2014-2015年度第二学期第一次月考
高二数学试卷(理)
命题人：王晓玲 审核人：李开强
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：（本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的，请将正确的选项填涂在答题卡上．）
1、用三段论推理：“指数函数x
a y =是增函数，因为x
y )2
1(=是指数函数，所以x
y )
2
1(=是增函数”，你认为这个推理( ) A ．大前提错误 B 小前提错误
C ．推理形式错误
D ．是正确的
2、在复平面内，复数(12)z i i =+的共轭复数的对应点位于（ ）
A. 第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3、
dx x e x )2(1
?
+等于 ( )
A ．1
B ．1-e
C ．e
D ．1+e
4、已知322322=+
，833833=+，1544
1544=+，...，若b
a
b a 66=+ ,（R b a ∈, ）, 则（ ）
A.a =5,b =24
B.a =6,b =24
C.a =5,b =35
D.a =6,b =35
5、函数()sin ,[,]22
f x x x x ππ
=-∈-
值域是 （ ）
A. [1,0]2π- B ．[1,0]- C ．[1,1]22
ππ-- D ．[0,1]2π
-
6、用反证法证明某命题时，对结论：“自然数a ，b ，c 中恰有一个偶数”正确的反设为 （ ）
A ．a ，b ，c 中至少有两个偶数
B ．a ，b ，c 中至少有两个偶数或都是奇数
C ．a ，b ，c 都是奇数
D ．a ，b ，c 都是偶数
7、函数)0(3)(3
>+-=a b ax x x f 的极大值为6,极小值为2,则)(x f 的减区间（ ）
A. （-1，1）
B. （0，1）
C. （-1，0）
D. （-2，-1）
8、若曲线y ＝x 2
＋ax ＋b 在点(0，b )处的切线方程是x －y ＋1) A ．a ＝－1，b ＝1 B ．a ＝－1，b ＝－1 C ．a ＝1，b ＝－9、若集合{}2,0,2-=P ，i 是虚数单位，则（ ） A ．P i ∈2 B ．P i ∈2)2( C ．
P i ∈2 D ．P i
∈32
10、若函数()
1log 2+-=ax x y a 有最小值，则a 的取值范围是（ ） A ．0＜a ＜1 B ．0＜a ＜2，a≠1 C ．1＜a ＜2 D ．a≥2 11、将1，2，3，…，9这9个数字填在如图的9个空格中，
要求每一行从左到右，每一列从上到下分别依次增大.当3，4 固定在图中的位置时，填写空格的方法为（ ）
A.6种
B.12种
C.18种
D.24种
12、对于R 上可导的任意函数()x f ，若满足()()01'≥-x f x ，则必有（ ） A ． ()()()1220f f f <+ B. ()()()1220f f f ≤+ C. ()()()1220f f f ≥+ D. ()()()1220f f f >+
第Ⅱ卷（共60分）
二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分.） 13．设函数()y f x =在R 上可导，则0
(1)(1)
lim
3x f x f x
?→+?-?= .
14．若函数x a x x f sin 2cos )(+=在区间)2
,6(
π
π是减函数，则a 的取值范围是 . 15．已知平行四边形OABC 的顶点,A B 分别对应复数13,42i i -+， 点O 为复平面的原点，那么顶点C 对应的复数是 16．如图1-4，在边长为e(e 为自然对数的底数)的正方形中 随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为________．
填空题答案：13.____________14.____________ 15.____________16.__________ 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17、已知z 是复数，若i z 2+为实数（i 为虚数单位），且4-z 为纯虚数． （1）求复数z ；
（2）若复数()2
mi z +在复平面上对应的点在第四象限，求实数m 的取值范围
18、求曲线y ＝x 2
，直线y ＝x ，y ＝3x 围成的图形的面积．
19、设函数()c bx ax x x f 83322
3+++=在1=x 及2=x 处取得极值．
（Ⅰ）求a 、b 的值；
（Ⅱ）当2-=c 时，求函数()x f 在区间[]3,0上的最大值．
20、已知函数()()cos sin 2344f x x x x πππ???
?+?+-+ ? ?????
．
（1）求()f x 的最小正周期； （2）若将()f x 的图像向左平移
4
π
个单位，得到函数()g x 的图像， 求函数()g x 在区间[0,]2π
上的最大值和最小值．
21、当*
∈N n 时， n
n S n 21121.....4131211--++-+-
=, 1111
1232n T n n n n =
+++++++ ．
（Ⅰ）求2121,,,T T S S ；
（Ⅱ）猜想n S 与n T 的大小关系，并用数学归纳法证明．
22、设函数()x m x
x x f ln 1
--
=。 （Ⅰ）若函数()x f 在定义域上为增函数，求实数m 的取值范围； （Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若函数()[]e x x e
x x x h ,1,,1
ln 21∈?--=，使得()()21x h x f ≥成立，求实数m 的取值范围。
2014-2015年度第二学期第一次月考
高二数学试卷
1-12 ACCDC BADBC AC
13. (－∞，2]； 14. 4； 15．i 53+； 16. 2
e 2
17．、解：（1）设(),z x yi x y R =+∈． 1分 由2z i +i y x )2(++=为实数，得02=+y ，即2y =-． 3分 由4z -yi x +-=)4(为纯虚数，得4x =． 5分 ∴i z 24-=． 6分
（2）∵i m m m mi z )2(8)124()(22-+++-=+， 8分
根据条件，可知?????<->-+,
0)2(8,
04122
m m m
解得22<<-m ，
∴实数m 的取值范围是()2,2-． 10分 18．.解：由图知
4分
解方程组???==x y y x 2，得交点（1，1），解方程组???==x
y y x
32，得交点（3，9）
，由此所围图形面积为：3
13
)3()3(10
3
1
2
=
-+-=??dx x dx x x s x 。 12分 19.解： ①解： 2
()663f x x ax b '=++，
因为函数()f x 在1x =及2x =取得极值，则有(1)0f '=，(2)0f '=．
即6630241230a b a b ++=??
++=?，
．
解得3a =-，4b =．
②由（Ⅰ）可知，32()29128f x x x x c =-++，
2()618126(1)(2)f x x x x x '=-+=--．
当(01)x ∈，
时，()0f x '>；当(12)x ∈，时，()0f x '<；当(23)x ∈，时，()0f x '>． 所以，当1x =时，()f x 取得极大值(1)58f c =+， 又(0)8f c =，(3)98f c =+．
则当[]03x ∈，时，()f x 的最大值为(3)987f c =+=-．
20．解 (1) (
)()
cos sin 2344f x x x x πππ???
?+?+-+ ? ?????
2sin 22π?
?=++ ??
?x
x
sin 2=x x 2sin 23π??=+ ???x 4分 22π
π∴=
=T . 6分
(2)由已知得
()2sin 2443g x f x x πππ???
???=+=++ ? ???
??????， 2sin 2=2cos(2)
233x x πππ?
?=+++ ??
? 8分 0,2π??
∈???? x ，
42,333x πππ??∴+∈??
??， 10分 故当
23
x π
π
+
=即
3x π
=
时，()min 2
3g x g π??
==- ???；
当
233x ππ
+=即0x =时，()max
13g x g π??
== ???， 21．解：(1) 1112S T ==
，227
12
S T ==； （2）猜想：n n S T =（*
n N ∈）
证明：(1)当1n =时，11S T =； （2）假设当n k =时，k k S T =， 即11111111112342121232k k k k k k
-
+-++-=++++-+++ ， 当1n k =+时
111111112342122122k k k k -+-++-+--++ 111111()12322122k k k k k k =+++++-+++++ 111111()()12223221k k k k k k =-++++++++++ 111112322122
k k k k k =+++++++++ ，即11k k S T ++=， 结合（1）（2），可知*
n N ∈，n n S T =成立.
22．（Ⅰ）当a =1时，()f x =2x e x x --，()f x '= 21x e x --,
从而得(1)f =2e -，(1)f '=3e -，
故曲线y =()f x 在点（1, (1)f ）处的切线方程为2y e -+=(3)(1)e x --， 即(3)10e x y --+=； 4分
（Ⅱ）由()f x ≥0，得ax ≤2
x
e x -，∵x ≥2，∴a ≤2x e x x
-，
令()g x =2x e x x -，则()g x '=2
2
(1)x e x x x --，
再令()h x =2(1)x e x x --，则()h x '=(2)x
x e -， ∵x ≥2，∴x
e ≥2
e ≥2，∴()h x '≥0， ∴()h x 在． 12分