

圆锥曲线的综合问题(答案版)讲课教案

圆锥曲线的综合问题 【考纲要求】 1.考查圆锥曲线中的弦长问题、直线与圆锥曲线方程的联立、根与系数的关系、整体代入 和设而不求的思想. 2.高考对圆锥曲线的综合考查主要是在解答题中进行,考查函数、方程、不等式、平面向 量等在解决问题中的综合运用. 【复习指导】 本讲复习时,应从“数”与“形”两个方面把握直线与圆锥曲线的位置关系.会判断已知直线与曲线的位置关系(或交点个数),会求直线与曲线相交的弦长、中点、最值、定值、点的轨迹、参数问题及相关的不等式与等式的证明问题. 【基础梳理】 1.直线与圆锥曲线的位置关系 判断直线l 与圆锥曲线C 的位置关系时,通常将直线l 的方程Ax +By +C =0(A 、B 不同时 为0)代入圆锥曲线C 的方程F (x ,y )=0,消去y (也可以消去x )得到一个关于变量x (或 变量y )的一元方程. 即?? ?==++0 ),(0y x F c By Ax ,消去y 后得02 =++c bx ax (1)当0≠a 时,设方程02 =++c bx ax 的判别式为Δ,则Δ>0?直线与圆锥曲线C 相交;Δ=0?直线与圆锥曲线C 相切;Δ<0?直线与圆锥曲线C 无公共点. (2)当0=a ,0≠b 时,即得一个一次方程,则直线l 与圆锥曲线C 相交,且只有一个交点, 此时,若C 为双曲线,则直线l 与双曲线的渐近线的位置关系是平行;若C 为抛物线, 则直线l 与抛物线的对称轴的位置关系是平行. 2.圆锥曲线的弦长 (1)定义:直线与圆锥曲线相交有两个交点时,这条直线上以这两个交点为端点的线段叫做 圆锥曲线的弦(就是连接圆锥曲线上任意两点所得的线段),线段的长就是弦长. (2)圆锥曲线的弦长的计算 设斜率为k (k ≠0)的直线l 与圆锥曲线C 相交于A ,B 两点,A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则|AB | =1+k 2 |x 1-x 2|=]4))[(1(212212x x x x k -++=a k ? ? +2 1=1+1 k 2·|y 1-y 2|. (抛物线的焦点弦长|AB |=x 1+x 2+p =2p sin 2 θ ,θ为弦AB 所在直线的倾斜角). 3、一种方法 点差法:在求解圆锥曲线并且题目中交代直线与圆锥曲线相交和被截的线段的中点坐标时,设出直线和圆锥曲线的两个交点坐标,代入圆锥曲线的方程并作差,从而求出直线的斜率,

高考数学(理)热点专题专练专题三直线圆圆锥曲线测试题

专题三 直线、圆、圆锥曲线测试题 (时间:120分钟 满分:150分) 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知圆O 的方程是x 2+y 2-8x -2y +10=0,过点M (3,0)的最短弦所在的直线方程是( ) A .x +y -3=0 B .x -y -3=0 C .2x -y -6=0 D .2x +y -6=0 解析 x 2+y 2-8x -2y +10=0,即(x -4)2+(y -1)2=7, 圆心O (4,1),设过点M (3,0)的直线为l ,则k OM =1, 故k l =-1,∴y =-1×(x -3),即x +y -3=0. 答案 A 2.过点(-1,3)且平行于直线x -2y +3=0的直线方程为( ) A .x -2y +7=0 B .2x +y -1=0 C .x -2y -5=0 D .2x +y -5=0 解析 因为直线x -2y +3=0的斜率是1 2,故所求直线的方程为y -3=1 2(x +1),即x -2y +7=0. 答案 A 3.曲线y =2x -x 3在横坐标为-1的点处的切线为l ,则点P (3,2)到直线l 的距离为( ) A.722 B.922

C.1122 D.91010 解析 曲线y =2x -x 3在横坐标为-1的点处的纵坐标为-1,故切点坐标为(-1,-1).切线斜率为k =y ′|x =-1=2-3×(-1)2=-1,故切线l 的方程为y -(-1)=-1×[x -(-1)],整理得x +y +2=0,由点到直线的距离公式得点P (3,2)到直线l 的距离为|3+2+2|12+1 2=722. 答案 A 4.若曲线x 2+y 2+2x -6y +1=0上相异两点P 、Q 关于直线kx +2y -4=0对称,则k 的值为( ) A .1 B .-1 C.12 D .2 解析 曲线方程可化为(x +1)2+(y -3)2=9,由题设知直线过圆心,即k ×(-1)+2×3-4=0,∴k =2.故选D. 答案 D 5.直线ax -y +2a =0(a ≥0)与圆x 2+y 2=9的位置关系是( ) A .相离 B .相交 C .相切 D .不确定 解析 圆x 2+y 2=9的圆心为(0,0),半径为3.由点到直线的距离公式d =|Ax 0+By 0+C |A 2+B 2得该圆圆心(0,0)到直线ax -y +2a =0的距离 d = 2a a 2+(-1)2 = 2a a 2+12 ,由基本不等式可以知道2a ≤ a 2+12,

《圆锥曲线与方程》单元测试卷 答案

《圆锥曲线与方程》单元测试卷 一、选择题:(本大题共10小题,每小题4分,共40分.) 1.方程132-=y x 所表示的曲线是 ( ) (A )双曲线 (B )椭圆 (C )双曲线的一部分 (D )椭圆的一部分 2.平面内两定点A 、B 及动点P ,设命题甲是:“|PA|+|PB|是定值”,命题乙是:“点P 的轨迹是以A .B 为焦点的椭圆”,那么 ( ) (A )甲是乙成立的充分不必要条件 (B )甲是乙成立的必要不充分条件 (C )甲是乙成立的充要条件 (D )甲是乙成立的非充分非必要条件 3.椭圆14222=+a y x 与双曲线12 2 2=-y a x 有相同的焦点,则a 的值是 ( ) (A )12 (B )1或–2 (C )1或12 (D )1 4.若抛物线的准线方程为x =–7, 则抛物线的标准方程为 ( ) (A )x 2=–28y (B )y 2=28x (C )y 2=–28x (D )x 2=28y 5.已知椭圆19 252 2=+y x 上的一点M 到焦点F 1的距离为2,N 是MF 1的中点,O 为原点,则|ON|等于 (A )2 (B ) 4 (C ) 8 (D ) 2 3 ( ) 6.顶点在原点,以x 轴为对称轴的抛物线上一点的横坐标为6,此点到焦点的距离等于10,则抛物线焦点到准线的距离等于 ( ) (A ) 4 (B )8 (C )16 (D )32 7.21F F 为双曲线2 214 x y -=-的两个焦点,点P 在双曲线上,且1290F PF ∠=o ,则21PF F ?的面积是 (A ) 2 (B )4 (C )8 (D )16 ( ) 8.过点P (4,4)与双曲线22 1169 x y -=只有一个公共点的直线有几条 ( ) (A ) 1 (B ) 2 (C )3 (D )4 9、已知双曲线中心在原点且一个焦点为)0,7(F ,直线1-=x y 与其交于N M 、两点,MN 中点的横坐标为3 2-,则此双曲线的方程是 ( )

圆锥曲线-直线与圆锥曲线的位置关系

直线与圆锥曲线位置关系 一、基础知识: (一)直线与椭圆位置关系 1、直线与椭圆位置关系:相交(两个公共点),相切(一个公共点),相离(无公共点) 2、直线与椭圆位置关系的判定步骤:通过方程根的个数进行判定, 下面以直线y kx m =+和椭圆:()22 2210x y a b a b +=>>为例 (1)联立直线与椭圆方程:222222 y kx m b x a y a b =+??+=? (2)确定主变量x (或y )并通过直线方程消去另一变量y (或x ),代入椭圆方程得到关于主变量的一元二次方程:() 2 22 2 22b x a kx m a b ++=,整理可得: ()22 222222220a k b x a kxm a m a b +++-= (3)通过计算判别式?的符号判断方程根的个数,从而判定直线与椭圆的位置关系 ① 0?>?方程有两个不同实根?直线与椭圆相交 ② 0?=?方程有两个相同实根?直线与椭圆相切 ③ 0?>为例: (1)联立直线与双曲线方程:22 2 2 22 y kx m b x a y a b =+?? -=?,消元代入后可得: ()()2 2222222220b a k x a kxm a m a b ---+= (2)与椭圆不同,在椭圆中,因为2 2 2 0a k b +>,所以消元后的方程一定是二次方程,但双曲线中,消元后的方程二次项系数为2 2 2 b a k -,有可能为零。所以要分情况进行讨论

最新高考数学二轮专题综合训练-圆锥曲线(分专题-含答案)

圆锥曲线综合训练题 一、求轨迹方程: 1、(1)已知双曲线1C 与椭圆2C :22 13649 x y +=有公共的焦点,并且双曲线的离心率1e 与椭 圆的离心率2e 之比为7 3,求双曲线1C 的方程. (2)以抛物线2 8y x =上的点M 与定点(6,0)A 为端点的线段MA 的中点为P ,求P 点的轨迹方程. (1)解:1C 的焦点坐标为(0, 27e = 由127 3 e e = 得13e =设双曲线的方程为2 2 221(,0)y x a b a b -=>则22222 13 139a b a b a ?+=??+=? ? 解得229,4a b == 双曲线的方程为 22194y x -= (2)解:设点00(,),(,)M x y P x y ,则00 62 2 x x y y +? =????=??,∴00262x x y y =-??=?. 代入2008y x =得:2 412y x =-.此即为点P 的轨迹方程. 2、(1)ABC ?的底边16=BC ,AC 和AB 两边上中线长之和为30,建立适当的坐标系求此三角形重心G 的轨迹和顶点A 的轨迹.(2)△ABC 中,B(-5,0),C(5,0),且sinC-sinB=5 3 sinA,求点A 的轨迹方程. 解: (1)以BC 所在的直线为x 轴,BC 中点为原点建立直角坐标系.设G 点坐标为()y x ,,由20=+GB GC ,知G 点的轨迹是以B 、C 为焦点的椭圆,且除去轴上两点.因10=a , 8=c ,有6=b ,故其方程为 ()0136 1002 2≠=+y y x .设()y x A ,,()y x G '',,则()013610022≠'='+'y y x . ①由题意有???????='='33 y y x x ,代入①,得A 的轨迹方程为 ()01324 9002 2≠=+y y x ,其轨迹是椭圆(除去x 轴上两点).

圆锥曲线经典练习题及答案(供参考)

圆锥曲线经典练习题及解答 大足二中 欧国绪 一、选择题 1. 直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点,若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的4 1 ,则该椭圆的离心率为 (A )31 (B )21(C )32(D )4 3 2. 设F 为抛物线C :y 2=4x 的焦点,曲线y =k x (k >0)与C 交于点P ,PF ⊥x 轴,则k = (A ) 12 (B )1 (C )3 2 (D )2 3.双曲线C:22 221(0,0)x y a b a b -=>>的离心率为2C 的 焦距等于( ) A. 2 B. 4.已知椭圆C :22 221(0)x y a b a b +=>>的左右焦点为F 1,F 2,离心率为3,过F 2的直线l 交C 与A 、B 两点,若△AF 1B 的周长为C 的方程为( ) A. 22132x y += B. 22 13x y += C. 221128x y += D. 221124 x y += 5. 已知双曲线)0,0(122 22>>=-b a b y a x 的一条渐近线平行于直线,102:+=x y l 双曲 线的一个焦点在直线l 上,则双曲线的方程为( ) A.120522=- y x B.152022=-y x C.1100325322=-y x D.125 310032 2=-y x 6.已知F 为抛物线2 y x =的焦点,点A ,B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧,2OA OB ?=(其中O 为坐标原点),则ABO ?与AFO ?面积之和的最小值是( ) A 、2 B 、3 C D 7.抛物线2 4 1x y = 的准线方程是( ) (A) 1-=y (B) 2-=y (C) 1-=x (D) 2-=x

第二章圆锥曲线与方程单元测试卷

第二章圆锥曲线与方程单元测试卷 一、选择题: 1.双曲线2 214 x y -=的实轴长为( ) A .3 B .4 C .5 D .12 2.抛物线22y x =的准线方程为( ) A .14y =- B .18y =- C .12x = D .1 4 x =- 3.已知椭圆 22 1102 x y m m +=--,长轴在y 轴上.若焦距为4,则m 等于( ) A .4 B .5 C .7 D .8 4.抛物线21 4 x y = 的焦点到准线的距离为( ) A .2 B .4 C .18 D .1 2 5.已知椭圆()222104x y a a + =>与双曲线22 193 x y -=有相同的焦点,则a 的值为( ) C.4 D.10 6.若双曲线()22 22103 x y a a -=>的离心率为2,则实数a 等于( ) A.2 C. 3 2 D.1 7.曲线221259x y + =与曲线()22 19259x y k k k +=<--的( ) A.长轴长相等 B.短轴长相等 C.焦距相等 D.离心率相等 8.已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ,点,A B 在C 上且关于x 轴对称,点,M N 分别为,AF BF 的中点,且AN BM ⊥,则AB =( ) A . B .

C . 8或8 D .12+或12 9.已知双曲线22 221x y a b -=(0,0)a b >>的一条渐近线过点,且双曲线的一个焦点在抛物 线2y =的准线上,则双曲线的方程是( ) A .22 12128x y -= B .2212821x y - = C .22134x y -= D .22 143x y - = 10.已知点P 是抛物线22y x =上的一个动点,则点P 到点A (0,2)的距离与P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为( ) B.3 D.92 11.已知椭圆22 22:1(0)x y E a b a b +=>>的右焦点为F .短轴的一个端点为M ,直线:340 l x y -=交椭圆E 于,A B 两点.若4AF BF +=,点M 到直线l 的距离不小于4 5 ,则椭圆E 的离心率的取值围是( ) A . B .3(0,]4 C . D .3[,1)4 12.已知直线1y x =-与双曲线221ax by +=(0a >,0b <)的渐近线交于A ,B 两点,且过 原点和线段AB 中点的直线的斜率为a b 的值为( ) A .27- B .2- C .2- D .3 - 第Ⅱ卷(非选择题共90分) 二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分.把答案填在题中横一上. 13.若双曲线1162 2=-m x y 的离心率2=e ,则=m ________.

67基础 知识讲解 直线与圆锥曲线

直线与圆锥曲线 【学习目标】 1.知识与技能: 通过实例了解椭圆、抛物线、双曲线的共同特征;掌握直线与圆锥曲线的位置关系的判定方法,能够把研究直线与圆锥曲线的位置关系的问题转化为研究方程组的解的问题. 2.过程与方法: 通过对圆锥曲线共同特征及点、直线与圆锥曲线的位置关系的研究,培养学生综合运用直线、圆锥曲线的各方面知识的能力. 3.情感态度与价值观: 通过对圆锥曲线共同特征及点、直线与圆锥曲线的位置关系的研究,培养学生解决问题和分析问题的能力. 【要点梳理】 要点一:圆锥曲线的共同特征 椭圆、抛物线、双曲线都是由不同的平面截一个圆锥面得到的,统称为圆锥曲线,从方程的形式看,三种曲线方程都是二次的,它们具有某些共同特征. 圆锥曲线的共同特征: 圆锥曲线上的点到一个定点F与它到一条定直线l的距离之比为定值e.当0<<1 e时,圆锥曲线是椭圆;当1 e时,圆锥曲线是抛物线.e是圆锥曲线的离心率,定点F是圆锥曲线 e 时,圆锥曲线是双曲线;当=1 的焦点,定直线l是圆锥曲线的准线.可以把它看作圆锥曲线的第二定义. 要点诠释: (1)注意点F不在直线l上,即点F在直线l外.

(2)椭圆、双曲线的准线方程分别如下表所示: 证明过程: (以焦点在x 轴的椭圆和双曲线为例) 已知点P 到定点F ()0c ,的距离与它到定直线2 a l x c =:的距离之比为常数()=,0c e a c a c a >≠且,求点 P 的轨迹. 解法步骤如下: (1)设点:设动点()P x y ,. (2)列式:由题意可知 PF e d =() 2 2 2 x c y c a a x c += (3)化简:由上式可得 ()()2 2 2 2 2 2 2 2 +=a c x a y a a c ① 当0a c >>即1e <时,令()222=0b a c b > ,方程①可化为222222+=b x a y a b ,等式两边同除以22a b ,可 得22 221x y a b +=,即焦点在x 轴上的椭圆. 当0c a >>即1e >时,令()222=0b c a b > ,方程①可化为222222=b x a y a b ,等式两边同除以22a b ,可得

圆锥曲线基础测试题大全

(北师大版)高二数学《圆锥曲线》基础测试试题 一、选择题 1.已知椭圆 116 252 2=+y x 上的一点P 到椭圆一个焦点的距离为3,则P 到另一焦点距离为 ( ) A .2 B .3 C .5 D .7 2. 椭圆32x 2+16 y 2 =1的焦距等于( )。 A .4 B 。8 C 。16 D 。123 3.若椭圆的对称轴为坐标轴,长轴长与短轴长的和为18,焦距为6,则椭圆的方程为 ( ) A . 116922=+y x B .1162522=+y x C .1162522=+y x 或125 162 2=+y x D .以上都不对 4.动点P 到点)0,1(M 及点)0,3(N 的距离之差为2,则点P 的轨迹是 ( ) A .双曲线 B .双曲线的一支 C .两条射线 D .一条射线 5.设双曲线的半焦距为c ,两条准线间的距离为d ,且d c =,那么双曲线的离心率e 等于 ( ) A .2 B .3 C .2 D .3 6.抛物线x y 102=的焦点到准线的距离是 ( ) A .25 B .5 C .2 15 D .10 7. 抛物线y 2=8x 的准线方程是( )。 (A )x =-2 (B )x =2 (C )x =-4 (D )y =-2 8.已知抛物线的焦点是F (0,4),则此抛物线的标准方程是( ) (A )x 2=16y (B )x 2=8y (C )y 2=16x (D )y 2=8x 9.经过(1,2)点的抛物线的标准方程是( ) (A )y 2=4x (B )x 2= 21y (C ) y 2=4x 或x 2=2 1 y (D ) y 2=4x 或x 2=4y 10.若抛物线28y x =上一点P 到其焦点的距离为9,则点P 的坐标为 ( ) A .(7, B .(14, C .(7,± D .(7,-±

圆锥曲线综合试题(全部大题目)含答案

1. 平面上一点向二次曲线作切线得两切点,连结两切点的线段我们称切点弦.设过抛物线 22x py =外一点00(,)P x y 的任一直线与抛物线的两个交点为C 、D ,与抛物线切点弦AB 的交点为Q 。 (1)求证:抛物线切点弦的方程为00()x x p y y =+; (2)求证:112|||| PC PD PQ +=. 2. 已知定点F (1,0),动点P 在y 轴上运动,过点P 作PM 交x 轴于点M ,并延长MP 到点N ,且.||||,0PN PM PF PM ==? (1)动点N 的轨迹方程; (2)线l 与动点N 的轨迹交于A ,B 两点,若304||64,4≤≤-=?AB OB OA 且,求直线l 的斜率k 的取值范围. 3. 如图,椭圆13 4: 2 21=+y x C 的左右顶点分别为A 、B ,P 为双曲线134:222=-y x C 右支上(x 轴上方)一点,连AP 交C 1于C ,连PB 并延长交C 1于D ,且△ACD 与△PCD 的面积 相等,求直线PD 的斜率及直线CD 的倾斜角. 4. 已知点(2,0),(2,0)M N -,动点P 满足条件||||PM PN -=记动点P 的轨迹为W . (Ⅰ)求W 的方程;

(Ⅱ)若,A B 是W 上的不同两点,O 是坐标原点,求OA OB ?的最小值. 5. 已知曲线C 的方程为:kx 2+(4-k )y 2=k +1,(k ∈R) (Ⅰ)若曲线C 是椭圆,求k 的取值范围; (Ⅱ)若曲线C 是双曲线,且有一条渐近线的倾斜角是60°,求此双曲线的方程; (Ⅲ)满足(Ⅱ)的双曲线上是否存在两点P ,Q 关于直线l :y=x -1对称,若存在,求出过P ,Q 的直线方程;若不存在,说明理由。 6. 如图(21)图,M (-2,0)和N (2,0)是平面上的两点,动点P 满足: 6.PM PN += (1)求点P 的轨迹方程; (2)若2 ·1cos PM PN MPN -∠=,求点P 的坐标. 7. 已知F 为椭圆22221x y a b +=(0)a b >>的右焦点,直线l 过点F 且与双曲线 12 2 2=-b y a x 的两条渐进线12,l l 分别交于点,M N ,与椭圆交于点,A B . (I )若3 MON π∠= ,双曲线的焦距为4。求椭圆方程。 (II )若0OM MN ?=(O 为坐标原点),1 3 FA AN =,求椭圆的离心率e 。

课时跟踪检测(五十五) 直线与圆锥曲线

课时跟踪检测(五十五) 直线与圆锥曲线 1.过抛物线y 2=2x 的焦点作一条直线与抛物线交于A ,B 两点,它们的横坐标之和等于2,则这样的直线( ) A .有且只有一条 B .有且只有两条 C .有且只有三条 D .有且只有四条 解析:选B 设该抛物线焦点为F ,A (x A ,y A ),B (x B ,y B ),则|AB |=|AF |+|FB |=x A + p 2+x B +p 2 =x A +x B +1=3>2p =2.所以符合条件的直线有且只有两条. 2.(2019·张掖高三诊断)过抛物线y 2=4x 的焦点F 的直线l 与抛物线交于A ,B 两点,若A ,B 两点的横坐标之和为 10 3 ,则|AB |=( ) A.133 B.143 C .5 D.163 解析:选D 过抛物线的焦点的弦长公式为|AB |=p +x 1+x 2.∵p =2,∴|AB |=2+10 3= 163 . 3.(2018·聊城二模)已知直线l 与抛物线C :y 2=4x 相交于A ,B 两点,若线段AB 的中点为(2,1),则直线l 的方程为( ) A .y =x -1 B .y =-2x +5 C .y =-x +3 D .y =2x -3 解析:选D 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则有? ???? y 21=4x 1, ①y 22=4x 2, ②①-②得y 21-y 22=4(x 1-x 2), 由题可知x 1≠x 2.∴ y 1-y 2x 1-x 2=4y 1+y 2=4 2 =2,即k AB =2,∴直线l 的方程为y -1=2(x -2),即2x -y -3=0.故选D. 4.(2019·厦门模拟)过双曲线C :x 24-y 29=1的左焦点作倾斜角为π 6的直线l ,则直线l 与 双曲线C 的交点情况是( ) A .没有交点 B .只有一个交点 C .有两个交点且都在左支上 D .有两个交点分别在左、右两支上

圆锥曲线单元检测题及答案

圆锥曲线单元检测题 一、选择题(5分×12) 1.椭圆12 132 2y x + =1上一点P 到两个焦点的距离的和为( ) A.26 B.24 C.2 D.213 2.在双曲线标准方程中,已知a =6,b =8,则其方程是( ) A.643622y x -=1 B.366422y x -=1 C.643622x y -=1 D.643622y x -=1或64 3622x y -=1 3.已知抛物线的焦点坐标是(0,-3),则抛物线的标准方程是( ) A.x 2=-12y B.x 2=12y C.y 2=-12x D.y 2=12x 4.已知椭圆的方程为2 22 16m y x + =1,焦点在x 轴上,则m 的范围是( ) A.-4≤m ≤4 B.-4<m <4 C.m >4或m <-4 D.0<m <4 5.已知定点F 1(-2,0),F 2(2,0)在满足下列条件的平面内动点P 的轨迹中,为双曲线的是( ) A.|PF 1|-|PF 2|=±3 B.|PF 1|-|PF 2|=±4 C.|PF 1|-|PF 2|=±5 D.|PF 1|2-|PF 2|2=±4 6.过点(-3,2)且与4 92 2y x + =1有相同焦点的椭圆的方程是( ) A.101522y x +=1 B.10022522y x +=1 C.151022y x +=1 D.225 10022 y x +=1 7.经过点P (4,-2)的抛物线标准方程为( ) A.y 2=x 或x 2=-8y B.y 2=x 或y 2=8x C.y 2=-8x D.x 2=-8y 8.已知点(3,2)在椭圆22 a x +22b y =1上,则( ) A.点(-3,-2)不在椭圆上 B.点(3,-2)不在椭圆上 C.点(-3,2)在椭圆上 D.无法判断点(-3,-2)、(3,-2)、(-3,2)是否在椭圆上 9.双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的2倍,且一个顶点的坐标为(0,2),则双曲线的标准方程为( ) A.4 422y x -=1 B.4 42 2x y -=1 C.8 42 2x y -=1 D.4 82 2y x -=1 10.过抛物线y 2=2px (p >0)的焦点作一条直线交抛物线于A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则 2 12 1x x y y 为( ) A.4 B.-4 C.p 2 D.-p 2 11.如果双曲线36 642 2y x - =1上一点P 到它的右焦点的距离为8,那么P 到它的右准线距离是( ) A.10 B.7732 C.27 D.5 32 12.若AB 为过椭圆错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。=1的中心的弦,F 1为椭圆的左焦点,则△F 1AB

直线与圆锥曲线

直线与圆锥曲线 考情分析: 本节内容是高中数学的重要内容之一,也是历年高考尝试新题的板块,各种解题方法在这里表现得比较充分,尤其是在近几年高考的新课程卷中.平面向量与解几融合在一起,综合性很强,题目多变,解法灵活多样,能充分体现高考的选拔功能. 1、考查直线的基本概念,求在不同条件下的直线方程、直线的位置关系,此类题大都属中、低档题,以选择、填空题的形式出现,每年必考. 2、二次曲线的基础知识,直线与二次曲线的普通方程、参数方程,以及普通方程与参数方程的互化,常以选择题、填空题的形式出现属于中档题. 3、有关直线与圆、直线与圆锥曲线的综合题,多以解答题的形式出现,这类题主要考查学生几何知识与代数知识的综合应用,对学生分析问题、解决问题的能力要求较高. 二、考点整合 1、第一部分内容:直线的倾斜角、斜率,直线的方程,两条直线的位置关系;简单的线性规划及其实际应用;曲线和方程、圆的方程. 2、第二部分内容包括椭圆、双曲线、抛物线的定义、性质,以及它们与直线的位置关系的判定,弦长的有关计算、证明等,本部分内容为高考命题的热点. 3、椭圆、双曲线、抛物线分别是满足某些条件的点的轨迹,由这些条件可以求出它们的标准方程,并通过分析标准方程研究这三种曲线的几何性质. 4、椭圆、双曲线、抛物线统称圆锥曲线,它们的统一性如下: (1)从方程的形式看:在直角坐标系中,这几种曲线的方程都是二元二次方程,所以它们属于二次曲线; (2)从点的集合(或轨迹)的观点看:它们都是与定点和定直线距离的比是常数e 的集合(或轨迹),这个点是它们的焦点,定直线是它们的准线.只是由于离心率e 取值范围的不同,而分为椭圆(10<e )和抛物线(1=e )三种曲线; (3)这三种曲线都是由平面截圆锥面得到的截线. 5、坐标法是研究曲线的一种重要方法,本节进一步研究求曲线方程的一般方法,利用曲线的方程讨论曲线的几何性质,以及用坐标法证明简单的几何问题等. 6、椭圆、双曲线、抛物线是常见的曲线,利用它们的方程及几何性质,可以解决一些简单的实际问题;利用方程可以研究它们与直线的交点、相交弦等有关问题. 解析几何的综合问题,主要是以圆锥曲线为载体,考查直线与圆锥曲线的有关性质以及函数、方程、不等式、三角、向量等知识.考查的数学思想有数形结合的思想、分类整合的思想、换元的思想、等价转化的思想等.常见题型有求曲线方程,由方程研究性质以及定值、最值、范围、探索性问题等.这类题目一般难度较大,常作高考题中的压轴题. 三、典例精讲: 例 1 (1)由动点P 向圆12 2 =+y x 作两条切线、PB PA ,切点分别为、B A , ο60=∠APB ,则动点P 的轨迹方程为______________________. (2)设直线022:=++y x l 关于原点对称的直线为/ l ,若/ l 与椭圆14 2 2 =+y x 的交 点为、B A ,点P 为椭圆上的动点,则使得PAB ?的面积为2 1的点P 的个数为( ) A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 (3)已知双曲线的中心在原点,离心率为3,它的一条准线与抛物线x y 42 =的准

2017高三数学一轮复习圆锥曲线综合题(拔高题-有标准答案)

2017年高三数学一轮复习圆锥曲线综合题(拔高题) 一.选择题(共15小题) 1.(2014?成都一模)已知椭圆C:+y2=1的右焦点为F,右准线为l,点A∈l,线段AF交C于点B,若=3, 则||=( ) A.B.2 C.D.3 2.(2014?鄂尔多斯模拟)已知直线y=k(x+2)(k>0)与抛物线C:y2=8x相交于A、B两点,F为C的焦点,若|FA|=2|FB|,则k=() A.B. C. D. 3.(2014?和平区模拟)在抛物线y=x2+ax﹣5(a≠0)上取横坐标为x1=﹣4,x2=2的两点,经过两点引一条割线,有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆5x2+5y2=36相切,则抛物线顶点的坐标为() A.(﹣2,﹣9)B.(0,﹣5)C.(2,﹣9)D.(1,6) 4.(2014?焦作一模)已知椭圆(a>b>0)与双曲线(m>0,n>0)有相同的焦点(﹣c,0) 和(c,0),若c是a、m的等比中项,n2是2m2与c2的等差中项,则椭圆的离心率是( ) A.B. C. D. 5.(2014?焦作一模)已知点P是椭圆+=1(x≠0,y≠0)上的动点,F1,F2是椭圆的两个焦点,O是坐标原点,若M是∠F1PF2的角平分线上一点,且?=0,则||的取值范围是() A.[0,3) B.(0,2)C.[2,3)D.[0,4] 6.(2014?北京模拟)已知椭圆的焦点为F1、F2,在长轴A1A2上任取一点M,过M作垂直于A1A2的直线交椭圆于P,则使得的M点的概率为() A.B.C.D. 7.(2014?怀化三模)从(其中m,n∈{﹣1,2,3})所表示的圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)方程中 任取一个,则此方程是焦点在x轴上的双曲线方程的概率为() A.B.C. D.

高二圆锥曲线单元测试题及答案

《圆锥曲线》单元测试题 一、选择题 1.已知椭圆方程 19 252 2=+y x ,椭圆上点M 到该椭圆一个焦点的距离是2,N 是MF 1的中点,O 是椭圆的中心,那么线段ON 的长是( ) A .2 B .4 C .8 D . 2 3 2.从椭圆的短轴的一个端点看长轴的两个端点的视角为120o,那么此椭圆的离心率为( ) A . 2 2 B . 33 C .2 1 D . 3 6 3.设1>k ,则关于x 、y 的方程1)1(222-=+-k y x k 所表示的曲线是( ) A .长轴在y 轴上的椭圆 B .长轴在x 轴上的椭圆 C .实轴在y 轴上的双曲线 D .实轴在x 轴上的双曲线 4.到定点(7, 0)和定直线x = 77 16 的距离之比为47的动点轨迹方程是( )。 A . 116922=+y x B .19 1622=+y x C .1822=+y x D .1822 =+y x 5.若抛物线顶点为(0,0),对称轴为x 轴,焦点在01243=--y x 上那么抛物线的方程为( ) A .x y 162= B .x y 162-=; C .x y 122=; D .x y 122-=; 6.过椭圆C :x 2a 2+y 2 b 2=1(a >b >0)的左顶点A 的斜率为k 的直线交椭圆C 于另一个点B , 且点B 在x 轴上的射影恰好为右焦点F ,若13<k <1 2 ,则椭圆离心率的取值范围是( ) A .????14,94 B .????23,1 C .????12,23 D .??? ?0,1 2 7.若椭圆)1(12 2>=+m y m x 与双曲线)0(122>=-n y n x 有相同的焦点F 1、F 2,P 是两曲线的一个交点,则21PF F ?的面积是( ) A .4 B .2 C .1 D .1 2 8.双曲线 22 1(0)x y mn m n -=≠的离心率为2, 有一个焦点与抛物线24y x =的焦点重合,则mn 的值为( ) A . 316 B .38 C .163 D .83 9.设双曲线以椭圆 22 1259 x y +=长轴的两个端点为焦点,其准线过椭圆的焦点,则双曲线的渐近线的斜率为( ) A .2± B .43± C .12± D .34 ± 10.已知椭圆2 2 2(0)2 y x a a +=>与A (2,1),B (4,3)为端点的线段没有公共点,则a 的取值范围是( ) A .02a << B .02a << 或a > C .103a << D .2a <<第Ⅱ卷(非选择题,共90分) 二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分) 11.双曲线8822=-ky kx 的一个焦点是(0,3),那么k 的值为 。 12.如果椭圆的对称轴为坐标轴,短轴的一个端点与两焦点组成一正三角形,焦点在x 轴上,且a -c =3, 那么椭圆的方程是 。 13.已知P ,Q 为抛物线x 2=2y 上两点,点P ,Q 的横坐标分别为4,-2,过P ,Q 分别作抛物线的切线,两切线交于点A ,则点A 的纵坐标为_________ 14.双曲线的实轴长为2a ,F 1, F 2是它的左、右两个焦点,左支上的弦AB 经过点F 1,且|AF 2|、|AB |、|BF 2|成等差数列,则|AB |= 15.关于曲线0992 2 3 3 =++-xy y x y x ,有下列命题:①曲线关于原点对称; ②曲线关于x 轴对称;③曲线关于y 轴对称;④曲线关于直线x y =对称;其中正确命题的序号是________。

圆锥曲线练习题(附答案)

) 圆锥曲线 一、填空题 1、对于曲线C ∶1 42 2-+-k y k x =1,给出下面四个命题: ①由线C 不可能表示椭圆; ②当1<k <4时,曲线C 表示椭圆; ③若曲线C 表示双曲线,则k <1或k >4; ④若曲线C 表示焦点在x 轴上的椭圆,则1<k <2 5 其中所有正确命题的序号为_____________. ? 2、已知椭圆)0(122 22>>=+b a b y a x 的两个焦点分别为21,F F ,点P 在椭圆上,且满 足021=?PF PF ,2tan 21=∠F PF ,则该椭圆的离心率为 3.若0>m ,点?? ? ??25,m P 在双曲线15422=-y x 上,则点P 到该双曲线左焦点的距离为 . 4、已知圆22:6480C x y x y +--+=.以圆C 与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和顶点,则适合上述条件的双曲线的标准方程为 . 5、已知点P 是抛物线24y x =上的动点,点P 在y 轴上的射影是M ,点A 的坐标是 (4,a ),则当||a >4时,||||PA PM +的最小值是 . 6. 在ABC 中,7 ,cos 18 AB BC B ==- .若以A ,B 为焦点的椭圆经过点C ,则该椭圆的离心率e = . 7.已知ABC ?的顶点B ()-3,0、C ()3,0,E 、F 分别为AB 、AC 的中点,AB 和AC 边上的中线交于G ,且5|GF |+|GE |=,则点G 的轨迹方程为 8.离心率3 5 = e ,一条准线为x =3的椭圆的标准方程是 .

9.抛物线)0(42<=a ax y 的焦点坐标是_____________; 10将抛物线)0()3(42≠-=+a y a x 按向量v =(4,-3)平移后所得抛物线的焦点坐标为 . ^ 11、抛物线)0(12 <=m x m y 的焦点坐标是 . 12.已知F 1、F 2是椭圆2 2 22)10(a y a x -+=1(5<a <10=的两个焦点,B 是短轴的一个端 点,则△F 1BF 2的面积的最大值是 13.设O 是坐标原点,F 是抛物线)0(22>=p px y 的焦点,A 是抛物线上的一点, 与x 轴正向的夹角为60°,则||为 . 14.在ABC △中,AB BC =,7 cos 18 B =-.若以A B ,为焦点的椭圆经过点 C ,则该椭圆的离心率e = . 二.解答题 15、已知动点P 与平面上两定点(A B 连线的斜率的积为定值1 2 -. . (Ⅰ)试求动点P 的轨迹方程C. (Ⅱ)设直线1:+=kx y l 与曲线C 交于M 、N 两点,当|MN |=3 2 4时,求直线l 的方程.

圆锥曲线的综合问题(含答案)

课题:圆锥曲线的综合问题 【要点回顾】 1.直线与圆锥曲线的位置关系 判定直线与圆锥曲线的位置关系时,通常是将直线方程与曲线方程联立,消去变量y (或x )得关于变量 x (或y )的方程:ax 2+bx +c =0(或ay 2+by +c =0). 若a ≠0,可考虑一元二次方程的判别式Δ,有: Δ>0?直线与圆锥曲线相交; Δ=0?直线与圆锥曲线相切; Δ<0?直线与圆锥曲线相离. 若a =0且b ≠0,则直线与圆锥曲线相交,且有一个交点. 2.圆锥曲线的弦长问题 设直线l 与圆锥曲线C 相交于A 、B 两点,A (x 1,y 1),B (x 2,y 2), 则弦长|AB |= 1+k 2|x 1-x 2|或 1+1 k 2|y 1-y 2|. 【热身练习】 1.(教材习题改编)与椭圆 x 212+y 2 16=1焦点相同,离心率互为倒数的双曲线方程是( ) A .y 2- x 2 3 =1 B. y 2 3 -x 2=1 C.34x 2-38 y 2=1 D. 34 y 2- 38 x 2=1 解析:选A 设双曲线方程为y 2a 2- x 2 b 2 =1(a >0,b >0), 则????? a 2+ b 2= c 2, c a =2, c =2, 得a =1,b = 3.故双曲线方程为y 2- x 2 3 =1. 2.(教材习题改编)直线y =kx -k +1与椭圆x 29+y 2 4 =1的位置关系是( )

A .相交 B .相切 C .相离 D .不确定 解析:选A 由于直线y =kx -k +1=k (x -1)+1过定点(1,1),而(1,1)在椭圆内,故直线与椭圆必相交. 3.过点(0,1)作直线,使它与抛物线y 2=4x 仅有一个公共点,这样的直线有( ) A .1条 B .2条 C .3条 D .4条 解析:选C 结合图形分析可知,满足题意的直线共有3条:直线x =0,过点(0,1)且平行于x 轴的直线以及过点(0,1)且与抛物线相切的直线(非直线x =0). 4.过椭圆x 2a 2+ y 2 b 2 =1(a >b >0)的左顶点A 且斜率为1的直线与椭圆的另一个交点为M ,与y 轴的交 点为B ,若|AM |=|MB |,则该椭圆的离心率为________. 解析:由题意知A 点的坐标为(-a,0),l 的方程为y =x +a ,所以B 点的坐标为(0,a ),故M 点的坐 标为? ?? ??-a 2,a 2,代入椭圆方程得a 2=3b 2,则c 2=2b 2,则c 2a 2=23,故e =6 3. 5.已知双曲线方程是x 2-y 2 2=1,过定点P (2,1)作直线交双曲线于P 1,P 2两点,并使P (2,1)为P 1P 2 的中点,则此直线方程是________________. 解析:设点P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2),则由 x 21- y 21 2 =1,x 22- y 22 2 =1,得k = y 2-y 1x 2-x 1 = 2x 2+x 1y 2+y 1 = 2×4 2 =4,从而所求方程为4x -y -7=0.将此直线方程与双曲线方程联立得14x 2-56x +51=0,Δ>0,故此直线满足条件.答案:4x -y -7=0 【方法指导】 1.直线与圆锥曲线的位置关系,主要涉及弦长、弦中点、对称、参数的取值范围、求曲线方程等问题.解题中要充分重视根与系数的关系和判别式的应用. 2.当直线与圆锥曲线相交时:涉及弦长问题,常用“根与系数的关系”设而不求计算弦长(即应用弦长公式);涉及弦的中点问题,常用“点差法”设而不求,将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来,相互转化.同时还应充分挖掘题目中的隐含条件,寻找量与量间的关系灵活转化,往往就能事半功倍.解题的主要规律可以概括为“联立方程求交点,韦达定理求弦长,根的分布找范围,曲线定义不能忘”. 【直线与圆锥曲线的位置关系】

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