2015年二次函数图像专题练习二
一．选择题（共23小题）
1．（2013秋?滨湖区校级期末）如图．抛物线y=﹣x2﹣2x+3与x轴相交于点A和点B，与y轴交于点C．若点P在线段BA上以每秒1个单位长度的速度从点B向点A运动（不与B，A重合），同时，点Q在射线AC上以每秒2个单位长度的速度从A向C运动，则△APQ 的面积最大值是（）
3
2．（2013秋?杭州期末）若实数a，b，c，满足a≥b≥c，4a+2b+c=0且a≠0，抛物线y=ax2+bx+c
3．（2013秋?文登市期末）如图，二次函数y=ax2+bx的图象经过原点，顶点的纵坐标为2，若一元二次方程ax2+bx+k=0有实数根，则k的取值范围是（）
4．（2013秋?南京期末）已知二次函数y=a（x﹣1）2﹣a（x﹣1）（a为常数，且a≠0），图象的顶点为C．以下三个判断：①无论a为何值，该函数的图象与x轴一定有两个交点；②无论a为何值，该函数的图象在x轴上截得的线段长为1；③若该函数的图象与x轴有两个
5．（2013秋?锡山区期末）如图，已知抛物线y=﹣x2+px+q的对称轴为x=﹣3，过其顶点M 的一条直线y=kx+b与该抛物线的另一个交点为N（﹣1，1）．要在坐标轴上找一点P，使得△PMN的周长最小，则点P的坐标为（）
，，
6．（2014春?田阳县校级期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y1=﹣x2经过平移得到抛物线y2=﹣x2+3x，其对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积是（）
7．（2013?延安二模）定义[a，b，c]为函数y=ax2+bx+c的特征数，下面给出特征数为[2m，时，函数图象的顶点坐标是（
轴所得的线段长度大于
时，
8．（2013?桥东区二模）如图已知二次函数l：y=x2﹣4x+3交x轴于A、B两点（点A在B 点的左边），交y轴于点C
①二次函数的顶点坐标为（2，﹣1）
②二次函数l1与x轴交点坐标为A（1，0），B（3，0）
③二次函数l2：y=kx2﹣4kx+3k（k≠0）与二次函数l1的对称轴和开口方向相同
④若直线y=8kx（k≠0）与抛物线l2交于E、F两点，则线段EF的长度不变
以上说法正确的是（）
9．（2013?大城县校级模拟）如图，一条抛物线与x轴交于A、B两点，且顶点P在折线C ﹣D﹣E上移动，若点C、D、E的坐标分别为（﹣1，﹣4），（2，﹣4），（3，﹣1），点A的横坐标的最小值为﹣3，则点B的横坐标的最大值为（）
10．（2013?黄冈模拟）下列结论中：
①若一次函数y=（2﹣k）x+（k﹣1）的图象与y轴的交点在y轴的正半轴上，且函数值y 随x的增大而增大，则1＜k＜2
②已知一次函数y=kx+b的图象经过第一、二、四象限，则反比例函数y=的图象在第二、
四象限
③二次函数y=x2﹣4x+3的图象交x轴于A、B两点，交y轴于点C，则△ABC的面积为6
④对于二次函数y=（x﹣10）2+10，若2≤x≤5，当x=5时，y有最大值35
11．（2013?重庆模拟）福娃们在一起探讨研究下面的题目：函数y=x2﹣x+m（m为常数）的图象如图，如果x=a时，y＜0；那么x=a﹣1时，函数值是多少？
贝贝：我注意到当x=0时，y=m＞0．
晶晶：我发现图象的对称轴为．
欢欢：我判断出x1＜a＜x2．
迎迎：我认为关键要判断a﹣1的符号．
妮妮：M{2x+y+2，x+2y，2x﹣y}=min{2x+y+2，x+2y，2x﹣y}可以取一个特殊的值．
参考上面福娃们的讨论，请你解该题，你选择的答案是（）
12．（2013?兴化市三模）抛物线y=ax2+bx+c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如表所示．给出下列说法：①抛物线与y轴的交点为（0，6）；②抛物线的对称轴是在y轴的右侧；③抛物线一定经过点（3，0）；④在对称轴左侧，y随x增大而减小．从表可知，下
13．（2013?顺庆区校级自主招生）Rt△ABC的三个顶点A，B，C均在抛物线y=x2上，并
14．（2013?湖州）如图，在10×10的网格中，每个小方格都是边长为1的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点．若抛物线经过图中的三个格点，则以这三个格点为顶点的三角形称为抛物线的“内接格点三角形”．以O为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，若抛物线与网格对角线OB的两个交点之间的距离为，且这两个交点与抛物线的顶点是抛物线的内接格点三角形的三个顶点，则满足上述条件且对称轴平行于y轴的抛物线条数是（）
15．（2013?常州）二次函数y=ax2+bx+c（a、b、c为常数且a≠0）中的x与y的部分对应值
（1）二次函数y=ax2+bx+c有最小值，最小值为﹣3；
（2）当时，y＜0；
（3）二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个交点，且它们分别在y轴两侧．则其中正确
16．（2013?日照）如图，已知抛物线y1=﹣x2+4x和直线y2=2x．我们约定：当x任取一值时，x对应的函数值分别为y1、y2，若y1≠y2，取y1、y2中的较小值记为M；若y1=y2，记M=y1=y2．下列判断：
①当x＞2时，M=y2；②当x＜0时，x值越大，M值越大；③使得M大于4的x值不存在；④若M=2，则x=1．
其中正确的有（）
17．（2014春?萧山区校级月考）关于x的二次函数y=2sinαx2﹣（4sinα+）x﹣sinα+，其中a为锐角，则：
①当a等于30°时，函数有最小值﹣；
②当a不等于30°时，函数图象与坐标轴一定有三个交点；
③当a＜60°时，函数在x＞1时，y随x的增大而增大；
④无论锐角a怎么变化，函数图象必过定点．
18．（2014秋?武汉校级月考）已知抛物线y=x2+x﹣2与直线y=5x﹣m没有公共点，则m的
19．（2014秋?苍南县校级月考）由于被墨水污染，一道数学题仅能见到如下文字：已知二次函数y=ax2+bx+c的图象过点（1，0）…
求证：这个二次函数的图象关于直线x=2对称，根据现有信息，题中的二次函数具有的性质：
（1）过点（3，0）
（2）顶点是（1，﹣2）
（3）在x轴上截得的线段的长度是2
（4）c=3a
20．（2014秋?宁波校级月考）已知函数y=|（x﹣1）2﹣1|，则使y=k成立的x值恰好有三个，
21．（2014?龙岩）定义符号min{a，b}的含义为：当a≥b时min{a，b}=b；当a＜b时min{a，
2
B
22．（2013?泰安模拟）如图，抛物线y=x2﹣x﹣与直线y=x﹣2交于A、B两点（点A在
点B的左侧），动点P从A点出发，先到达抛物线的对称轴上的某点E，再到达x轴上的某点F，最后运动到点B．若使点P运动的总路径最短，则点P运动的总路径的长为（）
B
23．（2011?连城县校级自主招生）如图已知A1，A2，A3，…A n是x轴上的点，且
OA1=A1A2=A2A3=A3A4=…=A n﹣1A n=1，分别过点A1，A2，A3，…A n′作x轴的垂线交二次函数y=x2（x＞0）的图象于点P1，P2，P3，…Pn，若记△OA1P1的面积为S1，过点P1作P1B1⊥A2P2
于点B1，记△P1B1P2的面积为S2，过点P2作P2B2⊥A3P3于点B2，记△P2B2P3的面积为
S3，…依次进行下去，最后记△P n﹣1B n﹣1P n（n＞1）的面积为S n，则S n=（）
B
二．填空题（共7小题）
24．（2015?黄冈中学自主招生）如果函数y=b的图象与函数y=x2﹣3|x﹣1|﹣4x﹣3的图象恰有三个交点，则b的可能值是．
25．（2013?兰州）如图，以扇形OAB的顶点O为原点，半径OB所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，点B的坐标为（2，0），若抛物线y=x2+k与扇形OAB的边界总有两个公共点，则实数k的取值范围是．
26．（2013?大连）如图，抛物线y=x2+bx+与y轴相交于点A，与过点A平行于x轴的直
线相交于点B（点B在第一象限）．抛物线的顶点C在直线OB上，对称轴与x轴相交于点D．平移抛物线，使其经过点A、D，则平移后的抛物线的解析式为．
27．（2013?灌南县校级模拟）如图，⊙O的半径为2，C1是函数的的图象，C2是函
数的的图象，C3是函数的y=x的图象，则阴影部分的面积是．
28．（2013?长春模拟）如图，抛物线y=ax2+bx+c（与x轴的一个交点A在点（﹣2，0）和（﹣1，0）之间（包括这两点），顶点C是矩形DEFG上（包括边界和内部）的一个动点，则a的取值范围是．
29．（2013?金华模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为A，与
x轴交于O，B两点，点P（m，0）是线段OB上一动点，过点P作y轴的平行线，交直线
y=于点E，交抛物线于点F，以EF为一边，在EF的左侧作矩形EFGH．若FG=，
则当矩形EFGH与△OAB重叠部分为轴对称图形时，m的取值范围为．
30．（2013秋?瓯海区校级期中）如图，四边形OABC是边长为1的正方形，OC与x轴正半轴的夹角为15°，点B在抛物线y=ax2（a＜0）的图象上，则a的值为．
2015年二次函数图像专题练习二
参考答案与试题解析
一．选择题（共23小题）
1．（2013秋?滨湖区校级期末）如图．抛物线y=﹣x2﹣2x+3与x轴相交于点A和点B，与y轴交于点C．若点P在线段BA上以每秒1个单位长度的速度从点B向点A运动（不与B，A重合），同时，点Q在射线AC上以每秒2个单位长度的速度从A向C运动，则△APQ 的面积最大值是（）
3
点的纵坐标为
t
×t
﹣﹣+2
2
2．（2013秋?杭州期末）若实数a，b，c，满足a≥b≥c，4a+2b+c=0且a≠0，抛物线y=ax2+bx+c
=|4+
=|4+|
3．（2013秋?文登市期末）如图，二次函数y=ax2+bx的图象经过原点，顶点的纵坐标为2，若一元二次方程ax2+bx+k=0有实数根，则k的取值范围是（）
，
4．（2013秋?南京期末）已知二次函数y=a（x﹣1）2﹣a（x﹣1）（a为常数，且a≠0），图象的顶点为C．以下三个判断：①无论a为何值，该函数的图象与x轴一定有两个交点；②无论a为何值，该函数的图象在x轴上截得的线段长为1；③若该函数的图象与x轴有两个
11
5．（2013秋?锡山区期末）如图，已知抛物线y=﹣x2+px+q的对称轴为x=﹣3，过其顶点M 的一条直线y=kx+b与该抛物线的另一个交点为N（﹣1，1）．要在坐标轴上找一点P，使得△PMN的周长最小，则点P的坐标为（）
，，
．
，，
，
）或（﹣
6．（2014春?田阳县校级期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y1=﹣x2经过平移得到抛物线y2=﹣x2+3x，其对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积是（）
﹣（+
x个单位得到抛物线x
x﹣（+
，
﹣个单位得到抛物线
×
7．（2013?延安二模）定义[a，b，c]为函数y=ax2+bx+c的特征数，下面给出特征数为[2m，时，函数图象的顶点坐标是（
轴所得的线段长度大于
时，
﹣，顶点坐标是（，
﹣，
+＞，此结
称轴是：，在对称轴的右边时，=＞右边，因此函数在右边先递增到对称轴位置，再递减，
8．（2013?桥东区二模）如图已知二次函数l：y=x2﹣4x+3交x轴于A、B两点（点A在B 点的左边），交y轴于点C
①二次函数的顶点坐标为（2，﹣1）
②二次函数l1与x轴交点坐标为A（1，0），B（3，0）
③二次函数l2：y=kx2﹣4kx+3k（k≠0）与二次函数l1的对称轴和开口方向相同
④若直线y=8kx（k≠0）与抛物线l2交于E、F两点，则线段EF的长度不变
以上说法正确的是（）
﹣，）
==2，=
，，
，
9．（2013?大城县校级模拟）如图，一条抛物线与x轴交于A、B两点，且顶点P在折线C ﹣D﹣E上移动，若点C、D、E的坐标分别为（﹣1，﹣4），（2，﹣4），（3，﹣1），点A的横坐标的最小值为﹣3，则点B的横坐标的最大值为（）
10．（2013?黄冈模拟）下列结论中：
①若一次函数y=（2﹣k）x+（k﹣1）的图象与y轴的交点在y轴的正半轴上，且函数值y 随x的增大而增大，则1＜k＜2
②已知一次函数y=kx+b的图象经过第一、二、四象限，则反比例函数y=的图象在第二、
四象限
③二次函数y=x2﹣4x+3的图象交x轴于A、B两点，交y轴于点C，则△ABC的面积为6
④对于二次函数y=（x﹣10）2+10，若2≤x≤5，当x=5时，y有最大值35
y=
11．（2013?重庆模拟）福娃们在一起探讨研究下面的题目：函数y=x2﹣x+m（m为常数）的图象如图，如果x=a时，y＜0；那么x=a﹣1时，函数值是多少？
贝贝：我注意到当x=0时，y=m＞0．
晶晶：我发现图象的对称轴为．
欢欢：我判断出x1＜a＜x2．
迎迎：我认为关键要判断a﹣1的符号．
妮妮：M{2x+y+2，x+2y，2x﹣y}=min{2x+y+2，x+2y，2x﹣y}可以取一个特殊的值．
参考上面福娃们的讨论，请你解该题，你选择的答案是（）
＜
12．（2013?兴化市三模）抛物线y=ax2+bx+c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如表所示．给出下列说法：①抛物线与y轴的交点为（0，6）；②抛物线的对称轴是在y轴的右侧；③抛物线一定经过点（3，0）；④在对称轴左侧，y随x增大而减小．从表可知，下
13．（2013?顺庆区校级自主招生）Rt△ABC的三个顶点A，B，C均在抛物线y=x2上，并
，（
CD=
方程两边平方得：
14．（2013?湖州）如图，在10×10的网格中，每个小方格都是边长为1的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点．若抛物线经过图中的三个格点，则以这三个格点为顶点的三角形称为抛物线的“内接格点三角形”．以O为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，若抛物线与网格对角线OB的两个交点之间的距离为，且这两个交点与抛物线的顶点是抛物线的内接格点三角形的三个顶点，则满足上述条件且对称轴平行于y轴的抛物线条数是（）
二次函数专项复习经典试题集锦（含答案） 一、选择题： 1. 抛物线3)2(2+-=x y 的对称轴是（ ） A. 直线3-=x B. 直线3=x C. 直线2-=x D. 直线2=x 2. 二次函数c bx ax y ++=2的图象如右图，则点 ),(a c b M 在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知二次函数c bx ax y ++=2，且0+-c b a ，则一定有（ ） A. 042>-ac b B. 042=-ac b C. 042<-ac b D. ac b 42-≤0 4. 把抛物线c bx x y ++=2向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式 是532+-=x x y ，则有（ ） A. 3=b ，7=c B. 9-=b ，15-=c C. 3=b ，3=c D. 9-=b ，21=c 5. 下面所示各图是在同一直角坐标系，二次函数c x c a ax y +++=)(2与一次函数 c ax y +=的大致图象，有且只有一个是正确的，正确的是（ ） B D 6. 抛物线322+-=x x y 的对称轴是直线（ ） A. 2-=x B. 2=x C. 1-=x D. 1=x
7. 二次函数2)1(2+-=x y 的最小值是（ ） A. 2- B. 2 C. 1- D. 1 8. 二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，若 c b a M ++=24c b a N +-=，b a P -=4，则（ ） A. 0>M ，0>N ，0>P B. 0 x 时，求使y ≥2的x 的取值围. 二次函数的定义专项练习30题（有答案） 1．下列函数中，是二次函数的有（） 2y=③y=x（1﹣x）④y=﹣x（②1﹣2x）（1+2x）①y=1 A．1个B．2 个C．3个D．4 个 2．下列结论正确的是（） 2．A是二次函数y=ax B．二次函数自变量的取值范围是所有实数C．二次方程是二次函数的特例 D．二次函数自变量的取值范围是非零实数 3．下列具有二次函数关系的是（） A．正方形的周长y与边长x B．速度一定时，路程s与时间t C．三角形的高一定时，面积y与底边长x D．正方形的面积y与边长x ）是二次函数，则m等于（）4．若y=（2﹣m ±2 B．2 C．﹣2 D．不A．能确定 2）是二次函数，则m的值是（（m+m）5．若y= B．m =2 C．m=﹣A．1或m=3 D．m =3 ±2m=1 222中，二次函数的个数为（x），y=（x﹣1）6．，下列函数y=3x﹣x，，y=x（﹣2）5个4个D．．A．2个B．3个 C ）7．下列结论正确的是（ 二次函数中两个变量的值是非零实数A． xB．二次函数中变量的值是所有实数 2． C +bx+cy=ax的函数叫二次函数形如2 D ．c的值均不能为零二次函数y=axa+bx+c中，b， ）8．下列说法中一定正确的是（ 2．A c为常数）一定是二次函数，函数y=ax（其中+bx+ca，b B．圆的面积是关于圆的半径的二次函数路程一定时，速度是关于时间的二次函数． C 圆的周长是关于圆的半径的二次函数．D 2）是二次函数的条件是（m﹣n）x+mx+n．函数9y=（n ≠n是常数，且m≠0 B．m、A．m、n是常数，且m 可以为任何常数m、nn≠0 D．C．m、n是常数，且 ）．下列两个量之间的关系不属于二次函数的是（10 ．速度一定时，汽车行使的路程与时间的关系 A ．质量一定时，物体具有的动能和速度的关系 B ．质量一定时，运动的物体所受到的阻力与运动速度的关系 C ．从高空自由降落的物体，下降的高度与下降的时间的关系D ）11．下列函数中，y是x二次函数的是（22 DC．．A．y=x﹣1 B．1 y﹣=x+2x =xy210 y=x+﹣ 个函数：12．下面给出了6 222 y=y=；﹣②y=xy=x﹣3x；③；y=④（x⑥+x+1）；⑤①y=3x．﹣1；）其中是二次函数的有（个D．4 C2A．1个B．个．3个 2）之间的关系是（t（g为常量），h13．自由落体公式与h=gt 以上答案都不对D．一次函数C．二次函数A．正比例函数 B． 的值一定是_________+kx+1是二次函数，那么k．﹣14．如果函数y=（k3 ） 1.如图，抛物线y=x 2+bx+c 与直线y=x ﹣3交于A 、B 两点，其中点A 在y 轴上，点B 坐标为（﹣4，﹣5），点P 为y 轴左侧的抛物线上一动点，过点P 作PC ⊥x 轴于点C ，交AB 于点D ．（1）求抛物线的解析式；（2）以O ，A ，P ，D 为顶点的平行四边形是否存在？如存在，求点P 的坐标；若不存在，说明理由．（3）当点P 运动到直线AB 下方某一处时，过点P 作PM ⊥AB ，垂足为M ，连接PA 使△PAM 为等腰直角三角形，请直接写出此时点P 的坐标． 2. 在直角坐标系xoy 中，(0,2)A 、(1,0)B -，将ABO ?经过旋转、平移变化后得到如图15.1所示的BCD ?. （1）求经过A 、B 、C 三点的抛物线的解析式；（2）连结AC ，点P 是位于线段BC 上方的抛物线上一动点，若直线PC 将ABC ?的面积分成1:3两部分，求此时点P 的坐标；（3）现将ABO ?、BCD ?分别向下、向左以1:2的速度同时平移，求出在此运动过程中ABO ?与BCD ?重叠部分面积的最大值. 3. 如图，已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的对称轴为直线x ＝－1，且经过A （1，0），C （0，3）两点，与x 图15.1 C D O B A x y 轴的另一个交点为B .⑴若直线y ＝mx ＋n 经过B ，C 两点，求直线BC 和抛物线的解析式；⑵在抛物线的对称轴x ＝－1上找一点M ，使点M 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小，求点M 的坐标；⑶设点P 为抛物线的对称轴x ＝－1上的一个动点，求使△BPC 为直角三角形的点P 的坐标． 4. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线8y 2-+=bx ax 与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，直线l 经 第25题图 -- 二次函数 一、选择题： 1. 抛物线3)2(2+-=x y 的对称轴是( ） A. 直线3-=x ? Ｂ． 直线3=x ? Ｃ. 直线2-=x ?D. 直线 2. 二次函数c bx ax y ++=2的图象如右图,则点) ,(a c b M 在（ ) A. 第一象限??? B. 第二象限 C. 第三象限 ? D. 第四象限 3. 已知二次函数c bx ax y ++=2，且0+-c b a ， 则一定有( ） A. 042>-ac b Ｂ. 042=-ac b ? C. 042<-ac b D. ac b 42-≤０ 4. 把抛物线c bx x y ++=2向右平移3个单位,再向下平移2个单位，所得图象的解析式是 532+-=x x y ，则有（ ) A ． 3=b ，7=c ??? B. 9-=b ，15-=c C. 3=b ,3=c ????D. 9-=b ,21=c 5. 已知反比例函数x k y = 的图象如右图所示，则二次函数222k x kx y +-=的图象大致为( ） x 6. 下面所示各图是在同一直角坐标系内，二次函数c x c a ax y +++=)(2与一次函数 c ax y +=的大致图象,有且只有一个是正确的,正确的是( ） B D 7.抛物线3 2 2+ - =x x y的对称轴是直线（) A. 2 - = x??B. 2 = x C. 1 - = x? D. 1 = x 8.二次函数2 )1 (2+ - =x y的最小值是( ) A. 2-?? B. 2 ??Ｃ. 1-???Ｄ. 1 9.二次函数c bx ax y+ + =2的图象如图所示，若 c b a M+ + =2 4c b a N+ - =，b a P- =4，则( A. 0 > M，0 > N，0 > P Ｂ.0 < M，0 > N，0 > P C. 0 > M,0 < N，0 > P D. 0 < M，0 > N，0 < P 二、填空题: 10.将二次函数3 2 2+ - =x x y配方成 k h x y+ - =2) (的形式,则y=＿_＿__＿__＿＿_＿_＿_ ＿__＿＿_＿. 11.已知抛物线c bx ax y+ + =2与x轴有两个交点，那么一元二次方程0 2= + +c bx ax的根的情况是＿_＿＿＿＿_＿__＿＿__＿_______． 12.已知抛物线c x ax y+ + =2与x轴交点的横坐标为1 -，则c a+＝__＿＿___＿_. 13.请你写出函数2)1 (+ =x y与1 2+ =x y具有的一个共同性质:__________＿___＿. 14.有一个二次函数的图象,三位同学分别说出它的一些特点: 甲:对称轴是直线4 = x； 乙：与x轴两个交点的横坐标都是整数; 丙:与y轴交点的纵坐标也是整数,且以这三个交点为顶点的三角形面积为3. 请你写出满足上述全部特点的一个二次函数解析式： -- 二次函数的定义专项练习 30 题（有答案） 1．下列函数中，是二次函数的有（ ） ① y=1﹣ x 2② y= ③ y=x （1﹣x ）④ y= （ 1﹣ 2x ）（ 1+2x ） A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 5．若 y=（m 2+m ） 是二次函数，则 m 的值是（ ） A m=1 ±2 B m=2 C m= ﹣ 1 或 D m=3 ． ． ． m=3 ． 6．下列函数 ，y=3x 2， ，y=x （x ﹣2），y=（x ﹣ 1）2﹣ x 2 中，二次函数的个数 为 （ 7．下列结论正确的是（ ） 二次函数中两个变量的值是非零实数 二次函数中变量 x 的值是所有实数 2 形如 y=ax +bx+c 的函数叫二次函数 2 二次函数 y=ax +bx+c 中 a ，b ，c 的值均不能为零 8．下列说法中一定正确的是（ ） A ． y=ax 2 是二次函数 B ． 二次函数自变量的取值范围是所有实数 C ． 二次方程是二次函数的特例 D ． 二次函数自变量的取值范围是非零实数 3．下列具有二次函数关系的是（ ） A ． 正方形的周长 y 与边长 x B ． 速度一定时，路程 s 与时间 t C ． 三角形的高一定时，面积 y 与底边长 x D ． 正方形的面积 y 与边长 x 4．若 y= （ 2﹣ m ) 是二次函数，则 m 等于（ ） 2．下列结论正确的是 （ ） D 不能确定 A C ﹣ 2 ±2 B 2 A ． B ． C ． D ． 2 A ． 函数 y=ax 2+bx+c （其中 a ，b ， c 为常数）一定是二次函数 B ． 圆的面积是关于圆的半径的二次函数 C ． 路程一定时，速度是关于时间的二次函数 D ． 圆的周长是关于圆的半径的二次函数 2 9．函数 y=（ m ﹣ n ）x 2+mx+n 是二次函数的条件是（ ） A ． m 、n 是常数，且 m ≠0 B ． m 、 n 是常数，且 m ≠n C ． m 、n 是常数，且 n ≠0 D ． m 、 n 可以为任何常数 10．下列两个量之间的关系不属于二次函数的是（ ） A ． 速度一定时，汽车行使的路程与时间的关系 B ． 质量一定时，物体具有的动能和速度的关系 C ． 质量一定时，运动的物体所受到的阻力与运动速度的关系 D ． 从高空自由降落的物体，下降的高度与下降的时间的关系 11．下列函数中， y 是 x 二次函数的是（ ） A y=x ﹣1 B y=x 2+ ﹣ 10 C 2 y=x +2x D 2 y =x ﹣ 1 ． ． ． ． 12．下面给出了 6 个函数： 其中是二次函数的有（ ） A 1 个 B 2个 C 3 个 2 13．自由落体公式 h= gt 2（g 为常量），h 与 t 之间的关系是（ ） A 正比例函数 B 一次函数 C 二次函数 D 以上答案都不对 14．如果函数 y= （ k ﹣ 3） +kx+1 是二次函数，那么 k 的值一定是 ___________ ． 15．二次函数 y= （ x ﹣2） 2﹣ 3 中，二次项系数为 __________ ，一次项系数为 ___________ 为 _________ ． 16．已知函数 y=（k+2） 是关于 x 的二次函数，则 k= __________ ． 17．已知二次函数 的图象是开口向下的抛物线， m= ___________ ． 22 18．当 m __________ 时，关于 x 的函数 y= （m 2﹣1）x 2+（m ﹣1） x+3 是二次函数． 2 2 2 19． y=（m 2﹣ 2m ﹣3）x 2+（m ﹣1）x+m 2是关于 x 的二次函数要满足的条件是 ___________ ． ① y=3x 2﹣1；② y=﹣ x 2 ﹣3x ； ③ y= ； 2 ④ y=x （x +x+1 ）；⑤ y= ⑥ y= ，常数项 1.如图，抛物线 y=x2+bx+c 与直线 y=x﹣3 交于 A、B 两点，其中点 A 在 y 轴上，点 B 坐标为（﹣4，﹣5），点 P 为 y 轴左侧的抛物线上一动点，过点 P 作 PC⊥x 轴于点 C，交 AB 于点 D．（1）求抛物线的解析式；（2）以 O， A，P，D 为顶点的平行四边形是否存在？如存在，求点 P 的坐标；若不存在，说明理由．（3）当点 P 运动到 直线 AB 下方某一处时，过点 P 作 PM⊥AB，垂足为 M，连接 PA 使△PAM 为等腰直角三角形，请直接写出此 时点 P 的坐标． 若直线 PC 将 ABC 的面积分成1: 3 两部分，求此时点 P 的坐标；（3）现将 ABO 、BCD 分别向下、向左 以1: 2 的速度同时平移，求出在此运动过程中 ABO 与 BCD 重叠部分面积的最大值. 初三二次函数专题测试卷 一、选择题 1.已知抛物线2 1y x x =--与x 轴的一个交点为(0)m ，，则代数式2 2008m m -+的值为（ ）A ．2006 B ．2007 C ．2008 D ．2009 2. 如图，抛物线)0(2 >++=a c bx ax y 的对称轴是直线1=x ，且经过点P （3，0），则 c b a +-的值为（ ） A. 0 B. －1 C. 1 D. 2 3.抛物线y=x 2-8x+c 的顶点在x 轴上，则c 等于( ) B.-4 C.8 、 4.若直线y=ax ＋b (a ≠0）在第二、四象限都无图像，则抛物线y=ax 2 +bx+c ( ) A.开口向上，对称轴是y 轴 B.开口向下，对称轴平行于y 轴 C.开口向上，对称轴平行于y 轴 D.开口向下，对称轴是y 轴 5.一次函数y=ax+b 与二次函数y=ax 2+bx+c 在同一坐标系中的图像可能是 （ ） 6.已知抛物线y=-x 2+mx+n 的顶点坐标是（-1，- 3 )，则m 和n 的值分别是（ ） ,4 ,-4 ,-4 ,0 7.对于函数y=-x 2+2x-2使得y 随x 的增大而增大的x 的取值范围是 ( ) : >-1 ≥0 ≤0 <-1 8.抛物线y=x 2-(m+2)x+3(m-1)与x 轴（ ） A.一定有两个交点； B ．只有一个交点； C ．有两个或一个交点； D ．没有交点 9.二次函数y=2x 2+mx-5的图像与x 轴交于点A (x 1, 0）、B(x 2，0), 且x 12+x 22= 29 4 ，则m 的值为（ ） B.-3 或-3 D.以上都不对 10. 如图，正方形ABCD 的边长为10，四个全等的小正方形的对称中心分别在正方形 ABCD 的顶点上， 且它们的各边与正方形ABCD 各边平行或垂直．若小正方形的边长为x ，且010x <≤，阴影部分的面积为y ，则能反映y 与x 之间函数关系的大致图象是（ ） 二、填空题 11.抛物线y=-2x+x 2＋7的开口向 ，对称轴是 ，顶点是 . 12.若二次函数y=mx 2-3x+2m-m 2的图像过原点，则m 的值是 . ( 13. 已知抛物线322--=x x y ，若点P （2-，5）与点Q 关于该抛物线的对称轴对称，则 x A . D C B y x 1O ~ 100 y x 1O 100 ( y x 1O 100 5 y ` x 1O 100 初中二次函数计算题专项训练及答案 ：___________班级：________考号：_______ 1、如下图，已知二次函数图象的顶点坐标为C(1,0)，直线与该二次函数的图象交于A、B两点，其中A点 的坐标为(3,4)，B点在轴上. （1）求的值及这个二次函数的关系式； （2）P为线段AB上的一个动点（点P与A、B不重合），过P作轴的垂线与这个二次函数的图象交于点E点，设线段PE的长为，点P的横坐标为，求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值围； （3）D为直线AB与这个二次函数图象对称轴的交点，在线段AB上是否存在一点P，使得四边形DCEP是平行四边形？若存在，请求出此时P点的坐标；若不存在，请说明理由. 2、如图，在平面直角坐标系中，坐标原点为O，A点坐标为（4，0），B点坐标为（－1，0），以AB的中点P为圆 心，AB为直径作⊙P与轴的正半轴交于点C。 （1）求经过A、B、C三点的抛物线对应的函数表达式。 （2）设M为（1）中抛物线的顶点，求直线MC对应的函数表达式。 （3）试说明直线MC与⊙P的位置关系，并证明你的结论。 3、已知；函数是关于的二次函数，求： (1)满足条件m的值。 (2)m为何值时，抛物线有最底点?求出这个最底点的坐标，这时为何值时y随的增大而增大? (3)m为何值时，抛物线有最大值?最大值是多少?这时为何值时，y随的增大而减小． 4、如图所示，在梯形ABCD中，已知AB∥CD，AD⊥DB，AD=DC=CB，AB=4．以AB所在直线为轴，过D且垂直于AB 的直线为轴建立平面直角坐标系． （1）求∠DAB的度数及A、D、C三点的坐标； （2）求过A、D、C三点的抛物线的解析式及其对称轴L． 二次函数专题讲解 一、知识综述： 1.定义：一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2 ++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的二次函数. 2.二次函数c bx ax y ++=2 用配方法可化成：() k h x a y +-=2 的形式，其中a b a c k a b h 4422 -=-=，。 3.求抛物线的顶点、对称轴的方法 （1）公式法：a b ac a b x a c bx ax y 44222 2 -+? ?? ? ? +=++=，∴顶点是），（a b ac a b 4422--，对称轴是直线a b x 2-=. （2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为()k h x a y +-=2 的形式，得到顶点为(h ,k )，对称轴是直 线h x =. 4.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①2ax y =；②k ax y +=2 ；③()2 h x a y -=；④()k h x a y +-=2 ； ⑤c bx ax y ++=2 . 它们的图像特征如下： 函数解析式 开口方向 对称轴 顶点坐标 2ax y = 当0>a 时 开口向上 当0 一、二次函数 真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．（6分）（2015?牡丹江）如图，抛物线y=x 2+bx+c 经过点A （﹣1，0），B （3，0）．请解答下列问题： （1）求抛物线的解析式； （2）点E （2，m ）在抛物线上，抛物线的对称轴与x 轴交于点H ，点F 是AE 中点，连接FH ，求线段FH 的长． 注：抛物线y=ax 2+bx+c （a≠0）的对称轴是x=﹣ ． 【答案】（1）y=-2x-3；（2）． 【解析】 试题分析：（1）把A,B 两点坐标代入，求待定系数b,c ，进而确定抛物线的解析式；（2）连接BE ，点F 是AE 中点，H 是AB 中点，则FH 为三角形ABE 的中位线，求出BE 的长，FH 就知道了，先由抛物线解析式求出点E 坐标，根据勾股定理可求BE ，再根据三角形中位线定理求线段HF 的长． 试题解析：（1）∵抛物线y=x 2+bx+c 经过点A （﹣1，0），B （3，0），∴把A,B 两点坐标代入得： ，解得： ，∴抛物线的解析式是：y=-2x-3；（2）∵点 E （2，m ）在抛物线上，∴把E 点坐标代入抛物线解析式y=-2x-3得：m=4﹣4﹣3=﹣3，∴E （2，﹣3），∴BE= = ．∵点F 是AE 中点，点H 是抛物线的对称轴与 x 轴交点，即H 为AB 的中点，∴FH 是三角形ABE 的中位线，∴FH=BE=×= ．∴ 线段FH 的长 ． 考点：1．待定系数法求抛物线的解析式；2．勾股定理；3．三角形中位线定理． 2．如图，已知顶点为(0,3)C -的抛物线2(0)y ax b a =+≠与x 轴交于A ，B 两点，直线 y x m =+过顶点C 和点B ． o x 13二次函数专题测试卷 一、选择题 1.已知抛物线2 1y x x =--与x 轴的一个交点为(0)m ，，则代数式2 2008m m -+的值为（ ） A ．2006 B ．2007 C ．2008 D ．2009 2. 如图，抛物线)0(2 >++=a c bx ax y 的对称轴是直线1=x ，且经过点P （3，0），则c b a +-的值为（ ） A. 0 B. －1 C. 1 D. 2 3.抛物线y=x 2-8x+c 的顶点在x 轴上，则c 等于( ) A.-16 B.-4 C.8 D.16 4.若直线y=ax ＋b (a ≠0）在第二、四象限都无图像，则抛物线y=ax 2+bx+c ( ) A.开口向上，对称轴是y 轴 B.开口向下，对称轴平行于y 轴 C.开口向上，对称轴平行于y 轴 D.开口向下，对称轴是y 轴 5.一次函数y=ax+b 与二次函数y=ax 2+bx+c 在同一坐标系中的图像可能是 （ ） 6.已知抛物线y=-x 2+mx+n 的顶点坐标是（-1，- 3 )，则m 和n 的值分别是（ ） A.2,4 B.-2,-4 C.2,-4 D.-2,0 7.对于函数y=-x 2+2x -2使得y 随x 的增大而增大的x 的取值范围是 ( ) A.x>-1 B.x ≥0 C.x ≤0 D.x<-1 8.抛物线y=x 2-(m+2)x+3(m -1)与x 轴（ ） A.一定有两个交点； B ．只有一个交点； C ．有两个或一个交点； D ．没有交点 9.二次函数y=2x 2+mx -5的图像与x 轴交于点A (x 1, 0）、B(x 2，0), 且x 12+x 22= 29 4 ，则m 的值为（ ） A.3 B.-3 C.3或-3 D.以上都不对 10. 如图，正方形ABCD 的边长为10，四个全等的小正方形的对称中心分别在正方形ABCD 的顶点上，且它们的各边与正方形ABCD 各边平行或垂直．若小正方形的边长为x ，且010x <≤，阴影部分的面积为y ，则能反映y 与x 之间函数关系的大致图象是（ ） 二、填空题 11.抛物线y=-2x+x 2＋7的开口向 ，对称轴是 ，顶点是 . 12.若二次函数y=mx 2-3x+2m-m 2的图像过原点，则m 的值是 . 13. 已知抛物线322--=x x y ，若点P （2-，5）与点Q 关于该抛物线的对称轴对称，则点Q 的坐标是 ． 14. 抛物线在y=x 2-2x-3在x 轴上截得的线段长度是 . 15.抛物线228y x x m =++与x 轴只有一个公共点，则m 的值为 ． 16. 已知函数2 2y x x c =-++的部图象如图所示,则c=______, 当x______时,y 随x 的增大而减小. 17.设矩形窗户的周长为6m ，则窗户面积S(m 2）与窗户宽x (m)之间的函数关系式是 ，自变量x 的取值范围是 . 18. 如图，小明的父亲在相距2x A D C B y x 10 O 100 y x 10 O 100 y x 10 O 100 5 y x 10 O 100 初中二次函数计算题专项训练及答案 姓名：___________班级：________考号：_______ 1、如下图，已知二次函数图象的顶点坐标为C(1,0)，直线与该二次函数的图象交于A、B两点，其中A点 的坐标为(3,4)，B点在轴上. （1）求的值及这个二次函数的关系式； （2）P为线段AB上的一个动点（点P与A、B不重合），过P作轴的垂线与这个二次函数的图象交于点E点，设线段PE的长为，点P的横坐标为，求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （3）D为直线AB与这个二次函数图象对称轴的交点，在线段AB上是否存在一点P，使得四边形DCEP是平行四边形？若存在，请求出此时P点的坐标；若不存在，请说明理由. 2、如图，在平面直角坐标系中，坐标原点为O，A点坐标为（4，0），B点坐标为（－1，0），以AB的中点P为圆 心，AB为直径作⊙P与轴的正半轴交于点C。 （1）求经过A、B、C三点的抛物线对应的函数表达式。 （2）设M为（1）中抛物线的顶点，求直线MC对应的函数表达式。 （3）试说明直线MC与⊙P的位置关系，并证明你的结论。 3、已知；函数是关于的二次函数，求： (1)满足条件m的值。 (2)m为何值时，抛物线有最底点?求出这个最底点的坐标，这时为何值时y随的增大而增大? (3)m为何值时，抛物线有最大值?最大值是多少?这时为何值时，y随的增大而减小． 4、如图所示，在梯形ABCD中，已知AB∥CD，AD⊥DB，AD=DC=CB，AB=4．以AB所在直线为轴，过D且垂直于AB 的直线为轴建立平面直角坐标系． （1）求∠DAB的度数及A、D、C三点的坐标； （2）求过A、D、C三点的抛物线的解析式及其对称轴L． 1．如图，在平面直角坐标系中，直角梯形OABC的边OC、OA分别与x轴、y轴重合，AB∥OC，∠AOC=90°，∠BCO=45°，BC=12，点C的坐标为（﹣18，0）． （1）求点B的坐标； （2）若直线DE交梯形对角线BO于点D，交y正半轴于点E，且OE=4，OD=2BD，求直线DE的解析式； （3）若点P是（2）中直线DE上的一个动点，在坐标平面内是否存在点Q，使以O、E、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 2．如图，抛物线y=ax2+bx﹣2的对称轴是直线x=1，与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A的坐 标为（﹣2，0），点P为抛物线上的一个动点，过点P作PD⊥x轴于点D，交直线BC于点E． （1）求抛物线解析式； （2）若点P在第一象限内，当OD=4PE时，求四边形POBE的面积； （3）在（2）的条件下，若点M为直线BC上一点，点N为平面直角坐标系内一点，是否存在这样的点M和点N，使得以点B，D，M，N为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【温馨提示：考生可以根据题意，在备用图中补充图形，以便探究】 3．如图，抛物线y=ax2﹣2x+c（a≠0）与x轴、y轴分别交于点A，B，C三点，已知点A（﹣2，0），点C （0，﹣8），点D是抛物线的顶点． （1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标； （2）如图1，抛物线的对称轴与x轴交于点E，第四象限的抛物线上有一点P，将△EBP沿直线EP折叠，使点B的对应点B'落在抛物线的对称轴上，求点P的坐标； （3）如图2，设BC交抛物线的对称轴于点F，作直线CD，点M是直线CD上的动点，点N是平面内一点，当以点B，F，M，N为顶点的四边形是菱形时，请直接写出点M的坐标． 4．如图1，抛物线y=ax2+bx+4的图象过A（﹣1，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，作直线BC，动 一、二次函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．如图，抛物线y＝x2﹣mx﹣（m+1）与x轴负半轴交于点A（x1，0），与x轴正半轴交于点B（x2，0）（OA＜OB），与y轴交于点C，且满足x12+x22﹣x1x2＝13． （1）求抛物线的解析式； （2）以点B为直角顶点，BC为直角边作Rt△BCD，CD交抛物线于第四象限的点E，若EC ＝ED，求点E的坐标； （3）在抛物线上是否存在点Q，使得S△ACQ＝2S△AOC？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3；（2）E 113 +113 + 3）点Q的坐 标为（﹣3，12）或（2，﹣3）．理由见解析. 【解析】 【分析】 （1）由根与系数的关系可得x1+x2＝m，x1?x2＝﹣（m+1），代入x12+x22﹣x1x2＝13，求出m1＝2，m2＝﹣5．根据OA＜OB，得出抛物线的对称轴在y轴右侧，那么m＝2，即可确定抛物线的解析式； （2）连接BE、OE．根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出BE＝1 2 CD＝CE．利 用SSS证明△OBE≌△OCE，得出∠BOE＝∠COE，即点E在第四象限的角平分线上，设E点坐标为（m，﹣m），代入y＝x2﹣2x﹣3，求出m的值，即可得到E点坐标； （3）过点Q作AC的平行线交x轴于点F，连接CF，根据三角形的面积公式可得S△ACQ＝S△ACF．由S△ACQ＝2S△AOC，得出S△ACF＝2S△AOC，那么AF＝2OA＝2，F（1，0）．利用待定系数法求出直线AC的解析式为y＝﹣3x﹣3．根据AC∥FQ，可设直线FQ的解析式为y＝﹣3x+b，将F（1，0）代入，利用待定系数法求出直线FQ的解析式为y＝﹣3x+3，把它与抛 物线的解析式联立，得出方程组 223 33 y x x y x ?=-- ? =-+ ? ，求解即可得出点Q的坐标． 【详解】 （1）∵抛物线y＝x2﹣mx﹣（m+1）与x轴负半轴交于点A（x1，0），与x轴正半轴交于点B（x2，0）， ∴x1+x2＝m，x1?x2＝﹣（m+1）， 复习二次函数 一、选择题： 1. 抛物线3)2(2+-=x y 的对称轴是（ ） A. 直线3-=x B. 直线3=x C. 直线 =x D. 直线 2. 二次函数c bx ax y ++=2的图象如右图，则点),(a c b M 在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知二次函数c bx ax y ++=2，且0+-c b a ，则一定有（ ） A. 042>-ac b B. 042=-ac b C. 042<-ac b D. ac b 42-≤0 4. 把抛物线c bx x y ++=2向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式 是532+-=x x y ，则有（ ） A. 3=b ，7=c B. 9-=b ，15-=c C. 3=b ，3=c D. 9-=b ，21=c 5. 下面所示各图是在同一直角坐标系内，二次函数c x c a ax y +++=)(2与一次函数 c ax y +=的大致图象，有且只有一个是正确的，正确的是（ ） D 6. 抛物线322+-=x x y 的对称轴是直线（ ） A. 2-=x B. 2=x C. 1-=x D. 1=x 7. 二次函数2)1(2+-=x y 的最小值是（ ） A. 2- B. 2 C. 1- D. 1 8. 二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，若 c b a M ++=24c b a N +-=，b a P -=4，则（ ） A. 0>M ，0>N ，0>P B. 0 x 时，求使y ≥2的x 的取值范围. 二次函数专题复习 一、二次函数概念： 1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。 这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征： ⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项． 二、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 2. 2y ax c =+的性质： 上加下减。 3. ()2 y a x h =-的性质： 左加右减。 4. ()2 y a x h k =-+的性质： 三、二次函数图象的平移 1. 平移步骤： 方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ， 处，具体平移方法如下： 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位 2. 平移规律 在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二： ⑴c bx ax y ++=2 沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2 变成 m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2） ⑵c bx ax y ++=2 沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2 变成 c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2） 四、二次函数()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较 从解析式上看，()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即2 2424b ac b y a x a a -? ?=++ ??? ，其中2424b ac b h k a a -=-= ，． 作品编号：DG13485201600078972981 创作者：玫霸* 2017二次函数应用题专题训练 1.利达经销店为某工厂代销一种建筑材料（这里的代销是指厂家先免费提供货源，待货物售出后再进行结算，未售出的由厂家负责处理）．当每吨售价为260元时，月销售量为45吨．该经销店为提高经营利润，准备采取降价的方式进行促销．经市场调查发现：当每吨售价下降10元时，月销售量就会增加7.5吨．综合考虑各种因素,每售出一吨建筑材料共需支付厂家及其它费用100元,设每吨材料售价为x元,该经销店的月利润为y元． （1）当每吨售价为240元时，计算此时的月销售量； （2）求y与x的函数关系式（不要求写出x的取值范围）； （3）该经销店要获得最大月利润，售价应定为每吨多少元？ （4）小静说：“当月利润最大时，月销售额也最大．”你认为对吗？请说明理由． 2.(2010德州)为迎接第四届世界太阳城大会，德州市把主要路段路灯更换为太阳能路灯．已知太阳能路灯售价为5000元/个，目前两个商家有此产品．甲商家用如下方法促销：若购买路灯不超过100个，按原价付款；若一次购买100个以上，且购买的个数每增加一个，其价格减少10元，但太阳能路灯的售价不得低于3500元/个．乙店一律按原价的80℅销售．现购买太阳能路灯x个，如果全部在甲商家购买，则所需金额为y1元；如果全部在乙商家购买，则所需金额为y2元. （1）分别求出y1、y2与x之间的函数关系式； （2）若市政府投资140万元，最多能购买多少个太阳能路灯？ 3.（2010恩施）恩施州绿色、富硒产品和特色农产品在国际市场上颇具竞争力，其中香菇 远销日本和韩国等地．上市时，外商李经理按市场价格10元/千克在我州收购了2000千克 香菇存放入冷库中．据预测，香菇的市场价格每天每千克将上涨0.5元，但冷库存放这批香 菇时每天需要支出各种费用合计340元，而且香菇在冷库中最多保存110天，同时，平均每 天有6千克的香菇损坏不能出售． （1）若存放x 天后，将这批香菇一次性出售，设这批香菇的销售总金额为y 元，试写出y 与x 之间的函数关系式． （2）李经理想获得利润22500元，需将这批香菇存放多少天后出售？（利润＝销售总金额－收购成本－各种费用） （3）李经理将这批香菇存放多少天后出售可获得最大利润？最大利润是多少？ 4(2010河北)某公司销售一种新型节能产品，现准备从国内和国外两种销售方案中选择一种进行销售．若只在国内销售，销售价格y （元/件）与月销量x （件）的函数关系式为y =100 1 x ＋150，成本为20元/件，无论销售多少，每月还需支出广告费62500元，设月利润为w 内（元）（利润 = 销售额－成本－广告费）．若只在国外销售，销售价格为150元/件，受各种不确定因素影响，成本为a 元/件（a 为常数，10≤a ≤40），当月销量为x （件）时，每月还需缴纳100 1x 2 元的附加费，设月利润为w 外（元）（利润 = 销售额－成本－附加费）． （1）当x = 1000时，y = 元/件，w 内 = 元； （2）分别求出w 内，w 外与x 间的函数关系式（不必写x 的取值范围）； （3）当x 为何值时，在国内销售的月利润最大？若在国外销售月利润的最大值与在国内销售月利润的最大值相同，求a 的值； （4）如果某月要将5000件产品全部销售完，请你通过分析帮公司决策，选择在国内 二次函数七大综合专题 二次函数与三角形的综合题 函数中因动点产生的相似三角形问题一般有三个解题途径 ① 求相似三角形的第三个顶点时，先要分析已知三角形的边．和角．的特点，进而得出已知三角形是否为特殊三角形。根据未知三角形中已知边与已知三角形的可能对应边分类讨论。 ②或利用已知三角形中对应角，在未知三角形中利用勾股定理、三角函数、对称、旋转等知识来推导边的大小。 ③若两个三角形的各边均未给出，则应先设所求点的坐标进而用函数解析式来表示各边的长度，之后利用相似来列方程求解。 如图，已知抛物线与交于A(－1，0)、E(3，0)两点，与轴交于点B(0，3)。 （1） 求抛物线的解析式； （2） 设抛物线顶点为D ，求四边形AEDB 的面积； （3） △AOB 与△DBE 是否相似？如果相似，请给以证明；如果不相似，请说明理由。 （2016?益阳第21题） 如图，顶点为A 的抛物线经过坐标原点O ，与x 轴交于点B ． （1）求抛物线对应的二次函数的表达式； （2）过B 作OA 的平行线交y 轴于点C ，交抛物线于点D ，求证：△OCD ≌△OAB ； （3）在x 轴上找一点P ，使得△PCD 的周长最小，求出P 点的坐标． x y 考点：考查二次函数，三角形的全等、三角形的相似。 解析：（1 ）∵抛物线顶点为A ， 设抛物线对应的二次函数的表达式为2(1y a x =+， 将原点坐标（0，0）代入表达式，得1 3a =-． ∴抛物线对应的二次函数的表达式为：213y x =-+ ． （2）将0y = 代入213y x =-+ 中，得B 点坐标为：， 设直线OA 对应的一次函数的表达式为y kx =， 将A 代入表达式y kx = 中，得k = ， ∴直线OA 对应的一次函数的表达式为y x =． ∵BD ∥AO ，设直线BD 对应的一次函数的表达式为y b =+， 将 B 代入y b = +中，得2b =- ， ∴直线BD 对应的一次函数的表达式为2y x =-． 由2213y x y x ?= -????=-?? 得交点D 的坐标为(3)-， 将0x = 代入2y =-中，得C 点的坐标为(0,2)-， 由勾股定理，得：OA =2=OC ，AB =2=CD , OB OD ==． 在△OAB 与△OCD 中，OA OC AB CD OB OD =?? =??=? ， ∴△OAB ≌△OCD ． （3）点C 关于x 轴的对称点C '的坐标为(0,2)，则C D '与x 轴的交点即为点P ，它使得△PCD 的周长最小． 过点D 作DQ ⊥y ，垂足为Q ，则PO ∥DQ ．∴C PO '?∽C DQ '?． ∴ PO C O DQ C Q '=', 25 = ，∴PO =， ∴ 点P 的坐标为(． 二次函数与平行四边形的综合题 7二次函数的定义专项练习30题有答案
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2. 在直角坐标系 xoy 中， A(0, 2) 、 B(1, 0) ，将 ABO 经过旋转、平移变化后得到如图15.1所示的 BCD . （1）求经过 A 、B 、C 三点的抛物线的解析式；（2）连结 AC ，点 P 是位于线段 BC 上方的抛物线上一动点，
y A
C
BO D
x
图15.1
3. 如图，已知抛物线 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为直线 x＝－1，且经过 A（1，0），C（0，3）两点，与 x 轴 的另一个交点为 B.⑴若直线 y＝mx＋n 经过 B，C 两点，求直线 BC 和抛物线的解析式；⑵在抛物线的对称轴 x＝－1 上找一点 M，使点 M 到点 A 的距离与到点 C 的距离之和最小，求点 M 的坐标；⑶设点 P 为抛物线的初三二次函数专题测试卷
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