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蚂蚁爬行最短路线问题

蚂蚁爬行最短路线问题
蚂蚁爬行最短路线问题

1.如图,有一个圆柱的高为6cm,底面周长为16cm,在圆柱下底面的A点有一只蚂蚁,它想吃到上底面B点处的食物,则沿着圆柱的

表面需要爬行的最短路程是

10cm.

解:将圆柱体展开,连接A、B,

根据两点之间线段最短,

∵圆柱的高为6cm,底面周长为16cm,

∴AD=8cm,BD=6cm,

∴AB=√82+62

=10cm.

故答案为:10.

2.如图圆柱的底面半径为6㎝,高为l0cm,蚂蚁在圆柱表面爬行,从点A到点B的最短路程是多少厘米?(保留小数点后一位)

展开图成直角三角形,∠AOB=90°OB=3.14×6=18.84cm,OA=10cm。求AB

∴AB=√(OA2+OB2)=21.3cm

总结:最短路程=√底面圆周长一半的平方+圆柱高的平方

3.一只蚂蚁要从正方体的一个顶点A沿表面爬到顶点B,怎样爬行路线最短?如果要爬行到顶点C呢?说明你的理由。

A 到

B 最短距离为其对角线,为根号2倍的边长

A到C 可以将其想象成展开的平面,最短距离为这两个平面的对角线,为根号5倍的边长

如图:

向左转|向右转

3.一只蚂蚁在立方体的表面积爬行.

(Ⅰ)如图1,当蚂蚁从正方体的一个顶点A沿表面爬行到顶点B,怎样爬行路线最短?说出你的理由.(Ⅱ)如图1,如果蚂蚁要从边长为1cm的正方体的顶点A沿最短路线爬行到顶点C,那么爬行的最短距离d的长度应是下面选项中的()

(A)1cm<l<3cm (B)2cm (C)3cm

这样的最短路径有

6条.

(Ⅲ)如果将正方体换成长AD=2cm,宽DF=2cm,高AB=1.5cm的长方体(如图2所示),蚂蚁仍需从顶点A沿表面爬行到顶点E的位置,请你说明这只蚂蚁沿怎样路线爬行距离最短?为什么?(可通过画图测量来说明)

考点:平面展开-最短路径问题.

分析:(I)根据线段的性质:两点之间线段最短,求出即可;

(II)根据图形可得出最短路径为√5

,进而得出答案即可;

(Ⅲ)将立方体采用两种不同的展开方式得出最短路径即可.

解答:解:(I)如图1所示,沿线段AB爬行即可,根据两点之间线段最短;

(II)如图2所示:1cm<l<3cm,

故选A,

路线有6条,如图2所示:

(III)蚂蚁爬行的最短路线是沿面AF和面FC展开后所连接的线段AE,

原因:如图①和图②所示作图,分别连接AE,并分别在两图中测量AE的长,可得图②中的AE较短.也可利用勾股定理得出:图①中AE=

√73

2

cm,图②中AE=

√65

2

cm.

勾股定理的应用一(蚂蚁爬行最短路线问题)

勾股定理的应用(1)--蚂蚁爬行最短路线问题 班别:_____________姓名:_________________学号:_________ 1、如图,一圆柱高8cm,底面半径2cm,一只蚂蚁从点A 爬到点B 处吃食,要爬行的最短路程( 取3)是( ) A.20cm B.10cm C.14cm D.无法确定 2、一只蚂蚁从长、宽都是3,高是8的长方体纸箱的A 点沿纸箱爬到B 点,那么它所行的最短路线的长是多少? 3、一只蚂蚁在立方体的表面积爬行. (Ⅰ)如图 1,当蚂蚁从正方体的一个顶点A 沿表面爬行到顶点B ,怎样爬行路线最短?说出你的理由. (Ⅱ)如图1,如果蚂蚁要从边长为1cm 的正方体的顶点A 沿最短路线爬行到顶点C ,那么爬行的最短距离d 的长度应是下面选项中的( ) (A )1cm <l <3cm??? (B )2cm?????? (C )3cm 这样的最短路径有 _________条. (Ⅲ)如果将正方体换成长AD=2cm ,宽DF=2cm ,高AB=1.5cm 的长方体(如图2所示),蚂蚁仍需从顶点A 沿表面爬行到顶点E 的位置,请你说明这只蚂蚁沿怎样路线爬行距离最短?为什么?(可通过画图测量来说明) A B

4、如图所示:有一个长为3米,宽为1米,高为6米的长方体纸盒,一只小蚂蚁要沿着长方体的表面从A 点开始经过4个侧面绕一圈到达爬到B 点,则这只蚂蚁爬行的最短路径的长为__________。若从A 点开始绕4个侧面两圈爬到B 点,最短路径长为____________。 5、一个圆柱体元件,底面半径为3,现要在其侧面绕线圈。 (1)若从A 点出发,绕侧面1圈到达B 点,线圈的长度最小为____________。(结果保留π) (2)若从A 点出发,绕侧面5圈到达B 点,线圈的长度最小为____________。(结果保留π) B A 6m 3m 1m

蚂蚁爬行的最短路径

蚂蚁爬行的最短路径 1.一只蚂蚁从原点0出发来回爬行,爬行的各段路程依次为:+5,-3,+10,-8,-9,+12,-10. 回答下列问题: (1)蚂蚁最后是否回到出发点0; (2)在爬行过程中,如果每爬一个单位长度奖励2粒芝麻,则蚂蚁一共得到多少粒芝麻.解:(1)否,0+5-3+10-8-9+12-10=-3,故没有回到0; (2)(|+5|+|-3|+|+10|+|-8|+|-9|+|+12|+|-10|)×2=114粒 2. 如图,边长为1的正方体中,一只蚂蚁从顶点A出发沿着正方体的外表面爬到顶点B的 最短距离是 . 解:如图将正方体展开,根据“两点之间,线段最短”知,线段AB即为最短路线. AB= 5 1 22 2= +. 3.(2006?茂名)如图,点A、B分别是棱长为2的正方体左、右两侧面的中心,一蚂蚁从点A沿其表面爬到点B的最短路程是cm . 解:由题意得,从点A沿其表面爬到点B的最短路程是两个棱长的长,即2+2=4.第6题

A B 4.如图,一只蚂蚁从正方体的底面A 点处沿着表面爬行到点上面的B 点处,它爬行的最短路线是( ) A .A ?P ? B B .A ?Q ?B C .A ?R ?B D .A ?S ?B 解:根据两点之间线段最短可知选A . 故选A . 5.如图,点A 的正方体左侧面的中心,点B 是正方体的一个顶点,正方体的棱长为2,一蚂蚁从点A 沿其表面爬到点B 的最短路程是( ) 解:如图,AB= ()101212 2=++.故选C . A B 1 6. 正方体盒子的棱长为2,BC 的中点为M ,一只蚂蚁从A 点爬行到M 点的最短距离为( )

蚂蚁爬行最短路线问题

1.如图,有一个圆柱的高为6cm,底面周长为16cm,在圆柱下底面的A点有一只蚂蚁,它想吃到上底面B点处的食物,则沿着圆柱的 表面需要爬行的最短路程是 10cm. 解:将圆柱体展开,连接A、B, 根据两点之间线段最短, ∵圆柱的高为6cm,底面周长为16cm, ∴AD=8cm,BD=6cm, ∴AB=√82+62 =10cm. 故答案为:10. 2.如图圆柱的底面半径为6㎝,高为l0cm,蚂蚁在圆柱表面爬行,从点A到点B的最短路程是多少厘米?(保留小数点后一位) 展开图成直角三角形,∠AOB=90°OB=3.14×6=18.84cm,OA=10cm。求AB ∴AB=√(OA2+OB2)=21.3cm 总结:最短路程=√底面圆周长一半的平方+圆柱高的平方 3.一只蚂蚁要从正方体的一个顶点A沿表面爬到顶点B,怎样爬行路线最短?如果要爬行到顶点C呢?说明你的理由。

A 到 B 最短距离为其对角线,为根号2倍的边长 A到C 可以将其想象成展开的平面,最短距离为这两个平面的对角线,为根号5倍的边长 如图: 向左转|向右转

3.一只蚂蚁在立方体的表面积爬行. (Ⅰ)如图1,当蚂蚁从正方体的一个顶点A沿表面爬行到顶点B,怎样爬行路线最短?说出你的理由.(Ⅱ)如图1,如果蚂蚁要从边长为1cm的正方体的顶点A沿最短路线爬行到顶点C,那么爬行的最短距离d的长度应是下面选项中的() (A)1cm<l<3cm (B)2cm (C)3cm 这样的最短路径有 6条. (Ⅲ)如果将正方体换成长AD=2cm,宽DF=2cm,高AB=1.5cm的长方体(如图2所示),蚂蚁仍需从顶点A沿表面爬行到顶点E的位置,请你说明这只蚂蚁沿怎样路线爬行距离最短?为什么?(可通过画图测量来说明) 考点:. 分析:(I)根据线段的性质:两点之间线段最短,求出即可; (II)根据图形可得出最短路径为√5 ,进而得出答案即可; (Ⅲ)将立方体采用两种不同的展开方式得出最短路径即可. 解答:解:(I)如图1所示,沿线段AB爬行即可,根据两点之间线段最短; (II)如图2所示:1cm<l<3cm, 故选A, 路线有6条,如图2所示:

中考复习之——蚂蚁爬行的最短路径问题

蚂蚁爬行的最短路径问题 I?专题精讲: 当蚂蚁在一个几何体的表面上爬行时,通常情况下都会考虑将其展开成一个平面,运用勾股定理计算其最短路程,也就是运用“化曲为平”或“化折为直”的思想来解决问题 n.典型例题剖析: 一?两点之间,线段最短与勾股定理相结合 台阶问题 如图,是一个三级台阶,它的每一级的长、宽和高分别等于5cm, 3cm和1cm, A和B是这个台 阶的两个相对的端点,A点上有一只蚂蚁,想到B点去吃可口的食物?请你想一想,这只蚂蚁从 的最短距离_____________ 2. 有一圆形油罐底面圆的周长为24m,高为6m,一只老鼠从距底面1m 的A处爬行到对角B处 吃食物,它爬行的最短路线长为_______________ . 3. 葛藤是一种刁钻的植物,它的腰杆不硬,为了争夺雨露阳光,常常绕着树干盘旋而上,它还有一手绝招,就是它绕树盘升的路线总是沿最短路线--螺旋前进的,难道植物也懂数学? 通过阅读以上信息,解决下列问题: (1 )如果树干的周长(即图中圆柱体的底面周长)为30cm,绕一圈升高(即圆柱的高)40cm, 则它爬行一圈的路程是多少? (2)如果树干的周长为80cm,绕一圈爬行100cm,它爬行10圈到达树顶,则树干高多少? B点, 最短线路是 1.有一圆柱体如图,高4cm,底面半径5cm, A处有一蚂蚁,若蚂蚁欲爬行到C处,求蚂蚁爬行A点出发,沿着台阶面爬到 A 圆柱(锥)问题 第1题

4. 如图,底面半径为1,母线长为4的 圆锥,一只小蚂蚁若从 A 点出发,绕侧面一周又回到 A 点,它爬行的最短路线长是 ______________ . 5.如图,圆锥的主视图是等边三角形,圆锥的底面半径为 的表面爬行,它要想吃到母线 AC 的中点P 处的食物,那么它爬行的最短路程是 6.已知0为圆锥顶点,OA 、OB 为圆锥的母线, 侧面爬行到点A ,另一只小蚂 蚁绕着圆锥侧面爬行到点 所示?若沿0A 剪开,则得到 的圆锥侧面展开图为 2.如图,一只小虫沿边长为 1的正方体的表面从点 的路径是最短的,则 AC 的长为 _______________ . 3.正方体盒子的棱长为 2 ,BC 的中点为M ,—只蚂蚁从A 点爬行到M 点的最短距离为 C 为0B 中点,一只小蚂蚁从点 C 开始沿圆锥 B ,它们所爬行的最短路线的痕迹如右图 ( ) (长)方体问题 如图,边长为 1. 距离是 1的正方体中,一只蚂蚁从顶点 出发沿着正方体的外表面爬到顶点 B 的最短 2cm ,假若点B 有一蚂蚁只能沿圆锥 A 出发,经过3个面爬到点 B ?如果它运动 R 第5题 A. B. C. D. 第2题

专题训练蚂蚁爬行的最短路径(附附答案解析)

蚂蚁爬行的最短路径 1.一只蚂蚁从原点0出发来回爬行,爬行的各段路程依次为:+5,-3,+10,-8,-9,+12,-10. 回答下列问题: (1)蚂蚁最后是否回到出发点0; (2)在爬行过程中,如果每爬一个单位长度奖励2粒芝麻,则蚂蚁一共得到多少粒芝麻. 解:(1)否,0+5-3+10-8-9+12-10=-3,故没有回到0; (2)(|+5|+|-3|+|+10|+|-8|+|-9|+|+12|+|-10|)×2=114粒 2. 如图,边长为1的正方体中,一只蚂蚁从顶点A 出发沿着正方体的外表面爬到顶点B 的最短距离是 . 解:如图将正方体展开,根据“两点之间,线段最短”知,线段AB 即为最短路线. AB = 51222=+. 3.(2006?茂名)如图,点A 、B 分别是棱长为2的正方体左、右两侧面的中心,一蚂蚁从点A 沿其表面爬到点B 的最短路程是 cm . 解:由题意得,从点A 沿其表面爬到点B 的最短路程是两个棱长的长,即2+2=4. 4.如图,一只蚂蚁从正方体的底面A 点处沿着表面爬行到点上面的B 点处,它爬行的最短 第6题

路线是( ) A .A ?P ? B B .A ?Q ?B C .A ?R ?B D .A ?S ?B 解:根据两点之间线段最短可知选A . 故选A . 5.如图,点A 的正方体左侧面的中心,点B 是正方体的一个顶点,正方体的棱长为2,一蚂蚁从点A 沿其表面爬到点B 的最短路程是( ) 解:如图,AB = ()101212 2=++.故选C . 6. 正方体盒子的棱长为2,BC 的中点为M ,一只蚂蚁从A 点爬行到M 点的最短距离为( ) 解:展开正方体的点M 所在的面, ∵BC 的中点为M , 所以MC = 2 1 BC =1, 在直角三角形中AM = = . 7.如图,点A 和点B 分别是棱长为20cm 的正方体盒子上相邻面的两个中心,一只蚂蚁在盒子表面由A 处向B 处爬行,所走最短路程是 cm 。 解:将盒子展开,如图所示: AB =CD =DF +FC = 21EF + 21GF =21×20+2 1 ×20=20cm . 故选C .

最短路径问题―――蚂蚁爬行的最短路径

最短路径问题―――蚂蚁爬行的最短路径 最短路径问题旨在寻找图(由结点和路径组成的)中两结点之间的最短路径 确定起点的最短路径问题:即已知起始结点,求最短路径的问题 确定终点的最短路径问题:与确定起点的问题相反,该问题是已知终结结点,求最短路径的问题 确定起点终点的最短路径问题 - 即已知起点和终点,求两结点之间的最短路径。 而蚂蚁爬行的最短路径是指蚂蚁在平面图形或在几何体中爬行,求其爬行的最短路程。 1.一只蚂蚁从原点0出发来回爬行,爬行的各段路程依次为:+5,-3,+10,-8,-9,+12,-10. 回答下列问题: (1)蚂蚁最后是否回到出发点0; (2)在爬行过程中,如果每爬一个单位长度奖励2粒芝麻,则蚂蚁一

共得到多少粒芝麻. 2.如图,边长为1的正方体中,一只蚂蚁从顶点A出发沿着正方体的外表面爬到顶点B的最短距离是 . 3.如图,点A、B分别是棱长为2的正方体左、右两侧面的中心,一蚂蚁从点A沿其表面爬到点B的最短路程是 cm 4.如图,一只蚂蚁从正方体的底面A点处沿着表面爬行到点上面的B 点处,它爬行的最短路线是() A.A?P?B B.A?Q?B C.A?R?B D.A?S?B 5.如图,点A的正方体左侧面的中心,点B是正方体的一个顶点,正方体的棱长为2,一蚂蚁从点A沿其表面爬到点B的最短路程是()6.正方体盒子的棱长为2,BC的中点为M,一只蚂蚁从A点爬行到M 点的最短距离为()

1A B A 1B 1D C D 1 C 124 7.如图,点A 和点B 分别是棱长为20cm 的正方体盒子上相邻面的两个 中心,一只蚂蚁在盒子表面由A 处向B 处爬行,所走最短路程是 cm 。 8. 正方体盒子的棱长为2,BC 的中点为M ,一只蚂蚁从A 点爬行到M 点的最短距离为 . 9.如图所示一棱长为3cm 的正方体,把所有的面均分成3×3个小正方形.其边长都为1cm ,假设一只蚂蚁每秒爬行2cm ,则它从下底面点A 沿表面爬行至侧面的B 点,最少要用 秒钟. 第9题 第10题 第11题 第12题 10.如图,长方体的长为15,宽为10,高为20,点B 离点C 的距离为

数学人教版八年级下册蚂蚁爬行的最短路程问题 教学设计

《蚂蚁爬行的最短路程问题》教学设计 伊旗四中徐晓梅 新课标指出:”数学教育不仅要使学生获得数学知识,用数学知识去解决实际问题,而且更重要的是:使学生认识到,数学就在我们身边。”本节课正是体现“生活数学化,数学生活化”的典型例子,下来我从教材分析、学习目标、教法学法、教学过程几个方面阐述我的教学设计。 一、教材分析 1.教材地位和作用 本节人教版八年级数学下册第十七章《勾股定理》第一节内容,是在学生学 习了勾股定理的基础上进行的,是对勾股定理在生活中应用广泛性的初步认识。 本节课既注重了知识的前后联系,也体现了知识的实用性、趣味性和创新性特点。 在这些具体问题的解决过程中,需要经历立体几何图形的抽象过程,需要借助观 察、操作等实践活动,这些都有助于发展学生的分析问题、解决问题能力和应用 意识; 2.学情分析 学生学习了勾股定理,并且掌握了“丰富的图形世界”中“展开与折叠”的 相关知识。同时,八年级的学生已经初步具备了合作,探究学习的意识和能力。 二、教学目标分析 本节课就只用勾股定理解决立体图形表面距离问题。我确定的课堂教学目标如下: (一)学科核心素养培育目标: 通过对蚂蚁爬行的最短路径问题的探索,培育学生探索精神和最优化思想; 通过在圆柱体和长方体等问题中的运用,培育数学建模、演绎推理和合理转化分类讨论思想等数学思想和数学素养;通过最短路径问题的再探索,发展学生批判性思维和发散性思维,进而提升学生的思维品质. (二)学习目标: 1.知识与技能目标 能运用勾股定理解决实际生活中简单的立体图形表面的距离问题。 2.过程与方法目标 在探索蚂蚁爬行的最短路径的过程中,学会观察图形,提高分析问题、解决 问题的能力及渗透数学建模的思想。 3.情感与态度目标 (1)通过有趣的问题提高学习数学的兴趣. (2)在解决实际问题的过程中,体验数学学习的实用性. (三)教学重难点 本着课程标准,在吃透教材、了解学情的基础上,我确定了如下的教学重难 点。 重点:探索、发现将立体图形转化为平面图形解决问题。 难点:利用数学中的建模思想构造直角三角形,利用勾股定理,解决实际问题

立体图形上的最短路径问题

第8讲 立体图形上的最短路径问题 一、方法技巧 解决立体图形上最短路径问题: 1.基本思路:立体图形平面化,即化“曲”为“直” 2.“平面化”的基本方法: (1)通过平移来转化 例如:求A 、B 两点的最短距离,可通过平移,将楼梯“拉直”即可 (2)通过旋转来转化 例如:求'A C 、两点的最短距离,可将长方体表面展开,利用勾股定理即可求 例如:求小蚂蚁在圆锥底面上点A 处绕圆锥一周回到A 点的最短距离 可将圆锥侧面展开,根据“两点之间,线段最短”即可得解 (3)通过轴对称来转化 例如:求圆柱形杯子外侧点B 到内侧点A 的最短距离,可将杯子(圆柱)侧面展开,作点A 关于杯口的对称点'A ,根据“两点之间,线段最短”可知'A B 即为最短距离 3.储备知识点:(1)两点之间,线段最短 (2)勾股定理 4.解题关键:准确画出立体图形的平面展开图 二、应用举例 类型一 通过平移来转化 【例题1】如图,是一个三级台阶,它的每一级的长、宽和高分别等于5cm ,3cm 和1cm ,A 和B 是这个台阶的两个相对的端点,A 点上有一只蚂蚁,想要到B 点去吃可口的食物,请你想一想,这只蚂蚁从A 点出发,沿着台阶面爬到B 点,最短线路是多少 【答案】13cm

试题分析: 只需将其展开便可直观得出解题思路,将台阶展开得到的是一个矩形,蚂蚁要从B 点到A 点的最短距离,便是矩形的对角线,利用勾股定理即可解出答案. 试题解析: 解:展开图如图所示,13AB cm == 所以,蚂蚁爬行的最短路线是13cm 类型二 通过旋转来转化 【例题2】如下图,正四棱柱的底面边长为5cm ,侧棱长为8cm ,一只蚂蚁欲从正四棱柱底面上的A 点沿棱柱侧面到点C’处吃食物,那么它需要爬行的最短路径的长是多少 【答案】cm 412 【解析】 试题分析: 解这类题应将立体图形展开,转化为平面图形,把空间两点的距离转化为平面上两点间的距离,利用“同一平面内两点间的最短路线是连接这两点的线段”进行计算. 试题解析: 解:如图1,设蚂蚁爬行的路径是AEC’(在面ADD’A’上爬行是一样的).将四棱柱剪开 铺平使矩形AA’B’B 与BB’C’C 相连,连接AC’,使E 点在AC’上(如图2) )(412810')('2222cm CC BC AB AC =+=++= 所以这只蚂蚁爬行的最短路径长为cm 412 【难度】一般 【例题3】如下图所示,圆柱形玻璃容器高18cm ,底面周长为60cm ,在外侧距下底1cm 的点S 处有一蜘蛛,与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距开口处1cm 的点F 处有一苍蝇,试求蜘蛛捕获苍蝇充饥所走的最短路线的长度. 【答案】34cm 【解析】 试题分析: 展开后连接SF ,求出SF 的长就是捕获苍蝇的最短路径,过点S 作SE CD ⊥于E ,求出SE 、EF ,根据勾股定理求出SF 即可.

蚂蚁爬行最短路程问题的拓展2

蚂蚁爬行最短路程问题的拓展 教科书有这样一个问题:有一个圆柱,它的高等于12 cm ,底面半径等于3 cm .在圆行柱的底面 A 点有一只蚂蚁,它想吃到上底面上与A 点相对的B 点处的食物,需要爬行的最短路程是多少? 直觉判断,不难发现,蚂蚁应该沿着侧面爬行。那么,在侧面上如何爬行,所走的路程最短呢?由于侧面是弯曲的,为此可以试图将弯曲的侧面展呈一个平面,如下图: A B A B 在课堂上,相信大家已经比较过多种爬行路 径,如(1)A →A ′→B ;(2)A →B ′→B ;(3)A → D →B ;(4)A →B.当然也得出了沿着直线段AB 爬行最近。 现在的问题是,对于任意的圆柱,上面的爬 行路线是否都最短呢? 我们不妨看一个具体的: 问题1 在高为1,底面半径为4的圆柱形实木块...的. 下底面的A 点处有一只蚂蚁,它想吃到上底面与A 相对的B 点处的食物,如图所示,这只蚂蚁需要爬行的最短路程是多少? A B 如果还是沿着侧面爬行,不难算出最短爬行距离是22)4(1π+≈12.6 m ,由于这个圆 柱“矮而胖”,如果从上底面沿直径爬过去,可以省得绕侧面爬行那样绕过一段大肚子,可能反而行程可能会少一些,当然,这只是感觉,需要具体计算一下。不难算出从A 点直接向上爬再沿着直径爬到B 点的行程是1+4×2=9 m ,确实比沿着侧面爬行短一些。 反思 实际上,这和我们的直觉是一致的。不妨用一个最为极端的圆柱为例加以说明,如果这个圆柱特别矮,以致于接近一个硬币或者接近一个平面上的圆,显然沿着直径走比沿着侧面(圆周)走要近一些。 当然,研究不要局限于此,我们需要进一步思考:什么情况下蚂蚁沿着侧面爬行路程最近(姑且称为线路1),什么情况下蚂蚁先竖直爬到地面上再沿着直径爬行(姑且称为线路 2)路程最近? 为了研究的方便,不妨设圆柱的高为h ,底面半径为r ,则沿线路1的最短行程是22)(r h π+,沿线路2的行程是h+2r;不难得出: (1)当时,两条线路行程相同;(2)当时,线路1行程短一些;(3)当时,线路2行程短一些。

勾股定理最短距离问题蚂蚁爬行的最短路径好

C. A? R? B D. A? S? B 1的正方体中,一只蚂蚁从顶点A出发沿着正方体的外表面爬到顶点B的最短距离 3. 正方体盒子的棱长为2, BC的中点为M,—只蚂蚁从A点爬行到M点的最短距离为 _________________ . 4. 如图,点A的正方体左侧面的中心,点B是正方体的一个顶点,正方体的棱长为2,一蚂蚁从点A沿其 5.如图所示一棱长为3cm 的正方体,把所有的面均分成3X3个小正方形.其边长都为1cm,假设一只蚂蚁 每秒爬行2cm,则它从下底面点A沿表面爬行至侧面的B点,最少要用秒钟. 长方体 10. (2009?恩施州)如图,长方体的长为15,宽为10,高为20,点B离点C的距离为5, 一只蚂蚁如果要 沿着长方体的表面从点 问怎样走路线最短?最短路线长为 12. (2011?荆州)如图,长方体的底面边长分别为2cm和 4cm,高为5cm .若一只蚂蚁从P点开始经过4 个侧面爬行一圈到达Q点,则蚂奴爬行的最短路径长为cm. 13. 如图,一块长方体砖宽AN=5cm,长ND=10cm,CD上的点B距地面的高BD=8cm,地面上A处的一只蚂蚁到 B处吃食,需要爬行的最短路径是多少? 14. 如图,长方体盒子(无盖)的长、宽、高分别12cm ,8cm,30cm. (1)在AB中点C处有一滴蜜糖,一只小虫从D处爬到C处去吃,有无数种走法,则最短路程是多少? ⑵此长方体盒子(有盖)能放入木棒的最大长度是多少? 15?如图所示:有一个长、宽都是2米,高为3米的长方体纸盒,一只小蚂蚁从A点爬到B点,那么这只蚂 蚁爬行的最短路径为____________ 米。 S 学习好资料欢迎下载 勾股定理--最短距离问题蚂蚁爬行的最短路径 正方体 1如图,一只蚂蚁从正方体的底面A点处沿着表面爬行到点上面的B点处,它爬行的最短路线是__________ A. A? P? B 是 ____________ A? Q? B 第3题 O A爬到点B,需要爬行的最短距离是 15 16 14 17

中考数学蚂蚁爬行的最短路径试题(带解析)

蚂蚁爬行的最短路径 1.一只蚂蚁从原点 0 出发来回爬行,爬行的各段路程依次为: +5,-3,+10,-8 ,-9,+12, -10. 回答下列问题: (1)蚂蚁最后是否回到出发点 0; (2)在爬行过程中,如果每爬一个单位长度奖励 2 粒芝麻,则蚂蚁一共得到多少粒芝麻. 解:( 1)否, 0+5-3+10-8-9+12-10=-3 ,故没有回到 0; (2)( |+5|+|-3|+|+10|+|-8|+|-9|+|+12|+|-10| )×2=114 粒 2. 如图,边长为 1 的正方体中,一只蚂蚁从顶点 A 出发沿着正方体的外表面爬到顶点 B 的 最短距离是 . 3.(2006?茂名)如图,点 A 、B 分别是棱长为 2 的正方体左、右两侧面的中心,一蚂蚁从 点 A 沿其表面爬到点 B 的最短路程是 cm 解:如图将正方体展开,根据“两点之间,线段最短”知, 线段 AB= 22 12 5 . AB 即为最短路线. B 的最短路程是两个棱长的长,即 2+2=4.

4.如图,一只蚂蚁从正方体的底面 A 点处沿着表面爬行到点上面的B点处,它爬行的最短 路线是() A.A? P? B B .A? Q? B C .A? R? B D .A? S? B 解:根据两点之间线段最短可知选A. 故选A. 5.如图,点 A 的正方体左侧面的中心,点 B 是正方体的一个顶点,正方体的棱长为2, 蚂蚁从点A沿其表面爬到点 B 的最短路程是() 解:如图,AB= 1 2 2 12 10 .故选C. 6.正方体盒子的棱长为2,BC的中点为M,一只蚂蚁从 A 点爬行到M点的最短距离为() 解:展开正方体的点M所在的面,

专题训练蚂蚁爬行的最短路径含答案

专题训练蚂蚁爬行的最 短路径含答案 Document serial number【UU89WT-UU98YT-UU8CB-UUUT-UUT108】

蚂蚁爬行的最短路径 1.一只蚂蚁从原点0出发来回爬行,爬行的各段路程依次为:+5,-3,+10,-8,-9,+12,-10. 回答下列问题: (1)蚂蚁最后是否回到出发点0; (2)在爬行过程中,如果每爬一个单位长度奖励2粒芝麻,则蚂蚁一共得到多少粒芝麻. 解:(1)否,0+5-3+10-8-9+12-10=-3,故没有回到0; (2)(|+5|+|-3|+|+10|+|-8|+|-9|+|+12|+|-10|)×2=114粒 2. 如图,边长为1的正方体中,一只蚂蚁从顶点A 出发沿着正方体的外表面爬到顶点B 的最短距离是 . 解:如图将正方体展开,根据“两点之间,线段最短”知,线段AB 即为最短路线. AB = 51222=+. 第6

3.(2006?茂名)如图,点A、B分别是棱长为2的正方体左、右两侧面的中心,一蚂蚁从点A沿其表面爬到点B的最短路程是cm . 解:由题意得,从点A沿其表面爬到点B的最短路程是两个棱长的长,即2+2=4. A B 4.如图,一只蚂蚁从正方体的底面A点处沿着表面爬行到点上面的B点处,它爬行的最短路线是() A.A?P?B B.A?Q?B C.A?R?B D.A?S?B 解:根据两点之间线段最短可知选A. 故选A.

5.如图,点A的正方体左侧面的中心,点B是正方体的一个顶点,正方体的棱长为2,一蚂蚁从点A沿其表面爬到点B的最短路程是() 解:如图,AB= ()10 1 2 12 2= + +.故选C. A B 12 1 6.正方体盒子的棱长为2,BC的中点为M,一只蚂蚁从A点爬行到M点的最短距离为() 解:展开正方体的点M所在的面, ∵BC的中点为M, 所以MC= 2 1BC=1, 在直角三角形中AM= = .

蚂蚁爬行最短路径问题

[收稿日期]2008-05-10  [作者简介]谭佩贞(1963-),女,广西贺州人,副教授。主要研究方向:数学教育学,数学方法论。  [基金项目]广西教育科学“十一五规划”项目“高师数学教育与中学数学新课程适应性研究” (2008C089)蚂蚁爬行最短路径问题 谭佩贞1,蒋晓云2,温泉31.贺州学院 数学系,广西 贺州 542800; 2.桂林师范高等专科学校 数学与计算机科学系,广西 桂林 541001; 3.桂林一中,广西 桂林 541001 [摘 要]以一道数学习题为背景,探究了蚂蚁在圆柱表面爬行最短路程问题,综合运用一元函数微分学知识,给出了这个初等数学模型难题的奇思妙解 。 [关键词]函数极值;最短路径;稳定点 [中图分类号]O172.1 [文献标识码]A [文章编号]1673-8861(2008)02-0131-02

[5]田玉红.广西桉叶挥发性成分分析及抗菌抗氧化性能研究[D].广西大学,2006. [6]田玉红,刘雄民,周永红.圆角桉叶精油的化学成分[J].食品科学,2007(1):36—38. [7]王晗光,张健,杨婉身.气相色谱一质谱法分析巨桉叶的挥发性化感成分[J].四川农业大学学报,2006(1):51—54. [8]田玉红,刘雄民,周永红.邓恩桉叶挥发性成分的提取及分析[J].南京林业大学学报,2006(2):55—58. [9]谈满良,周立刚,汪冶.桃金娘科植物抗菌成分的研究进展[J].西北农林科技大学学报(自然科学版),2005(增):225 -229. [10]梁振益.桉树叶中黄酮类化合物的提取工艺研究[J].海南大学学报,2007(3):256-258. [11]孙汉洲,黄丽群,李志辉.赤桉树叶脂肪酸的定量分析[J].中南林学院学报,2005(6):106-106. [12]Hou A J,Liu Y z,Y ang H,et a1.Hydrolyzable tannins and related polyohenols from Eucalyptus globulus[J].Journal of Asian Natural Products Research,2000(3):205-212. [13]马自超,劳伦斯?波特.桉树叶单宁组分的研究[J].植物学报(英文版),1988(5):534-538. [14][19]包承玉,谢云敏.桉树叶的营养成分及其评价[J].林产化学与工业,1989(4):49;54. [15]王春培,宫晓波,刘中申.中药桉叶油的抗菌作用研究[J].中医药学报,1993(2):41-42. [16]刘小香,陈秋波,王真辉.巨尾桉挥发油对真菌和昆虫的化感作用[J].生态学杂志,2007(6):835—839. [17]涟漪.桉树油[J].国外医药:植物药分册,2006(3):138~138. [18]林宁.桉叶提取物对医院产房空气消毒的效果观察[J].广东医学院学报,2006(4):32-34. [20]冯海波,陈正伟,刘红星.催化香茅醛环化为(-)-异胡薄荷醇的催化剂研究进展[J].广西师范学院学报,2006(1): 89~93. [21]Boland D J,Brophy J J,House A P N.Eucalyptus LeafOils~use,Chemistry,Distillation and Marketing[M]. Melbourne/Sydney:Inkata Press,1991:58~158. (上接第132页) [参考文献] [1]涂安明.蚂蚁还有更近的路吗?[J].中小学数学(初中教师版),2005(5):21-22. [2]黄寅,赖九莲.蚂蚁这样走最近吗?[J].中小学数学(初中教师版),2004(1):30-30.

(完整版)最短路径问题专项练习

A B 最短路径问题专项练习 共13页,全面复习与联系最短路径问题 一、具体内容包括: 蚂蚁沿正方体、长方体、圆柱、圆锥外侧面吃食问题; 线段(之和)最短问题; 二、原理: 两点之间,线段最短;垂线段最短。(构建“对称模型”实现转化) 1.最短路径问题 (1)求直线异侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题,只要连接这两点,与直线的交点即为所求. 如图所示,点A,B分别是直线l异侧的两个点,在l上找一个点C,使CA+CB最短,这时点C是直线l与AB的交点. (2)求直线同侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题,只要找到其中一个点关于这条直线的对称点,连接对称点与另一个点,则与该直线的交点即为所求.如图所示,点A,B分别是直线l同侧的两个点,在l上找一个点C,使CA+CB最短,这时先作点B关于直线l的对称点B′,则点C是直线l与AB′的交点. 为了证明点C的位置即为所求,我们不妨在直线上另外任取一点C′,连接AC′,BC′,B′C′,证明AC+CB<AC′+C′B.如下: 证明:由作图可知,点B和B′关于直线l对称, 所以直线l是线段BB′的垂直平分线. 因为点C与C′在直线l上, 所以BC=B′C,BC′=B′C′. 在△AB′C′中,AB′<AC′+B′C′, 所以AC+B′C<AC′+B′C′, 所以AC+BC<AC′+C′B. 【例1】在图中直线l上找到一点M,使它到A,B两点的距离和最小. 分析:先确定其中一个点关于直线l的对称点,然后连接对称点和另一个点,与直线l的交点M即为所求的点. 解:如图所示:(1)作点B关于直线l的对称点B′; (2)连接AB′交直线l于点M. (3)则点M即为所求的点.

人教数学八年级下册蚂蚁爬行的最短路径.docx

A B 12 1 初中数学试卷 桑水出品 蚂蚁爬行的最短路径 正方体 4.如图,一只蚂蚁从正方体的底面A点处沿着表面爬行到点上面的B点处,它爬行的最短路线是()A.A?P?B B.A?Q?B C.A?R?B D.A?S?B 解:根据两点之间线段最短可知选A. 故选A. 2. 如图,边长为1的正方体中,一只蚂蚁从顶点A出发沿着正方体的外表面爬到顶点B的最短距离是 . 解:如图将正方体展开,根据“两点之间,线段最短”知,线段AB即为最短路线. AB= 5 1 22 2= +. 8. 正方体盒子的棱长为2,BC的中点为M,一只蚂蚁从A点爬行到M点的最短距离为 . 解:将正方体展开,连接M、D1, 根据两点之间线段最短, MD=MC+CD=1+2=3, MD1=13 2 32 2 2 1 2= + = +DD MD. 5.如图,点A的正方体左侧面的中心,点B是正方体的一个顶点,正方体的棱长为2,一蚂蚁从点A沿其表面爬到点B的最短路程是()

解:如图,AB= ()101212 2=++.故选C . 9.如图所示一棱长为3cm 的正方体,把所有的面均分成3×3个小正方形.其边长都为1cm ,假设一只蚂蚁每秒爬行2cm ,则它从下底面点A 沿表面爬行至侧面的B 点,最少要用 2.5秒钟. 解:因为爬行路径不唯一,故分情况分别计算,进行大、小比较,再从各个路线中确定最短的路线. (1)展开前面右面由勾股定理得AB= = cm ; (2)展开底面右面由勾股定理得AB= =5cm ; 所以最短路径长为5cm ,用时最少:5÷2=2.5秒. 长方体 10.(2009?恩施州)如图,长方体的长为15,宽为10,高为20,点B 离点C 的距离为5,一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A 爬到点B ,需要爬行的最短距离是 。 解:将长方体展开,连接A 、B ,根据两点之间线段最短,AB= =25. 11. 如图,一只蚂蚁从实心长方体的顶点A 出发,沿长方体的表面爬到对角顶点C 1处(三条棱长如图所示),问怎样走路线最短?最短路线长为 . 解:正面和上面沿A 1B 1展开如图,连接AC 1,△ABC 1是直角三角形, ∴AC 1= ()534214222 22 12=+=++=+BC AB 18.(2011?荆州)如图,长方体的底面边长分别为2cm 和4cm ,高为5cm .若一只蚂蚁从P 点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q 点,则蚂奴爬行的最短路径长为 cm . 解:

六年级上册数学试题:奥数系列~第17讲 最短路线问题 全国通用(含解析)

第17讲最短路线问题 知识网络 人们在日常生产、生活实践中,常常会遇到带有某种限制条件的最近路线即最短路线问题。通常最短路线问题是以“平面内连接两点的线中,直线段最短”为原则引申出来的。常见的最短路线问题,按研究问题的限制条件允许已知的两点所在面的不同,分成四类:(1)如果两点位于同一平面上,那么所求的最短路线是线段。 (2)如果两点位于不同的不同的平面上,如凸多面体的表面,那么所求的最短路线是曲线。 (3)如果两点位于可展开为平面的曲面上,如圆柱面、圆锥面,那么所求的最短路线是曲线。 (4)如果两点位于不可展开为平面的曲面上,如球面,这时所求的最短路线是曲线。 重点·难点 最短路线问题的所有问题都是从一个基本定理引出来的:“两点之间,直线段最短。”如何将一些不能直接应用此定理的题型转化为可利用此定理的题型,是解决本讲问题的关键。这里常用“对称”的方法转化问题。 学法指导 对于平面上的最短路线问题,一般是尽量化简问题,使得能够应用基本定理。而凸多面体和可展开为平面的曲面的最短路线问题,是将它们展开为平面,将问题转化平面上的最短路线问题来解决。对不可展为平面的曲面,主要是球面,我们用以下面的这个具体例子来说明:设球面上有A、B两点,我们用过A点、B点及球心O的平面截球,在球的表面上留 下的截痕为圆周(称大圆),在这个大圆周上A、B两点之间的不超过半个圆周的弧线就是所求的A、B两点间的最短路线。 经典例题 [例1]有一个牧马人带着马群从营房A点出发,到草地MN放牧。傍晚到营房B之前先带马群到小河PQ去给马饮水,如图1所示。想一想:牧人应该走哪一条路线,才能使整个放牧的路程(即从A→MN→PQ→B)最短? 思路剖析

勾股定理--最短距离问题蚂蚁爬行的最短路径--好

-可编辑- 1A B A 1B 1D C D 1 C 124勾股定理--最短距离问题蚂蚁爬行的最短路径 正方体 1.如图,一只蚂蚁从正方体的底面A 点处沿着表面爬行到点上面的B 点处,它爬行的最短路线是 A .A ?P ? B B .A ?Q ?B C .A ?R ?B D .A ?S ?B 2. 如图,边长为1的正方体中,一只蚂蚁从顶点A 出发沿着正方体的外表面爬到顶点B 的最短距离 是 . 3. 正方体盒子的棱长为2,BC 的中点为M ,一只蚂蚁从A 点爬行到M 点的最短距离为 . 4.如图,点A 的正方体左侧面的中心,点B 是正方体的一个顶点,正方体的棱长为2,一蚂蚁从点A 沿其 表面爬到点B 的最短路程是 5.如图所示一棱长为3cm 的正方体,把所有的面均分成3×3个小正方形.其边长都为1cm ,假设一只蚂 蚁每秒爬行2cm ,则它从下底面点A 沿表面爬行至侧面的B 点,最少要用 秒钟. 长方体 10.(2009?恩施州)如图,长方体的长为15,宽为10,高为20,点B 离点C 的距离为5,一只蚂蚁如果 要沿着长方体的表面从点A 爬到点B ,需要爬行的最短距离是 。 10题 11 12 13 11. 如图,一只蚂蚁从实心长方体的顶点A 出发,沿长方体的表面爬到对角顶点C 1处(三条棱长如图所示), 问怎样走路线最短?最短路线长为 . 第2题 第3题

-可编辑 - 12.(2011?荆州)如图,长方体的底面边长分别为2cm 和4cm ,高为5cm .若一只蚂蚁从P 点开始经过 4个侧面爬行一圈到达Q 点,则蚂奴爬行的最短路径长为 cm . 13.如图,一块长方体砖宽AN=5cm ,长ND=10cm ,CD 上的点B 距地面的高BD=8cm ,地面上A 处的 一只蚂蚁到B 处吃食,需要爬行的最短路径是多少? 14、如图,长方体盒子(无盖)的长、宽、高分别12cm ,8cm,30cm. (1)在AB 中点C 处有一滴蜜糖,一只小虫从D 处爬到C 处去吃,有无数种走法,则最短路程是多少? (2)此长方体盒子(有盖)能放入木棒的最大长度是多少? 15.如图所示:有一个长、宽都是2米,高为3米的长方体纸盒,一只小蚂蚁从A 点爬到B 点,那么这只 蚂蚁爬行的最短路径为 米。 15 14 16 17 16.如图,直四棱柱侧棱长为4cm ,底面是长为5cm 宽为3cm 的长方形.一只蚂蚁从顶点A 出发沿棱柱 的表面爬到顶点B .求: (1)蚂蚁经过的最短路程; (2)蚂蚁沿着棱爬行(不能重复爬行同一条棱)的最长路程. 17.如图,长方体的长、宽、高分别为6cm ,8cm ,4cm .一只蚂蚁沿着长方体的表面从点A 爬到点B .则 蚂蚁爬行的最短路径的长是 。 18.圆柱形坡璃容器,高18cm ,底面周长为60cm ,在外侧距下底1cm 点S 处有一蜘蛛,与蜘蛛相对的圆 柱形容器的上口外侧距开口处1cm 的点F 处有一苍蝇,试求急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路线的 长度。 19 18 20 19.如图是一个三级台阶,它的每一级的长、宽、高分别为20cm 、3cm 、2cm .A 和B 是这个台阶上两个 相对的端点,点A 处有一只蚂蚁,想到点B 处去吃可口的食物,则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B 的最短路程为 cm 20.如图,是一个三级台阶,它的每一级的长、宽和高分别等于5cm ,3cm 和1cm ,A 和B 是这个台阶的 两个相对的端点,A 点上有一只蚂蚁,想到B 点去吃可口的食物.请你想一想,这只蚂蚁从A 点出发,沿着台 阶面爬到B 点,最短线路是 cm 。 圆柱 2.有一圆柱体如图,高4cm ,底面半径5cm ,A 处有一蚂蚁,若蚂蚁欲爬行到C 处,求蚂蚁爬行的最短距 离 . 第3题 A B C D .128 30

人教数学八年级下册蚂蚁爬行的最短路径

初中数学试卷 蚂蚁爬行的最短路径 正方体 4.如图,一只蚂蚁从正方体的底面A点处沿着表面爬行到点上面的B点处,它爬行的最短路线是() B A.A?P?B B.A?Q?B C.A?R?B D.A?S? 故选A. 2. 如图,边长为1的正方体中,一只蚂蚁从顶点A出发沿着正方体的外表面爬到顶点B的 最短距离是 .

解:如图将正方体展开,根据“两点之间,线段最短”知,线段AB即为最短路线. AB= 5 1 22 2 = +. 8. 正方体盒子的棱长为2,BC的中点为M,一只蚂蚁从A点爬行到M点的最短距离为 . 解:将正方体展开,连接M、D1, 根据两点之间线段最短, MD=MC+CD=1+2=3, MD1=13 2 32 2 2 1 2= + = +DD MD. 5.如图,点A的正方体左侧面的中心,点B是正方体的一个顶点,正方体的棱长为2,一蚂蚁从点A沿其表面爬到点B的最短路程是() 第7题

A B 12 1 解:如图,AB=()10 1 2 12 2= + +.故选C. 9.如图所示一棱长为3cm的正方体,把所有的面均分成3×3个小正方形.其边长都为1cm,假设一只蚂蚁每秒爬行2cm,则它从下底面点A沿表面爬行至侧面的B点,最少要用2.5秒钟. 解:因为爬行路径不唯一,故分情况分别计算,进行大、小比较,再从各个路线中确定最短的路线. (1)展开前面右面由勾股定理得AB= = cm; (2)展开底面右面由勾股定理得AB= =5cm; 所以最短路径长为5cm,用时最少:5÷2=2.5秒. 长方体 10.(2009?恩施州)如图,长方体的长为15,宽为10,高为20,点B离点C的距离为5,一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B,需要爬行的最短距离是。

数学课件立体图形上的最短路径问题汇编

立体图形上的最短路径问题 一、方法技巧 解决立体图形上最短路径问题: 1.基本思路:立体图形平面化,即化“曲”为“直” 2.“平面化”的基本方法: (1)通过平移来转化 例如:求A 、B 两点的最短距离,可通过平移,将楼梯“拉直”即可 (2)通过旋转来转化 例如:求'A C 、两点的最短距离,可将长方体表面展开,利用勾股定理即可求

例如:求小蚂蚁在圆锥底面上点A处绕圆锥一周回到A点的最短距离 可将圆锥侧面展开,根据“两点之间,线段最短”即可得解 (3)通过轴对称来转化 例如:求圆柱形杯子外侧点B到内侧点A的最短距离,可将杯子(圆柱)侧面展开,作点A关于杯口的对称点'A,根据“两点之间,线段最短”可知'A B即为最短距离

3.储备知识点:(1)两点之间,线段最短 (2)勾股定理 4.解题关键:准确画出立体图形的平面展开图 二、应用举例 类型一 通过平移来转化 【例题1】如图,是一个三级台阶,它的每一级的长、宽和高分别等于5cm ,3cm 和1cm ,A 和B 是这个台阶的两个相对的端点,A 点上有一只蚂蚁,想要到B 点去吃可口的食物,请你想一想,这只蚂蚁从A 点出发,沿着台阶面爬到B 点,最短线路是多少? 【答案】13cm 【解析】 试题分析: 只需将其展开便可直观得出解题思路,将台阶展开得到的是一个矩形,蚂蚁要从B 点到A 点的最短距离,便是矩形的对角线,利用勾股定理即可解出答案. 试题解析: 解:展开图如图所示,13AB cm == 所以,蚂蚁爬行的最短路线是13cm

类型二 通过旋转来转化 【例题2】如下图,正四棱柱的底面边长为5cm ,侧棱长为8cm ,一只蚂蚁欲从正四棱柱底面上的A 点沿棱柱侧面到点C’处吃食物,那么它需要爬行的最短路径的长是多少? 【答案】cm 412 【解析】 试题分析: 解这类题应将立体图形展开,转化为平面图形,把空间两点的距离转化为平面上两点间的距离,利用“同一平面内两点间的最短路线是连接这两点的线段”进行计算. 试题解析: 解:如图1,设蚂蚁爬行的路径是AEC’(在面ADD’A’上爬行是一样的).将四棱柱剪开铺平 使矩形AA’B’B 与BB’C’C 相连,连接AC’,使E 点在AC’上(如图2) )(412810')('2222cm CC BC AB AC =+=++= 所以这只蚂蚁爬行的最短路径长为cm 412

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