湖南省长沙市长郡中学等十三校联考2015届高考数学一模试卷（文科）
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（5分）已知集合A、{1，3，m}，B={3，4}，A∪B={1，2，3，4}，则实数m是（）A．1B．2C．3D．4
2．（5分）过点（2，）且平行于极轴的直线的坐标方程为（）
A．ρsinθ=B．ρcosθ=C．ρsinθ=2 D．ρcosθ=2
3．（5分）设两个命题p、q，其中p：?x∈R，不等式x2+2x﹣1＞0恒成立；q：当＜a＜1时，
函数f（x）=（4a﹣3）x在R上为减函数，则下列命题为真命题的是（）
A．p∧q B．￢p∧￢q C．￢p∧q D．p∧￢q
4．（5分）设O为坐标原点，A（1，1），若点B（x，y）满足，则取得
最小值时，点B的个数是（）
A．1B．2C．3D．无数个
5．（5分）若一个空间几何体的三个视图都是直角边长为1的等腰直角三角形，则这个空间几何体的外接球的表面积（）
A．3B．3πC．9D．9π
6．（5分）函数y=sin（πx+φ）（φ＞0）的部分图象如图所示，设P是图象的最高点，A，B是图象与x轴的交点，把∠APB=θ，则tanθ的值是（）
A．8B．C．D．
7．（5分）已知函数f（x）=x2+2bx的图象在点A（0，f（0））处的切线l与直线x﹣y+3=0平行，若数列{}的前n项和为S2015的值为（）
A．B．C．D．
8．（5分）已知||=1，||=，?=0，点C在∠AOB内，且∠AOC=60°，设=m+n （m，n∈R），则=（）
A．B．C．D．1
9．（5分）已知直线y=kx（k＞0）与函数y=|sinx|的图象恰有三个公共点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）其中x1＜x2＜x3，则有（）
A．s inx3=1 B．s inx3=x3cosx3
C．s inx3=x3tanx3D．s inx3=kcosx3
10．（5分）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，A（3，t）（t＞0）为抛物线C上一点，过点A的直线l交x轴的正半轴于点D，且△ADF为正三角形，则p=（）
A．2B．18 C．2或18 D．4或36
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）
11．（5分）复数的虚部是．
12．（5分）某校早上8：00开始上课，假设该校学生小张与小王在早上7：30～7：50之间到校，且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的，则小张比小王至少早5分钟到校的概率为（用数字作答）．
13．（5分）图1是某学生的数学考试成绩茎叶图，第1次到14次的考试成绩依次记为A1，A2，…，A14．图2是统计茎叶图中成绩在一定范围内考试次数的一个算法流程图．那么算法流程图输出的结果是．
14．（5分）设F1、F2分别为双曲线=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点．若在双曲线右
支上存在点P，满足|PF2|=|F1F2|，且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的离心率是．
15．（5分）已知函数f（x）=sinx+cosx，x∈，若存在常数m∈R，满足：对任意的x1∈，都存在x2∈，使得=m，则常数m的值是．
三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．（12分）有甲乙两个班进行数学考试，按照大于等于85分为优秀，85分以下为非优秀统计成绩后，得到如下列联表．
优秀非优秀总计
甲班10
乙班30
合计105
已知在全部105人中随机抽取1人为优秀的概率为．
（1）请完成上面的联表；
（2）根据列联表的数据，若按95%的可靠性要求，能否认为“成绩与班级有关系”；
（3）若按下面的方法从甲班优秀的学生抽取一人：把甲班10优秀的学生按2到11进行编号，先后两次抛掷一枚骰子，出现的点数之和为被抽取的序号．试求抽到6号或10号的概率．
参考公式：K2=，其中n=a+b+c+d．
概率表
P（K2≥k0）0.15 0.10 0.05 0.025 0.010
k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635
17．（12分）如图，直二面角D﹣AB﹣E中，四边形ABCD是边长为2的正方形，AE=EB，F 为CE上的点，且BF⊥平面ACE．
（1）求证：AE⊥平面BCE；
（2）求BF与平面ABCD所成的角的正弦值．
18．（12分）已知等差数列{a n}中，a1+a3+a5=21，a2+a4+a6=27，数列{b n}前n项和为S n，且
4S n=3b n﹣a1．
（1）求a n，b n；
（2）当n∈N*时，求c n=的最小值与最大值．
19．（13分）长沙市某棚户区改造建筑用地平面示意图如图所示．经规划调研确定，棚改规划建筑用地区域近似地为半径是R的圆面．该圆面的内接四边形ABCD是原棚户建筑用地，测量可知边界AB=AD=4万米，BC=6万米，CD=2万米．
（1）请计算原棚户区建筑用地ABCD的面积及圆面的半径R的值；
（2）因地理条件的限制，边界AD、DC不能变更，而边界AB、BC可以调整，为了提高棚户区改造建筑用地的利用率，请在圆弧ABC上设计一点P；使得棚户区改造的新建筑用地APCD的面积最大，并求最大值．
20．（13分）已知椭圆C：+=1和圆M：（x+3）2+（y﹣2）2=r2（r＞0）交于A，B两点．
（1）若A，B两点关于原点对称，求圆M的方程；
（2）若点A的坐标为（0，2），O为坐标原点，求△OAB的面积．
21．（13分）已知函数f（x）=lnx﹣a（x﹣1），g（x）=e x．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）当a≠0时，过原点分别作曲线y=f（x）与y=g（x）的切线l1，l2，已知两切线的斜率互为倒数，证明：＜a＜；
（3）设h（x）=f（x+1）+g（x），当x≥0，h（x）≥1时，求实数a的取值范围．
湖南省长沙市长郡中学等十三校联考2015届高考数学一模试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（5分）已知集合A、{1，3，m}，B={3，4}，A∪B={1，2，3，4}，则实数m是（）A．1B．2C．3D．4
考点：并集及其运算．
专题：集合．
分析：由A，B，以及A与B的并集，确定出m的值即可．
解答：解：∵A={1，3，m}，B={3，4}，A∪B={1，2，3，4}，
∴m=2，
故选：B．
点评：此题考查了并集及其运算，熟练掌握并集的定义是解本题的关键．
2．（5分）过点（2，）且平行于极轴的直线的坐标方程为（）
A．ρsinθ=B．ρcosθ=C．ρsinθ=2 D．ρcosθ=2
考点：简单曲线的极坐标方程．
专题：坐标系和参数方程．
分析：由点（2，）可得直角坐标．设P（ρ，θ）为所求直线上的任意一点，则，即可得出．
解答：解：由点（2，）可得直角坐标为，即．
设P（ρ，θ）为所求直线上的任意一点，
则，即．
故选：A．
点评：本题考查了直线的极坐标方程、极坐标与直角坐标的互化，考查了计算能力，属于基础题．
3．（5分）设两个命题p、q，其中p：?x∈R，不等式x2+2x﹣1＞0恒成立；q：当＜a＜1时，
函数f（x）=（4a﹣3）x在R上为减函数，则下列命题为真命题的是（）
A．p∧q B．￢p∧￢q C．￢p∧q D．p∧￢q
考点：复合命题的真假．
专题：简易逻辑．
分析：先判断出p，q的真假，再判断出复合命题的真假，从而得到答案．
解答：解：p：?x∈R，不等式x2+2x﹣1＞0不恒成立，∴命题p是假命题，
q：当＜a＜1时，0＜4a﹣3＜1，函数f（x）=（4a﹣3）x在R上为减函数，∴命题q是真命
题，
∴￢p∧q是真命题，
故选：C．
点评：本题考查了复合命题的判断，考查了不等式以及指数函数的性质，是一道基础题．4．（5分）设O为坐标原点，A（1，1），若点B（x，y）满足，则取得
最小值时，点B的个数是（）
A．1B．2C．3D．无数个
考点：向量在几何中的应用．
专题：计算题；数形结合．
分析：先画出点B（x，y）满足的平面区域，再把所求问题转化为求，x+y的最小值，借助于图象以及线性规划知识即可求得结论．
解答：解：先画出点B（x，y）满足的平面区域如图，
又因为=x+y．
所以当在点A（0，1）和点B（1，0）处时，x+y最小．
即满足要求的点有两个．
故选B．
点评：本题主要考查向量在几何中的应用以及数形结合思想的应用，是对基础知识的综合考查，属于基础题．
5．（5分）若一个空间几何体的三个视图都是直角边长为1的等腰直角三角形，则这个空间几何体的外接球的表面积（）
A．3B．3πC．9D．9π
考点：由三视图求面积、体积．
专题：空间位置关系与距离．
分析：由三视图可知：该几何体是一个三棱锥，如图所示，AB=AC=AD=1，且AB，AC，AD两两垂直．把此三棱锥补成正方体，则这个空间几何体的外接球的直径为此正方体的对角线，即可得出．
解答：解：由三视图可知：该几何体是一个三棱锥，如图所示，AB=AC=AD=1，且AB，AC，AD两两垂直．
把此三棱锥补成正方体，则这个空间几何体的外接球的直径为此正方体的对角线，
因此这个空间几何体的外接球的表面积S==3π．
故选：B．
点评：本题考查了三棱锥的三视图、正方体的外接球的表面积计算，考查了计算能力，属于基础题．
6．（5分）函数y=sin（πx+φ）（φ＞0）的部分图象如图所示，设P是图象的最高点，A，B是图象与x轴的交点，把∠APB=θ，则tanθ的值是（）
A．8B．C．D．
考点：正弦函数的图象．
专题：三角函数的图像与性质．
分析：由题意求出函数的周期与最值，过点P作PD⊥x轴于D，解出∠APD与∠BPD的正切值，利用两角和的正切函数求出tanθ．
解答：解：由题意可知T==2，最大值为1；
过P作PD⊥x轴于D，
则AD==，DB=，DP=1，
所以tan∠APD=与tan∠BPD=，
所以tanθ=tan（∠APD+∠BPD）==8．
故选：A．
点评：本题考查三角函数的图象与两角和的正切函数公式的应用，题目新，考查理解能力、计算能力．
7．（5分）已知函数f（x）=x2+2bx的图象在点A（0，f（0））处的切线l与直线x﹣y+3=0平行，若数列{}的前n项和为S2015的值为（）
A．B．C．D．
考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；二次函数的性质；数列的求和．
专题：函数的性质及应用；点列、递归数列与数学归纳法．
分析：根据导数的定义求出函数f（x）的解析式，然后求出数列的通项公式，从而得到答案．
解答：由题可知函数f（x）的图象在点A处的切线l的斜率为1，
又f′（x）=2x+2b，故f′（0）=2b=1，
即b=，从而f（x）=x2+x．
故．
所以=．
故选：D．
点评：本题主要考察导数的意义及数列的前n项和求法．
8．（5分）已知||=1，||=，?=0，点C在∠AOB内，且∠AOC=60°，设=m+n （m，n∈R），则=（）
A．B．C．D．1
考点：平面向量的基本定理及其意义．
专题：计算题；平面向量及应用．
分析：依题意建立直角坐标系，加上点C在∠AOB内的限制，可得点C的坐标，在直角三角形中由正切函数的定义可求解．
解答：解：因为?=0，所以⊥，故可建立直角坐标系，则=（1，0），=（0，
），
故=m+n=m（1，0）+n（0，）=（m，n），
又点C在∠AOB内，且∠AOC=60°，
所以tan60°=，
所以=1
故选：D．
点评：本题为向量的基本运算，建立直角坐标系，利用坐标解决问题是一种非常有效的方法，属基础题．
9．（5分）已知直线y=kx（k＞0）与函数y=|sinx|的图象恰有三个公共点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）其中x1＜x2＜x3，则有（）
A．s inx3=1 B．s inx3=x3cosx3
C．s inx3=x3tanx3D．s inx3=kcosx3
考点：正弦函数的图象；同角三角函数间的基本关系．
专题：数形结合．
分析：由题意画出函数的图象，利用导函数的函数值就是直线的斜率，求出关系式，即可得到选项．
解答：解：因为直线y=kx（k＞0）与函数y=|sinx|的图象恰有三个公共点，如图
所以函数y=|sinx|在x∈（π，2π）时函数为y=﹣sinx，它的导数为：y′=﹣cosx，
即切点C（x3，y3）的导函数值就是直线的斜率k，
所以k=，因为x∈（π，2π）
∴，
即，sinx3=x3cosx3故选B．
点评：本题是中档题，考查导数的应用，函数的作图能力，分析问题解决问题的能力，考查数形结合的思想．
10．（5分）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，A（3，t）（t＞0）为抛物线C上一点，过点A的直线l交x轴的正半轴于点D，且△ADF为正三角形，则p=（）
A．2B．18 C．2或18 D．4或36
考点：抛物线的简单性质．
专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：根据抛物线的焦半径公式，结合等边三角形的性质，求出的p值．
解答：解：当点A的横坐标为3时，过点A作AG⊥x轴于G，|AF|=3+，
∴|FD|=|AF|=3+．
∵△ADF为正三角形，
∴|FG|=|FD|=+．
又∵|FG|=|OG|﹣|OF|=3﹣，
∴3﹣=+
∴p=2．
故选：A．
点评：本题考查了抛物线的定义的应用、标准方程求法，比较基础．
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）
11．（5分）复数的虚部是﹣1．
考点：复数代数形式的乘除运算．
专题：数系的扩充和复数．
分析：直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．
解答：解：∵=，
∴复数的虚部是﹣1．
故答案为：﹣1．
点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．
12．（5分）某校早上8：00开始上课，假设该校学生小张与小王在早上7：30～7：50之间到校，且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的，则小张比小王至少早5分钟到校的概率
为（用数字作答）．
考点：几何概型．
专题：概率与统计．
分析：设小张到校的时间为x，小王到校的时间为y．（x，y）可以看成平面中的点试验的全部结果所构成的区域为Ω={（x，y|30≤x≤50，30≤y≤50}是一个矩形区域，则小张比小王至少早5分钟到校事件A={（x，y）|y﹣x≥5}作出符合题意的图象，由图根据几何概率模型的规则求解即可．
解答：解：设小张到校的时间为x，小王到校的时间为y．（x，y）可以看成平面中的点试验的全部结果所构成的区域为Ω={（x，y|30≤x≤50，30≤y≤50}是一个矩形区域，对应的面积
S=20×20=400，
则小张比小王至少早5分钟到校事件A={x|y﹣x≥5}作出符合题意的图象，则符合题意的区域为△ABC，联立得C（45，50），联立得B（30，35），则S△ABC=×15×15，
由几何概率模型可知小张比小王至少早5分钟到校的概率为=，
故答案为：．
点评：本题考查几何概率模型与模拟方法估计概率，求解的关键是掌握两种求概率的方法的定义及规则，求出对应区域的面积是解决本题的关键．
13．（5分）图1是某学生的数学考试成绩茎叶图，第1次到14次的考试成绩依次记为A1，A2，…，A14．图2是统计茎叶图中成绩在一定范围内考试次数的一个算法流程图．那么算法流程图输出的结果是10．
考点：茎叶图；循环结构．
专题：阅读型．
分析：根据流程图可知该算法表示统计14次考试成绩中大于等于90的人数，结合茎叶图可得答案．
解答：解：分析程序中各变量、各语句的作用，
再根据流程图所示的顺序，可知：
该程序的作用是累加14次考试成绩超过90分的人数；
根据茎叶图的含义可得超过90分的人数为10个
故答案为：10
点评：本题主要考查了循环结构，以及茎叶图的认识，解题的关键是弄清算法流程图的含义，属于基础题．
14．（5分）设F1、F2分别为双曲线=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点．若在双曲线右
支上存在点P，满足|PF2|=|F1F2|，且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的离心率是．
考点：双曲线的简单性质．
专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：利用题设条件和双曲线性质在三角形中寻找等量关系，得出a与b之间的等量关系，进而求出离心率．
解答：解：依题意|PF2|=|F1F2|，可知三角形PF2F1是一个等腰三角形，
F2在直线PF1的投影是其中点，
由勾股定理可知|PF1|=2=4b，
根据双曲定义可知4b﹣2c=2a，整理得c=2b﹣a，
代入c2=a2+b2整理得3b2﹣4ab=0，求得=，
∴e=═．
故答案为：．
点评：本题主要考查三角与双曲线的相关知识点，突出了对计算能力和综合运用知识能力的考查，属中档题．
15．（5分）已知函数f（x）=sinx+cosx，x∈，若存在常数m∈R，满足：对任意的x1∈，都存在x2∈，使得=m，则常数m的值是．
考点：两角和与差的正弦函数．
专题：三角函数的图像与性质．
分析：利用两角和的正弦公式化简化简解析式，由x的范围求出的范围，由正弦函数的性质求出f（x）的值域，再由题意求出m的值即可．
解答：解：由题意知，函数f（x）=sinx+cosx=，
因为x∈，所以∈，
则当x=π时，即=时，函数f（x）取最小值是=﹣1，
当x=时，即=时，函数f（x）取最大值是，
所以函数f（x）的值域是，
根据题意可得，m=，
故答案为：．
点评：本题考查正弦函数的性质，两角和的正弦公式，熟练掌握公式和定义是解题的关键．
三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．（12分）有甲乙两个班进行数学考试，按照大于等于85分为优秀，85分以下为非优秀统计成绩后，得到如下列联表．
优秀非优秀总计
甲班10
乙班30
合计105
已知在全部105人中随机抽取1人为优秀的概率为．
（1）请完成上面的联表；
（2）根据列联表的数据，若按95%的可靠性要求，能否认为“成绩与班级有关系”；
（3）若按下面的方法从甲班优秀的学生抽取一人：把甲班10优秀的学生按2到11进行编号，先后两次抛掷一枚骰子，出现的点数之和为被抽取的序号．试求抽到6号或10号的概率．
参考公式：K2=，其中n=a+b+c+d．
概率表
P（K2≥k0）0.15 0.10 0.05 0.025 0.010
k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635
考点：独立性检验．
专题：应用题．
分析：（Ⅰ）由全部105人中抽到随机抽取1人为优秀的概率为，我们可以计算出优秀人数为30，我们易得到表中各项数据的值．
（2）我们可以根据列联表中的数据，代入公式K2=计算
出k值，然后代入离散系数表，比较即可得到答案
（3）本小题考查的知识点是古典概型，关键是要找出满足条件抽到6或10号的基本事件个数，及总的基本事件的个数，再代入古典概型公式进行计算求解．
解答：解：（1）
优秀非优秀总计
甲班10 45 55
乙班20 30 50
合计30 75 105
（2）根据列联表中的数据，得到k2=≈6.109＞3.841
因此有95%的把握认为“成绩与班级有关系”．
（3）设“抽到6或10号”为事件A，先后两次抛掷一枚均匀的骰子，出现的点数为（x，y）．所有的基本事件有（1，1）、（1，2）、（1，3）、（6，6），共36个．
事件A包含的基本事件有：（1，5）、（2，4）、（3，3）、（4，2）、（5，1）（4，6）、（5，5）、（6、4），共8个
∴P（A）==．
点评：独立性检验的应用的步骤为：根据已知条件将数据归结到一个表格内，列出列联表，再根据列联表中的数据，代入公式K2=计算出k2值，然后代入离散系数表，比较即可得到答案．
17．（12分）如图，直二面角D﹣AB﹣E中，四边形ABCD是边长为2的正方形，AE=EB，F 为CE上的点，且BF⊥平面ACE．
（1）求证：AE⊥平面BCE；
（2）求BF与平面ABCD所成的角的正弦值．
考点：直线与平面所成的角；直线与平面垂直的判定．
专题：空间位置关系与距离；空间角．
分析：（1）由线面垂直得BF⊥AE，从而平面ABCD⊥平面ABE，由BC⊥AB，得BC⊥平面ABE，从而BC⊥AE，由此能证明AE⊥平面BCE．
（2）取AB的中点O，连结OC、OE，过F作FG∥OE，交OC于G，由已知得∠FBG为BF 与平面ABCD所成的角，由此能求出BF与平面ABCD所成的角的正弦值．
解答：（1）证明：∵BF⊥平面ACE，
∴BF⊥AE，
∵二面角D﹣AB﹣E为直二面角，
∴平面ABCD⊥平面ABE，
又BC⊥AB，
∴BC⊥平面ABE，
∴BC⊥AE，
又BF?平面BCE，BC?平面BCE，BF∩BC=B，
∴AE⊥平面BCE．
（2）解：取AB的中点O，连结OC、OE，过F作FG∥OE，交OC于G，
∵二面角D﹣AB﹣E为直二面角，∴平面ABCD⊥平面ABE，
∴OE⊥平面ABCD，∴FG⊥平面ABCD，
∴∠FBG为BF与平面ABCD所成的角，
由（1）知，AE⊥平面BCE，∴AE⊥EB，
又AE=EB，AB=2，AE=BE=，EO=1，
在直角三角形BCE中，CE==，
BF===，FC=，
∴FG=，
在直角三角形BGF中，sin==，
∴BF与平面ABCD所成的角的正弦值为．
点评：本题考查直线与平面垂直的判定定理、平面与平面垂直的性质定理、勾股定理、二面角的求解等基础知识和空间向量的立体几何中的应用，意在考查方程思想、等价转化思想等数学思想方法和考生的空间想象能力、逻辑推理能力和运算求解能力．
18．（12分）已知等差数列{a n}中，a1+a3+a5=21，a2+a4+a6=27，数列{b n}前n项和为S n，且
4S n=3b n﹣a1．
（1）求a n，b n；
（2）当n∈N*时，求c n=的最小值与最大值．
考点：数列递推式；等差数列的通项公式；等差数列的前n项和．
专题：综合题；等差数列与等比数列．
分析：（1）利用等差数列通项的性质，求出公差，可求等差数列{a n}的通项，利用再写一式，两式相减，可得数列{b n}是以﹣3为首项，﹣3为公比的等比数列，可求数列{b n}的通项；
（2）分类讨论，求出c n=的最小值与最大值．
解答：解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，则
∴a1+a3+a5=21，a2+a4+a6=27，
∴3a3=21，3a4=27，
∴a3=7，a4=9，
∴d=2，
∴a n=a3+2（n﹣3）=2n+1，
∴a1=3，
∴4S n=3b n﹣3，①
n=1时，4S1=3b1﹣3，
∴b1=﹣3，
n≥2时，4S n﹣1=3b n﹣1﹣3②，
∴①﹣②整理得b n=﹣3b n﹣1，
∴数列{b n}是以﹣3为首项，﹣3为公比的等比数列，
∴b n=（﹣3）n；
（2）c n==，
n为奇数时，c n=4﹣，
∵3n+1≥4，（n=1时取等号）
∴≤4﹣＜4，
n为偶数时，c n=4+，
∵3n﹣1≥8，（n=2时取等号）
∴4＜4+≤，
综上，≤c n≤，c n≠4，
∴c n=的最小值，最大值是．
点评：本题考查等差数列于等比数列的定义，通项公式，考查数列递推式，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
19．（13分）长沙市某棚户区改造建筑用地平面示意图如图所示．经规划调研确定，棚改规划建筑用地区域近似地为半径是R的圆面．该圆面的内接四边形ABCD是原棚户建筑用地，测量可知边界AB=AD=4万米，BC=6万米，CD=2万米．
（1）请计算原棚户区建筑用地ABCD的面积及圆面的半径R的值；
（2）因地理条件的限制，边界AD、DC不能变更，而边界AB、BC可以调整，为了提高棚户区改造建筑用地的利用率，请在圆弧ABC上设计一点P；使得棚户区改造的新建筑用地APCD的面积最大，并求最大值．
考点：解三角形的实际应用．
专题：应用题；综合题．
分析：（1）连接AC，根据余弦定理求得cos∠ABC的值，进而求得∠ABC，然后利用三角形面积公式分别求得△ABC和△ADC的面积，二者相加即可求得四边形ABCD的面积，在△ABC中，由余弦定理求得AC，进而利用正弦定理求得外接圆的半径．
（2）设AP=x，CP=y．根据余弦定理求得x和y的关系式，进而根据均值不等式求得xy的最大值，进而求得△APC的面积的最大值，与△ADC的面积相加即可求得四边形APCD面积的最大值．
解答：解：（1）因为四边形ABCD内接于圆，
所以∠ABC+∠ADC=180°，连接AC，由余弦定理：
AC2=42+62﹣2×4×6×cos∠ABC
=42+22﹣2×2×4cos∠ADC、
所以cos∠ABC=，∵∠ABC∈（0，π），
故∠ABC=60°．
S四边形ABCD=×4×6×sin60°+×2×4×sin120°
=8（万平方米）．
在△ABC中，由余弦定理：
AC2=AB2+BC2﹣2AB?BC?cos∠ABC
=16+36﹣2×4×6×．
AC=2．
由正弦定理==2R，
∴2R===，
∴R=（万米）．
（2）∵S四边形APCD=S△ADC+S△APC，
又S△ADC=AD?CD?sin120°=2，
设AP=x，CP=y．
则S△APC=xy?sin60°=xy．
又由余弦定理AC2=x2+y2﹣2xycos60°
=x2+y2﹣xy=28．
∴x2+y2﹣xy≥2xy﹣xy=xy．
∴xy≤28，当且仅当x=y时取等号
∴S四边形APCD=2+xy≤2+×28=9，
∴最大面积为9万平方米．
点评：本题主要考查了解三角形的实际应用，正弦定理和余弦定理的应用以及基本不等式求最值．考查了基础知识的综合运用．
20．（13分）已知椭圆C：+=1和圆M：（x+3）2+（y﹣2）2=r2（r＞0）交于A，B两点．
（1）若A，B两点关于原点对称，求圆M的方程；
（2）若点A的坐标为（0，2），O为坐标原点，求△OAB的面积．
考点：椭圆的简单性质．
专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：（1）由题意可得OM⊥AB，求出OM以及OM的斜率，再求出直线AB的斜率和方程，与椭圆的方程联立求出A、B的坐标，再求出|AB|和半径r，即可求出圆M的方程；（2）设直线AB的方程是y=kx+2，分别和椭圆、圆的方程联立求出A、B的坐标和直线AB 的方程，再由点到直线的距离公式和三角形的面积公式，求出△OAB的面积．
解答：解：（1）∵A，B两点关于原点对称，∴圆M的弦AB中点是O，则OM⊥AB，
由圆M：（x+3）2+（y﹣2）2=r2（r＞0）得，M（﹣3，2），
则点M到直线AB的距离是OM==，
且k OM=，则，∴直线AB的方程是3x﹣2y=0，
由得，A、B的坐标是，，
∴弦|AB|==，
∴r2==，
所以圆M的方程是：（x+3）2+（y﹣2）2=；
（2）由题意设直线AB的方程是y=kx+2，设A（x1，y1），B（x2，y2），
由得，（1+3k2）x2+12kx=0，
∴x1=0，x2=，
把点A（0，2）代入（x+3）2+（y﹣2）2=r2，解得r2=9，
由得，（1+k2）x2+6x=0，
∴x1=0，x2=，
由=得，2k3﹣3k2+2k﹣1=0，
则（k﹣1）（2k2﹣k+1）=0，解得k=1，
∴A（0，2），B（﹣3，﹣1），直线AB的方程是y=x+2，
则|AB|=3，点O到直线AB的距离d==，
∴△OAB的面积S==3．
点评：本题考查直线与圆、椭圆的位置关系，以及圆的弦的性质，考查化简、计算能力．
21．（13分）已知函数f（x）=lnx﹣a（x﹣1），g（x）=e x．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）当a≠0时，过原点分别作曲线y=f（x）与y=g（x）的切线l1，l2，已知两切线的斜率互为倒数，证明：＜a＜；
（3）设h（x）=f（x+1）+g（x），当x≥0，h（x）≥1时，求实数a的取值范围．
考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程．
专题：综合题；导数的综合应用．
分析：（1）利用导数求函数的单调区间，注意对参数a的分类讨论；
（2）背景为指数函数y=e x与对数函数y=lnx关于直线y=x对称的特征，得到过原点的切线也关于直线y=x对称，主要考查利用导函数研究曲线的切线及结合方程有解零点存在定理的应该用求参数的问题，得到不等式的证明；（3）考查利用导数处理函数的最值和不等式的恒成立求参数的范围问题，求导过程中用到了课后习题e x≥x+1这个结论，考查学生对课本知识的掌握程度．
解答：（1）解：依题意，函数f（x）的定义域为（0，+∞），对f（x）求导，得
．
①若a≤0，对一切x＞0有f'（x）＞0，函数f（x）的单调递增区间是（0，+∞）．