第二十二章《一元二次方程》
22.1一元二次方程
【目标导航】
1、经历由实际问题抽象出一元二次方程的过程，进一步体会方程是刻画现实世界的有效数学模型；
2、了解一元二次方程的概念和它的一般形式ax 2+bx+c= 0（a≠0），正确理解和掌握一般形式中的a≠0，“项”和“系数”等概念；会根据实际问题列一元二次方程；
一、课前练习
1、下列方程：(1)x 2-1=0； (2)4 x 2+y 2=0； (3)（x-1）（x-3）=0； (4)xy+1=3． (5)
3
212
=-
x
x
其中，一元二次方程有（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
2、一元二次方程（x+1）（3x-2）=10的一般形式是 ，二次项 ， 二次项系数 ，一次项 ，一次项系数 ，常数项 。
二、课堂练习
3、小区在每两幢楼之间，开辟面积为900平方米的一块长方形绿地，并且长比宽多10米，则绿地的长和宽各为多少？
4、一个数比另一个数大3，且两个数之积为10，求这两个数。
5、下列方程中，关于x 的一元二次方程是（ ） A.3(x+1)2= 2(x+1) B .
5112
=-+
x
x
C.ax 2+bx+c= 0
D.x 2+2x= x 2-1
6、把下列方程化成ax 2+bx+c= 0的形式，写出a 、b 、c 的值： (1)3x 2= 7x-2 (2)3(x-1)2 = 2(4-3x)
7、当m 为何值时，关于x 的方程(m-2)x 2-mx+2=m-x 2是关于x 的一元二次方程？
8、若关于的方程(a-5)x ∣a ∣-3+2x-1=0是一元二次方程，求a 的值?
三、课后练习
9、一个正方形的面积的2倍等于15，这个正方形的边长是多少？
10、一块面积为600平方厘米的长方形纸片，把它的一边剪短10厘米，恰好得到一个正方形。求这个正方形的边长。
11、判断下列关于x 的方程是否为一元二次方程： (1)2（x 2－1）=3y ； (2)
4
1
12
=+x
；
(3)（x －3）2=（x ＋5）2； (4)mx 2＋3x －2=0； (5)（a 2＋1）x 2＋（2a －1）x ＋5―a =0.
12、把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它们的二次项系数，一次项系数及常数项。
(1)(3x-1)(2x+3)=4； (2)(x+1)(x-2)=-2.
13、关于x 的方程(2m 2+m-3)x m+1-5x+2=13是一元二次方程吗？为什么？
4.2一元二次方程的解法（1）第一课时
【目标导航】
1、了解形如x 2=a(a≥0)或(x ＋h)2= k(k≥0)的一元二次方程的解法 —— 直接开平方法
2、理解直接开平方法与平方根的定义的关系，会用直接开平方法解一元二次方程
一、课前练习
1、3的平方根是 ；0的平方根是 ；-4的平方根 。
2、一元二次方程x 2=4的解是 。 二、课堂练习
3、方程036)5(2=--x 的解为（ ）
A 、0
B 、1
C 、2
D 、以上均不对 4、已知一元二次方程)0(02≠=+m n mx ，若方程有解，则必须（ ）
A 、n=0
B 、n=0或m ，n 异号
C 、n 是m 的整数倍
D 、m ，n 同号 5、方程(1)x 2＝2的解是 ； (2)x 2=0的解是 。 6、解下列方程：
(1)4x 2－1＝0 ； (2)3x 2+3=0 ；
(3)(x-1)2 =0 ； (4)(x+4)2 = 9；
7、解下列方程：
(1)81(x-2)2=16 ； (2)(2x+1)2=25；
8、解方程：
(1) 4(2x+1)2-36=0 ； (2)2
2)
32()2(+=-x x 。
三、课后练习
9、用直接开平方法解方程（x ＋h ）2=k ，方程必须满足的条件是（ ） A ．k≥o B ．h≥o C ．hk ＞o D ．k ＜o 10、方程（1-x ）2=2的根是（ ） A.-1、3 B.1、-3 C.1-2
、1+
2
D.
2
-1、
2
+1
11、下列解方程的过程中，正确的是（ ） (1)x 2=-2,解方程，得x=±
2
(2)(x-2)2=4,解方程，得x-2=2,x=4
(3)4(x-1)2=9,解方程，得4(x-1)= ±3, x 1=4
7
;x 2=4
1
(4)(2x+3)2=25,解方程，得2x+3=±5, x 1= 1;x 2=-4 12、方程 (3x －1)2=－5的解是 。 13、用直接开平方法解下列方程：
(1)4x 2=9； (2)（x+2）2=16
(3)(2x-1)2=3; (4)3(2x+1)2=12
4.2一元二次方程的解法（2）第二课时
【目标导航】
1、经历探究将一元二次方程的一般式转化为（x ＋h ）2= k （n≥0）形式的过程，进一步理解配方法的意义；
2、会用配方法解二次项系数为1的一元二次方程，体会转化的思想方法 一、课前练习 1、填空：
（1）x 2+6x+ =(x+ )2；(2)x 2-2x+ =(x- )2； (3)x 2-5x+ =(x- )2；(4)x 2+x+ =(x+ )2； (5)x 2+px+ =(x+ )2；
2、将方程x 2+2x-3=0化为(x+h)2=k 的形式为 ； 二、课堂练习
3、用配方法解方程x 2+4x-2=0时，第一步是 ，第二步是 ，第三步是 ，解是 。
4、用配方法解一元二次方程x 2+8x+7=0，则方程可变形为（ ）
A.(x-4)2=9
B.(x+4)2=9
C.(x-8)2=16
D.(x+8)2=57
5、已知方程x 2-5x+q=0可以配方成(x-2
5 )2=4
6
的形式，则q 的值为（ ）
A.4
6 B.
4
25 C.
4
19 D. -
4
19
6、已知方程x 2-6x+q=0可以配方成(x-p )2=7的形式，那么q 的值是（ ） A.9 B.7 C.2 D.-2
7、用配方法解下列方程：
（1）x 2-4x=5； （2）x 2-100x-101=0；
（3）x 2+8x+9=0； （4）y 2+22
y-4=0；
8、试用配方法证明：代数式x 2+3x-23
的值不小于-4
15。
三、课后练习
9、完成下列配方过程：
（1）x 2+8x+ =(x+ )2 （2）x 2-x+ =(x- )2 （3）x 2+ +4=(x+ )2 （4）x 2- + 4
9=（x- ）2
10、若x 2-mx+ 25
49=(x+
5
7)2，则m 的值为（ ）.
A.
5
7 B.-5
7 C.
5
14 D. -
5
14
11、用配方法解方程x 2-3
2x+1=0，正确的解法是（ ）. A.(x-
3
1)2=
9
8,x=
3
1±
3
2
2 B.(x-
3
1)2=-9
8
,方程无解
C.(x-
3
2)2=
9
5,x=
3
5
2 D.(x-
3
2)2=1, x 1=3
5;x 2=-3
1
12、用配方法解下列方程：
(1)x 2-6x-16=0； (2)x 2+3x-2=0； (3)x 2+23
x-4=0； (4)x 2-3
2x-3
2
=0.
13、已知直角三角形的三边a 、b 、b ，且两直角边a 、b 满足等式(a 2+b 2)2-2(a 2+b 2)-15=0，求斜边c 的值。
4.2一元二次方程的解法（3）第三课时
【目标导航】
1、掌握用配方法解一元二次方程的基本步骤和方法
2、使学生掌握用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程，进一步体会配方法是一种重要的数学方法 一、课前预习 1、填空：
(1)x 2-31
x+ =(x- )2, (2)2x 2-3x+ =2(x- )2.
2、用配方法解一元二次方程2x 2-5x-8=0的步骤中第一步是 。 二、课堂练习
3、2x 2-6x+3=2（x- ）2- ；x 2+mx+n=（x+ ）2+ .
4、方程2(x+4)2-10=0的根是 .
5、用配方法解方程2x 2-4x+3=0，配方正确的是（ ） A.2x 2-4x+4=3+4 B. 2x 2-4x+4=-3+4 C.x 2-2x+1=2
3
+1 D. x 2-2x+1=-2
3
+1
6、用配方法解下列方程，配方错误的是（ ）
A.x 2+2x-99=0化为(x+1)2=100
B.t 2-7t-4=0化为(t-2
7)2=
4
65
C.x 2+8x+9=0化为(x+4)2=25
D.3x 2-4x-2=0化为(x-3
2)2=9
10
7、用配方法解下列方程： （1）0
4722=--t t ； （2）x x 6132=-；
（3）0
2222=--t t ； （4）2x 2-4x+1=0。
8、试用配方法证明：2x 2-x+3的值不小于8
23.
9、用配方法解方程2y 2-5
y=1时，方程的两边都应加上（ ）
A.
2
5 B.
4
5 C. 4
5 D.
16
5
10、a 2+b 2+2a-4b+5=(a+ )2+(b- )2 11、用配方法解下列方程：
(1)2x 2+1=3x ； (2)3y 2-y-2=0；
(3)3x 2-4x+1=0； (4)2x 2=3-7x.
12、已知(a+b)2=17，ab=3.求(a-b)2的值. 13、解方程： (x-2)2-4(x-2)-5=0
4.2一元二次方程的解法（4）第四课时
【目标导航】
1、体验用配方法推导一元二次方程求根公式的过程，明确运用公式求根的前提条件是b2－4ac≥0
2、会用公式法解一元二次方程
一、课前预习
1、把方程4-x2=3x化为ax2+bx+c=0(a≠0)形式为，
b2-4ac= .
2、方程x2+x-1=0的根是。
二、课堂练习
3、用公式法解方程2x2+43x=22,其中求的b2-4ac的值是（）
A.16
B. ±4
C. 32
D.64
4、用公式法解方程x2=-8x-15，其中b2-4ac= ，方程的根是.。
5、用公式法解方程3x2+4=12x，下列代入公式正确的是（）
A.x1.2=
212
144
12-
±
B. x1.2=
212
144 12-
±
-
C. x1.2=
212
144
12+
±
D. x1.2=
648
144
12-
±
6、三角形两边长分别是3和5，第三边的长是方程3x2-10x-8=0的根，则此三角形是三角形.
7、如果分式
12
2
--
+ x x
x
的值为零，那么x= .
8、用公式法解下列方程：
(1) 3 y2-y-2 = 0(2) 2 x2+1 =3x
(3)4x2-3x-1=x-2 (4)3x(x-3)=2(x-1)(x+1)
9、把方程(2x-1)(x+3)=x2+1化为ax2 + bx + c = 0的形式，b2-4ac= ，方程的根是.
10、方程(x-1)(x-3)=2的根是（）
A. x1=1,x2=3
B.x=2±23
C.x=2±3
D.x=-2±23
11、关于x的一元二次方程x2+4x-m=0的一个根是5-2，则m= ，方程的另一个根是.
12、若最简二次根式7
2-
m和2
8+
m是同类二次根式，则的值为（）
A.9或-1
B.-1
C.1
D.9
13、用公式法解下列方程：
（1）x2-2x-8=0；（2）x2+2x-4=0；
（3）2x2-3x-2=0；（4）3x(3x-2)+1=0.
4.2一元二次方程的解法（5）第五课时
【目标导航】
1、用公式法解一元二次方程的过程中，进一步理解代数式b2－4ac对根的情况的判断作用
2、能用b2－4ac的值判别一元二次方程根的情况
一、课前预习
1、方程3x2+2=4x的判别式b2-4ac= ，所以方程的根的情况是.
2、一元二次方程x2-4x+4=0的根的情况是（）
A.有两个不等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.没有实数根
D.不能确定
二、课堂练习
3下列方程中，没有实数根的方程式（）
A.x2=9
B.4x2=3(4x-1)
C.x(x+1)=1
D.2y2+6y+7=0
4、方程ax2+bx+c=0(a≠0)有实数根，那么总成立的式子是（）
A.b2-4ac＞0
B. b2-4ac＜0
C. b2-4ac≤0
D. b2-4ac≥0
5、如果方程9x2-(k+6)x+k+1=0有两个相等的实数根，那么k= .
6、不解方程，判别下列方程根的情况.
（1）2x2+3x+4=0；（2）2x2-5=6x；（3）4x(x-1)-3=0；（4）x2+5=25x.
7、试说明关于x的方程x2+(2k+1)x+k-1=0必定有两个不相等的实数根.
8、已知一元二次方程(m-2)2x2+(2m+1)x+1=0有两个不相等的实数根，求的取值范围.
9、方程(2x+1)(9x+8)=1的根的情况是（）
A.有两个不相等的实
B.有两个相等的实数根
C.无实数根
D.不能确定
10、关于x的方程x2+2k x+1=0有两个不相等的实数根，则k( )
A.k＞-1
B.k≥-1
C.k＞1
D.k≥0
11、已知方程x2-mx+n=0有两个相等的实数根，那么符合条件的一组m，n的值可以是m= ,n= .
12、不解方程，判断下列方程根的情况：
（1）3x2－x＋1 = 3x （2）5（x2＋1）= 7x （3）3x2－43x =－4
13、当k为何值时，关于x的方程k x2－（2k＋1）x＋k＋3 = 0有两个不相等的实数根？
4.2一元二次方程的解法（6）第六课时
【目标导航】
1、会用因式分解法解一元二次方程，体会“降次”化归的思想方法
2、能根据一元二次方程的特征，选择适当的求解方法，体会解决问题的灵活性和多样性 一、课前预习
1、一元二次方程(x-1)(x-2)=0可化为两个一次方程为 和 ，方程的根是 .
2、方程3x 2=0的根是 ，方程(y-2)2=0的根是 ，方程(x+1)2=4(x+1)的根是 . 二、课堂练习
3、已知方程4x 2-3x=0，下列说法正确的是（ ） A.只有一个根x=43
B.只有一个根x=0
C.有两个根x 1=0,x 2=4
3 D.有两个根x 1=0,x 2=-4
3
4、如果(x-1)(x+2)=0，那么以下结论正确的是（ ）
A.x=1或x=-2
B.必须x=1
C.x=2或x=-1
D.必须x=1且x=-2 5、方程（x+1）2=x+1的正确解法是（ ）
A.化为x+1=
B.化为（x+1）（x+1-1）=0
C.化为x 2+3x+2=0
D.化为x+1=0 6、解方程x （x+1）=2时，要先把方程化为 ；再选择适当的方法求解，得方程的两根为x 1= ,x 2= . 7、用因式分解法解下列方程：
（1）x 2+16x=0 （2）5x 2-10x=-5
（3）x （x-3）+x-3=0 （4）2(x-3)2=9-x 2
8、用适当的方法解下列方程：
（1）(3x-1)(x-2)=(4x+1)(x-2) (2) 4x2-20x+25=7
(3)3x2-4x-1=0 (4)x2+2x-4=0
9、用因式分解法解方程5（x+3）-2x（x+3）=0，可把其化为两个一元一次方程
、求解。
10、如果方程x2-3x+c=0有一个根为1，那么c= ，该方程的另一根为，该方程可化为（x-1）（x ）=0
11、方程x2=x的根为（）
A.x=0
B. x1=0,x2=1
C. x1=0,x2=-1
D. x1=0,x2=2
12、用适当方法解下列方程：
（1）（x+2）2=3x+6；（2）（3x+2）2-4x2=0；（3）5（2x-1）=(1-2x)(x+3)；
4）2（x-3）2+(3x-x2)=0. （5）（3x-1）2=1；（6）2（x+1）2=x2-1；
（7）(2x-1)2+2(2x-1)=3；（8）(y+3)（1-3y）=1+2y2.
1、从正面观察下图所示的两个物体，看到的是（ ） A . B. C. D. 2、已知：如图，AD ∥EF ，∠1＝∠2．求证：AB ∥DG ． 3、如图，要设计一个等腰梯形的花坛，花坛上底长120米，下底长180米，上下底相距80米，在两腰中点连线（虚线）处有一条横向甬道，上下底之间有两条纵向甬道，各甬道的宽度相等．设甬道的宽为x 米． （1）用含x 的式子表示横向甬道的面积； （2）当三条甬道的面积是梯形面积的八分之一时，求甬道的宽； （3）根据设计的要求，甬道的宽不能超过6米.如果修建甬道的总费用（万元）与甬道的宽度成正比例关系，比例系数是5.7，花坛其余部分的绿化费用为每平方米0.02万元，那么当甬道的宽度为多少米时，所建花坛的总费用最少？最少费用是多少万元？
1、计算：0 060cos 160sin 30tan -+= 2、甲、乙两同学从A 地出发，骑自行车在同一条路上行驶到B 地，他们离出发地的距离s （千米）和行驶时间t （小时）之间的函数关系的图象如图所示，根据图中提供的信息，有下列说法：( ) （1） 他们都行驶了18千米； （2） 甲在途中停留了0.5小时； （3） 乙比甲晚出发了0.5小时； （4） 相遇后，甲的速度小于乙的速度； （5） 甲、乙两人同时到达目的地。 其中，符合图象描述的说法有 A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 3、正方形ABCD 中，P 为AB 上一点，连接CP ，过B 作BE ⊥CP 于E 。 （1）如图1，连接DE ，过E 作EF ⊥DE 交BC 于F ，求证：BP=BF 。 （2）如图2，连接AE ，分别以AE 、BE 为直角边作等腰直角三角形AEG 、BEF ，连接DF ，求证：AG ⊥DF 图1 图2 P
旋转知识点总结与练习 知识点1 旋转的定义 把一个平面图形绕着平面内某一点O 转动一个角度的图形变换叫做_____，点O 叫做旋转中心， ________叫做旋转角. 要点诠释：旋转的三个要素：旋转中心、旋转方向和旋转角度. 1. 如图,将正方形图案绕中心O 旋转180°后,得到的图案是 （ ） 2. 如图2，该图形围绕自己的旋转中心，按下列角度旋转后，不能与其自 身重合的是（ ） Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 旋转的性质 (1)对应点到旋转中心的距离________； (2)对应点与旋转中心所连的线段的夹角等于________； (3)旋转前后的两个图形______. 要点诠释：图形绕某一点旋转，既可以按顺时针旋转也可以按逆时针旋转. 3. 如图，将△ABC 绕着点C 按顺时针方向旋转20°，B 点落在B′位置，A 点落在A′ 位置，若AC⊥A′B′，则∠BAC 的度数是（ ） A ．50° B ．60° C ．70° D ．80° 4.如图，直线与轴、轴分别交于、两点，把△绕点顺 时针旋转90°后得到△，则点的坐标是 A. （3，4） B. （4，5） C. （7，4） D. （7，3） 旋转的作图: 在画旋转图形时，首先确定旋转中心，其次确定图形的关键点，再将这些关键，沿指定的方 72o 108o 144o 216o 443 y x =-+x y A B AOB A AO B ''B '
向旋转指定的角度，然后连接对应的部分，形成相应的图形． 5．在下图4×4的正方形网格中，△MNP绕某点旋转一定的角度，得到△M1N1P1，则其 旋转中心可能是（） A.点A B.点B C.点C D.点D 知识点2 中心对称 把一个图形绕着某一点旋转_____，如果它能够与另一个图形____，那么就说这两个图形关于这个点对 称或______，这个点叫做______，旋转后能够重合的对应点叫做关于对称中心的_______. 要点诠释：（1）有两个图形，能够完全重合，即形状大小都相同； （2）位置必须满足一个条件：将其中一个图形绕着某一个点旋转180°能够与另一个图形重合(全等图形不一定是中心对称的，而中心对称的两个图形一定是全等的) 6.如图所示，在下列四组图形中，右边图形与左边图形成中心对称的有_______. 中心对称的性质： 中心对称的两个图形，对称点所连线段经过_____，并且被对称中心所_____.中心对称的两个图形是____. 7.如图，已知△ABC和点O.在图中画出△A′B′C′，使△A′B′C′与△ABC关于O点成中心对称. 知识点3 中心对称图形 把一个图形绕着某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形____，那么这个图形叫做_________，这个点叫它的_______.
全国初中数学竞赛辅导（初三分册）全套
第一讲分式方程(组)的解法 分母中含有未知数的方程叫分式方程．解分式方程的基本思想是转化为整式方程求解，转化的基本方法是去分母、换元，但也要灵活运用，注意方程的特点进行有效的变形．变形时可能会扩大(或缩小)未知数的取值范围，故必须验根． 例1 解方程 解令y=x2＋2x-8，那么原方程为 去分母得 y(y-15x)＋(y+9x)(y-15x)＋y(y＋9x)=0， y2-4xy-45x2=0， (y+5x)(y-9x)=0， 所以 y=9x或y=-5x．
由y=9x得x2+2x-8=9x，即x2-7x-8=0，所以x1=-1，x2=8；由y=-5x，得x2+2x-8=-5x，即x2＋7x-8=0，所以x3=-8，x4=1． 经检验，它们都是原方程的根． 例2 解方程 y2-18y+72=0， 所以 y1=6或y2=12． x2-2x＋6=0．此方程无实数根． x2-8x+12=0，
所以 x1=2或x2=6． 经检验，x1=2，x2=6是原方程的实数根． 例3 解方程 分析与解我们注意到：各分式的分子的次数不低于分母的次数，故可考虑先用多项式除法化简分式．原方程可变为 整理得 去分母、整理得 x＋9=0，x=-9． 经检验知，x=-9是原方程的根． 例4 解方程
分析与解方程中各项的分子与分母之差都是1，根据这一特点把每个分式化为整式和真分式之和，这样原方程即可化简．原方程化为 即 所以 ((x+6)(x+7)=(x+2)(x+3)． 例5 解方程 分析与解注意到方程左边每个分式的分母中两个一次因式的差均为常数1，故可考虑把一个分式拆成两个分式之差的形式，用拆项相消进行化简．原方程变形为
旋转模型 授课日期时间 主题 教学内容 1.巩固并掌握旋转的性质； 2.结合辅助线的构造，更深刻的认识旋转的性质； 知识结构 1、在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转 2、?旋转具有以下特征： （1）图形中的每一点都绕着旋转中心旋转了同样大小的角度；（2）对应点到旋转中心的距离相等；（3）对应角、对应线段相等；（4）图形的形状和大小都不变。 3、旋转的思想：旋转也是图形的一种基本变换，通过图形旋转变换，从而将一些简单的平面图形按要求旋转到适当的位置，使问题获得简单的解决，它是一种要的解题方法。 4、旋转不同类型 （一）正三角形类型 在正中，为内一点，将绕点按逆时针方向旋转，使得与 重合。 经过这样旋转变化，将图（1-1-a）中的、、三条线段集中于图（1-1-b）中的一个 中，此时也为正三角形。 【例题】如图：（1-1）：设是等边内的一点，PA=3， PB=4，PC=5，的度数是________.
（二）正方形类型 在正方形中，P为正方形内一点，将绕点按顺时针方向旋转，使得与重合。 经过旋转变化，将图（2-1-a）中的、、三条线段集中于图（2-1-b）中的中，此时为等腰直角三角形。 【例题】 如图（2-1）：是正方形内一点，点到正方形的三个顶点、、的距离分别为P A=1，PB=2，PC=3。求此正方形ABCD。
面. （三）等腰直角三角形类型 在等腰直角三角形中，，为内一点，将绕点按逆时针方向旋转，使得与重合。 经过这样旋转变化，在图（3-1-b）中的一个为等腰直角三角形。 【例题】如图，在中，∠ACB =900，BC=AC，P为内一点，且PA=3，PB=1，PC=2。求的度数。 典型例题
第二十三章旋转 单元要点分析 教学内容 1．主要内容： 图形的旋转及其有关概念：包括旋转、旋转中心、旋转角．图形旋转的有关性质：对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，旋转前、后的图形全等．通过不同形式的旋转，设计图案．中心对称及其有关概念：中心对称、对称中心、关于中心的对称点；关于中心对称的两个图形．中心对称的性质：对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分；关于中心对称的两个图形是全等图形．中心对称图形：概念及性质：包括中心对称图形、对称中心．关于原点对称的点的坐标：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号都相反，即点P（x，y）关于原点的对称点为P′（-x，-y）．课题学习．图案设计． 2．本单元在教材中的地位与作用： 学生通过平移、平面直角坐标系，轴对称、反比例函数、四边形等知识的学习，初步积累了一定的图形变换数学活动经验．本章在此基础上，让学生进行观察、分析、画图、简单图案的欣赏与设计等操作性活动形成图形旋转概念．它又对今后继续学习数学，尤其是几何，包括圆等内容的学习起着桥梁铺垫之作用． 教学目标 1．知识与技能 了解图形的旋转的有关概念并理解它的基本性质． 了解中心对称的概念并理解它的基本性质． 了解中心对称图形的概念；掌握关于原点对称的两点的关系并应用；再通过几何操作题的练习，掌握课题学习中图案设计的方法． 2．过程与方法 （1）让学生感受生活中的几何，?通过不同的情景设计归纳出图形旋转的有关概念，并用这些概念来解决一些问题． （2）?通过复习图形旋转的有关概念从中归纳出“对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，旋转前后的图形全等”等重要性质，并运用它解决一些实际问题．
旋转（讲义） 课前预习 1.平移是，只改变图形的，不改变图 形的． 2.平移与轴对称 平移平移方向 平移距离 1.} 2.对应点所连的线段平行且相等 3.对应线段平行且相等 4.对应角相等 平移出现 轴对称 ( 对称轴 1.对应线段、对应角相等 2.对应点所连线段被对称轴垂直 平分 3.对称轴上的点到对应点的距离 相等 4.对称轴两侧的几何图形全等 ： 折叠出现知识点睛 1.旋转 （1）旋转的定义 " 在平面内，将一个图形绕一个定点按某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为，这个定点称为，转动的角称为．旋转不改变图形的和．（2）旋转的性质 对应点到旋转中心的距离； 对应点与旋转中心所连线段的夹角等于； 旋转前、后的图形． 2.中心对称 （1）中心对称的定义 把一个图形绕着某一点旋转°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或，这个点叫做（简称中心）．这两个图形在旋转后能重合的对应点叫做关于对称中心的． '
， （2）中心对称的性质 中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过 ，而且 被对称中心所 ． 中心对称的两个图形是 ． 3. 中心对称图形 把一个图形绕着某一个点旋转 180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 如果一条直线经过中心对称图形的对称中心，那么这条直线将该中心对称图形分割成面积相等的两部分． 4. 坐标系中的对称点 （1）平面直角坐标系中，两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点 P (x ，y )关于原点的对称点为 P ′（ ， ）． （2）平面直角坐标系中，若两个点 A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)关于点 C 对称，则点 C 为线段 AB 的中点，此时点 C 的坐标为 ( x xy y ) ． 2 2 精讲精练 1. 如图，在网格纸中有一 Rt △ABC ． （1）将△ABC 以点 C 为旋转中心，顺时针旋转 180°，画出旋转后对应的△A 1B 1C ； （2）将△ABC 以点 A 为旋转中心旋转 90°，画出旋转后对应的△AB 2C 2． B A C
专业资料 初中数学竞赛辅导讲义（初三） 第一讲 分式的运算 [知识点击] 1、 分部分式：真分式化为另几个真分式的和，一般先将分母分解因式，后用待定系数法进行。 2、 综合除法：多项式除以多项式可类似于是有理数的除法运算，可列竖式来进行。 3、 分式运算：实质就是分式的通分与约分。 [例题选讲] 例1．化简 2312++x x + 6512++x x + 12 712++x x 解：原式= )2)(1(1++x x + )3)(2(1++x x + ) 4)(3(1++x x = 11+x - 21+x + 21+x - 31+x + 31+x - 4 1+x =) 4)(1(3++x x 例2． 已知 z z y x -+ = y z y x +- = x z y x ++- ，且xyz ≠0，求分式xyz x z z y y x ))()((+-+的值。
专业资料 解：易知：z y x + = y z x + = x z y + =ｋ 则?? ???=+=+=+)3()2()1(kx z y ky z x kz y x （1）+（2）+（3）得：(ｋ-2)(x+y+z)=0 ｋ=2 或 x+y+z=0 若ｋ=2则原式= k 3 = 8 若 ｘ+ｙ+ｚ=0，则原式= k 3 =-1 例3．设 1 2+-mx x x =1，求 12242+-x m x x 的值。 解：显然X 0≠，由已知x mx x 12+- =1 ，则 x +x 1 = ｍ + 1 ∴ 22241x x m x +- = ｘ2 + 21x - ｍ2= (x +x 1)2-2 –ｍ2 =( ｍ +1)2-2- ｍ2= 2ｍ -1 ∴原式=1 21-m 例4．已知多项式3x 3 +ax 2 +3x +1 能被x 2 +1整除，求ａ的值。 解：
23．1图形的旋转 第1课时旋转的概念和性质 教学目标 1．通过观察具体实例认识旋转，能够归纳概括出旋转的概念，能够用数学语言建立旋转模型． 2．在探索旋转的过程中，构建旋转模型，概括旋转的性质． 教学重点 旋转的概念． 教学难点 探索旋转的性质．教学设计一师一优课一课一名师(设计者：) 教学过程设计 一、创设情景明确目标 展示图片并提问： 钟表的指针在不停地转动，如图①，从3时到5时，时针转动了多少度？ 如图②，风车风轮的每个叶片在风的吹动下转动到新的位置． 以上这些现象有什么共同特点呢？ 学生思考回答： 归纳导入：从3时到5时，钟表时针转动60°；钟表指针转动，风车叶片转动都可以看做是一个平面图形绕着平面内一点转动一个角度，什么叫做图形的旋转？旋转有哪些基本性质？ 二、自主学习指向目标 1．自学教材第59至60页． 2．学习至此：请完成学生用书“课前预习”部分． 三、合作探究达成目标 探究点一旋转的概念 活动一：将指针、叶片等看作平面图形，相互交流思考下面的问题： (1)什么样的图形变换叫做旋转？ (2)什么叫做旋转中心？旋转角？
(3)何谓旋转的对应点？ 【展示点评】把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度，就叫做图形的旋转，点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角，如果图形上的点P经过旋转变为点P′，那么这两个点叫做这个旋转的对应点． 【小组讨论】如何找出旋转前后图形的对应元素？ 【反思小结】上面左图中，表盘的中心是旋转中心，旋转角是60°，时针的端点在3时的位置P与在5时的位置P′是对应点．找对应元素的方法是先确定旋转中心和对应点，然后利用“局部带整体”的方法得到其他对应元素． 【针对训练】见学生用书“当堂练习”知识点一 探究点二旋转的性质 活动二：出示教材第60页“探究”内容，相互交流思考下面的问题： (1)在这次旋转变换中，△ABC与△A′B′C′的对应点有哪些？旋转角有哪些？它们之间有何关系？ (2)△ABC与△A′B′C′的形状和大小有什么关系？ (3)△ABC和△A′B′C′的对应点之间有何数量关系和位置上的特征？所有旋转变换是否都满足你所发现的规律？ 【展示点评】A与A′对应，B与B′对应，C与C′对应，∠AOA′、∠BOB′、∠COC′都是旋转角，∠AOA′＝∠BOB′＝∠COC′；旋转后△ABC与△A′B′C′的形状和大小不变，所有的旋转变换都满足以上规律． 【小组讨论】旋转具有哪些性质？ 【反思小结】旋转的性质：1.对应点到旋转中心的距离相等；2.对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；3.旋转前、后的图形全等． 【针对训练】见学生用书“当堂练习”知识点二 四、总结梳理内化目标 1．旋转的定义：把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度，就叫做图形的旋转；旋转的性质：(1)对应点到旋转中心的距离相等；(2)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；(3)旋转前、后的图形全等． 2．方法：(1)给出旋转图形，对应点到旋转中心所连线段的夹角就是旋转角．注意旋转方向；(2)根据旋转方向、旋转角找到对应点． 五、达标检测反思目标 1．下列物体的运动不是旋转的是( C )
阶段性教学辅导方案 一、学生及其教师概括 学生性别年级就读学校 教师性别学科教材版本 学管师性别咨询师来校时间 二、学生个性特点分析（学习兴趣与自信心；学习态度与学习习惯；学习方法与应试能力；学习类型与性格特点；学科知识实际掌握情况与缺漏之处） 该生非常聪明，上课比较积极主动，学习态度比较积极。有一定的基础知识，但没有养成良好的学习习惯和学习思路，学习的主动性和积极性不高，在学习过程中对学习的认识还不够。从试卷完成度和正确率来看，该生初一知识有一定的了解，有些知识点较模糊，初二基础知识比较薄弱。 三、按课程标准达到相应的程度（包括懂得、了解、理解、掌握、学会、形成等等） 理解并掌握课本中所涉及的相关知识点，形成适合自己的学习方式和学习习惯，激发学习兴趣，提升学习自信心，形成良好的解题思路和解题技巧，变被动学习为主动学习。 四、下阶段拟采用的方法或措施（兴趣培养；夯实基础；思维训练；知识应用） 初中数学，是一个整体，数学学习是环环相扣的。针对“初一的基础知识多，初二的难点多，初三的考点多”的情况以及该生的特点，需先从基础开始复习，温故而知新，让学生喜欢上数学，数学成绩进步看的见。主要分三个阶段： 第一阶段，复习初一知识点，在此过程中构建学生的学习框架，激发学习兴趣，提升学习的主动性和积极性，培养解题思路和解题技巧，熟悉中考难度的题型，进行强化训练等。 第二阶段，针对初二知识掌握不牢，对初二知识进行详细认真的复习指导，掌握解题规律和技巧，各个击破知识点，达到举一反三的效果，从而对学习数学充满信心。 第三阶段，预习初三内容，提前了解并掌握初三知识点，增强自信心，赢在起跑线，游刃有余的投入新学年的学习中，为中考打下坚实的基础。 教学过程中遵循循序渐进的规律，并适时灵活改变教学思路，结合以点带面的方法，进行系统性和总结性的复习指导。 五、教学目标与课时分配（总课时85 ；辅导时间：2012年7 月—2012 年9月；暑期8课时/周
初三数学总复习辅导一 班级 姓名 学号 得分 一、选择题 1、―5 1的倒数是（ ） A ―5 B 5 C ―51 D 5 1 2、有六个数0.1427，0.010010001，―3064.0，2，―7 22，2，其中无理数的个数是（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 3、如果∣a ―1∣=1―a ，则a 是（ ） A a >1 B a <1 C a ≥1 D a ≤1 4、下面有四个说法，其中正确的是（ ） A ―64的立方根是4 B 49的算术平方根是±7 C 271的立方根是3 1 D 9的平方根是±3 5、近似数0.03020的有效数字的个数和精确度分别是（ ） A 四个，精确到万分位 B 三个，精确到十万分位 C 四个，精确到十万分位 D 三个，精确到万分位 6、已知实数a 、b 、c 在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是（ ） A cb>ab B ac>ab C cb
作业： 一、选择题 1、1997年我国粮食总产量达492500000吨，用科学记数法表示这个数，可记作（ ） A 4.925×109吨 B 4925×105吨 C 4.925×108吨 D 5×108吨 2、如果a 与b 互为相反数，则a 与b 满足的关系为（ ） A ab=1 B ab=―1 C a+b=0 D a ―b=0 3、3―2的倒数是（ ） A 3+2 B 2―3 C 231+ D 5 23- 4、下列说法或式子正确的是（ ） A 81的平方根是±3 B 1的立方根是±1 C 1=±1 D x >0 5、下列等式不成立的是（ ） A 2― 1=21 B 283-=- C 1052= D (a 2)5=a 7 6、我国的国土面积为9.60×106平方千米，有四舍五入得到的近似数9.60×106（ ） A 有3个有效数字，精确到百分位 B 有3个有效数字，精确到百万位 C 有3个有效数字，精确到万位 D 有2个有效数字，精确到十万位 7、下列各组中，相等的一组是（ ） A ―1和―2+(―1) B ―3和9 C 1+(―2)和―(―1) D ―(―1)和∣―1∣ 二、填空题 8、近似数0.48的近似范围是 9、比较比较大小：―32 ―5 2 10、近似数0.4850的有效数字是 11、三个数35，210，35中，最小的一个是 三、解答题 12、33+(21)― 2―∣0―1∣+(1 21-)0 13、(―21)2―2+2― 1×(32―∣3 2―2∣) 14、(―2)3―∣―21∣+(3 1)― 2×(1―3)0 15、已知实数a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示，化简∣a+b ∣―∣c ―b ∣
拔高专题：旋转变化中的压轴题一、基本模型构建 常 见 模 型 思 考 上图中，△AE′B旋转到AED的位置， 可得△AE′E为等腰三角形。如果 四边形ABCD是矩形或正方形，则三角 形AE′E为等腰直角三角形。 上图中，△ABC旋转到△ADE的位置， 可以得到∠EAC=∠DAB ，如果∠ B=60°，所以△ADB为等边三角 形. 探究点一：以三角形为基础的图形的旋转变换 例1： （2015?盘锦中考）如图1，△ABC和△AED都是等腰直角三角形，∠BAC=∠EAD=90°，点B在线段AE上，点C在线段AD上． （1）请直接写出线段BE与线段CD的关系：BE=CD ； （2）如图2，将图1中的△ABC绕点A顺时针旋转角α（0＜α＜360°）， ①（1）中的结论是否成立？若成立，请利用图2证明；若不成立，请说明理由； ②当AC= 1 2 ED时，探究在△ABC旋转的过程中，是否存在这样的角α，使以A、B、C、D四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出角α的度数；若不存在，请说明理由． 解：（1）∵△ABC和△AED都是等腰直角三角形，∠BAC=∠EAD=90°，∴AB=AC，AE=AD， ∴AE-AB=AD-AC，∴BE=CD； （2）①∵△ABC和△AED都是等腰直角三角形，∠BAC=∠EAD=90°，∴AB=AC，AE=AD，由旋转的性质可得∠BAE=∠CAD，在△BAE与△CAD中， AB AC BAE CAD AE AD ? ∠ ? ? ∠ ? ? ＝ ＝ ＝ ， ∴△BAE≌△CAD（SAS），∴BE=CD；
②∵以A 、B 、C 、D 四点为顶点的四边形是平行四边形，△ABC 和△AED 都是等腰直角三角形， ∴∠ABC=∠ADC=45°，∵AC= 1 2 ED ，∴AC=CD ，∴∠CAD=45°，或360°-90°-45°=225°， ∴角α的度数是45°或225°． 等腰直角三角形的性质，等量代换，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，综合性较强 【变式训练】1. 如图①，在Rt △ABC 和Rt △EDC 中，∠ACB=∠ECD=90°，AC=EC=BC=DC ，AB 与EC 交于F ，ED 与AB 、BC 分别交于M 、H ． （1）求证：CF=CH ； （2）如图②，Rt △ABC 不动，将Rt △EDC 绕点C 旋转到∠BCE=45°时，判断四边形ACDM 的形状，并证明你的结论． （1）证明：∵∠ACB=∠ECD=90°，AC=BC=CD=CE ，∴∠1=∠2=90°-∠BCE ，∠A=∠B=∠D=∠E=45°， 在△ACF 和△DCH 中，12A D AC CD ∠∠∠??∠? ?? ＝＝＝，∴△ACF ≌△DCH ，∴CF=CH ； （2）四边形ACDM 是菱形，证明：∵∠ACB=∠ECD=90°，∠BCE=45°，∴∠1=∠2=90°-45°=45°， ∵∠A=∠D=45°，∴∠A+∠ACD=45°+90°+45°=180°，同理∠D+∠ACD=180°，∴AM ∥DC ，AC ∥DM ， ∴四边形ACDM 是平行四边形，∵AC=CD ，∴四边形ACDM 是菱形． 【教师总结】三角形从一个位置旋转到另一个位置，除去对应线段和对应角相等外，里面也存在着相等的角，和全等三角形，在解决问题过程要善于将“基本图形”分离出来分析。 探究点二 以四边形为基础的图形的旋转变换
3．在线段、等腰梯形、平行四边形、矩形、正五角星、圆、正方形和等边三角形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的图形有（ ） 个 个 个 个 4. 下列命题中的真命题是 ( ) A ．全等的两个图形是中心对称图形. B ．关于中心对称的两个图形全等. C ．中心对称图形都是轴对称图形. D ．轴对称图形都是中心对称图形. 5. 如右图，四边形ABCD 是正方形，ΔADE 绕着点A 旋转900后到达ΔABF 的位置，连接EF ，则ΔAEF 的形状是（ ） A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形 D ．等边三角形 6. 如图是万花筒的一个图案，图中所有小三角形均是全等三角形，其中把菱形ABCD 以A 为中心旋转多少度后可得图中另一阴影的菱形（ ） A.顺时针旋转60° B. 顺时针旋转120° C.逆时针旋转60° D. 逆时针旋转120° 二、填空题 7、 如图，一块等腰直角的三角板ABC ，在水平桌面上绕点C 按顺时针方向旋转到 A B C ''的位置，使A C B '，，三点共线，那么旋转角度的大小为 8. 如图，△COD 是△AOB 绕点O 顺时针方向旋转40°后所得的图形，点C 恰好在AB 上， ∠AOD ＝90°，则∠D 的度数是 ． 9. 如图，将矩形ABCD 绕点A 顺时针旋转90゜后，得到矩形AB ′C ′D ′，如果 CD=2DA=2， 那么CC ′=_________． 10. 如图是中国共产主义青年团团旗上的图案（图案本身没有字母）则至 少旋转____________度后能与原来图形重合． 三、解答题 11. 画出下列图形关于点O 的对称图形(10分) 12. 如图所示，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC 的顶点均在格点上（15分） （第9题） F E D C B A B A C (第12题) O D C B A (第13题) B ' D ' C ' D C B A (第14题) (第15题) (第13题) C A B D (第10题) · O (第16题)
人教版九年级上册数学 旋转几何综合专题练习（word 版 一、初三数学 旋转易错题压轴题（难） 1．如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，抛物线2 y ax bx c =++的顶点是A(1，3)，将OA 绕点O 顺时针旋转90?后得到OB ，点B 恰好在抛物线上，OB 与抛物线的对称轴交于点C ． （1）求抛物线的解析式； （2）P 是线段AC 上一动点，且不与点A ，C 重合，过点P 作平行于x 轴的直线，与 OAB ?的边分别交于M ，N 两点，将AMN ?以直线MN 为对称轴翻折，得到A MN '?． 设点P 的纵坐标为m ． ①当A MN '?在OAB ?内部时，求m 的取值范围； ②是否存在点P ，使' 5 6 A MN OA B S S ?'?=,若存在，求出满足m 的值；若不存在，请说明理 由． 【答案】()2 1y x 22x =-++；（2）①433 m <<；②存在，满足m 的值为619-或 639 -． 【解析】 【分析】 （1）作AD ⊥y 轴于点D ，作BE ⊥x 轴于点E ，然后证明△AOD ≌△BOE ，则AD=BE ，OD=OE ，即可得到点B 的坐标，然后利用待定系数法，即可求出解析式； （2）①由点P 为线段AC 上的动点，则讨论动点的位置是解题的突破口，有点P 与点A 重合时；点P 与点C 重合时，两种情况进行分析计算，即可得到答案； ②根据题意，可分为两种情况进行分析：当点M 在线段OA 上，点N 在AB 上时；当点M 在线段OB 上，点N 在AB 上时；先求出直线OA 和直线AB 的解析式，然后利用m 的式子表示出两个三角形的面积，根据等量关系列出方程，解方程即可求出m 的值． 【详解】
京华中学初三辅导班资料9 初中几何综合复习 学校__________ 姓名__________ 一、典型例题 例1（2005重庆）如图，在△ABC 中，点E 在BC 上，点D 在AE 上，已知∠ABD ＝∠ACD ，∠BDE ＝∠CDE ．求证：BD ＝CD ． 例2（2005南充）如图2－4－1，⊿ABC 中，AB ＝AC ，以AC 为直径的⊙O 与AB 相交 于点E ，点F 是BE 的中点．（1）求证：DF 是⊙O 的切线．（2）若AE ＝14，BC ＝12， 求BF 的长． 例3.用剪刀将形状如图1所示的矩形纸片ABCD 沿着直线CM 剪成两部分，其中M 为AD 的中点.用这两部分纸片可以拼成一些新图形，例如图2中的Rt △BCE 就是拼成的一个图 形． （1）用这两部分纸片除了可以拼成图2中的Rt △BCE 外，还可以拼成一些四边形.请你 试一试，把拼好的四边形分别画在图3、图4的虚框内． （2）若利用这两部分纸片拼成的Rt △BCE 是等腰直角三角形，设原矩形纸片中的边AB 和BC 的长分别为a 厘米、b 厘米，且a 、b 恰好是关于x 的方程 01)1(2=++--m x m x 的两个实数根，试求出原矩形纸片的面积． A B C D E E B A C B A M C D M 图3 图4 图1 图2
二、强化训练 练习一：填空题 1.一个三角形的两条边长分别为9和2，第三边长为奇数，则第三边长为________. 2.已知∠a ＝60°，∠AOB ＝3∠a ，OC 是∠AOB 的平分线，则∠AOC ＝ ______． 3.直角三角形两直角边的长分别为5cm 和12cm ，则斜边上的中线长为__________ 4.等腰Rt △ABC ， 斜边AB 与斜边上的高的和是12厘米， 则斜边AB ＝_____厘米． 5.已知：如图△ABC 中AB ＝AC ， 且EB ＝BD ＝DC ＝CF ， ∠A ＝40°， 则∠EDF 的度数 为________． 6.点O 是平行四边形ABCD 对角线的交点，若平行四边行ABCD 的面 积为8cm ，则△AOB 的面积为________. 7.如果圆的半径R 增加10% ， 则圆的面积增加__________ ． 8.梯形上底长为2，中位线长为5，则梯形的下底长为__________ . 9. △ABC 三边长分别为3、4、5，与其相似的△A ′B ′C ′的最大边长是10，则△A ′B ′C ′的面积 是__________. 10.在Rt △ABC 中，AD 是斜边BC 上的高，如果BC ＝a ，∠B ＝30°，那么AD 等于______ . 练习二：选择题 1.一个角的余角和它的补角互为补角，则这个角等于 [ ] A .30° B .45° C .60° D .75° 2.将一张矩形纸对折再对折（如图），然后沿着图中的虚线剪下，得到①、②两部分，将① 展开后得到的平面图形是 [ ] A ．矩形 B ．三角形 C ．梯形 D ．菱形 3.下列图形中，不是中心对称图形的是 [ ] A . B . C . D ． 4.既是轴对称，又是中心对称的图形是 [ ] A .等腰三角形 B .等腰梯形 C .平行四边形 D .线段 5.依次连结等腰梯形的各边中点所得的四边形是 [ ] A .矩形 B .正方形 C .菱形 D .梯形 6.如果两个圆的半径分别为4cm 和5cm ，圆心距为1cm ，那么这两个圆的位置关系是 [ ] A .相交 B .内切 C .外切 D .外离 7.已知扇形的圆心角为120°，半径为3cm ，那么扇形的面积为 [ ] 8.A .B . C
旋 转 姓名 方程根与系数的关系 例1：设关于x 的方程ax 2+（a+2）x+9a=0，有两个不相等的实数根x 1、x 2，且x 1＜1＜x 2， 那么实数a 的取值范围是（ ） A ． B ． C ． D ． 变：设关于x 的方程ax 2+（a-1）x+1=0有两个不相等的实数根x 1、x 2，且x 1＜2＜x 2， 那么实数a 的取值范围是 变：关于x 的方程04 1)2(2=+-+x a ax ，有两个不相等实数根x 1、x 2，且211x x <-<，那么实数a 的取值范围 例2：已知关于x 的一元二次方程x 2+（2m+1）x+m 2 ﹣4=0 （1）当m 为何值时，方程有两个不相等的实数根？ （2）若边长为5的菱形的两条对角线的长分别为方程两根的2倍，求m 的值． 变：已知关于x 的方程a 2x 2+（2a ﹣1）x+1=0有两个不相等的实数根x 1，x 2． （1）求a 的取值范围； （2）是否存在实数a ，使方程的两个实数根互为相反数如果存在，求出a 的值； 如果不存在，说明理由． 函数： 已知：如图，一次函数y=x+1的图象与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ；二次函数y=x 2+bx+c 的图象与一次函数y=x+1的图象交于B 、C 两点，与x 轴交于D 、E 两点，且D 点坐标为（1，0）． （1）求二次函数的表达式及C 点的坐标； （2）观察图象，直接写出下面小题的答案：不等式x 2+bx+c ＞x+1的解集为 ； （3）在抛物线的对称轴上是否存在点P ，使得PC+PE 的值最小？若存在，求出点P 的坐标； 若不存在，请说明理由． （4）求BCE ?的面积并在抛物线上找点Q 使的BCE ?和BCQ ?的面积相等
个性化辅导方案 日期：_2009_年___11_月__26__日 学员编号：年级：初三总课时数：120 班主任： 学员姓名：*** 辅导科目：数学辅导时间：2009年学科教师： 学生的基本情况 学习心理 学习态度学习兴趣：□有□无学习目标：□有□无 主动性：□强□弱上进心：□强□弱 其他：_从上课情况来看，***同学对学习有自己的目标，积极主动性也很强，如果能提高孩子学习的态度改正学习方法，相信成绩很快能提高。 习惯与方法计划性（制定和执行）：□强□弱课堂注意力集中度：□高□低课堂笔记习惯：□有□无课前预习习惯：□有□无课后复习习惯：□有□无按时独立完成作业：□有□无学习方法指导：建议***给自己的作业制定一个时间规划，提高作业效率。 学习风格知觉感官 □偏视觉□偏听觉□偏触觉□偏动觉 其他：___ ___ 思维方式 □分析型□整体型□沉思型□冲动型□独立型□依赖型 其他：__ 学科分析 优点不足 1、上课积极认真，配合老师教学，学习态度良好 2、能够比较认真地完成作业 3、有自己的学习目标。 4、上课积极主动发现问题，思考问题，并尝试解决问题。1.学习效率不高。 2.思维不缜密。 学生知识掌握情况调查 序号知识考点学生掌握情况备注 1 一元二次函数基本形式 基础部分基本掌握，遇到综合性强的 问题无从下手一元二次函数通常是通过大量的文字信息来考察学生是否掌握，所以应用的部分需要耐心分析，理解每一句话的含义。 2 三角形相似几何部分掌握情况不是很好 三角形相似虽然是初二的内容，但是贯穿所有的几何，也出现在二次函数中，作为动点
问题多次出现在中考难题中。 3 一元二次方程 一元二次方程的理解和掌握都是很 好的。一元二次方程主要是十字相乘和韦达定理，还有求根公式，这及部分掌握，问题就不大，关键还是和二次函数贯穿着一起考。 4 圆的基础知识点考察圆内容基础知识基本掌握圆是几何中高中内容的下放，其本质是函数，圆的内容比较活，掌握的公式定理看似不多，其实很将就方法和辅助线。 5 三角函数能做到数形结合三角函数虽然是函数，但是如果数形结合去理解，是不需要花很大功夫的，三角函数在中考中也是以基础题的方式去呈现，***在这部分能做到数形结合去记忆和理解，是不错的。 辅导计划表 序号辅导内容预计课时教学时间备注 1 掌握圆的性质、圆周角等概念 3 按教学进 度而定圆周角定理及其推论是进一步推导圆其他重要性质的理论根据，而且对于角的计算，推证角相等、弧相等、弦相等，判定相似三角形、直角三角形等平面几何中常见问题提供了有用的帮助。 2 掌握直线与圆，圆与圆的位置关系 6 按教学进 度而定通过复习理解直线和圆、圆与圆的位置关系；掌握直线与圆相切的判定与性质定理。 3 理解确定圆的条件 3 按教学进 度而定 理解三角形的内切圆和外接圆的定义。 4 直线与圆位置关系总复习9 按教学进 度而定温故知新，直线与圆位置关系是圆这一章的重点。
第2课时旋转作图 1 ?如图23-1-19 , E, F分别是正方形ABC啲边AB BC上的点，且BE= CF,连接CE DF将厶DCF绕着正方形的中心0按顺时针方向旋转到△ CBE的位置，则旋转角为() 某点旋转一个角度可以得到另一条线段，你认为这个旋转中心的坐标是 3. 如图23-1-21，在平面直角坐标系中，△ ABC 三个顶点的坐标分别为 A(2,3)，巳1,1), Q5,1). (1) △ ABC平移后，其中点A移到点A(4,5)，画出平移后得到的△ ABC; (2) 把厶ABG绕点A按逆时针方向旋转90°,画出旋转后的△ ARG. A. 30° C. 60° 2.如图23-1-20, A点的坐标为(一1,5) B. 45° D. 90° ,B点的坐标为(3,3) , C点的坐标为(5,3) , D 点的坐标为(3 , —1) ?小明发现线段AB与线段CD存在一种特殊关系, 即其中一条线段绕着 图23-1-19 图23-1-20
4. 在4X4的方格纸中，△ ABO的三个顶点都在格点上. ⑴在图23-1-22中画出与厶ABC成轴对称且与△ ABC有公共边的格点三角形(画出一个 即可)； (2)将图23-1-23中的△ ABC绕着点C按顺时针方向旋转90°,画出经旋转后的三角形. A B R [￥| 2：^-I 22 图鬲I 站 Cfil ?拓牌创新 5. 如图23-1-24所示，在平面直角坐标系中，有Rt△ ABC且A—1, 3),耳一3,—1), q —3, 3)，已知△ AAC是由△ ABC旋转变换得到的. (1) 旋转中心的坐标是_____，旋转角是_____; (2) 以⑴中的旋转中心为中心，分别画出△AAC顺时针旋转90°, 180°后的三角形； (3) 设Rt△ ABC的两直角边BGa, AG b,斜边AB= c,禾用变换前后所形成的图案证明勾股
旋转 一、选择题 1.将叶片图案旋转180°后，得到的图形是() 2.如图，在等腰直角△ABC中，B=90°，将△ABC绕顶点A逆时针方向旋转60°后得到△AB′C′，则等于（） A.60° B.105° C.120° D.135° 3.(南平)如图，将△ABC绕着点C按顺时针方向旋转20°，B点落在 位置，A点落在位置，若，则的度数是() A.50° B.60° C.70° D.80° 4.(安徽)在平面直角坐标系中，A点坐标为(3，4)，将OA绕原点 O逆时针旋转90°得到OA′，则点A′的坐标是() A.(-4，3) B.(-3，4) C.(3，-4) D.(4，-3) 5.(济宁)在平面直角坐标系中，将点A1(6，1)向左平移4个单位到达点A2的位置，再向上平移3个单位到达点A3的位置，△A1A2A3绕点A2逆时针方向旋转900，则旋转后A3的坐标为() A.(-2，1) B.(1，1) C.(-1，1) D.(5，1) 6.(嘉兴)如图，8×8方格纸上的两条对称轴EF、MN相交于中心点O，对△ABC分别作下列变换： ①先以点A为中心顺时针方向旋转90°，再向右平移4格、向上平移4格； ②先以点O为中心作中心对称图形，再以点A的对应点为中心逆时针方向旋转90°； ③先以直线MN为轴作轴对称图形，再向上平移4格，再以点A的对应点为中心顺时针方向旋转90
°. 其中，能将△ABC变换成△PQR的是() A.①② B.①③ C.②③ D.①②③ 7.(黑龙江)在下列四个图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是() 8.(潍坊)如图，边长为1的正方形绕点逆时针旋转到正方形，图中阴影部分的面积为() A. B. C. D.二、填空题 9.(盐城)写出两个你熟悉的中心对称的几何图形名称，它们是____________. 10.(衡阳)如图所示的五角星绕中心点旋转一定的角度后能与自身完全重合，则其旋转的角度至少为_____________. 11.(吉林)如图，直线与双曲线交于A、C两点，将直线绕点O顺时针旋转度角(0°＜≤45°)，与双曲线交于B、D两点，则四边形ABCD的形状一定是_________. 12.(邵阳)如图，若将△ABC绕点O顺时针旋转180°后得到△A′B′C′，则A点的对应点A′点的坐标是 _____________.
初三一对一个性化辅导方案 学员姓名：XXX 在读年级：初三 辅导课目：数学 就读学校：XXXX中学 定制时间：2014 年 8 月 13 日
个性化辅导方案 日期： 2014 年 8 月 13 日 方案制定教师： XXX 教研部审核： 学员姓名： XX 总课时数： 200 辅导科目：数学 辅导时间： 2014 年 9 月到 2015 年 6 月 学科教师： XXX 学生的基本情况 优点 不足 1 比较懒散，做事有拖拉的习惯。 1 性格开朗，善于沟通，与他交流会感觉很轻松。 对学习完全没有兴趣，甚至还厌学。 2 2 比较机灵，接受能力很强。 没有良好的学习习惯，导致学习经历不够效率不高。 3 3 比较守时，上课不迟到。 对学习数学的态度不端正， 上课爱玩， 不能完成一节 4 课的内容。 辅导计划说明 根据梁果同学期末考试的成绩来看，发现梁果同学的基础还是不够扎实，以及他对学习抱着无所谓的态度，导致考试情况也不是很好，因此这越发打击了他对学习的自信心，失去了学习的兴趣，了解到他对未来好像也没有什么理想，问他也不知道自己想要的是什么，对生活很迷茫。 针对这些情况我将从以下几个方面计划性的、针对性的辅导他。 第一、以从生活中学习数学为出发点，首先一定要让他认清为什么要学习数学，不仅是为了学习知识，更重要的是学会解决问题的能力，遇到问题应该要解决问题而不是逃避问题，让他知道数学的重要性，并主动的去学习数学。 第二、课堂的有趣性。根据梁果同学的性格特点，发现他比较厌学，对学习完全没有兴趣，那么需要营造一个比较轻松的学习环境，让他发现学习的趣味性，这样可能会更主动的去接受学习，对于知识也可以从简单的开始，循序渐进的去加大题目的难度，既让他有学习的自信又有探讨难题的习惯，而根据他学习态度不端正，上课爱玩的性格特点，那么要营造一个比较轻松地课堂的同时，老师还要做到对待学生幽默慈祥加上严格相互结合，不能让学生肆意妄为，使他意识到上课还应该有纪律性。 第三、由于梁果同学的基础不是很好，所以一定要以基础为出发点，系统的巩固、健全他的知识体系，通过对知识点的复习加上适当的练习有目的的训练他的运用知识解题的能力，然后定