第一章． 波动方程
§1 方程的导出。定解条件
1．细杆（或弹簧）受某种外界原因而产生纵向振动，以u(x,t)表示静止时在x 点处的点在时刻t 离开原来位置的偏移，假设振动过程发生的张力服从虎克定律，试证明),(t x u 满足方程
()??
? ??????=??? ??????x u E x t u x t ρ 其中ρ为杆的密度，E 为杨氏模量。
证：在杆上任取一段，其中两端于静止时的坐标分别为 x 与+x x ?。现在计算这段杆在时刻t 的相对伸长。在时刻t 这段杆
两端的坐标分别为：
),();,(t x x u x x t x u x ?++?++
其相对伸长等于 ),()],([)],([t x x u x
x
t x u x t x x u x x x ?+=??-+-?++?+θ
令
0→?x ，取极限得在点x 的相对伸长为x u ),(t x 。由虎克定律，张力),(t x T 等于
),()(),(t x u x E t x T x =
其中)(x E 是在点x 的杨氏模量。
设杆的横截面面积为),(x S 则作用在杆段),(x x x ?+两端的力分别为
x u x S x E )()(x u x x S x x E t x )()();,(?+?+).,(t x x ?+
于是得运动方程
tt u x x s x ???)()(ρx ESu t x =),(x x x x x ESu x x |)(|)(-?+?+
利用微分中值定理，消去x ?，再令0→?x 得
tt u x s x )()(ρx
??
=
x ESu () 若=)(x s 常量，则得
22)(t
u x ??ρ=))((x u x E x ????
即得所证。
2．在杆纵向振动时，假设(1)端点固定，(2)端点自由，(3)端点固定在弹性支承上，试分别导出这三种情况下所对应的边界条件。
解：(1)杆的两端被固定在l x x ==,0两点则相应的边界条件为 .0),(,0),0(==t l u t u
(2)若l x =为自由端，则杆在l x =的张力x u x E t l T ??=)(),(|l x =等于零，因此相应的边界条件为 x
u
??|l x ==0 同理，若0=x 为自由端，则相应的边界条件为
x u
??∣00
==x (3)若l x =端固定在弹性支承上，而弹性支承固定于某点，且该点离开原来位置的偏移由函数)(t v 给出，则在l x =端支
承的伸长为)(),(t v t l u -。由虎克定律有
x
u
E
??∣)](),([t v t l u k l x --== 其中k 为支承的刚度系数。由此得边界条件
)(
u x u σ+??∣)(t f l x == 其中E
k =σ 特别地，若支承固定于一定点上，则,0)(=t v 得边界条件
)(
u x
u
σ+??∣0==l x 。 同理，若0=x 端固定在弹性支承上，则得边界条件
x u
E
??∣)](),0([0t v t u k x -== 即 )(u x
u
σ-??∣).(0t f x -= 3. 试证：圆锥形枢轴的纵振动方程为 2
222)1(])1[(t u h x x u h x x E ??-=??-??ρ 其中h 为圆锥的高(如图1)
证：如图，不妨设枢轴底面的半径为1，则x 点处截面的半径l 为：
h
x l -
=1 所以截面积2
)1()(h
x x s -
=π。利用第1题，得
])1([)1()(22
22x
u
h x E x t u h x x ??-??=??-ππρ 若E x E =)(为常量，则得
2
222)1(])1[(t u
h x x u h x x E ??-=??-??ρ 4. 绝对柔软逐条而均匀的弦线有一端固定，在它本身重力作用下，此线处于铅垂平衡位置，试导出此线的微小横振动方程。 解：如图2，设弦长为l ，弦的线密度为ρ，则x 点处的张力)(x T 为
)()(x l g x T -=ρ
且)(x T 的方向总是沿着弦在x 点处的切线方向。仍以),(t x u 表示弦上各点在时刻t 沿垂直于x 轴方向的位移，取弦段),,(x x x ?+则弦段两端张力在u 轴方向的投影分别为
)(sin ))(();(sin )(x x x x l g x x l g ?+?+--θρθρ
其中)(x θ表示)(x T 方向与x 轴的夹角
又 .
sin x u
tg ??=≈θθ 于是得运动方程
x u
x x l t
u x ???+-=???)]([22ρ∣x u x l g x x ??--?+][ρ∣g x ρ
利用微分中值定理，消去x ?，再令0→?x 得
])[(2
2x u
x l x g t
u ??-??=??。 5. 验证 2
221),,(y x t t y x u --=
在锥2
22y x t -->0中都满足波动方程
222222y
u x u t u ??+??=??
证：函数2
221),,(y x t t y x u --=
在锥222y x t -->0内对变量t y x ,,有
二阶连续偏导数。且 t y x t t
u ?---=??-2
3
222)( 225
222232222
2)(3)(t y x t y x t t u ?--+---=??-
-
)2()
(2222
3222
y x t y x t
++?--=-
x y x t x
u
?--=??-
2
3222)(
()
(
)
2252222
32222
23x y x t y x t x
u -
--
-+-
-=??
(
)()222252222y x t y x t -+--=-
同理 ()()222252222
22y x t y x t y
u
+---=??-
所以
(
)().2222
22
2
522
22
22
2t u
y
x t
y x t y
u x
u ??=++-
-=??+
??-
即得所证。
6. 在单性杆纵振动时,若考虑摩阻的影响,并设摩阻力密度涵数(即单位质量所受的摩阻力)
与杆件在该点的速度大小成正比(比例系数设为b), 但方向相反,试导出这时位移函数所满足的微分方程.
解: 利用第1题的推导,由题意知此时尚须考虑杆段()x x x ?+,上所受的摩阻力.由题设,单位质量所受摩阻力为t
u b
??-,故()x x x ?+,上所受摩阻力为
()()t
u
x
x s x p b ?????- 运动方程为: ()()()()t u x x s x b x x u ES t u ES t u
x x s x x x ????-??-???
????=???
??+ρρ2
2
利用微分中值定理，消去x ?,再令0→?x 得
()()()().22t
u
x s x b x u ES x t u x s x ??-?
?? ??????=??ρρ 若=)(x s 常数，则得
()()t u
x b x u E x t
u x ??-??? ??????=??ρρ22
若 ()()则得方程令也是常量是常量
,.,2
ρ
ρρE
a E x E x ===
.2
2
222x u a t u b t u ??=??+??
§2 达朗贝尔公式、 波的传抪
1. 证明方程
()常数01112
22
22 h t
u
h x a x u h x x ????? ??-=????????????? ??-?? 的通解可以写成
()()x
h at x G at x F u -++-=
其中F,G 为任意的单变量可微函数,并由此求解它的初值问题:
()().,
:0x t
u
x u t ψ=??==? 解：令()v u x h =-则
()()()??
?
?
???+-=??-??+=??-x v u x h x
u x h x
v u x
u x h 2,
))(()()()()[(2222x
v u x h x u x h x u x h x v u x u x h x ??+-=??-+??-+??+-=??-?? 又 ()2222t
v
t u x h ??=??-
代入原方程，得
()()222221t
v x h a x v x h ??-=??-
即 2
22221t v a x v ??=?? 由波动方程通解表达式得
()()()at x G at x F t x v ++-=,
所以 ()()()
x h at x G at x F u -++-=
为原方程的通解。 由初始条件得
()()()[])1(1
x G x F x h x +-=
?
()()()[]
x aG x aF x
h x //1
+--=ψ
所以 ()()()
())2(1
c d h a x G x F x
x +-=-?ααψα
由)2(),1(两式解出
()()()()()2
2121c
d h a x x h x F x
x o
+-+-=?ααψα?
()()()()()2
2121c d h a x x h x G x
x o
+---=?ααψα? 所以 )]()()()[()
(21
),(at x at x h at x at x h x h t x u +--+-+--=
??
+
?+---at x at
x h x h a ()()(21
ψα.)ααd
即为初值问题的解散。
２．问初始条件)(x ?与)(x ψ满足怎样的条件时，齐次波动方程初值问题的解仅由右传播波组成？ 解：波动方程的通解为
u=F(x-at)+G(x+at)
其中F ，G 由初始条件)(x ?与)(x ψ决定。初值问题的解仅由右传播组成，必须且只须对 于任何t x ,
有 G(x+at)≡常数.
即对任何x, G(x)≡C 0
又 G （x ）=?-+x x a
C
d a x 02)(21)(21ααψ?
所以)(),(x x ψ?应满足
+
)(x ??=x
x C d a 01)(1ααψ（常数） 或 '?(x)+)(1
x a
ψ=0
3.利用传播波法，求解波动方程的特征问题（又称古尔沙问题）
???
?
???==??=??=+=-).()(0022
222x u x u x u a t u at x at x ψ? ())0()0(ψ?= 解：u(x,t)=F(x-at)+G(x+at) 令 x-at=0 得 )(x ?=F （0）+G （2x ） 令 x+at=0 得 )(x ψ=F （2x ）+G(0) 所以 F(x)=)2
(x ψ-G(0). G （x ）=)2
(x ?-F(0). 且 F （0）+G(0)=).0()0(ψ?= 所以 u(x,t)=(
?)2at x ++)2
(at
x -ψ-).0(? 即为古尔沙问题的解。
4．对非齐次波动方程的初值问题
???
????+∞<<-∞=??==+∞<<-∞>=??-??)
()(),(,0),0()
,(22222x x t u x u t x t t x f x u a t u ψ?
证明：
（1） 如果初始条件在x 轴的区间[x 1,x 2]上发生变化，那末对应的解在区间[1x ，
2x ]的影响区域以外不发生变化；
（2） 在x 轴区间[2,1x x ]上所给的初始条件唯一地确定区间[21,x x ]的决定区 域中解的数值。
证：（1） 非齐次方程初值问题的解为 u(x,t)=?+-+
++-at
x at
x a at x at x 21)]()([21
??+ααψd )(
+??-+--t
t a x t a x d d f a 0
)()(.),(21
τττξτξ 当初始条件发生变化时，仅仅引起以上表达式的前两项发生变化，即仅仅影晌到相应齐 次方程初值的解。
当),(x ?)(x ψ在[2,1x x ]上发生变化，若对任何t>0,有x+at
x x at x t
之外，解u(x,t)不发生变化。 （1）得证。
(2). 区间[21,x x ]的决定区域为 at x x at x t -≤≤+>21,0 在其中任给（x,t ）,则
21x at x at x x ≤+<-≤
故区间[x-at,x+at]完全落在区间[21,x x ]中。因此[21,x x ]上所给的初绐 条件)(),(x x βψ?代入达朗贝尔公式唯一地确定出u(x,t)的数值。
5. 若电报方程
()GRu u LG CR CLu u t tt xx +++=
()为常数G R L C ,,,具体形如
()()()at x f t t x u -=μ,
的解（称为阻碍尼波），问此时G R L C ,,,之间应成立什么关系？ 解 ()()()at x f t t x u -=μ,
()()at x f t u xx -''=μ
()()()()at x f t a at x f t u t -'--'=μμ
()()()()()()at x f t a at x f t a at x f t u tt -''+-''--''=μμμ22
代入方程，得
()
()()()()()()()()()()()()()()0
212
=-++'++''+-'++'--''-at x f t GR t GR t LG CR t CL at x f t LG CR a t aCL at x f t CLa
μμμμμμμ
由于f 是任意函数，故f f f ''',,的系数必需恒为零。即
()()()()()()()???
??=+'++''=++'=-00
2012t GR t LG CR t CL t LG CR t CL CLa μμμμμ 于是得
21a
CL =
()()()LG CR a t u t u +-='2
2
所以 ()()t LG CR a e
c t u +-
=2
02
代入以上方程组中最后一个方程，得
()()024222
4≡++-
+?GR LG CR a LG CR a CL 又 ()GRCL LG CR CL a =+=
2
24
1,1得 即
()02=-LG CR
最后得到
R
G L C =
6．利用波的反射法求解一端固定并伸长到无穷远处的弦振动问题
()()()()()??
?
??≥=∞<<=====00,000,002t t u x x u x u u a u t t t xx tt ψ? 解：满足方程及初始条件的解，由达朗贝尔公式给出：
()()()()()?+-
+-++=at
x at
x d a at x at x t x u ααψ??21
21,。
由题意知()()x x ψ?,仅在∞< 件，得 ()()()()?-++=at at d at at ααψ??21 0。 因此对任何t 必须有 ()()at at --=?? ()0=?-at at d ααψ 即()()x x ψ?,必须接奇函数开拓到0<<∞-x 上，记开拓后的函数为()()x x ψΦ,； ()()()()()()?? ?<-->=ψ?? ?<-->=Φ0, 0, 0,0, x x x x x x x x x x ψψ?? 所以 ()()()()()?+- +-++=at x at x d a at x at x t x u ααψ??21 21, ()()()()()()()()??? ??? ?>> +--+><+-++=??+-+-0,, 2121 0,,21 2 1x a x t d a x at at x x a x t d a at x at x at x x at at x at x ααψ??ααψ??。 7．求方程???? ????+??+??=??222222 222z u y u x u a t u 形如()t r f u ,=的解（称为球面波）其中222z y x r ++=。 解： ()t r f u ,= x r r u x r r u x u ???=?????=?? ` ???? ??-??+???=??322222221r x r r u r x r u x u ???? ? ?-??+???=??322222221r y r r u r y r u y u )1(32 22222 2r z r r u r z r u z u -??+???=?? 代入原方程，得 )]3([3 22222 222r z y x r r u r u a t u ++-??+??=?? 即 )2(2 2 222r u r r u a t u ??++??=?? 令 v ru =，则 222222222,r v r u r u r r v u r u r t v t u r ??=??+????=+????=??， 代入方程，得 v 满足 22 222r v a t v ??=?? 故得通解 )()(),(at r G at r F t r v ++-= 所以 )()([1 at r G at r F r u ++-= 8．求解波动方程的初值问题 ??? ??? ?=??==??-??==x t u u x t x u t u t t sin |,0sin 002222 解：由非齐次方程初值问题解的公式得 τξξτααττd d d t x u t t x t x t x t x ???-+--+-+=0) () (sin 21 sin 21),( =?----+---+-t d t x t x t x t x 0 ))](cos())([cos(21 )]cos()[cos(21ττττ =? -+t d t x t x 0 )sin(sin sin sin τττ =t t t x t x 0)]sin()cos([sin sin sin τττ-+-+ =x t sin 即 x t t x u sin ),(= 为所求的解。 9．求解波动方程的初值问题。 ??? ? ?? ?+==++===200222 11|,0|)1(x u u x tx u a u t t t xx tt 解： ???-+--+-+++=t t a x t a x at x at x d d d a t x u 0) ()(2 22) 1(1121),(τττξξξτ αα ?+---+=+at x at x at x arctg at x arctg d )()(11 2αα ???-+---+--+-=+t t a x t a x t t a x t a x d d d 0) ()(20)()(22])1(21[)1(τξττξξξτττττ =?-++--++t d t a x t a x 02 2]))((1)((1[21τττττ =??-++-+++---x at x x at x du u a u at x du u a u at x )1(21)1(212 222 =???+--++++++--at x at x x at x x at x u du a t u du za t du u u x a 2222 121121 =22 22) (1)(1ln 41))()((2at x at x a at x arctg at x arctg a x -+++++-- + )]()(2[2at x arctg at x arctg arctgx a t +--- =)()(21)()(212 2at x arctg at x a at x arctg at x a ++--- +222) (1)(1ln 41at x at x a arctgx a t -++++ 所以 } )(1) (1ln 212)()2()()2{(41),(22 2 23at x at x atarctgx at x arctg a at x at x arctg a at x a t x u -++++++??-+----= §3混合问题的分离变量法 1. 用分离变量法求下列问题的解： (1) ??? ? ? ? ???==<<-=??=??=??==0),(),0()0()1(,3sin 0 22 222t l u t u l x x x t u l x u x u a t u o t t π 解：边界条件齐次的且是第一类的，令 )()(),(t T x X t x u = 得固有函数x l n x X n π sin )(=，且 t l an B t l an A t T n n n π πsin cos )(+=，)2,1( =n 于是 ∑∞ =+= 1 sin )sin cos (),(n n n x l n t l an B t l an A t x u π ππ 今由始值确定常数n A 及n B ，由始值得 ∑∞==1 sin 3sin n n x l n A l x π π ∑ ∞ ==-1 sin )(n n x l n B l an x l x π π 所以 ,13=A ,0=n A 当3≠n ?-=l n xdx l n x l x an B 0 sin )(2π π ??? ? ?+???? ??+-=x l n x n l x l n n l x l n x n l l an ππππππ π cos sin cos 2 22 22 )} ))1(1(4cos 2sin 2443 333222n l an l x l n n l x l n n x l --=--π π π ππ 因此所求解为 ∑∞ =--+ =1 4 4 3 s i n s i n )1(143s i n 3c o s ),(n n x l n t l an n a l x l t l a t x u π ππππ (2) ??? ? ? ????=??==??==??-??0)0,(,)0,(0),(0 ),0(022222x t u x l h x u t l t u t u x u a t u 解：边界条件齐次的，令 )()(),(t T x X t x u = 得：?? ?='==+''0)(, 0)0(0 l X X X X λ (1) 及 )2(02 =+''X a T λ。 求问题(1)的非平凡解，分以下三种情形讨论。 1 0<λ时，方程的通解为 x x e C e C x X λλ-- -+=21)( 由0)0(=X 得021=+c c 由0)(='l X 得021=----- -l l e C e C λλλλ 解以上方程组，得01=C ，02=C ，故0<λ时得不到非零解。 2 0=λ时，方程的通解为x c c x X 21)(+= 由边值0)0(=X 得01=c ，再由0)(='l X 得02=c ，仍得不到非零解。 30>λ时，方程的通解为 x c x c x X λλsin cos )(21+= 由0)0(=X 得01=c ，再由0)(='l X 得 0cos 2 =l c λλ 为了使02≠c ，必须 0cos =l λ，于是 2 212?? ? ??+==πλλl n n )2,1,0( =n 且相应地得到x l n x X n π21 2sin )(+= )2,1,0( =n 将λ代入方程(2)，解得 t a l n B t a l n A t T n n n ππ21 2sin 212cos )(+++= )2,1,0( =n 于是 ∑∞ =++++=0 21 2sin )212sin 212cos (),(n n n x l n t a l n B t a l n A t x u πππ 再由始值得 ??? ????++=+=∑∑∞ =∞ =00 212sin 2120212sin n n n n x l n B a l n x l n A x l h πππ 容易验证? ?? ???+x l n π212sin )2,1,0( =n 构成区间],0[l 上的正交函数系： ?????=≠=++?n m l n m xdx l n x l m l 当当2 0212sin 212sin 0ππ 利用? ?? ??? +x l n π212sin 正交性，得 xdx l n x l h l A l n π212sin 20+=? l x l n n l x l n x n l l h 0 2 2212sin )12(2212cos )12(22??????? ? ??+??? ? ??++++-=ππππ n n h )1()12(82 2-+= π 0=n B 所以 ∑∞ =+++-=02 221 2s i n 212c o s ) 12()1(8),(n n x l n t a l n n h t x u πππ 2。设弹簧一端固定，一端在外力作用下作周期振动，此时定解问题归结为 ??? ? ???=??===??=??0)0,()0,(sin ),(, 0),0(22 222x t u x u t A t l u t u x u a t u ω 求解此问题。 解：边值条件是非齐次的，首先将边值条件齐次化，取t x l A t x U ωsin ),(=，则),(t x U 满足 0),0(=t U ，t A t l U ωsin ),(= 令),(),(),(t x v t x U t x u +=代入原定解问题，则),(t x v 满足 )1()0,(0)0,(0),(,0),0(sin 22 2 222??? ????-=??===+??=??x l A x t v x v t l v t v t x l A x v a t v ωωω ),(t x v 满足第一类齐次边界条件，其相应固有函数为x l n x X n π sin )(=，)2,1,0( =n 故设 )2(sin )(),(1 ∑∞ == n n x l n t T t x v π 将方程中非齐次项t x l A ωωsin 2及初始条件中x l A ω-按? ?? ???x l n πsin 展成级数，得 ∑∞ ==1 2sin )(sin n n x l n t f t x l A π ωω 其中 ?=l n xdx l n t x l A l t f 02sin sin 2)(π ωω l x l n n l x l n x n l t l A 0 22222sin cos sin 2??? ?? ?+-=ππππ ωω x l A t n A n ωωπω--=+sin )1(212 x l n n n π ψsin 1 ∑∞ == 其中 n l n n A xdx l n x l A l )1(2sin 202-=-=?πω πωψ 将(2)代入问题(1)，得)(t T n 满足??? ??? ?-='=-=?? ? ??+''+n n n n n n n A T T t n A t T l an t T )1(2)0(,0)0(sin )1(2)()(12 2 π ω ωπωπ 解方程，得通解2212)(sin )1(2sin cos )(?π?π?ππ-?-++=+l an t n A t l an B t l an A t T n n n n 由始值，得0=n A 222222231)(2)1(}))((2)1(2)1{(1l an al A l an n l A n A an B n n n n ?π??ππ?π?π--=----=+ 所以 ∑∞ =--=12 2sin ) ()(2)1({),(n n t l an l an al A t x v π ?π? x l n t n l an l A n π ?π ?π?sin }sin 1)()(2)1(22221?--++ x l n t n l t l an a l an l A n π ?π?π?π?sin }sin sin {) ()()1(212 22∑∞ =---= 因此所求解为 ∑∞ =--+=12 22 ) ()()1(2sin ),(n l an l A t x l A t x u ?π?? x l n t nt l t l an a π ??πsin }sin sin {-? 3．用分离变量法求下面问题的解 ??? ? ? ? ???===??=+??=??====0||0 ||00022 222l x x t t u u t u u bshx x u a t u 解：边界条件是齐次的，相应的固有函数为 ),2,1(sin )( ==n x l n x X n π 设 ∑∞ == 1 sin )(),(n n x l n t T t x u π 将非次项bshx 按}{sin x l n π 展开级数，得 ∑∞ ==1 sin )(n n x l n t f bshx π 其中 shl bn l n xdx l n shx l b t f n l n πππ2)1(sin 2)(2221 0+-==+? 将 ∑∞ == 1 s i n )(),(n n x l n t T t x u π 代入原定解问题，得)(t T n 满足 ???? ?='=+-=+''+0 )0(,0)0(2)1()()()(2 221 2n n n n n T T shl l n bn t T l an t T πππ 方程的通解为 shl l n bn an l t l an B t l an A t T n n n n 12222)1(2)(sin cos )(+-+?++=ππ πππ 由0)0(=n T ，得：shl l n bn an l A n n 12 222)1(2)(+-+-=ππ π 由0)0(='n T ，得0=n B 所以 )cos 1()1(2)1()(12222t l an shl l n bn an t T n n ππππ--+=+ 所求解为 ∑∞=+-+-=12 22122sin )cos 1() ()1(2),(n n x l n t l an l n n shl a bl t x u π πππ 4．用分离变量法求下面问题的解： ???? ? ????=??===>??=??+??====0|,|0||)0(20002 2 222t t l x x t u x l h u u u b x u a t u b t u 解：方程和边界条件都是齐次的。令 )()(),(t T x X t x u = 代入方程及边界条件，得 λ-==+X X T a bT T " 2 '"2 0)()0(==l X X 由此得边值问题 ?? ?===+0 )()0(0"l X X X X λ 因此得固有值2 ?? ? ??==l n n πλλ，相应的固有函数为 ,2,1,sin )(==n x l n x X n π 又)(t T 满足方程 022 ' " =++T a bT T λ 将n λλ=代入，相应的)(t T 记作)(t T n ，得)(t T n 满足 022 ' " =?? ? ??++T l an bT T n n π 一般言之，b 很小，即阻尼很小，故通常有 ,2,1,2 2=?? ? ?? 故得通解 )sin cos ()(t B t A e t T n n n n bt n ωω+=- 其中 2 2 b l an n -?? ? ??=πω 所以 x l n t B t A e t x u n n n n n bt πωωsin )sin cos (),(1 +=∑∞ =- 再由始值，得 ??? ????+-==∑∑∞ =∞=x l n B bA x l n A x l h n n n n n n πωπsin )(0sin 11 所以 10 2)1(2sin 2+-==?n l n n h xdx l n x l h A ππ 1)1(2+-= =n n n n n n bh A b B πωω 所求解为 .sin )sin (cos )1(2),(1 1x l n t b t n e h t x u n n n n n bt π ωωωπ +-= ∑∞ =+- §4 高维波动方程的柯西问题 1． 利用泊松公式求解波动方程 )(2zz yy xx tt u u u a u ++= 的柯西问题 ?????=+===0 0230t t t u z y x u 解：泊松公式 ds r a ds r a t u Sat M Sat M ????+?? ??????????=ψ πφπ4141 现 z y x 23,0+==φψ 且 ????=Φ=Φ ππ ?θθ?θ020|sin ),,(at r s d d r r ds r M at 其中 )cos ,sin sin ,cos sin (),,(θ?θ?θ?θr z r y r x r +++Φ=Φ )cos ()sin sin ()cos sin (2 3 θ?θ?θr z y r x ++++= ?θ?θ?θ33222 2 2 2 3 cos sin cos sin 3cos sin 3r xr r x z y x ++++= θ?θ?θcos sin sin sin sin 2222r y rz yzr +++ θ?θ?θθcos sin sin sin cos sin 2232r yr ++ 计算 ??Φππ ?θθ?θ020 sin ),,(d d r r ) (4)cos (2)(sin )(23020 02323z y x r z y x r d d r z y x +=-?+=+? ? πθπψθθππ π ????==?ππ π π ??θθ?θθ?θ020 0202 2 22 0cos sin 3sin cos sin 3d d r x d d r r x ? ???=?ππ π π??θθ?θθ?θ020 20 2 3 3 2 22cos sin 3sin cos sin 3d d xr d d r xr π πφφθθ200 33]2sin 4 12[]cos cos 31[3+?-=xr ?θθ?θπππ d d r r xr sin cos sin 433020 3 ?=?? 3320 4 4 4cos sin xr d d r π??θ θπ π ==? ? ????==?π π ππ ??θθ?θθ?θ0 202 2 020 0sin sin 2sin sin sin 2d d yzr d d r yzr z r z r d d rz d d r z r 320 03320 20 3 020 2 2 2 3 4]2sin 412[]cos cos 31[sin sin sin sin sin π??θθ? ?θθ?θθ?θπππ π ππ=-?-==????? ????==?π π ππ ?θθθ?θθθ0 20 2 2020 2 0sin cos sin cos d d r y d d r r y ????==??π π ππ ??θθθ? θθ?θθ20 23020 2 sin cos sin 2sin sin sin 2d d yr d d r coc yr ??? ? =?=?ππ ππ ??θθθ?θθθ?θ0 20 234020 2230 sin cos sin sin cos sin sin d d r d d r r 所以 ] 3 1 [4]344)(4[22222233 22z t a t xa z y x at z r r z y x r ds r Sat M at r +++=+++=Φ??=ππππ u(x,y,z)= ??Φ ???Sat M r a t π41 z t a x t a z y x z t a t xa z ty tx t 2222232232233] 3 1 [+++=+++??= 即为所求的解。 2． 试用降维法导出振动方程的达朗贝尔公式。 解：三维波动方程的柯西问题 ???? ?==++===) ,,(),,,() (002 z y x u z y x u u u u a u t t t zz yy xx tt φ? 当u 不依赖于x,y,即u=u(z),即得弦振动方程的柯西问题： ?????=====)(),(0 02z u z u u a u t t t zz tt φ? 利用泊松公式求解 ????+??= Sat M Sat M ds r a ds r a t u ? π?π41}41{ 因只与z 有关，故 ???? ?+= Sat M d d at at at z ds r ππ ?θθ??? 200 2sin )() cos ( θθθ??π π d at at z d sin )cos (20 ??+= 令α= atcos +z ,α d = d atsin - 得 ???+-=Sat M at z at z d ds r αα?π? )(2 所以 ??+-+-+??=at z at z at z at z d a d a t t z u ααφαα?)(21 )(21),( ?+-+-++=at z at z d a at z at z ααφ??)(21)}()({21 即为达郎贝尔公式。 3. 求解平面波动方程的柯西问题： () () ?????=+=+===0 ||0202t t t yy xx tt u y x x u u u a u 解： 由二维波动方程柯西问题的泊松公式得： ()() ()() ???? ? ∑----?? =??m at d d y x t a t a t y x u ηζηζηζ?π2 2 2 2,21,, () ()() ?? ???∑----+ ?? m at d d y x t a ηζηζηζψ2 2 22, () ? ?-++?? = π θθθ?π20 2 2 20 sin ,cos 21rdrd r t a r y r x t a at 又 ()()()θθθθ?sin cos cos sin ,cos 2r r y x r x r y r x ++++=++ ()()()θθ2 2 2 cos cos 2r y x r y x x y x x +++++= ()()θθθθθcos sin cos 2sin cos 2 2 ++++xr r x ()θθθsin cos cos 2 3 ++r 因为 ???===π ππ πθθθθθθ20 2 20 20 c o s ,0s i n ,0c o s d d d .0sin cos ,0cos ,0cos sin 20 220 3 20 ???===π π πθθθθθθθθd d d 所以 () ?? -++at rdrd r t a r y r x 020 2 22sin ,cos θθθ?π () ()? ? -++-+=at at r t a dr r y x r t a rdr y x x 0 2 2 232 2 22 32ππ 又 ? =--=-at at at r t a r t a rdr 0 02222 22| ? ?-+--=-at at at rdr r t a r t a r r t a dr r 0 222022222 2232| ()33023 2223 2|32t a r t a a =--= 于是 ()()()?? ? ??+++??= y x a y x ax t a t y x u 332221,,332 πππ ()()y x t a y x x +++=32 22 即为所求的解。 4. 求二维波动方程的轴对称解（即二维波动方程的形如()t r u u ,=的解， )22y x r += . 解： 解法一：利用二维波动方程柯西问题的积分表达式 ()()()()()()()()()]` ,,[21,,2 2 22 2 2????∑ ----+ ∑ ----??= m att m att y x at d d y x at d d t a t y x u ηζη ζηζψηζη ζηζ?π 由于u 是轴对称的(),,t r u u =故其始值?,ψ只是r 的函数，()r u t ?===0|，, ()()().,|222 2 0t a y x r u m at t t ≤-+-=∑=ηζψ为圆又记圆上任一点()ηζ,p 的矢径为ρ 22ηζρ+=圆心),(y x M 其矢径为22y x r +=记()()22y x s -+-= ηζ则由余弦定理知，θρcos 2222rs s r -+=，其 中θ为oM 与Mp 的夹角。选极坐标),(θs 。 ()()( )θ?ρ?ηζ?cos 222rs s r -+==， ()()()θψρψηζψcos 2,2 2 rs s r -+== 于是以上公式可写成 ()( )()??? ?--+??= ? ?θθ ?ππ sdsd s at rs s r t a t y x u at 20 2 2220 cos 221,, ( )()?? ?--++? ? θ θ ψπ sdsd s at rs s r at 20 2 2220 cos 2 由上式右端容易看出，积分结果和),(t r 有关，因此所得的解为轴对称解，即 ??-++??= at sdsd s at rs s r t a t r u 0202222)(cos 2[21),(πθθ?π + ])(cos 2(020 2 2 22θθ ψπ sdsd s at r s r at ?? --+ 解法二：作变换θcos r x =,θsin r y =.波动方程化为 )1(22 222r u r r u a t u ??-+??=?? 用分离变量法，令u(r,t)=R(r)T(t).代入方程得 ?????=++=+0 2'"22"R r rR R r t a T λλ 解得： ?????=+=) ()(s i n c o s )(0r J r R t a B t a A t T λλλλλ 令 μλ=叠加得 du J t B t A t r u )()sin )(cos )((),(00 μγαμμαμμ? ∞ += 5.求解下列柯西问题 ?? ? ??=??=++===),(),,()(0022y x r v y c v v c v v a v t t yy xx tt ψ? [提示：在三维波动方程中，令),,(),,(t y x v e z y x u a cz =] 解：令 ),, (),,,(t y x v e t z y x u a cz = 则 yy a cz yy xx a cz xx tt a cz tt v e u v e u v e u = = =,, v e a c u a cz zz 22= 代入原问题，得 ?????==++===) ,(),,()(002y x e u y x e u u u u a u a cz t t a cz t zz yy xx tt ψ? ds a ds a t t z y x u M at a c M at a c S r e S r e ????+??=) ,(41}41{),,,(),(ηξψζ ζ ππηξ? 22222)()()(:t a z y x S M at =-+-+-ζηξ 记+M at S 为上半球，-M at S 为下半球， ∑ M at 为M at S 在ηξo 平面上的投影。 ηξηξd d y x t a at ds 2 2 2 2) ()(----= ,则 ?? ?? ??+- += M at M at M at S S S a c a c a c ds e r ds e r ds r e ),(1 ),(1) ,(ηξ?ηξ?ηξ?ξ ξζ ?? ∑----= ----+M at d d y x t a e y x t a z a c ηξηξ?ηξηξ),()()(2 2 2 2))()((2222 ηξηξ?ηξηξd d y x t a e M at y x t a z a c ),() ()(2 2 22))()((2222?? ∑----+ ----- ηξηξ?ηξηξd d y x t a y x t a a c ch e M at a cz ),() ()()()(222222222?? ∑--------= θθθ?πrdrd r y r x r t a r a c t c ch e at a cz )sin ,cos ()(2200 2 2 22 22++--=?? 所以 +--??= ?? x r t a r a c t c ch e a t z y x u at a cz ()(21{),,(200 2 2 22 22?ππ ++})sin ,cos θθθtftf r y r θθθψππrdrd r y r x r t a r a c t c ch e a at a cz )sin ,cos ()(21200 2 2222 2++--?? 于是 +--?????=??x r t a r a c t c ch a t t y x v at ()(21),,(20022222 2?ππ }+--+ ++?? x r t a r a c t c ch a rdrd r y r at ()(21 )sin ,cos 200 2 2 22 22ψπθθθπ θθθrdrd r y r )sin ,cos ++ 即为所求的解。 6．试用4?第七段中的方法导出平面齐次波动方程 ),,()(2t y x f u u a u yy xx tt ++= 在齐次初始条件 0,00 ====t t t u u 下的求解公式。 解：首先证明齐次化原理：若),,,(τt y x w 是定解问题 ?????=+===) ,,(,0) (2 ττy x f w w w w a w t o t yy xx tt 的解，则? =t d t y x w t y x u 0 ),,,(),,(ττ即为定解问题 ?????==++===0 ,0) ,,()(002 t t t yy xx tt u u t y x f u u a u 的解。 显然，00 ==t u ττττd t w d t w t y x w t u t t t ????=??+=??=0 0),,,( （ 0==τt w ）.所以 00 =??=t t u 又 ττd t w t w t u t t ???+??=??=0222 2 τττ d y w y u d x w x u d y w t y x f t t t ?????=????=????+=22 22 22 22 0220,),,( 因为w 满足齐次方程，故u 满足 )(),,(2222222y x u a t y x f t u u ??+??+=?? 齐次化原理得证。由齐次方程柯西问题解的泊松公式知 ηζηζττηζπττd d y x t a f a t y x w M t a ?? ∑-----= -) (2 2 2 2 ) ()()() ,,(21),,,( 所以 θττθθπτπ rdrd r t a r y r x f a t y x u t t a ??? ---++= )(0 20 2 2 2 )() ,sin ,cos (21 ),,( 复变函数与积分变换 综合试题（一） 一、单项选择题(本大题共10小题，每小题2分，共20分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1．设cos z i =，则（ ） A ． Im 0z = B ．Re z π= C ．0z = D ．argz π= 2．复数3(cos ,sin )55z i ππ =--的三角表示式为（ ） A ．443(cos ,sin )55i ππ- B ．443(cos ,sin )55i ππ- C ．44 3(cos ,sin )55i ππ D ．44 3(cos ,sin )55 i ππ-- 3．设C 为正向圆周|z|=1，则积分 ?c z dz ||等于（ ） A ．0 B ．2πi C ．2π D ．－2π 4．设函数()0 z f z e d ζζζ= ? ，则()f z 等于（ ） A ．1++z z e ze B ．1-+z z e ze C ．1-+-z z e ze D ．1+-z z e ze 解答： 5．1z =-是函数 4 1) (z z cot +π的（ ） A ． 3阶极点 B ．4阶极点 C ．5阶极点 D ．6阶极点 6．下列映射中，把角形域0arg 4 z π << 保角映射成单位圆内部|w|<1的为（ ） A ．4411z w z +=- B ．44-11z w z =+ C ．44z i w z i -=+ D ．44z i w z i +=- 7. 线性变换[]i i z z i z a e z i z i z a θω---= =-++- ( ） A.将上半平面Im z >0映射为上半平面Im ω>0 B.将上半平面Im z >0映射为单位圆|ω|<1 C.将单位圆|z|<1映射为上半平面Im ω>0 D.将单位圆|z|<1映射为单位圆|ω|<1 8.若()(,)(,)f z u x y iv x y =+在Z 平面上解析，(,)(cos sin )x v x y e y y x y =+，则(,)u x y = （ ） A.(cos sin )y e y y x y -) B.(cos sin )x e x y x y - 《数学物理方程》模拟试题 一、填空题（3分10=30分） 1.说明物理现象初始状态的条件叫（ ），说明边界上的约束情况的条件叫（ ），二者统称为 （ ）. 2.三维热传导齐次方程的一般形式是：（ ） . 3 .在平面极坐标系下，拉普拉斯方程算符为 （ ） . 4.边界条件 是第 （ ）类边界条件，其中为边界. 5.设函数的傅立叶变换式为，则方程的傅立叶变换 为 （ ） . 6.由贝塞尔函数的递推公式有 （ ） . 7.根据勒让德多项式的表达式有= （ ）. 8.计算积分 （ ） . 9.勒让德多项式的微分表达式为（ ） . ?f u n u S =+??)(σS ),(t x u ),(t U ω2 2 222x u a t u ??=??=)(0x J dx d )(3 1)(3202x P x P +=?-dx x P 2 1 12)]([)(1x P 10.二维拉普拉斯方程的基本解是（） . 二、试用分离变量法求以下定解问题（30分）：1. 2.? ? ? ? ?? ? ? ? < < = ? ? = = = > < < ? ? = ? ? = = = = 3 0,0 , 3 ,0 0 ,3 0, 2 3 2 2 2 2 2 ,0 x t u x x t x x u t u t t x u u u ? ? ? ? ?? ? ? ? = = = > < < ? ? = ? ? = = = x t x x u t u u u u t x x 2 ,0 ,0 ,4 0, 4 2 2 3. ???? ? ????<<=??===><<+??=??====20,0,8,00,20,162002022 222x t u t x x u t u t t x x u u u 最新数学物理方程期末试卷 出卷人：欧峥 1、长度为 l 数学物理方程期末试卷sin A t ω的力的作用，右端系在弹性系数为 k 的弹性支承上面；初始位移为(),x ?初始速度为().x ψ试写出相应的定解问题.(10分) 2、长为l 的均匀杆，侧面绝热，一端温度为0度，另一端有已知的恒定热流进 入，设单位时间流入单位截面积的热量为q ，杆的初始温度分布是() 2x l x -，试 写出其定解问题.(10分) 3、试用分离变量法求定解问题(10分)： .? ?? ?? ?? ??===><??? ==?????=+= ????? 5、利用行波法，求解波动方程的特征问题（又称古尔沙问题）(10分)： ???? ???==??=??=+=-).()(002 22 22x u x u x u a t u at x at x ψ? ())0()0(ψ?= 6、用达朗贝尔公式求解下列一维波动方程的初值问题（10分） ?????=??=>+∞<<-∞+??=??==0 ,2sin 0,,cos 0022 2 22t t t u x u t x x x u a t u 7、用积分变换法求解定解问题（10分）： ???? ???=+=>>=???==,1,10,0,1002y x u y u y x y x u 8、用积分变换法求解定解问题(10分)： ?? ?==>∈=0)0,(,sin )0,(0,,2x u x x u t R x u a u t xx tt 9、用格林函数法求解定解问题(10分)： 222200, y 0, () , .y u u x y u f x x =???+= 数学物理方程第二版答案 第一章． 波动方程 §1 方程的导出。定解条件 4. 绝对柔软逐条而均匀的弦线有一端固定，在它本身重力作用下，此线处于铅垂平衡位置，试导出此线的微小横振动方程。 解：如图2，设弦长为l ，弦的线密度为ρ，则x 点处的张力)(x T 为 )()(x l g x T -=ρ 且)(x T 的方向总是沿着弦在x 点处的切线方向。仍以),(t x u 表示弦上各点在时刻t 沿垂直于x 轴方向的位移，取弦段),,(x x x ?+则弦段两端张力在u 轴方向的投影分别为 )(sin ))(();(sin )(x x x x l g x x l g ?+?+--θρθρ 其中)(x θ表示)(x T 方向与x 轴的夹角 又 . sin x u tg ??=≈θθ 于是得运动方程 x u x x l t u x ???+-=???)]([22ρ∣x u x l g x x ??--?+][ρ∣g x ρ 利用微分中值定理，消去x ?，再令0→?x 得 ])[(2 2x u x l x g t u ??-??=??。 5. 验证 2 221),,(y x t t y x u --= 在锥2 22y x t -->0中都满足波动方程 222222y u x u t u ??+??=??证：函数2221),,(y x t t y x u --=在锥2 22y x t -->0内对变量t y x ,,有 二阶连续偏导数。且 t y x t t u ?---=??-2 3 222)( 22 52222 32222 2) (3) (t y x t y x t t u ?--+---=??- - )2()(2 2223 222y x t y x t ++?--=- x y x t x u ?--=??- 23 222)( ()() 225222232222 23x y x t y x t x u - ---+--=?? ( )()222 252222y x t y x t -+- -=- 同理 ()()222 25 2222 22y x t y x t y u +---=??- 所以 ()() .22 22 2225222222 2t u y x t y x t y u x u ??=++--=??+ ??- 即得所证。 §2 达朗贝尔公式、 波的传抪 3.利用传播波法，求解波动方程的特征问题（又称古尔沙问题） ??? ? ???==??=??=+=-).()(0022222x u x u x u a t u at x at x ψ? ())0()0(ψ?= 解：u(x,t)=F(x-at)+G(x+at) 令 x-at=0 得 )(x ?=F （0）+G （2x ） 令 x+at=0 得 )(x ψ=F （2x ）+G(0) 孝感学院 解：设)()(t T x X u =代于方程得： 0''=+X X λ，0)1(''2=++T a T λ(8’) x C x C X λλsin cos 21+=，t a C t a C T 22211sin 1cos λλ+++= 由边值条件得： 22)( ,0l n C πλ== l x n t a A t a B u n n n πλλcos )1sin 1cos (221+++=∑∞= ?= l n dx l x n x l B 0cos )(2π?，?+=l n dx l x n x a l A 02cos )(12πψλ(15’) 证明：设代入方程： ?? ???====-=).(),(),(),0()(02102t g t l v t g t v x v v a v t xx t ? 设21,v v 都是方程的解设21v v v -=代入方程得： ?? ???====-=0),(,),0(0002t l v t v v v a v t xx t 由极值原理得0=v 唯一性得证。(8’)由 ≤-21v v ετ≤-2 1v v ，稳定性得证由u e v ct -=知u 的唯一性稳定性 得证。(15’) 解：设),(ηξp 是第一象限内一点，在该点放置单位点电荷，其对称点),(ηξ-p 格林函数： 22)()(1ln 21),,,(ηξπηξ-+-= y x y x G 22)()(1ln 21ηξπ++--y x (8’) ] )[(22220ηξπη+-=??-=??=x y G n G y 方程的解：dx x x f u ?+∞∞-+-=22)()(),(ηξπ ηηξ(15’) 五、证明下列初边值问题解的唯一性.(20分) ),,,()(2t z y x f u u u a u zz yy xx tt =++- ),,,(0z y x u t ?== ),,,(0 z y x u t t ψ== ).,,,(t z y x g u =Γ 其中,),,(,0Ω∈>z y x t Γ为Ω的边界. 解:设21,u u 都是方程的解设21u u u -=代入方程得： 0)(2=++-zz yy xx tt u u u a u 00==t u 00 ==t t u .0=Γu 设dxdydz u u u a u t E z y x t ])([21)(22222???Ω +++= =dt t dE )(dxdydz u u u u u u a u u zt z yt y xt x tt t ])([22???Ω +++ dxdydz u u u a u u zz yy xx tt t ])([[2 2??? Ω++-= 0=(10’) 数学物理方程模拟试卷 一、写出定解问题（10分） 设枢轴长为l ，建立枢轴纵振动在下列情形下的运动方程： （a ） 在x=0固定，在x=l 作用力F ，在t=0时刻作用力突然停止 （b ） 在x=l 一端是平衡位置，而从t=0时刻作用力 F(t) 解：（a ）() ()()() ???? ?????≥='=≤≤==><< ,13c x y dx dy +-=→= 令???-=+=y x y x 3ηξ ???===-=======∴0,1,30,1,1yy xy xx y x yy xy xx y x ηηηηηξξξξξ （2） ??? ????++++=+++++=++++=+=+=yy yy y y y y yy xy xy y x x y y x y x xy xx xx x x x xx y y y x x x u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u ηξηηξξηξηηηξηξξξηξηηξξηξηξηξηηξηξξηξηηξηξξηξηηξηξξηξηξ22222)(2, （3） 将（2）代入（3），可得 ?????????+-=-+=++=-=+=ηη ξηξξηηξηξξηηξηξξηξηξu u u u u u u u u u u u u u u u u u yy xy xx y 2329632 （4） 把（4）代入（1），可得 0666236364296=-+++-+--++++ηξηξηηξηξξηηξηξξηηξηξξu u u u u u u u u u u u u 0816=+∴ξξηu u 即 02 1=+ξξηu u 这就是我们所求的标准的双曲型方程。 三、（每小题10分，共20分） ①证明：)52()52(),(t x G t x F t x y -++=为方程2222254x y t y ??=??的通解。 ②求满足条件：0),(),0(==t y t y π，x x y 2sin )0,(=，0)0,(=x y t 的特解。 解：①设v t x u t x =-=+52,52，得 )()(v G u F y +=， )5()('5)('-?+?=????+????=??v G u F t v v G t u u F t y )('5)('5v G u F -=， （1） 嘉应学院物理系《数学物理方法》B课程考试题 一、简答题（共70 分） 1、试阐述解析延拓的含义。解析延拓的结果是否唯一（ 6 分） 解析延拓就是通过函数的替换来扩大解析函数的定义域。替换函数在原定义域上与替换前的函数 相等。 无论用何种方法进行解析延拓，所得到的替换函数都完全等同。 2、奇点分为几类如何判别（6分） 在挖去孤立奇点Zo 而形成的环域上的解析函数F（ z）的洛朗级数，或则没有负幂项，或则 只有有限个负幂项，或则有无限个负幂项，我们分别将Zo 称为函数 F（ z）的可去奇点，极点及本性奇点。 判别方法：洛朗级数展开法 A，先找出函数f(z)的奇点； B，把函数在的环域作洛朗展开 1）如果展开式中没有负幂项，则为可去奇点； 2）如果展开式中有无穷多负幂项，则为本性奇点； 3）如果展开式中只有有限项负幂项，则为极点，如果负幂项的最高项为，则为m阶奇点。 3、何谓定解问题的适定性（ 6 分） 1，定解问题有解； 2，其解是唯一的； 3，解是稳定的。满足以上三个条件，则称为定解问题 的适定性。 4、什么是解析函数其特征有哪些（ 6 分） 在某区域上处处可导的复变函数 称为该区域上的解析函数. 1）在区域内处处可导且有任意阶导数 . u x, y C1 2）这两曲线族在区域上正交。 v x, y C2 3）u x, y 和 v x, y 都满足二维拉普拉斯方程。(称为共轭调和函数 ) 4）在边界上达最大值。 4、数学物理泛定方程一般分为哪几类波动方程属于其中的哪种类型（ 6 分） 数学物理泛定方程一般分为三种类型：双曲线方程、抛物线方程、椭圆型偏微分方程。波动方程属于其中的双曲线方程。 5、写出 (x) 挑选性的表达式（ 6 分） f x x x 0 dx f x 0 f x x dx f 0 f (r ) ( r R 0 ) dv f ( R 0 ) 、写出复数 1 i 3 的三角形式和指数形式（ 8 分） 6 2 cos isin 1 3 2 i 2 三角形式： 2 sin 2 cos 2 1 i 3 cos i sin 2 3 3 1 指数形式：由三角形式得： 3 i z e 3 、求函数 z 在奇点的留数（ 8 分） 7 1)( z 2) 2 (z 解： 奇点：一阶奇点 z=1；二阶奇点： z=2 Re sf (1) lim (z 1) z 1 ( z 1)( z 2) 2 z 1 2011-2012 一、选择题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 在下列每小题的4个备选项中，只有一项是最符合题意的，请将代码 （A 、B 、C 、D ）填在题后相应的括号内。 1、偏微分方程与（ ）结合在一起，统称为定解问题. (A)定解条件； (B)初始条件； (C)边界条件； (D)以上均不正确. 2、下列偏微分方程中，属于二阶、线性、齐次的是（ ）. (A) 2260u u u u t x ??++-=??； (B) 2222cos 40?+-?-=?u t t u x x ； (C) 2 90???+-= ???? u xu t t ； (D) 22 60??+?-?=??t u u e xt u x t . 3、以下说法中错误的是（ ）. (A) Bessel 方程222'''()0x y xy x n y ++-=通解为()(),n n y AJ x BJ x -=+其中A, B 为任意常数； (B) n 阶Bessel 函数()x J n 的实零点关于原点是对称分布的； (C) 半奇数阶的第一类Bessel 函数都是初等函数； (D) 当0x =时，n 阶Bessel 函数()x J n 为有限值，而()x Y n 为无穷大. 4、定解问题的适定性是指解的（ ）. (A) 存在性、唯一性、收敛性； (B) 存在性、稳定性、收敛性； (C) 存在性、唯一性、稳定性； (D)唯一性、稳定性、收敛性. 5、设3 R Ω?为有界区域，边界Γ为光滑的封闭曲面，则下面说法错误的是（ ）. (A) 若2 ()()u C C ∈ΩΩ，则狄氏问题20,|u u f Γ??=Ω?=?在内 的解是唯一确定的； (B) 若2 1() ()u C C ∈ΩΩ，则2u u dV dS n Ω Γ??=?????? ； (C) 牛曼内问题20,|1u u n Γ??=Ω? ??=???在内有解且不唯一； 数学物理方程期末考试试题及答案 一、求解方程（15分） ?????===-=+=-. )()(0002x u x u u a u at x at x xx tt ψ? 其中)0()0(ψ?=。 解：设? ??+=-at x at x ηξ＝则方程变为： 0=ξηu ，)()(at x G at x F u ++-=(8’)由边值条件可得： )()0()2(),()2()0(x G x F x x G F ψ?=+=+ 由)0()0(ψ?=即得： )0()2 ()2( ),(?ψ?--++=at x at x t x u 。 二、利用变量分离法求解方程。（15分） ?????==≥==∈=-====)(,)(, 0,0,),(,00002x u x u t u u Q t x u a u t t t l x x xx tt ψ? 其中l x ≤≤0。0>a 为常数 解：设)()(t T x X u =代于方程得： 0''=+X X λ，0''2=+T a T λ(8’) x C x C X λλsin cos 21+=，at C at C T λλsin cos 21+= 由边值条件得： 21)( ,0l n C πλ== l x n at A at B u n n n πλλsin )sin cos (1+=∑∞= ?=l n dx l x n x l B 0sin )(2π?，?=l n dx l x n x an A 0sin )(2πψπ 三．证明方程02=--cu u a u xx t )0(≥c 具有狄利克雷边界条件的初边值问题解的唯一性与 稳定性. (15分) 证明：设u e v ct -=代入方程： ?? ???====-=).(),(),(),0()(02102t g t l v t g t v x v v a v t xx t ? 设21,v v 都是方程的解设21v v v -=代入方程得： ?? ???====-=0),(,),0(0002t l v t v v v a v t xx t 由极值原理得0=v 唯一性得证。(8’)由 ≤-21v v ετ≤-2 1v v ，稳定性得证由u e v ct -=知u 的唯一性稳定性 得证。 四．求解二维调和方程在半平面上的狄利克雷问题(15分). ,0,0>=++=?z u u u u zz yy xx ).(0x f u z == 解：设),,(ζηξp 是上半平面内一点，在该点放置单位点电荷，其对称点 ),,(?ηξ-p 格林函数： 222)()()(141 ),,,(?ηξπ ηξ-+-+--=z y x y x G 222)()()(141 ?ηξπ++-+-+z y x 《数学物理方程》习题精练5 (椭圆型方程的边值问题) 内容 1.分离变量法 2.调和函数的性质与极值原理 3.Dirichlet 问题的Green 函数法 1. 分离变量法 (1)Poisson 方程边值问题的“特解法” Poisson 方程描述稳恒场的分布情况，对于Poisson 方程的边值问题，虽不像波动方程和热传导方程那样有所谓的Duhamel 原理，但若能找到Poisson 方程的一个特解，常可把它转化成Laplace 方程的边值问题来求解，这便是所谓的“特解法”. 今有边值问题 (*)??????∈=∈=+?D y x y x u D y x y x f u u D yy xx ),( ),,(),( ),,(? 设),(y x w 是Poisson 方程的一个解(特解)，),(y x u 是所给边值问题的解.令 ),(),(),(y x w y x v y x u +=， 则),(y x v 满足如下的边值问题 (**)??????∈-=∈=+??D y x w y x v D y x v v D D yy xx ),( ,),(),( ,0? 亦即),(y x v 是域D 上的调和函数.这样，就把Poisson 方程的边值问题(*)转化成Laplace 方程的边值问题(**).对于特殊的区域D ，我们还可以用分离变量法来求解(**). 例1 求解Poisson 方程的边值问题 ??? ? ?=<+-=+=+.0)( ,2 22222a y x yy xx u a y x xy u u 解 ①先寻求Poisson 方程的一个特解),(y x w . 显然，xy xy y x -=+- ?)](12 1[33 ，于是得到一个特解为 θθρcos sin 12 1 )(121)(121),(42233-=+-=+-=xy y x xy y x y x w . 令 θθθρ2sin 24 1 cos sin 1214-=-=+=v v w v u ， 则新的未知函数v 满足如下的定解问题： 2012学年第二学期数学与物理方程期末试卷 出卷人：欧峥 1、长度为 l 的弦左端开始时自由，以后受到强度为sin A t ω的力的作用，右端系在弹性系数为k 的弹性支承上面；初始位移为(),x ?初始速度为().x ψ试写出相应的定解问题。(10分) 2、长为l 的均匀杆，侧面绝热，一端温度为0度，另一端有已知的恒定热流进入，设单位时间流入单位截面积的热量为q ，杆的初始温度分布是() 2 x l x -，试写出其定解问题。(10分) 3、试用分离变量法求定解问题(10分)： .? ?? ?? ?? ??===><??? ==?????=+= ????? 5、利用行波法，求解波动方程的特征问题（又称古尔沙问题）(10分)： ???????==??=??=+=-).()(002 22 2 2x u x u x u a t u at x at x ψ? ())0()0(ψ?= 6、用达朗贝尔公式求解下列一维波动方程的初值问题（10分） ?????=??=>+∞<<-∞+??=??==0 ,2sin 0,,cos 0022 2 22t t t u x u t x x x u a t u 7、用积分变换法求解定解问题（10分）： ???? ???=+=>>=???==,1,10,0,1002y x u y u y x y x u 8、用积分变换法求解定解问题(10分)： ?? ?==>∈=0)0,(,sin )0,(0,,2x u x x u t R x u a u t xx tt 9、用格林函数法求解定解问题(10分)： 22220 0, y 0, () , .y u u x y u f x x =???+= 数学物理方程习题解 习题一 1，验证下面两个函数： (,)(,)sin x u x y u x y e y == 都是方程 0xx yy u u += 的解。 证明：（1 ）(,)u x y = 因为322 2 22 2222 2222 22 322 222 2222 2222 222222 222222 1 1()22 () 2()()11()22()2()()0()() x xx y yy xx yy x u x x y x y x y x x x y u x y x y y u y x y x y x y y y y x u x y x y x y y x u u x y x y =-? ?=- +++-?-=-=++=-??=-+++-?-=-=++--+=+=++ 所以(,)u x y =是方程0xx yy u u +=的解。 （2）(,)sin x u x y e y = 因为 sin ,sin cos ,sin x x x xx x x y yy u y e u y e u e y u e y =?=?=?=-? 所以 sin sin 0x x xx yy u u e y e y +=-= (,)sin x u x y e y =是方程0xx yy u u +=的解。 2，证明：()()u f x g y =满足方程 0xy x y uu u u -= 其中f 和g 都是任意的二次可微函数。 证明：因为 ()()u f x g y = 所以 ()(),()()()() ()()()()()()()()0 x y xy xy x y u g y f x u f x g y u f x g y uu u u f x g y f x g y g y f x f x g y ''=?=?''=?''''-=?-??= 得证。 3， 已知解的形式为(,)()u x y f x y λ=+，其中λ是一个待定的常数，求方程 430xx xy yy u u u -+= 的通解。 解：令x y ξλ=+则(,)()u x y f ξ= 所以2 (),()x xx u f u f ξλξλ'''=?=? (),(),()xy y yy u f u f u f λξξξ'''''=?== 将上式带入原方程得2 (43)()0f λλξ''-+= 因为f 是一个具有二阶连续可导的任意函数，所以2 -430 λλ+=从而12 =3,1λλ=， 故1122(,)(3),(,)()u x y f x y u x y f x y =+=+都是原方程的解，12,f f 为任意的二阶可微函数，根据迭加原理有 12(,)(3)()u x y f x y f x y =+++为通解。 4，试导出均匀等截面的弹性杆作微小纵振动的运动方程（略去空气的阻力和杆的重量）。 解：弹性杆的假设，垂直于杆的每一个截面上的每一点受力与位移的情形都是相 同的，取杆的左端截面的形心为原点，杆轴为x 轴。在杆上任意截取位于 [,]x x x +?的一段微元，杆的截面积为s ，由材料力学可知，微元两端处的相对伸长（应 变）分别是 (,)u x t x ??与(,)u x x t x ?+??，又由胡克定律，微元两端面受杆的截去部分的拉力分别为()(,)u SE x x t x ??与()(,)u SE x x x x t x ?+?+??，因此微元受杆的截去部分的作用力的合力为：()(,)()(,)u u SE x x x x t SE x x t x x ??+?+?-?? 天津工业大学（2009—2010学年第一学期） 《数学物理方法》(A)试卷解答2009.12 理学院) 特别提示：请考生在密封线左侧的指定位置按照要求填写个人信息,若写在其它处视为作弊。本试卷共有四道大题,请认真核对后做答,若有疑问请与监考教师联系。 一 填空题(每题3分,共10小题) 1. 复数 i e +1 的指数式为：i ee ； 三角形式为：)1sin 1(cos i e + . 2. 以复数 0z 为圆心，以任意小正实数ε 为半径作一圆，则圆内所有点的集合称为0z 点的 邻域 . 3. 函数在一点可导与解析是 不等价的 (什么关系？). 4. 给出矢量场旋度的散度值，即=????f ? 0 . ------------------------------- 密封线 ---------------------------------------- 密封线 ---------------------------------------- 密封线--------------------------------------- 学院 专业班 学号 姓名 装订线 装订线 装订线 5. 一般说来，在区域内，只要有一个简单的闭合曲线其内有不属 于该区域的点，这样的区域称为 复通区域 . 6. 若函数)(z f 在某点0z 不可导，而在0z 的任意小邻域内除0z 外处处可导，则称0z 为)(z f 的 孤立奇点 . 7. δ函数的挑选性为 ? ∞ ∞ -=-)()()(00t f d t f ττδτ. 8. 在数学上，定解条件是指 边界条件 和 初始条件 . 9. 常见的三种类型的数学物理方程分别为 波动方程 、 输运方程 和 稳定场方程 . 10. 写出l 阶勒让德方程: 0)1(2)1(222 =Θ++Θ -Θ-l l dx d x dx d x . 二 计算题(每小题7分，共6小题) 第一章． 波动方程 §1 方程的导出。定解条件 1．细杆（或弹簧）受某种外界原因而产生纵向振动，以u(x,t)表示静止时在x 点处的点在时刻t 离开原来位置的偏移，假设振动过程发生的张力服从虎克定律，试证明),(t x u 满足方程 其中ρ为杆的密度，E 为杨氏模量。 证：在杆上任取一段，其中两端于静止时的坐标分别为 x 与+x x ?。现在计算这段杆在时刻t 的相对伸长。在时刻t 这段杆两端的坐标分别为： 其相对伸长等于 ),()],([)],([t x x u x x t x u x t x x u x x x ?+=??-+-?++?+θ 令 0→?x ，取极限得在点x 的相对伸长为x u ),(t x 。由虎克定律，张力),(t x T 等于 其中)(x E 是在点x 的杨氏模量。 设杆的横截面面积为),(x S 则作用在杆段),(x x x ?+两端的力分别为 于是得运动方程 tt u x x s x ???)()(ρx ESu t x =),(x x x x x ESu x x |)(|)(-?+?+ 利用微分中值定理，消去x ?，再令0→?x 得 若=)(x s 常量，则得 22)(t u x ??ρ=))((x u x E x ???? 即得所证。 2．在杆纵向振动时，假设(1)端点固定，(2)端点自由，(3)端点固定在弹性支承上，试分别导出这三种情况下所对应的边界条件。 解：(1)杆的两端被固定在l x x ==,0两点则相应的边界条件为 (2)若l x =为自由端，则杆在l x =的张力x u x E t l T ??=) (),(|l x =等于零，因此相应的边界条件为 x u ??|l x ==0 同理，若0=x 为自由端，则相应的边界条件为 x u ??∣00==x (3)若l x =端固定在弹性支承上，而弹性支承固定于某点，且该点离开原来位置的 偏移由函数)(t v 给出，则在l x =端支承的伸长为)(),(t v t l u -。由虎克定律有 x u E ??∣)](),([t v t l u k l x --== 数学物理方程 李明奇主编 电子科技大学出版社 2-3章部分习题答案 习题2.1 4.一根长为L 、截面面积为1的均匀细杆，其x=0端固定，以槌水平击其x=L 端，使之获得冲量I 。试写出定解问题。 解：由Newton 定律： tt x x Sdxu t x YSu t dx x SYu ρ=-+),(),(，其中，Y 为杨氏模量，S 为均匀细杆的横截面积，x u 为相对伸长率。 化简之后，可以得到定解问题为：??? ? ??? -==========)(|,0|0 |,0|)/(0002L x I u u u u u a u Y u t t t L x x x xx xx tt δρρ。 习题2.2 3.设物体表面的绝对温度为u ，它向外辐射出去的热量，按斯特凡-波尔兹曼定律正比于4u ，即dSdt ku dQ 4=，设物体与周围介质之间，只有热辐射而无热传导，周围介质的绝对温度为已知函数),,,(t z y x ?， 。试写出边界条件。 解：由Fourier 热传导实验定律dSdt n u k dQ ??-=1 ，其中1k 称为热传导系数。可得dSdt u k dSdt n u k )(441?-=??-， 即可得边界条件： )(44 1 ?-- =??u k k n u s 。 习题2.3 4.由静电场Gauss 定理??????= ?V s dV dS E ρε0 1 ，求证：0 ερ = ??E ，并由此导出静电势u 所满足的Poisson 方程。 证明：?????????= ?=?V V s dV dV divE dS E ρε0 1 ， 所以可以得到：0 ερ =divE 。 由E divE ??=与u E -?=，可得静电势u 所满足的Poisson 方程： 2 ερ -=?u 。 习题2.4 2.求下列方程的通解： （2）：;032=-+yy xy xx u u u （5）：;031616=++yy xy xx u u u 解：（2）：特征方程：03)(2)(2=--dx dy dx dy 解得： 1-=dx dy 和3=dx dy 。 那么令：???-=+=y x y x 3η?， ? ? ????-=??????=1311y x y x Q ηη??， 所以： ?? ? ???=??????-??????-??????-=??????=??????-088011313111131112212 1211 2212 1211 Q a a a a Q a a 01=-=??c L b ，02=-=ηηc L b ，0==f c 。 可得：0=?ηu 。解之得)3()(21y x y x u -++=??。 （5）：特征方程：03)(16)( 162=+-dx dy dx dy 2012学年第二学期数学与物理方程期末试卷 出卷人：欧峥 1、长度为 l 的弦左端开始时自由，以后受到强度为sin A t ω的力的作用，右端系在弹性系数为k 的弹性支承上面；初始位移为(),x ?初始速度为().x ψ试写出相应的定解问题。(10分) 2、长为l 的均匀杆，侧面绝热，一端温度为0度，另一端有已知的恒定热流进入， 设单位时间流入单位截面积的热量为q ，杆的初始温度分布是()2 x l x -，试写出其定解问题。(10分) 3、试用分离变量法求定解问题(10分)： .?????????===>< 222sin cos ,(0,0)(0,)3,(,)6 4(,0)31,(,0)sin tt xx t u a u x x x l t l l u t u l t x u x u x x l l πππ?=+<<>???==?????=+= ????? 5、利用行波法，求解波动方程的特征问题（又称古尔沙问题）(10分)： ???????==??=??=+=-).()(0 022222x u x u x u a t u at x at x ψ? ())0()0(ψ?= 6、用达朗贝尔公式求解下列一维波动方程的初值问题（10分） ?????=??=>+∞<<-∞+??=??==0,2sin 0,,cos 0022222t t t u x u t x x x u a t u 7、用积分变换法求解定解问题（10分）： ???????=+=>>=???==,1, 10 ,0,1002y x u y u y x y x u 8、用积分变换法求解定解问题(10分)： 数学物理方程试题（一） 一、填空题（每小题5分，共20分） 1.长为π的两端固定的弦的自由振动，如果初始位移为x x 2sin ，初始速度为 x 2cos 。则其定解条件是 2. 方程 03=??-??x u t u 的通解为 3.已知边值问题???===+0 )()0(0 )()('"πλX X x X x X ，则其固有函数)(x X n = 4.方程0)(222'"2=-++y n x xy y x α的通解为 二.单项选择题（每小题5分，共15分） 1. 拉普拉斯方程02222=??+??y u x u 的一个解是（ ） （A ）xy e y x u x sin ),(= （B ）22),(y x y x u += （C ）2 21),(y x y x u += （D ）22ln ),(y x y x u += 2. 一细杆中每点都在发散热量，其热流密度为),(t x F ,热传导系数为k ，侧面绝热,体密度为ρ,比热为c ，则热传导方程是 ( ) （A ）ρc t x F x u a t u ),(222 22+??=?? （B ）ρc t x F x u a t u ),(222+??=?? (C ) ρc t x u x F a t F ),(22222+??=?? (D) ρc t x u x F a t F ),(22 2+??=?? (其中ρc k a =2) 3. 理想传输线上电压问题??? ??? ?=??=??=??=x aA t u x A x u x u a t u t ωωωsin ,cos )0,(0 2 2 222 ( 其中C L a 1 2 = )的解为（ ） （A ）)(cos ),(at x A t x u +=ω （B ）t a x A t x u ωωcos cos ),(= （C ）t a x A t x u ωωsin cos ),(= （D ）)(cos ),(t a x A t x u -=ω 第一章 §1 方程的导出。定解条件 1．细杆（或弹簧）受某种外界原因而产生纵向振动，以u(x,t)表示静止时在x 点处的点在时刻t 离开原来位置的偏移，假设振动过程发生的张力服从虎克定律，试证明),(t x u 满足方程 ()?? ? ??????=??? ??????x u E x t u x t ρ 其中ρ为杆的密度，E 为杨氏模量。 证：在杆上任取一段，其中两端于静止时的坐标分别为 x 与 +x x ?。现在计算这段杆在时刻t 的相对伸长。在时刻t 这段杆两 端的坐标分别为： ),();,(t x x u x x t x u x ?++?++ 其 相 对 伸 长 等 于 ) ,()],([)],([t x x u x x t x u x t x x u x x x ?+=??-+-?++?+θ 令 0→?x ，取极限得在点x 的相对伸长为x u ),(t x 。由虎克 定律，张力),(t x T 等于 ),()(),(t x u x E t x T x = 其中)(x E 是在点x 的杨氏模量。 设杆的横截面面积为),(x S 则作用在杆段),(x x x ?+两端的力分别为 x u x S x E )()(x u x x S x x E t x )()();,(?+?+).,(t x x ?+ 于 是 得 运 动 方 程 tt u x x s x ???)()(ρx ESu t x =),(x x x x x ESu x x |)(|)(-?+?+ 利用微分中值定理，消去x ?，再令0→?x 得 tt u x s x )()(ρx ?? = x ESu () 若=) (x s 常量，则得 22)(t u x ??ρ=))((x u x E x ???? 即得所证。 2．在杆纵向振动时，假设(1)端点固定，(2)端点自由，(3)端点固定在弹性支承上，试分别导出这三种情况下所对应的边界条件。 解：(1)杆的两端被固定在l x x ==,0两点则相应的边界条 件为 .0),(,0) ,0(==t l u t u (2)若 l x =为自由端，则杆在 l x =的张力 x u x E t l T ??=)(),(|l x =等于零，因此相应的边界条件为 x u ??|l x ==0 同理，若 0=x 为自由端，则相应的边界条件为 x u ??∣ 00 ==x (3)若l x =端固定在弹性支承上，而弹性支承固定于某 点，且该点离开原来位置的偏移由函数)(t v 给出，则在l x =端支 承的伸长为)(),(t v t l u -。由虎克定律有 x u E ??∣)](),([t v t l u k l x --== 其中k 为支承的刚度系数。由此得边界条件 )( u x u σ+??∣ ) (t f l x == 其中 E k = σ 特别地，若支承固定于一定点上，则,0)(=t v 得边界条件 )( u x u σ+??∣0==l x 。 同理，若0=x 端固定在弹性支承上，则得边界条件 x u E ??∣)](),0([0t v t u k x -== 即 )(u x u σ-??∣).(0t f x -= 3. 试证：圆锥形枢轴的纵振动方程为数学物理方法综合试题及答案
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