§ 2-2 星形电阻网络与三角形电阻网络的等效变换图2-2-1（a）（b）所示三端电阻网络分别称为星形（Y 形）电阻网络和三角形（△形）电阻网络。 图2-2-1 星形电阻网络与三角形电阻网络 星形电阻网络与三角形电阻网络可以根据需要进行等效变换。 （1）、由三角形电阻网络变为等效星形电阻网络 星形网络中①、②两端间的端口等效电阻（③端开路）由与串联组成，三角形网络中①、②两端间的等效电阻（③端开路）由与串联后再与并联组成。令此两等效电阻相等，即得 （③端开路）（2-2-1）
同理（①端开路）（2-2-2） （②端开路）（2-2-3） 由式（2-2-1）至（2-2-3）联立得 （2-2-4） （2-2-5） （2-2-6） 以上三式是由三角形电阻网络变为等效星形电阻网络时计算星形网络电阻的 公式。这三个公式的结构规律可以概括为：星形网络中的一个电阻，等于三角形网络中联接到对应端点的两邻边电阻之积除以三边电阻之和。 （2）、由星形电阻网络变为等效三角形电阻网络 可将式（2-2-4）、（2-2-5）、（2-2-6）对、和联立求解 得（2-2-7） （2-2-8）
（2-2-9） 这是由星形电阻网络变换为等效三角形电阻网络时计算三角形网络电阻的公 式。这三个公式的结构规律可以概括为：三角形网络中一边的电阻，等于星形网络中联接到两个对应端点的电阻之和再加上这两个电阻之积除以另一电阻。 （3）、对称三端网络（symmetrical three –terminal resistance network）三个电阻相等的三端网络称为对称三端网络。 对称三端电阻网络的等效变换： 已知三角形网络电阻为 变换为等效星形电阻网络的等效电阻为 相反的变换是 就是说：对称三角形电阻网络变换为等效星形电阻网络时，这个等效星形电阻网络也是对称的，其中每个电阻等于原对称三角形网络每边电阻的。对称星形电阻网络变换为等效三角形电阻网络时，这个等效三角形电阻网络也是对称的，其中每边的电阻等于原对称星形网络每个电阻的3倍。
电阻的星形和三角形连接的等效变换 1、电阻的星形和三角形连接 三个电阻元件首尾相连接，连成一个封闭的三角形，三角形的三个顶点接到外部电路的三个节点，称为电阻元件的三角形连接简称△连接，如图2.7（a ）所示。三个电阻元件的一端连接在一起，另一端分别连接到外部电路的三个节点，称为电阻元件的星形连接，简称Y 形连接，如图2.7（b ）所示。 三角形连接和星形连接都是通过三个节点与外部电路相连，它们之间的等效变换是要求它们的外部特性相同，也就是当它们的对应节点间有相同的电压12U 、23U 、31U 时，从外电路流入对应节点的电流1I 、2I 、3I 也必须分别相等，即Y-△变换的等效条件。 一种简单的推导等效变换方法是：在一个对应端钮悬空的同等条件下，分别计算出其余两端钮间的电阻，要求计算出的电阻相等。 悬空端钮3时，可得：12233112122331()R R R R R R R R ++= ++ 悬空端钮2时，可得：31122331122331()R R R R R R R R ++= ++ 悬空端钮1时，可得：23123123122331 ()R R R R R R R R ++=++ 联立以上三式可得：1231112233112232122331 3123 3122331R R R R R R R R R R R R R R R R R R = ++=++= ++ （2-2）
式（2-2）是已知三角形连接的三个电阻求等效星形连接的三个电阻的公式。
从式（2-2）可解的： 1212123232323131 31312R R R R R R R R R R R R R R R R R R =++ =++ =++ （2-3） 以上互换公式可归纳为： =Y ??形相邻电阻的乘积 形电阻形电阻之和 = Y ?形电阻两两乘积之和 形电阻Y 形不相邻电阻 当Y 形连接的三个电阻相等时，即123Y R R R R ===,则等效△形连接的三个电阻也相等，它们等于 1223313Y R R R R R ?==== 或 1=3Y R R ? （2-4） 如有侵权请联系告知删除，感谢你们的配合！
把三相电源三个绕组的末端、X、Y、Z连接在一起，成为一公共点O，从始端A、B、C引出三条端线，这种接法称为“星形接法”又称“Y形接法”。三相电源是由频率相同、振幅相等而相位依次相差120°的三个正弦电源以一定方式连接向外供电的系统。三相电源的联接方式有Y形和△形两种。 星形接法 三相电的星形接法 是将三相电源绕组或负载的一端都接在一起构成中性线，由于均衡的三相电的中性线中电流为零，故也叫零线：三相电源绕组或负载的另一端的引出线，分别为三相电的三个相线。远程输电时，只使用三根相线，形成三相三线制。到达用户的电路，往往涉及220V和380V 两种电压，需三根相线和一根零线，形成三相四线制。用户为避免漏电形成的触电事故，还要添加一根地线，这时就有三根相线，一根零线和一根地线，故也有三相五线制的说法。常用的接法对称三相四线Y－Y系统是常见常用的系统，有三条火线、一条中线。星形接法的三相电，线电压是相电压的根号3倍，而线电流等于相电流。当三相负载平衡时，即使连接中性线，其上也没有电流流过。三相负载不平衡时，应当连接中性线，否则各相负载将分压不等。 星形接法主要应用在高压大型或中型容量的电动机中，定子绕组只引出三根线。对于星形接法，各相负载平衡，则任何时刻流经三相的电流矢量和等于零。 星形(Y)接法和三角形(△)接法关系密切，其负载相电压、相电流与对称三相线电压、线电流关系如下：
星形接法和三角形接法 星形接法： I线＝I相，U线＝√3×U相， P相＝U相×I相， P＝3P相＝√3×U线×I相=√3×U线×I线； 三角接法： I线＝√3×I相，U线＝U相， P相＝I相×U相， P＝3P相＝√3×I线×U相=√3×I线×U线。 说明：三角(△)联接，Iab=Ia向量+Ib向量=(Ia+Ib)×cos30°=2Ia×√3/2=√3×Ia，线电流是相电流的根号三倍。 另一个重要的应用是电阻的星形联接。 电阻若构成星—三角式(Y —△)联接，则不能用串、并联公式进行等效化简，但它们之间可以用互换等效公式进行等效变换：（1、2、3是节点，R12表示1、2节点之间的电阻，是三角形联接的电阻。）
全国卷历年高考三角函数及解三角形真题归类分析 三角函数 一、三角恒等变换（3题） 1.（2015年1卷2）o o o o sin 20cos10cos160sin10- =（ ） （A ） （B （C ）12- （D ）12 【解析】原式=o o o o sin 20cos10cos 20sin10+ =o sin30=1 2 ，故选D. 考点：本题主要考查诱导公式与两角和与差的正余弦公式. 2.（2016年3卷）（5）若3 tan 4 α= ，则2cos 2sin 2αα+=（ ） (A)6425 (B) 4825 (C) 1 (D)1625 【解析】由3tan 4α=，得34sin ,cos 55αα==或34 sin ,cos 55αα=-=-，所以 2161264 cos 2sin 24252525 αα+=+?=，故选A ． 考点：1、同角三角函数间的基本关系；2、倍角公式． 3.（2016年2卷9）若π3 cos 45α??-= ???，则sin 2α= （A ） 7 25 （B ）15 （C ）1 5 - （D ）725 - 【解析】∵3cos 45πα??-= ???，2ππ 7sin 2cos 22cos 12425ααα????=-=--= ? ????? ，故选D ． 二、三角函数性质（5题） 4.（2017年3卷6）设函数π ()cos()3 f x x =+，则下列结论错误的是（） A ．()f x 的一个周期为2π- B ．()y f x =的图像关于直线8π 3 x =对称 C ．()f x π+的一个零点为π6x = D ．()f x 在π (,π)2 单调递减 【解析】函数()πcos 3f x x ? ?=+ ?? ?的图象可由cos y x =向左平移π3个单位得到， 如图可知，()f x 在π,π2?? ??? 上先递减后递增，D 选项错误，故选D.
第2讲 三角变换与解三角形 考情解读 1.高考中常考查三角恒等变换有关公式的变形使用，常和同角三角函数的关系、诱导公式结合.2.利用正弦定理或余弦定理解三角形或判断三角形的形状、求值等，经常和三角恒等变换结合进行综合考查． 1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1)sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β. (2)cos(α±β)＝cos αcos β?sin αsin β. (3)tan(α±β)＝tan α±tan β1?tan αtan β . 2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)sin 2α＝2sin αcos α. (2)cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α. (3)tan 2α＝2tan α 1－tan 2α. 3．三角恒等式的证明方法 (1)从等式的一边推导变形到另一边，一般是化繁为简． (2)等式的两边同时变形为同一个式子． (3)将式子变形后再证明． 4．正弦定理 a sin A ＝ b sin B ＝ c sin C ＝2R (2R 为△ABC 外接圆的直径)． 变形：a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C . sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c 2R . a ∶ b ∶ c ＝sin A ∶sin B ∶sin C . 5．余弦定理 a 2＝ b 2＋ c 2－2bc cos A ，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C . 推论：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 2 2ac ， cos C ＝a 2＋b 2－c 2 2ab .
第2讲 三角变换与解三角形 一、选择题 1．(2010·福建卷)计算1－2sin 222.5°的结果等于 ( ) A.12 B.22 C.33 D.32 解析：1－2sin 222.5°＝cos 45°＝22 . 答案：B 2．已知tan θ＝2，则sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ＝ ( ) A ．－43 B.54 C ．－34 D.45 解析：sin 2θ＋sin θ·cos θ－2cos 2θ＝sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θsin 2θ＋cos 2θ＝tan 2θ＋tan θ－2 tan 2θ＋1，又 tan θ＝2，故原式＝4＋2－24＋1＝45. 答案：D 3．已知锐角△ABC 的面积为33，BC ＝4，CA ＝3，则角C 的大小为 ( ) A ．75° B ．60° C ．45° D ．30° 解析：由题知，12×4×3×sin C ＝33，∴sin C ＝3 2. 又0
解析：∵a >0，∴tan α＋tan β＝－4a <0，tan α·tan β＝ 3a ＋1>0，又∵α、β∈? ?? ??－π2，π2， ∴α、 β∈? ????－π2，0，则α＋β2∈? ???? －π2，0，∴tan(α＋β)＝ tan α＋tan β 1－tan α·tan β＝－4a 1－(3a ＋1) ＝ 43 ，∴tan(α＋β)＝2tan α＋β 2 1－tan 2 α＋β 2 ＝4 3，整理得2tan 2α＋β2＋3tan α＋β2－2＝0，解得tan α＋β2 ＝－2或1 2 (舍去)．故选B. 答案：B 5．(2010·北京卷)某班设计了一个八边形的班徽(如图)，它 由腰长为1，顶角为α的四个 等腰三角形，及其底边构成的正方形所组成．该八 边形的面积为 ( )
电机三角形连接和星形连接的区别
精品资料 电机三角形连接和星形连接的区别 三角形连接和星形连接从电机外部看是没有任何区别的，你可以把电机看成一个黑盒子，外面看就是三根进线，通以互差120度的电流。 要说到电机三角形连接和星形连接的区别，只是在电机本体设计的时候会关注，我们知道，教科书上写星形连接的线电压是相电压的1.732倍，三角形的线电压等于相电压，在电机设计阶段，都会折算成等效三个等效单相，因为三相电机的等效电路是等效成单相的。对于一个输入线电压为380V的电机而言，如果设计成星形，那么就按220V计算单相电路，如果设计成角形，那么就按380V计算单相电路，但相电流减小。这个时候体现在电机上就是三角形的线用得长些细些，星形的线短些粗些，但理论上用的材料是一样多。一旦电机做好后，从外部看，理论上三角形连接和星形连接是没区别的，你也没有办法单纯从外部三根线去区分二者的区别。 这里可能有同学想问，为什么电机要分成三角形和星形连接这么麻烦。原则上讲，星形电机内部不会产生环流，理论上比三角形好，因为实际上三相绕组不可能绝对平衡，三相电压总有微小差异，这样在三角形内部会形成环流造成发热和效率降低（当然这个影响实际上很小）。做成三角形连接是有历史原因的，那就是没有变频器的时候，电机启动时可以利用接触开关改变连接，将其接成星形，这样每个绕组的电压由380将为220，大大减小了启动冲击电流，待启动后切换成三角形。这就是所谓的星-三角启动。星-三角启动可以成比例降低启动电流，但是会成平方降低启动转矩，所以只能用在轻载或空载启动。大家看到的风机水泵用星-三角启动没问题，但是起重机上肯定没有用星-三角启动的，起重机都是用绕线转子串电阻启动，为什么搞这么麻烦，都是有原因的。 电动机连接组别: 1. 当三相电机的三相绕组按△方式接线时，即绕组按U1-W2、U2-V1、V2-W1顺序连接后，引出线U1 V1 W1接于三相电源，此时每相绕组U1-U2 V1-V2 W1-W2上承受的是三相电源的线电压也就是380V.这样的接法使得电机的输出转矩较大。 2.如果改为Y形连接，即绕组U2 V2 W2封在一起，三相绕组的另外一端U1 V1 W1分别与三相电源连接，则绕组U1-V1 V1-W1 W1-U1间的电压为电源电压380V,如果绕组U2 V2 W2封在一起后有引出线即中性点引出线O,那么每相绕组即U1-O V1-O W1-O 间的电压为电源电压的相电压也就是380V/1.732=220V. 相对于△形接线是电机输出的转矩较小。 通常三相交流电动机的额定功率在3千瓦以下的多采用星形接法，而3千瓦以上的功 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢2
知识改变命运，学习成就未来 第六讲：三角恒等变换与解三角形 1.cos300?=（ ） A.2- 12- C.1 2 D.2 2.已知α是第二象限的角,1 tan 2 α=- ，则cos α=__________ 3.计算sin 43cos13sin13cos43??-??的值等于（ ） A ． 12 B C D 4.sin163sin 223sin 253sin313??+??等于（ ） A.12- B.1 2 C. 5.若12cos()(0)6 132 π π αα+= <<，则cos α= 6．若(4tan 1)(14tan )17αβ+-=，则tan()αβ-的值为（ ） A.14 B.1 2 C.4 D.12 7.若02 π α<< ，02π β- <<，1cos()43πα+=，cos()423πβ-= ，则cos()2 β α+=（ ） A ． 3 B ．3- C ． 9 D ．9 - 8.(sin 75sin15)(cos15cos75)?-??+?的值是（ ） A. 1 2 2 D.1 9.求值：（1）5cos cos 12 12 π π =
（2）2 12sin 22.5-?= （3） 2 1tan 12tan 12 π π -= 等于（ ） A.2cos5-? B.2cos5? C.2sin5-? D.2sin5? 11.若tan 3α=，则 2sin 2cos a α 的值等于（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．6 12.已知2 sin 3 α= ，则cos(2)πα-=（ ） A.3- B.19- C.1 9 D.3 13.设1 sin( )43π θ+=，则sin 2θ=（ ） A.79- B.19- C.19 D.79 14.已知a 是第二象限的角，4 tan(2)3 a π+=-，则tan a = 15.已知α为第三象限的角，3cos 25α=-,则tan(2)4 π α+= 16.已知1sin cos 2α= +α，且0,2πα∈()，则 cos 2sin()4 πα α-的值为_______ 17.记cos(80)k -?=,那么tan100?=（ ） 18.下列函数中，周期为π，且在[ ,]42 ππ 上为减函数的是（ ）
高中数学经典解题技巧：三角变换与解三角形 【编者按】三角变换与解三角形是高中数学考试的必考内容，而且是这几年考试的热点跟增长点，无论是期中、期末还是会考、高考，都是高中数学的必考内容之一。因此，马博士教育网数学频道编辑部特意针对这两个部分的内容和题型总结归纳了具体的解题技巧和方法，希望能够帮助到高中的同学们，让同学们有更多、更好、更快的方法解决数学问题。好了，下面就请同学们跟我们一起来探讨下集合跟常用逻辑用语的经典解题技巧。 首先，解答三角变换与解三角形这两个方面的问题时，先要搞清楚以下几个方面的基本概念性问题，同学们应该先把基本概念和定理完全的吃透了、弄懂了才能更好的解决问题： 1． 会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式。 2． 能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式。 3． 能利用两角差的余弦公式导出两角各的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系。 4． 能运用和与差、二倍角的三角函数公式进行简单的恒等变换（包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆）。 5． 掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题。 6． 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些测量和几何计算有关的实际问题。 好了，搞清楚了三角变换与解三角形的上述内容之后，下面我们就看下针对这两个内容的具体的解题技巧。 一、三角变换及求值 考情聚焦：1．利用两角和差的三角函数公式进行三角变换、求值是高考必考内容。 2．该类问题出题背景选择面广，解答题中易出现与新知识的交汇题。 3．该类题目在选择、填空、解答题中都有可能出现，属中、低档题。 解题技巧： 1．在涉及两角和与差的三角函数公式的应用时，常用到如下变形 （1）21sin (sin cos )22αα α±=±； （2）角的变换()βααβ=--； （3）sin cos )a b θθθ?+=+。 2．利用两角和与差的三角函数公式可解决求值求角问题，常见有以下三种类型： （1）“给角求值”，即在不查表的前提下，通过三角恒等变换求三角函数式的值； （2）“给值求值”，即给出一些三角函数值，求与之有关的其他三角函数式的值； （3）“给值求角”，即给出三角函数值，求符合条件的角。
高考专题训练十一 三角变换与解三角形、平面向量 班级_______ 姓名_______ 时间：45分钟 分值：75分 总得分________ 一、选择题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项填在答题卡上． 1．a ，b 是不共线的向量，若AB →＝λ1a ＋b ，AC → ＝a ＋λ2b (λ1，λ2∈R)，则A ，B ，C 三点共线的充要条件为( ) A ．λ1＝λ2＝－1 B ．λ1＝λ2＝1 C ．λ1λ2＋1＝0 D ．λ1λ2－1＝0 解析：只要AC →，AB →共线即可，根据向量共线的条件即存在实数λ使得AC →＝λAB → ， 即a ＋λ2b ＝λ(λ1a ＋b )，由于a ，b 不共线，根据平面向量基本定理得1＝λλ1且λ2 ＝λ，消掉λ得λ1λ2＝1. 答案：D 2．(2011·辽宁)若a ，b ，c 均为单位向量，且a ·b ＝0，(a －c )·(b －c )≤0，则|a ＋ b － c |的最大值为( ) A.2－1 B ．1 C. 2 D ．2 解析：a ·b ＝0，(a －c )·(b －c )≤0， 即a ·b －(a ·c ＋b ·c )＋c 2 ≤0 ∴a ·c ＋b ·c ≥1. 又|a ＋b －c |＝a ＋b －c 2 ＝a 2 ＋b 2 ＋c 2 ＋2a ·b －2a ·c －2b ·c ＝3－2a ·c ＋b ·c ≤1. 答案：B 3．(2011·全国)设向量a ，b ，c 满足|a |＝|b |＝1，a ·b ＝ －12，〈a －c ，b －c 〉＝60°，则|c |的最大值等于( ) A ．2 B. 3 C. 2 D ．1 解析：设OA →＝a ，OB →＝b ，OC → ＝c
第二章 简单电阻电路的计算 当电路比较简单时，可不必通过列KCL 、KVL 方程组对电路进行求解，可直接根据电路的不同连接方式将电路进行等效变换，化简电路得到其解答。通常用的方法有电阻的串、并联，电阻的星---三角形转换、电压源、电流源之间的等效转换等。其中一部分在物理学中已述，在此，只进行总结。 第一节 电阻的串联和并联 一、 串联：电路模型如图2-1-1。 特点：①由于电流的连续性，通过各电阻的电流 均相等。 ②等效电阻R eq=R1+R2+….+Rn 若各电阻都 相同则Req=nR1。 ③ 由KVL u=u 1+u 2+…+u n 若已知总电压和各电阻 的值，可用分压公式得出各电阻的电压。 ④总功率P=P1+P2+P3+… 因此，P1：P2：P3= R1：R2：R3 二、 并联：电路模型如图2-1-2。 特点：①根据电压与路径无关，各电阻的电压相等。 ②由KCL i=i 1+i 2+i n ③等效电阻 若用电导表示，G eq=G1+G2+…+Gn。 ④分流公式： 其中G G G G i G ...G G G i i eq 1n 2111=+++= ⑤总功率P=P1+P2+P3+… 因此，3 21321R 1:R 1:R 1p :p :p = 三、 串、并联电路的计算，通过例题说明。 【实例2-1】 图为一滑线变阻器，作分压器使用。R=500Ω， 额定电流1.8安。若外加电压U=500V ，R1=100Ω。求：①电 压U2。 R 1...R 1R 11 Req n 21阻。总电阻小于任意一个电+++=为分压系数其中eq 1eq 11211R R R R u R *...R R u u =++ =
三角恒等变换与解三角形 高考定位 1.三角函数的化简与求值是高考的命题热点，其中关键是利用两角和与差、二倍角的正弦、余弦、正切公式等进行恒等变换，“角”的变换是三角恒等变换的核心；2.正弦定理与余弦定理以及解三角形问题是高考的必考内容，主要考查边、角、面积的计算及有关的范围问题 . 真 题 感 悟 1.(2018·全国Ⅱ卷)在△ABC 中，cos C 2＝5 5，BC ＝1，AC ＝5，则AB ＝( ) A.4 2 B.30 C.29 D.2 5 解析 因为cos C 2＝55，所以cos C ＝2cos 2 C 2－1＝2× ? ?? ??552 －1＝－3 5. 于是，在△ABC 中，由余弦定理得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ×BC ×cos C ＝52＋12－2×5×1× ? ???? －35＝32.所以AB ＝4 2. 答案 A 2.(2017·全国Ⅰ卷)已知α∈? ????0，π2，tan α＝2，则cos ? ? ? ??α－π4 ＝________. 解析 ∵α∈? ?? ?? 0，π2，且tan α＝2，∴sin α＝2 cos α， 又sin 2α＋cos 2α＝1，所以sin α＝255，cos α＝5 5 . 所以cos ? ? ???α－π4＝22(cos α＋sin α)＝31010. 答案 310 10 3.(2018·全国Ⅰ卷)在平面四边形ABCD 中，∠ADC ＝90°，∠A ＝45°，AB ＝2，BD ＝5. (1)求cos ∠ADB ； (2)若DC ＝22，求BC .
解 (1)在△ABD 中，由正弦定理得BD sin ∠A ＝AB sin ∠ADB ，即5sin 45°＝2 sin ∠ADB ， 所以sin ∠ADB ＝ 25 . 由题设知，∠ADB <90°， 所以cos ∠ADB ＝ 1－ 225＝235 . (2)由题设及(1)知，cos ∠BDC ＝sin ∠ADB ＝25 . 在△BCD 中，由余弦定理得 BC 2＝BD 2＋DC 2－2·BD ·DC ·cos ∠BDC ＝25＋8－2×5×22×2 5 ＝25. 所以BC ＝5. 4.(2018·浙江卷)已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点P ? ????－3 5，－45. (1)求sin(α＋π)的值； (2)若角β满足sin(α＋β)＝ 5 13 ，求cos β的值. 解 (1)由角α的终边过点P ? ?? ??－3 5，－45， 得sin α＝－4 5 ， 所以sin(α＋π)＝－sin α＝4 5 . (2)由角α的终边过点P ? ????－3 5，－45，得cos α＝－35 ， 由sin(α＋β)＝513，得cos(α＋β)＝±12 13. 由β＝(α＋β)－α得cos β＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α， 所以cos β＝－ 5665或cos β＝1665 . 考 点 整 合 1.三角函数公式 (1)两角和与差的正弦、余弦、正切公式： sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β； cos(α±β)＝cos αcos β?sin αsin β；
高考微点六 三角恒等变换与解三角形 牢记概念公式，避免卡壳 1.三角恒等变换的主要公式 sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β； cos(α±β)＝cos αcos βsin αsin β； tan(α±β)＝tan α±tan β1tan αtan β ； sin 2α＝2sin αcos α； cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2 α； tan 2α＝2tan α1－tan 2α . 2.正弦定理与余弦定理 (1)正弦定理 ①a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C . ②sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c 2R . ③a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C . 注：R 是三角形的外接圆半径. (2)余弦定理 ①cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 2 2ac ， cos C ＝a 2＋b 2－c 2 2ab . ②b 2＋c 2－a 2＝2bc cos A ，a 2＋c 2－b 2＝2ac cos B ， a 2＋ b 2－ c 2＝2ab cos C . 活用结论规律，快速抢分 1.辅助角公式a sin α＋b cos α＝a 2＋b 2sin(α＋φ)(其中 ? ??tan φ＝b a . 2.在△ABC 中，A >B sin A > sinB. 3.△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A . 4.设a ，b ，c 分别为△ABC 的内角A ，B ，C 的对边，则
第2讲 三角变换与解三角形 感悟高考 明确考向 (2010·陕西)如图，A ，B 是海面上位于东西方向相距5(3＋3) 海里的两个观测点，现位于A 点北偏东45°，B 点北偏西60°的 D 点有一艘轮船发出求救信号，位于B 点南偏西60°且与B 点相距203海里的C 点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/时，该救援船到达D 点需要多长时间？ 主干知识梳理 1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1)sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β.(2)cos(α±β)＝cos αcos β?sin αsin β. (3)tan(α±β)＝ tan α±tan β 1?tan αtan β . 2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)sin 2α＝2sin αcos α.(2)cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α. (3)tan 2α＝ 2tan α 1－tan 2α . 3．三角恒等式的证明方法 (1)从等式的一边推导变形到另一边，一般是化繁为简． (2)等式的两边同时变形为同一个式子．(3)将式子变形后再证明． 4．正弦定理 a sin A ＝ b sin B ＝ c sin C ＝2R (2R 为△ABC 外接圆的直径)．变形：a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C .sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c 2R .a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C . 5．余弦定理 a 2＝ b 2＋ c 2－2bc cos A ，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C . 推论：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 2 2ab .
专题突破 三角变换与解三角形 1.(2020江西名校大联考,理17)已知函数f (x )=2a sin π 2 -x cos (x -2π 3 ),且f (π 3)=1. (1)求a 的值及f (x )的最小正周期; (2)若f (α)=-1 3,α∈(0,π 2),求sin 2α. 2.(2020山东滨州二模,17)已知△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若a=4, ,求△ABC 的周长L 和面积S. 在①cos A=3 5,cos C=√5 5,②c sin C=sin A+b sin B ,B=60°,③c=2,cos A=-1 4这三个条件中,任选一个补充在上面问题中的横线处,并加以解答. 3.(2020北京,17)在△ABC 中,a+b=11,再从条件①,条件②这两个条件中选择一个作为已知,求: (1)a 的值; (2)sin C 和△ABC 的面积. 条件①:c=7,cos A=-1 7; 条件②:cos A=1 8,cos B=916.
4.(2020山东潍坊二模,17)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知 a=2√3,A=π . 3 ,求b; (1)若B=π 4 (2)求△ABC面积的最大值. 5.(2020江苏,16)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=3,c=√2,B=45°. (1)求sin C的值; ,求tan∠DAC的值. (2)在边BC上取一点D,使得cos∠ADC=-4 5 6.(2020山东济宁5月模拟,17)在①sin A,sin B,sin C成等差数列;②sin B,sin A,sin C 成等比数列;③2b cos C=2a-√3c三个条件中任选一个,补充在下面的问题中,并加以解答. 已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,面积为S.若,且 4S=√3(b2+c2-a2),试判断△ABC的形状.
电阻的星形和三角形连接的等效变换 -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1
电阻的星形和三角形连接的等效变换 1、电阻的星形和三角形连接 三个电阻元件首尾相连接，连成一个封闭的三角形，三角形的三个顶点接到外部电路的三个节点，称为电阻元件的三角形连接简称△连接，如图（a ）所示。三个电阻元件的一端连接在一起，另一端分别连接到外部电路的三个节点，称为电阻元件的星形连接，简称Y 形连接，如图（b ）所示。 三角形连接和星形连接都是通过三个节点与外部电路相连，它们之间的等效变换是要求它们的外部特性相同，也就是当它们的对应节点间有相同的电压12U 、23U 、31U 时，从外电路流入对应节点的电流1I 、2I 、3I 也必须分别相等，即Y-△变换的等效条件。 一种简单的推导等效变换方法是：在一个对应端钮悬空的同等条件下，分别计算出其余两端钮间的电阻，要求计算出的电阻相等。 悬空端钮3时，可得：12233112122331()R R R R R R R R ++= ++ 悬空端钮2时，可得：31122331122331()R R R R R R R R ++= ++ 悬空端钮1时，可得：23123123122331 ()R R R R R R R R ++=++ 联立以上三式可得：1231112233112232122331 3123 3122331R R R R R R R R R R R R R R R R R R = ++=++= ++ （2-2）
式（2-2）是已知三角形连接的三个电阻求等效星形连接的三个电阻的公式。 从式（2-2）可解的： 1212123232323131 31312R R R R R R R R R R R R R R R R R R =++ =++ =++ （2-3） 以上互换公式可归纳为： =Y ??形相邻电阻的乘积 形电阻形电阻之和 = Y ?形电阻两两乘积之和 形电阻Y 形不相邻电阻 当Y 形连接的三个电阻相等时，即123Y R R R R ===,则等效△形连接的三个电阻也相等，它们等于 1223313Y R R R R R ?==== 或 1=3Y R R ? （2-4）
桂林市卓远教育1对1家教中心专用资料 三角函数、三角变换与解三角形 一、概念、公式 在下面7个小题中，有2个表述不正确，请在题后用“√”或“×”判定，并改正过来． 1．三角函数的定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，则sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝y x (x ≠0)．( ) 2．同角三角函数的基本关系式：sin 2α＋cos 2α＝1，tan α＝sin αcos α? ???α≠k π＋π2，k ∈Z .( ) 3．三角函数的诱导公式可简记为：“奇变偶不变，符号看象限”．这里的“奇、偶”指的是π2 的倍数的奇偶；“变与不变”指的是三角函数的名称变化；“符号看象限”的含义是：把α看作锐角时，n π2 ±α所在象限的相应三角函数值的符号．( ) 4．y ＝sin x 与y ＝cos x 是有界函数，它们的值域都是[－1,1]．正弦曲线、余弦曲线既是中心对称图形也是轴对称图形；正切曲线的对称中心是(k π，0)(k ∈Z )，没有对称轴．( ) 5．两角和(差)的正弦、余弦公式：sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β，cos(α±β)＝cos αcos β?sin αsin β.两角差的正切变形公式tan α－tan β＝tan(α－β)·(1＋tan αtan β)．( ) 6．二倍角余弦变形公式：2cos 2α＝1－cos 2α，2sin 2α＝1＋cos 2α，cos 2α＝sin 2α－cos 2α.( ) 7．在△ABC 中，A cos B ．( ) 二、性质、定理 在下面7个小题中，有2个表述不正确，请在题后用“√”或“×”判定，并改正过来． 1．函数f (x )＝sin(x ＋φ)是偶函数，则φ＝k π＋π2 ，k ∈Z ；函数g (x )＝cos(x ＋φ)是偶函数，则φ＝k π，k ∈Z .( ) 2．函数f (x )＝sin ωx (ω>0)的最小正周期是T ＝2πω ；y ＝|sin x |与y ＝sin |x |的最小正周期是T ＝π.( ) 3．函数y ＝tan x 在??? ?－π2＋k π，π2＋k π，k ∈Z 内都是增函数，且函数的值域是R .( ) 4．函数y ＝sin ????π4－x 的单调增区间是? ???2k π－π4，2k π＋34π，k ∈Z .( ) 5．将函数y ＝f (x )的图象向右平移π4 个单位后，再作关于x 轴的对称变换，得到函数y ＝cos 2x 的图象，则函数f (x )的解析式是f (x )＝sin 2x .( ) 6．正弦定理： a sin A ＝ b sin B ＝ c sin C ＝2R (R 为△ABC 外接圆的半径)?a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ．( ) 7．余弦定理：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ．( ) 三、易混、易错、易忘问题 1. 应注意角的集合的表示形式不是唯一的，如终边在y 轴的负半轴上的角的集合可以表示为
11三角变换与解三角形 第13页 1.(2017全国Ⅲ,理17)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知sin A+cos A=0,a=2,b=2. (1)求c; (2)设D为BC边上一点,且AD⊥AC,求△ABD的面积. 解(1)由已知可得tan A=-,所以A=. 在△ABC中,由余弦定理得28=4+c2-4ccos, 即c2+2c-24=0,解得c=-6(舍去),c=4. (2)由题设可得∠CAD=, 所以∠BAD=∠BAC-∠CAD=.故△ABD面积与△ACD面积的比值为=1. 又△ABC的面积为×4×2sin∠BAC=2, 所以△ABD的面积为. 2.已知a,b,c分别为锐角三角形ABC的内角A,B,C所对的边,且a=2csin A. (1)求角C; (2)若c=,且△ABC的面积为,求a+b的值. 解(1)由a=2csin A及正弦定理得sin A=2sin Csin A. ∵sin A≠０,∴sin C=.∵△ABC是锐角三角形,∴C=. (2)∵C=,△ABC的面积为, ∴absin ,即ab=6.①∵c=,∴由余弦定理得a2+b2-2abcos =7,
即(a+b)2=3ab+7.②将①代入②得(a+b)2=25,故a+b=5. 3.(2017河南商丘二模,理17)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知b(1+cos C)=c(2-cos B). (1)求证:a,c,b成等差数列; (2)若C=,△ABC的面积为4,求c. (1)证明∵b(1+cos C)=c(2-cos B), ∴由正弦定理可得sin B+sin Bcos C=2sin C-sin Ccos B, 可得sin Bcos C+sin Ccos B+sin B=2sin C, ∴sin A+sin B=2sin C,∴a+b=2c,即a,c,b成等差数列. (2)解∵C=,△ABC的面积为4absin C=ab, ∴ab=16,∵由余弦定理可得c2=a2+b2-2abcos C=a2+b2-ab=(a+b)2-3ab, ∵a+b=2c,∴可得c2=4c2-3×16,解得c=4. 4.(2017河南六市联考二模,理17)已知在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且asin B+b cos A=0. (1)求角A的大小; (2)若a=2,b=2,求△ABC的面积. 解(1)在△ABC中,由正弦定理得sin A·sin B+sin B·cos A=0,即sin B(sin A+cos A)=0,又角B为 三角形内角,sin B≠０,所以sin A+cos A=0,即sin=0, 又因为A∈(0,π),所以A=. (2)在△ABC中,由余弦定理得a2=b2+c2-2bc·cos A,则20=4+c2-4c·, 即c2+2c-16=0,解得c=-4(舍)或c=2, 又S=bcsin A,所以S=×2×2=2. 5.(2017四川成都二诊,理17)如图,在梯形ABCD中,已知∠A=,∠B=,AB=6,在AB边上取点 E,使得BE=1,连接EC,ED.若∠CED=,EC=.
星形电路与三角形电路等效变换公式的简便方法摘要：介绍导出星形电路与三角形电路等效变换公式的一种简便方法 关键词：星形电路三角形电路等效变换 星形电路与三角形电路间的等效变换（简称Y—△等效变换）是电路分析和计算过程中经常需用到的一种变换。因变换公式推导过程复杂，故在解决有关问题时，人们通常直接套用有关公式。然而，由于变换公式形式比较繁锁，记忆不便，每次计算通常都需查找电路方面的有关书籍，给Y—△等效变换带来了不便。最近有人已进行了一些研究，试图解决这一问题。在本文中，作者提出了一种导出Y—△等效变换公式的简便方法。利用该法，可非常迅速地写出Y—△等效变换公式，给电路的Y—△等效变换带来了方便。 为了说明本文方法，先以电阻电路为例，列写出Y—△等效变换公式。设图1（a）和图1（b）两电路互为等效电路，则两电路的电阻间存在以下关系。 R1= （1）R2= （2）R3= （3）R12= + + （4）R23= + + （5）R31= + +（6） 若星形电路的三个电阻相等，即R1= R2 =R3= RY，则等效的三角形电路有三个电阻也相等，即R12= R23 =R31= R△。将这些关系停薪留职入（1）式和（4）式可得 RY= R△（7）R△=3RY （8） 以上（1）—（8）式即为Y—△等效变换用到的有关公式。本文提出的导出上述各公式的方法是首先通过对称Y形和△形电路导出（7）、（8）两式，然后根据Y—△等效变换公式的基本形式对（7）、（8）两式进行变化，最后利用电路元件位置的对称性，通过变化了的（7）、（8）两式直接写出（1）—（6）式。下面介绍这一方法。 设图2（a）和图2（b）互为等效电路，从两电路的1端流入的电流均为I，并且该电流分为两等份分别从2、3端流出。因图2（a）和图2（b）互为等效电路，故两电路的1、2端间的电压相等，所以有 RYI+RY• I=R△• I（9）由此得RY= R△（10） 这样即导出了（7）式，根据Y—△等效变换公式的基本形式，可将（10）式变为
