2009届高三理科数学第二轮复习专题之
三角函数及平面向量
【一、基础知识归类：】
『1、三角函数知识归类』
1、常见三角不等式：
（1）若(0,
)2x π∈，则sin tan x x x <<. (2) 若(0,)2
x π
∈
，则1sin cos x x <+≤(3) |sin ||cos |1x x +≥.
2、同角三角函数的基本关系式： 22
sin cos 1θθ+=， tan θ=θ
θcos sin ，tan 1cot θθ?=.
3、正弦、余弦的诱导公式的运用方法与步骤：
（1）负角变正角，再写成2k π+α,02απ≤<； （2）转化为锐角三角函数。
21
2(1)s ,
s()2(1)sin ,
n
n co n co απαα+?
-?+=??-?
4、和角与差角公式：
（1）
sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=±; （2）
cos()cos cos sin sin αβαβαβ±= ; （3）tan tan tan()1tan tan αβ
αβαβ
±±= ； （4）22sin()sin()sin sin αβαβαβ+-=-(平方
正弦公式);
（5）2
2cos()cos()cos sin αβαβαβ+-=-.
（6）sin cos a b αα+
=)α?+(辅助角?所在象限由点(,)a b 的象限决
定,tan b
a
?=
). 5、二倍角公式：
(1)sin 22sin cos ααα=.
(2)2222
cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-， 22tan tan 21tan α
αα
=
-.
（3）2
21cos 21cos 2sin ;cos 22
αα
αα-+=
=。 6、三角函数的周期公式 ：
函数sin()y A x ω?=+，x ∈R 及函数cos()y A x ω?=+，x ∈R(A,ω,?为常数，且A ≠0，ω≠
0)的周期2||
T π
ω=
；函数tan()y x ω?=+，,2x k k Z ππ≠+∈(A,ω,?为常数，且A ≠0，ω
≠0)的周期||
T π
ω=
.
2
1
2(1)sin ,sin()2(1)s n n n co απα-?
-?+=??-?
7、（1）sin y x =的单调递增区间为2,222k k k Z π
πππ?
?
-
+
∈???
?
,单调递减区间为： 32,222k k k Z ππππ?
?++∈???
?，对称轴为()2x k k Z ππ=+∈,对称中心为(),0k π()k Z ∈.
（2）cos y x =的单调递增区间为[]2,2k k k Z πππ-∈,单调递减区间为
[]2,2k k k Z πππ+∈，
对称轴为()x k k Z π=∈,对称中心为,02k π
π??
+ ??
?
()k Z ∈. （3）tan y x =的单调递增区间为,2
2k k k Z π
πππ??
-
+
∈ ??
?
，对称中心为??
?
??0,2πk ()Z k ∈. 8、正弦定理:
2sin sin sin a b c
R A B C
===. 9、余弦定理: 2222cos a b c bc A =+-; 222
2cos b c a ca B =+-;
222
2cos c a b ab C =+-. 222cos 2b c a A bc
+-=；
222cos 2a c b B ac
+-= ； 222
cos 2a b c C ab +-=
10、面积定理
（1）111222
a b c S ah bh ch ===（a b c h h h 、、分别表示a 、b 、c 边上的高）.
（2）111
sin sin sin 2
S ab C bc A ca B =
==；
（3）S l 其中是三角形周长的一半)
(4)OAB S ?=. (5)
1
()(2
OAB S a b c r r ?=++其中为三角形内切圆半径)
『2、平面向量知识归类』
1、平面向量基本定理：如果e 1、e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1、λ2，使得a=λ1e 1+λ2e 2．不共线的向量e 1、e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．
2、量平行的坐标表示 ：设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，且b ≠0，则a b(b ≠0)12210x y x y ?-=.
3、a 与b 的数量积(或内积)a ·b =|a ||b |cos θ．
4、 a ·b 的几何意义：数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积．
5、向量的平行与垂直 ：设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，且b ≠0，
则A ||b ?b =λa 12210x y x y ?-=. a ⊥b(a ≠0)?a ·b=012120x x y y ?+=. 6、线段的定比分公式：
设111(,)P x y ，222(,)P x y ，(,)P x y 是线段12PP 的分点,λ是实数，且12PP PP λ=
，则
12
1211x x x y y y λλλλ
+?=??+?+?=?+?
?12
1OP OP OP λλ+=+
?12
(1)OP tOP t OP =+- （11t λ=+）. 7、三角形的重心坐标公式 ：△ABC 三个顶点的坐标分别为11A(x ,y )、22B(x ,y )、33C(x ,y ),
则△ABC 的重心的坐标是1
23123
(,)33
x x x y y y G ++++. 8、点的平移公式 ：''''
x x h x x h y y k y y k
??=+=-?????=+=-????'
'OP OP PP ?=+ 注:图形F 上的任意一点P(x ，y)在平移后图形'F 上的对应点为'''
(,)P x y ，且'PP
的坐标为(,)h k .
9、“按向量平移”的几个结论：
（1）点(,)P x y 按向量a =(,)h k 平移后得到点'(,)P x h y k ++.
(2) 函数()y f x =的图象C 按向量a =(,)h k 平移后得到图象'C ,则'
C 的函数解析式为()y f x h k =-+. (3) 图象'C 按向量a =(,)h k 平移后得到图象C ,若C 的解析式()y f x =,则'
C 的函数解析式为()y f x h k =+-.
(4)曲线C :(,)0f x y =按向量a =(,)h k 平移后得到图象'C ,则'
C 的方程为
(,)0f x h y k --=.
(5) 向量m =(,)x y 按向量a =(,)h k 平移后得到的向量仍然为m =(,)x y .
注意：（1）函数按向量平移与平常“左加右减”有何联系？
（2）向量平移具有坐标不变性，可别忘了啊！
（3）当θ为锐角时，a ?b ＞0，且 a b 、不同向，0a b ?>
是θ为锐角的必要非充分条件；当θ 为钝角时，a ?b ＜0，且 a b 、不反向，0a b ?<
是θ为钝角的必要非充
分条件；
（4）在上的投影为||cos b θ
，它是一个实数，但不一定大于0。
10、 三角形五“心”向量形式的充要条件：
设O 为ABC ?所在平面上一点，角,,A B C 所对边长分别为,,a b c ，则：
（1）O 为ABC ?的外心222
OA OB OC ?== .
（2）O 为ABC ?的重心0OA OB OC ?++=
.
（3）O 为ABC ?的垂心OA OB OB OC OC OA ??=?=?
.
（4）O 为ABC ?的内心0aOA bOB cOC ?++=
.
（5）O 为ABC ?的A ∠的旁心aOA bOB cOC ?=+
.
11、若OC xOA yOB =+
，则A 、B 、C 三点共线?x+y=1。
12、与三角形四心相关的几个选择题：
【题1】：已知O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足条件：
(),[0,).OP OA AB AC λλ=++∈+∞
则P 点的轨迹一定通过ABC ?的
【 】 A 、重心 B 、垂心 C 、内心 D 、外心
【题2】：已知O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足条件：
(),[0,).AB AC
OP OA AB AC
λλ=++∈+∞
则P 点的轨迹一定通过ABC ?的 【 】
A 、重心
B 、垂心
C 、内心
D 、外心 【题3】：已知O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足条件：
(),[0,).sin sin AB AC OP OA AB B AC C
λλ=++∈+∞
则P 点的轨迹一定通过ABC ?的【 】
A 、重心
B 、垂心
C 、内心
D 、外心
【题4】：已知O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足条件：
(),[0,).cos cos AB AC OP OA AB B AC C
λλ=++∈+∞
则P 点的轨迹一定通过ABC ?的 【 】
A 、重心
B 、垂心
C 、内心
D 、外心 【题5】：已知O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足条件：
(),[0,).2cos cos OB OC AB AC OP AB B AC C
λλ+=++∈+∞
则P 点的轨迹一定通过ABC ?的【 】
A 、重心
B 、垂心
C 、内心
D 、外心
【二、课堂练习之——填空题】
01、已知5
3
)4sin(
=
-x π
，则x 2sin 的值为_____________。
02、在△ABC 中，A=120°，AB=5，BC=7，则C
B
sin sin 的值为 。
03、在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若4,2
22=?+=+AB AC bc a c b 且，
则△ABC 的面积等于 。 04、关于函数f （x ） =sin （2x-
4
π）（x ∈R ） 有下列命题：① y=f （x ）的周期为π；
② x =
4π是y = f （x ）的一条对称轴；③（8
π
,0）是y=f （x ）的一个对称中心； ④ 将y = f （x ）的图象向右平移4
π
个单位，可得到y=2sinxcosx 的图象
其中正确的命题序号是 （把你认为正确命题的序号都写上）．
05、函数)0,0)(sin()(>>+=ω?ωA x A x f 的图象如图所示，则
)2007()3()2()1(f f f f ++++ 的值等于 ．
06、函数()sin()3sin()44
f x a x x π
π
=+
+-是偶函数，则a =_____.
07、抛物线x 2＝4y 的准线l 与y 轴交于P 点，若l 绕点P 以每秒π
12
弧度的角速度按逆时针方向旋
转，则经过_______秒，l 恰好与抛物线第一次相切.
08、下面有五个命题：①函数y =sin 4x -cos 4x 的最小正周期是π. ②终边在y 轴上的角的集合是
{a |a =Z k k ∈π
,2
}. ③在同一坐标系中，函数y =sin x 的图象和函数y =x 的图象有三个公共点.
④把函数.2sin 36)32sin(3的图象得到的图象向右平移x y x y =π
π+=
⑤函数.0)2
sin(〕上是减函数，在〔ππ
-
=x y 所有正确命题的序号是 .（把你认为正确命题的序号都填上） 09、下列命题：
① 函数sin y x =在第一象限是增函数；② 函数1cos 2
y x =+的最小正周期是π；
③ 函数tan
2
x
y =的图像的对称中心是(,0),k k Z π∈； ④ 函数lg(12cos 2)y x =+的递减区间是[,)4
k k π
ππ+,k Z ∈；
⑤ 函数3sin(2)3y x π
=+的图像可由函数3sin 2y x =的图像按向量(,0)3
a π→=平移得到。
其中正确的命题序号是 。
10、要得到c o s (2
)4
y x π
=-的
图象, 且使平移的距离最短, 则需将cos 2y x =的图象向 方向平移 个单位即可得到.
11、如图，测量河对岸的塔高AB 时，可以选与塔底B 在同一水平面内的两个测点C 与D ．测得
∠BCD ＝15°，∠BDC ＝30°，CD ＝30米，并在点C 测得塔顶A 的仰角为60°, 则BC= 米, 塔高AB= 米。
12、函数sin cos (0)y a x b x ab =-≠的图像的一条对称轴为x ＝π
4
，则以
(,)a a b =
为方向向量的直线的倾斜角为 .
13、直线2y x m =+和圆221x y +=交于点A 、B ，以x 轴的正方向为始边，OA 为终边（O 是
坐标原点）的角为α，OB 为终边的角为β，那么sin()αβ+等于 . 14、关于函数))(3
2sin(4)(R x x x f ∈+
=π
有下列命题:①由0)()(21==x f x f 可得21x x -是
π的整数倍；②)(x f y =的表达式可改写为)6
2cos(4π
-=x y ；③)(x f y =的图象关于
点（－
)0,6π
对称；④)x (f y =的图象关于直线6
π-=x 对称。其中正确命题的序号是__ _
15、若钝角三角形三内角的度数成等差数列，且最小边长与最大边长的比值为m ，则m 的取值范
围是 ．
16、若()s i n ()1 (0,||<π)f x A x ω?ω?
=++>对任意实数t ，都有()()
ππ33
f t f t +=-+．记
()c o s ()1gx A x ω?=+-
，则π()3
g = ．
17、已知△ABC 三边a ，b ，c 的长都是整数，且a b c ≤≤，如果b ＝m （m ∈N*），则这样的三角
形共有 个（用m 表示）． 18
、若
cos 2sin()
4
απ
α=-，则cos sin αα+的值为 ； 19、定义在R 上的奇函数)(x f 满足：对于任意).()3(,x f x f R x -=+∈有若
)cos sin 15(,2tan αααf 则=的值为 .
20、在△ABC 中，C
B A c
b a b A sin sin sin ,3,1,60++++==则
面积是
等于 。
21、已知c b a ,,是锐角ABC ?中C B A ∠∠∠,,的对边，若,4,3==b a ABC ?的面积为33，则
=c
22、已知点G 是ABC ?的重心， ()AG AB AC λμλμ=+∈R
，，那么λμ+=_____；若
?=∠120A ，2AB AC ?=-
的最小值是__________ .
25、设O OM ),1,0(),2
1,1(==为坐标原点，动点),(y x p 满足
x y z OM -=≤?≤≤?≤则,10,10的最小值是 ．
【三、课堂练习之——选择题】
01、已知向量a ≠e ，|e |＝1，对任意t ∈R ，恒有|a －t e |≥|a －e
|，则：
A.a ⊥e
B.e ⊥(a －e )
C.a ⊥(a －e )
D.(a ＋e )⊥(a －e )
02、设O 在△ABC 内部，且C B A =++2，则△ABC 的面积与△AOC 的面积之比是
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
03、已知P 是ABC ?内一点，且满足23PA PB PC ++=0
，记ABP ?、BCP ?、ACP ?的面
积依次为123,,S S S ，则123::S S S 等于
.A 1:2:3 .B 1:4:9 .C 6:1:2 .D 3:1:2
04、点O 为△ABC 内一点，且存在正数,,321321=++λλλλλλ使，设△AOB ，△AOC 的面
积分别为S 1、S 2，则S 1：S 2＝ A ．λ1：λ 2 B ．λ2：λ 3 C ．λ3：λ 2 D ．λ2：λ1 05、如图，半圆的直径AB ＝6，O 为圆心，C 为半圆上不同于A 、B 的任意一点，若P 为半径OC
上的动点，则()
PA PB PC +
的最小值为
A.92；
B.9；
C.92
-； D.－9；
06、在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，设向量
,,==10,≤≤≤+=μλμλ且，C 点所有可能的位置区域用阴影表示正确的是
07、在△ABC 中，若 BC a CA b AB c === ，
，且 a b b c c a == , 则△ABC 的形状是
（A ）锐角三角形 （B ）直角三角形 （C ）等腰直角三角形 （D ）等边三角形
08、若O 是△ABC 所在的平面内的一点，且满足()()
0BO OC OC OA +?-=uu u r uu u r uu u r uu r
，则△ABC 一定是
（A ）等边三角形 （B ）斜三角形 （C ）等腰直角三角形 （D ）直角三角形
09、已知向量||||
a b
p a b =+
，其中a 、b 均为非零向量，则||p 的取值范围是
A 、
B 、[0,1]
C 、(0,2]
D 、[0,2]
10、已知A ，B ，C 是平面上不共线上三点，动点P 满足?
??
???++-+-=→→→→
OC OB OA OP )21()1()1(31λλλ
)0(≠∈λλ且R ,则P 的轨迹一定通过ABC ?的
A 内心
B 垂心
C 重心
D AB 边的中点
110≠=，且关于x 的函数f(x)=
x b a x ?++2331在R 上有极值，则与的夹角范围为 A ．)6
,
0[π
B ．],3
(
ππ
C ．]3
2,3(
π
π D ．],6
(
ππ
12、如图，非零向量==⊥==λλ则若为垂足且,,,,a OC C OA BC b OB a OA
A 2
|
|a B |
|||b a C 2
||b D 13、在△ABC 中，已知向量2
1
0(
=
=?+
BC AC AB 满足与，则△ABC 为
A ．三边均不相等的三角形
B ．直角三角形
C ．等腰非等边三角形
D ．等边三角
形
14、设O 在△ABC 内部，且O C O B O A O =++2，则△ABC 的面积与△AOC 的面积之比是
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
15、将函数()3
2
33f x x x x =++的图象按向量a 平移后得到函数()g x 的图象，若函数()g x 满足
()()111g x g x -++=，则向量a
的坐标是
A ．()1,1--
B ．3
(2,)2 C ．()2,2
D ．3
(2,)2
--
16、如图，平面内的两条相交直线OP 1和OP 2将该平面分割成四个部分Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ（不包含
边界），设12OP mOP nOP =+ ，且点P 落在第Ⅲ部分，则实数m 、n 满足
A ．m >0, n >0
B ．m >0, n <0
C ．m <0, n >0
D ．m <0, n <0
17、已知a ，b 是两个相互垂直的单位向量，而13||=，3=?a c ，4=?b c 。
则对于任意实数21,t t ，||21b t a t c --的最小值是
（A ） 5 （B ）7 （C ） 12 （D ）13
18、已知i 与j 为互相垂直的单位向量，2a i j =- ，b i j λ=+ 且a 与b
的夹角为锐角，则实数λ
的取值范围是
A ．1
(,2)(2,)2
-∞--
B ．1(,)
2
+∞
C ．22(2,)(,)33
-+∞
D ．1(,)2
-∞
19、已知)3sin(3)3cos()(??+-+=x x x f 为偶函数，则?可以取的一个值为 A ．π6 B ．π3 C ．－π6 D ．－π
3
20、在△ABC 中，
sin 2cos cos cos 2sin sin A C A
A C A
+=-是角A 、B 、C 成等差数列的 A ．充分非必要条件 B ．充要条件 C ．必要非充分条件
D ．既不充分也不
必要条件
21、把函数y =s i n 的图象按向量(,3)6
a π
=-
-平移后，得到函数
()
s i n
(0,0,)2
y A x B A π
ω?ω?=++>>≤的图象，则?和B 的值依次为
A ．
,312
π
- B ．
,33
π
C ．
,33
π
-
D ．,312
π
-
22、在三角形ABC 中“cosA ＋sinA ＝cosB ＋sinB ”是“C ＝90°”的
A 、充分非必要条件
B 、必要非充分条件
C 、充要条件
D 、既不充分也不必要条件 23、曲线y =2si n )4
cos()4
(π
π
-
+
x x 和直线在y =2
1在y 轴右侧的交点按横坐标从小到大依次记为
P 1，P 2，P 3，…，则|P 2P 4|等于
A ．π B.2π C.3π
D. 4π
24、若2()2cos f x x x a =+（a 为实常数）在区间[0, ]2
π
上的最小值为-4，则a 的值
为
A.4
B. -3
C. -4
D. -6 25、函数)3
sin(
)2
cos(x x y -++
=π
π
具有性质（
A. 最大值为3，图象关于直线6
π
=x 对称 B. 最大值为1，图象关于直线6
π
=
x 对称
C. 最大值为3，图象关于)0,6(
π
对称 D. 最大值为1，图象关于)0,6
(π
对称 26、已知函数2),0()sin(2=<<+=y x y 其图像与直线为偶函数
πθθω的某两个交点横坐标
为x 1、x 2，若π的最小值为||12x x -，则
A ．2
,2π
θω=
=
B ．2,21πθω==
C ．4,21πθω==
D ．4
,2π
θω== 27、下列命题：①若)(x f 是定义在[－1，1]上的偶函数，且在[－1，0]上是增函数，)2
,4(π
πθ∈，
则
).(cos )(sin θθf f > ②若锐角α、.
2,sin cos π
βαβαβ<
+>则满足
③若.)()(,12
cos
2)(2
恒成立对则R x x f x f x
x f ∈=+-=π
④要得到函数.4
2sin ,)42sin(个单位的图象向右平移
只需将的图象π
πx y x y =-= 其中真命题的个数有 A ．1 B ．2
C ．3
D ．4
28、已知函数sin()y A x m ω?=++的最大值是４，最小值是０，最小正周期是2
π，直线3x π
=
是其图象的一条对称轴，则下面各式中符合条件的解析式是 A.4sin(4)6
y x π
=+ B. 2sin(4)26
y x π
=++ C.2sin(4)23
y x π
=+
+ D. 2sin(2)23
y x π
=+
+
29、定义行列式运算
1234
a a a a =1423a a a a -.
将函数sin ()cos x
f x x
=
的图象向左平移n （0n >）个
单位,所得图象对应的函数为偶函数，则n 的最小值为
A ．6p
B ．3
p
C ．56p
D ．23
p 30、设c b a 、、分别是ABC ?中C B A ∠∠∠、、所对边的边长,则直线(sin )0A x ay c ++=与
0sin )(sin =+-C y B bx 的位置关系是
A ．平行
B ．垂直
C ．重合
D ．相交但不垂直
31、函数b x A x f +?+ω=)sin()(的图象如图，则)(x f 的解析式和++=)1()0(f f S
)2006()2(f f +?+的值分别为
A ．12sin 21)(+π=
x x f ， 2006=S B ．12sin 21)(+π=x x f ， 21
2007=S
C ．12sin 21)(+π=x x f ， 212006=S
D ．12
sin 21)(+π
=x x f ， 2007=S
32、方程sin 2cos x
x =在[0,2)π上的根的个数是
A 1个
B 2个
C 3个
D 4个 33、在ABC ?中，2
sin sin cos
2
C
A B ?=，则ABC ?的形状一定是 A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等边三角形 D ．等腰直角三
角形
34、已知函数sin()y A x B ω?=++的一部分图象如下图所示，如果0,0,||
A π
ω?>><
，则
.A 4A = .B 4B =
.C 1ω= .D 6
π
?=
35、给出下面的三个命题：①函数|32sin |??? ??+=πx y 的最小正周期是2②函数?
?
?2在区间?
?
???
?
2
3,
ππ上单调递增③45π=x 是函数??
?
??+=652sin πx y 的图象的一条对称轴。其中正确的命题个数
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
36、定义一种运算??
?>≤=?b
a b b a a b a ,,，令()()45sin cos 2
?+=x x x f ，且??????∈2,0πx ，则函数
??? ?
?
-2πx f 的最大值是
A ．
4
5
B ．1
C ．1-
D ．4
5-
【四、典型例题讲评】
例1：在ABC ?中，已知内角3
A π
=
，边BC =设内角B x =,面积为y .
(1)求函数()y f x =的解析式和定义域； (2)求y 的最大值.
例2：已知ABC ?中，1||=AC ，0
120
=∠ABC ，θ=∠BAC ，记→
→?=BC AB f )(θ，
（1）求)(θf 关于θ的表达式； （2）求)(θf 的值域；
例3：已知向量],2
[),2
cos ),12
2
(cos(),2
cos ),12
2
(sin(ππππ∈-+=+=x x x x x ，函数b a x f ?=)(.
（I ）若5
3
cos -
=x ，求函数)(x f 的值； Ａ
Ｂ Ｃ
120°
θ
（II ）将函数)(x f 的图象按向量c ＝)0)(,(π< 点对称，求向量c . 例4：在ABC ?中，已知内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，向量(2sin ,m B =， 2cos 2,2cos 12B n B ? ?=- ?? ?，且//m n 。 （I ）求锐角B 的大小； （II ）如果2b =，求ABC ?的面积ABC S ?的最大值。 例5： 已知函数2()[2sin()sin ]cos ,3 f x x x x x x R π =++∈ (1)求函数()f x 的最小正周期； (2)若存在05[0, ]12 x π ∈，使不等式0()f x m <成立，求实数m 的取值范围. 例6：若函数 2()sin sin cos (0)f x ax ax ax a =->的图象与直线y m =相切，并且切点的横坐标依 次成公差为 2 π 的等差数列。 (Ⅰ)求m 的值； (Ⅱ)若点0,0()A x y 是()y f x =图象的对称中心，且0[0,]2 x π ∈,求点A 的坐标。 例7： 已知x R ∈，向量2(cos ,1),(2,sin 2)OA a x OB x a ==- ，()f x OA OB =? ，0a ≠. (Ⅰ)求函数)(x f 解析式，并求当a >0时，)(x f 的单调递增区间； (Ⅱ)当]2 ,0[π ∈x 时,)(x f 的最大值为5，求a 的值. 例8：已知在△ABC 中，A B >，且A tan 与B tan 是方程0652=+-x x 的两个根. （Ⅰ）求)tan(B A +的值;阶段 （Ⅱ）若AB 5=，求BC 的长. 例9：设函数)( cos sin 32 cos 2)(2R x m x x x x f ∈++= （Ⅰ）化简函数)(x f 的表达式，并求函数)(x f 的最小正周期； （Ⅱ）若]2 ,0[π∈x ，是否存在实数m ，使函数)(x f 的值域恰为]27 ,21[？若存在，请求出 m 的取值；若不存在，请说明理由。 例10：已知ABC △的面积为3，且满足60≤?≤，设AB 和AC 的夹角为θ． D B A C （I ）求θ的取值范围； （II ）求函数)4 (sin 2)(2 π θθ+ =f －θ2cos 3的最大值与最小值． 例11：已知向量,2sin ),cos ,(cos ),sin ,(sin C A B B A =?==且A 、B 、C 分别为△ABC 的三边a 、b 、c 所对的角。 （1）求角C 的大小； （2）若18)(,sin ,sin ,sin =-?AC AB CA B C A 且成等差数列，求c 边的长。 例12：已知A B 、是△ABC 的两个内角， 向量, sin 22A B A B a +-= ）， 若||a = . （Ⅰ）试问B A tan tan ?是否为定值？若为定值，请求出；否则请说明理由； （Ⅱ）求C tan 的最大值，并判断此时三角形的形状. 例13： 在△ABC 中，已知角A 为锐角，且 A A A A A A A f 222cos ) 2 (sin )22(sin )22sin()2sin(]1)2[cos()(+----+--= πππππ. （I ）求f (A )的最大值； （II ）若2,1)(,12 7=== +BC A f B A π ，求△ABC 的三个内角和AC 边的长. 例14：已知△ABC 的面积S 满足3≤S ≤33且与,6=?的夹角为α， （Ⅰ）求α的取值范围； （Ⅱ）求αααα22 cos 3cos sin 2sin )(++=x f 的最小值。 例15：如图某河段的两岸可视为平行，为了测量该河段的宽度，在河段的一岸边选取两点A 、 B ，观察对岸的点C,测得75CAB ∠= ，45CBA ∠= ,且100AB =米。 （1）求sin 75 ； （2）求该河段的宽度。 例16：已知函数f(x)=4sin 2( 4 π （42x ππ≤≤） （1）求)(x f 的最大值及最小值； （2）若不等式|f (x )－m|<2恒成立， 求实数m 的取值范围 例 17：已知向量(1sin2,sin cos )a x x x =+- ，(1,sin cos )b x x =+ ，函数()f x a b =? ． （Ⅰ）求()f x 的最大值及相应的x 的值； （Ⅱ）若8()5f θ= ，求πcos 224θ?? - ??? 的值． 例18：已知A 、B 、C 为ABC ? 的三个内角，向量,cos )22A B A B +-=a ，且||a （1）求tan tan A B 的值； （2）求C 的最大值，并判断此时ABC ?的形状. 例19：已知→a ＝（1＋x 2cos ，1），→b ＝（1，x m 2sin 3+）（x ，m ∈R ），且=)(x f →a ·→ b . （Ⅰ）求函数)(x f y =的最小正周期； （Ⅱ）若)(x f 的最大值是4，求m 的值，并说明此时)(x f 的图象可由) 6 sin(2π + =x y 的图象经过怎样的变换而得到. 例20：（江苏17）某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD 的顶点A 、B 及CD 的中点P 处，已知 AB=20km ，BC=10km ，为了处理三家工厂的污水，现要在矩形ABCD 的区域上（含边界），且A 、B 与等距离的一点O 处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道AO 、BO 、OP ，设排污管道的总长为ykm 。 （1）按下列要求写出函数关系式： ①设∠BAO=θ(rad )，将y 表示成θ的函数关系式； ②设OP=x (km )，将y 表示成x 的函数关系式； （2）请你选用（1）中的一个函数关系式，确定污水处理厂 的位置，使三条排污管道总长度最短. 2009届高三理科数学第二轮复习专题之 三角函数及平面向量 【一、基础知识归类：】 『1、三角函数知识归类』 1、常见三角不等式： （1）若(0, )2x π∈，则sin tan x x x <<. (2) 若(0,)2 x π ∈，则1sin cos x x <+≤(3) |sin ||cos |1x x +≥. 2、同角三角函数的基本关系式： 22 sin cos 1θθ+=， tan θ=θ θcos sin ，tan 1cot θθ?=. B 3、正弦、余弦的诱导公式的运用方法与步骤： （1）负角变正角，再写成2k π+α,02απ≤<； （2）转化为锐角三角函数。 21 2(1)s , s()2(1)sin , n n co n co απαα+? -?+=??-? 4、和角与差角公式： （1） sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=±; （2） cos()cos cos sin sin αβαβαβ±= ; （3）tan tan tan()1tan tan αβ αβαβ ±±= ； （4）22sin()sin()sin sin αβαβαβ+-=-(平方 正弦公式); （5）22cos()cos()cos sin αβαβαβ+-=-. （6）sin cos a b αα+ =)α?+(辅助角?所在象限由点(,)a b 的象限决 定,tan b a ?= ). 5、二倍角公式： (1)sin 22sin cos ααα=. (2)2222 cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-， 2 2tan tan 21tan α αα = -. （3）2 21cos 21cos 2sin ;cos 22 αα αα-+= =。 6、三角函数的周期公式 ： 函数sin()y A x ω?=+，x ∈R 及函数cos()y A x ω?=+，x ∈R(A,ω,?为常数，且A ≠0，ω≠ 0)的周期2|| T π ω= ；函数tan()y x ω?=+，,2x k k Z ππ≠+∈(A,ω,?为常数，且A ≠0，ω ≠0)的周期|| T π ω= . 7、（1）sin y x =的单调递增区间为2,222k k k Z π πππ?? - + ∈??? ? ,单调递减区间为： 32,222k k k Z ππππ? ?++∈??? ?，对称轴为()2x k k Z ππ=+∈,对称中心为(),0k π()k Z ∈. （2）cos y x =的单调递增区间为[]2,2k k k Z πππ-∈,单调递减区间为 []2,2k k k Z πππ+∈， 对称轴为()x k k Z π=∈,对称中心为,02k π π? ? + ?? ? ()k Z ∈. （3）tan y x =的单调递增区间为,2 2k k k Z π πππ?? - + ∈ ?? ? ，对称中心为 2 1 2(1)sin ,sin()2(1)s n n n co απα-? -?+=??-? ?? ? ??0,2πk ()Z k ∈. 8、正弦定理: 2sin sin sin a b c R A B C ===. 9、余弦定理: 2222cos a b c bc A =+-; 222 2cos b c a ca B =+-; 222 2cos c a b ab C =+-. 222cos 2b c a A bc +-=； 222cos 2a c b B ac +-= ； 222 cos 2a b c C ab +-= 10、面积定理 （1）111222 a b c S ah bh ch ===（a b c h h h 、、分别表示a 、b 、c 边上的高）. （2）111 sin sin sin 2 S ab C bc A ca B = ==； （3） S l 其中是三角形周长的一半) (4)OAB S ?=. (5) 1 ()(2 OAB S a b c r r ?=++其中为三角形内切圆半径) 『2、平面向量知识归类』 1、平面向量基本定理：如果e 1、e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1、λ2，使得a=λ1e 1+λ2e 2．不共线的向量e 1、e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 2、量平行的坐标表示 ：设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，且b ≠0，则a b(b ≠0)12210x y x y ?-=. 3、a 与b 的数量积(或内积)a ·b =|a ||b |cos θ． 4、 a ·b 的几何意义：数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积． 5、向量的平行与垂直 ：设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，且b ≠0， 则A ||b ?b =λa 12210x y x y ?-=. a ⊥b(a ≠0)?a ·b=012120x x y y ?+=. 6、线段的定比分公式： 设111(,)P x y ，222(,)P x y ，(,)P x y 是线段12PP 的分点,λ是实数，且12PP PP λ= ，则 12 1211x x x y y y λλλλ +? =??+?+?=?+? ?12 1OP OP OP λλ+=+ ?12 (1)OP tOP t OP =+- （11t λ=+）. 7、三角形的重心坐标公式 ：△ABC 三个顶点的坐标分别为11A(x ,y )、22B(x ,y )、33C(x ,y ), 则△ABC 的重心的坐标是1 23123 (,)33 x x x y y y G ++++. 8、点的平移公式 ：'''' x x h x x h y y k y y k ??=+=-?????=+=-????' 'OP OP PP ?=+ 注:图形F 上的任意一点P(x ，y)在平移后图形'F 上的对应点为''' (,)P x y ，且'PP 的坐标为(,)h k . 9、“按向量平移”的几个结论： （1）点(,)P x y 按向量a =(,)h k 平移后得到点'(,)P x h y k ++. (2) 函数()y f x =的图象C 按向量a =(,)h k 平移后得到图象'C ,则' C 的函数解析式为()y f x h k =-+. (3) 图象'C 按向量a =(,)h k 平移后得到图象C ,若C 的解析式()y f x =,则' C 的函数解析式为()y f x h k =+-. (4)曲线C :(,)0f x y =按向量a =(,)h k 平移后得到图象'C ,则' C 的方程为 (,)0f x h y k --=. (5) 向量m =(,)x y 按向量a =(,)h k 平移后得到的向量仍然为m =(,)x y . 注意：（1）函数按向量平移与平常“左加右减”有何联系？ （2）向量平移具有坐标不变性，可别忘了啊！ （3）当θ为锐角时，?＞0，且 a b 、不同向，0a b ?> 是θ为锐角的必要非充分条 件；当θ 为钝角时，?＜0，且 a b 、不反向，0a b ?< 是θ为钝角的必要非充 分条件； （4）在上的投影为||cos b θ ，它是一个实数，但不一定大于0。 10、 三角形五“心”向量形式的充要条件： 设O 为ABC ?所在平面上一点，角,,A B C 所对边长分别为,,a b c ，则： （1）O 为ABC ?的外心222 OA OB OC ?== . （2）O 为ABC ?的重心0OA OB OC ?++= . （3）O 为ABC ?的垂心OA OB OB OC OC OA ??=?=? . （4）O 为ABC ?的内心0aOA bOB cOC ?++= . （5）O 为ABC ?的A ∠的旁心aOA bOB cOC ?=+ . 11、若OC xOA yOB =+ ，则A 、B 、C 三点共线?x+y=1。 12、与三角形四心相关的几个选择题： 【题1】：已知O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足条件： (),[0,).OP OA AB AC λλ=++∈+∞ 则P 点的轨迹一定通过ABC ?的 【 】 A 、重心 B 、垂心 C 、内心 D 、外心 【题2】：已知O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足条件： (),[0,).AB AC OP OA AB AC λλ=++∈+∞ 则P 点的轨迹一定通过ABC ?的 【 】 A 、重心 B 、垂心 C 、内心 D 、外心 【题3】：已知O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足条件： (),[0,).sin sin AB AC OP OA AB B AC C λλ=++∈+∞ 则P 点的轨迹一定通过ABC ?的【 】 A 、重心 B 、垂心 C 、内心 D 、外心 【题4】：已知O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足条件： (),[0,).cos cos AB AC OP OA AB B AC C λλ=++∈+∞ 则P 点的轨迹一定通过ABC ?的 【 】 A 、重心 B 、垂心 C 、内心 D 、外心 【题5】：已知O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足条件： (),[0,).2cos cos OB OC AB AC OP AB B AC C λλ+=++∈+∞ 则P 点的轨迹一定通过ABC ?的【 】 A 、重心 B 、垂心 C 、内心 D 、外心 【二、课堂练习之——填空题】 01、已知5 3)4sin( = -x π ，则x 2sin 的值为_____________。答案：7 25 02、在△ABC 中，A=120°，AB=5，BC=7，则C B sin sin 的值为 。答案：5 3 03、在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若4,222=?+=+AB AC bc a c b 且， 则△ABC 的面积等于 。答案：4 3 04、关于函数f （x ） =sin （2x- 4 π ）（x ∈R ） 有下列命题：① y=f （x ）的周期为π； ② x =4π是y = f （x ）的一条对称轴；③（8 π ,0）是y=f （x ）的一个对称中心； ④ 将y = f （x ）的图象向右平移4 π 个单位，可得到y=2sinxcosx 的图象 其中正确的命题序号是 （把你认为正确命题的序号都写上）．答案：①③ 05、函数)0,0)(sin()(>>+=ω?ωA x A x f 的图象如图所示，则 )2007()3()2()1(f f f f ++++ 的值等于 ．答案：0 06、函数()sin()3sin()44 f x a x x π π =+ +-是偶函数，则a =_____.答案：-3 07、抛物线x 2＝4y 的准线l 与y 轴交于P 点，若l 绕点P 以每秒π 12 弧度的角速度按逆时针方向旋 转，则经过_______秒，l 恰好与抛物线第一次相切. 答案：3 08、下面有五个命题：①函数y =sin 4x -cos 4x 的最小正周期是π. ②终边在y 轴上的角的集合是 {a |a = Z k k ∈π ,2 }. ③在同一坐标系中，函数y =sin x 的图象和函数y =x 的图象有三个公共 点. ④把函数.2sin 36)32sin(3的图象得到的图象向右平移x y x y =π π+= ⑤函数.0)2 sin(〕上是减函数，在〔ππ - =x y 所有正确命题的序号是 .（把你认为正确命题的序号都填上）答案：①④ 09、下列命题： ① 函数sin y x =在第一象限是增函数；② 函数1cos 2 y x =+的最小正周期是π； ③ 函数tan 2 x y =的图像的对称中心是(,0),k k Z π∈； ④ 函数lg(12cos 2)y x =+的递减区间是[,)4 k k πππ+,k Z ∈； ⑤ 函数3sin(2)3y x π=+的图像可由函数3sin 2y x =的图像按向量(,0)3 a π→=平移得到。 其中正确的命题序号是 。答案：③④ 10、要得到c o s (2 )4 y x π =-的 图象, 且使平移的距离最短, 则需将cos 2y x =的图象向 方向平移 个单位即可得到. 答案：右，π 8 11、如图，测量河对岸的塔高AB 时，可以选与塔底B 在同一水平面内的两个测点C 与D ．测得 ∠BCD ＝15°，∠BDC ＝30°，CD ＝30米，并在点C 测得塔顶A 的仰角为60°, 则BC= 米, 塔高AB= 米。 答案：152, 15 6 12、函数sin cos (0)y a x b x ab =-≠的图像的一条对称轴为x ＝π 4 ，则以 (,)a a b = 为方向向量的直线的倾斜角为 . 答案：3π4 13、直线2y x m =+和圆2 2 1x y +=交于点A 、B ，以x 轴的正方向为始边， OA 为终边（O 是坐标原点）的角为α，OB 为终边的角为β，那么 sin()αβ+等于 . 答案：－ 4 5 14、关于函数))(3 2sin(4)(R x x x f ∈+ =π 有下列命题:①由0)()(21==x f x f 可得21x x -是 π的整数倍；②)(x f y =的表达式可改写为)6 2cos(4π -=x y ；③)(x f y =的图象关于 点（－ )0,6π 对称；④)x (f y =的图象关于直线6 π-=x 对称。其中正确命题的序号是__ _ 答案：②③ 15、若钝角三角形三内角的度数成等差数列，且最小边长与最大边长的比值为m ，则m 的取值范 围是 ．答案：(0,1 2 ) 16、若()s i n ()1 (0,||<π)f x A x ω?ω? =++>对任意实数t ，都有()() ππ33 f t f t +=-+．记 ()c o s ()1gx A x ω?=+- ，则π()3 g = ．答案：－1 说明：注意对 称性． 17、已知△ABC 三边a ，b ，c 的长都是整数，且a b c ≤≤，如果b ＝m （m ∈N*），则这样的三角 形共有 个（用m 表示）．答案： (1) 2 m m + 18 、若 cos 2sin() 4 απ α=-，则cos sin αα+的值为 ； 答案：12 19、定义在R 上的奇函数)(x f 满足：对于任意).()3(,x f x f R x -=+∈有若 )cos sin 15(,2tan αααf 则=的值为 .答案：0 20、在△ABC 中，C B A c b a b A sin sin sin ,3,1,60++++==则 面积是 等于 。答案： 3 39 2 21、已知c b a ,,是锐角ABC ?中C B A ∠∠∠,,的对边，若,4,3==b a ABC ?的面积为33，则 =c 答案：13 22、已知点G 是ABC ?的重心， ()AG AB AC λμλμ=+∈R ，，那么λμ+=_____；若 ?=∠120A ，2AB AC ?=- 的最小值是__________ . 答案：23；2 3 25、设O OM ),1,0(),2 1,1(==为坐标原点，动点),(y x p 满足 x y z ON OP OM OP -=≤?≤≤?≤则,10,10的最小值是 ．答案： 24 7 【三、课堂练习之——选择题】 01、已知向量a ≠e ，|e |＝1，对任意t ∈R ，恒有|a －t e |≥|a －e |，则：（答案：B ） A.a ⊥e B.e ⊥(a －e ) C.a ⊥(a －e ) D.(a ＋e )⊥(a －e ) 02、设O 在△ABC 内部，且C B A =++2，则△ABC 的面积与△AOC 的面积之比是（答案：B ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 【高中数学】数学《三角函数与解三角形》复习资料 一、选择题 1．函数()1sin cos 1sin cos 1tan 01sin cos 1sin cos 32x x x x f x x x x x x x π+-++? ?=++<< ?+++-? ?的最小值为 （ ） A B C D 【答案】B 【解析】 【分析】 利用二倍角公式化简函数()f x ，求导数，利用导数求函数的最小值即可. 【详解】 2 2222sin 2sin cos 2cos 2sin cos 1sin cos 1sin cos 2222221sin cos 1sin cos 2cos 2sin cos 2sin 2sin cos 222222 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x +++-+++= ++++-++ 2sin sin cos 2cos sin cos sin cos 222222222sin cos sin 2cos sin cos 2sin sin cos 22222222x x x x x x x x x x x x x x x x x ???? ++ ? ?????=+= +=???? ++ ? ? ???? ， 则()21tan 0sin 32f x x x x π? ?= +<< ?? ?， 322222 21sin 2cos 16cos cos 1()sin 3cos sin 3cos 3sin cos x x x x f x x x x x x x ' ' ' --+????=+=-+= ? ????? . 令()cos 0,1t x =∈，() 32 61g t t t =--+为减函数，且102g ??= ??? ， 所以当03 x π <<时， ()1 1,02 t g t <<<，从而()'0f x <； 当 3 2 x π π << 时，()1 0,02 t g t << >，从而()'0f x >. 故( )min 33f x f π??== ??? . 故选：A 【点睛】 本题主要考查了三角函数的恒等变换，利用导数求函数的最小值，换元法，属于中档题. 2．在ABC ?中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c 满足，222b c a bc +-=， 三角函数专题复习 在三角函数复习过程中，认真研究考纲是必须做的重要工作。三角函数可以当成函数内容中的重要一支，要注意与其它知识的联系。 一、研究考题，探求规律 1. 从表中可以看出:三角函数题在试卷中所处的位置基本上是第一或第二题,本章高考重点考查基础知识,仍将以容易题及中档为主,题目的难度保持稳定,估计这种情况会继续保持下去 2. 特点:由于三角函数中，和差化积与积化和差公式的淡出,考查主体亦发生了变化。偏重化简求值,三角函数的图象和性质。考查运算和图形变换也成为了一个趋势。三角函数试题更加注重立足于课本,注重考查基本知识、基本公式及学生的运算能力和合理变形能力,对三角变换的要求有所降低。三角化简、求值、恒等式证明。图象。最值。 3、对三角函数的考查主要来自于：①课本是试题的基本来源，是高考命题的主要依据，大多数试题的产生是在课本题的基础上组合、加工和发展的结果。②历年高考题成为新高考题的借鉴，有先例可循。 二、典例剖析 例1：函数22()cos 2cos 2x f x x =-的一个单调增区间是 A ．2(,)33ππ B ．(,)62ππ C ．(0,)3π D ．(,)66 ππ- 【解析】函数22()cos 2cos 2 x f x x =-=2cos cos 1x x --，从复合函数的角度看，原函数看作2()1g t t t =--，cos t x =，对于2()1g t t t =--，当1[1,]2t ∈-时，()g t 为减函数，当1[,1]2 t ∈时，()g t 为增函数，当2(,)33x ππ∈时，cos t x =减函数，且11(,)22 t ∈-， ∴ 原函数此时是单调增，选A 【温馨提示】求复合函数的单调区间时，需掌握复合函数的性质，以及注意定义域、自变量系数的正负.求复合函数的单调区间一般思路是：①求定义域；②确定复合过程；③根据外层函数f(μ)的单调性，确定φ(x)的单调性；④写出满足φ(x)的单调性的含有x 的式子，并解出x 的范围；⑤得到原函数的单调区间（与定义域求交）.求解时切勿盲目判断. 例2、已知tan 2θ=． （Ⅰ）求tan 4πθ??+ ??? 的值； （Ⅱ）求cos2θ的值． 【解析】 （Ⅰ）∵tan 2θ=， tan tan 4tan 41tan tan 4π θπθπθ+??∴+= ???- 高中数学三角函数基础知识点及答案 1、角的概念的推广：平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所的图形。按逆时针方向旋转所形成的角叫正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫负角，一条射线没有作任何旋转时，称它形成一个零角。射线的起始位置称为始边，终止位置称为终边。 2、象限角的概念：在直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角。如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限。 3. 终边相同的角的表示： (1)α终边与θ终边相同(α的终边在θ终边所在射线上)?2()k k αθπ=+∈Z ， 注意：相等的角的终边一定相同，终边相同的角不一定相等.如与角 1825-的终边相同，且绝对值最小的角的度数是＿＿＿，合＿＿＿弧度。 弧度：一周的弧度数为2πr/r=2π，360°角=2π弧度，因此，1弧度约为57.3°，即57°17'44.806''， 1°为π/180弧度，近似值为0.01745弧度，周角为2π弧度，平角（即180°角）为π弧度， 直角为π/2弧度。（答：25-；5 36 π- ） (2)α终边与θ终边共线(α的终边在θ终边所在直线上) ?()k k αθπ=+∈Z . (3)α终边与θ终边关于x 轴对称?2()k k αθπ=-+∈Z . (4)α终边与θ终边关于y 轴对称?2()k k απθπ=-+∈Z . (5)α终边与θ终边关于原点对称?2()k k απθπ=++∈Z . (6)α终边在x 轴上的角可表示为：,k k Z απ=∈； α终边在y 轴上的角可表示为：,2k k Z παπ=+∈；α终边在坐标轴上的角可表示为：,2 k k Z π α=∈. 如α的终边与 6 π 的终边关于直线x y =对称，则α＝____________。 （答：Z k k ∈+ ,3 2π π） 4、α与2α的终边关系：由“两等分各象限、一二三四”确定.如若α是第 二象限角，则2 α 是第_____象限角 （答：一、三） 5.弧长公式：||l R α=，扇形面积公式：211||22 S lR R α==，1弧度 (1rad)57.3≈. 如已知扇形AOB 的周长是6cm ，该扇形的中心角是1弧度，求该扇形的面积。 （答：22cm ） 6、任意角的三角函数的定义：设α是任意一个角，P (,)x y 是α的终边上的任意一点（异于原点），它与原点的距离是220r x y =+>，那么 s i n ,c o s y x r r αα==，()tan ,0y x x α=≠，cot x y α=(0)y ≠，sec r x α=()0x ≠， ()csc 0r y y α=≠。三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点P 的位置无关。 三角函数公式 1.正弦定理： A a sin = B b sin =C c sin = 2R （R 为三角形外接圆半径） 2.余弦定理：a 2=b 2+c 2-2bc A cos b 2=a 2+c 2-2ac B cos c 2=a 2+b 2-2ab C cos bc a c b A 2cos 2 22-+= 3.S ⊿= 21a a h ?=21ab C sin =21bc A sin =21ac B sin =R abc 4=2R 2A sin B sin C sin =A C B a sin 2sin sin 2=B C A b sin 2sin sin 2=C B A c sin 2sin sin 2=pr=))()((c p b p a p p --- (其中)(2 1 c b a p ++=, r 为三角形内切圆半径) 4.诱导公试 注：奇变偶不变，符号看象限。 注：三角函数值等于α的同名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时，原三角函数值的符号；即：函数名不变，符号看象限 注：三角函数值等于α的 异名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时，原三角函数值的符号;即： 函数名改变，符号看象限 5.和差角公式 ①βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=± ②βαβαβαsin sin cos cos )cos( =± ③β αβ αβαtg tg tg tg tg ?±= ± 1)( ④)1)((βαβαβαtg tg tg tg tg ?±=± 6.二倍角公式：(含万能公式) ①θ θ θθθ2 12cos sin 22sin tg tg += = ②θ θ θθθθθ2 22 2 2 2 11sin 211cos 2sin cos 2cos tg tg +-=-=-=-= ③θθθ2122tg tg tg -= ④22cos 11sin 222θθθθ-=+=tg tg ⑤22cos 1cos 2 θθ+= 7.半角公式：（符号的选择由 2 θ 所在的象限确定） ①2cos 12 sin θθ -± = ②2 cos 12sin 2θ θ-= ③2cos 12cos θθ+±= ④2cos 12 cos 2 θθ += ⑤2sin 2cos 12θθ=- ⑥2 cos 2cos 12θθ=+ ⑦2 sin 2 cos )2 sin 2 (cos sin 12θ θθθθ±=±=± ⑧θ θ θθθθθ sin cos 1cos 1sin cos 1cos 12 -=+=+-± =tg 8.积化和差公式： [])sin()sin(21cos sin βαβαβα-++=[] )sin()sin(21 sin cos βαβαβα--+=[])cos()cos(21cos cos βαβαβα-++= ()[]βαβαβα--+-=cos )cos(2 1 sin sin 9.和差化积公式： 三角函数专题训练 19．（本小题满分12分） 在△ABC 中角A 、B 、C 的对边分别为a b c 、、，设向量(,cos ),(,cos )//.m a B n b A m n m n ==≠u r r u r r u r r 且， （Ⅰ）若sin sin A B +=6，求A ； （Ⅱ）若ABC ?的外接圆半径为1，且,abx a b =+试确定x 的取值范围． 17．（本小题共12分） 已知函数()sin()(0,||)2f x M x M πω??=+>< 的部分图象如图所示． （I ）求函数()f x 的解析式； （II ）在△ABC 中，角C B A 、、的对边分别是c b a 、、若(2)cos cos ,()2 A a c B b C f -=求的取值范围． 17．（本小题满分12分）已知向量231444x x x m (sin ,),n (cos ,cos )==．记()n m x f ?= （I ）若32f ()α=，求23 cos()πα-的值； （Ⅱ）在?ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，且满足 ()2cos cos a c B b C -=，若13f (A )+= ，试判断?ABC 的形状． 17、海岛B 上有一座高为10米的塔，塔顶的一个观测站A ，上午11时测得一游船位于岛北偏东15°方向上，且俯角为30°的C 处，一分钟后测得该游船位于岛北偏西75°方向上，且俯角45°的D 处。（假设游船匀速行驶） （1）求该船行使的速度（单位：米/分钟）（5分） （2）又经过一段时间后，游船到达海岛B 的正西方向E 处，问此时游船距离海岛B 多远。（7分） 19．解：因为(,cos ),(,cos )//m a B n b A m n ==u r r u r r 且， 所以cos cos a A b B =，-------------------------------------------1分 由正弦定理，得sin cos sin cos A A B B =， 《三角函数》 【知识网络】 一、任意角的概念与弧度制 1、将沿x 轴正向的射线，围绕原点旋转所形成的图形称作角. 逆时针旋转为正角，顺时针旋转为负角，不旋转为零角 2、同终边的角可表示为 {}()360k k Z ααβ? =+∈g x 轴上角：{}()180k k Z αα=∈o g y 轴上角：{}()90180k k Z αα=+∈o o g 3、第一象限角：{}()036090360k k k Z αα? ?+<<+∈o g g 第二象限角：{}()90 360180360k k k Z αα??+<<+∈o o g g 第三象限角：{}()180360270360k k k Z αα? ?+<<+∈o o g g 第四象限角： {}()270 360360360k k k Z αα??+<<+∈o o g g 4、区分第一象限角、锐角以及小于90o 的角 第一象限角：{}()0360 90360k k k Z αα? ?+<<+∈o g g 锐角： {}090αα< ,2 4 , 0π απ ≤ ≤=k ,2 345, 1παπ≤≤=k 所以 2 α 在第一、三象限 6、弧度制：弧长等于半径时，所对的圆心角为1弧度的圆心角，记作1rad . 7、角度与弧度的转化：01745.0180 1≈=?π 815730.571801'?=?≈? = π 9、弧长与面积计算公式 弧长：l R α=?；面积：211 22 S l R R α=?=?，注意：这里的α均为弧度制. 二、任意角的三角函数 1、正弦：sin y r α=；余弦cos x r α=；正切tan y x α= 其中(),x y 为角α终边上任意点坐标，r = 2、三角函数值对应表： 3、三角函数在各象限中的符号 三角函数总结及统练 一. 教学内容： 三角函数总结及统练 （一）基础知识 1. 与角α终边相同的角的集合},2{Z k k S ∈+==απβ 2. 三角函数的定义（六种）——三角函数是x 、y 、r 三个量的比值 3. 三角函数的符号——口诀：一正二弦，三切四余弦。 4. 三角函数线 正弦线MP=αsin 余弦线OM=αcos 正切线AT=αtan 5. 同角三角函数的关系 平方关系：商数关系： 倒数关系：1cot tan =?αα 1c s c s i n =?αα 1s e c c o s =?αα 口诀：凑一拆一；切割化弦；化异为同。 6. 诱导公式——口诀：奇变偶不变，符号看象限。 α απ+k 2 α- απ- απ+ απ-2 α π -2 α π +2 正弦 αsin αsin - αsin αsin - αsin - αcos αcos 余弦 αcos αcos αcos - αcos - αcos αsin αsin - 正切 αtan αtan - αtan - αtan αtan - αcot αcot - 余切 αcot αcot - αcot - αcot αcot - αtan αtan - 7. 两角和与差的三角函数 ?????? ? ?+-=-?-+=+?????????+?=-?-?=+?-?=-?+?=+βαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαt a n t a n 1t a n t a n )t a n (t a n t a n 1t a n t a n )t a n (s i n s i n c o s c o s )c o s (s i n s i n c o s c o s )c o s (s i n c o s c o s s i n )s i n (s i n c o s c o s s i n )s i n ( 8. 二倍角公式——代换：令αβ= ??????? -= -=-=-=?=ααααααααααα22222tan 1tan 22tan sin cos sin 211cos 22cos cos sin 22sin 降幂公式?????? ?+=-=22cos 1cos 22cos 1sin 22αααα 半角公式： 2cos 12 sin αα -± =；2cos 12cos αα+±=； αα αcos 1cos 12tan +-± = αα ααα cos 1sin sin cos 12 tan += -= 9. 三角函数的图象和性质 函数 x y sin = x y cos = x y tan = 高考数学三角函数公式 同角三角函数的基本关系式 倒数关系: 商的关系：平方关系： tanα·cotα=1 sinα·cscα=1 cosα·secα=1 sinα/cosα=tanα=secα/cscα cosα/sinα=cotα=cscα/secα sin2α+cos2α=1 1+tan2α=sec2α 1+cot2α=csc2α (六边形记忆法：图形结构“上弦中切下割，左正右余中间1”;记忆方法“对角线上两个函数的积为1;阴影三角形上两顶点的三角函数值的平方和等于下顶点的三角函数值的平方;任意一顶点的三角函数值等于相邻两个顶点的三角函数值的乘积。”) 诱导公式(口诀:奇变偶不变，符号看象限。) sin(-α)=-sinα cos(-α)=cosα tan(-α)=-tanα cot(-α)=-cotα sin(π/2-α)=cosα cos(π/2-α)=sinα tan(π/2-α)=cotα cot(π/2-α)=tanα sin(π/2+α)=cosα cos(π/2+α)=-sinα tan(π/2+α)=-cotα cot(π/2+α)=-tanα sin(π-α)=sinα cos(π-α)=-cosα tan(π-α)=-tanα cot(π-α)=-cotα sin(π+α)=-sinα cos(π+α)=-cosα tan(π+α)=tanα cot(π+α)=cotα sin(3π/2-α)=-cosα cos(3π/2-α)=-sinα tan(3π/2-α)=cotα cot(3π/2-α)=tanα sin(3π/2+α)=-cosα cos(3π/2+α)=sinα tan(3π/2+α)=-cotα cot(3π/2+α)=-tanα sin(2π-α)=-sinα cos(2π-α)=cosα tan(2π-α)=-tanα cot(2π-α)=-cotα sin(2kπ+α)=sinα 高中数学三角函数复习专题 一、知识点整理 1角的概念的推广： 正负，范围，象限角，坐标轴上的角； 2、角的集合的表示： ① 终边为一射线的角的集合： x|x 2k ② 终边为一直线的角的集合： xx k 3、任意角的三角函数: (1) 弧长公式：1 aR R 为圆弧的半径，a 为圆心角弧度数，1为弧长 (2) 扇形的面积公式 :S 1 -IR R 为圆弧的半径，1为弧长。 2 (3) 三角函数定义： 角 中边上任意一点P 为(x,y)，设|OP| r 则： sin — ,cos r x J r tan y r=寸孑圧 x 女口：公式 cos( ) cos cos sin sin 的证明 (4)特殊角的三角函数值 ③两射线介定的区域上的角的集合: x2k ④两直线介定的区域上的角的集合： x k x k ,k Z ? k 360', k Z ,k Z = | ，k Z ； 反过来，角 的终边上到原点的距离为 r 的点P 的坐标可写为：P r cos ,r sin 4 x 4 4 sin cos tan - -si n + cos -ta n - + si n -cos -ta n + -si n -cos + tan 2 . -si n + cos -ta n 2k + + si n + cos + tan sin con tan 2 + cos + sin + cot 2 + cos -si n -cot 3 2 -cos -si n + cot 3_ 2 -cos + sin -cot 三角函数值等于 的同名三角函数值，前面 加 上一个把 看作锐角时，原三角函数值的 符 号；即：函数名不变，符号看象限 三角函数值等于 的异名三角函数值，前面 加 上一个把 看作锐角时，原三角函数值的 符号； 即:函数名改变，符号看象限： sin x 比如 cos 一 x 4 cos x cos x sin 一 (6)三角函数线：(判断正负、比较大小，解方程或不等式等) 如图，角 的终边与单位圆交于点P ,过点P 作x 轴的垂线, 垂足为M ，则 过点A(1,0)作x 轴的切线，交角终边0P 于点T ，贝U (7)同角三角函数关系式： ③ 平方关系：sin 2 a cos 2 a 1 ①倒数关系： tan acota 1 ②商数关系: tana ^ina cosa (8)诱导公试 三角函数历年高考题汇编 一.选择题1、（2009）函数 22cos 14y x π? ?=-- ?? ?是 A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为π的偶函数 C ．最小正周期为 2π的奇函数 D ．最小正周期为2 π 的偶函数 2、（2008）已知函数 2()(1cos 2)sin ,f x x x x R =+∈，则()f x 是（ ） A 、最小正周期为π的奇函数 B 、最小正周期为2π 的奇函数 C 、最小正周期为π的偶函数 D 、最小正周期为2 π 的偶函数 3.（2009浙江文）已知a 是实数，则函数()1sin f x a ax =+的图象不可能．．． 是（ ） 4.(2009山东卷文)将函数 sin 2y x =的图象向左平移 4 π 个单位, 再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式是 A. 22cos y x = B. 2 2sin y x = C.)4 2sin(1π++=x y D. cos 2y x = 5.（2009江西卷文）函数()(13)cos f x x x =的最小正周期为 A ．2π B ． 32π C ．π D ． 2 π 6.（2009全国卷Ⅰ文）如果函数3cos(2)y x φ=+的图像关于点4( ,0)3 π 中心对称，那么φ的最小值为 A. 6π B.4π C. 3π D. 2π 7.（2008海南、宁夏文科卷）函数 ()cos 22sin f x x x =+的最小值和最大值分别为（ ） A. －3，1 B. －2，2 C. －3， 3 2 D. －2， 32 8.（2007海南、宁夏）函数 πsin 23y x ??=- ???在区间ππ2?? -???? ，的简图是（ ） 高三数学三角函数专题训练 1.为得到函数πcos 23y x ?? =+ ?? ? 的图像，只需将函数sin 2y x =的图像（ ） A ．向左平移5π12个长度单位 B ．向右平移5π12 个长度单位 C ．向左平移 5π6 个长度单位 D ．向右平移 5π6 个长度单位 2.若动直线x a =与函数()sin f x x =和()cos g x x =的图像分别交于M N ，两点，则M N 的最大值为（ ） A ．1 B ． 2 C ． 3 D ．2 3.把函数sin y x =（x R ∈）的图象上所有点向左平行移动3 π 个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的1 2倍（纵坐标不变），得到的图 象所表示的函数是( ) A .sin(2)3 y x π =-，x R ∈ B.sin( ) 2 6 x y π =+ ，x R ∈ C.s in (2)3 y x π =+，x R ∈ D.sin(2) 3 2y x π=+ ，x R ∈ 4.设5sin 7 a π=，2cos 7 b π=，2tan 7 c π=，则( ) A.c b a << B.a c b << C.a c b << D.b a c << 5.将函数sin(2)3 y x π =+ 的图象按向量α 平移后所得的图象关于点(,0) 12 π - 中 心对称，则向量α的坐标可能为（ ） A ．(,0)12π - B ．(,0)6 π - C ．( ,0)12 π D ．( ,0)6 π 6.函数2 ()sin 3sin cos f x x x x =+ 在区间 ,42ππ?? ???? 上的最大值是( ) A.1 B.13 2 + C. 3 2 D.1+ 3 7.若,5sin 2cos -=+a a 则a tan =( ) A.2 1 B. 2 C.2 1- D.2- 高中数学三角函数公式大全 三角函数看似很多，很复杂，而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在，下面是三角函数公式大全：操作方法 01 两角和公式 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA) cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) 02 倍角公式 tan2A = 2tanA/(1-tan^2 A) Sin2A=2SinA?CosA Cos2A = Cos^2 A--Sin^2 A =2Cos^2 A—1 =1—2sin^2 A 三倍角公式 sin3A = 3sinA-4(sinA)^3; cos3A = 4(cosA)^3 -3cosA -a) tan3a = tan a ? tan(π/3+a)? tan(π/3 半角公式 --cosA)/2} sin(A/2) = √{(1 cos(A/2) = √{(1+cosA)/2} --cosA)/(1+cosA)} tan(A/2) = √{(1 cot(A/2) = √{(1+cosA)/(1 -cosA)} tan(A/2) = (1--cosA)/sinA=sinA/(1+cosA) 三角函数复习专题 一、核心知识点归纳： ★★★1、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质： sin y x = cos y x = tan y x = 图象 定义域 R R ,2x x k k ππ?? ≠+∈Z ???? 值域 []1,1- []1,1- R 最值 当22 x k π π=+ () k ∈Z 时，max 1y =； 当22 x k π π=- ()k ∈Z 时，min 1y =-． 当()2x k k π=∈Z 时， max 1y =； 当2x k ππ=+ ()k ∈Z 时，min 1y =-． 既无最大值也无最小值 周期性 2π 2π π 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 单调性 在2,22 2k k π πππ? ? - + ??? ? ()k ∈Z 上是增函数；在 32,222k k ππππ??++??? ? ()k ∈Z 上是减函数． 在[]()2,2k k k πππ-∈Z 上是增函数；在 []2,2k k πππ+ ()k ∈Z 上是减函数． 在,2 2k k π πππ? ? - + ?? ? ()k ∈Z 上是增函数． 对称性 对称中心()(),0k k π∈Z 对称轴 ()2 x k k π π=+ ∈Z 对称中心 (),02k k ππ? ?+∈Z ?? ? 对称轴()x k k π=∈Z 对称中心 (),02k k π?? ∈Z ??? 无对称轴 ★★2.正、余弦定理：在ABC ?中有: 函 数 性 质 ①正弦定理： 2sin sin sin a b c R A B C ===（R 为ABC ?外接圆半径） 2sin 2sin 2sin a R A b R B c R C =??=??=? ? sin 2sin 2sin 2a A R b B R c C R ? =?? ? =?? ? =?? 注意变形应用 ②面积公式：111 sin sin sin 222 ABC S abs C ac B bc A ?= == ③余弦定理： 222222 2222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c a b ab C ?=+-?=+-??=+-? ? 222 222222 cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac a b c C ab ?+-=?? +-?=???+-= ?? 二、练习题 1、角α的终边过点 b b 则且（,5 3 cos ),4,--=α的值（ ） A 、3 B 、-3 C 、3± D 、5 2、已知2π θπ<<,3 sin()25 πθ+=-，则tan(π-θ)的值为（ ） A ．34 B ．43 C ．34- D ．4 3 - 3、2(sin cos )1y x x =--是 （ ） A ．最小正周期为2π的偶函数 B ．最小正周期为2π的奇函数 4、为得到函数πcos 3y x ? ?=+ ?? ?的图象，只需将函数sin y x =的图像（ ） A ．向左平移π 6个长度单位 B ．向右平移 π 6 个长度单位 C ．向左平移5π 6 个长度单位 D ．向右平移 5π 6 个长度单位 5、()sin()(0,0,||)2 f x A x A ωφωφπ =+>>< 是( ) A. y = 2sin(x -4π) B. y = 2sin(x +4π) C. y = 2sin (2x -8π) D. y = 2sin (2x +8 π ) 高中数学三角函数知识点总结 1.特殊角的三角函数值： 2．角度制与弧度制的互化： ,23600π= ,1800 π= 1rad ＝π 180°≈57.30°=57°18ˊ 1°＝ 180 π≈0.01745（rad ） 3.弧长及扇形面积公式 (1)弧长公式：r l .α= α----是圆心角且为弧度制 (2)扇形面积公式:S=r l .2 1 r-----是扇形半径 4.任意角的三角函数 设α是一个任意角，它的终边上一点p （x,y ）, r=22y x + (1)正弦sin α= r y 余弦cos α=r x 正切tan α=x y (2)各象限的符号： 记忆口诀：一全正，二正弦，三两切，四余弦 sin α cos α tan α 5.同角三角函数的基本关系： （1）平方关系：s in 2α+ cos 2α=1 （2）商数关系：ααcos sin =tan α（z k k ∈+≠,2 ππ α） 6.诱导公式： 记忆口诀：把2 k π α±的三角函数化为α的三角函数，概括为：奇变偶不变，符号看象限。 ()()1sin 2sin k παα+=，()cos 2cos k παα+=，()()tan 2tan k k παα+=∈Z ． ()()2sin sin παα+=-，()cos cos παα+=-，()tan tan παα+=． ()()3sin sin αα-=-，()cos cos αα-=，()tan tan αα-=-． ()()4sin sin παα-=，()cos cos παα-=-，()tan tan παα-=-． 口诀：函数名称不变，符号看象限． ()5sin cos 2π αα??-= ???，cos sin 2παα?? -= ??? ． ()6sin cos 2π αα??+= ???，cos sin 2παα?? +=- ??? ． 口诀：正弦与余弦互换，符号看象限． x y O — + + — + y O — + + — 1．将函数()2sin 2x f x =的图象向右移动象如右图所示，则?的值为（ ） A 2．为了得到()sin 2g x x =的图象，则只需将()f x 的图象（ ） A C 3 ，则sin cos αα=（ ） A 1 D -1 4 ） A 5．记cos(80),tan 80k -?=?那么= ( ). A ． C ．21k k -- 6 ．若sin a = -a （ ） （A ）（B （C （D 7，则α2tan 的值为（ ） A 8．已知函数)sin(cos )cos(sin )(x x x f +=，则下列结论正确的是（ ） A ．)(x f 的周期为π B ．)(x f 在 C ．)(x f 的最大值为．)(x f 的图象关于直线π=x 对称 9．如图是函数y=2sin （ωx+φ），φ A.ωφ B.ωφ C.ω =2，φ D.ω=2，10的图象，只需要将函数sin 4y x =的图象（ ） A B C D 11．要得到12cos -=x y 的图象，只需将函数x y 2sin =的图象（ ） A 个单位，再向上平移1个单位 B 个单位，再向下平移1个单位 C 个单位，再向上平移1个单位 D 个单位，再向下平移1个单位 12．将函数()cos f x x =向右平移个单位，得到函数()y g x = 于（） A 13．同时具有性质①最小正周期是π； 增函数的一个函数为（） A C 14则tanθ＝（） A．－2 D．2 15） A 16．已知tan（α﹣）=，则的值为（） A． B．2 C．2 D．﹣2 17） A．1 D．2 18．已知角α的终边上一点的坐标为（，则角α值为 19） A 20） A．． 高中数学第四章-三角函数知识点汇总 1. ①与α（0°≤α＜360°）终边相同的角的集合（角α与角β的终边重合）：{}Z k k ∈+?=,360|αββ ②终边在x 轴上的角的集合： {}Z k k ∈?=,180| ββ ③终边在y 轴上的角的集合：{}Z k k ∈+?=,90180| ββ ④终边在坐标轴上的角的集合：{}Z k k ∈?=,90| ββ ⑤终边在y =x 轴上的角的集合：{}Z k k ∈+?=,45180| ββ ⑥终边在x y -=轴上的角的集合：{}Z k k ∈-?=,45180| ββ ⑦若角α与角β的终边关于x 轴对称，则角α与角β的关系：βα-=k 360 ⑧若角α与角β的终边关于y 轴对称，则角α与角β的关系：βα-+= 180360k ⑨若角α与角β的终边在一条直线上，则角α与角β的关系：βα+=k 180 ⑩角α与角β的终边互相垂直，则角α与角β的关系： 90360±+=βαk 2. 角度与弧度的互换关系：360°=2π 180°=π 1°=0.01745 1=57.30°=57°18′ 注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零. 、弧度与角度互换公式： 1rad ＝π 180°≈57.30°=57°18ˊ． 1°＝ 180 π≈0.01745（rad ） 3、弧长公式：r l ?=||α. 扇形面积公式：2 11||2 2 s lr r α= = ?扇形 4、三角函数：设α是一个任意角，在α的终边上任取（异于原点的）一点P （x,y ）P 与原点的距离为r ，则 r y =α sin ； r x = αcos ； x y = α tan ； y x = α cot ； x r = α sec ；. y r = α csc . 5、三角函数在各象限的符号：（一全二正弦，三切四余弦） 正切、余切 余弦、正割 正弦、余割 6、三角函数线 正弦线：MP; 余弦线：OM; 正切线： AT. 7. 三角函数的定义域： SIN \C O S 三角函数值大小关系图 1、2、3、4表示第一、二、三、四象限一半所在区域 (3) 若 o 三角部分复习 制作人：焦子奇 一、知识框架 图一：三角函数 图二：解三角形 二、题型梳理 1.三角函数的图像与性质 题型一：图像变换（带“*”号为解答题） （2017全国1，理9） 已知曲线C 1：y =cos x ，C 2：y =sin (2x +2π3)，则下面结论正确的是（） A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2 B ．把 C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2 C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的 12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2 D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的 12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12 个单位长度，得到曲线C 2x y sin =()?ω+=x A y sin t A y x t sin =?+=?ω图像、性质 化简对称、周期单调、值域图象变换复合函数 设函数()sin()sin(62f x x x ππωω=- +-，其中03ω<<.已知()06f π=.（Ⅰ）求ω； （Ⅱ）将函数()y f x =的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移4π个单位，得到函数()y g x =的图象，求()g x 在3[,44 ππ-上的最小值.（2016四川，理3）为了得到函数πsin(2)3y x =-的图象，只需把函数sin 2y x =的图象上所有的点（ ）（A ）向左平行移动π3个单位长度（B ）向右平行移动 π3个单位长度（C ）向左平行移动π6个单位长度（D ）向右平行移动π6个单位长度（2016北京，理7）将函数sin(23y x π=-图象上的点(,)4 P t π向左平移s （0s >）个单位长度得到点'P ，若'P 位于函数sin 2y x =的图象上，则（ ） A.12t =，s 的最小值为6 π B.2t =，s 的最小值为6π C.12t =，s 的最小值为3π D.2t = ，s 的最小值为3π 三角函数大题综合训练 1．（2016?白山一模）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知= （1）求角C的大小， （2）若c=2，求使△ABC面积最大时a，b的值． 2．（2016?广州模拟）在△ABC中，角A、B、C对应的边分别是a、b、c，已知3cosBcosC+2=3sinBsinC+2cos2A．（I）求角A的大小； （Ⅱ）若△ABC的面积S=5，b=5，求sinBsinC的值． 3．（2016?成都模拟）已知函数f（x）=cos2x﹣sinxcosx﹣sin2x． （Ⅰ）求函数f（x）取得最大值时x的集合； （Ⅱ）设A、B、C为锐角三角形ABC的三个内角，若cosB=，f（C）=﹣，求sinA的值． 4．（2016?台州模拟）已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，且c2=a2+b2﹣ab． （1）求角C的值； （2）若b=2，△ABC的面积，求a的值． 5．（2016?惠州模拟）如图所示，在四边形ABCD中，∠D=2∠B，且AD=1，CD=3，cosB=． （Ⅰ）求△ACD的面积； （Ⅱ）若BC=2，求AB的长． 6．（2015?山东）△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cosB=，sin （A+B）=，ac=2，求sinA和c的值． 7．（2015?新课标I）已知a，b，c分别是△ABC内角A，B，C的对边，sin2B=2sinAsinC． （Ⅰ）若a=b，求cosB； （Ⅱ）设B=90°，且a=，求△ABC的面积． 8．（2015?湖南）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=btanA． （Ⅰ）证明：sinB=cosA； （Ⅱ）若sinC﹣sinAcosB=，且B为钝角，求A，B，C． 10．（2015?湖南）设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，a=btanA，且B为钝角． （Ⅰ）证明：B﹣A=； （Ⅱ）求sinA+sinC的取值范围． 11．（2015?四川）已知A、B、C为△ABC的内角，tanA，tanB是关于方程x2+px﹣p+1=0（p∈R）两个实根．（Ⅰ）求C的大小 （Ⅱ）若AB=3，AC=，求p的值． 高考三角函数 1.特殊角的三角函数值： 2．角度制与弧度制的互化：,23600π= ,1800π= 3.弧长及扇形面积公式 弧长公式：r l .α= 扇形面积公式:S=r l .2 1 α----是圆心角且为弧度制。 r-----是扇形半径 4.任意角的三角函数 设α是一个任意角，它的终边上一点p （x,y ）, r=22y x + (1)正弦sin α= r y 余弦cos α=r x 正切tan α=x y (2)各象限的符号： sin α cos α tan α x y + O — — + x y O — + + — + y O — + + — 5.同角三角函数的基本关系： （1）平方关系：s in 2α+ cos 2α=1。（2）商数关系：α α cos sin =tan α （z k k ∈+≠ ,2 ππ α） 6.诱导公式：记忆口诀：2 k παα±把的三角函数化为的三角函数，概括为：奇变偶不变，符号 看象限。 ()()1sin 2sin k παα+=，()cos 2cos k παα+=，()()tan 2tan k k παα+=∈Z ． ()()2sin sin παα+=-，()cos cos παα+=-，()tan tan παα+=． ()()3sin sin αα-=-，()cos cos αα-=，()tan tan αα-=-． ()()4sin sin παα-=，()cos cos παα-=-，()tan tan παα-=-． 口诀：函数名称不变，符号看象限． ()5sin cos 2π αα??-= ???，cos sin 2παα?? -= ??? ． ()6sin cos 2παα??+= ???，cos sin 2παα??+=- ??? ． 口诀：正弦与余弦互换，符号看象限． 7正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质高考数学压轴专题2020-2021备战高考《三角函数与解三角形》技巧及练习题附答案
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