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圆锥曲线专题复习与训练

——常用性质归纳、解题方法探寻、典型例题剖析、高考真题演练

【高考命题特点】

一、圆锥曲线的常用性质

1. 关于椭圆()22

2210x y a b a b

+=>>的补充性质（常在解题中遇到）：

双曲线()22

2210,0x y a b a b

-=>>的补充性质（在解双曲线问题时常遇到）：

3.抛物线的常用性质（常在解题中遇到）：

二、圆锥曲线常见题型及解题思路方法。

三. 圆锥曲线问题中的条件及要求与韦达定理之间的联系举例：

解决圆锥曲线问题的基本方法是坐标法，这就需要把问题的条件转化为坐标之间的关系，而把问题的条件和要求用坐标表示，特别是用1212,x x x x +或

1212,y y y y +来表示，往往又是打通问题思路的关键。以下是问题中一些条件的

坐标表示：

设斜率为k 的直线l 与圆锥曲线C 交于两点1122(,),(,)A x y B x y ，联立方程，可求出1212,x x x x +，以及1212,y y y y +。

【高考真题、模拟题解析】

【例1】（2010 安徽）椭圆E 经过点A （2，3），对称轴为坐标轴，焦点12,F F x 在轴

上，离心率1

e =

（1）求椭圆E 的方程；

（2）求12F A F D的角平分线所在直线的方程。

【注】若OC 平分∠AOB ，则()0OA OB OC OA OB λλ??

=+> ???

【例2】（2010 北京）已知椭圆C

的左、右焦点坐标分别是(,0),0)-，

，离

心率是3

，直线y t =与椭圆C 交于不同的两点M N 、，以线段MN 为直径

作圆P ，圆心为P 。

（1）求椭圆C 的方程；

（2）若圆P 与x 轴相切，求圆心P 的坐标；

（3）设(,)Q x y 是圆P 上的动点，当t 变化时，求y 的最大值.

【注】对于形如(01)y x x =+<<的函数，可采用三角代换法求最值，令

cos (0)2

x π

θθ=<<

，则cos sin 1sin()y m θθθ?=++，于是有：

max y =

【例3】（2010 江西）如图，已知抛物线1C ：22x by b +=经过椭圆2C ：

()22

2210x y a b a b

+=＞＞的两个焦点．（1）求椭圆2C 的离心率；

（2）设点()3,Q b ，又M N 、为1C 与2C 不在

y 轴上的两个交点，若QMN D 的重心在

抛物线1C 上，求1C 和2C 的方程．

【注】联立椭圆方程与其它方程时，为方便运算起见，通常要简化椭圆方程。如已知

离心率或者已知a 、b 、c 中的一个，则椭圆方程可化为只含一个参数的方程。

【例4】（2010 辽宁）设F 1，F 2分别为椭圆C : 22

221(0)x y a b a b

+=>>的左、右焦点，

过F 2的直线l 与椭圆C 相交于A ,B 两点，直线l 的倾斜角为60°，F 1到直线l 的距离为

（1）求椭圆C 的焦距；

（2）如果222AF F B =uuu r uuu r

，求椭圆C 的方程．

【注】题目中的向量条件往往转化为坐标之间的关系。

【例5】已知直线x＋ky－3＝0所经过的定点F恰好是椭圆C的一个焦点，且椭圆C 上的点到点F的最大距离为8.

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）已知圆O：x2＋y2＝1，直线l：m x＋n y＝1.试证明：当点P(m，n)在椭圆C上运动时，直线l与圆O恒相交，并求直线l被圆O所截得的弦长

L的取值范围．

【例6】（湖北高考题）已知(2,0),(2,0)

A B

-是椭圆C的左右顶点，P为椭圆上异

于点A、B的动点，且APB

的最大面积为。

（1）求椭圆C的方程。

（2）直线AP与椭圆在B点处的切线交于点D，当点P运动时，试判断直线PF（F为椭圆C的右焦点）与以线段BD为直径的圆的位置关系，证明你的结论。

（3）设椭圆C的右准线为l，直线AP与准线l交于点M，直线BM与椭圆C交于点Q，试判断点B与以PQ为直径的圆的位置关系，并证明你的结论。

【注】在圆锥曲线中判断点与圆的位置关系，常采用向量法。

【例7】（2011 杭州三模）已知A ，B 是椭圆的左，右顶点，

(2,0)B ，过椭圆C 的右焦点F 的直线交椭圆于点M ，N ，交直线于点P ，且直线PA ，PF ，PB 的斜率成等差数列， R 和Q 是椭圆上的两动点，R 和Q 的横坐标之和为2，RQ 的中垂线交x 轴于T 点。（1）求椭圆C 的方程；

（2）求三角形MNT 的面积的最大值

22C 1(0)x y a b a b

+=>>：4x =

【例8】（2011山东文22）在平面直角坐标系中，已知椭圆.如图

所示，斜率为且不过原点的直线交椭圆

于，两点，线段的中点为，射线

交椭圆于点，交直线于点.

（1）求的最小值；

（2）若?，①求证：直线B

轴对称？若能，求出此时的外接圆方程；若不能，请说明理由.

xOy 22

:13

x C y +=(0)k k ＞l C A B AB E OE C G 3x =-(3,)D m -22

m k +2

OG OD =OE l G ABG

【例9】（2010 山东理21）如图，已知椭圆)0(12222>>=+b a b

y a x 的离心率为22

，以该

椭圆上的点和椭圆的左、右焦点21,F F 为顶点的三角形的周长为)12(4+，一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设P 为该双曲线上异于项点的任一点，直线

1PF 和2PF 与椭圆的交点分别为A 、B 和C 、D .

（1）求椭圆和双曲线的标准方程；

（2）设直线1PF 、2PF 的斜率分别为1k 、2k ，

证明：121=?k k ；

（3）是否存在常数λ，使得CD AB CD AB ?=+λ恒成立？若存在，求λ的

值；若不存在，请说明理由.

圆锥曲线大题专题训练答案和题目

圆锥曲线大题专题训练 1．如图，曲线G 的方程为22(0)y x y =≥．以原点为圆心．以(0)t t >为半径的圆分别与曲线G 和y 轴的正半轴相交于点A 与点B ．直线AB 与x 轴相交于点C ．（Ⅰ）求点A 的横坐标a 与点C 的横坐标 c 的关系式（Ⅱ）设曲线G 上点D 的横坐标为2a +，求证：直线CD 的斜率为定值． 1.解：（Ⅰ）由题意知，(A a ．因为OA t =，所以2 2 2a a t +=．由于0t > 由点(0)(0)B t C c ，，，的坐标知，直线BC 的方程为 1c t +=．又因点A 在直线BC 上，故有 1a c +=，将（1）代入上式，得1a c =，解得2c a =+ （Ⅱ）因为(2D a +，所以直线CD 的斜率为 1CD k = ===-．所以直线CD 的斜率为定值． 2．设F 是抛物线2 :4G x y =的焦点．（I ）过点(04)P -，作抛物线G 的切线，求切线方程；（II ）设A B ，为抛物线G 上异于原点的两点，且满足0FA FB =u u u r u u u r g ，延长AF ，BF 分别交抛物线G 于点C D ，，求四边形ABCD 面积的最小值． 2.解：（I ）设切点2 004x Q x ?? ???，．由2x y '=，知抛物线在Q 点处的切线斜率为02x ，故所求切线方程为 2000()42x x y x x -=-．即2 04 24x x y x =-．因为点(0)P -4，在切线上．所以2 044 x -=-，2 016x =，04x =±．所求切线方程为24y x =±-．（II ）设11()A x y ，，22()C x y ，．由题意知，直线AC 的斜率k 存在，由对称性，不妨设0k >．

文科圆锥曲线专题练习及问题详解

文科圆锥曲线 1.设12F F 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左、右焦点，P 为直线32a x =上一点，12PF F ?是底角为30的等腰三角形，则E 的离心率为（） () A 12 () B 23 () C 3 4 () D 4 5 【答案】C 【命题意图】本题主要考查椭圆的性质及数形结合思想，是简单题. 【解析】∵△21F PF 是底角为0 30的等腰三角形， ∴322c a = ，∴e =3 4 ， ∴0260PF A ∠=，212||||2PF F F c ==，∴2||AF =c ， 2.等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线x y 162=的准线交于,A B 两点，AB =；则C 的实轴长为（） ()A ()B ()C 4 ()D 8 【命题意图】本题主要考查抛物线的准线、直线与双曲线的位置关系，是简单题. 【解析】由题设知抛物线的准线为：4x =，设等轴双曲线方程为：222x y a -=，将4x =代入等轴双曲线方程解得y =||AB =a =2， ∴C 的实轴长为4，故选C. 3.已知双曲线1C ：22 221(0,0)x y a b a b -=>>的离心率为2.若抛物线22:2(0)C x py p =>的焦点到双曲线1C 的渐近线的距离为2，则抛物线2C 的方程为 (A) 2x y = (B) 2x y = (C)28x y = (D)216x y = 考点：圆锥曲线的性质解析：由双曲线离心率为2且双曲线中a ，b ，c 的关系可知a b 3=，此题应注意C2的焦点在y 轴上，即（0，p/2）到直线x y 3=的距离为2，可知p=8或数形结合，利用直角三角形求解。 4.椭圆的中心在原点，焦距为4，一条准线为4x =-，则该椭圆的方程为（A ） 2211612x y += （B ）221128x y += （C ）22184x y += （D ）22 1124 x y += 【命题意图】本试题主要考查了椭圆的方程以及性质的运用。通过准线方程确定焦点位置，然后借助于焦距和准线求解参数,,a b c ，从而得到椭圆的方程。【解析】因为242c c =?=，由一条准线方程为4x =-可得该椭圆的焦点在x 轴上县2 2448a a c c =?==，所以2 2 2 844b a c =-=-=。故选答案C 5.已知1F 、2F 为双曲线22 :2C x y -=的左、右焦点，点 P 在C 上，12||2||PF PF =，则12cos F PF ∠=

圆锥曲线椭圆专项训练(学生用}

圆锥曲线椭圆专项训练【例题精选】：例1 求下列椭圆的标准方程：（1）与椭圆x y 22416+=有相同焦点，过点P (,)56；（2）一个焦点为（0，1）长轴和短轴的长度之比为t ；（3）两焦点与短轴一个端点为正三角形的顶点，焦点到椭圆的最短距离为3。（4）准线方程为x =?? ? ??4132,,且经过点；（5）e c ==08216.,. 例2 已知椭圆的焦点为2),1,0()1,0(21=-a F F ，。（1）求椭圆的标准方程；（2）设点P 在这个椭圆上，且||||PF PF 121-=，求：tg F PF ∠12的值。例3 已知椭圆上横坐标等于焦点横坐标的点，其纵坐标的长等于短半轴长的2 3。求：椭圆的离心率。小结：离心率是椭圆中的一个重要内容，要给予重视。

例4 已知椭圆x y 2 2 9 1+=，过左焦点F 1倾斜角为 π6 的直线交椭圆于A B 、两点。求：弦AB 的长，左焦点F 1到AB 中点M 的长。小结：由此可以看到，椭圆求弦长，可用弦长公式，要用到一元二次方程中有关根的性质。例5 过椭圆14 16 2 2 =+ y x 内一点M （2，1）引一条弦，使弦被M 平分，求此弦所在直线方程。小结：有关中点弦问题多采用“点差法”即设点做差的方法，也叫“设而不求”。例6 已知C y x B A 的两个顶点，是椭圆、125 16 )5,0()0,4(2 2 =+ 是椭圆在第一象限内部分上的一点，求?ABC 面积的最大值。小结：已知椭圆的方程求最值或求范围，要用不等式的均值定理，或判别式来求解。（圆中用直径性质或弦心距）。要有耐心，处理好复杂运算。

圆锥曲线综合试题(全部大题目)含答案

1. 平面上一点向二次曲线作切线得两切点，连结两切点的线段我们称切点弦.设过抛物线 22x py =外一点00(,)P x y 的任一直线与抛物线的两个交点为C 、D ，与抛物线切点弦AB 的交点为Q 。（1）求证：抛物线切点弦的方程为00()x x p y y =＋；（2）求证：112|||| PC PD PQ +=. 2. 已知定点F （1，0），动点P 在y 轴上运动，过点P 作PM 交x 轴于点M ，并延长MP 到点N ，且.||||,0PN PM PF PM ==? （1）动点N 的轨迹方程；（2）线l 与动点N 的轨迹交于A ，B 两点，若304||64,4≤≤-=?AB OB OA 且，求直线l 的斜率k 的取值范围. 3. 如图，椭圆13 4: 2 21=+y x C 的左右顶点分别为A 、B ，P 为双曲线134:222=-y x C 右支上（x 轴上方）一点，连AP 交C 1于C ，连PB 并延长交C 1于D ，且△ACD 与△PCD 的面积相等，求直线PD 的斜率及直线CD 的倾斜角. 4. 已知点(2,0),(2,0)M N -，动点P 满足条件||||PM PN -=记动点P 的轨迹为W . （Ⅰ）求W 的方程；

（Ⅱ）若,A B 是W 上的不同两点，O 是坐标原点，求OA OB ?的最小值. 5. 已知曲线C 的方程为:kx 2+(4-k )y 2=k +1,(k ∈R) （Ⅰ）若曲线C 是椭圆，求k 的取值范围；（Ⅱ）若曲线C 是双曲线，且有一条渐近线的倾斜角是60°，求此双曲线的方程；（Ⅲ）满足（Ⅱ）的双曲线上是否存在两点P ，Q 关于直线l ：y=x -1对称，若存在，求出过P ，Q 的直线方程；若不存在，说明理由。 6. 如图（21）图，M （-2，0）和N （2，0）是平面上的两点，动点P 满足： 6.PM PN += (1)求点P 的轨迹方程； (2)若2 ·1cos PM PN MPN -∠＝,求点P 的坐标. 7. 已知F 为椭圆22221x y a b +=(0)a b >>的右焦点，直线l 过点F 且与双曲线 12 2 2=-b y a x 的两条渐进线12,l l 分别交于点,M N ，与椭圆交于点,A B . （I ）若3 MON π∠= ，双曲线的焦距为4。求椭圆方程。（II ）若0OM MN ?=（O 为坐标原点），1 3 FA AN =，求椭圆的离心率e 。

高考数学专题复习与策略专题平面解析几何突破点圆锥曲线中的综合问题专题限时集训理

专题限时集训(十五)圆锥曲线中的综合问题 [建议用时：45分钟] 1．(2016·中原名校联盟二模)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1， F 2，点B (0，3)为短轴的一个端点，∠OF 2B ＝60°. 图15-4 (1)求椭圆C 的方程； (2)如图15-4，过右焦点F 2，且斜率为k (k ≠0)的直线l 与椭圆C 相交于D ，E 两点，A 为椭圆的右顶点，直线AE ，AD 分别交直线x ＝3于点M ，N ，线段MN 的中点为P ，记直线PF 2的斜率为k ′.试问k ·k ′是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由． [解] (1)由条件可知a ＝2，b ＝3，故所求椭圆方程为x 24＋y 2 3＝1.4分 (2)设过点F 2(1,0)的直线l 的方程为y ＝k (x －1)．由????? y ＝k x －1，x 24＋y 23 ＝1，可得(4k 2＋3)x 2－8k 2x ＋4k 2 －12＝0.5分因为点F 2(1,0)在椭圆内，所以直线l 和椭圆都相交，即Δ＞0恒成立．设点E (x 1，y 1)， D (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝8k 2 4k 2＋3，x 1x 2＝4k 2 －124k 2＋3.6分因为直线AE 的方程为y ＝y 1x 1－2(x －2)，直线AD 的方程为y ＝y 2 x 2－2 (x －2)，令x ＝3，可得M ? ? ??? 3， y 1x 1－2，N ? ????3，y 2x 2－2，所以点P 的坐标? ????3，12? ????y 1x 1－2＋y 2x 2－2.8分直线PF 2的斜率为k ′＝12? ?? ??y 1 x 1－2＋y 2x 2－2－0 3－1 ＝14·x 1y 2＋x 2y 1－2y 1＋y 2x 1x 2－2x 1＋x 2＋4＝14·2kx 1x 2－3k x 1＋x 2＋4k x 1x 2－2x 1＋x 2＋4

圆锥曲线练习题(附答案)

) 圆锥曲线一、填空题 1、对于曲线C ∶1 42 2-+-k y k x =1，给出下面四个命题： ①由线C 不可能表示椭圆； ②当1＜k ＜4时，曲线C 表示椭圆； ③若曲线C 表示双曲线，则k ＜1或k ＞4; ④若曲线C 表示焦点在x 轴上的椭圆，则1＜k ＜2 5 其中所有正确命题的序号为_____________. ？ 2、已知椭圆)0(122 22>>=+b a b y a x 的两个焦点分别为21,F F ，点P 在椭圆上，且满足021=?PF PF ，2tan 21=∠F PF ，则该椭圆的离心率为 3.若0>m ，点?? ? ??25,m P 在双曲线15422=-y x 上，则点P 到该双曲线左焦点的距离为 . 4、已知圆22:6480C x y x y +--+=．以圆C 与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和顶点，则适合上述条件的双曲线的标准方程为． 5、已知点P 是抛物线24y x =上的动点，点P 在y 轴上的射影是M ，点A 的坐标是（4，a ），则当||a >4时，||||PA PM +的最小值是． 6. 在ABC 中,7 ,cos 18 AB BC B ==- ．若以A ，B 为焦点的椭圆经过点C ，则该椭圆的离心率e = ． 7.已知ABC ?的顶点B ()-3,0、C ()3,0，E 、F 分别为AB 、AC 的中点，AB 和AC 边上的中线交于G ，且5|GF |+|GE |=，则点G 的轨迹方程为 8.离心率3 5 = e ，一条准线为x ＝3的椭圆的标准方程是 .

9.抛物线)0(42<=a ax y 的焦点坐标是_____________; 10将抛物线)0()3(42≠-=+a y a x 按向量v =（4，－3）平移后所得抛物线的焦点坐标为 . ^ 11、抛物线)0(12 <=m x m y 的焦点坐标是 . 12.已知F 1、F 2是椭圆2 2 22)10(a y a x -+=1(5＜a ＜10＝的两个焦点，B 是短轴的一个端点，则△F 1BF 2的面积的最大值是 13.设O 是坐标原点，F 是抛物线)0(22>=p px y 的焦点，A 是抛物线上的一点，与x 轴正向的夹角为60°，则||为 . 14.在ABC △中，AB BC =，7 cos 18 B =-．若以A B ，为焦点的椭圆经过点 C ，则该椭圆的离心率e = ．二.解答题 15、已知动点P 与平面上两定点(A B 连线的斜率的积为定值1 2 -. . （Ⅰ）试求动点P 的轨迹方程C. （Ⅱ）设直线1:+=kx y l 与曲线C 交于M 、N 两点，当|MN |=3 2 4时，求直线l 的方程.

(浙江专用)2020高考数学二轮复习专题五解析几何第3讲圆锥曲线中的综合问题专题强化训练

第3讲圆锥曲线中的综合问题专题强化训练 1．已知方程x 2 2－k ＋y 2 2k －1 ＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围是( ) A.? ?? ??12，2 B ．(1，＋∞) C ．(1，2) D.? ?? ??12，1 解析：选C.由题意可得，2k －1>2－k >0，即? ????2k －1>2－k ，2－k >0，解得1

圆锥曲线大题练习1(供参考)

1.已知动直线l 与椭圆C: 22 132 x y +=交于P ()11,x y 、Q ()22,x y 两不同点，且△OPQ 的面积OPQ S ?= 6 2 ,其中O 为坐标原点. （Ⅰ）证明2212x x +和22 12y y +均为定值; （Ⅱ）设线段PQ 的中点为M ，求||||OM PQ ?的最大值；（Ⅲ）椭圆C 上是否存在点D,E,G ，使得6 2 ODE ODG OEG S S S ???===?若存在，判断△DEG 的形状；若不存在，请说明理由. 2.如图，已知椭圆C1的中心在原点O ，长轴左、右端点M ，N 在x 轴上，椭圆C2的短轴为MN ，且C1，C2的离心率都为e ，直线l ⊥MN ，l 与C1交于两点，与C2交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为A ，B ，C ，D. （I ）设1 2 e = ，求BC 与AD 的比值；（II ）当e 变化时，是否存在直线l ，使得BO ∥AN ，并说明理由 3.设λ>0，点A 的坐标为（1,1），点B 在抛物线y x 2 =上运动，点Q 满足QA BQ λ=，经过Q 点与x 轴垂直的直线交抛物线于点M ，点P 满足MP QM λ=,求点P 的轨迹方程。 4.在平面直角坐标系xOy 中，已知点A(0,-1)，B 点在直线y = -3上，M 点满足MB//OA ， MA ?AB = MB ?BA ，M 点的轨迹为曲线C 。（Ⅰ）求C 的方程；（Ⅱ）P 为C 上的动点，l 为C 在P 点处得切线，求O 点到l 距离的最小值。

5.在平面直角坐标系xOy 中，点(,)P a b (0)a b >>为动点，12,F F 分别为椭圆22 221 x y a b +=的左右焦点．已知△12F PF 为等腰三角形．（Ⅰ）求椭圆的离心率e ；（Ⅱ）设直线2PF 与椭圆相交于,A B 两点，M 是直线2PF 上的点，满足2AM BM ?=-，求点M 的轨迹方程． 6.已知抛物线1C :2 x y =，圆2C :2 2 (4)1x y +-=的圆心为点M （Ⅰ）求点M 到抛物线1c 的准线的距离；（Ⅱ）已知点P 是抛物线1c 上一点（异于原点），过点P 作圆2c 的两条切线，交抛物线1c 于A ，B 两点，若过M ，P 两点的直线l 垂直于AB ，求直线 l 的方程 7.如图7，椭圆)0(1:22 221>>=+b a b y a x C 的离心率为23，x 轴被曲线 b x y C -=22:截得的线段长等于1C 的长半轴长. ()I 求1C ，2C 的方程； ()II 设2C 与y 轴的交点为M ，过坐标原点O 的直线 l 与2C 相交于点A ，B ，直线MA ，MB 分别与1 C 相交于点 D ， E . (ⅰ)证明： ME MD ⊥; (ⅱ)记MAB ?,MDE ?的面积分别为21,S S ，问：是否存在直线l ，使得32 17 21=S S ？请说明理由.

历年高考数学圆锥曲线第二轮专题复习

高考数学试题圆锥曲线一．选择题： 1.又曲线22 221x y a b ==（a ＞0,b ＞0）的两个焦点为F 1、F 2,若P 为其上一点，且|PF 1|=2|PF 2|,则双曲线离心率的取值范围为B A.(1,3) B.(]1,3 C.(3,+∞) D.[)3,+∞ 2.（已知点P 在抛物线y 2 = 4x 上，那么点P 到点Q （2，－1）的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为（ A ） A. （ 41 ，－1） B. （4 1 ，1） C. （1，2） D. （1，－2） 3.如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P 轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在P 点第三次变轨进入以F 为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用12c 和22c 分别表示椭轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用12a 和22a 分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长，给出下列式子： ①1122a c a c +=+; ②1122a c a c -=-; ③1212c a a c >; ④ 11c a ＜22 c a . 其中正确式子的序号是B A. ①③ B. ②③ C. ①④ D. ②④ 4.若双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上横坐标为32 a 的点到右焦点的距离大于它到左准线的距离，则双曲线离心率的取值范围是( B ) A.(1,2) B.(2,+∞) C.(1,5) D. (5,+∞) 5.已知1F 、2F 是椭圆的两个焦点，满足120MF MF ?=的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是C A ．(0,1) B ．1 (0,]2 C ． D ． 6.已知点P 是抛物线22y x =上的一个动点，则点P 到点（0，2）的距离与P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为（ A ）

圆锥曲线综合练习试题(有答案)

圆锥曲线综合练习一、选择题： 1．已知椭圆221102 x y m m +=--的长轴在y 轴上，若焦距为4，则m 等于（） A ．4 B ．5 C ．7 D ．8 2．直线220x y -+=经过椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的离心率为（） A B ．12 C ．2 3 3．设双曲线22 219 x y a -=(0)a >的渐近线方程为320x y ±=，则a 的值为（） A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 4．若m 是2和8的等比中项，则圆锥曲线2 2 1y x m +=的离心率是（） A B C D 5．已知双曲线22 221(00)x y a b a b -=>>，，过其右焦点且垂直于实轴的直线与双曲线交于M N ，两点，O 为坐标原点．若OM ON ⊥，则双曲线的离心率为（） A B 6．已知点12F F ，是椭圆2 2 22x y +=的两个焦点，点P 是该椭圆上的一个动点，那么12||PF PF +u u u r u u u u r 的最小值是（） A ．0 B ．1 C ．2 D ．7．双曲线221259 x y -=上的点到一个焦点的距离为12，则到另一个焦点的距离为（） A ．22或2 B ．7 C ．22 D ．2 8．P 为双曲线22 1916 x y -=的右支上一点，M N ，分别是圆22(5)4x y ++=和22(5)1x y -+= 上的点，则||||PM PN -的最大值为（） A ．6 B ．7 C ．8 D ．9 9．已知点(8)P a ，在抛物线24y px =上，且P 到焦点的距离为10，则焦点到准线的距离为（） A ．2 B ．4 C ．8 D ．16 10．在正ABC △中，D AB E AC ∈∈，，向量12DE BC =u u u r u u u r ，则以B C ，为焦点，且过D E ，的双曲线离心率为（） A B 1 C 1 D 1 11．两个正数a b ，的等差中项是92，一个等比中项是a b >，则抛物线2b y x a =-的焦点坐标是（） A ．5(0)16- ， B ．2(0)5-， C ．1(0)5-， D ．1 (0)5 ， 12．已知12A A ，分别为椭圆22 22:1(0)x y C a b a b +=>>的左右顶点，椭圆C 上异于12A A ，的点P

专题突破练27 圆锥曲线中的定点、定值与存在性问题

专题突破练27 圆锥曲线中的定点、定值与存在性问题 1.(2020山东德州二模,20)已知椭圆C :x 2 a 2 + y 2b 2=1(a>b>0)与圆x 2+y 2=43 b 2 相交于M ,N ,P ,Q 四点,四边形 MNPQ 为正方形,△PF 1F 2的周长为2(√2+1). (1)求椭圆C 的方程; (2)设直线l 与椭圆C 相交于A 、B 两点,D (0,-1),若直线AD 与直线BD 的斜率之积为16 ,证明:直线恒过定点. 2.(2020河南、广东等五省联考,19)已知点P 在圆O :x 2+y 2=9上,点P 在x 轴上的投影为Q ,动点M 满足4PQ ????? =3√2MQ ?????? . (1)求动点M 的轨迹E 的方程; (2)设G (-3,0),H (3,0),过点F (1,0)的动直线l 与曲线E 交于A 、B 两点,问直线AG 与直线BH 的斜率之比是否为定值?若为定值,求出该定值;若不为定值,试说明理由. 3.(2020山东德州一模,20)已知抛物线E :x 2=2py (p>0)的焦点为F ,圆M 的方程为:x 2+y 2-py=0,若直线x=4与x 轴交于点R ,与抛物线交于点Q ,且|QF|=5 4 |RQ|. (1)求出抛物线E 和圆M 的方程; (2)过焦点F 的直线l 与抛物线E 交于A ,B 两点,与圆M 交于C ,D 两点(A ,C 在y 轴同侧),求证:|AC|·|DB|是定值. 4. (2020河北衡水中学高三下学期十调,理19)已知圆C 1:x 2+y 2=2,圆C 2:x 2+y 2=4,如图,C 1,C 2分别交x 轴正半轴于点E ,A.射线OD 分别交C 1,C 2于点B ,D ,动点P 满足直线BP 与y 轴垂直,直线DP 与x 轴垂直. (1)求动点P 的轨迹C 的方程; (2)过点E 作直线l 交曲线C 于点M ,N ,射线OH ⊥l 于点H ,且交曲线C 于点Q.问:1|MN |+1 |OQ |2 的值是否是定值?如果是定值,请求出该定值;如果不是定值,请说明理由. 5.(2020北京丰台一模,20)已知椭圆C :y 2 a 2+x 2b 2=1(a>b>0)的离心率为 √2 2 ,点P (1,0)在椭圆C 上,直线 y=y 0与椭圆C 交于不同的两点A ,B. (1)求椭圆C 的方程;

圆锥曲线大题练习1.doc

1. 已知动直线 l 与椭圆 C: x 2 y 2 1 交于 P x 1 , y 1 、 Q x 2 , y 2 两不同点，且△ OPQ 的 3 2 面积 S OPQ = 6 , 其中 O 为坐标原点 . 2 （Ⅰ）证明 x 12 x 22 和 y 12 y 2 2 均为定值 ; （Ⅱ）设线段 PQ 的中点为 M ，求 |OM | | PQ | 的最大值；（Ⅲ）椭圆 C 上是否存在点 D,E,G ，使得 S ODE S ODG S OEG 6 ?若存在，判断△ 2 DEG 的形状；若不存在，请说明理由 . 2. 如图，已知椭圆 C1 的中心在原点 O ，长轴左、右端点 M ，N 在 x 轴上，椭圆 C2 的短轴为 MN ，且 C1， C2的离心率都为 e ，直线 l ⊥MN ， l 与 C1 交于两点，与 C2 交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为 A ， B ， C ， D. （I ）设 e 1 ，求 BC 与 AD 的比值； 2 （II ）当 e 变化时，是否存在直线 l ，使得 BO ∥ AN ，并说明理由 3. 设，点 A 的坐标为（ 1,1 ），点 B 在抛物线 y x 上运动，点 Q 满足 BQ QA ，经过 Q 点与 x 轴垂直的直线交抛物线于点 M ，点 P 满足 QM MP , 求点 P 的轨迹方程。 4. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A(0,-1) ，B 点在直线 y = -3 上， M 点满足 MB//OA ， MA ?AB = MB?BA ， M 点的轨迹为曲线 C 。（Ⅰ）求 C 的方程；（Ⅱ） P 为 C 上的动点， l 为 C 在 P 点处得切线，求 O 点到 l 距离的最小值。

圆锥曲线提升专题训练

圆锥曲线专题训练2018.1 数学高考对解析几何内容的考查主要集中在如下几个类型： ①求曲线方程（类型确定，甚至给出曲线方程）； ②直线、圆和圆锥曲线间的交点问题（含切线问题）； ③与圆锥曲线定义有关的问题（涉及焦半径、焦点弦、焦点三角形和准线，利用余弦定理等） ④与曲线有关的最值问题（含三角形和四边形面积）； ⑤与曲线有关的几何证明(圆线相切、四点共圆、对称性或求对称曲线、平行、垂直等)； ⑥探求曲线方程中几何量及参数间的数量特征；考点一、求范围（最值）问题例1-1.（2014新课标全国卷Ⅰ）已知点A (0，－2)，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32 ，F 是椭圆E 的右焦点，直线AF 的斜率为233 ，O 为坐标原点． (1)求E 的方程； (2)设过点A 的动直线l 与E 相交于P ，Q 两点，当△OPQ 的面积最大时，求l 的方程．例1-2.已知直线1y x =-+与椭圆相交于A B 、两点. （1，焦距为2，求线段AB 的长；（2）与向量OB 互相垂直（其中O 为坐标原点），求椭圆长轴长的最大值.

练习1.【江苏省扬州中学2015届高三4月双周测】在平面直角坐标系xoy 中，椭圆C ：的离心率为，右焦点F （1,0），点P 在椭圆C 上，且在第一象限内，直线PQ 与圆O ：相切于点M. （1）求椭圆C 的方程；（2）求|PM|·|PF|的取值范围；（3）若OP ⊥OQ ，求点Q 的纵坐标t 的值. 考点二、存在性问题例2-1.如图，过椭圆L 的左顶点(3,0)A -和下顶点B 且斜率均为k 的两直线12,l l 分别交椭圆于,C D ，又1l 交y 轴于M ，2l 交x 轴于N ，且CD 与MN 相交于点P .当3k =时，ABM ?是直角三角形. （1）求椭圆L 的标准方程；（2）①证明：存在实数λ，使得AM OP λ=uuu r uu u r ； ②求|OP |的最小值.

圆锥曲线综合训练一

圆锥曲线综合训练一Revised on November 25, 2020

圆锥曲线综合训练一一、选择题(本题共10小题，每小题5分，共50分) 1. 若点O 和点F 分别为椭圆22 143 x y + =的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP FP 的最大值为 A ．2 B ．3 C ．6 D ．8 2. 若直线b x y +=与曲线243x x y --=有公共点，则b 的取值范围是 A ．[1-+ B ．[1 C ．[11 -+， D ．[1- 3. 设抛物线28y x =上一点P 到y 轴的距离是4，则点P 到该抛物线焦点的距离是 A ． 4 B ． 6 C ． 8 D ．12 4.设抛物线28y x =的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，PA ⊥l ，A 为垂足，如果直线AF PF = （A ）（B ）8 （C ）（D ）16 5.设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ，如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为 C 1 2 D 1 2 6.已知椭圆22 22:1(0)x y C a b a b +=>>，过右焦点F 且斜率为 (0)k k >的直线与C 相交于A 、B 两点，若3AF FB =，则k = A ． 1 B ． C ．． 2 7.已知抛物线22(0)y px p =>的准线与圆22670x y x +--=相切，则p 的值为 A 1 2 B 1 C 2 D 4

8.已知双曲线E的中心为原点，(30) F，是E的焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为(1215) N--，，则E的方程为 A 22 1 36 x y -=B 22 1 45 x y -= C 22 1 63 x y -= D 22 1 54 x y -= 9.设O为坐标原点，F1，F2是双曲线 2 2 x a － 2 2 y b ＝１（a＞0，b＞0）的焦点，若在双曲线上存在点P，满足∠F1PF2=60°，OP a，则该双曲线的渐近线方程为 A x=0 x±y=0 C x y=0 D x±y=0 10.若点O和点(20) F-，分别为双曲线 2 2 2 1(0) x y a a -=>的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则OP FP ?的取值范围为 ( ) A．[3) -+∞B．[3) ++∞ C． 7 [) 4 -+∞ ， D． 7 [) 4 +∞，二．填空题（本小题共5小题，每小题5分，共25分） 11. 若双曲线 2 4 x - 2 2 y b =1（0 b>）的渐近线方程为 1 2 y x =±，则ｂ等于． 12. 在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线 22 1 412 x y -=上一点M的横坐标为 3，则点M到双曲线的右焦点的距离为． 13. 已知F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交C 于点D，且2 =，则C的离心率为． 14. 已知圆C过点（1，0），且圆心在x轴的正半轴上，直线1 :- =x y l被该圆所截得的弦长为2 2，则圆C的标准方程为．

精选圆锥曲线专项训练

精选圆锥曲线专项训练一、填空题 1、椭圆的中心在原点，有一个焦点F (,)01-，它的离心率是方程25202 x x -+=的一个根，椭圆的方程是； 2、若椭圆x k y e 2 2 8 9 112 ++ == 的离心率, 则实数k 的值是； 3、过椭圆 x y F 2 2 1 36 25 1+ =的焦点作直线交椭圆于A 、B 二点，F 2是此椭圆的另一焦点，则 ?ABF 2的周长为； 4、椭圆372122x y +=上有一点P 到两个焦点的连线互相垂直，则P 点的坐标是； 5、抛物线292 y x =上一点M 到准线的距离为738 ，则点M 到抛物线顶点的距离是。 6、焦点在直线34120x y --=上的抛物线的标准方程为。 7、抛物线y Px 22=上一点M m (,)4到焦点距离等于6，则m = 。 8、一动点到y 轴的距离比到点( 2,0 )的距离小2，这动点的轨迹方程是。 9、抛物线y ax a =<402 ()的焦点坐标为。 10、在抛物线y x 22=上求一点P ，使点P 到直线x y -+=30的距离最短。 11、若抛物线的准线方程为2310x y +-=，焦点为(,)-21，则抛物线的对称轴方程是 12、P 1P 2是抛物线的通径，Q 是准线与对称轴的交点，则∠=P QP 12 。 13、双曲线 x y 2 2 25 9 1- =上一点 P ，到一个焦点的距离为12，则P 到另一个焦点的距离为 14、以230x y ±=为渐近线，且经过点(1 , 2)的双曲线是。 15、双曲线的离心率e =2，则它的一个顶点把焦点之间的线段分成长、短两段的比是。 16、双曲线x y 2 2 3 1- =的渐近线中，斜率较小的一条渐近线的倾斜角为 17、已知双曲线的渐近线方程为340x y ±=，一条准线的方程为5330y +=，求这双曲线方程 18、与双曲线x y 2 2 36 4 1- =共轭的双曲线方程是，它们的焦点所在的圆方程

(完整)2019-2020年高考数学大题专题练习——圆锥曲线(二)

2019-2020年高考数学大题专题练习——圆锥曲线（二） 1.椭圆C 1：()22210x y a b a b +=>>的离心率为3，椭圆C 1截直线y x =所得的弦长为410 . 过椭圆C 1的左顶点A 作直线l 与椭圆交于另一点M ，直线l 与圆C 2： () ()2 2240x y r r -+=>相切于点N . （Ⅰ）求椭圆C 1的方程；（Ⅱ）若43AN MN =u u u r u u u u r ，求直线l 的方程和圆C 2的半径r . 2.已知椭圆C ：112 162 2=+ y x 左焦点F ，左顶点A ，椭圆上一点B 满足x BF ⊥轴，且点B 在x 轴下方，BA 连线与左准线l 交于点P ，过点P 任意引一直线与椭圆交于C ，D ，连结AD ，BC 交于点Q ，若实数21,λλ满足：CQ BC 1λ=，DA QD 2λ=. （1）求21λ?λ的值；（2）求证：点Q 在一定直线上.

3.已知椭圆C ：)0(12 42 2>>=+ b a y x 上顶点为D ，右焦点为F ，过右顶点A 作直线DF l //，且与y 轴交于点),0(t P ，又在直线t y =和椭圆C 上分别取点Q 和点E ，满足OE OQ ⊥（O 为坐标原点），连接EQ . （1）求t 的值，并证明直线AP 与圆222=+y x 相切；（2）判断直线EQ 与圆222=+y x 是否相切？若相切，请证明；若不相切，请说明理由. 4.如图，△AOB 的顶点A 在射线)0(3:>=x x y l 上，A ，B 两点关于x 轴对称，O 为坐标原点，且线段AB 上有一点M 满足3||||=?MB AM ，当点A 在l 上移动时，记点M 的轨迹为W . （1）求轨迹W 的方程；（2）设)0,(m P 为x 轴正半轴上一点，求||PM 的最小值)(m f .

圆锥曲线练习题含答案

圆锥曲线专题练习一、选择题 1.已知椭圆 116 252 2=+y x 上的一点P 到椭圆一个焦点的距离为3，则P 到另一焦点距离为（） A ．2 B ．3 C ．5 D ．7 2．若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18，焦距为6，则椭圆的方程为（） A ． 116922=+y x B ．1162522=+y x C ．1162522=+y x 或125 162 2=+y x D ．以上都不对 3．动点P 到点)0,1(M 及点)0,3(N 的距离之差为2，则点P 的轨迹是（） A ．双曲线 B ．双曲线的一支 C ．两条射线 D ．一条射线 4．设双曲线的半焦距为c ，两条准线间的距离为d ，且d c =，那么双曲线的离心率e 等于（） A ．2 B ．3 C ．2 D ．3 5．抛物线x y 102 =的焦点到准线的距离是（） A ． 25 B ．5 C ．2 15 D ．10 6．若抛物线2 8y x =上一点P 到其焦点的距离为9，则点P 的坐标为（） A ．(7, B ．(14, C ．(7,± D ．(7,-± 7．如果22 2 =+ky x 表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是（） A ．()+∞,0 B ．()2,0 C ．()+∞,1 D ．()1,0 8．以椭圆 116 252 2=+y x 的顶点为顶点，离心率为2的双曲线方程（） A ． 1481622=-y x B ．127922=-y x C ．1481622=-y x 或127 92 2=-y x D ．以上都不对 9．过双曲线的一个焦点2F 作垂直于实轴的弦PQ ，1F 是另一焦点，若∠2 1π = Q PF ，则双曲线的离心率 e 等于（） A ．12- B ．2 C ．12+ D ．22+ 10．21,F F 是椭圆17 92 2=+y x 的两个焦点，A 为椭圆上一点，且∠02145=F AF ，则Δ12AF F 的面积为（） A ．7 B ． 47 C ．2 7 D ．257 11．以坐标轴为对称轴，以原点为顶点且过圆09622 2 =++-+y x y x 的圆心的抛物线的方程（） A ．2 3x y =或2 3x y -= B ．2 3x y = C ．x y 92 -=或2 3x y = D ．2 3x y -=或x y 92 =

圆锥曲线选择填空小题专项训练

圆锥曲线小题训练 1、(江苏省启东中学高三综合测试二)在抛物线y 2=2px 上，横坐标为4的点到焦点的距离为5，则p 的值为 A.0.5 B.1 C. 2 D. 4 答案：C 2、(江苏省启东中学高三综合测试三)已知椭圆E 的短轴长为6，焦点F 到长轴的一个端点的距离等于9，则椭圆E 的离心率等于A ． 53 B 5 4 C ． 135 D ．13 12 答案：B 3、(江苏省启东中学高三综合测试四)设F 1，F 2是椭圆16 4942 2=+y x 的两个焦点，P 是椭圆上的点，且3:4:21=PF PF ，则21F PF ?的面积为（） A ．4 B ．6 C ．22 D ．24 答案：B 4、(安徽省皖南八校2008届高三第一次联考)已知倾斜角0≠α的直线l 过椭圆122 22=+b y a x )0(>>b a 的右焦点Ｆ交椭圆于Ａ、Ｂ两点，Ｐ为右准线上任意一点，则APB ∠为（）Ａ．钝角；Ｂ．直角；Ｃ．锐角；Ｄ．都有可能；答案：C 面积的取值范围是[3b 2，4b 2]，则这一椭圆离心率e 的取值范围是 A ．]2 3,35[ B ．]2 2,33[ C ．]2 2,35[ D ．]2 3 ,33[ 答案：A 6、(安徽省淮南市2008届高三第一次模拟考试)已知点A, F 分别是椭圆122 22=+b y a x (a >b >0)的右顶点和左焦点，点B 为椭圆短轴的一个端点，若?=0，则椭圆的离心率e 为（ ▲ ） A. 2 1 (5－1) B. 2 1 (3－1) C. 2 5 D. 2 2 答案：A 7、(安徽省巢湖市2008届高三第二次教学质量检测)以椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>的右焦点为圆心的圆经过原点，且被椭圆的右准线分成弧长为2:1的两段弧，那么该椭圆的离心率等于( ) A.23 6 C.4 9 3答案：B 8、(北京市朝阳区2008年高三数学一模)已知双曲线22 122:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点分别为1F 、 2F ，抛物线2C 的顶点在原点，它的准线与双曲线1C 的左准线重合，若双曲线1C 与抛物线2C 的交点P 满足212PF F F ⊥，则双曲线1C 的离心率为 A ． 2 B ． 3 C ．23 3 D ．22答案：B 9、(北京市崇文区2008年高三统一练习一)椭圆)0(122 22>>=+b a b y a x 的中心、右焦点、右顶点、右准线与x 轴的交点依次为O 、F 、A 、H ，则| || |OH FA 的最大值为（） A ．12 B ．13 C ．14 D ．1答案：C 10、(北京市海淀区2008年高三统一练习一)直线l 过抛物线x y =2 的焦点F ，交抛物线于A ，B 两点，且点A 在x 轴上方，若直线l 的倾斜角4 π θ… ,则|FA |的取值范围是（）

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