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【小站教育】GRE数学无忧之最终幻想版

数学无忧之最终幻想版

1.正整数n有奇数个因子,则n为完全平方数

2.因子个数求解公式:将整数n分解为质因子乘积形式,然后将每个质因子的幂分别加一相乘.n=a*a*a*b*b*c则因子个数=(3+1)(2+1)(1+1)

eg. 200=2*2*2 * 5*5 因子个数=(3+1)(2+1)=12个

3.能被8整除的数后三位的和能被8整除;能被9整除的数各位数的和能被9整除.能被3整除的数,各位的和能被3整除.

4.多边形内角和=(n-2)x180

5.菱形面积=1/2 x 对角线乘积

6.欧拉公式：边数=面数+顶点数-2

8.三角形余玄定理

C2=A2+B2-2ABCOSβ,β为AB两条线间的夹角

9.正弦定理:A/SinA=B/SinB=C/SinC=2R(A,B,C是各边及所对应的角,R是三角形外接圆的半径)

10.Y=k

1X+B

,Y=k

X+B

，两线垂直的条件为K

=-1

11.N的阶乘公式:

N!=1*2*3*....(N-2)*(N-1)*N 且规定0!=1 1!=1 Eg:8!=1*2*3*4*5*6*7*8

12. 熟悉一下根号2、3、5的值

sqrt(2)=1.414 sqrt(3)=1.732 sqrt(5)=2.236 13. ...2/3 as many A as B: A=2/3*B

...twice as many... A as B: A=2*B

14. 华氏温度与摄氏温度的换算

换算公式:(F-32)*5/9=C

PS.常用计量单位的换算:（自己查查牛津大字典的附录吧）

练习题:

1：还有数列题：a1=2，a2=6，a n=a n-1/a n-2，求a150.

解答: a n=a n-1/a n-2,所以a n-1=a n-2/a n-3,带入前式得a n=1/a n-3,然后再拆一遍得到a n=a n-6,也就是说,这个数列是以6为周期的,则a150=a144=...=a6,利用a1,a2可以

=1/3.

计算出a

如果实在想不到这个方法,可以写几项看看很快就会发现a150=a144,大胆推测该数列是以6为周期得,然后写出a1-a13(也就是写到你能看出来规律),不难发现a6=a12,a7=a13,然后那,稍微数数,就可以知道a150=a6了,同样计算得1/3.

2：问摄氏升高30度华氏升高的度数与62比大小.

key:F=30*9/5=54<62

3：那道费波拉契数列的题:已知,a1=1 a2=1 a n=a n-1+a n-2，问a1,a2,a3,a6四项的平均数和a1,a3,a4,a5四项的平均数大小比较。

解答:费波契那数列就是第三项是前两项的和,依此类推得到a1-a6为:

1 1

3 5 8 13 21 a1+a2+a3+a6=12, a1+a3+a4+a5=11,所以为大于.

4：满足x^2+y^2<=100的整数对（x,y）有多少？

key: 按照X的可能情况顺序写出:

X= Y=

11-9

21-9

31-9

41-9

51-8

61-8

71-7

81-6

91-4 ＝>My answer:加起来=69

5：24，36，90，100四个数中,该数除以它的所有的质因子，最后的结果是质数的是那个：Key:90

6:0.123456789101112….，这个小数无限不循环地把所有整数都列出来.请问小数点后第100位的数字是多少？

Key: 位数

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

10 11 12 ………………………19 20

20 21……………………………29 20

30……………………………… 39 20

40……………………………… 49 20

50 51 52 53 54 55 56 ――――――第101位＝5？？

7：2904x=y2（y的平方），x、y都是正整数，求x的最小值。

因为：X^2×Y^2×Z^2=(X×Y×Z)^2

所以把2904除呀除＝2×2×2×3×11×11＝2^2×11^2×6再乘一个6就OK了

2^2×11^2×6×6＝（2×11×6）^2=132^2

Key：最小的x＝6

8:序列A

=1/n-1/(n+1),n>=1,问前100项和.

解答：An ＝1/n-1/(n+1)

n-1

=1/(n-1)-1/n

n-2

=1/(n-2)-/(n-1)

………………………

＝1－1/2

把左边加起来就是A

n +A

n-1

+……+A

=1-1/(n+1) ...消掉了好多好多项之后的结果

Key:把n＝100带入得前100项之和为100/101

9:等腰三角形，腰为6.底边上的高为x,底边为y,问4x2+y2和144谁大解答:勾股定理得(y/2)2+x2=62,所以4x2+y2=144

10:-1

Key:我想的办法只能是尝试:

原式=r(1+t*t)恒小于零

1)r －1， t 0 则原式－1

2)r －1， t －1则原式－2

3)r 0 ， t 0 则原式 0

例如：r＝-0.9 t=-1/3 时,原式=-1,若此时-0.9-1.

11:有长方形4feet*8feet,长宽各截去x inch,长宽比2：5，

解答:列出方程:(4*12-x)/(8*12-x)=2/5

=> x=16

1.排列(permutation):

从N个东东(有区别)中不重复(即取完后不再取)取出M个并作排列,共有几种方法：P(M,N)=N!/(N-M)!

例如:从1-5中取出3个数不重复,问能组成几个三位数？

解答：P(3,5)=5!/(5-3)!=5!/2!=5*4*3*2*1/(2*1)=5*4*3=60

也可以这样想从五个数中取出三个放三个固定位置

那么第一个位置可以放五个数中任一一个,所以有5种可能选法，那么第二个位置余下四个数中任一个,....4.....，那么第三个位置……3……

所以总共的排列为5*4*3=60

同理可知如果可以重复选(即取完后可再取),总共的排列是5*5*5=125

2．组合(combination):

从N个东东(可以无区别)中不重复(即取完后不再取)取出M个(不作排列,即不管取得次序先后),共有几种方法

C(M,N)=P(M,N)/P(M,M)=N!/(M-N)!/M!

C(3,5)=P(3,5)/P(3,3)=5!/2!/3!=5*4*3/(1*2*3)=10

可以这样理解：组合与排列的区别就在于取出的M个作不作排列-即M的全排列P(M,M)=M!，

那末他们之间关系就有先做组合再作M的全排列就得到了排列

所以C(M,N)*P(M,M)=P(M,N),由此可得组合公式

性质:C(M,N)=C( (N-M), N )

即C(3,5)=C( (5-2), 5 )=C(2,5) = 5!/3!/2!=10

3．概率

概率的定义：P=满足某个条件的所有可能情况数量/所有可能情况数量

概率的性质：0<=P<=1

1)不相容事件的概率：

a,b为两两不相容的事件（即发生了a，就不会发生b)

P(a或b)=P(a)+P(b)

P(a且b)=P(a)+P(b)=0 (A,B不能同时发生)

2）对立事件的概率:

对立事件就是a+b就是全部情况,所以不是发生a,就是b发生,但是,有一点a,b 不能同时发生.例如:

a:一件事不发生

b:一件事发生,则A,B是对立事件

显然：P（一件事发生的概率或一件事不发生的概率）=1（必然事件的概率为1）

则一件事发生的概率=1 - 一件事不发生的概率...........公式1

理解抽象的概率最好用集合的概念来讲，否则结合具体体好理解写

a,b不是不相容事件(也就是说a,b有公共部分)分别用集合A和集合B来表示

即集合A与集合B有交集，表示为A*B （a发生且b发生）

集合A与集合B的并集，表示为A U B （a发生或b发生）

则:P（A U B）= P(A)+P(B)-P(A*B).................公式2

3）条件概率：

考虑的是事件A已发生的条件下事件B发生的概率

定义：设A，B是两个事件，且P（A）>0,称

P（B|A）=P（A*B）/P（A）....................公式3

为事件A已发生的条件下事件B发生的概率

理解：就是P（A与B的交集）/P（A集合）

理解: “事件A已发生的条件下事件B发生的概率”，很明显，说这句话的时候，A，B都发生了，求的是A，B同时发生的情况占A发生时的比例，就是A与B同时发生与A发生的概率比。

4）独立事件与概率

两个事件独立也就是说，A，B的发生与否互不影响，A是A，B是B，用公式表示就是P（A|B）=P(A)所以说两个事件同时发生的概率就是：

P（A U B）＝P（A）×P（B）................公式4

练习题:

1：A, B独立事件，一个发生的概率是0.6 ，一个是0.8，问：两个中发生一个或都发生的概率？

解答：

P＝P(A且!B)+P(B且!A)+P(A且B)

=0.6*(1-0.8)+0.8*(1-0.6)+0.6*0.8=0.92

另一个角度,所求概率P=1-P(A,B都不发生)

=1-(1-0.8)*(1-0.6)=0.92

2：一道概率题：就是100以内取两个数是6的整倍数的概率.

解答:100以内的倍数有6,12,18,...96共计16个

所以从中取出两个共有16*15种方法,从1-100中取出两个数的方法有99*100种,所以P=(16*15)/(99*100)=12/505=0.024

3：1-350 inclusive 中，在100-299inclusive之间以3,4,5,6,7,8,9结尾的数的概率.

因为100-299中以3,4,5,6,7,8,9结尾的数各有20个,所以

Key:（2*10*7）/350=0.4

4.在1-350中（inclusive），337-350之间整数占的百分比

Key:(359-337+1)/350=4%

5.在E发生的情况下，F发生的概率为0.45，问E不发生的情况下，F发生的概率与0.55比大小

解答:看了原来的答案,我差点要不考G了.无论柳大侠的推理还是那个哥哥的图,都太过分了吧?其实用全概率公式是很好解决这个问题的,还是先用白话文说一遍吧:

某一个事件A的发生总是在一定的其它条件下如B,C,D发生的,也就是说A

的概率其实就是在,B,C,D发生的条件下A发生的概率之和.A在B发生时有一个条件概率,在C发生时有一个条件概率,在D发生时有一个条件概率,如果B,C,D 包括了A发生的所有的条件.那么,A的概率不就是这几个条件概率之和么.

P(A)=P(A|B)+P(A|C)+P(A|D)

好了,看看这个题目就明白了.F发生时,E要么发生,要么不发生,OK?

所以,P(F)=P(F|E)+P(F|!E) 感觉上也没错吧? 给了P(F|E)=0.45,所以

P(F|!E)= P(F)-P(F|E)= P(F)-0.45

如果P(F)=1,那么P(F|!E)=0.55

如果0.45=

如果…………，唉，我就不说你什么了…………sigh

1.mode（众数）

一堆数中出现频率最高的一个或几个数

e.g. mode of 1,1,1,2,3,0,0,0,5 is 1 and 0

2.range（值域）

一堆数中最大和最小数之差 ,所以统计学上又称之为极差.(两极的差)

e.g. range of 1,1,2,3,5 is 5-1=4

3.mean（平均数）

arithmatic mean（算术平均数）: n个数之和再除以n

geometric mean （几何平均数）: n个数之积的n次方根

4.median（中数）

将一堆数排序之后，正中间的一个数（奇数个数字），

或者中间两个数的平均数（偶数个数字）

e.g. median of 1,7,4,9,2,2,2,2,2,5,8 is 2

median of 1,7,4,9,2,5 is (5+7)/2=6

5.standard error（标准偏差）

一堆数中，每个数与平均数的差的绝对值之和，除以这堆数的个数(n) e.g. standard error of 0,2,5,7,6 is:

(|0-4|+|2-4|+|5-4|+|7-4|+|6-4|)/5=2.4

6.standard variation

一堆数中，每个数与平均数之差的平方之和，再除以n

标准方差的公式：d2=[(a1-a)2+(a2-a)2+....+(an-a)2 ]/n

e.g. standard variation of 0,2,5,7,6 is: average=4

((0-4)2 +(2-4)2+(5-4)2+(7-4)2+(6-4)2)/5=6.8

7.standard deviation

就是standard variation的平方根 d

8.the calculation of quartile(四分位数的计算)

Quartile（四分位数）：

第0个Quartile实际为通常所说的最小值（MINimum）；

第1个Quartile（En：1st Quartile）；

第2个Quartile实际为通常所说的中分位数（中数、二分位分、中位数：Median）；第3个Quartile（En：3rd Quartile）；

第4个Quartile实际为通常所说的最大值（MAXimum）；

我想大家除了对1st、3rd Quartile不了解外，对其他几个统计值的求法都是比较熟悉的了，而求1st、3rd是比较麻烦的。

下面以求1rd为例：

设样本数为n（即共有n个数），可以按下列步骤求1st Quartile：

1．n个数从小到大排列，求(n-1)/4，设商为i，余数为j

2．则可求得1st Quartile为：(第i+1个数)*(4-j)/4+(第i+2个数)*j/4

例（已经排过序啦！）：

1）.设序列为{5}，只有一个样本则：(1-1)/4 商0，余数0

1st=第1个数*4/4+第2个数*0/4=5

2）.设序列为{1,4}，有两个样本则：(2-1)/4 商0，余数1

1st=第1个数*3/4+第2个数*1/4=1.75

3）.设序列为{1,5,7}，有三个样本则：(3-1)/4 商0，余数2

1st=第1个数*2/4+第2个数*2/4=3

4）.设序列为{1,3,6,10}，四个样本：(4-1)/4 商0，余数2

1st=第1个数*1/4+第2个数*3/4=2.5

5）.其他类推！因为3rd与1rd的位置对称，这是可以将序列从大到小排（即倒过来排），再用1rd的公式即可求得：例（各序列同上各列，只是逆排）：

1.序列{5}，3rd=5

2.{4,1}，3rd=4*3/4+1*1/4=

3.25

3.{7,5,1}，3rd=7*2/4+5*2/4=6

4.{10,6,3,1}，3rd=10*1/4+6*3/4=7

9．The calculation of Percentile

设一个序列供有n个数，要求（k%）的Percentile：

（1）从小到大排序，求(n-1)*k%，记整数部分为i，小数部分为j

可以如此记忆：n个数中间有n-1个间隔，n-1/4就是处于前四分之一处，

（2）所求结果＝（1－j）*第(i＋1)个数＋j*第(i+2)个数

特别注意以下两种最可能考的情况：

（1）j为0，即(n-1)*k%恰为整数，则结果恰为第(i+1)个数

（2）第(i+1)个数与第(i+2)个数相等，不用算也知道正是这两个数.

注意：前面提到的Quartile也可用这种方法计算，

其中1st Quartile的k%=25%

2nd Quartile的k%=50%

3rd Quartile的k%=75%

计算结果一样.

例：（注意一定要先从小到大排序的，这里已经排过序啦！）

｛1，3，4，5，6，7，8，9，19，29，39，49，59，69，79，80｝

共16个样本要求:percentile＝30%：则

(16-1)*30%=4.5=4+0.5 i＝4，j＝0.5

(1-0.5)*第5个数＋0.5*第6个数=0.5*6+0.5*7=6.5

10.To find median using Stem-and-Leaf (茎叶法计算中位数)

Stem-and-Leaf method 其实并不是很适用于GRE考试,除非有大量数据时可以用这种方法比较迅速的将数据有序化.一般GRE给出的数据在10个左右,茎叶法有点大材小用.

Stem-and-Leaf 其实就是一种分级将数据分类的方法.Stem就是大的划分,

如可以划分为1～10，11～20，21～30…，而Leaf就是把划分到Stem一类中的数据再排一下序。看了例子就明白了。

Example for Stem-and-Leaf method:

Data：23，51，1，24，18，2，2，27，59，4，12，23，15，20

0| 1 2 2 4

1| 12 15 18

2| 20 23 23 24 27

5| 51 59

Stem (unit) = 10

Leaf (unit) = 1

分析如下：

最左边的一竖行 0, 1, 2, 5叫做Stem, 而右边剩下的就是Leaf(leaves). 上面的Stem-and-Leaf 共包含了14个data, 根据Stem及leaf的unit, 分别是：1, 2, 2, 4 (first row), 12, 15, 18 (second row), 20, 23, 23, 24, 27(third row), 51, 59 (last row). Stem and Leaf其实就是把各个unit，比如个位，十位等归类了而已，一般是从小到大有序排列，所以在找Stem-and Leaf 找median的时候，一般不需要你自己把所有的数写出来从新排序.所以只要找到中间的那个数 (如果data个数是偶，则取中间两数的平均数), 就是median了.这道题的median是18和20的平均值 =19. 大家在碰到这种题的时候都可以用上面的方法做，只要注意unit也就是分类的数量级就行了.

为什么用Stem-and-Leaf 方法？可能你觉得这样做太麻烦了，其实

Stem-and-Leaf 方法好处就是：你不必从一大堆数里去按大小挑数了，按照data 给出的顺序填到表里就可以了。但是，GRE考试这样做是否值自己斟酌。

我的方法，不就是找十来个数么？排序！在先浏一眼数据看看大致范围，然后在答题纸上按个的写，觉得小的写前面，大的写后面，写了几个数之后，就是

把剩下的数儿们，一个个的插到已写的数中间么！注意尽可能的把数之间的距离留大一些，否则，如果某些数比较密集，呵呵，你会死的很惨的。

11．To find the median of data given by percentage(按比例求中位数)

给了不同年龄range, 和各个range的percentage, 问median 落在哪个range里. 把percentage加到50%就是median的range了.担小心一点，range 首先要保证是有序排列.

Example for this:

Given: 10～20 = 20%, 30～50 = 30%, 0～10 = 40%, 20～30 = 10%, 问median 在哪个range里.

分析：千万不要上来就加，要先排序，切记！！

重新排序为： 0～10 = 40%, 10～20 = 20%, 20～30 = 10%, 30～50 = 40%. 然后从小开始加， median（50％）落在 10～20这个range里.

如果觉得比较玄乎，我的方法，GRE大部分的题都可以这么搞。0～10岁 40匹ETS猪，10～20岁 20匹ETS猪，20～30岁匹ETS猪，30～50岁匹ETS猪，这100匹ETS猪按着年龄排下来，你说第五十匹ETS猪的年龄落在那个范围。

(原题: 说一堆人0-10岁占 10%,11-20岁占 12%,21-30岁占 23%,31-40岁占 20%,〉40岁占 35%,问median 在什么范围?)

12：比较,当n<1时，n，1，2 和1，2,3的标准方差谁大

standard error 和 standard variation (作用=standard deviation)都是用来衡量一组数据的离散程度的统计数值,只不过由于standard error中涉及绝对值,在数学上是很难处里的所以,都用标准方差,实际上standard error更合理一些,它代表了数据和平均值的平均距离.很明显题目中如果n=0的话,0,1,2的离散程度应该和1,2,3的离散程度相同.如果n<0,则n,1,2,的离散程度大于后者,而

Key: n是整数，前〉=后(n=0,等；n=-1,-2,……大于)

13.算数平均值和加权平均值

三组数据的频数分布FREQUENCY DISTRIBUTION：

1（6），2（4），3（1），4（4），5（6） 1（1），2（4），3（6），4（4），5（1） 1（1），2（2），3（3），4（4），5（5）

其中括号里的是出现的频率，问MEAN 和AVERAGE 相等的有那些. 答案：只有第二个. mean-arithmetic mean

1+2+3+4+5）/ 5 = 3

average-weighted average 加权平均值: (1*1+2*4+...5*1)/(1+4+6+4+1)=48/16=3 14.正态分布题.

一列数从0到28，给出正态分布曲线.75%的percentile 是20，85%的percentile 是r,95%的percentile 是26,问r 与23的大小. Key:r<23

下面是来自柳大侠的七种武器中的正态分布

15．正态分布

高斯分布（Gaussian ）（正态分布）的概率密度函数为一钟型曲线，即

2)(2

21)(σπσ

a x e

x p --=

a 为均值，σ为标准方差，曲线关于x=a 的虚线对称，σ决定了曲线的“胖瘦”，形状为：

高斯型随机变量的概率分布函数，是将其密度函数取积分，即

ξπσ

σξd e

x F x

a A ?

∞

---=

2)(2

21)(

（★）)()(x A P x F A ≤≡, 表示随机变量A 的取值小于等于x 的概率。比如A 的取值小于等于均值a 的概率是50%。曲线为

如果前面看得有些头大也没有关系，结合具体题目就很容易理解了

1）一道正态分布：95%〈26，75%〈20，85%〈r,问r 与23的大小，答小于

解：由图2，正态分布的分布函数F （x ）在其期望a 的右方曲线是向上凸的，此时 F （20）=75%，F （r ）=85%，F （26）=95%，

如果把曲线的片段放大就比较清楚了。O 为AB 的中点。 A(20, 75%) B(26, 95%) O(23, 85%) C(r, 85%)

由于曲线上凸，显然C 的横坐标小于O ，所以r<23。

补充：如果问的是曲线的左半部分或者其它一些情况，只要画一下图就很easy 了。

2) 正态分布题好象是：有一组数平均值9，标准方差2，另一组数平均值3，标准方差1，问分别在（5，11）和（1，4）中个数(概率)谁大，应该是相等。解：

令图1中的曲线a=0, 1=σ, 就得到了标准正态分布，曲线如图3。

B O

x 图2

此时问分布在区间（x1, x2）的概率，就是图中的阴影面积。注意此时的曲线关于x=0对称。（★）对于一般的正态分布，可以通过变换，归一化到标准的正态分布，算法为：

设原正态分布的期望为a ，标准方差为σ,欲求分布在区间（y1, y2）的概率，可以变换为求图3中分布在（x1, x2）间的概率。其中

y x -=

。

比如题目中a=9，2=σ, 区间为（5, 11），则区间归一化为(－2，1)，即

229

51-=-=

x 12

9112=-=x

同理，a=3，1=σ, 区间为（1, 4），则区间归一化后也为(－2，1)。所以两者的分布概率相等。

估计最难的题也就是利用钟型曲线的对称性，比如归一化后的区间并不相同，

而是(-2,1)和（-1,2），但根据对称性，仍然可以比较概率的大小。

代数部分 1. 有关数学运算

add ，plus subtract difference multiply, times product divide divisible divided evenly 被整除dividend divisor 因子，除数 quotient 商 remainder 余数

factorial power radical sign, root sign 根号round to to the nearest

四舍五入

图3

2. 有关集合

union proper subset solution set

algebraic term like terms, similar terms numerical coefficient literal coefficient inequality 不 triangle inequality range original equation equivalent equation linear equation 线性方程(e.g. 5x+6=22)

proper fraction improper fraction 假分数mixed number 带分数 vulgar fraction，common fraction simple fraction 简分数 complex fraction numerator denominator

(least) common denominator quarter decimal fraction infinite decimal recurring decimal 循环小 tenths unit

arithmetic mean weighted average geometric mean exponent base 乘幂的底数, cube 立 square root cube root common logarithm digit constant variable

inverse function complementary function linear 一次 factorization absolute value 绝对值，e.g.｜

-32｜=32 round off 四舍五入

natural number positive number negative number

odd integer, odd number even integer, even number integer, whole number positive whole number negative whole number consecutive number real number, rational number 实数, irrational（number） inverse composite number 合数 prime number 质数reciprocal common divisor multiple (least)common multiple (最小)

(prime) factor (质) common factor ordinary scale, decimal scale nonnegative tens units 个位 mode median common ratio

arithmetic progression(sequence) geometric

progression(sequence)

approximate (anti)clockwise (逆) cardinal

ordinal direct proportion distinct estimation 估计， parentheses proportion permutation combination table trigonometric function

unit 单位,

几何部分

1. 所有的角

alternate angle corresponding angle vertical angle central angle interior angle exterior angle supplementary angles complementary angle adjacent angle acute angle obtuse angle right angle

round angle straight angle included angle

equilateral triangle scalene triangle

isosceles triangle right triangle oblique 斜 inscribed triangle

semicircle concentric circles quadrilateral

pentagon hexagon heptagon octagon

nonagon decagon polygon parallelogram 平行 equilateral plane square

rectangle regular polygon rhombus

trapezoid

arc line, straight line line segment parallel lines segment of a circle

cube rectangular solid regular solid/regular polyhedron circular cylinder cone sphere solid

altitude depth side circumference, perimeter 周长 radian surface area volume arm 直角三角形的 cross section center of a circle chord radius angle bisector diagonal diameter

edge face of a solid hypotenuse included side 夹 leg median of a triangle base 底边，底数（e.g. 2的5次方，2 opposite

midpoint endpoint vertex (复数形式vertices)

tangent transversal intercept

coordinate system rectangular coordinate origin abscissa ordinate number line

quadrant slope complex plane 复平面

plane geometry trigonometry bisect

circumscribe inscribe intersect perpendicular 垂 pythagorean theorem congruent multilateral

cent penny 一美分硬币 nickel 5 dime

dozen 打（12 score 廿(20个) Centigrade Fahrenheit 华氏 quart gallon 加仑(1 gallon = 4 quart) yard meter micron inch foot minute 分(角度的度量单位，60分=1度) square measure cubic meter pint 品脱(干量或液量的单位)

intercalary year(leap year) 闰年(366天) common year 平年(365天) depreciation down payment discount margin 利 profit interest simple interest compounded interest dividend decrease to decrease by 减少 increase to increase by denote list price markup per capita ratio retail price tie 打平

救命三招

1.代数法

往变量里分别代三个数（最大，最小，中间值）看看满足不满足

2.穷举法

分别举几个特例，不妨从最简单的举起，然后总结一下规律

3.圆整法

对付计算复杂的图表题，不妨四舍五入舍去零头，算完后看跟那个答案最接近即可

无论你赞同何种观点，形成一套自己的解题思路是尤为重要的

gre数学部分

数学词汇 1.数学符号等于：≡equal to, the same as, is 不等于：＞more than ＜less than ≥ no more than 加：＋ add A to B, plus, sum of A and B, total 减：－ minus, less, difference, subtract A from B 乘：× multiply，product 除：÷ A divided by B，A divided into B，A divisible by B 绝对值： |…| absolute value X square X2 平方：2 X cube 立方：3 开平方： square root 开立方：3 cube root 平行： // parallel to 垂直：⊥ perpendicular to 2.数字前缀 1：uni, mono, 2: bi, du, di 3: tri, ter 4: tera, quad 5: penta, quint 6: hex, sex 7: sept，hapta 8: oct

9: enn 10: dec, deka 3.方程 Equation 方程 solution 解4.数列和集合 arithmetic progression 等差数列 geometric progression 等比数列 set 集合 term 子集 sequence 序列 term 序列中的项 inclusive 包含序列的首末项 exclusive 不包含序列的首末项 5.排列组合与概率 combination 组合 probability，possibility 概率 6.数论 common division 公约数 common factor 公因子 composite number 合数（质数与1以外的自然数）consecutive integer 连续整数 digit 位

人教版-数学-六年级上册-【练无忧】《倒数》同步精品练习

倒数轻松准备对“倒”字的含义，你一定不陌生吧！那么请你想一想：一个分数，例如，如果将其分子和分母互换（即倒过来），结果会是怎样的呢？快乐学习 1．填一填。 (1)乘积是1的两个数 ( )。 (2)最小的合数的倒数与8的积是 ( )。 (3)真分数的倒数一定是 ( )。 (4)求一个数（0除外）的倒数，只要把这个数的分子和分母 ( )。 2．数学小法官。（对的打“√”，错的打“×”） (1) 是倒数，也是倒数。 ( ) (2)因为+=1，所以是的倒数。 ( ) (3)真分数的倒数大于假分数的倒数。 ( ) (4)长方形的面积为1，两个边长互为倒数。 ( ) 3．选择。 (1) 因为×=1，所以 ( )。 A. 是倒数 B. 是倒数 C.和互为倒数 (2) 一个数的倒数比它本身小，那么这个数( )。 A．大于1 B．小于1 C．等于1 (3)1的倒数是( )。 A. l B. 10 C. 4．求下面各数的倒数。 41 50 5．把互为倒数的两个数连起来。 6．计算下面各题。 ×5 ×26 ×14

×27 ××4 7．减去它的倒数，差是多少？ 8．乘它的倒数的积，再加上，和是多少？ 9．的倒数乘，积是多少？拓展提高 10．有两个质数，它们的和的倒数是，这两个质数中较大的一个数是多少？11．一个自然数与它的倒数的和是5，这个数是多少？ 12．当a( )时，×a＞；当a( )时，×a＝；当a( )时，×a＜。 13．比较和的大小。答案与点拨 1．(1)互为倒数(2)2(3)假分数(4)交换位置 2．(l)× (2)× (3)√ (4)√ 3．(1)C (2)A (3)A 4． 2 6. 2 12 2 3 1 7．－= 8．×+=1 9．×= 10. 13 11.5 12. 大于l 等于1 小于1 13. 333< 3333提示：比较这两个数的倒数，倒数大的分数比倒数小的分数要小。

GRE数学部分术语总汇

代数部分 1. 有关数学运算 add，plus 加 subtract 减 difference 差 multiply, times 乘 product 积 divide 除 divisible 可被整除的 divided evenly 被整除 dividend 被除数，红利 divisor 因子，除数 quotient 商 remainder 余数 factorial 阶乘 power 乘方 radical sign, root sign 根号 round to 四舍五入 to the nearest 四舍五入 2. 有关集合 union 并集 proper subset 真子集 solution set 解集 3. 有关代数式、方程和不等式 algebraic term 代数项 like terms, similar terms 同类项 numerical coefficient 数字系数 literal coefficient 字母系数 inequality 不等式 triangle inequality 三角不等式 range 值域 original equation 原方程 equivalent equation 同解方程，等价方程 linear equation 线性方程(e.g. 5 x +6=22) 4. 有关分数和小数 proper fraction 真分数 improper fraction 假分数 mixed number 带分数 vulgar fraction，common fraction 普通分数 simple fraction 简分数 complex fraction 繁分数 numerator 分子 denominator 分母 (least) common denominator （最小）公分母 quarter 四分之一 decimal fraction 纯小数 infinite decimal 无穷小数 recurring decimal 循环小数 tenths unit 十分位 5. 基本数学概念 arithmetic mean 算术平均值 weighted average 加权平均值 geometric mean 几何平均数 exponent 指数，幂 base 乘幂的底数,底边 cube 立方数，立方体 square root 平方根 cube root 立方根 common logarithm 常用对数 digit 数字 constant 常数 variable 变量 inverse function 反函数 complementary function 余函数 linear 一次的，线性的 factorization 因式分解 absolute value 绝对值，e.g.｜-32｜=32 round off 四舍五入 6. 有关数论 natural number 自然数 positive number 正数 negative number 负数 odd integer, odd number 奇数 even integer, even number 偶数 integer, whole number 整数 positive whole number 正整数 negative whole number 负整数 consecutive number 连续整数 real number, rational number 实数,有理数 irrational（number）无理数 inverse 倒数 composite number 合数 e.g. 4,6,8,9,10,12,14,15…… prime number 质数e.g. 2,3,5,7,11,13,15…… 注意：所有的质数(2除外)都是奇数，但奇数不一定是质数reciprocal 倒数 common divisor 公约数 multiple 倍数 (least)common multiple (最小)公倍数 (prime) factor (质)因子 common factor 公因子 ordinary scale, decimal scale 十进制 nonnegative 非负的 tens 十位 units 个位 mode 众数 median 中数 common ratio 公比

北师版数学六年级下册-【教无忧】《图形的运动》名师教案

第3节图形的运动教学目标知识技能能综合运用平移和旋转来分析、设计图形。数学思考与问题解决通过对图形运动过程的分析，再次对平移和旋转有了新的理解。情感态度通过利用平移和旋转分析图案，提高学生的想象力和学习素养。重点难点重点：对平移或旋转过程的分析。难点：用运动后的图形反推之前图形的形状。教具学具教师准备：多媒体课件学生准备：三角尺，直尺，彩笔，圆规，每人准备四张大小相等的等腰直角三角形（硬纸），一副七巧板教学设计一、复习旧知，导入新知师：在以前的学习中我们已初步认识了平移和同学们用一个三角形在方格纸上边摆边说说什么是旋转。学生先自己在方格纸上操作并与同桌交流，学生进行展示。学生展示时，教师引导学生说清楚是怎样变换清楚它的变换要素。学生总结，教师板书：平移二要素：方向、距离；旋转三要素：中心点、方向、旋转角度；轴对称一要素：对称轴。教师强调：同学们，我们在分析图形的运动时，不仅要说出它的平移或旋转情况，还要说清楚是怎样平移或旋转的，也就是说清楚它的变换要素，这样我们就能清楚地知道它的运动过程了。师：今天我们就利用所学的知识进一步探索（板书课题：图形的运动）

二、自主探索，交流分享 1.情境探索。课件呈现情境图：师：请同学们观察上图，从第一幅图到第二幅图是如何变换的？先想想一想，再在方格纸上摆一摆。学生先独立思考，然后摆一摆，最后在小组内说一说，可以边摆边说，教师巡视并参与交流，再组织全班反馈。 2．汇报交流，评价质疑。预设学生回答：生1：我可以通过平移得到第二幅图。生2：我有补充，应该说是将第一幅图中的三角形A向下平移2格，三角形B向下平移2格，三角形C向上平移2格，三角形D向上平移2格。（教师应及时对生2进行表扬，鼓励学生说清楚图形的变换过程）质疑：从第一幅图到第二幅图还有其他的变换方式吗？预设学生回答：生：（上台演示，边操作边说）先把图形A绕最下面的顶点顺时针方向旋转90°，再向右平移2格；把图形B绕最下面的顶点逆时针方向旋转90°，再向左平移2格；把图形C 绕最上面的顶点逆时针方向旋转90°，再向右平移2格；把图形D绕最上面的顶点顺时针方向旋转90°，再向左平移2格。设计意图：对第一个问题放慢时间，给学生充足昀时间去探究、去表达，引导学生有条理地表达图形的平移或旋转的变换过程，下面的问题学生就会迎刃而解了。质疑：听明白他说的变换过程了吗？这位同学在描述旋转过程时，按照A、B、C、D的次序依次描述，说明了绕哪个点、按顺时针方向还是逆时针方向、旋转了多少度。下面请同学们按照他的说法描述一下以下三个图形的变换。 3．变式练习。课件呈现情境图：

GRE数学考试范围和内容

GRE数学考试范围和内容 GRE全称Graduate Record Examination，是世界各地的大学各类研究生院（除管理类学院，法学院），要求申请者所必须具备的一个考试成绩，也是教授对申请者是否授予奖学金所依据的最重要的标准。因此GRE成绩在留学申请中具有十分重要的地位。但很多同学对GRE数学部分不甚了解。 gre数学考什么？在gre数学的备考过程中，需要复习一下高中数学知识，并且对微分方程、线性代数、初等数论、抽象代数等12个知识点进行归类复习。下面，我们就具体来看一下gre数学考试涉及到的12个知识点。 1、高中知识各种三角诱导公式，和，差，倍，半公式与和差化积，积化和差公式，平面解析几何。 2、数学分析极限，连续的概念，单变量微积分(求导法则，积分法则，微商)，多边量微积分及其应用，曲线及曲面积分，场论初步。参考书：张筑生先生的3册《数学分析新讲》，Walter Rudin的Principles of Mathematical Analysis 3、微分方程基本概念，各种方程的基本解法。参考书：Wolfgang Walter,Ordinary Differential Equations 说明：以Cracking the GRE Math Test中的相关章节为主，一般不难。 4、线性代数普通代数，艾森斯坦因法则，行列式，向量空间，多变量方程组解法，特征多项式及特征向量，线形变换及正交变换，度量空间。参考书：镇系之宝，张贤科老师的《高等代数学》，Seymour Lipschutz的Theory and Problems of Linear Algebra 说明：Cracking the GRE Math Test这本书里面的东西也差不多够了，不过鉴于sub越来越难，大家还是回去翻翻张老师的书吧。 5、初等数论

人教版-数学-四年级上册-【教无忧】《亿以上数的认识》同步讲解教案

亿以上数的认识知识解析知识点一亿以上数的读法问题导入试读出下列各数。千百十亿千百十万亿亿亿万万万位位位位位位位位 7 0 0 0 0 0读作：七十亿 1 0 0 4 0 0 0读作： 4 0 0 3 0 5 0 0读作：知识讲解亿以上数的读法和亿以内数的读法相同，也要从最高位读起，一级一级往下读。亿级的数，要按照个级的读法来读，再在后面加个“亿”字。典例剖析读一读：35000006301 解析读这个数时，首先进行分级，明确亿级上是350，表示350个亿；万级上一个单位也没有，连续有四个0，读时只读一个零。答案 35000006301读作：三百五十亿零六千三百零一读出下列各数。 (1) 928000000000 (2)405050008400 解析 (1)先分级再读比较容易，即9280 0000 0000，先读亿级的数“9280”，九千二百八十，再在后面加上“亿”字；后面的零不用读。所以9280 0000 0000读作九千二百八十亿。 (2)先分级，即4050；5000；8400。先读亿级的数“4050”，四千零五十，再在后面加上“亿”字；再读万级的数“5000”，五千，再在后面加上“万”字；最后读个级的数“8400”，八千四百。所以4050 5000 8400读作四千零五十亿五千万八千四百。答案(1) 928000000000读作：九千二百八十亿(2)405050008400读作：四千零五十亿五千万八千四百

点拨分级是读好大数的关键，还要注意每一级末尾的0都不读，其他数位有一个0或连续几个0，都只读一个“零”。知识点二亿以上数的写法问题导入写出下面各数。千百十亿千百十万千百十个万万万亿亿亿位位位位位位位位位位位位三亿： 3 0 0 0 0 0 0 0 0 三十亿九千万： 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 七千零三亿零二十万： 7 0 0 3 0 0 2 0 0 0 0 0 知识讲解写亿以上的数也要先分级，然后从高位读一级写一级，如果哪个数位上一个单位也没有，要用0占位。典例剖析判断对错并说明理由：由5个亿、5个百万、5个十万和5个一组成的数是5500505。解析此题错在不能根据数的组成正确写数。写这样的数关键要弄清每一个数位上的数字是几。“5个亿”说明亿位上是5；5个百万、5个十万说明百万位、十万位上分别是5，5个一说明个位上是5，其余数位都用0占位。答案×。由5个亿、5个百万、5个十万和5个一组成的数是505500005。易错之处写数时，关键是弄清每个数位上是几，没有单位的数位都要写0。二千零八亿零六万零三十写作：解析写数和读数一样，先分级。亿级、万级、个级上的数的写法是一样的，怎么读就怎么写。亿级上是二千零八就写“2008”；万级上只有万位上是6，其他各位上用0占位，写作“0006”，个级上写作“0030”。答案二千零八亿零六万零三十写作：200800060030

新GRE数学词汇手册

主要符号

数的概念和特性 *几个GRE 最常用的概念：偶数(even number)：能被2整除的整数；奇数(odd number)：不能被2整除的数；质数(prime number)：大于1的整数，除了1和它本身外，不能被其他正整数所整除的，称为质数。也叫素数；（学过数论的同学请注意，这里的质数概念不同于数论中的概念，GRE 里的质数不包括负整数）倒数(reciprocal)：一个不为零的数为x,则它的倒数为1/x 。 *最重要的性质：奇偶性：偶加偶为偶，偶减偶为偶，偶乘偶为偶；奇加奇为偶，奇减奇为偶，奇乘奇为奇；奇加偶为偶，奇减偶为偶，奇乘偶为偶。等差数列 GRE 数学中绝大部分是等差数列，d n a a n )1(1-+=，形式主要为应用题。题目会说三年稳步增长第一年的产量是x,第三年的产量是y,问你的二年的产量。数理统计 *众数(mode) 一组数中出现频率最高的一个或几个数。例：mode of 1,1,1,2,3,0,0,0,5 is 1 and 0。 *值域(range) 一组数中最大和最小数之差。例：range of 1,1,2,3,5 is 5-1=4 *平均数(mean ）算术平均数（arithmetic mean ） *几何平均数(geometric mean ） n 个数之积的n 次方根。 *中数(median) 对一组数进行排序后，正中间的一个数（数字个数为奇数），或者中间两个数的平均数（数字个数为偶数）。例： median of 1,7,4,9,2,5,8 is 5 median of 1,7,4,9,2,5 is (5+7)/2=6 ps: GRE 经常考察众数与数的个数的积和这组数的和的大小。 *标准偏差(standard error) 一组数中，每个数与平均数的差的绝对值之和，再除以这组数的个数n 例：standard error of 0,2,5,7,6 is: (|0-4|+|2-4|+|5-4|+|7-4|+|6-4|)/5=2.4 *standard variation （方差）一组数中，每个数与平均数之差的平方和，再除以这组数的个数n 例： standard variation of 0,2,5,7,6 is: _ 2 2 2 2 2_ |_(0-4) +(2-4)+(5-4)+(7-4)+(6-4)_|/5=6.8 *标准差(standard deviation) standard deviation 等于standard variation 的平方根 ps :GRE 经常让你比较众数或中数与数的个数的乘积和这组数的和的大小，可以举几个极限情况的例子验证一下。还有一种题型是给你两组数的平均值，方差，比较他们的中数大小；要注意中数的大小和那两个值是没有必然联系的，无法比较。

2020年新GRE数学模拟考试试题及答案

2020年新GRE数学模拟考试试题及答案 1. A,B,C,D,E,F排在1,2,3,4,5,6六个位置上,问A不在1, B不在2, C不在3的情况下,共有多少种排法? (A) 720 (B) 450 (C) 180 (D) 216 (E) 320 2. 一直线L过点A(5,0), B(0,2), 坐标原点为O, 点P(X,Y)为三角形OAB中一点, 问：Y (A) 1/4 (B) 3/8 (C) 1/2 (D) 5/8 (E) 3/4 3. In an insurance company, each policy has a paper record and an electric record. For those policies having incorrect paper record, 60% also having incorrect electric record; For policies having incorrect electric record, 75% also having incorrect paper record. 3% of all policies have both incorrect paper and incorrect electric records. If we randomly pick out one policy,what’s the probability that the one having both correct paper and correct electric records?

(A) 0.80 (B) 0.94 (C) 0.75 (D) 0.88 (E) 0.92 4. If Bob can do a job in 20 days and Jane can do the job in 30 days, they work together to do this job and in this period, Bob stop work for 2.5 days and Jane stop work for x days, and the job be finished for 14 days, what is x? (A) 1.6 (B) 3.2 (C) 1.5 (D) 1.25 (E) 1.15 5. The probability of A is 60% and the probability of B is 50%, what is the most possible probability that neither A nor B would happen? (A) 0.80 (B) 0.40 (C) 0.75 (D) 0.55 (E) 0.68

中考数学深度复习讲义——一次函数〖无忧资源〗

中考数学深度复习讲义——一次函数【基础知识回顾】一、一次函数的定义: 一般的：如果y=（）即y叫x的一次函数特别的：当b=时，一次函数就变为y-kx(k≠0)，这时y叫x的【名师提醒：正比例函数是一次函数，反之不一定成立，是有当b=0时，它才是正比例函数】二、一次函数的同象及性质： 1、一次函数y=kx+b的同象是经过点（0，b）（-b k ，0）的一条正比例函数y= kx的同象是经过点和的一条直线【名师提醒：同为一次函数的同象是一条直线，所以函数同象是需返取个特殊的点过这两个点画一条直线即可】 2、正比例函数y= kx(k≠0)当k>0时，其同象过、象限，时y随x的增大而 )当k<0时，其同象过、象限，时y随x的增大而3、一次函数y= kx+b，同象及函数性质 ①、k>0b>0过象限k>0b<0过象限 k<0b>0过象限 Y随x的增大而Y随x的增大而

k<0b>0过象限 4、若直线y= k1x+b1与l1y= k2x+b2平解，则k1k2，若k1≠k2，则l1与l2 【名师提醒：y随x的变化情况，只取决于的符号与无关，而直线的平移，只改变的值的值不变】三、用系数法求一次函数解析式：关键：确定一次函数y= k x+b中的字母与的值步骤：1、设一次函数表达式 2、将x，y的对应值或点的坐标代入表达式 3、解关于系数的方程或方程组 4、将所求的系数代入等设函数表达式中四、一次函数与一元一次方程，一元一次不等式和二元一次方程组 1、一次函数与一元一次方程：一般地将x=或y解一元一次方程求直线与坐标轴的交点坐标，代入y= k x+b中 2、一次函数与一元一次不等式：k x+b>0或k x+b<0即一次函数同象位于x轴上方或下方时相应的x的取值X围，反之也成立 3、一次函数与二元一次方程组：两条直线的交点坐标即为两个一次函数列二元一次方程组的解，反之根据方程组的解可求两条直线的交点坐标【名师提醒：1、一次函数与三者之间的关系问题一定要结合同象去解决 2、在一次函数中讨论交点问题即是讨论一元一次不等式的解集或二元一次方程组解得问题】五、一次函数的应用

GRE数学词汇大汇总(全!!)

1.有关数学运算add，plus加 subtract减 difference差 multiply,times乘 product积 divide除 divisible可被整除的 divided evenly被整除 dividend被除数，红利 divisor因子，除数 quotient商 remainder余数 factorial阶乘 power乘方 radicalsign, rootsign根号 round to四舍五入 to the nearest四舍五入 2. 有关集合 union并集 proper subset真子集 solution set解集 3. 有关代数式、方程和不等式algebraic term代数项 like terms, similar terms同类项 numerical coefficient数字系数 literal coefficient字母系数 inequality不等式 triangle inequality三角不等式 range值域 original equation原方程 equivalent equation同解方程，等价方程 linear equation线性方程(e.g.5x+6=22) 4. 有关分数和小数 proper fraction真分数 improper fraction假分数 mixed number带分数 vulgar fraction，common fraction普通分数 simple fraction简分数 complex fraction繁分数 numerator分子 denominator分母 (least)common denominator(最小)公分母 quarter四分之一 decimal fraction纯小数 infinite decimal无穷小数 recurring decimal循环小数 tenths unit十分位 5. 基本数学概念 arithmetic mean算术平均值 weighted average加权平均值 geometric mean几何平均数 exponent指数，幂

GRE数学部分读不懂题解决方法

GRE数学部分读不懂题解决方法在做GRE数学部分的时候，很多考生单词都认识，但是连在一起就读不懂题怎么办呢?在这种情况下，题目里面的生词已经解决了，但是还是读不懂，到底怎么回事呢? 举个例子先：Of the positive integers that are multiples of 30 and are less than or equal to 360, what fraction are multiples of 12? 其实呢，如果没有这个倒装，应该没有任何问题：What fraction of the positive intergers that are multiples of 30 and are less than or equal to 360 are multiples of 12?主要就是一个阅读的问题：A占B的几分之几用英文解释是：what fraction of B are A .因此，这个问题就归结于阅读问题，而这个阅读的问题不在于单词，而在于这么一点：不仅仅是单词，一些数学里面很口语化的内容用英文怎么表达? 提供一种解决的方法：在题目里面遇到了这样的说法，自己翻译出来，然后再用同样的语言来造句和自己出题给自己做。比如，遇到了fraction这个结构以后，自己给自己出个题目：of the positive integers that are less than or equal to

100, what fraction are prime numbers? 以下一些口语化的数学语言，希望同学们自己完成练习：A和B成比例 A和B相似 A打了八折

GRE数学真题大放送附答案解析

G R E数学真题大放送(附答案解析) 真题是我们备考路上的“好伙伴”，备考初期利用好它，我们的复习将会事半功倍!快来看看2015年7月5日GRE数学真题吧。 ,andBCDEisaparallelogram QuantityA:TheareaofsquareABCE QuantityB:TheareaofparallelogramBCDE . . . 参考答案：C。正方形的面积是长乘以宽，平行四边形的面积是长乘以高。一样大。 . QuantityB:1 .

. . 参考答案：C。如果n是奇数，则负负得正等于1;如果n是偶数，依然是1。 QuantityA:ThepopulationofCountryXfor1982. QuantityB: . . . 参考答案：A ≠0 QuantityB:x(x+5) . . . 参考答案：D。如果x>0,则B>A;如果x<0,则B

=2,y=3,z=5 . . . 参考答案：B。A=1/2*3*1/25=3/50;B=9/100;B>A $$380lastweek,whatwasthetotalamountofthesalesthatthesalespersonmadelastweek? A.$1,600 B.$1,660 C.$1,860 D.$2,000 E.$2,100 参考答案：E。$500*12%=$60,$380-$60=$320;$320/=$1600;$1600+$500=$2100 2

人教数学五年级下-【教无忧】《复式折线统计图》精品教案

第2节复式折线统计图教学目标 1．通过学习单的形式，让学生复习把两个条形统计图绘制成复式条形统计图，巩固复式条形统计图需要用图例来区分两个不同的项目。 2．通过学习单的形式，学生由复式条形统计图的方法迁移到复制折线统计图，以旧带新。学会把两个单式折线统计图绘制成复式折线统计图，并了解复式折线统计图便于比较的特点。 3．能够根据统计表所给的数据绘制复式折线统计图，能够根据折线统计图对数据进行简单地分析并提出问题和解决问题。能够根据折线统计图数据变化的趋势，对数据的变化做出合理的推测。 4．通过对数据的分析，体会统计在生活中的作用和意义。重点难点重点：能够通过知识的迁移把两个单式折线统计图绘制成复式折线统计图，经历迁移绘制的过程。难点：了解复式折线统计图便于比较的特点以及体会统计在生活中的作用和意义。教具学具课件、实物投影。教学过程一、绘制复式条形统计图 1．出示学习单一，学习单一中有两幅单式条形统计图，由学生绘制成复式条形统计图。 2．绘制后进行汇报，在绘制过程中需要注意什么？（注意运用图例，理解图例的作用。）设计意图:通过复习巩固把两个单式条形统计图绘制成复式条形统计图，为绘制复式折线统计图打好基础。二、绘制复式折线统计图 1．出示学习单二，两个单式折线统计图，学生观察图，说说发现了什么信息。

设计意图：复习单式折线统计图既可以表示数量的多少，又可以显示数据增减的变化趋势的特点。 2．思考：怎样才能更好地进行比较呢？ 3．尝试绘制复式折线统计图。方法解读： (1)先把两个折线统计图绘制成复式折线统计图，但不强调是复式折线统计图。 (2)绘制后教师收集学生的作品。收集作品按照没有用颜色区分两条线的、没有标数据的、做的比较完整的进行展示。 (3)展示完毕，揭示课题，这就叫复式折线统计图，也是这节课我们要研究的内容。（板书：复式折线统计图） (4)给学生时间修改自己的统计图。设计意图：给学生时间和空间，让学生以旧带新，进行知识上的迁移，经历完成复式折线统计图的过程。在展示、赏析作品的过程中逐步完善绘制复式折线统计图需要注意的地方。 4．小结：绘制复式折线统计图的方法是什么？一是要说清和绘制单式折线统计图的方法一样。二是要有图例来区分两个或者两个以上的项目。三、对比发现特点 1．复式折线统计图与复式条形统计图进行比较有什么相同点和不同点？方法解读：想要解决这个问题，不是单纯只看图形的形状不同，还要能对比出两种不同统计图的优点。可以这样做： (1)观察相同点：都能表示数量的多少，都有图例。 (2)不同点：一个用直条的长短表示数量的多少，能清楚地看出数量的多少。一个用线的长短表示数量的多少，能清晰地进行变化趋势的对比。 2．独立思考后，再与同桌交流。 (1)观察复式折线统计图，你能说说上海出生人口数、死亡人口数的变化趋势吗？ (2)每年的出生人口数和死亡人口数之间存在什么关系？方法解读：在这个问题中老师要教授学生什么叫自然增长数，什么是负增长。即出生人口数和死亡人口数之差是人口自然增长数。上海人口从1995年开始负增长。四、知识运用教材第110页第7题。方法解读：先审题，小组进行讨论得出五年级同学五一度假方式统计表绘制复式条形统计图比较合适，能清楚地看出数量的多少。民主路小学学生五一参加旅游人数统计条表绘制复式折线统计图比较合适，能清晰地显示旅游的发展趋势。五、当堂检测教材第109页第4、5题。六、总结评价今天我学会了，我在方面表现较好，方面还需改进，今后要注意的问题是___ _。

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GRE考试数学部分常用单词汇总以下是GRE考试数学部分常用单词，以字母A为开头的。考生一定要熟记才能在做题时避免因不认识单词而选不出答案的情况。 abscissa横坐标 absolute value绝对值 account for（数量）占 acute angle锐角 acute triangle锐角三角形 add加add to addition加，加法 adjacent相邻 adjacent angles邻角 algebra代数学 algebraic expression代数式 algebraic fraction分式 algebraic term代数项 aliquot除得尽数 aliquant除不尽数 alternate angles内错角 altitude高度 amount合计 angle角 angle bisector角平分线 apex顶，顶点 apiece每人，每个 approximately近似的，大约的 approximation近似，近似值 arc弧，圆周的任意一段 area面积 arithmetic算术 arithmetic（al） average算术平均数 arithmetic（al） mean算术平均数或等差中项 arithmetic（al） progression或series算术级数，等差级数 assume that假定义…… at random随机地 at right angles with与……成直角 at this rate以这样的比率，价格或速度 average平均，平均数平均的 axis轴 B balance余额 bar graph（chart）条带图 base堤边，底面，幂或乘方的底数 base area底面积

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数学无忧之最终幻想版 1.正整数n有奇数个因子,则n为完全平方数 2.因子个数求解公式:将整数n分解为质因子乘积形式,然后将每个质因子的幂分别加一相乘.n=a*a*a*b*b*c 则因子个数=(3+1)(2+1)(1+1) eg. 200=2*2*2 * 5*5 因子个数=(3+1)(2+1)=12个 3.能被8整除的数后三位的和能被8整除;能被9整除的数各位数的和能被9整除.能被3整除的数,各位的和能被3整除. 4.多边形内角和=(n-2)x180 5.菱形面积=1/2 x 对角线乘积 6.欧拉公式：边数=面数+顶点数-2 8.三角形余玄定理 C2=A2+B2-2ABCOSβ,β为AB两条线间的夹角 9.正弦定理:A/SinA=B/SinB=C/SinC=2R(A,B,C是各边及所对应的角,R是三角形外接圆的半径) 10.Y=k1X+B1,Y=k2X+B2，两线垂直的条件为K1K2=-1 11.N的阶乘公式: N!=1*2*3*....(N-2)*(N-1)*N 且规定0!=1 1!=1 Eg:8!=1*2*3*4*5*6*7*8 12. 熟悉一下根号2、3、5的值 sqrt(2)=1.414 sqrt(3)=1.732 sqrt(5)=2.236 13. ...2/3 as many A as B: A=2/3*B ...twice as many... A as B: A=2*B 14. 华氏温度与摄氏温度的换算换算公式:(F-32)*5/9=C PS.常用计量单位的换算:（自己查查牛津大字典的附录吧）练习题: 1：还有数列题：a1=2，a2=6，a n=a n-1/a n-2，求a150. 解答: a n=a n-1/a n-2,所以a n-1=a n-2/a n-3,带入前式得 a n=1/a n-3,然后再拆一遍得到a n=a n-6,也就是说,这个数列是以6为周期的,则a150=a144=...=a6,利用a1,a2可以计算出a6=1/3. 如果实在想不到这个方法,可以写几项看看很快就会发现a150=a144,大胆推测该数列是以6为周期得,然后写出a1-a13(也就是写到你能看出来规律),不难发现a6=a12,a7=a13,然后那,稍微数数,就可以知道a150=a6了,同样计算得1/3. 2：问摄氏升高30度华氏升高的度数与62比大小. key:F=30*9/5=54<62 3：那道费波拉契数列的题:已知,a1=1 a2=1 a n=a n-1+a n-2，问a1,a2,a3,a6四项的平均数和a1,a3,a4,a5四项的平均数大小比较. 解答:费波契那数列就是第三项是前两项的和,依此类推得到a1-a6为: 1 1 2 3 5 8 13 21 a1+a2+a3+a6=12, a1+a3+a4+a5=11,所以为大于. 4：满足x^2+y^2<=100的整数对（x,y）有多少？ key: 按照X的可能情况顺序写出: X= Y= 11-9 21-9 31-9 41-9 51-8 61-8 71-7 81-6 91-4 ＝>Myanswer:加起来=69 5：24，36，90，100四个数中,该数除以它的所有的质因子，最后的结果是质数的是那个：Key:90

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