第九章系统的状态变量分析 1、内容简介 在系统的状态变量分析中，介绍了状态和状态变量的基本概念，由电路原理图建立状态方程的方法，由微分方程建立状态方程的方法，由系统模拟框图建立状态方程的方法，状态方程的时域和变换域求解，状态矢量的线性变换，系统的可控制性和可观测性的基本概念，离散系统的状态方程的建立和求解。最后介绍了用MATLAB求解系统的状态方程。 2、学习目标 1、理解系统的状态与状态空间的概念。 2、掌握连续系统由电路、微分方程、系统模拟框图和系统函数建立状态方程。 3、掌握离散系统由差分方程、系统模拟框图和系统函数建立状态方程。 4、了解状态方程求解的基本方法，能够用MATLAB求解系统的状态方程。 3、重点难点 1.系统状态和状态空间的概念。 2.如何建立系统的状态方程。 4、应用 利用MATLAB求解系统状态方程。
5、教案内容 （1） 系统的状态变量的概念 状态变量 系统在时刻0t 的状态是指一组数10()x t ，20()x t ，…， 0()n x t ，不仅要求这组数的个数是最少的，而且还可由10()x t ，20()x t ，…， 0()n x t 和0t t >时系统的输入得出0t t >时所有的状态或输出。这组变量10()x t ，20()x t ，…， 0()n x t 称为系统的状态变量。 状态空间分析法 状态空间分析法不仅适用与单输入单输出系统，而且适用于多输入多输出系统的分析，它可以描述系统的外部特性，也可以描述系统的内部特性，而且能够推广到时变系统和非线性系统。 （2）系统状态方程的一般形式 m 个输入p 个输出的N 阶连续时间系统的状态方程为N 个一阶微分方程组，可以用矩阵形式表示为 即 离散时间系统的状态方程具有与连续系统状态方程相似的形式，对于一个有m 个输入p 个输出的N 阶离散时间系统可以用N 个一阶差分方程描述，其状态方程和输出方程的一般形式为 其中A ，B ，C ，D 为状态方程和输出方程的系数矩阵。
习题八 8-1对图8-1所示电路，列写出以)(t u C 、)(t i L 为状态变量x 1、x 2，以)(1t y 、)(2t y 为输出的状态方程和输出方程。 8-2 描述某连续系统的微分方程为 )(2)()(2)()(5)()1()1()2()3(t f t f t y t y t y t y +=+++ 写出该系统的状态方程和输出方程。 8-3 描述连续系统的微分方程组如下，写出系统的状态方程和输出方程。 （1）)()()(2)(3)(211) 1(1)2(1t f t f t y t y t y +=++ )(3)()()(4)(212) 1(2)2(2t f t f t y t y t y -=++ （2）)()()(12) 1(1t f t y t y =+ )()()()()(21) 1(2) 1(1) 2(2t f t y t y t y t y =+++ 8-4 以x 1、x 2、x 3为状态变量，写出图8-3所示系统的状态方程和输出方程。 8-5 如图8-7所示连续系统的框图。
（1）写出以x 1、x 2为状态变量的状态方程和输出方程。 （2）为使该系统稳定，常数a ，b 应满足什么条件？ 8-6 描述某连续系统的系统函数为 12 492)(2 2+++=s s s s s H 画出其直接形式的信号流图，写出相应的状态方程和输出方程。 8-7 某离散系统的信号流图如图8-13所示。写出以x 1（k ）、x 2（k ）为状态变量的状态方程和输出方程。 8-8 如图8-14所示离散系统，状态变量x 1、x 2、x 3如图8-14所示。列出系统的状态方程和输出方程。
Unit 15 State Variable concepts 状态变量概念Words and Expressions
state variable 状态变量 state variable approach 状态变量方法differential equations 微分方程difference equations 差分方程 higher-order equation 高阶方程 optimal control theory 最优控制理论specified a. 指定的，给定的 Given a. 给定的 behavior of the system 系统性能accessible a. 可达的 measurable a. 可测量的 observable a. 可观测的 controllable a. 可控的 state vector 状态向量 state space 状态空间 input-output relationship 输入输出关系mathematical notation 数学符号 initial conditions 初始条件conventional techniques 常规技术 state variable representation 状态变量表示multivariable systems 多变量系统general form 通用形式 coefficient matrices 系数矩阵 state matrix 状态矩阵 companion matrix 伴随矩阵 input matrix 输入矩阵 interval n. 区间 output matrix 输出矩阵 coefficient matrix 系数矩阵 state equation of the system 系统状态方程output equation of the system 系统输出方程column vector 列向量 row vector 行向量 scalar 标量
第八章 控制系统的状态空间分析 一、状态空间的基本概念 1. 状态 反应系统运行状况，并可用一个确定系统未来行为的信息集合。 2. 状态变量 确定系统状态的一组独立（数目最少的）变量，如果给定了0t t =时刻 这组变量的值())()() (00201t x t x t x n Λ 和0t t ≥时输入的时间函数)(t u ，则系 统在0t t ≥任何时刻())()() (21t x t x t x n Λ 的行为就可完全确定。 3. 状态向量 以状态变量为元素构成的向量，即[])()()()(21t x t x t x t x n Λ =。 4. 状态空间 以状态变量())()() (21t x t x t x n Λ 为坐标的n 维空间。系统在某时 刻的状态，可用状态空间上的点来表示。 5. 状态方程 描述状态变量，输入变量之间关系的一阶微分方程组。 6. 输出方程 描述输出变量与状态变量、输入变量间函数关系的代数方程。 二、状态空间描述（状态空间表达式） 1. 状态方程与输出方程合起来称为状态空间描述或状态空间表达式，线性定常系统状 态空间描述一般用矩阵形式表示，对于线性定常连续系统有 ? ? ?+=+=)()()()()()(t Du t Cx t y t Bu t Ax t x & （8-1） 对于线性定常离散系统有 ?? ?+=+=+) ()()() ()()1(k Du k Cx k y k Hu k Gx k x （8-2） 2. 状态空间描述的建立：系统的状态空间描述可以由系统的微分方程，结构图（方框 图），状态变量图、传递函数或脉冲传递函数（Z 传递函数）等其它形式的数学模型导出。 3. 状态空间描述的线性变换及规范化（标准型） 系统状态变量的选择不是唯一的，状态变量选择不同，状态空间描述也不一样。利用线性变换可将系统的矩阵A （见式8-1）规范化为四种标准型：能控标准型、能观标准型、对角标准型、约当标准型。
第2章 “控制系统的状态空间描述”习题解答 系统的结构如图所示。以图中所标记的1x 、2x 、3x 作为状态变量，推导其状态空间表达式。其中，u 、y 分别为系统的输入、输出，1α、2α、3α均为标量。 3 x 2 x 图系统结构图 解 图给出了由积分器、放大器及加法器所描述的系统结构图，且图中每个积分器的输出即为状态变量，这种图形称为系统状态变量图。状态变量图即描述了系统状态变量之间的关系，又说明了状态变量的物理意义。由状态变量图可直接求得系统的状态空间表达式。 着眼于求和点①、②、③，则有 ①：2111x x x +=α& ②： 3222x x x +=α&③：u x x +=333α& 输出y 为1y x du =+，得 1112223331000100 1x a x x a x u x a x ?? ?????? ????????=+???????????????????????? &&& []123100x y x du x ?? ??=+?? ???? 已知系统的微分方程 (1) u y y y y 354=+++&&&&&& ；(2) u u y y -=+&&&&&&32； (3) u u y y y y 75532+=+++&&&&&&&&& 。试列写出它们的状态空间表达式。 (1) 解 选择状态变量1y x =，2y x =&，3y x =&&，则有：
1223 31231 543x x x x x x x x u y x =??=?? =---+??=?&&& 状态空间表达式为：[]112233123010000105413100x x x x u x x x y x x ????????????????=+????????????????---???????? ????=?????? &&& (2) 解 采用拉氏变换法求取状态空间表达式。对微分方程(2)在零初试条件 下取拉氏变换得： 3222332()3()()() 11()12 23()232 s Y s sY s s U s U s s Y s s U s s s s s +=---==++ 由公式、可直接求得系统状态空间表达式为 1122330100001031002x x x x u x x ?? ????????????????=+? ?????????????????????-?? ?? &&& 123110 2 2x y x x ?????? =- ?????????? (3) 解 采用拉氏变换法求取状态空间表达式。对微分方程(3)在零初试条件 下取拉氏变换得： 323()2()3()5()5()7()s Y s s Y s sY s Y s s U s U s +++=+