第五章二次型
Waq
2009.8
第五章 二次型
本章讨论二次型的标准化问题.首先,我们需要解决什么是二次型、如何表示一个二次型的问题,即二次型的定义；其次解决化二次型为标准形的方法. 一般有两种:即配方法和合同变换法；最后对特殊数域上的二次型进行专项讨论,复数域上的二次型需要解决规范型的问题,实数域上既要解决二次型的规范型问题,还要讨论一类特殊的二次型：正定二次型.
但是,由于我们在前面已经掌握了矩阵的相关知识,因此,本章的结论从矩阵方面还可以理解为解决了以下几个问题：
第一,合同变换,解决对称矩阵合同标准形的问题. 第二,复对称矩阵的合同标准形. 第三,实对称矩阵的合同标准形. 第四,正定矩阵.
§1 二次型及其矩阵表示
本节要解决以下几个问题： ①二次型的定义 ②二次型的矩阵 ③线性替换 ④矩阵合同关系 一.二次型的定义
定义1 设P 是数域,12,,,n x x x 是文字,ij a P ∈,i j < 2
12(,,,)2n ii
i ij i j f x x x a
x a x x =
+∑∑
称为数域P 上的n 元二次型.
其中,ij a 称为系数,2
i x 称为平方项,()i j x x i j ≠称为长方项.
值得注意的是：
①系数满足ij a P ∈时,二次型称为数域P 上的二次型.
例如,222
12312313(,,)23f x x x x x x x x =+-+就是实数域上的一个3元二次型.
②在二次型的表示式中,项只有两类,一类是平方项,另一类是长方项,并且,在长方项
i j x x 中,只有i j <的情形.
③二次型中元的数目是已知量,不能由表达式判断.
例如,222
1231323x x x x x +-+尽管只出现了三个文字,但不能由此断定它是3元二次型.
④在一个已知的二次型中,长方项i j x x 的系数是2ij a ,而不是ij a .
总之,要确定一个二次型,必须明确它是哪个数域上的二次型？是几元二次型？系数是多少？特别是长方项的系数是多少?这些问题解决了,我们也就确定了一个具体的二次型. 二.二次型的表示
二次型的表示有两种方式. 1.多项式形式
简单讲二次型就是齐二次多项式,因此可以用多项式的形式表示,但是由于每一项都是二次,因此这种表示一般采用字典排列法.
例如,222
123123121323(,,)423578f x x x x x x x x x x x x =-++-+ 222123123(,,)423g x x x x x x =--
2.矩阵形式
二次型 2
12(,,,)2n ii
i ij i j f x x x a
x a x x =+∑∑
引入矩阵记号：
12n
x x X x ?? ?
?= ? ???
,()1
2
n X x
x x '=
,11121212221
2
n n
n n nn a a a a a a A a a a ??
? ?= ? ???
, 其中ij ji a a =
则12(,,,)n f x x x X AX '= A A '=
矩阵A 称为二次型12(,,,)n f x x x 的矩阵,上式称为二次型的矩阵表示式. 显然,二次型的矩阵是对称矩阵.
矩阵A 的秩称为二次型的秩.于是,二次型有惟一的秩. 那么二次型已知以后,如何确定它的矩阵呢？
n 元二次型的矩阵是一个n 阶对称矩阵,其中n 是二次型的文字的数目,二次型的矩阵
A 是对称矩阵,主对角线上的元素是1122,,,nn a a a 依次是平方项2
2
2
12,,,n x x x 的系数；
i j <时,位置(,)i j 上的元素ij a 恰好是长方项i j x x 的系数2ij a 的一半,i j >时,位置(,)
i j 上的元素ij a 是长方项j i x x 的系数2ji a 的一半.
例如,222
123123121323(,,)423578f x x x x x x x x x x x x =-++-+
用矩阵表示就是
()571
2
25
1231
2
32273
24(,,)244
3x f x x x x x x x x -????
? ?=- ? ? ? ?-??
?? ()11231
2
323400(,,)0
2000
3x g x x x x x x x x ???? ? ?=- ? ? ? ?-?
???
在二次型的标准化讨论中,二次型的矩阵是出发点,因此必须正确写出二次型的矩阵.注意三个方面就不容易出错,第一,是矩阵的阶数；第二,是主对角线；第三,对称.
二次型的矩阵表示形式中,一定要注意二次型的矩阵是对称矩阵.
3.多项式形式与矩阵形式的转化
从以上讨论可知,二次型的两种形式可以互相转化,这一点同学们自己体会.
要熟练掌握从二次型的多项式形式化为矩阵形式，再从矩阵形式转化为多项式形式。 4.二次型与对称矩阵的关系
我们看到,一个二次型必有惟一确定的一个对称矩阵作为其矩阵,反之,如果有一个对称矩阵,那么以此为矩阵也存在一个二次型,因此,二次型与对称矩阵一一对应.
因此,二次型的讨论实际上也是对称矩阵的讨论. 三.线性替换
定义2 设P 是数域,12,,,n x x x 与12,,,n y y y 是两组文字,ij c P ∈.
11111221221122221122n n n n
n
n n nn n x c y c y c y x c y c y c y x c y c y c y
=+++??
=+++??
??=+++?
称为文字12,,,n x x x 到文字12,,,n y y y 的线性替换.
如果改写成矩阵表示形式就是：
1
2
n
x x X x ?? ?
?= ? ??? ,12n y y Y y ?? ? ?= ?
?
?? ,1112121
2221
2
n n
n n nn c c c c
c c C c c c ??
? ?= ? ???
X C Y =
其中,矩阵C 称为线性替换的矩阵.
注意,线性替换有方向性,即是文字12,,,n x x x 到文字12,,,n y y y ,或者是文字
12,,,n y y y 替换文字12,,,n x x x .
Y D X =是从文字12,,,n y y y 到文字12,,,n x x x 的线性替换,由文字12,,,n x x x 替
换了文字12,,,n y y y .
显然,要确定一个线性替换,就要确定一个方阵. 当方阵C 可逆时,线性替换称为非退化的.
当线性替换X C Y =非退化时,线性替换1
Y C X -=称为其逆线性替换.
注意：线性替换是文字替换文字,必须保证文字的数目是一样多. 下面,我们讨论线性替换对二次型的影响. 设二次型()f X X AX
A A ''== 线性替换X C Y =
那么,()()()()()f X X AX CY A CY Y C AC Y g Y ''''====
若记 B C AC '=, 显然 ()B C AC C AC B ''''=== 即()g Y Y BY '=是以Y 为文字的二次型,其矩阵是B .
就是说,以X 为文字的二次型()f X X AX '=经过线性替换X C Y =可化为以Y 为文字的二次型()g Y Y BY '=.并且两个二次型的矩阵之间有关系式B C AC '=.
关系式:
()X C Y
X AX Y C AC Y ='''???→
四.矩阵合同关系
定义 3 设,A B 是n 阶方阵,若存在n 阶可逆矩阵P ,使B P AP '=,则称矩阵B 合同于矩阵A .记为A B 。
显然,当B P AP '=,并且P 可逆时,同时有11()()A P B P --'=,即合同是相互的. 容易验证,矩阵的合同关系是同阶方阵之间的一种等价关系. ①A A ,A EAE =
②A B ,则B A ,B P AP '=,11()()A P B P --'= ③A B ,B C ,则A C .
注意：以前我们学习了矩阵的一个种关系叫等价.
等价关系是形状相同的矩阵之间的一种特殊关系,同样具有三条性质,反身性、对称性和传递性,也称为等价关系.
如果B PAQ =,其中,,P Q 都是可逆矩阵,则称A B ? 如果B P AP '=,其中,P 是可逆矩阵,则称A B .
显然,合同关系是特殊的等价关系.是同阶方阵之间的一种等价关系. 因此,合同矩阵秩相同.
提示同学们注意：比较合同关系与等价关系. 下面分析非退化线性替换下二次型矩阵的变化规律.
()X C Y
X AX Y C AC Y ='''???→
若,C 可逆,则A C AC '
因此,非退化线性替换化为二次型为新的二次型时,两个二次型的矩阵是合同关系. 同时,注意到非退化的线性替换化二次型矩阵为合同矩阵,而合同矩阵也是等价矩阵,因此秩相等,则非退化的线性替换不改变二次型的秩.
【小结】本节通过四方面的讨论,试图给出二次型的基本概念：二次型,文字,矩阵,二次型的秩,线性替换,合同矩阵.总体上看,二次型通过线性替换可以化为一个新的二次型,尽管文字发生了变换,但是当线性替换非退化时,秩保持不变,这一点尤为重要.另外,我们还介绍了同阶方阵之间的一种等价关系,称为合同,注意与以前的等价关系作比较.
§2标准形
一.标准形概念
定义4 只含平方项的二次型称为标准形二次型. 显然,标准形二次型的矩阵是对角矩阵. 定义 5 设二次型()f X X AX
A A ''==,()g Y Y BY
B B ''==,若存在非退化的线
性替换X PY =,使B P AP '=,则称两二次型等价.
就是说, 非退化线性替换化二次型为等价二次型.
或者说,如果两个二次型的矩阵是合同的,则称两个二次型是等价的. 于是,我们面临的问题有两个：
第一,二次型能否通过非退化的线性替换化为标准形,若能,如何找到线性替换？ 第二,二次型的等价标准形是否惟一？
上面的两个问题,从矩阵角度分析,实际上是对称矩阵是否合同于对角矩阵的问题.因此,我们从理论上给出一个完整的结论.
首先,我们分析合同矩阵与初等变换的关系. 设
1112121
2221
2
n n
n n nn a a a a a a A a a a ??
?
?= ? ???
ij ji
a a =
设P 是可逆矩阵,由于可逆矩阵总能分解成初等矩阵的乘积,因此,设
12t P P P P =
其中12,,,t P P P 是初等矩阵
则
1221()t t P P P P P P P '''''==
当然12,,,t P P P ''' 还是初等矩阵.
那么
2112()()t t P AP P P P A P P P ''''=
2112(())t t P P P AP P P '''=
若B P AP '=，那么2112(())t t B P P P AP P P '''=
上式中,除矩阵A 以外,其余的都是初等矩阵,因此,与A 合同的矩阵B 是矩阵A 作了一系列的行,列初等变换所得.同时注意到初等矩阵转置的性质：
(,)(,)P i j P j i '=,(())(())P i k P i k '=,(,())(,())P i j k P j i k '=
因此,初等矩阵的转置仍是同类型的初等矩阵,并且
(,)(,)(,)(,)P i j AP i j P j i AP i j '= 交换,i j 两列,再交换,i j 两行.
(())(())(())(())P i k AP i k P i k AP i k '= 第i 列乘以k,第i 行再乘k. (,())P i j k 理解为列变换,即i 列k 倍加到j 列. (,())P i j k 理解为行变换,即j 行k 倍加到i 行.
(,())(,())(,())(,())P i j k AP i j k P j i k AP i j k '= i 列k 倍加到j 列再i 行k 倍加到j 行
显然,对矩阵作一次列变换,再作一次相同的行初等变换,得到一个合同矩阵.
定义5 对矩阵作一次列变换,再作一次相同的行初等变换称为对矩阵的一次合同变换. 即：1次合同变换 = 1次列初等变换 + 1次相同的行初等变换. 但是,要注意合同变换只能对对称矩阵实施. 例：1424
30205A -??
?= ? ?-??
1421
02(1,2(4))4
30(2,1(4))09820528
5P P --????
? ?--=- ? ? ? ?--????
102100(1,3(2))0
98(3,1(2))09828
5081P P -????
? ?-=- ? ? ? ?-?
??
?
于是,我们可以重新认识矩阵的合同关系：
矩阵通过合同变换得到的矩阵与原矩阵合同.这样以来,我们可以把到目前为止的矩阵之间的两种关系通过最基本的形式表达.
矩阵等价 ←………→ 初等变换 矩阵合同 ←………→ 合同变换
定理1 对称矩阵总可以通过合同变换化为对角矩阵. 分析 设
11
12121
2221
2
n n
n n nn a a a a a a A a a a ??
?
?= ? ???
ij ji
a a =
若0A =,则矩阵已经是对角矩阵,结论自然成立. 若0A ≠,即至少有一个元素不为0, ⑴若主对角线上元素不全为零,如果0ii a ≠
1111
**i
i ii
nn a a A a a a ?? ? ? ?= ? ? ??
?
1111
*(1,)(1,)*ii
i
i nn a a P i AP i a a a ??
? ? ?= ? ? ??
?
就是说,如果主对角线上元素不全为零,则总可以通过合同变换将不为零的元素移到位置(1,1),因此此时不妨设110a ≠.
1212
1111
11
1222
1
200(1,2((2,1())n a a n a a n n
nn
a a a a P AP a a a ??
?'' ?--=
? ?''??
反复实施上述过程,则矩阵A 合同于矩阵1122212
000
n
n nn a b b A b b ??
?
?= ? ???
如此继续下去,则可以证明矩阵A 合同于对角矩阵12(,,,)n D diag d d d = ⑵如果主对角线上元素全部为零,则不妨设0ij a ≠
00ii ij ji
jj
a a A a a ?? ? ?
?= ? ? ??
?
则
(,(1))0ii ij ij ji jj
jj
a a a AP j i a a a ??
?+
?
?= ?+ ? ??
?
0(,(1))(,(1))0ii ij jj ji
ij jj
ji jj
jj
a a a a a a P i j AP j i a a a ??
?++++
?
?= ?+ ? ??
?
注意到, 0ii jj a a ==,ij ji a a =
因此
2(,(1))(,(1))0
ij ij ji
a a P i j AP j i B a ?? ?
?
?== ? ? ??
?
此时B 矩阵主对角线上元素不全为零,则转到⑴的情形. 总之,任何对称矩阵总可以通过合同变换化为对角矩阵. 证明 对矩阵的阶数做数学归纳法
I ．当矩阵是一阶时，本身就是对角矩阵。
II.假设1n -阶时成立，那么n 阶时，再利用上述分析可以完成证明。 于是,定理得到证明,但是要注意以下两点：
第一,由于合同变换将对称矩阵化为对称矩阵,因此,在我们讨论的过程中,无论作多少次的合同变换,得到的矩阵总是对称矩阵；
第二,由于我们采用的合同变换的差异,因此最后得到的对角矩阵也有会有所区别,就是说,尽管我们总能把对称矩阵合同成对角矩阵,但由同一个对称矩阵得到的的对角矩阵是不惟一的.
例如,1242
5040
6A ??
?= ? ???
1241
041
001
002
500180180
10406486081000
26A ????????
? ? ? ?=→-→-→ ?
?
?
? ? ? ? ?----?????
???
222
31512420002
502
5005040
600
600
6A --????
?? ? ? ?
=→→ ?
? ? ? ? ??
??
??
?
于是，我们可以回答刚开始提出的两个问题了，首先每个二次型都可以通过非退化的线性替换化为标准形，其次二次型的等价标准形不惟一。 二.标准化方法
接下来的问题是,既然每个二次型都可以通过非退化的线性替换化为标准形,那么化二次型为标准形的非退化的线性替换如何确定?也就是可逆矩阵P 如何找？
设二次型 ()f X X AX '=
12(,,,)n P AP diag d d d D '==
则存在非退化的线性替换X PY =
2
2
2
1122()()n n g Y Y PAP Y Y D Y d y d y d y ''===+++
1.合同变换法 设对称矩阵A ,如果有
12(,,,)n P AP diag d d d D '==
假设
12t P P P P = ,
即
211212(())(,,,)t t n P P P AP P P diag d d d '''=
注意到 12(())t EP P P P =
因此,对A 作合同变换,同时对单位矩阵E 只作(相同的)列初等变换,那么当A 化为对角矩阵时,E 就化成了可逆矩阵P .
于是,我们得到一个找可逆矩阵P 的简便方法：
,r c c
A D E P ????
??→ ? ?????
显然,当找到了可逆矩阵P ,也就确定了线性替换X PY =,二次型()f X X AX '=通过此非退化的线性替换可化为二次型()g Y Y DY '=,即标准形.
练习：已知2
313
0414
5A -??
?
= ? ?-?
?
,求可逆矩阵P ,使P A P '为对角矩阵. 解：构造矩阵
9
9
11112222911112
2
2
3312
2
22312012
00304001451501
001
01
010********
100
100
1A E --?????? ? ? ?-
--
?
?
? ?
?
?--??=→→ ? ? ? ?--?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??
??
??
?92
202
18
3
122119
2
0000001
0100
1?? ?- ? ?→ ?- ? ? ? ??
?
所以
312
2
1191
100
1P -?? ?= ? ??
?
同样,二次型 22
1312132325628x x x x x x x x ++-+
通过非退化的线性替换 31112322
112239
33
x y y y x y y x y =-+??
=+??
=
? 化为标准形：22
2
92021232182y y y -
+
于是,我们得到一个化二次型为标准形的方法： ①写出二次型的矩阵A (对称)； ②构造新矩阵A E ??
???
； ③作合同变换,列初等变换,A D E P ????
→ ? ?????
,以此确定可逆矩阵P ； ④构造线性替换X PY =；
⑤二次型的标准形：222
1122
n n Y D Y d y d y d y '=+++ 2.配方法
合同变换法在理论上保证了二次型标准化的可行性，但在实际完成时，会有许多困难为此,对特殊的二次型再介绍一种配方法.
设3231212
3222132122432),,(x x x x x x x x x x x x f +++++=,化为标准形.
解：322
32232121321232)2(2),,(x x x x x x x x x x x f +++++=
322
32223232121222)2()2(2x x x x x x x x x x -+-++++=
322
3222321222)2(x x x x x x x -+-++=
2
32
3322
223212
5)4
1(2)2(x x x x x x x x +++-++=
2
32
322
32125)2
1(2)2(x x x x x x +
+
-++=
令 ????
?
??=+=++=33
3223
211212x y x x y x x x y 解得：112
12232
33
2x y y x y y x y =+??=-??=? 则二次型的标准形是：22
2
51232
2y y y -+
这样以来,我们得到了两种化二次型为标准形的方法： 第一,合同变换法.
合同变换法是对二次型的矩阵（对称）作合同变换的同时,对单位矩阵作相同的列变换,当二次型矩阵化为对角矩阵的时候,单位矩阵化为可逆矩阵.一方面我们得到二次型的标准
形的矩阵,另一方面还得到非退化的线性替换的矩阵.
第二,配方法.
配方法只适用于含平方项的二次型,这种方法是初等办法,依次按文字进行配完全平方式.尽管这种方法简便,但是这种方法却不能直接求得所需要的非退化线性替换的矩阵,只是得到所求矩阵的逆矩阵,因此,还需要再计算逆矩阵.
还要注意，当二次型中没有平方项时，直接配方是比较困难的，为此，先要做一种变形，如教材P213例中，此时，先做替换
11221233n
n
x y y x y y x y x y =+??=-??=???=??
化二次型为以y 为文字的二次型，并且含有平方项，然后再配方完成。
【小结】本节,引入二次型的标准形概念,只含平方项的二次型.由于每个对称矩阵都可以通过合同变换化为对角矩阵,因此,每个二次型都能通过非退化的线性替换化为标准形,二次型化标准形的方法有两种,合同变换法、配方法.
§3惟一性
通过上一节讨论,我们可以利用非退化的线性替换化二次型为标准形,在此过程中,二次型的秩不发生改变.标准形二次型的秩就是平方项的个数.本节,对复数域上和实数域上二次型的作进一步讨论. 一.复二次型
设复二次型),,,(21n x x x f X A X '=的秩是r .则与其等价的标准形为：
2
2
2
111222rr r d y d y d y +++ 0≠ii d
矩阵为：
110
0rr
d O
d D O
?? ? ? ?=
? ? ? ? ??
?
即
X PY
X AX Y DY =''???→
由于复数域上的任意非零数都可以开平方,所以对二次型再作非奇异的线性替换
QZ Y =
Q = 或
1111
r r
r r n n
y z y z y z y z ++=????
=??
=????=
?
二次型可化为222
12r Z C Z z z z '=++
这里矩阵C 是
11
0T
C Q BQ ?? ? ? ?==
? ? ? ? ??
?
就是说,二次型再通过非奇异的线性替换QZ Y =后矩阵变为C . 于是二次型在复数域上化为规范形的过程为：
X PY
Y QZ
X AX Y BY Z CZ =='''???→???→
二次型 标准形 规范形 定义7 在复二次型的标准形中,若系数或为0,或为1,则称为规范形.
定理2 复数域上的二次型都可以通过非奇异的线性替换化为规范形,并且规范形惟一. 定理3 复数域上的两个二次型等价的充要条件是秩相同. 定理4 复数域上的二次型的规范形由二次型的秩惟一确定. 如果要对复数域上的二次型分类,那么秩就是惟一的标准. 同时,我们还能得到一个有关复数域上对称矩阵的结论: 复对称矩阵有惟一的合同标准形.即
00
0r
E A ??
???
两个同阶复对称矩阵合同的充要条件是它们有相同的秩. 例3 在复数域上化二次型为规范形.
323121321224),,(x x x x x x x x x f ++-=
解：???
?
? ??--=011102120A 容易验证A 的秩是3,首先将A 对角化：
?????????
?
?
?--→??????????
?
?---→??????????
?
?---→??????????
?
?---→??????????
?
?--1000101002010
20
4100010100211
220
410001*********
222
410001*********
212
2100010001
01110212
021212121
11111112
22
222
2111
111
12222222400400100010010010201001001111100
100
10
1i i --?????? ? ? ? ?
?
? ? ? ?→→→ ? ? ?-
-
-
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??
??
???
????
? ??-=1001121
2121
21P ,通过X PY =可将二次型标准化为：2322214y y y ++-
再作非奇异的的线性替换QZ Y =,其中????? ??=1000100021i Q 1
11
222
3
3
i y z y z y z =
??
=
??=?
最后得到二次型在复数域上的规范形：2
322
21z z z ++ 或者作非退化线性替换 1111123222111212322
2
33
i i
x z z z x z z z x z =-+??
=
+
+
??=
? 二次型 323121321224),,(x x x x x x x x x f ++-=
化为规范形 2
32221z z z ++
从上面的例子可知,一个复二次型的规范形比标准形更容易确定,只要知道了二次型的秩就行.但是,我们遇到的问题往往是既要求得二次型的规范形,还要求出所作的非退化线性替换,因此,判断复二次型的规范形比较容易,但是当要把一个复二次型化为规范形时,需要通过两步完成,第一,先化二次型为标准形;第二,再作非退化的线性替换化标准形为规范形. 二．实数域上
设实二次型),,,(21n x x x f X A X '=的秩是r .则与其等价的标准形为：
2
2
2222
111r rr x d x d x d +++ 0≠ii d
写成矩阵形式时,矩阵为：
110
0rr
d O
d D O
?? ? ? ?=
? ? ? ? ??
?
即
X PY
X AX Y DY =''???→
但是实数域上的负数不能开平方,因此,对矩阵D 约定,设前p 个主对角线上元素为正,接下来的r p -个元素为负.
)0,,0,,,,,,(1,111 rr p p pp d d d d diag D ++=
此时,再作非奇异的线性替换 QZ Y = 这里Q 是：
)1,,1,|
|1,
,|
|1,
1,
,1(
1,111
rr p p pp
d d d d diag Q ++=
则
(1,,1,1,1,0,,0)r p
p
C Q
D Q diag -'==--
所以
2
2
2
2
11p p r Z CZ z z z z +'=++---
定义8 实二次型的标准形中,如果系数为1,－1或0,则称为规范形.
定义9 在实二次型的规范形中,系数为1的平方项个数p 称为正惯性指标,系数为－1的平方项的个数r p -称为负惯性指标,()2s p r p p r =--=-称为符号差.
这样以来,实二次型有三个量化指标:正惯性指标、负惯性指标和符号差.显然,这三个量中,只要有一个不同,两个实二次型就不能合同.
定理5 实二次型都可化为规范形,并且规范形惟一. 定理6 实二次型等价的充要条件是秩,符号差都相同. 证明定理5.
设实二次型,()f X AX r A r '== 与两个规范形
2
21
2
2
1r p p
y y
y
y g ---++=+ ⑴
2
2
12
2
1r q q y z z z h ---++=+ ⑵
等价.那么,q p =
设????
? ??-=????? ??-=--0000000,0000000q
r q
p r p E E C E E B ,B C 都是n 阶对称矩阵. 则,g Y BY h Z CZ ''==,由于二次型等价实质是它们的矩阵合同,因此,矩阵B C .所以存在可逆矩阵()
n
ij
t T =,使
B T
C T '= ⑶
对T 作分块???
?
??=4321T T T T T ,在q 与1q +行之间划横线,在p 与1p +列之间划竖线.
()
p
q ij
t T ?=1,()
)
(2p n q ij
t T -?=,()
p
q n ij
t T ?-=)(3,()
)
()(4p n q n ij
t T -?-=
假设q p ≠,不妨设q p >,那么构造一个n p n q ?-+)]([矩阵G
???
?
?
?=-p n E
T T G 02
1 11
11,111
,11,11,1,1
1,1
,1
p p n q qp q p qn q q p
q p q n n np
n p nn t t t t t t t t T t t t t t t t t ++++++++?? ? ? ?=
? ?
? ? ???
11
11,111
,1001000
1p p n q qp q p qn t t t t t t t t G ++?? ? ? ?=
? ? ? ? ???
n p ?
?
-???
T 是n 阶方阵,G 是n p n q ?-+)]([矩阵.
即将可逆方阵T 的第三个块换为p p n ?-)(的零矩阵.将第四个块换为p n -阶的单位阵.由假设q p >知,G 是n p n q ?-+)]([矩阵,行数小于n .因此n G r <)(
所以,齐次线性方程组0=GX
11111,111,11000010000
10p p n p q qp q p qn p n x t t t t x t t t t x x +++??????
? ? ?
? ? ? ? ? ?
=
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??
???
??
由于系数矩阵的秩小于未知量个数,因此必有非零解.
设不全为零的实数n c c c ,,,21 使得02
1
=????
??
?
??n
c c c G 作矩阵的乘法可得：
?????????
?
?===+++=++++0
00
0122111212111n p n qn q q n n c c c t c t c t c t c t c t ⑷ 即:不全为零的n c c c ,,,21 中, 120p p n c c c ++==== .
用n c c c ,,,21 代替⑴中的文字,则有:
所以
()221222212
12
1
r p p n
n c c c c c c c c B c c c ---+++=??????
?
??+ 02
2
22
1>+++=p c c c
即：
()02
12
1
>????
??
?
??n
n c c c B c c c ⑸ 另一方面,记
????
??
? ??=???????
??n n
d d d c c c T 2121 ⑹ 则由⑷式可知：021====q d d d
这时,由于T 是可逆矩阵,因此12,,,q q n d d d ++ 不能全为零,否则,与T 可逆矛盾. 于是,有一组不全为零的实数n c c c ,,,21 ,其中120p p n c c c ++==== .
通过关系式⑹又得到一组不全为零的实数12,,,n d d d ,其中021====q d d d
()()112
2
1
2
1
2
0n n n
n
c c c c c c c B c
c c T C T c c ???? ?
?
?
?'<= ? ? ? ???
??
()??????
?
??=n
n d d d C d d d 2
12
1 2
2
12
2
1r q q d d d d ---++=+ 02
2
1≤---=+r q d d 矛盾 因此假设错误.所以q p =
这样就证明了定理5,同时也给出了两个实对称矩阵合同的充要条件是秩相同,并且符号差相同.
因此,当以二次型等价为分类的条件时,实二次型就有两个要素：秩、符号差.
n 元二次型,当秩为k 时,正惯性指标有1k +种可能：0,1,2,,k ,所以秩为k 时,有1
k +种不同类型.
因此,n 元二次型的可能类型有：12
12(1)(1)(2)n n n ++++=
++ .
例如三元二次型可能类型有：10种.;,,;,;02
221222122212121x x x x x x x x ---+-
2
32221232221232221232221,,,x x x x x x x x x x x x ------+++
由定理5还可以推出：
实对称矩阵必与一个形如???
?
? ??--0000000p r p
E E 的矩阵合同.
【小结】本节给出了复二次型与实二次型的规范形概念,从二次型角度理解,每个实复二次型都等价于一个规范形,但复二次型的规范形平方项系数是1或0,实二次型的规范形平方项的系数是1,-1或0.复二次型按等价分类分为1n +类,实二次型分为12
(1)(2)n n ++. 另外,在实二次型中,我们还有正惯性指标、负惯性指标和符号差等概念.
本节的内容从矩阵角度理解,则有两点,一是每个复对称矩阵都有惟一的合同规范形
00
0r
E ?? ???
;二是每个实对称矩阵都有惟一的合同规范形???
?
? ??--0000000p r p
E E .
§4正定二次型
由于实二次型相对复二次型比较复杂,因此我们只讨论实二次型中一类比较重要的二次型,即正定二次型.
但是,这里要注意,本节二次型中的文字看作变量,可以任意赋值.
定义11 实二次型),,,(21n x x x f 如果对任意一组不全为零的实数n c c c ,,,21 都有
0),,,(21>n c c c f ,则称),,,(21n x x x f 为正定二次型.
例如：2
32221321),,(x x x x x x f ++=就是一个正实二次型. 但2221321),,(x x x x x f +=不是正定的二次型.
那么,我们面临的问题是一个实二次型满足什么条件时是正定的二次型. 判定条件Ⅰ：
首先,如果一个n 元实二次型的规范形中,秩小于n 时,一定不是正定的.如果秩是n ,但正惯性指标小于n 时也不是正定的.从规范形角度考虑,只有当秩是n ,正惯性指标也是n 时,实二次型才是正定的.反之,如果实二次型正定,那么与之等价的规范形中,如果负惯性指标大于零,即有负项,与正定矛盾,或者平方项的个数小于n 时,也与正定矛盾.因此.
定理7 实n 元二次型正定的充要条件是正惯性指标是n .
但是一个实二次型经过非奇异的线性替换后才能化为规范形,那么非奇异的线性替换是否对实二次型的正定性产生影响？
设12(,,,)n f x x x X AX '= 是正定二次型. 则0≠?α有()0f A ααα'=> ()1
2
n c c c α'=
经非奇异的线性替换PY X =后,二次型变为：()()g Y Y P AP Y ''= 下面验证()()g Y Y P AP Y ''=是正定二次型.
0≠?β,验证()0P AP ββ''>
()()()()()P AP P A P P A P ββββββ'''''=＝ 由于0≠β,则0≠βP 而X A X '正定,因此
()()0P A P ββ> 即 ()0P AP ββ''>
就是说,非退化的线性替换保持实二次型的正定性.
由此给我们一个启示:要判断实二次型的正定性,首先作非退化的线性替换化二次型为标准形,标准形中正惯性指标就确定了二次型的正定性.
定理8 n 元正定二次型的规范形是：22221n x x x +++
但是此定理是理论上的,实际要判断一个实二次型的正定性,如果把正惯性指标确定了,也就相当于已经化为规范形,这样得到的结论代价太大,为此我们寻找更有效的判断方法.
判定条件Ⅱ：
定义12 实对称矩阵A 称为正定的,如果二次型AX X T 正定.
或者0n
R α?≠∈,有0A αα'>,则称A 是正定矩阵.
第五章 相似矩阵及二次型 一、 是非题（正确打√，错误打×） 1．若线性无关向量组r αα,,1 用施密特法正交化为r ββ,,1 则对任何),1(r k k ≤≤向量组k αα,,1 与向量组r ββ,,1 等价. ( √ ) 2. 若向量组r αα,,1 两两正交,则r αα,,1 线性无关. ( √ ) 3.n 阶正交阵A 的n 个行(列)向量构成向量空间n R 的一个规范正交基. ( √ ) 4.若A 和B 都是正交阵,则AB 也是正交阵. ( √ ) 5.若A 是正交阵, Ax y =,则x y =. ( √ ) 6．若112???=n n n n x x A ，则2是n n A ?的一个特征值. ( × ) 7.方阵A 的特征向量只能对应唯一的特征值,反之亦成立. ( × ) 8.n 阶矩阵A 在复数范围内有n 个不同的特征值. ( × ) 9. 矩阵A 有零特征值的充要条件是0=A . ( √ ) 10.若λ是A 的特征值,则)(λf 是)(A f 的特征值(其中)(λf 是λ的多项式). ( √ ) 11.设1λ和)(212λλλ≠是A 的特征值, 1x 和2x 为对应特征向量,则21x x +也是A 的特征向量. ( × ) 12. T A 与A 的特征值相同. ( √ ) 13.n 阶矩阵A 有n 个不同特征值是A 与对角矩阵相似的充分必要条件. ( × )
14.若有可逆矩阵P ,使n 阶矩阵A ,B 满足: B PAP =-1,则A 与B 有相同的特征值. ( √ ) 15.两个对角矩阵的对角元素相同,仅排列位置不同,则这两个对角矩阵相似. ( √ ) 16.设n 阶矩阵A ,B 均与对角阵相似且有相同的特征值,则A 与B 相似. ( √ ) 17．实对称矩阵A 的非零特征值的个数等于它的秩. ( √ ) 18. 若k ααα,,,21 线性无关且都是A 的特征向量，则将它们先正交化，再单位化后仍为A 的特征向量. ( √ ) 19.实对称阵A 与对角阵Λ相似Λ=-AP P 1，这里P 必须是正交阵 。 ( × ) 20．已知A 为n 阶矩阵，x 为n 维列向量，如果A 不对称，则Ax x T 不是二次型. ( √ ) 21.任一实对称矩阵合同于一对角矩阵。 ( √ ) 22．二次型 Ax x x x x f T n =),,,(21 在正交变换Py x =下一定化为 标准型. ( × ) 23.任给二次型 Ax x x x x f T n =),,,(21 ，总有正交变换Py x =，使f 化 为规范型。 ( × )
第五章课后习题及解答 1. 求下列矩阵的特征值和特征向量： (1) ;1332??? ? ??-- 解：,0731332 2=--=--=-λλλλλA I 2 373,237321-=+=λλ ,00133637123712137 1??? ? ??→→???? ??=-++- A I λ 所以，0)(1=-x A I λ的基础解系为：.)371,6(T - 因此，A 的属于1λ的所有特征向量为：).0()371,6(11≠-k k T ,001336371237123712??? ? ??→→???? ??-=---+ A I λ 所以，0)(2=-x A I λ的基础解系为：.)371,6(T +
因此，A 的属于2λ的所有特征向量为：).0()371,6(22≠+k k T (2) ;211102113???? ? ??-- 解：2)2)(1(2 111211 3--==------=-λλλλ λλ A I 所以，特征值为：11=λ(单根)，22=λ(二重根) ???? ? ??-→→????? ??------=-0001100011111121121 A I λ 所以，0)(1=-x A I λ的基础解系为：.)1,1,0(T 因此，A 的属于1λ的所有特征向量为：).0()1,1,0(11≠k k T ???? ? ??-→→????? ??-----=-0001000110111221112 A I λ 所以，0)(2=-x A I λ的基础解系为：.)0,1,1(T 因此，A 的属于2λ的所有特征向量为：).0()0,1,1(22≠k k T
第六章 二次型 1．设方阵1A 与1B 合同，2A 与2B 合同，证明1 2A ?? ?? ?A 与12?? ?? ? B B 合同. 证：因为1A 与1B 合同，所以存在可逆矩1C ，使T 1111=B C A C ， 因为2A 与2B 合同，所以存在可逆矩2C ，使T 2222=B C A C . 令 1 2?? = ??? C C C ，则C 可逆，于是有 T T 1111111 T 2222222??????????== ? ? ? ?????????????B C A C C AC B C A C C A C 1T 2?? = ??? A C C A 即 12A ?? ?? ?A 与12?? ???B B 合同. 2．设A 对称，B 与A 合同，则B 对称 证：由A 对称，故T =A A . 因B 与A 合同，所以存在可逆矩阵C ，使T =B C AC ，于是 T T T T T T ()====B C AC C A C C AC B 即B 为对称矩阵. 3．设A 是n 阶正定矩阵，B 为n 阶实对称矩阵，证明：存在n 阶可逆矩阵P ，使BP P AP P T T 与均为对角阵. 证：因为A 是正定矩阵，所以存在可逆矩阵M ，使 E AM M =T 记T 1=B M BM ，则显然1B 是实对称矩阵，于是存在正交矩阵Q ，使 T 11diag(, ,)n D μμ==Q B Q T 11, ,. n μμ=B M BM 其中为的特征值 令P=MQ ，则有 D BP P E AP P ==T T , ,A B 同时合同对角阵. 4．设二次型2111 ()m i in n i f a x a x ==+ +∑，令()ij m n a ?=A ，则二次型f 的 秩等于()r A . 证：方法一 将二次型f 写成如下形式：
第五章 二次型 基本内容及考点综述 一、基本概念 1、二次型 设P 是一个数域，一个系数在数域P 中的n x x x ,,,21 的二次齐次多项式 2 222222112112211121222),,,(n nn n n n n n x a x x a x a x x a x x a x a x x x f 称为数域P 上的一个n 元二次型. 2.二次型的矩阵 如果数域P 上的n 元二次型),,,(21n x x x f 可表为矩阵形式. AX X x x x f n ),,,(21 其中A x x x X a A A A n n n ij ).,,,(,)(,21 称为二次型),,,(21n x x x f 的矩阵，A 的秩也称为二次型f 的秩. 3.非退化线性替换 设n n y y y x x x ,,,;,,,2121 是两组文字，系数在数域P 中的一组关系式 11111221221122221122n n n n n n n nn n x c y c y c y x c y c y c y x c y c y c y L L L L L L 称为由n x x x ,,,21 到n y y y ,,,21 的一个线性替换，如果系数行列式 0ij c 那么以上线性替换称为非退化的. 4.矩阵合同 数域P 上n n 矩阵B A ,称为合同的，如果有数域P 上可逆的n n 矩阵C ，使 .AC C B 5.标准形 数域P 上的二次型),,(1n x x f 可以经过非退化线性替换化成 2 222211n n x d x d x d （1） 那么（1）就称为二次型),,(1n x x f 的一个标准形.
第五章 相似矩阵与二次型 §5-1 方阵的特征值与特征向量 一、填空题 1.已知四阶方阵A 的特征值为0，1，1，2，则||A E λ-＝ 2(1)(2)λλλ-- 2.设0是矩阵??? ? ? ??=a 01020101A 的特征值，则=a 1 3.已知三阶方阵A 的特征值为1，-1，2，则2 32B A A =-的特征值为 1,5,8 ；||A ＝ -2 ；A 的对角元之和为 2 . 4.若0是方阵A 的特征值，则A 不可逆。 5. A 是n 阶方阵，||A d =，则*AA 的特征值是,,,d d d ???（共n 个） 二、选择题 1.设1λ，2λ为n 阶矩阵A 的特征值，1ξ，2ξ分别是A 的属于特征值1λ，2λ的特征向量，则（ D ） （A ）当1λ=2λ时，1ξ，2ξ必成比例 （B ）当1λ=2λ时，1ξ，2ξ必不成比例 （C ）当1λ≠2λ时，1ξ，2ξ必成比例 （D ）当1λ≠2λ时，1ξ，2ξ必不成比例 2.设a=2是可逆矩阵A 的一个特征值，则1 A -有一个特征值等于 （ C ） A 、2； B 、-2; C 、 12; D 、-1 2 ; 3.零为方阵A 的特征值是A 不可逆的（ B ） A 、充分条件； B 、充要条件; C 、必要条件; D 、无关条件;
三、求下列矩阵的特征值和特征向量 1.1221A ?? = ??? 解：A 的特征多项式为12(3)(1)2 1A E λλλλλ --==-+- 故A 的特征值为123,1λλ==-. 当13λ=时，解方程()30A E x -=. 由221132200r A E --???? -= ? ?-???? : 得基础解系111p ?? = ??? ，故1(0)kp k ≠是13λ=的全部特征向量. 当21λ=-时，解方程()0A E x +=.由22112200r A E ???? += ? ????? : 得基础解系211p -?? = ??? ，故2(0)kP k ≠是21λ=-的全部特征向量. 2.100020012B ?? ?= ? ??? 解：B 的特征多项式为 2100020(1)(2)0 1 2B E λ λλλλλ --= -=--- 故B 的特征值为1231,2λλλ===. 当11λ=时，解方程()0B E x -=. 由000010010001011000r B E ???? ? ? -= ? ? ? ????? :
第五章 二次型 §1 二次型的矩阵表示 一 授课内容：§1 二次型的矩阵表示 二 教学目的：通过本节的学习，掌握二次型的定义，矩阵表示，线性 替换和矩阵的合同. 三 教学重点：矩阵表示二次型 四 教学难点：二次型在非退化下的线性替换下的变化情况. 五 教学过程： 定义：设P 是一数域，一个系数在数域P 中的n x x x ,,,21 的二次齐次多项式 n n n x x a x x a x a x x x f 11211221112122),,,( n n x x a x a 2222222 (2) n nn x a (3) 称为数域P 上的一个n 元二次型，或者，简称为二次型. 例如：2 3 322231212 13423x x x x x x x x x 就是有理数域上的一个3元二次型. 定义1 设n x x x ,,,21 ，n y y y ,,,21 是两组文字，系数在数域P 中的一组关系式 n nn n n n n n n n y c y c y c x y c y c y c x y c y c y c x 22112222121212121111 (4) 称为n x x x ,,,21 到n y y y ,,,21 的一个线性替换，或则，简称为线性替换.如果系数行列式 0 ij c ，那么线性替换(4)就称为非退化的. 二次型的矩阵表示：
令 ji ij a a ，j i 由于 i j j i x x x x ,那么二次型(3)就可以写为 n n n x x a x x a x a x x x f 112112211121),,,( n n x x a x a x x a 2222221221 …+2 2211n nn n n n n x a x x a x x a n i n j j i ij x x a 11 (5) 把(5)的系数排成一个n n 矩阵 nn n n n n a a a a a a a a a A 21 22221 112 11 它称为二次型(5)的矩阵.因为ji ij a a ，n j i ,,2,1, ，所以 A A . 我们把这样的矩阵称为对称矩阵，因此，二次型(5)的矩阵都是对称的. 令 n x x x X 21,于是，二次型可以用矩阵的乘积表示出来， n x x x AX X 2 1 nn n n n n a a a a a a a a a 21 22221 11211 n x x x 21 n nn n n n n n n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a x x x 221 122221 21121211121 n i n j j i ij x x a 11. 故 AX X x x x f n ),,,(21 .
第五章 相似矩阵及二次型 1. 试用施密特法把下列向量组正交化: (1)??? ? ??=931421111) , ,(321a a a ; 解 根据施密特正交化方法, ??? ? ??==11111a b , ??? ? ?? -=-=101] ,[],[1112122b b b a b a b , ? ?? ? ??-=--=12131],[],[],[],[222321113133b b b a b b b b a b a b . (2)??? ? ? ??---=011101110111) , ,(321a a a . 解 根据施密特正交化方法, ??? ? ? ??-==110111a b , ? ???? ??-=-=123131],[],[1112122b b b a b a b , ? ??? ? ??-=--=433151],[],[],[],[222321113133b b b a b b b b a b a b .
2. 下列矩阵是不是正交阵: (1)?????? ? ??-- -1 21312112131211; 解 此矩阵的第一个行向量非单位向量, 故不是正交阵. (2)???? ?? ? ??---- --979494949198949891. 解 该方阵每一个行向量均是单位向量, 且两两正交, 故为正交阵. 3. 设x 为n 维列向量, x T x =1, 令H =E -2xx T , 证明H 是对称的正交阵. 证明 因为 H T =(E -2xx T )T =E -2(xx T )T =E -2(xx T )T =E -2(x T )T x T =E -2xx T , 所以H 是对称矩阵. 因为 H T H =HH =(E -2xx T )(E -2xx T ) =E -2xx T -2xx T +(2xx T )(2xx T ) =E -4xx T +4x (x T x )x T =E -4xx T +4xx T =E , 所以H 是正交矩阵. 4. 设A 与B 都是n 阶正交阵, 证明AB 也是正交阵. 证明 因为A , B 是n 阶正交阵, 故A -1=A T , B -1=B T , (AB )T (AB )=B T A T AB =B -1A -1AB =E ,
第五章作业参考答案 5-2试证：()()()1231,1,0,2,1,3,3,1,2T T T ααα=-== 是3R 的一组基，并求向量()()125,0,7,9,8,13T T v v ==--- 在这组基之下的坐标。 证明：要证123,,ααα 线性无关，即证满足方程1122330k k k ααα++= 的123,,k k k 只能均是0.联立方程得 1231232 32300320k k k k k k k k ++=?? -++=??+=? 计算此方程系数的行列式123 1116003 2 -=-≠ 故该方程只有零解，即1230k k k ===，因此，123,,ααα 是3R 的一组基 设1v 在这组基下的坐标为()123,,x x x ，2v 在这组基下的坐标为()123,,y y y ，由已知得 ()()1111232 212323 3,,,,,x y v x v y x y αααααα???? ? ? == ? ? ? ? ???? 代入易解得112233233,312x y x y x y ???????? ? ? ? ?==- ? ? ? ? ? ? ? ?--????????即为1v ，2v 在这组基下的坐标。 5-5设()()()1,2,1,1,2,3,1,1,1,1,2,2T T T αβγ=-=-=--- ，求： （1 ）,,,αβαγ 及,,αβγ 的范数；（2）与,,αβγ 都正交的所有向量。 解（1 ）,1223111(1)6αβ=?+?-?+?-= ()()(),112112 121 αγ=?-+?--?-+?= α= = β== γ= = （2）设与,,αβγ 都正交的向量为()1234,,,T x x x x x =，则 123412341234,20 ,230,220x x x x x x x x x x x x x x x αβγ?=+-+=??=++-=??=---+=?? 解得1 43243334 4 5533x x x x x x x x x x =-?? =-+?? =??=? 令340,1x x ==得()()1234,,,5,3,0,1x x x x =- 令341,0x x ==得()()1234,,,5,3,1,0x x x x =-
第五章 二次型 本章课后习题全解 习 题（P232-P234） 1．（Ⅰ）用非退化线性替换化下列二次型为标准形，并利用矩阵验算所得结果： 1）323121224x x x x x x ++-； 2）2 3 322221214422x x x x x x x ++++； （Ⅱ）把上述二次型进一步化为规范形，分实系数、复系数两种情形；并写出所作的非退化线性替换． 解 （Ⅰ）1）设()323121321224,,x x x x x x x x x f ++-=，此二次型不含有平方项，故作非退化线性替换 1122123 3, ,, x y y x y y x y =+?? =-??=? 并配方，得到 ()312221321444,,y y y y x x x f ++-=2 2 23233121444y y y y y y ++-+-= 222 1332 (2)4y y y y =--++， 再作非退化线性替换 11322332, ,.z y y z y z y =-?? =??=? 即 1132233 11,22,. y z z y z y z ?=+??=??=?? 于是，原二次型的标准形为 ()2 3 22213214,,z z z x x x f ++-=， 并且，所经过的非退化线性替换为
112321233311,2211,22,x z z z x z z z x z ?=++?? ? =-+?? =??? 写成矩阵形式即为=X CY ，其中111 221 1122001?? ? ? ?=- ? ? ? ?? ?C ．根据矩阵验算，得 1 1111 022******** 111 1010110402 21111000100112 2?? ?? ? ? --???? ? ? ? ? ?'=---= ? ? ? ? ? ? ? ????? ? ??? ?? ?C AC ． 2）设123(,,)f x x x =2 3 322221214422x x x x x x x ++++． 解法1 配方法．对原二次型进行配方，得 ()2222 22123112222331223,,(2)(44)()(2)f x x x x x x x x x x x x x x x =++++=+++， 于是，令 1122233 3, 2,, y x x y x x y x =+?? =+??=? 则原二次型的标准形为 22 12312 (,,)f x x x y y =+， 且所作的非退化线性替换为 11232233 32, 2, . x y y y x y y x y =-+?? =-??=? 相应的替换矩阵为
第五章 相似矩阵及二次型 一、判断题 1.线性无关的向量组必是正交向量组.( ) 2.正交矩阵的列向量组和行向量组都是单位正交向量组.( ) 3.正交矩阵一定是可逆矩阵.( ) 4.若n 阶矩阵A 与B 相似,则A 与B 不一定等价.( ) 5.若n 阶矩阵A 有n 不同的特征值，则A 相似于对角矩阵.( ) 6.实对称矩阵一定可以相似对角化.( ) 7. 相似矩阵的行列式必相同.( ) 8.若n 阶矩阵A 和B 相似，则它们一定有相同的特征值.( ) 9．n 阶实对称矩阵A 的属于两个不同特征值的两个特征向量一定正交.( ) 10. 若A 是正定矩阵，则A 的特征值全为正.( ) 二、单项选择题 1. 设001010100A ?? ?= ? ??? ,则A 的特征值是( ). (A) -1,1,1 (B) 0,1,1 (C) -1,1,2 (D) 1,1,2 2. 若12,x x 分别是方阵A 的两个不同的特征值对应的特征向量,则1122k x k x +也是A 的特征向量的充分条件是( ). (A) 1200k k ==且 (B) 1200k k ≠≠且 (C) 120k k = (D) 1200k k ≠=且 3. 若n 阶方阵,A B 的特征值相同,则( ). (A) A B = (B) ||||A B = (C) A 与B 相似 (D) A 与B 合同 4. 设A 为n 阶可逆矩阵, λ是A 的特征值,则*A 的特征根之一是( ). (A) 1||n A λ- (B) 1||A λ- (C) ||A λ (D) ||n A λ 5. 矩阵A 的属于不同特征值的特征向量（ ）. (A)线性相关 (B)线性无关 (C)两两相交 (D)其和仍是特征向量 6. ||||A B =是n 阶矩阵A 与B 相似的( ). (A)充要条件 (B)充分而非必要条件
思考题5-1 1. 1123123100,000=?+?+?=?+?+?a a a a 0a a a . 2.不一定。例如，对于123101,,012?????? ===???????????? a a a ，它们中的任两个都线性无关，但 是123,,a a a 是线性相关的。 3. 不一定。也可能是2a 能由13,a a 线性表示，还可能是3a 能由12,a a 线性表示。 4. 不一定。例如，对于12121100,;,0012-???????? ====???????????????? a a b b 。12,a a 和12,b b 这两个 向量组都线性相关，但1122,++a b a b 却是线性无关的。 5. 向量组121,,,,n n +a a a a 线性无关。根据定理5-4用反证法可以证明这一结论。 习题5-1 1.提示：用行列式做。 （1）线性无关。 （2）线性相关。. 2. 0k ≠且1k ≠。 3.证：1212,,,1,,,,n n ==∴e e e E e e e 线性无关。 设[]12,,,,T n b b b =b 则1122.n n b b b =+++b e e e 4. 证法1：因为A 可逆，所以方程组=Ax b 有解。根据定理5-1，向量b 能由A 的列向量组12,,,n a a a 线性表示，所以向量组12,,,,n a a a b 线性相关. 证法2：通过秩或根据m n >时m 个n 元向量一定线性相关也可马上证明。 5. .证： （1）因为A 的列向量组线性相关，所以齐次线性方程组=Ax 0有非零解，设≠u 0是它的非零解，则.=Au 0 由=B PA ，得.=Bu 0可见=Bx 0有非零解，所以B 的列向量组线性相关。 （2）若P 可逆，则1-=A P B 。由（1）的结论可知，B 的列向量组线性相关时，A 的列向量组也线性相关，所以A 和B 的列向量组具有相同的线性相关性。 注：该题也可根据性质5-6和性质5-3来证明。 6. 证：由A 可逆知，A 的列向量组线性无关。根据定理5-6，增加两行后得到的矩阵B 的列向量组也线性无关.
第五章 二次型 §1基本知识 §1. 1 基本概念 1、二次型： 2、二次型的矩阵： 3、二次型的秩： 4、二次型的（非退化）线性替换： 5、二次型的等价： 6、矩阵的合同： 7、二次型的标准型： 8、二次型的规范性： 9、二次型的正（负）惯性指数与符号差： 10、正定（负定）二次型： 11、半正定（半负定）二次型： 12、正定（负定）矩阵： 13、半正定（半负定）矩阵： 14、顺序主子式： §1. 2 基本定理 1、标准型的存在性定理：数域P 上任何一个二次型都可以经过一个非退化的线性替换化成标准型； 用矩阵的语言就是：数域P 上任何一个对称矩阵A 都合同于一个对角形矩阵，即存在数域P 上的一个可逆矩阵Q ，使得AQ Q T 是对角形矩阵； 2、规范性的存在唯一性定理： （1）复数域上任何一个二次型都可以经过一个适当的非退化的线性替换化成规范性，且规范性是唯一的； 用矩阵的语言就是：复数域上任何一个对称矩阵A 都合同于一个如下形式的对角形矩阵 ?? ?? ????????????????0011 其中对角线上1的个数等于对称矩阵A 的秩；两个复对称矩阵合同的充分必 要条件是，它们的秩相等； （2）实数域上任何一个二次型都可以经过一个适当的非退化的线性替换化成规范性，且规范性是唯一的；
用矩阵的语言就是：实数域上任何一个对称矩阵A 都合同于一个如下形式的对 角形矩阵 ??? ?? ? ?? ? ???? ??? ????????????--001111 其中对角线上1的个数等于实对称矩阵A 的正惯性指数p ；1-的个数等于实对称矩阵A 的负惯性指数p r q -=，两个实对称矩阵合同的充分必要条件是，它们的秩和符号差相等； 3、正定二次型（正定矩阵）的判定定理： （1）n 元实二次型是正定二次型?该二次型的秩和符号差都等于n ?该二次型的规范型是2 2 22 1n y y y +++ ； n 阶实对称矩阵是正定矩阵?该矩阵的秩和符号差都等于n ?该矩阵合同于单位矩阵； （2）n 元实二次型是正定二次型?该二次型的正惯性指数等于n ； n 阶实对称矩阵是正定矩阵?该矩阵的正惯性指数等于n ； （3）n 元实二次型是正定二次型?该二次型的所有顺序主子式都大于0； n 阶实对称矩阵是正定矩阵?该矩阵的所有顺序主子式都大于0； 4、负定二次型（负定矩阵）的判定定理： （1）n 元实二次型是负定二次型?该二次型的秩等于n ，符号差等于n -； （2）n 元实二次型是负定二次型?该二次型的负惯性指数等于n ； （3）n 元实二次型是负定二次型?该二次型的所有奇数阶顺序主子式都小于0，所有偶数阶顺序主子式都大于0； 5、半正定二次型（半正定矩阵）的判定定理： （1）n 元实二次型是半正定二次型?该二次型的秩和符号差相等； （2）n 元实二次型是半正定二次型?该二次型的负惯性指数等于0； （3）n 元实二次型是半正定二次型?该二次型的所有顺序主子式都是非负数； 6、半负定二次型（半负定矩阵）的判定定理： （1）n 元实二次型是负定二次型?该二次型的秩和负惯性指数相等； （2）n 元实二次型是负定二次型?该二次型的正惯性指数等于0； （3）n 元实二次型是负定二次型?该二次型的所有奇数阶顺序主子式都小于或等于0，所有偶数阶顺序主子式都大于或等于0；
线性代数练习纸 [ 第五章 ] 相似矩阵及二次型 5-1 向量的内积与方阵的特征值 A 1．设 为矩阵 A 的特征值，且 0 ，则 为 的特征值。 a. 1 A; b.A * ; c. A; d.A 1 ; 2．设 A 为 n 阶实对称阵， x 1, x 2 为 A 的不同特征值对应的特征向量，则 。 a. x 1T x 2 1 b. x 1 与 x 2 线性相关； c. x 1 与 x 2 线性无关； d. x 1 x 2 0 3．设 1 , 2 都为 n 阶矩阵 A 的特征值 ( 1 2 ) ，且 x 1 , x 2 分别为对应于 1 , 2 的特征向量， 则当 满足时， x k x k x 2 必为 A 的特征向量。 1 1 2 a. k 1 0 且 k 2 0 ； b. k 1 0 且 k 2 0 ； c. k 1 0 且 k 2 0 ； d. k 1 k 2 0 4．设 n 阶方阵 A 的特征值全不为零，则 。 a. r ( A) n; b. r ( A) n; c.r ( A) n; d.r ( A) n 2 1 1 5. 设矩阵 A 0 2 0 , 求 A 的特征值及特征向量 . 4 1 3
班级：姓名：序号： 111 6．试用施密特法把向量组( a1, a2 011 , a3 ) 正交化。 11 110 7．设A与B都为n阶正交阵，证明：AB 也是正交阵。 8．证明：正交阵的行列式必定等于 1 或— 1。 9．设x为n维列向量且x T x 1 ，而 H E 2 xx T，试证 H 是对称的正交矩阵。
第五章 1 二次型与对称矩阵 一、二次型及其矩阵 1 定义：含有n 个变量的二次齐次函数： 222 12111222(,,)n nn n f x x x a x a x a x =+++ 12121313(1)1222n n n n a x x a x x a x x --++++ 称为二次型。 为便于用矩阵讨论二次型，令ij ji a a =，则二次型为： 212111121211(,,)n n n f x x x a x a x x a x x =+++ 2 21212222 2 n n a x x a x a x x ++++ + 2 11 22 n n n n n n n a x x a x x a x ++++ ,1 n ij i j i j a x x == ∑ 令1112 12122212 n n n n nn a a a a a a A a a a ???? ??= ?? ? ??? ， 12n x x x x ?? ? ?= ? ? ??? ， 则 12(,,)T n f x x x x Ax = ，且A 为对称矩阵。 由于对称矩阵A 与二次型f 是一一对应关系，故称对称矩阵A 为二次 型f 的矩阵，也称二次型f 为对称矩阵A 的二次型，()R A 也称为二次型 f 的秩。
第二章 2 二、线性变换 1 定义： 关系式11111221221122221122n n n n n n n nn n x c y c y c y x c y c y c y x c y c y c y =+++??=+++????=+++? 称为由变量12,,n x x x 到变量 12,,n y y y 的一个线性变量替换，简称线性变换。 矩阵111212122212 n n n n nn c c c c c c C c c c ??????= ?? ? ? ?? 称为线性变换的矩阵。 记 12 n x x x x ?? ? ?= ? ??? ，12n y y y y ?? ? ?= ? ??? ，则线性变换可用矩阵形式表示为：x Cy = 若0C ≠，称线性变换为非退化的，否则，称为退化的。 ()()()T T T T T f x x Ax Cy A Cy y C ACy y By ====，其中T B C AC =， 而()T T T T B C AC C AC B === 若线性变换是非退化的，便有：1y C x -= 2 标准形 定义：只含有平方项的二次型称为标准形。 显然：其矩阵为对角阵。 三、矩阵的合同 1定义：设A ，B 为n 阶方阵，如果存在n 阶非奇异矩阵C ，使得T C AC B =， 则称矩阵A 与B 合同，记为：A B 。 容易知道：二次型()T f x x Ax =的矩阵A 与经过非退化线性变换x Cy =得到的 矩阵T C AC 是合同的。
线性代数第四章第五章部分标准答案 第四章 3.（3）否 数乘要求满足αα=?1，但是根据定义：???? ? ??≠????? ??=????? ???2320002321 （6）否 6011W ∈????? ??-，6011W ∈???? ? ??，但是6002011011W ?????? ??=????? ??+????? ??- 10．证明：(),,,,2121R k k L x ∈?∈?αα使得2211αα?+?=k k x ，若01≠k ，则由 0332211=?+?+?αααk k k 及副条件知： 03≠?k ，使332211ααα?-=?+?=k k k x 故：()32,ααL x ∈，若01=k ，则()32222211,αααααL k k k x ∈?=?+?= 那么，()()3221,,ααααL L ? 同理可证：()()2132,,ααααL L ? 则()()2132,,ααααL L = 18.证明：()βαβαβ α++=+,2 ()()()βββααα,,2,+?+= βαβα222++≤ =()2βα+= 那么：βαβα+≤+ 22.证明：()R k k k L x m m ∈?∈?,,,,,,,2121 ααα 使得m m k k k x ααα+++= 2211 ()()m m k k k x αααββ+++= 2211,,
()()()m m k k k αβαβαβ,,,2211+++= 0= 34.证明：（1）只要证明W 非空且对于加法和数乘运算封闭 显然W ∈0，则W 非空 又W y x ∈?,，有()()0,,==γγy x 则()()()0,,,=+=+γγγy x y x 所以W y x ∈+，即W 对于加法运算封闭 仿此易证W 对于数乘运算封闭。 则W 是V 的子空间。 第五章 2.设λ是A 的任一特征值，则0≠?α，有 λαα=A ， 则αλλαααλα22=?===A A A 即：() 02=-αλλ 只有0=λ或1=λ. 3. 设λ是A 的任一特征值，则0≠?α，有 λαα=A ， 则αλλααk k k A A O ==?=?=- 1 只有0=λ 5.由于λ是对称A 的特征值，α是A 对应于λ的特征向量，那么我们有： λαα=A ，λαα=T A 设αβT P = ()λβαλαβ===?--T T T T T P P AP P AP P 1 6.证明：反证。若α是A 的特征向量，则λ?使得： λαα=A 则：()21212211αλαλαααλαλb a b a A a a +=+=+ 由于0,0≠≠b a ，1α ，2α线性无关，则 21λλλ==，这与21λλ≠矛盾。 10.由于A 可逆，则()BA A AB A =??-1，则BA AB ~ 27．证明： ()()() ()E A E A E A E A T T 3333++=++
第五章 特征值和特征向量 矩阵的对角化答案 1.求下列矩阵的特征值和特征向量： (1) 2331-?? ?-?? (2) 311201112-?? ? ? ?-?? (3) 200111113?? ? ? ?-?? (4) 1234012300120001?? ? ? ? ??? (5) 452221111-?? ?-- ? ?--?? (6) 220212020-?? ?-- ? ?-?? 【解析】(1) 令2331A -??= ?-?? ,则矩阵A 的特征方程为 故A 的特征值为123322λλ+= =。 当132 λ+=时，由1()0I A x λ-=，即 得其基础解系为(16,1T x =-，因此，11k x (1k 为非零任意常数)是A 的对应 于132 λ=的全部特征向量。 当2λ=时，由2()0I A x λ-=，即 得其基础解系为(26,1T x =，因此，22k x (2k 为非零任意常数)是A 的对应于2λ=的全部特征向量。 (2) 令3112 01112A -?? ?= ? ?-?? ，则矩阵A 的特征方程为 故A 的特征值为121,2λλ==(二重特征值)。 当11λ=时，由1()0I A x λ-=，即 得其基础解系为()10,1,1T x =，因此，11k x (1k 为非零任意常数)是A 的对应于11λ=的全部
特征向量。 当22λ=时，由2()0I A x λ-=，即 得其基础解系为()21,1,0T x =，因此，22k x (2k 为非零任意常数)是A 的对应于22λ=的全部特征向量。 (3) 令200111113A ?? ?= ? ?-?? ，则矩阵A 的特征方程为 故A 的特征值为2λ=(三重特征值)。 当2λ=时，由()0I A x λ-=，即 得其基础解系为()()121,1,0,0,1,1T T x x ==，因此，A 的对应于2λ=的全部特征向量为1122k x k x +(其中12,k k 为不全为零的任意常数)。 (4) 令1234012300120001A ?? ? ?= ? ??? ，则矩阵A 的特征方程为 故A 的特征值为1λ=(四重特征值)。 当1λ=时，由()0I A x λ-=，即 得其基础解系为()1,0,0,0T x =，因此，kx (k 为非零任意常数)是A 的对应于1λ=的全部特征向量。 (5) 令45222 1111A -?? ?=-- ? ?--?? ，则矩阵A 的特征方程为 故A 的特征值为1λ=(三重特征值)。 当1λ=时，由()0I A x λ-=，即 得其基础解系为()1,1,1T x =-，因此，kx (k 为非零任意常数)是A 的对应于1λ=的全部特征向量。 (6) 令2202 12020A -?? ?=-- ? ?-?? ，则矩阵A 的特征方程为 按沙路法（课本P2），得 故A 的特征值为1231,4,2λλλ===-。
第五章 相似矩阵及二次型 1．试用施密特法把下列向量组正交化： (1) ? ?? ? ? ??=931421111),,(321a a a ； (2) ????? ? ? ?---=01 1101110111),,(321a a a 解 (1) 根据施密特正交化方法: 令????? ??==11111a b ， [][]??? ?? ??-=-=101,,1112122b b b a b a b ， [][][][]???? ? ??-=--=12131,,,,22 2321113133b b b a b b b b a b a b ， 故正交化后得: ? ????? ?? ? ? --=311132013111),,(321b b b ． (2) 根据施密特正交化方法: 令?????? ??-==110111a b ; [][]?????? ??-=-=123131,,1112122b b b a b a b , [][][][]???? ? ? ??-=--=433151,,,,22232111313 3b b b a b b b b a b a b 故正交化后得 ???? ? ?? ???? ? ? ---=5431153321531051311),,(321b b b 2．下列矩阵是不是正交矩阵？并说明理由: (1) ??? ??? ?? ?? ---121312112131211; (2) ?? ?????? ??------97949 4949198949891． 解 (1) 第一个行向量非单位向量,故不是正交阵． (2) 该方阵每一个行向量均是单位向量，且两两正交，故为正交阵． 3. 设x 为n 维列向量, x T x =1, 令H =E -2xx T , 证明H 是对称的正交阵. 证明 因为 H T =(E -2xx T )T =E -2(xx T )T =E -2(xx T )T =E -2(x T )T x T =E -2xx T ,
5-1向量的内积与方阵的特征值 1．设λ为矩阵A 的特征值，且0≠λ，则 λ A 为 的特征值。 ;.;.;.;.1*1--A d A c A b A a λλ 2．设A 为n 阶实对称阵，21,x x 为A 的不同特征值对应的特征向量，则 。 1.21=x x a T 1.x b 与2x 线性相关； 1.x c 与2x 线性无关； 0.21=+x x d 3．设21,λλ都为n 阶矩阵A 的特征值)(21λλ≠，且21,x x 分别为对应于21,λλ的特征向量，则当 满足时，2211x k x k x +=必为A 的特征向量。 0.1=k a 且02=k ； 0.1=k b 且02≠k ； 0.1≠k c 且02≠k ； 0.21=?k k d 4．设n 阶方阵A 的特征值全不为零，则 。 n A r d n A r c n A r b n A r a <≤≠=)(.;)(.;)(.;)(. 5.设矩阵??? ? ? ??--=314020 112A ,求A 的特征值及特征向量.
6．试用施密特法把向量组?? ??? ???? ???---=011 101110 11 1),,(321a a a 正交化。 7．设A 与B 都为n 阶正交阵，证明：AB 也是正交阵。 8．证明：正交阵的行列式必定等于1或—1。 9．设x 为n 维列向量且1=x x T ，而T xx E H 2-=，试证H 是对称的正交矩阵。
习题5-2 相似矩阵与对称矩阵的对角化 1．设A 与B 为n 阶方阵，则B A =是A 与B 相似的 。 .a 充分条件； .b 必要条件； .c 充要条件； .d 无关条件 2.对实对称阵?? ? ???-=???? ??=1001,1001B A ，有A 与B 。 .a 互为逆矩阵； .b 相似； .c 等价； .d 正交 3. n 阶矩阵A 与对角阵相似的充要条件是 。 a. 矩阵A 有n 个特征值； b. 矩阵A 有n 个线性无关的特征向量； c. 矩阵A 的行列式0≠A ； d. 矩阵A 的特征多项式有重根 4. 设n 阶矩阵A 与B 相似，则 。 a.A 与B 正交； b. A 与B 有相同的特征向量； c. A 与B 等价； d. A 与B 相同的特征值。 5.若A 与B 是相似矩阵，证明T A 与T B 也相似。 6.设方阵??????????------=12 4 22421x A 与?? ?? ? ???? ?-=Λ45 y 相似，求x 与y 。