2009年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷)
数 学(理工农医科)
第Ⅰ卷
本试卷共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。 参考公式:
如果事件A B ,互斥,那么
球的表面积公式
S ()()()P A B P A P B +=+
其中R 如果事件A B ,相互独立,那么 球的体积公式 3
V =
()()()P A B P A P B =
其中R 表示球的半径
一、选择题:
1. 设集合{}{}
2
|5,|4210,S x x T x x x =<=+-<则S T =
A.{}|75x x -<<- B.{}|35x x << C.{}|53x x -<< D.{}|75x x -<<
2.
(2)22x x x x =<当时在点处当时)连续,则常数a 的值是
A. C.4 D.5
3.A.-1 B.1 C.-i
D.i 4.已知函数()sin()()2
f x x x R π
=-
∈,下面结论错误..
的是 A.函数()f x 的最小正周期为2π B.函数()f x 在区间0,2π??
????
上是增函数 C.函数()f x 的图像关于直线0x =对称 D.函数()f x 是奇函数
5.如图,已知六棱锥P ABCDEF -的底面是正六边形,,2PA ABC PA AB ⊥=平面,则下列结论正确的是
A.PB AD ⊥ B.平面PAB PBC ⊥平面
C. 直线BC ∥平面PAE D.PD ABC ?
直线与平面所成的角为45 6.已知,,,a b c d 为实数,且c d >。则“a b >”是“a c b d ->-”的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C .充要条件 D. 既不充分也不必要条件
7.已知双曲线
22
21(0)2x y b b
-=>的左右焦点分别为12,F F ,其一条渐近线方程为y x =,点
0)P y 在该双曲线上,则12PF PF ?
=
A. 12-
B. 2-
8.如图,在半径为3BC ,
球心O 到平面ABC A.
3
π B.π 9.已知直线1:4360l x y -+=和直线2:1l x =-,抛物线2
4y x =上一动点P 到直线1l 和直线2l 的距离之和的最小值是
A.2
B.3
C.
115 D.3716
10.某企业生产甲、乙两种产品,已知生产每吨甲产品要用A 原料3吨、B 原料2吨;生产每吨乙产品要用A 原料1吨、B 原料3吨。销售每吨甲产品可获得利润5万元,每吨乙产品可获得利润3万元,该企业在一个生产周期内消耗A 原料不超过13吨,B 原料不超过18吨,那么该企业可获得最大利润是
A. 12万元
B. 20万元
C. 25万元
D. 27万元
11.3位男生和3位女生共6位同学站成一排,若男生甲不站两端,3位女生中有且只有两位女生相邻,则不同排法的种数是
A. 360
B. 228
C. 216
D. 96
12.已知函数()f x 是定义在实数集R 上的不恒为零的偶函数,且对任意实数x 都有
(1)(1)()
xf x x f x +=+,则5
(())2
f f 的值是 A.0 B.12 C.1 D.5
2
2009年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷)
数 学(理科)
第Ⅱ卷
考生注意事项:
请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答,在试题卷上书写作答无效.......................
二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分.把答案填在题中横线上. 13.6
1(2)2x x
-
的展开式的常数项是 (用数字作答) 14.若⊙221:5O x y +=与⊙222:()20()O x m y m R -+=∈相交于A 、B 两点,且两圆在点A 处的切线互相垂直,则线段AB 的长度是
15.如图,已知正三棱柱
111ABC A B C -的各条棱长都相等,M 是侧 棱1CC 的中点,则异面直线1AB BM 和所成的角的大小是 。
16.设V 是已知平面M 上所有向量的集合,对于映射
:,f V V a V →∈,记a 的象为()f a 。若映射:f V V →满足:对所有,a b V ∈及任意实
数,λμ都有()()()f a b f a f b λμλμ+=+,则f 称为平面M 上的线性变换。现有下列命题:
①设f 是平面M 上的线性变换,则(0)0f =
②对,()2a V f a a ∈=设,则f 是平面M 上的线性变换;
③若e 是平面M 上的单位向量,对,()a V f a a e ∈=-设,则f 是平面M 上的线性变换; ④设f 是平面M 上的线性变换,,a b V ∈,若,a b 共线,则(),()f a f b 也共线。
其中真命题是 (写出所有真命题的序号)
三、解答题:本大题共6小题,共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分12分)
在ABC 中,,A B 为锐角,角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c ,且
3
0c o s 2,s i n 510
A B =
=
(I )求A B +的值;
(II )若1a b +=,求,,a b c 的值。
18. (本小题满分12分)
为振兴旅游业,四川省2009年面向国内发行总量为2000万张的熊猫优惠卡,向省外人士发行的是熊猫金卡(简称金卡),向省内人士发行的是熊猫银卡(简称银卡)。某旅游公司组织名游客的旅游团到四川名胜旅游,其中3
4
是省外游客,其余是省内游客。在省2
3
持银卡。 (I 1人持金卡且持银卡者少于2人的概率; (II 3名游客,设其中持银卡人数为随机变量ξ,求ξ的分布列及数学期望E ξ。
19(本小题满分12分)
如图,正方形ABCD 所在平面与平面四边形ABEF 所在平面互
相垂直,△
ABE 是等腰直角三角形,
,,45AB AE FA FE AEF ?==∠=
(I )求证:EF BCE ⊥平面;
(II )设线段CD 的中点为P ,在直线AE 上是否存在一点M ,使得PM BCE 平面?若存在,请指出点M 的位置,并证明你的结论;若不存在,请说明理由; (III )求二面角F BD A --的大小。
20
0)的左右焦点分别为12,F F ,离心率e =,右准线方程为
x =(I
(II )过点1F 的直线l 与该椭圆交于,M N 两点,
且22F M F N += 求直线l 的方程。
21. (本小题满分12分)
已知0,1a a >≠且函数()log (1)x a f x a =-。 (I )求函数()f x 的定义域,并判断()f x 的单调性;
(II )若()
*
,lim ;f n n
n a n N a a
→+∞∈+求 (III )当a e =(e 为自然对数的底数)时,设()2()(1)(1)f x h x e x m =--+,若函数()h x 的极值存在,求实数m 的取值范围以及函数()h x 的极值。
22. (本小题满分14分)
设数列{}n a 的前n 项和为n S ,对任意的正整数n ,都有51n n a S =+成立,记
*4()1n
n n
a b n N a +=
∈-。 (I )求数列{}n b 的通项公式;
(II )记*221()n n n c b b n N -=-∈,设数列{}n c 的前n 项和为n T ,求证:对任意正整数n 都有32
n T <
; (III )设数列{}n b 的前n 项和为n R 。已知正实数λ满足:对任意正整数,n n R n λ≤恒成立,
求λ的最小值。
数学(理工农医类)参考答案
一、 选择题:本体考察基本概念和基本运算。每小题5分,满分60分。 (1) C (2) B (3) A (4) D (5) D (6) B (7) C (8) B (9) A (10)D (11) B (12) A 二、填空题:本题考查基础知识和基本运算。每小题4分,满分16分。 (13) -20 (14)4
三、解答题
(17
解:(Ⅰ)A 、B 10
= 又cos
cos 5
A ==,
cos sin sin 2
A B A B -==
4
A B ∴+=
…………………………………………6分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知34C π=
,sin C ∴= 由正弦定理
sin sin sin a b c A B C
==得
==,即a =,c
1a b -=Q ,
1b -=,1b ∴=
a ∴= ……………………………………12分
(18)本小题主要考察相互独立事件、互斥事件、随机变量的分布列、数学期望等概率计算,
考察运用概率只是解决实际问题的能力。 解:(Ⅰ)由题意得,省外游客有27人,其中9人持金卡;省内游客有9人,其中6
人持银卡。设事件B 为“采访该团3人中,恰有1人持金卡且持银卡者少于2人”, 事件1A 为“采访该团3人中,1人持金卡,0人持银卡”, 事件2A 为“采访该团3人中,1人持金卡,1人持银卡”。 12()()()P B P A P A =+
= =
= 2人的概率是
3685
。
6分
,3
1263393
(1)14C C P C ξ===
9,363
915
(3)21
C P C ξ===, 所以ξ的分布列为
所以0123284142821
E ξ=?
+?+?+?=, ……………………12分
(19)本小题主要考察平面与平面垂直、直线与平面垂直、直线与平面平行、二面角
等基础知识,考察空间想象能力、逻辑推理能力和数学探究意识,考察应用向量知识解决数学问题的能力。 解法一:
(Ⅰ)因为平面ABEF ⊥平面ABCD ,BC ?平面ABCD ,
平面ABEF 平面ABCD AB =,
所以BC ⊥平面ABEF 所以BC ⊥EF .
因为ABE ?为等腰直角三角形, A B A E =,
所以45AEB ∠=
又因为45AEF ∠= ,
所以454590FEB ∠=+=
,
即EF ⊥
所以EF 4分
(Ⅱ)存在点M ,当M 取BE ∥=PC 所以PMNC 因为CN 所以PM 8分 (Ⅲ)由EA ⊥AB,ABCD
G ,则FG ∥EA 。从而,FG ⊥平面ABCD
BD ⊥FH 的平面角 °.
FG=A F ·sinFAG=
12
在R t △FGH 中,∠GBH=45°,BG=AB+AG=1+
12=32
,
GH=BG ·sinGBH=
32·2=4
在R t △FGH 中,tanFHG=
FG GH = 3
故二面角F-BD-A 的大小为
arctan
3
. ………………………………12分 解法二:
(Ⅰ)因为△ABE 为等腰直角三角形,AB=AE,
所以AE ⊥AB.
又因为平面ABEF ⊥平面ABCD,AE ?平面ABEF, 平面ABE F ∩平面ABCD=AB, 所以AE ⊥平面ABCD. 所以AE ⊥AD.
因此,AD,AB,AE 两两垂直,以A 为坐标原点,建立 如图所示的直角坐标系A-xyz.
设AB=1,则AE=1,B (0,1,0),D (1, 0, 0 ) , E ( 0, 0, 1 ), C ( 1, 1, 0 ).
因为FA=FE, ∠AEF = 45°, 所以∠AFE= 90°.
从而,11(0,,)22
F -
. 所以11(0,,)22
EF =- ,(0,1,1)BE =-
,(1,0,0)BC = .
11
0022
EF BE ?=+-= ,0EF BC ?= .
所以E F ⊥BE, E F ⊥BC.
因为BE ?平面BCE,B C ∩BE=B ,
所以EF ⊥平面BCE.
(Ⅱ)存在点M,当M 为AE 中点时,PM ∥平面BCE.
P ( 1, 12,0 ). ,
11,)22-·11(0,,)22
--=0
BCE ,直线PM 不在平面BCE 内,
………………………………8分
(Ⅲ)设平面BDF 的一个法向量为1n ,并设1n
=(x,y,z ). 110BD =-(,,)uu u v ,
31
022
BF =-(,,)uu u v
11n 0
n 0
BD BF ?=??=??u v uu u v g u v uu u v g
即
x y 0
31y z 022
-=???-+=??
取y=1,则x=1,z=3。从而1n 113=(,,)
。 取平面ABD 的一个法向量为2n = (0,0,1)
。
12212
n n cos(n ,n )n n ==
=1u v u u v
u u v u u v g u v u u v 故二面角F —BD —A 的大小为
。……………………………………12分 (20)本小题主要考查直线、椭圆、平面向量等基础知识,以及综合运用数学知识解决问题
及推理运算能力。
解:
(Ⅰ)有条件有
2
c a a 2c
{
=
,解得a c=1=。
b
∴= 4分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知1(1F - 若直线l
2
2
-,)
, (2,(4,0)2
--=-.
224F M F N ∴+=uuuu v uuuv
,与题设矛盾。
∴直线l 的斜率存在。
设直线l 的斜率为k ,则直线的方程为y=k (x+1)。 设11(x y )M ,、22(,)N x y ,
联立
2
2x y 12
y=k(x+1){
+=,消y 得2222(12)4220k x k x k +++-=。
由根与系数的关系知2
122
412k x x k -+=+,从而1212
22(2)12k y y k x x k +=++=+, 又211(1,)F M x y =- ,222(1,)F N x y =-
,
221212(2,)F M F N x x y y ∴+=+-+
。
2
22221212(2)()F M F N x x y y ∴+=+-++
222
22
822()()1212k k k k +=+++
42解得2
k 1.
11
k l y x y x ∴=±∴=+=--所求直线的方程为或者
(21)本小题主要考查函数、数列的极限、导数应用等基础知识、考查分类整合思想、推理和运算能力。
解:(Ⅰ)由题意知10x
a ->
当01()01()0a f x a f x <<+∞>-∞时,的定义域是(,);当时,的定义域是(,)
ln log 11
a a e '=--g x x x
x -a a f (x)=a a 当01(0,).10,0,x
x
a x a a '<<∈+∞-<>时,因为故f (x)<0,所以f(x)是减函数 当1(,0),10,0,()0,()x
x
a x a a f x f x '>∈-∞-<><时,因为故所以是减函数….(4分) (Ⅱ)因为()
()log (1),1n
f n n a f n a a
a =-=-所以
由函数定义域知1n