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等比数列的概念及通项公式
基本概念
新知：
1. 等比数列定义：一般地，如果一个数列从第 项起， 一项与它的 一项的 等于 常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的 ，通常用字母 表示（q ≠0），即：1
n n a a -= （q ≠0）
2. 等比数列的通项公式：
21a a = ； 3211()a a q a q q a === ；24311()a a q a q q a === ； … … ∴ 11n n a a q a -==? 等式成立的条件
3. 等比数列中任意两项n a 与m a 的关系是：
3、等比数列的性质：对于等比数列}{n a ，若.,n m q p a a a a n m q p =+=+则
4、等比数列的}{n a 的单调性————————与首项和公比都有关 11-=n n q a a
例题
例一：判断数列是否为等比数列，若是请指出公比
（1）1，-1，1，-1，1，…（2）0,1,2,4,8，…（3）13
181-4121-1，，，
例二、指出下列等比数列中的未知项
（1）2，a ，8 （2）-4，b ，c ，2
1
问题1：如果在a 与b 中间插入一个数G ，使a ，G ，b 成等比数列，则2G b
G ab G a G
=?=?= 新知1：等比中项定义
如果在a 与b 中间插入一个数G ，使a ，G ，b 成等比数列，那么称这个数G 称为a 与b 的等比中项. 即G = （a ，
b 同号）.
试试：数4和6的等比中项是 .
例三、（1）在等比数列}{n a 中，是否有)2(112
≥=+-n a a a n n n ？
（2）如果数列}{n a 中，对于任意的正整数),2(,2112
≥=≥+-n a a a n n n n n 都有）
（那么}{n a 一定是等比数列
吗？
2
例四、在等比数列}{n a 中， （1） 已知61,2,3a q a 求-==
（2） 已知n a a a 求,160,2063==
（3） 已知n a a a a a n 求,125,6,243224
==+=-
（4） 已知的等比中项与求7552321,42,168a a a a a a a =-=++
练习
1、在等比数列}{n a 中，852,54,2a a a 求=-=
2、在等比数列}{n a 中，=+=++53645342,3620a a a a a a a a a n 则，＞
3、在等比数列}{n a 中，===604515,90,10a a a 则
4、在等比数列}{n a 中，=+=+=+654321,120,30a a a a a a 则
5、三个数成等比数列，它们的和等于14，它们的积等于64，求这三个数.
6、在等比数列}{n a 中，===11109876543,24,3a a a a a a a a a 则
7、（1）在等比数列}{n a 中，已知181091,100,5a a a a 求== （2）在等比数列}{n a 中，已知34=a ，求该数列前7项之积
3
8、等比数列}{n a 的各项均为正数，
且的值求10231374653log log log ,18a a a a a a a ???++=+
9、在等比数列}{n a 中，的值求2019181784,4,1a a a a S S +++==
公比为q 的等比数列{}n a 具有如下基本性质：
1. 数列{||}n a ，2{}n a ，{}(0)n ca c ≠，*{}()nm a m N ∈，{}k n a 等，也为等比数列，公比分别为2||,,,,m k q q q q q . 若
数列{}n b 为等比数列，则}{n n b a ?，{}n n a
b 也等比.
2. 若*m N ∈，则m n m n q a a -=. 当m =1时，便得到等比数列的通项公式.
3. 若m n k l +=+，*,,,m n k l N ∈，则l k n m a a a a =.
4. 若{}n a 各项为正，c >0，则{log }c n a 是一个以1log c a 为首项，log c q 为公差的等差数列. 若{}n b 是以d 为公差的等差数列，则{}n b c 是以1b c 为首项，d c 为公比的等比数列.
例2 已知数列{n a }中，lg 35n a n =+ ，试用定义证明数列{n a }是等比数列.
数列概念 一.学习目标： 1、熟练掌握数列的概念，准确理解通项公式与函数的关系，提高归纳猜想能 力。 2、自主学习、合作探究，总结求数列通项公式的规律方法。 3、激情投入，惜时高效，培养良好的数学思维品质，体验数字变化之美。 重难点：数列的概念以及数列的通项公式 二.问题导学： 阅读课本P3-6思考并回答下列问题: 1.数列的概念： ①你能根据自己的理解写出数列的定义吗？ ②数列的一般形式12,,...,...n a a a ，简记{}n a ，那么n a 与{}n a 有什么不同？ 2.数列的通项公式： 给定一个数列：1、3、5、7……你能写出数列的第5项，第7项吗？第n 项呢？ ○1你能试着写出数列通项公式的定义吗？ ○2通项公式可看作是一个函数吗？它的定义域是什么？图像有什么特点？ 3.数列的分类： 按项数分可以分为哪几类？ 【小试牛刀】 1.下列说法不正确的是（ ） A 、所有数列都能写出通项公式 B 、数列的通项公式不唯一 C 、数列中的项不能相等 D 、数列可以用一群孤立的点表示 2.已知数列{}n a 中，n a =2n-1，则3a 等于___________ 3.写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数: （1）2，3，4，5； 则n a = （2）1416 ,,3,;333 ；则n a = （3） 1111 ,,,;24816 则n a = （4）1，-3，5，-7； 则n a = 三.合作探究 例1、根据下面数列{}n a 的通项公式，写出它的前5项： （1） 21;21n n a n -=+ （2）cos 2 n n a π =; （3）2(1);n n a n =- 拓展：根据下面数列{}n a 的通项公式，写出它的第10项： （1） 2910n a n n =-+; （2）(1)1cos ;2 n n a π -=+ （3）请判断2是不是第（1）小题中的那个数列的项. 小结： 例2、写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数： （1）1，3，5，7； （2）0，2，0，2； （3）10,100,1000,10000; 变式：写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：
等比数列的通项公式(教案) 一、教学目标 1、掌握等比数列的通项公式，并能够用公式解决一些相关问题。 2、掌握由等比数列的通项公式推导出的相关结论。 二、教学重点、难点各种结论的推导、理解、应用。 三、教学过程 1、导入复习等比数列的定义： 通项公式： 用归纳猜测的方法得到，用累积法证明 2、新知探索例1 在等比数列中，（1）已知；（2）已知、，分析（1）根据等比数列的通项公式，得（2）可以根据等比数列的通项公式列出一个二元一次方程组解得所以问：上面的第（2）题中，可以不求而只需求得q就得到吗?分析在归纳猜测等比数列的通项公式时，有这样一系列式子：注意观察等式右边各项的下标与q的次方的和，可以发现，的表达式中，始终满足结论1 数列是等比数列，则有。再来看一下例1中（2）的另一种解法：，所以q=2，所以习题2、3（1） 2、在等比数列中，（1）已知；（2）已知、分析（1）可以根据定义和结论1给出两种解法。方法一方法二，所以q=3，所以。（2），所以例2 在243和3中间插入3个数，使这5个数
成等比数列。分析设此三个数为，公比为q，则由题意得243，，3成等比数列；，所以得故插入的三个数为81，27，9或-81，27，-9、问：观察一下例2中，当时，这5个数分别为243，-81，27，-9，3，可以发现什么规律？答：在等比数列中，当公比小于零时，数列中的奇数项同号，偶数项同号。习题2、3（1） 6、在等比数列中，，，求的值。分析得，同理得例3 已知等比数列的通项公式为，求首项和公比q、分析在例3中，等比数列的通项公式为，是一个常数与指数式的乘积，因为数列是特殊的函数，故表示这个数列的各点均在函数的图像上。问：如果一个数列的通项公式为，其中，都是不为零的常数，那么这个数列一定是等比数列吗？分析，，所以是等比数列。一般可以看作是等比数列通项公式的变形，，其中结论2 等比数列的通项公式均可写成（，为不等于零的常数）的形式。反之成立。习题2、3（1） 5、在等比数列中，（1）是否成立？是否成立？（2） （n>2）是否成立？（3）你能得到更一般的结论吗？分析 （1），所以成立。（2），所以成立。（3）从（1）（2）可以看出，等式两边各项的下表和相等，左边是同一项的平方，如果把左边换成两个不同项的乘积呢？同时，类比等差数列中的一个结论：在等差数列中，当m+n=p+q(m,n,p,q都是正整数)时，有，可以猜测：在等比数列中，当m+n=p+q(m,n,p,q都是正整数)时，有、证，所以、结论3 在等比数列中，当m+n=p+q(m,n,p,q都是
第1课时周期现象与角的概念的推广 1.通过实例使学生感受自然界存在着丰富的周期现象,使学生经历数据分析以及观察散点图特征的学习过程,领悟、思考周期现象. 2.观察实例,理解角的概念推广的必要性,理解并掌握正角、负角、零角、象限角、终边相同的角的概念及表示方法.通过类比正、负数的规定,认识正角、负角并体会类比、数形结合等思想方法的运用. 今天是星期一,7天后是星期几?21天后是星期几?86天后是星期几? 问题1:在现实生活中,具有周期现象的实例:海水的潮汐、候鸟的迁徙、四季变化、钟摆运动、一星期的往复、物理中的简谐振动、地球绕太阳公转等. 问题2:什么是角?角有哪些元素?怎样区分不同旋转方向所成的角? 平面内一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形叫作角;旋转开始时的射线叫作角的边,旋转终止时的射线叫作角的边,射线的端点叫作角的顶点. 为了表示不同旋转方向所形成的角,可以把按逆时针方向旋转所形成的角叫作,按顺时针方向旋转所形成的角叫作,把没有旋转的射线也看成一个角,叫作. 问题3:什么是象限角?各象限角怎么表示?轴线角怎么表示? 当角的顶点与坐标原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合,那么角的终边(除端点外)在第几象限,就说这个角是. 第一象限角的集合为; 第二象限角的集合为; 第三象限角的集合为; 第四象限角的集合为. 终边落在x轴上,角的集合为{x|x=k·180°,k∈Z},终边落在y轴上,角的集合为{x|x=k·180°+90°,k∈Z},所以终边落在坐标轴上,角的集合
为. 问题4:终边相同的角 一般地,所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集合S=,即任何一个与角α终边相同的角,都可以表示成角α与的和. (1)终边相同角的前提条件:角的顶点在坐标原点,角的始边与x轴的重合. (2)对于终边相同的角应注意以下两点: ①k是;②α是. (3)k·360°与α之间是“+”号,如k·360°-30°可看成.(k∈Z) (4)终边相同的角相等,但相等的角的终边相同,终边相同的角有无数多个,它们相差360°的倍. (5)一般地,终边相同的角的表达形式. 1.经过一个小时,手表上的时针旋转了(). A.30° B.-30° C.15° D.-15° 2.下列自然现象:月亮东升西落,气候的冷暖,昼夜变化,火山爆发.其中是周期现象的有(). A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 3.角-950°12'的终边(除端点外)在第象限. 4.写出与70°角终边相同的角的集合S,并把S中适合不等式-360°≤β<720°的元素β写出来. 周期现象的简单应用 如果今天是星期一,那么从明天算起,第100天是星期(). A.二 B.三 C.四 D.五 终边相同的角 在0°~360°之间,求出与下列各角终边相同的角,并判断下列各角是第几象限角. (1)825°17';(2)-1046°.
2019-2020学年高中数学 《数列通项公式求法》导学案 新人教A 版 必修5 【学习目标】 1.会在各种条件下，选用适当的方法求数列的通项公式。 2.掌握定义法、公式法、累加法、累乘法、构造数列法在求通项公式中的应用。 【重点难点】 重点：由递推公式求数列的通项公式 难点：累加法、累乘法、构造数列法 【学习过程】 知识点一：定义法（教材链接：等差数列和等比数列的定义） 直接用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法，适应于已知数列类型的题目． 例1．等差数列{}n a 是递增数列，前n 项和为n S ，且931,,a a a 成等比数列，255a S =．求数 列{}n a 的通项公式. 例2.已知数列{} n a 的各项均为正数，前n 项和为n S ，且有332-=n n a S ， （1）求数列{}n a 的通项公式。 （2）设数列{}n b 的通项公式是1 33log log 1+?= n n n a a b ，前n 项和为n T ，求证：对于任意的正整数n ，总有n T <1. 知识点三：由递推式求数列通项 对于递推公式确定的数列的求解，通常可以通过递推公式的变换，转化为等差数列或等
比数列问题，有时也用到一些特殊的转化方法与特殊数列。 类型1 递推公式为)(1n f a a n n +=+（教材链接：第37页等差数列通项公式的探究） 解法：把原递推公式转化为)(1n f a a n n =-+，利用累加法(逐差相加法)求解。 例3. 已知数列{}n a 满足211= a ，n n a a n n ++=+211，求n a 。 类型2 （1）递推公式为n n a n f a )(1=+（教材链接：第50页等比数列通项公式的探究） 解法：把原递推公式转化为)(1n f a a n n =+，利用累乘法(逐商相乘法)求解。 例4. 已知数列{}n a 满足321= a ，n n a n n a 11+=+，求n a 。 类型3 递推公式为q pa a n n +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1((≠-p pq ）。 解法：通过对系数q 的分解，把原递推公式转化为：)(1t a p t a n n -=-+，其中p q t -=1。 例5. 已知数列{}n a 中，11=a ，321+=+n n a a ，求n a . 类型4 递推公式为n n n qa pa a +=++12（其中p ，q 均为常数）。（教材链接：第69页第6题）
等比数列的定义教案 内 容： 等比数列 教学目标:1.理解和掌握等比数列的定义； 2.理解和掌握等比数列的通项公式及其推导过程和方法； 3.运用等比数列的通项公式解决一些简单的问题。 授课类型：新授课 课时安排：1课时教学重点：等比数列定义、通项公式的探求及运用。 教学难点：等比数列通项公式的探求。 教具准备：多媒体课件 教学过程： （一）复习导入 1．等差数列的定义 2．等差数列的通项公式及其推导方法 3.公差的确定方法. 4.问题：给出一张书写纸，你能将它对折10次吗？为什么？ （二）探索新知 1．引入：观察下面几个数列，看其有何共同特点？ （１）－2，1，4，7，10，13，16，19，…（２）8，16，32，64，128，256，… （３）1，1，1，1，1，1，1，… （４）1，2，4，8，16，…263 请学生说出数列上述数列的特性，教师指出实际生活中也有许多类似的例子，如细胞分裂问题.假设每经过一个单位时间每个细胞都分裂为两个细胞，再假设开始有一个细胞，经过一个单位时间它分裂为两个细胞，经过两个单位时间就有了四个细胞，…，一直进行下去，记录下每个单位时间的细胞个数得到了一列数 这个数列也具有前面的几个数列的共同特性，这就是我们将要研究的另一类数列——等比数列. 2．等比数列定义：一般地，如果一个数列从第二项起．．．． ，每一项与它的前一项的比等于同一个常数．． ，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q 表示(0)q ≠， 3.递推公式：1n a +∶(0)n a q q =≠ 对定义再引导学生讨论并强调以下问题 （1） 等比数列的首项不为0； （2）等比数列的每一项都不为0； （3）公比不为0. （4）非零常数列既是等比数列也是等差数列； 问题：一个数列各项均不为0是这个数列为等比数列的什么条件？ 3．等比数列的通项公式： 【傻儿子的故事】 古时候,有一个人不识字,他不希望儿子也像他这样,他就请了个教书先生来教他儿子认字，他儿子见老师第一天写“一”就是一划，第二天“二”就是二划，第三天“三”就是三划,他就跑去跟他父亲说:“爸爸,我会写字了,请你叫老师走吧!”这人听了很高兴,就给老师结算了工钱叫他走了。 第二天,这人想请一个姓万的人来家里吃饭,就让他儿子帮忙写一张请帖,他儿子从早上一直写到中午也没有写好,这人觉得奇怪,就去看看,只发现他儿子在纸上划了好多横线,就问他儿子什么意思.他儿子一边擦头上的汗一边埋怨道:“爸,
《角的概念的推广》——教学设计 一、教材分析 1、地位与作用 我校使用的是高等教育出版社由李广全、李尚志编写的基础模块《数学》教材。角的概念的推广来自本教材的第五章的第一节。这节课主要内容是角的概念的推广，首先通过生产、生活的实际例子阐明了推广角的必要性和实际意义，然后又以“动”的观点给出了正、负、零角的概念，最后引入了象限角的概念。本节课的学习具有以下必要性： 1、在实际生活中应用广泛。 2、是前面所学函数类型的延伸。 3、是描述旋转运动和周期性现象的重要特征量。 4、是专业的重要学习工具。 2、课时安排 5.1.1节：任意角的概念的推广，45分钟。 3、教学目标 知识目标：掌握用旋转定义角的概念；理解并掌握“正角”、“负角”、“象限角”的含义，培养学生用运动变化观点审视事物。 能力目标：通过布置课前任务——培养学生的自学能力； 通过让学生讨论、讲解——锻炼学生的语言表达能力； 通过让学生解决生活中与数学相关的问题——提高学生分析问题、解决问题的能力。 情感目标：通过解决生活中的数学问题——让学生感悟数学的实用性； 通过小组活动——培养学生的团队协作意识。 4、教学重点难点 教学重点：理解并掌握正角、负角、零角的定义，掌握象限角的判断方法。 教学难点：旋转方向的观察、象限角的判断。
二、学情分析 学习对象为中职一年级学生，虽然有一定的观察能力，他们普遍对初中数学有恐惧感，数学基础普遍较差；学生重视专业课，忽视基础课的学习；学生对新内容的学习有一定的兴趣和积极性，但缺乏耐心和恒心。 三、教学策略选择与设计 针对职业学校学生、学科特点，更多的学习活动设计将以观察、识别、分析、判断、讨论为主线，以掌握方法、步骤为目标，让学生更能体会到数学的实用性。引入正角、负角、零角的定义，象限角的概念。树立运动变化的观点，理解静是相对的，动是绝对的，并由此深刻理解推广后的角的概念。 教学过程是教师和学生共同参与的过程，启发学生自主性学习,充分调动学生的积极性、主动性；有效地渗透数学思想方法，提高学生素质。根据这样的原则和所要完成的教学目标，并为激发学生的学习兴趣，我采用如下的教学策略：（1）引导发现法。通过已学过角的定义来发现角的概念是可以推广的。 （2）任务驱动法。通过实际问题，使角的推广变得更为必要，如螺丝扳手紧固螺丝、时针与分针、车轮的旋转等等，都能形成角的概念，给学生以直观的印象，形成正角、负角、零角的概念，突出角的概念的理解与掌握。 （3）多媒体法。通过讲解、归纳、概括来介绍角的有关要概念，通过练习来达到巩固知识、突出重点、解决难点。 教给学生方法比教给学生知识更重要，本节课注重调动学生积极思考、主动探索，尽可能地增加学生参与教学活动的时间和空间，我进行了以下学法指导：（1）分类学习法：了解数学知识是有规律可循的，要弄清角的分类及分类的方法。 （2）合作学习法：通过分组合作让学生学会观察、分析和解决问题。
1 等比数列的概念及通项公式 基本概念 新知： 1. 等比数列定义：一般地，如果一个数列从第 项起， 一项与它的 一项的 等于 常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的 ，通常用字母 表示（q ≠0），即：1 n n a a -= （q ≠0） 2. 等比数列的通项公式： 21a a = ； 3211()a a q a q q a === ；24311()a a q a q q a === ； … … ∴ 11n n a a q a -==? 等式成立的条件 3. 等比数列中任意两项n a 与m a 的关系是： 3、等比数列的性质：对于等比数列}{n a ，若.,n m q p a a a a n m q p =+=+则 4、等比数列的}{n a 的单调性————————与首项和公比都有关 11-=n n q a a 例题 例一：判断数列是否为等比数列，若是请指出公比 （1）1，-1，1，-1，1，…（2）0,1,2,4,8，…（3）13 181-4121-1，，， 例二、指出下列等比数列中的未知项 （1）2，a ，8 （2）-4，b ，c ，2 1 问题1：如果在a 与b 中间插入一个数G ，使a ，G ，b 成等比数列，则2G b G ab G a G =?=?= 新知1：等比中项定义 如果在a 与b 中间插入一个数G ，使a ，G ，b 成等比数列，那么称这个数G 称为a 与b 的等比中项. 即G = （a ， b 同号）. 试试：数4和6的等比中项是 . 例三、（1）在等比数列}{n a 中，是否有)2(112 ≥=+-n a a a n n n ？ （2）如果数列}{n a 中，对于任意的正整数),2(,2112 ≥=≥+-n a a a n n n n n 都有） （那么}{n a 一定是等比数列 吗？
【例1】 在等比数列{}n a 中，22a =，5128a =，则它的公比q =_______，前n 项和n S =_______． 【例2】 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且53655-=S S ，则4=a ． 【例3】 设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若 63 3S S =，则96=S S （ ） A ．2 B ． 7 3 C ．83 D ．3 【例4】 设{}n a 是公比为q 的等比数列，1>q ，令1(12)=+=L n n b a n ， ，，若数列{}n b 有连续四项在集合{}5323193782--， ，，，中，则6=q ． 【例5】 等比数列{}n a 的首项11a =-，前n 项和为n S ，公比1q ≠，若 105S S ＝31 32 ，则105a a 等于 ． 【例6】 等比数列{}n a 中，1512a =，公比1 2 q =-，用n ∏表示它前n 项的积：12...n n a a a ∏=， 则1∏，2∏，…，n ∏中最大的是_______． 【例7】 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，1 (1)()3 N n n S a n *=-∈． ⑴求1a ，2a ，3a 的值； ⑵求n a 的通项公式及10S ． 典例分析 等比数列的通项公式与求和
【例8】 在等比数列{}n a 中，12327a a a ??=，2430a a += 试求：⑴1a 和公比q ；⑵前6项的和6S . 【例9】 在等比数列{}n a 中，已知对任意正整数n ，有21n n S =-，则22212 n a a a +++=L ________． 【例10】 求和：2(1)(2)(),(0)n a a a n a -+-++-≠L ． 【例11】 在等比数列{}n a 中，423a = ，35209a a +=．若数列{}n a 的公比大于1，且3log 2 n n a b =，求数列{}n b 的前n 项和n S ． 【例12】 在各项均为正数的等比数列{}n b 中，若783b b ?=，则3132log log b b ++……314log b +等于（ ） A ．5 B ．6 C ．7 D ．8 【例13】 等比数列}{n a 中，已知对任意自然数n ，=+?+++n a a a a 32121n -， 则222 12n a a a ++???+=( ) A ．()221n - B ．()1213n - C ．41n - D ．()1 413 n -
《等比数列》教学设计（共2课时） 第一课时 1、创设情境，提出问题 （阅读本章引言并打出幻灯片） 情境1：本章引言内容 提出问题：同学们，国王有能力满足发明者的要求吗？ 引导学生写出各个格子里的麦粒数依次为： 1，2，,2,2,2432 ……，632 （1） 于是发明者要求的麦粒总数是 情境2：某人从银行贷款10000元人民币，年利率为r ，若此人一年后还款，二年后还款，三年后还款，……，还款数额依次满足什么规律？ 10000(1+r),100002)1(r +,100003)1(r +,…… （2） 情境3：将长度为1米的木棒取其一半，将所得的一半再取其一半，再将所得的木棒继续取其一半，……各次取得的木棒长度依次为多少？,8 1,41,21…… （3） 问：你能算出第7次取一半后的长度是多少吗？观察、归纳、猜想得7)2 1( 2、自主探究，找出规律： 学生对数列（1），（2），（3）分析讨论，发现共同特点：从第二项起，每一项与前一项的比都等于同一常数。也就是说这些数列从第二项起，每一项与前一项的比都具有“相等”的特点。于是得到等比数列的定义： 一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公比，公比常用字母q )0(≠q 表示，即1:(,2,0)n n a a q n N n q -=∈≥≠。 如数列（1），（2），（3）都是等比数列，它们的公比依次是2，1+r,2 1 点评：等比数列与等差数列仅一字之差，对比知从第二项起，每一项与前一项之“差”为常数，则为等差数列，之“比”为常数，则为等比数列，此常数称为“公差”或“公比”。 ??????23631+2+2+2++2
1.1.1角的概念的推广（学案） 班级姓名 一、学习目标： 1. 理解“旋转”定义角的概念，掌握“正角”、“负角”、“零角”的意义． 2. 理解终边相同的角的意义，掌握与α角终边相同的角(包括α角)的表示方法. 二、学习重点： 理解并掌握正角、负角和零角的定义，掌握终边相同的角的表示方法. 一、课前预习： 1.角的概念的推广 （１）“旋转”形成角 在平面内，角可以看做是一条射线绕着它的端点旋转而成的图形.旋转起始时的射线叫做角的，终止时的射线叫做角的，射线的端点叫做角的 . （２）角的表示方法：①常用字母A，B，C等表示；②也可以用字母α、β、γ等表示； ③特别是当角作为变量时，常用字母x表示. （３）“正角”、“负角”与“零角” 按逆时针方向旋转所得到的角为，如图1-1中，α为正角；而按顺时针方向旋转所得到的角为，如图1-2中，β为负角.我们还规定：当一条射线没有旋转时，也把 α=?. 它看成一个角，叫做 .这样，零角的始边和终边重合.如果角α是零角，那么0 2.象限角与象限界角 为了讨论问题的方便，我们总是把任意大小的角放到平面直角坐标系内加以讨论，具体做法是：（1）使角的顶点和坐标重合；（2）使角的始边和x轴重合.这时，角的终边落在第几象限，就说这个角是的角（有时也称这个角属于第几象限）；如果这个角的终边落在坐标轴上，那么这个角就叫做
3．与α有相同终边的角，连同α在内可以表示为 二、预习自测： 1.一昼夜时针转过多少度？ 2.跳水运动员后滚翻两周半跳水，转过多少度？ 3.下列各角中，与-1050°的角终边相同的角是 B. - A 60 . 60 - ? ? C30 ? ?30 D 4.将-885°化为α+ k·360°(0°＜α＜360°，k∈Z)的形式是 A.-165°+ (-2)·360° B.195°+ (-3)·360° C. 195°+ (-2)·360° D.165°+ (-3)·360° 5.下列命题中正确的是 A.第一象限角一定不是负角 B.小于90°的角一定是锐角 C.钝角一定是第二象限角 D.终边相同的角一定相等 6.若α是锐角，则180°－α是 A.第一象限角 B.第二角限角 C.第三象限角 D.第四象限角 三、合作探究 合作探究一：角概念的理解 锐角是第几象限角？第一象限的角都是锐角吗？ 例1.射线OA绕端点O顺时针旋转80o到OB位置，接着逆时针旋转250o到OC位置，然后 ∠大小. 再顺时针旋转270o到OD位置，求AOD 合作探究二：象限角的理解 如果α是第一象限的角，那么α的取值范围可以表示为怎样的不等式？其它几个象限呢？一____________________________________________________ 二______________________________________________________ 三______________________________________________________ 四_______________________________________________________ 合作探究三：轴线角的理解
等比数列通项公式及性 质练习 Company Document number：WUUT-WUUY-WBBGB-BWYTT-1982GT
等比数列通项公式及性质 1．若等比数列的首项为98，公比为23，3 1 n a ，则该数列的项数为( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 2．在等比数列{a n }中，a 2 010＝8a 2 007，则公比q 的值为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．8 3．已知等比数列{a n }满足a 1＋a 2＝3，a 2＋a 3＝6，则a 7＝( ) A ．64 B ．81 C ．128 D ．243 4．已知等比数列{a n }的公比为正数，且a 3·a 9＝2a 25，a 2＝1，则a 1等于( ) D ．2 5．已知等比数列{a n }，a 4＝7，a 6＝21，则a 8等于( ) A ．35 B ．63 C ．21 3 D ．±21 3 6．在等比数列{a n }中，a 1＝1，公比|q |≠1，若a m ＝a 1a 2a 3a 4a 5，则m ＝( ) A ．9 B ．10 C ．11 D ．12 7．已知各项均为正数的等比数列{a n }中，a 1a 2a 3＝5，a 7a 8a 9＝10，则a 4a 5a 6＝( ) A ．5 2 B ．7 C ．6 D ．4 2 8.等比数列{a n }的各项均为正数，公比为q ，若q 2＝4，则a 3＋a 4a 4＋a 5 的值为( ) B ．±12 C ．2 D ．±2 9．(2012·新课标全国卷)已知{a n }为等比数列，a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝－8，则a 1＋a 10＝( ) A ．7 B ．5 C ．－5 D ．－7 10．已知等比数列{a n }中，有a 3a 11＝4a 7，数列{b n }是等差数列，且b 7＝a 7，则b 5＋b 9等于 ( ) A ．2 B ．4 C ．8 D ．16
人教版高中数学《等比数列的概念和通项公式》教案 教案说明： 设计思想：建构主义认为，学习不是知识由教师向学生的传递，而是学生建构自己的知识的过程。学生不是被动的信息吸收者，而是意义的主动建构者，这种建构不可能由其他人代替，而是要把学生现有的知识经验作为新知识的生长点，引导学生从原有的知识经验中“生长”出新的知识经验。教师应该时刻注意让学习任务始终处于学生的“最近发展区”，并提供一定的“支架”和辅导。学生应该在教师的帮助下，发展自己控制学习过程的能力。因此，本节课教师做为学习的引导者，通过同学之间的合作交流激发学生亲身经历数学建构的过程。 教学内容分析：数列是一种特殊的函数，是反映自然规律的基本数学模型，本章对数列的定位是做为一种函数结合数列自身的特点来学习的，在通过实际问题引入数列概念后，使学生体会数列的函数背景，感受数列是研究现实问题情景的数学模型。等比数列做为特殊的数列也是函数，实际上就是指数函数，是反映自然规律的重要的数学模型之一，与等差数列一样在现实生活中也有广泛的应用。因此，数列是高中数学的重要内容，同时也是高考重点考察的内容。等比数列是在等差数列学习的基础上进行的，对应指数函数的模型，因此对思维能力有更进一步的要求。一方面考查等比数列的定义、通项公式、前n项和公式、等比中项及等比数列的性质的灵活运用，这一部分主要考查学生的运算能力，逻辑思维能力以及分析问题和解决问题的能力，其中考查思维能力是支柱，运算能力是主体，应用是归宿；另一方面常和函数、不等式、方程、解析几何、立体几何等相关内容交汇在一起综合，加以导数和向量等新增内容，使数列题更有了施展的舞台；因此,这类题目从已知条件给出的信息,求解目标需求的信息,解题过程所用的方法都相当丰富,并且对于考查逻辑推理, 演绎证明,运算求解,归纳抽象等理性思维能力以及数学联结能力都是很好的素材.等比数列的概念和通项公式做为等比数列学习的基础，更起到至关重要的作用。 本节课的教法特点：学生对等差数列的定义和基本性质都已经有了初步的理
《角的概念的推广》一一教学设计 一、教材分析 1、地位与作用 我校使用的是高等教育出版社由李广全、李尚志编写的基础模块《数学》教材。角的概念的推广来自本教材的第五章的第一节。这节课主要内容是角的概念的推广，首先通过生产、生活的实际例子阐明了推广角的必要性和实际意义，然后又以“动”的观点给出了正、负、零角的概念，最后引入了象限角的概念。本节课的学习具有以下必要性： 1、在实际生活中应用广泛。 2、是前面所学函数类型的延伸。 3、是描述旋转运动和周期性现象的重要特征量。 4、是专业的重要学习工具。 2、课时安排 5.1.1节：任意角的概念的推广，45分钟。 3、教学目标 知识目标：掌握用旋转定义角的概念；理解并掌握“正角”、“负角”、“象限角”的含义，培养学生用运动变化观点审视事物。 能力目标：通过布置课前任务一一培养学生的自学能力； 通过让学生讨论、讲解一一锻炼学生的语言表达能力； 通过让学生解决生活中与数学相关的问题一一提高学生分析问 题、解决冋题的能力。 情感目标：通过解决生活中的数学问题一一让学生感悟数学的实用性； 通过小组活动一一培养学生的团队协作意识。 4、教学重点难点 教学重点：理解并掌握正角、负角、零角的定义，掌握象限角的判断方法。 教学难点：旋转方向的观察、象限角的判断。 二、学情分析 学习对象为中职一年级学生，虽然有一定的观察能力，他们普遍对初中数学有恐惧感，数学基础普遍较差；学生重视专业课，忽视基础课的学习；学生对新内容的学习有一定的兴趣和积极性，但缺乏耐心和恒心。
三、教学策略选择与设计 针对职业学校学生、学科特点，更多的学习活动设计将以观察、识别、分析、判断、讨论为主线，以掌握方法、步骤为目标，让学生更能体会到数学的实用性。引入正角、负角、零角的定义，象限角的概念。树立运动变化的观点，理解静是相对的，动是绝对的，并由此深刻理解推广后的角的概念。 教学过程是教师和学生共同参与的过程，启发学生自主性学习，充分调动学生的积极性、主动性；有效地渗透数学思想方法，提高学生素质。根据这样的原则和所要完成的教学目标，并为激发学生的学习兴趣，我采用如下的教学策略： （1）引导发现法。通过已学过角的定义来发现角的概念是可以推广的。 （2）任务驱动法。通过实际问题，使角的推广变得更为必要，如螺丝扳手紧固螺丝、时针与分针、车轮的旋转等等，都能形成角的概念，给学生以直观的印象，形成正角、负角、零角的概念，突出角的概念的理解与掌握。 （3）多媒体法。通过讲解、归纳、概括来介绍角的有关要概念，通过练习来达到巩固知识、突出重点、解决难点。 教给学生方法比教给学生知识更重要，本节课注重调动学生积极思考、主动探索，尽可能地增加学生参与教学活动的时间和空间，我进行了以下学法指导： （1）分类学习法：了解数学知识是有规律可循的，要弄清角的分类及分类的方法。 （2）合作学习法：通过分组合作让学生学会观察、分析和解决问题。
一、选择题： 1.在等比数列{a n }中，如果a 6=6，a 9=9，那么a 3等于 （） A ．4 B ． 2 3 C ． 9 16 D ．2 2．已知等比数列{}n a 中，公比2q =，且30123302a a a a ????=L ，那么36930a a a a ????L 等于 A ．102 B ．202 C ．162 D ．152 二、填空题： 3.等比数列{an}中,a 1=2,a 9=32,则q=. 4.已知一个等比数列的第5项是 94，公比是－31 ，它的第1项是. 5．在等比数列{a n }中，已知a 1=2 3 ，a 4=12，则q =_________，a n =______． 6.在81和３中间插入2个数和，使这4个数成等比数列． 7．在等比数列{a n }中，a n ＞0，且a n ＋2=a n ＋a n ＋1，则该数列的公比q =____． 8．在等比数列{}n a 中，3620,160a a ==，则n a =． 9.等比数列中，首项为98，末项为13，公比为23 ，则项数n 等于. 10.在等比数列中，n a >0，且21n n n a a a ++=+，则该数列的公比q 等于. 11.等比数列{}n a 中，已知12324a a +=，3436a a +=，则56a a += 12.数列{a n }中，a 1，a 2－a 1，a 3－a 2，…，a n －a n －1…是首项为1、公比为3 1 的等比数列，则a n 等于。 三、解答题： 13.在等比数列{a n }中， (1)已知{}n a 是递增的等比数列，,4,2342=-=a a a 则{}n a 的公比q ，及通项公式n a （2）已知n a a a a a n 求,2 1 ,18,367463= =+=+ 14．已知数列满足a 1=1，a n ＋1=2a n ＋1(n ∈N*) (1) 求证数列{a n ＋1}是等比数列； (2) 求{a n }的通项公式． 15.一个等比数列{}n a 中，701333241=+=+a a a a ，，求这个数列的通项公式。 一、选择题 1．在数列55,34,21,,8,5,3,2,1,1x 中，x 等于（）
等比数列的概念 亳州三中 范图江 一、教学目标 1、 体会等比数列特性，理解等比数列的概念。 2、 能根据定义判断一个数列是等比数列，明确一个数列是等比数列的限定条件。 3、 能够运用类比的思想方法得到等比数列的定义,会推导出等比数列的通项公式。 二、教学重点、难点 重点：等比数列定义的归纳及应用，通项公式的推导。 难点：正确理解等比数列的定义，根据定义判断或证明某些数列为等比数列，通项公式的推导。 三、教学过程 1、 导入 复习等差数列的相关内容: 定义：*1,()n n a a d n N +-=∈ 通项公式：()*1(1),n a a n d n N =+-∈ 等差数列只是数列的其中一种形式，现在来看这两组数列1、2、4、8……， 1、1 2、14、18 …… 问：这两组数列中，各组数列的各项之间有什么关系？ 2、 探究发现，建构概念 问：与等差数列的概念相类比，可以给出这种数列的概念吗？是什么？ <1>定义：如果一个数列从地2项起，每一项与前一项的比值都等于同一个常数，则称此数列为的不过比数列。这个常数就叫做公比，用q 表示。 <2>数学表达式：*1,()n n a q n N a +=∈ 问：从等比数列的定义及其数学表达式中，可以看出什么？也就是，这个公式在什么条件下成立？ 结论1 等比数列各项均不为零，公比0q ≠。 带领学生看45P 页的实例，目的是让学生知道等比数列在现实生活中的应用，从而知道其重要性。 3、 运用概念 例1 判断下列数列是否为等比数列： （1）1、1、1、1、1； （2）0、1、2、4、8； （3）1、11 1124816 -、、-、.
5.1 角的概念的推广 【教学目标】 1．理解正角、负角、终边相同的角、第几象限的角等概念，掌握角的加减运算． 2．通过观察实例，使学生认识角的概念推广的可能性和必要性，树立运动变化的观点，并由此深刻理解任意角的概念． 3．通过教学，使学生进一步体会数形结合的思想． 【教学重点】 理解任意角（正角、负角、零角）、终边相同的角、第几象限的角的概念，掌握终边相同的角的表示方法和判定方法． 【教学难点】 任意角和终边相同的角的概念． 【教学方法】 本节采用教师引导下的讨论法，结合多媒体课件，带领学生发现旧概念的不足之处，进而探索新的概念．讲课过程中，紧扣“旋转”两个字，让学生在动手画图的过程中深刻理解任意角的概念． 环节教学内容师生互动设计意图 复习导入1．复习初中学习过的角的定义． 2．提出新问题： 运动员掷链球时，旋转方向可以 是逆时针也可以是顺时针，旋转量也不 止一个平角，那如何来度量角的大小 呢？ 师：初中学过的角的定义是 什么？ 生：在平面内，角可以看作 一条射线绕着它的端点旋转而 成的图形． 师：如图： ∠AOB=∠BOA=120 ， B 初中时的角不考虑旋转方 向，只考虑旋转的绝对量 而且角的范围在0~360°． 复习旧知，使学生 发现旧知识的局限性， 激发学习新知识的兴 趣． 新课1．任意角的概念． （1）射线的旋转方向： 逆时针方向——正角； 顺时针方向——负角； 没有旋转——零角． 画图时，常用带箭头的弧来表示旋 转的方向和旋转的绝对量．旋转生成的 角，又常称为转角． 教师画图说明正角，负角， 零角，以及角的始边、终边. 教师小结：由旋转方向的 不同定义正负角，由旋转量的不 同得到任意范围内的角．
数学学科导学案 教师寄语：做对国家有用的人 课题：数列的概念和通项公式 班级17级姓名陈兆侠组别二年级一、学习目标： （3）对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的一个通项公式．2.过程与方法：理解数列的定义，表示法，分类，初步学会求数列通项公式的方法。 3.情感态度价值观：提高观察，分析能力，理解从特殊到一般，从一般到特殊思想。 二、学习重、难点： 重点：了解数列的概念及其表示方法，会写出简单数列的通项公式难点：数列与函数关系的理解，用归纳法写数列的通项三、学习过程【导、探、议、练】 导 知识点一：数列及其有关概念 思考1：数列1,2,3与数列3,2,1是同一个数列吗？ 思考2：数列的记法和集合有些相似，那么数列与集合的区别是什么？ 梳理:(1)按照________排列的________称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的_____.数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的__________(通常也叫做______)，排在第二位的数称为这个数列的……排在第n位的数称为这个数列的__________. (2) 数列的一般形式可以写成，简记为_________. 知识点二：通项公式 思考1:数列1,2,3,4，…的第100项是多少？你是如何猜的？ 思考 2 数列的通项公式a n＝f(n)与函数解析式y＝f(x)有什么异 1.知识与能力： （1）理解数列及其有关概念； （2）理解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项；
同？ (2)按项的大小变化分类，从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列叫做___________；从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列叫做；各项相等的数列叫做；从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列叫做_____________. 探、议 （一）自主探究 类型一:由数列的前几项写出数列的一个通项公式 例1 写出下列数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数： (1)5,10,15,20,… (2)1 2 ， 4 1 ， 6 1 ， 8 1 ,… (3)-1,1,-1,1,… 跟踪训练1 写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数： (1) 1 1×2 ， 1 2×3 ， 1 3×4 ， 1 4×5 ,… (2) 22－1 2 ， 32－1 3 ， 42－1 4 ， 52－1 5 ,… (3) 2 1 , 4 3 , 6 5 , 8 7 ,… 类型二:数列的通项公式的应用 例2 已知数列{a n}的通项公式a n＝ N 2 1 ， n∈N*. (1)写出它的第5项； (2)判断 64 1 是不是该数列中的项，是，是第几项？ 例3 判断16和45是否为数列} {1 3+ n中的项，如果是，请指出是第几项？ 跟踪训练2 已知数列{a n}的通项公式为a n＝ 1 n(n＋2) (n∈N*)，那么1 120 是这个数列的第______项． 知识点三:数列的分类 思考:对数列进行分类，可以用什么样的分类标准？ 梳理:(1)按项数分类，项数有限的数列叫做__________数列，项数无限的数列叫做__________数列．
等比数列的通项公式 例1 已知{a n}为等比数列， 求证：当m＋n=p＋l时 a m·a n=a p·a l 证明： 设等比数列的首项a1，公比为q， ∵m＋n=p＋l ∴a m·a n=a p·a l得证． 评注： 本题证明过程并不难，但结论：等比数列中，下标之和相等则对应项之积相等，这在解决有关等比数列的问题时常使解决的过程变得很简捷． 例2 在等比数列{a n}中 (1)已知：a1＋a2＋a3=6，a2＋a3＋a4=－3，求a3＋a4＋a5＋a6＋a7＋a8的值； (2)已知a1＋a2＋a3＋a4＋a5=31，a2＋a3＋a4＋a5＋a6=62，求通项a n． 分析：利用等比数列的定义和性质整体观察． 解 (1)不难看出a1＋a2＋a3，a2＋a3＋a4，a3＋a4＋a5，a4＋a5＋a6，a5＋a6＋a7，a6＋a7＋a8成等比数列，且公比为q(即数列{a n}的公比)．
设为{A n}，即A1=6，A2=－3， (2)由已知可以看到 ∴a1(1＋2＋4＋8＋16)＝31，a1=1 ∴a n=2n-1． 评注： 以上二题均可用列方程和方程组解决，但掌握等比数列有关性质整体考虑问题会使运算更简捷． 例3 在各项均为正数的等比数列{a n}中，若a5a6=9，则log3a1＋log3a2＋…＋log3a10= [ ] A．12 B．10 C．8 D．2＋log35 解： 根据等比中项的性质， a5a6=a1a10=a2a9=a3a8=a4a7=9．
∴a1a2…a9a10＝(a5a6)5=95． ∴log3a1＋log3a2＋…＋log3a10 =log3(a1a2 (10) =log395 =5log39 =10． 故正确答案为(B)． 评注： (1)应用等比中项求解某些等比数列问题，简便快捷． (2)对等比数列{a n}，有以下结论： 例4 若{a n}为等比数列，且a n＞0，已知a5a6=128 则log2a1＋log2a2＋…＋log2a10的值为 [ ] A．5 B．28 C．35 D．40