15.4 角的平分线（1）
——角平分线的性质
年级：八年级 学科：数学 执笔：曹用文 审核：
内容：角平分线的性质 课型：新授课 时间：2013 年12月23日 学习目标： 1、通过学习角平分线性质定理的过程，掌握该定理，并运用之进行证明、计算、作图，以
及掌握该定理在三角形中的应用；
2、通过探索与证明，进一步发展推理意识及能力；
3、证明是严密推理的方法，并培养自身的逆向思维能力。 学习重点： 角平分线性质定理。 学习难点： 掌握角平分线性质定理并进行证明。 教学过程： 【忆一忆，写一写】
1、角平分线的定义：
2、如何做出一个已知角的角平分线？
已知：∠ＡＯＢ
求作：∠ＡＯＢ的平分线。（一定要做哦。）
作法：
【听一听，想一想】
探究：OC 是∠AOB 的平分线，点P 是射线OC 上的任意一点， 操作测量：取点P 的三个不同的位置，分别过点P 作PD ⊥OA ，PE ⊥OB,点D 、E 为垂足，测量PD 、PE 的长.将三次数据填入下表：观察测量结果,猜想线段PD 与PE 的大小关系，写出结论。
猜想： 证明：
形成结论：
角平分线的性质定理： 书写格式： ∵∠AOC ＝∠BOC ，PD ⊥OA ，PE ⊥OB ， ∴PD ＝PE （角的平分线上的点到角的两边的距离相等）
【论一论，讲一讲】 1、下列推理步骤是否正确 如图，点P 在 ∠AOB 的平分线上，小明在证明中写到： ∵OP 平分AOB ， ∴ PE ＝PF
O A B O A B C
D E P O A
B
P F E
2、已知：OP平分∠AOB，PE⊥OA,PF⊥OB，PE＝3，求：PF＝？
3、如图，已知AD为△ABC的角平分线，∠B=90°，DF⊥AC，垂足为F，DE=DC，
求证BE=CF。
【测一测，比一比】
1、点P在∠AOB的角平分线上，PE⊥ OA,PF⊥OB,且PE+PF=8，则PF=
2、在Rt△ABC中，∠C =90°，AD平分∠BAC交BC于点D, BC=32,BD:CD=9:7,则点D到AB的距离是。
3、如图，已知AD是△ABC的角平分线，且D为BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，求证：BE=CF
4、OM平分∠BOA，P是OM上的任意一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D、E，下列结论中错误的是（）
A、PD=PE
B、OD=OE
C、∠DPO=∠EPO
D、PD=OD
5、与相交的两直线距离相等的点在（）
A、一条直线上
B、一条射线上
C、两条互相垂直的直线上
D、以上都不对
6、如图所示，AD平分∠BAC，DE⊥AB，垂足为E，DF⊥AC，垂足为F，
则下列结论不正确的是（）
A:△AEG≌△AFG B:△AED≌△AFD
C:△DEG≌△DFG D:△BDE≌△CDF
7、如图在两条交叉的公路L1与L2之间有两家工厂A、B，现在要修一个货物中转站，使它到两条公路的距离相等，以及到两个工厂距离相等，你能帮助确定中转站的地址吗？请试试。
8、AM平分∠BAC，O为AM上一点，过点O做FG⊥AB,DE⊥AC,
垂足分别为F、D,分别交AC、AB于点G、E，试探究线段OE与线段OG的关系，并证明你的猜想。
【教学（学习）反思】
15.4 角的平分线（2）
——角平分线的判定 年级：八年级 学科：数学 执笔：曹用文 审核：
内容：角平分线的判定 课型：新授课 时间：2013 年12月23日 学习目标： 1、通过学习角平分线判定定理的过程，掌握该定理，并运用之进行证明、计算，以及掌握
该定理在三角形中的应用；
2、能够证明三角形的三条角平分线相交于一点这一定理。
3、进一步发展学生的推理证明意识和能力。 学习重点： 角平分线判定定理。 学习难点： 掌握角平分线判定定理并进行证明。 教学过程：
【忆一忆，写一写】 三角形角平分线性质定理：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。
书写格式：
【听一听，想一想】
探究一：上面定理的逆命题是:＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。它是真命题吗？（ ）；如果是，你作证明它？ 已知： 求证：
证明：
结论： 书写格式：
探究二：已知：如图，设△ABC 的角平分线BM 、CN 交于P ，
求证：P 点在∠BAC 的平分线上。
定理：三角形的三条角平分线交于 点，并且这一点到三条边的距离 。
引申：三角形的三条角平分线交于一点，若设这一点到其中一边的距离为m ，三边长分别为a 、b 、c ，则三角形的面积S= 。
对应练习：
1、已知：△ABC 中，BP 、CP 分别是∠ABC 和∠ACB 的角平分线，且交于P,若P 到边AB 的距离为3cm ， △ABC 的周长为18cm ，则△ABC 的面积为 。
2、到三角形三边距离相等的点是（ ）
A 、三条中线的交点；
B 、三条高的交点；
C 、三条角平分线的交点；
D 、不能确定
O A B
C D E P O A B C D E P
【论一论，讲一讲】
例：△ABC中，AC=BC, ∠C=900,AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E。
（1）已知：CD=4cm,求AC长
（2）求证：AB=AC+CD
【测一测，比一比】
1、到一个角的两边距离相等的点在。
2、△ABC中，∠C=900,∠A的平分线交BC于D,BC=21cm,BD:DC=4:3,则D到AB的距离为 .
3、Rt△ABC中，AB=AC,BD平分∠ABC，DE⊥BC
于E，AB=8cm，则DE+DC= cm。
4、△ABC中，∠ABC和∠BCA的平分线交于O,则
∠BAO和∠CAO的大小关系为。
5、Rt△ABC中，∠C=900，BD平分∠ABC，CD=n，AB=m，则△ABD的面积
是。
6、已知：OP是∠MON内的一条射线，AC⊥OM,AD⊥ON,BE⊥OM,BF⊥ON,垂足分别为C、D、E、F，且AC=AD 求证：BE=BF
中考真题：三条公路围成了一个三角形区域，今要在这个三角形区域内建一果品批发市场到这三条公路的距离相等，试找出批发市场的位置。
【教学（学习）反思】
一、尺规作图 1. 作一个角等于已知角的方法 已知：∠AOB ，求作：∠A ′O ′B ′=∠AOB. 作法： 1.以点O 为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA ，OB 于点C ，D ； 2.画一条射线O ′A ′，以点O ′为圆心，OC 长为半径画弧，交O ′A ′于点C ′； 3.以点C ′为圆心，CD 长为半径画弧，与第2步中所画的弧交于点D ′； 4.过点D ′画射线O ′B ′，则∠A ′O ′B ′=∠AOB. 2. 先任意画出一个△ABC.再画一个△A ′B ′C ′，使 A ′ B ′=AB , B ′C ′=BC ，C ′A ′ =CA. O A B C D O′ A′ B′ C′ D′
作法： 画一个△A′B′C′，使A′B′=AB, A′C′=AC，B′C′=BC ： （1）画B′C′=BC； （2)分别以点B′,C′为圆心，线段AB，AC长为半径 画弧，两弧相交于点A′; (3)连接线段A′B′，A′C′. 二、角的平分线 导入： 小明家居住在通州区一栋居民楼的一楼，刚好位于一条暖气和天然气管道所成角的平分线上的P点，要从P 点建成两条管道，分别与暖气管道和天然气管道相连. 问题1：怎样修建管道最短？ 问题2: 新修建的两条管道的长有什么关系，画来看一看. 角的平分线的画法 图12.3-1是一个平分角的仪器，其中AB= AD，BC=DC.将点A放在角的顶点，AB和AD 着角的两边放下，沿AC画一条射线AE，AE就是这个角的平分线,你能说明它的道理吗？
作已知角的平分线的方法. 已知：∠AOB. 求作：∠AOB 的平分线. 作法：（1)以点O 为圆心，适当长为半径画弧，交OA 于点M ，交OB 于点N. (2)分别以点M ，N 为圆心，大于 MN 的长为半径画弧，两弧在∠AOB 的内部相交于点C. (3)画射线OC.射线OC 即为所求（如图). 理论根据：作角平分线的理论根据是三角形全等的判定方法：“SSS ”． 拓展：根据角平分线的作法还可以作已知角的四等分线． 注意： “大于 MN 的长为半径画弧”是因为若以小或等于 MN 的长为半径画弧时，画出的两弧不能相交． 如图所示，已知∠AOB ，求作：∠AOM ＝ ∠AOB. 1 2 12 12 14
理是什么？物理量是什么？ 物理是一门关于物质、运动和能量的科学，涉及到很多对象或类，基本分为力、热、电、光和声学，又细分为原子物理、核物理、固体物理、化学物理等。为了了解、认识、区别和衡量这些学科中的对象，定量和定性描述成为必然，物理量就起到了这个作用。描述一个对象或系统需要多个物理量，在工程设计和选择中，了解这些物理量非常重要。 物理量的定义为物体可测量的量，或其属性可量化；或物体的属性通过测量可量化。一个物理量包括它的定义、单位和符号表示。物理量又分为基本物理量和导出物理量。物理量由‘数量’和‘单位’构成。国际上定义了7个基本物理量包括长度、质量、时间、电流、温度、物质的量、和光流明强度，称为“LMTIQNJ”（length L, mass M, time T, electriccurrent I, thermodynamic temperature Q, amount of substance N and luminousintensity J）。物理量又分为矢量和标量等。 值得注意的是，这七个基本量中只有电流是矢量，其余都是标量！时间又是个不可逆的量。最有趣的是‘物质的量’这个物理量，居然是个‘数目’，是一摩尔物质中所含的原子数。 导出物理量是从基本物理量中引出的，比如力、速度、密度等。物理量的定义及其描述和研究成为人们对物理世界研究和认识的基础和出发点。物理世界的大厦也就是建立在这些物理量的基础之上。 物理量用符号来表示和记忆，言简意赅，直指物性。 物理量不仅是个符号，更有其内涵和实际意义。通过定义，使得被研究对象的特征属性更加清晰明了，不仅有各自的属性，如：磁、电、手性、自旋、频率等，还有大小轻重快慢的反映。有了物理量，不同对象之间还可以进行比较，还能够进行运算和推导等。物理量的定义就起到了这些作用。因此，物理量是一种属性，是一种标志，是一种和其它量的差别或区别。 物理量是否一定要能够“直接”测量吗？导出物理量就属于间接测量出来的。比如，速度（米/秒），就需要分别测量位移和时间。 物理的实在性或可操作性是源于它的可测量性和可观察性，即物理的实在性，因此，描述物理现象和过程的物理量都是实实在在的物理量，都有其具体含义。物理量的测量就包含了间接的测量。事实上，物理中绝大部分的物理量都不是直接测量得到的。 物理常数是物理量吗？以前似乎从来没有人讨论过这个问题。比如，普朗克常数k，波尔兹曼常数h。它们无疑都是物理量，它们不仅有数量，还有单位，比如，k=6.62X10-34焦耳秒，而且其精度在不断被提高和认知。
第3课时 角平分线的性质 1．经历角的平分线性质的发现过程，初步掌握角的平分线的性质定理；(重点) 2．能运用角的平分线性质定理解决简单的几何问题．(难点) 一、情境导入 问题：在S 区有一个集贸市场P ，它建在公路与铁路所成角的平分线上，要从P 点建两条路，一条到公路，一条到铁路． 问题1：怎样修建道路最短？ 问题2：往哪条路走更近呢？ 二、合作探究 探究点一：角平分线的性质 【类型一】 利用角平分线的性质证明线段相等 如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于E ，F 在AC 上，∠FDC ＝∠BDE .试说明：(1)CF ＝EB ；(2)AB ＝AF ＋2EB . 解析：(1)根据角平分线的性质，可得点D 到AB 的距离等于点D 到AC 的距离，即DE ＝DC .再根据△CDF ≌△EDB ，得CF ＝EB ；(2)利用角平分线的性质可得△ADC 和△ADE 全等，从而得到AC ＝AE ，然后通过线段之间的相互转化进行求解． 解：(1)∵AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB ，DC ⊥AC ，∴DE ＝DC .∵在△CDF 和△EDB 中，∵?????∠C ＝∠DEB ＝90°，DC ＝DE ，∠FDC ＝∠BDE ， ∴△CDF ≌△EDB (ASA)．∴CF ＝EB ； (2)∵AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB ，DC ⊥AC ，∴∠CAD ＝∠EAD ，∠ACD ＝∠AED ＝90°.在△ADC 和△ADE 中，∵?????∠CAD ＝∠EAD ，∠ACD ＝∠AED ，AD ＝AD ， ∴△ADC ≌ △ADE (AAS)，∴AC ＝AE ，∴AB ＝AE ＋BE ＝AC ＋EB ＝AF ＋CF ＋EB ＝AF ＋2EB .
物理量的定义、定义式和决定式 物理量指的是量度物质的属性和描述其运动状态时所用的各种量值，分为基本物理量和导出物理量。很多物理量又是基本物理概念，是建立物理规律的基础，所以理解好物理量的定义，掌握其定义式和决定式，对学好物理知识是非常重要的。 一、基本物理量的定义 基本物理量由人们根据需要选定的，在不同时期选定的基本物理量有所不同，从1971年选定的基本物理量已有七个，它们分别是长度、质量、时间、电流、热力学温度和发光强度。 基本物理量（包括单位）是依据选定的一个标准（国际公认）来定义的，不是用其它物理量定义的，所以基本物理量没有定义式和决定式。 二、导出物理量的定义和定义式 现在基本物理量只有七个，其余的物理量都是导出物理量，导出物理量是借助其它两个或两个以上物理量来定义的，它需要用一定的公式来表达。导出物理量一般包含两层意义，其一是要阐明其物理属性；其二是其量度方法，要说明量度方法，就要给出定义式。 导出物理量的定义式，可分为两类： 1.用其它物理量的比值来定义 例如功率是导出物理量，其定义为：做功的快慢可用功率来表示（物理属性），功W跟完成这些功所用时间t的比值叫功率（量度方法），其定义式为p=w/t。 用比值来定义的导出物理量很多，如密度、速度、加速度、电场强度、电容、磁感应强度等，根据其定义给出的定义式分别为ρ=m/v、v=s/t、a=（v t-v0）/t、E=F/q、C=Q/U、B=F/IL（B⊥I） 2.用其它物理量的乘积来定义 例如动能是导出物理量，其定义为：物体由于运动而具有的能量叫动能，是一种量度机械运动的物理量（物理属性），物体的动能等于物体质量m与速度v的二次方的乘积的一半（量度方法），其定义式为E k=mv2/2。 用乘积来定义的导出物理量还有功、重力势能、动量等，其定义式分别为W=Fscosα、E p=mgh、p=mv等。 三、导出物理量的决定式 决定式是表征某一导出物理量受其它物理量的制约或决定的公式，当决定式中的其它物理量一定时，该导出物理量也一定；当决定式中的其它物理量变化时，该导出物理量也随之变化，总而言之，导出物理量由决定式中的其它物理量来决定。 1.用比值来定义的导出物理量，其定义式说明的只是量度方法，并不是决
角的平分线性质及应用 我们知道，把一个角分成两个相等的角的射线，叫做角的平分线．关于角的平分线，它有两个重要性质 （1）性质定理：在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等； （2）性质定理的逆定理：到一个角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上．利用角的平分线的性质定理可以证明题目中某两条线段相等；利用性质定理的逆定理可以证明某两个角相等，下面举例说明角的平分线的应用． 例1．三角形内到三边的距离相等的点是（）的交点． （A）三条中线（B）三条高（C）三条角平分线（D）以上均不对． 解：由角平分线性质定理的逆定理可知：应选（C）． 例2．如图1，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P， 试问：P到AB、BC、CA的距离相等吗？ 解：相等．理由如下： 过P作PD、PE、PF分别垂直于AB、BC、CA，垂足 为D、E、F， ∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上，∴PD=PE，同 理PE=PF， ∴PD=PE=PF，即点P到边AB、BC、CA的距离相等． 例3．如图2，△ABC中，∠C=900，AD平分∠BAC，BD=4，BC=7， 则D到AB的距离是． 分析：∵∠C=900，∴DC⊥CA，过点D作DE⊥AB， 垂足为E，∵AD平分∠BAC，∴DE=DC=BC－BD=7－4=3， 即点D到AB的距离是3． 例4．如图3，△ABC中，∠B、∠C的角平分线相交于O，下面结论中正确的是（）． （A）∠1＞∠2（B）∠1=∠2（C）∠1＜∠2（D）不能确定．分析：由例2知点O到△ABC的三边距离相等，因此点在∠ 的平分线上，即AO平分∠BAC，故选（B）．例5．如图4 ，在△ABC中，∠A=900，BD是角平分线， B D C 图2 B C 图１ 图３
12.3 角的平分线的性质 一、教学分析 1．教学容分析 本节课是新人教版教材《数学》八年级上册第12.3节第一课时容，是在七年级学习了角平分线的概念和前面刚学完证明直角三角形全等的基础上进行教学的．容包括角平分线的作法、角平分线的性质及初步应用．作角的平分线是基本作图，角平分线的性质为证明线段或角相等开辟了新的途径，体现了数学的简洁美，同时也是全等三角形知识的延续，又为后面角平分线的判定定理的学习奠定了基础．因此，本节容在数学知识体系中起到了承上启下的作用．同时教材的安排由浅入深、由易到难、知识结构合理，符合学生的心理特点和认知规律．2．教学对象分析 刚进入八年级的学生观察、操作、猜想能力较强，但归纳、运用数学意识的思想比较薄弱，思维的广阔性、敏捷性、灵活性比较欠缺，需要在课堂教学中进一步加强引导．根据学生的认知特点和接受水平，我把第一课时的教学任务定为：掌握角平分线的画法及会用角平分线的性质定理解题，同时为下节判定定理的学习打好基础． 3．教学环境分析 利用多媒体技术可以方便地创设、改变和探索某种数学情境，在这种情境下，通过思考和操作活动，研究数学现象的本质和发现数学规律．根据如今各学校实际教学环境及本节课的实际教学需要，我选择多媒体、投影仪等教学系统辅助教学，将有关教学容用动态的方式展示出来，让学生能够进行直观地观察，并留下清晰的印象，从而发现变化之中的不变．这样，吸引了学生的注意力，激发了学生学习数学的兴趣，有利于学生对知识点的理解和掌握． 二、教学目标 1、知识与技能： 1.掌握作已知角的平分线的尺规作图方法。 2. 利用逻辑推理的方法证明角平分线的性质，并能够利用其解决问题． 2、过程与方法： 1.在探究作已知角的平分线和角平分线的性质的过程中，发展几何直觉。 2.提高综合运用三角形全等的有关知识解决问题的能力. 3.初步了解角的平分线的性质在生活、生产中的应用. 3、情感态度价值观：
角的平分线的性质 知识点1：角平分线的性质 1．如图11.3-1所示,在△ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠BAC ，BC=20cm ，DB=17cm ，则D 点到AB 的距离是_________． 2．如图11.3-2所示，点D 在AC 上，∠BAD=∠DBC ，△BDC 的内部到 ∠BAD 两边距离相等的点有_______个，△BDC 内部到∠BAD 的两边、∠DBC 两边等距离的点有_____个． 图11.3-1 图11.3-2 图11.3-3 3.如图11.3-3，在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠BAC 的平分线AD 交BC 于点D ，CD=2，则点D 到AB 的距离是 （ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 4．如图11.3-4，已知AC ⊥BC ，DE ⊥AB ，AD 平分∠BAC ，下面结论错误的是（ ） A ．BD+ED=BC B ．DE 平分∠ADB C ．A D 平分∠EDC D ．ED+AC ＞AD 图11.3-4 图11.3-5 5．如图11.3-5，Q 是△OAB 的角平分线OP 上的一点，PC ⊥OA 于C ，PD ⊥OB 于D ，QE ⊥OB 于E ，FQ ⊥OQ 交OA 于F ，则下列结论正确的是 （ ） A ．PA=P B B ．PC=PD C ．PC=QE D ．QE=QF 6．如图11.3-6，AP 平分∠BAC ，PE ⊥AC ，PF ⊥AB ，垂足分别为E 、F ，点O 是 AP 上任一点（除A 、P 外）．求证：OF=OE ． B D A E A D C B A C B D A B C D E A O B P C D F E Q
气象要素和物理量定义（搬自师姐处） lats4d -i your_input_file.nc -ftype sdf -o your_outpu_file -format grads_grib 1. 海平面气压P sea单位：百帕（hPa） 2. 等压面高度H 单位：位势米 3. 温度T 单位：摄氏度（?C）；绝对温度（?K） 4. 东西风U单位：米/秒（m/s）, 通常正值为西风，负值为东风。 5. 南北风Ｖ单位：米/秒（m/s），通常正值为南风，负值为北风。 6.垂直速度ω 单位：百帕／秒（hPa·s-1），天气尺度的量级一般为10-3。 ●物理意义ω＝dP/dT为P坐标里的垂直速度，负值表示上升运动，正 值表示下沉运动 ●应用 一定强度的上升运动是形成降水的条件之一，通常是诊断预报大 雪、暴雨、强对流等天气的物理量之一。 ７．散度D 常用的是水平风散度，D=?u/?x+?v/?y,单位：／秒（s-1）。 ●物理意义由于水平风的不均匀造成空气在单位时间单位面积上的相对膨胀率。 ●应用 在诊断降水预报中有很重要的作用，低空辐合高空辐散是构成 上升运动的充分和必要条件，此外水汽的汇合主要也是靠低空流场的辐 合。 ８．涡度ζ常用的是p坐标中的水平风的涡度，也就是涡度的垂直分量 ζ=?v/?x-?u/?y。 ●物理意义单位面积内空气旋转速率的平均情况。ζ>0表示气旋式旋 转，ζ<0表示反气旋式旋转。单位:/秒（s-1），天气尺度的量级为
10-5。 ●应用 通常用来表征天气系统涡旋度之强度。 9．比湿q ●定义单位质量湿空气实际含有的水汽质量。单位:g/kg(克/千克)。 10．相对湿度RH ●定义实际空气的湿度与在同一温度下达到饱和状况时的湿度之比值。单位：% 11．水汽通量用来表示水汽水平输送的强度。 ●物理意义每秒钟对于垂直于风向的、一厘米宽、一百帕高的截面所 流过的水汽克数，它是一个向量，方向与风速相同。单位：克/厘米·百 帕·秒（g/cm·hPa·s）。 ●应用 通常用来判断水汽来源，水气的输送方向和强度以及与环流系 统的关系等。 12．水汽通量散度? ●定义单位时间、单位体积内辐合或辐散的水气量。单位：克/厘米 2·百帕·秒（g/cm2·hPa·s）。天气尺度量级为10-7-10-6。 ●应用 通常用来定量地判断水汽在某些地区的汇聚与辐合，是诊断降 水的条件之一。 13．假相当位温θse ●定义 空气微团绝热上升，将所含的水汽全部凝结放出，再干绝热下 降到1000百帕时的温度。单位：绝对温度（°K）。 ●应用 θse随高度的分布能反映气层对流性稳定的情况。当?θse /?z>0 时，气层上干下湿，呈对流性不稳定；当?θse /?z<0时，气层为上湿下干，呈对流性稳定。 14．涡度平流即涡度的水平输送， =-(uζ?/?x+vζ?/?y)。 ●物理意义表示相对涡度在水平方向上不均匀时，由于空气的水平运 动所引起的涡度局地变化。涡度平流的符号决定于涡度与风的水平分 布，其强度与涡度梯度和垂直于等涡度线的风速成正比。
角平分线的性质 一、本节学习指导 角平分线的性质有助于我们解决三角形全等相关题型。其实不仅仅是角平分线，还有三角形的中位线、高、中心都是解决三角形题目有效的途径。本节有配套免费学习视频。 二、知识要点 1、角平分线的定义：从一个角的顶点出发把一个角分成两个相等的角的射线叫做角的平分线。 如下图：OC平分∠AOB ∵OC平分∠AOB ∴∠AOC=∠BOC 2、角的平分线的性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等。【重点】 如第一个图： ∵OC平分∠AOB（或∠1=∠2），PE⊥OA,PD⊥OB ∴PD=PE,此时我们知道△OPE≌△OPD（直角三角形斜边是OP即公共边，直角边斜边） 3、角的平分线的判定：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上。 如第一个图： ∵PE⊥OA,PD⊥OB,PD=PE ∴OC平分∠AOB（或∠1=∠2）
4、线段的中点的定义：把一条线段分成两条相等的线段的点叫做线段的中点。 如下图： ∵C是AB的中点 ∴AC=BC 5、垂直的定义：两条直线相交所成的四个角中有一个是直角，这两条直线互相垂直。 如图：【重点】 ∵AB⊥CD ∴∠AOC=∠AOD=∠BOC =∠BOD=90° 或∵∠AOC=90° ∴AB⊥CD 注意：要判断两条直线垂直，只要知道这两条相交直线所形成的四个角中的 一个角是直角就可以了。反过来，两条直线互相垂直，它们的四个交角都是直角。 6、全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等。 ∵△ABC≌△A'B'C' ∴AB=A'B',BC=B'C',AC=A'C'; ∠A=∠A', ∠B=∠B', ∠C=∠C'
12.3 《角的平分线的性质》教案 台前县吴坝镇中学李桂香 一、教学背景的分析 1、教学内容 本节课是在七年级学习了角平分线的概念和前面刚学完证明直角三角形全等的基础上进行教学的。内容包括角平分线的作法、角平分线的性质及初步应用。作角的平分线是基本作图，角平分线的性质为证明线段或角相等开辟了新的途径，体现了数学的简洁美，同时也是全等三角形知识的延续，又为后面角平分线的判定定理的学习奠定了基础。因此，本节内容在数学知识体系中起到了承上启下的作用。同时教材的安排由浅入深、由易到难、知识结构合理，符合学生的心理特点和认知规律。 2、学生 刚进入八年级的学生观察、操作、猜想能力较强，但归纳、运用数学意识的思想比较薄弱，思维的广阔性、敏捷性、灵活性比较欠缺，需要在课堂教学中进一步加强引导。根据学生的认知特点和接受水平，我把第一课时的教学任务定为：掌握角平分线的画法及会用角平分线的性质定理解题，同时为下节判定定理的学习打好基础。 3、教学环境 利用多媒体技术可以方便地创设、改变和探索某种数学情境，在这种情境下，通过思考和操作活动，研究数学现象的本质和发现数学规律。 4、教学重点、难点 本节课的教学重点为：掌握角平分线的尺规作图，理解角的平分线的性质并能初步运用。教学难点是：1、对角平分线性质定理中点到角两边的距离的正确理解；2、对于性质定理的运用。 教学难点突破方法：（1）利用多媒体动态显示角平分线性质的本质内容，在学生脑海中加深印象，从而对性质定理正确使用；（2）通过对比教学让学生选择简单的方法解决问题；（3）通过多媒体创设具有启发性的问题情境，使学生在积极的思维状态中进行学习。 二、教学目标的确定
八大浪费是定义工厂在JIT生产方式中的，其浪费的含义与社会上通常所说的浪费有所区别。对于JIT 来讲，凡是超出增加产品价值所必需的绝对最少的物料、设备、人力、场地和时间的部分都是浪费。因此，JIT生产方式所讲的工厂的浪费归纳为八大种，分别是：不良、修理的浪费，过分加工的浪费，动作的浪费，搬运的浪费，库存的浪费，制造过多过早的浪费，等待的浪费和管理的浪费，简称为八大浪费。 2具体表现 1．不良、修理的浪费 所谓不良、修理的浪费，指的是由于工厂内出现不良品，需要进行处置的时间、人力、物力上的浪费，以及由此造成的相关损失。这类浪费具体包括：材料的损失、不良品变成废品；设备、人员和工时的损失； 额外的修复、鉴别、追加检查的损失；有时需要降价处理产品，或者由于耽误出货而导致工厂信誉的下降。 2．加工的浪费 加工的浪费也叫过分加工的浪费，主要包含两层含义：第一是多余的加工和过分精确的加工，例如实际加工精度过高造成资源浪费；第二是需要多余的作业时间和辅助设备，还要增加生产用电、气压、油等能源的浪费，另外还增加了管理的工时。 3．动作的浪费 动作的浪费现象在很多企业的生产线中都存在，常见的动作浪费主要有以下12种：两手空闲、单手空闲、作业动作突然停止、作业动作过大、左右手交换、步行过多、转身的角度太大，移动中变换“状态”、不明技巧、伸背动作、弯腰动作以及重复动作和不必要的动作等，这些动作的浪费造成了时间和体力上的不必要消耗。 4．搬运的浪费 从JIT的角度来看，搬运是一种不产生附加价值的动作，而不产生价值的工作都属于浪费。搬运的浪费具体表现为放置、堆积、移动、整列等动作浪费，由此而带来物品移动所需空间的浪费、时间的浪费和人力工具的占用等不良后果。 国内目前有不少企业管理者认为搬运是必要的，不是浪费。因此，很多人对搬运浪费视而不见，更谈不上去消灭它。也有一些企业利用传送带或机器搬运的方式来减少人工搬运，这种做法是花大钱来减少工人体力的消耗，实际上并没有排除搬运本身的浪费。 5．库存的浪费 按照过去的管理理念，人们认为库存虽然是不好的东西，但却是必要的。JIT的观点认为，库存是没有必要的，甚至认为库存是万恶之源。如图1－1，由于库存很多，将故障、不良品、缺勤、点点停、计划有误、调整时间过长、品质不一致、能力不平衡等问题全部掩盖住了。 例如，有些企业生产线出现故障，造成停机、停线，但由于有库存而不至于断货，这样就将故障造成停机、停线的问题掩盖住了，耽误了故障的排除。如果降低库存，就能将上述问题彻底暴露于水平面，进而能够逐步地解决这些库存浪费.。 6．制造过多过早的浪费 制造过多或过早，提前用掉了生产费用，不但没有好处，还隐藏了由于等待所带来的浪费，失去了持续改善的机会。有些企业由于生产能力比较强大，为了不浪费生产能力而不中断生产，增加了在制品，使得制品周期变短、空间变大，还增加了搬运、堆积的浪费。此外，制造过多或过早，会带来庞大的库存量，利息负担增加，不可避免地增加了贬值的风险。 7．等待的浪费 由于生产原料供应中断、作业不平衡和生产计划安排不当等原因造成的无事可做的等待，被称为等待的浪费。生产线上不同品种之间的切换，如果准备工作不够充分，势必造成等待的浪费；每天的工作量变动幅度过大，有时很忙，有时造成人员、设备闲置不用；上游的工序出现问题，导致下游工序无事可做。此外，生产线劳逸不均等现象的存在，也是造成等待浪费重要原因。
作已知角的平分线 一、教材分析 1、教材所处的地位和前后联系： “作已知角的平分线”是华东师大版数学八年级上册第十三章《全等三角形》中第四节尺规作图的内容。七年级时学生已经学习过尺规作图的前两种基本作图：“作一条线段等于已知线段”和“作一个角等于已知角”，本节的第一课时和第二课时带领学生做了回顾，所以严格地说这节课是本学期尺规作图部分真正的新课——第三种基本作图，位于全等三角形之后学习，给本节课提供了充分的理论依据，同时它也是下节课“经过一已知点作已知直线的垂线”的基础。 2、教学目标： 根据大纲要求和教材的特点，结合八年级学生的实际水平，本节课我确定了如下教学目标： (1)知识与技能目标：通过真正的实践操作，掌握作已知角的平分线的方法及步骤， 了解作图的语言，能说明作图的道理。 (2)过程与方法目标：经历动手操作和推理论证活动，发展学生的逻辑思维能力，积 累数学活动的经验，在动手实践中学会与人合作、彼此交流。 (3)情感与态度目标：培养学生的作图能力及动手能力，获得动手的乐趣和成就感， 体会数学作图语言和图形的和谐统一。 3、教学重点： 规范使用尺规，掌握作已知角的平分线的方法及步骤。 4、教学难点： 能用恰当的数学语言表述作图过程。 二、教法分析 本节课主要采用教师直观演示，学生实验操作的教学方法，让学生亲身经历知识的形成过程，有利于学生更好地理解与应用数学，更能获得动手的乐趣和成就感，增强学习数学的兴趣和信心。因此在教法上，尽可能地组织学生自主动手、参与实践的数学活动，并且自己进行推理论证操作的正确性，培养学生的逻辑思维能力。教学中充分发挥学生“爱动”的年龄特点，调动学习数学的积极性，促使学生进入最佳的学习状态。 教学准备：白板，投影仪，尺规。 三、学法指导 根据初二学生的认知特点，以学生原有知识经验为基础，从直观动手出发，以观察、操作、感受、推理论证的学习方法为主，动手实践与合作交流是学生本节课的主要学习方
国际单位制中七个基本物理量的定义是什么 长度:米(m) 1. 1790年5月由法国科学家组成的特别委员会，建议以通过巴黎的地球子午线全长的四千万分之一作为长度单位——米 2. 1960年第十一届国际计量大会：“米的长度等于氪－86原子的2P10和5d1能级之间跃迁的辐射在真空中波长的1650763．73倍”。 3. 1983年10月在巴黎召开的第十七届国际计量大会：“米是1／299792458秒的时间间隔内光在真空中行程的长度” 质量：千克（kg） 1000立方厘米的纯水在4℃时的质量， 时间：秒（s） 1967年的第13届国际度量衡会议上通过了一项决议，采纳以下定义代替秒的天文定义：一秒为铯-133原子基态两个超精细能级间跃迁辐射9,192,631,770周所持续的时间。 国际原子时是根据以上秒的定义的一种国际参照时标，属国际单位制(SI)。 电流：安培（A） 安培是一恒定电流，若保持在处于真空中相距1米的两无限长，而圆截面可忽略的平行直导线内，则两导线之间产生的力在每米长度上等于2×10-7牛顿。该定义在1948年第九届国际计量大会上得到批准，1960年第十一届国际计量大会上，安培被正式采用为国际单位制的基本单位之一。安培是为纪念法国物理学家A.-M.安培而命名的。 热力学温度：开尔文（K） 开尔文英文是Kelvin 简称开，国际代号K，热力学温度的单位。开尔文是国际单位制（SI）中7个基本单位之一，以绝对零度（0K）为最低温度，规定水的三相点的温度为273.16K，1K等于水三相点温度的1／273.16。热力学温度T与人们惯用的摄氏温度t的关系是T＝t＋273.15，因为水的冰点温度近似等于273.15K，并规定热力学温度的单位开（K)与摄氏温度的单位摄氏度（℃)完全相同。开尔文是为了纪念英国物理学家Lord Kelvin而命名的。 发光强度：坎德拉（cd）
课 题：11.3 角的平分线的性质（1） 课 型：新授课 教学目标： 1、知识与技能：应用三角形全等的知识，解释角平分线的原理．会用尺规作一个已知角的 平分线． 2、过程与方法：通过操作、探究角的平分线的性质 3、情感、态度与价值观：敢于面对教学活动中的困难，能通过合作交流解决遇到的困难。 教学重点：利用尺规作已知角的平分线． 教学难点：角的平分线的作图方法的提炼。 教学方法：探究、合作交流 教学资源：三角尺、圆规、纸张 教学过程 一．提出问题，创设情境 三角形中有哪些重要线段．你能作出这些线段吗？ 二．导入新课 议一议：下图是一个平分角的仪器，其中AB=AD ，BC=DC ．将点A 放在角的顶点，AB 和AD 沿着角的两边放下，沿AC 画一条射线AE ，AE 就是角平分线．你能说明它的道理吗？ 要说明AC 是∠DAC 的平分线，其实就是证明∠CAD=∠CAB ． ∠CAD 和∠CAB 分别在△CAD 和△CAB 中，那么证明这两个三角形全等就可以了． 看看条件够不够． AB AD BC DC AC AC =??=??=? 所以△ABC ≌△ADC （SSS ）． 所以∠CAD=∠CAB ． 即射线AC 就是∠DAB 的平分线． 作已知角的平分线的方法： 已知：∠AOB ．求作：∠AOB 的平分线． 作法： （1）以O 为圆心，适当长为半径作弧，分别交OA 、OB 于M 、N ． （2）分别以M 、N 为圆心，大于2 1MN 的长为半径作弧．两弧在∠AOB 内部交于点C ． （3）作射线OC ，射线OC 即为所求． 议一议： 1．在上面作法的第二步中，去掉“大于2 1MN 的长”这个条件行吗？ 2．第二步中所作的两弧交点一定在∠AOB 的内部吗？ 总结： 1．去掉“大于2 1MN 的长”这个条件，所作的两弧可能没有交点，所以就找不到角的平分线．
当我们在日常办公时，经常会遇到一些不太好编辑和制作的资料。这些资料因为用的比较少，所以在全网范围内，都不易被找到。您看到的资料，制作于2021年，是根据最新版课本编辑而成。我们集合了衡中、洋思、毛毯厂等知名学校的多位名师，进行集体创作，将日常教学中的一些珍贵资料，融合以后进行再制作，形成了本套作品。 本套作品是集合了多位教学大咖的创作经验，经过创作、审核、优化、发布等环节，最终形成了本作品。本作品为珍贵资源，如果您现在不用，请您收藏一下吧。因为下次再搜索到我的机会不多哦！ 学生自主学习学案
一．回顾： 如图，已知AC平分∠PAQ，则∠PAC ，∠CAQ和∠PAQ之间有怎样的关系？ 二、自主学习 自学内容： 阅读课本87页，13.4.3作已知角的平分线 亲自动手完成作图： 已知：如图，∠AOB 求作：∠AOB的平分线 作法： 1、在射线OA和OB上，分别截取OD、OE，使OD=OE。 2、分别以D、E为圆心，适当长（大于线段DE的长的一半）为半径作弧，在∠AOB内，两弧交于点C。 3、作射线OC。 射线OC就是所求的射线.
4.作出图中三角形三个角的平分线。（不写画法，保留作图痕迹） 5. 已知：如图，∠AOC和∠ COB互为邻补角 （1）用尺规分别作∠AOC和∠ COB的平分线OE和OF； （2） OE和OF有怎样的位置关系？并说明理由。 当堂检测： 导学方案114页：自主测评1.2难点探究 本节课学习了什么内容？你有哪些收获？ 本课教学反思 本节课主要采用过程教案法训练学生的听说读写。过程教案法的理论基础是交际理论，认为写作的过程实质上是一种群体间的交际活动，而不是写作者的个第4题 B A C
定义物理量的原则与方法 —兼谈磁感应强度为何用 B = F/IL定义 (401326)重庆市铝城中学牟长元 定义是揭示概念内涵的逻辑方法。是从内涵角度明确概念的基本方法。概念从逻辑顺序上可区 分为基本概念和导出概念。二者定义的方法有原则的不同。导出概念可由形式逻辑定义，但基本概 念由于它是最前提的概念，故无法从形式逻辑去定义，而是基于实践提出的人为规定。 定义应遵循的重要原则 一、辩证逻辑学在定义内容上要求的普遍原则（对基本概念、导出概念均适用） 1、定义不能与客观事实、客观规律相矛盾 2、定义要反映事物的本质 3、定义不能人为的主观杜撰。基本概念是基于实践的人为规定；导出概念所依据的形式逻辑法 则与来源于实践。定义某一物理概念是实践的需要，而不是纯粹头脑中的产生物。 4、定义要全面（即完备性） 物理量定义的完备性，其定义必备下述两个方面才是完成整的：必须从两个方面定义概念 ⑴定性定义：要能反映出该物理量的本质特点 ⑵定量定义：要给出与其它已知物理量间的定量关系，即数学形式的定义式。 二、形式逻辑对导出概念定义要求的原则 总的来说，只能用确切已知的概念去正确定义未知的概念。 1、定义者的外延与被定义者的外延必须相等，即定义不能太宽或太窄。 2、定义不能是否定判断。因为否定判断一般不能使人把握其本质。 3、定义不能是一个比喻 4、定义不能循环或同义反复（一种自身的循环）。在形式逻辑中即为“定义项中不能直接或间 接包含被定义项”。即导出概念必须用已知概念去定义未在概念。例如，这样同时对能量和功下定 义就有这种弊病。“能量是物体做功的本领。功是能量转化的量度”；“物理学是研究物理的科学”等。 因此，严格的科学定义要注意概念定义的顺序。 三、物理量定义的方法 物理量是定量化的物理概念，因此它的定义有其独具的特点，即“完备性”，由定性定义和定 量定义构成。 1、基本概念物理量的“定义”方法。 基本物理量的定义是基于实验的人为规定，可以不遵守形式逻辑法则。从“完备性”考虑，基 本物理量的定义应有： 定性定义：是人为规定物质及其运动的某一基本的本质属性。 定量定义：操作性定义的要求是：人为规定单位标准；有时还须人为给定数值的定量计算式。 1
第十一章角平分线的性质 一学习目标 1. 了解角是轴对称图形和角平分线的定义，会用尺规作一个角的平分线； 2. 掌握角平分线的性质和判定； 3. 综合应用角的平分线的性质和判定解决相关问题。 二重点、难点 重点：角平分线的性质和判定。 难点：角平分线的性质和判定的综合应用。 三考点分析 对角平分线的定义及角平分线的作法进行单独命题在中考中是比较少见的，但这两个知识点属于基础知识，出题者往往将其与线段的垂直平分线、等腰三角形、四边形等知识综合在一起进行命题，题型多为作图题，属中档难度题。 角平分线的性质是本章的重要内容，它是除了用三角形全等证明线段相等之外的又一个证明线段相等的重要方法。中考命题中，多将角平分线的作法及性质与其他知识点结合在一起进行考查，题型多为选择、填空、作图题，分值在3~6分。这就要求学生必须熟练掌握用尺规作图法作角平分线的要领，并会应用角平分线的定义、性质解决相关问题。 四课时安排 安排一小时 五教学方法 探究归纳法，实践法 六教学过程 1.知识梳理 1）角平分线的定义 2）角平分线的尺规作法 3）角平分线的性质 4）角平分线的判定 2.新授 知识点一作角平分线 例1：如图，已知点C为直线AB上一点，过C作直线CM，使CM AB ⊥于C。 思路分析： 由于AB是直线，要求作CM AB ∠的平分线。根据角平分线的尺规作 ⊥，实际上就是要作平角ACB 图法就可以作出直线CM。 解答过程： 作法： 1、以C为圆心，适当的长为半径画弧，与CA、CB分别交于点D、E；
2、分别以D、E为圆心，大于1 2 DE的长为半径画弧，使两弧交于点M； 3、作直线CM。 所以，直线CM即为所求。 解题后的思考： 此题要求“大于1 2 DE的长为半径”的理由是：半径如果小于 1 2 DE，则两弧无法相交；而半径如果等 于1 2 DE，则两弧交点位于C点处，无法作出直线CM。 在数学学习中，不光要知道怎么做题，还要知道为什么要这样做。 小结： 本题属于作图题。在解决作图题时要求做到规范地使用尺规，规范地使用作图语言，规范地按照步骤 作出图形，并且作图的痕迹要保留，不能擦掉。 知识点二角平分线的性质 角平分线上的点到角的两边的距离相等。 角平分线性质的符号语言： Q P在AOB ∠的平分线上 PD OA ⊥于D，PE OB ⊥于E ∴PD PE = 例2：如图，AD是ABC ?的角平分线，DE AB ⊥，DF AC ⊥，垂足分别是,E F。连接EF，交AD于点G。说出AD与EF之间有什么关系？证明你的结论。 思路分析：
角的平分线的性质及判定 一. 教学内容： 1. 角平分线的作法． 2. 角平分线的性质及判定． 3. 角平分线的性质及判定的应用． 二. 知识要点： 1. 角平分线的作法（尺规作图） ①以点O为圆心，任意长为半径画弧，交OA、OB于C、D两点； ②分别以C、D为圆心，大于CD长为半径画弧，两弧交于点P； ③过点P作射线OP，射线OP即为所求． 2. 角平分线的性质及判定 （1）角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．①推导 已知：OC平分∠MON，P是OC上任意一点，PA⊥OM，PB⊥ON， 垂足分别为点A、点B． 求证：PA＝PB． 证明：∵PA⊥OM，PB⊥ON ∴∠PAO＝∠PBO＝90° ∵OC平分∠MON ∴∠1＝∠2 在△PAO和△PBO中， ∴△PAO≌△PBO ∴PA＝PB ②几何表达：（角的平分线上的点到角的两边的距离相等）
如图所示，∵OP平分∠MON（∠1＝∠2），PA⊥OM，PB⊥ON， ∴PA＝PB． （2）角平分线的判定：到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．①推导 已知：点P是∠MON内一点，PA⊥OM于A，PB⊥ON于B，且PA＝PB．求证：点P在∠MON的平分线上． 证明：连结OP 在R t△PAO和R t△PBO中， ∴R t△PAO≌R t△PBO（HL） ∴∠1＝∠2 ∴OP平分∠MON 即点P在∠MON的平分线上． ②几何表达：（到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．） 如图所示，∵PA⊥OM，PB⊥ON，PA＝PB ∴∠1＝∠2（OP平分∠MON） 3. 角平分线性质及判定的应用 ①为推导线段相等、角相等提供依据和思路； ②实际生活中的应用．
生产制造的八大浪费与消除 八大浪费是定义工厂在JIT生产方式中的，其浪费的含义与社会上通常所说的浪费有所区别。对于JIT来讲，凡是超出增加产品价值所必需的绝对最少的物料、设备、人力、场地和时间的部分都是浪费。因此，JIT生产方式所讲的工厂的浪费归纳为八大种，分别是：不良、修理的浪费，过分加工的浪费，动作的浪费，搬运的浪费，库存的浪费，制造过多过早的浪费，等待的浪费和管理的浪费，简称为八大浪费。 1．不良、修理的浪费 所谓不良、修理的浪费，指的是由于工厂内出现不良品，需要进行处置的时间、人力、物力上的浪费，以及由此造成的相关损失。这类浪费具体包括：材料的损失、不良品变成废品； 设备、人员和工时的损失；额外的修复、鉴别、追加检查的损失；有时需要降价处理产品，或者由于耽误出货而导致工厂信誉的下降。 2．加工的浪费 加工的浪费也叫过分加工的浪费，主要包含两层含义：第一是多余的加工和过分精确的加工，例如实际加工精度过高造成资源浪费；第二是需要多余的作业时间和辅助设备，还要增加生产用电、气压、油等能源的浪费，另外还增加了管理的工时。 3．动作的浪费 动作的浪费现象在很多企业的生产线中都存在，常见的动作浪费主要有以下12种：两手空闲、单手空闲、作业动作突然停止、作业动作过大、左右手交换、步行过多、转身的角度太大，移动中变换“状态”、不明技巧、伸背动作、弯腰动作以及重复动作和不必要的动作等，这些动作的浪费造成了时间和体力上的不必要消耗。 4．搬运的浪费 从JIT的角度来看，搬运是一种不产生附加价值的动作，而不产生价值的工作都属于浪费。搬运的浪费具体表现为放置、堆积、移动、整列等动作浪费，由此而带来物品移动所需空间的浪费、时间的浪费和人力工具的占用等不良后果。 国内目前有不少企业管理者认为搬运是必要的，不是浪费。因此，很多人对搬运浪费视而不见，更谈不上去消灭它。也有一些企业利用传送带或机器搬运的方式来减少人工搬运，这种做法
角的平分线的性质一. 基础知识 1．角的平分线的性质 (1)内容 角的平分线上的点到角的两边的距离相等． (2)书写格式 如图所示， ∵点P在∠AOB的角平分线上，PD⊥OA，PE⊥OB， ∴PD＝PE. 2．角的平分线的判定 (1)内容 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上． (2)书写格式 如图所示， ∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD＝PE， ∴点P在∠AOB的角平分线上． 3．运用角的平分线的性质解决实际问题
运用角的平分线的性质的前提条件是已知角的平分线以及角平分线上的点到角两边的距离． 在运用角的平分线的性质解决实际问题时，题目中常常出现求到某个角的两边距离相等的点的位置，只要作出角的平分线即可． 运用角平分线的性质解决实际问题时，一定要把实际问题中道路、河流等抽象成数学图形直线，并且要求的点是到两线的距离相等，常常确定两线夹角的平分线上的点，这个过程就是建立数学模型的过程，这是在解决实际问题中常用的方法． 4．运用角的平分线的判定解决实际问题 在实际问题中，如果出现了某个地点到某些线的距离相等，常先把实际问题转化为数学问题，即建立数学模型(角的平分线)．然后根据已知某点到角两边的距离相等，则常常联想到用角的平分线的判定得到角的平分线来解决问题． 解技巧巧用角的平分线的性质和判定解决问题能根据已知条件联想到角的平分线的性质或判定是解决问题的关键．找到解决问题的切入点就是已知条件中有点到直线的距离相等或要找到到两条直线的距离相等的点． 5．综合运用角的平分线的性质和判定解决实际问题 角的平分线的性质和判定的关系如下： 对于角的平分线的性质和判定，一方面要正确理解和明确其条件和结论，“性质”和“判定”恰好是条件和结论的互换，在应用时不要混淆，性质是证两条线段相等的依据，判定是证明两角相等的依据． 析规律构造角的平分线的模型证明线段相等当有角平分线时，常过角平分线上的点向角的两边作垂线，根据角平分线的性质得线段相等．同样，欲证明某射线为角平分线时，只需过其上一点向角的两边作垂线，再证线段相等即可． 6．运用角的平分线的性质和判定解决探究型问题 在实际问题中，确定位置(如建货物中转站、建集市、建水库等)的问题，常常用到角的平分线的性质来解决．尤其是涉及作图探究的题目，性质“角的内部到角两边的距离相等的点在这个角的平分线上”的应用是寻找角的平分线的一种比较简单的方法． 三角形有三条角平分线交于三角形内部一点，并且交点到该三角形三边的距离都相等，其实只要作出其中两条角平分线的交点，第三条角平分线一定过此交点．