教你运用“三线合一”性质
江西黄永源
“三线合一”性质是等腰三角形所特有的性质，即等腰三角形底边上的中线、顶角的平分线、底边上的高线互相重合.该性质其实包括如下三方面的内容：
如图，△ABC中，AB＝AC，D是BC上的一点.
（1）若AD是等腰△ABC底边BC上的中线，那么AD是顶角∠BAC的平分线，AD是底边BC上的高线；
（2）若AD是等腰△ABC顶角∠BAC的平分线，那么AD是底边BC上的中线，AD是底边BC上的高线；
（3）若AD是等腰△ABC底边BC上的高线，那么AD是顶角∠BAC的平分线，AD是底边BC上的中线.
显然，“三线合一”性质给我们提供了证明角相等、直线垂直、线段相等的新思想和新方法.在解答一些图形有关的证明问题时，要注意灵活运用它们，由此及彼.
例1如图，在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，求证：DE ＝DF.
分析：依题意，DE和DF分别为点D到∠BAC两边的距离，要证明它们相等，可先证明点D在∠BAC的平分线上，这只要证明AD是∠BAC的平分线.
证明：连接AD.
∵AB＝AC，BD＝CD，
∴AD是等腰△ABC底边BC上的中线.
∴AD平分∠BAC.
∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∴DE＝DF.
说明：本题的解答过程中，运用了等腰△ABC底边BC上的中线AD是顶角∠BAC的平分线的性质.
例2如图，△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于点D，求证：∠CBD＝1
2
∠BAC．
分析：为了得到1
2
∠BAC，可考虑作∠BAC的平分线．这样，把证明两角成倍数关系转化
为证明两角是相等关系．
证明：作∠BAC的平分线AE交BC于点E，那么∠１＝∠２＝1
2
∠BAC．
∵AB＝AC，AE平分∠BAC，
∴AE是等腰△ABC顶角∠BAC的平分线．∴AE⊥BC于点E．
∴∠AEC＝90°，∠１＋∠C＝90°，
∵BD⊥AC于点D，
∴∠BDC＝90°，∠CBD＋∠C＝90°．
∴∠CBD＝∠１＝1
2
∠BAC．
说明：本题的解答过程中，运用了等腰△ABC顶角∠BAC的平分线是底边BC上的高线的性质.
例3如图，在△ABC中，AB＝AC，D在BA的延长线上，E在AC上，且AD＝AE，求证：DE⊥BC.
分析：注意到△ABC是以BC为底边的等腰三角形，那么底边上的高与BC垂直.要证明DE ⊥BC，应先证明DE与这条高平行.
证明：过A作AF⊥BC于F.
∵AB＝AC，AF⊥BC于F，
∴AF是等腰三角形△ABC底边BC上的高线.
∴AF平分∠BAC.
∴∠BAC＝2∠BAF.
∵AD＝AE，
∴∠D＝∠AED.
∴∠BAC＝∠D＋∠AED＝2∠D.
∴∠BAF＝∠D，DE∥AF.
∴DE⊥BC.
说明：本题的解答过程中，运用了等腰△ABC底边BC上的高线AF是顶角∠BAC的平分线的性质.
三线合一性质的逆定理 Company Document number：WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998
一、等腰三角形的“三线合一”性质的逆定理 “三线合一”性质：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。 逆定理：①如果三角形中任一角的角平分线和它所对边的中线重合，那么这个三角形是等腰三角形。 ②如果三角形中任一角的角平分线和它所对边的高重合，那么 这个三角形是等腰三角形。 ③如果三角形中任一边的中线和这条边上的高重合，那么这个 三角形是等腰三角形。 简言之：三角形中任意两线合一，必能推导出它是一个等腰三角形。证明①：已知: ⊿ABC中，AD是∠BAC的角平分线， AD是BC边上的中线， 求证：⊿ABC是等腰三角形。 分析：要证等腰三角形就是要证AB=AC，直接 通过证明这两条线所在的三角形全等不行，那 就换种思路，在有中点的几何证明题中常用的 添辅助线的方法是“延长加倍”，即延长AD到E 点，使AD=ED，由此问题就解决了。 证明：延长AD到E点，使AD=ED，连接CE 在⊿ABD和⊿ECD中 AD=DE ∠ADB=∠EDC ∴⊿ABD≌⊿ECD
∴AB=CE, ∠BAD=∠CED ∵AD是∠BAC的角平分线 ∴∠BAD=∠CAD ∴∠CED=∠CAD ∴AC=CE ∴AB=AC ∴⊿ABC是等腰三角形。 三个逆定理中以逆定理②在几何证明的应用中尤为突 出。 证明②：已知: ⊿ABC中，AD是∠BAC的角平分线， AD是BC边上的高， 求证：⊿ABC是等腰三角形。 分析：通过（ASA）的方法来证明⊿ABD和⊿ACD的 全等，由此推出AB=AC得出⊿ABC是等腰三角形 证明③：已知: ⊿ABC中，AD是BC边上的中线，又是BC边上的高，求证：⊿ABC是等腰三角形。 分析：AD就是BC边上的垂直平分线，用（SAS）的方法来证明⊿ABD和⊿ACD的全等，由此推出AB=AC得出 ⊿ABC是等腰三角形。（即垂直平分线的定理） 二、“三线合一”的逆定理在辅助线教学中的应用 （1）逆定理②的简单应用 例题1
三线合一专题练习 一、直接运用三线合一证题 1、如图，在Rt ABC △中， 90=∠B ，ED 是AC 的垂直平分线，交AC 于点D ，交BC 于点E ．已知 10=∠BAE ，则C ∠的度数为（ ）A ． 30 B ． 40 C ． 50 D ． 60 2、已知，如图1，AD 是?ABC 的角平分线，DE 、DF 分别是?ABD 和?ACD 的高。 求证：AD 垂直平分EF A 1 2 E F B D C 图1 3、如图2，?ABC 中，AB ＝AC ，AD 为BC 边上的高，AD 的中点为M ，CM 的延长线交AB 于点K ，求证：AB AK =3 A K M E 图2 二、做辅助线利用三线合一 4、如图3，在?ABC 中，∠=A 90 ，AB AC =，D 是BC 的中点，P 为BC 上任一点，作PE AB ⊥，PF AC ⊥，垂足分别为E 、F 求证：（1）DE ＝DF ；（2）DE DF ⊥ A E F B D P 图3
5、如图，在等腰梯形ABCD中，G为对角线交点，△ADG、△GBC为正三角形。F、E、H为AG、BG、DC的中点。连接CE BF （1）求证：△EFH为正三角形； （2）若AD=2，BG=3，求S△EFH； ACB ADB90 ，M、N分别为AB、CD的中6、如图4，已知四边形ABCD中，∠=∠= ⊥ 点，求证：MN CD C N D A M B 图4 7、如图，已知在等边三角形ABC中，D是AC的中点，E为BC延长线上一点，且CE＝CD，DM⊥BC，垂足为M。求证：M是BE的中点。 A D 1 B M C E
等腰三角形性质：三线合一”专题 等腰三角形有一个重要的性质：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。这就是 著名的等腰三角形 “三线台一”性质。“三线合一”性质常用来证明两线垂直、两线段相等和两角相等。反之， 如果三角形一边上的中线、这边上的高、这边所对角的角平分线中有两条重合， 那么这个三角形就是等腰三角形。 【例题讲解】 例二：如图△ ABC 中，AB = AC, / A = 36°, BD 平分/ ABQ DE 丄 AB 于 E ,若 CD= 4，且△ BDC 周长为 24，求 AE 的长度。 变式练习1-2 已知，如图所示, 求证：AD 垂直平分EF 。 AD >△ ABC ，DE DF 分另U >△ ABDA ACD 的高。 求证：AD 垂直平分BG
例三?等腰三角形顶角为 ，一腰上的高与底边所夹的角是 ，则 与 的关系式为 图2 分析：欲证/ ACE=/ B,由于AC=AB 因此只需构造一个与 Rt △ ACE 全等的三角形，即做底边 BC 上的高即可。 证明：作 ADL BC 于D, ?/ AB=AC 1 ??? BD BC 2 1 又??? CE BC , 2 ? - BD=CE 在 Rt △ ABD 和 Rt △ ACE 中， AB = AC, BD=CE ? Rt △ ABD^ Rt △ ACE( HL )。 ? / ACE 玄 B 例五?已知：如图3,等边三角形 ABC 中，D 为AC 边的中点，E 为BC 延长线一点，CE=CD DM L BC 于M,求证: M 是BE 的中点。 分析：如图1，AB=AC EAC 90° / C ，/ BD 丄AC 于D,作底边 BC 上的高 AE, E 为垂足，则可知/ EAC=/ EAB - 又/ 2 ， 90° / C ，所以 例四?已知：如图2, △ ABC 中，AB=AC CE!AE 于E , CE 1 — 。 2 1 BC , E 在厶 ABC 外,求证：/ ACE / B 。 2 图1
F E D C B A E D C B A B ' C B A 专题四（第九讲）：三角形三线性质 金牌数学专题系列 导入 知识要点 三角形的 重要线段 意义 图形 表示法 三角形 的高线 从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线,顶点和垂足之间的线段 D C B A 1.AD 是△ABC 的BC 上的高线. 2.AD ⊥BC 于D. 3.∠ADB=∠ADC=90°. 三角形 的中线 三角形中,连结一个顶点和它对边中的 线段 D C B A 1.AE 是△ABC 的BC 上的中线. 2.BE=EC= 12 BC. 三角形的 角平分线 三角形一个内角的平分线与它的对边相交,这个角顶点与交点之间的线段 21 D C B A 1.AM 是△ABC 的∠BAC 的平分线. 2.∠1=∠2= 1 2 ∠BAC. 双基练习 一、选择题： 1.如图1所示,在△ABC 中,∠ACB=90°,把△ABC 沿直线AC 翻折180°,使点B 落在点B ′的位置,则线段AC 具有性质( ) A.是边BB ′上的中线 B.是边BB ′上的高 C.是∠BAB ′的角平分线 D.以上三种性质合一 (1) (2) (3) 2.如图2所示,D,E 分别是△ABC 的边AC,BC 的中点,则下列说法正确的是( ) A.DE 是△BCD 的中线 B.BD 是△ABC 的中线 C.AD=DC,BD=EC D.∠C 的对边是DE 3.如图3所示,在△ABC 中,已知点D,E,F 分别为边BC,AD,CE 的中点, 且S △ABC =4cm 2 ,则S 阴影等于( ) 小学时上课爱睡觉。一次语文课老师布置作业写一篇作文，题目是《假如我是蜘蛛》。
一、等腰三角形的“三线合一”性质的逆定理 “三线合一”性质：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。 逆定理：①如果三角形中任一角的角平分线和它所对边的中线重合，那么这个三角形是等腰三角形。 ②如果三角形中任一角的角平分线和它所对边的高重合，那么 这个三角形是等腰三角形。 ③如果三角形中任一边的中线和这条边上的高重合，那么这个 三角形是等腰三角形。 简言之：三角形中任意两线合一，必能推导出它是一个等腰三角形。证明①：已知: ⊿ABC中，AD是∠BAC的角平分线， AD是BC边上的中线， 求证：⊿ABC是等腰三角形。 分析：要证等腰三角形就是要证AB=AC，直接通过证明这两条线所在的三角形全等不行，那就换种思路，在有中点的几何证明题中常用的添辅助线 的方法是“延长加倍”，即延长AD到E点，使AD=ED， 由此问题就解决了。 证明：延长AD到E点，使AD=ED，连接CE 在⊿ABD和⊿ECD中 AD=DE ∠ADB=∠EDC BD=CD ∴⊿ABD≌⊿ECD ∴AB=CE, ∠BAD=∠CED ∵AD是∠BAC的角平分线 ∴∠BAD=∠CAD ∴∠CED=∠CAD ∴AC=CE ∴AB=AC ∴⊿ABC是等腰三角形。 三个逆定理中以逆定理②在几何证明的应用中尤为突出。 证明②：已知: ⊿ABC中，AD是∠BAC的角平分线，AD是BC边 上的高， 求证：⊿ABC是等腰三角形。 分析：通过（ASA）的方法来证明⊿ABD和⊿ACD的全等，由此 推出AB=AC得出⊿ABC是等腰三角形 证明③：已知: ⊿ABC中，AD是BC边上的中线，又是BC边上 的高，
求证：⊿ABC是等腰三角形。 分析：AD就是BC边上的垂直平分线，用（SAS）的方法来 证明⊿ABD和⊿ACD的全等，由此推出AB=AC得出 ⊿ABC是等腰三角形。（即垂直平分线的定理） 二、“三线合一”的逆定理在辅助线教学中的应用 （1）逆定理②的简单应用 例题1 已知：如图，在⊿ABC中，AD平分∠BAC，CD⊥AD,D 为垂足，AB>AC。 求证：∠2=∠1+∠B 分析：由“AD平分∠BAC，CD⊥AD”推出AD所在的 三角形是等腰三角形，所以延长CD交AB于点E， 由逆定理②得出⊿AEC是等腰三角形由此就可得出 ∠2=∠AEC，又∠AEC=∠1+∠B，所以结论得证。 （2）逆定理②与中位线综合应用 例题1 已知：如图，在⊿ABC中，AD平分∠BAC，交BC于点D，过点C作AD的垂线，交AD的延长线于点E，F为BC的中点，连结EF。 求证： EF∥AB， EF=(AC-AB) 分析：由已知可知，线段AE既是∠BAC的角平分 线又是EC边上的高，就想到把AE所在的等腰三角形构造出 来，因而就可添辅助线“分别延长CE、AB交于点G”。 简单证明：由逆定理②得出⊿AGC是等腰三角形， ∴点E是GC的中点 ∴EF是⊿BGC的中位线 ∴得证。 例题2 如图，已知：在⊿ABC中，BD、CE分别平分∠ABC, ∠ACB,AG⊥BD于G，AF⊥CE于F，AB=14cm,AC=9cm,BC=18cm. 求： FG的长。 分析：通过已知条件可以知道线段CF和BG满足逆 定理②的条件，因此就想到了分别延长AG、A F来构造等腰三角形。 简单证明：分别延长AG、AF交BC于点K、H由逆定理②得出⊿ABK是等腰三角形 ∴点G是AK的中点 同理可得点F是AH的中点 ∴FG是⊿AHK的中位线 由此就可解出FG的长。
等腰三角形专题 基本知识总结： 1、基本概念：有两条边相等的三角形才是等腰三角形，所有的证明需证明至此（如：若知 道三角形的两个底角相当，则需要使用等角对等边，证明边相等才可） 2、性质：①等边对等角 ②三线合一 3、判定：等角对等边 常见题型： 1、等腰三角形的构造型问题： （1）①角平分线+平行线②角平分线+垂线③利用倍角半角 （2）找点问题 例1：如图，有直线m,n ，m,n 之间的间距为2cm ，在n上取AB 3cm ，在m上取点p ， 使得PAB 为等腰三角形，则满足条件的点p 有几个？ m n A B 变式1：若取AB 2cm ，则点p 有几个？ 变式2：如图，在Rt ABC 中，ABC 90 ，BAC 30 ，在直线BC或AC上取一点P ，使得PAB 为等腰三角形，则符合条件的点p 有几个？ 2、三线合一的性质应用（知二即知三） 应用一：证明角度和线段的相等及倍数关系 例1：已知：如图，在ABC 中，AB AC ，BD AD 于D ，求证：BAC 2 DBC .
例2：△ABC 是等腰直角三角形，∠BAC=90°，AB=AC，若 D 为BC的中点，过 D 作DM ⊥DN 分别交AB、AC于M、N，求证：DM＝DN. 变式1：若DM⊥DN 分别和BA、AC延长线交于M、N。问DM 和DN 有何数量关系。 变式2：如图，在ABC 中， A 90 ，AB AC ，D 是BC 的中点，P 为BC 上任一点，作PE AB ，PF AC ，垂足分别为E、F ，求证：（1）DE DF ；（2）DE DF 应用二：证垂直平分 例3：已知，如图，AD 是ABC 的角平分线，DE、DF 分别是ABD 和ACD 的高。求证：AD 垂直平分EF . 例4：已知四边形ABCD 中，ACB ADB 90 ，M、N 分别为AB、CD 的中点，求证：MN 垂直平分CD . 应用三：逆命题：知二即知等腰 ①一边上的高与这边上的中线重合的三角形是等腰三角形．（线段垂直平分线的性质） ②一边上的高与这边所对角的平分线重合的三角形是等腰三角形．
等腰三角形三线合一性 质应用 Company Document number：WUUT-WUUY-WBBGB-BWYTT-1982GT
等腰三角形专题 基本知识总结： 1、基本概念：有两条边相等的三角形才是等腰三角形，所有的证明需证明至此（如：若知道三角形的两个底角相当，则需要使用等角对等边，证明边相等才可） 2、性质：①等边对等角 ②三线合一 3、判定：等角对等边 常见题型： 1、等腰三角形的构造型问题： （1）①角平分线+平行线②角平分线+垂线③利用倍角半角 （2）找点问题 例1：如图，有直线n m ,，n m ,之间的间距为cm 2，在n 上取cm AB 3=，在m 上取点p ，使得PAB ?为等腰三角形，则满足条件的点p 有几个 m n ? ? A B 变式1：若取cm AB 2=，则点p 有几个 变式2：如图，在ABC Rt ?中，?=∠90ABC ，?=∠30BAC ，在直线上或AC BC 取一点P ，使得PAB ?为等腰三角形，则符合条件的点p 有几个 2、三线合一的性质应用（知二即知三） 应用一：证明角度和线段的相等及倍数关系 例1：已知：如图，在ABC ?中，AC AB =，AD BD ⊥于D ，求证： DBC BAC ∠=∠2.
例2：△ABC 是等腰直角三角形，∠BAC=90°，AB=AC ，若D 为BC 的中点，过D 作DM ⊥DN 分别交AB 、AC 于M 、N ，求证：DM ＝DN. 变式1：若DM ⊥DN 分别和BA 、AC 延长线交于M 、N 。问DM 和DN 有何数量关系。 变式2：如图，在ABC ?中，?=∠90A ，AC AB =，D 是BC 的中点，P 为BC 上任一点，作AB PE ⊥，AC PF ⊥，垂足分别为F E 、，求证：（1） DF DE =；（2）DF DE ⊥ 应用二：证垂直平分 例3：已知，如图，AD 是ABC ?的角平分线，DF DE 、分别是ABD ?和ACD ?的高。求证：AD 垂直平分EF . 例4：已知四边形ABCD 中，?=∠=∠90ADB ACB ，N M 、分别为CD AB 、的中点，求证：MN 垂直平分CD . 应用三：逆命题：知二即知等腰 ①一边上的高与这边上的中线重合的三角形是等腰三角形．（线段垂直平分线的性质） ②一边上的高与这边所对角的平分线重合的三角形是等腰三角形． ③一边上的中线与这边所对角的平分线重合的三角形是等腰三角形. 例5：如图，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，CD ⊥AB 于D ，BE ⊥AC 于E ，求证：AC=AB. 例6：已知，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，CD ⊥AD,D 为垂足，AB>AC 。求证：∠2=∠1+∠B
等腰三角形性质：三线合一”专题 等腰三角形有一个重要的性质：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。这就是著名的等腰三角形“三线台一”性质。“三线合一”性质常用来证明两线垂直、两线段相等和两角相等。反之，如果三角形一边上的中线、这边上的高、这边所对角的角平分线中有两条重合，那么这个三角形就是等腰三角形。 【例题讲解】 例1． 如图所示，在等腰△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，点E 在AD 上。 求证：BE=CE 。 变式练习1-1 如图，在△ABC 中，AB=AC ，D 是形外一点，且BD=CD 。求证：AD 垂直平 分BC 。 变式练习1-2 已知，如图所示，AD 是△ABC ，DE 、DF 分别是△ABD 和△ACD 的 高。求证：AD 垂直平分EF 。 例二：如图△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝36°，BD 平分∠ABC ，DE ⊥AB 于E ，若CD ＝4，且△ BDC 周长为24，求AE 的长度。 A B C E D
例三. 等腰三角形顶角为α，一腰上的高与底边所夹的角是β，则β与α的关系式为β=___________。 图1 分析：如图1，AB=AC ，BD ⊥AC 于D ，作底边BC 上的高AE ，E 为垂足，则可知∠EAC=∠EAB = 1 2 α，又∠EAC C C =-=-9090°∠，∠°∠β，所以∠，EAC == ββα1 2 。 例四. 已知：如图2，△ABC 中，AB=AC ，CE ⊥AE 于E ，CE BC = 1 2 ，E 在△ABC 外，求证：∠ACE=∠B 。 图2 分析：欲证∠ACE=∠B ，由于AC=AB ，因此只需构造一个与Rt △ACE 全等的三角形，即做底边BC 上的高即可。 证明：作AD ⊥BC 于D ， ∵AB=AC ， ∴BD BC = 1 2 又∵CE BC =1 2 ， ∴BD=CE 。 在Rt △ABD 和Rt △ACE 中， AB ＝AC ，BD=CE ， ∴Rt △ABD ≌Rt △ACE （HL ）。 ∴∠ACE=∠B 例五. 已知：如图3，等边三角形ABC 中，D 为AC 边的中点，E 为BC 延长线一点，CE=CD ，DM ⊥BC 于M ，求证：
等腰三角形三线合一专题训练1 例1：如图，四边形ABCD中，AB∥DC，BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD，且点E在AD上。 求证：BC=AB+DC。 变1：如图，AB∥CD，∠A＝90°，AB＝2，BC＝3，CD＝1，E是AD边中点。求证：CE⊥BE。 变2：如图，四边形ABCD中，AD∥BC，E是CD上一点，且AE、BE分别平分∠BAD、∠ABC. （1）求证：AE⊥BE；（2）求证：E是CD的中点；（3）求证：AD+BC=AB.
变3：△ABC 是等腰直角三角形 ，∠BAC=90° ,AB=AC.⑴若D 为BC 的中点，过D 作DM ⊥DN 分别交AB 、AC 于M 、N ，求证：（1）DM ＝DN 。 ⑵若DM ⊥DN 分别和BA 、AC 延长线交于M 、N 。问DM 和DN 有何数量关系。 (1) 已知：如图，AB=AC ，E 为AB 上一点，F 是AC 延长线上一点，且BE=CF ，EF 交BC 于点D ． 求证：DE=DF ． D B C F A E M N D C B A M N D C B A
(2)已知：如图，AB=AC ，E 为AB 上一点，F 是AC 延长线上一点，且，EF 交BC 于点D ，且D 为EF 的中点． 求证：BE=CF ． D B C F A E 利用面积法证明线段之间的和差关系 1、如图，在△ABC 中，AB=AC ，P 为底边BC 上的一点，PD ⊥AB 于D ，PE ⊥AC 于E ，?CF ⊥AB 于 F ，那么PD+PE 与CF 相等吗？
变1：若P点在直线BC上运动，其他条件不变，则PD 、PE与CF的关系又怎样，请你作图，证明。 Ｆ Ｆ 1、已知等腰三角形的两边长分别为4、9，则它的周长为（） A 17 B 22 C 17或22 D 13 根据等腰三角形的性质寻求规律 例1．在△ABC中，AB=AC，∠1=1 2 ∠ABC，∠2= 1 2 ∠ACB，BD与CE相交于点O，如图，∠BOC的大小 与∠A的大小有什么关系？ 若∠1=1 3 ∠ABC，∠2= 1 3 ∠ACB，则∠BOC与∠A大小关系如何？ 若∠1=1 n ∠ABC，∠2= 1 n ∠ACB，则∠BOC与∠A大小关系如何？
教你运用三线合一性质 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】
教你运用“三线合一”性质 江西黄永源 “三线合一”性质是等腰三角形所特有的性质，即等腰三角形底边上的中 线、顶角的平分线、底边上的高线互相重合.该性质其实包括如下三方面的内容： 如图，△ABC中，AB＝AC，D是BC上的一点. （1）若AD是等腰△ABC底边BC上的中线，那么AD是顶角∠BAC的平分线，AD是底边BC上的高线； （2）若AD是等腰△ABC顶角∠BAC的平分线，那么AD是底边BC上的中线，AD是底边BC上的高线； （3）若AD是等腰△ABC底边BC上的高线，那么AD是顶角∠BAC的平分线，AD是底边BC上的中线. 显然，“三线合一”性质给我们提供了证明角相等、直线垂直、线段相等的 新思想和新方法.在解答一些图形有关的证明问题时，要注意灵活运用它们，由此及彼. 例1如图，在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，DE⊥AB于E，DF⊥AC 于F，求证：DE＝DF. 分析：依题意，DE和DF分别为点D到∠BAC两边的距离，要证明它们 相等，可先证明点D在∠BAC的平分线上，这只要证明AD是∠BAC的平分线. 证明：连接AD. ∵AB＝AC，BD＝CD， ∴AD是等腰△ABC底边BC上的中线.
∴AD平分∠BAC. ∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F， ∴DE＝DF. 说明：本题的解答过程中，运用了等腰△ABC底边BC上的中线AD是顶角∠BAC的平分线的性质. 例2如图，△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于点D，求证：∠CBD＝1 2 ∠BAC． 分析：为了得到1 2 ∠BAC，可考虑作∠BAC的平分线．这样，把证明两角 成倍数关系转化为证明两角是相等关系． 证明：作∠BAC的平分线AE交BC于点E，那么∠１＝∠２＝1 2 ∠ BAC． ∵AB＝AC，AE平分∠BAC， ∴AE是等腰△ABC顶角∠BAC的平分线．∴AE⊥BC于点E． ∴∠AEC＝90°，∠１＋∠C＝90°， ∵BD⊥AC于点D， ∴∠BDC＝90°，∠CBD＋∠C＝90°． ∴∠CBD＝∠１＝1 2 ∠BAC． 说明：本题的解答过程中，运用了等腰△ABC顶角∠BAC的平分线是底边BC上的高线的性质. 例3如图，在△ABC中，AB＝AC，D在BA的延长线上，E在AC上，且AD＝AE，求证：DE⊥BC.
1.1 等边三角形之三线合一 1、 等腰三角形一边等于5，另一边等于8，则周长是________。 2、 在△ABC 中，已知AB ＝AC ，AD 是中线，∠B ＝70°，BC ＝15cm ， 则∠BAC ＝________， ∠DAC ＝________，BD ＝________cm 。 3、 在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 于D ，AB ＝3，AC ＝4，则AD ＝________。 4、 已知△ABC 中，∠A ＝n °，角平分线BE 、CF 相交于O ，则∠BOC 的度数应为（ ） （A ）90°－n 21°（B ）90°＋ n 21°（C ）180°－n °（B ）180°－n 2 1° 5、 下列两个三角形中，一定全等的是（ ） （A ）有一个角是40°，腰相等的两个等腰三角形 （B ）两个等边三角形 （C ）有一个角是100°，底相等的两个等腰三角形 （D ）有一条边相等，有一个内角相等的两个等腰三角形 6、 已知：如图，△ABC 中，AB=AC 。小强想做∠BAC 的平分线，但他没有量角器，只有刻度 尺，他如何做出∠BAC 的平分线？ 7、 已知：如图，B 、D 、E 、C 在同一直线上，AB=AC ，AD=AE 。求证：BD=CE 。 A C B D E
8、如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，D是AB上一点，且BD=BC。DE⊥AB交AC于E。求证： CD⊥BE。 9、如图，锐角△ABC中，∠B=2∠C，AD为BC边上的高，求证：DC=AB+BD。 10、如图2，BM，CN分别是△ABC的外角∠BAD、∠ACE的平分线。AM⊥BM，M、N为垂 足。求证：MN∥CN。
第6讲等腰三角形“三线合一”的性质 知识定位 讲解用时：5分钟 A、适用范围：人教版初二，基础一般； B、知识点概述：本讲义主要用于人教版初二新课，本节课我们要重点学习等腰 三角形“三线合一”的性质。我们知道等腰三角形是一种特殊的三角形，它除了 具有一般三角形所有的性质外，还有许多特殊性，正是由于它的这些特殊性，使得它比一般三角形的应用更广泛。因此，我们有必要把这部分内容学得更扎实。 知识梳理 讲解用时：20分钟 等腰三角形 1、等腰三角形的概念： 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两条边叫做腰，另外一条 边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边和腰的夹角叫做底角。 2、等腰三角形的性质： （1）等腰三角形的两个底角相等；（简写成“等边对等角”） （2）等腰三角形的角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合.（简 写成“三线合一”） 3、等腰三角形的判定方法： （1）有两条边相等的三角形叫做等腰三角形；（定义法） （2）如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角对应的边也相等.（简 写成“等角对等边”） A B C
等边三角形 我们知道等边三角形是特殊的等腰三角形，所以接下来要研究 等边三角形的性质和判定！ 1、等边三角形的概念： 在等腰三角形中，有一种特殊的等腰三角形——三条边都相等的三角形， 我们把这样的三角形叫做等边三角形。 2、等边三角形的性质： （1）等边三角形的三条边都相等；（定义） （2）等边三角形的三个内角都相等，都等于60°； （3）等腰三角形“三线合一”的性质同样适用于等边三角形. 3、等边三角形的判定方法： （1）有两条边相等的三角形叫做等腰三角形；（定义） （2）三个内角都相等的三角形是等边三角形； （3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形. A B C 课堂精讲精练 【例题1】 在△ABC中，AB=AC，∠A﹣∠B=15°，则∠C的度数为（） A．50°B．55°C．60°D．70° 【答案】B 【解析】根据已知可得到该三角形的为等腰三角形，根据等腰三角形两底角相等及三角形内角和公式即可求得∠C的度数．
初中数学 [三线合一]性质的应用专题辅导 赵春祥 等腰三角形有一个重要的性质：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。这就是著名的等腰三角形“三线台一”性质。“三线合一”性质常用来证明两线垂直、两线段相等和两角相等。反之，如果三角形一边上的中线、这边上的高、这边所对角的角平分线中有两条重合，那么这个三角形就是等腰三角形。 例1. 如图1，在AB C ?中，AB=AC ，D 是形外一点，且CD BD =。求证：AD 垂直平分BC 。 证明：由于AD AD ,CD BD ,AC AB ===，所以)SSS (ACD ABD ???。故 C A D B A D ∠=∠。AD 平分∠BAC 。 在等腰ABC ?中，由“三线合一”知BC AD ⊥，且AD 平分BC 。 评注：若能证出两直线之一是等腰三角形的底边所在的直线，另一条为等腰三角形顶角的平分线或底边上的中线所在的直线，则这两条直线互相垂直。 例 2. 如图2，BM ，CN 分别是ABC ?的外角A C E A B D ∠∠、的平分线。CN AN ,BM AM ⊥⊥，M 、N 为垂足。求证：BC //MN 。 证明：这里有角平分线BM 、CN ，也有垂直于BM 、CN 的直线，若延长AM 、AN ，交CB 、BC 的延长线于D 、E ，如图3。由“角平分线和高重合”可知构成了等腰ABD ?和等腰ACE ?，且M 、N 分别为这两个等腰三角形底边的中点。这样，MN 是ADE ?的中位线，故有MN//BC 。 例3. 如图4，锐角ABC ?中，∠B=2∠C ，AD 为BC 边上的高，求证：BD AB DC +=。
等腰三角形 巧用“三线合一”证题 “三线合一”是等腰三角形的一条特殊性质，在一些几何题的证题过程中有着广泛的应用。本文结合实例说明其应用，供参考。 一. 直接应用“三线合一” 例1. 已知，如图1，AD是?ABC的角平分线，DE、DF分别是?ABD和?ACD的高。 求证：AD垂直平分EF A 1 2 E F B D C 图1 例2. 如图2，?ABC中，AB＝AC，AD为BC边上的高，AD的中点为M，CM的延 =3 长线交AB于点K，求证：AB AK 图2
二. 先连线，再用“三线合一” 例3. 如图3，在?ABC 中，∠=A 90 ，AB AC =，D 是BC 的中点，P 为BC 上任一点，作PE AB ⊥，PF AC ⊥，垂足分别为E 、F 求证：（1）DE ＝DF ；（2）DE DF ⊥ C 图3 三. 先构造等腰三角形，再用“三线合一” 例4. 如图4，已知四边形ABCD 中，∠=∠=ACB ADB 90 ，M 、N 分别为AB 、CD 的中点，求证：MN CD ⊥ C A M B 图4
例5. 如图5，?ABC 中，BC 、CF 分别平分∠ABC 和∠ACB ，AE BE ⊥于E ，AF CF ⊥于F ，求证：EF//BC C 图5 一、证明角相等 【例1】已知：如图1，在ABC ?中，AC AB =，AD BD ⊥于D ．求证： DBC BAC ∠=∠2． 二、 证明线段相等 【例2】如图2，ABC ?是等边三角形，D 点是AC 的中点，延长BC 到E ，使CD CE =， 过点D 作BE DM ⊥，垂直为M ．求证：EM BM =．
“三线合一”的性质 【典型例题】 利用“三线合一”证明两角相等 例1-1 已知：如图所示，在ABC ?中，ACB ABC ∠=∠，BE 、CF 相交于O ，连结AO 并延长交BC 于D ．若OB=OC ，21∠=∠．求证：AD 平分BAC ∠． 例1-2 已知：如图所示，点D 、E 、F 在ABC ?的BC 边上，AB=AC ，AD=AE ，DF=FE ．求证：CAE BAD ∠=∠． 例1-3 已知：如图所示，AD ∥BC ，AE 平分DAB ∠，E 为DC 的中点．求证：BE 平分ABC ∠． A F E O B C A E B C B A C D E
利用“三线合一”证明线段垂直 例2-1 如图所示，在ABC ?中，AB=AC ，AB DE BC AD ⊥⊥，于E ，AC DF ⊥于F ．求证：EF AD ⊥． 例2-2 已知：如图所示，AB=AE ，F ED BC E B ，，=∠=∠是CD 的中点．求证： CD AF ⊥． 例2-3 如图所示，已知：ABC ?是直角三角形，?=∠90ABC ，ABD ?和BCE ?是等边三角形，连结CD 、CE ．求证：CE BD ⊥． A E F B C A B C E D A B E C D F
例2-4 如图所示，已知在ABC ?中，AB CG AC BF ⊥⊥，，F 、G 是垂足，D 、E 分别是BC 、FG 的中点，求证：FG DE ⊥． 利用“三线合一”证明线段相等 例3-1 如图所示，已知ABC ?中，D 、E 为BC 边上的点，且AD=AE ，BD=EC ．求证：AB=AC ． 例3-2 已知：如图所示，AB=AD ，AC=AE ，DAE BAC ∠=∠．DB 交AC 于F ，且AF 平分BD ，CE 交AD 于G ．求证：CG=GE ． A E G F C B A B D E A B C F G D E
等腰三角形三线合一 例1：如图，四边形ABCD中，AB∥DC，BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD，且点E在AD上。 求证：BC=AB+DC。 变1：如图，AB∥CD，∠A＝90°，AB＝2，BC＝3，CD＝1，E是AD边中点。求证：CE⊥BE。 变2：如图，四边形ABCD中，AD∥BC，E是CD上一点，且AE、BE分别平分∠BAD、∠ABC. （1）求证：AE⊥BE；（2）求证：E是CD的中点；（3）求证：AD+BC=AB. 变3：△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°,AB=AC.⑴若D为BC的中点，过D作DM⊥DN分别交AB、AC于M、N，求证：（1）DM＝DN。 ⑵若DM⊥DN分别和BA、AC延长线交于M、N。问DM和DN有数量关系。 E A D M N D C B A M N D C B A
(1)已知：如图，AB=AC，E为AB上一点，F是AC延长线上一点，且BE=CF，EF交BC于点D． 求证：DE=DF． D B C A E (2)已知：如图，AB=AC，E为AB上一点，F是AC延长线上一点，且，EF交BC于点D，且D为EF的中点．求证：BE=CF． D B C A E 利用面积法证明线段之间的和差关系 1、如图，在△ABC中，AB=AC，P为底边BC上的一点，PD⊥AB于D，PE⊥AC于E，?CF⊥AB于F，那么PD+PE与CF相等吗？ 根据等腰三角形的性质寻求规律 例1．在△ABC中，AB=AC，∠1= 1 2 ∠ABC，∠2= 1 2 ∠ACB，BD与CE相交于点O，如图，∠BOC 的大小与∠A的大小有什么关系？ 若∠1= 1 3 ∠ABC，∠2= 1 3 ∠ACB，则∠BOC与∠A大小关系如？
教你运用三线合一性质 Document number【AA80KGB-AA98YT-AAT8CB-2A6UT-A18GG】
教你运用“三线合一”性质 江西黄永源 “三线合一”性质是等腰三角形所特有的性质，即等腰三角形底边上的中线、顶角的平分线、底边上的高线互相重合.该性质其实包括如下三方面的内容： 如图，△ABC中，AB＝AC，D是BC上的一点. （1）若AD是等腰△ABC底边BC上的中线，那么AD是顶角∠BAC的平分线，AD是底边BC上的高线； （2）若AD是等腰△ABC顶角∠BAC的平分线，那么AD是底边BC上的中线，AD是底边BC上的高线； （3）若AD是等腰△ABC底边BC上的高线，那么AD是顶角∠BAC的平分线，AD是底边BC上的中线. 显然，“三线合一”性质给我们提供了证明角相等、直线垂直、线段相等的新思想和新方法.在解答一些图形有关的证明问题时，要注意灵活运用它们，由此及彼. 例1 如图，在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，求证：DE＝DF. 分析：依题意，DE和DF分别为点D到∠BAC两边的距离，要证明它们相等，可先证明点D在∠BAC的平分线上，这只要证明AD是∠BAC的平分线. 证明：连接AD. ∵AB＝AC，BD＝CD， ∴AD是等腰△ABC底边BC上的中线. ∴AD平分∠BAC. ∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F， ∴DE＝DF. 说明：本题的解答过程中，运用了等腰△ABC底边BC上的中线AD是顶角∠BAC的平分线的性质. 例2 如图，△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于点D，求证：∠CBD＝1 2 ∠BAC． 分析：为了得到1 2 ∠BAC，可考虑作∠BAC的平分线．这样，把证明两角成 倍数关系转化为证明两角是相等关系． 证明：作∠BAC的平分线AE交BC于点E，那么∠１＝∠２＝1 2 ∠BAC． ∵AB＝AC，AE平分∠BAC， ∴AE是等腰△ABC顶角∠BAC的平分线．∴AE⊥BC于点E． ∴∠AEC＝90°，∠１＋∠C＝90°， ∵BD⊥AC于点D， ∴∠BDC＝90°，∠CBD＋∠C＝90°． ∴∠CBD＝∠１＝1 2 ∠BAC．
教你运用“三线合一”性质 江西 黄永源 “三线合一”性质是等腰三角形所特有的性质，即等腰三角形底边上的中线、顶角的平分线、底边上的高线互相重合.该性质其实包括如下三方面的内容： 如图，△ABC 中，AB ＝AC ，D 是BC 上的一点. C D A B （1）若AD 是等腰△ABC 底边BC 上的中线，那么AD 是顶角∠BAC 的平分线，AD 是底边BC 上的高线； （2）若AD 是等腰△ABC 顶角∠BAC 的平分线，那么AD 是底边BC 上的中线，AD 是底边BC 上的高线； （3）若AD 是等腰△ABC 底边BC 上的高线，那么AD 是顶角∠BAC 的平分线，AD 是底边BC 上的中线. 显然，“三线合一”性质给我们提供了证明角相等、直线垂直、线段相等的新思想和新方法.在解答一些图形有关的证明问题时，要注意灵活运用它们，由此及彼. 例1 如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，BD ＝CD ，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，求证：DE ＝DF . B D C 分析：依题意，DE 和DF 分别为点D 到∠BAC 两边的距离，要证明它们相等，可先证明点D 在∠BAC 的平分线上，这只要证明AD 是∠BAC 的平分线. 证明：连接AD . ∵AB ＝AC ，BD ＝CD ， ∴AD 是等腰△ABC 底边BC 上的中线. ∴AD 平分∠BAC . ∵DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ， ∴DE ＝DF . 说明：本题的解答过程中，运用了等腰△ABC 底边BC 上的中线AD 是顶角∠BAC 的平分线的性质. 例2 如图，△ABC 中，AB ＝AC ，BD ⊥AC 于点D ，求证：∠CBD ＝ 1 2 ∠BAC ．
例1：如图，四边形ABCD中，AB∥DC，BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD，且点E在AD上。 求证：BC=AB+DC。 变1：如图，AB∥CD，∠A＝90°，AB＝2，BC＝3，CD＝1，E是AD边中点。求证：CE⊥BE。 变2：如图，四边形ABCD中，AD∥BC，E是CD上一点，且AE、BE分别平分∠BAD、∠ABC. （1）求证：AE⊥BE；（2）求证：E是CD的中点；（3）求证：AD+BC=AB. 变3：△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°,AB=AC.⑴若D为BC的中点，过D作DM⊥DN分别交AB、AC于M、N，求证：（1）DM＝DN。 B E A D
⑵若DM ⊥DN 分别和BA 、AC 延长线交于M 、N 。问DM 和DN 有何数量关系。 (1) 已知：如图，AB=AC ，E 为AB 上一点，F 是AC 延长线上一点，且BE=CF ，EF 交BC 于点D ． 求证：DE=DF ． D B C F A E M N D C B A M N D C B A
(2)已知：如图，AB=AC ，E 为AB 上一点，F 是AC 延长线上一点，且，EF 交BC 于点D ，且D 为EF 的中点． 求证：BE=CF ． D B C F A E 利用面积法证明线段之间的和差关系 1、如图，在△ABC 中，AB=AC ，P 为底边BC 上的一点，PD ⊥AB 于D ，PE ⊥AC 于E ，?CF ⊥AB 于F ，那么PD+PE 与CF 相等吗
变1：若P点在直线BC上运动，其他条件不变，则PD 、PE与CF的关系又怎样，请你作图，证明。 Ｆ Ｆ 1、已知等腰三角形的两边长分别为4、9，则它的周长为（） A 17 B 22 C 17或22 D 13 根据等腰三角形的性质寻求规律 例1．在△ABC中，AB=AC，∠1=1 2 ∠ABC，∠2= 1 2 ∠ACB，BD与CE相交于点O，如图，∠BOC的大小 与∠A的大小有什么关系 若∠1=1 3 ∠ABC，∠2= 1 3 ∠ACB，则∠BOC与∠A大小关系如何 若∠1=1 n ∠ABC，∠2= 1 n ∠ACB，则∠BOC与∠A大小关系如何
第五节 灵活运用“三线合一”的性质 【典型例题】 利用“三线合一”证明两角相等 例1 已知：如图所示，在ABC ?中，ACB ABC ∠=∠，BE 、CF 相交于O ，连结AO 并延长交BC 于D ．若OB=OC ，21∠=∠．求证：AD 平分BAC ∠． 例2 已知：如图所示，AD 是ABC ?的角平分线，AD EF EAC B ⊥∠=∠,，垂足为F ．求 证：BEF AEF ∠=∠． 例3 已知：如图所示，点D 、E 、F 在ABC ?的BC 边上，AB=AC ，AD=AE ，DF=FE ．求证： CAE BAD ∠=∠． A F B D E A B C A F E O B C 1 2
例4 已知：如图所示，AD ∥BC ，AE 平分DAB ∠，E 为DC 的中点．求证：BE 平分ABC ∠． 例5 如图，在△ABC 中，D ACB BC AC ,90,0=∠=是AC 上一点，BD AE ⊥交BD 的延长线于E ，且BD AE 2 1 =。求证：BD 是ABC ∠的角平分线。 利用“三线合一”证明线段垂直 例5 如图所示，在ABC ?中，AB=AC ，AB DE BC AD ⊥⊥，于E ，AC DF ⊥于F ．求证：EF AD ⊥． A E F B C A B C D E
例6-1 已知：如图所示，AB=AE ，F ED BC E B ，，=∠=∠是CD 的中点．求证： CD AF ⊥． 例6-2 如图，在五边形ABCDE 中，M DE BC D C E B ,,=∠=∠∠=∠，为CD 中点，求证：CD AM ⊥。 例7 如图所示，已知：ABC ?是直角三角形，?=∠90ABC ，ABD ?和BCE ?是等边三角形，连结CD 、CE ．求证：CE BD ⊥． A B E C D A B C E D A B E C D
七年级数学下册解法技巧思维培优 专题13 等腰三角形中三线合一的应用 题型一利用三线合一求角度 【典例1】（2019?兴平市期末）如图，已知房屋的顶角∠BAC＝100°，过屋顶A的立柱AD⊥BC，屋椽AB＝AC，求顶架上∠B、∠C、∠BAD、∠CAD的度数． 题型二利用三线合一求线段 【典例2】（2019?金华校级月考）如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的中垂线DE交AC于点D，交AB于点E，BC＝10，△BDC的周长为22，求AB的值． 题型三利用三线合一证线段（角）相等 【典例3】（2019?吉林期末）已知△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，D为BC的中点．（1）如图，若E、F分别是AB、AC上的点，且BE＝AF．求证：△DEF为等腰直角三角形； （2）若E，F分别为AB，CA延长线上的点，仍有BE＝AF，其他条件不变，那么△DEF是否仍为等腰直角三角形？证明你的结论．
题型四利用三线合一证垂直 【典例4】（2019?湖里区校级期中）如图，△ABC中，AC＝2AB，AD平分∠BAC交BC于D，E是AD上一点，且EA＝EC，求证：EB⊥AB． 题型五利用三线合一证线段的倍数关系 【典例5】如图，已知等腰直角三角形ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，BF平分∠ABC，CD⊥BD交BF 的延长线于点D，试说明：BF＝2CD． 题型六利用三线合一证线段的和差关系 【典例6】如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，∠B＝2∠C，试说明：AB+BD＝CD．
巩固练习 1．（2019?鄂州期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，∠ABC＝45°，点D为BC的中点，CE⊥AD于点E，其延长线交AB于点F，连接DF．求证：∠ADC＝∠BDF． 2．（2019?镇赉期末）如图，在四边形ABCD中，CB＝CD，∠D+∠ABC＝180°，CE⊥AD于E．（1）求证：AC平分∠DAB； （2）若AE＝3ED＝6，求AB的长．