（一）函数
1凹（凸）函数 1.1凸集
凸集：对于任意两点u S ∈和v S ∈，且对于每一个[0,1]θ∈，当且仅当
(1)w u v S θθ=+-∈为真时，集合n S R ?为凸集。
凸集要求集合内两点之间的连线必须也在集合内，即该集合不存在任何孔，它的边缘也不能有缩进。例如，平面中，一条线段就是一个凸集，而一个圆圈则不是。 1.2凹（凸）函数
介绍凸集是为了引入凹（凸）函数：不管是凹函数还是凸函数都要求其定义域是凸集。我们可以先举个例子直观感受下凹（凸）函数的特征，比如函数244y x x =-+-就是一个凹函数，它在定义域内呈现出峰形；函数244y x x =-+就是一个凸函数，它在定义域内呈现谷底。
现在具体给出凹（凸）函数的定义：
对于函数:f D R →，其定义域内任意两个不同的点1
x 和2
x ,当且仅当
1212(x )(1)(x )(x (1)x )(0,1)tf t f f t t t +-≤+-?∈
时，函数f 为凹函数。
对于函数:f D R →，其定义域内任意两个不同的点1
x 和2
x ,当且仅当
1212(x )(1)(x )(x (1)x )(0,1)tf t f f t t t +-≥+-?∈
时，函数f 为凸函数。
若将不等号“≤” 和“≥”分别变换成严格不等号“<”和“>”，上述定义便成了严格凹函数和严格凸函数的定义。
因为凹函数的定义域为凸集，因此点
12
x (1)x t t +-也一定在函数的定义域内。
我们可以利用凹（凸）函数和严格凹（凸）函数判断函数极值的情况。凹函数一定存在绝对极大值，但绝对极大值可能不是唯一的，因为如果山峰包含一个平顶，则可能存在多重绝对极大值。仅当我们限定它为严格凹形函数时，绝对值才可能是唯一的。 1.3凹（凸）函数与凸集的关系
首先我们必须区别凸集与凸函数的概念。
根据定义，可知当“凸的”在描述集合时，它要求该集合不能出现任何孔，边缘也不能有缩进。这不同于之前的凹（凸）函数：当“凸的”在描述函数时，它确定的是一条曲线或曲面是如何弯曲的。
但凹（凸）函数确实与凸集有关。除了定义域都要求是凸集之外，它们都可以引致一个凸集。
定理
(x)f 是凹函数{}(x )x ,(x)A y D f y ?≡∈≥，是凸集；
(x)f 是凸函数{}(x )x ,(x)A y D f y ?≡∈≤，是凸集。
即，由函数上的点以及函数曲线（曲面）之下的点组成的集合若是凸集?该函数为凹函数；由函数上的点以及函数曲线（曲面）之上的点组成的集合若是凸集?该函数为凸函数。 2拟凹（拟凸）函数
不管是凹（凸）函数还是严格凹（凸）函数，它们对函数都有比较强的设定。但是通常，理论研究的工作之一是为保证获得结果，识别出我们需要对函数进行的最弱的可行设定。拟凹（拟凸）函数则是一个相对而言更弱的条件。
拟凹（拟凸）函数的定义如下：
对于函数:f D R →，其定义域内任意两个不同的点1
x 和2
x ,当且仅当
{}1212min (x ),(x )(x (1)x )
(0,1)f f f t t for
all t ≤+-∈
时，函数f 为拟凹函数。
对于函数:f D R →，其定义域内任意两个不同的点1
x 和2
x ,当且仅当
{}1212max (x ),(x )(x (1)x )
(0,1)f f f t t for
all t ≥+-∈
时，函数f 为拟凸函数。
若将不等号“≤” 和“≥”分别变换成严格不等号“<”和“>”，上述定义便适用于严格拟凹函数和严格拟凸函数的定义。
我们也可以通过更直观的方法检验函数的拟凹性和拟凸性。
设{
}0
()x x ,(x)S y D f y
≡∈≥ 为函数
(x )f 在0y 水平上的上等值集，
{}
00()x x ,(x)I y D f y ≡∈≤为函数(x)f 在0y 水平上的下等值集。
定理
对于值域内的所有y 值，(y)S 都是凸集:f D R ?→是拟凹函数 对于值域内的所有y 值，(y)I 都是凸集:f D R ?→是拟凸函数
经济学中常假设拟凹的效用函数。根据定理，拟凹的效用函数保证了其上等值集为凸集。 3函数间关系
（1）(x)f 是（严格）凹函数?(x)f -是（严格）凸函数； （2）(x)f 是（严格）拟凹函数?(x)f -是（严格）拟凸函数；
（3）(x)f 是（严格）凹函数?(x)f 是（严格）拟凹函数（反之不成立）； （4）(x)f 是（严格）凸函数?(x)f 是（严格）拟凸函数（反之不成立）； （5）单调函数既是拟凹函数也是拟凸函数
（6）凹（凸）函数相加仍为凹（凸）函数，拟凹和拟凸函数则没有类似关系。
（二）无约束的最优化问题
1一元函数的无约束极值
本讲义将讨论的函数范围限定在二次连续可微函数的范围里。
给定一个二次连续可微的一元函数,()y f x =。易知，它在0x x =处取得极值的一阶必要条件为：'()0f x =。而该极值究竟是极大值还是极小值得看''()f x 的符号：若''()0f x <，则0()f x 为唯一的绝对极大值；若''()0f x >，则0()f x 为唯一的绝对极小值。
利用上述极值的导数条件，我们可以推导出极值的微分条件，即：
'()0dy f x dx ==?极值的一阶必要条件：
对于任意非零dx ，函数的一阶全微分为零； 222['()]''()''()()d y d f x dx f x dx f x dx ===?对于任意非零dx ，我们也可以通过计
算函数的二阶全微分来判断极值的情况。
综上，当函数为二次连续可微时，它取得极值的必要条件为： （1）函数在*
x 取得绝对极大值
*2
*
2
'()0''()0dy f x dx d y f x dx ?==?=≤()，对于任意非零dx 都成立；
（2）函数在*
x 取得绝对极小值
*2
*
2
'()0''()()0
dy f x dx d y f x dx ?==?=≥，对于任意非零dx 都成立。
在满足必要条件的前提下，函数取得唯一的绝对极值时充分条件为
2*2''()0d y f x dx =<()，对于任意非零dx 都成立?函数在*x 取得唯一绝对极大值； 2*2''()0d y f x dx =>()，对于任意非零dx 都成立?函数在*x 取得唯一绝对极小值。
只要将dx 改为一阶微分向量x d ，以上极值的微分条件能直接从单变量的情况推广至两个甚至多个变量的情况。 2多元函数的最优化问题 2.1一阶条件
稳态值：n
R 上的函数12(,,...,)n y f x x x =的稳态值****12(,,...,)x T
n x x x =，在该点处，
下面几个等式同时成立：
***
112***212***12(,,...,)0,(,,...,)0,
...
(,,...,)0.
n n n n f x x x f x x x f x x x ===
定理
如果在点*
*
**
12(,,...,)x T
n x x x =，我们可能得到局部最大（小）值，即对于
****12(,,...,)x T
n x x x =一个尽可能小的邻域内，所有点12(,,...,)x T n x x x =都有
***1212(,,...,)
(,,...,)n n f x x x f x x x ≥≤
，那么稳态条件必然满足。
2.2二阶条件
直觉上，多元函数与一元函数一样，在稳态值取得最大值还是最小值与2d y 的符号有关。 我们先对dy 进行微分，可得：
2***1122***1111
121211***2121
222222***1122[(x )][(x )]...[(x )]
(x )(x )...(x )(x )(x )...(x )............
(x )(x )...(x )(x)
n n n n
n n
n n n n nn n n
d y df dx df dx df dx f dx dx f dx dx f dx dx f dx dx f dx dx f dx dx f dx dx f dx dx f dx dx d =++++++++++=
+++=***11121***21222***12(x )(x )...(x )(x )(x )...(x )(x)......
...
...(x )
(x )...
(x )n T n n n nn f f f f f f d f f f ??
????
????????
其中，
***11121****21222***12(x )
(x )...(x )(x )(x )...
(x )(x )............(x )
(x )...
(x )n n n n nn f f f f f f H f f f ??
????
=??
??????
为海塞矩阵。根据杨格定理：ij ji f f =，因此海塞矩阵为对称矩阵。
在判断2
d y 的符号之前，我们先正（负）定矩阵及其判定方法。 定义
若对于所有的x 0≠，(x)=x x>0T
q A 始终成立，则称(x)q 正定，A 为正定矩阵； 若对于所有的x 0≠，(x)=x x 0T
q A <始终成立，则称(x)q 负定，A 为负定矩阵； 若对于所有的x 0≠，(x)=x x 0T
q A ≥始终成立，则称(x)q 半正定，A 为半正定矩阵； 若对于所有的x 0≠，(x)=x x 0T
q A ≤始终成立，则称(x)q 半负定，A 为半负定矩阵。
根据以上定义，若要判断2
d y 的符号，我们只需判定与其对应的海塞矩阵的正（负）定。其实，通过判定海塞矩阵的正（负）定，我们也可以判定函数的凹（凸）性，即对于二次连续可微函数12(,,...,)n y f x x x =，
（1）其海塞矩阵(x)H 负定?函数为严格凹函数?存在唯一绝对极大值； （2）其海塞矩阵(x)H 正定?函数为严格凸函数?存在唯一绝对极小值。
接下来介绍正负定的判定方法。 定义
主子阵：对n n ?矩阵A ，由A 的 k 个主对角线元素及其对应的非对角线元素来得到的矩阵，称为A 的k 阶主子阵；由A 的 前k 个主对角线元素及其对应的非对角线元素来得到的矩阵，为k 阶前主子阵。
主子阵的行列式为主子式；前主子阵的行列式为顺序主子式。
我们用
k D 表示(x)H 的k 阶顺序主子式（其中1,2,3,...,k n =）
，如: 111(x)(x)D f =， 111222122(x)(x)(x)(x)
(x)
f f D f f =
,
…
111212122212(x)
(x)...(x)(x)(x)...(x)(x)......
...
(x)
(x)...
(x)
n n k n n nn f f f f f f D f f f =
。
定理
对于二次连续可微函数，12(,,...,)n y f x x x = （1）0(1,2,...,)k D k n >=?海塞矩阵正定； （2）(1)0(1,2,...,)k
k D k n -<=?海塞矩阵负定。
用H π表示海塞矩阵H 的指标（1,2,3，…，n ）的任意排序，k D π
为H π
的k 阶顺序主
子式，则
（3）0,
(1,2,...,)k D k n π≥=?海塞矩阵半正定；
（4）(1)0,
(1,2,...,)k k D k n π-≥=?海塞矩阵半负定。
从而，我们给出极值的充分条件： 已
知
二
次
连
续
可
微
函
数
12(,,...,)(x)
n y f x x x f ==，
***12(,,...,)0(1,2,...,)i n f x x x i n ==
(1)其海塞矩阵(x)H 负定?严格凹函数? *
(x )f 为函数的唯一绝对极大值； (2)其海塞矩阵(x)H 正定?严格凸函数? *
(x )f 为函数的唯一绝对极小值。 3举例：二元函数的无约束极值问题
有一个二次连续可微函数12(,)y f x x =，
可知其海塞矩阵为11122122f f H f f ??
=?
???
，则 111D f =，11
12
221
22
f f D f f =
, 11122,D f f π
=，11
1222
21
221
221211
,f f f f D f f f f π
=
根据之前的判定规则，
(1) 1110D f =<，2
21122120D f f f =->?12(,)y f x x =为严格凹函数； (2)
1110D f =>，2
21122120D f f f =->?12(,)y f x x =为严格凸函数； (3) 11122,0D f f π=≤，2
21122120D f f f =-≥?12(,)y f x x =为凹函数； (4)
11122,0D f f π=≥，2
21122120D f f f =-≥?12(,)y f x x =为凸函数； 若****112212(,)(,)0f x x f x x ==，我们就可以根据函数的凹凸性来判定函数在点**
1
2(,)x x 取得的是绝对极大值还是绝对极小值。
（三）具有约束条件的最优化问题
之前的部分只是考虑了无约束条件的最优化问题，这即是说在求极值的过程中，我们没有对选择变量的值进行约束，从而求得的解可能是负值，也可能很大。然而考虑到经济学是建立在稀缺的资源如何配置的问题上的，因而在经济学的最优化求解过程中，我们通常不得不面临资源的稀缺性——即对选择变量的值加上约束条件。
约束条件大致分三类：等式约束、非负约束以及更普遍的，其它形式的不等式约束。我们将依次介绍对应的求解方法。从现在开始，讨论将以最大化问题为主，在解决最大化问题后会稍微提及解决最小化问题的方法。 1等式约束
关于解决等式约束的方法，其实我们已经学过了，就是利用拉格朗日方法求解的过程。现在简要回顾拉格朗日函数。
1.1二元目标函数、一个等式约束的约束最优化条件
考虑二元函数下，具有约束条件的最优化问题
12
,12max (,)x x y f x x = 12..(,)s t
g x x c =
其中c 是一个常数，z 和g 都是二次连续可微函数。
该问题的拉格朗日函数为：
1212(,)[(,)]L f x x c g x x λ=+-
一阶条件要求：
*****1212111(,)(,)0f x x g x x L x x x λ???=-=??
****
*1212222
(,)(,)0f x x g x x L x x x λ???=-=??
**
12(,)0
L c g x x λ
?=-=? 求出上述一阶条件，可得***
12
(,,)x x λ。
二阶条件：
将拉格朗日乘子也看作是变量，则最大化拉格朗日函数的过程可视为无约束最优化过
程。这也就是说，如果解
***12(,,)x x λ满足L 的无约束极值中极大值的二阶条件，我们便可确定 ***
12
(,,)x x λ是我们约束最优化问题的解。事实上在二阶条件求导过程中，这里与无约束最优化关键区别在于， 1dx 与2dx 的取值不再是任意非零即可，等式约束中1dx 与2dx 的取值有关。
对等式约束12(,)g x x c =两边求一阶全微分，可得：
1
112221
2
0g dg g dx g dx dx dx g =+=?=-， 因此等式约束要求
1
212
g dx dx g =-
。 对函数12(,)y f x x =进行二阶全微分可得：
212
12
22
2211112122
112122222212
22
2111121222222
()()
()()()[][]2dy dy d y d dy dx dx x x dx dx f dx f dx dx f dx f dx dx f dx f dx x x f dx f dx dx f dx f d x ??==
+????=+++++??=+++
对12(,)g x x c =进行二阶全微分，化简可得：
222
2111121222222222
211112122222
()20
1(2)d g d dg g dx g dx dx g dx g d x d x g dx g dx dx g dx g ==+++=-?=
?++
将上式代入2
d y ，可得：
22
22
11121212221122
(2)
dx d y L g g g L L g g =-+
而22112
12122211
g 2x y x
xx xy y
yx
yy
g L g g g L L g g L L g L L -+=-。 定义 0g x y x
xx xy y yx
yy g H g L L g L L ???
?
=?????
?
为加边海塞矩阵, 它是由海塞矩阵和一阶导数（边）构成的矩阵，用H 表示，H 上面的-表示边。 0
g x y
x
xx xy y
yx
yy
g D g L L g L L =。则
2
2
12
2
(1)dx d y D g -= 综上，我们可以得到目标为二元函数、仅包含一个等式约束的最优化条件：
当*
*
*
12(,,)x x λ满足拉格朗日函数的一阶条件时，*
*
12()0(,)D x x <>?为约束极小（大）值。
1.1.1严格拟凹（拟凸）函数与约束极值的关系
当函数y 是二次连续可微时，我们还可以用函数的一阶导数和二阶导数（整理成加边行列式）的方法来检验：设
1
21
11122
21
220f f B f f f f f f ????=??????
（1）0B >?z 为严格拟凹函数； （2）0B
将B 与之前的加边海塞矩阵H 进行比较，可以发现两个不同之处：
一为B 中的加边元素是函数f 而非g 的一阶偏导数，二为B 中的其余元素是f 而非拉格朗日函数L 的二阶偏导数。然而，在线性等式约束121122(,)g x x x x c αα=+=的特定情况下（这类等式约束在经济学中经常遇到），ij L 可简化为ij f ,即ij ij L f =。
从而，拉格朗日函数为
121122()[()]L f x x c x x λαα=++-+
从而
0i i i L f λα=-=且ij ij L f =。
回到“边”，我们注意到线性约束函数产生一阶导数i i g α=，因而一阶条件可写为
i i f g λ=。因此B 中的边只不过是H 的边被正的标量λ乘。通过顺序提取H 的横边和纵边
的公因子，得到
12
12
21
1112111122
21
222
21
22
00
g f f g B f f f g L L D f f f g L L λλλλλ=== 结果，在线性约束情况下，B 与D 总有相同的符号。
由此可知，在线性约束的条件下，我们可以通过直接判断目标函数的严格拟凹（凸）性去判断约束极值的情况：
(1)目标函数为严格拟凹函数?函数在稳态值取得唯一的约束绝对极大值； (2)目标函数为严格拟凸函数?函数在稳态值取得唯一的约束绝对极小值。
1.1.2拟凹（凸）函数与凹（凸）函数的关系
平滑、递增、拟凹的效用函数?上等值集为凸集?凸的向下倾斜的无差异曲线。 因为等产量曲线的概念几乎与无差异曲线是一致的，我们可以类推：
平滑、递增、拟凹的生产函数?上等值集为凸集?凸的向下倾斜的等产量曲线。 1.2多元目标函数、m 个等式约束的约束最优化条件
现在将拉格朗日方法应用于多元函数。面临的最优化问题为：
12,,...,12max (,,...,)n
x x x n y f x x x =
1121212212..(,,...,)(,,...,)...
(,,...,)n n m n m
s t
g x x x c g x x x c g x x x c ===
拉格朗日函数为：
1
(x,)(x)+[(x)]m
j j j j L f c g λλ==-∑
一阶条件：
***1(x )(x )0(1,2,...,)j m j j i i i L f g i n x x x λ=???=-==??∑
*(x )0(1,2,...,)j j j L
c g j m λ?=-==?
二阶条件：
此时加边海塞矩阵为：
11111
11111110...
0...............
...
...0...
..................
...............n m m n m n m
n
n
n nn g g g g H g g L L g g L L ????????=???????????? 定义
111111
1
111110...0......
.........
...
...
0...
...,1,...,.().........
.....................k m m
k
k m k m
k
k
k kk
g g g g D k m n m n g g L L g g L L =
=+<。
利用
k D 我们直接给出多元目标函数、m 个等式约束的约束最优化条件：
**(x ,)λ为满足一阶必要条件的解，则
(1)(1)0(1,2,...,)k
k D k m m n ->=++?函数在点*
x 取得唯一的约束绝对极大值；
(2) 0(1,2,...,)k D k m m n <=++?函数在点*(x )取得唯一的约束绝对极小值。 2非负约束
考虑一元可微函数：
max ()f x π=
..0s t
x ≥
由于约束条件0x ≥，因此可能会出现三种情况：
（1）在x 大于零时π取得绝对极大值。此时我们得到了一个内点解。在这种情况下，一阶条件是
'()0d f x dx
π
==，和经典问题一样。 （2）x 等于零时π取得绝对极大值。此时我们得到了一个边界解，但
'()0d f x dx
π
==仍然成立。
（3）x 小于零时π取得绝对极大值。此时我们也得到了边界解，但因为作为非线性约束问题中的一个局部极大值，候选点必须必可行域中的邻近点高，从而要求
'()0d f x dx
π
=<。 综上，为了在[0,)x ∈∞内找到π的极大值， 必须满足以下三个条件中的一个： （1）'()0f x =且0x >； （2）'()0f x =且0x =； （3）'()0f x <且0x =； 将上述三个条件合成一个论述：
'()0f x ≤，0x ≥且'()0xf x =，
其中，第三个等式表达了三个条件的一个共同特点，即x 和'()f x 至少有一个是零，因此两者的乘积一定是零。这个特点是指x 与'()f x 互补松弛。
当问题包含n 个选择变量时：
12max
(,,...,)n f x x x π=
..0(1,2,...,)j s t
x j n ≥=
解决的思路与一元函数相同，这里我们直接给出该约束最优化的必要条件： (1)给定非负约束，多元函数
12(,,...,)n f x x x 在稳态值处取得约束极大值，则
***
12(,,...,)n f x x x 满足
****(x )
()0,1,2,...,(x )()[]0,1,2,...,()
0,1,2,...,i i i i f i i n x f ii x i n
x iii x i n
?≤=??==?≥= (1)给定非负约束，多元函数
12(,,...,)n f x x x 在稳态值处取得约束极小值，则
***12(,,...,)n f x x x 满足
****(x )
()0,1,2,...,(x )()[]0,1,2,...,()
0,1,2,...,i i i i f i i n x f ii x i n x iii x i n
?≥=??==?≥= 3其它形式的不等式约束
现在我们在非负约束的基础上，再引入不等式约束。为简化，我们先处理两个选择变量和一个不等式约束条件的问题:
max
()f x π=
..()0
s t
g x r
x ≤≥
在虚拟变量s 的帮助下，我们可以将上述问题变换为：
max
()f x π=
..(),0
s t
g x s r
x s +=≥
若没有非负约束，则我们可利用拉格朗日函数求解：
'()[()]L f x r g x s λ=+--
一阶条件为：
'''
L L L x s λ
???===??? 但由于x 与s 必须是非负的，因此1.1部分的思路，上述一阶条件应改为：
'0,0,L x x
?≤≥?且'0L x
x ?=?； '0,0,L s s
?≤≥?且'
L s s ?=?； '
0L λ
?=?。
注意'0L λ?=?仍然成立，为何？因为'
()0
L r g x s λ?=--=?一定成立。
进而，将'
L s λ?=-?以及()
s r g x =-代入第二个条件，则第二个条件与第三个条件可变为：
12(,)0,0,
r g x x λ-≥≥且
[()]0
r g x λ-?=
从而我们可以用没有虚拟变量的等价形式来表达的一阶条件（这时
()[()]
L f x r g x λ=+-）：
0,0,x x L f g x x
λ?=-≤≥?且0
L
x x ?=?； ()0,0,L
r g x λλ
?=-≥≥?且0L λλ??
=?。 上述讨论可以直接的方式应用于n 个选择变量和个约束条件的问题。拉格朗日函数L 的形
式为：
12121
(,,...,)[(,,...,)]m
i n i i n i L f x x x r g x x x λ==+-∑
则该非线性约束问题的库恩-塔克条件为（极大化）：
0,0,j j j j
L f g x x λ?=-≤≥?且0(1,2,...,)
j j L
x j n x ?==?； 12(,,...,)0,0,i i j n i i
L r g x x x λλ?=-≥≥?且0i i L
λλ??
=?。 如果问题是求极小值，那么可以将它转化为极大化问题，然后应用以上条件求解。此处
仅介绍用库恩-塔克条件求解非线性规划中的极大值问题。
按水平的方向解读上式，我们可以看见库恩-塔克条件在极大化问题中包括了一组与选择变量与拉格朗日乘数的条件。从垂直的方向来解读，对于每一个选择变量和拉格朗日函数，都有一个边际条件（第一列）、一个非负约束（第二列）和一个互补松弛条件（第三列）。在任一个给定条件下，与选择变量相关的一组边际条件与拉格朗日成熟的一组边际条件在不等号方向上是不同的。若满足约束规范，库恩-塔克条件极大（小）化条件可以作为总体极大（小）值的必要条件。 1.2举例
我们现在就将库恩-塔克条件应用于效用最大化问题：
max U xy =
..10040
,0
s t x y x x y +≤≤>
拉格朗日函数为：
12(100)(40)
L xy x y x λλ=+--+-
该问题的约束条件为线性的，因而它一定满足约束规范（之后解释），故可利用库恩-塔克条件求解，可得：
120,0,L y x x λλ?=--≤≥?且0
L x x
?=?； 10,0,L x y y λ?=-≤≥?且0
L
y y
?=?； 111000,0,L x y λλ?=--≥≥?且110
L
λλ??=?； 22400,0,L x λλ?=-≥≥?且22
L
λλ??=?。 写出库恩-塔克条件后，典型的方法是通过试错法来求解。步骤如下：
(1)首先给选择变量赋值为零。
通过消除某些项来使条件简化。如果适当的非拉格朗日乘数可以满足所有边际不等式，那么零解将是最优的。
对于当前这个例子，当
x =或
y =时，
U =没有意义，因此该问题中x 和y 都是
正数。此步骤跳过。
（2）如果零解违反一些不等式，那么可以尝试让一个或更多选择变量为正数。
对于每个正的选择变量，我们可以通过互补松弛条件使不等式边际条件转换为严格等式边际条件。
应用于当前例子，则：
{
1212112
10=0,00,0
y x x L y y x x L x x y y λλλλλλλλ-==>??=--?=+>???
????=-=?=>???
；
由于
1x=0
λ>，其它条件可变为：
1
1000
L
x y λ?=--=?； 这时我们仍然不能简化条件22400,0,L x λλ?=-≥≥?且220
L
λλ??=?。因此我们需要步骤
(3)。
（3）假设函数对拉格朗日乘数的偏导取不等号；若这个假定导致矛盾，那我们应该将该偏导等于零进行测算。
因此，我们先假设2
400,L
x λ?=->?则20y x λ-==，那么有50x y ==。但这一解违反
了约束40x ≤，故舍去。 那么，我们假设
2
400,L
x λ?=-=?则40,60x y ==。 1.3约束规范
之前多次强调，库恩-塔克条件只有在满足规范约束时，才是极值的必要条件。那么约束规范具体是什么？先介绍几个概念。
令
***
12*(,,...,)n x x x x =是可行区域边界上的一个可能的解点，并令12(,,,...,,)n dx dx dx dx =表示由所提到的边界点移动的特定方向。
测试向量：若某一向量满足条件
（i ）如果第j 个选择变量在点x *
处取得零值，那么只允许在x j
轴上有非负变化，即：若*
0j
x =，
那么
0j dx ≥；
（ii ）如果在点x *处恰好满足第i 个约束条件的等式约束，那么将只允许12,,...,n dx dx dx 的取值使得约束函数值(*)i g x 不增加（对极大值问题），即：
若(*)i i g x r =，则1122(*)...0i i i i n n dg x g dx g dx g dx =+++≤必须成立；
则该向量为测试向量。
规范弧：若某一弧段满足条件 （i ）从点x*处出发；
（ii ）整个包含在可行区域内； （iii ）与已知测试向量相切；
则该弧段我们成为该测试向量的规范弧。
有了这些预备知识后，约束规范可简单地表达为：
如果对可行区域边界上的任意点x*，对每一测试向量dx ，存在一规范弧，那么，就满足约束规范。
约束规范的定义看上去有些抽象，有兴趣的同学可以借助参考书中的例子求解理解掌握这一概念。如果实际求解中，我们遇到可行区域是仅由线性约束形成的凸集，那么约束规范总是满足，且库恩-塔克条件在最优解处总成立。这时就免去了检验约束规范是否满足的步骤。
(四)最优化的其他主题
接下来我们将回到经典的等式约束最优化领域来讨论包络定理。 1极大值函数
极大值函数是当选择变量都是最优值时候的目标函数。这些选择变量的最优值是外生变量和参数的函数。一旦选择变量的最优值代入原目标函数中，那么目标函数就间接地称为参数的函数。因此，极大值函数也称间接目标函数。它是当参数发生变化的时候，目标函数极大（小）值变化的轨迹。
举例： 通过求解
max (,)U u x y =
..,0
x y s t
p x p y B x y +=>
我们可得**(,,),**(,,)
x y x y x x p p B y y p p B ==。将最优值代入U=u(x,y)，则可得间接效
用
函
数
：
(x y V p p B
。
2包络定理
包络定理：即使在外生变量可能作为内生选择变量的解的一部分间接进入极大值函数的情况下，也只有外生变量参数变化的直接效应才需要考虑。
为了阐释这一概念，考察下面的无约束最优化问题，其中包含两个变量x 和y ，以及一个参数?：
max
(,,)f x y π?=
一阶求导可得：
0**()(*(),*(),)**()0f x x x v f x y f y y y ???????=?=??
????=????=???=???
如果v 对外生变量
?求导，可得：
**
x y v x x f f f ?
???
???=++??? 因为
0x y f f ==，从而
v
f ?
?
?=?。
这一结果表明，间接目标函数对外生变量求导时，只需考虑外生变量的直接效应即可，这便是包络定理。 考虑
2.1几个引理
下面介绍几个利用包络定理得到的几个引理。 2.1.1霍特林引理
企业的利润最大化问题可表述为：
max
(,)Pf K L wL rK π=--
求解可得利润（极大化）函数：
*(*,*)**Pf K L wL rK π=--
其中，
**(,,)**(,,)
K K w r P L L w r P ==。
利用包络定理可得：
*
*(,,)
L w r P w
π?=-? *
*(,,)
K w r P r
π?=-? *
(*,*)
f K L P
π?=? 以上三式合起来称为霍特林引理。我们可根据三式中的前两个可得公司的投入需求函数，根
据第三个等式得到公司的供给函数。 2.1.2罗伊恒等式
效用最大化问题可表述为：
max (,)..x y U u x y s t
P x P y B =+=
求解该问题可得马歇尔需求函数（Marshallian demand function ）：
(,,)
(,,)m m x y m m x y x x P P B y y P P B ==，
因此间接效用函数可表示为：
(,,)(,)()m m m m m x y x y V P P B U x y B P x P y λ=+--
从而根据包络定理，可得：
m m x
m m y
m V
x P V
y P V
B
λλλ?=-??=-??=? 根据上述三个等式，我们便可得罗伊恒等式：
////m
x
y m
V P x V B
V P y V B ??-
=????-=??，
这个结果便是罗伊恒等式。 2.1.3谢泼德引理
效用最大化问题的对偶问题为支出最小化问题，产出最大化问题的对偶问题为成本最小化问题。将最大化问题中的约束条件作为目标函数最小化，则该最小化问题与最大化问题互为对偶问题。
考虑一个与效用最大化问题对偶的问题——支出最小化问题，它可表述为：
min ..(x,)*x y E P x P y s t
U y U =+=
求解该问题可得希克斯需求函数（Hicksian demand function ）：
h (,,*)
(,,*)h x y h h x y x x P P U y y P P U ==，
因此支出函数可表示为：
(,,*)(*())h h h h h x y x y E P P U P x P y U U x y λ=++-，
从而根据包络定理，可得：
h *
x
h y
h
E
x P E
y P E
U λ?=??=??=? 这个结果便是谢泼德引理。 2.4拉格朗日乘数的解释
通过以上引理，我们能总结出：拉格朗日乘数衡量的是*
L 对约束条件变化的敏感度。
例如效用最大化问题中，
*m L V
B B
λ??==??
从而，m λ衡量的是当预算B 变化时，目标函数极大值的变化率，因此也称m
λ为B 的“影子价格”。因此考虑到λ在经济学中的含义，拉格朗日函数一定写成
12121(,,...,)[(,,...,)]
m
i n i i n i L f x x x r g x x x λ==+-∑，而非
1
21
(
,,
...
,)m
i
n i
n i
i L f x x x g x
λ
==+-
∑。
小学数学公开课教学课前谈话和趣味小游戏集锦 “方程”一课，采用数学游戏“猜你心中想的数” 师：请同学们想好一个数，经过加减乘除一系列运算，把运算过程和结果告诉我，我就能猜中你想的是什么数，看哪个先想好。 生：一个数乘以3，加上7，减9，再减去所想的数结果是10. 师：你想的数是6. 2、传话游戏。 课前：把同学分成几组，然后你告诉每组第一个同学一句话，小声说，不能让别的同学听见。然后同样让那些同学去转告第二个同学。传到最后看看那组完成的最好！之后把第一组到最后一组的话连到一起说。（当然，那几组的话连一起是一首大家不熟悉的诗或短文）看看到最后变化成了什么样。 规则： 每人只有一次机会告诉下一个人他说的是什么（根据难易程度可以改变）。不可做动作也就是肢体语言，前面的同学说的时候后面的都闭上眼睛，直到前面的同学招呼的时候才可睁开。以免互相看口型！ 3、听指令，快速反应。指令由慢到快，难度逐渐加强，最后则是听指令，做相反动作，做错的同学淘汰，很快就能决出第一名，稍加奖励。这个游戏的优点是身心结合，既锻炼了学生们的反应能力和迅速应变能力，又能在有限的空间里活动身体。 4、反口令。教师说“大西瓜”学生说“大西瓜”，手时却做出小西瓜的动作。教师说“站”，说生坐下，反之，教师说“坐”，学生站起来。
5、 .一边说一边示范做师)请你摸摸右耳,(生)我就摸摸右耳,(师)请你摸摸左耳,(生)我就摸摸左耳.……请你跟我拍拍手，（我就跟你拍拍手）；请你跟我跺跺脚，（我就跟你跺跺脚）；请你跟我弯弯腰，（就跟你弯弯腰）；请你跟我点点头，（我就跟你点点头）；请你跟我坐坐好，（我就跟你坐坐好）。 6、在教“分数的基本性质”这一课中，我创设了这样一个情境，使学生在愉快而又紧张的氛围中学会这一抽象的知识。刚上课，我就给学生讲一个“猴子分饼”的故事：猴山上的小猴喜欢吃猴王做的饼。一天，猴王做了3个大小同样的饼，先把第一个饼平均分成4块，给猴（1）1块。猴（2）看到说：“太少了，我要2块”，猴王把第二个饼平均分成8块，给他2块。猴（3）更贪心，说：“我要3块”，猴王又拿出第三个饼平均分成12块，给他3块。小朋友，你们知道哪只猴子吃得多？”不一会儿，学生都说：“同样多”。于是，我追问道：“聪明的猴王是用什么办法来满足小猴子的要求，而且又分得公平呢，你们想知道吗？”正当学生聚精会神地听完故事，而又百思不得其要领时，我说“学了分数的基本性质，你们就知道了！”在学生最佳的心理状态之下自然地导入了新课，使学生怀着浓厚的兴趣转入下一阶段的学习。在这里，疑问使学生产生了好奇心，好奇心又使学生转化成强烈的求知欲和浓厚的学习兴趣。 7、指指点点”的游戏。以人的五官为指点对象，教师报到其中一个器官的名称，学生就快速指向哪里。随着速度的不断加快，你的注意力也得高度集中。这个游戏我也曾经试用，学生非常喜欢，有时候
准备课 一年级数学教案 [教学内容] 准备课。 [教学目标] 1.通过观察图，初步了解学生的数数能力、认数能力，为教学新知识做准备。 2.通过观察图，初步学习分类。 3.初步对学生进行学习目的的教育，做一些学习数学的准备。如怎样听讲、看书、写字等，初步知道上、下、左、右等方位。 [教学过程] 1.教师谈话。 教师亲切地对学生讲述学习的重要性、学好数学的必要性，使学生知道生活离不开数学，鼓励学生好好学习，练好本领，长大了建设祖国；鼓励大家要天天向上，要求大家专心听讲，积极举手发言等，并提出比一比，看谁学习最努力？ 2.学习新知识。 （1）学习新学期开学的主题图。 教师出示主题图，引导学生观察图意：这幅图里都画了些什么？指名让学生说的时候，教师有意引导按数目顺序叙述：一面国旗、一位教师；两个同学在向
教师行礼，两个同学浇花，3个同学踢球……也可以按方位叙述：左边画的是两个同学在向教师行礼，右边下方画的是两个同学在浇花；上方画的是…… （2）了解学生的数数能力。 ①结合图，教师提问：数量是1的有什么？数量是2的有什么？数量是3的有什么？……（学生默数，然后回答。） ②数教室中的实物。 有几扇窗户？每扇窗户有几块玻璃？第四行有几个同学？第一排有几名女生？……（注意数量不要超过10。） （3）学习分类。 ①出示实物图。（1支铅笔、两个大小不等的皮球的图画。） 教师问：图上画了些什么？它们各是做什么用的？ 教师归纳学生的发言：大球、小球都是同学们玩的球，是同类的物品，我把它们圈起来（一边说，一边用粉笔画圈）。铅笔是用来写字、画画的，和球不是同类的物品，不能和球圈在一起。 ②学生试着分类。 教师出示实物图（公鸡、母鸡、小鸡、书包、气球）。 让学生先看一看图，再想一想，然后全班动手试着分类，教师巡视。 教师问：图上哪些东西是同类的？你们是怎样圈的？为什么这样圈？ （4）认1～10各数。 打开书，翻到印有10以内各数的图和数的那一页。
小学数学新授课课前准备的六个环节 公司内部档案编码：[OPPTR-OPPT28-OPPTL98-OPPNN08]
小学数学课前准备的研究 课前准备，最重要的是备课，备课其实就是老师对教学内容的解读过程，是对教学内容进行分解、再组合的教学计划过程，是对教学重、难点的破解过程，是教具学具的准备过程。小学数学课，一般分为三种类型：新授课、练习课、复习课。由于课型的不同，教学的侧重点也就不同，课前准备的要求也不同。现在就新授课的课前准备的六个环节谈谈自己的看法。 一、仔细研读教材是课前准备的必要环节 现行小学数学教材是根据新课程标准，由富有教材编排经验，从事小学数学教学研究的专家组成教材编写组编写的，对小学数学各个知识点在各年级，各学期的教学内容进行了合理的安排。小学数学教材中的每一个例题，演算过程，插图，练习题的安排都是经过反复思考，仔细推敲确定下来的。因此，小学数学教材是数学教师完成教学任务的重要依据，是不可缺少的重要资源。 读教材就是读例题，读解题过程、思考过程，读概念结语，读反馈练习（做一做），读习题安排。读教材就是要知道教材编排的目的，明白编排的意图，知晓例题的作用，找到与例题相对应的练习题，巩固题，提高练习题等。只有仔细、认真、深入地对教材进行研读，才能准确把握知识的深浅度，才能根据学生的实际情况分解、组合课时教学内容，确定教学方法，进行课前准备。 二、科学合理地确定课时教学内容，制订教学目标是课前准备的重要环节 仔细研读了教材，就应该确定课时教学内容了。确定课时教学内容是对教材内容的分解、重组过程，具有再创造性。分解、组合课时教学内容要注意：1.知识体系的完整性，2.课堂教学的合理性，3.便于老师的教，学生的学。
一年级数学准备课 教学目标： 1．知识目标：初步了解学生的数数能力和认数情况． 2．能力目标：做好学习数学教学的准备工作． 3．情感态度价值观培养目标：通过教学活动，培养学生爱学校、爱老师、爱同学的思想感情，激发学生学习数学的兴趣，为后面的学习做好心理准备． 教学重点 了解学生的观察能力、数数能力和认数情况，培养学生学习数学的兴趣． 教学难点：引导学生有序的观察和数数． 教学过程 一、谈话导入 师：同学们，从今天起，我们就要一起学习和生活了，我就是你们的大朋友，我们要一起学习有趣的数学，要学好数学，首先就要学会倾听别人的发言，要勤动脑，勤动口，学会举手发言，下面我们就来看谁做得最好． 问：你知道数学要学习什么吗？ 师：通过今天的学习，你一定会对数学有进一步的了解，下面我们就来看大屏幕． 二、观察主题图:ppt出示“主题图” 1．引导学生说图意 问：图上画的是什么地方？都有什么景物？请学生按照从左往右、从上到下的顺序说一说．问：图的左上方有什么？左下方呢？生： 师：你们看，这两个同学多有礼貌啊！入了少先队的同学见到老师要行队礼，没有入队的同学要行鞠躬礼，你们见到老师要行什么礼呢？生： 问：图的右上方画的是什么？生： 师：如果其中一个同学摔倒了，你见到了会怎么做？
问：右图的中间画的是什么？下面呢？生： 问：你怎么爱学校呢？（学生发言） 问：谁能用自己的话把这幅图的意思完整地说一遍？ 2．了解学生数数能力 问：数量是1的有什么？数量是2的、3的呢？小鸟有几只？松树呢？…… 三、了解学生认数情况． 师：同学们会数数，也会分类了，下面我们结合图来认读几个数好不好？（出示图片“认数”）下载 师手指第1幅图问：图上画的是什么？有几只？用几来表示？ 问1：谁来说下面的图？学生看图叙述．问2：如果没有图你会读这些数吗？ 教师分别出示数字卡片1—10，学生认读． 连续认：1、2、3、...... 10跳着认：2、4、6、 (10) 倒着认：10、9、8、…… 1随意认：7、3、8、…… 四、巩固练习 数数：请学生任选教室里的事物，数出它的数量，看谁数的又对又快． 五、组织室外活动，认识学校，巩固分类． 1．课上内容结束之后，可组织学生从学校门口开始，参观、认识学校，边看边引导学生：你们都看到了什么？（校牌、花坛、教学楼、办公楼、树木，操场上还有老师和同学……）数一数有多少棵树？ 六、课堂小结 师：通过今天的学习，你知道了什么？（看图数数、数数、认数字）
一上：《准备课》教学设计 教学目标： 1．了解学生数数认数的情况；初步了解计数物体个数的基本方法。 2．通过数一数的活动，使学生初步会唱数、一一对应点数；在交流过程中，让学生学会初步用数表达物体个数的多少；在连线的练习中，让学生能快速将数与物体的数量建立起联系。 3．培养学生的观察能力、语言表达能力和倾听能力，初步建立课堂常规。 目标分析： 学生刚刚从幼儿园迈进学校大门，对课堂学习还不适应，有意注意的时间比较短，容易疲劳。并且学生的知识经验不尽相同，知识水平参差不齐。教师可以利用准备课第1课时了解学生数数认数情况，是否能利用点数的方法数数。同时通过数数活动调动学生学习数学的热情和积极性，培养学生有序观察和用数学语言表达所思所想的能力，渗透点数方法和集合思想。 教学重点： 通过数一数的活动，初步了解学生的数数认数的情况。初步了解计数物体个数的基本方法。 教学难点：
培养学生的观察能力、语言表达能力和倾听能力，建立课堂常规。 教学准备： 课件、图示卡片、数字卡片等。 教学过程 一、导入 可爱的孩子们：从今天起，你就是一名小学生了，你会学到很多的数学知识。你会数数吗？你知道你的画用了几种不同的颜色吗？你知道一些卡通人物是由哪些形状拼成的吗？你会看钟表吗？这些都是你将要学习的数学知识，你们想学吗？数学可以帮助你解决许多问题。从今天起，就让我们共同来数学的海洋里遨游吧。 【设计意图：激发学生学习数学的兴趣。】 二、数一数 （一）唱数： 谁会从1数到10？先自己数一数。 （二）看图数数。 1．出示插图，边出示边说：这是一所美丽的乡村小学，今天是开学的第一天，小朋友们高高兴兴地上学来了。大家看看这里都有什么？ 2．按数量观察： （1）数数量是1的事物。
《准备课》教学设计 1 数数 教学内容： 教科书2—4页新学年开学第一天，分类，练习一第1题。 教学目标： 1．进行入学教育。 2．引导观察图画，数图画中人和物的个数。 3．学习分类，初步知道什么是同类物体，把同一类物体圈在一起。 教学重点： 1．按一定顺序指物数数。 2．理解物体分类。 教学难点： 1．学习用完整、规范的语言表述。 课时安排： 一课时 教学过程： 一、谈话，引起兴趣 小朋友们，从你们迈进学校大门那时起，你就是一名小学一年级的学生了。学生在学校最主要的任务是学习，我们要学习很多知识，其中数学是我们学习的主要课程之一。数学知识用途很广，从数物体个数的1、2、3……；买东西要花钱，汽车行驶的快慢，工厂生产的机器零件及产值，农业上的施肥及收成，到科学家研制发射人造卫星、原子弹、导弹及航天飞机等都离不开数学知识。这说明，世界虽大，但到处都离不开数学知识。现在请同学们看一看数学书的封面，下方中间最大的两个字就是“数学”，上面的图画中三只小鸭子与小朋友
抱着的一只小鸭子之间就含有不少数学知识，图画背景是七巧板，七巧板有很多拼摆方法，里面藏着很多数学秘密。这说明学习数学很重要，也很有趣，我们现在就从这本书学习开始。 设计意图：通过谈话引起学生对课堂的兴趣。 二、引导观察，指物数数 出示图画，引导数数。（指图）这幅图画是一所小学新学年开学的第一天，同学们都高高兴兴地来到学校，学校环境很美，你们看，这幅图里都画了些什么？ 1．看图无序观察。 学生看什么说什么。（有学生、老师、有的浇花，有的踢球，有树、有小鸟……）2．引导有序观察学说完整话。 （1）边指边数出数量是1的人或物。（一位教师，一面五星五旗，一个足球） （2）边指边数出数量是2的人或物。（两个同学向老师敬礼，两个同学在浇花，两把喷壶） （3）边指边数出数量是3、4、5……10的人或物。（3个同学在踢足球，4棵葵花，5个大字“欢迎新同学”，6朵花，天上飞着7只小鸟，楼旁边有8棵树，一共有9个学生，一位老师，一共有10名师生。） （4）按顺序数一数画面上1—10的人或物。 通过看这幅图我们知道，学校到处都有数学，而且这里的老师、同学互敬互爱，整个校园充满着团结、欢乐的气氛。 设计意图：通过观察使学生对数字产生兴趣，并初步感知数的概念。 3．观察周围物体指物数数。学生互相讨论。 （1）数一数教室有几个门？几个窗？每个窗上有几块玻璃？有几盏灯？教室墙上挂着几张画？…… （2）横着数，一排有几张桌子？竖着数，一行有几张桌子？
怎样上好一节小学数学课 怎样上好一节小学数学课？看了这个讨论话题，我想了很多，作为一个长期在一线的小学数学教师，我认为这个话题不太好回答，上好一节小学数学课，有很多方面的因素，下面我谈谈我在工作中的几点看法： 首先，课前准备非常重要。这就是说我们在上课时不打无准备之仗，一、要钻研教材，掌握本节课要讲的内容，理清本节课和前面我们学的课之间的联系；二、要了解学生，了解学生的知识面有多广，课前学生需要准备哪些学具，提前让学生准备好；三、要制定好本节课的教学的三维目标，重点和难点；四、要准备好这节课用的课件和需要用的教具。例如我在讲“圆的认识”这节课前，首先了解到这是一节新的内容的课，和前面的知识没有什么联系，我让学生每人准备几个圆片、圆规和三角尺让学生上课用。我自己也准备了一根细线拴好的粉笔头，还有一些多媒体课件、教师用的三角尺，供我上课使用。 其次，创设教学情境在教学过程中优为重要。一节课好与不好，关键是看学生学习的积极性是不是很高，学习兴趣是不是很浓，学生是不是在轻松愉快的情境中学习掌握知识的。如果一节课的情境创设得很好，那么学生的学习积极性一定会很高，因此我在教学过程中注重给学生创设好的教学情境。比如我在教学“圆的认识”这节课时，首先我用细线拴着粉笔头的教具给学生做了一个动作，手捏着细线的一端让粉笔头转起来，我趁机问学生你们看清粉笔头走过的路程是个
什么样的图形，学生很快说出是个圆，我接着又说你们认识圆吗？学生有的说知道，有的说不知道，那么究竟你们对圆知道多少谁来说一说？想不想知道得更多？这样学生对圆很好奇，很想对圆有个了解，这样学生的学习积极性就调动起来了。 第三，课堂教学过程更为重要。新课程要求我们课堂教学要以学生为主体，教师为主导，这就是说在教学过程中要把学生看成是真正学习的主人，教师只起一个引导带路作用。我在教学圆的认识这节课，我把课堂充分给了学生，让他们以小组合作学习的形式去探索圆的半径，直径，半径和直径的关系？什么确定圆的位置？什么确定圆的大小？怎样在一张圆纸片上找直径、找圆心？在同一个圆内有多少条半径和直径？怎样划圆？对于圆的半径和直径学生一开始不明白这两个词，教师可引导学生去理解什么是半径、直径、圆心。 第四，课堂巩固练习也很重要，学生在探索出新知识的时候掌握得并不牢固，因此课堂巩固练习也是课堂教学中的一个必不可少的环节。比如我在教学圆的认识这节课后，出示多媒体课件让学生巩固练习有关圆的一些知识。 第五，课后教学反思同样重要，一节课无论是好还是不好，都得有个教学反思，因为每节课都有它的成功之处，也有它的不足之处，因此我们把每节课都进行反思，吸取每节课的精华，发现每节课的不足，以便我们在以后的教学中加以改进。
一年级上册数学《准备》教案设计 第一时 数一数 教学内容：教科书第2～页内容。 教学目标 、创设情境帮助学生了解学校生活，激发学生学习数学的兴趣，渗透思想品德教育。 2、通过数数活动，初步了解学生的数数情况，使学生初步学会数数的方法。 3、通过数数活动，培养学生的观察、思维和语言表达能力。 教学重难点：会按一定的顺序和方法数数。 教学方法：情境演示、启发式教学法 教具学具准备 教科书第2～3页的主题图，，1～10数字卡片一套。 教学过程 一、启发谈话，激发兴趣 小朋友们，你们跨入小学的校门感觉新鲜吗？上学了，你已经是一个小学生了。从现在起，你将和老师一起在这所学校，坐在明亮的教室里，共同学习、生活，探讨许多数学
问题，学习很多的数学知识，大家高兴吗？让我们来相互认识一下。 1、师生相互介绍。 2、教师简单介绍我们的校园及小学生活。 3、打开第1页，老师有感情地朗读“编者的话”，讲讲数学与生活的联系以及数学的用处。我们平时很多时候要用到数数，大家会从1数到10吗？谁来数一数？ 伸出两只小手，互相数一数同桌小朋友有几根手指。与老师一起一边伸手指一边数数。 二、数一数 1、激发观察兴趣。 出示教科书第2～3页主题图，出现一所“美丽的乡村小学”情境图。 问：小朋友，你们知道这是什么地方吗？ 师：对，这是一所美丽的乡村小学。今天是开学的第一天，小朋友们高高兴兴地来上学了。大家看一看，这里都有一些什么？ 2、数图中的数量。 （1）小朋友们认真地数一数，这里有几面国旗？ （2）师：一面国旗，就可以用数字“1”表示。 （3）教师领读，学生自己小声读。 （4）小朋友们再找一找，图中还有哪些也可以用数字
2 比一比：比多少说课稿 一、设计思路 本节课是学生入学后的第二节数学课。此前，在日常生活中学生已积累了一定的“同样多”、“多些”、“少些”的感性经验，但在比较时，往往是运用数数的方法，而今天要用一一对应的方法比较多少，是一个质的飞跃。新课标指出：义务教育阶段的数学课应突出体现基础性，普及性和发展性，使数学教育面向全体学生，实现人人学有价值的数学，人人都能获得必需的数学，不同的人在数学上得到不同的发展。由于学生之间存在着一定差异，所以，我力图体现：根据学生的差异，设计有层次性、梯度性和趣味性的练习，用发展的眼光审视学生的发展，使不同的学生在原有的基础上得到不同的发展，真正面向全体学生，挑战学生智慧，实现有效学习。 本节课教学，我先利用课件创设引人入胜的故事情境，在激发学生学习兴趣的同时，引出学习内容。然后利用教材中的两组素材“小兔与它们所搬的砖的比较”，“小猪与木头的比较”制成动画课件，通过演示，使学生直观地看到“同样多、多、少”的含义，也使学生知道如何用一一对应的方法来比较物体的多少，然后再设计“图中还可以比什么”，充分发掘教材中的资源，让学生任意比较。整个引导过程，强调自主探索、合作交流，学生动手操作，动脑思考，动口表达。并通过小组合作学习，培养学生初步的合作意识与能力，增强学生学好数学的信心。 在教学中，充分关注到学生的生活经验和已有的知识体验，允许并鼓励学生用不同方法（如数数等）来解决“比多少”的问题，但教师要时刻注意把握这样一点：引导学生用一一对应的方法来比较物体的多少。 二、教学内容及教材分析 1、教学内容：人教版义务教育课程标准实验教科书《数学》第一册第二单元“比一比”中第一部分“比多少”。 2、教材分析： “比一比”是新课标中强调的内容之一，从下列新旧三种不同教材的对比就可以看出其地位和作用：原义务教材：放在“准备课”中，只介绍“同样多、多些、少些”； 原湖南实验教材（我校多年使用）：放在准备课中，有比多少、高矮和长短的内容。 新实验教材：另列单元，除“比多少”外，增加“比长短、比高矮”。 可以看出，新教材较好地体现了新的课程理念，内容丰富，结构宽阔。明确了“比较”是学生学习数学的重要方法，也是学生发展思维的重要途径。体现了学生参与知识形成的过程和利用已有的知识进行探索性学习的方法，同时也为后面“比多少”应用题的教与学做好铺垫。 三、教学目标 1、知识与技能：初步知道“同样多”、“多”、“少”的含义，会用一一对应的方法比较物体的多少。 2、过程与方法：在经历知识的形成过程中，学会与他人合作与交流。 3、情感态度价值观：激发学生学数学、爱数学、用数学的愿望和热爱大自然、热爱家乡、热爱祖国的情感。 四、教学重点与难点： 重点：掌握比较多少的方法，会表达比较的结果。 难点：如何使用一一对应的方法来比较物体的多少。 五、教学策略与学法设计 1、教学策略：参与式开放型创新教学
1数一数说课稿一、教材分析 今天我说课的内容是数学九年义务教育第一册第一课的内容——“数一数”。我们知道，一年级的学生在入学前，经过了学前教育，大多数儿童在未学习这一课前，已能数出100以内的数，甚至会写，而且在他们的生活体验中，常常会接触到100以内的数。但孩子们的头脑中，还未必有10以内数的概念，这一课教学就是要帮助孩子建立10以内数的概念，为以后学习数学其他知识奠定十分重要的基础。但是学生刚刚结束幼儿园生活，进入小学，对课堂学习还不适应，容易疲劳，有意注意的时间比较短，观察能力有限，表达能力有限。 《课标》提出“经历运用数学符号和图形描述现实世界的过程，建立数感和符号感，发展抽象思维”教材很注重学生数感的建立，本节课就是帮助学生建立数感的起始课。主题图是一幅小学开学时的情景，表面看起来好像跟数学没有太大关系，但是，在教师的引导下，学生会通过观察发现，所看到的一切只有通过数才能描述清楚，而且要经过组织才能汇报得井然有序。这正是培养学生于无声处听惊雷、于平淡处创造精彩的数学素养的开始。 基于以上分析，我将在教学中注意以下几点： 1、注意因此在这节课里，在观察教材插图时，往往只对其中的色彩、人物等感兴趣。 经过对教材的理解和分析，确定以下教学目标 （1）通过数数活动，初步了解学生的数数情况，使学生初步学会数数的方法，能够运用数进行表达和交流。 （2）帮助学生了解学校生活，激发学生学习数学的兴趣，渗透思想品德教育。 （3）初步体验数与生活的密切关系，培养学生的主动探究精神。 教学重点：数数的方法。 教学难点：用较为简捷明了的数学语言来汇报所看到的物体的数量。 二、教法和学法 很显然，在教法和学法上要注意以下几点： 1、动手操作学习。“儿童的智慧在手指尖上”通过让学生动手操作，注意调动学生的学习积极性，使学生各种感官协同活动，做到在观察中思维，在思维中操作，概念的形成由具体到抽象，符合学生的认知规律。 2．合作学习。师生合作、生生合作贯穿教学全过程，注意学生之间的信息交流，培养学生的合作意识、团队精神，营造平等、互助的学习氛围。 为了实现预定的教学目标，突出重点，突破难点，我设计了以下的教学环节。 三、教学过程 1、谈话交流，自然过渡。 轻松的谈话交流是拉进师生较好的途径和方法。因此，本节课开始，我以谈话的方式进入课程，会显得比较自然有效。 亲爱的同学们，你们已经是小学生了。从现在开始，你们将和老师一起在明亮的教室里，共同学习、生活，探讨许多数学问题，学习很多数学知识，可能有同学心里纳闷儿：数学有什么用啊？老师给你举一两个的例子吧，小的比如用钱买东西，大的如控制宇宙飞船上天都要用到数学知识。所以，数学是很有用的知识，学会它你们可以知道很多事情，
小学数学课的课前准备 充分的课前准备是小学生实现课堂高效学习的前提，这是一个非常重要的习惯之一。课前准备的过程是培养小学生良好学习习惯的过程。 小学生课前准备的内容，个人认为主要有以下三个方面：1、课前心理的准备。是指适当休息，调节自己的精神状态，让自己在心情愉快的状态下学习。2、课前学习用品的准备。是指课本、文具盒、作业本等；3、课前知识的准备：对上一节课所学内容的回忆，对新知识进行提前预习，能够在课上有针对性的学习。 一般情况下，小学生课前准备有以下几个常见问题： 1、课前学习用品准备不齐 很多小学生当上课预备铃响起的时候匆忙走进教室，大部分并没有做课前预习，上课铃声正式响了之后才开始把书从书本里面找出来，有一小部分同学找了好几分钟都没有找到上课用的书本，结果发现书本没有带，导致小学生上课好长时间不能进入认真听课的状态。 2、课前没有做好心理准备 我们经常会碰到有学生在上课时突然举手说要上厕所，这样很容易影响上课的效率。另外，在家里经常上网玩游戏，晚上睡觉比较晚，导致白天上课时没有精神，注意力差，导致小学生时常在课堂上说话、打瞌睡等。 3、课前行为准备不充分
每节课下课铃声一响，一些学生马上冲出教室玩去了，等到打上课铃，看到老师走进教室，才慌慌张张地坐到位置上来，手忙脚乱地找学习用品，白白浪费了上课的学习时间，降低了学习效率。 4、预习时间不充分 很多同学放学回家后心里想着的就是如何玩、玩什么等，根本就不会想去复习和预习工课，而是仅仅利用课前几分钟的时间进行预习，有部分学生甚至压根就不预习,其实这种方法效果不佳，首先时间不够充分，其次课前匆忙预习会影响学生课堂上的自然思维，因为学生往往只看重结果，不太关注知识的推导过程，走马观花，好一点的学生，看完两页纸也只是了解一下内容而已，很难对知识产生的过程有所体验。 所以，要培养好小学生的课前准备习惯，教师应做好以下工作： 1、要引导学生树立课前准备的意识。由于小学生模仿性强，可塑性大，辨别是非能力差。因此，好习惯的培养要从正面加以启发诱导此时，如：树立榜样。把表现好的学生在班级当作大家学习的模范，让其他小学生从中受到鼓励，提高自信心，努力朝着这个方向发展，激励学生学榜样，争当榜样。 2、要求学生做好课前准备，必须要告诉学生，课前要做好哪些准备。如：利用课后时间上厕所；走出教室远望，让自己的视力得到休息；准备好下一节课的教材和文具用品；回忆一下昨天的课堂内容；在课前对知识的适当的预习等。
小学生数学课前预习习惯的培养 梁伟瑜 培根说：“习惯是一种顽强的力量，它可以主宰人生！由于习惯的不同，它不是造就一个人，就是毁灭一个人。”可见，养成良好的习惯是很重要的，也是很有必要的。《数学课程标准》指出，让学生学习有价值的数学，让学生带着问题、带着自己的思想进入数学课堂，其实这就是要求学生进行课前预习。课前预习是学生对新课学习前独立地对新内容进行准备性地学习，是课堂教学的前奏和序曲。在学生认知水平和已有知识、经验基础上的预习，能激发学生的学习积极性，为他们提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探索的过程中理解和掌握基本的数学知识、技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验。培养学生数学课前预习的习惯，也是在新课改下构建“学生主动学习课堂”教学模式的先决条件。为此，作为数学学习的组织者、引导者与合作者的教师要培养学生良好的数学课前预习习惯，教给他们正确的预习方法，从而使他们主动、自觉地参与数学教学的全过程，最终成为有较强自学能力和创新精神的人。要培养小学生数学课前预习习惯，我个人认为应该从以下几方面做起： 一、转变思想，重视预习 首先，教师要重视学生的预习，不要认为预习使学生提前知道了教学内容，学生就不会慢慢地与教师经历困惑、操作、比较、分析、综合的思维过程，一起品尝探索成功的满足和愉悦。因为预习是学生自主参与、获取知识的教程，是培养学生自主学习，提高学生自学能
力的重要途径之一。著名教育家魏书生曾说过：“学生通过资料能弄懂教材的百分之九十九，教师只起百分之一的作用。”百分之一与百分之九十九，这个比例也许是夸张了点，但至少说明了一个道理：没有一定的活动范围，人就无法完成重大的事情，儿童的自学意识和自学动力的幼芽，也必须在开放的学习活动时空中才能得以勃勃生长，而自学的第一步就是要学会预习。 其次，教师还应让学生认识到预习的重要性。教师既可以从理论方面给学生讲讲预习的好处，还可以在具体的数学学习活动中向学生渗透预习的重要作用，并鼓励他们预习数学，逐渐让他们体会到预习习惯的形成对自己的终身学习和发展至关重要。 二、激发兴趣，乐于预习。 《课程标准》指出：“兴趣是学生最好的老师，要使学生有高效的学习方法，科学的学习态度，要从学生的兴趣出发。生动直观和趣味盎然的学习会激发学生对学习的欲望。”预习这项学习活动也不例外，它是一种个体的、自觉的活动。开展这项活动需要浓厚的学习兴趣和正确的学习动机。 ⑴、在预习活动中引入“竞争意识”。比如每周开展一次评比活动，评选出几名“预习小能手”（或者“预习小明星”）。还可以让预习得特别好的学生在课堂上当小老师，组织全班的汇报交活动。这样，学生在交流过程中就会反思自己的预习方法，取长补短，提高预习能力；另外，学生还获得了成功的体验，从而激发了预习的兴趣。
准备课 一、单元教学目标 1．通过数数活动中，了解学生数数的水平以及对数数的基本方法的掌握情况，帮助学生初步了解计数物体个数的基本方法。 2．在比较物品多少的活动中，了解学生对“同样多”“多”“少”等含义的理解程度以及对比较物体多少的基本方法的掌握情况，帮助学生体验一些具体的比较方法。 3．了解学生语言表达情况、倾听能力以及常规习惯，为教师有效把握教学起点做好准备。 4．使学生了解学校生活，对学生进行入学教育，并逐步养成仔细观察、认真思考的良好习惯。 二、内容安排及其特点 这一单元有数一数和比多少两方面的内容。 “数一数”由三部分组成：一是“美丽的校园”情境图；二是从“美丽的校园”中抽取出来的“10以内的”用集合圈呈现出来的人或物；三是配合此部分内容的练习题（练习一第1题、第2题）。这部分内容的编排有如下特点。 （1）借助“美丽的校园”情境图提供丰富的计数资源，并对学生进行入学教育。 “美丽的校园”为学生提供了校园内飘扬的国旗、高大的教学楼、和蔼的老师、活泼的学生、美丽的鲜花、宽阔的操场以及校园外飞翔的鸽子、整齐的大雁、葱郁的树木等计数资源。此外，也给初入学的小学生展现了校园生活，帮助他们了解学校生活并渗透思想品德教育。使学生意识到自己已经是一名小学生了，小学生要遵守纪律、按时到校，要尊敬老师、关爱同学，还要好好学习、热爱科学，锻炼身体，等等。 （2）丰富的计数资源为学生充分计数服务。 情境图中提供的每种数量的事物不止一种（如数量是1的，有一面国旗、一位教师、一座教学楼等），学生在计数同一种数量的各种事物中，初步感受到同一种数量的各种事物可以用同一个数表示，感知10以内各数，体会数与生活的联系，产生对数学的好奇心、对学习的新奇感，逐步形成喜欢学习、乐于学习的愿望。 图中各种人和物的具体数量见表1-1。 表1-1 美丽的校园中各种人和物的数量统计表
人教版一年级数学上册 《第一单元准备课》教材说明和教学建议 一、单元教学目标 1．通过数数活动中，了解学生数数的水平以及对数数的基本方法的掌握情况，帮助学生初步了解计数物体个数的基本方法。 2．在比较物品多少的活动中，了解学生对“同样多”“多”“少”等含义的理解程度以及对比较物体多少的基本方法的掌握情况，帮助学生体验一些具体的比较方法。 3．了解学生语言表达情况、倾听能力以及常规习惯，为教师有效把握教学起点做好准备。 4．使学生了解学校生活，对学生进行入学教育，并逐步养成仔细观察、认真思考的良好习惯。 二、内容安排及其特点 这一单元有数一数和比多少两方面的内容。 “数一数”由三部分组成：一是“美丽的校园”情境图；二是从“美丽的校园”中抽取出来的“10以内的”用集合圈呈现出来的人或物；三是配合此部分内容的练习题（练习一第1题、第2题）。这部分内容的编排有如下特点。 （1）借助“美丽的校园”情境图提供丰富的计数资源，并对学生进行入学教育。 “美丽的校园”为学生提供了校园内飘扬的国旗、高大的教学楼、和蔼的老师、活泼的学生、美丽的鲜花、宽阔的操场以及校园外飞翔的鸽子、整齐的大雁、葱郁的树木等计数资源。此外，也给初入学的小学生展现了校园生活，帮助他们了解学校生活并渗透思想品德教育。使学生意识到自己已经是一名小学生了，小学生要遵守纪律、按时到校，要尊敬老师、关爱同学，还要好好学习、热爱科学，锻炼身体，等等。 （2）丰富的计数资源为学生充分计数服务。 情境图中提供的每种数量的事物不止一种（如数量是1的，有一面国旗、一位教师、一座教学楼等），学生在计数同一种数量的各种事物中，初步感受到同
《课前准备》教案 教学目标： 1、明确课前需要准备的学习用具，熟悉课堂规则 2、能够养成观察、思考、表述、倾听等良好习惯，并结合平时的课堂教学有所渗透。 3、初步了解本学期的数学教学内容，熟悉教材 导入语：小朋友们，恭喜大家成为一名小学生，我是你们的数学老师胡老师，在今后的日子里，我将会带领大家进入一个奇妙的“数学王国”，这个王国里有德高望重的加法国王和高贵优雅的乘法王后，有掌管时间的时间爷爷，有足智多谋的长方形博士，还有聪明伶俐的圆小姐，许许多多的数字就是数学王国的子民，他们世世代代生活在奇妙的数学王国里，每天都用自己的智慧创造出许多的数学知识。你们喜欢这样的数学王国吗？ 一、三个“礼物” 导语：各位小朋友们，想要在数学王国学到他们的数学知识，可不是一件简简单单的事情哦！数学王国为了能让每个孩子都学好数学，特地给大家准备了三个礼物！ 1．礼物一：学习用具 数学书：数学书是进入数学王国的说明书，德高望重的数学国王为了向小朋友们介绍他的王国，特地为大家准备了这样一本数学书，请大家拿出数学书。以后，我们会从上面学到许多有用的数学知识，所以小朋友们一定要好好的爱惜它哦！课前，我们要将数学书放在左上角，当老师说请打开课本，翻到第几页时，我们需要迅速的打开课本，其他时间，数学书都应该放在它自己的位子上！（小游戏：翻页） 铅笔：铅笔是我们的魔法棒，我们在做题目，解决问题时，就需要它，所以在数学课之前，得准备好铅笔！ 橡皮：在开学第一天，每个小朋友收到了“开学六包”，其中的一宝就是“橡皮擦”，当我们遇到错误时没关系，我们只要及时的改正它就行了！ 2．礼物二：观察、倾听、回答 观察：作为数学王国的小小子民，都需要拥有一双会观察的眼睛，胡老师一见到你们，看到你们亮晶晶的眼睛一直注视着老师，就知道我们一（7）班的小朋友很会观察，胡老师希望能在数学课上也见到你们这样亮晶晶的眼睛！ 倾听：除了一双会观察的眼睛，数学王国还给我们送来了会倾听的耳朵。在数学课堂上，我们只需要有一个声音，这个声音要么是老师讲话的声音，要么是你们其中一个小朋友回答问题的声音。所以我们每个人都必须做一个优秀的倾听者，当老师或者小朋友在说的时候，我们的小耳朵必须竖起来，眼睛看着说话的孩子！ 回答：在数学王国里，有许许多多有趣的问题等待大家去解决。所以数学课上，我们每个小朋友都能积极的思考发言。但是发言之前，必须先举手，安静的举手（举手练习）。 别人回答问题的时候，不要抢着举手，要等别人回答完了，再举手。如果你举手了，老师没有请到你，也不要难过，只要你举手了，老师都能够看到你！ 3．礼物三：思考 思考：在数学王国里，还有一个特别重要的本领，就是学会思考！勤于思考的孩子一定能够学好数学！ 二、发本子的训练 1、老师先给每一小组分6本本子，第一个孩子再从最上面拿一本（不挑），再用双手递给
小学一年级数学准备课教案 详细介绍： 教学内容：教科书24页新学年开学第一天，分类，练习一第1题。 素质教育目标 （一）知识教学点 1.初步学习按由小到大的顺序观察并数出图中的人和物的个数，或按方位数出周围物体。 2.学习物体分类，并把同一类物体圈起来。 3.学习指物数数，认相应的数字。 （二）能力训练点 1.引导学生有序观察图画或周围物体，学习观察方法，培养学生观察能力。 2.做到指物数数，培养数数能力。 3.引导学生用较完整的语言表述，培养学生语言表达能力。（三）德育渗透点 1.为学生介绍数学知识的用途，渗透学习目的教育。 2.结合观察图画，初步培养学生爱学校、爱老师、爱同学的思想感情以及爱学习、爱劳动、守纪律的良好习惯。 教学重点 1.进行入学教育。 2.引导观察图画，数图画中人和物的个数。
3.学习分类，初步知道什么是同类物体，把同一类物体圈在一起。 教学难点 1.按一定顺序指物数数。 2.理解物体分类。 3.学习用完整、规范的语言表述。 教具、学具准备 1.放大的挂图或幻灯片，内容是教科书23页的开学图。 2.教学分类用的实物图，幻灯片或电脑软件和认识110数字及相应的整体图画。 教学步骤 一、教师谈话，引起兴趣 小朋友们，从你们迈进学校大门那时起，你就是一名小学一年级的学生了。学生在学校最主要的任务是学习，我们要学习很多知识，其中数学是我们学习的主要课程之一。数学知识用途很广，从数物体个数的1、2、3；买东西要花钱，汽车行驶的快慢，工厂生产的机器零件及产值，农业上的施肥及收成，到科学家研制发射人造卫星、原子弹、导弹及航天飞机等都离不开数学知识。这说明，世界虽大，但到处都离不开数学知识。现在请同学们看一看数学书的封面，下方中间最大的两个字就是数学，上面的图画中三只小鸭子与小朋友抱着的一只小鸭子之间就含有不少数学知识，图画背景是
教师学科教案[ 20 – 20 学年度第__学期] 任教学科：_____________ 任教年级：_____________ 任教老师：_____________ xx市实验学校
第一单元准备课 1 数数 教学内容：教科书2—4页新学年开学第一天，分类，练习一第1题。 教学目标： 1、进行入学教育。 2、引导观察图画，数图画中人和物的个数。 3、学习分类，初步知道什么是同类物体，把同一类物体圈在一起。 教学重、难点： 1、按一定顺序指物数数。 2、理解物体分类。 3、学习用完整、规范的语言表述。 教学过程： 一、谈话，引起兴趣 小朋友们，从你们迈进学校大门那时起，你就是一名小学一年级的学生了。学生在学校最主要的任务是学习，我们要学习很多知识，其中数学是我们学习的主要课程之一。数学知识用途很广，从数物体个数的1、2、3……；买东西要花钱，汽车行驶的快慢，工厂生产的机器零件及产值，农业上的施肥及收成，到科学家研制发射人造卫星、原子弹、导弹及航天飞机等都离不开数学知识。这说明，世界虽大，但到处都离不开数学知识。现在请同学们看一看数学书的封面，下方中间最大的两个字就是“数学”，上面的图画中三只小鸭子与小朋友抱着的一只小鸭子之间就含有不少数学知识，图画背景是七巧板，七巧板有很多拼摆方法，里面藏着很多数学秘密。这说明学习数学很重要，也很有趣，我们现在就从这本书学习开始。 设计意图：通过谈话引起学生对课堂的兴趣。 二、引导观察，指物数数 出示图画，引导数数。（指图）这幅图画是一所小学新学年开学的第一天，同学们都高高兴兴地来到学校，学校环境很美，你们看，这幅图里都画了些什么？ 1、看图无序观察。 学生看什么说什么。（有学生、老师、有的浇花，有的踢球，有树、有小鸟……） 2、引导有序观察学说完整话。 （1）边指边数出数量是1的人或物。（一位教师，一面五星五旗，一个足球）（2）边指边数出数量是2的人或物。（两个同学向老师敬礼，两个同学在浇花，两把喷壶） （3）边指边数出数量是3、4、5……10的人或物。（3个同学在踢足球，4棵葵花，5个大字“欢迎新同学”，6朵花，天上飞着7只小鸟，楼旁边有8棵树，一共有9个学生，一位老师，一共有10名师生。） （4）按顺序数一数画面上1—10的人或物。 通过看这幅图我们知道，学校到处都有数学，而且这里的老师、同学互敬互爱，整个校园充满着团结、欢乐的气氛。 设计意图：通过观察使学生对数字产生兴趣，并初步感知数的概念。 3、观察周围物体指物数数。学生互相讨论。 （1）数一数教室有几个门？几个窗？每个窗上有几块玻璃？有几盏灯？教室墙上挂着几张画？……
《准备课——数一数》导学案 学习目标 1、让学生通过看和数了解画面的具体内容，引导学生感受看和数是认识生活中的事物，是学习数学常用的方法。 2、引导学生一件一件地观察场景中的主要物体，并分别数出这些物体的个数，初步 培养有条理观察的习惯。 3、让学生在自己探索与合作交流中观察、学习。 重点让学生通过实践、探索、合作交流，掌握数数。 难点帮助学生解决认知过程中的困难。 导学流程 一、导入 上学了，你已经是小学生了。从现在开始，你要学习很多的数学知识。你会数数吗？认识积木的形状吗？会看钟表吗？……这些都是你要学习的数学。打开这本书， 你就会看到许多有趣的游戏和活动，那可是一个神奇的数学天地噢！只要你爱动脑筋， 多和老师、同学一起讨论，就会发现数学是多么的生动有趣！当你感到自己的本领一天 一天地增长，该是多么愉快呀！今天我们就来学习第一课：数一数（板书课题） (一)、出示彩图，教学数数。 1课件出示情境图。 师：在这个美丽的校园里，你看到些什么？你能数出它们的个数吗？ （1）小组学习：先让学生观察，在小组内和小朋友们说一说。 （2）汇报学习情况：指名让学生说一说。教师在学生随意说的基础上，引导学生按 数目从小到大的顺序数出图中的人或事物的个数然后让同桌再互相说。 2、用圆点表示物体的个数。(圆点与物体有一一对应关系，渗透着对应的思想。) (一)、实物操作，感受数字 分4人小组，由任意一个小朋友说出物体的个数，让其他3个小朋友用圆点摆出表示的数。 (二)、拓展运用 讲述：小朋友，已经学会了数一数，即1—10的物体的个数。你能用1-10这10个
数字中的其中一个数来说句话吗?在小组内说说。 如：我有10个手指，我们小组有4人，等等。 二、导疑导疏 1、游戏：火车钻山洞 游戏方法：我们分小组进行，两个小朋友手拉手抬起来，围成山洞，请小组后 面的几位同学当司机，前面报几，后面接着往下报，如1、2、3，如果说对了，就发出呜呜声，说错了,就“咔嚓”暂停，说对了再通过。 2、数水果，摘水果 讲述：秋天来了，树上的果子都熟了，有苹果、香蕉等。去数数吧，再把数出的结 果告诉小朋友，说说你是怎么数的?说对了就摘个水果送给你的朋友尝一尝吧! 三、导评 我们既能去动物园，还能玩游戏，摘水果，开心吗?在这节课里，你学到了哪些本领?你是怎么想的? 帮助学生建立学好数学的信心。 四、作业布置：带着任务去观察，数一数各种东西的数量
准备课 教学内容： 这一单元有数一数和比多少两方面的内容。 教学目标： 1．通过数数活动中，了解学生数数的水平以及对数数的基本方法的掌握情况，帮助学生初步了解计数物体个数的基本方法。 2．在比较物品多少的活动中，了解学生对“同样多”“多”“少”等含义的理解程度以及对比较物体多少的基本方法的掌握情况，帮助学生体验一些具体的比较方法。 3．了解学生语言表达情况、倾听能力以及常规习惯，为教师有效把握教学起点做好准备。 4．使学生了解学校生活，对学生进行入学教育，并逐步养成仔细观察、认真思考的良好习惯新 教学分析： 教材设计了一个美丽的校园的主题图，帮助学生了解校园生活，使学生感到自己已是一名小学生了，同时教材中提供了大量的可供学生数数的内容，这些人和物的数量都用到10以内的各数。通过数数，初步感知10以内各数，并体会到数存在于我们的生活中。教师可以通过学生数数，初步了解学生数数、观察能力和语言表达能力，为今后的教与学做初步准备。 教科书第2--5页各集合圈中的人或物都是从“美丽的校园”中抽取出来的，每个集合圈的旁边都标上了相应的数，让学生认一认、读一读，使教师了解一下学生的认数、读数的情况。 教学策略：倡导合作、交流的学习策略。 教学重点：会数10以内的数。 教学难点：能用数字说一句流利的话。 教学准备： 教具准备：多媒体课件、教学挂图，幻灯机。 学具准备：练习本、学具袋。 课时安排：1课时。 教学内容：教科书2—4页新学年开学第一天，分类，练习一第1题。
教材分析：人们在观察物体的时候，往往要数一数有多少个。“数一数”也是认数和计数的基本方法。在学生对某些物体个数数一数的过程中，也使教师了解学生对数数的已有基础，便于确定数学教学的起点。教材选择儿童乐园场景图，图中物体或人的数量分别可以用1-10各数表示。从儿童喜欢的场景入手，可以使学生产生学习兴趣，感到数学不是枯燥的，数学就在自己身边，场景图下面的10幅小图，是以1-10各数的顺序出现的儿童乐园里的人或物，并用点子图表示出数量，这样有利于学生感受分类数数的方法，逐步培养数数的能力。 教学重点： 1．进行入学教育。 2．引导观察图画，数图画中人和物的个数。 3．学习分类，初步知道什么是同类物体，把同一类物体圈在一起。 教学难点： 1．按一定顺序指物数数。 2．理解物体分类。 3．学习用完整、规范的语言表述。 教学过程： 一、教师谈话，引起兴趣 小朋友们，从你们迈进学校大门那时起，你就是一名小学一年级的学生了。学生在学校最主要的任务是学习，我们要学习很多知识，其中数学是我们学习的主要课程之一。数学知识用途很广，从数物体个数的1.2.3……；买东西要花钱，汽车行驶的快慢，工厂生产的机器零件及产值，农业上的施肥及收成，到科学家研制发射人造卫星、原子弹、导弹及航天飞机等都离不开数学知识。这说明，世界虽大，但到处都离不开数学知识。现在请同学们看一看数学书的封面，下方中间最大的两个字就是“数学”，上面的图画中三只小鸭子与小朋友抱着的一只小鸭子之间就含有不少数学知识，图画背景是七巧板，七巧板有很多拼摆方法，里面藏着很多数学秘密。这说明学习数学很重要，也很有趣，我们现在就从这本书学习开始。 二、引导观察，指物数数 出示图画，引导数数。（指图）这幅图画是一所小学新学年开学的第一天，同学们都高高兴兴地来到学校，学校环境很美，你们看，这幅图里都画了些什么？ 1．看图无序观察。 学生看什么说什么。（有学生、老师、有的浇花，有的踢球，有树、有小鸟……） 2．引导有序观察学说完整话。