专题06平面向量
历年考题细目表
题型年份考点试题位置
单选题2019 平面向量的数量积2019年新课标1理科07
单选题2018 平面向量基本定理2018年新课标1理科06
单选题2015 平面向量基本定理2015年新课标1理科07
单选题2011 平面向量的定义2011年新课标1理科10
填空题2017 向量的模2017年新课标1理科13
填空题2016 平面向量的数量积2016年新课标1理科13
填空题2014 平面向量的数量积2014年新课标1理科15
填空题2013 平面向量的数量积2013年新课标1理科13
填空题2012 向量的模2012年新课标1理科13
历年高考真题汇编
1．【2019年新课标1理科07】已知非零向量，满足||＝2||，且（）⊥，则与的夹角为（）A．B．C．D．
【解答】解：∵（）⊥，
∴
，
∴
，
∵，
∴．
故选：B．
2．【2018年新课标1理科06】在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则（）A．B．C．D．
【解答】解：在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，
（）
，
故选：A．
3．【2015年新课标1理科07】设D为△ABC所在平面内一点，，则（）
A．B．
C．D．
【解答】解：由已知得到如图
由；
故选：A．
【2011年新课标1理科10】已知与均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题P1：||＞1?θ∈[0，4．
）；P2：||＞1?θ∈（，π]；P3：||＞1?θ∈[0，）；P4：||＞1?θ∈（，π]；其中的真命题是（）
A．P1，P4B．P1，P3C．P2，P3D．P2，P4
【解答】解：由，得出2﹣2cosθ＞1，即cosθ，又θ∈[0，π]，故可以得出θ∈（，π]，故P3错误，P4正确．
由||＞1，得出2+2cosθ＞1，即cosθ，又θ∈[0，π]，故可以得出θ∈[0，），故P2错误，
P1正确．
故选：A．
5．【2017年新课标1理科13】已知向量，的夹角为60°，||＝2，||＝1，则|2|＝．【解答】解：【解法一】向量，的夹角为60°，且||＝2，||＝1，
∴4?4
＝22+4×2×1×cos60°+4×12
＝12，
∴|2|＝2．
【解法二】根据题意画出图形，如图所示；
结合图形2；
在△OAC中，由余弦定理得
||2，
即|2|＝2．
故答案为：2．
6．【2016年新课标1理科13】设向量（m，1），（1，2），且||2＝||2+||2，则m＝﹣2 ．
【解答】解：||2＝||2+||2，
可得?0．
向量（m，1），（1，2），
可得m+2＝0，解得m＝﹣2．
故答案为：﹣2．
7．【2014年新课标1理科15】已知A，B，C为圆O上的三点，若（），则与的夹角为．
【解答】解：在圆中若（），
即2，
即的和向量是过A，O的直径，
则以AB，AC为邻边的四边形是矩形，
则⊥，
即与的夹角为90°，
故答案为：90°
8．【2013年新课标1理科13】已知两个单位向量，的夹角为60°，t（1﹣t）．若?0，则t＝．
【解答】解：∵，，∴0，
∴t cos60°+1﹣t＝0，∴10，解得t＝2．
故答案为2．
9．【2012年新课标1理科13】已知向量夹角为45°，且，则．【解答】解：∵， 1
∴
∴|2|
解得
故答案为：3
考题分析与复习建议
本专题考查的知识点为：平面向量的线性运算，平面向量基本定理及坐标表示，平面向量的数量积，平面向量的综合应用等.历年考题主要以选择填空题型出现，
重点考查的知识点为：平面向量的线性运算，平面向量基本定理及坐标表示，平面向量的数量积等，预测明年本考点题目会比较稳定，备考方向以知识点平面向量的线性运算，平面向量的数量积，平面向量的综合应用等为重点较佳.
最新高考模拟试题
1．在ABC ?中，2AB AC AD +=u r ，0AE DE +=u u u r u u u r r
，若EB xAB y AC =+u u u r u u u r u u u r ，则（ ）
A ．3y x =
B ．3x y =
C ．3y x =-
D ．3x y =-
【答案】D 【解析】
因为2AB AC AD +=u u u v u u u v u u u v ，所以点D 是BC 的中点，又因为0AE DE +=u u u v u u u v v
，所以点E 是AD 的中点，所以有：
11131()22244
BE BA AE AB AD AB AB AC AB AC =+=-+=-+?+=-+u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u
v u u u v ，因此
31
,344
x y x y =-=?=-，故本题选D.
2．已知非零向量a r ,b r 的夹角为60o
,且满足22a b -=r r ,则a b ?r r 的最大值为( )
A ．
12
B ．1
C ．2
D ．3
【答案】B 【解析】
因为非零向量a r ,b r 的夹角为60o
,且满足22a b -=r r , 所以2222444a b a b a b -=+-?=r r r
r r r ，
即2244cos 604a b a b +-=o
r r r r ，即22424a b a b +-=r r r r ，
又因为2244a b a b +≥r r
r r ，当且仅当2a b =r r 时，取等号；
所以222424a b a b a b ≤+-=r r r
r r r ，即2a b ≤r r ；
因此，1cos6012
a b a b a b ?==≤o
r r r r r r .
即a b ?r r 的最大值为1.
故选B
3．设a r ，b r 均为单位向量，则“a r 与b r 夹角为2π3
”是“||a b +=r r ”的( )
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
【答案】D 【解析】
因为a r ，b r
均为单位向量， 若a r 与b r 夹角为2π3
，
则||1a b +=
==r r ；
因此，由“a r 与b r 夹角为2π
3
”不能推出“||a b +=r r ”；
若||a b +=r r ，则||a b +=r r ，
解得1
cos ,2a b =v v ，即a r 与b r 夹角为π3，
所以，由“||a b +=r r ”不能推出“a r 与b r 夹角为2π
3
”
因此，“a r 与b r 夹角为2π
3
”是“||a b +=r r ”的既不充分也不必要条件.
故选D
4．在矩形ABCD 中，4AB =uu u r ,2AD =u u u r ．若点M ，N 分别是CD ，BC 的中点，则AM MN ?=u u u u r u u u u r
（ ）
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
【答案】C 【解析】
由题意作出图形，如图所示：
由图及题意，可得：
12
AM AD DM AD AB =+=+u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r ，
1122MN CN CM CB CD =-=-u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r 11112222
BC DC AD AB =-+=-+u u u r u u u r u u u
r u u u r .
∴111222AM MN AD AB AD AB ?????=+?-+ ? ?
????
u u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 221111
||||41622424AD AB =-?+?=-?+?=u u u r u u u r . 故选：C ．
5．已知P 为等边三角形ABC 所在平面内的一个动点，满足()BP BC R λλ=∈u u u r u u u r
，若2AB =u u u r ，则()AP AB AC u u u v u u u v u u u v
?+=（ ）
A ．23
B ．3
C ．6
D ．与λ有关的数值
【答案】C 【解析】
如图：以BC 中点为坐标原点O ，以BC 方向为x 轴正方向，OA 方向为y 轴正方向，建立平面直角坐标系，
因为2AB =u u u r ，则3AO =u u u r
因为P 为等边三角形ABC 所在平面内的一个动点，满足()BP BC R λλ=∈u u u r u u u r
，
所以点P 在直线BC ，所以AP uu u r 在AO u u u
r 方向上的投影为AO u u u v ，
因此2
()226AP AB AC AO AP AO ?+=?==u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r .
故选C
6．已知向量(2,1),(,1)a b m ==-r r ，且()a a b ⊥-r
r r ，则m 的值为（ ）
A ．1
B ．3
C ．1或3
D ．4
【答案】B 【解析】
因为(2,1),(,1)a b m ==-r r ，所以(2,2)a b m -=-r
r ，
因为()a a b ⊥-r
r r ，则()2(2)20a a b m ?-=-+=r r r ，解得3m =
所以答案选B.
7．已知向量a r 、b r 为单位向量，且a b +r r 在a r 31，则向量a r 与b r 的夹角为（ ）
A ．
6
π B ．
4
π C ．
3
π D ．
2
π 【答案】A 【解析】
设向量a r 与b r
的夹角为θ， 因为向量a r 、b r
为单位向量，
且a b +r r 在a r 31+，
则有3()||1a b a a ?
+?=????r r r r ，
变形可得：311a b +?=+r
r ，
即
3 cos c
1
o
1s
a bθθ
?=??==
r
r
，
又由0θπ
≤≤，则
6
π
θ=，
故选A．
8．在矩形ABCD中，3,4,
AB AD AC
==与BD相交于点O，过点A作AE BD
⊥，垂足为E，则AE EC
?=
u u u v u u u v
（）
A．
72
5
B．
144
25
C．
12
5
D．
12
25
【答案】B
【解析】
如图：
由3
AB=，4
=
AD得：9165
BD=+=，
12
5
AB AD
AE
BD
?
==
又()
AE EC AE EO OC AE EO AE OC AE EO AE AO
?=?+=?+?=?+?
u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
AE BD
⊥
Q0
AE EO
∴?=
u u u r u u u r
又
2144
cos
25
AE
AE AO AE AO EAO AE AO AE
AO
?=∠=?==
u u u r
u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
u u u r
144
25
AE EC
∴?=
u u u r u u u r
本题正确选项：B
9．已知直线y=x+m和圆x2+y2=1交于A、B两点，O为坐标原点，若
3
AO AB
2
?=
u u u r u u u r
，则实数m=（）A．1
±B．
3
±C．
2
2
±D．
1
2
±
【答案】C
【解析】
联立22
1
y x m x y =+??
+=? ，得2x 2+2mx+m 2
-1=0， ∵直线y=x+m 和圆x 2
+y 2
=1交于A 、B 两点，O 为坐标原点， ∴△=4m 2+8m 2-8=12m 2-8＞0，解得m
＞
3或m ＜
-3
，
设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则x 1+x 2=-m ，2121
2
m x x -= ，
y 1y 2=（x 1+m ）（x 2+m ）=x 1x 2+m （x 1+x 2）+m 2，AO u u u r
=（-x 1，-y 1），AB u u u v
=（x 2-x 1，y 2-y 1），
∵21123,2AO AB AO AB x x x ?=∴?=-u u u r u u u r u u u r u u u r +y 12-y 1y 2=1221122
m m ----
+m 2-m 2=2-m 2=32， 解得
m=2
±
． 故选：C ．
10．已知菱形ABCD 的边长为2，120BAD ∠=?，点E ，F 分别在边BC ，DC 上，3BC BE =，
DC DF λ=，若1AE AF ?=u u u r u u u r
，则λ的值为（ ）
A ．3
B ．2
C ．2
3
D ．
5
2
【答案】B 【解析】 由题意可得：
()()
AE AF AB BE AD DF ?=+?+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
113AB BC BC AB λ????+?+ ? ?????u u u r u u u r u u u r u u u r 22111133AB BC AB BC λλ??=+++? ???
u u u r u u u r u u u
r u u u r ，
且：224,22cos1202AB BC AB BC ==?=??=-o u u u r u u u r u u u r u u u r
， 故
()44112133λλ??
+++?-= ???
，解得：2λ=. 故选：B .
11．已知正ABC ?的边长为4，点D 为边BC 的中点，点E 满足AE ED u u u r u u u r
=，那么EB EC ?u u u r u u u r
的值为（ ）
A ．8
3
- B ．1-
C ．1
D ．3
【答案】B 【解析】
由已知可得：7， 又23
tan BED 3
BD ED ∠=
==
所以22
1tan 1
cos 1tan 7
BED BEC BED -∠∠==-+∠ 所以1||cos 7717EB EC EB
EC BEC ???=∠=-=- ???
u u u r u u u r u u u r u u u r ‖ 故选：B ．
12．在ABC ?中，3AC =，向量AB u u u v
在AC u u u v 上的投影的数量为2,3ABC S ?-=，则BC =( )
A ．5
B ．7
C 29
D ．42【答案】C 【解析】
∵向量AB u u u v 在AC u u u v
上的投影的数量为2-， ∴||cos 2AB A =-u u u r
．① ∵3ABC S ?=，
∴13||||sin ||sin 322AB AC A AB A ==u u u r u u u r u u u
r ， ∴||sin 2AB A =u u u r
．②
由①②得tan 1A =-， ∵A 为ABC ?的内角，
∴
3
4
A
π=，
∴
2
||
3
sin
4 AB
π
== u u u r
在ABC
?中，由余弦定理得
22222
3
2cos323(29
4
BC AB AC AB AC
π
=+-???=+-??=，
∴BC=
故选C．
13．在△ABC中，,2,
BD DC AP PD BP AB AC
u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
λμ
===+，则λμ
+=（）
A．
1
-
3
B．
1
3
C．
1
-
2
D．
1
2
【答案】A
【解析】
因为,2,
BD DC AP PD
==
u u u r u u u r u u u r u u u r
所以P为ABC
?的重心，
所以
11311
,
22222
AD AB AC AP AB AC
=+∴=+
u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
,
所以
11
33
AP AB AC
=+
u u u r u u u r u u u r
,
所以
2
3
BP AP AB AB AC
=-=-+
u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
因为BP AB AC
λμ
=+
u u u r u u u r u u u r
，
所以
211
=,,
333
λμλμ
-=∴+=-
故选：A
14．在ABC
?中，
543
AB BC BC CA CA AB
→→→→→→
==
g g g，则sin:sin:sin
A B C=（）A．9:7:8B
C．6:8:7D
【答案】B
【解析】
设???543
AB BC BC CA CA AB t ===u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，
所以5,4,3AB BC t BC CA t CA AB t ?=?=?=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
， 所以cos 5,cos 4,cos 3ac B t ab C t bc A t -=-=-=，
所以2
2
2
2
2
2
2
2
2
10,8,6c a b t b a c t c b a t +-=-+-=-+-=-， 得9,7,8a t b t c t =-=-=- 所以sin :sin :sin ::A B C a b c ==9:7:8
故选：B
15．在平行四边形ABCD 中，113,2,,,32
AB AD AP AB AQ AD ====u u u r u u u r u u u r u u u v 若12,CP CQ ?=u u u v u u u v 则ADC ∠=( )
A ．56π
B ．34
π C ．23π D ．2π
【答案】C 【解析】
如图所示,
平行四边形ABCD 中, 3,2AB AD ==,
11,32AP AB AQ AD ==u u u r u u u r u u u r u u u r ，
23
CP CB BP AD AB ∴=+=--u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，
12
CQ CD DQ AB AD =+=--u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
,
因为12CP CQ ?=u u u r u u u r
,
所以2132CP CQ AD AB AB AD ?????=--?-- ? ?????
u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
22214323
AB AD AB AD =++?u u u
r u u u r u u u r u u u r
22214
3232cos 12323
BAD =?+?+???∠=,
1
cos 2BAD ∠=
，,3
BAD π∴∠= 所以233ADC π
π
π∠=-
=
，故选C.
16．已知△ABC 中，22BC BA BC =?=-u u u r u u u r u u u r ，
．点P 为BC 边上的动点，则()
PC PA PB PC ?++u u u r u u u r u u u r u u u r
的最小值为（ ） A ．2 B ．34
-
C ．2-
D ．2512
-
【答案】D 【解析】
以BC 的中点为坐标原点，建立如图的直角坐标系，
可得()()1010B C -，，，，设()()0P a A x y ，，，， 由2BA BC ?=-u u u r u u u r
，
可得()()120222x y x +?=+=-，
，，即20x y =-≠，， 则()
()()101100PC PA PB PC a x a a a y ?++=-?---+-++u u u r u u u r u u u r u u u r
，
， ()()()()21312332a x a a a a a =--=---=--
2
1253612a ?
?=-- ??
?，
当16
a =时，()
PC PA PB PC ?++u u u r u u u r u u u r u u u r 的最小值为25
12-．
故选：D ．
17．如图Rt ABC ?中，2
ABC π
∠=
，2AC AB =，BAC ∠平分线交△ABC 的外接圆于点D ，设AB a =u u u r r ，AC b =u u u r r ，则向量AD =u u u r
（ ）
A ．a b +r r
B ．12
a b +r r
C ．12a b +r r
D ．23
a b +r r
【答案】C 【解析】
解：设圆的半径为r ，在Rt ABC ?中，2
ABC π
∠=，2AC AB =， 所以3
BAC π
∠=
，6
ACB π
∠=
，BAC ∠平分线交ABC ?的外接圆于点D ，
所以6
ACB BAD CAD π
∠=∠=∠=
，
则根据圆的性质BD CD AB ==，
又因为在Rt ABC ?中，1
2
AB AC r OD =
==， 所以四边形ABDO 为菱形，所以12
AD AB AO a b =+=+u u u r u u u r u u u r r r
．
故选：C ．
18．在ABC ?中，90A ∠=?，1AB =，2AC =，设点D 、E 满足AD AB λ=u u u r u u u r ，(1)AE λ=-u u u
r ()AC R λ∈u u u r ，
若5BE CD ?=u u u r u u u r
，则λ=（ ）
A ．13
- B ．2 C ．
95
D ．3
【答案】D 【解析】
因为90A ∠=?，则?0AB AC =u u u r u u u r ，所以()()BE CD AE AB AD AC ?=-?-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
2
2
[(1)]()(1)4(1)34AC AB AB AC AC AB λλλλλλλ=--?-=---=---=-u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r .
由已知，345λ-=，则3λ=. 选D .
19．已知点C 为扇形AOB 的弧AB 上任意一点，且120AOB ∠=?，若(,)OC OA OB R λμλμ=+∈u u u r u u u r u u u r
，则
λμ+的取值范围为（ ）
A ．[2,2]-
B ．
C ．
D ．[1,2]
【答案】D 【解析】
解：设半径为1，由已知可设OB 为x 轴的正半轴，O 为坐标原点，建立直角坐标系，其中A （12-
，2
），B （1，0），C （cos θ，sin θ）（其中∠BOC ＝θ203
πθ?
?≤≤
??
?
有OC OA OB λμ=+u u u r u u u r u u u r （λ，μ∈R ）即：（cos θ，sin θ）＝λ（12-，2
）+μ（1，0）；
整理得：1
2-
λ+μ＝cos θλ＝sin θ，解得：λ=，μ＝cos θ，
则λ+μ
=
cos θ=sin θ+cos θ＝2sin （θ6π+），其中203πθ?
?≤≤
??
?
；
易知λ+μ
=+cos θ=θ+cos θ＝2sin （θ6
π
+），由图像易得其值域为[1，2] 故选：D ．
20．在同一平面内，已知A 为动点，B ，C 为定点，且∠BAC=
3π，2
ACB π
∠≠，BC=1，P 为BC 中点．过点P 作PQ⊥BC 交AC 所在直线于Q ，则AQ uuu r 在BC uuu r
方向上投影的最大值是（ ）
A ．
1
3
B ．
12
C D ．
23
【答案】C 【解析】
建立如图所示的平面直角坐标系，则B （-12，0），C （12
，0），P （0，0）， 由BAC 3
π
∠=
可知，ABC 三点在一个定圆上，且弦BC 所对的圆周角为
3π
，所以圆心角为23
π.圆心在BC 的中垂线即y 轴上，且圆心到直线BC 的距离为1
326tan 3
BC
π=，即圆心为3)，22133()()26+=所以点A 的轨迹方程为：2
2
313x y ?+-= ??
，则213x ≤ ，则303x -≤< ， 由AQ uuu r 在BC u u u r 方向上投影的几何意义可得：AQ uuu r 在BC u u u r
方向上投影为|DP|=|x|， 则AQ uuu r 在BC u u u r 方向上投影的最大值是3
故选：C ．
21．已知圆2
2
450x y x ++-=的弦AB 的中点为(1,1)-，直线AB 交x 轴于点P ，则PA PB ?u u u r u u u r
的值为
______． 【答案】5- 【解析】
设(1,1)M -，圆心(2,0)C -， ∵10
112
MC k -=
=-+，
根据圆的性质可知，1AB k =-，
∴AB 所在直线方程为1(1)y x -=-+，即22gR
r
，
联立方程22450
0x y x x y ?++-=?+=?
可得，22450x x +-=，
设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则125
2
x x +=-， 令0y =可得(0,0)P ，
12121225PA PB x x y y x x ?=+==-u u u r u u u r
，
故答案为：-5．
22．已知向量(2,1),(,1)a b λ=-=r r ，若||||a b a b +=-r r
r r ，则λ=______．
【答案】
12
【解析】
解：()()2,1,,1a b λ=-=r Q r
()()2,0,2,2a b a b λλ∴+=+-=--r r
r r ；
a b a b +=-r r r r Q ；
2λ∴+=
()()22
224λλ∴+=-+；
解得12λ=
． 故答案为：1
2
．
23．向量()1,2a v
=-，()1,0b =-r ，若()()
a b a b λ-⊥+r r r r ，则λ=_________.
【答案】13
【解析】
向量()1,2a =-v
，()1,0b =-r ，
所以()()
()2,2,1,2a b a b λλλ-=-+=--r r r r
，
又因为()()
a b a b λ-⊥+r r r r
，
所以()()
0a b a b λ-?+=r r r r
，即()()21220λλ--?-=，
解得1
3λ=
，故答案为13
. 24．设向量12,e e r r
的模分别为1,2，它们的夹角为3
π
，则向量21e e -r r 与2e r 的夹角为_____． 【答案】
6
π 【解析】
()221221242cos
33
e e e e e e π
-?=-?=-=r r r r r r
又
21e e -=
==r r
(
)212212212cos ,2
e e e e e e e e e -?∴<->===-?r r r r r r
r r r
∴向量21e e -r r 与r 2e 的夹角为：6
π
本题正确结果：
6
π 25．已知平面向量a r ，m v ，n v ，满足4a =r ，221010
m a m n a n ?-?+=?-?+=?v v v v v v ，则当m n -=u r r _____，则m v 与n v
的夹角
最大．
【解析】
设a r
，m v ，n v
的起点均为O ，以O 为原点建立平面坐标系， 不妨设(4,0)a =r
，(,)m x y v
=，则2
22m x y =+u r ，4a m x ?=r u r
， 由210m a m -?+=u r r u r
可得22410x y x +-+=，即22
(2)3x y -+=， ∴m v
的终点M
在以(2,0) 同理n v
的终点N
在以(2,0)
显然当OM ，ON 为圆的两条切线时，MON ∠最大，即m v ，n v
的夹角最大．
设圆心为A ，则
AM =1OM =
=，sin MOA ∠=60MOA ∠=?， 设MN 与x 轴交于点B ，由对称性可知MN x ⊥轴，且2MN MB =，
∴
3 22sin
213
2
MN MB OM MOA
==?∠=??=.
故答案为：3．
26．如图，已知P是半径为2，圆心角为
3
π
的一段圆弧AB上一点，2
A B
B C
=
u u u v u u u v
，则PC PA
?
u u u r u u u r
的最小值为_______．
【答案】5﹣213
【解析】
设圆心为O,AB中点为D,
由题得22sin2,3
6
AB AC
π
=??=∴=.
取AC中点M，由题得
2
PA PC PM
PC PA AC
?+=
?
-=
?
u u u v u u u v u u u u v
u u u v u u u v u u u v,
两方程平方相减得
222
19
44
PC PA PM AC PM
?=-=-
u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r
，
要使PC PA
?
u u u r u u u r
取最小值，就是PM最小，
当圆弧AB的圆心与点P、M共线时，PM最小.
此时DM=
2
2
1113
,()3
22
DM
∴=+=,
所以PM有最小值为2﹣
13
2
，
代入求得PC PA
?
u u u r u u u r
的最小值为5﹣13
2019年高考数学试题带答案 一、选择题 1．已知二面角l αβ--的大小为60°，b 和c 是两条异面直线，且,b c αβ⊥⊥，则b 与 c 所成的角的大小为（ ） A ．120° B ．90° C ．60° D ．30° 2．设集合(){} 2log 10M x x =-<，集合{ } 2N x x =≥-，则M N ?=（ ） A ．{} 22x x -≤< B ．{} 2x x ≥- C ．{}2x x < D ．{} 12x x ≤< 3．如图所示的组合体，其结构特征是（ ） A ．由两个圆锥组合成的 B ．由两个圆柱组合成的 C ．由一个棱锥和一个棱柱组合成的 D ．由一个圆锥和一个圆柱组合成的 4．在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测． 甲：我的成绩比乙高． 乙：丙的成绩比我和甲的都高． 丙：我的成绩比乙高． 成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为 A ．甲、乙、丙 B ．乙、甲、丙 C ．丙、乙、甲 D ．甲、丙、乙 5．已知P 为双曲线22 22:1(0,0)x y C a b a b -=>>上一点，12F F ， 为双曲线C 的左、右焦点，若112PF F F =，且直线2PF 与以C 的实轴为直径的圆相切，则C 的渐近线方程为（ ） A ．43y x =± B ．34 y x =? C ．3 5 y x =± D ．53 y x =± 6．在△ABC 中，a ＝5，b ＝3，则sin A ：sin B 的值是（ ） A ． 53 B ． 35 C ． 37 D ． 57 7．圆C 1：x 2+y 2＝4与圆C 2：x 2+y 2﹣4x +4y ﹣12＝0的公共弦的长为（ ） A 2B 3 C ．22 D ．328．若干年前，某教师刚退休的月退休金为6000元，月退休金各种用途占比统计图如下面的条形图.该教师退休后加强了体育锻炼，目前月退休金的各种用途占比统计图如下面的折线图.已知目前的月就医费比刚退休时少100元，则目前该教师的月退休金为（ ）.
高考数学平面向量试题汇编 已知O 是ABC △所在平面内一点，D 为BC 边中点，且2OA OB OC ++=0u u u r u u u r u u u r ，那么 （ Ａ ） Ａ．AO OD =u u u r u u u r Ｂ．2AO OD =u u u r u u u r Ｃ．3AO OD =u u u r u u u r Ｄ．2AO OD =u u u r u u u r （辽宁3） 若向量a 与b 不共线，0≠g a b ，且?? ??? g g a a c =a -b a b ，则向量a 与c 的夹角为（ D ） A ．0 B ． π6 C ． π3 D ． π2 （辽宁6） 若函数()y f x =的图象按向量a 平移后，得到函数(1)2y f x =+-的图象，则向量a =（ A ） A ．(12)--， B ．(12)-， C ．(12)-， D ．(12)， （宁夏，海南4） 已知平面向量(11) (11)==-，，，a b ，则向量13 22 -=a b （ Ｄ ） Ａ．(21)--， Ｂ．(21)-， Ｃ．(10)-， Ｄ．(12)， （福建4） 对于向量，，a b c 和实数λ，下列命题中真命题是（ B ） A ．若=0g a b ，则0a =或0b = B ．若λ0a =，则0λ=或=0a C ．若2 2 =a b ，则=a b 或-a =b D ．若g g a b =a c ，则b =c （湖北2）
将π2cos 36x y ??=+ ???的图象按向量π24?? =-- ??? ，a 平移，则平移后所得图象的解析式为 （ Ａ ） Ａ．π2cos 234x y ?? =+- ??? Ｂ．π2cos 234x y ?? =-+ ??? Ｃ．π2cos 2312x y ?? =-- ??? Ｄ．π2cos 2312x y ?? =++ ??? （湖北文9） 设(43)=，a ， a 在 b 上的投影为2 ，b 在x 轴上的投影为2，且||14≤b ，则b 为（ Ｂ ） A ．(214)， B ．227? ?- ???， C ．227??- ??? ， D ．(28)， （湖南4） 设，a b 是非零向量，若函数()()()f x x x =+-g a b a b 的图象是一条直线，则必有（ A ） A ．⊥a b B ．∥a b C ．||||=a b D ．||||≠a b （湖南文2） 若O E F ，，是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是（ B ） A ．EF OF OE =+u u u r u u u r u u u r B ．EF OF OE =-u u u r u u u r u u u r C ．EF OF OE =-+u u u r u u u r u u u r D ．EF OF O E =--u u u r u u u r u u u r （四川7） 设A ｛a ,1｝，B ｛2，b ｝，C ｛4,5｝，为坐标平面上三点，O 为坐标原点，若方向 在与→ →→OC OB OA 上的投影相同，则a 与b 满足的关系式为 （ A ） (A)354=-b a (B)345=-b a (C)1454=+b a (D)1445=+b a （天津10） 设两个向量22 (2cos )λλα=+-，a 和sin 2 m m α? ?=+ ?? ? ，b ，其中m λα，，为实数．若2=a b ，则 m λ 的取值范围是（ Ａ ） Ａ．[-6，1] Ｂ．[48]， Ｃ．（-6，1] Ｄ．[-1，6] （浙江7）
2008年高考数学试题分类汇编 圆锥曲线 一． 选择题： 1.（福建卷11)又曲线22 221x y a b ==（a ＞0,b ＞0）的两个焦点为F 1、F 2,若P 为其上一点，且|PF 1|=2|PF 2|,则双曲线离心率的取值范围为B A.(1,3) B.(]1,3 C.(3,+∞) D.[)3,+∞ 2.（海南卷11）已知点P 在抛物线y 2 = 4x 上，那么点P 到点Q （2，－1）的距 离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为（ A ） A. （ 4 1 ，－1） B. （4 1 ，1） C. （1，2） D. （1，－2） 3.(湖北卷10)如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P 轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在P 点第三次变轨进入以F 为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用12c 和22c 分别表示椭轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用12a 和 22a 分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长，给出下列式子： ①1122a c a c +=+; ②1122a c a c -=-; ③1212c a a c >; ④11c a ＜22 c a . 其中正确式子的序号是B A. ①③ B. ②③ C. ①④ D. ②④ 4.（湖南卷8）若双曲线22 221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上横坐标为32a 的点到右焦点 的距离大于它到左准线的距离，则双曲线离心率的取值范围是( B ) A.(1,2) B.(2,+∞) C.(1,5) D. (5,+∞)
2015年高考数学试题分类汇编及答案解析（22个专题） 目录 专题一集合..................................................................................................................................................... 专题二函数..................................................................................................................................................... 专题三三角函数............................................................................................................................................ 专题四解三角形............................................................................................................................................ 专题五平面向量............................................................................................................................................ 专题六数列..................................................................................................................................................... 专题七不等式................................................................................................................................................. 专题八复数..................................................................................................................................................... 专题九导数及其应用................................................................................................................................... 专题十算法初步............................................................................................................................................ 专题十一常用逻辑用语 .............................................................................................................................. 专题十二推理与证明................................................................................................................................... 专题十三概率统计 ....................................................................................................................................... 专题十四空间向量、空间几何体、立体几何...................................................................................... 专题十五点、线、面的位置关系 ............................................................................................................ 专题十六平面几何初步 .............................................................................................................................. 专题十七圆锥曲线与方程.......................................................................................................................... 专题十八计数原理 ..................................................................................................................................... 专题十九几何证明选讲 ............................................................................................................................ 专题二十不等式选讲.................................................................................................................................
1 2018高考数学试题分类汇编—向量 一、填空题 1.（北京理6改）设a ，b 均为单位向量，则“33-=+a b a b ”是“a ⊥b ”的_________条件（从“充分而不必要”、“必要而不充分条件”、“充分必要”、“既不充分也不必要”中选择） 1.充分必要 2.（北京文9）设向量a =（1,0），b =（?1,m ）,若()m ⊥-a a b ，则m =_________. 2．-1 3.（全国卷I 理6改）在ABC △中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB = _________. （用,AB AC 表示） 3．3144 AB AC - 4.（全国卷II 理4）已知向量a ，b 满足||1=a ，1?=-a b ，则(2)?-=a a b _________. 4．3 5.（全国卷III 理13．已知向量()=1,2a ，()=2,2-b ，()=1,λc ．若()2∥c a+b ，则λ=________． 5. 12 6.（天津理8)如图，在平面四边形ABCD 中，AB BC ⊥，AD CD ⊥，120BAD ∠=?，1AB AD ==. 若点E 为边CD 上的动点，则AE BE ?uu u r uu u r 的最小值为_________. 6. 2116 7.（天津文8）在如图的平面图形中，已知 1.2,120OM ON MON ==∠= ,2,2,BM MA CN NA == 则· BC OM 的值为_________. 7.6- 8.（浙江9）已知a ，b ，e 是平面向量，e 是单位向量．若非零向量a 与e 的夹角为π 3，向量b 满足b 2?4e · b +3=0，则|a ?b |的最小值是_________. 8.3?1 9.（上海8）.在平面直角坐标系中，已知点(1,0)A -，(2,0)B ，E 、F 是y 轴上的两个动点，且2EF = ，则AE BF ? 的最小值为_________. 9.-3
一、考情分析 集合是高考数学必考内容,一般作为容易题.给定集合来判定集合间的关系、集合的交、并、补运算是考查的主要形式,常与函数的定义域、值域、不等式(方程)的解集相结合,在知识交汇处命题,以选择题为主,多出现在试卷的前3题中． 二、经验分享 (1)用描述法表示集合,首先要搞清楚集合中代表元素的含义,再看元素的限制条件,明白集合的类型,是数集、点集还是其他类型的集合；如下面几个集合请注意其区别： ①{}220x x x -=；②{}22x y x x =-；③{}22y y x x =-；④(){} 2,2x y y x x =-. (2)二元方程的解集可以用点集形式表示,如二元方程2xy =的整数解集可表示为()()()(){}1,2,2,1,1,2,2,1----. (3)集合中元素的互异性常常容易忽略,求解问题时要特别注意．分类讨论的思想方法常用于解决集合问题． (4)空集是任何集合的子集,在涉及集合关系时,必须优先考虑空集的情况,否则会造成漏解．(2)已知两个集合间的关系求参数时,关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系,进而转化为参数所满足的关系. (5)一般来讲,集合中的元素若是离散的,则用Venn 图表示；集合中的元素若是连续的实数,则用数轴表示,此时要注意端点的情况． (6)解决以集合为背景的新定义问题,要抓住两点：①紧扣新定义．首先分析新定义的特点,把新定义所叙述的问题的本质弄清楚,并能够应用到具体的解题过程之中,这是破解新定义型集合问题难点的关键所在；②用好集合的性质．解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素,在关键之处用好集合的运算与性质． 三、知识拓展 1．若有限集A 中有n 个元素,则集合A 的子集个数为2n ,真子集的个数为2n －1. 2．A ?B ?A ∩B ＝A ?A ∪B ＝B ()()U U A B A B U ?=??=痧 . 3．奇数集：{}{}{} 21,21,4 1.x x n n x x n n x x n n =+∈==-∈==±∈Z Z Z . 4. 数集运算的封闭性,高考多次考查,基础知识如下:若从某个非空数集中任选两个元素(同一元素可重复选出),选出的这两个元素通过某种(或几种)运算后的得数仍是该数集中的元素,那么,就说该集合对于这种(或几种)运算是封闭的.自然数集N 对加法运算是封闭的;整数集Z 对加、减、乘法运算是封闭的.有理数集、复数
专题一 集合与常用逻辑用语 第一讲 集合 2018------2020年 1.（2020?北京卷）已知集合{1,0,1,2}A =-，{|03}B x x =<<，则A B =（ ）． A. {1,0,1}- B. {0,1} C. {1,1,2}- D. {1,2} 2.（2020?全国1卷）设集合A ={x |x 2–4≤0}，B ={x |2x +a ≤0}，且A ∩B ={x |–2≤x ≤1}，则a =（ ） A. –4 B. –2 C. 2 D. 4 3.（2020?全国2卷）已知集合U ={?2，?1，0，1，2，3}，A ={?1，0，1}，B ={1，2}，则()U A B ?=（ ） A. {?2，3} B. {?2，2，3} C. {?2，?1，0，3} D. {?2，?1，0，2，3} 4.（2020?全国3卷）已知集合{(,)|,,}A x y x y y x =∈≥*N ，{(,)|8}B x y x y =+=，则A B 中元素的个数为 （ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 5.（2020?江苏卷）已知集合{1,0,1,2},{0,2,3}A B =-=，则A B =_____. 6.（2020?新全国1山东）设集合A ={x |1≤x ≤3}，B ={x |2 专题七 不等式 1.【2015高考四川，理9】如果函数()()()()21 281002 f x m x n x m n = -+-+≥≥， 在区间122?????? ，上单调递减，则mn 的最大值为（ ） （A ）16 （B ）18 （C ）25 （D ）812 【答案】B 【解析】 2m ≠时，抛物线的对称轴为82n x m -=--.据题意，当2m >时，8 22 n m --≥-即212m n +≤ .26,182 m n mn +≤ ≤∴≤Q .由2m n =且212m n +=得3,6m n ==.当2m <时，抛物线开口向下，据题意得，81 22 n m -- ≤-即218m n +≤ .281 9,22 n m mn +≤ ≤∴≤Q .由2n m =且218m n +=得92m =>，故应舍去.要使得mn 取得最大值，应有218m n +=(2,8)m n <>.所以 (182)(1828)816mn n n =-<-??=，所以最大值为18.选B.. 【考点定位】函数与不等式的综合应用. 【名师点睛】首先弄清抛物线的开口方向和对称轴，结合所给单调区间找到m 、n 满足的条件，然后利用基本不等式求解.本题将函数的单调性与基本不等式结合考查，检测了学生综合运用知识解题的能力.在知识的交汇点命题，这是高考的一个方向，这类题往往以中高档题的形式出现. 2.【2015高考北京，理2】若x ，y 满足010x y x y x -?? +??? ≤， ≤，≥，则2z x y =+的最大值为（ ） A ．0 B ．1 C ． 3 2 D ．2 【答案】D 【解析】如图，先画出可行域，由于2z x y = +，则11 22 y x z =- +，令0Z =，作直线1 2 y x =- ，在可行域中作平行线，得最优解(0,1)，此时直线的截距最大，Z 取 2019-2020 年高考数学大题专题练习——圆锥曲线（一） x 2 y2 2 的直线与 12 1.设 F ， F为椭圆的左、右焦点，动点P 的坐标为 ( －1,m)，过点 F 4 3 椭圆交于 A， B 两点 . （1）求 F1，F 2的坐标； （2）若直线 PA， PF 2， PB 的斜率之和为 0，求 m 的所有 整数值 . x2 2 2.已知椭圆y 1，P是椭圆的上顶点.过P作斜率为 4 k（k≠0）的直线l 交椭圆于另一点A，设点 A 关于原点的 对称点为 B. （1）求△PAB 面积的最大值； （2）设线段 PB 的中垂线与 y 轴交于点 N，若点 N 在椭圆内 部，求斜率 k 的取值范围 . 2 2 5 x y = 1 a > b > 0 ) 的离心率为，定点 M ( 2,0 ) ，椭圆短轴的端点是 3.已知椭圆 C : 2 + 2 a b ( 3 B1， B2，且MB1 MB 2. （1）求椭圆C的方程； （2）设过点M且斜率不为0 的直线交椭圆C于 A, B 两点，试问 x 轴上是否存在定点P ，使 PM 平分∠APB ？若存在，求出点P 的坐标，若不存在，说明理由. x2 y2 4.已知椭圆C 的标准方程为 1 ，点 E(0,1) ． 16 12 （1 ）经过点 E 且倾斜角为3π 的直线 l 与椭圆 C 交于A、B两点，求 | AB | ．4 （2 ）问是否存在直线p 与椭圆交于两点M 、 N 且 | ME | | NE | ，若存在，求出直线p 斜率 的取值范围；若不存在说明理由． 5.椭圆 C1与 C2的中心在原点，焦点分别在x 轴与y轴上，它们有相同的离心率e= 2 ，并 2 且 C2的短轴为 C1的长轴， C1与 C2的四个焦点构成的四边形面积是2 2 . (1)求椭圆 C1与 C2的方程； (2) 设P是椭圆 C2上非顶点的动点，P 与椭圆C1长轴两个顶点 A ， B 的连线 PA ， PB 分别与椭圆 C1交于E，F点 . (i)求证：直线 PA ， PB 斜率之积为常数； (ii) 直线AF与直线BE的斜率之积是否为常数？若是，求出该值；若不是，说明理由. 《平面向量》测试题 一、选择题 1.若三点P （1，1），A （2，-4），B （x,-9）共线，则（ ） A.x=-1 B.x=3 C.x= 2 9 D.x=51 2.与向量a=(-5,4)平行的向量是（ ） A.（-5k,4k ） B.(-k 5,-k 4) C.(-10,2) D.(5k,4k) 3.若点P 分所成的比为4 3 ，则A 分所成的比是（ ） A.73 B. 37 C.- 37 D.-7 3 4.已知向量a 、b ，a ·b=-40，|a|=10,|b|=8，则向量a 与b 的夹角为（ ） A.60° B.-60° C.120° D.-120° 5.若|a-b|=32041-,|a|=4,|b|=5，则向量a ·b=（ ） A.103 B.-103 C.102 D.10 6．(浙江)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－3)．若向量c 满足(c ＋a )∥b ，c ⊥(a ＋b )，则c ＝( ) A.? ????79，73 B.? ????－73，－79 C.? ????73，79 D.? ????－7 9 ，－73 7.已知向量a=(3,4),b=(2,-1)，如果向量（a+x ）·b 与b 垂直，则x 的值为（ ） A. 3 23 B. 23 3 C.2 D.- 5 2 8.设点P 分有向线段21P P 的比是λ，且点P 在有向线段21P P 的延长线上，则λ的取值范围是（ ） A.(-∞,-1) B.(-1,0) C.(-∞,0) D.(-∞,- 2 1 ) 9.设四边形ABCD 中，有DC = 2 1 ，且||=|BC |，则这个四边形是（ ） A.平行四边形 B.矩形 C.等腰梯形 D.菱形 10.将y=x+2的图像C 按a=(6,-2)平移后得C ′的解析式为（ ） A.y=x+10 B.y=x-6 C.y=x+6 D.y=x-10 11.将函数y=x 2+4x+5的图像按向量a 经过一次平移后，得到y=x 2 的图像，则a 等于（ ） A.(2,-1) B.(-2,1) C.(-2,-1) D.(2,1) 12.已知平行四边形的3个顶点为A(a,b),B(-b,a),C(0,0)，则它的第4个顶点D 的坐标是（ ） A.(2a,b) B.(a-b,a+b) C.(a+b,b-a) D.(a-b,b-a) 二、填空题 13.设向量a=(2,-1)，向量b 与a 共线且b 与a 同向，b 的模为25，则b= 。 14.已知：|a|=2,|b|=2,a 与b 的夹角为45°，要使λb-a 垂直，则λ= 。 15.已知|a|=3,|b|=5，如果a ∥b ，则a ·b= 。 16.在菱形ABCD 中，（AB +AD ）·（AB -AD ）= 。 2019---2020年真题分类汇编 一、 集合(2019) 1，（全国1理1）已知集合}242{60{}M x x N x x x =-<<=--<，，则M N = A ．}{43x x -<< B ．}42{x x -<<- C ．}{22x x -<< D ．}{23x x << 2，（全国1文2）已知集合{}{}{}1,2,3,4,5,6,72,3,4,52,3,6,7U A B ===，，，则U B A = A ．{}1,6 B ．{}1,7 C ．{}6,7 D ．{}1,6,7 3，（全国2理1）设集合A ={x |x 2–5x +6>0}，B ={x |x –1<0}，则A ∩B = A ．(–∞，1) B ．(–2，1) C ．(–3，–1) D ．(3，+∞) 4，（全国2文1）已知集合={|1}A x x >-，{|2}B x x =<，则A ∩B = A ．(-1，+∞) B ．(-∞，2) C ．(-1，2) D ．? 5，（全国3文、理1）已知集合2{1,0,1,2}{|1}A B x x =-=≤，，则A B = A ．{}1,0,1- B ．{}0,1 C ．{}1,1- D ．{}0,1,2 6，（北京文，1）已知集合A ={x |–1 精品文档 2018 年高考数学真题分类汇编 学大教育宝鸡清姜校区高数组2018 年7 月 1.（2018 全国卷 1 理科）设Z = 1- i + 2i 则 Z 1+ i 复数 = （ ） A.0 B. 1 C.1 D. 2 2（2018 全国卷 2 理科） 1 + 2i = ( ) 1 - 2i A. - 4 - 3 i B. - 4 + 3 i C. - 3 - 4 i D. - 3 + 4 i 5 5 5 5 5 5 5 5 3（2018 全国卷 3 理科） (1 + i )(2 - i ) = （ ） A. -3 - i B. -3 + i C. 3 - i D. 3 + i 4（2018 北京卷理科）在复平面内，复数 1 1 - i 的共轭复数对应的点位于（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 5（2018 天津卷理科） i 是虚数单位，复数 6 + 7i = . 1+ 2i 6（2018 江苏卷）若复数 z 满足i ? z = 1 + 2i ，其中 i 是虚数单位，则 z 的实部为 ． 7（2018 上海卷）已知复数 z 满足（1+ i )z = 1- 7i （i 是虚数单位），则∣z ∣= ． 2 集合 1.（2018 全国卷1 理科）已知集合A ={x | x2 -x - 2 > 0 }则C R A =（） A. {x | -1 2019年高考数学试题整体分析 1.试题突出特色： “突出数学学科特色，着重考查考生的理性思维能力，综合运用数学思维方法 分析问题、解决问题的能力。”2019年高考数学卷一个突出的特点是，试题突出 学科素养导向，注重能力考查，全面覆盖基础知识，增强综合性、应用性，以反映 我国社会主义建设的成果和优秀传统文化的真实情境为载体，贴近生活，联系社会 实际，在数学教育、评价中落实立德树人的根本任务。 2.试题考查目标： （1）素养导向，落实五育方针 2019年高考数学科结合学科特点，在学科考查中体现五育要求，整份试卷 站在落实“五育”方针的高度进行整体设计。理科Ⅰ卷第4题以著名的雕塑 “断臂维纳斯”为例，探讨人体黄金分割之美，将美育教育融入数学教育。文 科Ⅰ 卷第17题以商场服务质量管理为背景设计，体现对服务质量的要求，倡 导高质量的劳动成果。理科Ⅰ卷第（15）题引入了非常普及的篮球运动，以其 中普遍存在的比赛结果的预估和比赛场次的安排提出问题，要求考生应用数学 方法分析、解决体育问题。这些试题在考查学生数学知识的同时，引导学生加 强体育锻炼，体现了对学生的体育教育。（2）突出重点，灵活考查数学本质2019年高考数学试题，突出学科素养导向，将理性思维作为重点目标，将基 础性和创新性作为重点要求，以数学基础知识为载体，重点考查考生的理性思维和 逻辑推理能力。固本强基，夯实发展基础。理科（4）题源于北师大版必修五67页；理科（22）题源于北师大版4-4第53页；理科（16）和华师大附中五月押题卷（14）几乎一模一样。理科（21）题可视为2011清华大学七校联考自主招生考试 题的第15题改编。题稳中有变，助力破解应试教育。主观题在各部分内容的布局 和考查难度上进行动态设计，打破了过去压轴题的惯例。这些改革释放了一个明显 的信号：对重点内容的考查，在整体符合《考试大纲》和《考试说明》要求的前提下，在各部分内容的布局和考查难度上都可以进行调整和改变，这在一定程度上有 助于考查考生灵活应变的能力和主动调整适应的能力，有助于学生全面学习掌握重 点知识和重点内容，同时有助于破解僵化的应试教育。 （3）情境真实，综合考查应用能力数学试题注重考查数学应用素养，体现综合性 和应用性的考查要求。试卷设置的情境真实、贴近生活，同时具有深厚的文化底蕴，体现数学原理和方法在解决问题中的价值和作用。 理科Ⅰ卷第（6）题以我国古代典籍《周易》中描述事物变化的“卦”为背景设置 了排列组合试题，体现了中国古代的哲学思想。理科第（21）题情境结合社会现实，贴近生活，反映了数学应用的广阔领域，体现了数学的应用价值，有利于在中学数 学教育中激发学生学习数学的热情，提高对数学价值的认识，提升数学素养，对中 学的素质教育有很好的导向和促进作用。 平面向量测试题 一、选择题： 1。已知ABCD 为矩形，E 是DC 的中点，且?→?AB =→a ，?→?AD ＝→b ，则?→ ?BE ＝（ ） （A ） →b +→a 2 1 （B ） →b －→a 2 1 （C ） →a ＋→b 2 1 （D ） →a －→ b 2 1 2．已知B 是线段AC 的中点，则下列各式正确的是（ ） （A ） ?→?AB ＝－?→?BC （B ） ?→?AC ＝?→?BC 2 1 （C ） ?→?BA ＝?→?BC （D ） ?→?BC ＝?→ ?AC 2 1 3．已知ABCDEF 是正六边形，且?→?AB ＝→a ，?→?AE ＝→b ，则?→ ?BC ＝（ ） （A ） )(2 1→→-b a （B ） )(2 1 →→-a b （C ） →a ＋→b 2 1 （D ） )(2 1→ →+b a 4．设→a ，→b 为不共线向量，?→?AB ＝→a +2→b ,?→?BC ＝－4→a －→b ,?→ ?CD ＝ －5→ a －3→ b ,则下列关系式中正确的是 （ ） （A ）?→?AD ＝?→?BC （B ）?→?AD ＝2?→ ?BC （C ）?→?AD ＝－?→ ?BC （D ）?→?AD ＝－2?→ ?BC 5．将图形F 按→ a ＝（h,k ）（其中h>0,k>0）平移，就是将图形F （ ） （A ） 向x 轴正方向平移h 个单位，同时向y 轴正方向平移k 个单位。 （B ） 向x 轴负方向平移h 个单位，同时向y 轴正方向平移k 个单位。 （C ） 向x 轴负方向平移h 个单位，同时向y 轴负方向平移k 个单位。 （D ） 向x 轴正方向平移h 个单位，同时向y 轴负方向平移k 个单位。 6．已知→a ＝（)1,2 1，→ b ＝(), 2 22 3- ，下列各式正确的是（ ） （A ） 2 2?? ? ??=??? ??→ →b a （B ） →a ·→b ＝1 （C ） →a ＝→b （D ） →a 与→b 平行 7．设→ 1e 与→ 2e 是不共线的非零向量，且k → 1e ＋→ 2e 与→ 1e ＋k → 2e 共线，则k 的值是（ ） （A ） 1 （B ） －1 （C ） 1± （D ） 任意不为零的实数 8．在四边形ABCD 中，?→?AB ＝?→?DC ，且?→?AC ·?→ ?BD ＝0，则四边形ABCD 是（ ） （A ） 矩形 （B ） 菱形 （C ） 直角梯形 （D ） 等腰梯形 9．已知M （－2，7）、N （10，－2），点P 是线段MN 上的点，且?→ ?PN ＝－2?→ ?PM ，则P 点的坐标为（ ） （A ） （－14，16）（B ） （22，－11）（C ） （6，1） （D ） （2，4） 快戳！数学6大必考题型全总结！掌握好轻松考到140+！ 高考数学大题必考题型及解题技巧分析 1 排列组合篇 1. 掌握分类计数原理与分步计数原理，并能用它们分析和解决一些简单的应用问题。 2. 理解排列的意义，掌握排列数计算公式，并能用它解决一些简单的应用问题。 3. 理解组合的意义，掌握组合数计算公式和组合数的性质，并能用它们解决一些简单的应用问题。 4. 掌握二项式定理和二项展开式的性质，并能用它们计算和证明一些简单的问题。 5. 了解随机事件的发生存在着规律性和随机事件概率的意义。 6. 了解等可能性事件的概率的意义，会用排列组合的基本公式计算一些等可能性事件的概率。 7. 了解互斥事件、相互独立事件的意义，会用互斥事件的概率加法公式与相互独立事件的概率乘法公式计算一些事件的概率。 8. 会计算事件在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率。 2 立体几何篇 高考立体几何试题一般共有4道(选择、填空题3道，解答题1道)，共计总分27分左右，考查的知识点在20个以内。选择填空题考核立体几何中的计算型问题，而解答题着重考查立 体几何中的逻辑推理型问题，当然，二者均应以正确的空间想象为前提。随着新的课程改革的进一步实施，立体几何考题正朝着“多一点思考，少一点计算”的发展。从历年的考题变化看，以简单几何体为载体的线面位置关系的论证，角与距离的探求是常考常新的热门话题。 知识整合 1.有关平行与垂直(线线、线面及面面)的问题，是在解决立体几何问题的过程中，大量的、反复遇到的，而且是以各种各样的问题(包括论证、计算角、与距离等)中不可缺少的内容，因此在主体几何的总复习中，首先应从解决“平行与垂直”的有关问题着手，通过较为基本问题，熟悉公理、定理的内容和功能，通过对问题的分析与概括，掌握立体几何中解决问题的规律--充分利用线线平行(垂直)、线面平行(垂直)、面面平行(垂直)相互转化的思想，以提高逻辑思维能力和空间想象能力。 2. 判定两个平面平行的方法： (1)根据定义--证明两平面没有公共点; 九、平面向量 一、选择题 1.（四川理4）如图，正六边形ABCDEF 中，BA CD EF ++u u u r u u u r u u u r = A ．0 B ．BE u u u r C ．AD u u u r D ．CF uuu r 【答案】D 【解析】BA CD EF BA AF EF BF EF C E E F CF ++=++=+=+=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 2.（山东理12）设1A ，2A ，3A ，4A 是平面直角坐标系中两两不同的四点，若1312A A A A λ=u u u u v u u u u v （λ∈R ），1412A A A A μ=u u u u v u u u u v （μ∈R ），且112λμ+=,则称3A ，4A 调和分割1A ，2A ,已知平面上的点C ，D 调和分割点A ， B 则下面说法正确的是 A ．C 可能是线段A B 的中点 B ．D 可能是线段AB 的中点 C ．C ， D 可能同时在线段AB 上 D ．C ，D 不可能同时在线段AB 的延长线上 【答案】D 3.（全国新课标理10）已知a ，b 均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题 12:||1[0,)3p a b πθ+>?∈ 22:||1(,]3p a b πθπ+>?∈ 13:||1[0,)3p a b πθ->?∈ 4:||1(,]3p a b πθπ->?∈ 其中真命题是 （A ） 14,p p （B ） 13,p p （C ） 23,p p （D ） 24,p p 【答案】A 4.（全国大纲理12）设向量a ，b ，c 满足a =b =1，a b g =12- ，,a c b c --=060，则c 的最大值等于 A ．2 B ．3 C ．2 D ．1 【答案】A 5.（辽宁理10）若a ，b ，c 均为单位向量，且0=?b a ，0)()(≤-?-c b c a ，则||c b a -+的 最大值为 （A ）12- （B ）1 （C ）2 （D ）2 【答案】B 6.（湖北理8）已知向量a=（x +z,3）,b=（2,y-z ），且a ⊥ b ．若x ,y 满足不等式 1x y +≤， 则z 的取值范围为 A ．[-2，2] B ．[-2，3] C ．[-3，2] D ．[-3，3] 【答案】D 7.（广东理3）若向量ａ，ｂ，ｃ满足ａ∥ｂ且ａ⊥ｂ，则(2)c a b ?+= A ．4 B ．3 C ．2 D ．0 【答案】D高考数学真题分类汇编专题不等式理科及答案
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