课时跟踪检测(六) 函数的单调性与最值
1．下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( ) A ．y ＝ln(x ＋2) B ．y ＝－{eq \r(x ＋1)| C ．y ＝????12|x
D ．y ＝x ＋1
x
|
2．若函数f (x )＝4x 2－mx ＋5在[－2，＋∞)上递增，在(－∞，－2]上递减，则f (1)＝( ) A ．－7 B ．1 C ．17
D ．25
3．(2013·佛山月考)若函数y ＝ax 与y ＝－b x |在(0，＋∞)上都是减少的，则y ＝ax 2＋bx
在(0，＋∞)上是( )
A ．增加的
B ．减少的
C ．先增后减
D ．先减后增
4．给定函数①y ＝x 12|；②y ＝log 12|(x ＋1)；③y ＝|x －1|；④y ＝2x ＋
1，其中在区间(0,1)上
单调递减的函数的序号是( )
A ．①②
B ．②③
C ．③④
D ．①④
5．(2012·青岛模拟)已知奇函数f (x )对任意的正实数x 1，x 2(x 1≠x 2)，恒有(x 1－x 2)(f (x 1)－f (x 2))>0，则一定正确的是( )
A ．f (4)>f (－6)
B ．f (－4) C ．f (－4)>f (－6) D ．f (4) 6．(2012·丹东模拟)下列区间中，函数f (x )＝|ln(2－x )|的单调递增区间是( ) A ．(－∞，1] B.????－1，4 3| C.??? ?0，3 2| D ．[1,2) 7．函数y ＝－(x －3)|x |的递增区间是________． 8．(2012·台州模拟)若函数y ＝|2x －1|，在(－∞，m ]上单调递减，则m 的取值范围是________． 9．若f (x )＝ax ＋1 x ＋2|在区间(－2，＋∞)上是增加的，则a 的取值范围是________． 10．已知f (x )＝x x －a |(x ≠a )． (1)若a ＝－2，试证f (x )在(－∞，－2)内单调递增； (2)若a >0且f (x )在(1，＋∞)内单调递减，求a 的取值范围． 11．已知函数f (x )对于任意x ，y ∈R ，总有f (x )＋f (y )＝f (x ＋y )，且当x >0时，f (x )<0，f (1)＝－23 |. (1)求证：f (x )在R 上是减函数； (2)求f (x )在[－3,3]上的最大值和最小值． 12．(2011·上海高考)已知函数f (x )＝a ·2x ＋b ·3x ，其中常数a ，b 满足ab ≠0. (1)若ab >0，判断函数f (x )的单调性； (2)若ab <0，求f (x ＋1)>f (x )时x 的取值范围． 1．设函数f (x )定义在实数集上，f (2－x )＝f (x )，且当x ≥1时，f (x )＝ln x ，则有( ) A ．f ????13| 2．(2012·黄冈模拟)已知函数y ＝1－x |＋x ＋3|的最大值为M ，最小值为m ，则m M |的 值为( ) A.14| B.12| C.22 | D.32 | 3．定义在R 上的函数f (x )满足：对任意实数m ，n ，总有f (m ＋n )＝f (m )·f (n )，且当x >0时，0 (1)试求f (0)的值； (2)判断f (x )的单调性并证明你的结论； (3)设A ＝{(x ，y )|f (x 2)·f (y 2)>f (1)}，B ＝{(x ，y )|f (ax －y ＋2|)＝1，a ∈R}，若A ∩B ＝?，试确定a 的取值范围． 答 案 课时跟踪检测(六) A 级 1．选A 选项A 的函数y ＝ln(x ＋2)的增区间为(－2，＋∞)，所以在(0，＋∞)上一定是增函数． 2．选D 依题意，知函数图像的对称轴为x ＝－－m 8|＝m 8|＝－2，即 m ＝－16，从而 f (x )＝4x 2＋16x ＋5，f (1)＝4＋16＋5＝25. 3．选B ∵y ＝ax 与y ＝－b x |在(0，＋∞)上都是减函数，∴a <0，b <0， ∴y ＝ax 2＋bx 的对称轴方程x ＝－b 2a |<0，∴y ＝ax 2＋bx 在(0，＋∞)上是减少的． 4．选B ①y ＝x 在(0,1)上单调递增， ②y ＝log (x ＋1)在(0,1)上单调递减， ③y ＝|x －1|在(0,1)上单调递减， ④y ＝2x ＋1 在(0,1)上单调递增． 5．选C 由(x 1－x 2)(f (x 1)－f (x 2))>0知f (x )在(0，＋∞)上递增， 所以f (4) 6．选D 由2－x >0，得x <2，即函数定义域是(－∞，2)．作出函数y ＝|ln(－x )|的图像，再将其向右平移2个单位，即得函数f (x )＝|ln(2－x )|的图像，由图像知f (x )在[1,2)上为增加的． 7．解析：y ＝－(x －3)|x | ＝? ???? －x 2 ＋3x ，x >0，x 2－3x ，x ≤0.| 作出该函数的图像，观察图像知递增区间为????0，3 2|. 答案：??? ?0，3 2| 8．解析：画出图像易知y ＝|2x －1|的递减区间是(－∞，0]， 依题意应有m ≤0. 答案：(－∞，0] 9．解析：设x 1>x 2>－2，则f (x 1)>f (x 2)， 即f (x 1)－f (x 2)＝ax 1＋1x 1＋2|－ax 2＋1 x 2＋2 | ＝2ax 1＋x 2－2ax 2－x 1 (x 1＋2)(x 2＋2) | ＝ (x 1－x 2)(2a －1) (x 1＋2)(x 2＋2) |>0，则2a －1>0. 得a >12 |. 答案：??? ?1 2，＋∞| 10．解：(1)证明：设x 1 x 2＋2 | ＝ 2(x 1－x 2) (x 1＋2)(x 2＋2) |. ∵(x 1＋2)(x 2＋2)>0，x 1－x 2<0， ∴f (x 1) ∴f (x )在(－∞，－2)内单调递增． (2)设1 x 2－a | ＝ a (x 2－x 1) (x 1－a )(x 2－a ) |. ∵a>0，x2－x1>0， ∴要使f(x1)－f(x2)>0， 只需(x1－a)(x2－a)>0恒成立， ∴a≤1. 综上所述a的取值范围是(0,1]． 11．解：(1)证明：法一：∵函数f(x)对于任意x，y∈R，总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)， ∴令x＝y＝0，得f(0)＝0.再令y＝－x，得f(－x)＝－f(x)． 在R上任取x1>x2，则x1－x2>0， f(x1)－f(x2)＝f(x1)＋f(－x2)＝f(x1－x2)， 又∵x>0时，f(x)<0.而x1－x2>0， ∴f(x1－x2)<0，即f(x1) 因此f(x)在R上是减函数． 法二：在R上任取x1，x2，且x1>x2， 则f(x1)－f(x2) ＝f(x1－x2＋x2)－f(x2) ＝f(x1－x2)＋f(x2)－f(x2) ＝f(x1－x2)． 又∵x>0时，f(x)<0，而x1－x2>0， ∴f(x1－x2)<0，即f(x1) 因此f(x)在R上是减函数． (2)∵f(x)在R上为减函数， ∴f(x)在[－3,3]上是减少的， ∴f(x)在[－3,3]上的最大值为f(－3)，最小值为f(3)， 而f(3)＝f(1＋2)＝f(1)＋f(2) ＝f(1)＋f(1＋1)＝f(1)＋f(1)＋f(1) ＝3f(1)＝－2. ∵0＝f(0)＝f(3－3)＝f(3)＋f(－3)， ∴f(－3)＝－f(3)＝2， 因此，f(x)在[－3,3]上的最大值为2，最小值为－2. 12．解：(1)当a>0，b>0时，任意x1，x2∈R，x1 ∵2x1<2x2，a>0?a(2x1－2x2)<0， 3x1<3x2，b>0?b(3x1－3x2)<0， ∴f(x1)－f(x2)<0，函数f(x)在R上是增函数． 同理，当a <0，b <0时，函数f (x )在R 上是减函数． (2)f (x ＋1)－f (x )＝a ·2x ＋2b ·3x >0， 当a <0，b >0时，????32|x >－a 2b |， 则x >log 1.5??? ?－a 2b |； 同理，当a >0，b <0时，????32|x <－a 2b |， 则x ?－a 2b |. B 级 1．选C 由f (2－x )＝f (x )可知，f (x )的图像关于直线x ＝1对称，当x ≥1时，f (x )＝ln x ，可知当x ≥1时f (x )为增加的，所以当x <1时f (x )为减少的，因为????12－1| 13－1|<|2－1|， 所以f ????12| 13| 2．选C 显然函数的定义域是[－3,1]且y ≥0，故y 2＝4＋2(1－x )(x ＋3)|＝4＋2－x 2－2x ＋3|＝4＋2－(x ＋1)2＋4|，可得4≤y 2≤8，故2≤y ≤22|，即m ＝2，M ＝22|，所以m M |＝22 |. 3．解：(1)在f (m ＋n )＝f (m )·f (n )中， 令m ＝1，n ＝0， 得f (1)＝f (1)·f (0)． 因为f (1)≠0，所以f (0)＝1. (2)任取x 1，x 2∈R ，且x 1 在已知条件f (m ＋n )＝f (m )·f (n )中，若取m ＋n ＝x 2，m ＝x 1，则已知条件可化为： f (x 2)＝f (x 1)·f (x 2－x 1)． 由于x 2－x 1>0，所以0 为比较f (x 2)，f (x 1)的大小，只需考虑f (x 1)的正负即可． 在f (m ＋n )＝f (m )·f (n )中， 令m ＝x ，n ＝－x ， 则得f (x )·f (－x )＝1. 因为当x >0时，0 |>1>0. 又f (0)＝1，所以综上可知，对于任意的x 1∈R ， 均有f (x 1)>0. 所以f(x2)－f(x1)＝f(x1)[f(x2－x1)－1]<0. 所以函数f(x)在R上单调递减．(3)f(x2)·f(y2)>f(1)，即x2＋y2<1. f(ax－y＋2|)＝1＝f(0)， 即ax－y＋2|＝0. 由A∩B＝?，得直线ax－y＋2|＝0与圆面x2＋y2<1无公共点，所以 2 a2＋1 |≥1，解 得－1≤a≤1. 高考复习：函数的单调性 定义 定义域 区间 对应法则值域 一元二次函数一元二次不等式 映射 函数 性质 奇偶性 单调性周期性 指数函数 根式分数指数 指数函数的图像和性质 指数方程对数方程 反函数 互为反函数的函数图像关系 对数函数 对数 对数的性质 积、商、幂与根的对数 对数恒等式和不等式常用对数自然对数对数函数的图像和性质 一、单调性 1．定义：如果函数f(x)y 对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1、、x 2，当x 1、 (2) 导数法，若函数y ＝f (x )在定义域内的某个区间上可导，①若 ，则f (x )在这个区间上是增函数；②若 ，则f (x )在这个区间上是减函数. 二、单调性的有关结论 1．若f (x ), g (x )均为增(减)函数，则f (x )＋g (x ) 函数； 2．若f (x )为增(减)函数，则－f (x )为 ； 3．互为反函数的两个函数有 的单调性； 4．复合函数y ＝f [g(x )]是定义在M 上的函数，若f (x )与g(x )的单调相同，则f [g(x )]为 ，若f (x ), g(x )的单调性相反，则f [g(x )]为 . 5．奇函数在其对称区间上的单调性 ，偶函数在其对称区间上的单调性 . 1、增函数与减函数的定义： 定义：对于函数)(x f 的定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值21,x x ， （1）若当1x <2x 时，都有)(1x f <)(2x f ,则说)(x f 在这个区间上是增函数； （2）若当1x <2x 时，都有)(1x f >)(2x f ,则说)(x f 在这个区间上是减函数。 2、单调性与单调区间 若函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，则就说函数)(x f 在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做函数)(x f 的单调区间。此时也说函数是这一区间上的单调函数。 在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的。 【核心素养分析】 1.理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义． 2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质. 3.培养学生数学抽象、逻辑推理、直观想象能力。 【重点知识梳理】 知识点一函数的单调性 (1)单调函数的定义 自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的 (2)单调区间的定义 如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间． 知识点二函数的最值 第1页共9页 第 2 页 共 9 页 【特别提醒】 1.函数y ＝f (x )(f (x )>0)在公共定义域内与y ＝－f (x )，y ＝ 1 f （x ） 的单调性相反. 2.“对勾函数”y ＝x ＋a x (a >0)的单调增区间为(－∞，－a )，(a ，＋∞)；单调减区间是[－a ，0)，(0，a ]. 【典型题分析】 高频考点一 确定不含参函数的单调性(区间) 例1.（2020·新课标∈）设函数()ln |21|ln |21|f x x x =+--，则f (x )（ ） A. 是偶函数，且在1(,)2 +∞单调递增 B. 是奇函数，且在11(,)22 -单调递减 C. 是偶函数，且在1 (,)2 -∞-单调递增 D. 是奇函数，且在1 (,)2 -∞-单调递减 【答案】D 【解析】由 ()ln 21ln 21f x x x =+--得()f x 定义域为12x x ??≠±???? ，关于坐标原点对称， 又 ()()ln 12ln 21ln 21ln 21f x x x x x f x -=----=--+=-， ()f x ∴为定义域上的奇函数，可排除AC ； 当11,22x ?? ∈- ?? ?时，()()()ln 21ln 12f x x x =+--， ()ln 21y x =+在11,22?? - ??? 上单调递增，()ln 12y x =-在11,22 ?? - ??? 上单调递减， 第二节 函数的单调性与最值 1．函数的单调性 理解函数的单调性及其几何意义． 2．函数的最值 理解函数的最大值、最小值及其几何意义． 知识点一 函数的单调性 1．单调函数的定义 增函数 减函数 定义 一般地，设函数f (x )的定义域为I .如果对于定义域I 内某个区间A 上的任意两个自变量的值x 1，x 2 当x 1 (2)单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“∪”联结，也不能用“或”联结． 必记结论 1．单调函数的定义有以下若干等价形式： 设x 1，x 2∈[a ，b ]，那么 ①f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2 >0?f (x )在[a ，b ]上是增函数； f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2 <0?f (x )在[a ，b ]上是减函数． ②(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0?f (x )在[a ，b ]上是增函数； (x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]<0?f (x )在[a ，b ]上是减函数． 2．复合函数y ＝f [g (x )]的单调性规律是“同则增，异则减”，即y ＝f (u )与u ＝g (x )若具有相同的单调性，则y ＝f [g (x )]为增函数，若具有不同的单调性，则y ＝f [g (x )]必为减函数． [自测练习] 1．下列函数中，在区间(0，＋∞)上单调递减的是( ) A ．f (x )＝1x B ．f (x )＝(x －1)2 C ．f (x )＝e x D ．f (x )＝ln(x ＋1) 2．函数f (x )＝log 5(2x ＋1)的单调增区间是________． 3．已知函数f (x )＝???? ? －x 2－ax －5，x ≤1，a x ，x >1在R 上为增函数，则a 的取值范围是( ) A ．[－3,0) B ．[－3，－2] 第三节函数的单调性与最值 [知识能否忆起] 一、函数的单调性 1．单调函数的定义 图象描述 自左向右看图象逐渐上升 自左向右看图象逐渐下降 2．单调区间的定义 若函数y ＝f (x )在区间D 上是增函数或减函数，则称函数y ＝f (x )在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D 叫做y ＝f (x )的单调区间． 二、函数的最值 前提 设函数y ＝f (x )的定义域为I ，如果存在实数M 满足 条件 ①对于任意x ∈I ，都有f (x )≤M ； ②存在x 0∈I ，使得f (x 0)＝M ①对于任意x ∈I ，都有f (x )≥M ； ②存在x 0∈I ，使得f (x 0)＝M 结论 M 为最大值 M 为最小值 [小题能否全取] 1．(2012·陕西高考)下列函数中，既是奇函数又是增函数的为( ) A ．y ＝x ＋1 B ．y ＝－x 3 C ．y ＝1 x D ．y ＝x |x | 解析：选D 由函数的奇偶性排除A ，由函数的单调性排除B 、C ，由y ＝x |x |的图象可知此函数为增函数，又该函数为奇函数，故选D. 2．函数y ＝(2k ＋1)x ＋b 在(－∞，＋∞)上是减函数，则( ) A ．k >12 B ．k <12 C ．k >－1 2 D ．k <－1 2 解析：选D 函数y ＝(2k ＋1)x ＋b 是减函数， 则2k ＋1<0，即k <－1 2 . 3．(教材习题改编)函数f (x )＝1 1－x 1－x 的最大值是( ) A.4 5 B.54 C.3 4 D.43 解析：选D ∵1－x (1－x )＝x 2 －x ＋1＝? ????x －122＋34≥34 ，∴0<11－x 1－x ≤43. 4．(教材习题改编)f (x )＝x 2 －2x (x ∈[－2,4])的单调增区间为________；f (x )max ＝________. 解析：函数f (x )的对称轴x ＝1，单调增区间为[1,4]，f (x )max ＝f (－2)＝f (4)＝8. 答案：[1,4] 8 5．已知函数f (x )为R 上的减函数，若m 江苏省东台市三仓中学2015届高三数学 函数的单调性专题复习 教案 导学目标： ①理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义； ②理解函数单调性的定义，掌握函数单调性的判定与证明，能利用函数的单调性解决一些问题． 自主梳理 1.增函数和减函数 一般地，设函数()f x 的定义域为I ： 如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值12,x x ，当12x x <时，都有12()()f x x <，那么就说函数()f x 在区间D 上是___________. 如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值12,x x ，当12x x <时，都有12()()f x x >，那么就说函数()f x 在区间D 上是___________. 2.单调性与单调区间 如果一个函数在某个区间M 上是_____________或是____________，就说这个函数在这个区间M 上具有_____________（区间M 称为____________）。 3.最大（小）值 （前面已复习过） 4.判断函数单调性的方法 （1）定义法：利用定义严格判断。 （2）导数法 ①若()f x 在某个区间内可导，当'()0f x >时，()f x 为______函数；当 '()0f x <时，()f x 为______函数。 ②若()f x 在某个区间内可导，当()f x 在该区间上递增时，则'()f x ______0，当()f x 在 该区间上递减时，则'()f x ______0。 （3）利用函数的运算性质：如若(),()f x g x 为增函数，则①()()f x g x +为增函数； ②1 ()f x 为减函数（()0f x >）；③()f x 为增函数（()0f x ≥）；④()()f x g x 为增 函数（()0,()0f x g x >>）；⑤()f x -为减函数。高考复习函数的单调性
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