数学分析中极限的求法
摘要:本文主要归纳了数学分析中求极限的十四种方法, 1：利用两个准则
求极限, 2:利用极限的四则运算性质求极限, 3:利用两个重要极限公式求极限, 4：利用单侧极限求极限，5：利用函数的连续性求极限, 6：利用无穷小量的性质求极限, 7：利用等价无穷小量代换求极限, 8：利用导数的定义求极限, 9：利用中值定理求极限, 10：利用洛必达法则求极限, 11：利用定积分求和式的极限,12：利用级数收敛的必要条件求极限, 13：利用泰勒展开式求极限, 14：利用换元法求极限。
关键词: 夹逼准则, 单调有界准则, 无穷小量的性质, 洛必达法则, 中
值定理, 定积分, 泰勒展开式, 级数收敛的必要条件.
极限是数学分析的基础，数学分析中的基本概念来表述，都可以用极限来描述。如函数y ＝f(x)在0x x =处导数的定义，定积分的定义，偏导数的定义，二重积分，三重积分的定义，无穷级数收敛的定义，都是用极限来定义的。极限是研究数学分析的基本公具。极限是贯穿数学分析的一条主线。学好极限是从以下两方面着手。1：是考察所给函数是否存在极限。2：若函数否存在极限，则考虑如何计算此极限。本文主要是对第二个问题即在极限存在的条件下，如何去求极限进行综述。
1：利用两个准则求极限。
(1)夹逼准则：若一正整数 N,当n>N 时，有n x ≤n y ≤n z 且lim lim ,n n x x x z a →∞→∞==则
有 lim n x y a
→∞
= .
利用夹逼准则求极限关键在于从n x 的表达式中，通常通过放大或缩小的方法找出两个有相同极限值的数列{
}
n y 和 {
}
n z ，使得n n n y x z ≤≤。
例[1]
222111
.......
1
2
n x n n n n =
+
++++
求n x 的极限
解：因为n x 单调递减，所以存在最大项和最小项
2222111.......n n x n n
n n
n n
n n ≥
+
++
=
++++
2222111 (1)
1
1
1n n x n n n n ≤
+
++
=
++++
则2
21n n
n x n n
n ≤≤++ 又因为2
2
lim
lim
1
1
x x n n n n
n →∞→∞
==++
lim 1
n x x →∞
=
（2）：单调有界准则：单调有界数列必有极限，而且极限唯一。
利用单调有界准则求极限，关键先要证明数列的存在，然后根据数列的通项递推公式求极限。
例：[1] 证明下列数列的极限存在，并求极限。
123,,,,n y a y a a y a a a y a a a a ==+=++=++++
证明：从这个数列构造来看 n y 显然是单调增加的。用归纳法可证。 又因为
21321
,,,n n y a y y a y y a y -=+=+=+
所以得
21n n y a y -=+. 因为前面证明n y 是单调增加的。 两端除以 n y 得
1n n
a
y y <
+
因为1,n y y a ≥=则n a a y ≤, 从而11
n a a y +≤+
1n a y a ≤≤+ 即 n y 是有界的。根据定理{}
n y 有极限，而且极限唯一。
令 lim n n y l
→∞
= 则 21lim lim()
n n n n y y a -→∞
→∞
=+
则2
l l a =+. 因为 0,n y > 解方程得
141
2a l ++=
所以 141
lim 2n n a y l →∞
++==
2：利用极限的四则运算性质求极限
极限的四则运算性质：1：两收敛数列的和或积或差也收敛且和或积或差的极限等于极限和的或积或差。 2：两收敛数列且作除数的数列的极限不为零，则商的极限等于极限的商。通常在这一类型的题中，一般都含有未定式不能直接进行极限的四则运算。首先对函数施行各种恒等变形。例如分之，分母分解因式，约去趋于零但不等于零的因式；分之，分母有理化消除未定式；通分化简；化无穷多项的和（或积）为有限项。
例；求极限
(1)22
11
lim 21x x x x →---
(2)3
12lim
3x x x →+--
(3)31
13lim(
)11x x x →--++
(4) 已知
111,1223(1)n x n n =
+++??-? 求lim n n x →∞
解：(1) 2211lim 21x x x x →---＝1(1)(1)lim (1)(21)
x x x x x →+--+＝11lim 21x x x →++＝23
(2)312lim 3x x x →+--＝
3(12)(12)lim (3)(12)x x x x x →+-++-++＝33lim (3)(12)x x x x →--++＝1
4 (3)31
13
lim(
)11x x x →--++
＝2312lim 1x x x x →---+＝21(1)(2)lim (1)(1)x x x x x x →-+-+-+＝212lim 1x x x x →---+＝-1
(4) 因为
111,1223(1)n x n n =
+++??-?
111111111122334411 n n n =-+-+-+--+---11n =-
所以 1
lim lim(1)1
n n n x n →∞→∞=-=
3：利用两个重要极限公式求极限
两个极限公式 (1) 0sin 1
lim
lim sin 1x x x x x x →→∞==
(2)1
01lim(1)lim(1)x
x x x x e
x →∞→+=+=
在这一类型题中，一般也不能直接运用公式，需要恒等变形进行化简后才可以利用公式。
例：求下列函数的极限[4]
(1)
230lim lim cos cos cos cos 2222n n n x x x x →→∞???
????????? (2)22lim(1)m m n m →∞-
解：(1)
23cos cos cos cos 2222n
x x x x
＝231
sin cos cos cos cos sin 222222sin 2n n n x x x x x
x x
＝
1
sin 2sin 2n n
x
x
23lim cos cos cos cos 2222n
n x x x x
→∞
＝1 lim
sin 2sin 2
n n n
x
x →∞
sin =
lim 2sin
2n n n x x →∞
＝sin x
x
230lim lim cos cos cos cos 2222n x n x x x x →→∞???
????????
? ＝0lim x →sin x x ＝1 (2) 22lim(1)m
m n m →∞-＝2
2
222()2lim(1)m n m n m m n m --→∞- ＝2
2
22()2lim(1)m n m n m n m --→∞- ＝0e ＝1
4：利用单侧极限求极限
这种方法使用于求分段函数在分段点处的极限，首先必须考虑分段点的左、右极限，如果左、右极限都存在且相等，则函数在分界点处的极限存在，否则极限不存在。
例：
x>0 x 021sin ,()1,x f x x
x ?
?=??+≤? 求 f(x)在x=0的左右极限 解：0
1
lim sin x x x +
→?＝1 0
1
lim sin x x x -
→?＝1
00lim ()lim ()1
x x f x f x +-→→==
lim ()1
x f x →=
5：利用函数的连续性求极限
这种方法适用于求复合函数的极限。如果 u=g(x) 在点0x 连续 g(0x )=0u ,而y=f(u)在点0x 连续，那么复合函数y=f(g(x))在点0x 连续。即
0lim (())(())(lim ())
x x x x f g x f g x f g x →→==也就是说，极限号
lim
x x →可以与符号f 互换顺
序。
例：求1
lim ln(1)x
x x →∞
+ 解：令 y ＝lnu, u ＝
1
(1)x
x + 因为 lnu 在点 01
lim ln(1)x x u e
x →∞=+= 处连续 所以 1
lim ln(1)x
x x →∞
+ ＝1ln lim(1)x x x →∞?
?+???
? ＝ln e ＝1
6：利用无穷小量的性质求极限：
无穷小量的性质：无穷小量与有界量的乘积还是无穷小量。如果
lim ()0
x x f x →=,g(x)在某区间0000(,),(,)x x x x δδ-+有界，那么0lim ()()0x x f x g x →?=.
这种方法可以处理一个函数不存在但有界，和另一个函数的极限是零的极限的乘积的问题。
例：求sin lim
x x
x →∞
解： 因为 sin 1x ≤ 1lim
0x x →∞=
所以 sin lim
x x
x →∞＝0
7：利用等价无穷小量代换求极限：
等价无穷小量：当1
y z →时，称y,z 是等价无穷小量：记为 y z 在求极限
过程中，往往可以把其中的无穷小量，或它的主要部分来代替。但是，不是乘除的情况，不一定能这样做。
例：求
43
03
lim (sin )2x x x x →+ 解：
sin 22x x
∴4303lim (sin )2x x x x →+＝4303lim ()
2x x x x →+＝43
30lim 8x x x x
→+＝8
8：利用导数的定义求极限
导数的定义：函数f(x)在0x 附近有定义，,x ? 则00()()y f x x f x =+-
如果0000()()lim
lim
x x f x x f x y
x x →→+-= 存在，则此极限值就称函数 f(x)在点 0x 的
导数记为 /
0()f x .即
/0000
()()
()lim
x f x x f x f x x →+-= 在这种方法的运用过程中。
首先要选好f(x)。然后把所求极限。表示成f(x)在定点0x 的导数。
例：求 2
lim()22x x ctg x
ππ
→
-?
解：取f(x)= 2tg x .则
2
22
11
lim()222lim 2(2)2lim 22x x x x ctg x tg x tg x tg x x πππ
ππππ→
→→-?==-?--
＝2
()()
2lim
2x f x f x ππ
π→
--＝/1()2f π＝21(2sec 2)2x x π= ＝1
2
9：利用中值定理求极限：
1：微分中值定理：若函数 f(x) 满足 (i ) 在 []
,a b 连续 .(ii )在(a,b)可导；
则在(a,b)内至少存在一点ξ，使
/()()
()f b f a f b a ξ-=
-
例[2]：求30sin(sin )sin lim
x x x
x →-
解：
[]
sin(sin )sin (sin )cos (sin )x x x x x x x θ-=-??-+ (
)
01θ<<
30sin(sin )sin lim
x x x
x →-
＝[]
3
(sin )cos (sin )lim
x x x x x x x θ→-??-+
＝
20cos 1cos0lim
3x x x →-?
＝0sin lim
6x x
x →-
＝1
6-
2：积分中值定理：设函数f(x) 在闭区间 []
,a b 上连续;g(x) 在[
]
,a b 上不
变号且可积，则在[
]
,a b 上至少有一点ξ使得()()()()b
b a
a
f x
g x f g x dx
ξ?=???
()a b ξ≤≤
例：求 40
lim sin n n xdx
π
→∞
?
解： 40
lim sin n n xdx
π
→∞
?
＝lim (0)4n n six πξ→∞??-
04πξ??≤≤ ??? ＝lim(sin )4n
n π
ξ→∞
0=
10：洛必达法则求极限：
洛必达法则只能对00或∞
∞型才可直接使用，其他待定型必须先化成这两种
类型之一，然后再应用洛必达法则。洛必达法则只说明当 //
()lim ()f x g x 等于 A 时，那么
()lim ()f x g x 也存在且等于A. 如果//()lim ()f x g x 不存在时，并不能断定()
lim
()f x g x 也不存在，只是这是不能用洛必达法则，而须用其他方法讨论
()
lim
()f x g x 。
例[1]：(1) 求0ln sin lim
ln sin x mx
nx →
(2)求0lim x
x x +
→
解：(1) 由00lim ln sin lim ln sin x x mx nx →→==-∞
所以上述极限是∞
∞待定型
0ln sin lim
ln sin x mx nx →＝0cos sin lim cos sin x m mx nx n nx mx →??
?＝0sin lim sin x m nx
n mx →?＝1
(2) 0lim x
x x +
→它为0
0型
由对数恒等式可得ln x x x
x e =
0lim x
x x +
→=0lim ln x x x
e
→+
00ln lim ln lim
1
x x x
x x x +
+→→?==
0lim x
x x +
→＝0
1e =
11：利用定积分求和式的极限
利用定积分求和式的极限时首先选好恰当的可积函数f(x)。把所求极限的和式表示成f(x)在某区间 [
]
,a b 上的待定分法（一般是等分）的积分和式的极限。
例：求
2222221lim 12(1)n n n n n n n n n →∞??++++??+++-??
解：由于222222112(1)n n n
n n n n n +++++++- ＝
222111*********n n n n n ??????+++??
---??????+++??
? ? ????????? 可取函数 f(x)＝211x +区间为[]0,1上述和式恰好是
21
()1f x x =+ 在 [
]
0,1上n 等分的积分和。
所以
2222221lim 12(1)n n n n
n n n n n →∞??++++??+++-?? ＝
lim n →∞222111*********n n n n n ??
????+++??---??????+++?? ? ? ????????? ＝1
2
01
1dx x +?
＝4π
12：利用级数收敛的必要条件求极限
利用级数收敛的必要条件：若级数1
n
n μ
∞
=∑收敛，则
()
0n n μ→→∞运用这个
方法首先判定级数
1
n
n μ
∞
=∑收敛，然后求出它的通项的极限
例：
[]
2 求
()
2
lim
!n
n n n →∞
解：设
()
2
!n
n n a n =
则
[]()2
112!(1)lim lim (1)!n n n
n n n
n a n a n n ++→∞→∞
+=?+
=11
lim
(1)1
n
n n n →∞?++ =0<1
由比值判别法知
1
n
n a
∞
=∑收敛
由必要条件知
()
2
lim
!n
n n n →∞
＝0
13：利用泰勒展开式求极限
泰勒展开式：若 f(x)在x=0点有直到n+1 阶连续导数,那么
()()///
2()()(0)(0)()
2!!n
n
n f x f x f x f f x x x R x n =+++++
()1
1
()()(1)!n n n f R x x
n ξ++=+ (其中ξ在0与1之间)
例：[]1 2
2
40
cos lim
x x x e x -
→-
解：泰勒展开式24
4cos 10()
2!4!x x x x =-++
2
2
2242
110()
22!2x x x e
x -????
=+-+-+ ? ?????
于是cos x -22
x e
-＝4
410()
12x x -
+ 所以2
2
40
cos lim
x x x e
x -→-＝0
lim
x →4
4410()
12x x x -+＝112-
14：换元法求极限：
当一个函数的解析式比较复杂或不便于观察时，可采用换元的方法加以变形，使之简化易求。
例：[3] 求11lim
ln x x x x x →-
解：令 1x
t x =- 则 ln ln(1)x t =+
11lim ln x x x x x →-＝0lim
ln(1)
t t t →+＝
01
lim
ln(1)t t t →+＝1
附:各种求极限问题及解题方法
1．约去零因子求极限
例1：求极限1
1
lim 41--→x x x
【说明】1→x 表明1与x 无限接近，但1≠x ，所以1-x 这一零因子可以约去。
【解】6)1)(1(lim 1
)
1)(1)(1(lim 2121=++=-++-→→x x x x x x x x =4
2．分子分母同除求极限
例2：求极限1
3lim 32
3+-∞→x x x x
【说明】
∞
∞
型且分子分母都以多项式给出的极限,可通过分子分母同除来求。 【解】3131lim 13lim 3
11323=+-=+-∞→∞→x x
x x x x x
【注】(1) 一般分子分母同除x 的最高次方；
(2) ????
???
=<∞>=++++++----∞→n
m b a n m n m b x b x b a x a x a n
n
m m m m n n n n x 0lim 01101
1 3．分子(母)有理化求极限
例3：求极限)13(lim 22+-++∞
→x x x
【说明】分子或分母有理化求极限，是通过有理化化去无理式。
【解】1
3)
13)(13(lim
)13(lim 2
2
22222
2+++++++-+=+-++∞
→+∞
→x x x x x x x x x x
01
32lim
2
2
=+++=+∞
→x x x
例4：求极限3
sin 1tan 1lim
x
x
x x +-+→ 【解】x
x x x
x x x x x x sin 1tan 1sin tan lim sin 1tan 1lim
3030
+-+-=+-+→→ 41
sin tan lim 21sin tan lim
sin 1tan 11
lim
30300
=-=-+++=→→→x x x x x x x
x x x x 【注】本题除了使用分子有理化方法外，及时分离极限式中的非零因子．．．．．．．．．．．是解题的关键
4．应用两个重要极限求极限
两个重要极限是1sin lim 0=→x
x
x 和e x n x x x n n x x =+=+=+→∞→∞→1
0)1(lim )11(lim )11(lim ，第
一个重要极限过于简单且可通过等价无穷小来实现。主要考第二个重要极限。
例5：求极限x
x x x ??
?
??-++∞→11lim 【说明】第二个重要极限主要搞清楚凑的步骤：先凑出１，再凑X
1
+，最后凑指数部分。
【解】22
212
12112111lim 121lim 11lim e x x x x x x x x
x x
x =????
????????? ??-+???? ??+=??? ??-+=??? ??-+--+∞→+∞→+∞→ 例6：(1)x x x ??? ??-+∞→211lim ；(2)已知82lim =??
?
??-++∞→x
x a x a x ，求a 。 5．用等价无穷小量代换求极限 【说明】
(1)常见等价无穷小有：
当0→x 时,~)1ln(~arctan ~arcsin ~tan ~sin ~x x x x x x +1e x
-,
()abx ax x x b
~11,2
1~
cos 12-+-；
(2) 等价无穷小量代换,只能代换极限式中的因式．．； (3)此方法在各种求极限的方法中应作为首选．．．．．
。 例7：求极限0ln(1)
lim
1cos x x x x →+=-
【解】 002
ln(1)lim lim 211cos 2
x x x x x x
x x →→+?==-.
例8：求极限x
x
x x 30tan sin lim -→
【解】x x x x 30tan sin lim -→613lim 31cos lim sin lim 2
2
2102030-
=-==-=-=→→→x x x x x x x x x x 6．用罗必塔法则求极限
例9：求极限2
20)
sin 1ln(2cos ln lim x x x x +-→
【说明】
∞∞或0
型的极限,可通过罗必塔法则来求。 【解】220)sin 1ln(2cos ln lim x
x x x +-→x x x
x x x 2sin 12sin 2cos 2sin 2lim 20+--=→ 3sin 112cos 222sin lim
20-=??
?
??+--=→x x x x x 【注】许多变动上显的积分表示的极限，常用罗必塔法则求解
例10：设函数f(x)连续，且0)0(≠f ，求极限.)()()(lim
??--→x x
x dt
t x f x dt
t f t x
【解】 由于
?
??
=-=
-=-0
)())(()(x
x
x
u t x du u f du u f dt t x f ,于是
?????
-=--→→x
x
x
x x x
x du
u f x dt
t tf dt t f x dt
t x f x dt
t f t x 00
)()()(lim
)()()(lim
=?
?+-+→x
x
x x xf du u f x xf x xf dt t f 0
)
()()
()()(lim
=?
?+→x x
x x xf du u f dt
t f 0
)
()()(lim
=)
()()(lim
x f x du
u f x dt
t f x
x
x +?
?
→=
.2
1
)0()0()0(=+f f f
7．用对数恒等式求)()(lim x g x f 极限
例11：极限x
x x 20
)]1ln(1[lim ++→
【解】 x
x x 20
)]1ln(1[lim ++→=)]1ln(1ln[2
lim x x
x e
++→=.2)
1ln(2lim
)]
1ln(1ln[2lim
e e
e
x
x x
x x x ==+++→→
【注】对于∞1型未定式)()(lim x g x f 的极限，也可用公式
)()(lim x g x f )1(∞=)()1)(lim (x g x f e -
因为
===-+)1)(1ln()(lim ))(ln()(lim )()(lim x f x g x f x g x g e e x f )()1)(lim (x g x f e -
例12：求极限3
01
2cos lim 13x x x x
→??+??-?? ???????
.
【解1】 原式2cos ln 33
1lim
x x x e
x +??
???
→-=2
02cos ln 3lim x x x →+?? ???= 20ln 2cos ln 3lim x x x →+-=（）01
sin 2cos lim 2x x x x →?-+=（）
011sin 1
lim 22cos 6
x x x x →=-?=-+
【解2】 原式2cos ln 33
1lim
x x x e
x +??
???
→-=202cos ln 3lim x x x
→+?? ???= 2
cos 1
ln 3lim
x x x →-+
=（1）
20cos 11lim 36x x x →-==- 8．利用Taylor 公式求极限
例13 求极限 ) 0 ( ,2
lim 20>-+-→a x
a a x x x .
【解】 ) (ln 2
ln 122
2ln x a x a x e
a a
x x +++==,
) (ln 2
ln 122
2x a x a x a
x
++-=-;
). (ln 2222x a x a a x x +=-+-
∴ a x
x a x x a a x x x x 2
2222020ln ) (ln lim 2lim =+=-+→-→ . 例14 求极限011
lim (cot )x x x x
→-.
【解】 00111sin cos lim (cot )lim sin x x x x x x x x x x x
→→--= 323
230()[1()]3!2!lim x x x x x x x x
οο→-+--+= 3
33011(
)()
1
2!3!lim 3x x x x ο→-+==.
9．数列极限转化成函数极限求解
例15：极限2
1sin lim n n n n ??? ?
?
∞→
【说明】这是∞1形式的的数列极限，由于数列极限不能使用罗必塔法则，若直接求有一定难度，若转化成函数极限，可通过7提供的方法结合罗必塔法则求解。
【解】考虑辅助极限6
1
1sin 1
10
11sin 222
lim lim 1sin lim -
???
? ??-→?
?? ?
?
-+∞
→+∞→===?
?? ?
?
+e
e
e
x x y y y y x x x x x x
所以，6
1
2
1sin lim -
∞→=?
?? ?
?
e
n n n n
10．n 项和数列极限问题
n 项和数列极限问题极限问题有两种处理方法 (1)用定积分的定义把极限转化为定积分来计算;
(2)利用两边夹法则求极限.
例16：极限???
?
??++++++∞→2222221
211
1lim n n n n n 【说明】用定积分的定义把极限转化为定积分计算,是把)(x f 看成［0,1］定积分。
?=???
?
?
?
??? ??++??
?
??+??
?
??∞→10)(211lim dx x f n n f n f n f n n 【解】原式＝??????
?
?
????
??++
+??? ??++?
?? ??+∞→22211
2111111lim n n n n n n 1212ln 2111
10
2+--=+=?
dx x
例17：极限????
??++
++++∞→n n n n n 2
2
21
2
11
1
lim 【说明】(1)该题遇上一题类似，但是不能凑成???
? ????? ??++???
??+???
??∞→n n f n f n f n n 211lim
的形式，因而用两边夹法则求解；
(2) 两边夹法则需要放大不等式，常用的方法是都换成最大的或最小的。
【解】???
?
??++++++∞→n n n n n 2221
211
1lim 因为
1
1211
12
2
2
2
2
+≤
++
+++
+≤+n n n
n n n n
n n
又 n
n n
n +∞
→2
lim
11
lim 2=+=∞
→n n n
所以 ????
??++
++++∞→n n n n n 2
2
21
2
1
1
1
lim ＝１ 12．单调有界数列的极限问题
例18：设数列{}n x 满足110,sin (1,2,)n n x x x n π+<<==
（Ⅰ）证明lim n n x →∞
存在，并求该极限；
（Ⅱ）计算2
1
1lim n x n n n x x +→∞?? ???
. 【分析】 一般利用单调增加有上界或单调减少有下界数列必有极限的准则来证明数列极限的存在.
【详解】 （Ⅰ）因为10x π<<，则210sin 1x x π<=≤<. 可推得 10sin 1,1,2,n n x x n π+<=≤<= ，则数列{}n x 有界. 于是
1sin 1n n
n n
x x x x +=<，（因当0sin x x x ><时，）
， 则有1n n x x +<，可见数列{}n x 单调减少，故由单调减少有下界数列必有极限知极限lim n n x →∞
存在.
设lim n n x l →∞
=，在1s i n n n x x +=两边令n →∞，得 sin l l =，解得0l =，即l
i m 0n n x →∞
=. （Ⅱ） 因 22
11
1sin lim lim n
n x x n n n n n n x x x x +→∞
→∞
??
??= ?
???
??
，由（Ⅰ）知该极限为1∞
型， 6
1
sin 01sin 1
1003
2
221
lim lim sin 1lim -
-→?
??
??-→→===??
? ??+++e e e x x x
x x x x x x x x x (使用了罗必塔法则)
故 22
1
1
116sin lim lim e n
n x x n n n n n n x x x x -+→∞
→∞
??
??== ?
???
??
.
高等数学求极限的常用 方法附例题和详解 HUA system office room 【HUA16H-TTMS2A-HUAS8Q8-HUAH1688】
高等数学求极限的14种方法 一、极限的定义 1.极限的保号性很重要：设 A x f x x =→)(lim 0 ， （i ）若A 0>，则有0>δ，使得当δ<-<||00x x 时，0)(>x f ； （ii ）若有,0>δ使得当δ<-<||00x x 时，0A ,0)(≥≥则x f 。 2.极限分为函数极限、数列极限，其中函数极限又分为∞→x 时函数的极限和0x x →的极限。要特别注意判定极限是否存在在： （i ）数列{}的充要条件收敛于a n x 是它的所有子数列均收敛于a 。常用的是其推论，即 “一个数列收敛于a 的充要条件是其奇子列和偶子列都收敛于a ” （ii ） A x x f x A x f x =+∞ →= -∞ →? =∞ →lim lim lim )()( (iii)A x x x x A x f x x =→=→? =→+ - lim lim lim 0 )( (iv)单调有界准则 （v ）两边夹挤准则（夹逼定理/夹逼原理） （vi ）柯西收敛准则（不需要掌握）。极限 )(lim 0 x f x x →存在的充分必要条件是： εδεδ<-∈>?>?|)()(|)(,0,021021x f x f x U x x o 时，恒有、使得当 二．解决极限的方法如下：
1.等价无穷小代换。只能在乘除．． 时候使用。例题略。 2.洛必达（L ’hospital ）法则（大题目有时候会有暗示要你使用这个方法） 它的使用有严格的使用前提。首先必须是X 趋近，而不是N 趋近，所以面对数列极限时候先要转化成求x 趋近情况下的极限，数列极限的n 当然是趋近于正无穷的，不可能是负无穷。其次,必须是函数的导数要存在，假如告诉f （x ）、g （x ）,没告诉是否可导，不可直接用洛必达法则。另外，必须是“0比0”或“无穷大比无穷大”,并且注意导数分母不能为0。洛必达法则分为3种情况： （i ）“ 00”“∞ ∞ ”时候直接用 (ii)“∞?0”“∞-∞”，应为无穷大和无穷小成倒数的关系，所以无穷大都写成了 无穷小的倒数形式了。通项之后，就能变成(i)中的形式了。即 )(1)()()()(1)()()(x f x g x g x f x g x f x g x f ==或；) ()(1 )(1 )(1 )()(x g x f x f x g x g x f -=- (iii)“00”“∞1”“0∞”对于幂指函数,方法主要是取指数还取对数的方法，即 e x f x g x g x f ) (ln )()()(=，这样就能把幂上的函数移下来了，变成“∞?0”型未定式。 3.泰勒公式(含有x e 的时候，含有正余弦的加减的时候） 12)! 1(!!21+++++++=n x n x x n e n x x x e θ ； cos=221242)! 22(cos )1()!2()1(!4!21+++-+-+-+-m m m m x m x m x x x θ
函数极限总结 一．极限的产生 极限理论是研究关于极限的严格定义、基本性质和判别准则等问题的基础理论。 极限思想的萌芽可以追溯到古希腊时期和中国战国时期，但极限概念真正意义上的首次出现于沃利斯的《无穷算数》中，牛顿在其《自然哲学的数学原理》一书中明确使用了极限这个词并作了阐述。但迟至18世纪下半叶，达朗贝尔等人才认识到，把微积分建立在极限概念的基础之上，微积分才是完善的，柯西最先给出了极限的描述性定义，之后，魏尔斯特拉斯给出了极限的严格定义（ε-δ和ε-N 定义）。 从此，各种极限问题才有了切实可行的判别准则，使极限理论成为了微积分的工具和基础。[1] 二．极限知识点总结 1. 极限定义 函数极限：设函数f(x)在点的x 0某一去心邻域内有定义，如果存在常数A ，对于任意给定的正数ε（无论它多么小），总存在正数，使得当x 满足不等式δ<<|x -x |00时，对应的函数值都满足不等式：ε <-|)(|A x f 那么常数A 就叫做函数f(x)?当x →x 0时的极限，记作A x f x x =→)(lim 0 。[2] 单侧极限：?.左极限：A x f x x =- →)(lim 或)()(左→→x A x f ?.右极限：A x f x x =+ →)(lim 或)()(右→→x A x f 定理：A x f x f A x f x x ==?=+ -→)()()(lim 0 函数)(x f 当0x x →时极限存在的充分必要条件是左、右极限各自存在且相等即 )()()(lim 0 00x f x f x f x x →+ -==。 2. 极限概念 函数极限可以分成0,,,x x x x x →-∞→+∞→∞→以0x x →的极限为例，f(x)在点x 0以A 为极限的定义是：对于任意给定的正数ε（无论它多么小），总存在正数δ，使得当x 满足不等式
高等数学求极限的14种方法 一、极限的定义 1.极限的保号性很重要：设 A x f x x =→)(lim 0 ， （i ）若A 0>，则有0>δ，使得当δ<-<||00x x 时，0)(>x f ； （ii ）若有,0>δ使得当δ<-<||00x x 时，0A ,0)(≥≥则x f 。 2.极限分为函数极限、数列极限，其中函数极限又分为∞→x 时函数的极限和0x x →的极限。要特别注意判定极限是否存在在： （i ）数列{} 的充要条件收敛于a n x 是它的所有子数列均收敛于a 。常用的是其推论，即“一个数列收敛于a 的充要条件是其奇子列和偶子列都收敛于a ” （ii ）A x x f x A x f x =+∞ →=-∞ →?=∞ →lim lim lim )()( (iii) A x x x x A x f x x =→=→?=→+ - lim lim lim 0 )( (iv)单调有界准则 （v ）两边夹挤准则（夹逼定理/夹逼原理） （vi ）柯西收敛准则（不需要掌握）。极限 ) (lim 0 x f x x →存在的充分必要条件是： εδεδ<-∈>?>?|)()(|)(,0,021021x f x f x U x x o 时，恒有、使得当 二．解决极限的方法如下： 1.等价无穷小代换。只能在乘除．． 时候使用。例题略。 2.洛必达（L ’hospital ）法则（大题目有时候会有暗示要你使用这个方法） 它的使用有严格的使用前提。首先必须是X 趋近，而不是N 趋近，所以面对数列极限时候先要转化成求x 趋近情况下的极限，数列极限的n 当然是趋近于正无穷的，不可能是负无穷。其次,必须是函数的导数要存在，假如告诉f （x ）、g （x ）,没告诉是否可导，不可直接用洛必达法则。另外，必须是“0比0”或“无穷大比无穷大”,并且注意导数分母不能为0。洛必达法则分为3种情况： （i ）“ 00”“∞ ∞ ”时候直接用 (ii)“∞?0”“∞-∞”，应为无穷大和无穷小成倒数的关系，所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通 项之后，就能变成(i)中的形式了。即)(1)()()()(1)()()(x f x g x g x f x g x f x g x f ==或；) ()(1 )(1 )(1 )()(x g x f x f x g x g x f -=- (iii)“00”“∞1”“0 ∞”对于幂指函数,方法主要是取指数还取对数的方法，即e x f x g x g x f ) (ln )()()(=， 这样就能把幂上的函数移下来了，变成“∞?0”型未定式。 3.泰勒公式(含有x e 的时候，含有正余弦的加减的时候）
大学高等数学知识点整理 公式，用法合集 极限与连续 一. 数列函数: 1. 类型: (1)数列: *()n a f n =; *1()n n a f a += (2)初等函数: (3)分段函数: *0102()(),()x x f x F x x x f x ≤?=?>?; *0 ()(), x x f x F x x x a ≠?=?=?;* (4)复合(含f )函数: (),()y f u u x ?== (5)隐式(方程): (,)0F x y = (6)参式(数一,二): () ()x x t y y t =??=? (7)变限积分函数: ()(,)x a F x f x t dt = ? (8)级数和函数(数一,三): 0 (),n n n S x a x x ∞ ==∈Ω∑ 2. 特征(几何): (1)单调性与有界性(判别); (()f x 单调000,()(()())x x x f x f x ??--定号) (2)奇偶性与周期性(应用). 3. 反函数与直接函数: 1 1()()()y f x x f y y f x --=?=?= 二. 极限性质: 1. 类型: *lim n n a →∞; *lim ()x f x →∞ (含x →±∞); *0 lim ()x x f x →(含0x x ± →) 2. 无穷小与无穷大(注: 无穷量): 3. 未定型: 000,,1,,0,0,0∞ ∞∞-∞?∞∞∞ 4. 性质: *有界性, *保号性, *归并性 三. 常用结论: 11n n →, 1(0)1n a a >→, 1()max(,,)n n n n a b c a b c ++→, ()00! n a a n >→
高等数学极限求法总结 函数极限的求法 函数极限可以分成而运用ε-δ定义更多的见诸于已知的极极限值的证明 题中。掌握这类证明对初学者深刻理解运用极限定义大有裨益。限为例，f(x) 在点以A为极限的定义是：对于任意给定的正数ε（无论它多么小），总存 在正数，使得当x 满足不等式时，对应的f(x)函数值都满足不等式：，那么常数A就叫做函 数f(x)当x→x。时的极限。 1.利用极限的四则运算法则： 极限四则运算法则的条件是充分而非必要的，因此，利用极限四则运算法则求函数极限时，必须对所给的函数逐一进行验证它是否满足极限四则运算法 则条件，满足条件者。方能利用极限四则运算法则进行求之。不满足条件者，不能直接利用极限四则运算法则求之。但是，井非不满足极限四则运算法则条 件的函数就没有极限，而是需将函数进行恒等变形，使其符合条件后，再利用极限四则运算法则求之。而对函数进行恒等变形时，通常运用一些技巧如拆项、分子分母同时约去零因子、分子分母有理化、通分、变量替换等等。例 1 求 lim( x 2 3x + 5). x→ 2 解： lim( x 2 3x + 5) = lim x 2 lim 3x + lim 5 = (lim x) 2 3 lim x + lim 5 = 2 2 3 2 + 5 = 3. x→2 x →2 x →2 x →2 x →2 x →2 x →2 2.利用洛必达法则 洛必达(L 'Hopital)法则是在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限 来确定未定式值的方法.简单讲就是，在求一个含分式的函数的极限时，分别对分子和分母求导，在求极限，和原函数的极限是一样的。一般用在求导后为零 比零或无穷比无穷的类型。 利用洛必达求极限应注意以下几点： 设函数f(x)和F(x)满足下列条件：
【最新整理，下载后即可编辑】 高等数学求极限的14种方法 一、极限的定义 1.极限的保号性很重要：设 A x f x x =→)(lim 0 ， （1）若A 0>，则有0>δ，使得当δ<-<||00x x 时，0)(>x f ； （2）若有,0>δ使得当δ<-<||00x x 时，0A ,0)(≥≥则x f 。 2. 极限分为函数极限、数列极限，其中函数极限又分为∞→x 时函数的极限和0x x →的极限。 要特别注意判定极限是否存在在： （1）数列{}的充要条件收敛于a n x 是它的所有子数列均收敛于a 。常用的是其推论，即 “一个数列收敛于a 的充要条件是其奇子列和偶子列都收敛于a ” （2）A x x f x A x f x =+∞ →=-∞ →?=∞ →lim lim lim )()( (3) A x x x x A x f x x =→=→?=→+ - lim lim lim 0 )( (4) 单调有界准则 （5）两边夹挤准 （夹逼定理/夹逼原理） (6) 柯西收敛准则（不需要掌握）。极限)(lim 0 x f x x →存在的充分必要条件。是： εδεδ<-∈>?>?|)()(|)(,0,021021x f x f x U x x o 时，恒有、使得当 二．解决极限的方法如下： 1.等价无穷小代换。只能在乘除．． 时候使用。例题略。 2.洛必达（L ’hospital ）法则（大题目有时候会有暗示要你使用这个方法） 它的使用有严格的使用前提。首先必须是X 趋近，而不是N 趋近，所以面对数列极限时候先要转化成求x 趋近情况下的极限，数列极限的n 当然是趋近于正无穷的，不可能是负无穷。其次,必须是函数的导数要存在，假如告诉f （x ）、g （x ）,没告诉是否可导，不可直接用洛必达法则。另外，必须是“0比0”或“无穷大比无穷大”,并且注意导数分母不能为0。洛必达法则分为3种情况： （1）“0 0”“∞ ∞”时候直接用 (2)“∞?0”“∞-∞”，应为无穷大和无穷小成倒数的关系，所以无穷大都写成
高等数学(同济第七版)上册-知识点总结 第一章 函数与极限 一. 函数的概念 1.两个无穷小的比较 设0)(lim ,0)(lim ==x g x f 且l x g x f =) () (lim （1）l = 0，称f (x)是比g(x)高阶的无穷小，记以f (x) = 0[)(x g ]，称g(x)是比f(x)低阶的无穷小。 （2）l ≠ 0，称f (x)与g(x)是同阶无穷小。 （3）l = 1，称f (x)与g(x)是等价无穷小，记以f (x) ~ g(x) 2.常见的等价无穷小 当x →0时 sin x ~ x ，tan x ~ x ，x arcsin ~ x ，x arccos ~ x ， 1? cos x ~ 2/2^x ， x e ?1 ~ x ，)1ln(x + ~ x ，1)1(-+αx ~ x α 二．求极限的方法 1．两个准则 准则 1. 单调有界数列极限一定存在 准则 2.（夹逼定理）设g (x ) ≤ f (x ) ≤ h (x ) 若A x h A x g ==)(lim ,)(lim ，则A x f =)(lim 2．两个重要公式 公式11sin lim 0=→x x x 公式2e x x x =+→/10 )1(lim 3．用无穷小重要性质和等价无穷小代换 4．用泰勒公式 当x 0→时，有以下公式，可当做等价无穷小更深层次 ) ()! 12()1(...!5!3sin ) (! ...!3!2112125332++++-+++-=++++++=n n n n n x x o n x x x x x x o n x x x x e )(! 2)1(...!4!21cos 2242n n n x o n x x x x +-+++-= )()1(...32)1ln(132n n n x o n x x x x x +-++-=++ )(! ))1()...(1(...!2)1(1)1(2n n x o x n n x x x +---++-++=+ααααααα )(1 2)1(...53arctan 121 2153+++++-+-+-=n n n x o n x x x x x 5．洛必达法则
学号：0 学年论文 求极限的方法总结 Method of Limit 学院理学院专业班级 学生指导教师（职称） 完成时间年月日至年月日
摘要 极限的概念是高等数学中最重要、最基本的概念之一。许多重要的概念如连续、导数、定积分、无穷级数的和及广义积分等都是用极限来定义的。因此掌握好求极限的方法对学好高等数学是十分重要的。但求极限的方法因题而异，变化多端，有时甚至感到变幻莫测无从下手，通过通过归纳和总结，我们罗列出一些常用的求法。本文主要对了数学分析中求极限的方法进行一定的总结，以供参考。 关键词：极限洛必达法则泰勒展开式定积分无穷小量微分中值定理
Abstract The concept of limit is the most important mathematics,one of the most basic important concepts such as continuity,derivative,definite integral,infinite series and generalized integrals and are defined by the mater the methods the Limit learn mathematics integrals and are defined by the limit varies by title,varied,anf sometimes even impossible to start very unpredictable,and summarized through the adoption,we set out the requirements of some commonly used this paper,the mathematical analysis of the method of seeking a certain limit a summary for reference. Keyword:Limit Hospital's Rule Taylor expansion Definite integral Infinitesimal Mean Value Theorem
求极限的各种方法 1．约去零因子求极限 例1：求极限1 1 lim 41--→x x x 【说明】1→x 表明1与x 无限接近，但1≠x ，所以1-x 这一零因子可以约去。 【解】6)1)(1(lim 1 ) 1)(1)(1(lim 2121=++=-++-→→x x x x x x x x =4 2．分子分母同除求极限 例2：求极限1 3lim 32 3+-∞→x x x x 【说明】 ∞ ∞ 型且分子分母都以多项式给出的极限,可通过分子分母同除来求。 【解】3131lim 13lim 3 11323= +-=+-∞→∞→x x x x x x x 【注】(1) 一般分子分母同除x 的最高次方； (2) ???? ??? =<∞>=++++++----∞→n m b a n m n m b x b x b a x a x a n n m m m m n n n n x 0lim 01101 1ΛΛ 3．分子(母)有理化求极限 例3：求极限)13(lim 22+-++∞ →x x x 【说明】分子或分母有理化求极限，是通过有理化化去无理式。 【解】1 3) 13)(13(lim )13(lim 2 2 22222 2 +++++++-+=+-++∞ →+∞ →x x x x x x x x x x 01 32lim 2 2 =+++=+∞ →x x x
例4：求极限3 sin 1tan 1lim x x x x +-+→ 【解】x x x x x x x x x x sin 1tan 1sin tan lim sin 1tan 1lim 3030 +-+-=+-+→→ 41 sin tan lim 21sin tan lim sin 1tan 11 lim 30300 =-=-+++=→→→x x x x x x x x x x x 【注】本题除了使用分子有理化方法外，及时分离极限式中的非零因子．．．．．．．．．．．是解题的关键 4．应用两个重要极限求极限 两个重要极限是1sin lim 0=→x x x 和e x n x x x n n x x =+=+=+→∞→∞→1 0)1(lim )11(lim )11(lim ， 第一个重要极限过于简单且可通过等价无穷小来实现。主要考第二个重要极限。 例5：求极限x x x x ?? ? ??-++∞→11lim 【说明】第二个重要极限主要搞清楚凑的步骤：先凑出１，再凑X 1 + ，最后凑指数部分。 【解】22 212 12112111lim 121lim 11lim e x x x x x x x x x x x =???? ????????? ??-+???? ??+=??? ??-+=??? ??-+--+∞→+∞→+∞→ 例6：(1)x x x ??? ??-+∞→211lim ；(2)已知82lim =??? ??-++∞→x x a x a x ，求a 。 5．用等价无穷小量代换求极限 【说明】 (1)常见等价无穷小有： 当0→x 时,~)1ln(~arctan ~arcsin ~tan ~sin ~x x x x x x +1e x -, ()abx ax x x b ~11,2 1~ cos 12-+-； (2) 等价无穷小量代换,只能代换极限式中的因式．． ；
极限计算方法总结 《高等数学》是理工科院校最重要的基础课之一，极限是《高等数学》的重要组成部分。求极限方法众多，非常灵活，给函授学员的学习带来较大困难，而极限学的好坏直接关系到《高等数学》后面内容的学习。下面先对极限概念和一些结果进行总结，然后通过例题给出求极限的各种方法，以便学员更好地掌握这部分知识。 一、极限定义、运算法则和一些结果 1．定义：（各种类型的极限的严格定义参见《高等数学》函授教材，这里不一一叙述）。 说明：（1）一些最简单的数列或函数的极限（极限值可以观察得到）都可 以用上面的极限严格定义证明，例如： )0,(0lim ≠=∞→a b a an b n 为常数且； 5 )13(lim 2 =-→x x ； ???≥<=∞→时当不存在， 时 当，1||1||0lim q q q n n ；等等 （2）在后面求极限时，（1）中提到的简单极限作为已知结果直接运 用，而不需再用极限严格定义证明。 2．极限运算法则 定理1 已知 )(lim x f ，)(lim x g 都存在，极限值分别为A ，B ，则下面极限都存在，且有 （1）B A x g x f ±=±)]()(lim[ （2）B A x g x f ?=?)()(lim （3）)0(,)()(lim 成立此时需≠=B B A x g x f 说明：极限号下面的极限过程是一致的；同时注意法则成立的条件，当条 件不满足时，不能用。 3．两个重要极限 （1） 1sin lim 0=→x x x
（2） e x x x =+→10 ) 1(lim ； e x x x =+∞ →)11(lim 说明：不仅要能够运用这两个重要极限本身，还应能够熟练运用它们的变形形式， 作者简介：靳一东，男，（1964—），副教授。 例如：133sin lim 0=→x x x ，e x x x =--→21 0) 21(lim ，e x x x =+ ∞ →3 )31(lim ；等等。 4．等价无穷小 定理2 无穷小与有界函数的乘积仍然是无穷小（即极限是0）。 定理3 当0→x 时，下列函数都是无穷小（即极限是0），且相互等价，即有： x ～x sin ～x tan ～x arcsin ～x arctan ～)1ln(x +～1-x e 。 说明：当上面每个函数中的自变量x 换成)(x g 时（0)(→x g ），仍有上面的 等价 关系成立，例如：当0→x 时， 13-x e ～ x 3 ；)1ln(2x - ～ 2x -。 定理4 如果函数)(),(),(),(11x g x f x g x f 都是0x x →时的无穷小，且 )(x f ～)(1x f ，)(x g ～)(1x g ，则当) ()(lim 110 x g x f x x →存在时，)() (lim 0x g x f x x →也存在且等于)(x f )()(lim 110 x g x f x x →，即)() (lim 0x g x f x x →=) ()(lim 110x g x f x x →。 5．洛比达法则 定理5 假设当自变量x 趋近于某一定值（或无穷大）时，函数)(x f 和)(x g 满 足：（1）)(x f 和)(x g 的极限都是0或都是无穷大； （2）)(x f 和)(x g 都可导，且)(x g 的导数不为0； （3）) () (lim x g x f ''存在（或是无穷大）；
高等数学求极限的16种方法 首先说下我的感觉，假如高等数学是棵树木得话，那么极限就是他的根，函数就是他的皮。树没有跟，活不下去，没有皮，只能枯萎，可见这一章的重要性。 为什么第一章如此重要？各个章节本质上都是极限，是以函数的形式表现出来的，所以也具有函数的性质。函数的性质表现在各个方面 首先对极限的总结如下 极限的保号性很重要就是说在一定区间内函数的正负与极限一致 1 极限分为一般极限，还有个数列极限，（区别在于数列极限时发散的，是一般极限的一种） 2解决极限的方法如下：（我能列出来的全部列出来了！！！！！你还能有补充么？？？）1 等价无穷小的转化，（只能在乘除时候使用，但是不是说一定在加减时候不能用但是前提是必须证明拆分后极限依然存在）e的X次方-1 或者（1+x）的a次方-1等价于Ax 等等。全部熟记 （x趋近无穷的时候还原成无穷小） 2落笔他法则（大题目有时候会有暗示要你使用这个方法） 首先他的使用有严格的使用前提！！！！！！ 必须是 X趋近而不是N趋近！！！！！！！（所以面对数列极限时候先要转化成求x 趋近情况下的极限，当然n趋近是x趋近的一种情况而已，是必要条件 （还有一点数列极限的n当然是趋近于正无穷的不可能是负无穷！）必须是函数的导数要存在！！！！！！！！（假如告诉你g（x）, 没告诉你是否可导，直接用无疑于找死！！） 必须是 0比0 无穷大比无穷大！！！！！！！！！ 当然还要注意分母不能为0 落笔他法则分为3中情况 1 0比0 无穷比无穷时候直接用 2 0乘以无穷无穷减去无穷（应为无穷大于无穷小成倒数的关系）所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通项之后这样就能变成1中的形式了 3 0的0次方1的无穷次方无穷的0次方 对于（指数幂数）方程方法主要是取指数还取对数的方法，这样就能把幂上的函数移下来了，就是写成0与无穷的形式了，（这就是为什么只有3种形式的原因，LNx两端都趋近于无穷时候他的幂移下来趋近于0 当他的幂移下来趋近于无穷的时候 LNX趋近于0） 3泰勒公式(含有e的x次方的时候，尤其是含有正余旋的加减的时候要特变注意！！！！）
【摘要】《高等数学》教学中对于极限部分的要求很高，这主要是因为其特殊的地位决定的。然而极限部分绝大部分的运算令很多从中学进入高校的学生感到困窘。本文立足教材的基本概念阐述，着重介绍极限运算过程中极具技巧的解决思路。希望以此文能对学习者有所帮助。 【关键词】高等数学极限技巧 《高等数学》极限运算技巧 《高等数学》的极限与连续是前几章的内容，对于刚入高校的学生而言是入门部分的重要环节。是“初等数学”向“高等数学”的起步阶段。 一，极限的概念 从概念上来讲的话，我们首先要掌握逼近的思想，所谓极限就是当函数的变量具有某种变化趋势（这种变化趋势是具有唯一性），那么函数的应变量同时具有一种趋势，而且这种趋势是与自变量的变化具有对应性。通俗的来讲，函数值因为函数变量的变化而无限逼近某一定值，我们就将这一定值称为该函数在变量产生这种变化时的极限！ 从数学式子上来讲，逼近是指函数的变化，表示为。这个问题不再赘述，大家可以参考教科书上的介绍。 二，极限的运算技巧 我在上课时，为了让学生好好参照我的结论，我夸过这样一个海口，我说，只要你认真的记住这些内容，高数部分所要求的极限内容基本可以全部解决。现在想来这不是什么海口，数学再难也是基本的内容，基本的方法，关键是技巧性。我记得blog中我做过一道极限题，当时有网友惊呼说太讨巧了！其实不是讨巧，是有规律可循的！今天我写的内容希望可以对大家的学习有帮助! 我们看到一道数学题的时候，首先是审题，做极限题，首先是看它的基本形式，是属于什么形式采用什么方法。这基本上时可以直接套用的。
1，连续函数的极限 这个我不细说，两句话，首先看是不是连续函数，是连续函数的直接带入自变量。 2，不定型 我相信所有学习者都很清楚不定型的重要性，确实。那么下面详细说明一些注意点以及技巧。 第一，所有的含有无穷小的，首先要想到等价无穷小代换，因为这是最能简化运算的。等价代换的公式主要有六个： 需要注意的是等价物穷小代换是有适用条件的，即：在含有加减运算的式子中不能直接代换，在部分式子的乘除因子也不能直接代换，那么如果一般方法解决不了问题的话，必须要等价代换的时候，必须拆项运算，不过，需要说明，拆项的时候要小心，必须要保证拆开的每一项极限都存在。 此外等价无穷小代换的使用，可以变通一些其他形式，比如： 等等。特别强调在运算的之前，检验形式，是无穷小的形式才能等价代换。 当然在一些无穷大的式子中也可以去转化代换，即无穷大的倒数是无穷小。这需要变通的看问题。 在无穷小的运算中，洛必答法则也是一种很重要的方法，但是洛必答法则适用条件比较单一，就是无穷小比无穷小。比较常见的采用洛必答法则的是无穷小乘无穷大的情况。(特别说明无穷小乘无穷大可以改写为无穷小比无穷小或者无穷大比无穷大的形式，这根据做题的需要来进行）。
考研数学数列极限内容概括及考点总结 来源：文都教育 数列极限的概念和判断极限存在的夹逼准则和单调有界准则也是考研数学的重要考点，下面文都考研数学教研室老师为大家总结了数列极限部分的知识和考点题型，希望对同学们有帮助。 一、数列极限 1. 数列极限的定义 设{}n a 为一数列，若存在常数A ，对任意的0>ε，总存在0>N ，当N n >时，有ε<-||A a n ，称A 为数列{}n a 的极限，或称数列 {}n a 收敛于A ，记为A a n n =∞ →lim 。 2. 收敛数列的性质 （1）收敛数列极限存在且唯一. （2）收敛数列必为有界数列. （3）收敛数列的保号性. 3. 极限存在准则 （1）夹逼准则 如果数列{}{}{},,n n n a b c 满足下列条件： 从某项起，即0n N ?∈，当0n n >时有，n n n c b a ≤≤，且A c a n n n n ==∞ →∞ →lim lim ， 则A b n n =∞ →lim 。 （2）单调有界准则 单调增加（或单调减少）且有上界（或有下界）的数列{}n x 必有极限。 【注】此准则只给出了极限的存在性，并未给出极限是多少。此时一般是在判定了“极限存在”以后通过数列的递推表示，在等式两边取极限得到。 4. 重要结论
（1）若lim lim n n n n a a a a →∞ →∞ =?=. （2）lim 0lim 0 n n n n a a →∞ →∞ =?=. （3）221lim lim ,lim n n n n n n a a a a a a -→∞ →∞ →∞ =?==. 【考点一】数列极限的概念与性质 例1设 ().lim 0,n n n n n x a y y x a →∞ ≤≤-=且为常数，则数列 {}n x 和{}n y （ ） 。 （A ）都收敛于a （B ）都收敛，但不一定收敛于a （C ）可能收敛，也可能发散 （D ）都发散 例2设 (){}{} .lim 0,,n n n n n n n n x a y y x x y →∞ ≤≤-=且和 {}n a 均为数列，则lim n n a →∞ （ ）。 （A ）存在且等于0 （B ）存在但不一定等于0 （C ）一定不存在 （D ）不一定存在 【考点二】（1）单调有界数列必有极限. （2）单调递增且有上界的数列必有极限，单调递增且无上界的数列的极限为+∞. （3）单调递减且有下界的数列必有极限，单调递减且无下界的数列的极限为-∞. 例1 设()()1103,31,2, n n n x x x x n +<<=-=，证明：数列{}n x 极限存在，并求此极限 例2 设 ()2 0110,20,1,2, n n n x x x x n +-<<=+=，证明：数列{}n x 极限存在，并求此极限 【考点三】夹逼准则 【思路提示】在使用夹逼准则时，需要对通项进行“缩小”和“放大”，要注意：“缩小”应该是尽可能的大，而“放大”应该是尽可能的小，在这种情况下，如果仍然“夹不住”那么就说明夹逼准则不适用，改方法。 【考点四】数列连加和的极限 例1. 求极限 111 lim 1111212n n →∞ ? ?+++ ?++++ +??
L .+'''+.+'''+. + 天天快乐+ '+. .+' "+.+" 爱 爱爱 爱祝爱 爱愿爱 爱你爱 爱永爱 爱远爱 爱被爱 爱爱爱 爱包爱 爱围爱 爱爱 爱爱 爱爱 爱 漂亮吧!送给你,希望你会幸福一生,梦想成真！ 高数中求极限的16种方法 假如高等数学是棵树木得话，那么极限就是他的根，函数就是他的皮。树没有跟，活不下去，没有皮，只能枯萎，可见这一章的重要性。
为什么第一章如此重要？各个章节本质上都是极限，是以函数的形式表现出来的，所以也具有函数的性质。函数的性质表现在各个方面。首先，对极限的总结如下: 极限的保号性很重要，就是说在一定区间内函数的正负与极限一致。 1 .极限分为一般极限，数列极限（区别在于数列极限时发散的，是一般极限的一种） 2.解决极限的方法如下：（我能列出来的全部列出来了！！！！！你还能有补充么？？？） 1 等价无穷小的转化，（只能在乘除时候使用，但是不是说一定在加减时候不能用但是前提是必须证明拆分后极限依然存在）e的X次方-1 或者（1+x）的a次方-1等价于Ax 等等。全部熟记（x趋近无穷的时候还原成无穷小） 2 LHopital 法则（大题目有时候会有暗示要你使用这个方法）首先他的使用有严格的使用前提！！！！！！必须是X趋近而不是N 趋近！！！！！！！（所以面对数列极限时候先要转化成求x趋近情况下的极限，当然n趋近是x趋近的一种情况而已，是必要条件（还有一点数列极限的n当然是趋近于正无穷的不可能是负无穷！）必须是函数的导数要存在！！！！！！！！（假如告诉你g（x）, 没告诉你是否可导，直接用无疑于找死！！）必须是0比0 无穷大比无穷大！！！！！！！！！ 当然还要注意分母不能为0LHopital 法则分为3中情况 1 0比0 无穷比无穷时候直接用2 0乘以无穷无穷减去无穷（应为无穷大于无穷小成倒数的关系）所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通项之后这样就能变成1中的形式了 3 0的0次方1的无穷次方无穷的0次方对于（指数幂数）方程方法主要是取指数还取对数的方法，这样就能把幂上的函数移下来了，就是写成0与无穷的形式了，（这就是为什么只有3种形式的原因，LNx两端都趋近于无穷时候他的幂移下来趋近于0 当他的幂移下来趋近于无穷的时候LNX趋近于0）3泰勒公式(含有e的x次方的时候，尤其是含有正余旋的加减的时候要特变注意！！！！）E的x展开sina 展开cos 展开ln1+x展开对题目简化有很好帮助4面对无穷大比上无穷大形式的解决办法取大头原则最大项除分子分母！！！！！！！！！！！看上去复杂处理很简单！！！！！！！！！！5无穷小于有界函数的处理办法面对复杂函数时候， 尤其是正余旋的复杂函数与其他函数相乘的时候，一定要注意这个方法。面对非常复杂的函数可能只需要知道它的范围结果就出来了！！！6夹逼定理（主要对付的是数列极限！） 这个主要是看见极限中的函数是方程相除的形式，放缩和扩大。7等比等差数列公式应用（对付数列极限）（q绝对值符号要小于1）8各项的拆分相加（来消掉中间的大多数）（对付的还是数列极限）可以使用待定系数法来拆分化简函数9求左右求极限的方式（对付数列极限）例如知道Xn与Xn+1的关系，已知Xn的极限存在的情况下，xn的极限与xn+1的极限时一样的，应为极限去掉有限项目极限值不变化10 2 个重要极限的应用。这两个很重要！！！！！对第一个而言是X趋近0时候的sinx与x比值。第2个就如果x趋近无穷大无穷小都有对有对应的形式（地2个实际上是用于函数是1的无穷的形式）（当底数是1 的时候要特别注意可能是用地2 个重要极限）11 还有个方法，非常方便的方法 就是当趋近于无穷大时候不同函数趋近于无穷的速度是不一样的！！！！！！！！！！！！！！！x的x次方快于x！快于指数函数快于幂数函数 快于对数函数（画图也能看出速率的快慢）!!!!!!当x趋近无穷的时候他们的比值的极限一眼就能看出来了12 换元法是一种技巧，不会对模一道题目而言就只需要换元，但是换
高等数学学习心得体会 随着科技日新月异的发展和电脑无孔不入的应用.高等数学课程作为一种数学工具的功能正在逐步缩减.但作为一种思维方法的载体的功能(例如训练学生辩证思维、逻辑推理、发现同题及分析同题的能力)却愈显风采，在此分享学习心得。下面是学习啦小编为大家收集整理的高等数学学习心得体会，欢迎大家阅读。 高等数学学习心得体会篇1 高等数学是大学工科课程里的一门重要基础课。它的重要性，我相信大家都了解。高等数学是许多课程的基础，特别是与以后的许多专业课都紧密相连。因此，学好高等数学对于一名工科学生来说，至关重要。 然而，对于许多同学来说，高等数学是一门头疼的学科。如何学好高等数学呢下面是我个人在学习过程中的一些心得体会。 首先，我觉得高等数学与以前我们高中所学的数学有一点不同。高等数学注重的是一种数学的思想，比如说微积分思想，极限的思想。强调的数学的逻辑性与分析性。不像高中数学那样注重技巧性。因此，在学习的过程中，课本的知识至关重要。对于课本上面每一个概念、定理、公式、例题，都要理解清楚。特别是对于定理、公式的推导过程，不仅要
弄懂每一步的推导过程如何来，而且还要学会自己推导。因为学会自己推导，更有助于我们的记忆和应用。我的经验是，在理解的基础上去记忆公式，而不是一味的死记硬背。 第二，学习数学是不能缺少训练的。一定量的课后习题训练，不但可以让我们巩固我们学到的知识点，学会如何在实际中应用我们学到的公式定理，还有助于我们熟悉考试的各种题型。还有，题目并不是越多越好，题海战术不仅浪费大量的时间与精力，而且效果也不好。我的经验是，每做完一道题都要总结一下，特别是做错的题目，这道题的知识点是哪些应用了哪些公式定理错在哪里为什么会做错学会思考，学会总结，这样做题才能达到事半功倍的效果。 最后，学好数学是一个坚持的过程。高等数学的内容环环相扣，哪一个环节脱节都会影响整个学习的进程。所以，平时学习不应贪快，要一节一节，要一章一章过关，不要轻易留下自己不明白或者理解不深刻的问题。这样，对于后面的学习会造成很大的影响。 高等数学学习心得体会篇2 随着科技日新月异的发展和电脑无孔不入的应用.高等数学课程作为一种数学工具的功能正在逐步缩减.但作为一种思维方法的载体的功能(例如训练学生辩证思维、逻辑推理、发现同题及分析同题的能力)却愈显风采。一个多元线性方程组如何去解我们可以交给电脑去完成，只要会正确使用数学软件。但一个实际问题如
第一章 函数、极限和连续 §1.1 函数 一、 主要内容 ㈠ 函数的概念 1. 函数的定义: y=f(x), x ∈D 定义域: D(f), 值域: Z(f). 2.分段函数: ?? ?∈∈=21)()(D x x g D x x f y 3.隐函数: F(x,y)= 0 4.反函数: y=f(x) → x=φ(y)=f -1(y) y=f -1 (x) 定理:如果函数: y=f(x), D(f)=X, Z(f)=Y 是严格单调增加(或减少)的； 则它必定存在反函数： y=f -1(x), D(f -1)=Y, Z(f -1)=X 且也是严格单调增加(或减少)的。 ㈡ 函数的几何特性 1.函数的单调性: y=f(x),x ∈D,x 1、x 2∈D 当x 1＜x 2时,若f(x 1)≤f(x 2), 则称f(x)在D 内单调增加( )； 若f(x 1)≥f(x 2), 则称f(x)在D 内单调减少( )； 若f(x 1)＜f(x 2),
则称f(x)在D 内严格单调增加( )； 若f(x 1)＞f(x 2), 则称f(x)在D 内严格单调减少( )。 2.函数的奇偶性：D(f)关于原点对称 偶函数：f(-x)=f(x) 奇函数：f(-x)=-f(x) 3.函数的周期性： 周期函数：f(x+T)=f(x), x ∈(-∞，+∞) 周期：T ——最小的正数 4.函数的有界性： |f(x)|≤M , x ∈(a,b) ㈢ 基本初等函数 1.常数函数： y=c ， (c 为常数) 2.幂函数： y=x n , (n 为实数) 3.指数函数： y=a x , (a ＞0、a ≠1) 4.对数函数： y=log a x ,(a ＞0、a ≠1) 5.三角函数： y=sin x , y=con x y=tan x , y=cot x y=sec x , y=csc x 6.反三角函数：y=arcsin x, y=arccon x y=arctan x, y=arccot x ㈣ 复合函数和初等函数 1.复合函数： y=f(u) , u=φ(x) y=f[φ(x)] , x ∈X 2.初等函数:
极限的常用求法及技巧 引言 极限是描述数列和函数在无限过程中的变化趋势的重要概念。极限的方法是微积分中的基本方法，它是人们从有限认识无限，从近似认识精确，从量变认识质变的一种数学方法，极限理论的出现是微积分史上的里程碑，它使微积分理论更加蓬勃地发展起来。 极限如此重要，但是运算题目多，而且技巧性强，灵活多变。极限被称为微积分学习的第一个难关，为此，本文对极限的求法做了一些归纳总结， 我们学过的极限有许多种类型：数列极限、函数极限、积分和的极限（定积分），其中函数极限又分为自变量趋近于有限值的和自变量趋近于无穷的两大类，如果再详细分下去，还有自变量从定点的某一侧趋于这一点的所谓单边极限和双边极限，x 趋于正无穷，x 趋于负无穷。函数的极限等等。本文只对有关数列的极限以及函数的极限进行了比较全面和深入的介绍.我们在解决极限及相关问题时，可以根据题目的不同选择一种或多种方法综合求解，尤其是要发现数列极限与函数极限在求解方法上的区别与联系，以做到能够举一反三，触类旁通 。 1数列极限的常用求法及技巧 数列极限理论是微积分的基础,它贯穿于微积分学的始终,是微积分学的重要研究方法。数列极限是极限理论的重要组成部分,而数列极限的求法可以通过定义法,两边夹方法,单调有界法,施笃兹公式法,等方法进行求解.本章节就着重介绍数列极限的一些求法。 1.1利用定义求数列极限 利用定义法即利用数列极限的定义 设{}n a 为数列。若对任给的正数N ，使得n 大于N 时有 ε<-a a n 则称数列{}n a 收敛于a ,定数a 称为数列{}n a 的极限，并记作,lim n a n a =∞ →或 )(,∞→∞→n a n