（1）（本小题满分12分）
某企业2003年的纯利润为500万元，因设备老化等原因，企业的生产能力将逐年下降．若不能进行技术改造，预测从今年起每年比上一年纯利润减少20万元，今年初该企业一次性投入资金600万元进行技术改造，预测在未扣除技术改造资金的情况下，第n 年（今年为第一年）的利润为500(1+n 2
1)万元（n 为正整数）． （Ⅰ）设从今年起的前n 年，若该企业不进行技术改造的累计纯利润为A n 万元，进行技术改造后的累计纯利润为B n 万元（须扣除技术改造资金），求A n 、B n 的表达式；
（Ⅱ）依上述预测，从今年起该企业至少经过多少年，进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润？
（2）（本小题满分14分）
已知f (x )=2
22+-x a x (x ∈R )在区间[-1，1]上是增函数． （Ⅰ）求实数a 的值组成的集合A ； （Ⅱ）设关于x 的方程f (x )=
x 1的两个非零实根为x 1、x 2．试问：是否存在实数m ，使得不等式m 2+tm +1≥|x 1-x 2|对任意a ∈A 及t ∈[-1，1]恒成立？若存在，求m 的取值范围；若不存在，请说明理由．
（3）（本小题满分12分）
如图，P 是抛物线C ：y =2
1x 2上一点，直线l 过点P 且与抛物线C 交于另一点Q ． （Ⅰ）若直线l 与过点P 的切线垂直，求线段PQ 中点M 的轨迹方程；
（Ⅱ）若直线l 不过原点且与x 轴交于点S ，与y 轴交于点T ，试求
|
|||||||SQ ST SP ST 的取值范
围．
4．（本小题满分12分）
如图，直二面角D —AB —E 中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，AE=EB ，F 为CE 上的点，且BF ⊥平面ACE.
（Ⅰ）求证AE ⊥平面BCE ；
（Ⅱ）求二面角B —AC —E 的大小；
（Ⅲ）求点D 到平面ACE 的距离.
5．（本小题满分12分）
已知方向向量为v =(1,3)的直线l 过点（0，－23）和椭圆C ：)0(122
22>>=+b a b
y a x 的焦点，且椭圆C 的中心关于直线l 的对称点在椭圆C 的右准线上. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）是否存在过点E （－2，0）的直线m 交椭圆C 于点M 、N ，满足63
4=?ON OM cot ∠MON ≠0（O 为原点）.若存在，求直线m 的方程；若不存在，请说明理由.
6（本小题满分14分）
已知数列{a n }满足a 1=a , a n+1=1+n
a 1我们知道当a 取不同的值时，得到不同的数列，如当a =1时，得到无穷数列：.0,1,2
1:,21;,35,23,2,1---=得到有穷数列时当a （Ⅰ）求当a 为何值时a 4=0；
（Ⅱ）设数列{b n }满足b 1=－1, b n+1=)(1
1+∈-N n b n ，求证a 取数列{b n }中的任一个数，都可以得到一个有穷数列{a n }； （Ⅲ）若
)4(22
3≥< 7．（本小题满分12分） 如图，已知点F （1，0），直线l ：x ＝－1，P 为平面上的动点，过P 作直线l 的垂线， 垂足为点Q ，且QP QF FP FQ ?=? （Ⅰ）求动点P 的轨迹C 的方程； （Ⅱ）过点F 的直线交轨迹C 于A 、B 两点，交直线l 于点M ，已知12,MA AF AF BF λλ== ，求12λλ+的值。 8．（本题满分12分） 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，39S =+ （I ）求数列{n a }的通项n a 与前n 项和为n S ； （II ）设n n S b n = （*n N ∈），求证：数列{n b }中任意不同的三项都不可能成为等比数列。 已知函数()x f x e kx =-，x ∈R （Ⅰ）若k=e ，试确定函数f （x ）的单调区间； （Ⅱ）若k>0，且对于任意,()0x R f x ∈>恒成立，试求实数k 的取值范围； （Ⅲ）设函数F （x ）=f （x ）+f （x ）+f （-x ），求证：12(1)(2)()(2)n n F F F n e +???>+（*n N ∈） 某项考试按科目A、科目B依次进行，只有当科目A成绩合格时，才可继续参加科目B的考试。已知每个科目只允许有一次补考机会，两个科目成绩均合格方可获得证书。 现某人参加这项考试，科目A每次考试成绩合格的概率均为2 3 ，科目B每次考试成绩 合格的概率均为1 2 。假设各次考试成绩合格与否均互不影响。 （Ⅰ）求他不需要补考就可获得证书的概率； （Ⅱ）在这项考试过程中，假设他不放弃所有的考试机会，记他参加考试的次数为ξ，求ξ的数学期望Eξ. 11、（本小题满分12分） 如图、椭圆 22 22 1 x y a b +=（a>b>0）的一个焦点是F（1，0），O为坐标原点. （Ⅰ）已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形，求椭圆的方程；（Ⅱ）设过点F的直线l交椭圆于A、B两点。若直线l绕点F任意转动，恒有 222 OA OB AB +p,求a的取值范围. 12（本小题满分14分） 已知函数f (x )=ln(1+x )-x （Ⅰ）求f (x )的单调区间； （Ⅱ）记f (x )在区间[]0,π（n ∈N*）上的最小值为b x 令a n =ln(1+n )-b x . （Ⅲ）如果对一切n p c 的取值范围； （Ⅳ）求证： 1313211224242 1.n n a a a a a a a a a a a a -+++-g g g g g g p g g g 13、（本小题满分14分） 已知函数321()3 f x x ax bx =++,且'(1)0f -= (1) 试用含a 的代数式表示b,并求 ()f x 的单调区间； （2）令1a =-,设函数()f x 在1212,()x x x x <处取得极值，记点M (1x ,1()f x )，N(2x ,2()f x )，P(,()m f m ), 12x m x <<,请仔细观察曲线()f x 在点P 处的切线与线段MP 的位置变化趋势，并解释以下问题： （I）若对任意的m ∈(1x, x2)，线段MP与曲线f(x)均有异于M,P的公共点，试确定t的最小值，并证明你的结论； （II）若存在点Q(n ,f(n)), x ≤n< m,使得线段PQ与曲线f(x)有异于P、Q的公共点，请直接写出m的取值范围（不必给出求解过程） 14、本题（1）、（2）、（3）三个选答题，每小题7分，请考生任选2题作答，满分14分，如果多做，则按所做的前两题计分。作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中， （1）（本小题满分7分）选修4-4：矩阵与变换 已知矩阵M 23 11 - ?? ? - ?? 所对应的线性变换把点A(x,y)变成点A ‘(13,5),试求M的逆矩阵及点A的坐标 （2）（本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程 已知直线l:3x+4y-12=0与圆C: 12cos 22sin x y θ θ =-+ ? ? =+ ? (θ为参数)试判断他们的公共点个数 （3）（本小题满分7分）选修4-5：不等式选讲解不等式∣2x-1∣<∣x∣+1 15．（本小题满分14分） （Ⅰ）已知函数3()f x x x =-，其图象记为曲线C 。 （ⅰ）求函数()f x 的单调区间； （ⅱ）证明：若对于任意非零实数1x ，曲线C 与其在点11 1(())P x f x ，处的切线交于另一点222(())P x f x ，，曲线C 与其在点2P 处的切线交于另一点333(())P x f x ，，线段12PP 、2P P 与曲线C 所围成封闭图形的面积分别记为S 1，S 2，则12 S S 为定值； （Ⅱ）对于一般的三次函数32()(0)g x ax bx cx d a =+++≠，请给出类似于（Ⅰ）（ii ）的正确命题，并予以证明。 16．本题设有（1）（2）（3）三个选考题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分。如 果多做，则按所做的前两题记分。作答时，先用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中。 （1）（本小题满分7分）选修4—2：矩阵与变换 已知矩阵11a M b ??= ???，2c N o d ??= ???，且2020MN ??= ?-?? 。 （Ⅰ）求实数a b c d 、、、的值；（Ⅱ）求直线3y x =在矩阵M 所对应的线性变换作用下的像的方程。 （2）（本小题满分7分）选修4—4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为32 x y ?=????=??（t 为参数），在极坐标系 （与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，圆C 的方程为ρθ=。 （Ⅰ）求圆C 的直角坐标方程； （Ⅱ）设圆C 与直线l 交于点A B 、。若点P 的坐标为（3 ，求||||PA PB +。 （3）（本小题满分7分）选修4—5：不等式选讲 已知函数()||f x x a =-。 （Ⅰ）若不等式()3f x ≤的解集为{}15x x -≤≤，求实数a 的值； （Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若()(5)f x f x m ++≥对一切实数x 恒成立，求实数m 的取值范围。
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