第一讲 整数与同余理论
本讲介绍有关整数的一些基本概念、性质与定理.主要包括整数的整除性、奇偶性，以及依据整除性而产生的质数与合数、带余除法、最大公约数与最小公倍数. 同时简单介绍同余式的一些最基本的知识及有关重要定理，如欧拉定理、中国剩余定理(CTR).
______________________________________________________________________________
§1. 1 整数的基本概念、性质与定理
自然数和它的相反数，以及零均称为整数. 定义1. 1 设a 与b 是任意两整数且0b
≠，若存在整数q 使得a bq =，则称b 整除a 或a 能被b
整除.记作|b a ；否则，称b 不能整除a 或a 不能被b 整除，此时记作b a ?.
如果|b a ，则称b 是a 的约数或因数，a 是b 的倍数；若b 是a 的约数但1,b a ≠±±，则称b 是a
的真约数或真因数.
定理1. 1 设,,,,a b c m n 是整数, 则有 i)
|a a ；
ii) 如果|a b 且|b a ，则b a
±=；
iii) 如果|a b 且|b c ，则|a c ； iv) 如果|a b 且|a c ，则|()a mb nc +.
定理1. 2（带余除法定理） 对任意两整数a 与b 且b ≠0，则存在唯一的一对整数q 与r ，使得
a q
b r =+，其中0||r b ≤<.
q 称为a 被b 除得到的商，r 称为a 被b 除得到的余数.
我们借助自然数集的最小数原理来证明该定理:
自然数集的最小数原理 若S 是广义的自然数集的任一非空子集，则存在a S ∈使得x ?∈S ，有
a x ≤成立，此a 称为S
的最小数.
定理1.2的证明 设{}S=
|, 0a kb k a kb -∈-≥ ，则S 是广义自然数集的非空子集，于是存
在S 的最小数r ，即存在∈ q ，使r
a q
b =-，亦即a qb r =+.下面证明0||r b ≤<且q 与r 是
唯一的.（注：广义自然数集可包含零及正无穷大这两个元素.）
若||r
b >，则0||(1)r b a q b S <-=-±∈且||r r b >-，这与r 是S 的最小数矛盾.
若存在两整数1q 与1r ，使得
11a q b r =+，10||r b ≤<,
则
11q b r qb r +=+,
即
11()q q b r r -=-.
若1
q q ≠，则1||r r b -≥，这与10,||1r r b ≤<-矛盾，故1q q =，于是1r r =. ▋
显然，a 被b 整除的充分且必要条件是其余数为0. 例1. 1 设89a
=-,13b =, 则7q =-, 2r =.
练习1. 1
1. 证明对任意整数n 有6(1)(21)n n n ++.
2. 如果b a 32+与b a 59+中有一能被17整除，那末另一数一定也能被17整除.
3. 证明：7
00a a ，其中00a a 表示一个四位数{1,2,,9}a ∈ .
§1. 2 整数的奇偶性
奇偶数的定义：能被2整除的整数称为偶数；不能被2整除的整数称为奇数. 基本性质：
1）两个整数的和与差具有相同的奇偶性.
2）奇数的平方被4除余1，被8除也余1，而偶数的平方能被4整除.
3）如果若干个整数的乘积是奇数，则每个因数都是奇数；如果若干个整数之积是 偶数，则至少有一个因数是偶数.
例1. 2 在广场上有m （奇数）个学生面向南方排成一行，命令其中n （偶数）个学生向后转，称作一次“反向运动”，证明：无论作多少次“反向运动”（转向后的学生允许再转动），都不可能使所有的学生全部面向北方.
证 假设做k 次“反向运动”后，可使全体学生面向北方，又设各学生“向后转”的次数分别为1,,m x x ,
而对每个学生来说，从面向南方变为面向北方，必须经过奇数次“向后转”，即1,,m x x 均为奇数，又m 为奇数，所以1m x x ++ 是奇数.另一方面，每次“反向运动”均是n 个学生的“向后转”，所以k 次“反向运动”所作的“向后转”总次数应为kn ，故有12m x x x kn +++= ，但该等式左边是奇数，而右
边是偶数，矛盾. ▋
练习1. 2
1.
44?的方格纸上填着1,9,9,8这四个数字，如图所示，问是否可能在余下的方格
内各填入一整数，使得方格纸上的每一行和每一列都构成等差数列
9
1
9
8
表1. 1
2. 已知多项式3
2x
bx cx d +++的系数均为整数，且bd cd +是奇数，证明：此多项
式不可能分解成两个整系数多项式之积.
3. 将下图表1.2中任何一行或一列作全部变号操作，问可否经过若干次这样的操作使表1.2变为表1.3？
+
+-++---
+ --++
---
-
+
表1.2 表1.3
4. 若a 是奇数，且3a ?
,求证：2
24|(1)a -.
§1. 3 最大公约数与最小公倍数
本节利用带余除法，引入辗转相除法，并由此介绍最大公约数与最小公倍数.
定义1. 2 设12,,,n a a a 是(2)n n ≥个整数.若整数d 是每个i a 的因数，则称d 是
12,,...,n a a a 的一个公因数.
定义1.3 整数12,,,n a a a 的公因数中的最大者称为它们的最大公因数，记作12(,,,)n a a a 或
12gcd(,,,)n a a a .
显然，若12,,,n a a a 中至少有一个非零.比如说0i
a =/，则12(,,,)n a a a i
a ≤，因而此时
12,,,n a a a 的最大公因数存在.
定义 1. 4 如果
12(,,,)1n a a a = ，则称12,,,n a a a 互素（或互质）；如果i j
=/时有
(,)1i j a a =，则称12,,,n a a a 两两互素（或互质）.显然，若后者成立，则前者也成立，反之则不然.
如(3,5,10)
1=，但(5,10)1=/.
性质定理1.1 设12,,,n a a a 是n 个不全为零的整数，则有 i) 12212(,,,)(,,,,)n n i i i i a a a a a a a = ，其中12,,,n i i i 是1,2,3,,n 的一个排列； ii)
1212(,,,)(||,||,,||)n n a a a a a a = ；
iii) 若12,,,n a a a 中有一个为1, 则它们互素； iv) 若1
2,,,s j
j j a a a 是12,,,n a a a 中全不为零的整数，则
1212(,,,)(||,||,,||)s n j j j a a a a a a = .
以上性质的证明均显而易见. 定理1. 3 如果a bq r =+,则有(,)(,)a b b r =.
证 设(,)a b d
=及1(,)
b r d =，则一方面，d a d b 且，于是由a bq r =+得|d r ，
从而
1d d ≤. (1.3.1)
另一方面，1|d b 且1|d r ，以及a bq r =+得1|d a .
从而
1|d d . (1.3.2)
综合(1.3.1)与(1.3.2)即得
1d d =. ▋
辗转相除法 设,a b 是任意两个正整数，多次利用带余除法，可得下列诸等式：
111122212111111 0, 0, 0, 0.k k k k k k k k k k k a b q r r b b r q r r r r r q r r r r r q r r ----+++=+<
=+<
=+=??
()* 由于b 是有限正整数，且1210k k b r r r r +>>>>>= ，所以()*中的正整数k 是存在的.
辗转相除法()*是我国古代筹算家的一大成就，西方Euclid(欧几里德)也推得该法则，所以又称为Euclid 算法.
定理1. 4 设,a b 是任意给定的两整数，则由()*式可得，(,)k a b r =.
证明 反复利用定理1. 3有
1121(,)(,)(,)(,)(,0)k k k k a b b r r r r r r r -====== . ▋
例1. 3 设1895a =-, 1573b =, 求(,)?a b =
解
(,)(1895,1573)(1859,
a b =-=. 反复利用定理1.3，如下面的辗转相除计算图. 再由定理1. 4即得 (,)(1859,1573)143a b ==. ▋
图1.4
定理1. 5
a 与
b 的任一公约数是(,)a b 的约数.
证 设d 是a 与b 的任一公约数，则由()*知d 是b 与1r 的公约数，进而知d 是1r 与2r 的公约数，如此继续，可得d 是k r 的约数. ▋
定理1. 6 （扩展Euclidean 等式）若1(,,)n a a d = ，则必存在整数(1,,)i k i
n = 使
1122n n k a k a k a d +++= .
推论1.1
12(,,,)1n a a a = 的充要条件是存在12,,,n t t t ∈ 使
2q =5
1859 1573
1573 1430 1=1q
2=3q 286=1r
286 143=2r
0=3r
11221n n t a t a t a +++= .
定理1. 7 设12,,,n a a a 是任意n 个整数.且122(,)a a d =，233(,)d a d =, ,
1(,)n n n d a d -=，那么12(,,,)n n a a a d = .
性质定理1.2 i) 如果(,)1a b =,则(,)(,)ac b c b =； ii) 如果(,)1a b =，且b ac ，则b c ；
iii) 如果(,)
1a c =，且(,)1c b =，则(,)1ab c =；
iv) 如果()0c
c >是a 与b 的公约数,则()(,),a b a
b c c
c =，进而有,1(,)(,)a b a b a b ??
= ???
. 以上性质均易证明(请读者自证).以下我们讨论最小公倍数: 定义1. 5 设12,,,n a a a 是(2)n n >个整数.
i) 如果d 是每个i a 的倍数，则称d 是这n 个数的公倍数； ii)
12,,,n a a a 的一切公倍数中的最小正整数称为它们的最小公倍数，记为
12[,,,]n a a a .
由于任意正数均不是0的倍数，所以任意包含0的一组整数其最小公倍数均不存在. 性质定理1.3 设12,,,n a a a 是n 个全不为零的整数，则有 i) 12120[,,,]||n n a a a a a a <≤ . ii) 1212[,,,][||,||,,||]n n a a a a a a = . iii)
1212[,,,][,,,]||n n a k a k a k a a a k = .
以上性质请读者自证.
定理1. 8 设,a b 是任意两个全不为零的整数，若m 是,a b 的任意一公倍数，则有 i) [,]|a b m ；
ii)
[,](,) (0)a b a b ab ab =>;
iii)
,[,]
m m m a b a b ??
= ?
??.
类似于定理1. 7，我们有：
定理 1. 9 设
12,,,n a a a 是n 个全不为零的整数，122[,]a a m =，233[,]m a m =，…，
1[,]n n n m a m -=，则有 12[,,,]n n a a a m = .
例1. 4 i ）求[136,221,391]?= 解 i)
[][]136221
136,221,391[[136,221],391][
,391]1768,39117
?===.
1768391
4066417
?=
=. （其中因为()136,22117=）. ▋
练习1. 3
1. 对给定正整数,,a b c ，证明
1) 如果a b ，那么a bc . 2) 如果a b 且a c ，那么2a bc .
3)
a b 当且仅当ac bc ，其中0c ≠.
2. 对于任意的正整数a ，则三个整数, 2, 4a a a ++中必有一个能被3整除.
3. 对于任意的正整数a ，证明2|(1)a a +，3|(1)(2)a a a ++.
4. 设n 是正整数，证明[,][,]n
n n a
b a b =.
5. 证明121121[,,,,,,][[,,,],[,,]]k k n k k n a a a a a a a a a a ++= .
6. 证明下列结论
1) 如果a 是奇数，那么2
24|(1)a a
-；
2) 如果,a b 都是奇数，那么2
2|()a a
b -；
3) 对于任意的整数a ，都有2
22360|(1)(4)a a a --.
§1. 4 质数与合数
我们可以将整数分成两类，即奇数类与偶数类；当我们讨论正整数时，也可以将大于1的正整数分为两类，对于任何一个正整数a ,它至少有两个正约数，即1与a , 称a 得当然约数.有些正整数只是这两个当然约数，如3，5，7等，而另一些正整数则还有其它正约数，如6，还有约数2与3，这类约数称非当然约数或真约数.
定义1. 6 设a 是一个大于1的正整数，如果a 只有当然约数，则称a 为质数或素数；若a 有真约数，则称a 为合数.
于是，正整数={1} 质数集合数集. 性质定理1.4 设
p 是任一质数，则有
i) 对任一整数a , 有(,)1a p =或|p a .
ii) 如果|p ab , 则|p a 或|p b .
iii) 如果
12|n p a a a 则存在某i , 使|i p a .
证 i ） 因为(,)|a p p , 而p 为质数，于是(,)1a p =或p , 若(,)a p p =，即有p a .
ii) 如果
p a ?, 则由（i ）知(,)1a p =，由已知p ab ，于是由性质定理1. 4知p b .
iii) 此条是ii ）的推广. ▋ 例1. 5 如果m 是合数，试证
11m m
n = 也是合数. 证 设m
ab =，那么
(
)
1101(10)1(101)(10101)a b m a b a a --=-=-+++
即
(1)911911(10101)a b a m a -?=??+++ 个
个
. 所以
11a 个
是m n 的因数. ▋ 练习1. 4
1. 证明奇素数可表示为两个自然数的平方差.
2. 设n 是大于2的整数，则如果2121n
n +-和中有一为素数，那么另一数必为合数.
3. 试证正整数
20001001 个
是合数. 4. 设
p 和n p +1均为素数，则2p =且n 为2的方幂.
§1. 5 整数的分解—算术基本定理
任一大于1的整数a 或者是素数，或者是合数，如果a 是一个合数，设1p 是a 的大于1的最小的正
约数，则
1p 是一个素数，且存在正整数1q 使111,(1)a p q q a =<<. 如果1q 是一个素数，则a 就表
成了两个素数之积，如果1q 非素数，则1q 有素因数2p ，于是122a p p a =.如果2a 是素数，则就表成
三个素数之积，否则2a 有素因数3p ，如此继续下去，可知a 一定可以表成若干个素数之积.
算术基本定理 设a 是任一大于1的整数，则a 能表成若干个素数的积： a =
12n p p p , 12n p p p ≤≤≤ . (1.5.1)
其中
12,,,n p p p 是素数，且表达式(1.5.1)是唯一的.
算术基本定理也可以称为整数的唯一分解定理.(1.5.2)式中的素数i p 可能有相同的，
我们将相同的素因数合写成方幂的形式，则有
1212,0,(1,2,,)k k i a p p p i k αααα=>= ,其中()i j p p i j <<是素数.
推论1.4 设a 与b 是任意两个正整数，其标准分解式为
1212,0,(1,2,,),s s i a p p p i s αααα=≥= 1212,0,(1,2,,),s s i a p p p i s ββββ=≥=
则
1212(,),s s a b p p p γγγ= ，其中min(,)i i i γαβ= (1.5.4) 1212[,],s s a b p p p δδδ= 其中max(,)i i i δαβ= (1.5.5)
及
(,)[,]a b a b ab =.
练习1. 5
1. 分别求2160及129999
个
的标准分解式. 2. 利用Maple 或Mathematica 函数求8203513468500的标准分解式. 3. 设,,a b c 是任意整数，则有
1）max(min(,),min(,))min(,max(,))a b a c a b c =； 2)
[(,),(,)](,[,])a b a c a b c =.
§1. 6 Euler 函数
定义1. 7 对任意正整数n , 定义()n ?为不超过n 且与n 互质的正整数的个数. 则()n ?是定义域
为 的一个函数, 称为Euler(L.Euler,1707—1783)函数.
如(1)1, (2)1, (4)1, (10)4????====. 易知Euler 函数有如下性质：
Euler 函数的基本性质定理1.5： i). 若
p 是素数, 则()1p p ?=-; 反之亦成立. 即若p 为合数, 则有()2p p ?≤-；
ii) 不超过n 且与n 互质的所有自然数的和为1()2
n n ?；
iii) 若
p 是素数, 则1()(1)k k p p p ?-=-；
iv) 若12m m m =, 且12(,)1m m =, 则12()()()m m m ???=； v) 若1212t
t n p p p ααα=
是n 的质数分解, 则
1
2
111()(1)(1)(1)t
n n p p p ?=---
1
1(1)t
i
i n p ==-∏或|1(1)p n n p -∏（p 为素数）;
证 i) 显然.成立. ii) 若()12,,,n a a a ?
是不超过n 且与n 互质的所有自然数, 则
()12(),(),,()n n a n a n a ?---
亦是不超过n 且与n 互质的所有自然数, 因此必有
()1212()()()()n n a a a n a n a n a ??+++=-+-++- .
于是
12()2()()n a a a n n ??+++=? ,
即ii) 成立.
iii) 因为不超过k
p
且与
k
p
不互素, 即与
p 不互素的所有自然数为1,2,,k p p p p - , 共为1
k p -个整数, 故不超过
k
p
且与
k
p
互素的所有正整数的个数为
1
k k p p --, 即
1()(1)k k p p p ?-=-.
iv) 我们运用概率知识来证明该条. 记{}1,2,,m Ω=
;{}|(,)1E x x m =∈Ω=; {}|(,)1,1,2.i i E x x m i =∈Ω== 则
121212,(),(),()m E m E m m E m m ???Ω====.
设事件
A 指从Ω中随机取一数, 该数属于E ；事件i A 指从Ω中随机取一数, 该数属于(1,2)i E i =.
因为任意的x ∈Ω,有(,)1x m =当且仅当且1(,)1x m =,2(,)1x m =, 即事件
A 发生当且仅当事件1
A
与事件
2A 同时发生. 由于12(,)1m m =, 故1A 与2A 是相互独立的. 从而
1212()()()()P A P A A P A P A == .
但是
()()P A E m m ?=Ω=,
112111()()()P A E m m m m m ??=Ω==, 121222()()()P A E m m m m m ??=Ω==.
所以
1122()()()m m m m m m ???=?.
即
12()()()m m m ???=. ▋
v ）由ⅲ）有11
()(1)(1)i
i i i
i i i i
p p p p p ααα?-=-=-
, 1,2,,i t = . 从而由ⅳ）得 1
2
12()()()()t
t n p p p ααα????=
121212111
(1)(1)(1)t t t
p p p p p p ααα=-
-- 12111(1)(1)(1)t
n p p p =-
-- 1
1
(1)t
i i
n p ==-
∏ (i p 为n 的全部不同的素因子) |1
(1)p n
n p =-∏ (p 为素数) . ▋
下面我们介绍Euler 函数的若干应用. 例1. 6 证明：素数有无穷多个. 证 设素数只有有限个
12,,,n p p p .令12n a p p p = , 则在1到a 的所有正整数中与a 互素的
只有一个, 即1. 因此()1a ?=, 但
12()()n a p p p ??=
12()()()n p p p ???=
12(1)(1)(1)1n p p p =---> ,
矛盾. 所以素数有无穷多个. ▋
例1. 7 设1
()3
n n ?=, 求?n = 解 设1212t
t n p p p ααα=
是n 的素因数分解, 且
12p p p t <<< , 则由1()3
n n ?=得等式
1212121211
11(1)(1)3
t t t t t p p p p p p p p αααααα--= .
即有
1123(1)(1)t t
p p p p p --= . (2.2.2) 因为12p p p t <<< , 且1|3(1)(1)t t p p p -- 及t p 为素数知3p t >, 从而1t =或2. 如
果1t
=, 则13n α=. 由(2.2.2)式得3(31)3-=, 矛盾. 故2t =. 从而122,3p p ==. 此时,
1223n αα=且(2.2.2)成立. 即1
()3
n n ?=成立. 所以
1223n αα=,
其中1α,2α是大于0的整数. ▋
练习1. 6
1. 计算欧拉函数值(2008)?.
2. 求下列数论方程的所有正整数解.
1）()(2)x x ??=; 2)
(3)(4)x x ??=;
3. 证明分母不大于n 的既约真分数的个数等于(2)(3)().
n ???+++
§1. 7 同余的定义及性质
定义1. 8设m 是一给定的正整数, a 与b 是两个整数, 如果用m 分别去除a 与b .若得到的余数相同,
则称a 与b 关于模m 同余, 记作(mod ),a b m ≡并称为同余式；若得到的余数不相同, 则称a 与b 关于
模m 不同余, 记作(mod )a
b m ≡/.
依定义,任何一个偶然与0关于模2同余,任何一个奇数与1关于模2同余, 即有
20(mod 2)n ≡, 211(mod 2)n +≡()n ∈ .
再如3655(mod12)7(mod12)≡≡-. 显然对任何一整数a 与b 均有(mod1)a
b ≡.对任意两个不同的素数p 与q 有：(mod )q p q ≡/及
(mod )p q p ≡/.
关于同余的性我们有如下定理
同余的性质定理1. 5 设m 是给定的正整数,111222,,,,,,,,a b c a b c a b c 是整数,则有 i)
(mod ),a b m ≡成立的充要条件是|m a b -.
ii) 同余是一个等价关系, 即有
a)
(mod ),a a m ≡ （反身性）.
b) 若(mod ),a b m ≡ 则(mod )b a m ≡（对称性）.
c) 若(mod )a b m ≡且(mod )a c m ≡,则(mod )a c m ≡（传递性）.
iii) 若1
1(mod )a b m ≡,22(mod )a b m ≡, 则
1212(mod )a a b b m ±≡±及1212(mod )a a bb m ≡.
iv) 若(mod )a b m ≡.d 是m 的任一因数, 则(mod )a b d ≡.
v) 若(mod )a
b m ≡,d
是,a b 及m 的任一公因数,则
(mod )a b m
d d d
≡. vi) 若()mod ac bc
m ≡,则mod (,)m a b c m ??
≡ ??
?.特别当(,)1c m =时,有(mod )a b m ≡.
vii) 若(mod ),1,2i a b m i ≡=. 则12(mod[,])a b m m ≡, 反之亦成立.特别当12(,)1m m =时,
有1(mod )a
b m ≡ 且2(mod )a b m ≡的充要条件是12(mod )a b m m ≡.
viii) 若
(,)1
a m =, 则存在
b
使
1(mod )
ab m ≡.可称
b
为
a
关于模
m
的逆, 记为
1(mod )b a m -=或1|m a -.
以上性质的证明均较易,我们证明其中几条为,为方便证明,用符号“?”表示“当且仅当”. 证 i)
(mod )a b m ≡?a 与b 用m 去除有相同的余数?a b -与0用m 去除有相
同的余数|m a b ?-.
ii)-c) 由i)
(mod )a b m ≡且(mod )b c m ≡|m a b ?-且|m b c -
|()()m a b b c ?-+-(mod )a c m ?≡.
iii) 由i) 得
11(mod )a b m ≡及22(mod )a b m ≡?11|m a b -及22|m a b -
122112|(()())m a a b a b b ?-+-?1212|()m a a bb -1212(mod )a a bb m ?≡.
vi) 由i)
(mod )ac bc m ≡?|()m c a b -
|()|()(,)(,)(,)m c m a b a b c m c m c m ?
-?-（因为,1(,)(,)m c c m c m ??
= ???
）
mod (,)m a b c m ???≡ ??
?.
vii) 由i) 知1(mod )a
b m ≡且2(mod )a b m ≡1|m a b ?-且2|m a b -, 即a b -是1m 与
2m 的公倍数, 从而12[,]|m m a b -. 再由i)
12(mod[,])a b m m ≡此性质可推广至任意有限个模数
12,,t m m m ???的情形.
viii) 若(,)1a m =,则存在整数b 与c 使1ab mc +=.于是1()ab m c -=-. 即|(1)m ab -. 由
i) 得1(mod )ab m ≡ . ▋
以上性质形式简单, 证明容易, 但同余式类似普通等式的特点使其具有广泛的应用价值.下面是若于同余式性质的应用实例.
例1. 8 求365
2008
的个位数字.
解 即要求一个0到9之间的数a 使365
2008(mod10)a ≡. 由于
36533653652008(2108)108k =?+=+.
所以365
3652008
8(mod10)≡.又286044(mod10)=+≡,42846(mod10)≡≡.因此
36549114919188(8)868688(mod10)?+==?≡?≡?≡.
故8a =. ▋
例1. 9 设A 是正整数,B 是A 的各数位上的数字之和, 证明(mod9)A ≡B . 证明 设1010
10,09n
n i a a a a A =?+???+?+≤≤,0n a ≠. 则10n a a a B =+???++.由于
101(mod 9)
≡,1011(mod9)i i
≡≡, i 为正整数. 所以 1010101011n n n a a a a a a ?+???+?+≡?+???+?+10(mod9)n a a a ≡+???++,
即(mod9)A ≡B . ▋
例1. 10 设正整数
1010001000,01000n n i a a a a a =?+???+?+≤<.
则7整除a 的充要条件是0
7|
(1)n
i i
i a =-∑.
证 因为10001(mod7),1000
(1)(mod7)i
i ≡-≡-, 所以由性质定理得
10(1)(1)(mod7)n n a a a a ≡?-+???+?-+.
故
7|7|(1)n
i i i a a =?-∑. ▋
同样，因为10001(mod11)≡-及10001(mod13)≡-.我们可得011|11|(1)n
i
i i a
a =?-∑及
13|13|(1)n
i i i a a =?-∑.
例1. 11 证明不定方程2
2286x y az -+=对任何给定的整数a 无整数解.
证 设0x 、
0y 及0z 是该不定方程的一组整数解, 即有
222
00086x y az -+=. (1.6.1)
将上式关于2取模得2
2
000(mod2)x y -≡. 因此0x 与0y 有相同的奇偶性. 再将(3.1.1)关于4取
模得2
20
02(mod4)x y -≡.因此0x 与0y 同为奇数.于是22
001(mod8)x y ≡≡. 将(1.6.1)式关于8取
模便得06(mod8)≡矛盾. 故原不定方程无整数解. ▋
例1. 12 证明对任何整数n , 35711()1535
f n n n n =++均是一个整数.
证 只要证对任意正整数n 有 357530(mod15)n n n ++≡ (1.6.2)
即可.
由于
35337532(mod3)n n n n n n n ++≡+≡-,
而
3(1)(1)(1)(1)n n n n n n n n -=-+=-?+
是3的倍数, 故
357530(mod3)n n n ++≡. (1.6.3)
又
3555753222()(mod5)
n n n n n n n ++≡-≡-, 而
52(1)(1)(1)
n n n n n n -=-++及0n ≡或
1
±或
2±(mod5)
. 当
n ≡或
1±(mod5)时,
(1)(1)0(mod5)
n n n -+≡当
2(mod5)n ≡±时, 2(1)0(mod5)n +≡, 因此不论n 为何整数, 均有50(mod5)n n -≡, 故
357530(mod5)n n n ++≡. (1.6.4)
因为(3,5)1=,所以由性质定理vii) 及(1.6.3)与(1.6.4)即可推得(1.6.2)成立. ▋
练习1.7
1. 1) 求365
1999的最后两位数字.
2) 求2000
1999表示成17进制数时的个位数及最后两位数.
2. 证明2000
19993
40(mod5)+≡.
3. 证明若一个三位数的数字（0到9之间的数）是相邻的三个数字, 且百位上的数字大于个位上的数字, 则该位数与它的数字次序相反的三位数的差等于是198.
4. 设十进制自然数21398a b （其中0,9a b ≤≤）为99的倍数, 求a 与b .
5. 设n 为正整数, 证明22330|6
511n
n --.
6. 假设
131|111n
, 求?n =
§1. 8 同余类与剩余类
定义1. 9 设m 是一给定的正整数, 则任意整数a 关于模m 同余0或1, 或2,???, 或1m -. 于是我们可将整数集划分成m 个类：所有与()01r r
m ≤≤-同余的整数归为一类. 显然, 在同一类中的任两个
整数关于模m 一定同余, 而不在同一类中的任两个整数关于模m 一定不同余. 每一个这样的类称之为模
m 的同余类或模m 的剩余类. 从每个类中任取出一数, 则得到的这m 个数就称为模m 的完全剩余系, 又
简称m 的完系.
若记[]r
m 为r 所在的模m 的同余类（或在明确模m 的情况下简记为r ）, 则有下列性质定理.
定理1. 10 设m 是一给定的正整数, 则有 i) []{}r m r km k =+∈ . ii)
[][]r m s m m r s =?-.
iii) 对任意两整数,,r s 或者[][]r m s m =, 或者[][]r m s m =? .
iv)
k 个数12,,,k a a a ???构成的完系的充要条件是k m =,且当i j ≠时有(mod )i j a a m ≡/.
以上性质由定义可直接得知.
根据完系的定义, 对于给定的正整数m , 模m 的完系有无限个,下面我们给出几个常用的完系. 1) 模m 的最小非负完全剩余系：
0,1,,1m - .
2) 模m 的最小正完全剩余系：
1,2,,m
3) 模m 的最大非正完全剩余系：
(1),(2),,1,0m m ----- .
4) 模m 的绝对值最小完全剩余系：
m 为偶然时：,,1,0,1,,122m m --- 或 1,,1,0,1,,22m m -+- .
m 为奇数时：11,,1,0,1,,22
m m ---- . 定理1. 11 若12,,,m a a a 是m 的一个完系,
a 与
b 是任意两整数且(,)1a m =, 则
12,,,m aa b aa b aa b +++
亦是m 的完系.
证 由定理3. 2—iv), 只要证明对任何i j ≠,有(mod )i j aa b aa b m +≡+/ 即可.
如果(mod )i
j aa b aa b m +≡+, 则有(mod )i j aa aa m ≡. 因(,)1a m =,由定理3.2—vii)即得
(mod )
i j a a m ≡,这与
12,,,m
a a a ???为
m
的完系矛盾,所以
(m o d )i j aa b aa b m +≡+.
▋
例 1. 13 若12,,,m a a a ???是m 的完系, ,a b ∈Z 且(,)1a m =, 则i aa b +除以m 的最小非负余
数之和为1(1)2
m m -.
证 由定理3. 3知12,,,m aa b aa b aa b ++???+是m 的一个完系. 因此i aa b + （1,2i =
,,m ???）除以m 而得的m 个最小非负余数构成m 的一个完系, 即它们构成m 的最小非负完全剩余系，
所以它们的和为1
012(1)
(1)2
m m m +++???+-=
-. ▋ 在模m 的同余类中, 有些类中的每个数均与m 互素, 如1所在的同余类中每个数均与m 有互素. 若
8m =, 则同余类1,3,5,7中的每个数均与8互素, 这样的同余类我们将给它们一个特定的名称.
定义1. 10 设m 是一个大于1的正整数, 定义
i ）模m 的同余类r 称为模m 的一个简化同余类；如果(,)
1r m =.
ii ） 在模m 的所有简化同余类中各取一数, 我们称这组数为模m 的一个简化剩余系, 又称简系. 如果r 是模m 的一个简化同余类,
a 是r 中任一整数, 则0(mod )a r m -≡, 即存在整数k
使
a r km =+, 从而由(,)1r m =得(,)1a m =. 因此模m 的同余类是模m 的一个简化同余类的充要条
件该余类中的每个数均与m 互素, 且由此可知,
m 的简系中的每个数皆与m 互素, 于是我们有下列定理：
定理1.12 k 个整数12,,,k a a a ???构成m 的简系的充要条件是：
i)
()k m ?=；ii) (,)1i a m =；iii) (mod ), i j a a m i j ≡≠/.
证 (必要性) 由简系的定义知
12,,,k
a a a ???是从模
m 的所有简化剩余类中各取一数而构成
的.1,2,,m ???是模m 的一个完全剩余类, 于是模m 的所有简化剩余类组成的集合是
{}|(,)1,1r r m r m =≤≤.
由Euler 函数的定义可知：满足上面集合中条件的r 共有()m ?个, 因此模m 的简化剩余类共有
()m ?, 故()k m ?=, 即i) 成立, 而ii) 及iii) 由简系的定义即知成立.
(充分性) 由必要性证明知，模m 的简化剩余类共有()m ?,条件i)及ii)说明12,,a a
,k a ???是模m 的简化剩余类中选取的()m ?个整数,再由条件iii)即知:12,,,k a a a ???是从模m 的全部
()m ?个简化剩余类中各选取的一数而成,所以依定义,12,,,k a a a ???是的一个简系. ▋
利用定理1. 12 我们便有下列结论：
定理1.13 设a 与b 是满足(,)1a m =及|m b 的两整数, 若()12,,,m a a a ?
???是m 的简系, 则
()122,,,m aa b aa b aa b ?++???+
亦是m 的一个简系.
证 利用定理 1.12, 由(,)1a m =及|m b 便得(,)(,)(,)1
i
i i aa b m aa m a m +===. 且若当i j
≠时, 有
(mod )
i j aa b aa b m +≡+, 则
(mod )
i j aa ab m ≡, 于是由
(,)1
a m =得,
(mod )i j a a m ≡这与()12,,,m a a a ????为m 的简系矛盾. 故(mod )i j aa b aa b m +≡+, 所以
()122,,,m aa b aa b aa b ?++???+
构成m 的简系. ▋
定义1.11 设m 是一正整数, 则所有不超过m 且与m 互素的()m ?个数构成m 的一个简系, 我们称该系为m 的最小正简化剩余系（可简称最小正简系或缩系）.
例如, 8的最小正简系为1, 3, 5, 7.15的最小正简系为1, 2, 4, 7, 8, 11, 13, 14.
例1. 14 若
p 为奇数, m 是任一正整数且满足21(mod )m p ≡, 证明
12(1)0(mod )m m m p p ++???+-≡
证 因
p 为素数, 故1,2,,1p ???-是p 的简系, 又(2,)1p =, 从而由定理1.13知
21, 22, , 2(1)p ??????-
也是
p 的简系, 因此得
12(1)(21)(22)(2(1))(mod )m m m m m m p p p ++???+-≡?+?+???+?-.
即有
(21)(12(1))0(mod )m m m m p p -++???+-≡,
亦即
|(21)(12(1))m m m m p p -++???+-,
但
(21)m p -?, 所以必有
|12(1)m m m p p ++???+-,
于是
12(1)0(mod )m m m p p ++???+-≡. ▋
例1. 15 设1212,(,)1m m m m m ==, a 与b 是满足条件(,)1a b =, 1|m b 及2|m a 的任意两整
数, 则
i) 当x 跑遍1m 的完系,y 跑遍2m 的完系时,ax by +跑遍m 的完系. ii) 当x 跑遍1m 的简系,y 跑遍2m 的简系时,ax by +跑遍m 的简系.
我们只证明ii).
证 首先, 设()112,,,m x x x ?
???是1m 的简系, ()212,,,m x x x ????是2m 的简系, 则
121()1(){|{,,}, {,,}}m m ax by x x x y y y ??+∈???∈???
共有12()()m m ??个数, 即12()m m ?（()m ?=）个数, 定理1.12的第i) 条成立.
其次, 如果
12(mod )i j k ax by ax by m m +≡+ ,
那么
1(mod )i j k ax by ax by m
+≡+ , 由
1|m b 得1(mod )i ax ax m ≡ . 再由
(,)1a b =知1(,)1a m =,
从而有
1(m od )
i x x m ≡ , 即有
i = . 同理可证j k =. 因此, 定理1.12的第iii)条成立.
最后证12(,)1i
j ax by m m +=成立.
因为1(,)1i x m =, 又由(,)
1a b =及1|m b 知1(,)1a m =, 故1(,1i ax m =). 再由1|m b 可得
1(,)1i j ax by m +=.
同理可证
2(,)1i j ax by m +=.
因此, 由12(,)1m m =, 即得
12(,)1i j ax by m m +=.
从而根椐定理1.12便知
i j ax by +（11,,()i m ?=???,21,,()j m ?=???）
是12m m m =的简系. ▋
特殊情形, 可取21,a m b m ==.
定理1. 15（Euler 定理） 设m 是任一给定的正整数，a 是任一整数且(,)1a m =, 则有
一、 带余除法的定义及性质 1. 定义：一般地，如果a 是整数，b 是整数（b ≠0）,若有a ÷b =q ……r ，也就是a ＝b ×q ＋r , 0≤r ＜b ；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。这里： (1)当0r =时：我们称a 可以被b 整除，q 称为a 除以b 的商或完全商 (2)当0r ≠时：我们称a 不可以被b 整除，q 称为a 除以b 的商或不完全商 一个完美的带余除法讲解模型:如图 这是一堆书，共有a 本，这个a 就可以理解为被除数，现在要求按照b 本一捆打包，那么b 就是除数的角色，经过打包后共打包了c 捆，那么这个c 就是商，最后还剩余d 本，这个d 就是余数。 这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中4个量的关系。并且可以看出余数一定要比除数小。 2. 余数的性质 ⑴ 被除数=除数?商+余数；除数=（被除数-余数）÷商；商=（被除数-余数）÷除数； ⑵ 余数小于除数． 二、 余数定理： 1.余数的加法定理 a 与 b 的和除以 c 的余数，等于a ,b 分别除以c 的余数之和，或这个和除以c 的余数。 例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16＝39除以5的余数等于4，即两个余数的和3+1. 当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c 的余数。 例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23+19＝42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数为 2 2.余数的加法定理 a 与 b 的差除以 c 的余数，等于a ,b 分别除以c 的余数之差。 知识框架 余数性质及同余定理
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23－16＝7除以5的余数等于2，两个余数差3－1＝ 2. 当余数的差不够减时时，补上除数再减。 例如：23，14除以5的余数分别是3和4，23－14＝9除以5的余数等于4，两个余数差为3＋5－4＝4 3.余数的乘法定理 a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。 例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23×16除以5的余数等于3×1＝3。当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c的余数。 例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23×19除以5的余数等于3×4除以5的余数，即2. 乘方：如果a与b除以m的余数相同，那么n a与n b除以m的余数也相同． 一、同余定理 1、定义 整数a和b，除以一个大于1的自然数m所得余数相同，就称a和b对于模m同余或称a和b在模m下同余，即a≡b（modm） 2、同余的重要性质及举例。 〈1〉a≡a（modm）（a为任意自然）； 〈2〉若a≡b（modm），则b≡a（modm） 〈3〉若a≡b（modm），b≡c（modm）则a≡c（modm）； 〈4〉若a≡b（modm），则ac≡bc（modm） 〈5〉若a≡b（modm），c≡d（modm），则ac=bd（modm）； 〈6〉若a≡b（modm）则an≡bm（modm） 其中性质〈3〉常被称为"同余的可传递性"，性质〈4〉、〈5〉常被称为"同余的可乘性，"性质〈6〉常被称为"同余的可开方性" 注意：一般地同余没有"可除性"，但是：如果：ac=bc（modm）且（c，m）=1则a≡b（modm）3、整数分类： 〈1〉用2来将整数分类，分为两类： 1，3，5，7，9，……（奇数）； 0，2，4，6，8，……（偶数） 〈2〉用3来将整数分类，分为三类： 0，3，6，9，12，……（被3除余数是0） 1，4，7，10，13，……（被3除余数是1） 2，5，8，11，14，……（被3除余数是2）
圆的基本概念和性质教学设计 教学设计思想 圆是初中几何中重要的内容之一。本节通过第一课时建立圆的基本概念，认识圆的轴对称性与中心对称性。讲解时将观察与思考、操作与实践等活动贯穿于教学全过程，使学生积累一定的数学活动经验；第二课时在第一课时的基础上，掌握垂径定理及其逆定理；第三课时加深学生对弦、弧、圆心角之间关系的认识；第四课时的重点是圆周角，通过圆周角定理及其推理的推理论证，从而把圆周角、圆心角、弧和弦之间的关系展现出来，从而使学生全面了解和掌握圆的基本性质。教学时先让学生动手操作来发现结论，再通过推理的方式说明结论的正确性。 数学源于生活，又服务于生活，最终要解决生活中的问题。利用电子白板教学帮助学生理解和学习数学，探索与分析，讨论与归纳等数学活动是学习的主要方式。 教学目标 圆的基本概念和性质总目标： 1、理解圆、弧、弦、圆心角、圆周角的概念，了解等圆、等弧的概念，理解弧、弦、圆心角、圆周角之间的关系； 2、掌握垂径定理及推论的意义及应用，掌握圆心角与弧、弦关系定理意义及应用，掌握圆周角定理及推论的意义和应用； 3、探索圆周角与圆心角、弧、弦的关系，理解并会证明圆周角定理及其推论，理解圆内接四边形的对角互补。 第一课时教学目标 知识与技能： 1、经历圆的形成过程，理解圆的概念， 2、能在图形中准确识别圆、圆心、半径、直径、圆弧、半圆、等圆、等弧等； 3、认识圆的对称性，知道圆既是轴对称图形，又是中心对称图形； 过程与方法： 1、经历抽象和建立圆的概念、探究圆的对称性及相关性质的过程，熟记圆及有关概念； 2、通过折叠、旋转的动手实验，多观察、探索、发现圆中圆心、弧、弦之间的关系，体会研究几何图形的各种方法； 情感态度价值观： 经历探索圆及其有关结论的过程，发展学生的数学观察及思考能力以及问题的提出能力。 教学重难点 重点：（1）了解圆的概念的形成过程；（2）揭示与圆有关的本质属性。 难点：圆的概念的形成过程和圆的定义。 学情分析
一、 带余除法的定义及性质 1. 定义：一般地，如果a 是整数，b 是整数（b ≠0）,若有a ÷b =q ……r ，也就是a ＝b ×q ＋r , 0≤r ＜b ；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。这里： (1)当0r =时：我们称a 可以被b 整除，q 称为a 除以b 的商或完全商 (2)当0r ≠时：我们称a 不可以被b 整除，q 称为a 除以b 的商或不完全商 一个完美的带余除法讲解模型:如图 这是一堆书，共有a 本，这个a 就可以理解为被除数，现在要求按照b 本一捆打包，那么b 就是除数的角色，经过打包后共打包了c 捆，那么这个c 就是商，最后还剩余d 本，这个d 就是余数。 这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中4个量的关系。并且可以看出余数一定要比除数小。 2. 余数的性质 ⑴ 被除数=除数?商+余数；除数=（被除数-余数）÷商；商=（被除数-余数）÷除数； ⑵ 余数小于除数． 二、 余数定理： 1.余数的加法定理 a 与 b 的和除以 c 的余数，等于a ,b 分别除以c 的余数之和，或这个和除以c 的余数。 例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16＝39除以5的余数等于4，即两个余数的和3+1. 当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c 的余数。 例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23+19＝42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数为 2 2.余数的加法定理 a 与 b 的差除以 c 的余数，等于a ,b 分别除以c 的余数之差。 知识框架 余数性质及同余定理
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23－16＝7除以5的余数等于2，两个余数差3－1＝ 2. 当余数的差不够减时时，补上除数再减。 例如：23，14除以5的余数分别是3和4，23－14＝9除以5的余数等于4，两个余数差为3＋5－4＝4 3.余数的乘法定理 a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。 例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23×16除以5的余数等于3×1＝3。当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c的余数。 例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23×19除以5的余数等于3×4除以5的余数，即2. 乘方：如果a与b除以m的余数相同，那么n a与n b除以m的余数也相同． 一、同余定理 1、定义 整数a和b，除以一个大于1的自然数m所得余数相同，就称a和b对于模m同余或称a和b在模m下同余，即a≡b（modm） 2、同余的重要性质及举例。 〈1〉a≡a（modm）（a为任意自然）； 〈2〉若a≡b（modm），则b≡a（modm） 〈3〉若a≡b（modm），b≡c（modm）则a≡c（modm）； 〈4〉若a≡b（modm），则ac≡bc（modm） 〈5〉若a≡b（modm），c≡d（modm），则ac=bd（modm）； 〈6〉若a≡b（modm）则an≡bm（modm） 其中性质〈3〉常被称为"同余的可传递性"，性质〈4〉、〈5〉常被称为"同余的可乘性，"性质〈6〉常被称为"同余的可开方性" 注意：一般地同余没有"可除性"，但是：如果：ac=bc（modm）且（c，m）=1则a≡b（modm）3、整数分类： 〈1〉用2来将整数分类，分为两类： 1，3，5，7，9，……（奇数）； 0，2，4，6，8，……（偶数） 〈2〉用3来将整数分类，分为三类： 0，3，6，9，12，……（被3除余数是0） 1，4，7，10，13，……（被3除余数是1） 2，5，8，11，14，……（被3除余数是2）
圆的基本概念和性质—知识讲解（提高） 【学习目标】 1．知识目标：理解圆的有关概念和圆的对称性； 2．能力目标：能应用圆半径、直径、弧、弦、弦心距的关系，?圆的对称性进行计算或证明； 3．情感目标：养成学生之间发现问题、探讨问题、解决问题的习惯. 【要点梳理】 要点一、圆的定义及性质 1.圆的定义 (1)动态：如图，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径. 以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”． 要点诠释： ①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可； ②圆是一条封闭曲线. (2)静态：圆心为O，半径为r的圆是平面内到定点O的距离等于定长r的点的集合. 要点诠释： ①定点为圆心，定长为半径； ②圆指的是圆周，而不是圆面； ③强调“在一个平面内”是非常必要的，事实上，在空间中，到定点的距离等于定长的点的集合是球面，一个闭合的曲面. 2.圆的性质 ①旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形，对称中心是圆心； ②圆是轴对称图形：任何一条直径所在直线都是它的对称轴.或者说，经过圆心的任何一条直线都是圆的对称轴. 要点诠释： ①圆有无数条对称轴； ②因为直径是弦，弦又是线段，而对称轴是直线，所以不能说“圆的对称轴是直径”，而应该说“圆的对称轴是直径所在的直线”. 3.两圆的性质 两个圆组成的图形是一个轴对称图形，对称轴是两圆连心线（经过两圆圆心的直线叫做两圆连心线）. 要点二、与圆有关的概念 1.弦 弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦. 直径：经过圆心的弦叫做直径. 弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距.
同余问题（一） 在平时解题中，我们经常会遇到把着眼点放在余数上的问题。如：现在时刻是7时30分，再过52小时是几时几分？我们知道一天是24小时， ，也就是说52小时里包含两个整天再加上4小时，这样就在7 时30分的基础上加上4小时，就是11时30分。很明显这个问题的着眼点是放在余数上了。 1. 同余的表达式和特殊符号 37和44同除以7，余数都是2，把除数7称作“模7”，37、44对于模7同余。 记作：（mod7）“”读作同余。 一般地，两个整数a和b，除以大于1的自然数m所得的余数相同，就称a、b对于模m同余，记作： 2. 同余的性质 （1）（每个整数都与自身同余，称为同余的反身性。） （2）若，那么（这称作同余的对称性） （3）若，，则（这称为同余的传递性） （4）若，，则（）（这称为同余的可加性、可减性） （称为同余的可乘性） （5）若，则，n为正整数，同余还有一个非常有趣的现象： 如果
那么（的差一定能被k整除） 这是为什么呢？ k也就是的公约数，所以有 下面我们应用同余的这些性质解题。 【例题分析】 例1. 用412、133和257除以一个相同的自然数，所得的余数相同，这个自然数最大是几？ 分析与解答： 假设这个自然数是a，因为412、133和257除以a所得的余数相同，所以，，说明a是以上三个数中任意两数差的约数，要求最大是几，就是求这三个差的最大公约数。 所以a最大是31。 例2. 除以19，余数是几？ 分析与解答：
如果把三个数相乘的积求出来再除以19，就太麻烦了，利用同余思想解决就容易了。 所以 此题应用了同余的可乘性，同余的传递性。 例3. 有一个1997位数，它的每个数位都是2，这个数除以13，商的第100位是几？最后余数是几？ 分析与解答： 这个数除以13，商是有规律的。 商是170940六个数循环，那么，即， 我们从左向右数“170940”的第4个数就是我们找的那个数“9”，所以商的第100位是9。 余数是几呢？
余数及同余问题 （一） 1、310被一个两位数整除，余数是37，这个两位数是_________。 2、一个数除以23余数是2，把被除数扩大到4倍，余数是________。 3、某数用3除余1，用5除余3，用7除余5，此数最小是________。 4、378×196×251除以17的余数是________。 5、若871和633两个自然数都被同一个两位数相除，所得的余数都是4，除数是__________。 6、有一个整数，用它去除70,98,143得到的三个余数之和是29，则这个数是___________。 7、一个数除200余5，除300余1，除400余10，这个数是__________。 8、有一个等于1的整数，用它去除967，1000，2001，得到相同余数，那么这个整数是_______。 9、在1——3000之间同时被3，5，7除都余2的数有_______个。 10、数713,1103,830,947被一个数整除，所得余数相同（不为0），求这个除数_________。 11、一个数除以7余2，如果把被除数扩大9倍，那么余数是几？_________ 12、账本上记着买机器用去□□12元，其中千位数字和百位数字模糊不清，但采购员还记得这个数减去7能被7整除，减去8能被8整除，减去9能被9整除，你能算出买这台机器用去多少元吗？_________。 （二） 1、如果某数除492，2241,3195都余15，那么这个数是________。 2、有一个数除以3余2，除以4余1，那么这个数除以12余_______。 3、乘积34×37×41×43除以13的余数是____________。 4、666…66（1999个6）除以7所得的余数是____________。 5、有一个三位数，其中个位上的数字是百位上的数字的3倍，且这个三位数除以5余4，除以11余3，这个三位数是_________。
第三章 同余 §1 同余的概念及其基本性质 定义 给定一个正整数m ，若用m 去除两个整数a 和b 所得的余数相同，则称,a b 对模m 同余，记作()mod .a b m ≡若余数不同，则称,a b 对模m 不同余，记作 ()\mod a b m ≡. 甲 ()mod . a a m ≡ （甲：jia 3声调； 乙：yi 3声调； 丙：bing 3声调； 丁：ding 1声调； 戊：wu 声调； 己：ji 3声调； 庚：geng 1声调； 辛: xin 1声调 天； 壬: ren 2声调； 癸: gui 3声调.） 乙 若()mod ,a b m ≡则()mod .b a m ≡ 丙 若()()mod ,mod ,a b m b c m ≡≡则()mod .a c m ≡ 定理1 ()mod |.a b m m a b ≡?- 证 设()mod a b m ≡，则12,,0.a mq r b mq r r m =+=+≤<于是， ()12,|.a b m q q m a b -=-- 反之，设|.m a b -由带余除法，111222,0,,0a mq r r m b mq r r m =+≤<=+≤<，于是， ()()1221. r r m q q a b -=-+- 故，12|m r r -，又因12r r m -<，故()12,mod .r r a b m =≡ 丁 若()()1122mod ,mod ,a b m a b m ≡≡则，()1212mod .a a b b m ±≡± 证 只证“+”的情形.因()()1122mod ,mod a b m a b m ≡≡，故1122,m a b m a b --，于是()()()()11221212|m a b a b a a b b -+-=+-+，所以()1212mod .a a b b m +≡+ 推论 若()mod ,a b c m +≡则()mod .a c b m ≡-
1.两数相除商37余73，求被除数的最小值。 解析：2881 2.两数相除，商4余8，被除数、除数、商和余数的和为415，则被除数是多少？ 解析：被除数是424，除数是79. 3.小明在做题的时候由于马虎，错把被除数360看做390，商比原来大了3，求原来 的除数。 解析：除数是10. 4.小明在做题的时候由于马虎，错把被除数360看做390，商比原来大了3，余数也 比原来大了3.求原来的除数。 解析：除数是9. 5.求算式3218+26-757除以9的余数。 解析：3. 6.求4 13除以5的余数。 解析：1. 7. 2461×135×6047÷11的余数是多少？ 解析：5. 8. ÷7的余数是多少？
解析：0. 9.求123456789101112……199200除以9的余数是________; 解析：3. 10. 数11…1(2007个1),被13除余多少? 解析：7 11.已知一个两位数除1477,余数是49.那么,满足那样条件的所有两位数是 . 解析:1477-49=1428是这两位数的倍数,又1428=2×2×3×7×17=51×28=68× 21=84×17,因此所求的两位数51或68或84. 12.有苹果,桔子各一筐,苹果有240个,桔子有313个,把这两筐水果分给一些小朋友,已知苹果等分到最后余2个不够分,桔子分到最后还余7个桔子不够再分,求最多有多少个小朋友参加分水果？ 解析：此题是一道求除数的问题.原题就是说,已知一个数除240余2,除313余7,求这个数最大为多少,我们可以根据带余除法的性质把它转化成整除的情况,从而使问题简化,因为240被这个数除余2,意味着240-2=238恰被这个数整除,而313被这个数除余7,意味着这313—7=306恰为这个数的倍数,我们只需求238和306的最大公约数便可求出小朋友最多有多少个了.240—2=238(个) ,313—7=306(个) ,(238,306)=34(人) .
余数同余问题 1、用一个自然数去除另一个自然数，不完全商是8，余数是16，被除数、除数、商、余数 这四个数的和为463，那么除数为： 2、57、96、148被某自然数整除，余数相同，且不为零，那么284被这个自然数除后余： 3、150、232、396被某个两位数除后都有余数，且余数都是同一个奇数，那么所得的余数 是： 4、有一个自然数，用它分别去除81、127、232都有余数，且3个余数的和是33，那么这 个自然数是： 5、一个两位数去除251，得到的余数是41，这个两位数是： 6、两个小于100的不同自然数去除440，余数都是35，这两个数的差为： 7、一个两位数除以8，商与余数相同，那么这样的数总和为： 8、有一个除法算式，被除数、除数和商都是整数，且没有余数，被除数、除数、商相加的 和是79，被除数和除数相差56，这个算式是： 9、一个整数，减去它除以5后所得余数的4倍，差是234，这个自然数是： 10、2010除以一个两位数ab=（），使所得余数最大。 11、1）一个两位数被它的各位数字之和去除，能得到的最大余数是： 2）一个三位数被它的各位数字之和去除，能得到的最大余数是： 12、在大于2010的自然数中，逐个找出“被49除后，商与余数相等的数”，这些数的和是： 13、用一个自然数A去除333，商得4，用所得余数去除自然数B，所得商和余数相加恰好为A，那么B最小为： 14、两个数字之和为10、8的三位数乘积是一个五位数，且这个五位数的后四位是1031，那么这两位三位数之和是： 15、一个自然数除以9的余数和除以8的商的和等于13，那么这个数除以8的余数是： 16、一个自然数除以7的余数和除以8的商的和等于15，则满足条件的所有自然数的和是： 17、10个自然数的和为100，分别除以3，若用去尾法，10个商的和为30，若用四舍五入法，10个商的和为34，那么10个数中被3除余1的数有： 18、一个三位数分别被63、95、143除之后所得的余数之和为19，那这个三位数是： 19、在小于1000的正整数中，被12、15和18除得余数相同的数共有： 20、若M=3x＋x3，当x取1、2、3、……、2010时，能被7整除的M共有： 21、当X取1、2、3、……2010时，有（）个整数X使2x与X2被7除余数相同。 22、已知“2n－N”是一个9的倍数，那么N在1000以内的自然数中有（）种取值。 23、已知N是从1到100的自然数，那么 1）有（）个N的值满足N2－1能被7整除； 2）有（）个N的值满足2n－1能被7整除。 24、甲、乙、丙三数分别为526、539、705，某数A除甲数所得余数是A除乙数所得余数的2倍，A除乙数所得余数与A除丙数所得余数的比是2：3，那么A是：（） 25、用一个大于1的自然数去除963582、714所得的余数依次成等差数列，那么除数可以是： 26、有一个三位数，它除以19所得到的商与余数之和，恰好等于它除以17所得到的商与余
圆的有关概念和性质 一 本讲学习目标 1、理解圆的概念及性质，能利用圆的概念和性质解决有关问题。 2、理解圆周角和圆心角的关系；能运用几何知识解决与圆周角有关的问题。 3、了解垂径定理的条件和结论，能用垂径定理解决有关问题。 二 重点难点考点分析 1、运用性质解决有关问题 2、圆周角的转换和计算问题 3、垂径定理在生活中的运用及其计算 三 知识框架 圆的定义 确定一个圆 不在同一直线上的三点点与圆的位置关系 圆的性质 圆周角定理及其推论 垂径定理及其推论距关系定理及其推论圆心角、弦、弧、弦心对称性 四 概念解析 1、 圆的定义，有两种方式： 错误！未找到引用源。在一个平面内，线段OA 绕它固定的一个端点O 旋转一周，一个端点A 随之旋转说形成的图形叫做圆。固定端点O 叫做圆心，以O 为圆心的圆记作O ，线段OA 叫做半径； 错误！未找到引用源。圆是到定点的距离等于定长的点的集合。注意：圆心确定圆的位置，半径决定圆的大小。 2、 与圆有关的概念： 错误！未找到引用源。弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦；如图1所示 线段AB ，BC ，AC 都是弦； 错误！未找到引用源。直径：经过圆心的弦叫做直径；如AC 是O 的直径，直径是圆中最长的弦； 错误！未找到引用源。弧：圆上任意两点之间的部分叫做圆弧，简 称弧，如曲线BC,BAC 都是O 中的弧，分别记作BC 和BAC ； 错误！未找到引用源。半圆：圆中任意一条直径的两个端点分圆成
两条弧，每条弧都叫做半圆，如AC 是半圆； 错误！未找到引用源。劣弧和优弧：像BC 这样小于半圆周的圆弧叫做劣弧，像BAC 这样大于 半圆周的圆弧叫做优弧； 错误！未找到引用源。同心圆：圆心相同，半径不等的圆叫做同心圆； 错误！未找到引用源。弓形：由弦及其说对的弧所组成的图形叫做弓形； 错误！未找到引用源。等圆和等弧：能够重合的两个圆叫做等圆，在同圆或等圆中，能够重合的弧叫做等弧； 错误！未找到引用源。圆心角：定点在圆心的角叫做圆心角如图1中的∠AOB,∠BOC 是圆心角，圆心角的度数：圆心角的读书等于它所对弧的度数；∠ 错误！未找到引用源。 圆周角：定点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角；如图1中的∠BAC,∠ACB 都是圆周角。 3、 圆的有关性质 ①圆的对称性 圆是轴对称图形，经过圆心的直线都是它的对称轴，有无数条。圆是中心对称图形，圆心是对称中心，优势旋转对称图形，即旋转任意角度和自身重合。 错误！未找到引用源。垂径定理 A. 垂直于弦的直径平分这条弦，且评分弦所对的两条弧； B. 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且评分弦所对的两条弧。如图2 所示。 注意 (1)直径CD ，（2）CD ⊥AB,(3)AM=MB,(4)BD AC =BC ,(5)AD =BD .若 上述5个条件中有2个成立，则另外3个业成立。因此，垂径定理也称五二三定理，即推二知三。（以（1），（3）作条件时，应限制AB 不能为直径）。 错误！未找到引用源。弧，弦，圆心角之间的关系 A. 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等； B. 同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦中有一组量相等，他们所对应的其余各组量也相等； 错误！未找到引用源。圆周角定理及推论 A.圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半； B.圆周角定理的推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90的圆周角所对的弦是直径。 五 例题讲解 例1. 如图所示，C 是⊙O 上一点，O 是圆心，若80AOB =∠，求B A ∠+∠ 的值. 例1题图 A B C O
1. 同余方程15x ≡12(mod99)关于模99的解是__ x ≡14,47,80(mod99)_。 2. 同余方程12x+7≡0 (mod 29)的解是__ x ≡26 (mod 29)_____. 3. 同余方程41x≡3(mod 61)的解是__ _ . 4. 同余方程9x+12≡0(mod 37)的解是___ x ≡11(mod 37)______ 5. 同余方程13x ≡5(mod 31)的解是_ x ≡ 29(mod 31)__ 6. 同余方程24x ≡6(mod34)的解是__ x ≡13,30(mod34)__ 7. 同余方程26x+1≡33 (mod 74)的解是__ x ≡24,61 (mod 74)_ 8. 同余方程ax +b ≡0(mod m )有解的充分必要条件是__()b m a ,_ 9. 21x ≡9 (mod 43)的解是_ x ≡25 (mod 43)__ 10. 设同余式()m b ax mod ≡有解()m x x mod 0≡，则其一切解可表示为_ _ . 11. 解同余式()15mod 129≡x 12. 同余式()111mod 1227≡x 关于模11有几个解？（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 13. 同余式3x ≡2(mod20)解的个数是（ B ） A.0 B.1 C.3 D.2 14. 同余式72x ≡27(mod81)的解的个数是_9_个。 15. 同余方程15x ≡12(mod27) 16. 同余方程6x ≡4(mod8)有 个解。 17. 同余式28x ≡21(mod35)解的个数是( B ) A.1 B.7 C.3 D.0 18. 解同余方程：63x ≡27(mod72) 19. 同余方程6x≡7(mod 23)的解是__ _ . 20. 以下同余方程或同余方程组中,无解的是（ B ） A.6x ≡10(mod 22) B.6x ≡10(mod 18) C.???≡≡20) 11(mod x 8) 3(mod x D. ???≡≡9) 7(mod x 12) 1(mod x 21. 同余方程12x ≡8(mod 44)的解是x ≡8,19,30,41(mod 44)____ 22. 同余方程20x ≡14(mod 72)的解是 ___ 23. 下列同余方程无解的是( A ) A.2x ≡3(mod6) B.78x ≡30(mod198) C.8x ≡9(mod11) D.111x ≡75(mod321) 24. 解同余方程 17x+6≡0(mod25) 25. 同余方程3x ≡5(mod16) 的解是___ x ≡7(mod16)____ 26. 同余方程3x ≡5(mod14)的解是_ x ≡11(mod14)的解是__。 27. 同余方程3x ≡5(mod13)的解是__ x ≡6(mod13)_________。 28. 下列同余方程有唯一解的是( C )
第五讲同余的概念和性质 “师”之概念，大体是从先秦时期的“师长、师傅、先生”而来。其中“师傅”更早则意指春秋时国君的老师。《说文解字》中有注曰：“师教人以道者之称也”。“师”之含义，现在泛指从事教育工作或是传授知识技术也或是某方面有特长值得学习者。“老师”的原意并非由“老”而形容“师”。“老”在旧语义中也是一种尊称，隐喻年长且学识渊博者。“老”“师”连用最初见于《史记》，有“荀卿最为老师”之说法。慢慢“老师”之说也不再有年龄的限制，老少皆可适用。只是司马迁笔下的“老师”当然不是今日意义上的“教师”，其只是“老”和“师”的复合构词，所表达的含义多指对知识渊博者的一种尊称，虽能从其身上学以“道”，但其不一定是知识的传播者。今天看来，“教师”的必要条件不光是拥有知识，更重于传播知识。你会解答下面的问题吗？ 我国古代的读书人，从上学之日起，就日诵不辍，一般在几年内就能识记几千个汉字，熟记几百篇文章，写出的诗文也是字斟句酌，琅琅上口，成为满腹经纶的文人。为什么在现代化教学的今天，我们念了十几年书的高中毕业生甚至大学生，竟提起作文就头疼，写不出像样的文章呢?吕叔湘先生早在1978年就尖锐地提出:“中小学语文教学效果差，中学语文毕业生语文水平低，……十几年上课总时数是9160课时，语文是2749课
时，恰好是30%，十年的时间，二千七百多课时，用来学本国语文，却是大多数不过关，岂非咄咄怪事!”寻根究底，其主要原因就是腹中无物。特别是写议论文，初中水平以上的学生都知道议论文的“三要素”是论点、论据、论证，也通晓议论文的基本结构:提出问题――分析问题――解决问题，但真正动起笔来就犯难了。知道“是这样”，就是讲不出“为什么”。根本原因还是无“米”下“锅”。于是便翻开作文集锦之类的书大段抄起来，抄人家的名言警句，抄人家的事例，不参考作文书就很难写出像样的文章。所以，词汇贫乏、内容空洞、千篇一律便成了中学生作文的通病。要解决这个问题，不能单在布局谋篇等写作技方面下功夫，必须认识到“死记硬背”的重要性，让学生积累足够的“米”。问题1：今天是星期日，再过15天就是“六·一”儿童节了，问“六·一”儿童节是星期几？ 与当今“教师”一称最接近的“老师”概念，最早也要追溯至宋元时期。金代元好问《示侄孙伯安》诗云：“伯安入小学，颖悟非凡貌，属句有夙性，说字惊老师。”于是看，宋元时期小学教师被称为“老师”有案可稽。清代称主考官也为“老师”，而一般学堂里的先生则称为“教师”或“教习”。可见，“教师”一说是比较晚的事了。如今体会，“教师”的含义比之“老师”一说，具有资历和学识程度上较低一些的差别。辛亥革命后，教师与其他官员一样依法令任命，故又称“教师”为“教
六余数和同余 1.有余数的除法各部分之间的关系： 被除数=除数×商＋余数被除数－余数﹦商×除法 2.除法算式的特征:余数＜除数 3.有关余数问题的性质： 性质1：如果两个整数a,b除以同一个数m，而余数相同，那么a和b的差能被m整除。 性质2：对于同一个除数，如果两个整数同余，那么他们的差就一定能被这个数整除。性质3：对于同一个除数，如果两个整数同余，那么他们的乘方仍然同余。 解答同余类型题目的关键是灵活运用性质，把求一个比较大的数字除以某数的余数问题转化为求一个较小数除以这个数的余数，使复杂的问题变得简单化。 1.把题目转化为算式就是：□÷7﹦□……□ 余数要比除数7小，商和余数相同，题中商和余数可能是0、1、2、3、4、5、6，带入原式。根据被除数﹦商×除法＋余数，算得： 0×7＋0﹦0；1×7＋1﹦8；2×7＋2﹦16；3×7＋3﹦24； 4×7＋4﹦32；5×7＋5﹦40；6×7＋6﹦48。 所求被除数可能是：0、8、16、24、32、40、48。 一个三位数被37除余17，被36除余3，那么这个三位数是多少？有啥好方法吗？ 这道题可采取经典的余数处理方法------凑。 这个凑，可不是漫无目的的凑。而是有理有据才行。 1、找一个最小的自然数，满足除以37余17，当然17即可满足。 2、很显然，这个数除以36并不余3，作适当调整。 3、为了不改变37的那个余数，每次可加上一个37. 4、每加一次37，除以36的那个余数就增加1（记住，不要计算被除数是多少，而采取的是余数的性质。被除数扩大一倍，余数也扩大一倍，被除数增加几，余数也会增加几（或者除以除数的余数）） 5、因为我们要求的数除以36要余3，现在只是余17，即达到36后再多出3，即余39（注意，这里用的是扩展余数），还差39-17=22.所以要增加22个37. 6、结果是17+22×37即为答案。 在作除法运算时，我们有这样的经验： (1)一些不同的数除以一个相同的数可能会得到相同的余数.如，除以5余3的数有5×1+3=8，5×2+3=13，5×3+3=18，5×4+3=23， (2)一个相同的数除以一些不同的数，可能会有相同的余数.如，389分别除以5、7和11会得到相同的余数4. 389÷5=77......余4，389÷7=55......余4，389÷11=55 (4) 由此，我们可以来讨论下面的两个问题.
小学奥数五年级同余 问题
同余问题 【模块一：带余除法的定义和性质】 1、一个两位数除310，余数是37，求这样的两位数。 2、(2003年全国小学数学奥林匹克试题)有两个自然数相除，商是17，余数是13，已知被除数、除数、商与余数之和为2113，则被除数是多少？ 3、(2000年“祖冲之杯”小学数学邀请赛试题)三个不同的自然数的和为2001，它们分别除以19,23,31所得的商相同，所得的余数也相同，这三个数是_______，_______，_______。 4、(1997年我爱数学少年数学夏令营试题)有48本书分给两组小朋友，已知第二组比第一组多5人．如果把书全部分给第一组，那么每人4本，有剩余；每人5本，书不够．如果把书全分给第二组，那么每人3本，有剩余；每人4本，书不够．问：第二组有多少人? 【模块二：三大余数定理的应用】 5、(2003年南京市少年数学智力冬令营) 20032与2 2003的和除以7的余数____． 6、(2004年南京市少年数学智力冬令营)在1995，1998，2000，2001，2003中，若其中几个数的和被9除余7，则将这几个数归为一组．这样的数组共有___组． 7、(2002年全国小学数学奥林匹克试题)用自然数n 去除63，91，129得到的三个余数之和为25，那么n=________ 8、(华罗庚金杯赛模拟试题)求478296351??除以17的余数． 9、(2008年奥数网杯)已知 20082008200820082008a =L 144424443个，问：a 除以13所得的余数是多 少？ 【模块三：余数综合应用】 10、著名的裴波那契数列是这样的：1、1、2、3、5、8、13、21……这串数列当中第2008个数除以3所得的余数为多少？
数论之同余问题 余数问题是数论知识板块中另一个内容丰富，题目难度较大的知识体系，也是各大杯赛小升初考试必考的奥数知识点，所以学好本讲对于学生来说非常重要。 许多孩子都接触过余数的有关问题，并有不少孩子说“遇到余数的问题就基本晕菜了！” 余数问题主要包括了带余除法的定义，三大余数定理（加法余数定理，乘法余数定理，和同余定理），及中国剩余定理和有关弃九法原理的应用。 知识点拨： 一、带余除法的定义及性质： 一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,若有a÷b=q……r，也就是a＝b×q＋r, 0≤r＜b；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。这里： r=时：我们称a可以被b整除，q称为a除以b的商或完全商 (1)当0 r≠时：我们称a不可以被b整除，q称为a除以b的商或不完全商 (2)当0 一个完美的带余除法讲解模型: 如图，这是一堆书，共有a本，这个a就可以理解为被除数， 现在要求按照b本一捆打包，那么b就是除数的角色，经过打包后 共打包了c捆，那么这个c就是商，最后还剩余d本，这个d就是 余数。 这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中4个量的关系。并且可以看出余数一定要比除数小。 二、三大余数定理： 1.余数的加法定理 a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。 例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16=39除以5的余数等 于4，即两个余数的和3+1. 当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。
例如：23，19除以5的余数分别是3和4，故23+19=42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数，即2. 2.余数的乘法定理 a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。 例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23×16除以5的余数等于3×1=3。 当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c的余数。 例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23×19除以5的余数等于3×4除以5的余数，即2. 3.同余定理 若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数，那么称a、b对于模m同余，用式子表示为：a≡b ( mod m )，左边的式子叫做同余式。 同余式读作：a同余于b，模m。由同余的性质，我们可以得到一个非常重要的推论： 若两个数a，b除以同一个数m得到的余数相同，则a，b的差一定能被m整除 用式子表示为：如果有a≡b ( mod m )，那么一定有a－b＝mk,k是整数，即m|(a－b) 三、弃九法原理： 在公元前9世纪，有个印度数学家名叫花拉子米，写有一本《花拉子米算术》，他们在计算时通常是在一个铺有沙子的土板上进行，由于害怕以前的计算结果丢失而经常检验加法运算是否正确，他们的检验方式是这样进行的： ++++= 例如：检验算式1234189818922678967178902889923 1234除以9的余数为1 1898除以9的余数为8 18922除以9的余数为4 678967除以9的余数为7 178902除以9的余数为0 这些余数的和除以9的余数为2
余数与同余 216两数相除，商是499，余数是3，被除数最小是几？ 217两个数被13除分别余7和10，这两个数的和被 13除余几？ 218用108除一个数余100，如果改用36除这个数，那么余数是几？ 2191111除以一个两位数，余数是66，求这个两位数。 220用1—9这9个数码连续不断地排列成一个100位数 89… 这个100位数除以9余几？ 221把自然数从小到大依次无间隔地写成一个数。问：从第1个数码到第300个数码所构成的数除以9余几？ 222求这样的三位数，它除以9所得的余数等于组成它的三个数字的平方和。 223求下列各数除以11的余数： 224将自然数1—40从左至右依次排列成一个71位数，求这个数除以11的余数。 225已知大小两数之和是789，大数去掉个位数字后等于小数。求大数。 226分别求满足下列条件的最小自然数： (1)用3除余2，用5除余1，用7除余1； (2)用3除余1，用5除余2，用7除余2； (3)用3除余2，用7除余4，用11除余1。 227一个自然数在1000到1200之间，且被3除余1，被5除余2，被7除余3。求这个自然数。 228A，B，C三人绕校园一周的时间分别为6分、7分、11分。由开始点A出发后，B比A晚1分钟出发，C比B晚5分钟出发，那么A，B，C初次同时通过开始出发的地点是在A出发后多少分钟？
229有一类自然数，其中每一个数与2的和都是5的倍数，与5的差都是6的倍数。问：这类自然数中最小的是几？ 230有一类自然数，其中每一个数与5的和都是9的倍数，与5的差都是7的倍数。请按从小到大的顺序写出这类自然数中的前三个。 231在一个四位数除以19的竖式中，每商一次后的余数都是8。满足条件的四位数有哪些？ 232一个自然数，减去它除以7所得余数的5倍，结果是100，求原来的自然数。 233两数相除商9余4。如果被除数、除数都扩大到原来的3倍，则被除数、除数、商、余数之和等于2583。求原来的被除数和除数。 234甲、乙、丙、丁四人分扑克牌，先给甲3张，再给乙2张，再给丙1张，最后给丁2张，然后再按照甲3张、乙2张，……的顺序发牌。问：最后一张(第54张)牌发给了谁？ 235节日的街上挂起了长长一排彩灯，从第1盏开始，按照5盏红灯、4盏黄灯、3盏绿灯、2盏蓝灯的顺序周而复始地排下去。问：第2000盏灯是什么颜色？ 236右图中，从A点出发沿顺时针方向绕正方形走，到B点拐第1个弯，在哪个点拐第67个弯？ 237某班学生列队时，排三路纵队多1人，排四路纵队多2人，排五路纵队多3人。问：这班学生至少有多少人？ 238有一个数除以3余2，除以4余1。问：此数除以12余几？ 2392000除以自然数a的不完全商是46，求a。 240678除以一个数的不完全商是13，并且除数与余数的差是8，求除数和余数。 241从6月 25日12时起，过10000分钟后是哪月哪日的几时几分？ 242求1 2＋2 2＋…＋99 2除以4的余数。 243计算下列各式的余数： (1)81547×118÷7；(2)2758×3361÷9； (3)9642×2879×4787÷13；(4)2461×135×6047÷11；
同余的概念与性质 同余：设m 是大于1的正整数，若用m 去除整数b a ,，所得余数相同，则称a 与b 关于模m 同余，记作)(mod m b a ≡，读作a 同余b 模m ；否则称a 与b 关于模m 不同余记作)(mod m b a ≠。 性质1：)(mod m b a ≡的充要条件是Z t mt b a ∈+=,，也即)(|b a m -。 性质2：同余关系满足下列规律： （1）自反律：对任何模m 都有)(mod m a a ≡； （2）对称律：若)(mod m b a ≡，则)(mod m a b ≡； （3）传递律：若)(mod m b a ≡，)(mod m c b ≡，则若)(mod m c a ≡。 性质 3:若,,,2,1),(mod s i m b a i i =≡则 ).(mod ), (mod 21212121m b b b a a a m b b b a a a s s s s ≡+++≡++ 推论： 设k 是整数，n 是正整数， （1）若)(mod m c b a ≡+，则)(mod m b c a -≡。 （2）若)(mod m b a ≡，则)(mod m a mk a ≡+；)(mod m bk ak ≡；)(mod m b a n n ≡。 性质4：设)(x f 是系数全为整数的多项式，若)(mod m b a ≡，则 ))(mod ()(m b f a f ≡。 性质5：若)(mod m bd ad ≡，且1),(=m d ，则)(mod m b a ≡。 性质6：若)(mod m b a ≡，且m d b d a d |,|,|，则)(mod d m d b d a ≡。