第八章 圆锥曲线方程
●考点阐释
圆锥曲线是解析几何的重点内容,这部分内容的特点是:
(1)曲线与方程的基础知识要求很高,要求熟练掌握并能灵活应用.
(2)综合性强.在解题中几乎处处涉及函数与方程、不等式、三角及直线等内容,体现了对各种能力的综合要求.
(3)计算量大.要求学生有较高的计算水平和较强的计算能力. ●试题类编 一、选择题
1.(2003京春文9,理5)在同一坐标系中,方程a 2x 2+b 2y 2=1与ax +b y 2=0(a >b >0)的曲线大致是( )
2.(2003京春理,7)椭圆??
?=+=?
?
sin 3cos 54y x (?为参数)的焦点坐标为( )
A.(0,0),(0,-8)
B.(0,0),(-8,0)
C.(0,0),(0,8)
D.(0,0),(8,0)
3.(2002京皖春,3)已知椭圆的焦点是F 1、F 2,P 是椭圆上的一个动点.如果延长F 1P 到Q ,使得|PQ |=|PF 2|,那么动点Q 的轨迹是( )
A.圆
B.椭圆
C.双曲线的一支
D.抛物线
4.(2002全国文,7)椭圆5x 2+ky 2=5的一个焦点是(0,2),那么k 等于( )
A.-1
B.1
C.5
D. -
5
5.(2002全国文,11)设θ∈(0,
4
π
),则二次曲线x 2cot θ-y 2tan θ=1的离心率的取值范围为( )
A.(0,
2
1
) B.(
2
2
,21) C.(
2,2
2
) D.(
2,+∞)
6.(2002北京文,10)已知椭圆222253n y m x +和双曲线2
2
2232n y m x -
=1有公共的焦点,那么双曲线的渐近线方程是( )
A.x =±
y 2
15
B.y =±
x 2
15
C.x =±
y 4
3 D.y =±
x 4
3 7.(2002天津理,1)曲线?
??==θθ
sin cos y x (θ为参数)上的点到两坐标轴的距离之和的最大值是( )
A.
2
1
B.
2
2 C.1 D.
2
8.(2002全国理,6)点P (1,0)到曲线???==t
y t x 22
(其中参数t ∈R )上的点的最短距离为( )
A.0
B.1
C.
2 D.2
9.(2001全国,7)若椭圆经过原点,且焦点为F 1(1,0),F 2(3,0),则其离心率为( ) A.
4
3
B.
3
2 C.2
1 D.
4
1 10.(2001广东、河南,10)对于抛物线y 2=4x 上任意一点Q ,点P (a ,0)都满足|PQ |≥|a |,则a 的取值范围是( )
A.(-∞,0)
B.(-∞,2]
C.[0,2]
D.(0,2)
11.(2000京皖春,9)椭圆短轴长是2,长轴是短轴的2倍,则椭圆中心到其准线距离是( ) A.
4
3
B.
55
4
C.
35
8
D.
33
4 12.(2000全国,11)过抛物线y =ax 2(a >0)的焦点F 用一直线交抛物线于P 、Q 两点,若线段PF 与FQ 的长分别是p 、q ,则
q
p 1
1+等于( ) A.2a
B.
a
21
C.4a
D.
a
4 13.(2000京皖春,3)双曲线22
22a
y b x -=1的两条渐近线互相垂直,那么该双曲线的离心率是( )
A.2
B.
3
C.
2
D.
2
3
14.(2000上海春,13)抛物线y =-x 2的焦点坐标为( ) A.(0,
4
1
) B.(0,-
4
1
) C.(
4
1
,0)
D.(-
4
1
,0) 15.(2000上海春,14)x =
231y -表示的曲线是( )
A.双曲线
B.椭圆
C.双曲线的一部分
D.椭圆的一部分 16.(1999上海理,14)下列以t 为参数的参数方程所表示的曲线中,与xy =1所表示的曲线完全一致的是( )
A.??
???
==-
2121
t y t x
B.?????==||1||t y t x
C.???==t
y t x sec cos
D.???==t
y t x cot tan 17.(1998全国理,2)椭圆3
122
2y x +
=1的焦点为F 1和F 2,点P 在椭圆上.如果线段PF 1的中点在y 轴上,那么|PF 1|是|PF 2|的( )
A.7倍
B.5倍
C.4倍
D.3倍
18.(1998全国文,12)椭圆3
1222y x +
=1的一个焦点为F 1,点P 在椭圆上.如果线段PF 1的中点M 在y 轴上,那么点M 的纵坐标是( )
A.±
43 B.±2
3 C.±
2
2
D.±
4
3 19.(1997全国,11)椭圆C 与椭圆4)2(9)3(2
2-+
-y x ,关于直线x +y =0对称,椭圆C 的方程是( ) A.19)3(4)2(2
2=+++y x
B.19)3(4)2(2
2=++-y x
C.14
)3(9)2(2
2=+++y x
D.19
)3(4)2(2
2=-+-y x
20.(1997全国理,9)曲线的参数方程是??
?
??-=-=2111t y t x (t 是参数,t ≠0),它的普通方程是( )
A.(x -1)2(y -1)=1
B.y =
2
)1()
2(x x x -- C.y =
1)
1(1
2
--x D.y =
2
1x
x
-+1 21.(1997上海)设θ∈(
4
3
π,π),则关于x 、y 的方程x 2csc θ-y 2sec θ=1所表示的曲线是( ) A.实轴在y 轴上的双曲线 B.实轴在x 轴上的双曲线 C.长轴在y 轴上的椭圆 D.长轴在x 轴上的椭圆
22.(1997上海)设k >1,则关于x 、y 的方程(1-k )x 2+y 2=k 2-1所表示的曲线是( ) A.长轴在y 轴上的椭圆 B.长轴在x 轴上的椭圆 C.实轴在y 轴上的双曲线 D.实轴在x 轴上的双曲线
23.(1996全国文,9)中心在原点,准线方程为x =±4,离心率为
2
1
的椭圆方程是( ) A.3422y x +=1
B.4322y x +=1
C.4
2x +y 2=1
D.x 2
+4
2y =1
24.(1996上海,5)将椭圆9252
2y x +
=1绕其左焦点按逆时针方向旋转90°,所得椭圆方程是( ) A.19)4(25)4(22=-++y x
B.19)4(25)4(2
2=+++y x
C.125
)4(9)4(2
2=-++y x
D.125
)4(9)4(2
2=+++y x
25.(1996上海理,6)若函数f (x )、g (x )的定义域和值域都为R ,则f (x )>g (x )(x ∈R )成立的充要条
件是( )
A.有一个x ∈R ,使f (x )>g (x )
B.有无穷多个x ∈R ,使得f (x )>g (x )
C.对R 中任意的x ,都有f (x )>g (x )+1
D.R 中不存在x ,使得f (x )≤g (x )
26.(1996全国理,7)椭圆??
?+-=+=?
?
sin 51cos 33y x 的两个焦点坐标是( )
A.(-3,5),(-3,-3)
B.(3,3),(3,-5)
C.(1,1),(-7,1)
D.(7,-1),(-1,-1)
27.(1996全国文,11)椭圆25x 2-150x +9y 2+18y +9=0的两个焦点坐标是( ) A.(-3,5),(-3,3) B.(3,3),(3,-5) C.(1,1),(-7,1) D.(7,-1),(-1,-1)
28.(1996全国)设双曲线22
22b
y a x -=1(0<a <b )的半焦距为c ,直线l 过(a ,0),(0,b )两点.已知原点到
直线l 的距离为
4
3
c ,则双曲线的离心率为( ) A.2
B.
3
C.
2
D.
33
2 29.(1996上海理,7)若θ∈[0,
2
π],则椭圆x 2+2y 2-22x cos θ+4y sin θ=0的中心的轨迹是( )
30.(1995全国文6,理8)双曲线3x 2-y 2=3的渐近线方程是( ) A.y =±3x
B.y =±
3
1x C.y =±
3x
D.y =±
x 3
3 31.(1994全国,2)如果方程x 2+ky 2=2表示焦点在y 轴上的椭圆,那么实数k 的取值范围是( ) A.(0,+∞) B.(0,2) C.(1,+∞) D.(0,1)
32.(1994全国,8)设F 1和F 2为双曲线-4
2x y 2=1的两个焦点,点P 在双曲线上,且满足∠F 1PF 2=90°,
则△F 1PF 2的面积是( )
A.1
B.
2
5 C.2 D.
5
33.(1994上海,17)设a 、b 是平面α外任意两条线段,则“a 、b 的长相等”是a 、b 在平面α内的射影长相等的( ) A.非充分也非必要条件 B.充要条件 C.必要非充分条件 D.充分非必要条件
34.(1994上海,19)在直角坐标系xOy 中,曲线C 的方程是y =cos x ,现在平移坐标系,把原点移到O ′(
2
π
,
-
2
π),则在坐标系x ′O ′y ′中,曲线C 的方程是( )
A.y ′=sin x ′+
2π
B.y ′=-sin x ′+
2
π
C.y ′=sin x ′-2
π D.y ′=-sin x ′-
2
π
二、填空题
35.(2003京春,16)如图8—1,F 1、F 2分别为椭圆22
22b
y a x +=1的左、右焦点,点P 在
椭圆上,△POF 2是面积为
3的正三角形,则b 2的值是_____.
36.(2003上海春,4)直线y =x -1被抛物线y 2=4x 截得线段的中点坐标是_____.
37.(2002上海春,2)若椭圆的两个焦点坐标为F 1(-1,0),F 2(5,0),长轴的长为10,则椭圆的方程为 .
图8—
1
38.(2002京皖春,13)若双曲线m y x 224-
=1的渐近线方程为y =±2
3
x ,则双曲线的焦点坐标是 . 39.(2002全国文,16)对于顶点在原点的抛物线,给出下列条件:
①焦点在y 轴上; ②焦点在x 轴上;
③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6; ④抛物线的通径的长为5;
⑤由原点向过焦点的某条直线作垂线,垂足坐标为(2,1). 能使这抛物线方程为y 2=10x 的条件是 .(要求填写合适条件的序号) 40.(2002上海文,8)抛物线(y -1)2=4(x -1)的焦点坐标是 . 41.(2002天津理,14)椭圆5x 2-ky 2=5的一个焦点是(0,2),那么k = .
42.(2002上海理,8)曲线???+=-=1
212t y t x (t 为参数)的焦点坐标是_____.
43.(2001京皖春,14)椭圆x 2+4y 2=4长轴上一个顶点为A ,以A 为直角顶点作一个内接于椭圆的等腰直角三角形,该三角形的面积是 .
44.(2001上海,3)设P 为双曲线-4
2x y 2
=1上一动点,O 为坐标原点,M 为线段OP 的中点,则点M 的轨
迹方程是 .
45.(2001上海,5)抛物线x 2-4y -3=0的焦点坐标为 .
46.(2001全国,14)双曲线16
92
2y x -
=1的两个焦点为F 1、F 2,点P 在双曲线上,若PF 1⊥PF 2,则点P 到x 轴的距离为 .
47.(2001上海春,5)若双曲线的一个顶点坐标为(3,0),焦距为10,则它的标准方程为_____.
48.(2001上海理,10)直线y =2x -21
与曲线???==?
?2cos sin y x (?为参数)的交点坐标是_____.
49.(2000全国,14)椭圆4
92
2y x +
=1的焦点为F 1、F 2,点P 为其上的动点,当∠F 1PF 2为钝角时,点P 横坐标的取值范围是_____.
50.(2000上海文,3)圆锥曲线916)1(2
2y x --=1的焦点坐标是_____.
51.(2000上海理,3)圆锥曲线?
??=+=θθtan 31
sec 4y x 的焦点坐标是_____.
52.(1999全国,15)设椭圆22
22b
y a x +=1(a >b >0)的右焦点为F 1,右准线为l 1,若过F 1且垂直于x 轴的弦
的长等于点F 1到l 1的距离,则椭圆的离心率是 .
53.(1999上海5)若平移坐标系,将曲线方程y 2+4x -4y -4=0化为标准方程,则坐标原点应移到点O ′ ( ) .
54.(1998全国,16)设圆过双曲线16
92
2y x -
=1的一个顶点和一个焦点,圆心在此双曲线上,则圆心到双曲线
中心的距离是 .
55.(1997全国文,17)已知直线x -y =2与抛物线y 2=4x 交于A 、B 两点,那么线段AB 的中点坐标是_____.
56.(1997上海)二次曲线?
??==θθ
sin 3cos 5y x (θ为参数)的左焦点坐标是_____.
57.(1996上海,16)平移坐标轴将抛物线4x 2-8x +y +5=0化为标准方程x ′2=ay ′(a ≠0),则新坐标系的
原点在原坐标系中的坐标是 .
58.(1996全国文,16)已知点(-2,3)与抛物线y 2=2px (p >0)的焦点的距离是5,则p =_____. 59.(1996全国理,16)已知圆x 2+y 2-6x -7=0与抛物线y 2=2px (p >0)的准线相切,则p =_____. 60.(1995全国理,19)直线L 过抛物线y 2=a (x +1)(a >0)的焦点,并且与x 轴垂直,若L 被抛物线截得的线段长为4,则a = .
61.(1995全国文,19)若直线L 过抛物线y 2=4(x +1)的焦点,并且与x 轴垂直,则L 被抛物线截得的线段长为 .
62.(1995上海,15)把参数方程??
?+==1
cos sin αα
y x (α是参数)化为普通方程,结果是 .
63.(1995上海,10)双曲线9
822
2y x -
=8的渐近线方程是 . 64.(1995上海,14)到点A (-1,0)和直线x =3距离相等的点的轨迹方程是 .
65.(1994全国,17)抛物线y 2=8-4x 的准线方程是 ,圆心在该抛物线的顶点且与其准线相切的圆的方程是 .
66.(1994上海,7)双曲线2
2
y -x 2=1的两个焦点的坐标是 .
三、解答题
67.(2003上海春,21)设F 1、F 2分别为椭圆C :22
228b
y a x + =1(a >b >0)的左、右两个焦点.
(1)若椭圆C 上的点A (1,
2
3
)到F 1、F 2两点的距离之和等于4,写出椭圆C 的方程和焦点坐标; (2)设点K 是(1)中所得椭圆上的动点,求线段F 1K 的中点的轨迹方程;
(3)已知椭圆具有性质:若M 、N 是椭圆C 上关于原点对称的两个点,点P 是椭圆上任意一点,当直线PM 、PN 的斜率都存在,并记为k PM 、k PN 时,那么k PM 与k PN 之积是与点P 位置无关的定值.试对双曲
线122
22=-b
y a x 写出具有类似特性的性质,并加以证明. 68.(2002上海春,18)如图8—2,已知F 1、F 2为双曲线122
22=-b
y a x (a >0,b >0)的
焦点,过F 2作垂直于x 轴的直线交双曲线于点P ,且∠PF 1F 2=30°.求双曲线的渐近线方程.
69.(2002京皖文,理,22)已知某椭圆的焦点是F 1(-4,0)、F 2(4,0),过点F 2并垂直于x 轴的直线与椭圆的一个交点为B ,且|F 1B |+|F 2B |=10.椭圆上不同的两点A (x 1,y 1)、C (x 2,y 2)满足条件:|F 2A |、|F 2B |、|F 2C |成等差数列.
(Ⅰ)求该椭圆的方程;
(Ⅱ)求弦AC 中点的横坐标;
(Ⅲ)设弦AC 的垂直平分线的方程为y =kx +m ,求m 的取值范围. 70.(2002全国理,19)设点P 到点M (-1,0)、N (1,0)距离之差为2m ,到x 轴、y 轴距离之比为2
.求
图8—2
m 的取值范围.
71.(2002北京,21)已知O (0,0),B (1,0),C (b ,c )是△OBC 的三个顶点.如图8—3.
(Ⅰ)写出△OBC 的重心G ,外心F ,垂心H 的坐标,并证明G 、F 、H 三点共线; (Ⅱ)当直线FH 与OB 平行时,求顶点C 的轨迹.
72.(2002江苏,20)设A 、B 是双曲线x 222
y -=1上的两点,点N (1,2)是线段AB
的中点.
(Ⅰ)求直线AB 的方程;
(Ⅱ)如果线段AB 的垂直平分线与双曲线相交于C 、D 两点,那么A 、B 、C 、D 四点是否共圆,为什么?
73.(2002上海,18)已知点A (3-
,0)和B (3,0)
,动点C 到A 、B 两点的距离之差的绝对值为2,点C 的轨迹与直线y =x -2交于D 、E 两点,求线段DE 的长.
74.(2001京皖春,22)已知抛物线y 2=2px (p >0).过动点M (a ,0)且斜率为1的直线l 与该抛物线交于不同的两点A 、B ,|AB |≤2p .
(Ⅰ)求a 的取值范围;
(Ⅱ)若线段AB 的垂直平分线交x 轴于点N ,求△NAB 面积的最大值.
75.(2001上海文,理,18)设F 1、F 2为椭圆4
92
2y x +
=1的两个焦点,P 为椭圆上的一点.已知P 、F 1、F 2是一个直角三角形的三个顶点,且|PF 1|>|PF 2|,求
|
||
|21PF PF 的值.
76.(2001全国文20,理19)设抛物线y 2=2px (p >0)的焦点为F ,经过点F 的直线交抛物线于A 、B 两点,点C 在抛物线的准线上,且BC ∥x 轴.证明直线AC 经过原点O .
77.(2001上海春,21)已知椭圆C 的方程为x 2
+22y =1,点P (a ,b )的坐标满足a 2+2
2
b ≤1,过点P 的直线l 与椭圆交于A 、B 两点,点Q 为线段AB 的中点,求:
(1)点Q 的轨迹方程;
(2)点Q 的轨迹与坐标轴的交点的个数.
78.(2001广东河南21)已知椭圆2
2x +y 2
=1的右准线l 与x 轴相交于点E ,过椭圆右焦点F 的直线与椭圆相交
于A 、B 两点,点C 在右准线l 上,且BC ∥x 轴.
求证:直线AC 经过线段EF 的中点.
79.(2000上海春,22)如图8—4所示,A 、F 分别是椭圆12
)1(16)1(2
2-+
+x y =1的一个顶点与一个焦点,位于x 轴的正半轴上的动点T (t ,0)与F 的连线交射影OA 于Q .求:
(1)点A 、F 的坐标及直线TQ 的方程;
(2)△OTQ 的面积S 与t 的函数关系式S =f (t )及其函数的最小值;
(3)写出S =f (t )的单调递增区间,并证明之.
80.(2000京皖春,23)如图8—5,设点A 和B 为抛物线y 2=4px (p >0)上原点以外的两个动点,已知OA ⊥OB ,OM ⊥AB ,求点M 的轨迹方程,并说明它表示什么曲线.
81.(2000全国理,22)如图8—6,已知梯形ABCD 中,|AB |=2|C D|,点E 分有向线段AC 所成的比为λ,双
图8—
3
图8—4
曲线过C 、D 、E 三点,且以A 、B 为焦点.当
3
2≤λ≤43
时,求双曲线离心率e 的取值范围.
图8—5 图8—6 图8—7
82.(2000全国文,22)如图8—7,已知梯形ABCD 中|AB |=2|CD |,点E 分有向线段AC 所成的比为11
8
,双曲线过C 、D 、E 三点,且以A 、B 为焦点.求双曲线离心率.
83.(2000上海,17)已知椭圆C 的焦点分别为F 1(22
-,0)和F 2(22,0)
,长轴长为6,设直线y =x +2交椭圆C 于A 、B 两点,求线段AB 的中点坐标.
84.(1999全国,24)如图8—8,给出定点A (a ,0)(a >0)和直线l :x =-1.B 是直线l
上的动点,∠BOA 的角平分线交AB 于点C.求点C 的轨迹方程,并讨论方程表示的曲线类型
与a 值的关系.
注:文科题设还有条件a ≠1
85.(1999上海,22)设椭圆C 1的方程为22
22b
y a x +=1(a >b >0),
曲线C 2的方程为
y =
x
1
,且C 1与C 2在第一象限内只有一个公共点P . (Ⅰ)试用a 表示点P 的坐标.
(Ⅱ)设A 、B 是椭圆C 1的两个焦点,当a 变化时,求△ABP 的面积函数S (a )的值域;
(Ⅲ)设min {y 1,y 2,…,y n }为y 1,y 2,…,y n 中最小的一个.设g (a )是以椭圆C 1的半焦距为边长的正方形的面积,求函数f (a )=min {g (a ),S (a )}的表达式.
86.(1998全国理,24)设曲线C 的方程是y =x 3-x ,将C 沿x 轴、y 轴正向分别平行移动t 、s 单位长度后得曲线C 1.
(Ⅰ)写出曲线C 1的方程;
(Ⅱ)证明曲线C 与C 1关于点A (
2
,2s
t )对称; (Ⅲ)如果曲线C 与C 1有且仅有一个公共点,证明s =4
3
t -t 且t ≠0.
87.(1998全国文22,理21)如图8—9,直线l 1和l 2相交于点M ,l 1⊥l 2,点N ∈l 1.以
A 、
B 为端点的曲线段
C 上的任一点到l 2的距离与到点N 的距离相等.若△AMN 为锐角三
角形,|AM |=
17,|AN |=3,且|BN |=6.建立适当的坐标系,求曲线段C 的方程.
88.(1998上海理,20)(1)动直线y =a 与抛物线y 2=
2
1
(x -2)相交于A 点,动点B
的坐标是(0,3a ),求线段AB 中点M 的轨迹C 的方程;
(2)过点D (2,0)的直线l 交上述轨迹C 于P 、Q 两点,E 点坐标是(1,0),若△EPQ 的面积为4,求直
图8—
8
图8—9
线l 的倾斜角α的值.
89.(1997上海)抛物线方程为y 2=p (x +1)(p >0),直线x +y =m 与x 轴的交点在抛物线的准线的右边. (1)求证:直线与抛物线总有两个交点;
(2)设直线与抛物线的交点为Q 、R ,OQ ⊥OR ,求p 关于m 的函数f (m )的表达式;
(3)(文)在(2)的条件下,若抛物线焦点F 到直线x +y =m 的距离为
2
2
,求此直线的方程; (理)在(2)的条件下,若m 变化,使得原点O 到直线QR 的距离不大于
2
2
,求p 的值的范围. 90.(1996全国理,24)已知l 1、l 2是过点P (-2,0)的两条互相垂直的直线,且l 1、l 2与双曲线y 2-x 2=
1各有两个交点,分别为A 1、B 1和A 2、B 2.
(Ⅰ)求l 1的斜率k 1的取值范围;
(Ⅱ)(理)若|A 1B 1|=
5|A 2B 2|,求l 1、l 2的方程.
(文)若A 1恰是双曲线的一个顶点,求|A 2B 2|的值.
91.(1996上海,23)已知双曲线S 的两条渐近线过坐标原点,且与以点A (
2,0)为
圆心,1为半径的圆相切,双曲线S 的一个顶点A ′与点A 关于直线y =x 对称.设直线l 过点A ,斜率为k .
(1)求双曲线S 的方程;
(2)当k =1时,在双曲线S 的上支上求点B ,使其与直线l 的距离为
2;
(3)当0≤k <1时,若双曲线S 的上支上有且只有一个点B 到直线l 的距离为2,求斜率k 的值及相应的点
B 的坐标,如图8—10.
92.(1995全国理,26)已知椭圆如图8—11,16
242
2y x +
=1,直线L :812y x +=1,P 是L 上一点,射线OP 交椭圆于点R ,又点Q 在OP 上且满足|OQ |2|OP |=|OR |2.当点P 在L
上移动时,求点Q 的轨迹方程,并说明轨迹是什么曲线.
93.(1995上海,24)设椭圆的方程为22
22n
y m x +=1(m ,n >0),过原点且倾角为θ和
π-θ(0<θ<
2
π
=的两条直线分别交椭圆于A 、C 和B 、D 两点,
(Ⅰ)用θ、m 、n 表示四边形ABCD 的面积S ; (Ⅱ)若m 、n 为定值,当θ在(0,
4
π]上变化时,求S 的最小值u ;
(Ⅲ)如果μ>mn ,求
n
m
的取值范围. 94.(1995全国文,26)已知椭圆16
242
2y x +
=1,直线l :x =12.P 是直线l 上一点,射线OP 交椭圆于点R .又点Q 在OP 上且满足|OQ |2|OP |=|OR |2.当点P 在直线l 上移动时,求点Q 的轨迹方程,并说明轨迹是什么曲线
.
图8—
10
图8—11
95.(1994全国理,24)已知直线L 过坐标原点,抛物线C 的顶点在原点,焦点在x 轴正半轴上,若点A (-1,0)和点B (0,8)关于L 的对称点都在C 上,求直线L 和抛物线C 的方程.
96.(1994上海,24)设椭圆的中心为原点O ,一个焦点为F (0,1),长轴和短轴的长度之比为t . (1)求椭圆的方程;
(2)设经过原点且斜率为t 的直线与椭圆在y 轴右边部分的交点为Q 、点P 在该直线上,且1|
||
|2-=t t OQ OP ,当t 变化时,求点P 的轨迹方程,并说明轨迹是什么图形.
答案解析
1.答案:D
解析一:将方程a 2x 2
+b 2y 2
=1与ax +by 2
=0转化为标准方程:x b a
y b y a x -==+22
222,111.因为a >b >0,因此,
a
b 1
1>>0,所以有:椭圆的焦点在y 轴,抛物线的开口向左,得D 选项. 解析二:将方程ax +by 2=0中的y 换成-y ,其结果不变,即说明:ax +by 2=0的图形关于x 轴对称,排除B 、C ,又椭圆的焦点在y 轴.故选D.
评述:本题考查椭圆与抛物线的基础知识,即标准方程与图形的基本关系.同时,考查了代数式的恒等变形及简单的逻辑推理能力.
2.答案:D
解析:利用三角函数中的平方和关系消参,得925)4(2
2y x +
-=1,∴c 2=16,x -4=±4,而焦点在x 轴上,所以焦点坐标为:(8,0),(0,0),选D.如果画出9
25)4(2
2y x +
-=1的图形,则可以直接“找”出正确选项. 评述:本题考查将参数方程化为普通方程的思想和方法,以及利用平移变换公式进行逻辑推理,同时也考查了
数形结合的思想方法.
3.答案:A
解析:由第一定义得,|PF 1|+|PF 2|为定值 ∵|PQ |=|PF 2|,
∴|PF 1|+|PQ |为定值,即|F 1Q |为定值. 4.答案:B
解析:椭圆方程可化为:x 2
+k
y 52
=1
∵焦点(0,2)在y 轴上,∴a 2=k
5
,b 2=1, 又∵c 2=a 2-b 2=4,∴k =1 5.答案:D 解析:∵θ∈(0,
4
π),∴sin θ∈(0,
2
2
), ∴a 2=tan θ,b 2=c ot θ
∴c 2=a 2+b 2=tan θ+c ot θ,
∴e 2
=θθθθ2
22sin 1
tan cot tan =+=a c ,∴e =θ
sin 1, ∴e ∈(
2,+∞)
6.答案:D
解析:由双曲线方程判断出公共焦点在x 轴上 ∴椭圆焦点(
2
253n m -,0),双曲线焦点(
2
232n m +,0)
∴3m 2-5n 2=2m 2+3n 2
∴m 2=8n 2
又∵双曲线渐近线为y =±
|
|2|
|6m n ?2x
∴代入m 2=8n 2,|m |=22|n |,得y =±
4
3x 7.答案:D
解析:设曲线上的点到两坐标轴的距离之和为d ∴d =|x |+|y |=|co s θ|+|sin θ| 设θ∈[0,
2
π]
∴d =sin θ+cos θ=
2sin (θ+
4
π) ∴d max =
2.
8.答案:B
解法一:将曲线方程化为一般式:y 2=4x ∴点P (1,0)为该抛物线的焦点
由定义,得:曲线上到P 点,距离最小的点为抛物线的顶点. 解法二:设点P 到曲线上的点的距离为d ∴由两点间距离公式,得
d 2=(x -1)2+y 2=(t 2-1)2+4t 2=(t 2+1)2 ∵t ∈R ∴d min 2=1 ∴d min =1 9.答案:C
解析:由F 1、F 2的坐标得2c =3-1,c =1, 又∵椭圆过原点a -c =1,a =1+c =2, 又∵e =
2
1
=a c ,∴选C. 10.答案:B
解析:设点Q 的坐标为(4
2
0y
,y 0),
图8—12
由 |PQ |≥|a |,得y 02+(4
2
0y
-a )2≥a 2.
整理,得:y 02(y 02+16-8a )≥0, ∵y 02≥0,∴y 02+16-8a ≥0.
即a ≤2+820y 恒成立.而2+8
2
0y
的最小值为2.
∴a ≤2.选B.
11.答案:D
解析:由题意知a =2,b =1,c =3,准线方程为x =±c
a 2
,
∴椭圆中心到准线距离为3
3
4. 12.答案:C
解析:抛物线y =ax 2的标准式为x 2=
a
1y , ∴焦点F (0,
a
41). 取特殊情况,即直线PQ 平行x 轴,则p =q .
如图8—13,∵PF =PM ,∴p =a
21
,
故
a p
p p q p 42
1111==+=+. 13.答案:C
解析:渐近线方程为y =±
b a x ,由b a 2(-b
a )=-1,得a 2=
b 2, ∴
c =
2a ,e =2.
14.答案:B
解析:y =-x 2的标准式为x 2=-y ,∴p =21,焦点坐标F (0,-4
1
). 15.答案:D 解析:x =
231y -化为x 2+3y 2=1(x >0).
16.答案:D
解析:由已知xy =1可知x 、y 同号且不为零,而A 、B 、C 选项中尽管都满足xy =1,但x 、y 的取值范围与已知不同.
17.答案:A
图8—13
解析:不妨设F 1(-3,0),F 2(3,0)由条件得P (3,±
23),即|PF 2|=23
,|PF 1|=2
147,因此|PF 1|=7|PF 2|,故选A.
评述:本题主要考查椭圆的定义及数形结合思想,具有较强的思辨性,是高考命题的方向. 18.答案:A
解析:由条件可得F 1(-3,0),PF 1的中点在y 轴上,∴P 坐标(3,y 0),又P 在3
122
2y x +
=1的椭圆上得y 0=±
2
3, ∴M 的坐标(0,±
4
3),故选A. 评述:本题考查了椭圆的标准方程及几何性质,中点坐标公式以及运算能力. 19.答案:A
解析:将已知椭圆中的x 换成-y ,y 换成-x 便得椭圆C 的方程为9
)3(4)2(2
2++
+y x =1,所以选A. 评述:本题考查了椭圆的方程及点关于直线的对称问题.
20.答案:B 解法一:由已知得t =
x -11,代入y =1-t 2中消去t ,得y =12
2)
1()2()1(1x x x x --=--,故选B. 解法二:令t =1,得曲线过(0,0),分别代入验证,只有B 适合,故选B.
评述:本题重点考查参数方程与普通方程的互化,考查等价转化的能力. 21.答案:C
解析:由已知得方程为θ
θcos sin 2
2y x -
=1 由于θ∈(
4
3π
,π),因此sin θ>0,cos θ<0,且|sin θ|<|cos θ| ∴原方程表示长轴在y 轴上的椭圆. 22.答案:C
解析:原方程化为1
12
22+-
-k x k y =1 由于k >1,因此它表示实轴在y 轴上的双曲线. 23.答案:A
解析:由已知有????????==2
1
42
a c c a a =2,c =1,
b 2
=3,于是椭圆方程为3422y x +
=1,故选A. 评述:本题考查了椭圆的方程及其几何性质,以及待定系数法和运算能力.
24.答案:C
解析:如图8—14,原点O 逆时针方向旋转90°到O ′,则O ′(-4,4
)为旋转后椭圆
图8—14
的中心,故旋转后所得椭圆方程为25
)4(9)4(2
2-+
+y x =1.所以选C. 25.答案:D
解析:R 中不存在x ,使得f (x )≤g (x ),即是R 中的任意x 都有f (x )>g (x ), 故选D.
26.答案:B
解析:可得a =3,b =5,c =4,椭圆在新坐标系中的焦点坐标为(0,±4),在原坐标系中的焦点坐标为(3,3),(3,-5),故选B.
评述:本题重点考查椭圆的参数方程、坐标轴的平移等基本知识点,考查数形结合的能力. 27.答案:B
解析:把已知方程化为25
)1(9)3(2
2++
-y x =1,∴a =5,b =3,c =4 ∵椭圆的中心是(3,-1),
∴焦点坐标是(3,3)和(3,-5). 28.答案:A
解析:由已知,直线l 的方程为ay +bx -ab =0,原点到直线l 的距离为43
c ,则有
c b
a a
b 432
2=+, 又c 2=a 2+b 2,∴4ab =3c 2,两边平方,得16a 2(c 2-a 2)=3c 4,两边同除以a 4,并整理,得3e 4-16e 2+16=0
∴e 2=4或e 2=
3
4
. 而0<a <b ,得e 2
=22
2
221a
b a b a +=+>2,∴e 2=4.故e =2. 评述:本题考查点到直线的距离,双曲线的性质以及计算、推理能力.难度较大,特别是求出e 后还须根据b >
a 进行检验.
29.答案:D
解析:把已知方程化为标准方程,得2
)cos 2(2
θ-x +(y +sin θ)2=1.
∴椭圆中心的坐标是(
2cos θ,-sin θ).
其轨迹方程是???-==θθsin cos 2y x θ∈[0,2π
].
即2
2x +y 2
=1(0≤x ≤2,-1≤y ≤0).
30.答案:C
解法一:将双曲线方程化为标准形式为x 2
-3
2
y =1,其焦点在x 轴上,且a =1,b =3,故其渐近线方程为y
=±
a
b
x =±3x ,所以应选C.
解法二:由3x 2-y 2=0分解因式得y =±3x ,此方程即为3x 2-y 2=3的渐近线方程,故应选C.
评述:本题考查了双曲线的标准方程及其性质. 31.答案:D
解析:原方程可变为k
y x 2222+
=1,因为是焦点在y 轴的椭圆,所以???
??>>220
k k ,解此不等式组得0 评述:本题考查了椭圆的方程及其几何意义以及解不等式的方法,从而考查了逻辑思维能力和运算能力. 32.答案:A 解法一:由双曲线方程知|F 1F 2|=25,且双曲线是对称图形,假设P (x ,142 -x ) ,由已知F 1P ⊥F 2 P ,有15 1 45142 2-=+-?--x x x x ,即1145221,52422=-??==x S x ,因此选A. 解法二:S △=b 2cot 2 2 1PF F =13cot45°=1. 评述:本题考查了双曲线的标准方程及其性质、两条直线垂直的条件、三角形面积公式以及运算能力. 33.答案:A 解析:a 、b 长相等a 、b 在平面α内的射影长相等,因此选A. 34.答案:B 解析:由已知得平移公式?????? ?-'=+'=2 2π πy y x x 代入曲线C 的方程,得y ′-2π=cos (x ′+2π). 即y ′=-sin x ′+ 2 π. 35.答案:2 3 解析:因为F 1、F 2为椭圆的焦点,点P 在椭圆上,且正△POF 2的面积为3, 所以S =21|OF 2|2|PO |sin60°=4 3c 2 ,所以c 2=4. ∴点P 的横、纵坐标分别为 2 3 , 2c c ,即P (1,3)在椭圆上,所以有2231b a +=1,又b 2+c 2=a 2,???+==+2 22 22243b a b a a b 解得b 2=2 3. 评述:本题主要考查椭圆的基本知识以及基本计算技能,体现出方程的思想方法. 36.答案:(3,2) 解法一:设直线y =x -1与抛物线y 2=4x 交于A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),其中点为P (x 0,y 0). 由题意得???=-=x y x y 41 2,(x -1)2=4x ,x 2-6x +1=0. ∴x 0= 2 2 1x x +=3.y 0=x 0-1=2.∴P (3,2). 解法二:y 22=4x 2,y 12=4x 1,y 22-y 12=4x 2-4x 1 1 21212) )((x x y y y y -+-=4.∴y 1+y 2=4,即y 0=2,x 0=y 0+1=3. 故中点为P (3,2). 评述:本题考查曲线的交点与方程的根的关系.同时应注意解法一中的纵坐标与解法二中的横坐标的求法. 37.答案:16 25)2(2 2y x + - =1 解析:由两焦点坐标得出椭圆中心为点(2,0),焦半径c =3 ∵长轴长为10,∴2a =10, ∴a =5,∴b = 2 2c a -=4 ∴椭圆方程为16 25)2(2 2y x + -=1 38.答案:(± 7,0) 解析:由双曲线方程得出其渐近线方程为y =± 2 m x ∴m =3,求得双曲线方程为3 42 2y x - =1,从而得到焦点坐标. 39.答案:②,⑤ 解析:从抛物线方程易得②,分别按条件③、④、⑤计算求抛物线方程,从而确定⑤. 40.答案:(2,1) 解析:抛物线(y -1)2=4(x -1)的图象为抛物线y 2=4x 的图象沿坐标轴分别向右、向上平移1个单位得来的. ∵抛物线y 2=4x 的焦点为(1,0) ∴抛物线(y -1)2=4(x -1)的焦点为(2,1) 41.答案:-1 解析:椭圆方程化为x 2+k y 52-=1 ∵焦点(0,2)在y 轴上, ∴a 2= k -5 ,b 2=1 又∵c 2=a 2-b 2=4,∴k =-1 42.答案:(0,1) 解析:将参数方程化为普通方程:(y -1)2=4(x +1) 该曲线为抛物线y 2=4x 分别向左,向上平移一个单位得来. 43.答案: 25 16 解析:原方程可化为4 2 x +y 2=1,a 2=4,b 2=1 ∴a =2,b =1,c = 3 当等腰直角三角形,设交点(x ,y )(y >0)可得2-x =y , 代入曲线方程得:y = 5 4 ∴S = 21 32y 2=25 16 44.答案:x 2-4y 2=1 解析:设P (x 0,y 0) ∴M (x ,y ) ∴2 ,200y y x x == ∴2x =x 0,2y =y 0 ∴4 42 x -4y 2=1?x 2-4y 2=1 45.答案:(0, 4 1 ) 解析:x 2=4y +3?x 2=4(y + 4 3) ∴y + 43=1,y =41,∴坐标(0,4 1) 46.答案: 5 16 解析:设|PF 1|=M ,|PF 2|=n (m >n ) a =3 b =4 c =5 ∴m -n =6 m 2+n 2=4c 2 m 2+n 2-(m -n )2=m 2+n 2-(m 2+n 2-2mn )=2mn =4325-36=64 mn =32. 又利用等面积法可得:2c 2y =mn ,∴y = 5 16 47.答案:16 92 2y x - =1 解析:由已知a =3,c =5,∴b 2=c 2-a 2=16 又顶点在x 轴,所以标准方程为16 92 2y x - =1. 48.答案:( 2 1 ,21) 解析:???-=-==????==? ???? 2 2sin 211cos 2sin 2cos sin y x y x ①代入②得y =1-2x 2?2x 2+y =1 ?? ? ?? =+-=122122y x x y 解方程得:?????? ? ==2 121y x ∴交点坐标为( 2 1 ,21) 49.答案:5 3 53< <- x 解析:已知a 2=9,b 2=4,∴c =5, ∵x PF x ex a PF 3 5 3||,353||21+=- =-= 由余弦定理,)9 59(1 95||||2||||||cos 22 212 21222121x x PF PF F F PF PF PF F --=??-+=, ∵∠F 1PF 2是钝角,∴-1<cos F 1PF 2<0, 即0)9 59(1 95122 <--<-x x ,解得5353< <-x . 评述:本题也可以通过PF 1⊥PF 2时,找到P 点的横坐标的值.类似问题,在高考命题中反复出现,本题只是改变了叙述方式. 50.答案:(6,0),(-4,0) 解析:令???'='=-y y x x 1原方程化为标准形式191622='-'y x . ∵a 2=16,b 2=9,∴c 2=25,c =5,在新坐标系下焦点坐标为(±5,0). 又由???='=±='=-05 1y y x x 解得???==06y x 和? ??=-=04y x 所以焦点坐标为(6,0),(-4,0). 51.答案:(-4,0),(6,0) ①② 解析:由???=+=θ θtan 31 sec 4y x 得???????==-θθtan 3 sec 4 1 y x 由③2 -④2 ,得9 16)1(22y x --=1. 令?? ?' ='=-y y x x 1 把上式化为标准方程为9 162 2y x '- '=1. 在新坐标系下易知焦点坐标为(±5,0), 又由???='=±='=-05 1y y x x 解得???==06y x 和???=-=0 4y x , 所以焦点坐标为(6,0),(-4,0). 52.答案: 2 1 解析:由题意知过F 1且垂直于x 轴的弦长为a b 2 2 ∴c c a a b -=2 22 ∴c a 12= ∴ 2 1=a c ,即e =21 评述:本题重点考查了椭圆的基本性质. 53.答案:(2,2) 解析:将曲线方程化为(y -2)2=-4(x -2). 令x ′=x -2,y ′=y -2,则y ′2=-4x ′,∴h =2,k =2 ∴坐标原点应移到(2,2). 54.答案: 3 16 解析:如图8—15所示,设圆心P (x 0,y 0) 则|x 0|=2352+=+a c =4,代入16 92 2y x -=1,得y 02=9716? ① ② ③ ④ 图8—15 数学圆锥曲线高考题选讲 一、选择题: 1. (2006全国II )已知双曲线x 2a 2-y 2b 2 =1的一条渐近线方程为y =4 3x ,则双曲线的离心率为( ) (A )53 (B )43 (C )54 (D )32 2. (2006全国II )已知△ABC 的顶点B 、C 在椭圆x 2 3+y 2=1上,顶点A 是椭圆的一个焦点,且椭圆的另外一个焦点 在BC 边上,则△ABC 的周长是( ) (A )2 3 (B )6 (C )4 3 (D )12 3.(2006全国卷I )抛物线2 y x =-上的点到直线4380x y +-=距离的最小值是( ) A . 43 B .7 5 C .85 D .3 4.(2006广东高考卷)已知双曲线2239x y -=,则双曲线右支上的点P 到右焦点的距离与点P 到右准线的距离之比等于( ) A.2 B. 22 3 C. 2 D. 4 5.(2006辽宁卷)方程22520x x -+=的两个根可分别作为( ) A.一椭圆和一双曲线的离心率 B.两抛物线的离心率 C.一椭圆和一抛物线的离心率 D.两椭圆的离心率 6.(2006辽宁卷)曲线 22 1(6)106x y m m m +=<--与曲线221(59)59x y m m m +=<<--的( ) (A)焦距相等 (B) 离心率相等 (C)焦点相同 (D)准线相同 7.(2006安徽高考卷)若抛物线2 2y px =的焦点与椭圆22 162 x y +=的右焦点重合,则p 的值为( ) A .2- B .2 C .4- D .4 8.(2006辽宁卷)直线2y k =与曲线2222 918k x y k x += (,)k R ∈≠且k 0的公共点的个数为( ) (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 二、填空题: 9. (2006全国卷I )双曲线2 2 1mx y +=的虚轴长是实轴长的2倍,则m = 。 10. (2006上海卷)已知在平面直角坐标系xOy 中的一个椭圆,它的中心在原点,左焦点为(3,0)F -,右顶点为(2,0)D ,设点11, 2A ?? ??? ,则求该椭圆的标准方程为 。 11. (20XX 年高考全国新课标卷理科14) 在平面直角坐标系xOy 中,椭圆C 的中心为原点,焦点12,F F 在 x 轴上, 离心率为 2 2 。过l 的直线 交于,A B 两点,且2ABF 的周长为16,那么C 的方程为 。 4.已知双曲线)0(13 2 22>=-a y a x 的离心率为2,则=a A. 2 B. 2 6 C. 25 D. 1 10.已知抛物线C :x y =2的焦点为F ,()y x A 00,是C 上一点,x F A 045=,则=x 0( ) A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 20.已知点)2,2(P ,圆C :082 2=-+y y x ,过点P 的动直线l 与圆C 交于B A ,两点,线段AB 的中点为M ,O 为坐标原点. (1)求M 的轨迹方程; (2)当OM OP =时,求l 的方程及POM ?的面积 2014(新课标全国卷2) (10)设F 为抛物线2:y =3x C 的焦点,过F 且倾斜角为°30的直线交于C 于,A B 两点,则AB = (A )3 (B )6 (C )12 (D )(12)设点0(x ,1)M ,若在圆22:x y =1O +上存在点N ,使得°45OMN ∠=,则0x 的取值范围是 (A )[]1,1- (B )1122??-????, (C )?? (D ) ???? 20.设F 1 ,F 2分别是椭圆C :122 22=+b y a x (a>b>0)的左,右焦点,M 是C 上一点且MF 2与x 轴垂直,直线MF 1与C 的另一个交点为N 。 (I )若直线MN 的斜率为4 3,求C 的离心率; (II )若直线MN 在y 轴上的截距为2且|MN|=5|F 1N|,求a ,b 。 4.已知双曲线C :22 22=1x y a b -(a >0,b >0) 的离心率为2,则C 的渐近线方程为( ). A .y =14x ± B .y =13x ± C .y =12x ± D .y =±x 8.O 为坐标原点,F 为抛物线C :y 2 =的焦点,P 为C 上一点,若|PF | =,则△POF 的面积为( ). A .2 B . ..4 21.已知圆M :(x +1)2+y 2=1,圆N :(x -1)2+y 2=9,动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切, 圆心P 的轨迹为曲线C . (1)求C 的方程; (2)l 是与圆P ,圆M 都相切的一条直线,l 与曲线C 交于A ,B 两点,当圆P 的半径最长时,求|AB |. 2013(新课标全国卷2) 5、设椭圆22 22:1x y C a b +=(0)a b >>的左、右焦点分别为12,F F ,P 是C 上的点,212PF F F ⊥,1230PF F ∠=o ,则C 的离心率为( ) (A )6 (B )13 (C )12 (D )3 10、设抛物线2:4C y x =的焦点为F ,直线l 过F 且与C 交于A ,B 两点。若 ||3||AF BF =,则l 的方程为( ) (A )1y x =-或!y x =-+ (B )1)y x =- 或1)y x =- (C )1)y x =- 或1)y x =- (D )1)y x = - 或1)y x =- (20)在平面直角坐标系xOy 中,已知圆P 在x 轴上截得线段长为y 轴上截得线 段长为 (Ⅰ)求圆心P 的轨迹方程; (Ⅱ)若P 点到直线y x = 的距离为2 ,求圆P 的方程。 数学圆锥曲线测试高考题 一、选择题: 1. (2006全国II )已知双曲线x 2a 2-y 2 b 2 =1的一条渐近线方程为y =43x ,则双曲线的离心率为( ) (A )53 (B )43 (C )54 (D )32 2. (2006全国II )已知△ABC 的顶点B 、C 在椭圆 x 23+y 2=1上,顶点A 是椭圆的一个焦点,且椭圆的另外一个焦点在BC 边上,则△ABC 的周长是( ) (A )2 3 (B )6 (C )4 3 (D )12 3.(2006全国卷I )抛物线2y x =-上的点到直线4380x y +-=距离的最小值是( ) A .43 B .75 C .85 D .3 4.(2006高考卷)已知双曲线2239x y -=,则双曲线右支上的点P 到右焦点的距离与点P 到右准线的距离之比等于( ) B. C. 2 D. 4 5.(2006卷)方程22520x x -+=的两个根可分别作为( ) A.一椭圆和一双曲线的离心率 B.两抛物线的离心率 C.一椭圆和一抛物线的离心率 D.两椭圆的离心率 6.(2006卷)曲线221(6)106x y m m m +=<--与曲线22 1(59)59x y m m m +=<<--的( ) (A)焦距相等 (B) 离心率相等 (C)焦点相同 (D)准线相同 7.(2006高考卷)若抛物线2 2y px =的焦点与椭圆22 162x y +=的右焦点重合,则p 的值为( ) A .2- B .2 C .4- D .4 8.(2006卷)直线2y k =与曲线2222 918k x y k x += (,)k R ∈≠且k 0的公共点的个数为( ) (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 二、填空题: 9. (2006全国卷I )双曲线221mx y +=的虚轴长是实轴长的2倍,则m = 。 10. (2006卷)已知在平面直角坐标系xOy 中的一个椭圆,它的中心在原点,左焦点为(F ,右顶点为(2,0)D ,设 高考数学试题分类详解——圆锥曲线 一、选择题 1.设双曲线22221x y a b -=(a>0,b>0)的渐近线与抛物线y=x 2 +1相切,则该双曲线的离心率等于 ( C ) (A)3 (B)2 (C)5 (D )6 2.已知椭圆2 2:12 x C y +=的右焦点为F ,右准线为l ,点A l ∈,线段AF 交C 于点B ,若3FA FB =,则||AF = (A). 2 (B). 2 (C).3 (D ). 3 3.过双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的右顶点A 作斜率为1-的直线,该直线与双曲线的两条渐近线 的交点分别为,B C .若1 2 AB BC =,则双曲线的离心率是 ( ) A.2 B.3 C.5 D .10 4.已知椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为F ,右顶点为A ,点B 在椭圆上,且BF x ⊥轴, 直线 AB 交y 轴于点P .若2AP PB =,则椭圆的离心率是( ) A . 3 B .22 C.13 D .12 5.点P 在直线:1l y x =-上,若存在过P 的直线交抛物线2 y x =于,A B 两点,且 |||PA AB =,则称点P 为“ 点”,那么下列结论中正确的是 ( ) A .直线l 上的所有点都是“点” B .直线l 上仅有有限个点是“点” C .直线l 上的所有点都不是“ 点” D.直线l 上有无穷多个点(点不是所有的点)是“ 点” 6.设双曲线12222=-b y a x 的一条渐近线与抛物线y=x 2 +1 只有一个公共点,则双曲线的离心率为 ( ). A. 4 5 B. 5 C. 2 5 D.5 2 (2019全国1)10.已知椭圆C 的焦点为)0,1(1-F ,)0,1(2F ,过2F 的直线与C 交于A ,B 两点.若||2||22B F AF =, ||||1BF AB =,则C 的方程为( ) A.1222=+y x B. 12322=+y x C.13422=+y x D.14 522=+y x 答案: B 解答: 由椭圆C 的焦点为)0,1(1-F ,)0,1(2F 可知1=c ,又Θ||2||22B F AF =,||||1BF AB =,可设m BF =||2,则 m AF 2||2=,m AB BF 3||||1==,根据椭圆的定义可知a m m BF BF 23||||21=+=+,得a m 2 1 = ,所以a BF 21||2=,a AF =||2,可知),0(b A -,根据相似可得)21,23(b B 代入椭圆的标准方程122 22=+b y a x ,得32=a , 22 22=-=c a b ,∴椭圆C 的方程为12 32 2=+ y x . (2019全国1)16.已知双曲线C:22 221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点分别为12,F F ,过1F 的直线与C 的 两条渐近线分别交于,A B 两点.若112,0F A AB F B F B =?=u u u r u u u r u u u r u u u r ,则C 的离心率为 . 答案: 2 解答: 由112,0F A AB F B F B =?=u u u r u u u r u u u r u u u r 知A 是1BF 的中点,12F B F B ⊥uuu r uuu r ,又O 是12,F F 的中点,所以OA 为中位线且1OA BF ⊥,所以1OB OF =,因此1FOA BOA ∠=∠,又根据两渐近线对称,12FOA F OB ∠=∠,所以260F OB ∠=?,221()1tan 602b e a =+=+?=. 第八章 圆锥曲线方程 ●考点阐释 圆锥曲线是解析几何的重点容,这部分容的特点是: (1)曲线与方程的基础知识要求很高,要求熟练掌握并能灵活应用. (2)综合性强.在解题中几乎处处涉及函数与方程、不等式、三角及直线等容,体现了对各种能力的综合要求. (3)计算量大.要求学生有较高的计算水平和较强的计算能力. ●试题类编 一、选择题 1.(2003京春文9,理5)在同一坐标系中,方程a 2x 2+b 2y 2=1与ax +b y 2=0(a >b >0)的曲线大致是( ) 2.(2003京春理,7)椭圆?? ?=+=? ? sin 3cos 54y x (?为参数)的焦点坐标为( ) A.(0,0),(0,-8) B.(0,0),(-8,0) C.(0,0),(0,8) D.(0,0),(8,0) 3.(2002京皖春,3)已知椭圆的焦点是F 1、F 2,P 是椭圆上的一个动点.如果延长F 1P 到Q ,使得|PQ |=|PF 2|,那么动点Q 的轨迹是( ) A.圆 B.椭圆 C.双曲线的一支 D.抛物线 4.(2002全国文,7)椭圆5x 2+ky 2=5的一个焦点是(0,2),那么k 等于( ) A.-1 B.1 C.5 D. - 5 5.(2002全国文,11)设θ∈(0, 4 π ),则二次曲线x 2cot θ-y 2tan θ=1的离心率的取值围为( ) A.(0, 2 1 ) B.( 22 ,21) C.( 2,2 2 ) D.( 2,+∞) 6.(2002文,10)已知椭圆222253n y m x +和双曲线22 2 232n y m x -=1有公共的焦点,那么双曲线的渐近线方程是( ) A.x =± y 2 15 B.y =± x 2 15 浙江省高考数学圆锥曲线真题 22 04. 若椭圆 x 2 y 2 ab 1(a > b > 0)的左、右焦点分别为 F 1、F 2, 线段 F 1F 2被抛物线 y 2=2 bx 的焦点 分成 5∶ 3的两 段 , 则此椭圆的离心率为 16 (A) 1167 05.过双曲线 2 x 2 a 4 17 (B) 17 2 b y 2 1(a b 4 (C)45 (D) 255 5 0,b 0) 的左焦点且垂直于 x 轴的直线与双曲线相交于 M 、 N 两点 , 以 MN 为直径的圆恰好过双曲线的右顶点 则双曲线的离心率等于 07. 已知双曲线 2 x 2 a 2 y 2 1(a 0,b b 2 0) 的左、右焦点分别为 F 1,F 2, P 是准线上一点 , PF 1 PF 2,|PF 1| |PF 2| 4ab , 则双曲线的离心率是 B ) 3 (C ) 2 (D ) 3 △ ABP 的面积为定 则动点 P 的轨迹是A . 圆 B . 椭圆 C . 一条直线 D . 两条平行直线 09. 2 x 过双曲线 2 a 2 y b 2 1(a 0,b 0) 的右顶 点 条渐近线的交点分别为 B,C uuur .若 AB 1 uuur BC , 2 A . 2 B .3 C 08.如图 , AB 是平面 的斜.线.段. ) B A P 第 10 题) A 作斜率为 1的直线 , 该直线与双曲线的两 则双曲线的离心率 是 ( ) .5 D . 10 A 为斜足 , 若点 P 在平面 内运动 , 使得 点 A (0,2) 。若线段 FA 的中点 B 在抛物线上 2 10. (13)设抛物线 y 2 2px (p 0) 的焦点为 F, 则 B 到该抛物线准线的距离为 近线与以 C 1 的长轴为直径的圆相交于 A, B 两点 ( ) 13 2 B . a 2= 13 1 D . A .a 2= C .b 2= b 2=2 2 2 2 11. 设 F 1, F 2分别为椭圆 x 2 3 y 2 1的 左、 右焦点 22 x y 2 11. 已知椭圆 C 1: 2 2 =1 (a > b > 0)与双曲线 C 2: x 2 ab 则点 A 的坐标是 _______ 2 y 1有公共的焦点 , C 2 的一条渐 4 若 C 1 恰好将线段 AB 三等分 , 则 uuur uuuur 点 A, B 在椭圆上. 若 F 1A 5F 2B , 第八章 圆锥曲线 一.基础题组 二.能力题组 1.(浙江省嘉兴市2015届高三下学期教学测试(二),文7)设1F 、2F 分别为双曲线C :122 22=-b y a x 0(>a , )0>b 的左、右焦点,A 为双曲线的左顶点,以21F F 为直径的圆交双曲线一条渐近线于M 、N 两点,且 满足?=∠120MAN ,则该双曲线的离心率为 A .3 21 B . 3 19 C . 3 5 D .3 2.(浙江省2015届高三第二次考试五校联考,文7)如图,已知椭圆C 1:112x +y 2=1,双曲线C 2:22a x —22 b y =1 (a >0,b >0),若以C 1的长轴为直径的圆与C 2的一条渐近线交于A 、B 两点,且C 1与该渐近线的两交点将线段AB 三等分,则C 2的离心率为 ( ) A .5 B .5 C .17 D . 7 14 2 3.(绍兴市2015届高三上学期期末统考,文6)曲线2 2 30x y -=与双曲线C :22 221x y a b -=(0a >,0b >) 的四个交点与C 的两个虚轴顶点构成一个正六边形,则双曲线C 的离心率为( ) A B C D .8 3 4.(宁波市鄞州区2015届高考5月模拟,文6)已知,,A B P 是双曲线22 221x y a b -=上不同的三点,且,A B 连线经过坐标原点,若直线,PA PB 的斜率乘积3PA PB k k ?=,则该双曲线的离心率为(▲) A B C .2 D 5.(嵊州市2015年高三第二次教学质量调测,文6)已知双曲线22 22C :1(00)x y a b a b -=>>,的左、右焦 点分别为1F ,2F ,过2F 作平行于C 的渐近线的直线交C 于点P .若12PF PF ⊥,则C 的离心率为( ) A B C .2 D 6.(衢州市2015年高三4月教学质量检测,文13)12,F F 分别是双曲线 22 1169 -=x y 的左右焦点,P 为双曲线右支上的一点, A 是12?PF F 的内切圆, A 与x 轴相切于点(,0)M m ,则m 的值为 . 7.(东阳市2015届高三5月模拟考试,文13)点P 是双曲线 222 2 1(00)x y a b a b =>>- , 上一点, F 是右焦点,且OPF ?是120OFP ∠=?的等腰三角形(O 为坐标原点),则双曲线的离心率是 ▲ . 三.拔高题组 1.(衢州市2015年高三4月教学质量检测,文8)设点(,)P x y 是曲线1(0,0)a x b y a b +=≥≥上任意一 点,其坐标(,)x y ≤b +取值范围为( ) A. (]0,2 B. []1,2 C. [)1,+∞ D. [)2,+∞ 2.(浙江省杭州第二中学2015届高三仿真考,文7)如图,已知双曲线22 22:1(0,0)x y C a b a b -=>>的右顶点 为A ,O 为坐标原点,以A 为圆心的圆与双曲线C 的某渐近线交于两点P ,Q .若∠P AQ = 60°且3OQ OP =, 1.【2018浙江21】如图,已知点P 是y 轴左侧(不含y 轴)一点,抛物线 2:4C y x =上存在不同的两点,A B 满足,PA PB 的中点均在C 上。 (1) 设AB 中点为M ,证明:PM 垂直于y 轴; (2) 若P 是半椭圆2 2 1(0)4 y x x +=<上的动点,求PAB ?面积的取值范围。 解析:(1)设2200112211(,),(,),(,)44 P x y A y y B y y AP 中点满足:2 2 102014( )4()22 y x y y ++= BP 中点满足:2 2 202024:( )4()22 y x y y BP ++= 所以12,y y 是方程2 2 0204()4()22 y x y y ++=即22000 280y y y x y -+-=的两个根,所以 12 02 y y y +=,故PM 垂直于y 轴。 (2)由(1)可知212012002,8y y y y y x y +=?=- 所以222 1200013||()384 PM y y x y x =+-= - ,12||y y -= 因此,3 2212001||||4)24 PAB S PM y y y x ?=?-=- 因为2 2 0001(0)4 y x x +=<,所以2200004444[4,5]y x x x -=--+∈ 因此,PAB ? 面积的取值范围是 1. 距离型问题 2.【2018全国3 理20】已知斜率为k 的直线l 与椭圆22 :143 x y C +=交于,A B 两点,线段AB 的中点为(1,)(0)M m m > (1)证明:1 2 k <- ; (2)设F 为C 的右焦点,P 为C 上一点且0FP FA FB ++=,证明:,,FP FA FB 为等差数列,并求出该数列的公差。 解析:(1)由中点弦公式22OM b k k a ?=-,解得34k m =- 又因为点M 在椭圆内,故302m << ,故1 2 k <- (2)由题意知2,2FA FB FM FP FM +==-,故(1,2)P m - 因为点P 在椭圆上,代入可得3,14m k = =-,即3||2 FP = 根据第二定义可知,1211||2,||222 FA x FB x =- =- 联立22 212121114371402,4287 4 x y x x x x x x y x ?+=???-+=?+==? ?=-+?? 即121 ||||4()32 FA FB x x +=- += 故满足2||||||FP FA FB =+,所以,,FP FA FB 为等差数列 设其公差为d ,因为,A B 的位置不确定,则有 圆锥曲线部分高考试题汇编(椭圆部分) 1、(2016全国Ⅰ卷)(20)(本小题满分12分) 设圆2 2 2150x y x ++-=的圆心为A ,直线l 过点B (1,0)且与x 轴不重合,l 交圆A 于C ,D 两点,过B 作AC 的平行线交AD 于点E . (I )证明EA EB +为定值,并写出点E 的轨迹方程; (II )设点E 的轨迹为曲线C 1,直线l 交C 1于M ,N 两点,过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P ,Q 两点,求四边形MPNQ 面积的取值范围. 2、(2015全国Ⅰ卷)(14)一个圆经过椭圆 22 1164 x y +=的三个顶点,且圆心在x 轴上,则该圆的标准方程为 。 3、(2014全国Ⅰ卷) 20.(本小题满分12分)已知点A (0,-2),椭圆E :22221(0)x y a b a b +=>>F 是椭圆 的焦点,直线AF 的斜率为3 ,O 为坐标原点. (Ⅰ)求E 的方程; (Ⅱ)设过点A 的直线l 与E 相交于,P Q 两点,当OPQ ?的面积最大时,求l 的方程. 4、(2016山东卷)(21)(本小题满分14分) 平面直角坐标系xOy 中,椭圆C :()222210x y a b a b +=>> 3,抛物线E :22x y =的焦点 F 是C 的一个顶点. (I )求椭圆C 的方程; (II )设P 是E 上的动点,且位于第一象限,E 在点P 处的切线l 与C 交与不同的两点A ,B ,线段AB 的中点为D ,直线OD 与过P 且垂直于x 轴的直线交于点M. (i )求证:点M 在定直线上; (ii )直线l 与y 轴交于点G ,记PFG V 的面积为1S ,PDM V 的面积为2S ,求1 2 S S 的最大值及取得最大值时点P 的坐标. (1)求M 的方程 (2)C ,D 为M 上的两点,若四边形ACBD 的对角线CD ⊥AB ,求四边形ACBD 的面积最大值. 2.设1F ,2F 分别是椭圆()222210y x a b a b +=>>的左右焦点,M 是C 上一点且2MF 与x 轴垂直,直线1MF 与C 的另一个交点为N. (1)若直线MN 的斜率为34 ,求C 的离心率; (2)若直线MN 在y 轴上的截距为2,且15MN F N =,求a,b . 3.已知椭圆C :,直线不过原点O 且不平行于坐标轴,l 与C 有两个交点A ,B ,线段AB 的中点为M . (1) 证明:直线OM 的斜率与的斜率的乘积为定值; (2)若过点(),延长线段OM 与C 交于点P ,四边形OAPB 能否平行四边行?若能,求此时的斜率,若不能,说明理由. 4.已知抛物线C :22y x = 的焦点为F ,平行于x 轴的两条直线12,l l 分别交C 于A ,B 两点,交C 的准线于P ,Q 两点. (1)若F 在线段AB 上,R 是PQ 的中点,证明AR ∥FQ ; (2)若△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍,求AB 中点的轨迹方程. 5.已知抛物线C :y 2 =2x ,过点(2,0)的直线l 交C 与A ,B 两点,圆M 是以线段AB 为直径的圆. (1)证明:坐标原点O 在圆M 上; (2)设圆M 过点P (4,-2),求直线l 与圆M 的方程. 6.已知斜率为k 的直线l 与椭圆22 143 x y C +=:交于A ,B 两点,线段AB 的中点为 ()()10M m m >,. (1)证明:1 2 k <-; (2)设F 为C 的右焦点,P 为C 上一点,且FP FA FB ++=0u u u r u u u r u u u r .证明:FA u u u r ,FP u u u r ,FB u u u r 成 等差数列,并求该数列的公差. 第八章 圆锥曲线方程 ●考点阐释 圆锥曲线是解析几何的重点内容,这部分内容的特点是: (1)曲线与方程的基础知识要求很高,要求熟练掌握并能灵活应用. (2)综合性强.在解题中几乎处处涉及函数与方程、不等式、三角及直线等内容,体现了对各种能力的综合要求. (3)计算量大.要求学生有较高的计算水平和较强的计算能力. ●试题类编 一、选择题 1.(2003京春文9,理5)在同一坐标系中,方程a 2x 2+b 2y 2=1与ax +b y 2=0(a >b >0)的曲线大致是( ) 2.(2003京春理,7)椭圆?? ?=+=? ? sin 3cos 54y x (?为参数)的焦点坐标为( ) A.(0,0),(0,-8) B.(0,0),(-8,0) C.(0,0),(0,8) D.(0,0),(8,0) 3.(2002京皖春,3)已知椭圆的焦点是F 1、F 2,P 是椭圆上的一个动点.如果延长F 1P 到Q ,使得|PQ |=|PF 2|,那么动点Q 的轨迹是( ) A.圆 B.椭圆 C.双曲线的一支 D.抛物线 4.(2002全国文,7)椭圆5x 2+ky 2 =5的一个焦点是(0,2),那么k 等于( ) A.-1 B.1 C. 5 D. - 5 5.(2002全国文,11)设θ∈(0,4 π),则二次曲线x 2cot θ-y 2tan θ=1的离心率的取值范围为 ( ) A.(0,2 1) B.( 2 2 ,21) C.( 2,2 2 ) D.( 2,+∞) 6.(2002北京文,10)已知椭圆222253n y m x +和双曲线22 2 232n y m x -=1有公共的焦点,那么双曲线的渐近线方程是( ) A.x =± y 215 B.y =± x 215 C.x =±y 4 3 D.y =±x 4 3 7.(2002天津理,1)曲线???==θ θ sin cos y x (θ为参数)上的点到两坐标轴的距离之和的最大值是( ) A.21 B.22 C.1 D.2 2018年高考圆锥曲线大题 一.解答题(共13小题) 1.已知斜率为k的直线l与椭圆C:+=1交于A,B两点,线段AB的中点为M(1,m)(m>0).(1)证明:k<﹣; (2)设F为C的右焦点,P为C上一点,且++=.证明:||,||,||成等差数列,并求该数列的公差. 2.已知斜率为k的直线l与椭圆C:+=1交于A,B两点,线段AB的中点为M(1,m)(m>0).(1)证明:k<﹣; (2)设F为C的右焦点,P为C上一点,且++=,证明:2||=||+||. 3.双曲线﹣=1,F1、F2为其左右焦点,C是以F2为圆心且过原点的圆. (1)求C的轨迹方程; (2)动点P在C上运动,M满足=2,求M的轨迹方程. 4.设椭圆C:+y2=1的右焦点为F,过F的直线l与C交于A,B两点,点M的坐标为(2,0).(1)当l与x轴垂直时,求直线AM的方程; (2)设O为坐标原点,证明:∠OMA=∠OMB. 5.已知椭圆M:+=1(a>b>0)的离心率为,焦距为2.斜率为k的直线l与椭圆M有 两个不同的交点A,B. (Ⅰ)求椭圆M的方程; (Ⅱ)若k=1,求|AB|的最大值; (Ⅲ)设P(﹣2,0),直线PA与椭圆M的另一个交点为C,直线PB与椭圆M的另一个交点为D.若C,D和点Q(﹣,)共线,求k. 6.设常数t>2.在平面直角坐标系xOy中,已知点F(2,0),直线l:x=t,曲线Γ:y2=8x(0≤x≤t,y≥0).l与x轴交于点A、与Γ交于点B.P、Q分别是曲线Γ与线段AB上的动点. (1)用t表示点B到点F的距离; (2)设t=3,|FQ|=2,线段OQ的中点在直线FP上,求△AQP的面积; (3)设t=8,是否存在以FP、FQ为邻边的矩形FPEQ,使得点E在Γ上?若存在,求点P的坐标;若不存在,说明理由. 2008年高考数学试题分类汇编 圆锥曲线 一. 选择题: 1.(福建卷11)又曲线22 221x y a b ==(a >0,b >0)的两个焦点为F 1、F 2,若P 为其上一点, 且|PF 1|=2|PF 2|,则双曲线离心率的取值范围为B A.(1,3) B.(]1,3 C.(3,+∞) D.[)3,+∞ 2.(海南卷11)已知点P 在抛物线y 2 = 4x 上,那么点P 到点Q (2,-1)的距离与点P 到 抛物线焦点距离之和取得最小值时,点P 的坐标为( A ) A. (4 1 ,-1) B. ( 4 1 ,1) C. (1,2) D. (1,-2) 3.(湖北卷10)如图所示,“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球,在月球附近一点P 轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行,之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行,最终卫星在P 点 1 2c 第三次变轨进入以F 为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行,若用 和22c 分别表示椭轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距,用12a 和22a 分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长,给出下列式子: ①1122a c a c +=+; ②1122a c a c -=-; ③1212c a a c >; ④11c a <22 c a . 其中正确式子的序号是B A. ①③ B. ②③ C. ①④ D. ②④ 4.(湖南卷8)若双曲线22221x y a b -=(a >0,b >0)上横坐标为32 a 的点到右焦点的距离大于 它到左准线的距离,则双曲线离心率的取值范围是( B ) A.(1,2) B.(2,+∞) C.(1,5) D. (5,+∞) 江苏历年高考理科数学试题及答案汇编十圆锥曲线 (2008-2018)试题 1、9.(5分)(2008江苏)如图,在平面直角坐标系xoy中,设三角形ABC的顶点分别为A (0,a),B(b,0),C(c,0),点P(0,p)在线段AO上的一点(异于端点),这里a,b,c,p均为非零实数,设直线BP,CP分别与边AC,AB交于点E,F,某同学已正确求得直线 OE的方程为,请你完成直线OF的方程:. 2、12.(5分)(2008江苏)在平面直角坐标系xOy中,椭圆的焦距为2c,以O为圆心,a为半径作圆M,若过作圆M的两条切线相互垂直,则椭圆的离心率为. 3、13.(5分)(2009江苏)如图,在平面直角坐标系xoy中,A1,A2,B1,B2为椭圆 的四个顶点,F为其右焦点,直线A1B2与直线B1F相交于点T,线段OT与椭圆的交点M恰为线段OT的中点,则该椭圆的离心率为. 4、6.(5分)(2010江苏)在平面直角坐标系xOy 中,双曲线上一点M ,点M 的横坐标是3,则M 到双曲线右焦点的距离是 . 5、8.(5分)(2010江苏)函数y=x 2(x >0)的图象在点(a k ,a k 2 )处的切线与x 轴交点的横坐标为a k+1,k 为正整数,a 1=16,则a 1+a 3+a 5= . 6、9.(5分)(2010江苏)在平面直角坐标系xOy 中,已知圆x 2+y 2 =4上有且仅有四个点到直线12x ﹣5y+c=0的距离为1,则实数c 的取值范围是 . 7、14.(5分)(2011江苏)设集合 222{(,)| (2),,},{(,)|221,,} 2 m A x y x y m x y B x y m x y m x y =-+∈=++∈R R 若,A B ≠? 则实数m 的取值范围是______________. 8、8.(5分)(2012江苏)在平面直角坐标系xOy 中,若双曲线 的离心率为 ,则m 的值为 . 9、12.(5分)(2012江苏)在平面直角坐标系xOy 中,圆C 的方程为x 2+y 2 ﹣8x+15=0,若直线y=kx ﹣2上至少存在一点,使得以该点为圆心,1为半径的圆与圆C 有公共点,则k 的最大值是 . 10、3.(5分)(2013江苏)双曲线 的两条渐近线方程为 . 11、12.(5分)(2013江苏)在平面直角坐标系xOy 中,椭圆C 的标准方程为(a >b >0),右焦点为F ,右准线为l ,短轴的一个端点为B ,设原点到直线BF 的距离为d 1,F 到l 的距离为d 2,若d 2= ,则椭圆C 的离心率为 . 12、9.(5分)(2014江苏)在平面直角坐标系xOy 中,直线x+2y ﹣3=0被圆(x ﹣2)2 +(y+1)2 =4截得的弦长为 . 13、10.(5分)(2015江苏)在平面直角坐标系xOy 中,以点(1,0)为圆心且与直线mx ﹣y ﹣2m ﹣1=0(m ∈R )相切的所有圆中,半径最大的圆的标准方程为 . 14、12.(5分)(2015江苏)在平面直角坐标系xOy 中,P 为双曲线x 2﹣y 2 =1右支上的一个动点,若点P 到直线x ﹣y+1=0的距离大于c 恒成立,则实数c 的最大值为 . 15、3.(5分)(2016江苏)在平面直角坐标系xOy 中,双曲线 ﹣ =1的焦距是 . 16、10.(5分)(2016江苏)如图,在平面直角坐标系xOy 中,F 是椭圆+=1(a >b >0)的右焦点,直线y=与椭圆交于B ,C 两点,且∠BFC=90°,则该椭圆的离心率是 . 圆锥曲线高考真题 Company number:【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】 (1)求M 的方程 (2)C ,D 为M 上的两点,若四边形ACBD 的对角线CD ⊥AB ,求四边形ACBD 的面积最大值. 2.设1F ,2F 分别是椭圆()222210y x a b a b +=>>的左右焦点,M 是C 上一点且2MF 与x 轴垂直,直线1MF 与C 的另一个交点为N. (1)若直线MN 的斜率为34 ,求C 的离心率; (2)若直线MN 在y 轴上的截距为2,且15MN F N =,求a,b . 3.已知椭圆C :,直线不过原点O 且不平行于坐标轴,l 与C 有两个交点A ,B ,线段AB 的中点为M . (1) 证明:直线OM 的斜率与的斜率的乘积为定值; (2)若过点(),延长线段OM 与C 交于点P ,四边形OAPB 能否平行四边行若能,求此时的斜率,若不能,说明理由. 4.已知抛物线C :22y x = 的焦点为F ,平行于x 轴的两条直线12,l l 分别交C 于A ,B 两点,交C 的准线于P ,Q 两点. (1)若F 在线段AB 上,R 是PQ 的中点,证明AR ∥FQ ; (2)若△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍,求AB 中点的轨迹方程. 5.已知抛物线C :y 2=2x ,过点(2,0)的直线l 交C 与A ,B 两点,圆M 是以线段 AB 为直径的圆. (1)证明:坐标原点O 在圆M 上; (2)设圆M 过点P (4,-2),求直线l 与圆M 的方程. 6.已知斜率为k 的直线l 与椭圆22 143 x y C +=:交于A ,B 两点,线段AB 的中点为 ()()10M m m >,. (1)证明:1 2 k <-; (2)设F 为C 的右焦点,P 为C 上一点,且FP FA FB ++=0.证明:FA , FP ,FB 成等差数列,并求该数列的公差. 7.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>> ,且经过点(0,1),圆 22221:C x y a b +=+。 (1)求椭圆C 的方程; (2)直线:(0)l y km m k =+≠与椭圆C 有且只有一个公共点M ,且l 与圆1C 相交于,A B 两点,问是否存在这样的直线l ,使得AM MB =若存在,求出l 的方程,若不存在,请说明理由。 8.已知椭圆1C 的中心和抛物线2C 的顶点都在坐标原点O ,1C 和2C 有公共焦点 F ,点F 在x 轴正半轴上,且1C 的长轴长、短轴长及点F 到1C 右准线的距离成等比数列。 (1)当2C 的准线与1C 的右准线间的距离为15时,求1C 及2C 的方程; (2)设过点F 且斜率为1的直线l 交1C 于P,Q 两点,交2C 于M,N 两点。当 36 7 PQ =时,求MN 的值。 9.如图,椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>的一个焦点是F (1,0),O 为坐标原点. (1)已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形,求椭圆的方程; (2)设过点F 的直线l 交椭圆于A ,B 222 OA OB AB +<,求a 的取值范围. 10.设椭圆中心在坐标原点,(20)(01)A B ,,,)0(>k kx 与AB 相交于点D ,与椭圆相交于E 、F 两点. A. 2: B B. 1: 2 C. 1: D. 1: 3 园锥曲线单元检测卷 迭様题(共10小陋) 1. 椭圆ax2+by2=l 与直线y=l-x 交于A 、B 两点,过原点与銭段AB 中点的直线的斜率为车,则?的值为< ) 2 b A.更 B.生 C.距 D.生 2 3 2 27 2. 点F 为椭圆W-J=l (a>b>0)的一个焦点,若棉圆上存在点A 使△AOF 为正三角形,那么棉圆的离心率为( ) A.亭 B.学 C.早 0. JJ-1 1 2 3. 已知P 是以F|, F2为焦点的棉圖(?>b>0)上的一点,若PFilPFj, tanZPF,F 24,则此神圖的码心率为( ) a l 戸 2 A. - B. - C. - D.亞 2 3 3 3 4. 设F2是戏曲线力>°)的左、右两个焦点,若双曲线右支上存在一点P ,使(乔十折)?和=。(0为坐 a 1 标原点),且1戶尸11 = 51”2|,则双曲线的离心率为( ) A.罕 B.「+l C.擊 D.网 5. 如圍所示,A, B, C 是双曲线打土=1 <*>0, b>0>上的三个点,AB 经过原点0, AC 经过右焦点F,若 \ [ / BF 丄AC 目|BF| = |CF|,则该双曲线的高心率是< ) \ m A.罗 B. J10 C. I D. 3 6. 已知点F“ F2分别是双曲线W~4=l(a>0, d>0)的左、右焦点,ilFifi 垂直于x 轴的宜线与双曲线交于A, B 两点,若 a 2 b 2 F2是锐角三角形,则该戏曲线高心率的取值范围是( ) A. (1, JI) 7.设双曲线日-4=1仏>0, 6>0) 的右焦点为F (c, 0),方程?x 2-bx-c=0的两支根分别为x“ x 2,则P (x o x 2 A 2 b 2 A.必在Sx 2-y 2=2内 C.必在Sx 2-y 2=Z± 8.已知点A (2, 0),抛物线C: x 2=4y 的焦点为F,射銭FA 与抛物銭C 相交于点II,与其准线相交于点N,则|FM|: |MN| 9. 已知点A (-1, 0) , B (1, 0)及抛物线円2x,若抛物銭上点P 淆足iPAdlPBl,则m 的最大値为( ) A. 3 B. 2 C. D. J2 B.(卩,2j) D. (1,1+41) B.必在圖x2+y2=2外 D.以上三种情况都有可能 全国高考理科数学试题分类汇编9:圆锥曲线 一、选择题 1 .(2013年高考江西卷(理) )过点引直线l 与曲线y =A,B 两点,O 为坐标原点, 当?AOB 的面积取最大值时,直线l 的斜率等于 ( ) A .y E B B C C D =+ +3 B .3 - C .3 ± D .【答案】B 2 .(2013年普通高等学校招生统一考试福建数学(理)试题(纯WORD 版))双曲线2 214 x y -=的顶点到 其渐近线的距离等于 ( ) A . 25 B . 45 C D 【答案】C 3 .(2013年普通高等学校招生统一考试广东省数学(理)卷(纯WORD 版))已知中心在原点的双曲线C 的 右焦点为()3,0F ,离心率等于3 2,在双曲线C 的方程是 ( ) A .2214x = B .22 145x y -= C .22 125x y -= D .22 12x = 【答案】B 4 .(2013年高考新课标1(理))已知双曲线C :22221x y a b -=(0,0a b >>) ,则C 的渐近 线方程为 ( ) A .1 4y x =± B .13 y x =± C .12 y x =± D .y x =± 【答案】C 5 .(2013年高考湖北卷(理))已知04 π θ<<,则双曲线22 12 2:1cos sin x y C θθ-=与22 2222:1sin sin tan y x C θθθ -=的 ( ) A .实轴长相等 B .虚轴长相等 C .焦距相等 D .离心率相等 【答案】D 6 .(2013年高考四川卷(理))抛物线2 4y x =的焦点到双曲线2 2 13 y x -=的渐近线的距离是 ( ) 一、选择题: 1.(2007安徽文)椭圆1422=+y x 的离心率为( ) (A ) 23 (B )43 (C )22 (D )32 2.(2008上海文)设p 是椭圆2212516x y +=上的点.若12F F ,是椭圆的两个焦点,则12PF PF +等于( ) A .4 B .5 C .8 D .10 3.(2005广东)若焦点在x 轴上的椭圆1 22 2=+m y x 的离心率为21,则m=( ) A .3 B .23 C .38 D .32 4.(2006全国Ⅱ卷文、理)已知△ABC 的顶点 B 、 C 在椭圆x 23 +y 2=1上,顶点A 是椭圆的一个焦点,且椭圆的另外一个焦点在BC 边上,则△ABC 的周长是( ) (A )2 3 (B )6 (C )4 3 (D )12 5.(2003北京文)如图,直线022:=+-y x l 过椭圆的左焦点F 1和 一个顶点B ,该椭圆的离心率为( ) A .51 B .52 C .55 D .552 6.(2002春招北京文、理)已知椭圆的焦点是 F 1、F 2、P 是椭圆上的一个动点.如果延 长F 1P 到Q ,使得|PQ|=|PF 2|,那么动点Q 的轨迹是( ) (A )圆 (B )椭圆 (C )双曲线的一支 (D )抛物线 7.(2004福建文、理)已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点,过F 1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点,若△ABF 2是正三角形,则这个椭圆的离心率是( ) (A )32 (B ) 33 (C )22 (D )23 8.(2007重庆文)已知以F 1(-2,0),F 2(2,0)为焦点的椭圆与直线043=++y x 有且仅有一个交点,则椭圆的长轴长为( )历年圆锥曲线高考题附答案
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