Chapter 4 电路定理
主要内容
1.叠加定理，齐性定理；
2.替代定理；
3.戴维南定理、诺顿定理；
4.特勒根定理、互易定理。 §4-1 叠加定理 1.线性电路
线性元件 + 独立电源 = 线性电路
独立电源是非线性单口元件，因其伏安特性曲线不是过原点的直线。 独立电源是电路的输入，起着激励的作用，可使线性元件中出现电压和电流（响应），并且响应与激励之间存在线性关系。
a . 齐次性：电路中只有一个激励；
1,2, , ==j u k i S j j 当 u S 扩大a 倍时，i j 也将随之扩大a 倍；
1,2, ==j ,u k u S '
j j 当 u S 扩大a 倍时，u j 也将随之扩大a 倍。
b .相加性：电路中存在多个激励；
,2,1 ,2,1 2'
21'12'21'122112211=+++++==+++++=j i h i h u k u k u j i h i h u k u k i S j S j S j S j j S j S j S j S j j
S u 单独作用：
S
S u R R R u u R R i 2
11'
121'
2 ,1+=+=
S
i 单独作用：
S
S i R R R R u i R R R i 2
121"
12
11"
2 ,+-
=+=
S S S S i k u k u u u i k u k i i i ???+=+=+=+=2221"
1'111211"
2'22
1）每个支路电流或支路电压都是多个激励共同作用产生的结果； 2）每一项只与一个激励成比例，其比例系数为该激励单独作用，其余激励全部置零求出的比例系数；
3）电流源置零时相当于开路，电压源置零时相当于短路。
2.叠加定理
线性电阻电路中，任一电压或电流都是电路中各个独立电源单独作用时，在该处产生的电压或电流的叠加。
① 叠加定理仅适用于线性电路，不适用于非线性电路；
② 叠加定理在线性电路分析中起着重要作用，线性电路中很多定理都与叠加定理有关；
③ 运用叠加定理计算电路时，如果有多个电源，可分组置零，不必单个置
零；
∑
==
m
k k k
j
j i i 1
电源置零
个电源单独作用，其余
第
例4-1：试用叠加定理求下图中I x 。
解：电路中含有受控源时，受控源要始终保留，单独作用只能是独立电源。 例4-2：电路如下图所示，求电压 u 3 。
解：应用叠加定理，作V 10、A 4单独作用的等效电路，则有
()
()
()()
()
V
i i u A i i 6410,14
61012
11
1312
11
-=+-==+=
=
()
()
()
()
()
()
V
i i u A i i A i 6.25410,4.24,6.144
6422
21
23
21
22
21
=+-==+=-=?+-
=
V
u u u 6.19)
2(3
)1(33=+=∴
例4-3：电路如下图所示，试求电压u 3 。
解：根据叠加定理，分为电压源作用和电流源作用，则有
V
u u u V
u A i V
i i i u A i 2.296.256.3 6.25,6.1 6.3666410,4.04
10610)
2(3
)
1(33)
2(3
)
2(1
)
1(1
)
1(1
)
1(1
)
1(3
)
1(1=+=+=∴=-==+-=++-==+-=
④元件的功率不等于各电源单独作用时在该元件上所产生的功率之和，直接用叠加定理计算功率将失去“交叉乘积”项，因功率p不是电压u 或电流i 的线性函数；
⑤电路中存在受控源时，应用叠加定理计算各分电路时，要始终把受控源保留在各分电路中。
⑥叠加时各分电路中的电压和电流的参考方向可以取得与原电路中的相同。取和时，应注意各分量前的“+”“-”号。
§4-2 替代定理
1.替代定理（置换定理）
已知端口电压和电流值分别为α和β，则N1（或N2）可以用一个电压为α的电压源或用一个电流为β的电流源置换，不影响N
（或N1）内部各支
2
路电压、电流原有数值。
a. P点：直线①和直线②的交点，电压为R u，电流为R i;
b. 直线③与直线①的交点仍为P点（电阻R用电压源R u替
代）
c. 直线④与直线①的交点也是P点（电阻R用电流源R i替代）
2.替代定理的证明
①三个电路都具有唯一解（假设）
②三个电路都满足相同的网络方程（KCL，KVL以及VAR）
a. 网络的有向图相同，按KCL 列写的电流方程和按KVL 列写的电压方程必然相同；
b. 方框内（指1N ）的元件相同，特性方程相同，对2N 而言，原端口提供了u 和 i 的一个约束（i B A u +=）, 而电压源或电流源却提供了一个解答u 或i （且电压源的电流或电流源的电压可为任意值）。因此，三个电路都满足相同的网络方程。
c .替代定理可推广到非线性电路，只要知道端口电压或端口电流，就可以用电压源和电流源进行置换。
d .替代定理是非常有用的定理，在以后的定理证明中多次用到。当我们把网络N 分解为 1N 和 2N 后，且求出了 1N 和 2N 的端口电压和端口电流后，通过将 1N （或2N ）用电压源或电流源置换，进而可求出 1N 和 2N 中各支路电压和电流。
例4-4：求下图所示电路中 1U 和 I ，已知 V U 3=。
解：① 根据替代定理，可将3Ω电阻连同左边网络用A
133
=的电流源置
换，则
V U 112)//(21=?=
② 再回到原电路中，可得
A U U I U U I 22/)8(,
082 11=--=∴=-++
§4-3 戴维南定理和诺顿定理 一、戴维南定理
1.戴维南定理
线性含源单口网络 N ，可等效为一个电压源串联电阻支路，电压源电压等于该网络 N 的开路电压 oc u , 串联电阻 eq
R 等于该网络中所有独立源置
为零值时所得网络 0N 的等效电阻 ab R 。
若线性含源单口网络的端口电压 u 和电流 i 为非关联参考方向，则其VAR 可表示为
i
R u u
eq oc -=
2.戴维南定理的证明
证明：根据替代定理，将M 用电流源 i i S = 替代，再据叠加定理，端口处电压 u 和电流 i 可叠加得到
S
S ab oc i i i
i
i i
R u u
u u =+=+=-=+=0 )
2()
1()
2()
1(
因此，从网络N 的两个端钮a , b 来看，含源单口网络可等效为一个电压源串联电阻的支路，其电压源电压为 oc u ，串联电阻为
eq
R 。
例4-5: 试求下图中12k 电阻的电流I 。
解：据戴维南定理，除12k 电阻以外的部分可等效为电压源U oc 与电阻R eq 的串联组合
V
I u mA
I oc 24 1212 1 10
81230'
'
=+==+-=
k
R R k R ab eq ab 4 4 12//6 ====，又
mA
k
k R U I eq oc 5.11242412
=+=
+=
∴
例4-6: 求下图所示单口网络的VAR
解：该网络的VAR 可表示为
i
R u u eq oc -=
S1: 求u
oc
3
21213
33
21212
33211
1
'"
"')()
( R R R R R U R R R R R R i R R R R R i u u u u s s s oc
oc oc oc ++++?++++?++=++=
3
213
212321131)()( R R R U R R i R R R i R R s s s ++++++=
S2: 求R eq
321321321)(//)(R R R R R R R R R R R ab eq +++=
+==
例4-7: 试用戴维南定理求下图R L 的电流I 。
解：S1.求u oc （断开R L ）
)
)(()( 432132414
332
11R R R R R R R R U U R R R U R R R u u u u s S
S cb ac ab oc ++-=
+-
+=+==
S2.求R eq （将电压源置零）
4
321////R R R R R eq +=
L
eq oc R R u I +=
例4-8: 试说明：若含源单口网络的开路电压为u oc ，短路电流为i sc ，则戴维南电路的等效电阻为
sc
oc eq i u R =
解：单口网络与等效电路的VAR 应一致
sc
oc eq sc
eq
oc sc oc oc i u R i R u i u u =
∴==='
'
,
例4-9 ：求下图所示电路的戴维南等效电路
解： 10 )5.0(1010) 5.0(2112=++=++-=i R R i R R i i u oc
Ω
==
=
=+=1500150/110
1501
5.01021sc
oc eq sc i u R A
R R i
①只要得到线性含源单口网络的两个数据，开路电压 u oc 和短路电流 i sc ，即可确定戴维南等效电路；
②求含受控源的戴维南等效电路时，为了计及受控源的作用, 通常采用先算开路电压 u oc ，再算短路电流 i sc 的方法获得R eq ；
③求含受控源电路的等效电阻R eq 时，也可采用§2-7中外加电压源求电流和外加电流源求电压的一般方法来解决；
④对电路的某一元件感兴趣时（求其电压，电流，功率等）应用戴维南定理会带来很大方便。
二、诺顿定理
诺顿定理：线性含源单口网络N ，可以等效为一个电流源并联电阻的组合，电流源的电流等于该网络N 的短路电流 i SC ，并联电阻 R eq 等于该网络中所有独立源为零值时所得网络 N 0 的等效电阻R ab 。
根据诺顿定理，线性含源单口网络的端口电压 u 和 i 为非关联参考方向时，则其VAR 可表示为
eq
sc R u i i -
=
例4-10: 用诺顿定理求下图所示电路中3Ω 电阻的电流I 。
解：
A
i S sc 10 6
//3126
24 :1=+
=
A
i R R I S R S sc eq
eq ab 4 10 2
323 :3 26//3 :2=?+=
?+=
Ω==
① 诺顿定理可由戴维南定理和等效电源定理推导出来；
② 只能等效为一个电流源的单口网络（ R eq = ∞ 或G eq = 0），只能用诺顿定理等效，不能用戴维南定理等效；同理，只能等效为一个电压源的单口网络（ R eq = 0 或G eq = ∞ ），只能用戴维南定理等效，不能用诺顿定理等效。
例4-11：求下图所示电路的戴维南等效电路和诺顿等效电路，一端口内部有电流控制电流源，i c =0.75 i 1 。
解： S 1：求u oc
V u mA i i k k i k i k i i i i oc c 35 , 1 40
)2075.15( 40205 , 75.11121112==∴=?+?=?+?=+=又
S 2：求i sc mA
i i i i mA k i c sc 14 75.1 ,85/40'
1'
'
1'
1==+===
S 3：
k
mA V i u R sc
oc eq 5.214/35===
三、最大功率传递定理——罪大功率匹配
)
()(
2
2
L L L
eq oc L R f R R R u R i p =?+==
令
)
(2
2
=+-=L eq L eq oc
L
R R R R u dR dp
eq
L R R =∴ p
有极值
832
22
<-
==eq
oc R R L
R
u dR
p
d eq
L p 取得极大值
eq
oc R u P 42
max =
用戴维南等效电路 或
4
2
max eq
sc R i p =
用诺顿等效电路
最大功率传递定理：由线性单口网络传递给可变负载R L 的功率为最大的条件是：负载 R L 应与戴维南（或诺顿）等效电阻相等。
单口网络和它的等效电路，就其内部功率而言是不等效的，由等效电阻R eq 算得的功率一般不等于网络内部消耗的功率，因此，实际上当负载得到最大功率时，其功率传递效率未必是50%。
例4-12: 求下图中R 为何值时能从电路中获得最大功率?
解：可求出：u oc =4V, R eq =20k , 故 R = R eq =20k , 可获得最大功率
mW
R u p eq
oc 2.042
max ==
§4-4 特勒根定理（Tellegen’s Theorem ） 一、特勒根定理1
对于一个具有n 个结点和 b 条支路的电路，假设各支路电流和电压取关联参考方向，并令（i 1, i 2 , …, i b ）、（u 1 , u 2 , …, u b ）分别为 b 条支路的电流和电压，则对任何时间 t ，有
∑==b
k k k
i u
1
)
()()( )( )( )( 6433532242116352431332221116
1
6
65544332211=+--+++-+++=++-+-+-+=+++++=∑=i i i u i i i u i i i u i u i u i u u i u u i u u i u i u i u i u i u i u i u i u
n n n n n n n n n n n n k k
k
① 说明过程中，只根据电路的拓扑结构和KCL 、KVL ，并不涉及元件的性
质，适用于线性、非线性和时变元件的集总电路。
② 定理实际上是功率守恒的数学表达式，表明任何一个电路的全部支路吸收的功率之和恒等于零。
二、特勒根定理2
两个不同网络（具有 n 个结点和 b 条支路 ），其拓扑结构相同（图完全相同），支路和结点编号、参考方向相同，并分别用（ i 1, i 2, …，i b ）、（ u 1, u 2, …，u b ）和（b i i i ?
, ,? ,?21 ）、（b u u u ?
, ,? ,?21 ）表示两者的b 条支路的电流和电压，则对任何时间t ，有
∑
==b
k k
k i u 1
0? 和 ∑==b
k k k
i u
1
?
说明： 上图中可有 ?????=+--=++-=++0
???0???
0???643532421i i i i i i i i i
同
理可
得
0)???()???()???(?6
1
6
43353224211=+--+++-+++=∑=k n n n k
k i i i u i i i u i i i u i u
① 定理2说明了两个拓扑结构相同的电路，一个电路的支路电压和另一个电路的支路电流之间必然遵循的数学关系；
② 定理2也说明了同一电路不同时刻的相应支路电压和电流应满足的数学关系；
③ 定理2不能用功率守恒来解释，有时又称为“拟功率定理”。
§4-5 互易定理
对一个仅含线性电阻的电路（不含任何独立电源和受控源），在单一激励的情况下，当激励和响应互换位置时，将不改变同一激励所产生的响应。
一、互易定理第一形式
激励：电压源 u S 响应：短路电流
k k k b
k k k
k k k b
k k k
i R u
i u
i u i u
i R u i u
i u i u ? ? 0 ? ? ? 0? ? ? 3
221132211==++==++∑∑== 22112211 ? ?? ? i u i u
i u i u +=+∴
又
因
S S u u u
u u u ?? ,0? ,0 ,2121====
1
221?? ?? i u u i i u
i u S S S S =?=∴
若 ,?
S S u u = 则 12?i i =
例4-13：试求下图所示电路中电流 i 。
解：根据互易定理第一形式，则有
)
(
////2
124
34
4321r r r r r r r r r r r u i S
+-
+++=
本题若不利用互易定理，很难直接从原图中得出结果！
二、互易定理第二形式
激励：电流源 i S 响应：开路电压
∑∑====++==++b
k k k k k k
b
k k k k k k
i R u
i u
i u i u
i R u i u
i u i u 3
221132211? ? ,0 ? ? ? ,0? ? ?
2
21 12211 ??? ? i u i u i u i u +=+∴
又因 S S i i i i i i ?? ,0? ,0 ,2121-===-=
121212?? ?? )(?)?( u
i i u i u i u i u i u S
S S S S S =
=?-=-∴
若 ,?S S i i = 则 1
2?u u =
三、互易定理第三形式
N ： 激励：电流源 i S 响应：短路电流 i 2
N ?
： 激励：电压源 S u ? 响应：开路电压 1?u
k k k b
k k k
k k k b
k k k
i R u
i u
i u i u
i R u i u
i u i u ? ,0 ? ? ? ,0? ? ? 3
221132211==++==++∑∑==
22112
211 ? ?? ? i u i u i u i u +=+∴ 又因
S S u u i u i i ?? ,0? ,0 ,2121===-=
S
S S S i u
u i i u i u
??0 )( ?1221==+- 12? ,? u i u
i S S ==则有若数值上有
例4-14：由线性电阻元件构成的二端口网络，当输入端口接 u S = 10V 电压源，输出端口短接时，输入端电流为 5 A ，输出端电流 1 A ；如果把电压源移至输出端口，且输入端口接一个2Ω 的电阻元件，试问2Ω 电阻上电压为多少？
解：根据互易定理，则有
2
2112211 ? ?? ? i u i u i u i u +=+
又因 V u i u A i u A i V u 10? ,?2? , 1 ,0 , 5 , 102112211====-==
110)5(?
2?0? 10 121?+-?=?+∴i i i
V i u A i i 1? 2? 5.0? 10? 201
111===?=
§4-6 对偶原理
1. ??
?==u
G i i R u 电导电流和电压关系
电阻电压和电流关系
互换元素??
?→→G
R i u
2. 1
21
2 ,??
?==u g i VCCS i r u CCVS m m ，电压控制电流源电流控制电压源 互换元素??
?→→i
u g r m m
3. ??
?=++-=-+=++-=-+2
23212122121223212122121 )( ,)( )( , )( S n n S n n S m m S m m i u G G u G i u G u G G u i R R i R u i R i R R 结点电压方程
网孔电流方程
上述关系中，数学表示形式完全相似，仅文字符号不同。
4. 对偶：两个关系式或两组方程所涉及的量都属于同一物理系统—— 电路，通过对应元素互换后能彼此转换，则这两个关系式或两组方程互为对偶。
5. 对偶原理：如果两个关系式或两组方程互为对偶，则若导出了其中某一关系式和结论，就等于解决了和它对偶的另一关系式和结论。
6. 其它对偶关系：
1) 电特性: ??
?网孔阻抗矩阵开路电流源电容电导磁通电流结点导纳矩阵短路电压源电感电阻电荷电压
2) 电网络图：??
?KVL
KCL 网孔电流，连支电流，
结点电压，树支电压，
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4-2 试用外施电源法求图题4-2 所示含源单口网络VCR ，并绘出伏安特性曲线。 解：图中u 可认为是外加电压源的电压。 根据图中u 所示的参考方向。可列出 (3)(6)(5)20(9)50u i i A V A i V =Ω+Ω++=+ 4-5试设法利用置换定理求解图题4-5所示电路中的电压0u 。何处划分为好？置 换时用电压源还是电流源为好？ 解：试从下图虚线处将电路划分成两部分，对网路N 1有（节点法） 11 11967 (11)u u u u i ???+-=? ?+????-++=-? 整理得： 1511714u i =- 对网络2N 有 2 5 1133u i i i =?+?= 解得3i A =，用3A 电流源置换N 1较为方便，置换后利用分流关系，可得： ()121031V 1V u +=??=
4-9 求图题4-7所示电路的输入电阻R i ，已知0.99α= 解： 施加电源t u 于输入端可列出网孔方程： 12335121(25100)100 (1) 100(100100101010)100.990(2)t i i u i i i +-=-++?+?-?= 将(2)代入(1)得135t i u R i ==Ω 4-14求图题4-10所示各电路的等效电路。 解 解： 图(a):因电压的计算与路径无关，所以
[5(1)]4(13)4ad ac cd ad ab bd u u u V V u u u V V =+=---=-=+=--=- 图(b): 流出a 点的电流(521)8a i A =++=，流入b 点多的电流(541)8b i A =+-=。 所以ab 之间的等效电路为8A 的电流源，电流从b 端流出。 图(c):导线短接。 4-23 电路如图题4-15 所示，已知非线性元件A 的VCR 为2u i =。试求u ，i ，i 1. 解： 断开A ，求得等效内阻：1o R =Ω 开路电压a u 所满足的方程： ()(11)12111/21 c a c a u u u u +-?=???-?++=?? 求得2a u V =，最后将A 接到等效电源上，如上图所示。 写出KVL ：220i i +-=12A i A ?=-或 当1i A =时，1u V =，21120.5,[2(0.5)1] 1.52i A A i A -==-=---= 当2i A =-时，4u V =，21421,[212]32i A A i A -===-+= 4-25 试求图题4-17所示电路中流过两电压源的电流。
第四章 电路定理 4-1应用叠加定理求图示电路中电压ab u 。 2Ω 1Ω ＋－ ab u a b 题4-1图 解：画出两个电源单独作用时的分电路如题解4-1图所示。 对(a)图应用结点电压法可得： 1 1 15sin 13211n t u ??++= ?+?? 解得： 13sin n u tV = ()1 1 1sin 21 n ab u u tV = ?=+ 题解4-1图 ＋－ (a) () 1ab u ＋ － (b) ()2ab u 对(b)图，应用电阻分流公式有 11 11351321 t t e i e A --=?=+++ 所以 ()21 15 t ab u i e V -=?= ()()121 sin 5 t ab ab ab u u u t e V -=+=+
4-2应用叠加定理求图示电路中电压u 。 题4-2图 － V 解：画出电源分别作用的分电路图 ①(a) (b) 题解4-2图 － V u 对(a)图应用结点电压法有 1 111136508240108210n u ??++=+ ?++?? 解得： ()1 182.667n u u V == 对(b)图，应用电阻串并联化简方法，可得： 104028161040310403821040si u V ??? ?+ ? +??=?=??? ++ ?+?? ()28 23 si u u V -= =- 所以，由叠加定理得原电路的u 为 ()()1280u u u V =+=
4-3应用叠加定理求图示电路中电压2u 。 3Ω 题4-3图 2u 解：根据叠加定理，作出电压源和电流源单独作用时的分电路，受控源均保留在分电路中。 (a) (b) 3 Ω 题解4-3图 () 123 Ω A (a) 图中 ()112 0.54 i A = = 所以根据KVL 有 ()()1 1 213221u i V =-?+=- (b) 图中 ()2 10i = ()2 2339u V =?= 故原电路电压 ()()1 2 2228u u u V =+= 4-4图示电路中，当电流源1s i 和电压源1s u 反向时(2s u 不变)，电压ab u 是原来的0.5倍；当电流源1s i 和电压源1s u 反向时(1s u 不变)，电压ab u 是原来的0.3倍。问：仅 1s i 反向时(1s u ，2s u 不变)，电压ab u 应为原来的多少倍？
第四章 电路定理 4-1 试用叠加定理求题4-1图所示电路中各电阻支路的电流I 1、I 2、I 3和I 4。 4-2 试用叠加定理求题4-2图所示电路中的电压U 和电流I x 。 题 4-1 图 题 4-2 图 4-3 试用叠加定理求题4-3图所示电路中的电流I 。 4-4 试用叠加定理求题4-4图所示电路中的电压U x 和电流I x 。 题 4-3 图 题 4-4 图 4-5 在题4-5图中，(a) N 为仅由线性电阻 构成的网络。当u 1 =2 V , u 2 =3 V 时，i x =20 A; 而 当u 1 = -2 V , u 2 = 1 V 时，i x = 0。求u 1=u 2=5 V 时 的电流i x 。(b)若将N 换为含有独立源的网络， 当u 1 = u 2 = 0时，i x = -10 A ，且上述已知条件仍 然适用，再求当u 1 = u 2 = 5 V 时的电流i x 。 4-6 对于题4-6图所示电路， (1) 当u 1 = 90 V 时，求u s 和u x ； (2) 当u 1 = 30 V 时，求u s 和u x ； (3) 当u s = 30 V 时，求u 1和u x ； (4) 当u x = 20 V 时，求u s 和u 1； 4-7 已知题4-7图所示电路中的网络N 是 由线性电阻组成。当i s =1 A ，u s =2 V 时，i =5 A ； 当i s = -2 A ，u s = 4 V 时，u = 24 V 。试求当i s = 2 A ，u s = 6 V 时的电压u 。 4-8 对于题4-8图所示电路，已知U 0 =2.5 V ，试用戴维宁定理求解电阻R 。 题 4-5 图 题 4-6 图
特勒根定理 设有电路,A B ，满足：（1）两者的拓扑图完全相同，均有n 个节点b 条支路；（2）对应的支路和节点均采用相同的编号，其中B 电路的电流、电压加“^”号；（3）各支路电流、电压参考方向均取为一致，则有： 功率守恒定理： 01 b U I k k k =∑= ??01b U I k k k =∑= 似功率守恒定理： ?01 b U I k k k =∑= 1 ?0b k k k U I ==∑
适用于各种电路：直流、交流；线性、非线性； 被称为基尔霍夫第三定律。 §2－2互易定理 在线性电路中，若只有一个独立电源作用，网络只含有线性电阻（不含受控源），则在一定的激励与响应的定义下，二者的位置互易后，响应与激励的比值不变。 互易定理的证明需要特勒根定理（或二端网络等效的概念）。 根据激励和响应是电压还是电流，互易定理有三种形式： 1、互易定理的第一种形式
S u S u ?+- 电路在方框内仅含线性电阻，不 含任何独立电源和受控源。电压源s u 接在端子1-1'，支路2-2'短路，其电流为2i 。如果把激励和响应位置互 换，此时?s u 接于2-2'，而响应则是接于1-1'，短路电流1?i 。 21??s s i i u u =，若 ?s s u u =，则21?i i =。 对一个仅含线性电阻的电路，在单一电压源激励而响应为电流时，激励和响应互换位置，不改变同一激励产生的响应。 2、互易定理的第二种形式
2' 2 1' 1 21??s s u u i i = 若?s s i i =，则21?u u =。 3 互易定理的第三种形式 2 1??s s i u i u = 若数值上?s s i u =，则数值上21?i u =。 例 用互易定理求下图中电流i 。
第四章 电路定理 电路定理是电路理论的重要组成部分，为我们求解电路问题提供了另一种分析方法，这些方法具有比较灵活，变换形式多样，目的性强的特点。因此相对来说比第三章中的方程式法较难掌握一些，但应用正确，将使一些看似复杂的问题的求解过程变得非常简单。应用定理分析电路问题必须做到理解其内容，注意使用的范围、条件，熟练掌握使用的方法和步骤。需要指出，在很多问题中定理和方程法往往又是结合使用的。 4-1 应用叠加定理求图示电路中电压ab u 。 解：首先画出两个电源单独作用式的分电路入题解4-1图（a ）和（b ）所示。 对（a ）图应用结点电压法可得 1sin 5)121311( 1t u n = +++ 解得 15sin 3sin 53n t u t V == (1) 111113sin sin 2133n ab n u u u t t V =?==?=+ 对（b ）图，应用电阻的分流公式有 1132111135t t e i e A --+=?=++ 所以 (2) 110.25t t ab u i e e V --=?== 故由叠加定理得 (1)(2)sin 0.2t ab ab ab u u u t e V -=+=+
4-2 应用叠加定理求图示电路中电压u 。 解：画出电源分别作用的分电路如题解（a ）和（b ）所示。 对（a ）图应用结点电压法有 105028136)101401281( 1++=+++n u 解得 (1)113.65 0.10.0250.1n u u +== ++ 18.624882.6670.2253V === 对（b ）图，应用电阻串并联化简方法，可求得 10402(8) 32161040331040183(8)2 1040si u V ??++=? =?=?+++ (2)16182323si u u V -==-?=- 所以，由叠加定理得原电路的u 为 (1)(2)2488 8033u u u V =+= -= 4-3 应用叠加定理求图示电路中电压2u 。
第4章 电路定理 4-1XX 简单题 4-2XX 叠加定理 4-3XX 戴维宁定理 4-201、 试用叠加定理计算下图所示电路中US2=2V 时，电压U4的大小。若US1的大小不变，要使U4=0，则US2应等于多少？ 答案 U4=-0.4V, Us2=1.2V 4-202、电路如图所示。（1）用叠加定理求各支路电流；（2）求电压源发出的功率。 答案 I1=-50mA, I2=15mA, I3=60mA (2)电压源发出的功率为：P=25I1=-1.25W 4-204、 4-205、求题3-22图示电路的电压U 和电流I 。 例4－4 用叠加定理求图4－5(a)电路中电压u 。 图4－5 解：画出独立电压源u S 和独立电流源i S 单独作用的电路，如图(b)和(c)所示。由此分别求得u’和u”,然后根据叠加定理将u’和u”相加得到电压u 4-206、例4－1 利用叠加定理求图（a ）所示电路中的电压U 。 （a ） (b) (c) 解：首先画出分电路图如图(b)、(c)所示。 当12V 电压源作用时，应用分压原理有：V 43912)1(-=?-=U 当3A 电流源作用时，应用分流公式得：V 633636)2(=?+?=U 则所求电压：V 264=+-=U 4-207、 例4－2利用叠加定理求图（a ）所示电路中的电压u 和电流i 。 （a ） (b) (c) 解：首先画出分电路图如图(b)、(c)所示。 当 10V 电源作用时：)12/()210()1()1(+-=i i 解得：A i 2)1(=，V i i i u 6321)1()1()1()1(==+?= 当5A 电源作用时，由左边回路的KVL ：02)5(12)2()2()2(=++?+i i i 解得：A i 1)2(-=，V i u 22)2()2(=-= 所以： V u u u 8)2()1(=+= A i i i 1)2()1(=+= 注意：受控源始终保留在分电路中。 4-208、 S 4242"S 424' i R R R R u u R R R u +=+=)(S 2S 424"'i R u R R R u u u ++=+=
第4章电路定理 4-1XX 简单题 4-2XX 叠加定理 4-3XX 戴维宁定理 4-201、试用叠加定理计算下图所示电路中US2=2V时，电压U4的大小。若US1的大小不变，要使U4=0，则US2应等于多少？ 答案U4=-0.4V, Us2=1.2V 4-202、电路如图所示。（1）用叠加定理求各支路电流；（2）求电压源发出的功率。 答案I1=-50mA, I2=15mA, I3=60mA (2)电压源发出的功率为：P=25I1=-1.25W 4-204、
4-205、求题3-22图示电路的电压U和电流I。 + - 2 I1 10V + - 3A - + U 4Ω 6Ω9Ω I1 题3-22图 I 例4－4 用叠加定理求图4－5(a)电路中电压u。 图4－5 解：画出独立电压源u S和独立电流源i S单独作用的电路，如图(b)和(c)所示。由此分别求得u’和u”,然后根据叠加定理将u’和u”相加得到电压u 4-206、例4－1 利用叠加定理求图（a）所示电路中的电压U。 （a） (b) (c) 解：首先画出分电路图如图(b)、(c)所示。 当12V电压源作用时，应用分压原理有：V 4 3 9 12 )1(- = ? - = U 当3A电流源作用时，应用分流公式得：V 6 3 3 6 3 6 )2(= ? + ? = U 则所求电压：V 2 6 4= + - = U S 4 2 4 2 " S 4 2 4 'i R R R R u u R R R u + = + = ) (S 2 S 4 2 4 " 'i R u R R R u u u+ + = + =
第4章电路定理 4-1XX简单题 4-2XX叠加定理 4-3XX戴维宁定理 4-201、试用叠加定理计算下图所示电路中US2=2V时，电压U4的大小。若 US1的大小不变，要使U4=0，则US2应等于多少？ 答案U4=-0.4V,Us2=1.2V 4-202、电路如图所示。（1）用叠加定理求各支路电流；（2）求电压源发出的功率。 答案I1=-50mA,I2=15mA,I3=60mA(2)电压源发出的功率为：P=25I1=-1.25W 4-204、
4-205、求题3-22图示电路的电压U和电流I。 I 69 + 10V - 3A +U - I1 + 2I1 - 4 题3-22图 例4－4用叠加定理求图4－5(a)电路中电压u。 图4－5 解：画出独立电压源u S和独立电流源i S单独作用的电路，如图(b)和(c)所示。由此分别求得u’和u”,然后根据叠加定理将u’和u”相加得到电压u RRR '4"24iuuu SS RRRR 2424 u ' u " u R 4 R 2 R 4 (uSR2iS) 4-206、例4－1利用叠加定理求图（a）所示电路中的电压U。 （a）(b)(c) 解：首先画出分电路图如图(b)、(c)所示。 12(1) 当12V电压源作用时，应用分压原理有：34V U 9
63 则所求电压：U462V 2
第四章电路定理练习题 4-207、 例4－2利用叠加定理求图（a）所示电路中的电压u和电流i。 （a）(b)(c) 解：首先画出分电路图如图(b)、(c)所示。 当10V电源作用时：i(1)(102i(1))/(21) 解得：i(1)2A，u(1)1i(1)2i(1)3i(1)6V 当5A电源作用时，由左边回路的KVL：2i(2)1(5i(2))2i(2)0 解得：i(2)1A，u(2)2i(2)2V 所以：uu(1)u(2)8V i(1)(2)1 iiA 注意：受控源始终保留在分电路中。 4-208、 例4－4封装好的电路如图，已知下列实验数据：当uV s1,i s1A时，响应i2A，当 u s1,i s2A时，响应i1A，求：u s3V,i s5A时的电流i。 V 解：根据叠加定理，有：ik1i s k2u s 代入实验数据，得：k 1 2k 1 k 2 k 2 2 1 解得：k 1 k 2 1 1 因此：ii s u s352A 本例给出了研究激励和响应关系的实验方法。
一、选择题 1. 图示二端网络的等效电阻R ab 为（）。 A 、5Ω B 、4Ω C 、6Ω D 、8Ω 2. 图示单口网络的短路电流sc i 等于（）。 A 、1A B 、 C 、3A D 、-1A 3. 图示单口网络的开路电压oc u 等于（）。 A 、3V B 、4V C 、5V D 、9V 4. 图示单口网络的等效电阻等于（）。 A 、2Ω B 、4Ω C 、6Ω D 、-2Ω 6 V 3 V 6 V ?
5. 理想电压源和理想电流源间（）。 A 、有等效变换关系 B 、没有等效变换关系 C 、有条件下的等效关系 6. 图示电路中a 、b 端的等效电阻R ab 在开关K 打开与闭合时分别为（）。 A 、10?，10? B 、10?，8? C 、10??，?16? D 、8??，10? 7. 图示电路中A 、B 两点间的等效电阻与电路中的R L 相等，则R L 为（）。 A 、40? B 、30 ? C 、20? 二、填空题 1. 具有两个引出端钮的电路称为网络，其内部含有电源称为网络，内部不包含电源的 称为网络。 2. “等效”是指对以外的电路作用效果相同。戴维南等效电路是指一个电阻和一个电 压源的串联组合，其中电阻等于原有源二端网络后的电阻，电压源等于原有源二端网络的电压。 3. 在进行戴维南定理化简电路的过程中，如果出现受控源，应注意除源后的二端网络 等效化简的过程中，受控电压源应处理；受控电流源应处理。在对有源二端网络求解开路电压的过程中，受控源处理应与分析方法相同。 4. 直流电桥的平衡条件是相等；负载获得最大功率的条件是等于，获得的最大功率 max P =。 4? 4? 16? ??? ? a b ? 4 — + i 2 a b i
第四章电路定理 电路定理是电路理论的重要组成部分，为我们求解电路问题提供了另一种分析方法，这些方法具有比较灵活，变换形式多样，目的性强的特点。因此相对来说比第三章中的方程式法较难掌握一些，但应用正确，将使一些看似复杂的问题的求解过程变得非常简单。应用定理分析电路问题必须做到理解其内容，注意使用的范围、条件，熟练掌握使用的方法和步骤。需要指出，在很多问题中定理和方程法往往又是结合使用的。 4-1应用叠加定理求图示电路中电压ab u。 解：首先画出两个电源单独作用式的分电路入题解4-1图（a）和（b）所示。 对（a）图应用结点电压法可得 1 sin 5 ) 1 2 1 3 1 1( 1 t u n = + + + 解得 1 5sin 3sin 5 3 n t u t V == (1)1 1 11 13sin sin 2133 n ab n u u u t t V =?==?= + 对（b）图，应用电阻的分流公式有 11 321 11 135 t t e i e A - - + =?= ++ 所以 (2) 1 10.2 5 t t ab u i e e V -- =?== 故由叠加定理得(1)(2)sin0.2t ab ab ab u u u t e V - =+=+
4-2 应用叠加定理求图示电路中电压u 。 解：画出电源分别作用的分电路如题解（a ）和（b ）所示。 对（a ）图应用结点电压法有 105028136)101401281( 1++=+++n u 解得 (1)113.650.10.0250.1n u u +==++ 18.624882.6670.2253V === 对（b ）图，应用电阻串并联化简方法，可求得 10402(8)32161040331040183(8)21040si u V ??++=?=?=?+++ (2)16182323si u u V -==-?=- 所以，由叠加定理得原电路的u 为 (1)(2)24888033u u u V =+=-= 4-3（4-4）应用叠加定理求图示电路中电压2u 。(注意：不用叠加更简单)
电路分析基础答案周围版 4-2.5μF 电容的端电压如图示。 （1)绘出电流波形图。 （2)确定2μs t =和10μs t =时电容的储能。 解：（1）由电压波形图写出电容端电压的表达式： 10 0μs 1μs 10 1μs 3μs ()1040 3μs 4μs 0 4μs t t t u t t t t ≤≤??≤≤?=?-+≤≤??≤? 式中时间t 的单位为微秒；电压的单位为毫伏。电容伏安关系的微 分形式： 50 0μs 1μs 0 1μs 3μs ()()50 3μs 4μs 0 4μs t t du t i t C t dt t <
4-1 如题4-1图所示电路，N R 为线性纯电阻电路，其内部结构不详。已知：当u s = 1V ，i s =1A 时，u 2 =1V ，当u s = 10V ，i s =2A 时，u 2 =6V 。求当u s = 4V ，i s =10A 时的电压u 2。 + _ s i 题4-1图 解 由线性电路的齐次性和叠加定理，设 212s s u k u k i =+ 代入已知条件，得方程组 12121 1026 k k k k +=?? +=? 解得 10.5k =， 20.5k = 所以，待求量 240.5100.57V u =?+?= 4-2 试用叠加定理求题4-2图所示电路中的电压U 1，并求电流源的功率。 25V 题4-2图 解 用叠加定理求1U ，就是分别求出各电源单独作用时所产生的分量，最后再叠加得到1U 。 25V 电压源单独作用，见图4-2-1(a)，此时1.5A 电流源应开路。 25 V () a () b 图4-2-1 电源分别作用对应电路 由电阻分压公式可得
120//10 2510V 20//1010 U '= ?=+ 1.5A 电流源单独作用，见图4-2-1(b)，此时25V 电压源应短接。 由欧姆定律得 120//10//10 1.56V U ''=?= 根据叠加定理，将两响应分量叠加得 11110616V U U U '''=+=+= 下面求电流源的功率。由题4-2图知 ()125 1.5P U =-+? ()1625 1.513.5W =-+?= 4-3 应用叠加定理求解题4-3图所示电路。若欲使3A 电流源产生30W 功率，与其串联的电阻R 应取何值。 +_ 18V 3 Ω2 Ω 6 Ω1Ω R (b) +_ +u' 题4-3图 解 电压源单独作用时，电路如图4-3（b ）所示。电流源端电压为6Ω与1Ω电阻上电压之代数和 '(12-6)V 6V u == 当3A 电流源单独作用时，电路如图4-3 (c)所示，电流源端电压" u 依题意有 '"()s P u u i =+? "30(6)3u -=+? "16V u =- 由KVL 应有 "212330R u ?+?++= 解得 83 R =Ω 4-4 试用叠加原理计算题4-4图所示电路中电流源两端的电压U 值。
) 3(2 )2(2)1(23322113 21 23233222322 2212 )1( )(i i i u b u b i b G G i G G G u G G u G G G G G u u i S S S S S S S n ++=++=++++-+=-=第四章 电路定理 本章重点： 1、叠加定理 2、替代定理 3、戴维宁定理和诺顿定理 4、最大功率传输定理 4-1 叠加定理 1.叠加定理定义： 在线性电路中，任一支路的电流（或电压）可以看成是电路中每一个独立电源单独作用于电路时，在该支路产生的电流（或电压）的代数和。 2.定理的证明: 用结点电压法： (G 2+G 3)u n1=G 2u s 2+G 3u s 3+i S 1 或表示为： 支路电流为： 3 21323332221G G i G G u G G G u G u S S S n ++ +++=) 3(1 )2(1)1(13322111 n n n S s S n u u u u a u a i a u ++=++=)3(3 )2(3)1(33 21 333323232323313 )1()( )(i i i G G i G u G G G G u G G G G G u u i S S S S n ++=++-+++=-=
结论： 结点电压和支路电流均为各电源的一次函数，均可看成各独立电源单独作用时，产生的响应之叠加。 3、使用叠加定理时应该注意以下几点： （1）、叠加定理适用于线性电路，不适用于非线性电路。 （2）、在叠加的各分电路中，不作用的电压源置零，在电压源处用短路代替；不作用的电流源用开路代替。电路中所有电阻都不予更动，受控源则保留在各分电路中。 （3）、叠加时各分电路中的电压和电流的参考方向可以取为与原电路中的相同。取代数和时，应注意各分量前的“+”、“-”号。 （4）、原电路的功率不等于按各分电路计算所得功率的叠加，这是因为功率是电压和电流的乘积，与激励不成线性关系。 4.叠加定理的应用 例1 试用叠加定理计算图（a ）所示电路中的U 1与I 2。 (a) 20Ω 20Ω 30Ω + U 1 - 20V +﹣20Ω 0.5A I 2 (b) 20Ω 20V +﹣20Ω 30Ω 20Ω I 2 ′ ＋－ U 1′ 解 ：画出电压源分别作用时的分电路如上图所示。对图（b ）有 A A I V V U 5.020 202022030203020202020' 2'1=+=-=??? ???+-?+= 对图（c ）有
第四章作业解答4-1 应用叠加定理求图示电路中电压u ab A sin 2 5.1 1 sin 5 3 // 3 1 sin 5 1 t t t i= + = + = t i i s i n 3 3 3 1 2 = + = t i u ab sin 1 ' 1 = ? = V 2.0 1 4 3 3 4 3 1 3 '' t t ab e e i u - - = ? + = ? = 叠加:V 2.0 sin '' 't ab ab ab e t u u u- + = + = 2Ω 2Ω 1Ω ab 2Ω
4-2 应用叠加定理求图示电路中电压U 解法一: （1）电压源作用:方法一 :电压源共同作用分电路3-6-1如图所示，节点电压方程 10 502136)101401281( 1+=+++n U 解方程得 3 248 1=n U 所以: V 53.8211==n U U 方法二:如用回路电流法则分电路3-6-2如图所示，设回路电流I l 1、I l 2。 列各回路的KVL 方程 ?? ?-=++-=-++50 )1040(40136 40)4082(2121l l l l I I I I 解方程得 ，，A 27.3A 33.521==l l I I 所以: V 53.8240)(211=?-=l l I I U （2）电流源单独作用:分电路3-6-3如图所示， 列各回路的KVL 方程 ??? ??==-++-=--++3010)1040(400840)4082(3 321321l l l l l l l I I I I I I I 解方程得 A 3A 6A 321=== l l l I I I ，， 所以 V 53.240)(212-=?-=l l I I U （3） 叠加：V 8021=+=U U U 分电路3-6-2 分电路3-6-3 2Ω 分电路3-6-1