第一章数与代数
作业题
1. 结合数系扩充的历程，谈谈你对数系扩充的理解。
2. 简述“数”发展到“式”的重要意义。
3. 方程概念的核心思想是什么？
4. 简述不等式蕴含的思想？
5. 函数概念的核心思想是什么？
答案
1. 答题要点：
“数”的产生成为人类文明发展的一个重要的标志。人类从识别事物多寡的
原始的数觉能力，到抽象的“数”概念的形成，经历了一个缓慢渐进的过程。
第一次扩充：分数的引进；第二次扩充： 0的引进；第三次扩充：负数的引进；第四次扩充：无理数的引进；第五次扩充：复数的引进。
数的理论研究，首先要建立起自然系，然后在此基础上逐步加以扩充，从原有数集扩充到新数集所遵循的原则：（一）原数集是扩充后新数集的真子集；（二）原数集定义的元素间的关系和运算在新数集中同样地被定义；（三）原数集中的元素在新数集中定义的运算结果与在原数集中的运算结果一致，且基本运算律保持；（四）在原数集中不能施行或不能完全施行的某种运算，在新数集中能够施行；（五）新数集是满足上述四条的数集中的最小数集。
2. 答题要点：
人类从“数”的具体运算到利用“式”或者符号进行抽象的运算，却经历了漫长的岁月。而这一数值计算过程的符号化过程，不仅导致了运算形式化、程序化及规则的公理化，也包含了计算对象扩大化，即数系的扩大化问题。将抽象的符号运算应用到更一般的对象上，也即实现了代数化将直接导向数学的机械化，开辟了构造数学的新方向，为抽象代数学的发展埋下了伏笔，也成为近代数学的显著特征。
而这一切都要归功于被誉为代数学之父的法国数学家韦达，在他之前，人们只解决带有数字系数的方程，虽然知道可以用同样的方法来求解，但却认为任意两个不同数字系数的一元二次方程是不一样的。而韦达用 ax 2+bx+c=0一般地表示一元二次方程，其中字母系数可以表示任何数，因为把方程由数字系数抽象到了字母系数，于是研究的是整个一类方程的计算，对于具体数字的计算只要带入求根公式就可以了。由此可见，从数字抽象到符号体系，得到的结果往往就具有了一般性，因而也就具有了更加广泛的应用性。
由此可见，人类从事物抽象到数字固然实现了人类抽象思维的第一次飞跃，然而从数字到符号表达的第二次抽象对人类思维和发展的影响无疑更加巨大，更有划时代的意义。
3. 答题要点：
方程借助用字母表示数的代数思想，将未知数同已知数一起描述问题的代数表达形式，形成了方程的基本思想。这种思想改变了算术中已知与未知相对立的问题。不仅是学生将来解决实际问题的重要方法，而且它是代数思想的重要应用，有利于培养用字母表示数的方程与方程组的基本理论与方法，强化对方程思想的认识。
方程思想具有很丰富的含义，其核心体现在：一是模型思想，二是化归思想。因此，对于初中生来说，学习方程内容最主要的事情集中在两个方面。一方面是建模，另一方面是会解方程。《数学课程标准》指出，“方程是刻画现实世界的有效模型”。这是因为，现实世界的许多数量关系，都可以归结为一种特别的“式”的相等关系，成为一种抽象的模型。
4. 答题要点：
关于不等式的重要思想和方法主要包含如下几种重要的思想 :
（一）模型思想：通过分析实际问题中的数量关系，列出不等式，通过解不等式得到实际问题的答案，这就体现了不等式的模型思想。同时，这种模型经常与函数、方程联系在一起，三者都是刻画现实世界中量与量之间变化规律的重要模型，在解决实际问题时，要合理选择这三种重要的数学模型。
（二）辩证思想：值得一提的是，可别小看这种思想，恰当地运用这种思想可以轻松地化解相当多的问题——教材中的“不等式”一章中的大部分问题几乎都可以利用这种思想方法加以解决。
（三）数形结合思想：我们不仅要会解不等式并能运用数轴表示不等式的解集，而且，解不等式组时往往需要借助数轴 ,这些都是数形结合思想的具体体现。
总之，在解决不等式的有关问题时，我们要注意数形结合，尤其是要联系数轴或者函数、方程、等式等内容，注意不等式与等式之间的转换。同时，要深刻体会不等关系的广泛存在性，注意使用恰当的不等式来刻画这种不等关系，这也就是“建立不等式的模型”。
5. 答题要点：
函数概念已经成为初中数学中最为重要概念之一。在初中数学课程改革和数学教学中，深刻理解函数的核心思想，把握函数定义的本质，对处理好函数这部分内容的教学至关重要。
通过对函数各种定义的梳理，我们可以看到函数概念的核心思想。在整个基础教育阶段，数学的核心是研究关系，具体来说，是研究三种关系，即数量关系、图形关系和随机关系。函数研究的是两个变量之间的数量关系：一个变量的取值发生了变化，另一个变量的取值也发生变化，这就是函数表达的数量之间的对应关系。其中有三点是重要的，一是变量的取值是实数；二是因变量的取值是唯一的；三是必须借助数字以外的符号表示函数。
第二章图形与几何
作业题
一、简答题
1 . 直观几何主要包含哪些内容？
2. 推理包含哪些类别？
二、论述题
1 ．为什么说几何直观和推理是初中几何的两个核心目标？
2 ．简要评价欧几里得《原本》对于几何直观、演绎推理进行处理的利弊得失。
3 ．如何理解几何直观及其作用？
4. 证明：一次平移可以分解为两次反射的乘积。
5. 如何理解矩形的面积等于长乘以宽？
三、案例分析题
1. 如何评价直观几何、实验几何与综合几何的区别？
答案
一、简答题
1. 以大量丰富的实例为背景，通过观察、操作来探索认识基本图形的性质。这些基本图形主要包括点、线、面、角、平行线、相交线、三角形四边形、圆等，除此之外，还包括尺规作图、视图和投影等。这些内容构成直观几何的重要组成部分。
2. 推理一般包括合情推理和演绎推理。合情推理是从已有的事实出发，凭借经验和直觉，通过归纳和类比等推测某些结果。演绎推理是从已有的事实（包括定义、公理、定理等）出发，按照规定的法则证明（包括逻辑和运算）结论。在解决问题的过程中，合情推理有助于探索解决问题的思路，发现结论；演绎推理用于证明结论的正确性。
二、论述题
1. 几何学起源于人对大自然中物体形象的认识。几何直观是一切几何学的基础。小学、初中数学中的几何学，主要诉诸学生的直观感受，借以识别各种不同几何图形。由于初中生的认知水平基本上处于“具体运算阶段”后期，认识几何图形的主要途径之一就是通过动手操作（做一做、拼一拼、搭一搭、画一画等等活动），进而积累对这些图形的经验，获得感知。初中几何的主要课程教学目标在于，“积累几何活动经验，发展几何直观、空间观念，进一步感受几何
推理的魅力，体会几何的美，初步掌握几何推理的基本形式”，而发展几何直观 ( 为此必须积累几何活动经验 ) 、培养空间观念，则是几何学学习的核心目标。
义务教育阶段几何课程设计的突出特点体现为：以“ 立体—平面—立体” 为主要线索，强调与学生生活的联系；适当地拓宽活动领域，包括图形的认识，图形的变换，图形与位置等方面；以实际操作、测量、简单推理为具体处理方式，强调学生的直观体验（几何课与实际活动课有天然的联系）学习的方法（即“操作” + “推理”）；注重发展的空间观念，发展对图形的审美能力；强调几何真理的发现和几何论证并举，主张建立在几何直观和丰富几何活动经验基础之上的几何推理的学习
初中阶段属于从直观几何、实验几何逐步过渡到综合几何、论证几何的关键阶段，七年级仍是直观几何、实验几何，但包含一点点说理，而九年级已经是综合几何、推理几何，虽然其公理体系与欧式公理体系有所不同。
因而，在“图形与几何”的核心课程教学在于：帮助学生建立空间观念，注重培养学生的几何直观与推理能力。
2. 《原本》作为教科书使用了两千多年。在形成文字的教科书之中，无疑它是最成功的。欧几里得的杰出工作，使以前类似的东西黯然失色。该书问世之后，很快取代了以前的几何教科书，而后者也就很快在人们的记忆中消失了。《原本》是用希腊文写成的，后来被翻译成多种文字。它首版于 1482 年，即谷登堡发明活字印刷术 30 多年之后。自那时以来，《原本》已经出版了上千种不同版本。在训练人的逻辑推理思维方面，《原本》比亚里土多德的任何一本有关逻辑的著作影响都大得多。在完整的演绎推理结构方面，这是一个十分杰出的典范。正因为如此，自本书问世以来，思想家们为之而倾倒。公正地说，欧几里得的这本著作是现代科学产生的一个主要因素。科学绝不仅仅是把经过细心观察的东西和小心概括出来的东西收集在一起而已。科学上的伟大成就，就其原因而言，一方面是将经验同试验进行结合；另一方面，需要细心的分析和演绎推理。我们不清楚为什么科学产生在欧洲而不是在中国或日本。但可以肯定地说，这并非偶然。毫无疑问，像牛顿、加利略、白尼和凯普勒这样的卓越人物所起的作用是极为重要的。也许一些基本的原因，可以解释为什么这些出类拔革的人物都出现在欧洲，而不是东方。或许，使欧洲人易于理解科学的一个明显的历史因素，是希腊的理性主义以及从希腊人那里流传下来的数学知识。对于欧洲人来讲，只要有了几个基本的物理原理，其他都可以由此推演而来的想法似乎是很自然的事。因为在他们之前有欧里得作为典范（总的来讲，欧洲人不把欧几里得的几何学仅仅看作是抽象的体系；他们认为欧几里得的公设，以及由此而来的定理都是建立在客观现实之上的）。
上面提到的所有人物都接受了欧几里得的传统。他们的确都认真地学习过欧几里得的《原本》，并使之成为他们数学知识的基础。欧几里得对牛顿的影响尤为明显。牛顿的《数学原理》一书，就是按照类似于《原本》的“几何学”的形式写成的。自那以后，许多西方的科学家都效仿欧几里得，说明他们的结论是如何从最初的几个假设逻辑地推导出来的。许多数学家，像伯莎德· 罗素、阿尔弗雷德· 怀特海，以及一些哲学家，如斯宾诺莎也都如此。同中国进行比较，情况尤为令人瞩目。多少个世纪以来，中国在技术方面一直领先于欧洲。但是，从来没有出现一个可以同欧几里得对应的中国数学家。其结果是，中国从未拥有过欧洲人那样的数学理论体系（中国人对实际的几何知识理解得不错，但他们的几何知识从未被提高到演绎体系的高度）。直到 1600 年，欧几里得才被介绍到中国来。此后，又用了几个世纪的时间，他的演绎几何体系才在受过教育的中国人之中普遍知晓。
如今，数学家们已经认识到，欧几里得的几何学并不是能够设计出来的惟一的一种内在统一的几何体系。在过去的150 年间，人们已经创立出许多非欧几里得几何体系。自从爱因斯坦的广义相对论被接受以来，人们的确已经认识到，在实际的宇宙之中，欧几里得的几何学并非总是正确的。便如，在黑洞和中子星的周围，引力场极为强烈。在这种情况下，欧几里得的几何学无法准确地描述宇宙的情况。但是，这些情况是相当特殊的。在大多数情况下，欧几里得的几何学可以给出十分近似于现实世界的结论。不管怎样，人类知识的这些最新进展都不会水削弱欧几里得学术成就的光芒。也不会因此贬低他在数学发展和建立现代科学必不可少的逻辑框架方面的历史重要性。爱因斯坦更是认为，“如果欧几
里得未激发你少年时代的科学热情，那你肯定不是天才科学家。”由此可见，《原本》一书对人类科学思维的影响是何等巨大。
从数学教育的角度看，欧几里得的逻辑结构是串联型而不是放射型的，《原本》的每一节都那么重要，一节学不好，继续前进的路就断了，更令人头痛的是它没有提供一套强有力的、通用的解题方法。主要解题工具是三角形的全等和相似，而许多几何图形中不包含全等或相似三角形，因此，往往要作辅助线，从而几何被公认为难学的一门课程。
值得一提的是，欧式几何几乎是历次中外数学课程教学改革的焦点。《原本》几乎包括了中小学所学习的平面几何、立体几何的全部内容。如此古老的几何内容，自然成了历次数学课程改革关注的焦点。其中，最为激进的，如法国布尔巴基学派主要人物狄奥东尼（ J.A.Dieadonne），甚至喊出了“欧几里得滚出去”的口号。但是，改来改去，欧几里得几何的一些内容，仍然构成了多数国家中小学数学几何部分的主要内容。有人称之为“不倒翁现象”。这是因为，欧氏几何从数学的视角，提供了现实世界的一个基本模型，非常直观地反映了我们人类的生存空间，刻画了我们视觉所观察到的物体形状及其相互位置关系。所以，这个模型的基本内容是学生能够理解和掌握的，而且应用广泛的基础知识。它比较适合中小学生学习，也有利于引导中小学生从形的角度去认识我们周围的物体和生活空间。
尽管欧氏几何仍然具有难以替代的学习价值，但在以往的教学中，它又确实逐步暴露出一些问题，例如，内容体系比较封闭，脱离实际，教学代价太大等等。① 这些问题需要数学课程的设计者与数学教学的实践者共同去面对、去解决。一条途径是教学法方面的改进。首先是内容的精简与演绎体系的通俗化。如精选一些具有实用价值和对继续学习发挥基础作用的内容，打破封闭的公理体系，扩大公理系统，降低证明难度等等。其次是突出几何事实与几何应用，重视几何直观，以及合情推理对于演绎推理的互补作用等非形式化策略。另一条途径是，用近现代数学的观点，高屋建瓴地处理传统的内容。其中几何图形的运动变换观点就是这样的重要观点之一。
从国际上数学课程改革的历程来看，第二次世界大战以后，特别是在上世纪 60年代的“新数学”改革的浪潮中，将运动观点引入几何，成了一种时尚。确实，图形的变换是研究几何问题的有效工具，引进变换能使图形动起来，有助于发现图形的几何性质。相关的许多实验，有的因观点太高而失败，但也有许多成功的尝试。特别是平移、旋转以及轴对称、中心对称等观念已被不少国家的中小学教材所吸收，并放在比较重要的位置。如果说，集合与对应思想的渗透，在某种意义上给传统算术与代数注入了新的血液，那么，运动变换观点的渗透，则在一定程度上给欧氏几何提供了更高的数学观点和更新的研究视野。
3. 数学家克莱因认为，“数学的直观就是对概念、证明的直接把握” ；而西方哲学家通常认为“直观就是未经充分逻辑推理而对事物本质的一种直接洞察，直接把握对象的全貌和对本质的认识”；心理学家则认为“直观是从感觉的具体的对象背后，发现抽象的、理想的能力”。徐利治先生提出，直观就是借助于经验、观察、测试或类比联想，所产生的对事物关系直接的感知与认识，而几何直观是借助于见到的或想到的几何图形的形象关系产生对数量关系的直接感知。换言之，通过直观能够建立起人对自身体验与外物体验的对应关系。我们认为，空间想象能力（空间观念）是指脱离背景也能想象出图形的形状、关系的能力。直观是在有背景的条件下进行，想象是没有背景的；几何中的推理证明始终在利用几何直观，在想象图形。
《数学课程标准》（修订稿）指出，几何直观主要是指利用图形描述和分析问题。借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。几何直观不仅在“图形与几何”的学习中，而且在整个数学学习过程中都发挥着重要作用。
几何直观对于学生的数学发展非常重要：
首先，几何直观是一种创造性思维，是一种很重要的科学研究方式，在科学发现过程中起到不可磨灭的作用。对于数学中的很多问题，灵感往往来自于几何直观。数学家总是力求把他们研究的问题尽量变成可借用的几何直观问题，使
他们成为数学发现的向导，随着现代科技的发展，几何直观在计算机图形学、图象处理、图象控制等领域都有诱人的前景。
其次，几何直观是认识论问题，是认识的基础 , 有助于学生对数学的理解。
借助于几何直观、几何解释，能启迪思路 , 可以帮助我们理解和接受抽象的内容和方法，抽象观念、形式化语言的直观背景和几何形象，都为学生创造了一个自己主动思考的机会，揭示经验的策略，创设不同的数学情景，使学生从洞察和想象的内部源泉入手，通过自主探索、发现和再创造，经历反思性循环，体验和感受数学发现的过程；使学生从非形式化的、算法的、直觉相互作用与矛盾中形成数学观。
最后，几何直观是揭示现代数学本质的有力工具，有助于形成科学正确的世界观和方法论。借助几何直观，揭示研究对象的性质和关系，使思维很容易转向更高级更抽象的空间形式，使学生体验数学创造性工作历程，能够开发学生的创造激情，形成良好的思维品质。
4.事实上，如果一个图形 F经过连续两次轴对称 f 1 ． f 2，得到图形F′，F″。在图形 F上任取两点 P、 Q，在轴对称 f 1 ． f 2下，点 P、 Q依次变成点P′、Q′与P″、Q″（如图 1所示）。
如果两条对称轴互相平行，如图 2所示，依据轴对称的性质，此时，对应线段满足 PQ、P′ Q′、P″ Q″与对称轴的夹角相等，但是，这些夹角（即从这些线段到对称轴所成的角）依次反序，且PQ=P′ Q′ =P″ Q″，从而，PQ∥ P″ Q″，即线段 PQ与P″ Q″平行且相等。
所以，以两条平行线 l 1和 l 2为对称轴的两次轴对称的积等于一个平移，平移的方向是直线 l 1． l 2的法线方向，平移的距离为 l 1和 l 2之间距离的两倍。
这就是说，在变换 f 1． f 2下，图形 F变成图形F″，相当于沿着垂直于对称轴的方向进行平移，平移的距离等于两条对称轴之间距离的 2倍。
5. 所谓图形的面积，是指用以度量平面或曲面上一块区域大小的量，它并不仅局限于“ 平面图形” 。
对于面积单位 1来说，对于边长为 a、 b个单位的矩形来说，首先证明当 a、 b为有理数时，矩形的面积 S=ab。此时，以单位长度为单位分割矩形，矩形被分割为 ab个（如果 ab不是整数，那么，按照原来单位的十分之一为单位，再分割；否则，继续按照百分之一为单位继续分割，由于是有理数，因而，可以分割成功），因而，边长为有理数的矩形的面积就是它能分割成面积单位的个数，等于两边长度之积。
对边长为无理数的矩形的面积，可在此基础上用极限来解决，其理论如下：
三、案例分析题
不同的课程目标和价值取向；不同的教育学、心理学基础和不同的师生关系；不同的课程设计风格；不同的教学要
求。
第三章统计与概率
作业题
1 ．试分析统计学与数学的区别与联系。
2 ．如何理解初中数学课程的频率与概率之间的关系？
3 ．如何理解数据分析观念？
4 ．数据随机性的涵义是什么？
5 ．一只箱子里共有 3个球，其中 2个白球， 1个红球，它们除颜色外均相同．
（ 1）从箱子中任意摸出一个球是白球的概率是多少？
（ 2）从箱子中任意摸出一个球，不将它放回箱子，搅匀后再摸出一个球，求两次摸出的球都是白球的概率，并画出树状图．
答案
1 ．统计是数据分析的科学和艺术。统计学与数学在许多方面存在差异、合而不同。相对数学的科学性来说，统计学既是科学也是艺术。
（ 1）研究问题的出发点不同
数学研究的对象是从现实生活中抽象出来的数和图形。数学研究问题必须有定义，即数学研究问题的出发点是定义，没有定义无法进行数学的研究，比如，对数进行运算，必须对加法进行定义，加法是定义出来的，然后逐步扩充到更广泛的领域。数学论证的出发点是公理，比如，任意两个不同的数之间总能插进去一个数，这是连续性公理；两点之间直线最短等。另外，数学研究必须遵循大家认可的一些规则，比如，三段论、数学归纳法、反证法等。而统计与数学不同，它的出发点不是定义，也不是公理，甚至不是规则，而是数据，因此有人有称其为数据分析。统计研究所依赖的是模型，构建一些模型的基础上进行研究。但是，统计与数学有着密切的联系，我们拿来数学的很多知识、思想方法作为统计分析的工具。
（ 2）研究问题的立论基础不同
从数量和数量关系这个角度考虑，数学是建立在概念和符号的基础上的。为了研究数量，先从数量中抽象出自然数以及自然数的运算法则，根据运算的需要逐渐进行数的扩充：自然数与加法，整数与减法，有理数与除法，实数与极限；为了研究数量关系，定义了方程、函数、导数、微分、积分、微分方程。对数学的抽象过程的讨论我们知道，一个好的概念的形成和一个好的符号表达对于数学的发展是至关重要的。而统计学是建立在数据和模型的基础上，虽然概念和符号对于统计学的发展也是重要的，但是统计学在本质上是通过数据和模型进行推断的。
（ 3）研究问题的方法不同
与概念和符号相对应，数学的推理依赖的是公理和假设，虽然这些公理和假设可能是来源于人们的经验和直观；数学的推理过程在本质上是演绎法，是一个从一般到特殊的方法，而统计学的推断依赖的是数据和数据产生的背景，强调根据背景寻找合适的推断方法；统计学的推断过程在本质上是归纳法，这是一个从部分推断全体的方法，是一个从特殊到一般的方法。
（ 4）研究问题的判断原则不同。
数学在本质上是确定性的，它对结果的判断标准是对与错，从这个意义上说，数学是一门科学，而统计学是通过数据来推断数据产生的背景，即便是同样的数据，也允许人们根据自己的理解提出不同的推断方法，给出不同的推断结果，我们很难说哪种方法方法是对的哪种方法是错的。因此，统计学对结果的判断标准是好与坏，从这个意义上说，统计学不仅是一门科学，也是一门艺术，因为艺术允许“仁者见仁，智者见智”。
2 ．在初中数学中，概率的概念是通过频率来介绍的。通常称为概率的‘统计’定义。事实上，这种定义只是一种描述性的说法，并不严格。因此，老师们一定不要去细究这种说法在用词上的含义。（在现代数学中，‘概率’是用公理化的方式给出的，超出了我们讨论的范围。）比如，我们说，当试验次数很多时，频率会‘稳定’在一个常数附近。什么叫‘稳定’就是含糊的。而且这个定义有‘循环定义’之嫌。当我们说，如果试验次数很多，频率偏离这个常数大的可能性很小时。这里的‘可能性’就是概率。（类似地，在古典概率中的‘等可能性’就是指概率相等。也是循环定义。）一方面要让学生认识到频率会‘稳定’在概率附近。（这一方面老师做的比较好。）另一方面，也要认识到随机性是本质的。有的教师总认为把一个均匀色子掷 6次，就应该每个面都出现一次；把把一个均匀硬币掷 10次，就应该出现 5次正面 5次反面。事实上，把一个均匀硬币掷 10次，‘10次都是正面向上’发生的概率是
。这个事件是完全可能发生的。（平均来说，一万个人做这个试验，大概有 9个人会得到这样的结果。）又比如，把一个均匀硬币掷 100次，‘100次中恰有 50次正面向上’的概率是
.
这个值不大。因此，不能指望在课堂上做有限次的试验，频率一定靠近概率。认识到随机性是很重要的。在课堂上做试验时，有的教师总想让频率无限靠近概率，偏差大一些就觉得不好，甚至把这样得到的数据去掉。这都是不对的，是对随机性缺乏认识的结果。
3 ．数据分析观念主要体现在三个方面：第一，了解在现实生活中有许多问题应当先做调查研究，收集数据，通过分析作出判断，体会数据中是蕴含着信息的；第二，了解对于同样的数据可以用多种分析的方法，需要根据问题的背景选择合适的方法；第三，通过数据分析体验随机性。
4 ．简单而言，数据的随机性主要有两层涵义：一方面，对于同样的事情，每次收集到的数据可能会是不同的；另一方面，只要有足够的数据就可能从中发现规律。例如，袋中装有若干个红球和白球，一方面，每次摸出的球的颜色可能是不一样的，事先无法确定，另一方面，有放回地重复摸多次 ( 摸完后将球放回袋中，摇晃均匀后再摸 ) ，从摸到球的颜色的数据中就能发现一些规律，比如红球多还是白球多、红球和白球的比例等。
一、简答题：
1 、试论数理统计方法的基本步骤。
2 、如何理解概率和频率的关系。
二、解答题：
3 、（ 10分）甲、乙两支篮球队在集训期内进行了五场比赛，将比赛成绩进行统计后，绘制成如图 1-1。
（ 1）画出折线图表示甲、乙两队在集训期内这五场比赛成绩；
（ 2）已知甲队五场比赛成绩的平均分=90 分，请你计算乙队五场比赛成绩的平均分；
（ 3）就这五场比赛，分别计算两队成绩的极差；
（ 4）如果从甲、乙两队中选派一支球队参加篮球锦标赛，根据上述统计情况，试从平均分、折线的走势、获胜场数和极差四个方面分别进行简要分析，你认为派哪支球队参赛更能取得好成绩？
4、（ 10分）小华与小丽设计了 A、 B两种游戏：游戏 A的规则：用 3张数字分别是 2， 3， 4的扑克牌，将牌洗匀后背面朝上放置在桌面上，第一次随机抽出一张牌记下数字后再原样放回，洗匀后再第二次随机抽出一张牌记下数字．若抽出的两张牌上的数字之和为偶数，则小华获胜；若两数字之和为奇数，则小丽获胜。游戏 B的规则：用 4
张数字分别是 5， 6， 8， 8的扑克牌，将牌洗匀后背面朝上放置在桌面上，小华先随机抽出一张牌，抽出的牌不放回，
小丽从剩下的牌中再随机抽出一张牌．若小华抽出的牌面上的数字比小丽抽出的牌面上的数字大，则小华获胜；否则小丽获胜。
请你帮小丽选择其中一种游戏，使她获胜的可能性较大，并说明理由．
5 、（ 10分）一只箱子里共有 3个球，其中 2个白球， 1个红球，它们除颜色外均相同。
（ 1）从箱子中任意摸出一个球是白球的概率是多少？
（ 2）从箱子中任意摸出一个球，不将它放回箱子，搅匀后再摸出一个球，求两次摸出球的都是白球的概率，并画出树状图。
6 、（ 10 分）汶川地震牵动着全国亿万人民的心，某校为地震灾区开展了“ 献出我们的爱” 赈灾捐款活动．八年级（ 1 ）班 50 名同学积极参加了这次赈灾捐款活动，下表是小明对全班捐款情况的统计表：
因不慎两处被墨水污染，已无法看清，但已知全班平均每人捐款 38 元．
（ 1 ）根据以上信息请帮助小明计算出被污染处的数据，并写出解答过程．
（ 2 ）该班捐款金额的众数、中位数分别是多少？
五、解答题：
1 、在初中数学中，概率的概念是通过频率来介绍的。通常称为概率的‘统计’定义。事实上，这种定义只是一种描述性的说法，并不严格。因此，老师们一定不要去细究这种说法在用词上的含义。（在现代数学中，‘概率’是用公理化的方式给出的，超出了我们讨论的范围。）比如，我们说，当试验次数很多时，频率会‘稳定’在一个常数附近。什么叫‘稳定’就是含糊的。而且这个定义有‘循环定义’之嫌。当我们说，如果试验次数很多，频率偏离这个常数大的可能性很小时。这里的‘可能性’就是概率。（类似地，在古典概率中的‘等可能性’就是指概率相等。也是循环定义。）
2 、数理统计方法的基本步骤
用数理统计方法解决一个实际问题，一般有如下几个步骤：建立数学模型，收集整理数据，进行统计推断、预测和决策。当然，这些环节不能截然分开，也不一定按上述次序，有时是互相交错的。
（ 1 ）模型的选择和建立。在数理统计学中，模型是指关于所研究总体的某种假定，一般是给总体分布规定一定的类型。建立模型要依据概率的知识、所研究问题的专业知识、以往的经验以及从总体中抽取的样本（数据）。比如，我们知道，同年龄儿童的身高，总是两头小、中间大，即特高和特矮的人数少。
（ 2 ）数据的收集。其方法主要包括全面观测、抽样观测和安排特定的实验 3 种方式。全面观测又称普查，即对总体中每个个体都加以观测，测定所需要的指标。抽样观测又称抽查，是指从总体中抽取一部分，测定其有关的指标值。这方面的研究内容构成数理统计的一个分支学科。叫抽样调查。
比如，希望知道学生的身高，先验知识是“年龄之间差别很大”。因此，最好是根据年龄段学生数的多少按比例抽取样本，我们称这种方法为“分层抽样”。希望知道学生喜欢的歌手，年龄之间差别可能不大，就要采取“随机抽样”。当然，也可以用“分层抽样”，但是要麻烦得多。
（ 3 ）安排特定实验以收集数据，这些特定的实验要有代表性，并使所得数据便于进行分析。这里面所包含的数学问题，构成数理统计学的又一分支学科，即实验设计的内容。
（ 4 ）数据整理。目的是把包含在数据中的有用信息提取出来。一种形式是制定适当的图表，如散点图，以反映隐含在数据中的粗略的规律性或一般趋势。另一种形式是计算若干数字特征，以刻画样本某些方面的性质，如样本均值、样本方差等简单描述性统计量。
（ 5 ）统计推断。指根据总体模型以及由总体中抽出的样本，做出有关总体分布的某种论断。数据的收集和整理是进行统计推断的必要准备，统计推断是数理统计学的主要任务。
（ 6 ）统计预测。统计预测的对象，是随机变量在未来某个时刻所取的值，或设想在某种条件下对该变量进行观测时将取的值。
例如，预测一种新产品在未来 3 年内的市场销售量；预测某位 10 岁男孩在 3 年后的身高、体重等等。
（ 7 ）统计决策。依据所做的统计推断或预测，并考虑到行动的后果（以经济损失的形式表示）而制定的一种行动方案。目的是使损失尽可能小，或反过来说，使收益尽可能大。以下的第五节，将讨论风险决策。
二、解答题：
3 、解：（ 1）如图 1-2。
（ 2）=90 （分）
（ 3）甲队成绩的极差是 18分，
乙队成绩的极差是 30分，
（ 4）从平均分看，两队的平均分相同，实力大体相当。
从折线的走势看，甲队比赛成绩呈上升趋势，而乙队比赛成绩呈下降趋势；从获胜场数看，甲队胜三场，乙队胜两场，甲队成绩较好。
从极差看，甲队比赛成绩比乙队比赛成绩波动小，甲队成绩较稳定。
综上，选派甲队参赛更能取得好成绩。
从树状图可看出：事件发生的所有可能的结果总数为 6，
两次摸出球的都是白球的结果总数为 2，因此其概率.
6 、解：（ 1）被污染处的人数为 11人。设被污染处的捐款数为元，则 11+1460=50×38
解得=40。
答：（ 1）被污染处的人数为 11人，被污染处的捐款数为 40元．
（ 2）捐款金额的中位数是 40元，捐款金额的众数是 50元
第四章实践与综合
作为义务教育阶段的四大领域之一，“实践与综合”是独立于数与代数、空间与几何、统计与概率领域的第四个领域。在数学科学中，实践与综合、课题学习以及高中的研究性学习，隶属于数学建模。
本章的学习目标：
1. 了解实践与综合在小学 (即义务教育的第一学段、第二学段 )、初中 (即义务教育的第三学段 )的基本活动形式，掌握实践与综合对于学生数学发展的特殊价值。
2 ．理解作为课程内容出现的实践与综合的基本流程，掌握其中的“现实问题数学化”、“数学内部规律化”、“数学内容现实化”的基本特点。
3 ．理解实践与综合在初中数学中的具体体现形式和典型案例，体会实践与综合对于积累综合运用所学知识的直接经验，其中，既包括发现问题、提出数学问题的过程，又包括分析问题和解决问题的过程，感受数学课程的综合性，以及实践与综合对于培养学生的创新意识和实践能力的特殊作用。
第一节作为数学课程内容出现的“实践与综合” ,我们应该如何理解？
（一）作为初中数学教师，要对这一新的课程内容领域有明确和深刻的认识，就要理解“实践与综合”的内涵
首先，要理解实践。教学中应强调问题情境与学生所学的知识和生活经验相结合，鼓励学生独立思考、合作交流，自主设计解决问题的思路。经历发现和提出问题、分析和解决问题的全过程，感悟数学与生活实际、数学与其他学科、数学各部分内容之间的联系，加深对所学数学内容的理解。实践活动的形式是丰富的，包括观察、实验、操作、调查、分析、交流和总结等。在教学中，教师要关注学生获得的结果，更要关注学生解决问题的过程和情感体验，发挥组织者、引导者、合作者的作用。
第二，要理解综合。“综合”是指数学与外部世界的联系、数学内容之间的内在联系，以及数学在分析和解决问题过程中的综合应用。其中，数学与外部世界的联系是指数学与学生生活经验的联系、与社会实践的联系、与其它学科的联系等；数学内容之间的内在联系指不同领域数学知识 (数与代数，图形与几何，统计与概率等 )之间的联系和不同数学表达方式 (数、式、表格、图形、图像等 )之间的联系；“应用”是指应用不同的数学知识、方法、活动经验、思维方式等解决实际问题或探索数学规律。
第三，之所以设置“实践与综合”领域，其目的在于体现其桥梁作用（即，数学不同领域之间的桥梁作用以及数学与外部之间桥梁作用）和综合价值，综合运用数学知识、技能、思想、方法等解决现实问题，帮助学生积累直接的数学活动经验，发展学生的综合能力。
（二）关于“实践与综合”的教育价值和课程目标
教育价值。实践与综合领域的存在，沟通了现实世界中的数学与课堂上的数学之间的联系，促使数与代数、图形与几何、统计与概率的内容构成一个整体，使发展学生综合应用的能力成为必须的学习内容和必备的数学素养。同时，它也为教材的改革提供了重要思路。我们可以设想一下，充满联系和综合的教材可能不像传统教材那样具有非常严密的逻辑体系，但是诱发学生重视生活经验，关注数学与自然、社会和其它学科之间的关联，使不同的数学内容互相照应，力求呈现解决问题的过程，这些都使传统的数学课本的面貌发生改变。
另一方面，综合应用数学解决问题也必将给学生的学习方式带来改变，因为解决问题的过程需要他们亲自实践，并在实践中多角度深入思考；需要他们互相合作，并在合作中准确表达各自的想法；需要他们不断尝试，并在尝试中寻找策略或提出新的问题；需要他们运用各种工具 (包括技术手段 )，并且对这些工具进行合理地选择；需要他们互相鼓舞，共同坚持完成。当实践与综合成为课程的一个不可或缺的部分时，当学生体验到解决问题的成功时，他们在做数学中发展了意志力、自信心和不断质疑的态度，发展了运用数学进行思考和交流的能力。
课程目标。《全日制义务教育数学课程标准》对这个领域的课程设计提出了的总的要求：帮助学生综合运用已有的知识和经验，经过自主探索和合作交流，解决与生活经验密切联系的、具有一定挑战性和综合性的问题，以发展他们解决问题的能力，加深对“数与代数”、“图形与几何”、“统计与概率”内容的理解，体会各部分内容之间的联系。
（三）“实践与综合”在不同阶段不同的呈现形式
第一学段以“实践活动”为主题，第二学段以“综合应用”为主题，第三学段 (即初中阶段 )以“课题学习”为主题。
《数学课程标准》还阐明了不同学段的具体要求。简单地说，第一学段主要强调“实践”，强调数学与学生生活经验的联系；在继续强调实践与经验的基础之上，第二学段增加了“综合应用”的要求；初中强调针对某个课题所开展的研究活动。在《数学课程标准》（修改稿）中，明确将三个领域的“实践与综合应用”整合为“实践与综合”，并指出，“综合与实践”内容的设计目的在于培养学生综合运用有关的知识与方法，培养学生的问题意识，应用意识和创新意识，积累学生的活动经验，提高学生解决现实问题的能力。”
（四）《数学课程标准》（实验稿）将初中“实践与综合”具体化为“ 课题学习”
与小学的综合与实践活动相比，课题学习更胜一筹的“实践与综合”内容。它既包括利用本身已知的数学知识来探究未知的数学知识这一环节，能够完成“数学内部规律化”的一种数学活动，也包括利用综合运用所学的数学内容探究现实问题，有针对性地开展探究活动。其具体的课程目标包含四个方面：其一，经历“问题 -建立模型 -求解 -解释与应用”的基本过程。其二，体验数学知识之间的内在联系，初步形成对数学整体的认识。第三，获得一些研究问题的方法与经验，发展思维能力，加深理解相关的数学知识。第四，通过获得成功的体验和克服困难的经历，增进应用数学的自信心。
在初中数学中，课题学习的主要形式有三种基本方式：
1. 数学小调查。
数学小调查是指学生在教师指导下，从学习生活和社会生活中选择和确定调查专题，主
动获得信息、分析信息并做出决策的学习活动。
数学调查可以包括三个阶段，第一，进入问题情境阶段；第二，收集信息的阶段；第三，表达和交流阶段。这种活动具有开放性、问题性和社会性的特点。
案例“吸烟的危害”
?资料
人们对吸烟的危害已经有所认识，但是对于二手烟的危害却并不十分清楚。履约办提供的“2007年中国控制吸烟报告”说，我国每年死于被动吸烟的人数超过 10万，每一个凋零的生命就是一条拒绝被动吸烟的重要理由。
5 月 31日是世界无烟日，可是无烟的日子仍然遥不可及。卫生部数据显示，我国是世界上烟民最多的国家，有 3.5亿人喜好享受吞云吐雾的感觉，并因此制造了 5.4亿被动吸烟者，其中 15岁以下儿童有 1.8亿。
据世界卫生组织估计，全球大约有 7亿儿童呼吸的空气遭受二手烟雾污染，这种情况在家庭环境中尤甚。我国参与的“全球青少年烟草调查”结果显示：青少年在家中和公共场所受二手烟危害的比例分别为 43.9%和 55.8%。
比较 1984年、 1996年， 2002年全国吸烟行为流行病学调查数据显示，虽然人们的吸烟率已经出现了下降趋势，但被动吸烟状况没有任何改善。
城市和农村人群接触二手烟的比例分别为 49.7%和 54.0%，农村高于城市。有 20个省份 50%以上的人接触二手烟，其中青海、甘肃、山西、陕西、吉林、内蒙古等北方地区比例高于 60%。
家庭、公共场所和工作场所都是接触二手烟的地方。根据 2002年调查，被动吸烟人群中， 82%在家庭中、 67%在公共场所、 35%在工作场所接触二手烟。
在被动吸烟人群中，因年龄、性别和职业的不同，在各类场所接触二手烟的比例也不同。被动吸烟的女性 90%是在家庭中接触二手烟。 20~59岁男性在公共场所和工作场所接触二手烟的比例最高。和 1996年的调查结果相比，人们在公共场所接触二手烟的比例上升。
?实验
材料：秒表，坐标纸，三个圆形气球，皮尺， 64cm细线
实验步骤：将 64厘米长的线两端打结在一起。
小组中的一位成员用线环绕着气球，另一位将气球吹到线围成的那么大 (即此时气球的周长大约为 64厘米 )，第三位记录需要吹多少次才能吹足气球。每个成员都要吹起一个气球。
美国的研究也表明，二手烟雾中含有几百种已知的有毒或者致癌物质，包括甲醛、苯、氯乙烯等。二手烟雾已被美国环保署和国际癌症研究署确定为 A类致癌物质。
?总论
根据 EPA调查表明与吸烟者结婚的不吸烟者的肺癌的几率要增加 19%， 12项研究表明被动吸烟者不仅仅易患肺癌，而且易得心脏病。与吸烟者结婚的被动吸烟者要比其他的不吸烟者患心脏病的几率高 30%。 EPA通过许多研究得出结论：被动吸烟者导致中国 550万的 18个月以下婴幼儿中，额外增加了约 5~30万人次的呼吸道感染。
2 ．小课题研究。
（ 1）案例“农村农作物收入情况调查”。
活动基本过程如下：
各小组确定活动目标；
根据目标确定本组活动内容；
在老师指导下实际调查。
合作交流。
学生进行这些小课题学习时，有以下六个要点：
首先，要有好的问题，这个问题对于学生来说具有进行探索的余地和思考的空间。
第二，学生进行小课题的学习是一种研究性的学习，过程是非常重要的，学生经历一个收集信息、处理信息和得出结论的过程，学生在此过程初中会一些探索方法。
第三，学生具有一定的自主性，教师起到引导的作用。
第四，对小课题的评估主要不是看结果，而是注重过程。
第五，小课题的内容要结合身边的事物。
第六，小课题的学习过程对于学生来说是有趣的。
这种学习的形式，可以使学生在实际生活经验的情景中感知和体验数与图形的现实意义，初步体验一些数的规律，学会利用知识与技能解决简单的现实问题。
动手做 (Hands on)的活动。
案例“投硬币实验”。
“Hands on” 的意思是动手活动，目的在于让学生以更科学的方法学习知识，尤其强调对学生学习方法、思维方法、学习态度的培养。
“Hands on” 活动的基本过程是：提出问题——动手做实验——观察记录——解释讨论——得出结论——表达陈述。具体地说，开展这一活动，有以下几个步骤：
第一，学生观察一件物体或一种现象，或者操作某些学具。
第二，学生在研究所观察的物体或现象的过程中进行思考，与同伴进行讨论和交流，以弥补他们在单纯的观察和操作活动中的不足。
第三，老师按一定的顺序给学生们推荐活动，学生可从中作出选择并实施这些活动，学生在选择中有较强的自主性。
第四，这一活动可以以课内外相结合的形式进行，学生每周至少花两个小时进行同一个主题的活动，并应保证这些活动在整个学习进程中的持续性和稳定性。
第五，每个学生都记录活动过程。通过这一活动，学生逐渐学会操作，同时加强和巩固口头和书面表达能力，发展解决问题的能力，增进对数学的理解力。
总之，课题学习本质上是一种解决问题的实践与综合活动。《数学课程标准》分阶段适当安排一些综合实践活动，以提高学生的综合运用知识解决实际问题的能力。综合运用数学知识解决问题是发展学生数学思维的重要途径。为此，教师应当鼓励学生用多种方法解决问题，充分尊重学生自主性，发展学生的创新思维。同时，可以设置一些综合性的题目让小组学生共同解决，使学生在活动中体验与他人合作的快乐，体验交流的成功感。开展课题学习的关键要让学生积极展开思维活动。为此，教师必须充分利用探索的机会，发展学生的思维能力，提高学生的数学思维水平。
第二节如何理解数学研究性学习？
数学研究性学习主要针对我国中学教育中出现的若干弊端，为实施以创新精神和实践能力为重点的素质教育而提出来的，其根本目的是让学生亲历研究过程，获得对客观世界的体验和正确认识，通过自由、自主的探究过程，综合性地提高整体素质和能力。因此，研究性学习的重点在“学习”，研究是手段、途径，而不是目的。
（五）数学研究性学习的内涵
数学研究性学习是以培养学生的数学创新意识和实践能力为目的，它主要通过与数学学科内容相关的课题，在教师的指导下，学生为主体地参与、体验问题提出和解决的全过程。使学生不但发展了思维能力，而且逐渐领悟到数学科学研究的基本过程和方法，提高学生的科学精神和人格素养。
在很多中学开展数学研究性学习，常常选择问题解决的形式，以应用为载体，开设数学建模应用作为研究性学习数学课程的内容。以学生学会收集、调查实际数据，转化为数学模型，应用数学知识作出数学预测为目标，最后以形成小论文为结果形式。
（六）数学研究性学习的目的
研究性学习的目的与一般的学科教育目的相比，它更强调学生对所学知识技能的实际应用，而不仅仅是对学科知识的理解和掌握。它强调通过亲身体验加深学生对学习价值的认识；强调学生在思想意识、情感意志、精神境界等方面得到升华。目标上强调以下几点：
初中数学教学疑难问题 问题一：关于计算器的使用 数学能力的培养很重要的一个方面就是运算能力的培养。但在七上就开始学习了计算器的使用，很多同学对有理数的运算和后面的实数的运算就都使用计算器来进行，这对学生运算能力的培养有很大的负面影响，很多学生有的连简单的加减乘除都使用计算器，但是实数的很多运算不使用计算器，又得不出答案，那么在什么情况下使用计算器，什么情况下不准使用计算器呢？这一点老师很难把握。计算器的使用给学生运算能力的提高产生很大的负面影响，而在七上就使用计算器，是不是学生手头的运算能力有小学的水平就可以了？(潘树峰提供) 问题二：关于合作学习 合作学习是新课标倡导的学习方式之一，能充分体现教学民主，培养学生的合作意识和交流能力，因此被越来越多的老师引入课堂。但是，有些内容过于简单，不需要合作学习学生也能回答，书本把它作为合作学习的内容，那么合作学习还有必要吗？还有合作学习跟小组讨论有什么区别呢？另外，在“小组学习”中还会遇到一些问题，如：有些学生就是不配合，合作讨论时乘机讲话，提不出什么问题，解决不了问题，形式上几个同学围在一起讨论很热闹，但实际上课堂中缺乏有效的交往和互动。教师该如何调动他们参与的积极性呢？教师对活动如何进行有效的监控和及时引导呢？在汇报讨论结果时，优秀学生的想法和意见往往代替了组内其他同学的意见，而那些性格内向、胆子较小或学习落后的学生发言的机会较少，这样会造成两极分化。还有在合作的时间上也很难把握，有的问题展开讨论需要很长时间，草草收场，达不到所需要的效果，时间过长又怕影响上课内容与任务完不成，那么该怎样来控制合作讨论的时间呢？(潘树峰提供) 问题三：课本例题怎么用？ 课本例题一般没有思路分析过程，解题步骤也是比较精练的，需要教师作进一步的剖析，所以我会让学生自己先阅读，同时把题目抄到黑板上，再进行深入分析。但遗憾的是我发现，有很多学生并没有认真听我的思路分析并回答我的提问，而是有口无心的照搬照读课本，甚至答非所问。还有些学生因为能看懂，索性不听。所以难以达到《数学教学建议》中提到例题教学要求。（关注过程，促进内化：在例题教学中，让学生参与分析题意寻求解体题思路的过程，体验分析解决问题的方法。）(潘树峰提供) 问题四：如何解决教学内容增多与课时不足的矛盾？
初中数学微课教案 科目数学年级七年级课题一元一次方程的应用 教学目标借助“线段图”分析行程问题中的数量关系，继续利用路程时间速度三个量之间的关系，列方程解应用题。 通过观察、类比进一步培养学生的数学创新能力，培养学生与人合作的能力，培养学生学习数学的热情。 学情简析通过新课的学习，学生已经掌握一元一次方程应用基本的解题思路、方法，会分析解决简单的实际问题，但整个知识掌握不系统、不全面，解题正确率不高。 教法发现法、练习法、讨论法教具多媒体课件、彩色粉笔、小黑板等 教学过程 教学环节教学内容教师活动学生活动 创设问题情境回顾旧知 例题赏析趣味数学： 小明和小刚从相距6千米的两地同时出发同向而行，小明 每小时走7千米，小刚每小时走5千米，小明带了一只小狗， 小狗每小时跑10千米，小狗随小明同时出发，向小刚跑去， 碰到小刚后就立即回头向小明跑去，碰到小明后再回头跑 向小刚……,直到小明追上小刚时才停住，求这条小狗一共 跑了多少路？ 温故知新 1.路程问题中路程速度时间三者的关系： 2.列方程解应用题的一般步骤： 3.路程问题中的两种基本题型： 例1：一列慢车从某站开出，每小时行驶48千米，45分钟后， 一列快车也从该站出发，与慢车同向而行，如要1.5小时追 上慢车，快车每小时需行多少千米？ 过程展示： 相等关 系：快车 路程=慢 车先行 路程+慢 车后行 路程 解：设快车每小时行x千米，由题意得 引导观察 提问 提出问题 讲解分析 思考回答 思考回答 计算
巩固练习 走进生活巩固练习1.5x=48×3/4 +48×1.5 解得：x=72 答：快车每小时需行72千米 练习1：小红和小明家距离300米，两人沿同一条路线出发 去某地，小明每秒跑4米，小红骑自行车每秒行10米，若 小明在小红的前面,则小红多长时间可追上小明？ 练习2：一队学生去校外进行军事野营训练，以5千米/时 的速度行进，走了12分钟的时候，学校要将一个紧急通知 传给队长，通讯员从学校出发骑自行车以14千米/时的速 度，按原路追上去，通讯员用多少时间可以追上学生队伍？ 在一次环城自行车比赛中，已知最快的运动员每小时行30 千米，最慢运动员每小时行10千米，环城一周为60千米， 则速度最快的运动员第一次遇到速度最慢的运动员需用多 少小时？ 1、和小明每天绕1个长为400米的环形跑道练习跑步，小彬 每秒跑6米，小明每秒跑4米，若二人同时同地同向跑步， 经几秒后首次相遇? 若二人同时同地反向跑步，经几秒后首次相遇？ 2、两站间路程384千米，一列慢车从甲站开出，速度为48 千米/时，慢车开出30分钟后，一列快车从乙站开出，速 度为72千米/时，两车相遇需多长时间？ 小明和小刚从相距6千米的两地同时出发同向而行，小明 个别指导 反馈纠正 引导分析 启发提问 计算 观察思考 计算
初中数学习题课教学的实践和思考 摘要：习题课教学是学生掌握基础知识、基本技能和发展能力的必要环节。在教学实践中，要精心选题，找准习题选择的切入点；要讲求方法，“授之以渔”不要“授之以鱼”；要巩固提升，培养学生解决问题能力和应用意识，进而提升教与学的效果。 关键词：习题课；教学环节；实践思考 习题课是数学教学的重要课型，上好习题课是学生掌握基础知识、基本技能和发展能力的必要环节，能够及时发现和弥补教学中的遗漏或不足，对于培养学生良好的学习习惯至关重要。笔者结合自身教学实践，就如何上好数学习题课进行了思考和探索。 一、课前准备环节：精心选题是保障 1.让学生建立“错题本” 习题课，必须精心选好题目，选好了题目，习题课也就成功了一半。这些题目应该是学生作业或者练习中经常出错的题目。同时，充分发挥学生的主观性，让他们每人准备一个携带便捷的“错题本”，把每次考试的试卷贴到反面，错题改到正面，自习课或每次考试前都给学生时间让学生再做一做错题，并规定每周末都要“温故而知新”。我在准备
习题课时，每次都会认真参考学生的“错题本”，把错集中的题、知识遗忘点、易混点和思考盲点的题作为典型题目，并做到因材施教，确保让每一名学生都能掌握原来出错的习题。 2.把握习题选择的切入点 （1）例题要有典型性。选例题时要坚持以下原则：一是加强基础，即通过这些题目，加深学生对基本概念和基本规律的理解、掌握；二是加强针对性训练，例题的选择要能够让学生通过训练掌握规律，发现规律，达到“以一当十”的目的。所以在选择例题时，可选择教材上的例题或习题的变式。例题的安排要体现解题方法的训练和解题技能的培养，要揭示例题的解题规律和体现例题的数学思想，这样才能体现例题的典型性。如在上人教版七下第九章《不等式与不等式组》习题课时，我选择了这样一个例题：已知方程组的解满足x+y<0，求m的取值范围？这个例题是这一章中比较难的题目，具有综合性和典型性，考查了二元一次方程组的知识，又考查了不等式的知识，是一道综合性题目。 （2）对应习题要有针对性。对应习题的选择要紧跟例题的解题思路和方法，最好是例题的变式，让学生对照例题能够很轻松地解出习题，通过学以致用，达到学生对这一重要知识点的掌握。如对应上面的例题，我选择了如下对应习题：方程组的解满足x-y<0，求m的取值范围？这道习题
初中数学教案问题调查报告 ——从学案设计中体会教案 国际中学于晶 我校在进行生命化课题研究的过程中，对各备课组也提出了要有自己小课题的要求，当时我们备课组主要着眼点是研究如何利用学案指导学生进行学习，当时采用这一课题的思路是希望以“学案导学”来带动教师的教案方式的转变、帮助学生完成学习方式的改变这样的一种教改思路。学案主要呈现的是学生在自主学习、小组合作、交流展示中所要完成的教案内容，这也是依照生命化课堂三分之一教案模式的标准去落实的。随着活动的开展，我们的教案也在悄悄的发生着变化，走入每位老师的课堂，审视每位老师的学案设计，各有各的特点，但凸现的问题也是整个教案层面上普遍存在的现象。下面我就以一篇学案开始来谈谈自己的看法，以供同仁商榷。 课堂诊断《一次函数图象》 ——课堂中的问题设置的思考 一、自主探究 自学课本P104页—105页做一做以上的部分，回答下列问题。 1、函数图像的定义：(在书上找出来> 作函数图象的一般步骤是： 2、所列表格中x的值是任意取的吗？y的值是如何得到的，表 格中的省略号表示什么意思？ 3、描点：是以作为点的坐标 4、连线得到的函数图象有什么特点？ 评：这里的解决方式是让学生自己看书，进行自主学习，把答案写在工作单中，然后由学生口答所写答案，我想学生照书机
械的记下来会在脑子里留下多深的痕迹呢？另外他写下来说出来他就会了吗？ 二、学以致用： 1、运用所学步骤作出一次函数y=-x+1的图象。 <1） <2） <3） 2、在所作的图象上取几个点，找出 它们的横坐标和纵坐标，并验证 它们是否都满足关系式y=-x+1？ 评：绘制图像时采用了电脑屏幕演示画法， 与黑板演示画法PK，我觉得丢了原生态的东 西。 3、思考： (1>、满足关系式y=-x+1的x、y所对应的
初中数学复习课教学中应注意的问题金铺中学xx展 复习课是根据学生的认知特点和规律，在学习的某一阶段，以巩固、疏理已学知识、技能，促进知识系统化，提高学生运用所学知识解决问题的能力为主要任务的一种课型。其目的是温故知新，查漏补缺，完善认知结构，促进学生解题思想方法的形成，发展数学能力，促进学生运用数学知识解决问题的能力。 复习课是教学中的重要组成部分，其内容、形式、操作方法都与新授课有着鲜明的不同之处。平时教学中点状、零散的知识需要系统化，成为线状、网状。平时学生所学知识的疑惑点需得以澄清，平时所学知识中重要的思想方法需加以提炼，通过复习课能更好的完成上述教学任务，如果说新授课是“画龙”，复习课则是“点睛”。 复习课中存在的主要问题： 1.对知识的单纯重复，只“温故”而不“知新”； 2.忽略基础，盲目拔高； 3.对复习课没有明确、合理的设计理念； 4.复习课与习题课混而不清； 5.复习课的操作模式单一。 由此造成学生对知识得不到更深刻的理解，能力得不到更好的提高，学习效果无明显进展。在复习阶段，如果我们能够转变教学理念，恰当地调整教学设计，帮助学生建立良好的知识体系，就能使复习课的效率“事半功倍”。 以下结合复习课的功能，提出一些教师教学行为方面改善的建议。 （一）查漏补缺，xx偏差，巩固基础。
复习课的教学要根据课程标准的要求，巩固基础知识，对学生掌握知识和技能情况进行查漏补缺，对学生的数学思想、思维方法等方面查漏补缺。 有些复习课占用大量时间采用背诵、默写、齐读、罗列等形式对概念、公式、法则、定理等进行简单重复和再现。这样不利于学生对所学知识的再认识和深入理解。我们可以尝试用下面的办法进行复习： 1.以小题带概念 复习不是让学生简单重复、再现已学的概念、公式、法则、定理等，而是精心设置一些题组，以带动概念的复习，使学生在具体的题目情境中对所学知识进行再认识，同时加深对知识应用的理解。 2.展示学生近期作业、练习中的错误。 平时注意搜集学生解题时常犯的错误，复习课时以改错形式重现，通过辨别达到巩固基础，查漏补缺的目的，再类比改编题目，加强对知识的正确理解。 在复习课中，需要注意错误率比较集中的问题，做好改错反思：错例是澄清概念的最好素材，因此我们要认真地分析、矫正错例。 （二）加强知识之间的横纵向联系，促进知识条理化。 无论是哪种类型的复习课，教师都需要引导学生按一定的标准对所学的零碎知识进行梳理、归纳、整合，作不同角度的分类，弄清它们的来龙去脉，沟通其纵横联系，从整体上把握知识结构。 教师可以引导、帮助学生进行知识梳理，让学生课前采用结构框图、表格、树状图、大括号图等形式梳理知识，让学生了解所学的内容之间的联系，并发展其归纳能力。教师展示学生的梳理情况，并补充完善知识体系。 （三）深化提炼数学思想方法。 数学的学习是从厚到薄，又从薄到厚的过程，复习的目的不仅是要使知识系统化，还要对所学的知识有新的认识，对解题的思想方法进行归纳或提炼，使方法系统化，让不同层次的学生都有不同的程度的提高。
初中数学《最值问题》典型例题 一、解决几何最值问题的通常思路 两点之间线段最短； 直线外一点与直线上所有点的连线段中，垂线段最短； 三角形两边之和大于第三边或三角形两边之差小于第三边（重合时取到最值） 是解决几何最值问题的理论依据，根据不同特征转化是解决最值问题的关键．通过转化减少变量，向三个定理靠拢进而解决问题；直接调用基本模型也是解决几何最值问题的高效手段． 轴 对 称 最 值 图形 l P B A N M l B A A P B l 原理两点之间线段最短两点之间线段最短三角形三边关系 特征 A，B为定点，l为定直 线，P为直线l上的一 个动点，求AP+BP的 最小值 A，B为定点，l为定直线， MN为直线l上的一条动线 段，求AM+BN的最小值 A，B为定点，l为定直线， P为直线l上的一个动 点，求|AP-BP|的最大值转化 作其中一个定点关于定 直线l的对称点 先平移AM或BN使M，N 重合，然后作其中一个定 点关于定直线l的对称点 作其中一个定点关于定 直线l的对称点 折 叠 最 值 图形 B' N M C A B 原理两点之间线段最短 特征 在△ABC中，M，N两点分别是边AB，BC上的动点，将△BMN沿MN翻折， B点的对应点为B'，连接AB'，求AB'的最小值． 转化转化成求AB'+B'N+NC的最小值 1．如图：点P是∠AOB内一定点，点M、N分别在边OA、OB上运动，若∠AOB=45°，OP=32，则△PMN 的周长的最小值为． 【分析】作P关于OA，OB的对称点C，D．连接OC，OD．则当M，N是CD与OA，OB的交点时，△PMN 的周长最短，最短的值是CD的长．根据对称的性质可以证得：△COD是等腰直角三角形，据此即可求解．【解答】解：作P关于OA，OB的对称点C，D．连接OC，OD．则当M，N是CD与OA，OB的交点时，△PMN的周长最短，最短的值是CD的长． ∵PC关于OA对称， ∴∠COP=2∠AOP，OC=OP 同理，∠DOP=2∠BOP，OP=OD ∴∠COD=∠COP+∠DOP=2（∠AOP+∠BOP）=2∠AOB=90°，OC=OD．
一、教材分析 1．教材的地位和作用： 定义与命题的知识在贯穿于整个初中数学知识体系,但作为单独的章节进行学习,还是首次,在设计上体现了对数学本原的思考,关注的是数学知识的产生和发展过程,目的就是为了通过本节课以及后续知识的学习,使学生感受整个数学体系的建立和完善的过程,是由实验几何向推理几何过渡的重要章节。而作为本章节的第一课时,为学生在本章节中更好的开展学习起着至关重要的作用。 2．学情分析：本节课针对的是八年级下学期的学生,他们在数学学习上已经有了一定的积累,但从数学知识的产生和发展的角度来学习和理解数学中最基本的概念,对学生来说也是第一次,在教学设计上要考虑学生对知识的可接受程度。另外,上课学校是一所知名学校,学生在学习上,应该具备一定的能力和水平,通过努力应该可以达到相应的教学要求。 二、教学目标 知识技能目标： 了解定义的含义,了解命题的含义,掌握区分命题的条件和结论,会将一些命题改写为“如果…,那么…”的形式。 过程与方法目标： 学生通过本节课内容的学习,使学生经历定义的产生过程,感受定义的必要性。同时对命题的含义有初步的体验。体验区分命题的条件和结论的重要性和必要性。 情感、态度与价值观目标： 通过与学生的交流互动,营造愉快、和谐的课堂氛围,积极鼓励学生参与和活动,使学生感受到学习数学的快乐,培养学生主动探索数学知识的积极态度。三、教学重点、难点 1．教学重点：命题的概念。 2．教学难点：命题的结构认识和改写。 四、教法与教具选择 1．教学方法：启发式教学。 2．教具选择：多媒体、其他教具。
五、教学过程 教学 环节 教学程序师生互动设计意图创设 情境“硬广告”的问题 引导学生参与 课堂交流 使学生感受到为了 进行有效的交流必 须引入定义。 新课 定义 1．定义的含义 一般地,能清楚地规定某一名称 或术语的意义的句子叫做该名称或术 语的定义。 定义的核心功能是能清楚地规定 名称和术语的意义。 2．对定义的强化巩固 （1）举出几个数学中的定义； （2）举出其他学科名称的定义。 3．如何定义 观察下列多项式的特征．给以名称,并 作出定义： x2–2x–1 2x2+3x+1 x2–2xy+2y2 4a2–4ab+b2 4．定义的价值 例题：校园中,并不令人在意的教室墙 角,却让我产生了兴趣。 问题1：按我们的生活经验,墙角的线 AO与BO 问题2：如何判断（验证）垂直？ 强调定义 的功能。 学生自由发言, 组织学生评价, 捕捉学生反馈 的信息,适时地 引导学生感受 数学定义的严 密性和简洁性 等。 师生交流，老师 引导，强调“次、 项”。 与学生交流，教 师归纳。 教给学生获取知识 的方法和途径,让学 生的学习可持续发 展。 从定义出发来判断, 解决问题．既体现定 义的价值,有可作为 定义到命题的情境 过渡。 从定义出发思考问 题的解决。 引例：比较下列句子在表述形式上,哪 些对事情作了判断？哪些没有对事情 作出判断？ （1）鸟是动物。学生自主完成。 突出语句的判断功 能。 针对学生在命题理A
圆的切线习题课（学案） 学习目的：1、熟练应用切线的判定定理和性质定理 2、熟悉常规图形的位置关系及数量关系 学习过程： 一、知识准备：1、切线判定定理（符号语言表示） 2、切线性质定理（符号语言表示） 二、常规图形 例1、如图，线段AB经过圆心O,交⊙O于点A、C，∠BAD＝∠B＝30o，边BD 交圆于点D， 求证：BD是⊙O的切线 分析图形特征： 1、6个三角形，其中等边三角形是 为等腰三角形是；直角三角形是 全等三角形有。 2、边角特征：①∠BAD＝∠B＝30o ②AD＝BD ③BC=OC=OA=OD=r，等价AB＝3 BC＝3 r ④BD是⊙O的切线
变式1如图，已知∠BAD＝30o，AD＝BD，（1）求证：BD是⊙O的切线，（2）若OA＝2，求BD、BC的长 变式2 如图，已知∠BAD＝30o，BC＝OC， （1）求证；BD是⊙O的切线；（2）求∠B度数 变式3：如图，已知∠B＝30o，BC＝OC （1）求证；BD是⊙O的切线；（2）求∠BAD度数 变式4：已知AD＝BD，BC＝OC，求证；BD是⊙O的切线
变式5：已知BD是⊙O的切线，∠B＝30o， （1）求∠A的度数（2）求证：BC＝OC 变式6：BD是⊙O的切线，探索∠BAD与∠B的数量关系。 中考真题体验： 1、（06厦门市）如图，AC为⊙O直径，B为AC延长线上的一点，BD交⊙O于点D，∠BAD=∠B=30° （1）求证：BD是⊙O的切线； （2）请问：BC与BA有什么数量关系？写出这个关系式， 并说明理由．
2、(2007年韶关市中考) 如图3，AB是半⊙O的直径，弦AC与AB成30°的角，AC=CD.（1）求证：CD是半⊙O的切线；（2）若OA=2，求AC的长. [学生创作题] 变式7：已知BD是⊙O的切线，∠BAD＝30o， （1）求∠B的度数，（2）求证：BC＝OC 变式8：已知BD是⊙O的切线，且BC＝OC，求∠BAD，∠B的度数。 变式9：已知∠BAD＝22.5o，∠B＝45o， 求证：BD是⊙O的切线
数学习题课教学模式 做为新课的重要辅助和补充，习题课是数学课堂教学的重要组成部分，有着不可忽视的作用。一堂好的习题课能够达到查漏补缺、开阔思路和提升学生能力的效果，上好习题课，对于提高教学质量、高效率培养人材具有决定性意义。 一、设计问题，出示目标 习题课的目的性应该非常明确的，要有针对性的精选题目，为了补充和拓展某些知识点和类型，可以以专题形式呈现，为了整体了解情况，可以以综合试卷的形式呈现，从学生实际出发，不易过难，基本技能的形成，需要一定量的训练，但要适度，不能依赖机械的重复操作，要注重训练的实效性。教师应把握技能形成的阶段性，根据内容的要求和学生的实际，分层次地落实。 二、解决问题，自主构建 新课程标准指出：学生获得知识，必须建立在自己思考的基础上，可以通过接受学习的方式，也可以通过自主探索等方式；学生应用知识并逐步形成技能，离不开自己的实践；学生在获得知识技能的过程中，只有亲身参与教师精心设计的教学活动，才能在数学思考、问题解决和情感态度方面得到发展。 先公布答案，核对答案后，学生先自己纠错，把属于自己能纠正范围的先进行自我修正，作为第一次分层，进行独立思考，要求独立完成。 三、交流信息，揭示规律 根据自我修正后的情况，有一些问题自己无法解决，一组为单位，分组讨论，以小组为单位，一帮一，教师巡视，个别指导，发现共性问题，集中展示。 新课程标准中指出：合作交流中引导学生要善于与同伴合作交流，既能理解、尊重他人的意见，又能独立思考，大胆质疑，发表自己的见解，形成良好的讨论氛围。 四、聚焦展示，综合提高 对于共性问题，集中展示，根据题目数量，可以把任务分给不同的小组进行重点展示。展示内容可以是重点，难点，典型题目或是易错题目，同时展示中要做到十二字展示方针，身正，背板，声亮，字工，双色，脱稿。 1、展示内容 每组一个题，可以是教师分配，也可以是学生抽签决定，主要是为了增加随机性，避免一个小组只会自己要展示的一道题目的弊端。 2、展示人员 可以让一名会的同学先来书写，有困难的同学寻求帮助，下面同学在组内进行一对一或一对二的互相帮助，给学困生更多的时间，让他们可以在相对较长的时间里慢慢的消化理解，然后可以是学困生来展示讲解，可以看得出组内帮扶的效果，当然也要根据题目的难度，要根据学生实际，可有1、2、3号重点展示，（注：新课中练习侧重4、5、6号展示）。 3、展示要求 因为展示的内容都是本节课的重点和难点，所以要求展示要达到升华的效果， （1）明确原理 对于题目要分析清楚根据数学中的那条定义，定理，公式或法则，才能加深学生对数学原理的理解，注重说理。 （2）明确解题步骤 展示的同学要引领同学规范解题步骤，注重逻辑顺序的合理性，并适当的使用彩粉笔，突出重点活容易出现错误的地方，也可用来纠错。 （3）总结方法
初中数学优质课评课稿范文 数学教学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础之上。在初中教学过程中，教师要转变思想，更新教育观念，把学习的主动权交给学生，鼓励学生积极参与教学活动。本文是学习啦小编为大家整理的初中数学优质课评课稿范文，欢迎阅读! 初中数学优质课评课稿范文篇一 数学教学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础之上。在教学过程中，教师要转变思想，更新教育观念，把学习的主动权交给学生，鼓励学生积极参与教学活动。教师要走出演讲者的角色，成为全体学生学习的组织者、激励者、引导者、协调者和合作者。 今天，有幸听了本校两位老师***的《平行线的性质》和**的《分式的加减》，受益匪浅。 总体说来，两堂课都很真实，实在，课件从制作到应用都能很好地服务于教学，发挥着抽象问题具体化，突破难点的作用，教态大方，语言流畅，板书工整，条理清晰，逻辑严谨，用各自的方法调动了学生的积极性，在传授知识的同时更重思想方法的学习和能力的培养。 具体说来，两堂课又各有特色。 *老师的课： (1)注重了学生动手操作能力的培养，如动手画一画环节让学生绘画测量得结论。(2)注重及时总结梳理知识，本堂课共总结了3次，这样能让学生易清楚记忆众多定理。(3)注重学生推理能力的培养，如应用2题用两种不同形式表达，体现了由合情推理向有条理推理的转化。(4)注重分层指导和分层作业。(5)缺憾是缺乏一道有难度的题，若把选做作业移到前面则更好。 *老师的课： (1)注重学生学习兴趣的培养，如实行加分制。(2)注重阅读能力和分析能力的培养，如开头的文字题学生列完式后问学生是由哪句话可得。(3)注重好习惯的培养，如做笔记的习惯，回答问题过程严谨叙述的习惯，一题多解的习惯。(4)抓住难点和疑点仔细剖析，如增长率的意义。(5)课堂气氛轻松愉快，
初中数学教学中典型的最迫切需要解决的教学问题 ------课堂教学中的“改革”与“创新” 昆明实验中学杜晓峰 新课改背景下，给数学教师的课堂教学带来了前所未有的挑战，“改革”成为现代教育的热门话题。从何处变革怎么变革这是每个教师最关心的。“创新”是变革之魂，创新教育的基本要求是个性化、自主性、探索性、开放性、民主性、实践性、启发性的对于一线的教师而言，换句话说，就是要激发学生的兴趣，调动学生的积极性，引发学生的数学思考，鼓励学生的创造性，要注重培养学生良好的数学学习习惯，使学生掌握恰当的数学学习方法。 针对教师们在贯彻党的新课改教育方针中存在的问题，结合自己在一线从教28年的工作心得，本人拟就数学教学中教师们最需要考虑的问题及其解决策略提提自己的看法。 一、关注教学的实效性，提高教学质量 任何有生命力的改革都是在前人基础上的创新，不是对旧有经验的全盘否认，而是扬弃的过程。经过对课改的冷思考，教育界从上至下已达成共识：轰轰烈烈的课改，必须坚持“质量是教学的生命线，是教育教学永恒不变的主题”的宗旨，即要讲求教学的实效性。 有专家提出，新课程的课堂评价指标是：①能否营造一种激发学生学习热情的氛围;②目标是否明确清晰；③师生精神是否饱满；④榜样树立是否有代表性；⑤思路是否宽广。 教材新，教法新，评价指标新，呼唤教师必须更新思想头脑、更新知识体系、更新工作观念。一本教科书一根教鞭传承文明的教学已不符合时代的节拍，知识的
局限性、视野的狭窄让很多教师苦于“巧妇难为无米之炊”，既要中看又要中用的好课需要教师在课前做好充分准备，在课后做好冷静的反思。我认为，钻研和解读教材是教师永远的基本功。具体如下： 1.狠抓备课关，不打无准备之仗。 在备课时要努力做到：一看，除了看教科书外，还要研究课标、参看相关教辅资料等，拓宽教学内容的覆盖面，教学中，广闻才能博引，要用新意吸引学生的眼球；二划，在教科书上划出重、难点，对教材的把握做到心中有数；三谈，与同年级教师交谈教法、困惑，实现同伴互助；四记，熟记教学提纲和脉络，杜绝照本宣科教学，杜绝教条主义；五改，在往年备课的基础上修改，层层提高，省时高效。 2.准备好讲授内容。 包括引入材料、例题与习题的精选、知识规律的总结、备用的格言与故事等。比如有一位教师在教学“倒数”的概念时是这样设计教学引入的：我国的汉字内涵博大精深，“音”字上下颠倒就变成了“昱”字，“显”字上下颠倒就变成了“晋”字……我们数学课中也有如此有趣的现象，比如3/5，以分数线为界，分数线上下的数字颠倒，就变成了另外一个分数5/3,6/7变成7/6等等，像这样的数我们把它叫做倒数。这样引入新课，学生对倒数的结构已经有了感性的认识，案例也很有吸引力。 3.组织好讲课的语言。 包括导语、提问用语、每个内容承上启下的过渡语等。 4.准备好教辅工具。 自己制作教具、图片，或借助远教资源、电化教育手段。 5.调动学生积极主动听课。
微课在初中数学课堂教学中的应用研究 摘要：在互联网科技快速发展的时代，各行各业都有了科技与产业相融合的主观意识，在教育领域这种意识尤为强烈，微课理论与实践便由此应运而生，解决了很多传统课堂教学模式无法解决的问题。现基于初中数学教学中微课的应用优势与应用理想，从课前预习、课中学习及知识强化几个角度，对微课的应用问题进行简要说明。 关键词：微课;初中数学;课堂教学;应用研究 应用微课在课堂上的重要目标是带领学生突破知识盲区与误区，是对问题的解决，而不是替代教师授课。它的应用时间较短，较少受到时间和空间的限制，因而极大地改变了传统课堂教学的固化模式。 一、初中数学教学中微课的应用优势 对于一种新鲜事物来讲，既然认可其拥有广阔的发展空间，那么它必然有着区别于其他事物的独特之处，微课自然也不例外。它之所以能够受到当今社会各界尤其是教育领域的普遍关注，正在于其独特的优势。 其一，教学的优化。利用微课形式进行数学教学，初中教师能够在具体教学过程中给学生提供更多的基本原理认知、公式推导尝试等机会，让学生处在良好的学习氛围之内，保证学生心理特点得到应有的尊重，同时不仅有益于建设宽松愉悦的课堂氛围，而且也是包括课前预习、课中学习、知识强化等多个环节在内的教学过程的优化保障。 其二，能力的培养。在教学过程之中，初中数学教师充分利用微课，能够使学生有机会积累丰富的数学理论知识，使其知识面得到无形拓展，特别是可帮助学生利用声像、画面等，刺激其学习自主性，发展其综合实践能力，为其未来更深层次的学习奠定坚实的基础。 二、初中数学教学中微课的应用理想 一是着眼宏观，循序渐进。科学合理的教学活动需要以教学的整体作为着眼点，即教师要从宏观视角对初中阶段数学教材里面的前后各项知识内容进行充分联系，从而对微课活动进行更为合理化的安排，以保证学生循序渐进地接触各项内容，逐步消化理解数学知识，让微课教学的优势得到发挥。 二是师生一体，协同发展。在实际数学教学过程之中，教师的课堂教学指导者角色没有发生改变，在以微课融入教学时，教师同样要侧重自身指导责任的落实，以师生一体、协同发展为实施理念，让学生在自己的指导之下，享受到更多的思考与表达机会，以此更好地达到教学主体与教学客体在微课视域下的通力协作，为建设优质课堂服务。 三、微课在初中数学课堂教学中的应用策略 第一，预习应用。在课前预习的过程之中，微课可以起到激发学生参与兴趣的作用。众所周知，所有事情的发展都要遵循一定的规律，学生的学习同样如此，因而教师应当充分关注数学教学课前预习环节对学生听课效率的促进作用。正因如此，在进行初中数学教学时，教师可以把微课和课前预习相结合，为提高课堂教学效率奠定基础。例如，在正式教学“轴对称”知识之前，出于提高学生分析问题和思考问题能力的考虑，也出于使学生对轴对称产生初步印象的考虑，教师在预习环节便可以利用微课向学生简单介绍与轴对称相关的基本知识点，同时鼓励与引导学生主动探索现实生活中的情境，使其回忆平时所遇到的、具有对称特点的物体，如文具、家具、建筑物等，在头脑中率先形成对“对称”内涵的认知。接下来，教师还可以在学生提供的案例基础上，给大家播放同物体对称有关的微视频，使学生从更广阔的视野了解“对称”规律在现实生活中的广泛应用，告诉大家“轴对称”在现实生活中的具体而生动的表现，其背后都有基本数学原理的支持。类似形式的生动而直观的视频展示，一方面可以达到微课情境创设的效果，避免学生无目的、过于随意复习的问题，另一方面也可以使学生有机会对本次课堂教学的重点知识内容产生整体的印象。 第二，教学应用。微课不仅可在预习环节应用，其在正式课堂教学时同样具有较大的应
浅谈初中数学例题教学的策略 李翠霞数学与应用数学2013级 摘要：在数学学习当中，总不乏能把运算公式、运算法则、图像的性质、判定定理等基础知识娓娓道来，但独自去解答问题时却一筹莫展的学生。这一困局的出现大都是在例题学习这一环节掉链子了，因为例题学习起着上承基础知识下接实际运用的重要作用。可见例题教学的质量直接影响学生思维的培养、智力的开发。本文从挑选例题、分析解题思路、示范书写过程、总结规律四个方面来阐述初中数学例题教学的策略。 Abstract：In mathematics study，there is no lack of total can the computing formula ,algorithm , the nature of the image , Theorem on basics such as drawing, But the students to answer questions cannot alone.The emergence of this dilemma is mostly studied in sample this link drop chain, for example learning pick up with the basic knowledge and the important role of practical application. Visible example teaching directly influences the quality of the cultivation of students' thinking, and translation service. In this paper, from the selected sample, analysis of the problem solving thinking, demonstration of the writing process, Summary law from four aspects to elaborate the strategy of junior middle school mathematics teaching examples. 关键词：例题教学，思路，书写过程 Key words：Examples of teaching, train of thought, translations into writing process 1.前言 1.1研究数学例题教学的目的。 数学例题是知识由产生过渡到应用的纽带。恰如其分的例题教学既能够加深学生对新知识的理解，规范学生的解题过程，又能够训练学生的思维，在潜移默化中使学生形成分析问题和解决问题的能力。 1.2研究数学例题教学的意义。 数学例题教学不但有助于学生吸取新的知识，而且还能巩固所学知识，促进学生对基础知识的渗透的理解，明确知识间的联系，基本技能的形成和数学能力的提高。例题教学在数学课堂教学中的作用是极其突出的，为此探寻行之有效的例题教学的方式方法是每一位数学教师义不容辞的职责。
初中数学微课教学设计 科目数学年级七年级课题角 （一）教材的地位和作用 地位：《角》是北师大版七年级上册第四章《基本平面图形》的第三节，是学完直线、射线、线段知识的延续，又是研究其它图形的基础，本节课的学习 将为后面学习角的比较与运算建立基础，同时又对今后的几何学习有重要的意义。作用：1、能够培养学生观察、探究、抽象、概括的能力和数学思想方法，为学生的创新学习、主动学习打下基础。2、能让学生从具体到抽象、从感性到理性的认知规律，感知知识源于实践的唯物主义思想。 （二）学情分析 七年级学生好动，注意力易分散，爱发表见解，希望收到老师的表扬，在教学中我抓住学生这一特点，通过直观演示，引起学生的兴趣，把它们的注意力集中在课堂中，通过学生动手画图，发表见解，发挥学生学习积极性。 课题：4.3.1 角课时安排：1课时 教学目标 知识与技能：理解角的定义及有关概念，从运动的观点理解平角、周角； 过程与方法：提高学生的识图能力，学会用运动变化的观点看问题 情感态度与价值观：经历在现实情境中认识角的数学活动过程，感受图形世界的丰富多彩，增强审美意识，激发学生的求知欲． 重点：角的概念；难点：从运动的观点理解角的概念 教具准备：多媒体课件，三角板 教学过程设计 问题与情景师生行为设计意图 一、引入新课 1.出示课件：你能在图中找到熟悉的平面图形吗？ 2.生活中还有这样的图形吗？ 3.这些图形有什么共同的特点？ 二、新课教学 1．角的概念的学习：（1）观察图思考：角是什么？得出角的定义：有公共端点的两条射线所组成的图形叫做角。这个公共端点叫做角的顶点，这两条射线叫做角的边。（可对照图形讲解） （2）你会画角吗？请在练习本上画一个角。 （3）一组练习，说出角的顶点角的边 （4）由钟表的分针转动得到角，生活中还有这样的图形吗？学生举例从而引出角的另一个定义：一条射线绕着它的端点旋转而成的图形也叫做角。其中起始位置的射线叫做角的始边，终止位置叫做角的终边 （5）通过课件动画演示直观旋转理解角的第二种定义以及直角、平角、周角三.判断： 1）两条射线组成的图形叫做角。 2）平角是一条直线。（） 3）一条射线是一个周角。（） 4）把一个角放到一个放大5倍的放大镜下观看,角的度数也扩大5倍。（）5）角的大小与边的长短无关。（） 教师提问，学生回答、动手画图。学生思考，回答。齐读定义。 学生回答学生练习 从生活出发，感受角的形象无处不在。 从实物中抽象出几何图形。提高学习兴趣 加深理解，体会不同的表述 利用多媒体的形象帮助学生理解定义，突破难点 通过多媒体动画演示，创设情境，激发学生学习兴趣，掀起学习浪潮，目的是通过演示和讲解，强化学生的视听感受。从而得出角的第二定义 检查学生对定义的理解，进一步加深理解。 三、小结 学生总结角的两种定义，教师点评，加深印象鼓励学生敢于发表自己的见解，在交流中获益 四、布置作业：练习册4.3.1角> 检查学生的掌握程度
怎样上好初中数学复习课 “复习课最难上。”这是许多数学教师经常发出的感叹。复习课既不像新授课那样有“新鲜感”，又不像练课那样有“成功感”。最重要的是，到目前为止，复习课还不像新授课有一个基本公认的课堂教学结构（模式）。为有了这个课堂教学结构，就等于有了可供操作的教学程序。大家知道，结构的优劣决定功能的大小，井然有序课堂教学结构就像阶梯一样使教者能胸有成竹地带领学生拾阶而上，进而更好更快地掌握知识。经过实验研究，目我们采用如下的复习课结构。 一、出示复习目标（以下简称亮标） 上课开始，教师直接出示复习课题，接着把预先写在小黑板上的复习目标挂出来。出示的复习目标应注意如三点： 1.目标要全面。所谓“全面”，就是指按照数学教学大纲上的要求，有针对性地在知识、能力和思想品德方面提出复习要求，不能厚此薄彼，甚至只提出知识方面的复习要求，把能力与思想品德丢在一边。例如，统计表统计图的复习，除了应当掌握的知识外，学生的观察能力和应变能力也要得到发展，同时还要注意训练学生一丝苟的认真态度、追求美观整洁的爱美情操和习惯等。 2.目标要准确。即针对性要强。一是目标中知识、能力、思想品德各方面的要求要准确，二是三者之间不混淆。如统计表和统计图的复习，复习的目的是：将学过的统计表和统计图强化和分化，防止相关或相似知识的互学生易混的问题是：如何确定单位长度？（共性）为什么折线统计图中横标目的间隔要按实际年份留空？（个性学生最容易遗忘的是：制图后忘掉写数据，或把标题与图表分开等等。在复习课上制定复习目标时，应注意和这些授课后发现的问题结合起来，以利于解决学生的实际问题。 3.目标要具体。不要提一些抽象或空泛的口号，诸如“通过复习培养学生良好的学习习惯”，粗一听很具细一想太空泛，到底培养学生的哪些习惯不得而知。其实一堂课只能按实际教学内容培养学生的某一方面的素质太多会适得其反。 教学目标不仅是向学生提出的，也是对教师提出的。复习课上教师应紧紧围绕着目标组织教学，就像写文不能“跑题”一样，复习课也不能“离标”，而应有的放矢。 二、回忆 回忆，就是要求学生将学过的旧知不断提取而再现的过程，这是学生独立联想的有利时机，应尽最大可能让们独立完成。如果是低年级，可让他们先看书本再回忆并说出来；中高年级也可让学生提前一天预习，这样课上会省一些时间。当然，回忆过程也离不开教师的启发辅助。我们常采用如下策略： 1.独立地默写。 2.同桌相互说。 3.启发得结果。 如要求学生用“组词”或“造句”等方式回忆出学过哪些“数”？哪些“形”？哪些“式”？哪些“量”也不失为一种较好的“联想”式回忆的办法。 回忆过程中一般只要求学生写出或讲出“是什么”，不追问“为什么”或“怎么样”，以便一气呵成地将有旧知“拉出来”，提高回忆的效率。因此，学生回忆时，教师不要过多地“插手”或“插嘴”，而是让学生七
初中数学典型例题100道（二） 选择填空题150道 一．选择题： 7，如图，直线，点A1坐标为（1，0），过点A1作x的垂线交直线于点B1，以原点O为圆心，OB1长为半径画弧交x轴于点A2；再过点A2x的垂线交直线于点B2，以原点O为圆心，OB2长为半径画弧交x轴于点A3，…，按此做法进行下去，点A5的坐标为（，）． 8，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=2．若将此直角三角形的一条直角边BC或AC与x轴重 合，使点A或点B刚好在反比例函数（x＞0）的图象上时，设△ABC在第一象限部分的面积分别记做S1、S2（如图1、图2所示）D是斜边与y轴的交点，通过计算比较S1、S2的大小． 9，若不论k为何值，直线y=k（x﹣1）﹣与抛物线y=ax2+bx+c有且只有一个公共点，求a、b、c 的值。 10，如图是二次函数y=ax2+bx+c的图象的一部分，对称轴是直线x=1． ①b2＞4ac； ②4a﹣2b+c＜0； ③不等式ax2+bx+c＞0的解集是x≥3.5； ④若（﹣2，y1），（5，y2）是抛物线上的两点，则y1＜y2． 上述4个判断中，正确的是（）
A．①② B．①④ C．①③④D．②③④ 二，解答题 4，如图，在平面直角坐标系中，将直线y=kx沿y轴向下平移3个单位长度后恰好经过B（﹣3，0）及y轴上的C点．若抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），且经过点C，其对称轴与直线BC交于点E，与x轴交于点F． （1）求直线BC及抛物线的解析式； （2）设抛物线的顶点为D，点P在抛物线的对称轴上，若∠APD=∠ACB，求点P的坐标； （3）在抛物线上是否存在点M，使得直线CM把四边形EFOC分成面积相等的两部分？若存在，请求出直线CM的解析式；若不存在，请说明理由． 5，如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2﹣3ax﹣4a的图象经过点C（0，2），交x轴于点A、B （A点在B点左侧），顶点为D． （1）求抛物线的解析式及点A、B的坐标； （2）将△ABC沿直线BC对折，点A的对称点为A′，试求A′的坐标； （3）抛物线的对称轴上是否存在点P，使∠BPC=∠BAC？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
第十四章一次函数 §14.1.1变量巩海波 教学过程设计
活动2：提出问题 问题(1)加油站加油片断 1.在以上这个过程中，变化的量是. 没变化的量是. 引出定义 变量、常量。 2.试用含Q的式子表示W . 问题(2) 每张电影票售价为10元，如果早场售出票150张，日场售出票205张，晚场售出310张. 三场电影的票房收入各多少元？设一场电影售票x张，票房收入y元。怎样用含x的式子表示y ？ 问题（3） 在一根弹簧的下端悬挂重物，改变 并记录重物的质量，观察并记录弹 簧长度的变化，探索它们的变化规 律。（实验中用钩码代替重物，每个 钩码的质量为50克） 小组内共同探讨，交流： ⑴重物质量每增加50g，弹簧伸长多少？ 重物质量每增加1g，弹簧伸长多少？ 若重物质量为300g,此时的弹簧长度是 多少？ ⑵若用m表示重物质量，L表示受力后的弹簧长度，你能用含m的式子表示L吗？ 独立思考： ⑴你能指出上述变化过程中的常量和变量吗？ ⑵重物质量能否无限增加？ 问题（4） 用20m长的绳子围成长方形，试改变长方形的长、宽，观察长方形的面积怎样变化，试举出6组长、宽的值,计算相应长方形的面积的值，然后探索它们的变化规律. ⑴能用含x的式子表示S吗？ ⑵当x取定一个值时，面积S能随之确定 吗？是否是唯一的？ ⑶这个变化过程中，x能任意取值吗？教师展示问题（1） 学生完成相关问题。 师生结合问题，给出定义。 教师展示问题（2） 学生完成相关问题 教师展示问题（3） 师生共同明确实验目的，做好实验分 工，进行通力合作实验。 学生在教师引导下，由特殊到一般进 行探究。 教师展示问题（4） 教师利用几何画板动画演示。 学生完成填表 来自学生身边的事例， 尤其是常量与变量在 这个情境中能较好的 让学生直观感知。 变量与常量是本节课 重点。在教学过程中引 导学生去发现变化的 量与没变化的量。 学生完成此问题较易。 弹簧称在学生生活中 可见，但不多。教师给 予图片展示或实物展 示。 学生对弹簧的伸缩原 理有一定理解。通过由 特殊到一般的探究，最 后学生可以写出关系 式。 在明确的活动目标指 引下，组织学生经历数 学思考的过程，进行有 效的数学活动。 通过教师动画演示和 学生探究，使学生更好 的认知变化规律。