A
C
21.1 二次根式教案
教学内容
二次根式的概念及其运用 教学目标
a ≥0）的意义解答具体题目． 提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题． 教学重难点关键
1
a ≥0）的式子叫做二次根式的概念； 2
a ≥0）”解决具体问题． 教学过程
一、复习引入
（学生活动）请同学们独立完成下列三个问题： 问题1：已知反比例函数y=
3
x
，那么它的图象在第一象限横、?纵坐标相等的点的坐标是___________． 问题2：如图，在直角三角形ABC 中，AC=3，BC=1，∠C=90°，那么AB 边的长是__________．
问题3：甲射击6次，各次击中的环数如下：8、7、9、9、7、8，那么甲这次射击的方差是S 2
，那么S=_________． 老师点评：
问题1：横、纵坐标相等，即x=y ，所以x 2
=3．因为点在第一象限，所以
．
问题2：由勾股定理得
问题3：由方差的概念得
二、探索新知
a ≥0）?的式子叫做二次根式，
号．
（学生活动）议一议： 1．-1有算术平方根吗？ 2．0的算术平方根是多少？ 3．当a<0
老师点评:（略）
例11
x
x>0）
1
x y
+x ≥0，y?≥0）．
分析；第二，被开方数是正数或0．
x>0）x ≥0，y ≥0）1
x 1x y
+．
例2．当x
分析：由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或等于0，所以3x-1≥0，才能有意义． 解：由3x-1≥0，得：x ≥1
3
当x ≥
1
3
在实数范围内有意义． 三、巩固练习
教材P 练习1、2、3． 四、应用拓展
例3．当x 1
1
x +在实数范围内有意义？
分析11x +中的≥0和11
x +中的x+1≠0．
解：依题意，得230
10x x +≥??+≠?
由①得：x ≥-
3
2 由②得：x ≠-1
当x ≥-32且x ≠-11
1
x +在实数范围内有意义．
例4(1)已知，求
x
y
的值．(答案:2)
(2)，求a
2004
+b 2004
的值．(答案:
25
) 五、归纳小结（学生活动，老师点评） 本节课要掌握：
1a ≥0）的式子叫做二次根式，
2．要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数是非负数． 六、布置作业
1．见卷子 2．选用课时作业设计． 3.课后作业:《同步训练》第一课时作业设计
一、选择题
1．下列式子中，是二次根式的是（）
A．
．x
2．下列式子中，不是二次根式的是（）
A
．
1
x
3．已知一个正方形的面积是5，那么它的边长是（）
A．5 B
．
1
5
D．以上皆不对
二、填空题
1．形如________的式子叫做二次根式．
2．面积为a的正方形的边长为________．
3．负数________平方根．
三、综合提高题
1．某工厂要制作一批体积为1m3的产品包装盒，其高为0.2m，按设计需要，?底面应做成正方形，试问底面边长应是多少？
2．当x
+x2在实数范围内有意义？
3
．
4.
x有（）个．
A．0 B．1 C．2 D．无数
5.已知a、b
=b+4，求a、b的值．
第一课时作业设计答案: 一、1．A 2．D 3．B
二、1
a≥0） 2
．没有
三、1．设底面边长为x，则0.2x2=1，解答：
2．依题意得：
230
x
x
+≥
?
?
≠
?
，
3
2
x
x
?
≥-
?
?
?≠
?
∴当x>-3
2
且x≠0
＋x2在实数范围内没有意义．
3.1 3
4．B
21.1 二次根式教案
教学内容
1a≥0）是一个非负数；
2．2=a（a≥0）．
教学目标
a≥02=a（a≥0），并利用它们进行计算和化简．
a≥0）是一个非负数，用具体数据结合算术
2=a（a≥0）；最后运用结论严谨解题．
教学重难点关键
1a≥0）是一个非负数；2=a（a≥0）及其运用．
2a≥0）是一个非负数；?2=a
（a≥0）．
教学过程
一、复习引入
（学生活动）口答
1．什么叫二次根式？
2．当a≥0a<0
老师点评（略）．
二、探究新知
议一议：（学生分组讨论，提问解答）
a≥0）是一个什么数呢？
老师点评：根据学生讨论和上面的练习，我们可以得出
做一做：根据算术平方根的意义填空：
2=_______；2=_______；2=______；2=_______；
2=______；2=_______；2=_______．
44的非负数，因此
2=4．
同理可得：2
=2，2
=9，2
=3，2=13，2=72，2
=0，所以
例1 计算
1．2 2．（2
3．2 4．（2）
2
分析：我们可以直接利用（2
=a （a ≥0）的结论解题．
解：2 =32，（2 =3222=32
25=45，
2=56，）27
4=．
三、巩固练习
计算下列各式的值：
2
2 2 2
（ 2
22-
四、应用拓展
例2 计算
1．2
（x ≥0） 2．2
3．2
4． 2
分析：（1）因为x ≥0，所以x+1>0；（2）a 2
≥0；（3）a 2
+2a+1=（a+1）≥0；
三、巩固练习
教材P 19 练习1、2． 四、应用拓展
例3．已知4x 2
+y 2
-4x-6y+10=0，求（
2
3+y -（x ）的值． 分析：本题首先将已知等式进行变形，把它配成完全平方式，得（2x-1）2
+（y-3）2
=0，即x=
1
2
，y=3．其次，根据二次根式的加减运算，先把各项化成最简二次根式，?再合并同类二次根式，最后代入求值．
解：∵4x 2+y 2
-4x-6y+10=0
∵4x 2-4x+1+y 2
-6y+9=0
∴（2x-1）2+（y-3）2
=0
∴x=1
2
，y=3
原式=2
3
+y
当x=1
2
，y=3时，
原式=1 2
五、归纳小结
本节课应掌握：（1）不是最简二次根式的，应化成最简二次根式；（2）相同的最简二次根式进行合并．
六、布置作业
1．教材P21习题21．3 1、2、3、5．
2．选作课时作业设计．
3.课后作业:《同步训练》
第一课时作业设计
一、选择题
所以上面的4题都可以2=a（a≥0）的重要结论解题．
解：（1）因为x≥0，所以x+1>0
2=x+1
（2）∵a2≥02=a2
（3）∵a2+2a+1=（a+1）2
又∵（a+1）2≥0，∴a2+2a+1≥0 2+2a+1
（4）∵4x2-12x+9=（2x）2-222x23+32=（2x-3）2
又∵（2x-3）2≥0
∴4x2-12x+9≥02=4x2-12x+9
例3在实数范围内分解下列因式:
（1）x2-3 （2）x4-4 (3) 2x2-3
分析：(略)
五、归纳小结
本节课应掌握：
1a≥0）是一个非负数；
2．2=a（a≥0）;反之:a=2（a≥0）．
六、布置作业
1．见卷子
2．选用课时作业设计． 3.课后作业:《同步训练》 第二课时作业设计 一、选择题
1 ）． A ．4 B ．3 C ．
2 D ．1
2．数a 没有算术平方根，则a 的取值范围是（ ）． A ．a>0 B ．a ≥0 C ．a<0 D ．a=0 二、填空题
1．（2
=________．
2_______数． 三、综合提高题 1．计算
（1）2
（2）-2
（3）（
1
2
）2 （4）
（ 2
(5) 2．把下列非负数写成一个数的平方的形式: （1）5 （2）3.4 （3）
1
6
（4）x （x ≥0）
3=0，求x y 的值．
4．在实数范围内分解下列因式:
三、巩固练习
教材P 19 练习1、2． 四、应用拓展
例3．已知4x 2
+y 2
-4x-6y+10=0，求（
2
3+y -（x ）的值． 分析：本题首先将已知等式进行变形，把它配成完全平方式，得（2x-1）2
+（y-3）2
=0，即x=
1
2
，y=3．其次，根据二次根式的加减运算，先把各项化成最简二次根式，?再合并同类二次根式，最后代入求值．
解：∵4x 2+y 2
-4x-6y+10=0
∵4x 2-4x+1+y 2
-6y+9=0
∴（2x-1）2+（y-3）2
=0 ∴x=
1
2
，y=3
原式=
2
3+y
当x=
1
2
，y=3时，
原式=
124
五、归纳小结
本节课应掌握：（1）不是最简二次根式的，应化成最简二次根式；（2）相同的最简二次根式进行合并． 六、布置作业
1．教材P 21 习题21．3 1、2、3、5．
2．选作课时作业设计． 3.课后作业:《同步训练》 第一课时作业设计 一、选择题
三、巩固练习
教材P 19 练习1、2． 四、应用拓展
例3．已知4x 2
+y 2
-4x-6y+10=0，求（
2
3+y -（x ）的值．
分析：本题首先将已知等式进行变形，把它配成完全平方式，得（2x-1）2
+（y-3）2
=0，即x=
1
2
，y=3．其次，根据二次根式的加减运算，先把各项化成最简二次根式，?再合并同类二次根式，最后代入求值．
解：∵4x 2+y 2
-4x-6y+10=0
∵4x 2-4x+1+y 2
-6y+9=0
∴（2x-1）2+（y-3）2
=0 ∴x=
1
2
，y=3
原式=
2
3
+y
当x=
1
2
，y=3时，
原式=
124
五、归纳小结
本节课应掌握：（1）不是最简二次根式的，应化成最简二次根式；（2）相同的最简二次根式进行合并． 六、布置作业
1．教材P 21 习题21．3 1、2、3、5．
2．选作课时作业设计． 3.课后作业:《同步训练》 第一课时作业设计 一、选择题
三、巩固练习
教材P 19 练习1、2． 四、应用拓展
例3．已知4x 2
+y 2
-4x-6y+10=0，求（
2
3+y -（x ）的值． 分析：本题首先将已知等式进行变形，把它配成完全平方式，得（2x-1）2
+（y-3）2
=0，即x=
1
2
，y=3．其次，根据二次根式的加减运算，先把各项化成最简二次根式，?再合并同类二次根式，最后代入求值．
解：∵4x 2+y 2
-4x-6y+10=0
∵4x 2-4x+1+y 2
-6y+9=0
∴（2x-1）2+（y-3）2
=0 ∴x=
1
2
，y=3
原式=
2
3
+y
当x=
1
2
，y=3时，
原式=
12 五、归纳小结
本节课应掌握：（1）不是最简二次根式的，应化成最简二次根式；（2）相同的最简二次根式进行合并． 六、布置作业
1．教材P 21 习题21．3 1、2、3、5．
2．选作课时作业设计． 3.课后作业:《同步训练》 第一课时作业设计
一、选择题
三、巩固练习
教材P 19 练习1、2． 四、应用拓展
例3．已知4x 2
+y 2
-4x-6y+10=0，求（
2
3+y -（x ）的值． 分析：本题首先将已知等式进行变形，把它配成完全平方式，得（2x-1）2
+（y-3）2
=0，即x=
1
2
，y=3．其次，根据二次根式的加减运算，先把各项化成最简二次根式，?再合并同类二次根式，最后代入求值．
解：∵4x 2+y 2
-4x-6y+10=0
∵4x 2-4x+1+y 2
-6y+9=0
∴（2x-1）2+（y-3）2
=0 ∴x=
1
2
，y=3
原式=
2
3
+y
当x=
1
2
，y=3时，
原式=
12 五、归纳小结
本节课应掌握：（1）不是最简二次根式的，应化成最简二次根式；（2）相同的最简二次根式进行合并． 六、布置作业
1．教材P 21 习题21．3 1、2、3、5．
2．选作课时作业设计． 3.课后作业:《同步训练》 第一课时作业设计 一、选择题
三、巩固练习
教材P 19 练习1、2． 四、应用拓展
例3．已知4x 2
+y 2
-4x-6y+10=0，求（
2
3+y -（x ）的值．
分析：本题首先将已知等式进行变形，把它配成完全平方式，得（2x-1）2
+（y-3）2
=0，即x=
1
2
，y=3．其次，根据二次根式的加减运算，先把各项化成最简二次根式，?再合并同类二次根式，最后代入求值．
解：∵4x 2+y 2
-4x-6y+10=0
∵4x 2-4x+1+y 2
-6y+9=0
∴（2x-1）2+（y-3）2
=0 ∴x=
1
2
，y=3
原式=
2
3
+y
当x=
1
2
，y=3时，
原式=
124
五、归纳小结
本节课应掌握：（1）不是最简二次根式的，应化成最简二次根式；（2）相同的最简二次根式进行合并． 六、布置作业
1．教材P 21 习题21．3 1、2、3、5．
2．选作课时作业设计． 3.课后作业:《同步训练》 第一课时作业设计 一、选择题
三、巩固练习
教材P 19 练习1、2． 四、应用拓展
例3．已知4x 2
+y 2
-4x-6y+10=0，求（
2
3+y -（x ）的值． 分析：本题首先将已知等式进行变形，把它配成完全平方式，得（2x-1）2
+（y-3）2
=0，即x=
1
2
，y=3．其次，根据二次根式的加减运算，先把各项化成最简二次根式，?再合并同类二次根式，最后代入求值．
解：∵4x 2+y 2
-4x-6y+10=0
∵4x 2-4x+1+y 2
-6y+9=0
∴（2x-1）2+（y-3）2
=0 ∴x=
1
2
，y=3
原式=
2
3+y
当x=
1
2
，y=3时，
原式=
124
五、归纳小结
本节课应掌握：（1）不是最简二次根式的，应化成最简二次根式；（2）相同的最简二次根式进行合并． 六、布置作业
1．教材P 21 习题21．3 1、2、3、5．
2．选作课时作业设计． 3.课后作业:《同步训练》 第一课时作业设计 一、选择题
三、巩固练习
教材P 19 练习1、2． 四、应用拓展
例3．已知4x 2
+y 2
-4x-6y+10=0，求（
2
3+y -（x ）的值．
分析：本题首先将已知等式进行变形，把它配成完全平方式，得（2x-1）2
+（y-3）2
=0，即x=
1
2
，y=3．其次，根据二次根式的加减运算，先把各项化成最简二次根式，?再合并同类二次根式，最后代入求值．
解：∵4x 2+y 2
-4x-6y+10=0
∵4x 2-4x+1+y 2
-6y+9=0
∴（2x-1）2+（y-3）2
=0 ∴x=
1
2
，y=3
原式=
2
3
+y
当x=
1
2
，y=3时，
原式=
124
五、归纳小结
本节课应掌握：（1）不是最简二次根式的，应化成最简二次根式；（2）相同的最简二次根式进行合并． 六、布置作业
1．教材P 21 习题21．3 1、2、3、5．
2．选作课时作业设计． 3.课后作业:《同步训练》 第一课时作业设计 一、选择题
三、巩固练习
教材P 19 练习1、2． 四、应用拓展
例3．已知4x 2
+y 2
-4x-6y+10=0，求（
2
3+y -（x ）的值． 分析：本题首先将已知等式进行变形，把它配成完全平方式，得（2x-1）2
+（y-3）2
=0，即x=
1
2
，y=3．其次，根据二次根式的加减运算，先把各项化成最简二次根式，?再合并同类二次根式，最后代入求值．
解：∵4x 2+y 2
-4x-6y+10=0
∵4x 2-4x+1+y 2
-6y+9=0
∴（2x-1）2+（y-3）2
=0 ∴x=
1
2
，y=3
原式=
2
3
+y
当x=
1
2
，y=3时，
原式=
12 五、归纳小结
本节课应掌握：（1）不是最简二次根式的，应化成最简二次根式；（2）相同的最简二次根式进行合并． 六、布置作业
1．教材P 21 习题21．3 1、2、3、5．
2．选作课时作业设计． 3.课后作业:《同步训练》 第一课时作业设计
一、选择题
21.1 二次根式教案
教学内容
a （a ≥0） 教学目标
（a ≥0）并利用它进行计算和化简．
（a ≥0），并利用这个结论解决具体问题． 教学重难点关键
1a （a ≥0）． 2．难点：探究结论．
3．关键：讲清a ≥0a 才成立． 教学过程
一、复习引入
老师口述并板收上两节课的重要内容；
1a ≥0）的式子叫做二次根式；
2a ≥0）是一个非负数；
3．2
＝a （a ≥0）．
那么，我们猜想当a ≥0是否也成立呢？下面我们就来探究这个问题． 二、探究新知
（学生活动）填空：
=_______=______；
． （老师点评）：根据算术平方根的意义，我们可以得到：
=0.01=1102337．
例1 化简
（1（2 （3（4分析：因为（1）9=-32
，（2）（-4）2
=42
，（3）25=52
，
（4）（-3）2=32（a≥0）?去化简．
解：（1（2=4
（3（4
三、巩固练习
教材P7练习2．
四、应用拓展
例2 填空：当a≥0；当a<0，?并根据这一性质回答下列问题．
（1，则a可以是什么数？
（2，则a可以是什么数？
（3，则a可以是什么数？
分析：（a≥0），∴要填第一个空格可以根据这个结论，第二空格就不行，应变形，使“（）
2”中的数是正数，因为，当a≤0-a≥0．
（1）根据结论求条件；（2）根据第二个填空的分析，逆向思想；（3）根据（1）、（2│a │，而│a│要大于a，只有什么时候才能保证呢？a<0．
解：（1，所以a≥0；
（2，所以a≤0；
（3）因为当a≥0，，即使a>a所以a不存在；当a<0，，即使-a>a，a<0综上，a<0
例3当x>2
分析：(略)
五、归纳小结
（a≥0）及其运用，同时理解当a<0a的应用拓展．
六、布置作业
1．教材P8习题21．1 3、4、6、8．
2．选作课时作业设计．
3.课后作业:《同步训练》
第三课时作业设计
一、选择题
1是（）．
A ．0
B ．
23 C ．42
3
D ．以上都不对
2．a ≥0它们的结果，下面四个选项中正确的是（ ）．
A
C ．- 二、填空题
1．．
2．若m 的最小值是________． 三、综合提高题
1．先化简再求值：当a=9时，求如下：
甲的解答为：原式=a+（1-a ）=1；
乙的解答为：原式=a+（a-1）=2a-1=17．
两种解答中，_______的解答是错误的，错误的原因是__________．
2．若│1995-a │，求a-19952
的值．
（提示：先由a-2000≥0，判断1995-a?的值是正数还是负数，去掉绝对值）
3. 若-3≤x ≤2时，试化简│x-2│ 答案:
一、1．C 2．A
二、1．-0．02 2．5
三、巩固练习
教材P 19 练习1、2． 四、应用拓展
例3．已知4x 2
+y 2
-4x-6y+10=0，求（
2
3+y -（x ）的值． 分析：本题首先将已知等式进行变形，把它配成完全平方式，得（2x-1）2
+（y-3）2
=0，即x=
1
2
，y=3．其次，根据二次根式的加减运算，先把各项化成最简二次根式，?再合并同类二次根式，最后代入求值．
解：∵4x 2+y 2
-4x-6y+10=0
∵4x 2-4x+1+y 2
-6y+9=0
∴（2x-1）2+（y-3）2
=0
∴x=
1
2
，y=3
原式=
2
3
+y
当x=
1
2
，y=3时，
原式=
12 五、归纳小结
本节课应掌握：（1）不是最简二次根式的，应化成最简二次根式；（2）相同的最简二次根式进行合并． 六、布置作业
1．教材P 21 习题21．3 1、2、3、5．
2．选作课时作业设计． 3.课后作业:《同步训练》 第一课时作业设计 一、选择题
三、巩固练习
教材P 19 练习1、2． 四、应用拓展
例3．已知4x 2
+y 2
-4x-6y+10=0，求（
2
3+y -（x ）的值． 分析：本题首先将已知等式进行变形，把它配成完全平方式，得（2x-1）2
+（y-3）2
=0，即x=
1
2
，y=3．其次，根据二次根式的加减运算，先把各项化成最简二次根式，?再合并同类二次根式，最后代入求值．
解：∵4x 2+y 2
-4x-6y+10=0
∵4x 2-4x+1+y 2
-6y+9=0
∴（2x-1）2+（y-3）2
=0 ∴x=
1
2
，y=3
原式=
2
3
+y
当x=
1
2
，y=3时，
原式=
124
五、归纳小结
本节课应掌握：（1）不是最简二次根式的，应化成最简二次根式；（2）相同的最简二次根式进行合并． 六、布置作业
1．教材P 21 习题21．3 1、2、3、5．
2．选作课时作业设计． 3.课后作业:《同步训练》 第一课时作业设计 一、选择题
所以a ，a-2000=19952
，
所以a-19952
=2000．
3. 10-x
三、巩固练习
教材P 19 练习1、2． 四、应用拓展
例3．已知4x 2
+y 2
-4x-6y+10=0，求（
2
3+y -（x ）的值． 分析：本题首先将已知等式进行变形，把它配成完全平方式，得（2x-1）2
+（y-3）2
=0，即x=
1
2
，y=3．其次，根据二次根式的加减运算，先把各项化成最简二次根式，?再合并同类二次根式，最后代入求值．
解：∵4x 2+y 2
-4x-6y+10=0
∵4x 2-4x+1+y 2
-6y+9=0
∴（2x-1）2+（y-3）2
=0 ∴x=
1
2
，y=3
原式=
2
3
+y
当x=
1
2
，y=3时，
原式=
12
本节课应掌握：（1）不是最简二次根式的，应化成最简二次根式；（2）相同的最简二次根式进行合并． 六、布置作业
1．教材P 21 习题21．3 1、2、3、5．
2．选作课时作业设计． 3.课后作业:《同步训练》 第一课时作业设计 一、选择题
三、巩固练习
教材P 19 练习1、2． 四、应用拓展
例3．已知4x 2
+y 2
-4x-6y+10=0，求（
2
3+y -（x ）的值． 分析：本题首先将已知等式进行变形，把它配成完全平方式，得（2x-1）2
+（y-3）2
=0，即x=
1
2
，y=3．其次，根据二次根式的加减运算，先把各项化成最简二次根式，?再合并同类二次根式，最后代入求值．
解：∵4x 2+y 2
-4x-6y+10=0
∵4x 2-4x+1+y 2
-6y+9=0
∴（2x-1）2+（y-3）2
=0 ∴x=
1
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，y=3
原式=
2
3
+y
当x=
1
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，y=3时，
原式=
12 五、归纳小结
本节课应掌握：（1）不是最简二次根式的，应化成最简二次根式；（2）相同的最简二次根式进行合并． 六、布置作业
1．教材P 21 习题21．3 1、2、3、5．
2．选作课时作业设计． 3.课后作业:《同步训练》 第一课时作业设计 一、选择题
教材P 19 练习1、2． 四、应用拓展
例3．已知4x 2
+y 2
-4x-6y+10=0，求（
2
3+y -（x ）的值． 分析：本题首先将已知等式进行变形，把它配成完全平方式，得（2x-1）2
+（y-3）2
=0，即x=
1
2
，y=3．其次，根据二次根式的加减运算，先把各项化成最简二次根式，?再合并同类二次根式，最后代入求值．
解：∵4x 2+y 2
-4x-6y+10=0
∵4x 2-4x+1+y 2
-6y+9=0
∴（2x-1）2+（y-3）2
=0 ∴x=
1
2
，y=3
原式=
2
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+y
当x=
1
2
，y=3时，
原式=
12 五、归纳小结
本节课应掌握：（1）不是最简二次根式的，应化成最简二次根式；（2）相同的最简二次根式进行合并． 六、布置作业
1．教材P 21 习题21．3 1、2、3、5．
2．选作课时作业设计． 3.课后作业:《同步训练》 第一课时作业设计 一、选择题
三、巩固练习
教材P 19 练习1、2． 四、应用拓展
例3．已知4x 2
+y 2
-4x-6y+10=0，求（
2
3+y -（x ）的值．
分析：本题首先将已知等式进行变形，把它配成完全平方式，得（2x-1）2
+（y-3）2
=0，即x=
1
2
，y=3．其次，根据二次根式的加减运算，先把各项化成最简二次根式，?再合并同类二次根式，最后代入求值．
解：∵4x 2+y 2
-4x-6y+10=0
初三数学知识点 第一章二次根式知识点 1 二次根式：形如a (0≥a )的式子为二次根式； 性质：a （0≥a ）是一个非负数； () ()02 ≥=a a a ； ()02≥=a a a . 2 二次根式的乘除： ()0,0≥≥=?b a ab b a ； ()0,0>≥=b a b a b a . 3 二次根式的加减：二次根式加减时,先将二次根式华为最简二次根式,再将被开方数相同的二次根式进行合并. 4 海伦-秦九韶公式：))()((c p b p p p S ---=,S 是三角形的面积,p 为2 c b a p ++= . 第一章二次根式21.1二次根式练习 一、选择题 1．下列式子中,是二次根式的是（ ） A ． B C D ．x 2．下列式子中,不是二次根式的是（ ） A B C D ． 1x 3．已知一个正方形的面积是5,那么它的边长是（ ） A ．5 B C ． 1 5 D ．以上皆不对 二、填空题 1．形如________的式子叫做二次根式． 2．面积为a 的正方形的边长为________． 3．负数________平方根． 三、综合提高题 1．某工厂要制作一批体积为1m 3的产品包装盒,其高为0.2m,按设计需要,?底面应做成正方形,试问底面边长应是多少？ 2．当x 是多少时2在实数范围内有意义？ 3有意义,．
A ．0 B ．1 C ．2 D ．无数 5.已知a 、b 为实数,求a 、b 的值． 第一章二次根式21.2 二次根式的乘除练习 1. 当0a ≤,0b 时__________=. 2. ,则_____,______m n ==. 3. __________==. 4. 计算： _____________=. 5. ,面积为则长方形的长约为 （精确到0.01）. 6. 下列各式不是最简二次根式的是（ ） 7. 已知0xy ,化简二次根式的正确结果为（ ） C. D. 8. 对于所有实数,a b ,下列等式总能成立的是（ ） A. 2 a b =+a b =+ 22a b =+a b =+ 9. -和- ） A. 32-- B. 32-- C. -=-不能确定 10. 以下说法中不正确的是（ ） A. 它是一个非负数 B. 它是一个无理数 C. 它是最简二次根式 D. 它的最小值为3 11. 计算： () 1()2
第十六章二次根式 教材内容 本单元教学的主要内容： 二次根式的概念；二次根式的加减；二次根式的乘除；最简二次根式． 教学目标 1．知识与技能 （1）理解二次根式的概念． （2a≥0）是一个非负数，2=a（a≥0）（a≥0）． （3a≥0，b≥0） a≥0，b>0）a≥0，b>0）． （4）了解最简二次根式的概念并灵活运用它们对二次根式进行加减． 2．过程与方法 （1）先提出问题，让学生探讨、分析问题，师生共同归纳，得出概念．?再对概念的内涵进行分析，得出几个重要结论，并运用这些重要结论进行二次根式的计算和化简． （2）用具体数据探究规律，用不完全归纳法得出二次根式的乘（除）法规定，?并运用规定进行计算． （3）利用逆向思维，?得出二次根式的乘（除）法规定的逆向等式并运用它进行化简． （4）通过分析前面的计算和化简结果，抓住它们的共同特点，?给出最简二次根式的概念．利用最简二次根式的概念，来对相同的二次根式进行合并，达到对二次根式进行计算和化简的目的． 3．情感、态度与价值观 通过本单元的学习培养学生：利用规定准确计算和化简的严谨的科学精神，经过探索二次根式的重要结论，二次根式的乘除规定，发展学生观察、分析、发现问题的能力． 教学重点 1a≥0a≥0）是一个非负数；2＝a （a≥0）（a≥0）?及其运用． 2．二次根式乘除法的规定及其运用． 3．最简二次根式的概念． 4．二次根式的加减运算． 教学难点 1．对a≥0）是一个非负数的理解；对等式（2＝a（a≥0） （a≥0）的理解及应用． 2．二次根式的乘法、除法的条件限制．
3．利用最简二次根式的概念把一个二次根式化成最简二次根式．单元课时划分 本单元教学时间约需11课时，具体分配如下： 16．1 二次根式 3课时 16．2 二次根式的乘法 3课时 16．3 二次根式的加减 3课时 教学活动、习题课、小结 2课时
第十六章二次根式 课题：16.1二次根式 课型：新授课 教学目标： 1、理解二次根式的定义，会用算术平方根的概念解释二次根式的意义 2、会确定二次根式有意义的条件，知道a(a≥0)是非负数，并会运用会进行二次根式的平方运算， 3、会对被开方数为平方数的二次根式进行化简通过探究()2a和2a所含运 算、运算顺序、运算结果分析，归纳并掌握性质 教学重点： 1.a有意义的条件. 2.a≥0时a≥0的应用. 3.()2a和2a的运算、化简 教学难点： 当a<0时2a的化简 教学过程： 一、复习引入 在七年级实数中，已经用到过简单的二次根式，在本章中将系统地学习二次根式的运算。 二、探究新知 （一）定义及非负性 活动1、填空，完成课本思考1： h 65，S，2， 5 活动2、观察其形式上的共同点，被开方数的共同点，说明各式所表示的共同意
义. 活动3、给出二次根式的定义，介绍二次根式的读法. 活动4、思考下列问题： ①9的运算结果是3，9是不是二次根式？3 是不是？ ②定义中为什么要加a ≥0？若a<0， a 表示什么？有无意义？ ③当 a=0时， a 表示什么？结果是什么？当 a>0时，a 表示什么？可不可能为负数？a (a ≥0)是什么样的数呢？ 例1、当x 是怎样的实数时，下列二次根式有意义？在下列二次根式有意义 的情况下，其运算结果是怎样的实数？ 2-x ， 11 +x ， 32+x 练习：1、课本思考2：当x 是怎样的实数时，2x ，3x 有意义？ 1、若m x -=-2，则x 和m 的取值范围是x_____；m______. 2、已知053=-++y x ，求y x ,的值各是多少？ （二）两个运算性质 活动5、完成课本探究1 活动6、对()2 a 中的运算顺序、运算结果进行分析，归纳出：一个非负数先开方再平方，结果不变. 练习：课本例2 活动7、完成课本探究2 活动8、对2a 中的运算顺序、运算结果进行分析，归纳出：一个非负数先平方 再开方，结果不变；一个负数先平方再开方结果为相反数. 练习：课本例3 补充练习： 1、化简：2)4(-π，2)32(-； 2、直角三角形的三边分别为a ，b ，c ，其中c 为斜边，则式子( )2a -()2 c 与式
二次根式 课题名称二次根式 三维目标 1.了解二次根式的概念; 理解二次根式何时有意义，何时无意义，会在简单情况下求根号内所有含字母的取值范围; 会求二次根式的值; 2.经历二次根式概念的发生过程 3.体验数学符号的美 重点目标形如a（a≥0）的式子叫 做二次根式的概念难点目标利用“a（a≥0）”解决具体 问题 导入示标 1.理解二次根式的概念，并利用a（a≥0）的意义解答具体题目． 2. 提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题． 目标三导学做思一：认真阅读课文例题前面的内容，思考以下几个问题： 1．当a是正数时， a表示a的什么？（算术平方根，即正数a的正的平方根）． 2．当a是零时， a等于什么？，它表示什么？（它表示零的平方根，也叫做零的算术平方根．） 3．当a是负数时， a有没有意义？（没有意义．） 学做思二：x是怎样的实数时，二次根式1 x-有意义？ 解:被开方数x-1≥0，即x≥1． 所以，当x≥1时，二次根式 1 x-有意义． 学做思三：思考2a与（a）2等于什么？ 我们不妨取a的一些值，如2，-2，3，-3，……分别计算对应的a2的值，看看有什么规律. 概括:当a≥0时，2a= ；当a＜0时，2a= ，()() 2 a a a =≥
例 .当x 是多少时，1231x x ++ +在实数范围内有意义？ 例 (1)已知225y x x =-+-+，求 x y 的值． (2)若110a b ++-=，求a 2004 +b 2004的值． 达标检测 1.计算： （4）2=______；（3）2=______； 9=______； 2(4)-=______； 2.x 取什么实数时，下列各式有意义. （1）x 43-； （2）23-x ； （3）2)3(-x ； （4）x x 3443-+- 反思总结 1.知识建构 2.能力提高 3.课堂体验 课后练习
课题：二次根式1 课型:新授 一、学习目标 1、了解二次根式的概念，能判断一个式子是不是二次根式。 2、掌握二次根式有意义的条件。 3、掌握二次根式的基本性质：)0(0≥≥a a 和)0()(2 ≥=a a a 二、学习重点、难点 重点：二次根式有意义的条件；二次根式的性质． 难点：综合运用性质)0(0≥≥a a 和)0()(2 ≥=a a a 。 * 三、学习过程 （一）自学导航（课前预习） （1）已知a x =2 ，那么a 是x 的______;x 是a 的______, 记为_____,a 一定是____数。 （2）4的算术平方根为2，用式子表示为 =__________；正数a 的算术平方根为_______，0的算术平方根为_______；式子)0(0≥≥a a 的意义是 。 （二）合作交流（小组互助） (1)16的平方根是 ； (2)一个物体从高处自由落下，落到地面的时间是t (单位：秒)与开始下落时的高度h (单位：米)满足关系式2 5t h =。如果用含h 的式子表示t ，则t = ； (3)圆的面积为S ，则圆的半径是 ； ` (4)正方形的面积为3-b ，则边长为 。 思考：16， 5h ，π s ,3-b 等式子的实际意义.说一说他们的共同特征. 定义: 一般地我们把形如 a （0≥a ）叫做二次根式，a 叫做_____________。 1、试一试：判断下列各式，哪些是二次根式哪些不是为什么 3，16-，34)0(3 ≥a a ，12+x 2、当a 为正数时 a 指a 的 ，而0的算术平方根是 ，负 4
数 ，只有非负数a 才有算术平方根。所以，在二次根式a 中，字母a 必须满足 , a 才有意义。 3、根据算术平方根意义计算 ： (1) 2 )4( (2) （3）2 )5.0( （4）2 )3 1( > 根据计算结果，你能得出结论： ，其中0≥a , 4、由公式)0()(2≥=a a a ，我们可以得到公式a =2 )(a ,利用此公式可以把任意一 个非负数写成一个数的平方的形式。 如(5)2=5；也可以把一个非负数写成一个数的平方形式，如5=(5)2. 练习：(1)把下列非负数写成一个数的平方的形式： 6 (2)在实数范围内因式分解 72-x 4a 2-11 （三）展示提升（质疑点拨） % 例：当x 是怎样的实数时， 2-x 在实数范围内有意义 解：由02≥-x ，得 2≥x 当2≥x 时，2-x 在实数范围内有意义。 练习：1、x 取何值时，下列各二次根式有意义 ①43-x ③ 2、（1有意义，则a 的值为___________． （2）若 在实数范围内有意义，则x 为（ ）。 " A.正数 B.负数 C.非负数 D.非正数 ________)(2=a 2)3(x --21
.21.2 二次根式的乘除 21．2.1 二次根式的乘法 理解a·b＝ab(a≥0,b≥0),并利用它们进行计算和化简． 由具体数据发现规律,导出a·b＝ab(a≥0,b≥0)并运用它进行计算． 通过探究a·b＝ab(a≥0,b≥0),培养特殊到一般的探究精神,培养学生对事物规律的观察发现能力,激发学生的学习兴趣． 重点 a·b＝ab(a≥0,b≥0)及它的应用． 难点 发现规律,导出a·b＝ab(a≥0,b≥0)． 一、情境引入 1．填空： (1)4×9＝________, 4×9＝________; (2)16×25＝________, 16×25＝________; (3)100×36＝________, 100×36＝________． 参照上面的结果,用“>”、“<”或“＝”填空． 4×9________4×9; 16×25________16×25; 100×36________100×36. 2．利用计算器计算填空． 2×3________6; 2×5________10; 5×6________30; 4×5________20. 二、探究新知 (学生活动)让3,4个同学上台总结规律． 教师点评：(1)被开方数都是正数;(2)两个二次根式的积等于这样一个二次根式,它的被开方数等于前两个二次根式的被开方数的积． 一般地,对二次根式的乘法规定为 a·b＝ab(a≥0,b≥0)． 例1 计算： (1)5×7; (2)1 3 ×9; (3)1 2 × 6.
解：(1)5×7＝35; (2)1 3 ×9＝ 1 3 ×9＝3; (3)1 2 ×6＝ 1 2 ×6＝ 3. 三、练习巩固 1．直角三角形两条直角边的长分别为15 cm和12 cm,那么此直角三角形斜边长是( ) A．3 2 cm B．3 3 cm C．9 cm D．27 cm 2．化简a－1 a 的结果是( ) A.－a B. a C．－－a D．－ a 3．等式x－1·x＋1＝x2－1成立的条件是( ) A．x≥1 B．x≥－1 C．－1≤x≤1 D．x≥1或x≤－1 4．下列各等式成立的是( ) A．45×25＝8 5 B．53×42＝20 5 C．43×32＝7 5 D．53×42＝20 6 四、小结与作业 小结 1．由学生小组讨论汇报通过这节课的学习,你掌握了哪些新知识,还有哪些疑问？请与同伴交流． 2．教师总结归纳二次根式的乘法规定 a·b＝ab(a≥0,b≥0)． 布置作业 从教材“习题21.2”中选取． 这节课教师引导学生通过具体数据,发现规律,导出a·b＝ab(a≥0,b≥0),并学会它的应用,培养学生由特殊到一般的探究精神,培养学生对于事物规律的观察、发现能力,激发学生的学习兴趣．
第十六章二次根式 教学目标 1．使学生进一步理解二次根式的意义及基本性质，并能熟练地化简含二次根式的式子； 2．熟练地进行二次根式的加、减、乘、除混合运算． 教学重点和难点 重点：含二次根式的式子的混合运算． 难点：综合运用二次根式的性质及运算法则化简和计算含二次根式的式子． 教学过程设计 一、复习 1．请同学回忆二次根式有哪些基本性质？用式子表示出来，并说明各式成立的条件． 指出：二次根式的这些基本性质都是在一定条件下才成立的，主要应用于化简二次根式． 2．二次根式的乘法及除法的法则是什么？用式子表示出来． 指出：二次根式的乘、除法则也是在一定条件下成立的．把两个二次根式相除， 计算结果要把分母有理化． 3．在二次根式的化简或计算中，还常用到以下两个二次根式的关系式： 4．在含有二次根式的式子的化简及求值等问题中，常运用三个可逆的式子：
二、例题 例1 x取什么值时，下列各式在实数范围内有意义： 分析： (1)题是两个二次根式的和，x的取值必须使两个二次根式都有意义； (3)题是两个二次根式的和，x的取值必须使两个二次根式都有意义； (4)题的分子是二次根式，分母是含x的单项式，因此x的取值必须使二次根式有意义，同时使分母的值不等于零．
x≥-2且x≠0． 解因为n2-9≥0，9-n2≥0，且n-3≠0，所以n2=9且n≠3，所以 例3 分析：第一个二次根式的被开方数的分子与分母都可以分解因式．把它们分别分解因式后，再利用二次根式的基本性质把式子化简，化简中应注意利用题中的隐含条件3-a ≥0和1-a＞0．
解因为1-a＞0，3-a≥0，所以 a＜1，|a-2|＝2-a． (a-1)(a-3)=[-(1-a)][-(3-a)]=(1-a)(3-a)≥0． 这些性质化简含二次根式的式子时，要注意上述条件，并要阐述清楚是怎样满足这些条件的． 问：上面的代数式中的两个二次根式的被开方数的式子如何化为完全平方式？
第21章 二次根式 二次根式(1) 一、学习目标 1、了解二次根式的概念，能判断一个式子是不是二次根式。 2、掌握二次根式有意义的条件。 3、掌握二次根式的基本性质：)0(0≥≥a a 。 二、学习重点、难点 重点：二次根式有意义的条件；二次根式的性质． 难点：综合运用性质)0(0≥≥a a 。 三、学习过程 （一）知识准备： （1）已知x 2 = a ，那么a 是x 的______; x 是a 的________, 记为______, a 一定是_______数。 （2）4的算术平方根为2，用式子表示为 =__________； 正数a 的算术平方根为_______，0的算术平方根为_______； 式子)0(0≥≥a a 的意义是 。 （二）学习内容 1、式子a 表示什么意义? 2、什么叫做二次根式？ 3、式子)0(0≥≥a a 的意义是什么？ 4、如何确定一个二次根式有无意义？ （三）自主学习 （学生活动）请同学们独立完成下列三个问题： 问题1：已知反比例函数y= 3x ，那么它的图象在第一象限横、?纵坐标相等的点的 坐标是___________． 问题2：如图，在直角三角形ABC 中，AC=3，BC=1，∠C=90°，那么AB 边的长是__________． 4
A C 问题3：甲射击6次，各次击中的环数如下：8、7、9、9、7、8，那么甲这次射击的方差是S2，那么S=_________． ，都是一些正数的算术平方根．像这样一些正数的算术平方根的式子，我们就把它称 ．因此，一般地，我们把形如a≥0）?的式子叫做， ”称为． （学生活动）议一议： 1．-1有算术平方根吗？ 2．0的算术平方根是多少？ 3．当a<0 例1 1 x x>0） 、 、 、 1 x y + x≥0，y?≥0）． 例2．当x 在实数范围内有意义？ （四）知识梳理 1．非负数a的算术平方根a(a≥0)叫做二次根式. 二次根式的概念有两个要点：一是从形式上看，应含有二次根号；二是被开方数的取值范围有限制：被开方数a必须是非负数。
沪科版数学八年级下册第16章二次根式练习题 二次根式： 1. 使式子 有意义的条件是 。 2. 当__________ 3. 1 1 m +有意义，则m 的取值范围是 4. 当__________x 是二次根式。 5. 在 实 数 范 围 内 分 解 因 式 ： 429__________,2__________x x -=-+=。 6. 2x =，则x 的取值范围是 7. 已知 2x =-，则x 的取值范围是 8. 化简：)1x 的结果是 9. 当15x ≤时， 5_____________x -=。 10. 把的根号外的因式移到根号内等于 。 11. 11x = +成立的条件是 。 12. 若1a b -+() 2005 _____ a b -=。 13. )()( )230, 2,12,20,3,1,x y y x x x x y +=--++中， 二次根式有（ ）个。 14. ( 10b -=，则 20052006a b -=_________。 15. 若23a << 等于____________; 16. 若 A = = ; 17. 若1a ≤ 化简后为 18. =成立的x 的取值范围是 19. 的值是 20. 2 440y y -+=，求xy 的值z__________。 21. 当a 取什么值时，代数式1取值最小，并求出这个最 小值。
22. 去掉下列各根式内的分母： ( ))10x () )21x 23. 已知2310x x - +=，求 二次根式的乘除 1. 当0a ≤， 0b 时，__________=。 2. 若 和都是最简二次根式，则 _____,______m n ==。 3. ______ ; ____ 4.比较大小： - __________- 5. 长方形的宽为，则长方形的长约为 。 6. 计算：( )1 ( )27. 已知0 xy ，化简二次根式的结果为 ; 8.化简或计算 ())10,0a b ≥≥； ( )2 ( )3a ( ))40,0a b ； ( )5 ( )6?÷ ?( )(()30,0a b -≥≥ 13. 把根号外的因式移到根号内： ()1.-( )(2.1x -
人教版16.1二次根式1 课型:新授 一、学习目标 1、了解二次根式的概念，能判断一个式子是不是二次根式。 2、掌握二次根式有意义的条件。 3、掌握二次根式的基本性质：)0(0≥≥a a 和)0()(2 ≥=a a a 二、学习重点、难点 重点：二次根式有意义的条件；二次根式的性质． 难点：综合运用性质)0(0≥≥a a 和)0()(2 ≥=a a a 。 三、学习过程 （一）自学导航（课前预习） （1）已知a x =2 ，那么a 是x 的______;x 是a 的______, 记为_____,a 一定是____数。 （2）4的算术平方根为2，用式子表示为 =__________；正数a 的算术平方根为_______，0的算术平方根为_______；式子)0(0≥≥a a 的意义是 。 （二）合作交流（小组互助） (1)16的平方根是 ； (2)一个物体从高处自由落下，落到地面的时间是t (单位：秒)与开始下落时的高度h (单位：米)满足关系式2 5t h =。如果用含h 的式子表示t ，则t = ； (3)圆的面积为S ，则圆的半径是 ； (4)正方形的面积为3-b ，则边长为 。 思考：16， 5 h ，πs ,3-b 等式子的实际意义.说一说他们的共同特征. 定义: 一般地我们把形如 a （0≥a ）叫做二次根式，a 叫做_____________。 1、试一试：判断下列各式，哪些是二次根式？哪些不是？为什么？ 3，16-，34)0(3 ≥a a ，12+x 2、当a 为正数时a 指a 的 ，而0的算术平方根是 ，负数 ，只有非负数a 才有算术平方根。所以，在二次根式a 中，字母a 必须满足 , 4
创作编号： GB8878185555334563BT9125XW 创作者： 凤呜大王* 第21章 二次根式单元测试 一、选择题（每小题2分，共20分） 1．下列式子一定是二次根式的是（ ） 2．若 b b -=-3)3(2，则（ ） A ．2--x B ．x C ．22+x D ．22-x A ．b>3 B ．b<3 C ．b ≥3 D ．b ≤3 3．下面计算正确的是（ ） A.3=3=2 35= D.2=- 4．若x<0，则x x x 2-的结果是（ ） 5．下列二次根式中属于最简二次根 式的是（ ） A ．0 B ．—2 C ．0或—2 D ．2 A ．14 B ．48 C ． b a D ．44+a 6． 已知y =，则2xy 的值为（ ） 7．化简 6 151+的结果为（ ） A ．15- B ． 15 C ．152- D ． 15 2 A ．3011 B ．33030 C ．30330 D ．1130 8．小明的作业本上有以下四题：
①24416a a =； ②a a a 25105=?； ③a a a a a =?=1 12；④a a a = -23。做错的题是（ ） A ．① B ．② C ．③ D ．④ 9．若最简二次根式a a 241-+与的被开方数相同，则a 的值为（ ） A ．4 3- =a B ．34 =a C ．a=1 D ．a= —1 10． 计算2 2 1－631 ＋8的结果是（ ） A ．32－23 B ．5－2 C ．5－3 D ．22 二、填空题（每小题2分，共20分） 11．①=-2)3.0( ；②=-2 )52( 。12．二次根式3 1-x 有意义的条件是 。 13．若m<0，则332||m m m ++= 。14．=?y xy 82 ， =?2712 。 15．1112-= -?+x x x 成立的条件是 。16．比较大小： 。 17．计算3 393a a a a - += 。18．232 31+-与的关系 是 。 19．若35-= x ，则562++x x 的值为 。20．化简 ? ?? ? ??--+1083114515的结果是 。 三、解答题（第21~22小题各12分，第23小题16分，共40分） 21．求使下列各式有意义的字母的取值范围： （1）43-x （2） a 83 1 - （3）42+m （4）x 1-
2019-2020年九年级数学上册第21章二次根式复习教案新 人教版 教学目标 1．使学生进一步理解二次根式的意义及基本性质，并能熟练地化简含二次根式的式子；2．熟练地进行二次根式的加、减、乘、除混合运算． 教学重点和难点 重点：含二次根式的式子的混合运算． 难点：综合运用二次根式的性质及运算法则化简和计算含二次根式的式子． 教学过程设计 一、复习 1．请同学回忆二次根式有哪些基本性质？用式子表示出来，并说明各式成立的条件． 指出：二次根式的这些基本性质都是在一定条件下才成立的，主要应用于化简二次根式．2．二次根式的乘法及除法的法则是什么？用式子表示出来． 指出：二次根式的乘、除法则也是在一定条件下成立的．把两个二次根式相除， 计算结果要把分母有理化． 3．在二次根式的化简或计算中，还常用到以下两个二次根式的关系式： 4．在含有二次根式的式子的化简及求值等问题中，常运用三个可逆的式子：
二、例题 例1 x取什么值时，下列各式在实数范围内有意义： 分析： (1)题是两个二次根式的和，x的取值必须使两个二次根式都有意义； (3)题是两个二次根式的和，x的取值必须使两个二次根式都有意义； (4)题的分子是二次根式，分母是含x的单项式，因此x的取值必须使二次根式有意义，同时使分母的值不等于零． x≥-2且x≠0．
解因为n2-9≥0，9-n2≥0，且n-3≠0，所以n2=9且n≠3，所以 例3 分析：第一个二次根式的被开方数的分子与分母都可以分解因式．把它们分别分解因式后，再利用二次根式的基本性质把式子化简，化简中应注意利用题中的隐含条件3-a≥0和1-a＞0． 解因为1-a＞0，3-a≥0，所以 a＜1，|a-2|＝2-a． (a-1)(a-3)=[-(1-a)][-(3-a)]=(1-a)(3-a)≥0． 这些性质化简含二次根式的式子时，要注意上述条件，并要阐述清楚是怎样满足这些条件的．
16.3 二次根式的加减(3) 教学内容 含有二次根式的单项式与单项式相乘、相除；多项式与单项式相乘、相除；多项式与多项式相乘、相除；乘法公式的应用． 教学目标 含有二次根式的式子进行乘除运算和含有二次根式的多项式乘法公式的应用． 复习整式运算知识并将该知识运用于含有二次根式的式子的乘除、乘方等运算． 重难点关键 重点：二次根式的乘除、乘方等运算规律； 难点关键：由整式运算知识迁移到含二次根式的运算． 教学过程 一、复习引入 学生活动：请同学们完成下列各题: 1．计算 （1）（2x+y）·zx （2）（2x2y+3xy2）÷xy 2．计算 （1）（2x+3y）（2x-3y）（2）（2x+1）2+（2x-1）2 老师点评：这些内容是对八年级上册整式运算的再现．它主要有（1）?单项式×单项式；（2）单项式×多项式；（3）多项式÷单项式；（4）完全平方公式；（5）平方差公式的运用． 二、探索新知 如果把上面的x、y、z改写成二次根式呢？以上的运算规律是否仍成立呢？?仍成立．整式运算中的x、y、z是一种字母，它的意义十分广泛，可以代表所有一切，?当然也可以代表二次根式，所以，整式中的运算规律也适用于二次根式． 例1．计算: （1）（6+8）×3（2）（46-32）÷22 分析：刚才已经分析，二次根式仍然满足整式的运算规律，?所以直接可用整式的运算规律． 解：（16836383
=18+24=32+26 解：（46-32）÷22=46÷22-32÷22 =23- 例2．计算 （1）（5+6）（3-5） （2）（10+7）（10-7） 分析：刚才已经分析，二次根式的多项式乘以多项式运算在乘法公式运算中仍然成立． 解：（1）（5+6）（3-5） =35-（5）2+18-65 =13-35 （2）（10+7）（10-7）=（10）2-（7）2 =10-7=3 三、巩固练习 课本练习1、2． 四、应用拓展 例3．已知=2-，其中a 、b 是实数，且a+b ≠0， 化简+，并求值． 分析：由于（1x ++x ）（1x +-x ）=1，因此对代数式的化简，可先将分母有理化，再通过解含有字母系数的一元一次方程得到x 的值，代入化简得结果即可． 解：原式=+ =+ =（x+1）+x-2(1)x x ++x+2(1)x x + =4x+2 ∵=2- ∴b （x-b ）=2ab-a （x-a ） ∴bx-b 2=2ab-ax+a 2 ∴（a+b ）x=a 2+2ab+b 2
二次根式 【知识回顾】 1.二次根式：式子a （a ≥0）叫做二次根式。 2.最简二次根式：必须同时满足下列条件： ⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式； ⑵被开方数中不含分母； ⑶分母中不含根式。 3.同类二次根式： 二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。 4.二次根式的性质： （1）（a ）2 =a （a ≥0）； （2）==a a 2 5.二次根式的运算： （1）因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术平方根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先分解因式，变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面． （2）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式． （3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式． （a≥0，b≥0）； = （b≥0，a>0）． （4）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算． a （a ＞0） a -（a ＜0） 0 （a =0）；
【典型例题】1、概念与性质 例1、下列各式 1 ）- ， 其中是二次根式的是_________（填序号）．例2、求下列二次根式中字母的取值范围 （1） x x - - + 3 1 5 ；（2） 2 2) - (x 例3、在根式 1) ， 最简二次根式是（）A．1) 2) B．3) 4) C．1) 3) D．1) 4) 例4、已知： 的值。 求代数式2 2 , 2 1 1 8 8 1- + - + + + - + - = x y y x x y y x x x y 例5、已知数a，b ，若=b－a，则( ) A. a>b B. a第二十一章 二次根式教案
《人教版九年级上册全书教案》 第二十一章二次根式 教材内容 1．本单元教学的主要内容： 二次根式的概念；二次根式的加减；二次根式的乘除；最简二次根式． 2．本单元在教材中的地位和作用： 二次根式是在学完了八年级下册第十七章《反比例正函数》、第十八章《勾股定理及其应用》等内容的基础之上继续学习的，它也是今后学习其他数学知识的基础．教学目标 1．知识与技能 （1）理解二次根式的概念． （2a≥0）是一个非负数，2=a（a≥0）（a≥0）． （3（a≥0，b≥0）； a≥0，b>0）a≥0，b>0）． （4）了解最简二次根式的概念并灵活运用它们对二次根式进行加减． 2．过程与方法 （1）先提出问题，让学生探讨、分析问题，师生共同归纳，得出概念．?再对概念的内涵进行分析，得出几个重要结论，并运用这些重要结论进行二次根式的计算和化简．（2）用具体数据探究规律，用不完全归纳法得出二次根式的乘（除）法规定，?并运用规定进行计算． （3）利用逆向思维，?得出二次根式的乘（除）法规定的逆向等式并运用它进行化简．（4）通过分析前面的计算和化简结果，抓住它们的共同特点，?给出最简二次根式的概念．利用最简二次根式的概念，来对相同的二次根式进行合并，达到对二次根式进行计算和化简的目的． 3．情感、态度与价值观 通过本单元的学习培养学生：利用规定准确计算和化简的严谨的科学精神，经过探索二次根式的重要结论，二次根式的乘除规定，发展学生观察、分析、发现问题的能力．教学重点 1．a≥0）a≥0）是一个非负数；2＝a（a≥0） （a≥0）?及其运用． 2．二次根式乘除法的规定及其运用． 3．最简二次根式的概念． 4．二次根式的加减运算． 教学难点 1a≥0）2＝a（a≥0（a≥0）
二次根式复习课 教学目标 1．使学生进一步理解二次根式的意义及基本性质，并能熟练地化简含二次根式的式子； 2．熟练地进行二次根式的加、减、乘、除混合运算． 教学重点和难点 重点：含二次根式的式子的混合运算． 难点：综合运用二次根式的性质及运算法则化简和计算含二次根式的式子． 教学过程设计 一、复习 1．请同学回忆二次根式有哪些基本性质？用式子表示出来，并说明各式成立的条件． 指出：二次根式的这些基本性质都是在一定条件下才成立的，主要应用于化简二次根式． 2．二次根式的乘法及除法的法则是什么？用式子表示出来． 指出：二次根式的乘、除法则也是在一定条件下成立的．把两个二次根式相除， 计算结果要把分母有理化． 3．在二次根式的化简或计算中，还常用到以下两个二次根式的关系式： 4．在含有二次根式的式子的化简及求值等问题中，常运用三个可逆的式子： 二、例题 例1 x取什么值时，下列各式在实数范围内有意义： 分析： (1)题是两个二次根式的和，x的取值必须使两个二次根式都有意义；
(3)题是两个二次根式的和，x的取值必须使两个二次根式都有意义； (4)题的分子是二次根式，分母是含x的单项式，因此x的取值必须使二次根式有意义，同时使分母的值不等于零． x≥-2且x≠0． 解因为n2-9≥0，9-n2≥0，且n-3≠0，所以n2=9且n≠3，所以 例3 分析：第一个二次根式的被开方数的分子与分母都可以分解因式．把它们分别分解因式后，再利用二次根式的基本性质把式子化简，化简中应注意利用题中的隐含条件3-a≥0和1-a＞0． 解：因为1-a＞0，3-a≥0，所以a＜1，|a-2|＝2-a． (a-1)(a-3)=[-(1-a)][-(3-a)]=(1-a)(3-a)≥0． 这些性质化简含二次根式的式子时，要注意上述条件，并要阐述清楚是怎样满足这些条件的． 问：上面的代数式中的两个二次根式的被开方数的式子如何化为完全平方式？
6 21 2 .2 A 石 B 辰 C 屈 D 血1 3 ?、a A 屆 B 73a 2 3 C 肩 D V a 4 4 25 A 5 B V 5 C 5 D 5 5 9 A 3 B 3 C 3 D 81 6 7a 2 b 1 0 (a b )2007 A 1 B 1 C 32007 D 32007 7 A ( 2)0 0 B 3 2 9 C 晶 3 D V 2 73 75 8 J x 1 x A x 1 B x l C x 1 D x 9 P A 、 斤 B C 3.2 D 1 1 P 1 1 亠 i i i 3 2 1O 1 2 3 10 9 A d 2 46 B v'2 C 珂'8 4血 D <4 42 <2 11 V20n n A 2 B 3 C 4 D 5 12 A 恵昭晁 B 恵爲 C 78 4D 7( 3)2 3 1 x ___________ J x 3 2 侮 ______________ 3 d 2x 6 x 3 .5 4 A B C 4 A B
7、观察下列各式: 8计算：晶 ___________________ : 9. 一个三角形的三边长分别为、、8cm,12cm,、、18cm ，则它的周长是 cm 10. 当 1 x<5时， ~x 5 ____________________ 。 三、解答题 1、计算：（n 1）°屁 的. 四.解答题。 1.如图：面积为48cm 2的正方形四个角是面积为3cm 2的小正方形，现将四个角剪掉，制作一个无盖的长方体盒子, 求这个长方体的底面边长和高分别是多少？（精确到 0.1 cm,、、3 1.732 ） 2. 当 1v x V 5 时，化简：.x 2 2x 1 . x 2 10x 25 3. 若最简二次根式3x 10 2x y 5和. x 3y 11是同类二次根式 ⑴.求x 、y 的值。 ⑵.求x 、y 平方和的算术平方根。 n （n > 1）的等式表示出来 3、 8+ (- 1)3 — 2X 4、1 10 (3 15 5.. 6) 2 5、(3.6 ^.2 )(3.6 42) & (、. 5 2)2 ( 5 1)(、. 5 3) 8. 48 54 2 1 73 请你将发现的规律用含自然数 2、 ,12 ,18 ,0.5 7, 2.12
第十六章二次根式单元教学计划 教材内容 1．本单元教学的主要内容： 二次根式的概念；二次根式的加减；二次根式的乘除；最简二次根式． 2．本单元在教材中的地位和作用： 二次根式是在学完了八年级下册第十七章《反比例正函数》、第十八章《勾股定理及其应用》等内容的基础之上继续学习的，它也是今后学习其他数学知识的基础．教学目标 1．知识与技能 （1）理解二次根式的概念． （2）理解（a≥0）是一个非负数，（）2=a（a≥0），=a（a≥0）． （3）掌握·＝（a≥0，b≥0），=·； =（a≥0，b>0），=（a≥0，b>0）． （4）了解最简二次根式的概念并灵活运用它们对二次根式进行加减． 2．过程与方法 （1）先提出问题，让学生探讨、分析问题，师生共同归纳，得出概念．?再对概念的内涵进行分析，得出几个重要结论，并运用这些重要结论进行二次根式的计算和化简．（2）用具体数据探究规律，用不完全归纳法得出二次根式的乘（除）法规定，?并运用规定进行计算． （3）利用逆向思维，?得出二次根式的乘（除）法规定的逆向等式并运用它进行化简．（4）通过分析前面的计算和化简结果，抓住它们的共同特点，?给出最简二次根式的概念．利用最简二次根式的概念，来对相同的二次根式进行合并，达到对二次根式进行计算和化简的目的． 3．情感、态度与价值观 通过本单元的学习培养学生：利用规定准确计算和化简的严谨的科学精神，经过探索二次根式的重要结论，二次根式的乘除规定，发展学生观察、分析、发现问题的能力．教学重点 1．二次根式（a≥0）的内涵．（a≥0）是一个非负数；（）2＝a（a≥0）； =a（a≥0）?及其运用． 2．二次根式乘除法的规定及其运用． 3．最简二次根式的概念． 4．二次根式的加减运算． 教学难点 1．对（a≥0）是一个非负数的理解；对等式（）2＝a（a≥0）及=a（a≥0）的理解及应用．
第十六章二次根式 16.1二次根式（第2课时） ●教学目标 1.理解()2=a(a≥0)和=a(a≥0),并利用它们进行计算和化简. 2.用具体数据结合算术平方根的意义推出()2=a(a≥0)和探究=a(a≥0),会用这个结论解决具体问题. 3.了解代数式的概念. ●过程与方法 在明确()2=a(a≥0)和=a(a≥0)的算理的过程中,感受数学的实用性. ●情感、态度与价值观 通过运用二次根式的性质化简的相关计算,解决一些实际问题,培养学生解决问题的能力. ●重点与难点 【重点】掌握二次根式的性质,并能将二次根式的性质运用于化简. 【难点】能运用二次根式的性质化简. ●教学准备 【教师准备】教学所需的习题资料. 【学生准备】自学教材第3~4页的内容. ●新课导入 教师出示问题:
先化简再求值:当a=9时,求a+值,甲、乙两人的解答如下: 甲的解答为:原式=a+=a+(1-a)=a+1-a=1;乙的解答为:原式=a+=a+(a-1)=2a-1=17.两种解答中,谁的解答是错误的呢? 本节课,我们一起来学习二次根式的性质,然后就可以解决上面的问题了. 1.什么叫二次根式? 2.当a≥0时,叫什么?当a<0时,有意义吗? 学生口答,老师点评. 通过前面的学习,我们知道了二次根式具有双重非负性.今天我们主要学习一些二次根式的其他性质. .二次根式的性质1:()2=a(a≥0) 提问:你能解释下列式子的含义吗? 学生口述,教师根据情况评价. 例题讲解 (教材例2)计算: 学生独立完成,两名学生板演,再集体订正. 变式训练 计算:(-2)2. 〔解析〕把原式的底数看成是-2与的积,先利用(mn)2=m2n2,再根据()2=a(a≥0)化简.解:(-2)2=(-2)2()2=4×3=12. 2.二次根式的性质2:=a(a≥0)
21．3 二次根式的加减 1．掌握同类二次根式的概念,会判断同类二次根式,会合并同类二次根式．2．掌握二次根式加减乘除混合运算的方法． 重点 二次根式加减法的运算． 难点 探讨二次根式加减法的运算方法,快速准确进行二次根式加减法的运算． 一、情境引入 1．合并同类项： (1)2x＋3x; (2)2x2－3x2＋5x2. 解：(1)5x;(2)4x2. 这几道题是你运用什么知识做的？加减法则． 2．化简： (1)5 3 ; (2)48. 解：(1)15 3 ;(2)4 3. 3．如何进行二次根式的加减计算？先化简,再合并． 4．同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后,它们的被开方数相同,这些二次根式就称为同类二次根式,就是本书中所讲的被开方数相同的二次根式．如22与32;28,38与58. 二、探究新知 例1 计算： (1)22＋32; (2)28－38＋58; (3)7＋27＋39×7; (4)33－23＋ 3. 教师多媒体展示例1.(1)如果我们把2当成x,不就转化成上面的问题了吗？ 因此,二次根式的被开方数相同的可以合并,如22与8表面上看是不同的,但它们可以合并． 归纳：二次根式加减时,可以先将二次根式化成最简二次根式,再将被开方数相同的二次根式合并． 例2 计算： (1)212－61 3 ＋348; (2)(12＋20)＋(3－5)． 教师多媒体展示例2.学生自主完成,小组内展示、点评,教师巡视．三、练习巩固 1．下列计算是否正确？为什么？
(1)8－3＝8－3; (2)4＋9＝4＋9; (3)32－2＝2 2. 2．以下二次根式：①12;②22;③23 ;④27中,与3是同类二次根式的是( ) A ．①和② B ．②和③ C ．①和④ D ．③和④ 3．计算： (1)80－20＋5; (2)18＋(98－27); (3)12(2＋3)－34 (2＋27); (4)348－913 ＋312. 4．已知x ＝3＋1,y ＝3－1,求下列各式的值． (1)x 2＋2xy ＋y 2; (2)x 2－y 2. 教师多媒体展示,点名回答第1,2题,第3题学生板演,教师点评． 四、小结与作业 小结 请学生分组讨论,小组代表汇报,教师展示本节课学习的知识要点． 布置作业 从教材相应练习和“习题21.3”中选取． 本节课通过复习整式的加减法、合并同类项,引入二次根式的概念及二次根式的合并方法,对法则的教学与整式的加减比较学习,在理解、掌握和运用二次根式的加减法运算法则的学习过程中,渗透了分析、概括、类比等数学思想方法,提高学生的思维品质和兴趣．