第十
极限与导数
第一节 数列的极限
一、选择题
1、数列{n a }满足∞
→n lim [( 2 n – 1 )n a ] = 2，则
∞
→n lim ( n n a )＝ （ ）
A
21 B 31 C 1 D 不存在
2、已知b a , 是互不相等的正数，则n
n n
n b
a b a n +-∞→lim
＝（ ）
A 1
B -1或 1
C 0
D -1或0 3、=++∞→1
2
22lim
n n n n
C C n （ ）
A 0
B 2
C 2
1 D
4
1
4、设f (x) =++++
2)1()1(x x …，n x )1(+在f(x)中2
x 的系数为n T ，则n
n T n n 23lim +∞
→= ( ) A 1 B 61 C 31
D 2
1、 已知a 、b 、c 是常数，且2lim
=+∞
→c
an n
3lim 22
=--∞
→b cn c bn n ，则=++∞
→a cn c
an n 2
2
lim （ ） A
12
1 B
6
1 C
2
3 D 6
二、填空题
2、 首项为1，公比为q （q > 0）的等比数列前n 项和为n S ，则_____lim
1
=+∞
→n n S S n
7、_____lim
112=-+--+∞
→n
n n n n
8、有一系列椭圆，满足条件（1）中心在原点；（2）以x = 1为准线；（3）离心率n
n e )
(21=21、=n … 则所有这些椭圆的长轴长之和为＿＿＿＿＿ 三、解答题 9、若函数
),0()2()(2≥+=x x x f 数列
)0}({>n n a a 的前n 项和)(*
∈N
n S n 对所有大于1的正整数n 都有)(1-=n n S f S 且21=a ，
（1）求数列}{n a 的通项公式 （2）令),(12
212*++∈=
++N n b n
n n n a a a a n
求++∞
→21
(lim b b n …)n b n -
10、已知直线L ：x – n y = 0 ( n *
∈N )，圆
,1)1()1(:22=+++y x M 抛物线Q ：
,
2)
1(-=x y 又L 与M 交于点A 、B ，L 与Q 交于
C 、
D ，求)(lim 2
2
|
|||CD AB n ∞→
第二节函数的极限与函数的连续性
一、选择题
1、 出下列命题：
⑴ 若函数f(x)在0x 处无定义，则)(lim
x f x x →一定不存在
⑵)(lim 0
x f x x →是否存在与函数f(x)在0x 处是否有定义无关
⑶
)(lim 0
x f x x +→与)(lim 0
x f x x -
→都存在，则)(lim 0
x f x x →也存在 ⑷ 若)(lim
x f x x →不存在，则2)]([lim 0
x f x x →必定不存在，
正确命题的个数是： （ ） A 0 B 1 C 2 D 3
2、=-
++→)(lim 8
12
2
12
3x x x （ ）
A 0
B 2
1 C 1 D －2
1
3、=-+→x
x x 110
lim
（ ）
A 1
B 2
1 C 0 Ｄ －１
４、若1
1113
)(-+-+=
x x x f 在点x = 0处连续，则f(0)=( )
A
2
3 B
3
2 C 1 D 0
5、设函数
??
?≤+>+=)
2()
2(1)(2x a x x x x f 若x →2时，)(x f 的极限存在，则a 的值是 ( )
Ａ３ Ｂ４ Ｃ５ Ｄ２
二、填空题 ６、函数
2
312
2)(+--=
=x x x x f y 的不连续点是＿＿
3、 若
??
?=--A x f x x 24
2
)(
2
2
=≠x x 在（－∞，＋∞）内连续，则Ａ＝＿＿＿＿ ８、若
1
)!(122)(+--=
x x x x f 的极限为１，则x 的变化趋向是＿＿＿＿＿
三、解答题 ９、设?
??<≥+=0,0
,)(x e x x a x f x
怎样选择实数a 时，函数)(x f 是连续的
１０、已知点的序列*∈N n x A n n ),0,(其中)0(,021>==a a x x ，3A 是线段21A A 的中点，4A 是
线段
32A A 的中点，n A 是线段21--n n A A 的中点，
（１）写出n x 与1-n x 、2-n x 之间的关系式(n ≥3) (2)设n n n
x x a -=+1，计算32,1,a a a 由此推测数列}{n a 的通项公式并加以证明
（３）求n n x ∞
→lim 第三节 导数的概念及性质
一、选择题
1、在曲线12
+=x y 的图象上取一点(1 ,2)及邻近一点（1＋Δx ，2＋Δy
），
x
Δ y
Δ为 ( )
A Δx ＋x Δ1＋2
B Δx －x Δ1－2
C Δ
x ＋2 D 2＋Δx －x
Δ1
2、一质点的运动方程是S ＝5－32
t ，则在一段时间[1 ,1+Δt]内相应的平均速度为 （ ） A 3Δt ＋6 B －3Δt ＋6 C 3Δt －6 D －3Δt －6
3、设函数)(x f ＝?
??+-12122x x 00
<≥x x 则以下说法正确的是 （ ）
A )(x f 在x=0处连续
B )(x f 在x=0处可导
C 0≠x 时)(x f '存在
D )0()(lim 0
f x f x ='→
4、下列函数中，导数为x
1
，（),0(∞∈x 其中k 为大于零的常数）的函数是 ( )
A ln(x+k)
B lnkx
C ln
x
k
D ln
k k x +
5、抛物线2x y =上点A 处的切线与直线3x-y+1=0的夹角为4π，则点A 的坐标为 ( ) A (-1,1) B (),11 C (1,) D (-1,1)或 (),16
141 6、、若y=f(2x ),则y '＝ ( )
A 2x f '(2
x ) B 2x f '(x)
C 42
x
)(x f D f '(2x )
二、填空题
7、函数y=ln|x|的导数为＿＿＿＿＿ 8、函数x
x y sin 2=的导数为＿＿＿＿＿
三、解答题
9 如果一个质点从定点A 开始运动，在时间t 的位移函数为3)(3+==t t f y ， ⑴ 当41=t ，且Δt ＝0.01时，求Δy 和 t
Δ y Δ
⑵ 求41=t 时，0 t Δlim → t
Δ y
Δ
⑶ 说明0 t Δlim → t
Δ y
Δ的几何意义
10 讨论函数?
??>+≤+=)0(1)
0(1)(2x x x x x f ，在x=0
处的可导性
11 水以203
m ／分的速度流入一圆锥形容器，设容器深30m ，上底直径为12m ，试求当水深10米时，水面上升的速度。
第四节导数的综合运用
一、选择题
1、下列说法正确的是 （ ） A 、函数的极大值就是最大值 B 、函数的极小值就是函数的最 C 、函数的最值一定是极值
D 、闭区间上的连续函数一定存在最值 2、下列说法正确的是 ( )
A 当0)(0='x f 时，则)(0x f 为)(x f 的极大值
B 当0)(0='x f 时，则)(0x f 为)(x f 的极小值
C 当0)(0='x f 时，则)(0x f 为)(x f 的极值
D 当)(0x f 为函数)(x f 的极值时，有0)(0='x f 3、y ＝x －ln(1+x)的单调区间是 ( )
A ( -1 ,0 )
B ( -1 ,+∞)
C (0 ,+ ∞)
D (1 ,+ ∞) 4、y ＝x －x e 的极大值为 ( ) A 1 B –1 C 0 D 不存在
5、函数2824+-=x x y 在[－1,3]上最大值为 ( ) A 11 B 2 C 12 D 10
6、用边长为48cm 的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时，在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形，然后把四边折起，就能焊成铁盒，所做的铁盒容积最大时，在四角截去的正方形的边长为 ( ) A 6 B 8 C 10 D 12 二填空题
7、设直线y ＝x 是曲线ax x x y +-=233的切线，则a ＝＿＿＿＿＿ 8、|3|3x x y -=在[-2,2]上的最大值是＿＿＿ 三、解答题
9、a 为何值时，x x a x f 3sin sin )(31+=，在3π
=x 处具有极限？求出此极限，并说明是极大值还是极小值
10、（2002天津）已知a ＞0，函数,)(1ax
x f -=
),0(+∞∈x 设0＜1x ＜
2，记曲线y ＝)(x f 在点
))(,(11x f x M 处的切线为L ，
⑴求L 的方程
⑵设L 与x 轴交点为)0,(2x ，证明 ①x 1
20≤<； ②若x 11<
，则x x 121<
<
单元测试题 一、选择题
１、以下命题正确的是 （ ）
A 若2
2lim A a n n =∞
→，则n n a ∞
→lim ＝A
B 若n a ＞0，n n a ∞
→lim ＝A ，则A ＞0
C 若0)(lim =-∞
→n n n b a ，则n n a ∞
→lim ＝n n b ∞
→lim
D 若n n a ∞→lim ＝A ，则2
2lim A a n n =∞
→
2、=-+++∞
→n
n n n
n n 4
321lim
（ ）
A 1
B －1
C 0
D 不存在 3、=?-?+→?x
x x x x 0
lim
（ ）
A 0
B 2
π C x D
x
21
4、=+-+-→3
42313
lim x x x x x （ ）
A 1 B
2
1 C 0 D 不存在
5、已知函数y ＝)(x f 是其定义域A 内连续的奇函数，若A x ∈0且M x f =)(0，则)(lim 0
x f x x -→等于（ ）
A 0
B ±M
C M
D －M
6、设?????++=,,1,)(2
x
b x a x x f x x x <≤<≤1100
在定义域内连续，则a ，b 的值分别是 （ ）
A a=1,b=2
B a=2,b=1 Ca=0, b=1 D a=1,b=0
7、方程012
3=+-+x x x 的根的分布情况是（ ）
A 只有一个正根，
B 只有一负根
C 有一正根，两负根
D 有一负根，两正根
8、质点P 在半径为r 的圆周上逆时针方向作匀角速率运动，角速率为1rad/s ，设A 为起点，那么t 时刻点P 在x 轴上射影点M 的速率为 ( ) A rsint B -rsint C rcost D –rcost
9、一个球半径以0.2cm/s 速率增加，那么，当半径r ＝20cm 时，它的体积的增加速率为 ( ) A 310π B 320π C 330π D 360π
10、设a>0，c bx ax x f ++=2
)(，曲线y ＝f(x)在点))(,(00x f x P 处切线的倾斜角的取值范围为[0,4
π]，则点P 到曲线y ＝)(x f 对称轴距离的取值范围为 ( )
A ],0[1a
B ],0[21a
C |]|
,0[2a
b D |]|,0[21a
b - 11、设点P 是曲线3
2
33+
-=x x y 上的任意一点，P 点处切线倾斜角为α，则角α的取值范围是( )
A ),[),0[3
22πππ B ),[),0[652πππ C ),[2ππ D ],(5ππ 12、若???<-≥=)0(,1)0(,1)(x x x f ?????<-≥=)0(,)
0(,)(2
1
21x x x g 则)()(x g x f 在x=0处 ( ) A 不连续 B 连续 C 无法确定连续与否 D 以上都不正确 二填空题
13、设)(x f 在0x 处可导__lim )
()(000=?-?-→?x x f x x f x
14、已知,2lim )
3(0=→x f x x 则x
x f x )
2(0lim
→＝＿＿＿＿
15、3
1)(3
31
lim
=
++∞→+n
n n
a n ，求a 的取值范围是＿＿＿
16、若)(x f 是在(-m,m)内的可导奇函数，且)(x f '不恒为零，则)(x f '的奇偶性为＿＿＿＿ 三、解答题
17、曲线12+=x y 上的点P 的切线与曲线
122--=x y 相切，求点P 的坐标
18、函数d cx bx ax x f +++=23)(，当x= -1时，取得极大值8，当x=2时，有极小值－19，求a ,b , c , d 的值
19、已知各项为正数的等比数列}{n a 的首项为1，公比为x ，前n 项和为n S ，设1
lim )(+∞→=n n
S S n x f ，求)
(x f 的解析式
20、已知等比数列}{n x 的各项为不等于1的正数，数列}{n y 满足)1,0(,2log ≠>=?x a y a x n n ，设
11,1774==y y
①求数列}{n y 的前多少项的和最大，最大值是多少？ ②设n
y n b 2
=，n n b b b S +++= 21，求25
2
lim
n
S n ∞→的值，
21、已知二次函数bx x a x f +-=)1()(2，在]1,1[-∈x 的最大值为m ，最小值为n ，且||||n m ≠， ⑴求证：2||
⑵若m=2，n=2 5-,且a>0 ,求a , b 22．试做一个上端开口的圆柱形盛器，它的净容积是V ，壁厚为a （V 和a 为常数），问盛器内壁半径为多少时，才能使所用的材料最省？ 第十二章复数 §12.1 复数的有关概念 一、选择题 1、复数1z ＝3＋i ，2z =1－i,则21z z z ?=在复平面内对应的点位于 （ ） A 第一象限内 B 第二象限内 C 第三象限内 D 第四象限内 2、若复数z 满足z z 10 ||= -，则z ＝ （ ） A －3＋4i B －3－4i C 3－4i D 3＋4i 4、设z 为复数，则“|z|=1”是“z z 1+ ∈R ”的 ( ) A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 不充分不必要条件 5、复数)2(sin cos 1παπαα< ⑷若|1z |＝|2z |，则向量1oz 和 2oz 重合 A 仅⑵正确B 仅⑵⑶正确 C 仅⑵⑶⑷正确D 仅⑵⑷正确 二、填空题 6、设z=3+2i ，z 和z 在复平面内对应的点分别为A 和B ，O 为坐标原点，则AOB ?的面积为＿＿＿ 7、若t ∈R ，t ≠0、－1时，复数z=t +t +1i 的模的取值范围是＿＿＿＿ 三、解答题 8、已知z z z f -+=|1|)(，且)(z f -=10+3i,求复数z, 9、复数z 满足|z|=1，求证：R z z ∈+1 10、设复数z=x a log 2+)1,0()1(log 2≠>-a a i x a ， 问当x 为何实数时，z 是⑴实数， ⑵ 虚数， ⑶ 纯虚数， ⑷ z 在复平面上对应的点在实轴上方，⑸|z|=1 §12.2复数的代数形式及其运算 一、选择题 1、对于2002 11002 1)()(i i z -++= ，下列结论成立的是 ( ) A z 是零 B z 是纯虚数 C z 是正实数 D z 是负实数 2、已知)32()33(i z i -?=-，那么复数z 在复平面内对应的点位于 （ ） A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限 3、设非零复数x ，y 满足02 2 =++y xy x ，则代数式19901990)()(y x y y x x +++的值是 （ ） A 1989 2- B －1 C 1 D 0 4、若2|43|≤++i z ，则|z|的最大值是 ( ) A 3 B 7 C 9 D 5 5、复数z 在复平面内对应的点为A ，将点A 绕坐标原点按逆时针方向旋转π，再向左平移一个单位，向下平移一个单位，得到点B ，此时点B 与点A 恰好关于坐标原点对称，则复数z 为 ( ) A －1 B 1 C i D －i 二填空题 6、若复数z 满足方程1-=?i i z ，则z ＝＿＿＿＿ 7、设复数,31,221i z i z -=-=则复数 5 21 z z i + 的虚部等于＿＿＿＿ 8、已知1510105)(2345+-+-+-=x x x x x x f 求)(2 3 2 1i f +的值＿＿＿＿ 三、解答题 9、已知)0(1>=--a z i i a ，且复数)(i z z +=ω的虚部减去它的实部所得的差等于23，求复数ω的模； 10、已知复数ai z z i i i i +== +--+-ω,) 31()1)(31(当 ,2||≤z ω求a 的取值范围，)(R a ∈ 单元测试题 一、选择题 1、“复数a+bi ),(R b a ∈为纯虚数”是“a=0”的 ( ) A 充分但不必要条件 B 必要但不充分条件 C 充要条件 D 既不充分又不必要条件 2、下列命题正确的是 ( ) ⑴一个复数与其共轭复数相等的充要条件是这个复数是实数 ⑵一个复数与其共轭复数互为相反数的充要条件是这个复数是纯虚或零数 A ⑴ B ⑵ C ⑴⑵ D 都不对 3、m ∈R ，复数i m m m m )23()232(22+-+--表示纯虚数的条件是 （ ） A m=-21 或m=2 B m=2 C m=-2 1 D m=2或m=1 4、当2 1-=i z 时，150100 ++z z 的值等于 ( ) A 1 B –1 C i D –i 5、z ∈C 且)0,()(2≠∈∈--+ωωωR R i i z 则 ( ) A z ∈R B z 是虚数 C z 是纯虚数 D 不能确定 6、 =- ++-++-i i i i 212)1()31(6 3 ( ) A 0 B 1 C －1 D i 7、若t ∈R ，则复数2 2121t ti t z ++-= 所对应的点组成的图形是 ( ) A 单位圆 B 单位圆除去)0,1(± C 单位圆除去（1，0） D 单位圆除去（－1，0） 8、设非零复数x,y 满足022=++y xy x ，则代数式19901990)()(y x y y x x +++的值是 ( ) A 1989 2 - B – 1 C 1 D 0 9、)()(N n i i n f n n ∈+=-的值域中的元素个数是( ) A 2 B 3 C 4 D 无穷多个 10、设复数z 满足|z+i|+|z-i|=2,那么|z+i+1|的最小是 （ ） A 1 B 2 C 2 D 5 11、若,,21C z z ∈则212z z z z ?+?是 ( ) A 纯虚数 B 实数 C 虚数 D 不能确定 12、在下列命题中，正确的命题的个数是 （ ） ⑴两个复数不能比较大小； ⑵若0)()(232221=-+-z z z z ， 则),,(,32131C z z z z z ∈=； ⑶若i x x x )23()1(22+++-是纯虚数，则实数 x=1±； ⑷ z 是虚数的一个充要条件是R z z ∈+； ⑸若a,b 是两个相等的实数，则(a-b)+(a+b)i 虚数； ⑹复数z ∈R 的一个充要条件是z z =； A 0 B 1 C 2 D 3 二、填空题 13、已知{} i a a a a M )65()13(,2,122--+--=， {}{}3,3,1=?-=N M N ，求实数a=______ 14、复数)()()32(2122R a i a a a a z ∈+--+-= 在复平面内的对应点位于＿＿＿＿＿＿象限； 15、____])([851 1100=-+-i i i ； 16、若关于x 的方程0)13()21(2=--++m x i x 有实根，则纯虚数m ＝＿＿＿ 三、解答题 17、已知z ∈C ，且i z i z z 313+=-?，求z 18、若复数z 满足)(0)1()1(22N n z z n n ∈=-++ 求证：z 必为纯虚数 19、若x 的方 程0)1()1(222=+++++i a x a x i a （a ∈R ）有实根，求a 及方程的根 20、已知xyi y x --+30和||60yi x i +-是共轭 复数，求实数x,y 的值 21、非零复数a,b,c 满足a c c b b a = = ，求 c b a c b a +--+的值 22、设z 是虚数，z z 1+ =ω是实数，且 21<<-ω ⑴求|z|的值及z 的实部的取值范围 ⑵设z z u +-= 11，求证：u 为纯虚数； ⑶求2 u -ω的最小值 第一节参考答案: 一、选择题 CBDBD 2.提示:讨论b a > 或 b a <两种情况 4 提示:++=2322C C T n …＋6 1123 ==+n n C C ( n + 1)( n – 1 ) 二、填空题 6 .答案;?? ?>≤<)1() 10(11 q q q 7.答案; 3; 8. 答案; 2 提示,,,122 2a e a c a a a c c a == ==∴=∴ n n n e a )(21==∴ 三、解答题 9、解211)2()(+==--n n n S S f S )2(21≥=-∴-n S S n n }{n S ∴是以2为首项，2为公比的等差数列，n n S n ?=-+=∴22)1(2 )2(24,212≥-=-==∴-n n S S a n S n n n n 又.2421-=∴=n a a n （2）1 211 21) 24)(24(2)24()24(122+--+-++- + == n n n n n n n b ++∴21b b …1211+-+=n n n b 1)(lim 21=-+++∴∞ →n b b b n n 10、解：设圆心M （－1，－1）到直线L 的距离为d ，则2 21)1(2 n n d ++-= ，因圆M 半径为1，又=2|| AB 2 182)1(4n n d +=-，设点C 的坐标为（11,y x ） 点D 的坐标为（22,y x ） ，由数列{n a }满足∞ →n lim [( 2 n – 1 )n a ] = 2，则 ???-==-2 ) 1(0x y ny x 得 （2 lim lim ), 1)(14()()(||)()(,4)()(1 ,0)12() 1)(14(8||||2122122121 422211 4212212212122123 2 4 4 212 ==∴++= -+-=∴= - =-= -+=-∴== +∴=++-++∞→∞→+++n n n n CD AB n n n n n x n x n n n n n n y y x x CD y y x x x x x x x x x x n x n nx 第二节课 一、选择题 BDBAA 二、填空题 6 x = 1 、x = 2 ; 7 ４; 8 ∞→→x x ,0; 三、解答题 9,解： a x a x f x x =+=+ + →→)(lim )(lim 0 0 1lim )(lim 0 ==- -→→x x x e x f 又)0(f =a 故当 a = 1时，)0()(lim 0f x f x =- → 上式就说明子)(x f 在x = 0连续， 在0≠x 的其他任何x 值，)(x f 显然连续， 因些，当a ＝1时，)(x f 在（－∞，＋∞）是连续的。 10,解：（１）当n ≥3时，2 2 1--+= n n x x n x （２）2 23212112,x x x x a a x x a += -==-= ＝a x x 21122 1 )(-=-- a a x x x x x a x x 4 12 12 1232122343)() (2 3=--=--=-= -=+ 由此推测：)()(12 1* +∈-=N n a a n n ： 证明：,01>=a a n x x n n n x x x a n n -= -=-++2 11 ＝ 121 1212 )(1----=--=-n n n x x a x x n n a a n n 1 2 1)(--=∴ （３）当n ≥3时， 1 21112211)()()(a a a x x x x x x x x n n n n n n n +++=+-++-+-=----- 由(２)知}{n a 是公比为2 1- 的等比数列 a a a n n 32) (12 11 lim ==∴--∞ → 第三节课答案： 一、选择题 CDCBD A 二、填空题 7 x 1 ; 8 x x x x x 22sin cos sin 2-; 三、解答题 9,解：⑴Δy ＝(f 1t ＋Δt )-)(1t f =[(1t ＋Δt ]3[]3)33+-+t =2 13t Δt +13t Δ2t +Δ3t 当41=t ，Δt ＝0.01时Δy ＝0.481201 t Δ y Δ＝213t ＋13t Δt ＋Δ2t ＝48.1201 ⑵0 t Δlim → t Δ y Δ＝0 t Δlim →（2 13t ＋13t Δt ＋Δ2t ） ＝2 13t ＝48 ⑶Δy 是质点由固定点A 开始在Δt 这段时间内的位移，所以 t Δ y Δ是质点A 在Δt 这段时间内的平均速度， 而0 t Δlim → t Δ y Δ是质点A 在时间1t 的瞬时速度 10,解：0lim lim lim 0 1100 )0()(0 2===- - - →--+→--→x x x x x x f x f x 11lim lim lim 0 1 10 ) 0()(0 ===+ + + →-+→--→x x x x x f x f x 可见)(x f 的左导数与右导数不相等，故f(x)在x=0处不可导 11,解析：设经过t 分钟水深为H 则水量20t=H H ???25 31)(π 23 12 3 53 12 ,5-??='=∴t H t H π π 所以，水面上升速度为31510|π='=t H 第四节导数应用答案： 一、选择题 DDCBA B 二 填空题 7提示：a x x y +-='632，设切点),(00y x 则 ?????+-==+-003 00 02031 63ax x x x a x x 消去0x 得1=a 或4 13 =a 8提示：因为|3|3x x y -=是偶函数，所以只需考查其在[0,2]上的最大值即可，最大值为2 三、解答题 9、解：因为x x a x f 3sin sin )(3 1+= 所以x x a x f 3cos cos )(+='，由3π=x 为极限点，得2,0cos cos 3=∴=+a a ππ 于是x x x f 3cos cos 2)(+='，易知在3 π=x 左侧 )(x f '＞0，右侧)(x f '＜0，所以)(x f 在3 π = x 有极大值，极大值是3sin sin 2)(3 133=+=πππf 10解：⑴求)(x f 的导数：2 1 )(x x f - ='，由此得切线的方程：)(1111 1 1 x x y x ax -- =--； ⑵证明：依题意，切线方程中令y ＝0, )2()1(111112ax x x ax x x -=+-=,其中0＜1x ＜2，①由0＜1x ＜2，)2(112ax x x -=， 有02>x 及a a x a x 1 2112)(+--= 所以a x 120≤<，当且仅当a x 11= 时，a x 12= ②当a x 11< 时11 x 12<，所以a x x 121< < 单元测试题 一、选择 DBDBD ABBBB AB 2 提示：= -+++∞ →n n n n n n 4 321lim 1lim 1 143 1112 1-=-++ + ∞ →n n n n n 3 提示：=?-?+→?x x x x x 0 lim )() )((0 lim x x x x x x x x x ?+??+-?+→? =x x x x x 211 lim = +?+→? 4 提示：=+-+-→3 423143 lim x x x x x ) 32()1()2()1(12 22lim ++-+-→x x x x x x ＝3 22 12 lim +++→x x x x ＝ 2 1 5提示：因为)(x f 是奇函数，所以)()(00x f x f -=- 导数的背景（5月4日） 教学目标 理解函数的增量与自变量的增量的比的极限的具体意义 教学重点 瞬时速度、切线的斜率、边际成本 教学难点 极限思想 教学过程 一、导入新课 1. 瞬时速度 问题1：一个小球自由下落，它在下落3秒时的速度是多少？ 析：大家知道，自由落体的运动公式是2 2 1gt s = （其中g 是重力加速度）. 当时间增量t ?很小时，从3秒到（3＋t ?）秒这段时间内，小球下落的快慢变化不大. 因此，可以用这段时间内的平均速度近似地反映小球在下落3秒时的速度. 从3秒到（3＋t ?）秒这段时间内位移的增量： 222)(9.44.2939.4)3(9.4)3()3(t t t s t s s ?+?=?-?+=-?+=? 从而，t t s v ?+=??= - -9.44.29. 从上式可以看出，t ?越小，t s ??越接近29.4米/秒；当t ?无限趋近于0时， t s ??无限趋近于29.4米/秒. 此时我们说，当t ?趋向于0时，t s ??的极限是29.4. 当t ?趋向于0时，平均速度t s ??的极限就是小球下降3秒时的速度，也叫做 瞬时速度. 一般地，设物体的运动规律是s ＝s （t ），则物体在t 到（t ＋t ?）这段时间 内的平均速度为t t s t t s t s ?-?+= ??)()(. 如果t ?无限趋近于0时，t s ??无限趋近于某个常数a ，就说当t ?趋向于0时，t s ??的极限为a ，这时a 就是物体在时刻t 的瞬时速度. 2. 切线的斜率 问题2：P （1,1）是曲线2x y =上的一点，Q 是曲线上点P 附近的一个点，当点Q 沿曲线逐渐向点P 趋近时割线PQ 的斜率的变化情况. 2012年高考真题理科数学解析汇编：导数与积分 一、选择题 1 ．（2012年高考（新课标理））已知函数1 ()ln(1)f x x x = +-;则()y f x =的图像大致为 2 ．（2012年高考（浙江理））设a >0,b >0. （ ） A ．若2223a b a b +=+,则a >b B ．若2223a b a b +=+,则a b D ．若2223a b a b -=-,则a 5 ．（2012年高考（山东理））设0a >且1a ≠,则“函数()x f x a =在R 上是减函数 ”,是 “函数3 ()(2)g x a x =-在R 上是增函数”的 （ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 6 ．（2012年高考（湖北理））已知二次函数()y f x =的图象如图所示,则它与x 轴 所围图形的面积为 （ ） A ． 2π 5 B ． 43 C ． 32 D ． π2 7 ．（2012年高考（福建理））如图所示,在边长为1的正方形OABC 中任取一点 P,则点P 恰好取自阴影部分的概率为 （ ） A ． 14 B ． 15 C ． 16 D ． 17 8 ．（2012年高考（大纲理））已知函数3 3y x x c =-+的图像与x 轴恰有两个 公共点,则c = （ ） A ．2-或2 B ．9-或3 C ．1-或1 D ．3-或1 二、填空题 9 ．（2012年高考（上海理））已知函数 )(x f y =的图像是折线段ABC ,若中 A (0,0), B (21,5), C (1,0). 函数)10()(≤≤=x x xf y 的图像与x 轴围成的图形的面积为_______ . 10．（2012年高考（山东理））设0a >.若曲线y x = 与直线,0x a y ==所围成封闭图形 的面积为2 a ,则a =______. 11．（2012年高考（江西理））计算定积分 1 21 (sin )x x dx -+=? ___________. 12．（2012年高考（广东理））曲线33y x x =-+在点()1,3处的切线方程为 ___________________. 三、解答题 13．（2012年高考（天津理））已知函数 ()=ln (+)f x x x a -的最小值为0,其中>0a . (Ⅰ)求a 的值; (Ⅱ)若对任意的[0,+)x ∈∞,有2 ()f x kx ≤成立,求实数k 的最小值; 1-y x O 第3题图 1 1 2017年高考真题导数专题 一．解答题（共12小题） 1．已知函数f（x）2（a﹣2）﹣x． （1）讨论f（x）的单调性； （2）若f（x）有两个零点，求a的取值范围． 2．已知函数f（x）2﹣﹣，且f（x）≥0． （1）求a； （2）证明：f（x）存在唯一的极大值点x0，且e﹣2＜f（x0）＜2﹣2． 3．已知函数f（x）﹣1﹣． （1）若f（x）≥0，求a的值； （2）设m为整数，且对于任意正整数n，（1+）（1+）…（1+）＜m，求m的最小值． 4．已知函数f（x）321（a＞0，b∈R）有极值，且导函数f′（x）的极值点是f（x）的零点．（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值） （1）求b关于a的函数关系式，并写出定义域； （2）证明：b2＞3a； （3）若f（x），f′（x）这两个函数的所有极值之和不小于﹣，求a的取值范围．5．设函数f（x）=（1﹣x2）． （1）讨论f（x）的单调性； （2）当x≥0时，f（x）≤1，求a的取值范围． 6．已知函数f（x）=（x﹣）e﹣x（x≥）． （1）求f（x）的导函数； （2）求f（x）在区间[，+∞）上的取值范围． 7．已知函数f（x）2+2，g（x）（﹣2x﹣2），其中e≈2.17828…是自然对数的底数．（Ⅰ）求曲线（x）在点（π，f（π））处的切线方程； （Ⅱ）令h（x）（x）﹣a f（x）（a∈R），讨论h（x）的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值． ） 10．已知函数f（x）3﹣2，a∈R， （1）当2时，求曲线（x）在点（3，f（3））处的切线方程； （2）设函数g（x）（x）+（x﹣a）﹣，讨论g（x）的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值． 11．设a，b∈R，≤1．已知函数f（x）3﹣6x2﹣3a（a﹣4），g（x）（x）． （Ⅰ）求f（x）的单调区间； （Ⅱ）已知函数（x）和的图象在公共点（x0，y0）处有相同的切线， （i）求证：f（x）在0处的导数等于0； （）若关于x的不等式g（x）≤在区间[x0﹣1，x0+1]上恒成立，求b的取值范围． 12．已知函数f（x）（﹣a）﹣a2x． （1）讨论f（x）的单调性； （2）若f（x）≥0，求a的取值范围． 极限与导数 一、极限 1、常用的几个数列极限：C C n =∞→lim (C 为常数)；01lim =∞→n n ，0lim =∞→n n q (a <1,q 为常数); (4)无穷递缩等比数列各项和公式q a S S n n -==∞→1lim 1(0<1 知识网 数学归纳法、数列的极限与运算1．数学归纳法： (1)由特殊事例得出一般结论的归纳推理方法，通常叫做归纳法. 归纳法包含不完全归纳法和完全归纳法. ①不完全归纳法:根据事物的部分(而不是全部)特殊事例得出一般结论的推理方法. ②完全归纳法: 根据事物的所有特殊事例得出一般结论的推理方法 数学归纳法常与不完全归纳法结合起来使用,用不完全归纳法发现规律, 用数学归纳法证明结论. (2)数学归纳法步骤: ①验证当n取第一个 n时结论 () P n成立; ②由假设当n k =（ , k N k n + ∈≥）时,结论() P k成立，证明当1 n k =+时,结论(1) P k+成立; 根据①②对一切自然数 n n ≥时，() P n都成立. 2.数列的极限 (1)数列的极限定义:如果当项数n无限增大时,无穷数列{}n a的项n a无限地趋近于某个常数a(即 n a a -无限地接近于),那么就说数列 {} n a以a为极限,或者说a是数列{} n a的极限.记为 lim n n a a →∞ =或当n→∞时， n a a →. (2)数列极限的运算法则: 如果{}n a、{}n b的极限存在，且lim,lim n n n n a a b b →∞→∞ ==， 那么lim() n n n a b a b →∞ ±=±；lim(); n n n a b a b →∞ ?=?lim(0) n n n a a b b b →∞ =≠ 特别地，如果C是常数，那么lim()lim lim n n n n n C a C a Ca →∞→∞→∞ ?=?=. ⑶几个常用极限: ①lim n C C →∞ =（C 为常数）②lim0 n a n →∞ = k （,a k 均为常数且N* ∈ k） ③ （1) 1 lim0(1) (1或1) 不存在 n n q q q q q ④首项为 1 a，公比为q（1 q<）的无穷等比数列的各项和为lim 1 n n a S q →∞ = - . 注：⑴并不是每一个无穷数列都有极限. ⑵四则运算法则可推广到任意有限个极限的情况，但不能推广到无限个情况. 数 学 归 纳 法 、数 列 的 极 限 与 运 算 例 1. 某个命题与正整数有关，若当) (* N k k n∈ =时该命题成立，那么可推得当 = n1 + k时该命题也成立，现已知当5 = n时该命题不成立，那么可推得（） (A)当6 = n时，该命题不成立(B)当6 = n时，该命题成立 (C)当4 = n时，该命题成立(D)当4 = n时，该命题不成立 例2.用数学归纳法证明:“)1 ( 1 1 1 2 1 2≠ - - = + + + + + +a a a a a a n n ”在验证1 = n时，左端 计算所得的项为 ( ) (A)1 (B)a + 1 (C)2 1a a+ + (D)3 2 1a a a+ + + 例3.2 2 21 lim 2 n n n →∞ - + 等于( ) (A)2 (B)－2 (C)－ 2 1 (D) 2 1 例4. 等差数列中，若 n n S Lim ∞ → 存在，则这样的数列( ) (A)有且仅有一个(B)有无数多个 (C)有一个或无穷多个(D)不存在 例5.lim(1) n n n n →∞ +-等于( ) (A) 1 3 (B)0 (C) 1 2 (D)不存在 例6.若2 012 (2)n n n x a a x a x a x +=++++， 12 n n A a a a =+++，则2 lim 83 n n n A A →∞ - = + ( ) (A) 3 1 -(B) 11 1(C) 4 1(D) 8 1 - 例7. 在二项式(13)n x +和(25)n x+的展开式中，各项系数之和记为,, n n a b n是正整 数，则 2 lim 34 n n n n n a b a b →∞ - - =. 例8. 已知无穷等比数列{}n a的首项N a∈ 1 ，公比为q，且 n n a a a S N q + + + = ∈ 2 1 , 1， 且3 lim= ∞ → n n S，则= + 2 1 a a_____ . 例9. 已知数列{ n a}前n项和1 1 (1) n n n S ba b =-+- + , 其中b是与n无关的常数，且0 ＜b＜1，若lim n n S →∞ =存在，则lim n n S →∞ =________． 例10.若数列{ n a}的通项21 n a n =-，设数列{ n b}的通项 1 1 n n b a =+，又记 n T是数 列{ n b}的前n项的积． （Ⅰ）求 1 T， 2 T， 3 T的值；（Ⅱ）试比较 n T与 1+ n a的大小，并证明你的结论． 例 1.D 2.C 例 3.A 例 4.A例 5.C将分子局部有理化，原式 =11 lim lim 2 11 11 n n n n n n →∞→∞ == ++ ++ 例6.A例7. 1 2 例8. 3 8 例9.1 例10(见后面) 导数题型归纳 请同学们高度重视： 首先，关于二次函数的不等式恒成立的主要解法： 1、分离变量；2变更主元；3根分布；4判别式法 5、二次函数区间最值求法：（1）对称轴（重视单调区间） 与定义域的关系 （2）端点处和顶点是最值所在 其次，分析每种题型的本质，你会发现大部分都在解决“不等式恒成立问题”以及“充分应用数形结合思想”，创建不等关系求出取值范围。 最后，同学们在看例题时，请注意寻找关键的等价变形和回归的基础 一、基础题型：函数的单调区间、极值、最值；不等式恒成立； 1、此类问题提倡按以下三个步骤进行解决： 第一步：令0)(' =x f 得到两个根； 第二步：画两图或列表； 第三步：由图表可知； 其中不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题， 2、常见处理方法有三种： 第一种：分离变量求最值-----用分离变量时要特别注意是否需分类讨论（>0,=0,<0） 第二种：变更主元（即关于某字母的一次函数）-----（已知谁的范围就把谁作为主元）； 例1：设函数()y f x =在区间D 上的导数为()f x '，()f x '在区间D 上的导数为()g x ，若在区间D 上， ()0g x <恒成立，则称函数()y f x =在区间D 上为“凸函数”，已知实数m 是常数，432 3()1262 x mx x f x =-- （1）若()y f x =在区间[]0,3上为“凸函数”，求m 的取值范围； （2）若对满足2m ≤的任何一个实数m ，函数()f x 在区间(),a b 上都为“凸函数”，求b a -的最大值. 解:由函数4323()1262x mx x f x =-- 得32 ()332 x mx f x x '=-- （1） ()y f x =在区间[]0,3上为“凸函数”， 则 2 ()30g x x mx ∴=--< 在区间[0,3]上恒成立 解法一：从二次函数的区间最值入手：等价于max ()0g x < 解法二：分离变量法： ∵ 当0x =时, 2 ()330g x x mx ∴=--=-<恒成立, 当03x <≤时, 2 ()30g x x mx =--<恒成立 等价于233 x m x x x ->=-的最大值（03x <≤）恒成立， 而3 ()h x x x =-（03x <≤）是增函数，则max ()(3)2h x h == (2)∵当2m ≤时()f x 在区间(),a b 上都为“凸函数” 则等价于当2m ≤时2 ()30g x x mx =--< 恒成立 解法三：变更主元法 再等价于2 ()30F m mx x =-+>在2m ≤恒成立（视为关于m 的一次函数最值问题） 2 2 (2)0230 11(2)0230 F x x x F x x ?->--+>?????-<-+>??? 例2),10(32 R b a b x a ∈<<+- ],2不等式()f x a '≤恒成立，求a 的取值范围. 2017-2019年全国高考数学真题--第21题导数 2018年：设函数2 ()1x f x e x ax =---。 （1）若0a =， 求()f x 的单调区间； （2）若当0x ≥时()0f x ≥， 求a 的取值范围 2019年：已知函数ln ()1a x b f x x x = ++， 曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为 230x y +-=． （I ）求,a b 的值； （II ）如果当0x >， 且1x ≠时， ln ()1x k f x x x >+-， 求k 的取值范围． 2019年： 已知函数)(x f 满足2 1 2 1)0()1(')(x x f e f x f x + -=-． （Ⅰ）求)(x f 的解析式及单调区间； （Ⅱ）若b ax x x f ++≥2 2 1)(， 求b a )1(+的最大值． 2019： 一卷：已知函数()f x ＝2 x ax b ++， ()g x ＝()x e cx d +， 若曲线()y f x =和 曲线()y g x =都过点P (0， 2)， 且在点P 处有相同的切线42y x =+ （Ⅰ）求a ， b ， c ， d 的值； （Ⅱ）若x ≥－2时， ()f x ≤()kg x ， 求k 的取值范围． 2019一卷：设函数1 ()ln x x be f x ae x x -=+， 曲线()y f x =在点（1， (1)f 处的切线为 (1)2y e x =-+． (Ⅰ)求,a b ； （Ⅱ）证明：()1f x >． 2015一卷：已知函数3 1 ()4 f x x ax =++ ， ()ln g x x =-． （Ⅰ）当a 为何值时， x 轴为曲线()y f x = 的切线； （Ⅱ）用min {},m n 表示m ， n 中的最小值， 设函数{}()min (),()(0)=>h x f x g x x ， 讨论()h x 零点的个数． 导数的概念（5月4日） 教学目标与要求：理解导数的概念并会运用概念求导数。 教学重点：导数的概念以及求导数 教学难点：导数的概念 教学过程： 一、导入新课： 上节我们讨论了瞬时速度、切线的斜率和边际成本。虽然它们的实际意义不同，但从函数角度来看，却是相同的，都是研究函数的增量与自变量的增量的比的极限。由此我们引出下面导数的概念。 二、新授课： 1.设函数)(x f y =在0x x =处附近有定义，当自变量在0x x =处有增量x ?时，则函数)(x f Y =相应地有增量)()(00x f x x f y -?+=?，如果0→?x 时，y ?与x ?的比x y ??（也 叫函数的平均变化率）有极限即 x y ??无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数 )(x f y =在0x x →处的导数，记作0 / x x y =，即 x x f x x f x f x ?-?+=→?) ()(lim )(000 0/ 注：1.函数应在点0x 的附近有定义，否则导数不存在。 2.在定义导数的极限式中，x ?趋近于0可正、可负、但不为0，而y ?可能为0。 3. x y ??是函数)(x f y =对自变量x 在x ?范围内的平均变化率，它的几何意义是过曲线 )(x f y =上点（)(,00x f x ）及点)(,(00x x f x x ?+?+）的割线斜率。 4.导数x x f x x f x f x ?-?+=→?) ()(lim )(000 0/ 是函数)(x f y =在点0x 的处瞬时变化率， 它反映的函数)(x f y =在点0x 处变化的快慢程度，它的几何意义是曲线)(x f y =上点（)(,00x f x ）处的切线的斜率。因此，如果)(x f y =在点0x 可导，则曲线) (x f y =在点（)(,00x f x ）处的切线方程为))(()(00/ 0x x x f x f y -=-。 5.导数是一个局部概念，它只与函数)(x f y =在0x 及其附近的函数值有关，与x ?无关。 6.在定义式中，设x x x ?+=0，则0x x x -=?，当x ?趋近于0时，x 趋近于0x ，因 导数与三角函数压轴题归纳总结 近几年的高考数学试题中频频出现含导数与三角函数零点问题，内容主要包括函数零点个数的确定、根据函数零点个数求参数范围、隐零点问题及零点存在性赋值理论.其形式逐渐多样化、综合化. 一、零点存在定理 例1.【2019全国Ⅰ理20】函数()sin ln(1)f x x x =-+,()f x '为()f x 的导数．证明： （1）()f x '在区间(1,)2 π -存在唯一极大值点； （2）()f x 有且仅有2个零点． 【解析】（1）设()()g x f x '=,则()()() 2 11 cos ,sin 11g x x g x x x x '=- =-+++. 当1,2x π??∈- ?? ?时,()g'x 单调递减,而()00,02g g π?? ''>< ???, 可得()g'x 在1,2π?? - ?? ?有唯一零点,设为α. 则当()1,x α∈-时,()0g x '>；当,2x πα?? ∈ ??? 时,()0g'x <. 所以()g x 在()1,α-单调递增,在,2πα?? ???单调递减,故()g x 在1,2π?? - ???存在唯一极大 值点,即()f x '在1,2π?? - ?? ?存在唯一极大值点. （2）()f x 的定义域为(1,)-+∞. （i ）由（1）知, ()f x '在()1,0-单调递增,而()00f '=,所以当(1,0)x ∈-时,()0f 'x <,故()f x 在(1,0)-单调递减,又(0)=0f ,从而0x =是()f x 在(1,0]-的唯一零点. （ii ）当0,2x π?? ∈ ???时,由（1）知,()f 'x 在(0,)α单调递增,在,2απ?? ??? 单调递减,而 高一兴趣导数大题目专项训练 班级 姓名 1.已知函数()f x 是定义在[,0)(0,]e e - 上的奇函数，当(0,]x e ∈时，有()ln f x ax x =+（其中e 为自然对数的底，a ∈R ）． （Ⅰ）求函数()f x 的解析式； （Ⅱ）试问：是否存在实数0a <，使得当[,0)x e ∈-，()f x 的最小值是3？如果存在，求出实数a 的值；如果不存在，请说明理由； （Ⅲ）设ln ||()||x g x x =（[,0)(0,]x e e ∈- ），求证：当1a =-时，1 |()|()2 f x g x >+； 2. 若存在实常数k 和b ，使得函数()f x 和()g x 对其定义域上的任意实数x 分别满足： ()f x kx b ≥+和()g x kx b ≤+，则称直线:l y kx b =+为()f x 和()g x 的“隔离直线”．已知 2()h x x =，()2ln x e x ?=（其中e 为自然对数的底数）． (1)求()()()F x h x x ?=-的极值； (2) 函数()h x 和()x ?是否存在隔离直线？若存在，求出此隔离直线方程；若不存在，请说明理由． 3. 设关于x 的方程012 =--mx x 有两个实根α、β，且βα<。定义函数.1 2)(2+-= x m x x f （I ）求)(ααf 的值；（II ）判断),()(βα在区间x f 上单调性，并加以证明； （III ）若μλ,为正实数，①试比较)(),( ),(βμ λμβ λααf f f ++的大小； ②证明.|||)()(|βαμ λλβ μαμλμβλα-<++-++f f 4. 若函数22()()()x f x x ax b e x R -=++∈在1x =处取得极值. （I ）求a 与b 的关系式（用a 表示b ），并求()f x 的单调区间； （II ）是否存在实数m ，使得对任意(0,1)a ∈及12,[0,2]x x ∈总有12|()()|f x f x -< 21[(2)]1m a m e -+++恒成立，若存在，求出m 的范围；若不存在，请说明理由． 5．若函数()()2 ln ,f x x g x x x ==- （1）求函数()()()()x g x kf x k R ?=+∈的单调区间； （2）若对所有的[),x e ∈+∞都有()xf x ax a ≥-成立，求实数a 的取值范围. 极 限 的 概 念（4月27日） 教学目的：理解数列和函数极限的概念； 教学重点：会判断一些简单数列和函数的极限； 教学难点：数列和函数极限的理解 教学过程： 一、实例引入： 例：战国时代哲学家庄周所著的《庄子·天下篇》引用过一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”也就是说一根长为一尺的木棒，每天截去一半，这样的过程可以无限制地进行下去。（1）求第n 天剩余的木棒长度n a (尺)，并分析变化趋势；（2）求前n 天截下的木棒的总长度n b (尺)，并分析变化趋势。 观察以上两个数列都具有这样的特点：当项数n 无限增大时，数列的项n a 无限趋近于某个常数A （即A a n -无限趋近于0）。n a 无限趋近于常数A ，意指“n a 可以任意地靠近A ，希望它有多近就有多近，只要n 充分大，就能达到我们所希望的那么近。”即“动点n a 到A 的距离A a n -可以任意小。 二、新课讲授 1、数列极限的定义： 一般地，如果当项数n 无限增大时，无穷数列}{n a 的项n a 无限趋近于．．．．． 某个常数A （即A a n -无限趋近于0） ，那么就说数列}{n a 的极限是A ，记作 A a n n =∞ →lim 注：①上式读作“当n 趋向于无穷大时，n a 的极限等于A ”。“n →∞”表示“n 趋向于无穷大”，即n 无限增大的意思。A a n n =∞ →lim 有时也记作当n →∞时，n a →A ②引例中的两个数列的极限可分别表示为_____________________，____________________ ③思考：是否所有的无穷数列都有极限？ 例1：判断下列数列是否有极限，若有，写出极限；若没有，说明理由 （1）1， 21，31，…，n 1，… ；（2）21，32，43，…，1 +n n ，…； 高中数学选修2-2导数--导数的运算（解析版） 1．若f (x )＝sin π 3 －cos x ，则f ′(α)等于( ) A ．Sin α B ．Cos α C ．sin π3＋cos α D ．cos π 3＋sin α [答案] A [解析] ∵f (x )＝sin π 3 －cos x ，∴f ′(x )＝sin x ，∴f ′(α)＝sin α，故选A. 2．设函数f (x )＝x m ＋ax 的导数为f ′(x )＝2x ＋1，则数列{1 f (n ) }(n ∈N *)的前n 项和是( ) A.n n ＋1B ．n ＋2n ＋1C.n n －1 D ．n ＋1n [答案] A [解析] ∵f (x )＝x m ＋ax 的导数为f ′(x )＝2x ＋1，∴m ＝2，a ＝1，∴f (x )＝x 2＋x ， ∴f (n )＝n 2＋n ＝n (n ＋1)，∴数列{1 f (n ) }(n ∈N *)的前n 项和为： S n ＝11×2＋12×3＋13×4＋…＋1 n (n ＋1)＝????1－12＋????12－13＋…＋????1n －1n ＋1 ＝1－1n ＋1＝n n ＋1 ，故选A. 3．已知二次函数f (x )的图象如图所示，则其导函数f ′(x )的图象大致形状是( ) [答案] B [解析] 依题意可设f (x )＝ax 2＋c (a <0，且c >0)，于是f ′(x )＝2ax ，显然f ′(x )的图象为直线，过原点，且斜率2a <0，故选B. 4．已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2xf ′(e)＋ln x ，则f ′(e)＝( ) A ．e － 1B ．－1C ．－e － 1 D ．－e [答案] C [解析] ∵f (x )＝2xf ′(e)＋ln x ，∴f ′(x )＝2f ′(e)＋1x ，∴f ′(e)＝2f ′(e)＋1 e ， 解得f ′(e)＝－1 e ，故选C. 导数经典例题精讲 导数知识点 导数是一种特殊的极限 几个常用极限:(１）1 lim 0n n →∞=,lim 0n n a →∞=（||1a <);(2)00lim x x x x →=，0011lim x x x x →= . 两个重要的极限 ：（1)0sin lim 1x x x →=;（2）1lim 1x x e x →∞?? += ??? （ｅ=2.7182818４５…). 函数极限的四则运算法则：若0 lim ()x x f x a →=，0 lim ()x x g x b →=,则 (１)()()0 lim x x f x g x a b →±=±????;（2)()()0 lim x x f x g x a b →?=?????;（3)()()()0 lim 0x x f x a b g x b →=≠. 数列极限的四则运算法则:若lim ,lim n n n n a a b b →∞→∞ ==,则(１)()lim n n n a b a b →∞±=±；(2)()lim n n n a b a b →∞?=?（3)()lim 0n n n a a b b b →∞ =≠(４)()lim lim lim n n n n n c a c a c a →∞→∞→∞?=?=?（ c 是常数) )(x f 在0x 处的导数(或变化率或微商） 000000()()()lim lim x x x x f x x f x y f x y x x =?→?→+?-?''===??. .瞬时速度：00()() ()lim lim t t s s t t s t s t t t υ?→?→?+?-'===??. 瞬时加速度：00()() ()lim lim t t v v t t v t a v t t t ?→?→?+?-'===??. )(x f 在),(b a 的导数：()dy df f x y dx dx ''===00()() lim lim x x y f x x f x x x ?→?→?+?-==??. 函数)(x f y =在点0x 处的导数的几何意义 函数)(x f y =在点0x 处的导数是曲线)(x f y =在))(,(00x f x P 处的切线的斜率)(0x f '，相应的切线方程是))((000x x x f y y -'=-. 几种常见函数的导数 (1) 0='C （C 为常数).(2) '1()()n n x nx n Q -=∈.(3) x x cos )(sin ='．x x sin )(cos -=' (4） x x 1 )(ln = '；e a x x a log 1)(log ='. (5) x x e e =')(; a a a x x ln )(='． 导数的运算法则 (1）' ' ' ()u v u v ±=±．（2)' ' ' ()uv u v uv =+.（3)'' '2 ()(0)u u v uv v v v -=≠. 复合函数的求导法则 设函数()u x ?=在点x 处有导数''()x u x ?=，函数)(u f y =在点x 处的对应点Ｕ处有导数 ''()u y f u =,则复合函数(())y f x ?=在点x 处有导数，且''' x u x y y u =?，或写作'''(())()()x f x f u x ??=． 【例题解析】 考点1 导数的概念 对概念的要求：了解导数概念的实际背景，掌握导数在一点处的定义和导数的几何意义,理解导函数的概念. 例1． ()f x '是3 1()213 f x x x = ++的导函数,则(1)f '-的值是 ． [考查目的] 本题主要考查函数的导数和计算等基础知识和能力． 高中数学-导数的概念及运算练习 1．y ＝ln 1 x 的导函数为( ) A ．y ′＝－1 x B ．y ′＝1 x C ．y ′＝lnx D ．y ′＝－ln(－x) 答案 A 解析 y ＝ln 1x ＝－lnx ，∴y ′＝－1 x . 2．(·东北师大附中摸底)曲线y ＝5x ＋lnx 在点(1，5)处的切线方程为( ) A ．4x －y ＋1＝0 B ．4x －y －1＝0 C ．6x －y ＋1＝0 D ．6x －y －1＝0 答案 D 解析 将点(1，5)代入y ＝5x ＋lnx 成立，即点(1，5)为切点．因为y ′＝5＋1x ，所以y ′|x ＝1＝5＋1 1＝6. 所以切线方程为y －5＝6(x －1)，即6x －y －1＝0.故选D. 3．曲线y ＝x ＋1 x －1在点(3，2)处的切线的斜率是( ) A ．2 B ．－2 C.12 D ．－12 答案 D 解析 y ′＝（x ＋1）′（x －1）－（x ＋1）（x －1）′（x －1）2＝－2 （x －1）2，故曲线在(3，2)处的切线的斜率k ＝ y ′|x ＝3＝－2（3－1）2＝－1 2 ，故选D. 4．一质点沿直线运动，如果由始点起经过t 秒后的位移为s ＝13t 3－32t 2 ＋2t ，那么速度为零的时刻是( ) A ．0秒 B ．1秒末 C ．2秒末 D ．1秒末和2秒末 答案 D 解析 ∵s＝13t 3－32t 2＋2t ，∴v ＝s ′(t)＝t 2 －3t ＋2. 令v ＝0，得t 2 －3t ＋2＝0，t 1＝1或t 2＝2. 5．(·郑州质量检测)已知曲线y ＝x 2 2－3lnx 的一条切线的斜率为2，则切点的横坐标为( ) A ．3 B ．2 C ．1 D.12 答案 A人教版高中数学《导数》全部教案
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