七章 实数的完备性
判断题：
1. 1. 设
11,1,2,2H n n n ????==??
?+???? 为开区间集,则H 是(0, 1 )的开复盖. 2. 2. 有限点集没有聚点.
3. 3. 设S 为 闭区间 [],a b , 若,x S ∈则
x 必为S 的聚点.
4. 4. 若lim n
n a →∞存在, 则点集{}n a 只有一个聚点.
5. 5. 非空有界点集必有聚点.
6. 6. 只有一个聚点的点集一定是有界点集.
7. 7. 如果闭区间列{}[,]n n a b 满足条件 11[,][,],1,2,n n n n a b a b n ++?= , 则闭
区间套定理成立. 8. 8. 若()f x 在[,]a b 上一致连续, 则()f x 在[,]a b 上连续. 9. 9. 闭区间上的连续函数一定有界.
10. 10. 设()f x 为R 上连续的周期函数, 则()f x 在R 上有最大值与最小值.
答案: √√√√×××√√√ 证明题
1. 1. 若A 与B 是两个非空数集,且,,x A y B ?∈∈有 x y ≤, 则sup inf A B ≤.
2. 证明: 若函数()f x 在(,)a b 单调增加, 且(,)x a b ?∈, 有()f x M ≤(其中M 是常
数), 则 ,c M ?≤ 使 lim ()x b f x c
-→=.
3. 证明: 若E 是非空有上界数集, 设 sup ,E a =且 a E ?, 则 存在数列
1,,n n n x E x x n N +∈<∈, 有 lim n n x a →∞=.
4. 证明: 函数()f x 在开区间(,)a b 一致连续?函数()f x 在开区间(,)a b 连续, 且
(0)f a +与(0)f b -都存在.
5.设{}n x 为单调数列,证明: 若{}n x 存在聚点,则必是唯一的, 且为{}n x 的确界.
6. 证明:
sin ()x
f x x =
在()0,+∞上一致连续.
7. 证明: {}n x 为有界数列的充要条件是{}n x 的任一子列都存在其收敛子列.
8. 设()f x 在[]
,a b 上连续, 又有{}[],n x a b ?, 使 lim ()n n f x A →∞=. 证明: 存在
[]0,x a b ∈, 使得 0()f x A =.
答案
1.证明: 设sup ,inf .A a B b == 用反证法. 假设 s u p
i n f A B > 即 ,b a <有
2a b b a +<<, 一方面, sup ,2a b a A +<= 则存在 00,;
2a b x A x +∈<另一
方面,
inf ,2a b b B +=< 则00,2a b
y B y +?∈<
. 于是, 00,x A y B ?∈∈有00
2a b y x +<<, 与已知条件矛盾, 即 sup inf A B ≤.
2. 证明: 已知数集
{}()(,)f x x a b ∈有上界, 则其存在上确界, 设
{}sup ()(,)f x x a b c M ∈=≤
由上确界的定义, 00,(,)x a b ε?>?∈, 使得 0(),c f x c ε-<≤
00,:b x
x b x b δδ?=->?-<<; 或 0:,x x x b ?<<
有 0()()c f x f x c ε-<≤≤ 或 ()f x c ε-<. 即 l i m ()x b f x c -→=.
3. 证明: 已知 sup E a =, 由确界定义, 111,x E ε=?∈, 有 11a x a ε-<<
2121min ,0,2
a x x E ε??=->?∈????
, 有 12x x < , 并且22a x a ε-<<
3231
min ,0,3
a x x E
ε??=->?∈????
, 有 23x x <, 并且33a x a ε-<<
于是, 得到数列{}1,,,n n n n x x E x x n N +∈
4. 证明: ? 已知 ()f x 在(,)a b 一致连续,
即12120,0,,(,):x x a b x x εδδ?>?>?∈-<, 有 12()()f x f x ε-< 显然 ()f x 在(,)a b 连续, 且 120,0,,(,)x x a b εδ?>?>?∈
1122()
a x a x x a x a δ
δδ
<<+?-
<<+?, 有 12()()f x f x ε-<.根据柯西收敛准则,
函数()f x 在a 存在右极限(0).f a +同理可证函数()f x 在b 存在左极限(0)f b -.
?已知(0)f a +与(0)f b -存在, 将函数()f x 在a 作右连续开拓, 在b 作左连
续开拓, 于是函数()f x 在闭区间[]
,a b 连续, 从而一致连续, 当然在(,)a b 也一致连续. 5. 证明: 不妨设{}n x 递增.
(1) 先证若{}n x 存在聚点必唯一. 假定,ξη都是{}n x 的聚点, 且ξη<. 取
02ηξ
ε-=
, 由η是{}n x 聚点, 必存在0(,).n x U ηε∈又因{}n x 递增, 故n N ≥时恒有
00
2n N x x ξη
ηεξε+≥>-==+
于是, 在0(,)U ξε中至多含{}n x 的有限多项, 这与ξ是{}n x 的聚点相矛盾. 因此{}n x 的聚
点存在时必唯一.
(2) 再证{}n x 上确界存在且等于聚点ξ. ()
a ξ为{}n x 上界. 如果某个N x ξ>, 则 n N ≥时恒有n x ξ>, 取
00,N x εξ=-> 则在0(,)U x ξ内至多含{}n x 的有限多项, 这与ξ为{}n x 的聚点相矛盾.
()b 对0,ε?>由聚点定义, 必存在N x 使N x ξεξε-<<+. 由定义
{}sup n x ξ=.
6. 6. 证明: 令10,()sin (0,)x F x x
x x =??=?∈+∞??
由于 00sin lim ()lim 1(0)x x x F x F x +
+→→===, 而 (0,)x ∈+∞时
sin ()x
F x x =, 所以 ()F x 在
[)0,+∞上连续, 又因
lim ()0x F x →+∞
=存在, 所以 ()F x 在[)
0,+∞上一致连续,
从而在(0,)+∞上也一致连续, 即 ()f x 在(0,)+∞上一致连续. 7. 7. 证明: ? 设{}n x 为有界数列, 则{}n x 的任一子列
{}k
n x 也有界, 由致密性
定理知{}k
n x 必存在其收敛子列
{}k j
n x .
? 设 {}n x 的任一子列都存在其收敛子列. 若{}n x 无界, 则对1M =, 必存在正整数1n 使得
11
n x >; 对2,M =存在正整数21,n n >使得22;;
n x > 一般地,对
M k =, 存在正整数1,k k n n ->使得k n x k >. 于是得到{}n x 的子列{}k n x , 它满足lim k n k x →∞
=∞
, 从而{}k
n x 的任一子列
{}k j
n x 必须是无穷大量, 与充分性假定相矛盾.
8. 8. 证: 因{}[],n x a b ?为有界数列, 故
{}n x 必有收敛子列{}k
n x ,
设
lim k n k x x →∞
=,
由于
{}[],k
n x a b ?,
故 []0,x a b ∈. 一方面, 由于()f x 在0x 连续有
0l i m ()(),
x x f x f x →=再由归结原则有
0lim ()lim ()()
k n k x x f x f x f x →∞
→==; 另一方面, 由
lim ()n n f x A
→∞
= 及
{}()k
n f x 是{}()n
f x 的子列有
lim ()lim ()k n n k n f x f x A
→∞
→∞
==
因此 0().
f x A =
第八章 不定积分
填空题
1. ()
()_________
x e
x dx ??'=?
.
2. 若函数()F x 与()G x 是同一个连续函数的原函数, 则()F x 与()G x 之间有关系式
_______________.
3. 若
()f x '=
且
3(1)2f π
= , 则 ()__________.f x = 4. 若()cos f x dx x C =-+?, 则()()___________.n f x =
5.
(ln )
________.f x dx x '=?
6. 若(sin ,cos )(sin ,cos )R x x R x x =--， 则作变换___________计算(sin ,cos )R x x dx ?.
7.
[1()]()__________n x x dx ??'+=?
.
()n N +∈
8.
3415(1)_________x x dx -=?
9.
若()(0)f x x x =>, 则 2
()___________f x dx '=?.
10. 过点(1,)4π斜率为2
11x +的曲线方程为___________.
答案:
1. ()
x e
C ?+. 2. ()()F x G x C =+ (C 为任意常数). 3. arcsin x π+. 4. sin()2n x π
+
. 5.(ln )f x C +. 6. tan t x =.
7. 11[1()]1n x C n ?++++. 8. 4161(1)64x C --+. 9. 1ln 2x x C
++
10. arctan y x =
判断题:
1. 1. 有理函数的原函数是初等函数.
2. 2. ()()d
f x dx f x dx =?
3. 3. 若函数()f x 存在一个原函数,则它必有无限多个原函数.
4. 4. 设()F x 是()f x 在区间I 上的原函数,则()F x 在区间I 上一定连续.
5. 5. 函数()f x 的不定积分是它的一个原函数.
6. 6. 21(1)x x x +-的有理函数分解式为: 2
22
21(1)1(1)x A Bx C Dx E
x x x
x x +++=++--- 7. 7.
()()
d d f x d f x =?
8. 8. 若函数()f x 在区间I 上连续, 则它在区间I 上必存在原函数.
9. 9. 存在一些函数, 采用不同的换元法, 可以得到完全不同的不定积分. 10. 10. 若()f x dx x C =+?, 则(1)f x dx x C -=+?
答案: 1---10 √√√√××√√×√ 选择题：
1．下列等式中（ ）是正确的
.()()
.()()
x
x A f x dx f x B
f e
dx f e C ''==+??
221
..(1)(1)2C f dx f C D xf x dx f x C ''=+-=-
-+??
2．若()f x 满足()sin 2,f x dx x C =+?则
()(f x '= ） .4s i n 2.2c o s 2.
4s i n 2.2A x B x C x D
x
-
- 3．若
21
()(0),f x x x '=
>则()f x =（ ）
.2.l n A x C
B x C
x
C
C ++
++
4．设函数()f x 在[,]a b 上的某个原函数为零，则在[,]a b 上 （ ） A ．()f x 的原函数恒等于零. B. ()f x 的不定积分等于零.
C. ()f x 不恒等于零但其导数恒等于零.
D. ()f x 恒等于零. 5. 下列凑微分正确的是 ( )
22
1
.2.
(ln 1)1x x A xe dx de B dx d x x ==++
21
.a r c t a n .c o s 2s i n 2
1C x d x d D x d x
d x x =
=+
6. 22
()()xf x f x dx '=?
( )
2
2
22
2
21111.
().()
.().()
22
4
4
A f x C
B f x C
C f x C
D f x C
++++.
7. 若
()f x dx x C =+?, 则 (1)f x dx -=? ( )
21
.1.
..
...(1)2A x C B x C C x C D x C -+-++-+ 8. 函数cos (0)ax a ≠的一个原函数是 ( )
11
1
.s i n .s i n .s i n .s i n A x B a x
C a x
D a x
a a a
-
9. 若
()21x
f x dx x C =+++?
, 则()f x =( )
2
111.
2..2ln 2 1..21.21
ln 22
x x x x A x x B C D ++++++
10. 下列分部积分中对u 和v '选择正确的有 ( )
22.cos ,cos ,.(1)ln ,1,ln A x xdx u x v x B x xdx u x v x
''==+=+=??
.,,.a r c s i n ,
1,
a r c
x x
C xe dx u x v e
D xdx u v x --''====??
答案：1—10 DCCDADCBBC
计算题:
1.ln(x dx
+
?
2. x ?
3. dx
4.44cos 2sin cos x
dx x x +?
5.
ln tan cos sin x dx
x x ?
6. 7.
221
(1)(1)x dx
x x ++-?
. 8. 1
1sin cos dx
x x ++?
9. 2
(1)x
x xe dx e +?.
10.
2
答案:
1. 1. 原式
=
ln(x x dx
+-?
21ln(2x x =-
ln(x x C =+.
2. 2.
原式2112
2x =
22112
4x =
21arctan 2x C
=
3. =
(sin cos )2cos 2sin 2222x x x x
dx C
=+=-++?
4. 4422222
cos 2cos 2sin cos (sin cos )2sin cos x x
dx dx x x
x x x x =++-?
? 2
2
cos 2sin 2(2)2sin 22sin 2x d x
d x x x ==--??
C
=
+
5. ln tan ln tan tan ln tan (ln tan )cos sin tan x
x
dx d x xd x x x
x =
=?
??
2(ln tan )2x C =+.
6. 2sin 2
(2cos 1)cos 21cos 2cos 2x t t
t dt dt
t t =-=+=??
tan 2t t C =-+
arcsin x C
=+
7. 222
1111
[]2(1)2(1)(1)(1)(1)x dx dx x x x x x +=+--++-+??
111ln 1ln 1221x x C
x =
-+++++
211ln 121x C
x =-+++.
8.
tan
2
2
2
12
1sin cos 211111x u dx
du x x
u u u
u u =?
++-+++++=?
?
ln 1ln 1tan 12du x
u C C u =++=+++?
.
9.
21(1)111x x x x x xe x dx dx xd e e e e ??
=-=-+ ?
++++??
?
??
ln(1)111x x x x x
x e dx x e C e e e ---=-+=--+++++?
.
10.
sin 2222
1cos 2sin 2x a u
u
a udu a du =-==?
?
?
22sin 2()arcsin 222a u a x u C C a =-+=+.
第九章 定积分
一、 一、 选择题（每题2分） 1、若
()?=+1
22dx k x ，则=k （ ）
（A ）1 （B ）1- （C ）0 （D ）21
2、若()x f 是奇函数，且在[]a a ,-上可积，则下列等式成立的有（ ）
（A ）()()??-=a
a a
dx
x f dx x f 0
2 （B ）()()??--=a
a
a
dx
x f dx x f 0
2
（C ）()?
-=a a
dx x f 0
（D ）()()?-=a a
a f dx x f 2
3、设()x f 在[]b a ,上连续，则下面式子中成立的有（ ）
（A ）()()x f dt t f dx d x a =? （B ）()()x f dx x f dx d b
a
=?
（C ）()()?+=C x f dx x f dx d
（D ）()()x f dx x f ='?
4、设()x f 为连续函数，()()?-=104dx
x f x x f ，则()?1
0dx x f =（ ）
（A ）1- （B ）0 （C ）1 （D ）2
5、函数()x f 在[]b a ,上连续是()?b
a dx x f 存在的（ ）
（A ） （A ） 必要条件 （B ）充要条件 （C ）充分条件 （D ）无关
条件 6、
()x f 在[]b a ,上连续，()()?=x
a dt t f x F ，则正确的是（ ）
（A ）()x F 是()x f 在[]b a ,上的一个原函数； （B ）()x f 是()x F 在[]b a ,上的一个原函数； （C ）()x F 是()x f 在[]b a ,上唯一的原函数； （D ）()x f 是()x F 在[]b a ,上唯一的原函数 7、
?
e e
dx
x 1ln =（ ）
（A ）0 （B ）2e-2 （C ）
e 22-
（D ）e e 2
22-
+
8、已知()()21210
-=
?x f dt t f x
，且()10=f ，则()=x f （ ） （A ）2
x
e （B ）x e 21 （C ）x e 2 （D ）x e 221
9、下列关系中正确的有（ ）
（A ）dx
e dx e x x ??≤1
1
02
（B ）dx
e dx e x x ??≥1
1
2
（C ）dx
e dx e x x
??=1
1
2
（D ）以上都不正确
10、?=b
a xdx dx d arcsin （ ）
（A ）a b arcsin arcsin -（B ）2
11
x -（C ）x arcsin （D ）0
11、设410I xdx
π=?
，4230,sin I I xdx
π
==?，则（ ）；
（A ）123I I I >> （B ）213I I I >> （C ）312I I I >>（D ）132I I I >>
12、下列积分中可直接使用牛顿—莱布尼兹公式计算其值的是（ ）；
（A ）1201x dx x +? （B
）10? （C
）e （D ）210x e dx ?
13、设()f x 为连续函数，则积分()b
a I f x t dx
=+?（ ）
（A ）与,,t a b 有关 （B ）与,t x 有关 （C ）与,,x b t 有关 （D ）仅与x 有关 14、()2x a
f t dt '=
?
（ ）
（A ）()()1222f x f a -???? （B ）()
()222f x f a -???? （C ）()()22f x f a -???? （D ）()()12f x f a -????
15、下列积分中，使用换元积分正确的是（ ）
（A ）1arcsin 1sin dt t x t π=+?令 （B
）10sin x t =?令 （C
）1
0tan x t
=?令 （D ）1
211
1dx x x
t -=+?令 答案：ACACC ACCBD BAAAC 二、 二、 填空题（每题2分）
1、已知
?=Φx
dt
t x 0
2)sin()(，则=Φ')(x .；
2、比较大小：?20
πxdx
?2
s i n πx d x
.
3、?-++1
142251sin dx x x x
x = ；
4、函数()x f 在区间[]1,2-上连续且平均值为4，则()?-1
2dx
x f = ； 5、设()x f 为连续函数，则
()()[]=?+-+?-dx x x x f x f 3
2
2 ；
6、
5
22
cos xdx π
π-
=?
；
7、()12ln 1x
d t dt dx +=? ；
8
、(2
11
x dx -+
=?
；
9、设()f x 为连续函数，且()()1
2,
f x x f t dt =+?则()f x = ；
10、设0a ≠，若()0120
a
x x dx -=?，则a = ；
11、已知()23
02x
f t dt x =?，则()1
f x dx =
? ；
12
、=
? ；
答案：1、()
2
sin x 2、≥>or 3、0 4、12 5、564 6、16
15 7、
()2
ln 1x -+ 8、2 9、1x - 10、34 11、3 12、4π
三、计算题 （每题5分）
1、dx x x ?-22
101
解：令t x sin =，则tdt dx cos =，t
x 2010π→
→ dx x x ?-2
2101=?2022cos sin πtdt t
=()??-=2
02024cos 1812sin 41ππdt t tdt
=
16
024sin 4181ππ
=??? ??-t t
2、
?2
sin πxdx
x 20
cos xd x
π
=-?
=?+-20
cos 02cos π
π
xdx
x x
=102sin =π
x 3、dx
x x x ?
+-20
232
=()()?
?
?
-+-=-2
1
2
1
111dx
x x dx x x dx x x
=
12325201523223
252523???? ??-+???? ??-x x x x =()
22154
+
4、
?
-2
1
21
dx x x
解：令tdt t dx t x tan sec ,sec ==，
3021π
→
→t x
?-2
121dx x x =?3
02tan πtdt =()d t t ?-3021sec π
=()3303tan π
π
-=-t t
5、()dx x
x 2
11
2
4?
--+
=()
?--+-+1
1
222
442dx
x x x x
=()
d x
x x ?-+-1
12442
=?
-=1
1
8
4dx
6、??202cos π
xdx e x
=?202sin π
x d e x
=??-?20222sin 02sin π
π
dx e x x e x x
=??-+=+20
22022cos 402cos 2cos 2π
π
πππ
xdx
e x e e x d e e x x x
=2-π
e
则 ?
?20
2c o s π
x d x e x =()
251-π
e
7、?-?π
π
xdx
x sin 4
解： x x sin 4
?为奇函数，且积分区间[]ππ,-关于原点对称
sin 4=?∴
?-
π
π
xdx x
8、
?
+40
2cos 1π
dx x x
=??=4
4
02
tan 21cos 2π
π
x xd dx x x
=?-40tan 2104tan 21π
π
xdx x x =
04
cos ln 21
8π
πx + =2
ln 41
822ln 218-=+ππ
9、
()?-+1
1
221x dx = ()
?+102212x dx
解：令tdt dx t x 2
sec ,tan ==，
401
0π
→
→t x ()
?-+11221x dx =?402cos 2π
tdt
=()?+402cos 1π
dt t =042sin 21π??? ??+t t =214+π
10、
?
+30
1arcsin
dx x x
解：令
x x t +=1arcsin
，t x 2tan =，则tdt t dx 2sec tan 2=，303
0π
→
→t x ?+301arcsin dx x x =?302tan πt td =?-30
22tan 03tan ππtdt t t
=()d t t ?--3021sec ππ=
()03tan π
πt t -- 3
34)33(-=--=π
ππ
11、
?
+13
3221x x dx
解：令
t x 1=
,则dt t dx 21
-=,
1313
3
→→t
x
?
+13
3221x x dx =
?
+?-
13
2221111t t dt t
=?+3
121t tdt
=
2
21
312
-=+t
12、
dx
x e
e
?1ln =
dx
x e
?
-11
)ln (+dx
x e ?
1
ln
=()()
1
ln 11ln e x x x e x x x -+-- … =
e 2
2-
13、
?
--11
45x xdx
解：令x t 45-=，则()
2
541t x -=，tdt
dx 21-=，1311→→-t x ?--11
45x x d x =()
dt t ?-3
12581 =13315813?
?? ?
?-t t =61 14、0
xdx
=
20arctan 1xdx x x +
=1ln 1ln 2323x -+=- 15、20π
?20cos 2x dx π
20c o s c o s 22x x dx dx π
ππ?=-?
??? =2sin sin 022x x πππ?-=??
五、证明题（每题5分）
1、 1、 证明：若f 在[],a b 上可积，F 在[],a b 上连续，
且除有限个点外有()
()F x f x '=，
则有
()()()b
a
f x dx F b F a =-?
证：设除[
]
()()12,,,n x x x a b F x f x '∈= 外，
即()()[]{}12,,\,,n F x f x x a b x x x '=?∈ 可设 0121n n x a x x x b x +=≤<<<≤= 在[
]
1,i i x x +上应用N-L 公式知:
()()()()()()()
110
i i
n
n
b
x i i a
x i i f x dx f x dx F x F x F b F a ++====-=-∑∑??
2、 2、 证明：若T T '是增加若干个分点后所得到的分割，则
i
i
i
i
T T
x x
ωω'
''?≤?∑∑
证：由性质2知 ()()()(),S T S T s T s T ''≤≥。故
()()()()S T s T S T s T ''-≤-，即
i
i
i
i
T T
x x
ωω'
''?≤?∑∑
3、 3、 证明：若f 在[]
,a b 上可积，
[][],,a b αβ?，则f 在[],αβ上也可积。
证：因为f 在[],a b 上可积，a b α≤≤，由定理10.10，f 在[],b α上可积，又b αβ<≤，再由10.10，f 在[],αβ上也可积 4、设,f g 均为定义在[],a b 上的有界函数。证明：若仅在[],a b 中有限个点处()()f x g x ≠，
则当f 在[],a b 上可积时，g 在[],a b 上也可积，且
()()b b
a
a
f x dx
g x dx
=?
?。
证：设F f g =-，则F 是[],a b 上只有有限个点处不为零的函数，由定理10.5，F 在[]
,a b
上可积，从而g F f =+也在[],a b 上可积。对[]
,a b 上任何分割T ，取每个i ?上的介点i ξ，
使()0i F ξ=，就有()0i i F x ξ?=∑
由F 在[],a b 上可积性，知 ()()0lim 0b
i i a T F x dx F x x →=?=∑?
因此
()()()()b b b b
a
a
a
a
g x dx F x dx f x dx f x dx
=+=?
???
5、设f 在[],a b 上有界，{}[]
,n a a b ?，lim n n a c →∞=。证明：若f 在[]
,a b 上只有
n a ()1,2,n = 为其间断点，则f 在[],a b 上可积。
证明：设
(),c a b ∈，[],f a b ω在上的振幅为，任给{}0min ,4c a b c εεω??><-- ?
??， 由lim n n a c →∞=知存在N ，使得n N >时，,4n a c εω??∈ ??? ，从而在,,44a c c b εεωω?
???-+?????
??? 上至多只有有限个间断点。由定理9.5，9.3'知：存在,,,44a c c b εεωω?
???-+?????
???上的分割,T T '''使得
,4
4i i i i
T T x x εε
ωω'
''
''''''?
记 T T '为，
T ''的分点并添上点,44c c εεωω-
+作成的[],a b 上的分割，则有 44424i i i i i i
T T T x x c c x εεεεεωωωωωεωωω'''?
?''''''?≤?++-++?<+?+= ???∑∑∑
故由定理9.3'知：f 在[],a b 上可积
6、证明：若f 在区间?上有界，则()()()()
,sup inf sup x x x x f x f x f x f x ∈?
'''∈?
∈?
'''-=-
证：记
()()sup ,inf x x f x M f x m
∈?
∈?
==
i ）若m M =，则()f x M ≡，有()()()(),sup inf 0sup x x x x f x f x f x f x ∈?'''∈?∈?'''-==-
结论成立
ii)若M m >则由确界定义知
a ）(),.,x m f x M x x '''?∈?≤≤?∈?有因此，有 ()()[],,f x f x m M '''∈， 故 ()()f
x f x M m
'''
-≤
-
b ）
()
10,2M m εε?><
-且，则
()(),,22x f x M f x M εε
'''?∈?>--<-+使即 ()(),,22x f x m f x m εε
''''''?∈?<+->--
使即
由此 ()()f x f x M m ε'''->
-- 且 ()()()f x f x M m M m εε'''-<-++=---
即
()()f
x f x M m ε'''
->
--
由 a ），b ）得
()()()()
,sup inf sup x x x x f x f x M m f x f x ∈?
'''∈?
∈?
'''-=-=-
7、设f 在[],a b 上连续，且()f x 不恒等于零，证明
()2()0
b a
f x dx >?
证：因为f 在[],a b 上连续，故()()()()2
f x f x f x ?=在[],a b 上连续，且()()2
0f x ≥
又由于()f x 在[],a b 不恒等于零，则至少存在一点[]0,x a b ∈使得()00f x ≠，故有
()()
2
0f x > ，所以()2()0
b
a
f x dx >?
8、设f 在[]0,+∞上连续，且()lim x f x A →+∞=，证明：()01lim x
x f t dt A x →+∞=?
证：对任意的0x >，有
()(
)(
)00
11lim lim x x x x f t dt f t dt f t dt x x →+∞→+∞?
?=+?
????
=(
(
)(121
lim x f f x x ξξ→+∞??
?
? =
(
(
12lim x f f ξξ→+∞?+???
(
)12,x
ξξ∈∈
而当,x ξξ→+∞→+∞→+∞12时,即
()2lim
0,lim 1x x f f A
ξξ→+∞?
=-=??
故 ()01l i m 0x
x f t d t A A
x →+∞=+=?
9、设f 是定义在(),-∞+∞上的一个连续周期函数，周期为p ，证明：
()()0011lim x p x f t dt f t dt x p →+∞=??
证：由于本题讨论x →+∞时的极限问题，不妨假设0x > 对任意的0x >，存在[]000,,x p n N x x np +∈∈=+及使，且
()()000
011
x x np f t dt f t dt x x np +=+??
=()()000011np x np np f t dt f t dt x np x np ++++??
=()()000001p x n f t dt f t dt x np x np +++??
当,x →+∞→∞时,n 且()0
p
f t dt
?为常数，()0
x f t dt
?为有界量，故有
()01lim x
x f t dt x →+∞?=()()000001lim p x x n f t dt f t dt x np x np →+∞??+??++????=()01p f t dt p ?
10、设()x f 为连续函数，证明()()dx x f dx x xf ??=
π
π
π
sin 2sin ，
并利用此等式求
?
+?
π0
2
cos 1sin dx x x
x
证明: 令x t -=π,则t x -=π,dt dx -=,00→→ππ
t x
()()()()dt
t f t dx x xf ??
---=0
sin sin π
π
ππ=()()dt t f t ?-π
π0
sin
=()()dt
t tf dt t f ??-π
π
π0
sin sin =
()()dx
x xf dx x f ??-π
π
π0
sin sin
∴
()()dx x f dx x xf ??=
πππ
sin 2
sin
而
?
+?
π0
2cos 1sin dx x x x =?+ππ02cos 1sin 2dx
x x
=?
+-
ππ
2cos 1cos 2
x x d =()0cos arctan
2
ππx -=42π
第十章 定积分的应用
一、单选题（每题2分）
1、2
x y =与x y =所围图形的面积是（ ）
A 、1
B 、21
C 、31
D 、32
2、；两曲线()x f y =， ()x g y =相交于()()2211,,,y x y x )(21x x <，()()0,0>>x g x f ，这两曲线所围成的图形绕x 轴旋转一周所得的旋转体的体积可表示为=x V （ ）
A 、()()dx
x g x f
x x ?
-122
2
π B 、
()()[]dx x g x f x x 2
1
2
?-π
C 、
()[]-?dx x f x x 1
2
2π()[]dx x g x x
?1
2
2π D 、
()()[]dx x g x f x x
?-1
2
2
ππ
3、将曲线2
x y =与x 轴和直线2=x 所围成的平面图形绕y 轴旋转所得的旋转体的体积可
表示为=Vy （ ） A
dx
x ?2
4
π B 、
dy
y ?4
π C 、
()dy
y ?-4
4π D 、
()dy
y ?+π
π0
4
4、若利用极坐标计算曲线2
4y y x -=和直线x y =所围成的平面图形的面积，可用定
积分表示为（ ）
A 、
θ
θd ?32
2
sin 8 B 、
θ
θπ
d ?30
2
cos 8 C 、
θ
θπ
πd ?23
2
sin 8 D 、
θ
θπ
πd ?23
2cos 8
5、曲线()
2
1ln x y -=上从点()0,0到点??? ?
?43ln ,21的一段弧长为=s （ ） A 、3ln 21- B 、
213ln - C 、213ln + D 、2121arctan 2-
6、曲线x
x e
y e y -==,和直线1-=x 所围成的平面图形的面积=S （ ）
A 、()d x e
e
x
x
?
---01B 、()
d x
e e
x
x ?---0
1
C 、
()[]dy
y y e
e
?--1ln ln D 、
[]dy
y e
e
?+11ln
7、曲线2
x y =，直线3
2=x 和x 轴所围成的平面图形被直线b x =分为面积相等的两部分，
则=b （ ）
A 、123
2+ B 、1 C 、123
2
- D 、3
12 8、曲线)2)(1(x x x y --=与x 轴所围平面图形面积可表示为（ ） A 、()()()()dx x x x dx x x x -----??212121
10
B 、dx
x x x )2()1(2
---?
C 、
()()()()dx
x x x dx x x x --+---??21212
1
10
D 、dx
x x x )2()1(2
--?
9、曲线
?
?? ??≤≤-=22cos ππ
x x y 与x 轴所围平面图形，绕x 轴旋转一周所成的旋转体的体积为（ ）
A 、2π
B 、π
C 、22π
D 、2
π
10、射()()x g x f ,在区间[]b a ,上连续，且()()m m x f x g (<<为常数），则曲线()x g y =，()b x a x x f y ===,,所围成平面图形绕直线m y =旋转而成的旋转体体积为（ ）
A 、()()[]()()[]dx
x g x f x g x f m b a
-+-?2π B 、()()[]()()[]dx x g x f x g x f m b
a
---?2π
C 、
()()[]()()[]dx x g x f x g x f m b a
-+-?π D 、()()[]()()[]dx x g x f x g x f m b
a
---?π
11、双纽线()
222
2
2
y x y x
-=+所围成的区域面积可用定积分表示为（ ）
A 、
?40
2cos 2π
θ
θd B 、
?40
2cos 4π
θ
θd C 、
?4
2cos 2π
θθd D 、?4
02)2(cos 21π
θθd
12、曲线θθ2cos sin 22==
r r 与所围成的公共部分的面积=S （ ）
A 、23112
-+
-
π
B 、41324-+π
C 、21312-+π
D 、23
16-+
π 13、曲线0,1,4>≥≤x y xy 所围成的图形绕y 轴旋转一周所成的旋转体的体积=V （ ）
A 、π8
B 、π16
C 、π32
D 、π4
14、设圆周2
2
2
8R y x =+所围成的面积为S ，则dx
x R R
?-220
228的值为（ ）
（A ）S （B ）S 41 （C ）S
21
（D ）S 2
15、由曲线()b a b y a y x y <<===0ln ,ln ,ln 及y 轴所围成的图形面积是（ ）
（A ）?
b
a
xdx
ln ln ln （B ）
?
b
a
e e x
dx
e （C ）
?
b
a
y
dy
e ln ln （D ）
?
b
a
e e xdx
ln
答案： CACAB BBCCB ADBBC
二、填空题（每题2分）
1、函数()x f 在区间[]1,2-上连续且平均值为4，则
()?-1
2
dx x f = ；
2、曲线x x x y 22
3
++-=与x 轴所围成的图形的面积=A ；
3、介于π2,0==x x 之间由曲线x y x y cos ,sin ==所围成的图形的面积=S ；
4、把抛物线ax y 42
=及直线()000>=x x x 所围成的图形绕x 轴旋转所得旋转物体的体积
=V ；
5、对数螺线θ
a e r =自0=θ到?θ=的弧长=L ；
6、x
x e y e y -==,与直线1=x 所围成的图形的面积=S ；
7、曲线
?
?? ??
≤≤=20sin πx x 及x 轴所围成的平面图形绕x 轴旋转所得的旋转体的体积为=V ；
8、由曲线22x y -=
与x y =所围成的平面图形的面积=S ；
9、由圆周θρθρcos 2,cos ==所围介于
4,0π
θθ=
=之间的面积=S ； 10、曲线x
x y ln 2142-=介于2,1==x x 之间一段曲线弧的长度=s ；
11、设质点由静止开始沿直线运动，其速度s
m t V /22
=，其中t 为时间，则质点出发后s
4内所走的路程=s m;
12、曲线2
y x =与直线2=-y x 所围成的图形的面积=S ；
13、曲线2x y =与2
y x =所围成的平面图形绕y 轴旋转一周所得到的旋转体的体积是
=V ；
答案：1、12 2、1237
3、24
4、2
02ax π 5、()
112-+?a e a a
6、21
-+-e e 7、42π 8、2π 9、()2163+π 10、()2ln 2341
+
11、332 12、29 13、π
103
三、计算题（每题10分）
1、求曲线
x x x y 22
3++-=与x 轴所围成的图形的面积； 解：x x x y 22
3++-=的零点：2.0,1321==-=x x x
从而
=++-=?-dx x x x A 2
1
2
32(
)
()
d x
x x x dx x x x ??++-+++---2
230
1
2
322
=123702341034234234=???? ??++-+-???? ??--x x x x x x 2、 2、 线??
?-=-=t t y t x sin cos 1一拱π20≤≤t 的弧长；
解：t dt dx sin =，t dt dy cos 1-=，所以
()()dt
t dt t dt t t ds 2sin 2cos 12cos 1sin 2
2=-=-+= π20≤≤t
从而 8
022cos 42sin 220=-==?ππt dt t s
3、 3、 曲线
3,1,0,22===-=x x y x x y 所围成的平面图形的面积S ，并求该平面图形绕y 轴旋转一周所得的旋转体的体积V ；
解：如图，所求面积21S S S +=
()
32
22
121=
-=?dx x x S ()
3423222=
-=?dx x x S
所以 221=+=S S S 平面1S 绕y 轴旋转一周所得的旋转体的体积V
()
π
ππ611112
11=
-++=?-dy y V
()
π
ππ643
11272302=++-=?dy y V
从而所求旋转体的体积为 π921=+=V V V 4、 4、 求由曲线)0(22
>=p px y 和直线
2p
x =
所围图形分别绕直线p y =及y 轴旋转所
成旋转体的体积； 解：（1）绕直线p y =旋转
=----=??dx p px dx p px V p p
2
20
20
2
1)2()2(ππ3
2
320
233422p dx x p
p ππ=?
（2）绕y 轴旋转
3332
22
252102222p p p dy p y p p V p
p πππππ=-=???? ??-????
???=?-
5、 5、 求曲线dx
x y x ?
-
=2
cos π
的全长；
解：x y cos =
'，dx x dx y ds cos 112
+='+=，所以
4
2cos 22cos 12cos 1202220==+=+=???-dx x
dx x dx x y π
πππ
6、 6、 用铁锤将铁钉击入木板，设木板对铁钉之阻力与铁钉击入木板的深度成正比，在铁
锤击第一次时能将铁钉击入木板内cm 1，如果铁锤每次打击铁钉所做的功相等，问铁锤击第二次时能把铁钉又击入多少？
解：由题意，击入木板深度为cm x 时，铁钉所受阻力kx F =（k 为比例常数），功元素为
kxdx dw =，击第一锤所做功为?1
kxdx
，设击第二锤时，铁钉击入木板深度为cm h ，则击
入第二锤所做功为
?
h
kxdx
1
，得
?10
k x d x =
?h
kxdx
1
即 ()
1222
-=h k k 所以 2=h
故铁锤击第二次时能把铁钉击入
(
)
12-cm
7、已知曲线为星形线：)20,0(sin ,cos 3
3
π≤≤>==t a t a y t a x 。求： （1） （1） 所围成图形的面积1S ；（2）绕x 轴旋转所得的旋转体的体积V ；
解：（1）由对称性得，
()()???='=0
2
20
231sin cos 3sin 44ππ
tdt
t a t a dt t x t y S =
()??
-=2
64
2
20
242
sin sin
12cos sin 12π
π
dt
t t a
tdt t a
=2
2832214365214312a a ππ=???? ????-?
（2）
()()d t
t t a
dt t t a t a V ?
?-=-=2
273
20
2
6
2
sin 1sin 6sin cos 3sin 2π
πππ
=3
310532325476983254766a
a ππ=??? ?????-?? 8、 8、 由曲线x y 4=与()2
3-=x y 所围成平面图形的面积，并求此图形绕x 轴旋转的旋
转体的体积；
解：双曲线x y 4
=
与抛物线()2
3-=x y 的交点为()()1,4,4,1
()()?-=??????--=??????--=41323
2ln 814
331ln 434x x dx x x A
()()π
ππ52714351163454
142=??????---=????????--??? ??=?x x dx x x V
9、 9、 计算由π2,0,cos ,sin ====x x x y x y 所围成的平面图形的面积。
解：
?
-=π
20
cos sin dx
x x S
=()?-40
sin cos π
dx x x +
()?-4
54
cos sin ππdx x x +()?-π
π245sin cos dx
x x
=
()?-4
54
cos sin 2ππdx
x x =
()2
44
45sin cos 2=--π
π
x x
10、求由抛物线
22x
y =
与直线42=-y x 所围成的图形的面积； 解：抛物线
22x y =
与直线42=-y x 的交点坐标为()2,8和()1,2- 选y 为积分变量，[]2,1-∈y ，
有 ()[]
dy y y dA 2
242-+=
则
()[]912
3244232
2
1
2
=-??? ?
?
-
+=-+=?-y y y
dy y y A
11、求由抛物线x y =2
与直线032=--y x 所围平面图形的面积
解：抛物线与直线的交点
高一数学期中检测质量分析 试题总体评价：这次高一数学质量检测试题能依据《数学大纲》、《命题说明》和教材，从试题题量、试卷结构、知识覆盖、“三基”检测、“四能”要求、难度指数、等五方面基本能达到要求。做为阶段性质量检测试题有较好的方向性和指导性。 一、试题试卷特点 检测试题以它的知识性、灵活性描写了一个多姿的数学世界，充分体现了考素质、考基础、考方法、考潜能的测试功能。题目中无偏题、难题、怪题，起到了引导高中数学向全面培养学生数学素养的方面发展的作用。 1、基础知识考查的力度加大，重点突出，题目更接近课本。 数学质量检测试题有很多试题紧扣概念，定义、定理源于课本的基础知识，侧重了考通性、通法和数学思想的运用。例如选择题和填空题基本通过很简单的计算推理，分析判断，便能得出正确结论，试题注重了对“三基”的考查，强调了对基础知识、基本技能、基本方法的真正理解和掌握。 具体来说：（1）对选择、填空题来说：第1题，本题是一道算法语句题，注重算法中赋值语句的把握，但学生粗心，没有把握赋值语句的特征，是本题的失分点。第2、3、6题考查统计中的样本估计分析和抽样方法，学生基本无错。第4题是对程序语言的理解应用。第5、7、12题是对随机事件概率求解的考察。第8题是对直线回归方程的理解、应用。第9题是对频率直方图的理解应用.第10题是对事件关系的把握考察。第11题是对进位制间转化的应用。对填空题来说,总体上主要考查基础知识、基本方法,考查学生对基本概念、公式的记忆、理解情况。（2）解答题都是算法初步、统计及概率部分常见题型：试题中的第17题考查了算法和程序间的转化；第18考察了算法案例的理解把握；第19、20题考察应用样本估计总体的知识；第21、22题是概率的求解和应用，是概率部分较为常见题型；试题突出了知识主干，不回避知识的重点，可谓是常考常新，重点内容试题中多次出现。 2、突出能力，重视数学思想方法的考查 重视数学思想方法的考查是这次质量检测试题的又一特点，其中一些基本的数学思想和方法以各种不同层次融入试题中，通过考生对数学思想方法的运用来对考生的数学能力进行区分。试题中第7、12、16、21题涉及了正难则反思想方法的考查，第9、20题中考察学生读图能力、转化与化归的数学思想等；对新课程的实施起到了良好的导向作用。 3、贴近高考考试模式，采用题卷分离式考试。 这次检测考试，采用近年来高考考试模式，防止部分考生，错位答卷，作图不规范，答卷超出指定位置等多种多样不合要求的做法，使考生失去了不该失的分数，是考生的一个新失分点。 二、试卷中存在的问题或建议 1、知识点重复或遗漏。 如第6题与第19题都考察了利用样本估计总体的稳定性，第8题与14题都考察了直线回归方程。作为典型的古典概型和几何概型，尤其几何概型没有涉及到考察。 2、作为新课改下的模块检测考试，分值应用百分值测量比较方便，150分分值
小学生有趣的数学题 1、文字算式游戏： 例如：（十）拿（九）稳一（七）上（八）下=（三）位（一）体 对应的算式为：109–78=31 （1）（ ） 光 （ ）色×不（ ）价=（ ）货公司 （2）（ ）（ ）火 急 ×（ ）指 连 心=（ ）（ ）富翁 （3）（ ）（ ）生 肖 ×（ ）级 跳=（ ）（ ）（ ）计 （4）（ ）（ ）面 威 风 ×（ ）窍生烟=（ ）颜（ ）色 （5）（ ）天 打 鱼 ×（ ）天 晒 网=（ ）亲不认 答案：（1）五、十、二、百；（2）十、万、十、百、万；（3）十、二、三、三、十、六； （4）八、七、五、六；（5）三、两、六． 2、按规律填数：1，1，2，3，5， ， ， ． 答案：8，13，21 3、在横线上填上运算符号或括号，使等式成立． 4__4 4__4=1， 4__4__4___4=2， 4 4 4 4=3， 4 4 4 4=4 答案：(4÷4)×(4÷4)=1 4÷4+4÷4=2 (4+4+4)÷4=3 4×(4–4)+4=4 4、长方形剪去一角，它可能是 边形 答案：三、四、五 5、有50个同学，头上分别戴有编号1，2，3，……，49，50的帽子．他们按编号从小到大的顺序，顺时针方向围成一圈做游戏：从1号开始按顺时针方向“1，2，1，2……”报数，报到奇数的同学退出圈子，一圈下来后，接着又从编号最小的人重新开始“1，2，1，2，……”报数，报到奇数的同学退出圈子，经过了若干轮后，圆圈上只剩下了一个人，那么，这位同学原来的编号是 ． 答案：32 6、有一个正方体，将它的各个面上分别标上字母a 、b 、c 、d 、e 、f ．有甲、乙、丙三个同学站在不同的角度观察，结果如图．问这个正方体各个面上的字母各是什么字母．即： a 对面是 ； b 对面是 ； c 对面是 ； d 对面是 ； e 对面是 ； f 对面是 ． 答案：e,d ,f,b ,a ,c 7、张老师工作很忙，5天没有回家，回家后一次撕下这5天的日历，这5天日期的数字相加的和是45，问张老师回家这天是几号？ 答案：12号 8、根据下面的等式，求出妈妈买回来的鱼、鸡、菜各花了多少钱？ 鸡+鸭+鱼+菜=35.4元 鸡+鱼+菜=20.4元 鸭+鱼+菜=21.4元 鸭+菜=17元 答案：鱼：4.4元；鸭:15元；鸡:14元；菜:2元. a d f b a c e d c
数学分析下册期末试题（模拟） 一、填空题（每小题3分，共24分） 1 、重极限 22(,)lim x y →=___________________ 2、设(,,)x yz u x y z e +=，则全微分du =_______________________ 3、设(sin ,)x z f x y y e =+，则 z x ?=?___________________ 4、设L 是以原点为中心，a 为半径的上半圆周，则 2 2()L x y ds +=?________. 5、曲面222 239x y z ++=和2 2 2 3z x y =+所截出的曲线在点(1,1,2)-处的 法平面方程是___________________________. 6 、已知12??Γ= ???32?? Γ-= ??? _____________. 7、改变累次积分的顺序，2 1 20 (,)x dx f x y dy =?? ______________________. 8、第二型曲面积分 S xdydz ydzdx zdxdy ++=??______________，其中S 为 球面2 2 2 1x y z ++=，取外侧. 二、单项选择题（每小题2分，共16分） 1、下列平面点集，不是区域的是（ ） （A ）2 2 {(,)14}D x y x y =<+≤ （B ）{(,)01,22}D x y x y =<≤-≤≤ （C ）{(,)01,1}D x y x y x =≤≤≤+ （D ）{(,)0}D x y xy => 2、下列论断，正确的是（ ） （A ）函数(,)f x y 在点00(,)x y 处的两个累次极限都不存在，则该函数在 00(,)x y 处重极限必定不存在.
数学期中考试质量分析 一、本班成绩统计 参加考试人数 平均分 及格人数 及格率 优秀人数 优秀率 38 78.1 32 84% 12 31% 二、本次试卷中最突出的问题： 1.操作题。 画线段及用给出的顶点画直角和画钝角。本题中出错较多的是画钝角，很多孩子把钝角和锐角混淆了，因此出错丢分。本题主要考查学生对于图形的操作应用能力。
2. 解决问题。共有4道题，其中第3小题需要两步运算，多数学生搞错了运算顺序，导致答案错误。第4小题由于给出的条件多，问题又非常相似。导致大部分学生都没有正确的理解题，进而错误丢分情况严重。本题主要考查学生用所学知识解决生活中的实际问题的能力。 三、教师教学中应对的措施： 1、针对作图题出现的问题，二年级学生正处在以形象思维为主，向抽象思维过渡的阶段。许多数学问题多以文字形式呈现，语言表述上比较言简，枯燥乏味，至使他们常常读不懂题意。利用小学生喜欢画画，擅长画画的特点，让他们用自己喜爱的方式画图，原生态的图形，生动有趣，再现数量之间的关系，使数学与图形结合，以画促思，最终可以化复杂为简单，化抽象为直观，能更好地寻找问题的答案，从而提高学生解决问题的能力。因此，在教学中我们要善于创设体验情境，让学生在思考的过程中产生画图的需要，树立画图意识。 2、解决问题方面，老师要做到选择典型例题，精讲多练，教给学生解题思路。二年级学生正处在以形象思维为主，向抽象思维过渡的阶段。许多数学问题多以文字形式呈现，语言表述上比较言简，枯燥乏味，至使他们常常读不懂题意。利用小学生喜欢画画，擅长画画的特点，让他们用自己喜爱的方式画图，原生态的图形，生动有趣，再现数量之间的关系，使数学与图形结合，以画促思，最终可以化复杂为简单，化抽象为直观，能更好地寻找问题的答案，从而提高学生解决问题的能力。因此，在教学中我们要善于创设体验情境，让学生在思考的过程中产生画图的需要，树立画图意识。
二年级数学有趣经典的奥数题及答案解析 1、用0、1、 2、3能组成多少个不同的三位数？ 18个 2、小华参加数学竞赛，共有10道赛题。规定答对一题给十分，答错一题扣五分。小华十题全部答完，得了85分。小华答对了几题？ （10×10-85）÷（10+5）=1题 10-1=9题 3、 2，3，5，8，12，( 17 )，( 23 ) 4、 1，3，7，15，( 31 )，63,( 127 ) 5、 1，5，2，10，3，15，4，( 20 )，( 5 ) 6、○、△、☆分别代表什么数？ (1)、○+○+○=18
(2)、△+○=14 (3)、☆+☆+☆+☆=20 ○=( 6 ) △=( 8 ) ☆=( 5 ) 7、△+○=9 △+△+○+○+○=25 △=( 2 ) ○=( 7 ) 8、有35颗糖，按淘气-笑笑-丁丁-冬冬的顺序，每人每次发一颗，想一想，谁分到最后一颗？ 35÷4=8……3 丁丁 9、淘气有300元钱，买书用去56元，买文具用去128元，淘气剩下的钱比原来少多少元？ 56+128=184（元）
10、5只猫吃5只老鼠用5分钟，20只猫吃20只老鼠用多少分钟？ 5分钟 11.修花坛要用94块砖，第一次搬来36块，第二次搬来38，还要搬多少块？(用两种方法计算) 94-（36+38）=20（块） 94-36-38=20（块） 12.王老师买来一条绳子，长20米剪下5米修理球网，剩下多少米？ 20-5=15（米） 13.食堂买来60棵白菜，吃了56棵，又买来30棵，现在人多少棵？ 60-56+30=34（棵） 14、小红有41元钱，在文具店买了3支钢笔，每支6元钱，还剩多少元？
2013—2014八年级数学期中试卷分析 贾伟华 一、试题情况分析 本次试题注重了对基础知识的考查，同时关注了对学生推理能力、计算能力、做图能力和综合运用知识解决问题的能力的考查。试卷以新课程标准的评价理念为指导，以新课标教材为依据，特别在依据教材的基础上，考出学生的素质。突出的特点有： 1、知识点考查全面。让题型为知识点服务。每一个知识点无不被囊括其中，真正做到了覆盖全面。 2、形式灵活多样,并且注重数学知识与现实生活的应用，激发学生独立思考和创新意识。 3、题量较大，选择题难度不太大，选项考查学生的综合运用能力，重点考查了学生对基础知识的掌握情况及熟练程度。 二、学生答题情况分析 填空、选择题难度高不高,答题质量普遍较好，存在一些问题，如选择题4学生如果不根据图形分析很难找到正确的条件，第8题是对勾股定理考查，学生对学过知识分析能力差；这两题错误率高。填空题16部分学生对对勾股定理推导过程遗忘,错误率较多.17题较难，18题图形分析不够,需运用等腰三角形,等边三角形及直角三角形。19、20是作图题,学生掌握得不好平时练得较少,解答题中21题求角的度数 ,运用外角和等腰三角形求解.22题运用三角形全等证明解决问题.24题(1)证明是直角根据平角，(2)是利用面积关系推出勾股定理.25题结规律推导. 26、27难度较大，学生对动点问题有较大的畏惧,仍是今后学习的难点。 三、抽样数据 四、年级学生情况分析 学生整体水平参差不齐，好多同学对基础知识掌握不牢固，在教学中对好坏的兼顾仍是思考重点。 主要失分原因：一是对基础知识、基本概念掌握不到位，；二是学生审题不清、马虎大意，导致出错；三是某些思考和推理过程，过
六年级数学有趣经典的奥数题及答案解析 【题-001】抽屉原理 有5个小朋友，每人都从装有许多黑白围棋子的布袋中任意摸出3枚棋子.请你证明，这5个人中至少有两个小朋友摸出的棋子的颜色的配组是一样的。 【题-002】牛吃草：（中等难度） 一只船发现漏水时，已经进了一些水，水匀速进入船内.如果10人淘水，3小时淘完；如5人淘水8小时淘完.如果要求2小时淘完，要安排多少人淘水？ 【题-003】奇偶性应用：（中等难度） 桌上有9只杯子，全部口朝上，每次将其中6只同时“翻转”.请说明：无论经过多少次这样的“翻转”，都不能使9只杯子全部口朝下。 【题-004】整除问题：（中等难度） 用一个自然数去除另一个整数，商40，余数是16.被除数、除数、
商数与余数的和是933，求被除数和除数各是多少？ 【题-005】填数字：（中等难度） 请在下图的每个空格内填入1至8中的一个数字，使每行、每列、每条对角线上8个数字都互不相同． 【题-006】灌水问题：（中等难度） 公园水池每周需换一次水．水池有甲、乙、丙三根进水管．第一周小李按甲、乙、丙、甲、乙、丙……的顺序轮流打开小1时，恰好在打开某根进水管1小时后灌满空水池．第二周他按乙、丙、甲、乙、丙、甲……的顺序轮流打开1小时，灌满一池水比第一周少用了15分钟；第三周他按丙、乙、甲、丙、乙、甲……的顺序轮流打开1小时，比第一周多用了15分钟．第四周他三个管同时打开，灌满一池水用了2小时20分，第五周他只打开甲管，那么灌满一池水需用________小时．【题-007】浓度问题：（中等难度） 瓶中装有浓度为15%的酒精溶液1000克，现在又分别倒入100克和400克的A、B两种酒精溶液，瓶中的浓度变成了14%．已知A种酒精溶液浓
世界上最有趣的数学题 数学经常会让那些自以为很聪明的人也感觉笨得不行。事实上，数学本身非常有趣，它是我们日常生活的一部分，每个人都能从中获得享受。只不过在课堂上，数学被一些死板的老师教死板了。 你身上的计算器 利用手进行计算时，一种最简单的乘法是9的倍数计算，在这种计算中，有一个小孩子非常了解，但是年长的人不是太了解的小窍门。计算9的倍数时，将手放在膝盖上，像下表中所示，从左到右给你的手指编号。现在选择你想计算的9的倍数，假设这个乘式是7×9。只要像上图所示那样，弯曲标有数字7的手指。然后数弯曲的那根手指左边剩下的手指数是6，它右边剩下的手指根数是3，将它们放在一起，得出7×9的答案是63。
多少只袜子才能配成一对？ 关于多少只袜子能配成对的问题，答案并非两只。而且这种情况并非只在我家发生。为什么会这样呢？那是因为我敢担保在冬季黑蒙蒙的早上，如果我从装着黑色和蓝色袜子的抽屉里拿出两只，它们或许始终都无法配成一对。虽然我不是太幸运，但是如果我从抽屉里拿出3只袜子，我敢说肯定会有一双颜色是一样的。不管成对的那双袜子是黑色还是蓝色，最终都会有一双颜色一样的。如此说来，只要借助一只额外的袜子，数学规则就能战胜墨菲法则。通过上述情况可以得出，“多少只袜子能配成一对”的答案是3只。 当然只有当袜子是两种颜色时，这种情况才成立。如果抽屉里有3种颜色的袜子，例如蓝色、黑色和白色袜子，你要想拿出一双颜色一样的，至少必须取出4只袜子。如果抽屉里有10种不同颜色的袜子，你就必须拿出11只。根据上述情况总结出来的数学规则是：如果你有N种类型的袜子，你必须取出N+1只，才能确保有一双完全一样的。 燃绳计时 一根绳子，从一端开始燃烧，烧完需要1小时。现在你需要在不看表的情况下，仅借助这根绳子和一盒火柴测量出半小时的时间。你可能认为这很容易，你只要在绳子中间做个标记，然后测量出这根绳子燃烧完一半所用的时间就行了。然而不幸的是，这根绳子并不均匀，有些地方比较粗，有些地方却很细，因此这根绳子不同地方的燃烧率不同。也许其中
课程编号：A071001 北京理工大学2006-2007学年第一学期 数学分析期中试题 一. 解下列各题（每小题6分） 1. 求极限n n n n )111(lim 2 ++∞→. 2.. 已知f 是可导函数, 且 x x f dx d 1)1(arctan =，求)4 (πf '.微分法，可以补用考虑微分次数，不断向下推。导数法，比需两边对同一变量求导。 3. 求出23||ln )(2+-=x x x x f 的间断点，并指出是第几类间断点. 4. 已知2)13(lim 2=++-+∞ →bx ax x x , 试确定其中常数b a ,. 二. 解下列各题（每小题7分） 1. 设???+=+-=23)1ln(t t y t t x , 求22dx y d . 2. 试确定常数b a ,的值, 使点)3,1(是曲线34bx ax y +=的拐点, 并求出曲线的 凹凸区间. 3. 求由方程0sin 2 1=+-y y x 所确定的隐函数)(x y y =的二阶导数. 4. 已知2112sin )(1lim 30=--+→x x e x x f ，求)(lim 0 x f x →.复合函数与函数求导公式可以一起用。 三.(9分) 设数列}{n x 满足010<<-x , ),2,1,0(221 =+=+n x x x n n n , 证明}{n x 收敛, 并求n n x ∞ →lim . 四.(9分) 设)(x f 有二阶连续导数, 0)0(=f , ?????='≠=0 ),0(0,)()(x f x x x f x g ，求) (x g '
并讨论)(x g '的连续性. 五. (9分) 一个体积给定的观察站底部是一个直圆柱, 顶部是一个半球形, 如果顶部单位面积的造价是侧面单位面积造价的二倍, 问圆柱的底半径r 与高h 分别为多少时可使总造价最低? 六.(8分）证明，当1>x 时，1 1ln +-≥x x x . 七. (9分）(1)已知当0→x 时, 2cos x e x -与k cx 是等价无穷小, 求c 与k 的值; (2)求极限22 2 0sin )(cos 112lim 2x e x x x x x -+-+→. 八.(4分)设)(x f 在],[b a 上连续, 在),(b a 内可导, 0)(≠'x f , 证明存在 ),(,b a ∈ηξ, 使ηηξ---=''e a b e e f f a b )()(.最后一道题一定要会拼与凑。
初二数学试卷分析 一、试题情况分析 本次试题注重了对基础知识的考查，同时关注了对学生推理能力、计算能力、做图能力和综合运用知识解决问题的能力的考查。试卷以新课程标准的评价理念为指导，以新课标教材为依据，特别在依据教材的基础上，考出学生的素质。突出的特点有： 1、知识点考查全面。让题型为知识点服务。每一个知识点无不被囊括其中，真正做到了覆盖全面。 2、形式灵活多样,并且注重数学知识与现实生活的应用，激发学生独立思考和创新意识。 3、题量较大，选择题难度较大，选项考查学生的综合运用能力，重点考查了学生对基础知识的掌握情况及熟练程度。 二、学生答题情况分析 填空、选择题难度偏高，答题质量普遍较差，存在一些问题，如选择题4学生如果不根据图形分析很难找到正确的个数，第8题是对平方根及算术平方根的考查，学生对学过知识分析能力差；第10题综合应用全等能力差，这三题错误率高。填空题15题对平方根有两个理解不够16题对等腰三角形的角分底角和顶角两种情况讨论，18题对旋转、全等联系不够。解答题中21题混合运算中乘方、开方运算理解不清，一步出错，整体全错，22题结合全等证明线段相等，如何应用平行线寻找全等条件出现问题；23题考查基本作图，格式和做法训练不够；25题结合坐标系描点，基本点找不对，不会利用对称点的性质找最短距离，26难度较大，作图加证明考查综合能力，注意证明题的条理性和清晰还有待欠缺，仍是今后学习的难点。 三、抽样数据 四、年级学生情况分析 学生整体水平参差不齐，好多同学对基础知识掌握不牢固，在教学中对好坏的兼顾仍是思考重点。 主要失分原因：一是对基础知识、基本概念掌握不到位，；二是学生审题不清、马虎大意，导致出错；三是某些思考和推理过程，过
世界上最有趣的数学题 Document number：WTWYT-WYWY-BTGTT-YTTYU-2018GT
世界上最有趣的数学题 数学经常会让那些自以为很聪明的人也感觉笨得不行。事实上，数学本身非常有趣，它是我们日常生活的一部分，每个人都能从中获得享受。只不过在课堂上，数学被一些死板的老师教死板了。 你身上的计算器 利用手进行计算时，一种最简单的乘法是9的倍数计算，在这种计算中，有一个小孩子非常了解，但是年长的人不是太了解的小窍门。计算9的倍数时，将手放在膝盖上，像下表中所示，从左到右给你的手指编号。现在选择你想计算的9的倍数，假设这个乘式是7×9。只要像上图所示那样，弯曲标有数字7的手指。然后数弯曲的那根手指左边剩下的手指数是6，它右边剩下的手指根数是3，将它们放在一起，得出7×9的答案是63。
多少只袜子才能配成一对 ? 关于多少只袜子能配成对的问题，答案并非两只。而且这种情况并非只在我家发生。为什么会这样呢那是因为我敢担保在冬季黑蒙蒙的早上，如果我从装着黑色和蓝色袜子的抽屉里拿出两只，它们或许始终都无法配成一对。虽然我不是太幸运，但是如果我从抽屉里拿出3只袜子，我敢说肯定会有一双颜色是一样的。不管成对的那双袜子是黑色还是蓝色，最终都会有一双颜色一样的。如此说来，只要借助一只额外的袜子，数学规则就能战胜墨菲法则。通过上述情况可以得出，“多少只袜子能配成一对”的答案是3只。 当然只有当袜子是两种颜色时，这种情况才成立。如果抽屉里有3种颜色的袜子，例如蓝色、黑色和白色袜子，你要想拿出一双颜色一样的，至少必须取出4只袜子。如果抽屉里有10种不同颜色的袜子，你就必须拿出11只。根据上
2012 –2013学年第一学期期末考试题 11数学教育《数学分析》（三） 一、单项选择（将正确答案的序号填在括号内，每题2分，共20分） 1. 下列数项级数中收敛的是 （ ） A. 211 n n ∞ =∑； B. 2 1n n n ∞ =+∑； C. 1 1 n n ∞ =∑； D. 0 1 23n n n ∞ =++∑. 2. 下列数项级数中绝对收敛的是 （ ） A. 1(1)n n n ∞ =-∑ B. 1n n n ∞=1n n n n ∞= D. 1 sin n n n ∞ =∑ 3.函数项级数1n n x n ∞ =∑的收敛域是 （ ） A. (1,1)- B. (1,1]- C. [1,1)- D. [1,1]- 4.幂级数0 21n n n x n ∞ =+∑的收敛半径是 （ ） . A B C D 1 ．2 ．1 ．02 5. 下列各区域中，是开区域的是 （ ） 2. {(,)|}A x y x y > . {(,)|||1}B x y xy ≤ 22.{(,)|14}C x y x y <+≤ .{(,)|1}D x y x y +≥ 6.点集11{,|}E n N n n ?? =∈ ??? 的聚点是 （ ） A. ){0,0} B.()0,0 C. 0,0 D.{}{}0,0 7.点函数()f P 在0P 连续，是()f P 在0P 存在偏导数 （ ） A.必要条件 B.充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要 条件 8. 函数(,)f x y 在()00,x y 可微，则(,)f x y 在()00,x y 不一定 ( ) A.偏导数连续 B.连续 C. 偏导数存在 D. 存在方向导数 9. 设函数)()(y v x u z =，则 z x ??等于 （ ） A. ()()u x v y x y ???? B. ()()du x v y dx y ?? C. () ()du x v y dx D. ()()u x v y x y ??+?? 10. 函数(,)f x y 在()00,x y 可微的充分必要条件是 ( ) A. 偏导数连续; B. 偏导数存在; C.存在切平面; D. 存在方向导数. 二、填空题（将正确答案填在横线上，每题2分，共20分） 11. 若数项级数1 1n p n n ∞ =-∑（） 绝对收敛，则p 的取值范围是 ； 12. 幂级数0(1)n n n x ∞ =+∑的和函数是 ； 13．幂级数2 01 (1)n n x n ∞ =-∑ 的收敛域是 . ； 14．平面点集22{(,)|14}E x y x y =<+≤的内点是_________ ___ __ _______； 15．函数33(,)3f x y x y xy =+-的极值点是 ______________________. 16．曲面221z x y =+-在点（2,1,4）的切平面是 ______________________ 17．函数y z x =，则 z y ?=? ______________________； 18．函数u xyz =在（1,1,1）沿方向(cos ,cos ,cos )l αβγ= 的方向导数是 ___________； 19．设cos sin x r y r ? ?=??=?，则 x x r y y r ?? ????=???? ； 20．若22arctan y x y x +=，则dy dx =______________________。 三、判断题（请在你认为正确的题后的括号内打“√”，错误的打“×”，每题 1分，共10 题号 一 二 三 四 五 总分 复核人 分值 20 20 10 32 18 100 得分 评卷人 得分 得分 得分
期中考试数学试卷分析 一、试卷整体说明 1、整套试卷都是图文并茂盛、生动活泼，给学生以亲切感，比较适合学生的年龄特征； 2、考试内容主要以教材的基础知识为主，深入浅出地将开学到现在所学内容展现在学生的试卷中。 从统计数据来看： （一）取得的成绩 总体上看，本次试卷的书写较工整，学生的计算准确率也在提高。 1、对基础知识和基本技能的掌握比较理想。 2、学生解决实际问题的能力在提高。 3、学生动手操作能力在提高。 （二）存在的问题及原因 1、基础知识的掌握还不够扎实。 2、学生不能仔细读题，不能认真揣摩题意，答题意识不够清晰，没有养成很好的认真审题的习惯。还有的学生做题时只凭自已的直觉，不讲道理，不想原因，这点可以从试卷上很清晰地看出来。 3、综合应用的能力不强。学生掌握知识太死，对于碰到实际问题解决实际问题就不会分析，这方面能力的训练还有待在平时的教学中多加强。 4、学生实际应用性不灵活，有待训练。稍微变形一下学生就更弄不明白了。 5、学生的数学严谨性不强。数学讲究的是严密，而有些学生糊里糊涂。 （三）改进意见： 1、加强基础知识的教学，调动学生学习主动性和积极性，引导学生学好概念、法则、公式、数量关系和解题方法等，把握好基础知识。 2、培养学生的数学表述能力。学生在答题中，由于书写表达的不规范或是表述能力的欠缺，也是造成失分的原因。教学中要重视训练，培养学生良好的数学表述能力。 3、加强中、差生的辅导，培养他们的自信心，调动他们的学习积极性，提高他们的学习兴趣，不让一名学生掉队。 4、提高学生的计算能力。要求老师们在平时的教学中扎实做好计算题教学，把加强学生计算能力的培养，当作教学的重中之重，从口算抓起，坚持天天练习，课课练习，以口算为基础，培养学生的基本计算能力，以笔算为重点，切实提高学生的数学计算能力。 5、加强学生应考能力培养，细化基础知识，培养学生数学实际应用意识。调动学生学习数学的兴趣，培养学生解题能力，为未来培养良好的习惯。 6、严格要求学生，做应用题要多读题、细读题，读明白题意再列式计算。
二年级数学期中试卷分析范本【三篇】 本次期中试卷重点检测第一至四单元的基础知识、基本技能、基本方法，同时注重过程性知识和方法性知识的考察，关注学生的数学思考，具体表现在： 1，内容覆盖面广，对每一部分内容均有涉及，有利于全面考察学生的知识和能力，突出了重点。 2，题型多样，考察了学生思维的灵活性。试卷共分六个大题：大体分为填空、选择、计算、操作、解决问题等。试题灵活。 3、试卷中难度较大的题有10分，有的题要通过2到3步思考才能算出来，考察了学生思维的广阔性。 二、成绩分析: 二(2)班平均分是85.9分，二(1)班平均分是82.6。二(2)班：90-100分的有35个，80-90分的有12个，70-80分的有2个，60-70分的有2个，不及格1个。即优秀率为64.8%，及格率为98%。二(1)班：90-100分的有24个，80-90分的有15个，70-80分的有7个，60-70分的有4个，不及格3个。即优秀率为45.3%，及格率为94%。总体来说成绩不是很理想。 三、试卷特点及典型错例分析 1、试卷题型：一、填空题(21分);二、选择题(5分);三、量一量(10分);四、算一算(40分);五、解决问题(24分);六、想一想(附加10分) 2、典型错例： (1)第一填空题 A、23厘米+77厘米=()米。这个题目看起来简单，其实暗藏玄机。其一考到100以内的加减法，有部分学生对进位加法没掌握牢固，导致算错变成90，有部分学生掌握进位加法得出100，却没能将单位进行转化。所以这题的考察需要有严谨的数学思维。这题的失败从侧面反映出学生的思维还不够严谨。 (2)第二选择题。 A、与4*5计算结果不相等的算式是() A.4+4+4+4+4 B.4+5 C.5+5+5+5 D.10+10 这个题目错在读不懂题意。题目要求我们选出“不相等”的算式，而很多小朋友一看到
任取一个数，相继依次写下它所含的偶数的个数，奇数的个数与这两个数字的和，将得到一个正整数。对这个新的数再把它的偶数个数和奇数个数与其和拼成另外一个正整数，如此进行，最后必然停留在数123。 例：所给数字14741029 第一次计算结果448 第二次计算结果303 第三次计算结果 123 ●五个兄弟，住在一起，名字不同，高矮不齐。【谜底】手指 002●一个黑孩，从不开口，要是开口，掉出舌头。【谜底】瓜籽 003●人脱衣服，它穿衣服，人脱帽子，它戴帽子。【谜底】衣帽架 004●屋子方方，有门没窗，屋外热烘，屋里冰霜。【谜底】冰箱005●两只小口袋，天天随身带，要是少一只，就把人笑坏。【谜底】袜子006●弟兄七八个，围着柱子坐，只要一分开，衣服就扯破。【谜底】蒜007●独木造高楼，没瓦没砖头，人在水下走，水在人上流。【谜底】雨伞008●身穿大皮袄，野草吃个饱，过了严冬天，献出一身毛。【谜底】绵羊009●一个小姑娘，生在水中央，身穿粉红衫，坐在绿船上。【谜底】荷花010●颜色白如雪，身子硬如铁，一日洗三遍，夜晚柜中歇。【谜底】碗011●有面没有口，有脚没有手，虽有四只脚，自己不会走。【谜底】桌子012●白嫩小宝宝，洗澡吹泡泡，洗洗身体小，再洗不见了。【谜底】香皂013●身穿绿衣裳，肚里水汪汪，生的子儿多，个个黑脸膛。【谜底】西瓜014●不怕细菌小，有它能看到，化验需要它，科研不可少。【谜底】显微 镜 015●象只大蝎子，抱起似孩子，抓挠肚肠子，唱出好曲子。【谜底】琵琶016●是笔不能画，和电是一家，要知有无电，可去请教它。【谜底】测电 笔 017●圆筒白浆糊，早晚挤一股，兄弟三十二，都说有好处。【谜底】牙膏018●上不怕水，下不怕火；家家厨房，都有一个 (打一生活用品)。【谜底】 锅 019●一个老头，不跑不走；请他睡觉，他就摇头 (打一物)。【谜底】不倒 翁 020●大姐用针不用线，二姐用线不用针，三姐点灯不干活，四姐做活不点 灯。(打四种动物)【谜底】蜜蜂 ，蜘蛛，萤火虫，纺织娘 021●驼背公公，力大无穷；爱驮什么车水马龙(打一物)。【谜底】桥022●头戴红帽子，身披五彩衣，从来不唱戏，喜欢吊嗓子(打一动物)。【谜 底】公鸡 023●先修十字街，在修月花台，身子不用动，口粮自动来(打一动物)。【谜 底】蜘蛛 024●有头没有颈，身上冷冰冰，有翅不能飞，无脚也能行(打一动物)。【谜 底】鱼
中央财经大学2014—2015学年 数学分析期末模拟考试试卷（A 卷） 姓名： 学号： 学院专业： 联系方式： 一、填空题（本题共5个小题，每小题3分，满分15分） 1、设 82lim =?? ? ??-+∞→x x a x a x ， 则 =a 。 2、设函数) 2(1 )(--=x x e x f x ，则函数的第一类间断点是 ，第二类间断点 是 。 3、设)1ln(2 x x y ++=，则=dy 。 4、设)(x f 是连续函数，且dt t f x x f )(2)(1 0?+=，则=)(x f 。 5、xdx arctan 1 ?= 。 二、单项选择题（本题共5个小题，每小题3分，满分15分） 1、设数列n x 与数列n y 满足0lim =∞ →n n n y x ，则下列断言正确的是（ ）。 （A ）若n x 发散，则n y 必发散。 （B ）若n x 无界，则n y 必无界。 （C ）若n x 有界，则n y 必为无穷小。 （D ）若n x 1 为无穷小，则n y 必为无穷小。 2、设函数x x x f =)(，则)0(f '为（ ）。 （A ） 1。 （B ）不存在。 （C ） 0。 （D ） -1。 3、若),() ()(+∞<<-∞=-x x f x f 在)0(，-∞内0)(,0)(<''>'x f x f ，则 )(x f 在),0(+∞内有（ ）。
（A ）0)(,0)(<''>'x f x f 。 （B ）0)(,0)(>''>'x f x f 。 （C ）0)(,0)(<''<'x f x f 。 （D ）0)(,0)(>''<'x f x f 。 4、设)(x f 是连续函数，且? -=dt t f x F x e x )()(，则)(x F '等于（ ） 。 （A ）() )(x f e f e x x ----。 （B ）() )(x f e f e x x +---。 （C ） () )(x f e f e x x --- 。 （D ）() )(x f e f e x x +--。 5、设函数x x a x f 3sin 31sin )(+ =在3 π =x 处取得极值，则（ ） 。 （A ）)3(,1πf a =是极小值。 （B ）)3 (,1π f a =是极大值。 （C ）)3(,2πf a =是极小值。 （D ）)3 (,2π f a =是极大值。 三、计算题（本题共7个小题，每小题6分，满分42分） 1、求 ) 1ln(sin 1tan 1lim 3 x x x x ++-+→ 2、设4lim 221=-++→x x b ax x x ，求 b a 、。
期中考试数学成绩分析 试卷分析： 选择题： 2、4、5、6、7、8、9、12、15为基础题，难度低，类似题目的练习做过很多。5题销售问题，题目不难，但是有个别同学对于销售问题犯晕。15题易错，出现表面积不加底面的情况。 10、14为解决问题的题目，其中3题的难度中等，10、14易错。10题早到、迟到加减的问题，14题路灯和两盏灯的间距加减1的问题。 1、13也是作业中的原题。 填空题： 18、20题，难度低，计算题目。 19题易错，17题反复讲过很多很多遍，答案有两种情况，但是出错率仍然较高，只写出一种答案；19题倍数的方程问题，很多同学得数是192，把顶层算成了第七层。 解答题： 1、22题解方程与画图，基础题，不能出错误，没得到分数的同学每天多练一练解方程和画图，哪种类型的方程不会就练哪一种。 3、24题难度低，23题是反复讲过的题目，给出补角、
余角的关系，求这个角的度数。 题难度中，这类题型没怎么练过，很多同学是没有看懂，所以不会做。 题是配套问题，难度中，以前讲过的配套问题都是当天生产的内容配套，考试中的问题增加为天、第二天，让两天合起来生产的产品配套，稍微增加了难度。一个班能做对的学生有少半数。 题是纳税的问题，难度中，讲解方程题型时删掉了这种题型，不过在六年级讲储蓄的时候讲过这类题目。 今日作业 试卷中解方程21题、23题、25题、26题、27题上大作业。 改正试卷，就存在的问题做针对性的训练，可以自己出类似题目，也可找手中的资料翻阅类似题目。 反思课堂表现，错题原因，最好写一遍总结反思。 五年级期中考试数学试卷分析 这次五年级的期中考试试卷命题符合课程标准要求，覆盖面较全，体现课改精神，适合不同层次的学生。 一、试卷命题分析： 这张试卷难度适中，绝大部分是学生应该能达到的水平。考查的知识点是五年级上半段所学的内容，包括小数的乘法，小数除法，简易方程，以及图形与空间部分的观察物
五年级数学有趣经典的奥数题及答案解析 一、工程问题 1．甲乙两个水管单独开，注满一池水，分别需要20小时，16小时.丙水管单独开，排一池水要10小时，若水池没水，同时打开甲乙两水管，5小时后，再打开排水管丙，问水池注满还需要多少小时？ 2．修一条水渠，单独修，甲队需要20天完成，乙队需要30天完成。如果两队合作，由于彼此施工有影响，他们的工作效率就要降低，甲队的工作效率是原来的五分之四，乙队工作效率只有原来的十分之九。现在计划16天修完这条水渠，且要求两队合作的天数尽可能少，那么两队要合作几天？ 3．一件工作，甲、乙合做需4小时完成，乙、丙合做需5小时完成。现在先请甲、丙合做2小时后，余下的乙还需做6小时完成。乙单独做完这件工作要多少小时？
4．一项工程，第一天甲做，第二天乙做，第三天甲做，第四天乙做，这样交替轮流做，那么恰好用整数天完工；如果第一天乙做，第二天甲做，第三天乙做，第四天甲做，这样交替轮流做，那么完工时间要比前一种多半天。已知乙单独做这项工程需17天完成，甲单独做这项工程要多少天完成？ 5．师徒俩人加工同样多的零件。当师傅完成了1/2时，徒弟完成了120个。当师傅完成了任务时，徒弟完成了4/5这批零件共有多少个？ 6．一批树苗，如果分给男女生栽，平均每人栽6棵；如果单份给女生栽，平均每人栽10棵。单份给男生栽，平均每人栽几棵？
7．一个池上装有3根水管。甲管为进水管，乙管为出水管，20分钟可将满池水放完，丙管也是出水管，30分钟可将满池水放完。现在先打开甲管，当水池水刚溢出时，打开乙,丙两管用了18分钟放完，当打开甲管注满水是，再打开乙管，而不开丙管，多少分钟将水放完？ 8．某工程队需要在规定日期内完成，若由甲队去做，恰好如期完成，若乙队去做，要超过规定日期三天完成，若先由甲乙合作二天，再由乙队单独做，恰好如期完成，问规定日期为几天？ 9．两根同样长的蜡烛，点完一根粗蜡烛要2小时，而点完一根细蜡烛要1小时，一天晚上停电，小芳同时点燃了这两根蜡烛看书，若干分钟后来点了，小芳将两支蜡烛同时熄灭，发现粗蜡烛的长是细蜡烛的2倍，问：停电多少分钟？ 二．鸡兔同笼问题 1．鸡与兔共100只，鸡的腿数比兔的腿数少28条，,问鸡与兔各
高一数学2016--2017学年期中考试试卷分析 刘燕 一、总体评价： 这套试卷主要考查基础，考查数学能力，以促进数学教学质量的提高为原则，在训练命题中立意明确，迎合了高考命题的要求，把水平测试和能力测试融为一体，命题科学，区分度强，达到了考查目的，是一份较好的试题。本次考试高一理（2)班最高分141，最低分23分，平均分79.818；高一文（2）最高分114，最低分27分，平均值51.3分 二、试题分析： 1．试题结构 此试卷继续保持试卷结构和题量不变，题型：选择题、填空题、解答题，总题量22小题，总分150分，选择题有12道，共60分；填空题4道，共20分，解答题6道，共70分，试卷中各部分知识占分比例为《选修2》第一章10%，第二章20%，第三章30%，第三章40%。试题各部分难度适中，层次分明，区分度强，信度高，体现了试题测试功能。 2．试题特点 （1）考查全面，重点突出 试题考查了高中数学《必修二》四章全部内容，全面考查了学生“双基”，体现了数学教学的基本要求，对重点内容数列重点考查，符合考纲说明。 （2）突出了对数学思想方法的考查 数学思想方法决定着数学基批知识教学的水平，培养数学能力， 优化思维素养和数学基本技能的培养、能力的发展有十分重要的意义。也是考纲考查的重点。本试题考查了数形结合思想、化归转化思想、建模思想等数学思想与方法。 (3）注重双基，突出能力考查 试卷的较多试题来自课本，源于平时的练习，以基本概念、基本原理和公式的应用为切入点，考查了学生对基础知识的掌握程度，同时还有提升，对理解和应用能力、运算能力、数据分析能力及对解决综合问题的能力进行了考查。 （4）重视数学基本方法运用，淡化特殊技巧 试题回避过难、过繁的题目，解题思路不依靠特殊技巧，只要掌握基本方法，就能找到解题思路。 3．答卷中存在的问题 （1）基本概念不强，灵活应用能力差 从学生答卷情况来看，部分考生对教材基本概念，基本性质等基础知识掌握理解不够，知识记忆模糊，灵活运用较差。文科班的体现的特别明显，尤其是如甄文硕、周瑞、司江涛等基础差的学生。 （2）分析问题，解决问题能力较差
有趣的小学数学试题及答案 1.鸡兔同笼，共有30个头，88只脚。求笼中鸡兔各有多少只? 2.鸡兔同笼，共有头48个，脚132只，求鸡和兔各有多少只? 3.一个饲养组一共养鸡、兔78只，共有200只脚，求饲养组养鸡和兔各多少只? 4.鸡兔同笼不知数，三十六头笼中露。数清脚共五十双，各有多少鸡和兔? 5.小明用10元钱正好买了20分和50分的邮票共35张，求这两种邮票名买了多少张? 6.小红用13元6角正好买了50分和80分邮票共计20张，求两种邮票各买了多少张? 7.小刚的储蓄罐里共2分和5分硬币70枚，小刚数了一下，一共有194分，求两种 硬币各有多少枚? 8.三年一班30人共向北京奥运会捐款205元，同学每人了捐了5元或10元，你知道捐5元和10元的同学各有多少人吗? 9.三年二班45个同学向爱心基金会共计捐款100元，其中11个同学每人捐1元，其他同学每人捐2元或5元，求捐2元和5元的同学各有多少人? 10.松鼠妈妈采松籽，晴天每天可以采20个，雨天每天只能采12个。它一连8天共 采了112个松籽，这八天有几天晴天几天雨天? 11.某校有一批同学参加数学竞赛，平均得63分，总分是3150分。其中男生平均得60分，女生平均得70分。求参加竞赛的男女各有多少人? 12.一次数学竞赛共有20道题。做对一道题得5分，做错一题倒扣3分，刘冬考了52分，你知道刘冬做对了几道题? 13.一次数学竞赛共有20道题。做对一道题得8分，做错一题倒扣4分，刘冬考了112分，你知道刘冬做对了几道题? 14.52名同学去划船，一共乘坐11只船，其中每只大船坐6人，每只小船坐4人。求大船和小船各几只? 15.在一个停车场上，停了小轿车和摩托车一共32辆，这些车一共108个轮子。求小轿车和摩托车各有多少辆? 16.解放军进行野营拉练。晴天每天走 35千米，雨天每天走 28千米，11天一共走了350千米。求这期间晴天共有多少天?